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ANLISE DE DESEMPENHO DOS GRAFICOS DE x E R.

Vimos como construir e utilizar os grficos de controle. Agora vamos estudarsua capacidade de detectar perturbaes no processo.

GRFICO de x

Em um julgamento, o veredicto final ser :

RU INOCENTE ou RU CULPADO

Infelizmente, pode-se cometer injustias:

RU INOCENTE VAI PARA A CADEIAou

RU CULPADO FICA EM LIBERDADE

Dispondo a questo em forma de teste de hipteses temos 2 hiptesesmutuamente excludentes, Ho e H1:

Ho: RU INOCENTE

H1: RU CULPADO

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Se a hiptese Ho for verdadeira (RU INOCENTE), no estamos livres do risco de

cometer o erro de conden-lo: ERRO do TIPO I, e o risco de comet-lo chamado de .

Se a hiptese H1 for verdadeira (RU CULPADO), existe o risco de inocent-loindevidamente. Esse erro chamado de ERRO do TIPO II e a probabilidade deincorrer neste tipo de erro .

O mesmo vale para o monitoramento de processos

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A cada 15 minutos retira-se uma amostra (5 saquinhos) do processo, calcula-seque plotado no grfico de controle. Temos na realidade uma seqncia de testes

de hipteses, onde a cada 15 minutos testamos as mesmas hipteses:

x

Ho: Processo em controle, ajustado, livres de causas especiais,

Ho: = o

H1: Processo fora de controle, desajustado, sob influncia de causas especiais,

Ho: o

A hiptese Ho aceita como verdadeira todas as vezes que o valor de cairdentro dos limites de controle (equivalente a julgar o ru inocente) .

x

A hiptese H1 aceita como verdadeira todas as vezes que o valor de cairfora dos limites de controle (equivalente a condenar o ru). x

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ALARME FALSO: intervir no processo na hora errada.

NO DETECO: no intervir quando ele est sob influencia de causas especiais.

Quais as conseqncias associadas aos erros do tipo I e do tipo II?

]|LSCLIC[]|LICouLSC[

oxx

oxx

xP

xxP

===

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ALARME FALSO NO GRFICO DE x

xQuando a hiptese Ho vlida (LM = = o), o ideal que todos os pontoscaiam dentro dos limites de controle do grfico. Contudo, por tratar-se de um testeestatstico, existe o risco de que um deles caia fora dos limites quando h um alarme falso.

x

A Figura abaixo retrata a ocorrncia de um alarme falso.A hiptese verdadeira pois LM = = ox

Para calcular o risco , necessrio conhecer a distribuio da varivel aleatriaGraas ao Teorema do Limite Central, para uma grande variedade dedistribuies de X, a distribuio de tender com boa preciso para umadistribuio normal, mesmo para n pequeno.

x

x

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xx =

n

x

x

=Lembrando que e

A figura abaixo mostra uma varivel aleatria que no tem distribuionormal contudo pode-se admitir, sem cometer erros grosseiros, que a

distribuio de normalx

Definindo a varivelaleatria Z,

esta ter uma distribuionormal com mdia z = 0 edesvio-padroz = 1

x

xx

Z

=

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Para um processo em controle, a probabilidade de um ponto cair fora dos limites dada por

x

]3|[|]33[

]LICLSC[

=+=

+=

ZPZZP

xxPxx

Os valores de probabilidade, / 2, encontram-se tabelados para Z entre 1,0 e 4,0. a soma das reas das caudas (a / 2).

H uma probabilidade de 0,27% de o valor de cair na regio de ao do grfico(acima de LSC ou abaixo de LIC), enquanto o processo permanece ajustado.0,27% a probabil idade de gerar um alarme falso .

Com o limite 3-sigma, teremos em mdia 1 alarmeem cada 370,4 pontos plotados.

x

Para Z = 3,o risco a rea das caudas:0,00135 + 0,00135 = 0,0027.

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Caso se considere que essa freqncia de alarmes falsos seja inaceitvel, aalternativa consiste em aumentar os limites de controle, por exemplo de

k = 3 para k = 3,1, onde k o fator de abertura dos limites:

n

k

n

ko

ox

o

ox

LIC

LSC =+=

Com k = 3,1O risco de alarme falso diminui ]1,3|[|]1,31,3[ =+= ZPZZP

A rea da cauda neste caso (valor tabelado de a / 2 para Z = 3,1) 0,00097. = 0,00194. A probabilidade de sair um alarme falso 0,194%,

Isto corresponde em mdia a um alarme falso a cada 516 amostras.Se o tempo de retirada das amostras de 15 minutos, este valor acimacorresponde a um alarme falso a cada 129 horas de produo.

