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Métodos Estocásticos da Engenharia ICapítulo 4 - Principais Modelos Contínuos

Prof. Magno Silvério Campos

2019/1

(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia I 2019/1 1 / 103

Bibliografia

Bibliografia

Essas notas de aulas foram baseadas nas seguintes obras:1 CAMPOS, M. A.; RÊGO, L. C.; MENDONÇA, A. F. Métodos Probabilísticos e Estatísticos com Aplicações

em Engenharias e Ciências Exatas. Rio de Janeiro: LTC, 2017.

2 CANCHO, V.G. Notas de Aulas sobre Noções de Estatística e Probabilidade. São Paulo: USP, 2010.

3 HINES, W.W.; et al. Probabilidade e Estatística na Engenharia. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.

4 MENDES, F. C. T. Probabilidade para Engenharias. Rio de Janeiro: LTC, 2010.

5 MEYER, P.L. Probabilidade: Aplicações à Estatística. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1983.

6 MONTGOMERY, D.C.; RUNGER, G.C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 6. ed. Riode Janeiro: LTC, 2016.

7 MORABITO, R. Modelos Probabilísticos Aplicados à Engenharia de Produção. 1. ed. São Carlos: Edufscar,2002.

Aconselha-se pesquisá-las para se obter um maior aprofundamento e ummelhor aproveitamento nos estudos.


Conteúdo Programático

Conteúdo Programático

1 Distribuição Uniforme Contínua2 Distribuição Exponencial3 Distribuição de Gama e Erlang4 Distribuição de Weibull5 Distribuição de Raleigh6 Distribuição do Valor Extremo7 Distribuição Normal8 Distribuição Lognormal9 Distribuição Logística10 Distribuição Loglogística (ou de Fisk)11 Distribuição de Pareto Contínua12 Ditribuição Beta13 Distribuição de Cauchy (ou de Lorentz)14 Distribuição de Laplace (ou Exponencial Dupla)15 Distribuição de Gompertz16 Distribuição Triangular


Principais Modelos Contínuos

Distribuição Uniforme Contínua

DefiniçãoUma VAC X tem distribuição uniforme com parâmetros α e β se sua funçãode densidade é dada por

f(x) =

{ 1β−α , α ≤ x ≤ β0, caso contrário.

A função da distribuição acumulada de uma variável aleatória uniforme con-tínua é:

F (x) =

0; x < α

x−αβ−α , α ≤ x < β

1, x ≥ β

Na figura a seguir, é mostrada a representação gráfica da função de densidadede probabilidade (figura a) e da função de distribuição acumulada da variávelaleatória uniforme contínua (figura b).



Fonte: Adaptado de [Cancho(2010)], p.84

NotaçãoA notação X ∼ U(α, β) é usada para indicar que X tem distribuição uni-forme no intervalo (α, β), com MX(t) = etβ−etα

t(β−α) , t 6= 0.

Média e Variância

(a) µ = E(X) = α+β2

(b) σ2 = V ar(X) = (β−α)2

12



Exemplo - [Montgomery e Runger(2016)]

Seja a variável aleatória contínua X a corrente medida em um fio delgadode cobre, em miliampéres. Considere que a faixa de X seja [0; 20 mA]. Qualé a probabilidade da medida da corrente estar entre 5 e 10 mA? Qual o valoresperado para a corrente e sua respectiva variância?



Distribuição Exponencial

DefiniçãoUma VAC X tem distribuição exponencial com parâmetro λ (constante realpositiva, que mostra o número médio de ocorrências por unidade de medida),se sua função densidade de probabilidade é dada por:

f(x) =

{λe−λx, x ≥ 0

0, x < 0

A função da distribuição acumulada de uma VAC exponencial com parâmetroλ é dada por:

F (x) =

{1− e−λx, x ≥ 0

0, x < 0



As figuras abaixo representam a função densidade de probabilidade e a funçãode distribuição acumulada de uma VAC exponencial:

λ

Fonte: Adaptado de [Cancho(2010)], p.84-85

NotaçãoA notação X ∼ Exp(λ) indica que a variável aleatória X tem distribuiçãoexponencial com parâmetro λ, com MX(t) = λ

λ−t , t < λ.

Média e Variância

(a) µ = E(X) = 1λ

(b) σ2 = V ar(X) = 1λ2



Exemplo - [Hines e outros(2006)]

Sabe-se que um componente eletrônico tem vida útil representada por umafdp exponencial, com taxa de falha de 10−5 falhas por hora.

Qual é o tempo médio para a falha desse componente?

Qual é a fração de tais componentes que falhariam antes da vidamédia esperada?



A relação da Distribuição Exponencial com a Distribuição dePoisson

A distribuição exponencial tem uma relação muito próxima com a distribuiçãode Poisson. Vejamos:

Seja um processo de Poisson, onde fixamos o tempo em algum valor t. Então,desenvolvemos a distribuição da variável aleatória X: número de ocorrênciasno intervalo [0, t]:

f(x) =e−µµx

x!

