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Murilo Soares Santos
Estudo da Aplicabilidade do Método Simplificado da AASHTO para Distribuição Transversal de
Cargas Móveis para Pontes no Brasil
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para ob-tenção do grau de Mestre pelo Programa de Pósgradua-ção em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.
Orientadora: Profª. Elisa Dominguez Sotelino Co-orientador: Prof. Julio Jerônimo Holtz Silva Filho
Rio de Janeiro Agosto de 2015
Murilo Soares Santos
Estudo da Aplicabilidade do Método Simplificado
da AASHTO para Distribuição Transversal de Cargas Móveis para Pontes no Brasil
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do De-partamento de Engenharia Civil do Centro Téc-nico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Co-missão Examinadora abaixo assinada.
Profª. Elisa Dominguez Sotelino Orientadora
Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. Julio Jerônimo Holtz Silva Filho Co-Orientador
Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Profª. Marta de Souza Lima Velasco PUC-Rio
Prof. Emil de Souza Sánchez Filho
Universidade Federal Fluminense
Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro
Técnico Científico PUC-Rio
Rio de Janeiro, 28 de Agosto de 2015
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução
total ou parcial do trabalho sem autorização da univer-
sidade, do autor e do orientador.
Murilo Soares Santos
Graduou-se em Engenharia Civil pela UFPA (Universi-
dade Federal do Pará) em Belém, Pará em janeiro de
2012. Ingressou no mestrado na Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro em março de 2013, desen-
volvendo dissertação na linha de pesquisa de Análise
Estrutural.
Ficha Catalográfica
CDD: 624
Santos, Murilo Soares Estudo da Aplicabilidade do Método Simplificado da AASHTO para Distribuição Transversal de Cargas Móveis para Pontes no Brasil / Murilo Soares San-tos; orientadora: Elisa Dominguez Sotelino; co-orientador: Julio Jerônimo Holtz Silva Filho. – Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Ci-vil, 2015.
v., 125 f.: il. ; 29,7 cm Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universida-
de Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil.
Inclui referências bibliográficas.
1. Engenharia Civil – Teses. 2. Pontes. 3.
Distribuição transversal. 4. Carga móvel. 5. Método simplificado. 6. AASHTO. I. Sotelino, Elisa Dominguez. II. Silva Filho, Julio Jerônimo Holtz. III Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV Título.
Para minha esposa, meus pais e irmãos,
pelo apoio e confiança.
Agradecimentos
À D’us, por tudo!
À minha família, meu pai Marcelo, minha mãe Gina, meus irmãos Marcela, Mari-
na, Ana Luiza, Mateus e Marilia. Graças a vocês consegui chegar onde estou ago-
ra. Toda a minha dedicação para proporcionar orgulho não é nada perto de tudo o
que vocês já me proporcionaram. Muito obrigado por tudo;
Aos meus avôs e avós Walmir, Nise, Regina, Salomão e Rachel, por serem os
maiores e melhores modelos que alguém pode ter;
À minha esposa Carol que, mesmo nos momentos mais difíceis, me deu todo o
apoio que precisava, principalmente quando aceitamos o desafio de morar em ci-
dades diferentes por mais de dois anos, para a realização deste mestrado. Sem dú-
vida alguma você foi a peça mais importante nesse período, ao me escutar, me
acalmar e me ajudar sempre que houve qualquer necessidade. Agradeço do fundo
do meu coração, esse objetivo não seria atingido sem você ao meu lado.
À família de minha esposa, que considero minha. Em especial aos meus sogros
Roberto e Marianne que me oferecem ajuda sempre que surge alguma oportunida-
de e por me apoiarem ao longo de todos esses anos. Aos meus cunhados Felipe e
Rafaela, que aguentam todas as brincadeiras sem graça que faço, não poderia es-
colher melhores. Aos meus novos avôs e avós Mendel e Linda, que não medem
esforços para ajudar e estar do nosso lado e Jacob e Rebeca, que me acolheram em
sua casa no início da minha jornada no Rio de Janeiro e tanto me ajudaram nesse
período.
À todos os professores da PUC-Rio que me transmitiram algum conhecimento
novo durante o mestrado, em especial à minha orientadora Elisa Sotelino e meu
co-orientador Julio Holtz que, durante a etapa de execução deste trabalho confia-
ram na minha capacidade e dedicaram tempo e conhecimento para me ajudar a
atingir esse objetivo.
Aos amigos que ganhei no Rio de Janeiro. Não tenho palavras para agradecer a
vocês por esses dois anos. A amizade criada foi fundamental para que eu conse-
guisse vencer todas as etapas desse período, desde as mais difíceis até os melhores
momentos de lazer que pudemos aproveitar juntos. Não cito nomes por medo de
que algum seja esquecido injustamente, mas por favor, sintam-se agradecidos pes-
soalmente.
Um agradecimento especial ao meu amigo André Daltro que, mesmo ocupado
com a sua própria dissertação, largou todas as suas coisas por dias para me ajudar
na criação de programas que tiveram uma importância incalculável neste trabalho.
Aos queridos mestres Ubirajara Ferreira da Silva e João Bosco pela ajuda inesti-
mável fornecendo materiais de grande importância e, principalmente pelo tempo e
atenção dedicados a mim e a este trabalho.
Aos funcionários do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio, principal-
mente à Rita, pela colaboração e paciência;
À CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, pela
concessão da bolsa de fomento;
À PUC-Rio – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro e ao Departa-
mento de Engenharia Civil, pela bolsa de isenção e a oportunidade em poder cur-
sar o Mestrado em uma das mais renomadas instituições do país na área.
Resumo
Santos, Murilo Soares; Sotelino, Elisa Dominguez; Silva Filho, Julio Jerô-
nimo Holtz, Estudo da Aplicabilidade do Método Simplificado da
AASHTO para Distribuição Transversal de Cargas Móveis para Pontes no Brasil. Rio de Janeiro, 2015. 125 p. Dissertação de Mestrado. Departa-
mento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Ja-
neiro.
A disseminação de programas computacionais que implementam o Método
dos Elementos Finitos (MEF) influenciou a forma como os projetos estruturais
são executados. Em projetos de pontes, onde os métodos simplificados de cálculo
foram por muitos anos as principais formas de análise, o MEF se tornou uma fer-
ramenta importante no processo. Atualmente os métodos simplificados comple-
mentam a utilização do MEF de diversas formas, desde o pré-dimensionamento
dos elementos estruturais e fornecendo uma estimativa dos esforços cortantes e
momentos fletores a serem encontrados, reduzindo a possibilidade de erros duran-
te o projeto. Nos Estados Unidos a AASHTO LRFD (2012) apresenta um método
simplificado de distribuição transversal de solicitações em suas especificações
normativas que exige apenas o cálculo de um fator de distribuição. O objetivo
deste trabalho é avaliar se este método pode ser usado como uma alternativa raci-
onal para o dimensionamento de pontes no Brasil. Para isso, foi necessário enten-
der a diferença entre as normas brasileiras e americanas, sugerir um modelo de
cálculo baseado na norma americana e que atenda às recomendações normativas
brasileiras e validar este modelo com análises por elementos finitos e outros mé-
todos simplificados. Os modelos de elementos finitos utilizados foram validados
por meio da comparação dos resultados de suas análises com os resultados de tes-
tes de cargas em pontes realizados por outros autores. O modelo de cálculo pro-
posto obteve para todas as situações analisadas resultados seguros, se mostrando
capaz de determinar a distribuição transversal das solicitações e o deslocamento
máximo das longarinas de pontes de vão único com vigas de concreto. Em pontes
com vigas metálicas o método também obteve resultados seguros nas análises das
solicitações, porém assim como os outros métodos simplificados, não é capaz de
determinar de maneira confiável os deslocamentos máximos sofridos. Conclui-se,
portanto, que a metodologia proposta pode ser utilizada no dimensionamento de
pontes de um único vão no Brasil, desde que considerados os limites de aplicabi-
lidade especificados.
Palavras-chave
Pontes; distribuição transversal; carga móvel; método simplificado; AASHTO
Abstract
Santos, Murilo Soares; Sotelino, Elisa Dominguez (Advisor); Silva Filho,
Julio Jerônimo Holtz (Co-advisor). Study of the applicability of the
AASHTO Simplified Method for Transversal Load Distribution for Bridges in Brazil. Rio de Janeiro, 2015. 125 p. Msc. Dissertation. Depar-
tamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de
Janeiro.
The dissemination of softwares that implement the Finite Element Method
(FEM) influences the way the structural projects are made. For bridge projects,
where the simplified methods have been for many years the main type of analysis,
the FEM has become an important tool in the process. Currently the simplified
methods complement the use of FEM in different ways, in the pre-dimensioning
of the structural elements and providing an estimate of the shear and bending
moments, reducing the possibility of errors during the design process. In the Unit-
ed States, AASHTO LRFD (2012) provides a simplified method for transverse
wheel load distribution into their regulatory specifications that requires only the
calculation of a load distribution factor. The objective of this work is to evaluate if
this method can be used as a rational alternative for the design of bridges in Bra-
zil. For this purpose, it was necessary to understand the difference between Brazil-
ian and American standards, suggest a calculation model based on the American
standard that meets Brazilian regulation and validate this model with FEM analy-
sis and other simplified methods. The finite element models were validated by the
comparison of the results of its analysis with the results of actual load tests on
bridges performed by other authors. Safe results are obtained for all analyzed cas-
es when using the proposed calculation model, therefore it was able to determine
the transverse wheel load distribution and the maximum displacement of the
stringers of bridges with only one span and concrete beams. In bridges with steel
beams, the method also obtained safe results in the analysis of transverse wheel
load distribution, but just as the others simplified methods, it is not able to deter-
mine the maximum displacements with high reliability. It follows, therefore, that
the proposed methodology can be used in the design of bridges with one span in
Brazil, if the applicability limits are specified.
