Múltiplos e Divisores

5/12/2018 M ltiplos e Divisores - slidepdf.com

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Múltiplos e DivisoresMúltiplos e Divisoresde números Naturais

Professor Roberto Bonelli



y Múltiplos: os múltiplos de um númeroáµ são todos aqueles que estão natabuada de áµ.

Para nomear o conjunto dos múltiplos deáµ escrevemos:

M(a) = {0.a, 1.a, 2.a, ...}



Portanto, o conjunto de múltiplos de umnúmero natural é infinito.

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ... , 30, 33, 36, ...}

M(10) = {0,10,20,30, ...}

M(12) = {0, 12, 24, 36 ...}

Exceto para o zero:

M(0) = {0,0,0...} = {0}



y Divisores: os divisores de um númeroáµ são todos aqueles que dividem ́ aµsem deixar resto.

Para nomear o conjunto dos divisores deum número ́ aµ escrevemos:

D(a) = { divisores de a}



Portanto o conjunto dos divisores de umnúmero ́ aµ é finito.

D(10) = {1, 2, 5, 10}D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}

D(17) = {1, 17}

Veja que 1 divide todos os números e quetodo número também é divisor dele mesmo.



E o zero? Não divide nenhum número?

NÃO! Não existe

divisão por zero!

Porém, podemos

dividir zero porqualquer número.

05

0!



Números PrimosNúmeros Primos

Existem números Naturais que têm comodivisores apenas o 1 e ele mesmo. Essessão chamados números PRIMOS.

São eles: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, ...

Você encontra alguma particularidadenesses números? Algum que seja diferentede todos os outros?



Comparação entre os nomesComparação entre os nomesMúltiplo, divisor e divisível, o que têm de comum?

Múltiplos são aqueles que estão na tabuada edivisores são aqueles que dividem certo número

(sem deixar resto). Então se ́ aµ divide ́ bµ significaque ́ bµ está na tabuada de ́ aµ e ́ bµ é divisível poráµ.

Ex: 5 é divisor de 20, 20 é múltiplo de 5,pois 20 ÷ 5 = 4 pois 4x5 = 20

Nesse caso também dizemos que 20 é divisível por 5.



Regra para construir o conjuntoRegra para construir o conjunto

dos divisoresdos divisoresNa hora de achar os divisores de umnúmero não precisamos testar todos osnúmeros até chegar nele. Podemos ir

apenas até o ́ meioµ do conjunto e aosoutros chegamos por raciocínio. Veja:



Mais exemplosMais exemplos

D(64) = {1, 2, 4, 8, ...64}



Regras de divisibilidadeRegras de divisibilidade

Como saber por raciocínio se um númeroé divisível por outro?

2 Divide todos os pares.3 Soma-se os algarismos do número. Se a

soma estiver na tabuada do 3, o númerotambém estará.

4 Um número é divisível por 4 se seusdois últimos algarismos forem zero ouformarem um número divisível por 4.



5 Todo número terminado em 0 e 5.

6 É necessário que o número sejadivisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.

7 Dividimos e testamos.

8 Um número é divisível por 8 se seus 3últimos algarismos forem zeros ouformarem um número divisível por 8.



9

Idem a regra do 3, porém a somaprecisa estar na tabuada do 9.

10 Todo número terminado em 0.

11 Testar

12 Deve ser divisível por 3 e 4 ao mesmotempo.



FatoraçãoFatoração

Fatorar um número ou expressão significatransformá-lo em uma multiplicação,mantendo seu valor.

12 = 4x3 Fatoração por números primos: significa

transformar um número em uma

multiplicação onde todos os fatores sejamprimos.

12 = 2x2x3



Um método fácil e rápido é escrever onúmero com uma barra ao lado dele efazer as divisões por 2,3,5,etc.

Logo, 24 = 2x2x2x3



MMCMMCMínimo Múltiplo Comum. É o menor valor comum que

aparece no conjunto dos múltiplos de dois ou maisnúmeros.

Mmc (6,9) = ?

M (6) = {6,12,18,24, ...}

M (9) = {9,18,27, ... }

Logo, Mmc (6,9) = 18

Obs: Para o mmc não se conta o ZERO, pois casocontrário ele seria o mmc de quaisquer números!



Se os números forem grandes, o método mais

fácil seria a fatoração simultânea dos números.Se ambos dividem por um mesmo número, façaao mesmo tempo. Se apenas um divide pelonúmero em questão, copie o outro. Até chegar

no 1.

mmc (6,9) = 2x3x3 = 18



O mmc é mais utilizado para somar fraçõescom denominadores diferentes e emproblemas que envolvam a repetição de

ciclos.Exemplo: Uma companhia de ônibus tem

horários de 15 em 15 minutos para a cidadeA e 40 em 40 minutos para a cidade B. Se às6h00 partem juntos um ônibus para cadacidade, qual será o próximo horário em queeles partirão juntos?



mmc (15, 40) = 2x2x2x3x5 = 120

Então, após 120 minutos eles partirão juntos novamente. 6h + 2h = 8 horas.



MDCMDC

Máximo divisor comum. É o maior divisorcomum a dois ou mais números.

Mdc (18, 24) =

D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Logo, mdc (18,24) = 6



Outra maneira para o cálculo do mdc éfatorar simultaneamente os números. Éparecida com o cálculo do mmc, porém

quando não houver mais divisores emcomum, paramos a conta.

Mdc(18,24) = 2x3 = 6



O mdc é utilizado em problemas que sequeiram fazer a divisão de valores e queessa divisão tenha o mesmo número de

objetos, pessoas, etc.



Exemplo: Em uma turma há 48 meninos e 36 meninas.Deseja-se dividi-los em grupos com o mesmo número

de alunos e que cada grupo tenha apenas crianças domesmo sexo. Quantos alunos estarão no maior grupoque é possível formar e quantos grupos de cada sexoserá formado?

Mdc (36, 48) = 2x2x3 = 12

Então, o maior número de alunos em cada

grupo será 12. Com as meninas formam-se

36:12 = 3 e com os meninos formam-se 48:12

= 4 grupos.

Resposta: 3 grupos de meninas e 4 grupos

de meninos (7 grupos no total) com 12 alunos

cada.

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