=e−λt(λt)x

x!, x = 0, 1, 2, 3, . . . (1)



Considere, agora, a probabilidade de nenhuma ocorrência em [0, t], isto é,

f(0) = e−λt

Esse resultado, também pode ser interpretado como a probabilidade de otempo da primeira ocorrência ser maior que t.Considerando esse tempo de ocorrência como uma variável aleatória T, ve-mos que:

f(0) = P (T > t) = e−λt, t ≥ 0.

Assim,

F (t) = P (T ≤ t) = 1− P (T > t) = 1− e−λt, t ≥ 0.

E como, f(t) = F ′(t), vem que:

f(t) = λe−λt, t ≥ 0. (2)

Que é a fdp exponencial!



Conclusão:Se o número de ocorrências segue uma distribuição de Poisson, como mos-trado em (1), então o tempo entre ocorrências sucessivas segue uma distri-buição exponencial, como descrito em (2)!

Por exemplo,Se o número de clientes que entram em uma agência bancária, em certointervalo de funcionamento desta, segue uma Distribuição de Poisson, entãoo tempo entre chegadas de clientes seguirá uma distribuição exponencial.

Observe que:

Uma variável é discreta (contagem) e a outra (tempo) é contínua.



Propriedade da falta de memória da distribuição exponencial

Considere no exemplo anterior, que um componente esteja funcionando a shoras sem falhar. Qual a probabilidade dele não falhar nas próximas t horas?

Propriedade da falta de memória

P (T > s+ t|T > s) = P (T > t)

Logo, a probabilidade de o componente não falhar nas próximas t horas,dado que ele não falhou nas primeiras s horas, é igual à probabilidade delenão falhar nas primeiras t horas (isto é, P (X > t)).

Note que a informação de que ele não falhou nas primeiras s horas podeser esquecida, e por isso dizemos que a Distribuição Exponencial “não temmemória”, sendo que ela é a única distribuição de VAC com essa propriedade.



Exemplo - [Cancho(2010)]

O tempo de vida (em horas) de um transistor é uma variável aleatória Tcom fdp:

f(t) =

{1

500e− t

500 , t ≥ 00, t < 0

(a) Qual é a média de vida do transistor?

(b) Qual é a probabilidade de que o tempo de vida seja maior do que amédia?

(c) Se um transistor já durou mais que 300 horas, qual é a probabilidadede que dure pelo menos outras 400 horas?



Distribuições Gama e Erlang

Considere o seguintes parâmetros:λ: constante real positiva, que mostra o número médio de ocorrênciaspor unidade de medida;r: número de ocorrências em um processo de Poisson.

Dizemos que uma VAC X tem distribuição Gama, com parâmetros λ e r, sesua fdp é dada por:

f(x) =

{λ

Γ(r)(λx)r−1e−λx, com r > 0, x > 0

0, caso contrário.

em que

Γ(r) =

∫ ∞0

xr−1e−xdx , para r > 0

é a chamada função Gama.(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia I 2019/1 15 / 103


Observação 1Pode ser mostrado que a integral na definição de Γ(r) é finita. Além disso,integrando por partes, pode ser mostrado que

Γ(r) = (r − 1)Γ(r − 1)

Assim, pode-se mostrar também que se r for um inteiro positivo, temos

Γ(r) = (r − 1)!

Alguns resultados interessantes:

Γ(1) = 0! = 1

Γ(1/2) =√π

A função gama pode ser interpretada como uma generalização para valoresnão-inteiros de r do termo (r − 1)!.



Observação 2Os parâmetros λ e r são frequentemente chamados de parâmetros de escala eforma, respectivamente. No entanto, devem-se verificar as definições usadasnos programas computacionais comerciais. Por exemplo, o MINITAB defineo parâmetro de escala como 1

λ .

Observação 3Esboços da distribuição gama para alguns valores de λ e r são mostrados nafigura a seguir.





A FDA da distribuição Gama é intratável analiticamente, mas é perfeita-mente obtida de softwares computacionais tais como, Excel e Minitab.

Notacão

X ∼ Gama(λ, r), com MX(t) = ( λλ−t)

r.

Média e Variância(a) µ = E(X) = r

λ

(b) σ2 = V ar(X) = rλ2



Distribuição de ErlangSe r for um número inteiro, então a distribuição Gama passa a ser chamadade Distribuição de Erlang. Neste caso, Γ(r) = (r − 1)! e a fdp anteriorpassa a ser dada por:

f(x) =

{λ

(r−1)!(λx)r−1e−λx, com r ∈ Z+, x > 0

0, caso contrário.

Integrando-se f(x) entre 0 e x, obtém-se a FDA de X dada por:

F (x) = P (X ≤ x) =

1−∑r−1

k=0e−λx(λx)k

k! , x > 0

0, caso contrário.

que corresponde ao complementar da soma de termos de Poisson com médiaλx.



Observação 1Note que a distribuição exponencial pode ser vista como o caso particularda distribuição de Erlang, quando r = 1.Observação 2A figura abaixo ilustra a forma da distribuição de Erlang para alguns valoresde r. Note que para r = 1, ela corresponde à distribuição exponencial.

Observação 3No limite r →∞, a distribuição de Erlang concentra toda a sua “massa decerteza” em torno de sua média E(X), ou seja, X passa a ser determinístico.