Keywords
Bridges; transversal distribution; wheel load; simplified method; AASHTO
Sumário
1 . Introdução 24
1.1. Relevância e Justificativas da Pesquisa 24
1.2. Objetivos 27
1.3. Estrutura do Trabalho 27
2. Revisão Bibliográfica 29
2.1. Considerações Iniciais 29
2.2. Cargas Móveis 29
2.2.1. NBR 29
2.2.2. AASHTO 31
2.3. Método de Distribuição Transversal de Cargas 32
2.3.1. Método Engesser-Courbon (MEC) 33
2.3.2. Método da Viga Modelo (MVM) 34
2.3.3. AASHTO LRFD 35
2.4. Modelagem em Elementos Finitos 39
2.4.1. Elementos Primários 40
2.4.2. Elementos Secundários 41
2.4.3. Pós-Processamento de Resultados 42
2.5. Panorama das Pontes Brasileiras 44
2.5.1. Sistema Estrutural e Material 45
2.5.2. Número de Vãos e Faixa de Extensão 46
2.5.3. Largura do Tabuleiro 46
3. Validação do Modelo 48
3.1. Considerações Iniciais 48
3.2. Análise Básica 49
3.2.1. Descrição da Análise 50
3.2.2. Conclusão 55
3.3. Ponte Nebraska – EUA 56
3.3.1. Descrição da Estrutura 57
3.3.2. Prova de Carga 58
3.3.3. Modelagem e Comparação 61
3.4. Ponte Michigan – EUA 62
3.4.1. Descrição da Estrutura 62
3.4.2. Prova de Carga 63
3.4.3. Modelagem e Comparação 65
3.5.Conclusão 68
4. Elementos para Elaboração do Trabalho 69
4.1.Considerações Iniciais 69
4.2. Metodologia 69
4.3. Definições Geométricas dos Elementos Estudados 70
4.3.1. Parâmetros Gerais 71
4.3.2. Parâmetros Longitudinais 71
4.3.3. Parâmetros Transversais 71
4.3.4. Resumo das Definições 76
4.4. Detalhamento dos Métodos Analisados 77
4.4.1. Método dos Elementos Finitos 77
4.4.2. Engesser-Courbon 81
4.4.3. Método da Viga Modelo 87
4.4.4. AASHTO LRFD 89
5. Resultados 91
5.1. Considerações Iniciais 91
5.2. Pontes com Vigas de Concreto 92
5.2.1. Momento Fletor 92
5.2.2. Força Cortante 96
5.2.3. Deslocamentos 99
5.3. Pontes com Vigas Metálicas 102
5.3.1. Momento Fletor 102
5.3.2. Força Cortante 105
5.3.3. Deslocamentos 108
6. Conclusões e Recomendações para Trabalhos Futuros 112
6.1. Conclusões 112
6.2. Sugestões para Trabalhos Futuros 115
7. Referências 117
Anexo 121
Lista de Figuras
Figura 1.1 – Ano de construção das pontes das rodovias federais no Brasil (Mendes, 2009). 25
Figura 2.1 – Disposição das cargas móveis pela NBR 7188 (2013). 30
Figura 2.2 – Disposição das cargas dos veículos da AASHTO LRFD 2012. 32
Figura 2.3 – Representação do modelo de elementos finitos (retirada de Chung e Sotelino, 2005). 41
Figura 2.4 – Componentes do momento nas vigas (retirado de Sotelino et al., 2004) 43
Figura 2.5 – Distribuição do número de pontes por sistema estrutural (adaptada de Mendes, 2009). 45
Figura 2.6 – (a) Principais sistemas estruturais de pontes; (b) Principais materiais utilizados. 45
Figura 2.7 – Distribuição das pontes por: (a) número de vãos; (b) comprimento dos vãos. 46
Figura 2.8 – Distribuição das pontes por: (a) largura do tabuleiro; (b) época de construção. 47
Figura 3.1 – Vigas analisadas: (a) viga retangular; (b) viga T. 49
Figura 3.2 – Modelo extrudado: (a) inconsistência geométrica do VT.3; (b) VT.2. 50
Figura 3.3 – Representação dos modelos: (a) VR.1; (b) VR.2-2. 52
Figura 3.4 – Comparação de momentos fletores. 52
Figura 3.5 – Comparação de deslocamentos. 52
Figura 3.6 – Modelos: (a) VT.1; (b) VT.2; (c) VT.3. 54
Figura 3.7 – Comparação de momentos fletores. 55
Figura 3.8 – Comparação de deslocamentos. 55
Figura 3.9 – (a) Seção transversal da ponte; (b) detalhe da seção transversal da viga. 57
Figura 3.10 – Veículo HS20 da AASHTO (AASHTO, 1973). 59
Figura 3.11 – Planta de instrumentação da ponte: imagem retirada do relatório original. 59
Figura 3.12 – Configuração de carregamento simulando 2,5xHS20: (a) caso 1: nas duas pistas; (b) caso 2: em uma pista; (c) caso 3: na linha central do tabuleiro. 60
Figura 3.13 – Modelo analítico da ponte de Nebraska. 61
Figura 3.14 – Comparação de deslocamentos. 62
Figura 3.15 – (a) Seção transversal da ponte; (b) detalhe da seção transversal da viga. 63
Figura 3.16 – Caminhões de 11 eixos (retirado de Nowak e Eon, 2001). 64
Figura 3.17 – Planta de instrumentação da ponte (retirado de Nowak e Eon, 2001). 64
Figura 3.18 – Modelo analítico da ponte de Michigan. 66
Figura 3.19 – Condições de contorno (adaptado de Nowak e Eom, 2001). 67
Figura 3.20 – Deformação específica das vigas. 67
Figura 4.1 – Seção transversal típica definido pelo DNER (retirada do Manual de Projeto DNER, 1996). 72
Figura 4.2 – Seção transversal do tabuleiro. 73
Figura 4.3 – Seções de Viga I: AASHTO (PCI Bridge Design Manual). 76
Figura 4.4 – Vista 3D do modelo de elementos finitos representativo. 78
Figura 4.5 – Seção transversal do tabuleiro representativo. 78
Figura 4.6 – Posição transversal do veículo (retirado de Marchetti, 2008). 79
Figura 4.7 – Disposição transversal das cargas no tabuleiro. 80
Figura 4.8 – Criação da carga móvel: (a) determinação do trem-tipo; (b) definição da rota do trem-tipo. 80
Figura 4.9 – Representação das cargas (kN e kN/m²): (a) vista transversal; (b) vista 3D. 81
Figura 4.10 – Distância das longarinas do CG. 82
Figura 4.11 – LI das vigas do grupo 4V. 83
Figura 4.12 – Vista superior do tabuleiro com carregamentos. 84
Figura 4.13 – Carregamento transversal e linha de influência no corte AA. 84
Figura 4.14 – Carregamento transversal e linha de influência no corte BB. 86
Figura 4.15 – Trem-tipo da viga V1 do grupo 4V. 86
Figura 4.16 – Trem-tipo reduzido da viga V1 do grupo 4V. 87
Figura 4.17 – Entrada de dados do programa MVM.LI. 88
Figura 4.18 – Saída de resultados do programa MVM.TT. 88
Figura 4.19 – LI das vigas de um modelo do grupo 4V. 89
Figura 4.20 – Trem-tipo reduzido da viga V1 do grupo 4V. 89
Figura 4.21 – Trem-tipo NBR / Padrão AASHTO. 90
Figura 5.1 – Comparações entre os métodos simplificados e o MEF dos momentos fletores máximos em vigas de concreto: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm. 93
Figura 5.2 – Comparações dos momentos entre os métodos simplificados nas pontes com vigas de concreto: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm. 95
Figura 5.3 – Comparações entre os métodos simplificados e o MEF cortantes máximos em vigas de concreto: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm. 96
Figura 5.4 – Comparações dos cortantes entre os métodos simplificados em vigas de concreto: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm. 98
Figura 5.5 – Comparações entre os métodos simplificados e o MEF dos deslocamentos máximos em vigas de concreto: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm. 99
Figura 5.6 – Comparações dos deslocamentos máximos entre os métodos simplificados em vigas de concreto: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm. 101
Figura 5.7 – Comparações entre os métodos simplificados e o MEF dos momentos fletores máximos em vigas metálicas: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm. 102
Figura 5.8 – Comparações dos momentos entre os métodos simplificados: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm. 104
Figura 5.9 – Comparações entre os métodos simplificados e o MEF dos cortantes máximos em vigas metálicas: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm. 105
Figura 5.10 – Comparações dos cortantes entre os métodos simplificados em vigas metálicas: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm. 107
Figura 5.11 – Comparações entre os métodos simplificados e o MEF dos deslocamentos máximos em vigas metálicas: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm. 108
Figura 5.12 – Relação entre a rigidez das vigas e as diferenças dos resultados. 110
Figura 5.13 – Comparações dos deslocamentos máximos entre os métodos simplificados em vigas metálicas: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm. 111
Lista de Tabelas
Tabela 2.1 – Fatores de presença múltipla (adaptado de AASHTO LRFD, 2012) 32
Tabela 2.2 – Resumo das formas de obtenção do LDF para distribuição do momento fletor 38
Tabela 2.3 – Resumo das formas de obtenção do LDF para distribuição da força cortante 38
Tabela 2.4 – Características das seções transversais de cada período 47
Tabela 3.1 – Modelos das VR e VT 49
Tabela 3.2 – Configurações de carregamento (adaptada de Kathol et al., 2005) 57
Tabela 3.3 – Propriedade dos materiais (adaptado de Chung e Sotelino, 2005) 58
Tabela 3.4 – Deslocamentos máximos obtidos 60
Tabela 3.5 – Configurações de carregamento (adaptada de Nowak e Eom, 2001) 65
Tabela 4.1 – Módulos de elasticidade dos materiais 71
Tabela 4.2 – Comparativo de dimensões para pista simples DNER (retirada do Manual de Projeto DNER, 1996) 73
Tabela 4.3 – Detalhamento da largura do tabuleiro 73
Tabela 4.4 – Alturas das vigas 75
Tabela 4.5 – Resumo das definições físicas das pontes analisadas 77
Tabela 4.6 – Grupos de espaçamentos 82
Tabela 5.1 – Resumo das diferenças entre métodos simplificados e MEF nos cálculos de momento fletor máximo em pontes de vigas de concreto 94
Tabela 5.2 – Resumo das diferenças entre métodos simplificados e MEF nos cálculos da força cortante máximo em pontes de vigas de concreto 97
Tabela 5.3 – Resumo das diferenças entre métodos simplificados e MEF nos cálculos de deslocamento máximo em pontes de vigas de concreto 100
Tabela 5.4 – Resumo das diferenças entre métodos simplificados e MEF nos cálculos de momento fletor máximo em pontes de vigas metálicas 103
Tabela 5.5 – Resumo das diferenças entre métodos simplificados e MEF nos cálculos de força cortante máximo em pontes de vigas metálicas 106
Tabela 5.6 – Resumo das diferenças entre métodos simplificados e MEF nos cálculos de deslocamento máximo em pontes de vigas metálicas 109
Lista de Abreviaturas
AASHTO American Association os State Highway and Transportation Officials
ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas
ANTT Agência Nacional de Transportes Terrestres
CA Concreto Armado
CG Centro de Gravidade
CP Concreto Protendido
DNER Departamento Nacional de Estradas de Rodagem
DNIT Departamento Nacional de Infraestruturas de Transporte
EC Engesser-Courbon
EF Elementos Finitos
FC Faixa de Carregamento
FHWA Federal Highway Administration
FP Faixa de Projeto
FPM Fator de Presença Múltipla
LDF Load Distribution Factor
LI Linha de Influência
LR Ligações Rígidas
LRFD Load and Resistance Factor Design
MEC Método de Engesser-Courbon
MEF Método dos Elementos Finitos
MVM Método da Viga Modelo
NBR Norma Brasileira
NCHRP National Cooperative Highway Research Program
NDOR Nebraska Department of Roads
OAE Obra de Arte Especial
PUC Pontifícia Universidade Católica
TA Transversina de Apoio
TI Transversina Intermediária
VMD Volume Médio Diário
VR Viga Retangular
VT Viga T
Lista de Símbolos
Parcela de carga unitária na posiçãoj da longarina i
Número de longarinas
Excentricidade da carga em relação ao CG da seção transversal do tabuleiro
Distância da longarina i em relação ao CG da seção transversal do tabuleiro
Rigidez dos apoios elásticos
Comprimento do vão
Rigidez à flexão da viga longitudinal j
S Espaçamento das vigas
D Constante fixada para cada tipo de ponte
Espessura do tabuleiro
Número de vigas
Parâmetro de rigidez longitudinal
LDF da viga externa
Fator de correção
LDF da viga interna
Distancia horizontal entre o CG da viga externa e a face interna do guarda corpo
Modulo de elasticidade do material da viga
Modulo de elasticidade do material do tabuleiro
Momento de inércia da viga isolada
,i jR
n
e
ix
jk
L
jEI
st
bN
gK
g
e
interiorg
ed
BE
DE
I
Área da viga isolada
Distancia entre o CG da viga e do tabuleiro
Momento fletor total de uma viga
Momento fletor total do elemento de viga
Momento fletor total do elemento de casca
Momento fletor devido a forças axiais
Momento fletor do elemento de viga
Momento fletor em um ponto do elemento i
Largura dos elementos da casca
Largura efetiva do tabuleiro
Força norma no elemento de viga
Momento fletor
Deslocamento máximo
Carregamento linearmente distribuído
Comprimento das vigas
Módulo de elasticidade do material
Módulo de elasticidade normativo
Módulo de deformação secante
Carga concentrada calculada
Carga concentrada normativa
Carga distribuida dentro do veículo calculada
Carga distribuida normativa
P Carga concentrada reduzida
A
ge
MEFM
vigaM
cascaM
axialM
1bSM
1 ,s iSM
1bSF
ib
effb
M
f
q
l
E
ciE
csE
'P
iP
'p
distp
p'' Carga distribuida fora do veículo calculada
Comprimento do veículo
Número de eixos
Número de vigas
Inércia equivalente da seção composta da viga
en
vL
vigasN
eqI
É preferível sofrer uma injustiça do que cometê-la.
