Métodos Numéricos de Solução EDO

Gracielle Araújo

1 - Introdução

Desde o século XVII

Introduzido por Leibniz e Newton

Leibniz : determinou em 1691 a técnica de separação de variáveis ao solucionar a equação diferencial

Newton: adotou o desenvolvimento da parte direita da sua "equação de fluxo" em uma série de potências (série infinita), com coeficientes a determinar.

Basicamente três abordagens podem ser utilizadas independente, ou conjuntamente, para a solução de problemas regidos por equações diferenciais, a experimental, a analítica ou a computacional (Tanehill, Andersen e Pletcher, 1997).

Na abordagem experimental, um modelo físico deve ser construído.

Na abordagem analítica, simplificações teóricas são adotadas objetivando tornar os problemas complexos tratáveis, e se possível adotar uma solução fechada para o problema.

Na abordagem computacional é desenvolvido um limitado número de simplificações características do modelo em estudo.

Conceitualmente os métodos numéricos são procedimentos matemát icos, de apl icação otimizada para emprego computacional, por meio de implementação em códigos que obedeçam a algoritmos lógicos, no qual buscam obter a solução de um problema de caráter científico através de aproximações numéricas sucessivas.

Devem obedecer a uma rotina de:

Análise e modelagem do problema;

a determinação das relações matemáticas entre variáveis funções e condicionantes desse problema;

a execução de testes de validação e aperfeiçoamento do algoritmo/código de solução.

2-Definições GeraisAs Equações Diferenciais são classificadas quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.

Tipo

Uma equação diferencial pode ser ordinária ou parcial. É ordinária (EDO) se as funções icógnitas forem funções de somente uma variável:

F(x,y,y’,y'',…)=0

O y está em função de x. É parcial se as funções icógnitas forem funções de duas ou mais variáveis.

Ordem

Uma equação diferencial é de se a derivada de maior grau for de ordem n.

Linearidade

É linear se as icógnitas e suas derivadas aparecem de forma linear na equação. Por exemplo, uma EDO é linear se:

a0(x)y+a1(x) y’+a2(x) y’’+…⋯+an(x)y(n)=f(x)

As EDOs que não são possível ser representadas nesta forma são não lineares.

Quando um determinado problema, além de uma equação diferencial que o descreve, tiver ainda que seguir certas condições iniciais, estabelecidas pelo problema, para um mesmo valor da var iável independente, dizemos que temos um problema de valor inicial (PVI).

Teorema (Existência e unicidade)

Podemos estender este teorema para,

Em problemas envolvendo EDO de ordem m, com m≥2 em que as m condições fornecidas para a busca única não são todas dadas em um mesmo ponto então temos um problema de valor de contorno (PVC).

A solução numérica de uma EDO é formado por um conjunto de pontos discretos que representam a função y(x) de forma aproximada.

3 - Métodos Numéricos

Dado,

vamos construir x1,x2 , …,xn, que aqui vamos considerar igualmente espaçados ou seja,

h=xi+1- xi

onde i=0,1,…,n e calculemos yi é aproximadamente y(xi) nestes pontos, usando informações anteriores.

Se para obter yi usamos:

yi-1

Método passo simples ou passo um.

Mais valores: yi-1,yi-2 …

Método passo múltiplo.

No métodos de passo simples ou de passo um a solução do ponto seguinte é calculada a partir da solução conhecida no ponto atual.

No métodos de multipassos a idéia é que o valor da função em vários pontos anteriores possa fornecer uma melhor estimativa para a tendência da solução.

A idéia é que o valor da função em vários pontos anteriores possa fornecer uma melhor estimativa para a tendência da solução.

Dois tipos de métodos, explícito e implícito, também podem ser usados no cálculo da solução em cada passo. A diferença entre esses métodos está no procedimento usado na solução.

Métodos explícitos são aqueles que usam uma fórmula explícita para calcular o valor da variável dependen te no p róx imo va lo r da va r i áve l independente.

Em uma fórmula explícita, o lado direito da equação tem apenas grandezas conhecidas. Assim para encontrar yi+1

yi+1=F(xi,xi+1,yi)

onde xi,xi+1,yi são valores conhecidos.

Métodos implícitos a equação usada para calcular yi+1 a partir dos valores xi,xi+1,yi+1 tem a forma,

yi+1=F(xi,xi+1,yi+1)

Em geral F é não linear. Caso seja linear é possível reduzir a um caso explícito.

Os métodos implícitos são mais precisos que os métodos explícitos, no entanto requerem um esforço computacional maior.

Métodos Numéricos:

Método de Euler

Métodos de Série de Taylor

Métodos de Runge-Kutta

O método de Euler é a mais simples técnica de solução de uma EDO de primeira ordem na forma

O método pode ser formulado de forma explícita ou implícita. A formulação explícita mais comumente usada é apresentada em detalhes na seção a seguir.

Método de Euler

Método Explícito de Euler

Também chamado de método de Euler progressivo, é uma técnica numérica de passo simples usada na solução de EDOs de primeira ordem.

O método de Euler assume que, em uma pequena dis- tância h na vizinhança de (xi, yi), a função y(x) tem uma inclinação constante e igual à inclinação em (xi, yi).

O próximo ponto da solução (xi+1,yi+1) é calculado usando:

xi+1= xi+h

yi+1= yi+f(xi,yi)h

Exemplo

Euler's Method for the Exponential FunctionContributed by: Arnaud Crouzet

Os métodos que usam o desenvolvimento em série de Taylor de y(x) teoricamente fornecem solução para qualquer equação diferencial.