Relação entre a Distribuição de Erlang e a Distribuição ExponencialSeja a VAC X definida como a seguir:

X = X1 +X2 +X3 + . . .+Xr

em que cada uma das r VAC Xi é independente das demais e exponencial-mente distribuída com parâmetro λ.

Portanto, se cada Xi representa o tempo decorrido até ocorrer um sucesso,com

E(Xi) =1

λe σ2(Xi) =

1

λ2,

então a VAC X, com parâmetros λ e r, pode ser interpretada como temponecessário até ocorrerem r sucessos e,

E(X) =r

λe σ2(X) =

r

λ2.



Exemplo 1A duração de certa lâmpada é uma VAC exponencialmente distribuída commédia igual a 1.000 horas.

Quando uma lâmpada queima, ela é imediatamente substituída por outra.Qual a probabilidade da duração de 3 lâmpadas trocadas uma após a outra,ser menor ou igual a 2.000 horas?



Exemplo 2O tempo entre falhas de um laser em uma determinada máquina é distribuídoexponencialmente, com média de 25.000 horas.

1 Qual é o tempo esperado até que a segunda falha ocorra?

2 Qual é a probabilidade de que o tempo até a terceira falha exceda50.000 horas?



ExercícioMostre que Γ(r) = (r − 1)Γ(r − 1).



Observação 4

Quando λ = 12 e r é igual a um dos valores 1

2 , 1, 32 , 2, 5

2 , 3, 72 , 4, . . ., a

distribuição Gama passa a ser denominada de Distribuição Qui-Quadrado.



Distribuição de Weibull e de Raleigh

IntroduçãoA distribuição de Weibull tem sido aplicada amplamente a vários fenômenosaleatórios. Uma importante área de aplicação tem sido como modelo para otempo de falha de componentes e sistemas elétricos e mecânicos.

Uma VAC X possui distribuição de Weibull se sua fdp é dada por:

f(x) =

βδ (x−γδ )β−1e[−(x−γ

δ)β ], x > γ

0, caso contrário.

em que:β > 0 é chamado parâmetro de forma;δ > 0 é chamado parâmetro de escala;−∞ < γ <∞ é chamado parâmetro de localização;(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia I 2019/1 27 / 103


A FDA de X é dada por

F (x) =

1− e[−(x−γδ

)β ], x > γ

0, caso contrário.

Notação

X ∼ Weibull(β, δ, γ), com E(Xk) = δKΓ(kβ + 1

), já que MX(t) não

possui uma forma fechada.

Média e Variância

(a) µ = E(X) = γ + δΓ(1 + 1β )

(b) σ2 = V ar(X) = δ2{Γ(1 + 2β )− [Γ(1 + 1

β )]2}



Frequentemente, assume-se γ = 0. Logo, a fdp passa a ser escrita como

f(x) =

βδ (xδ )β−1e[−(x

δ)β ], x > 0

0, caso contrário.

A FDA de X passa a ser

F (x) =

1− e[−(xδ

)β ], x > 0

0, caso contrário.

e,

(a) µ = E(X) = δΓ(1 + 1β )

(b) σ2 = V ar(X) = δ2{Γ(1 + 2β )− [Γ(1 + 1

β )]2}



Observação 1A flexibilidade da distribuição de Weibull é ilustrada na figura abaixo:

Observação 2Note que quando γ = 0 e β = 1 a distribuição de Weibull se reduz àdistribuição exponencial com λ = 1

δ .Nota:Embora a distribuição exponencial seja um caso especial das distribuições Gama e Weibull, as distribuições Gamae Weibull não são, em geral, permutáveis.



Distribuição de RaleighQuando γ = 0 e β = 2, a distribuição de Weibull é denominada DistribuiçãoRaleigh. Conseqüentemente, teremos:

f(x) =

2δ (xδ )e[−(x

δ)2], x > 0

0, caso contrário.

F (x) =

1− e[−(xδ

)2], x > 0

0, caso contrário.e,

(a) µ = E(X) = δΓ(32)

(b) σ2 = V ar(X) = δ2{Γ(2)− [Γ(32)]2}



Exemplo 1 - [Hines e outros(2006)]

Sabe-se que a distribuição do tempo de falha para submontagens eletrônicastem densidade de Weibull com γ = 0, β = 1

2 e δ = 100.1 Qual é a fração que se espera que sobreviva a 400 horas?

2 Qual é o tempo médio para falha?



Exemplo 2 - [Montgomery e Runger(2016)]

O tempo de falha (em horas) de um mancal em um eixo mecânico é satis-fatoriamente modelado como uma variável aleatória de Weibull, com γ = 0,β = 1

2 e δ = 5000 horas.1 Qual é o tempo médio para falha desse mancal?

2 Qual é a probabilidade de uma mancal durar no mínimo 6000 horas?



Distribuição do Valor Extremo

Essa distribuição é utilizada para modelar valores extremos de certas variá-veis, que podem ser mínimos ou máximos. Assim, temos duas possibilidades:

Distribuição do Menor Valor Extremo (ou de Gumbel)Distribuição do Maior Valor Extremo



[1] - Distribuição do Menor Valor Extremo (ou de Gumbel)

É indicada para modelar o valor mínimo a partir de uma distribuição de ob-servações aleatórias, descrevendo fenômenos extremos, como a temperaturamínima ou a precipitação durante uma seca.