Sócrates
1 Introdução
1.1 Relevância e Justificativas da Pesquisa
As pontes e viadutos são fundamentais para o desenvolvimento econômico
de um país ou região, portanto, a segurança dessas estruturas é um tema de grande
importância para o meio técnico-científico. Para garantir um nível de segurança
confiável nos projetos é necessário conhecer todas as complexidades técnicas en-
volvidas no dimensionamento. Esse conhecimento começou a ser formado de
forma empírica no passado, e atualmente é desenvolvido em um ritmo acelerado
por se utilizar de novos conhecimentos de diversas áreas, como da matemática e
da estatística, por exemplo. No entanto, apesar do desenvolvimento acelerado, o
uso desse conhecimento na prática as vezes acaba sendo retardado por diversos
motivos.
Assim como as pontes e viadutos são de extrema importância para o desen-
volvimento econômico de um país, a necessidade ou desejo desse desenvolvimen-
to é o combustível para o desenvolvimento de novas metodologias nessa área da
engenharia. Por exemplo, a tecnologia de pontes atualmente utilizada nos Estados
Unidos é um produto da rápida expansão do seu sistema rodoviário nas décadas
de 1950 e 1960, após a Segunda Guerra Mundial. Como resultado o sistema rodo-
viário americano tem atualmente, em seus 80.000 Km de estradas, 600.000 pontes
(Fu, 2013).
Fu (2013) ainda menciona que diversos países em desenvolvimento estão
experimentando uma expansão similar nos seus sistemas de transporte; por esse
motivo a engenharia de pontes também está se desenvolvendo em outras partes do
mundo. Fica claro então que com o compartilhamento dos conhecimentos obtidos
pelos países desenvolvidos, a velocidade de expansão do conhecimento consegui-
da pelos países em desenvolvimento pode ser muito maior, trazendo maior segu-
rança em projetos de pontes e um maior desenvolvimento econômico.
Revisão Bibliográfica 25
O Brasil tem muito menos pontes construídas do que os Estados. De acordo
com Mendes (2009), em 2003 nos 73.000 quilômetros de rodovias federais, exis-
tiam apenas 5.619 pontes segundo cadastro do DNIT, construídas principalmente
entre as décadas de 1950 e 1970. Isso pode ser observado na Figura 1.1 que apre-
senta o número de pontes construídas em rodovias federais no Brasil em cada ano
desde 1930.
Figura 1.1 – Ano de construção das pontes das rodovias federais no Brasil (Mendes, 2009).
Após a expansão entre as décadas de 1950 e 1970 e aproximadamente duas
décadas de pouco investimento na área, no final da década de 1990 uma nova fase
de expansão é iniciada, trazendo consigo a possibilidade de um novo período de
enorme ganho de conhecimento na engenharia de pontes, com o benefício de que
outros países, como os Estados Unidos, que já dedicou, e ainda dedica, um grande
esforço para melhor entender a complexidade dessa área.
Neste trabalho propõe-se o desenvolvimento de uma metodologia alternati-
va para o projeto de pontes de um único vão no Brasil a partir de fatores de distri-
buição de solicitações. Para tal utilizam-se os conhecimentos adquiridos e con-
firmados por normas estrangeiras, como a americana AASHTO LRFD (American
Association of State Highway and Transportation Officials – Load-and-Resistance
Factor Design), que tem informações de grande utilidade, para a elaboração de
uma metodologia que moderniza formas simplificadas utilizadas atualmente em
projetos de pontes brasileiras.
Revisão Bibliográfica 26
Muitas das normas brasileiras são derivadas de normas estrangeiras, porém,
na NBR 7188 (2013), que determina as cargas móveis rodoviárias em pontes tem
sua base em normas antigas como a DIN 1072, as cargas são consideradas através
de trens-tipos idealizados, que não refletem necessariamente a realidade dos veí-
culos que circulam nas rodovias do país (Luchi, 2006). Outro detalhe importante é
que não define nenhum método de análise da distribuição transversal de solicita-
ções causadas pelas cargas móveis. Para obter essa distribuição diversos métodos
simplificados são utilizados, como o de Engesser-Courbon, Guyon-Massonet e
Viga Modelo. Apesar de serem métodos consagrados, são baseados em teorias
distintas, que podem fornecer resultados discrepantes para um mesmo tabuleiro,
resultando em maiores dificuldades nas verificações e também diminuindo os seus
níveis de segurança.
A modernização da metodologia utilizada no projeto de pontes no Brasil
pode ser realizada em diversas áreas da engenharia de pontes. Por exemplo, pode-
se padronizar um método simplificado de distribuição transversal de solicitações.
Também pode-se atualizar a definição de cargas móveis por meio de estudos esta-
tísticos de forma a representar de forma mais precisa possível as situações reais
encontradas na malha rodoviária brasileira. Finalmente, também pode-se padroni-
zar as seções transversais das pontes, definindo-se seções de vigas pré-moldadas,
por exemplo, a fim de reduzir os custos de fabricação das peças e simplificar os
processos das verificações estruturais.
Dentre as diversas possibilidades citadas, este trabalho foca na validação de
um método simplificado de distribuição transversal de solicitações baseado no
método definido pela AASHTO LRFD. Algumas considerações necessárias para
adequá-lo às recomendações normativas brasileiras também são discutidas ao
longo deste estudo.
Atualmente encontra-se em desenvolvimento uma nova norma brasileira,
entitulada “Projeto de Pontes e Viadutos Rodoviárias de Aço e Mistas Aço e
Concreto”, que considera o método simplificado de distribuição transversal de
solicitações definido pela AASHTO LRFD em projetos de pontes metálicas e
mistas de aço e concreto. Portanto, este trabalho auxilia a construção desta norma
nova, validando o método simplificado em questão para pontes com vigas
metálicas e com vigas em concreto armado e protendido.
Revisão Bibliográfica 27
1.2 Objetivos
O objetivo principal deste trabalho é a validação do método simplificado de
distribuição transversal de solicitações devido à cargas móveis da norma america-
na AASHTO LRFD para utilização em projetos de pontes de vigas no Brasil, res-
peitando as recomendações normativas aqui existentes. Este objetivo será alcan-
çado em duas etapas. Na primeira etapa, são realizados estudos utilizando-se o
programa Autodesk Robot 2013, que utiliza o Método dos Elementos Finitos
(MEF). A segunda etapa consiste em comparações com análises realizadas utili-
zando-se outros métodos simplificados comumente utilizados na execução de pro-
jetos, que são o de Engesser-Courbon e o da Viga Modelo.
A partir do objetivo geral, os seguintes objetivos específicos foram estabele-
cidos:
validar as técnicas de modelagem para criação dos modelos de pontes
em EF, comparando-se os resultados encontrados nos modelos conce-
bidos com resultados analíticos e com resultados encontrados em tes-
tes de carga em pontes reais, para assim garantir que os modelos cria-
dos consigam representar o comportamento das pontes;
definir as seções transversais das pontes a serem analisadas a partir de
estudos estatísticos das pontes existentes na malha rodoviária federal
brasileira, de modo que o estudo seja relevante para uma parcela signi-
ficativa das pontes existentes e futuras;
determinar um modelo de trem-tipo baseado na AASHTO LRFD con-
siderando as cargas e recomendações normativas brasileiras;
validar os resultados encontrados com a utilização do método da LRFD
com análises pelo MEF;
validar os resultados encontrados com a utilização do método da LRFD
com os métodos simplificados de Engesser-Courbon e Viga Modelo.
1.3 Estrutura do Trabalho
O trabalho é apresentado em cinco capítulos, que são formatados da seguin-
te maneira:
Revisão Bibliográfica 28
No Capítulo 2 é realizada uma revisão bibliográfica para discutir e entender
como as normas brasileira e americana tratam o assunto da distribuição transver-
sal de solicitações em pontes de vigas, e detalhar alguns dos métodos simplifica-
dos utilizados no Brasil que serão utilizados neste trabalho. Nesse capítulo apre-
senta-se também uma discussão sobre as de modelagem de pontes pelo MEF, e os
resultados de uma análise estatística das principais definições geométricas das
pontes brasileiras.
No Capítulo 3 é realizada a validação do modelo de EF a ser utilizado na
sequência do estudo. A validação é realizada a partir de análises básicas de ele-
mentos isolados até modelagens de tabuleiros completos que receberam testes de
cargas.
No Capítulo 4 são discutidos os elementos utilizados na elaboração do tra-
balho, como os parâmetros geométricos das pontes analisadas e os métodos consi-
derados, além de detalhar a metodologia utilizada, que consiste na criação de um
modelo de carga móvel similar ao sugerido pela AASHTO LRFD (2012), no cál-
culo dos trens-tipos dos métodos considerados, na modelagem e análise das pon-
tes pelo MEF e na comparação entre os resultados encontrados pelos métodos
simplificados e pelo MEF.
No Capítulo 5 são expostos os resultados encontrados nas análises, e no Ca-
pítulo 6 são apresentadas as conclusões obtidas e sugestões para futuros trabalhos,
dentro desta linha de pesquisa.
Revisão Bibliográfica 29
2 Revisão Bibliográfica
2.1 Considerações Iniciais
Este capítulo apresenta uma revisão bibliográfica dos tópicos relevantes pa-
ra a realização deste trabalho. São eles:
as cargas móveis determinadas pela NBR 7188 e pela AASHTO
LRFD para o uso em projetos de pontes;
os métodos simplificados de análise da distribuição transversal de
solicitações devidos às cargas móveis. São eles: o de Engesser-
Courbon, o da Viga Modelo e o da AASHTO LRFD;
as formas de modelagem por elementos finitos de pontes de vigas
em elementos finitos e a influência da consideração de elementos
secundários no modelo;
o panorama das características das pontes encontradas nas rodovias
brasileiras.
2.2 Cargas Móveis
2.2.1 NBR
A norma que determina as cargas móveis rodoviárias brasileiras é a NBR
7188 (2013) – “Carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos, passa-
relas e outras estruturas”, porém apesar de ser uma norma recente, as atualizações
que trás não alteraram significativamente os padrões já definidos em normas ante-
riores. Desde a NB-6 (1960) é utilizada a mesma configuração do trem-tipo com
três eixos espaçados em 1,50 m entre si e dimensões de 6 m de comprimento por 3
m de largura, apesar de ter havido algumas modificações nas cargas atuantes.
Revisão Bibliográfica 30
Luchi (2006) afirma que o objetivo das normas internacionais é que os seus
modelos de carregamento representem bem as cargas reais encontradas nas rodo-
vias. Códigos como o Eurocode 1 (2003) e a AASHTO LRFD (2012) já sofreram
modificações para atingir este objetivo por meio de análises estatísticas de situa-
ções de tráfego e tipos de veículos encontrados nas estradas. No entanto a NBR
7188 ainda determina um trem-tipo baseado nas antigas DIN-1072, e não reflete a
realidade das cargas reais que ocorrem nas pontes brasileiras.
As cargas móveis definidas pela NBR 7188 (2013) não diferem muito das
cargas da norma anterior, NBR 7188 (1984), tendo como principais modificações
a retirada das classes 12 e 30 e a reintrodução da classe 24, agora denominada TB-
240. A classe 45 é mantida também com uma nova denominação, TB-450.
O TB-450, considerado a carga móvel padrão e utilizado nas principais aná-
lises, é definido pela NBR 7188 (2013) como “um veículo tipo de 450 kN, com
seis rodas com P = 75kN, três eixos de carga afastados entre si em 1,5 m com área
de ocupação de 18,0m², circundada por uma carga uniformemente distribuída
constante p = 5 kN/m²”. A representação da disposição dessas cargas é apresenta-
da na Figura 2.1. Para pontes em estradas vicinais municipais de uma faixa e pon-
tes particulares é possível utilizar o TB-240, semelhante ao TB-450, porém, com
P = 40 kN e p = 4 kN/m². A carga distribuída é disposta por toda a área do tabulei-
ro que possa causar efeitos desfavoráveis.
Figura 2.1 – Disposição das cargas móveis pela NBR 7188 (2013).