Do ponto de vista computacional os métodos da série de Taylor de ordem mais elevada são considerados inaceitáveis pois o cálculo das derivadas totais envolvida é extremamente complicado.

Método de Taylor

Suponhamos que de alguma forma tenhamos as aproximações y1,y2,…,yn para y(x) em x1,x2,…,xn. Se y for suave a série de Taylor de y(x) em torno de x= xn é:

Assim,

Se a jésima derivada de y e h são respectivamente:

Teremos

Com erro igual a:

Nota

Para aplicar um método de ordem k:

Temos que calcular y’’,y’’’,…,y(k) ,temos de calcular:

E assim sucessivamente. Como exemplo observe o método de Taylor de segunda ordem:

Observe ainda que para temos calcular todos esses valores. Para uma ordem superior os cálculos seriam mais dispendioso.

Para k=1 o método da série de Taylor de ordem 1, ou seja,

Observe que este é o método de Euler, logo este é um caso particular do método de Taylor de ordem 1.

Os métodos de Runge-Kutta compõem uma família de técnicas numéricas explícitas de passo simples usadas na solução de EDOs de primeira ordem.

A ideia básica é aproveitar as qualidades dos métodos de série de Taylor e ao mesmo tempo eliminar seu maior defeito que é o cálculo de derivadas de f(x,y) que os tornam computacionalmente inaceitáveis.

Método Runge-Kutta

Podemos dizer que os métodos de Runge-Kutta de ordem p se caracterizam pelas três propriedades:

i.São de passo um;

ii.Não exigem o cálculo de qualquer derivada de f(x,y) no entanto pagam por isso o preço de calcular f(x,y) em vários pontos;

iii.Após expandir f(x,y) por Taylor para a função de duas variáveis em torno de (xn,yn) e agrupar os termos semelhantes, sua expressão coincide com a do método de Taylor de mesma ordem.

Os diferentes tipos de métodos de Runge-Kutta são classificados de acordo com sua ordem. A ordem identifica o número de pontos usados em um subin- tervalo para determinar o valor de Inclinação:

Segunda ordem: usam a inclinação em dois pontos

Terceira ordem: usam a inclinação em três pontos

E assim por diante.

A versão de quarta ordem desse método, que utiliza quatro pontos, é conhecida como método de Runge-Kutta clássico.

A ordem do método também está relacionada ao erro de truncamento global.

Os métodos de Runge-Kutta são mais precisos do que o método explícito de Euler. A sua precisão aumenta (isto é, o erro de truncamento diminui) à medida que a ordem do método aumenta. Em cada passo, no entanto, dependendo da ordem, são necessárias várias avaliações da função para se estimar a derivada de f(x, y).

Os métodos de Runge-Kutta compõem uma família de técnicas numéricas explícitas de passo simples usadas na solução de EDOs de primeira ordem.

Onde o valor da Inclinação é uma constante e em que h=xi+1-xi .

A ordem identifica o número de pontos usados em um subintervalo para determinar o valor de Inclinação:

1ª ordem Reduz-se ao método de Euler que é um método de série de Taylor de 1ª ordem:

Então,

E o método de Euler satisfaz as três propriedades acima que o caracterizam como um método de Runge-Kutta de ordem .

2ª Ordem

É o método de Euler aperfeiçoado, isto é, consiste em fazer mudanças no método de Euler e assim conseguir um método de ordem mais elevada.

Ou seja,

Observe que este método é de passo um e só trabalha com cálculos não envolvendo suas derivadas.

Assim, para verificarmos que ele realmente é um método de Runge-Kutta de 2ª ordem, falta verificar se sua fórmula concorda com a do método da série de Taylor até os termos de 2ª ordem em h:

com,

No método de Euler aperfeiçoado temos de trabalhar com,

Desenvolvendo f(x,y) por Taylor em torno de (xn,yn) temos:

Com α entre x e xn, β entre y e yn,

Então o método de Euler aperfeiçoado fica:

Esta fórmula concorda com o método da série de Taylor até os termos de ordem h2 provando assim ser um método de Runge Kutta de segunda ordem.

O método de Euler Aperfeiçoado é um método de Runge-Kutta de segunda ordem e podemos pensar que ele pertence a uma classe mais geral de método do tipo,

Para o método de Euler aperfeiçoado,

A pergunta natural que surge neste momento é se este tipo de método não poderá ser um método de Runge-Kutta de ordem maior que dois. Temos quatro parâmetros livres a1,a2,a3 e a4.

Para que haja concordância com a série de Taylor até os termos de ordem h1 é necessário um parâmetro. Considerando agora,

Ordens SuperioresDe forma análoga pode-se construir métodos de 3ª ordem, 4ª ordem, etc. A seguir seguem as fórmulas de Runge-Kutta de 3ª e 4ª ordens:

3ª ordem

4ª ordemChama-se o f a to do método de Runge-Kutta, apesar de serem auto-iniciáveis (pois são de p a s s o u m ) e n ã o trabalharem com derivadas de f (x ,y ) , apresentam desvantagem de não haver para eles uma estimativa simples para o erro, o que inclusive poderia ajudar na escolha de h.

Exemplo

BibliografiaBARROSO, L.C, BARROSO, B.A.M., CAMPOS, F.F., CARVALHO, M.L.B., MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações. 2ª Ed., São Paulo, Editora Harbra, 1987.

CONTE, S., BOOR, C. Elementary Numerical Analysis, an Algorithmic Approach. 3ª edition. Editora Mc.Graw-Hill, 1981.

RUGGIERO, M. A. G., LOPES, V. L. R. . Cálculo Numérico. Aspectos teóricos e computacionais. 2ª Ed., São Paulo, Makron Books do Brasil Ltda, 1996. 422 p.