Essa distribuição surge quando se toma o logaritmo natural de uma variávelcom distribuição de Weibull. Isto é, se a variável W tem uma distribuiçãode Weibull com fdp igual a f(w), então a variável X = ln(w) tem umadistribuição do menor valor extremo com a seguinte fdp:

f(x) =1

θe

[(x−ξθ )−e(

x−ξθ )

], −∞ < x <∞, −∞ < ξ <∞, θ > 0

com θ = 1β e ξ = ln(δ).

NotaçãoX ∼ V E(inf)(ξ, θ)



A FDA é dada por:

F (x) = 1− e

[−e(

x−ξθ )

]

Média e Variância(a) E(X) = ξ − νθ(b) V ar(X) = π2θ2

6 ,

sendo ν = 0, 5772 . . . , conhecida como constante de Euler.



A figura abaixo ilustra distribuições de Menor Valor Extremo para valoresselecionados dos parâmetros ξ e θ:

Observe que: a distribuição tem assimetria negativa.



ExemploConsidere que a temperatura de operação para um determinado processoindustrial possa ser modelada através de uma distribuição do Menor ValorExtremo, com parâmetros ξ = 30 oC e θ = 2. Valores de temperaturaabaixo de 20 oC são raros, porém quando acontecem, inviabilizam o processo.Deternine a probabilidade disso ocorrer, bem como a temperatura média doprocesso.



[2] - Distribuição do Maior Valor Extremo

É indicada para modelar o valor máximo a partir de uma distribuição deobservações aleatórias, descrevendo fenômenos extremos, como velocidadesde vento extremas, perdas altas de seguro e os níveis de água em um rio.

A variável X tem uma distribuição do maior valor extremo se sua fdp é dadapor:

f(x) =1

αe

[−(x−ρα )−e

−(x−ρα )], −∞ < x <∞, −∞ < ρ <∞, α > 0

NotaçãoX ∼ V E(sup)(ρ, α)



A FDA é dada por:

F (x) = e

[−e−(x−ρα )

]

Média e Variância(a) E(X) = ρ+ να

(b) V ar(X) = π2α2

6 ,

sendo ν = 0, 5772 . . . , conhecida como constante de Euler.



A figura abaixo ilustra distribuições de Maior Valor Extremo para valoresselecionados dos parâmetros ρ e α:

Observe que: a distribuição tem assimetria positiva.



ExemploConsidere que valores altos de perda financeira por uma operadora de seguroveicular possam ser modelados através de um distribuição do Maior Valor Ex-tremo, com parâmetros ρ = R$ 100.000 e α = 2. Determine a probabilidadede ocorrerem perdas acima do valor médio para essa seguradora.



Distribuição Normal ou Gaussiana (“De Moivre”)

IntroduçãoA Distribuição Normal é, sob muitos aspectos, a pedra angular da estatística.Indubitavelmente, o modelo mais utilizado para a distribuição de uma variávelaleatória é a distribuição normal.

Uma VAC X tem distribuição normal, com média µ (−∞ < µ < ∞) evariância σ2, se tem a seguinte fdp:

f(x) =1

σ√

2πe−

12

(x−µσ

)2, −∞ < x <∞.

Denotação

X ∼ N(µ, σ2), com MX(t) = e[tµ+σ2t2

2].

(a) E(X) = µ

(b) V ar(X) = σ2



A fdp normal pode ser esboçada conforme a figura abaixo:

Fonte: Adaptado de [Montgomery e Runger(2016)], p.97

Propriedades1∫∞−∞ f(x)dx = 1;

2 f(x) ≥ 0;

3 limx→±∞ f(x) = 0;

4 f(µ+ x) = f(µ− x)⇒ a função é simétrica em torno de µ;5 O máximo de f(x) ocorre em x = µ;6 Os pontos de inflexão estão em x = µ± σ.



A figura abaixo ilustra fdp’s normais com valores selecionados de µ e σ2:

FDA normalA FDA normal de X é dada por

F (x) = P (X ≤ x) =

∫ x

−∞

1

σ√

2πe−

12

( t−µσ

)2dt



Alguns resultados úteis relativos à curva normal são apresentados abaixo:

Fonte: [Montgomery e Runger(2016)], p.97

Ou seja, para qualquer variável aleatória normal X,

P (µ− σ < X < µ+ σ) = 0, 6827

P (µ− 2σ < X < µ+ 2σ) = 0, 9545

P (µ− 3σ < X < µ+ 3σ) = 0, 9973

Além disso, P (X < µ) = P (X > µ) = 0, 5.(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia I 2019/1 46 / 103


Exemplo 1 - (Adaptado de [Montgomery e Runger(2016)])

Suponha que as medidas da corrente em um pedaço de fio sigam a distri-buição normal, com uma média de 15 miliampéres e uma variância de 9(miliampres)2. Qual é a probabilidade da medida exceder 17 miliampéres?

