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Equação das Ondas Muitos fenômenos físicos, aparentemente distintos, podem ser descritos matematicamente em termos de ondas. O aspecto essencial da propagação de uma é que esta consiste numa perturbação auto-sustentada do meio através do qual se propaga. Se há propagação, a perturbação deve ser expressa como função do espaço e do tempo: A forma da perturbação em qualquer instante, obtem-se particularizando o valor da variável tempo: (por exemplo t =0) Considere um pulso caminhando para a direita: ]

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Equação das Ondas

Muitos fenômenos físicos, aparentemente distintos, podem ser descritos matematicamente em termos de ondas.

O aspecto essencial da propagação de uma é que esta consiste numa perturbação auto-sustentada do meio através do qual se propaga.

Se há propagação, a perturbação deve ser expressa como função do espaço e do tempo:

A forma da perturbação em qualquer instante, obtem-se particularizando o valor da variável tempo: (por exemplo t =0)

Considere um pulso caminhando para a direita: ]

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Com base na figura anterior, temos:

Esta equação representa a forma mais geral da função de onda em uma dimensão. Basta apenas escolher a forma f(x,o) =f(x) e substituir x por (x-vt) em

f(x)!

Do mesmo modo, se a onda se desloca para a esquerda:

Isto permite obter a forma geral da equação de ondas a uma dimensão:

Se x se mantiver constante, a derivada parcial de (x,t) no tempo é:

Combinando ambas as equações:

Mas como são necessárias duas constantes para especificar totalmente uma onda , a equação mais geral deve ser de segunda ordem. Calculando as segundas derivadas parciais:

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Uma vez que

E lembrando que

Então

Combinando estas equações, obtemos:

A equação de Ondas!

Que admite soluções da forma

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ONDAS PLANAS:

Constituem aos mais simples exemplos de ondas tridimensionais. Para ondas planas, as superfícies de igual fase são planos, em geral perpendiculares à direção de propagação da perturbação:

A forma mais reduzida da equação do plano perpendincular à k é

É possível construir um conjunto de planos para os quais � (r) dependa senoidalmente das variáveis espaciais:

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A natureza periódica das funções harmônicas no espaço pode ser expressa na forma:

Para que os planos de igual fase se propaguem é necessário que � (r) varie no tempo, o que se consegue introduzindo a dependência temporal :

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Uma onda plana harmônica é representada em coordenadas cartesianas, na forma:

Onde α,β, e γ são os co-senos diretores de k

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ONDAS ESFÉRICAS:

O laplaciano em coordenadas esféricas:

Procura-se construir uma descrição de ondas esféricas, ou seja,

Onda esférica harmônica:

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ONDAS CILÍNDRICAS:

O Laplaciano em coordenadas cilindricas é

A simetria cilíndrica traduz-se pela seguinte exigência:

Qual deve ser a forma de � (r) das soluções desta equação ?

Esta equação representa um conjunto de cilindros coaxiais que preenchem todo o espaço e que se afastam ou se aproximam de um fonte linear de comprimento infinito situada no eixo.

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Cálculo do Laplaciano em coordenadas esféricas: Vamos usar os símbolos (r, ɵ, φ) para indicar as coordenadas esféricas de um ponto.

em termos das coordenadas esféricas (r, ɵ, φ). Um cálculo direto é bastante longo. Por isto segui outro caminho. Usando a expressão do laplaciano em duas variáveis em termos das coordenadas polares, temos

Notemos que as relações:

são análogas às relações entre as coordenadas cartesianas e polares no plano, somente, agora, com z e ρ desempenhando, respectivamente, os papéis de x e y. Portanto, usando novamente a expressão do laplaciano em cordenadas polares, podemos escrever

Somando uzz a ambos os lados em (1), temos

,e usando (2),

Precisamos expressar up em coordenadas esféricas. Pela regra da cadeia,

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Em (1), estávamos mantendo z fixo e tomando φ e ρ como variáveis independentes, de modo que φp= 0 . Portanto,

De

segue que

Por outro lado, de

segue que

Usando (5) e (6) em (7), obtemos

Substituindo (5) e (6) em (4), obtemos

E, portanto,

finalmente, substituindo (9) em (3), obtemos

que é a expressão do laplaciano em coordenadas esféricas.