Note que o risco a funo apenas do fator de abertura dos limites de controle k.

]|[| kZP =

Esta expresso vlida para qualquer tamanho de amostra.

Por outro lado, o tamanho da amostra tem uma influncia grande norisco de ocorrncia do erro do tipo II .

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PODER DO GRFICO DE x

Quando a hiptese H1 verdadeira, o ideal que o primeiro ponto j casse forados limites de controle, especialmente se o deslocamento da mdia for pequeno( pequeno).

1 = o + o = (1 -o)/o

Em geral para 1,5 rapidamente um valor de cair fora dos limites de controle.x

O sinal s ocorre quando o 5 valor de plotado.

A hiptese H1 verdadeira pois LM nocoincide com = 1

x

x

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CLCULO de Pd

Pd a probabilidade de um valor de cair acima do limite superior + a probabilidadedele cair abaixo do limite inferior.

x

Pd= P[x > LSC] + P[x < LIC]

P[x > LSC] = P[Z > ZLSC] ondex

xZ

=

LSCLSC

nkZLSC += e nkZLIC =

Pd= P[Z > nk+ ] + P[Z < nk ]

para k = 3; n = 4; e = 1,0ZLSC = 1,0 e ZLIC = 5,0

Pd = P[Z > 1,0] + P[Z < 5,0] = 0,1587 0,0 = 0,1587 (rea da cauda)

1/0,1587 = 6,3 o nmero mdio de amostras que antecede ao alarme falso.So necessrias em mdia 6,3 amostras de tamanho 4 detectar um deslocamentode 1 desvio-padro na mdia.

O que acontece quando n aumenta? O que acontece com o tempo de deteco?

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O intervalo entre as amostras constante, portanto, o tempo mdio at a detecotambm se reduz.

A Tabela abaixo apresenta valores de Pd para diferentes combinaes de n e .

Curvas de Pd versus deslocamento damdia para diferentes valores de n.

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A medida de eficincia mais usual o NMA

NMERO MDIO DE AMOSTRAS at o sinal.

NMA = 1/Pd

So necessrias, em mdia, 10 amostras de tamanho 3 para o grfico sinalizarum deslocamento na mdia do processo de 1 desvio-padro ( = 1,0)

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velocidades de deteco de 2 diferentesdeslocamentos da mdia

1,0 e 1,5 desvios-padro

tamanho da amostra n = 4

MEDINDO A RAPIDEZ DE DETECO DE DESCONTROLES

O nmero de amostras at o sinal (at soar o alarme), NMA, segue uma distribuio

geomtrica de parmetro p, independentemente de se tratar de alarme falso ou verdadeiro.P[nmero de amostras at o sinal = m] = p(1-p)m-1

Se a hiptese Ho for aceita (= o), ento p =.

Se a hiptese H1 for aceita ( o), ento p = Pd

A mdia da distribuio geomtrica de parmetro p igual a 1/p; portanto,

sob a hiptese HoNMA = 1/.

sob a hiptese H1NMA = 1/Pd

A figura abaixo apresenta uma curva de probabilidade de no deteco a probabilidadedos i primeiros valores de aps o desajuste carem dentro dos limites de controle.x

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Para este tamanho de amostra

Um deslocamento da mdia de 1,5 ( = 1,5) ter sido detectado com certeza at a 7a

amostra

Um deslocamento de = 1,0 tem a probabilidade de passar desapercebido aps a retiradada 7a amostra. H 30% de chance de que os sete valores de caiam dentro dos limites decontrole (30% de chance de passar desapercebido aps a retirada da 7a amostra)

tamanho da amostra n = 4

30%

Supondo que M seja o nmero de amostras at o sinal: P[M = m] = p(1-p)m-1

Pela tabela acima, para = 1,0 P[M = 1] = 0,159 (valor de Pd).