Revisão Bibliográfica 31
2.2.2 AASHTO
A American Association of State Highway Officials (AASHO), predecessora
da AASHTO, publicou em 1931 o primeiro texto que prescrevia especificações
para o projeto e construção de pontes nos Estados Unidos. Essa publicação foi in-
titulada como “Standard Specifications for Highway Bridges and Incidental
Structures” e rapidamente foi adotada como um padrão aceito não apenas pelos
departamentos nacionais de estradas, mas também por outras autoridades respon-
sáveis pelas pontes dentro e fora dos EUA (AASHTO LRFD, 2012).
A norma Standard foi utilizada pela AASHTO por aproximadamente 70
anos como o principal documento normativo, porém, de acordo com Nowak
(1995), dentro desse período diversas modificações foram realizadas em seu texto,
causando inconsistências nos procedimentos. Foi, enfim, substituída totalmente
em 2007 após um processo que durou mais de duas décadas de estudos. A nova e
atual norma LRFD faz parte de uma nova geração de normas de projetos de pon-
tes que é baseada em teorias de probabilidades e estatísticas, onde o desempenho
estrutural pode ser medido em termos de um índice de confiabilidade , uma
função de parâmetros estatísticos de carga e resistência (Nowak e Szersen, 1998).
Yousif e Hindi (2007) comparam os índices de confiabilidade encontrados
na LRFD com os da Standard e provam como a nova norma é mais segura que a
antiga. Foi encontrada uniformidade e uma boa consistência na LRFD com um
3,5 para diferentes tipos e configurações de tabuleiros. Esse valor de certi-
fica que apenas dois a cada 10.000 elementos podem ter a soma das cargas fatora-
das maiores do que as suas resistências fatoradas na sua vida útil de 75 anos. Já na
Standard o encontrado não é uniforme, variando entre 2 e 4,5. Um 2 signi-
fica que quatro a cada 100 elementos podem receber solicitações fatoradas maio-
res do que suas resistências fatoradas.
A LRFD tem duas combinações de faixas de carregamentos (FC) de projeto
denominadas HL-93 que são: (a) um caminhão de projeto (HS-20) com uma faixa
de carga distribuída com 3,00 m de largura como mostra a Figura 2.2, e (b) um
tandem de projeto com dois eixos de 110 kN espaçados em 1,20 m entre si em
conjunto com a mesma carga distribuída. Tanto a carga distribuída quanto os veí-
culos já existiam na Standard, mas eram considerados de forma isolada.
Revisão Bibliográfica 32
Figura 2.2 – Disposição das cargas dos veículos da AASHTO LRFD 2012.
As combinações de FC são dispostas em faixas de projeto (FP) que não são
necessariamente equivalentes à quantidade de faixas de rolamento, pois a LRFD
define que a quantidade de FP é resultante da divisão da largura útil do tabuleiro
por 3,66 m. As análises são realizadas para uma ou mais FP carregadas, sendo que
a pequena probabilidade de ocorrência simultânea de mais de um carregamento de
grande magnitude é considerada por meio de fatores de presença múltiplas (FPM),
apresentados na Tabela 2.1 –.
Tabela 2.1 – Fatores de presença múltipla (adaptado de AASHTO LRFD, 2012)
2.3 Método de Distribuição Transversal de Cargas
Existe uma grande variedade de métodos de análise da distribuição transver-
sal de solicitações de cargas móveis em pontes de vigas, desde métodos simplifi-
cados consagrados como o de Engesser-Courbon, Leonhardt, Guyon-Massonet,
Homberg-Trenks e Viga Modelo, até o mais completo MEF.
Como a NBR 7188 (2013) não determina o uso de um método específico ou
faz recomendações sobre a distribuição transversal das solicitações, os engenhei-
ros projetistas têm a liberdade de utilizar qualquer método que seja de sua confi-
ança. Essa liberdade impede que exista um controle maior sobre a segurança das
Revisão Bibliográfica 33
pontes brasileiras, pois cada um dos métodos tem diferentes especificidades e po-
de fornecer resultados discrepantes para uma mesma ponte.
O método definido pela AASHTO LRFD consiste em um cálculo de um fa-
tor denominado LDF (Load Distribution Factor) que determina como o carrega-
mento deve ser distribuído transversalmente na ponte. A obtenção desse fator é
feita com equações que foram obtidas por meio de estudos paramétricos baseados
em análises usando-se o MEF. Estudos evidenciam que essas equações conse-
guem representar bem o comportamento das pontes (Sotelino, Liu, et al., 2004).
Nas próximas subseções são apresentados os métodos simplificados de En-
gesser-Courbon e Viga Modelo e o método utilizado pela norma AASHTO
LRFD.
2.3.1 Método Engesser-Courbon (MEC)
O MEC, desenvolvido em 1940 por Courbon e atribuído também a Engesser
posteriormente (Alves, Almeida e Judice 2004), é uma consideração simplificada
da análise da distribuição transversal de cargas, que é realizada ao criar um trem-
tipo equivalente relativo a uma longarina específica que se deseja analisar. O
trem-tipo é criado de acordo com a linha de influência de tal longarina na seção
transversal do tabuleiro, e o cálculo tem como variáveis apenas o número de lon-
garinas e o espaçamento entre elas, além da localização das cargas. Porém, para
que esse método possa ser utilizado, Stucchi (2006) afirma que algumas condições
em relação às dimensões da ponte que necessitam ser respeitadas. São elas:
a largura do tabuleiro deve ser menor que a metade do vão da ponte;
a altura das transversinas deve ser da ordem de grandeza da altura das
longarinas;
as espessuras das longarinas e das lajes devem ser pequenas em rela-
ção às outras dimensões.
Para os casos em que essas condições são respeitadas, são consideradas al-
gumas hipóteses para a utilização do método, de acordo com Stucchi (2006). São
elas:
as transversinas são infinitamente rígidas;
a torção uniforme é desprezível;
Revisão Bibliográfica 34
é valida a lei de Hooke que rege a linearidade dos materiais;
é válida a hipótese de Navier, que diz que seções planas permanecem
planas após as deformações;
os deslocamentos são pequenos.
Com o respeito das condições garantido e a consideração das hipóteses defi-
nidas pelo método, a parcela de carga de cada longarina é definida por:
,2
1
1 ii j n
i
i
exR
nx
(2.1)
onde:
,i jR = parcela de carga unitária na posição j da longarina i;
n = número de longarinas;
e = excentricidade da carga em relação ao centro de gravidade (CG) da seção
transversal do tabuleiro;
ix = distância da longarina i em relação ao CG da seção transversal do tabuleiro
2.3.2 Método da Viga Modelo (MVM)
O Método da Viga Modelo (MVM) foi apresentado por Cavalcanti (2007a)
e por ser um método relativamente recente em comparação com o MEC, ainda
não é tão disseminado no meio técnico-científico. Mas da mesma forma como no
MEC, também faz a análise da distribuição transversal de solicitações com a de-
terminação de um trem-tipo equivalente à longarina analisada, por meio de uma
linha de influência da seção transversal do tabuleiro.
Apesar dessa similaridade, são várias as diferenças entre eles. Os métodos
são representantes fiéis das épocas em que foram desenvolvidos. O MEC é mais
simples e mais fácil de ser utilizado. Já o MVM não foi desenvolvido para ser uti-
lizado com cálculos manuais básicos. A matemática do método é mais complexa e
necessita um programa computacional simples para o seu desenvolvimento.
Cavalcanti (2007a) divide seu método a partir da inclusão ou não de trans-
versinas de vão. Em projetos nos quais são consideradas o sistema de distribuição
é dito discreto. Nos casos onde não existe nenhuma transversina de vão o sistema
Revisão Bibliográfica 35
de distribuição é dito contínuo. Para ambos os casos as ideias desenvolvidas são
essencialmente as mesmas e a fundamentação matemática completa pode ser en-
contrada em Cavalcanti (2007a, 2007b). Assim como no MEC algumas condições
também precisão ser respeitadas para que o método possa ser utilizado. São elas:
o espaçamento entre as vigas longitudinais pode ser variável;
a inércia das vigas longitudinais é invariável, mas não necessariamen-
te iguais entre si;
não é necessário considerar transversinas de vão;
se houver apenas uma transversina de vão será situada no meio do
vão;
se houver mais de uma transversina de vão deverão ser iguais e dividir
o tabuleiro em partes iguais ao longo do vão.
O método consiste basicamente em determinar a rigidez dos apoios elásti-
cos, que representam as vigas longitudinais e calcular os coeficientes de distribui-
ção transversal mediante o cálculo das reações de apoio, assim:
4
j jk EIL
(2.2)
onde
jk = rigidez dos apoios elásticos;
= comprimento do vão;
jEI = rigidez à flexão da viga longitudinal j.
2.3.3 AASHTO LRFD
O método simplificado de distribuição transversal de cargas móveis apre-
sentado pela norma AASHTO Standard é baseado na obtenção de um fator de dis-
tribuição de cargas (LDF), que multiplicado pelas solicitações (momento fletor ou
força cortante) encontrados em uma análise bidimensional utilizando-se o trem-
tipo definido pela norma, determina as solicitações máximas na viga mais carre-
gada de um tabuleiro. É um método muito simples e tem apenas uma variável, o
L
Revisão Bibliográfica 36
espaçamento entre as vigas. O cálculo que é válido para diversos tipos de pontes,
é dado por:
SLDF
D (2.3)
Na expressão (2.3) S é o espaçamento das vigas ( pés ) e D é uma constante
fixada para cada tipo de ponte.
Além de simples, de acordo com diversos estudos é um método relativa-
mente impreciso, pois mesmo fornecendo resultados válidos para algumas pontes,
fornece resultados inseguros para pontes com vãos e espaçamentos de vigas rela-
tivamente pequenos, e resultados ultraconservadores para pontes com vãos e es-
paçamentos de vigas relativamente grandes (Sotelino et al., 2004). Baseado nessas
informações foi iniciado em 1985 o projeto NCHRP 12-26, denominado “Distri-
buição de Cargas Móveis em Pontes Rodoviárias” que visa a melhoria da precisão
das expressões do tipo S/D da norma Standard.
De acordo com Sotelino et al. (2004) foram considerados três níveis de aná-
lises no projeto NCHRP 12-26. O primeiro nível utiliza fórmulas simplificadas
para prever a distribuição transversal, enquanto o segundo envolve métodos gráfi-
cos, superfícies de influência e análise de grelha, e o terceiro é o mais preciso e
envolve análises detalhadas em elementos finitos de superestruturas de pontes. As
análises de nível 2 e 3 foram utilizadas para determinar as expressões simplifica-
das do nível 1 a partir de estudos paramétricos. Assim, as expressões foram de-
senvolvidas para incluir os parâmetros em que a distribuição transversal é mais
sensível. São eles: o espaçamento das vigas, o comprimento do vão, as caracterís-
ticas geométricas das vigas e a espessura do tabuleiro.
Em 1994 quando a AASHTO publicou e adotou a nova norma LRFD Bridge
Design como uma alternativa para a Standard, foram utilizadas as expressões de-
senvolvidas no projeto NCHRP 12-26 para o cálculo dos LDF no lugar das ex-
pressões S/D. Durante mais de uma década a LRFD foi estudada e validada no
meio técnico-científico, até que em 2007 substituiu definitivamente a Standard.
Apesar da autonomia de cada estado americano atualmente todas as pontes nos
EUA, financiadas pelo governo federal precisam ser projetadas seguindo-se as
recomendações da AASHTO LRFD (Harris e Gheitasi, 2013).
Revisão Bibliográfica 37
O método simplificado de distribuição de solicitações adotado pela
AASHTO LRFD é tido como uma boa representação do comportamento das pon-
tes, e também é considerado simples de ser utilizado na prática, apesar de ser mais
complicado que a Standard pela necessidade de se realizar um processo iterativo.
Essa necessidade existe porque é necessário definir a seção das vigas da ponte pa-
ra calculá-lo.
Para cada tipo de tabuleiro são utilizadas diferentes expressões e diferentes
especificações para o cálculo do LDF. Mas como este trabalho trata apenas de
pontes de vigas, metálicas ou de concreto, são apresentadas apenas as expressões
pertinentes a esses casos. O LDF pode ser obtido por meio de quatro formas dis-
tintas para o cálculo do momento fletor, e de forma análoga para o cálculo da for-
ça cortante na viga mais solicitada do tabuleiro, que são:
para viga interna com uma faixa de rolamento carregada (FPM incluí-
do);
para viga interna com duas ou mais faixas de rolamento carregadas
(FPM incluído);
para viga externa com uma faixa de rolamento carregada (não inclui
FPM);
para viga externa com duas ou mais faixas de rolamento carregadas
(FPM incluído).