Seja X a corrente em miliampéres. Logo, a probabilidade requerida é dadapor P (X > 17) e é mostrada como a área sombreada sob a fdp normal dafigura abaixo:

P (X > 17) =

∫ ∞17

f(x)dx =

∫ ∞17

1

σ√

2πe−

12

(x−µσ

)2dx

Infelizmente, não há uma expressão exata para a integral de uma fdp normal.Métodos numéricos são requeridos.



Alternativamente, a probabilidade requerida anteriormente pode ser expressaem termos da FDA de X da seguinte maneira:

P (X > 17) = 1− P (X ≤ 17) = 1− F (17) = 1−∫ 17

−∞

1

σ√

2πe−

12

( t−µσ

)2dt

Também é impossível avaliar essa integral sem se recorrer a métodos numé-ricos e mesmo assim, a avaliação teria de ser feita para cada par (µ, σ2)!

Nos próximos slides serão apresentadas maneiras de se calcular probabilidadesnormais.



Variável aleatória normal padrão

Uma variável aleatória normal com µ = 0 e σ2 = 1 e com fdp

ϕ(z) = f(z) =1√2πe−

12

(z)2, −∞ < z <∞.

é chamada de VA normal padrão e é denotada por Z ∼ N(0, 12).

A FDA de uma variável aleatória normal padrão é denotada por

Φ(z) = F (z) = P (Z ≤ z)

A figura abaixo ilustra o cálculo de FDA’s normais:Φ(z) = P (Z ≤ z) =

∫ z−∞

1√2πe− 1

2(u)2

du

Fonte: Adaptado de [Montgomery e Runger(2016)], p.97



Exemplo 2 - [Montgomery e Runger(2016)]

Para a variável aleatória normal padrão em cada item a seguir, calcule aprobabilidade requerida.

a) P (Z > 1, 26)

b) P (Z < −0, 86)



c) P (Z > −1, 37)

d) P (−1, 25 < Z < 0, 37)

e) P (Z < −4, 6)



d) Encontre o valor de z tal que P (Z > z) = 0, 05

e) Encontre o valor de z tal que P (−z < Z < z) = 0, 99

f) P (Z > 7)



ObservaçãoOs exemplos precedentes mostram como calcular as probabilidades para asvariáveis aleatórias normais padrões, isto é, para Z ∼ N(0, 12).

No entanto, usar a mesma abordagem para um variável aleatória normalarbitrária necessitaria uma tabela em separado para cada par possível devalores de µ e σ!

Felizmente, uma simples transformação numa VAC X normal, faz com queos cálculos sejam independentes de µ e σ. Essa idéia é explicitada a seguir:



Padronizando uma variável aleatória normal

Se X é uma variável aleatória normal com E(X) = µ e V (X) = σ2, entãoa variável aleatória

Z =X − µσ

é uma variável aleatória normal, com E(Z) = 0 e V (Z) = 1. Ou seja, Z éuma variável aleatória normal padrão.

Ao fazer essa transformação em X, dizemos que estamos padronizando X.



A partir da padronização da variável aleatóriaX, podemos escrever e calculara FDA de X como a seguir:

F (x) = P (X ≤ x) =

∫ x

−∞

1

σ√

2πe−

12

(x−µσ

)2dx =

P (X ≤ x) = P (X − µσ

≤ x− µσ

) =

P (Z ≤ z) = Φ(z) =

∫ z

−∞ϕ(z)dz =∫ z

−∞

1√2πe−

12

(z)2dz =

∫ x−µσ

−∞

1√2πe−

12

(x−µσ

)2dx =

Φ(x− µσ

)



Exemplo 3

Suponha que X ∼ N(100, 22). Calcule P (X ≤ 104).

Observação

Note que na relação z = x−µσ , a variável z mede o afastamento de x em

relação à média µ, em unidades de desvio padrão.

Por exemplo, calculamos acima que F (104) = Φ(+2). Logo, x = 104 estádois desvios-padrão acima da média, sendo neste exemplo σ = 2. Em geral,

x = µ+ σz.




A força de ruptura (em Newtons) de uma tela sintética é denotada por X etem distribuição N(800, 144).

O comprador da tela exige que ela tenha uma força de, pelo menos, 772N. Uma amostra da tela é selecionada aleatoriamente e testada. Qual é aprobabilidade de atender as exigências?




O diâmetro primitivo da rosca em uma conexão é X ∼N(0, 4008 cm 0, 00042 cm2). As especificações do projeto são0, 4000± 0, 0010 cm.

Desejamos determinar que fração do produtos que está dentro da tolerância.



Continuação do exemplo 5Quando os engenheiros do processo estudam os resultados de tais cálculos,decidem substituir uma ferramenta de corte usada e ajustar a máquina queproduz as conexões, de modo que a nova média cai diretamente para o valornominal de 0,4000.

Determine a nova fração do produtos que está dentro da tolerância.



Propriedade Reprodutiva da Distribuição Normal

Teorema: Sejam X1, X2, . . . , Xn variáveis aleatórias independentes ondeXi ∼ N(µi, σ

2i ) para i = 1, 2, . . . , n e sejam a0, a1, . . . , an contantes reais.

Seja a VA Y uma combinação linear das variáveis aleatórias normaisX1, X2, . . . , Xn. Isto é,

Y = a0 + a1X1 + a2X2 + a3X3 + . . .+ anXn.