Para m = 2, 3, 4 ... esta probabilidade P[M = m] = p(1-p)m-1 p = 0,159 e (1-p) =0,841

Funo de probabilidade de distribuio acumulada donmero de amostras at um alarme verdadeiro paran = 4 e = 1,0

ProbabilidadedeNO

deteco

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O grfico a seguir bem semelhante ao anterior, s que agora o deslocamento fixo ( = 1,0) e o tamanho da amostra varia

= 1,0

50%

100*(1-0,159)

A eficincia dos grficos de controle com n = 4 comparada com a de n = 9

Para M = 1 tem-se para n = 4 P = 0,159 e para n = 9 P = 0,5

Para amostras grandes (n = 9), os grfico de controle de so geis na detecode deslocamentos moderados da mdia ( em torno de 1,0); porm so lentos nocaso de amostras pequenas (n = 4)

x

x

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GRFICO DE R: ANLISE DE DESEMPENHO

Ho: Processo em controle, ajustado, livre de causas especiais,

Ho: = o

H1: Processo fora de controle, desajustado, sob influncia de causas especiais,H1: o

Hiptese Ho verdadeira : existe um risco de um valor de R cair fora dos limites decontrole, sinalizando erroneamente falta de controle do processo: ALARME FALSO.

Hiptese H1 verdadeira: representa o risco de um valor de R cair dentro dos limitesde controle, no sinalizando a falta de controle do processo: NO DETECO

]|LSCLIC[

]|LSCLIC[1

oRR

oRR

RP

RP

=

==

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A DISTRIBUIO DA VARIVEL ALEATRIA R NO NORMAL

Distribuio da amplitude R

ooR

oR

ooR

dd

Rd

dd

3LIC

LM3LSC

32

2

32

=

==+=

A amplitude no pode ser negativa, e quando necessrio, LICR zerado.

Note a forma assimtrica

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A distribuio amostral de R depende do desvio padro dos valores de X que compe asamostras. O clculo da probabilidade de R ser menor que um determinado valor Ro no simples.

A alternativa tabelar tais probabilidades, como foi feito para o clculo das probabilidadesde variveis com distribuio normal. Todavia teramos que construir infinitas tabelas, umapara cada valor de.

Vamos definir uma varivel W depende apenas do tamanho da amostra (no de )

Distribuio de R e os limites 3-sigma

RW= = amplitude relativa

xA varivel tambm foi padronizada para evitar a construo de infinitas tabelas

O risco de alarme falso diferente de0,0027 como na distribuio normal

(K = 3)

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A probabilidade P[W wo | n = no] tabelada para diferentes valores de wo e n

P[R

Ro] = P[WRo/]

A Tabela nos d P[W Ro/]

]|3)3,0[max(1

]|LSCLIC[1

3232 oooooo

ooRR

ennddRddP

ennRP

==+=

===

Para calcular a probabilidade, vamos tabela da distribuio acumulada deamplitude relativa e obtemos (1 ). A probabilidade o complemento da reasombreada

Tendo o risco, podemos obter calcular NMAF e o poder Pd do grfico da amplitude

[ ]oooR

ennddLSCRPPdNMAF

2|)3(;1

32 ==+=>==

( o)

( 2o)

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Suponha que o desvio padro do processo dobre, passando deo para 1 = 2

=+>=

onn

ddWPPd |

23 32

Valor tabelado P[W < Wo] P[W > 2,46] = 1 - 0,586 = 0,414

Generalizando: quando o desvio padro de um processo sofre aumento de um

fator de, indo de para1 = , o poder do grfico dado por

=+>=

onn

ddWPPd |3 32

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Para = 2,0 (1 = 2) e n = 5 o valor de Pd = 0,41Com uma amostra menor, o valor de Pd cai

Para n = 2, Pd caiu 50%

Valores de Pd para diversos valores n, versus

So necessrias 5 amostras de

tamanho 2 ou 3 amostras de tamanho 4para detectar um aumento de 100% nodesvio-padro do processo ( = 2,0)

Grfico de NMA = 1/Pd versus

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A maioria das regras suplementares tem o propsito de acelerar a deteco dealteraes no processo.

Usando muitas regras suplementares, o grfico de controle passa a produzir muitosalarmes falsos e perde-se a credibilidade nesse dispositivo estatstico

GRFICO DE CONTROLE DE COM REGRAS SUPLEMENTARESx

Um sinal ocorre sempre que dentre os ltimos m pontos, ao menos L delesestejam entre e

m = 3; L = 2; a = 2 e b =

xo a +

xo b +

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