Métodos de FísicaTeórica II

São Cristóvão/SE2009

Osmar S. Silva Jr.

Hermeson Alves de Menezes

Elaboração de ConteúdoOsmar S. Silva Jr.

S586m Silva Jr, Osmar S. Métodos de física teórica II / Osmar S. Silva Jr. -- São Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD,

2009. 1. Física teórica. 2. Matemática. I. Título.

CDU 530.1::51

Copyright © 2009, Universidade Federal de Sergipe / CESAD.Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização por escrito da UFS.

FICHA CATALOGRÁFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRALUNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

Métodos de Física Teórica II

Capa

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECidade Universitária Prof. “José Aloísio de Campos”

Av. Marechal Rondon, s/n - Jardim Rosa ElzeCEP 49100-000 - São Cristóvão - SE

Fone(79) 2105 - 6600 - Fax(79) 2105- 6474

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a DistânciaCarlos Eduardo Bielschowsky

ReitorJosué Modesto dos Passos Subrinho

Vice-ReitorAngelo Roberto Antoniolli

Chefe de GabineteEdnalva Freire Caetano

Coordenador Geral da UAB/UFSDiretor do CESAD

Antônio Ponciano Bezerra

Vice-coordenador da UAB/UFSVice-diretor do CESADFábio Alves dos Santos

NÚCLEO DE MATERIAL DIDÁTICO

Hermeson Menezes (Coordenador)Edvar Freire CaetanoIsabela Pinheiro EwertonLucas Barros Oliveira

Diretoria PedagógicaClotildes Farias (Diretora)Hérica dos Santos MotaIara Macedo ReisDaniela Souza SantosJanaina de Oliveira Freitas

Diretoria Administrativa e Financeira Edélzio Alves Costa Júnior (Diretor)Sylvia Helena de Almeida SoaresValter Siqueira Alves

Coordenação de CursosDjalma Andrade (Coordenadora)

Núcleo de Formação ContinuadaRosemeire Marcedo Costa (Coordenadora)

Núcleo de AvaliaçãoGuilhermina Ramos (Coordenadora)Carlos Alberto VasconcelosElizabete SantosMarialves Silva de Souza

Núcleo de Serviços Gráfi cos e Audiovisuais Giselda Barros

Núcleo de Tecnologia da InformaçãoJoão Eduardo Batista de Deus AnselmoMarcel da Conceição Souza

Assessoria de ComunicaçãoGuilherme Borba Gouy

Neverton Correia da SilvaNycolas Menezes MeloTadeu Santana Tartum

Coordenadores de CursoDenis Menezes (Letras Português)Eduardo Farias (Administração)Haroldo Dorea (Química)Hassan Sherafat (Matemática)Hélio Mario Araújo (Geografi a)Lourival Santana (História)Marcelo Macedo (Física)Silmara Pantaleão (Ciências Biológicas)

Coordenadores de TutoriaEdvan dos Santos Sousa (Física)Geraldo Ferreira Souza Júnior (Matemática)Janaína Couvo T. M. de Aguiar (Administração)Priscilla da Silva Góes (História)Rafael de Jesus Santana (Química)Ronilse Pereira de Aquino Torres (Geografi a)Trícia C. P. de Sant’ana (Ciências Biológicas)Vanessa Santos Góes (Letras Português)

Jν

Nν

1

7

8

1y(x)

x y

x

(dy/dx)3 + 3xy2 = 9 ln x

y . y′′′ + 2x = −8

y + 2y + 1 = 0 .

dy

dx= y = y′ = y(1) .

ydy/dx d2y/dx2

y.y yky k

ky k

(ln x) y + x3 eπx y + 1 = 0

y + 2y = −1

x y + x2 y = sen x .

9

e−x2y = −2y

y + 2y − (2x + 1)y = 0

(cosx) y + (sen x) y = tg x y .

yky k

y = 0

y

3xy − (2x − 3) y + 3x = 2xx3−1

3xy − (2x − 3) y = 0

2 ln x y − x ln (x − 1) = 0 2 ln x y = 02 y + y + 1 = xy 2 y + y = xy

an y(n) + an−1 y(n−1) + . . . + a1 y′ + a0 y = 0

a0 a1 an

n

10

1n

n y1(x) y2(x) yn(x)

y =

n∑i=1

ci yi(x)

ci

yGH

yP

an y(n) + an−1 y(n−1) + . . . + a1 y′ + a0 y = b

yG = yGH + yP

y + ay = b .

y + ay = 0

dy

dx= −a y =⇒ dy

y= −a dx

ln y = −a x + C

11

y = A e−ax , A = eC = .

yGH = A e−ax .

yP = C = ,

yP + a yP = b =⇒ aC = b

C = b/a a �= 0 ayP = bx

yG = yGH + yP = A e−ax +b

a

a �= 0 a

yG = b x + D

D

y + ay + by = c .

12

1y + ay + by = 0 .

y = erx

r

y = r erx , y = r2 erx ,

erx(r2 + ar + b

)= 0

x

r2 + ar + b = 0 ,

r = −a

2±

√Δ

2, Δ = a2 − 4b .