Então, a VA Y tem distribuição normal com média e variâncias dadas por

µy = a0 + a1µ1 + a2µ2 + a3µ3 + . . .+ anµn = a0 +

n∑i=1

aiµi

σ2Y = a2

1σ21 + a2

2σ22 + a2

3σ23 + . . .+ a2

nσ2n =

n∑i=1

a2iσ

2i .



Teorema do Limite Central - enunciado 1

Se uma VA Y puder ser descrita como a soma de quaisquer outras n variáveisaleatórias independentes X1, X2, . . . , Xn, cada uma com pequena contribui-ção para o valor de Y , então para n suficientemente grande, essa soma Yterá distribuição normal. Ou seja,

Se X1, X2, . . . , Xn são variáveis aleatória independentes, cada uma com

E(Xi) = µi e σ2(Xi) = σ2

i ,

então para n→∞, a soma

Y = X1 +X2 + . . .+Xn

tem distribuição normal, isto é Y ∼ N(∑n

i=1 µi,∑n

i=1 σ2i ).



Exemplo 6 - [Morabito(2002)]

São fabricadas peças sem defeito com probabilidade p = 0, 95. Qual aprobabilidade de termos no mínimo 80 peças sem defeito em um lote de 100peças?



Exemplo 7 - [Morabito(2002)]

5000 peças são embaladas em caixas. Os pesos das peças são variáveisaleatórias independentes, com µi = 0, 5 libra e σ = 0, 10 libra. Calcule aprobabilidade de que as peças na caixa excederão 2510 libras.



Distribuição Lognormal

IntroduçãoVariáveis em um sistema seguem, algumas vezes, uma relação exponencialcomo x = ew.

Se o expoente for uma variável aleatória, isto é W , então X = eW será umavariável aleatória e está-se interessado na distribuição de X.

Um importante caso especial ocorre quandoW tem uma distribuição normal.Nesse caso, a distribuição de X é chamada de Distribuição Lognormal.

O nome é proveniente da transformação

ln(X) = ln(eW ) = W, com X > 0.

Ou seja, o logaritmo natural de X é normalmente distribuído.



Suponha que W seja normalmente distribuída, com média µ e variânciaσ2.Então, a FDA para X é dada por

F (x) = P (X ≤ x) = P (eW ≤ x) = P (W ≤ ln(x)) =

P (Z ≤ ln(x)− µσ

) = Φ(ln(x)− µ

σ)

com x > 0, Z ∼ N(0, 12) e F (x) = 0 para x ≤ 0.



Portanto, seja W ∼ N(µ, σ2). Então, X = eW é uma variável aleatórialognormal com fdp

f(x) =1

xσ√

2πe−

12

(ln(x)−µ

σ)2, 0 < x <∞.

Atenção:µ e σ se referem à variável aleatória W .

Notação

X = eW ∼ LN(µ, σ2)

Média e variância

(a) E(X) = eµ+σ2

2

(b) V ar(X) = e(2µ+σ2)(eσ2 − 1)



A figura abaixo ilustra distribuições lognormais para valores selecionados dosparâmetros:



Exemplo - [Montgomery e Runger(2016)]

O tempo de vida de um laser semicondutor tem uma distribuição lognormal,com µ = 10 horas e σ = 1, 5 hora.

1 Qual é a probabilidade do tempo de vida exceder 10.000 horas?

2 Qual o tempo de vida que é excedido por 99% dos lasers?

3 Determine a média do tempo de vida.





Distribuição Logística

Essa distribuição é indicada para variáveis que tenham distribuições simétri-cas, porém com caudas mais pesadas do que a distribuição normal.

A fdp de X é dada por:

f(x) =e−(x−ξθ )

θ[1 + e−(x−ξθ )

]2 , −∞ < x <∞, −∞ < ξ <∞, θ > 0

NotaçãoX ∼ Log(ξ, θ)



A FDA é dada por:

F (x) =1

1 + e−(x−ξθ )

Média e Variância(a) E(X) = ξ

(b) V ar(X) = π2θ2

3 ,



A figura abaixo ilustra distribuições Logística para valores selecionados dosparâmetros ξ e θ:

Observe que:A distribuição é simétrica em torno de ξ;A distribuição tem caudas mais pesadas que a distribuição normal.



ExemploConsidere que o tempo necessário para se concluir um determinado projetode engenharia possa ser modelado através de uma distribuição Logística,com parâmetros ξ = 400 horas e θ = 36. Determine a probabilidade desseprojeto ultrapassar o deadline de 500 horas.



Distribuição Loglogística (ou de Fisk)

Essa distribuição surge quando se toma o logaritmo natural de uma variávelcom distribuição Logística. Isto é, se a variável W tem uma distribuiçãoLogística com fdp igual a f(w), então a variável X = ln(w) tem umadistribuição Loglogística com a seguinte fdp:

f(x) =1

θ(x− λ)

e−(ln(x−λ)−ξ

θ

)[1 + e

−(ln(x−λ)−ξ

θ

)]2 , x > λ, θ > 0

A distribuição loglogística é utilizada, por exemplo, em modelos de cresci-mento e para modelar respostas binárias em aplicações de bioestatística eeconomia.