A Tabela 2.2 – apresenta as formas de obtenção do LDF para momento fle-
tor com seus respectivos limites de aplicabilidade e a Tabela 2.3 – apresenta as
formas de obtenção do LDF para força cortante também com seus limites de apli-
cabilidade.
Revisão Bibliográfica 38
Tabela 2.2 – Resumo das formas de obtenção do LDF para distribuição do momento fle-tor
Tabela 2.3 – Resumo das formas de obtenção do LDF para distribuição da força cortante
As variáveis presentes nas tabelas 2.2 e 2.3 representam o seguinte:
S espaçamento entre as vigas (em ft ) ;
st espessura do tabuleiro (em .in );
L comprimento do vão (em ft ) ;
bN número de vigas ;
gK parâmetro de rigidez longitudinal (em 4.in ) ;
g LDF da viga externa ;
e fator de correção ;
interiorg LDF da viga interna ;
ed distância horizontal entre o CG da viga externa e a face interna do guarda
corpo.
Revisão Bibliográfica 39
O parâmetro gK é dado por:
2
g gK n I Ae (2.4)
onde
B
D
En
E (2.5)
BE modulo de elasticidade do material da viga (em ksi );
DE modulo de elasticidade do material do tabuleiro (em ksi );
I momento de inércia da viga isolada (em 4.in );
A área da viga isolada (em 2.in );
ge distância entre os centros de gravidade da viga e do tabuleiro (em .in ).
Analisando-se as duas tabelas observa-se que o LDF das vigas internas é
calculado utilizando-se as equações desenvolvidas a partir do projeto NCHRP 12-
26, enquanto que o LDF das vigas externas é calculado de duas formas distintas.
Em análises nos quais apenas uma faixa de rolamento é carregada, é utilizada uma
regra analítica denominada Regra da Alavanca (Lever Rule), que apesar de citada
não será validada neste trabalho. Para análises em que duas ou mais faixas de ro-
lamento são carregadas, o LDF da viga externa é relacionado ao da viga interna
por um fator de correção.
De forma geral as vigas internas e externas podem ser dimensionadas sepa-
radamente, porém, é comum que o dimensionamento seja realizado utilizando-se
apenas o maior entre os LDF calculados para que todas as vigas tenham a mesma
capacidade resistente e o tabuleiro seja estruturalmente redundante.
2.4 Modelagem em Elementos Finitos
Atualmente o MEF é sem dúvida um dos mais potentes métodos para a rea-
lização de análises estruturais de pontes, porém, para que seja efetivo requer o só-
lido conhecimento sobre seus fundamentos. Pequenos erros na modelagem ou no
processamento dos resultados podem causar grandes erros nos resultados, que po-
dem passar despercebidos até por engenheiros experientes.
Revisão Bibliográfica 40
A superestrutura de uma ponte de vigas é, de forma geral, dividida em ele-
mentos primários e secundários. Os primários, que necessariamente precisam ser
considerados em um modelo de elementos finitos, incluem o tabuleiro e as longa-
rinas, enquanto os secundários, que podem ou não serem considerados, são trans-
versinas, diafragmas, enrijecedores, elementos de contraventamento, guarda-
corpo, parapeito, etc.
É possível modelar um tabuleiro de diversas maneiras, desde formas simpli-
ficadas bidimensionais até detalhados modelos em 3-D, onde podem ser conside-
radas todas as características da estrutura real com o menor número possível de
aproximações. A variação entre os diferentes modelos tridimensionais ocorre
principalmente na escolha dos tipos de elementos disponíveis no MEF na modela-
gem desses elementos primários (vigas e laje), e na consideração ou não dos ele-
mentos secundários.
2.4.1 Elementos Primários
Dentre as possibilidades de métodos de modelagem dos elementos primá-
rios, a laje pode ser modelada com elementos sólidos ou de casca, porém, Cook et
al. (1989) comentam que o uso de elementos sólidos não é geralmente recomen-
dado por necessitar um elevado esforço computacional. Sotelino et al. (2004)
apresentam um estudo comparando várias maneiras de se modelar esses elemen-
tos. Comparando-se os tipos de modelagem encontrados na literatura, constata-se
que em 80% dos estudos analisados a laje é modelada usando-se elementos de
casca, sendo que desse grupo 65% utiliza elementos com quatro nós. Entre esse
percentual são citados os trabalhos de Barr et al. (2001), Schwarz e Laman
(2001), Shahawy e Huang (2001) e Tabsh e Tabataba (2001).
As vigas podem ser modeladas com elementos de viga ou de casca. Nos da-
dos apresentados por Sotelino et al. (2004) em torno de 53% dos trabalhos as vi-
gas são modeladas com elementos de viga, sendo que em 75% deles são utilizados
elementos de dois nós. No restante são modeladas com elementos de casca, ou por
uma combinação de elementos de casca e de viga.
Para garantir uma melhor aproximação do comportamento real do tabuleiro
e reduzir as inconsistências físicas e geométricas, o ideal é que cada elemento e os
apoios sejam modelados no seu local exato. Obviamente, para que isso ocorra,
Revisão Bibliográfica 41
eles não podem estar conectados diretamente, e necessitam de um elemento de
ligação rígida que garanta a ação do conjunto.
A Figura 2.3, retirada de Chung e Sotelino (2005), representa um modelo
simples com laje em casca e viga em elemento de viga conectados por elementos
rígidos nos nós. Os elementos rígidos também conectam os apoios às vigas. De
acordo com os resultados obtidos por Chung e Sotelino (2005), esse tipo de mode-
lo produz resultados com ótima precisão quando comparado a modelos mais sofis-
ticados a um custo computacional bem mais baixo. Por esse motivo, esse é o tipo
de modelagem adotado neste trabalho.
Figura 2.3 – Representação do modelo de elementos finitos (retirada de Chung e Soteli-no, 2005).
2.4.2 Elementos Secundários
Na maioria dos trabalhos encontrados na literatura elementos secundários
não são considerados na modelagem de pontes de viga. Diversos estudos anterio-
res dissertaram a respeito dos resultados encontrados em comparações de análises
de pontes com e sem esses elementos, geralmente tratando principalmente da con-
sideração das transversinas.
A consideração das transversinas é importante para que o comportamento
do tabuleiro seja bem representado na análise, porém a sua real importância no
comportamento do sistema é discutida por vários autores. De acordo com Araújo
(2005) a discussão da importância das transversinas é relacionada a vários pontos,
como o efeito delas na distribuição transversal de solicitações e a redução dos
momentos fletores nas longarinas.
Dentre os trabalhos que analisaram a influência das transversinas, tem-se:
Revisão Bibliográfica 42
Barr et al. (2001) concluem que entre todas as variáveis investiga-
das, as transversinas intermediárias (TI) têm a menor influência na
distribuição transversal de cargas móveis, e as transversinas de
apoio (TA) têm maior influência quanto maior for a esconsidade do
tabuleiro. Em pontes ortogonai, a consideração das TA causa altera-
ções de até 6%, e em pontes com 60º de esconsidade causa altera-
ções de até 23%;
Araújo (2005) conclui que a presença de TA não produz alterações
significativas, causando mudanças de no máximo 5% nas solicita-
ções nas vigas longitudinais. Já ao considerar a presença das TI fo-
ram encontradas variações de até 14% nas solicitações das longari-
nas, porém, essas variações ocorrem tanto diminuindo o esforço em
uma viga quanto aumentando em outra. Dessa forma, as solicitações
de projeto não são alterados significativamente, e os benefícios cau-
sados pela adição das transversinas, no que tange a distribuição
transversal de solicitações, se tornam nulos;
Eamon e Nowak (2002) encontram, com a consideração das trans-
versinas uma redução de até 13% (média de 4%) nos momentos
máximos das longarinas;
Chung, Liu e Sotelino (2006) encontram uma redução dos momen-
tos máximos das longarinas de até 11% ao considerarem as trans-
versinas.
2.4.3 Pós-Processamento de Resultados
Um trabalho de pós-processamento de alguns resultados obtidos em uma
análise por elementos finitos é necessário em diversas situações. No caso de pon-
tes que são modeladas utilizando-se ligações rígidas para conectar o tabuleiro e as
vigas, existe a necessidade de fazer esse tipo de trabalho para determinar os mo-
mentos fletores das vigas. Outros resultados, como a força cortante e os desloca-
mentos são obtidos diretamente.
Revisão Bibliográfica 43
De acordo com Sotelino et al. (2004) o momento fletor MEFM de uma de-
terminada viga é o resultante de três componentes dos resultados da análise. Esses
componentes são o próprio momento fletor nos elementos de viga vigaM , o mo-
mento no tabuleiro nos elementos de casca cascaM e o momento devido a forças
axiais axialM , como mostrados na Figura 2.4.
Figura 2.4 – Componentes do momento nas vigas (retirado de Sotelino et al., 2004)
Assim:
MEF viga casca axialM M M M (2.6)
As formas como esses componentes são obtidos são apresentadas a seguir.
a) Momento fletor nos rlementos de viga
O momento da viga é obtido diretamente no elemento de viga:
1viga bM SM (2.7)
onde 1bSM é o momento calculado diretamente no elemento.
b) Momento fletor do tabuleiro
O momento do tabuleiro é o resultado da soma dos produtos de cada mo-
mento distribuídos nos elementos de casca atuando na metade de suas larguras ib :
Revisão Bibliográfica 44
1 ,2
icasca s i
bM SM
(2.8)
onde 1 ,s iSM é o momento em um ponto no elemento i . É necessário calcular a
largura efetiva effb do tabuleiro para se determinar quais elementos influenciam as
solicitações nas vigas, e assim definir as suas larguras ib .
c) Momento fletor devido às forças axiais
O momento devido a forças axiais é o resultado da multiplicação da força
axial da viga pela distância e do CG da viga ao CG do tabuleiro:
1axial bM SF e (2.9)
onde 1bSF é a força normal no ponto analisado da viga.
2.5 Panorama das Pontes Brasileiras
Nesta seção são apresentadas as informações obtidas por Mendes (2009) so-
bre o panorama das pontes nas rodovias federais brasileiras. Para obter essas in-
formações foram analisados os cadastros do Departamento Nacional de Infraestru-
tura de Transportes (DNIT) e da Agência Nacional de Transportes Terrestres
(ANTT), além do cadastro de várias agências e empresas responsáveis pelas rodo-
vias. No total foi gerado um cadastro único de 5.619 pontes, onde 70% delas tem
idade superior a 30 anos. Como o Brasil não tem um sistema eficiente de gestão
das OAE (Obras-de-Arte Especiais) existentes, as informações contidas nesse ca-
dastro não são completas na maioria dos casos. Por exemplo, para 28% das pontes
cadastradas não é especificado o tipo de sistema estrutural existente, e para 75%
delas não é especificado o número de vãos. Na apresentação dos dados já foram
excluídas as pontes para as quais não foram fornecidas as informações para cada
caso.
Revisão Bibliográfica 45
2.5.1 Sistema Estrutural e Material
De acordo com Mendes (2009) o sistema estrutural mais comum nas pontes
brasileiras é o de vigas (Figura 2.5). Dentro do total quase 82% das pontes são de
vigas de concreto armado (CA), 11% de vigas de concreto protendido (CP) e ape-
nas 2,5% de vigas metálicas.
Figura 2.5 – Distribuição do número de pontes por sistema estrutural (adaptada de Men-des, 2009).
Essa diferença entre o número de vigas de concreto e metálicas é notável.
Em comparação com os dados fornecidos em 2013 pelo FHWA (Federal Highway
Administration) sobre o panorama das pontes nos Estados Unidos, na Figura 2.6,
a diferença fica ainda mais evidente.
(a)
(b)
Figura 2.6 – (a) Principais sistemas estruturais de pontes; (b) Principais materiais utiliza-dos.