Δ > 0r1 r2

r1 = −a

2+

√Δ

2,

r2 = −a

2−

√Δ

2,

er1x , er2x

yGH = C1 e(− a2+

√Δ2

)x + C2 e(− a2−

√Δ2

)x .

Δ = 0r1 = r2 = −a/2

er1x

13

x er1x

yGH = C1 e−ax2 + C2 x e−

ax2 .

Δ < 0r

r1 = −a

2+ i

√4b − a2 , r2 = −a

2− i

√4b − a2 ,

yGH = C1 e(− a2+i

√4b−a2)x + C2 e(− a

2−i

√4b−a2)x .

yGH

yGH = e−ax2

{C1 ei

√4b−a2x + C2 e−i

√4b−a2x

};

eiα = cos α + i sen α

yGH = e−ax2

{C1

[cos

√4b − a2x + i sen

√4b − a2x

]+

+C2

[cos

√4b − a2x + i sen (−

√4b − a2x)

]}= e−

ax2

{cos

√4b − a2x [C1 + C2]︸ ︷︷ ︸

=B1=

+

+sen√

4b − a2x [iC1 − iC2]︸ ︷︷ ︸=B2=

}

= B1 e−ax2 cos

√4b − a2x + B2 e−

ax2 sen

√4b − a2x .

yGH

yGH = e−ax2 D1 sen

(√4b − a2x + D2

),

sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β

14

1D1 D2

D1 =√

B12 + B2

2 , tg D2 =B1

B2.

y + ay + by = c .

b

yP =c

b;

b = 0 a �= 0

yP =cx

a;

a = b = 0

yP =cx2

2.

yG = yGH + yP .

y + P (x) y + Q(x) y = 0 ,

y1(x)

15

y2(x)

y1(x) y2(x)

W (x) =

∣∣∣∣ y1(x) y2(x)y1(x) y2(x)

∣∣∣∣ = y1 y2 − y1 y2 .

W = y1 y2 − y2 y1 = y1 (−P y2 − Q y2) − y2 (−P y1 − Q y1) .

y1(x) y2(x)

y1 + P (x) y1 + Q(x) y1 = 0 ,

y2 + P (x) y2 + Q(x) y2 = 0 ,

y1 y2

W = (−P ) (y1 y2 − y2 y1) = −P W

dW

dx= −P W

dW

W= −P dx

ln W = −∫

P dx + C

W = A e−R

P dx .

W

W = y12 d

dx

(y2

y1

)

16

1y1

2 d

dx

(y2

y1

)= A e−

RP dx

d

dx

(y2

y1

)=

1

[y1(x)]2A e−

RP dx

y2

y1

=

∫A e−

RP (x′) dx′

dx

[y1(x)]2+ B

y2(x) = y1(x)

∫A e−

RP (x′) dx′

[y1(x)]2dx

B = 0

y =

∞∑i=0

ai xk+i ,

k a0, a1, . . .

A(x) y + B(x) y + C(x) y = 0 ,

y + P (x) y + Q(x) y = 0 .

A(x) x = x0

P Q

P (x), Q(x) −→x→x0

∞ .

17

P (x) Q(x) x → x0 (x−x0) P (x)(x− x0)

2 Q(x) x0

P (x) Q(x) (x − x0) P (x) (x − x0)2 Q(x)

x → x0 x0

x2 y + x y + (x2 − n2) y = 0

y +1

xy + (1 − n2

x2) y = 0

x = 0

x = 0

18

1x2 y + x y + (x2 − n2) y = 0 .

y(x) = a0xk + a1x

k+1 + . . . =

∞∑i=0

ai xk+i

a0 a1 k

y(x)

y =∞∑i=0

(k + i) ai xk+i−1 ,

y =

∞∑i=0

(k + i − 1)(k + i) ai xk+i−2 .

d xn/dx = n xn−1

y y y

x2∑∞

i=0(k + i − 1)(k + i) ai xk+i−2 + x

∑∞i=0(k + i) ai x

k+i−1 +

+(x2 − n2)∑∞

i=0 ai xk+i = 0

x2∑∞

i=0(k + i − 1)(k + i) ai xk+i−2 + x

∑∞i=0(k + i) ai x

k+i−1 +

+x2∑∞

i=0 ai xk+i − n2

∑∞i=0 ai x

k+i = 0 .

x2 x

∑∞i=0(k + i − 1)(k + i) ai x

k+i +∑∞

i=0(k + i) ai xk+i +

+∑∞

i=0 ai xk+i+2 − n2

∑∞i=0 ai x

k+i = 0 .

19

{1, x, x2, x3, . . .}

A0 + A1x + A2x2 + A3x

3 + . . . = 0

A0 = A1 = A2 = A3 = . . . = 0 .

x

x xk i

Akxk + Ak+1x

k+1 + Ak+2xk+2 + . . . = 0

xAk Ak+1

xk+i i = 0, 1, 2, . . .xk xk+1 xk+2

xk+2

Ak

Ak+1 Ak+2

xxk

xk

xk

xi = 0

Ak = a0(k + 0)(k + 0 − 1) + a0(k + 0) − n2a0 = 0 .