NotaçãoX ∼ Loglog(ξ, θ, λ)



A FDA é dada por:

F (x) =1

1 + e−(ln(x−λ)−ξ

θ

)

Média e Variância

(a) E(X) = e(ξ)Γ(1 + θ)Γ(1− θ) + λ, θ < 1

(b) V ar(X) = e(2ξ)[Γ(1 + 2θ)Γ(1− 2θ)− Γ2(1 + θ)Γ2(1− θ)

], θ < 1/2



A figura abaixo ilustra distribuições Loglogísticas para valores selecionadosdos parâmetros ξ, θ e λ:



ExemploUm determinada carteira de investimentos financeiros possui retornos per-centuais modelados segundo uma distribuição Loglogística, com parâmetrosξ = 0, θ = 0, 4 e λ = 0, 7. Determine o rendimento médio e o desvio-padrãopara essa carteira.





Distribuição de Pareto Contínua

A distribuição de Pareto Contínua é útil para modelar variáveis aleatóriasque apresentam o comportamento de caudas pesadas (heavy tails), isto é,para situações onde a grande maioria dos dados fica numa faixa estreita devariação e uma proporção não desprezível tem valores ordens de grandezamaior que o valor esperado da variável.

São exemplos dessas variáveis: distribuição de renda, perdas em alguns tiposde suguros, atrasos em transmissão de dados na internet, entre outras.



Uma variável X possui Ditribuição de Pareto Contínua, com parâmetrosx0 > 0 e α > 0, se sua fdp é dada por:

f(x) =

{αxα0

1x(α+1) , x0 > 0, α > 0, x ≥ x0

0, caso contrário

NotaçãoX ∼ Pareto(α, x0)

Função de Distribuição Acumulada

F (x) =

{1−

(x0x

)α, se x ≥ x0

0, se x < x0



Média e Variância

E(x) =

{αα−1x0, se α > 1

∞, se 0 < α ≤ 1

V ar(x) =

{α

(α−1)2(α−2)x2

0, se α > 2

∞, se 0 < α ≤ 2

A figura abaixo ilustra distribuições de Pareto para valores selecionados dosparâmetros x0 e α:



ExemploSuponha que a renda de uma determinada população possa ser modeladapor uma distribuição de Pareto Contínua, com parâmetros α = 1, 5 e x0 =R$ 500. Determine:

A probabilidade de se obter rendas maiores que R$ 15 mil;A renda média dessa população;O percentual de rendas menores que a média.





Distribuição Beta

A distribuição Beta é utilizada para representar variáveis limitadas a umintervalo [a, b].

São exemplos dessas variáveis: proporção de salários pagos em relação aocusto total de uma empresa; razão entre o comprimento do ante-braço eo braço; a proporção requerida por uma atividade específica em relação aotempo máximo de um determinado projeto; entre outras. Observe que,nestes casos, as variáveis assumem valores no intervalo contínuo [0, 1].



Uma variável X ∈ [a, b] possui distribuição Beta, com parâmetros α > 0 eβ > 0, se sua fdp é dada por:

f(x) =

{Γ(α+β)

Γ(α)Γ(β)(x−a)α−1(b−x)β−1

(b−a)α+β−1 , a ≤ x ≤ b, α > 0, β > 0

0, caso contrário

NotaçãoX ∼ beta(α, β)

Média e VariânciaPara o caso onde X ∈ [0, 1], temos:

E(x) =α

α+ β

V ar(x) =αβ

(α+ β)2(α+ β + 1).



A distribuição Beta não possui uma fórmula fechada para F (X), necessi-tando ser definida através de métodos numéricos.

A figura abaixo ilustra distribuições Beta para valores selecionados dos pa-râmetros α e β:

Observe que:

Quando α = β = 1, a função Beta se reduz ao caso da distribuição contínua Uniforme;

Quando α = β, a função é simétrica ao redor de 1/2, aumentando a probabilidade ao redor desse valor àmedida que a(= b) cresce;

Quando α < β, a função é assimétrica à direita;

Quando α > β, a função é assimétrica à esquerda.(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia I 2019/1 86 / 103


Exemplo - Adaptado de [Montgomery e Runger(2016)]

Considere o tempo para completar uma certa etapa de um projeto urbano. Arazão desse tempo em relação ao tempo total do projeto pode ser modeladapor uma distribuição Beta, com parâmetros α = 2, 5 e β = 1. Qual é aprobabilidade dessa razão exceder 0,7?



Distribuição de Cauchy (ou Lorentz)

Muitas vezes, é útil analisar a razão entre duas variáveis normais padrão eindependentes entre si. O resultado dessa razão fica bem modelado por umadistribuição de Cauchy-Lorentz, nome dado em homenagem aos pesquisado-res Augustin-Louis Cauchy e Hendrik Lorentz.

Uma variável X tem distribuição de Cauchy com parâmetros α (localização)e β (escala) se sua fdp é dada por

f(x) =

1

πβ

[1+(x−αβ

)2] , −∞ < x <∞, −∞ < α <∞, β > 0

0, caso contrário



NotaçãoX ∼ Cauchy(α, β)

A FDA de X é dada por:

F (x) =

{12 + 1

πarctan(x−αβ

), −∞ < x <∞, −∞ < α <∞, β > 0

0, caso contrário

Média e VariânciaA distribuição de Cauchy pode ser considerada uma distribuição patológica,pois ela não apresenta nem média e nem variância.