Enquanto no Brasil 95% das pontes existentes são de vigas, nos EUA apesar
de também serem maioria, esse percentual reduz para 61%. Percebe-se também a
Revisão Bibliográfica 46
diferença na utilização de estruturas metálicas em pontes entre os dois países. O
uso do aço em pontes americanas é cerca de 10 vezes maior do que em pontes
brasileiras. Mas devido à expansão atual do uso do aço em construções no Brasil,
espera-se uma tendência futura de projetos de pontes com maior utilização desse
tipo de material.
2.5.2 Número de Vãos e Faixa de Extensão
Dando continuidade à apresentação das informações obtidas a partir do ca-
dastro de Mendes (2009), é apresentada na Figura 2.7 (a) a distribuição das pontes
por número de vãos apoiados (balanços extremos não são contabilizados como
vãos). A Figura 2.7 (b) mostra a distribuição das pontes em termos dos compri-
mentos dos vãos. Nota-se que metade das pontes têm apenas um vão bi-apoiado e
97% dos vãos têm comprimento inferior a 50 m.
(a)
(b)
Figura 2.7 – Distribuição das pontes por: (a) número de vãos; (b) comprimento dos vãos.
2.5.3 Largura do Tabuleiro
O Manual de Inspeção de Pontes Rodoviárias (2004) faz um breve histórico
da evolução das pontes rodoviárias da malha federal desde a década de 1940, épo-
ca em que as primeiras normas brasileiras referentes a projetos de pontes foram
criadas. Nele são comentadas as geometrias transversais utilizadas em cada um
dos diferentes períodos de projetos de ponte no Brasil.
Revisão Bibliográfica 47
Na Tabela 2.4 – são apresentadas as larguras de tabuleiros usuais em cada
período e suas características gerais.
Tabela 2.4 – Características das seções transversais de cada período
Percebe-se então que a largura padrão dos tabuleiros de pontes varia muito
de época para época. Essa variação reflete nos dados informados por Mendes
(2009) e apresentados na Figura 2.8. Nessa figura é apresentada a distribuição
atual de pontes no Brasil por largura do tabuleiro e a proporção das pontes cons-
truídas em cada um dos períodos estudados.
(a)
(b)
Figura 2.8 – Distribuição das pontes por: (a) largura do tabuleiro; (b) época de constru-ção.
Analisando-se todos os dados fica evidente a correlação entre a época de
construção das pontes e a proporção atual das larguras dos tabuleiros das pontes
brasileiras.
3 Validação do Modelo
3.1 Considerações Iniciais
Para a realização deste trabalho a primeira etapa a ser realizada é a valida-
ção do tipo de modelo de elementos finitos adotado. Como o objetivo deste traba-
lho é a análise de superestruturas de pontes, considera-se que os aparelhos de
apoio, os pilares e a fundação não influenciam no seu comportamento, portanto,
não foram modelados.
Foram escolhidos dois programas para uma comparação inicial, que são:
Autodesk Robot e o SAP2000. Como esperado os resultados encontrados por am-
bos os programas foram similares e, portanto, apenas o Robot foi escolhido para a
continuação do estudo.
A partir da definição do programa, o processo de validação do modelo é
constituído por duas etapas. A primeira é uma análise básica que teve como obje-
tivo comparar os resultados de análises de uma viga isolada modelada com dife-
rentes elementos e verificar a diferença entre eles. Os elementos analisados foram
o de viga com dois nós e o de casca com quatro nós. Também foi realizado um
estudo de convergência para se determinar a discretização necessária da malha de
elementos finitos para que produzam resultados satisfatórios.
Na segunda etapa duas pontes que receberam testes de carga foram modela-
das e tiveram os resultados dos testes e das análises de elementos finitos compa-
rados. Uma das pontes, projetada e construída em escala real no laboratório da
Universidade de Nebraska nos EUA, tem todo o processo de projeto e construção
e os resultados divulgados por Kathol et al (1995). A outra ponte foi construída na
cidade de Flint, no estado americano de Michigan, e é uma das seis pontes anali-
sadas por Nowak e Eom (2001). Ao comparar os resultados obtidos nas análises
por EF realizadas neste trabalho com os resultados experimentais, foi possível va-
lidar o comportamento do modelo completo, onde todos os elementos estruturais
da superestrutura das pontes trabalham em conjunto.
49
3.2 Análise Básica
Nesta primeira fase vários tipos de modelagem de pontes de viga foram
considerados. Em todos os modelos usou-se uma combinação de elementos de
viga e de casca. Uma vez selecionado o tipo de modelo a ser adotado no trabalho,
foi realizado um estudo de convergência para se determinar a discretização neces-
sária da malha. Primeiramente foram modeladas duas vigas bi-apoiadas de 5,00 m
de comprimento, apresentadas na Figura 3.1, sendo uma com seção retangular
(VR) para verificação do comportamento da viga isolada, e outra de seção T (VT)
para verificação de forma representativa do comportamento em conjunto de uma
faixa do tabuleiro de uma ponte com uma viga. Em ambas as análises considerou-
se apenas um carregamento linearmente distribuído de 10 /q kN m atuando nas
vigas.
(a.1) (a.2)
(b.1) (b.2)
Figura 3.1 – Vigas analisadas: (a) viga retangular; (b) viga T.
Os vários modelos analisados nessa etapa são apresentados na Tabela 3.1 –,
sendo dois para a VR e três para a VT.
Tabela 3.1 – Modelos das VR e VT
Modelo Elemento do tabuleiro Elemento da viga
VR. 1 - Viga
VR. 2 - Casca
VT. 1 Casca Viga
VT. 2 Casca Casca com ligação rígida
VT. 3 Casca Casca sem ligação rígida
50
A consistência geométrica é mantida nos quatro primeiros modelos, porém,
no VT.3, onde a viga é diretamente conectada ao tabuleiro, observa-se uma super-
posição de material, como era de se esperar. Na Figura 3.2 é apresentada a compa-
ração física dos modelos extrudados VT.3 e VT.2.
(a)
(b)
Figura 3.2 – Modelo extrudado: (a) inconsistência geométrica do VT.3; (b) VT.2.
Nos modelos que utilizam elementos de vigas os apoios são considerados
em seus locais exatos utilizando também elementos de ligação rígida.
3.2.1 Descrição da Análise
Foram comparados os momentos fletores e os deslocamentos máximos en-
contrados no modelo de elementos finitos com os resultados encontrados de forma
analítica, dados por:
2
8
qlM (4.1)
45
384
qlf
EI (4.2)
onde M momento fletor;
f deslocamento máximo;
51
q carregamento linearmente distribuído;
l comprimento das vigas;
E módulo de elasticidade do material;
I momento de inércia da seção
Como este trabalho teve início antes da vigência da NBR 6118 (2014), o
módulo de elasticidade E foi calculado como recomenda a NBR 6118 (2007) pa-
ra um concreto com 26ckF MPa , onde:
1/25600ci ckE F (4.3)
0,85cs ciE E (4.4)
Portanto, 24,27csE E GPa e I é o momento de inércia da seção trans-
versal da viga. Sendo assim, os resultados analíticos que servirão como base para
comparação são os seguintes:
31,25
1,61
2,06
VR
VT
M kNm
f mm
f mm
onde
VRf deslocamento máximo da VR;
VTf deslocamento máximo da VT.
Como o vão e o carregamento são iguais, o momento fletor M é o mesmo
para os dois casos.
3.2.1.1 Viga Retangular
Na análise da VR a viga foi analisada das seguintes formas:
VR.1: Viga modelada com elemento de viga.
VR.2: Viga modelada com elementos de casca
o VR.2-1: Malha de 0,50 m x 1,00 m.
o VR.2-2: Malha de 0,50 m x 0,50 m.
o VR.2-3: Malha de 0,50 m x 0,25 m.
o VR.2-4: Malha de 0,25 m x 0,25 m.
52
Os modelos VR.1 e VR.2-2 são apresentados na Figura 3.3.
(a)
(b)
Figura 3.3 – Representação dos modelos: (a) VR.1; (b) VR.2-2.
3.2.1.1.1 Resultados
Os resultados das comparações dos momentos fletores são apresentados na
Figura 3.4, e os resultados das comparações dos deslocamentos são apresentados
na Figura 3.5.
Figura 3.4 – Comparação de momentos fletores.
Figura 3.5 – Comparação de deslocamentos.
53
Como era esperado o modelo que usa elemento de viga praticamente repro-
duz o resultado analítico. A pequena diferença se deve ao fato que a solução analí-
tica apresentada não considera contribuição da energia de deformação por cisa-
lhamento, enquanto a formulação do elemento de viga no Robot considera esse
efeito. Os resultados dos modelos que utilizam elementos de casca variam com o
refinamento da malha. Neste trabalho considerou-se que a malha com elementos
de casca com dimensões 0,50 m x 0,50 m fornece resultados razoáveis para uma
tolerância de menos de 5%.
3.2.1.2 Viga T
A análise da VT mostra a influência ligações rígidas (LR), e o refinamento
necessário da malha dos elementos para que a ação conjunta seja considerada da
melhor forma possível.
A viga foi analisada das seguintes formas:
VT1: alma modelada com elemento de viga com LR conectando a me-
sa e a alma
o VT.1-1: LR espaçados em 1,00 m.
o VT.1-2: LR espaçados em 0,50 m.
o VT.1-3: LR espaçados em 0,25 m.
VT.2: alma modelada com elementos de casca com LR conectando a
mesa e a alma
o VT.2-1: Malha de 0,40 m x 1,00 m.
o VT.2-2: Malha de 0,40 m x 0,50 m.
o VT.2-3: Malha de 0,40 m x 0,25 m.
VT.3: alma modelada com elementos de casca conectada diretamente à
mesa
o VT.3-1: Malha de 0,40 m x 0,50 m.
o VT.3-2: Malha de 0,40 m x 0,25 m.
As imagens de modelos selecionados para cada grupo são apresentadas na
Figura 3.6.
54
(a)
(b)
(c)
Figura 3.6 – Modelos: (a) VT.1; (b) VT.2; (c) VT.3.
3.2.1.2.1 Resultados
Os resultados das comparações dos momentos fletores são apresentados na
Figura 3.7 e os resultados das comparações dos deslocamentos são apresentados
na Figura 3.8.
55
Figura 3.7 – Comparação de momentos fletores.
Figura 3.8 – Comparação de deslocamentos.
Os resultados obtidos são similares aos resultados da VR. Uma discretização
de 0,50 m da malha também é considerada suficiente para representar a ação con-
junta dos elementos, tanto para os modelos com elementos de casca quanto para
os modelos com elementos de viga.
3.2.2 Conclusão
Conclui-se a partir dos resultados obtidos que a modelagem de uma viga
pode ser realizada efetivamente tanto com elementos de viga de dois nós quanto
com elementos de casca de quatro nós. Com o devido refinamento da malha os
dois estilos de modelagem fornecem resultados semelhantes. Portanto, neste tra-
balho a modelagem utilizando-se elementos de viga é selecionada pelas seguintes
razões:
aproximação dos resultados;
maior facilidade de modelagem;
56
menor esforço computacional exigido;
maior simplicidade na obtenção e processamento de resultados.
Assim, foram analisadas as duas pontes com o método de modelagem esco-
lhido, que é tabuleiro modelado com elementos de casca, vigas modeladas com
elementos de viga e ligação rígidas com espaçamento máximo de 0,50 m conec-
tando o tabuleiro com as vigas e as vigas com os apoios.
3.3 Ponte Nebraska – EUA
Kathol et al. (1995) realizaram um estudo na Universidade de Nebraska no
qual uma ponte de vigas metálicas em escala real com vigas metálicas e tabuleiro
em concreto foi projetada, construída e testada em laboratório. O projeto, patroci-
nado pelo Nebraska Department of Roads (NDOR), tinha diversos objetivos espe-
cíficos, entre eles:
investigar a contribuição do diafragma no comportamento global e lo-
cal de pontes metálicas;
investigar a viabilidade do uso do método empírico da AASHTO
LRFD para projetos de laje de concreto;
avaliar a capacidade de distribuição de carga na direção transversal da
ponte, para um grande espaçamento entre as vigas;
investigar as causas de fissuras transversais nas pontes metálicas;
avaliar a flecha de pontes metálicas devido ao encolhimento da laje de
concreto, e avaliar a tensão desenvolvida nos membros da estrutura
durante o período de cura;
avaliar a capacidade de carga última na ausência de diafragmas;
comparar resultados de cargas de serviço com testes de laboratório;
desenvolver um pacote de análise em elementos finitos 3-D para análi-
se de pontes com vigas metálicas.