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Solução da Equação da Onda em Coordenadas Esféricas

�� = 0

�� ��, , �, � = 0

� = ∇� − 1�� �����

∇�= 1�� ��� ��� ���� + 1������ ��� ���� � ���� + 1������� ����

�� = ∇�� − 1�� �����

1�� ��� ��� ���� � + 1������ ��� ����� ���� + 1������� ���� − 1�� ������ = 0

Usando o método da separação de variáveis:

� = ��� �� ��� ���

����� ��� ��� ���� � + ��������� ��� ����� ����� + ���2������� ����� − ����� ������ = 0

1�� �� ������ + 2� ���� ! + 1������� ���� ������ + �"�� ����! + 1�� 1����� �����

− 1��� ������ = 0

Dividindo a expressão acima por P�TR, temos:

1�� ���`` + 2��`� ! + 1�� $�` + �"�%��`� + 1����� �``� & − 1�� �``� =

1�� ���`` + 2��� ! + 1�� $�` + �"�%��`� + 1����� �``� & = 1�� �``� = '(

1�� �``� = ' ⟶ �`` = '���

�`` − '��� = 0 ⟶ *� − '�� = 0 ⟶ * = ± √' �

Como esperamos que a solução varie harmonicamente com o tempo, fazemos:

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- '( = − .���� = �/012 3 ⟶ * = ± .�4 → 6 = .� 1�� ���`` + 2��`� ! + 1�� $�`` + �"�%��`� + 1����� �``� & = − .� x r�

���`` + 2��` + .���� ! + $�`` + �"�%��`� + 1����� �``� & = 0

���`` + 2��` + .���� ! = − $�`` + �"�%��`� + 1����� �``� & = '�

���`` + 2��`� + .��� = '�

− $�`` + �"�%��`� + 1����� �``� & = '� x sen�ϕ

− �``������"�%��`� + �``� ! − '������ = 0 x �−1

�``����� + ������"�%��`� + �``� + '������ = 0

− �``����� + ������"�%��`� + '������! = �``� = '=

�``� = '= → �`` − '=� = 0

∝�+ '= = 0 → ∝ = ± ?− '=

Como P( é periódica de período 2π, '= = − ���/0@A − �``����� + ������"�%��`� + '������! = − ��

�``����� + ������"�%��` + '������ − ��� = 0 ÷ sen�ϕ

�`` + �"�%��` + '� − �������! � = 0 �C

Fazendo a mudança de variável � = cos , temos:

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���� = ���� ���� = − ���� ����

������ = − ��� $���� ����& = −���� ������ ���� − ���� �"��

������ = ����� ������ − �"�� ����

� = �"�� → ?1 − �� = ����

Substituindo em (I):

����� ������ − �"�� ���� − �"�%����� ���� + '� − �������! � = 0

�1 − �� ������ − � ���� − � ���� + '� − ���1 − �� ! � = 0

�1 − �� ������ − 2� ���� + '� − ���1 − �� ! � = 0 �CC

Sob esta forma esta equação lembra a equação de Legendre. Para explorar esta semelhança, faremos uma segunda mudança de variável.

� = �1 − �� @/�6 ���� = �1 − �� @/� �6�� + �2 �1 − �� @�/ (�−2� 6

���� = �1 − �� @� �6�� − ���1 − �� @��1 − �� 6

���� = �1 − �� @/�6

������ = �1 − �� @� ��6��� + �2 �1 − �� @�/ (�−2� �6��

− G���1 − �� @�/ ( �6�� + ��1 − �� @�/ (6 + �� H�2 − 1I �1 − �� @�/ ��−2� 6J

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������ = �1 − �� @/� ��6��� − ���1 − �� @/��1 − �� �6�� − ���1 − �� @/��1 − �� �6�� − ��1 − �� @/�6�1 − �� + 2��� K�2 − 1L �1 − �� @/��1 − �� � 6

������ = �1 − �� @/� ��6��� − 2���1 − �� �6�� − ��1 − �� 6 + �����1 − �� � 6 − 2����1 − �� � 6!

������ = �1 − �� @/� ��6��� − 2���1 − �� �6�� + 6 M− ��1 − �� + �����1 − �� � − 2����1 − �� �N!

������ = �1 − �� @/� ��6��� − 2���1 − �� �6�� + 6 M��� − �1 − �� − 2���1 − �� � N �!

������ = �1 − �� @/� ��6��� − 2���1 − �� �6�� + 6 ���� − 1 − �� �1 − �� � �!

������ = �1 − �� @/� ��6��� − 2���1 − �� �6�� − � �1 − ���� − 1 �1 − �� � 6!

Substituindo em (II):

�1 − �� @�O( ������ − 2���1 − �� @/� �6�� − �P1 − ���� − 1 Q�1 − �� � �1 − �� @/�6 − 2��1 − �� @/� �6��+ 2����1 − �� @/��1 − �� + '� − ���1 − �� ! �1 − �� @/�6 = 0

�1 − �� @� ��6��� − 2�� �6�� − �P1 − ���� − 1 Q6�1 − �� − 2� �6�� + 2���1 − �� 6 + ⋋�− ��1 − ��! 6 = 0

�1 − �� @� ��6��� − �2�� + 2� �6�� + 6 2���1 − �� − �P1 − ���� − 1 Q1 − �� +⋋�− ��1 − ��! = 0

�1 − �� ��6��� − 2�� + 1 � �6�� + 6 2��� − �P1 − ���� − 1 Q + ⋋� �1 − �� − ��1 − �� ! = 0

�1 − �� ��6��� − 2�� + 1 � �6�� + 6 2��� − ��1 − ��� + �� +⋋� �1 − �� − ��1 − �� ! = 0