A figura abaixo ilustra distribuições de Cauchy para valores selecionados dosparâmetros α e β:

Observe que: a distribuição de Cauchy, assim como no caso da distribuiçãoNormal, também é representada por uma curva em forma de sino. No en-tanto, no caso da distribuição de Cauchy, as caudas se aproximam de zeromais lentamente.



ExemploSeja considerar que a razão entre o comprimento e o diâmetro de determinapeça metálica possa ser modelada por uma distribuição de Cauchy, comparâmetros α = 10 e β = 1. Determine a probabilidade dessa razão estarcompreendida entre 7 e 8.



Distribuição de Laplace (ou Exponencial Dupla)

Pode ser utilizada quando a distribuição dos dados tiver mais picos do quea distribuição normal. Exemplos de aplicação são mais comuns em biologiae finanças.

A fdp de X é dada por:

f(x) =1

2be−(|x−a|b

), −∞ < x <∞, −∞ < a <∞, b > 0

A distribuição Laplace também é conhecida como a distribuição exponencialdupla, porque é composta por duas distribuições exponenciais, uma positivae outra negativa.

NotaçãoX ∼ Laplace(a, b)



A FDA de X é dada por:

F (x) =

{12e

(x−ab ), x ≤ a1− 1

2e−(x−ab ), x > a

Média e Variância(a) E(X) = a

(b) V ar(X) = 2b2



A figura abaixo ilustra distribuições de Laplace para valores selecionados dosparâmetros a e b:

Observe que: a distribuição de Laplace apresenta curtose maior que 0 (lep-tocúrtica).



ExemploConsidere que o retorno financeiro de dado investimento possa ser modeladode acordo com um distribuição de Laplace, com parâmetros a = R$ 1 milhãoe b = 1. Calcule a probabilidade do retorno ser superior a R$ 1 milhão.



Distribuição de Gompertz

Essa distribuição é muito indicada para modelar o tempo de vida a partir dos22 anos, possuindo importantes aplicações no mercado de seguros.

Sua fdp é dada por:

f(x) = bcxe−[b(cx−1)log(c)

], x > 0, b > 0 e c > 1

O parâmetro b possui um valor típico em torno de 1, 02× 10−4. Já para c,um valor usual é 1, 09.

NotaçãoX ∼ Gompertz(b, c)



A FDA é dada por:

F (x) = 1− e[−b(cx−1)log(c)

]



A figura abaixo ilustra a distribuição de Gompertz para os parâmetros b =1, 02× 10−4 e c = 1, 09:

Fonte: Adaptado de [Assuncao(2017)], p.221



ExemploConsidere que uma seguradora esteja utilizando a distribuição de Gompertzpara modelar o tempo de vida de seus clientes. Para isso, ela definiu osseguintes valores de parâmetros: b = 1, 02 × 10−4 e c = 1, 09. Calcule aprobabilidade de um indivíduo qualquer dessa população, apresentar tempode vida inferior a 40 anos.



Distribuição Triangular

É indicada para descrever uma variável com amostra limitada.

Exemplos de aplicação são mais comuns quando se modela o risco de umnegócio e processos estocásticos. Por exemplo, amostrar custos de produçãode um nova aeronave é difícil. No entanto, é possível estimar os custosmínimos, máximos, e mais prováveis (moda) de produção.A fdp é dada por:

f(x) =

{2(x−a)

(b−a)(c−a) , a ≤ x ≤ c2(b−x)

(b−a)(b−c) , c ≤ x ≤ b,

onde a é o valor mínimo, c é a moda e b é o valor máximo.

NotaçãoX ∼ 4(a, c, b)



A FDA é dada por:

F (x) =

{(x−a)2

(b−a)(c−a) , a ≤ x ≤ c1− (b−x)2

(b−a)(b−c) , c < x ≤ b,

Média e Variância

(a) E(X) = 13(a+ b+ c)

(b) V ar(X) = 118(a2 + b2 + c2 − ab− ac− bc)



A figura abaixo ilustra a distribuição Triangular para valores diferentes dosparâmetros a, b e c:



ExemploConsidere que os custos de armazenagem para certo item possam ser mo-delados através de uma distribuição Triangular, com valor mínimo de R$1.000, máximo de R$ 1.500 e moda de R$ 1.200. Calcule a probabilidadedesse custo estar comprrendido entre R$ 1.100 e R$ 1.300.



Assuncao, R., 2017. Fundamentos estatísticos de ciência dos dados -voltado para aplicações -Belo Horizonte: UFMG.

Cancho, V., 2010. Notas de aulas sobre noções de estatística eprobabilidade - São Paulo: USP.

Hines, W., outros, 2006. Probabilidade e Estatística na Engenharia.Rio de Janeiro: LTC.

Montgomery, D., Runger, G., 2016. Estatística Aplicada eProbabilidade para Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC.

Morabito, R., 2002. Modelos Probabilísticos Aplicados à Engenharia deProdução. São Carlos: Edufscar.


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