Foram realizadas várias séries de testes com diferentes casos de carregamen-
to em diversas configurações geométricas da ponte. A Tabela 3.2 mostra alguns
dados dos testes de carga realizados naquele trabalho.
57
Tabela 3.2 – Configurações de carregamento (adaptada de Kathol et al., 2005)
De maneira aleatória foi escolhida a série de teste de número 3 como repre-
sentativa para validação do modelo. Essa série é caracterizada pela ausência dos
diafragmas internos.
3.3.1 Descrição da Estrutura
3.3.1.1 Levantamento Geométrico
A superestrutura da ponte é formada pela laje de tabuleiro, longarinas e dia-
fragmas nos seus extremos. A ponte tem 21,40 m de comprimento e tabuleiro com
7,90 m de largura e 19 cm de espessura, e é apoiado por três vigas metálicas de
137 cm de altura. As vigas são espaçadas a cada 3,04 m. A seção transversal da
ponte e a das vigas são mostradas na Figura 3.9.
(a)
(b)
Figura 3.9 – (a) Seção transversal da ponte; (b) detalhe da seção transversal da
viga.
58
3.3.1.2 Caracterização dos Materiais
Os materiais foram ensaiados para a determinação de suas propriedades.
Chung e Sotelino (2005) reuniram as informações que são expostas na Tabela 3.3
–:
Tabela 3.3 – Propriedade dos materiais (adaptado de Chung e Sotelino, 2005)
Propriedades dos
materiais
Concreto Aço
Laje Parapeito Mesa
Superior
Mesa
Inferior
(interna)
Mesa
Inferior
(externa)
Alma
Módulo de
Elasticidade (Gpa) – – 193,7 180,6 191,0 200,6
Resistência de
Compressão (Mpa) 43,0 41,8 – – – –
De acordo com a NBR 6118 (2007) o módulo de elasticidade do concreto do
tabuleiro calculado é 31,21concE GPa . Como as vigas são modeladas com apenas
um elemento de viga, o seu módulo de elasticidade é calculado como uma média
ponderada dos módulos de elasticidade de cada parte da viga, resultando em
194,40vigaE GPa .
3.3.2 Prova de Carga
3.3.2.1 Veículo Utilizado
Das cinco situações de carregamento testadas na série 3, apenas para as três
primeiras os deslocamentos foram medidos, os quais serão utilizados como base
de verificação e comparação com os resultados encontrados da análise por EF.
O carregamento utilizado nas três situações é derivado do veículo HS20 da
AASHTO (1973), que é apresentado na Figura 3.10. No teste realizado pela Uni-
versidade de Nebraska o carregamento utilizado é equivalente a 2,5 vezes o HS20.
59
Figura 3.10 – Veículo HS20 da AASHTO (AASHTO, 1973).
Portanto, convertendo-se as unidades, cada roda do eixo dianteiro, central e
traseiro do veículo são equivalentes a uma carga concentrada de 43,75 kN, 181,25
kN e 181,25 kN, respectivamente.
3.3.2.2 Plano de Instrumentação
Potenciômetros foram utilizados para medir as flechas devido às cargas mó-
veis e todas as flechas encontradas foram corrigidas com a flecha dos apoios elás-
ticos. A Figura 3.11 mostra a localização dos potenciômetros utilizados nos ensai-
os.
Figura 3.11 – Planta de instrumentação da ponte: imagem retirada do relatório original.
3.3.2.3 Posicionamento do Veículo
Os três casos analisados neste trabalho são detalhados na Figura 3.12. No
caso 1 dois veículos são colocados lado a lado na ponte, no caso 2 apenas um veí-
60
culo foi colocado em uma das pistas, e no caso 3 um veículo foi colocado na linha
central do tabuleiro.
Figura 3.12 – Configuração de carregamento simulando 2,5xHS20: (a) caso 1: nas duas pistas; (b) caso 2: em uma pista; (c) caso 3: na linha central do tabuleiro.
3.3.2.4 Resultados Experimentais
Foram comparados apenas os deslocamentos máximos no meio do vão das
vigas. A Tabela 3.4 – os apresenta para os três casos de carga analisados, que se-
rão comparados com os resultados dos modelos de elementos finitos.
Tabela 3.4 – Deslocamentos máximos obtidos
Caso Deslocamento (cm) Viga
Caso 1 1,90 Interna
Caso 2 1,26 Externa
Caso 3 1,29 Interna
61
3.3.3 Modelagem e Comparação
3.3.3.1 Processo de Modelagem
Partindo-se do princípio que a integridade geométrica da ponte necessita ser
mantida, é necessário considerar cada elemento na sua devida posição e da forma
mais exata possível. A ponte foi modelada com base nas conclusões obtidas na
análise básica. A Figura 3.13 mostra o modelo analítico, a malha utilizada e a dis-
tribuição das LR.
Figura 3.13 – Modelo analítico da ponte de Nebraska.
3.3.3.2 Comparação de Resultados
São apresentadas na Figura 3.14 as comparações entre os resultados encon-
trados na análise por EF e no teste de carga.
62
Figura 3.14 – Comparação de deslocamentos.
Para o caso 1 a variação foi de apenas 2,60%. Para os casos 2 e 3 houveram
diferenças maiores, porém, dentro de uma margem aceitável, de aproximadamente
10%. Portanto, conclui-se que o modelo de elementos finitos escolhido conseguiu
representar bem o comportamento da ponte.
3.4 Ponte Michigan – EUA
Em 2001 a Universidade do Michigan em conjunto com o Departamento de
Transporte de Michigan estudou em campo diversas pontes com vãos variando
entre 10 e 40 m. O objetivo dos testes era fornecer uma base para fatores de dis-
tribuições de cargas para vigas internas e fatores de carga dinâmica adequado para
pontes existentes. Além disso foi realizada uma análise dos veículos para se de-
terminar a frequência da ocorrência simultânea de dois veículos em uma pista e de
veículos lado a lado.
3.4.1 Descrição da Estrutura
3.4.1.1 Levantamento Geométrico
A ponte estudada nesse trabalho é localizada em Flint, no estado americano
de Michigan. Sua superestrutura é bi apoiada e formada pela laje de tabuleiro de
concreto, longarinas metálicas e diafragmas a cada 6,4 m. A ponte tem 38,40 m de
comprimento e 14,70 m de largura do tabuleiro, divididos entre duas faixas de ro-
lamento centrais de 3,65 m, dois acostamentos laterais de 3,10 m e dois guarda-
63
corpos nos extremos com 0,60 m. O tabuleiro de concreto tem 20 cm de espessura
e é apoiado por sete vigas metálicas de 122 cm de altura. Essas vigas são espaça-
das a cada 2,20 m. A seção transversal da ponte e a das vigas são mostradas na
Figura 3.15.
(a)
(b)
Figura 3.15 – (a) Seção transversal da ponte; (b) detalhe da seção transversal da viga.
3.4.1.2 Caracterização dos Materiais
Não foram dados detalhes dos materiais utilizados nas análises em Nowak e
Eon (2001), porém, de acordo com Shann (2012) o concreto da laje de tabuleiro
desta ponte tem resistência de 4 ksi ou 27,58 MPa. Utilizando-se esse valor, de
acordo com a NBR 6118 (2007) tem-se o seu módulo de elasticidade
24,99concE GPa . Não é fornecida a resistência do aço das vigas, mas como não
existe grandes variações entre os módulos de elasticidade do aço foi considera-
do 200,00vigaE GPa .
3.4.2 Prova de Carga
3.4.2.1 Veículo Utilizado
Dois veículos foram utilizados na prova de carga. Os dois são caminhões de
11 eixos que foram pesados e tinham algumas variações na distribuição de carga
por eixo e no peso total. A Figura 3.16 mostra a distribuição de carga dos eixos
para os dois veículos.
64
Figura 3.16 – Caminhões de 11 eixos (retirado de Nowak e Eon, 2001).
3.4.2.2 Plano de Instrumentação
Foram utilizados strain gages para medir as deformações específicas das
longarinas no meio do vão. A Figura 3.17 apresenta a localização dos instrumen-
tos de medição.
Figura 3.17 – Planta de instrumentação da ponte (retirado de Nowak e Eon, 2001).
3.4.2.3 Posicionamento do Veículo
Foram realizados testes com diferentes configurações de carregamento. A
Tabela 3.5 – apresenta as configurações dos carregamentos testados.
65
Tabela 3.5 – Configurações de carregamento (adaptada de Nowak e Eom, 2001)
Como o objetivo desse trabalho não é fazer uma análise dinâmica, apenas os
testes estáticos são considerados. A validação do modelo de elementos finitos des-
te trabalho foi realizada comparando-se as deformações específicas das vigas com
os resultados experimentais apresentados. Nowak e Eom (2001) apresentam as
deformações específicas obtidas nos testes estáticos para todos os casos, porém,
como a ponte é simétrica transversal e longitudinalmente e os carregamentos são
similares, os resultados encontrados na análise com o carregamento da faixa de
rolamento 1 e da faixa de rolamento 2 são praticamente os mesmos. Dessa forma
foram escolhidos os casos 1 e 13 para serem representativos. O caso 1 é caracteri-
zado por ter um caminhão no centro de uma das faixas, e o caso 13 é caracterizado
por ter dois caminhões lado a lado, cada um no centro de uma das faixas de rola-
mento.
3.4.3 Modelagem e Comparação
3.4.3.1 Modelo de Elementos Finitos
Assim como a ponte de Nebraska essa ponte também foi modelada partindo-
se do princípio que a sua integridade geométrica necessita ser mantida. Sendo as-
sim sua modelagem também seguiu as mesmas recomendações encontradas na
análise básica. A Figura 3.18 apresenta a malha de elemento finitos utilizada.
66
Figura 3.18 – Modelo analítico da ponte de Michigan.
Construída em 1972 a ponte de Flint é bi apoiada, porém, por ser uma estru-
tura antiga, com quase 30 anos na época dos testes, a deterioração dos apoios cau-
sa restrições adicionais para as rotações e para os deslocamentos longitudinais. De
acordo com Nowak e Eom (2001), Bakht e Jaeger (1988) e Schultz et al. (1995)
afirmam que até pequenas variações nas condições de contorno têm efeito consi-
derável nos resultados.
Então, Nowak e Eom (2001) utilizaram três condições de contorno diferen-
tes nos seus modelos de elementos finitos, mostradas na Figura 3.19Erro! Fonte
de referência não encontrada.. Em (a), os apoios são representados por um
apoio de segundo gênero e um de primeiro gênero. Em (b), são representados os
dois apoios são considerados do segundo gênero, sem liberação de movimentos
longitudinais. E em (c), para representar a deterioração dos apoios, o movimento
longitudinal é parcialmente restringido no topo e na base das vigas, utilizando-se
um elemento de mola com rigidez K, calculada a partir dos dados obtidos nos tes-
tes de carga.
Espera-se que os resultados encontrados nos testes estejam dentro da mar-
gem da diferença entre os modelos (a) e (b), confirmando a presença de uma certa
restrição nos apoios.
67
Figura 3.19 – Condições de contorno (adaptado de Nowak e Eom, 2001).
3.4.3.2 Comparação de Resultados
Foram comparados os resultados obtidos nas análises por elementos finitos
dos modelos (a) e (b) da Figura 3.19 com os resultados do teste de carga. A com-
paração é apresentada na Figura 3.20.
Figura 3.20 – Deformação específica das vigas.
Os resultados representam bem o comportamento de uma ponte antiga sem
manutenção constante e ainda mostra um grande problema que não é levado em
consideração nos projetos elaborados atualmente. A consideração de maiores res-
trições nos apoios de pontes antigas resulta em um aumento das suas rigidezes e
68
na diminuição dos deslocamentos e momentos positivos em uma ponte bi apoiada,
porém, resulta em um aumento dos momentos negativos próximos aos apoios.