�1 − �� ��6��� − 2�� + 1 � �6�� + 6 2��� − � + ���� − ��� − �� +⋋� �1 − �� − ��1 − �� ! = 0

�1 − �� ��6��� − 2�� + 1 � �6�� + 6 ��� − � + ���� − �� +⋋� �1 − �� 1 − �� ! = 0

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�1 − �� ��6��� − 2�� + 1 � �6�� + 6 ⋋� �1 − �� − ��1 − �� + � − �� 1 − �� ! = 0

�1 − �� ��6��� − 2�� + 1 � �6�� + 6 ⋋� �1 − �� − ��� + 1 �1 − �� 1 − �� ! = 0

�1 − �� ��6��� − 2�� + 1 � �6�� + 6S⋋�− ��� + 1 T = 0

Portanto se fizermos ⋋�= U�U + 1 esta equação será satisfeita pelos �V�@ � n-ésima

derivada de �V. �VX = ���@��V@��"��

⋋�= U�U + 1 → voltando para a equação em R

�²�′′ + 2��′� + .²�² = U�U + 1

���′′ + 2��′ + P.��� − U�U + 1 Q� = 0

�������� + 2� ���� + P.��� − U�U + 1 Q� = 0

Fazendo x = mr e R(r) ⟶ Y(x)

��.� ��c� �. + 2� �c�� S�� − U�U + 1 Tc = 0

�² ��c�� + 2� �c�� S�� − U�U + 1 Tc = 0 �CCC

d�� = e�� √�

d�� = e�� �/(/�

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�c�� = �/(/� �e�� + e�� �− 12� �/=/�

�c�� = 1√� �e�� − e�� 2√�=

��c��� = �/(� ��e��� − 12√�= �e�� − 12√�= �e�� + 34√�= e��

��c��� = 1√� �²e��²− 1√�= �e�� + 34√�= e��

Substituindo na equação (III):

�� 1√� ��e��� − 1√�= �e�� + 34√�= e�� ! + 2� 1√� �e�� − e�� 2√�=! + S�� − U�U + 1 T e�� √� = 0

��√� ��e��� + 2�√� − ��√�=! �e�� + 34 ��√�= − �√�= + �� − U�U + 1 ! e�� √� = 0

��√� ��e��� + 2�√� − ��√�=! �e�� + 34 1√� − 1√� + ��√� − U�U + 1 √� ! e�� = 0

��√� ��e��� + �√� �e�� + 34√� − 1√� + ��√� − U�U + 1 √� ! e�� = 0

��e��� + 1� �e�� + − 14� + 1 − U�U + 1 �� ! e = 0

��e��� + 1� �e�� + 1 − �U� + U �� − 14��! e = 0

��e��� + 1� �e�� + 1 − 4U� + 4U + 14�� ! e = 0

��e��� + 1� �e�� + h1 − U� + U + 14�� i e = 0

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��e��� + 1� �e�� + j1 − HU + 12I��� k e = 0

Comparando com a equação de Bessel modificada:

��l�l� + 2m + 1l �l�l + m� − *�n��� + *�o���/�p! l = 0

2m + 1 = 1 → m = 0

m� − *�n� = − �U + 12�� → −n� = − �U + 12�� → n = ± �U + 12�

*�o� = 1 → o² = 1 → o = ±1

Como l é inteiro e p ≠ inteiro, a solução é do tipo:

e�� = � - rVO(��� + rV/(��� s

d�� = e�� √�

d�� = t( rVO(��� √� + t� r/V/(���

√�

uV�� = v 1w� rVO(� → rVO(� = √w� uV��

�V�� = v 1w� xVO(� → r/V/(� = y√w� �V��

xVO(��� ≈ r/V/(���

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d�� = t( rV�� √w√� + t�y xV�� √w√�

d�� = yVuV�� + {V�V��

� = .�

��� = yVuV�.� + {V�V�.�

∅��, , �, � = ��� �� ∅�� ���

∅��, , �, � = �y(�@ − y��@O(� �{(�@X + {�}@X Pt( cos��� + t������� Q�y@����6� + {@ cos�6�

Conclusão

A equação de onda é uma importante equação diferencial parcial lineal de segunda ordem que descreve a propagação de uma variedade de ondas, como as ondas sonoras, as ondas de luz e as ondas na água. É importante em vários campos como a acústica, o eletromagnetismo e a dinâmica de fluídos.

Agradecimentos

Agradecemos, primeiramente, ao professor Altair, pela iniciativa de nos propor esse trabalho visando não só nos preparar para a vida profissional, como ajudar ao próximo. Aos nossos colegas de turma, em especial os que compartilharam essa tarefa conosco. Aos nossos pais e familiares, pelo apoio de hoje e sempre.

Referências

- Material disponibilizado na xerox (Prof. Altair)

- Eugene Butkov, Fisica Matemática, 1978 editora Guanabara 2 S.A