Ak xk+2

20

1Ak

Ak = a0(k2 − n2) = 0

xk+1

Ak+1 = a1(k + 1)(k + 1 − 1) + a1(k + 1) − n2a1 = 0

Ak+1 = a1[(k + 1)2 − n2] = 0 .

Ak+2

k = +n k = −n a0 �= 0k = +n

k = −n k = n−1

a1 = 0 a0 �= 0k = +n a1 = 0 a0 �= 0 k = −n a1 = 0

k = ±n = ±1/2n

Ak+j j ≥ 2xk+2

k + i + 2 = k + j i + 2 = j i = j − 2

∞∑i=0

ai xk+i+2 =

∞∑j=2

aj−2xk+j .

i = j

∞∑j=2

(k + j − 1)(k + j) aj xk+j +∞∑

j=2

(k + j) aj xk+j +

+

∞∑j=2

aj−2 xk+j − n2

∞∑j=2

aj xk+j = 0 .

21

j2

i = 0 i = 1 Ak Ak+1

∞∑j=2

{(k + j − 1)(k + j) aj + (k + j) aj + aj−2 − n2aj

}xk+j = 0

{xk+2, xk+3, xk+4, . . .}

Ak+j = (k + j − 1)(k + j) aj + (k + j) aj + aj−2 − n2aj = 0 .

aj =−1

(k + j)2 − n2aj−2 (j ≥ 2)

a1 = 0j = 3

a3 =−1

(k + 3)2 − n2a3−2︸︷︷︸a1=0

= 0

a3 a1

a5 a3 a3 = 0 a5 = 0

a1 = a3 = a5 = . . . = 0 .

k = ±n

a0 �= 0 k = +n a1 = 0j = 2

a2 =−1

(n + 2)2 − n2a0 =

−1

2 (2 + 2n)a0 ;

22

1j = 4

a4 =−1

(n + 4)2 − n2a2 =

−1

4 (4 + 2n)

−1

2 (2 + 2n)a0

=(−1)2

4 2 (4 + 2n) (2 + 2n)a0 .

j = 6, 8, 10, . . .

a2j =(−1)j

[2j (2j − 2) . . . 2] [(2j + 2n) . . . (2 + 2n)]a0

a2j =(−1)j (2n)!! a0

(2j)!! (2j + 2n)!!

j = 1, 2, . . .6!! = 6.4.2 = 48

y(x) =

∞∑j=0

a2j x2j+n

=∞∑

j=0

(−1)j (2n)!! a0

(2j)!! (2j + 2n)!!x2j+n

= Jn(x)

Jn(x)

a0 �= 0 k = −n a1 = 0

y(x) =

∞∑j=0

a2j x2j−n

=∞∑

j=0

(−1)j (−2n)!! a0

(2j)!! (2j − 2n)!!x2j−n

= J−n(x)

23

y +1

x2y − a2

x2y = 0 ,

x = 0

k = 0

aj+1 =j(j − 1) − a2

j + 1aj .

∣∣∣∣aj+1

aj

∣∣∣∣ −→ 1

y − 6

x2y = 0 .

y(x) =

∞∑i=0

ai xk+i ,

∞∑i=0

(k + i − 1)(k + i) ai xk+i−2 − 6

∞∑i=0

ai xk+i−2 = 0

x i = 0

[k(k − 1) − 6]a0 = 0

24

1a0 �= 0 k = −2 k = 3i > 0

[(k + 1)k − 6]a1 = 0 =⇒ a1 = 0 ,

[(k + 2)(k + 1) − 6]a2 = 0 =⇒ a2 = 0 ,

y(x) =∞∑i=0

ai xk+i =︸︷︷︸

a1=a2=...=0

a0xk =

{a0x

−2

a0x3

(y)2 − 2xy = 0

x2y + xy + (x2 − n2)y = 0

x2y − 2x(y − 1) = 0

5y − 2y = 4 .

y(0) = 1

y − 2y + y = 2

y − y − 6y = 18

y − 2y + 2y = 0

y−6y+9y = 0y1(x) = e3x y1

xy + 5y = 8x3

25

y − 2y + 3y = 2x2 + 1

y − 12y − 3y = sen x

2y − y + 4y = 2e3x

y + ω2y = 0

k = 1 a1 = 0

07

(1 − x2) y − 2x y + �(� + 1) y = 0 .

yG = −2 + Ae+2x/5

y = −2 + 3e+2x/5

yG = 2 + c1 ex + c2 x ex

yG = −3 + c1 e−2x + c2 e+3x

yG = yGH = ex[c1 eix + c2 e−ix]y = xe3x

yP = Ax2 + Bx + C

1 x x2 A, B, Cy = A sen x + B cos x y = A e3x

26

1k a1

07 03

27