Portanto, como as condições de contorno reais não são conhecidas, o resultado é
afetado significativamente.
3.5 Conclusão
Conclui-se que o método de modelagem escolhido neste trabalho é capaz de
representar o comportamento de uma ponte, sem exigir um elevado esforço com-
putacional. Portanto, esse método é adotado nos estudos apresentados nos capítu-
los seguintes.
4 Elementos para Elaboração do Trabalho
4.1 Considerações Iniciais
O Manual de Projetos de Obras de Obras-de-Arte Especiais, elaborado em
1996 pelo DNER, antecessor do DNIT, recomenda métodos para o desenvolvi-
mento de projeto. Apesar de não estabelecer regras fixas e princípios imutáveis,
pode ser considerado como uma fonte confiável de recomendações para a deter-
minação de elementos básicos de projeto.
Os elementos necessários para a realização deste trabalho são essencialmen-
te os parâmetros físicos e geométricos da estrutura de uma OAE, ou seja, não fo-
ram levados em consideração elementos topográficos, geotécnicos, hídricos e es-
téticos, entre outros. Foram definidos a partir de análises dos dados estatísticos
fornecidos por Mendes (2009) sobre as pontes brasileiras apresentados no item
2.5, seguindo-se as recomendações do Manual de Projeto do DNER.
4.2 Metodologia
O objetivo deste trabalho é a apresentação e validação do método simplifi-
cado de análise da distribuição transversal de solicitações de cargas móveis da
AASHTO LRFD (2012) considerando-se as prerrogativas das normas brasileiras.
Para atingir esse objetivo foi definida uma metodologia de estudo que foi
adotada neste trabalho. Após a definição das propriedades físicas e geométricas
das pontes a serem analisadas foi criado um modelo de carga móvel linear similar
ao sugerido pela AASHTO LRFD (2012), que inclui as cargas de veículo e de
multidão determinados pela NBR 7188 (2013) para a validação do método LRFD.
Em seguida são calculados os trens-tipos dos métodos de EC e MVM a partir das
linhas de influência de cada caso e os LDF, do LRFD relativos a cada ponte. Para-
lelamente às análises dos métodos simplificados, os modelos em EF são criados a
partir das conclusões obtidas no processo de validação realizado.
70
Na sequência do trabalho, após a realização de todas as análises, tanto bidi-
mensionais dos métodos simplificados e tridimensionais do MEF, os resultados
encontrados (momento fletor, força cortante e deslocamento máximo) foram com-
parados. Inicialmente foi analisado o comportamento de cada um dos métodos
simplificados em relação ao MEF, e depois o método LRFD foi comparado dire-
tamente com os métodos simplificados de EC e MVM.
4.3 Definições Geométricas dos Elementos Estudados
Para uma maior generalização do processo de análise da distribuição trans-
versal de solicitações em pontes, foram escolhidos os parâmetros físicos e geomé-
tricos mais comuns das pontes brasileiras para representar a maior parte das pon-
tes construídas no Brasil, além de analisar as tendências das construções futuras.
Esses parâmetros são listados a seguir:
parâmetros gerais
o sistema estrutural;
o material;
parâmetros longitudinais
o número de vãos;
o comprimento dos vãos;
parâmetros transversais
o tabuleiro
definição da classe de projeto;
número de faixas de rolamento;
largura do tabuleiro;
espaçamento entre vigas;
espessura do tabuleiro;
o vigas
seção das vigas.
71
4.3.1 Parâmetros Gerais
Analisando-se os dados fornecidos por Mendes (2009), o sistema estrutural
escolhido para este trabalho foi o de vigas principais de concreto e de aço devido à
grande parcela de pontes desse tipo na malha viária brasileira. Somou-se a isso o
fato do método LRFD ser o mesmo tanto para pontes com vigas de concreto ar-
mado e protendido, quanto para pontes com vigas metálicas.
O módulo de elasticidade E dos materiais considerados nas análises é apre-
sentado na Tabela 4.1 –. Essa propriedade mecânica do concreto foi calculada
considerando-se um 40ckf MPa , seguindo-se as recomendações da NBR
6118:2007.
Tabela 4.1 – Módulos de elasticidade dos materiais
4.3.2 Parâmetros Longitudinais
Foi definido estudar as pontes de um único vão, que representam metade do
total das pontes encontradas nas rodovias federais brasileiras. As análises são rea-
lizadas com comprimentos de 10, 20, 28, 32, 36, 40 e 50 m. Dessa forma mais de
80% destas pontes com vão único são representadas.
4.3.3 Parâmetros Transversais
4.3.3.1 Tabuleiro
Para definir a largura do tabuleiro a ser estudada diversos fatores precisam
ser considerados. Entre eles estão: a consideração ou não de acostamentos, passa-
gens de pedestres, elementos de segurança ou postes, a definição da quantidade de
faixas de rolamento e outros elementos e a definição da classe de projeto. Devido
ao elevado número de variáveis, existe uma variação muito grande entre as largu-
72
ras de tabuleiros encontradas na malha viária brasileira, sendo cada uma consis-
tente com a época em que a ponte foi construída. A confirmação dessa caracterís-
tica foi apresentada por Mendes (2009) e detalhada pelo Manual de Inspeção de
Pontes Rodoviárias (2004), para cada período de projetos no Brasil.
O Manual de Projeto do DNER (1996) define uma seção típica de um tabu-
leiro de ponte simples como apresentado na Figura 4.1, com duas faixas de rola-
mento, dois acostamentos e dois guarda-corpos de proteção.
Figura 4.1 – Seção transversal típica definido pelo DNER (retirada do Manual de Projeto DNER, 1996).
A largura de cada um desses elementos varia de acordo com a Classe de
Projeto da ponte, que é definida da seguinte maneira:
I-B: 1400VMD ;
II: 700 1400VMD ;
III: 300 700VMD ;
IV: 50 200VMD ;
onde VMD é volume médio diário de tráfego.
Apesar de a maior parte dos tabuleiros existentes no Brasil terem largura in-
ferior a 12 m, o Manual de Projeto do DNER (1996) sugere atualmente uma lar-
gura mínima de 12,80 m para pontes de Classe de Projeto I-B e II, como pode ser
visto na Tabela 4.2 –.
73
Tabela 4.2 – Comparativo de dimensões para pista simples DNER (retirada do Manual de Projeto DNER, 1996)
Foi escolhido trabalhar com as classes I-B e II por serem as mais carregadas
e exigirem as mesmas recomendações de características físicas em uma OAE.
Uma outra sugestão adotada do Manual de Projetos do DNER (1996) é a conside-
ração de um afastamento lateral mínimo de 50 cm entre o bordo do acostamento e
a face do guarda-corpo.
Assim, a largura total do tabuleiro é detalhada na Tabela 4.3 – e apresentada
na Figura 4.2.
Tabela 4.3 – Detalhamento da largura do tabuleiro
Figura 4.2 – Seção transversal do tabuleiro.
O espaçamento entre as vigas é relacionado com a espessura e o compri-
mento do balanço transversal do tabuleiro. O Manual do DNER afirma que o es-
paçamento entre vigas mais econômico varia entre 2,00 e 3,50 m. Esses espaça-
74
mentos permitem o uso de tabuleiros com 15 a 20 cm de espessura para um di-
mensionamento preliminar. Assim, serão analisadas pontes com espessuras de ta-
buleiros de 15, 20 e 25 cm e vigas espaçadas em 2,00 m, 2,30 m, 2,80 m e 3,50 m
para considerar a recomendação do Manual do DNER, que afirma: “Estrutural-
mente, a seção transversal é bem equilibrada quando o espaçamento entre vigas é
o dobro do comprimento dos extremos em balanço”.
4.3.3.2 Vigas
Para se determinar a seção transversal das vigas de concreto utilizadas neste
estudo decidiu-se recorrer a padronização recomendada pela AASHTO. Essa de-
cisão foi tomada a partir da idéia que é importante uma padronização das vigas de
pontes no Brasil para que não exista uma variedade tão grande de seções transver-
sais das pontes e assim ter um controle maior sobre a sua segurança, além de cau-
sar uma redução dos custos de fabricação desses elementos. As vigas metálicas
foram idealizadas com perfis de chapas soldadas e as suas dimensões foram veri-
ficadas de forma simplificada para um carregamento aproximado da carga móvel.
A primeira dimensão a ser definida na seção de uma viga é a sua altura.
Usualmente considera-se 20
Lh para pré-dimensionamentos de vigas de con-
creto protendido e 24
Lh para pré-dimensionamentos de vigas metálicas, onde
h é a altura mínima da viga e L o comprimento do vão a ser vencido. Como o ob-
jetivo deste trabalho não é a execução de um projeto real, decidiu-se que as alturas
das vigas seriam definidas com base nesses procedimentos, sem a necessidade de
outras verificações. Portanto, para cada comprimento de vão diferente é escolhida
uma seção dentro das modelos de vigas de concreto da AASHTO e criada uma
seção metálica de chapas soldadas.
Na Tabela 4.4 – são apresentadas as alturas calculadas no pré-
dimensionamento das vigas de concreto junto com os tipos de vigas AASHTO,
selecionados para cada vão e as alturas mínimas calculadas para as vigas de aço
junto com as alturas consideradas nas análises.
75
Tabela 4.4 – Alturas das vigas
As vigas de aço tiveram suas alturas dimensionadas especificamente para os
vãos a que serão dispostas, já as vigas de concreto são padronizadas e não aten-
dem todos os vãos estudados neste trabalho. Para os dois maiores vãos, de 40 m e
50 m, as alturas mínimas das vigas dadas pelo pré-dimensionamento são maiores
do que as das opções de vigas AASHTO. Dessa forma, para esses casos, as vigas
consideradas foram adaptadas (Type VI-A e Type VI-B) para atingir a altura mí-
nima.
A Figura 4.3 apresenta as formas genéricas das seções das vigas AASHTO e
das vigas adaptadas com suas dimensões e propriedades geométricas.
76
Figura 4.3 – Seções de Viga I: AASHTO (PCI Bridge Design Manual).
4.3.4 Resumo das Definições
Na Tabela 4.5 – é disposto um resumo das definições das características fí-
sicas e geométricas das pontes analisadas. Entre todas as variações estão sete
comprimentos de vãos, três espessuras de tabuleiro, dois materiais de vigas e qua-
tro espaçamentos entre elas, para que sejam verificadas a influência de cada um
desses parâmetros na distribuição transversal de solicitações. No total 168 pontes
foram analisadas.
77
Tabela 4.5 – Resumo das definições físicas das pontes analisadas
4.4 Detalhamento dos Métodos Analisados
4.4.1 Método dos Elementos Finitos
A análise em elementos finitos foi realizada com base nas conclusões obti-
das no processo de validação do modelo. O foco principal deste trabalho é a dis-
tribuição transversal das solicitações no tabuleiro, portanto apenas a superestrutu-
ra foi modelada. Os elementos da meso-estrutura e infra-estrutura não foram con-
siderados nos modelos.
4.4.1.1 Modelagem
Cada modelo consiste em apenas três tipos de elementos. O tabuleiro é re-
presentado por elementos de casca de quatro nós e as vigas longitudinais são re-
presentadas por elementos de viga de dois nós. Cada um desses elementos encon-
tra-se na altura do seu centro de gravidade, e a ligação entre eles é realizada com a
utilização de elementos rígidos. Decidiu-se não considerar as transversinas de
apoio e intermediárias afim de se analisar a situação mais desfavorável possível.
78
No modelo de sete vigas apresentado na Figura 4.4 pode-se observar todos
os elementos utilizados na modelagem, além da discretização de 0,50 m x 0,50 m
da malha (casca e vigas).
Figura 4.4 – Vista 3D do modelo de elementos finitos representativo.
A seção transversal do tabuleiro sem as ligações rígidas é apresentada na
Figura 4.5. Observa-se que os apoios são considerados no local exato, onde o
elemento rígido faz a conexão da viga ao tabuleiro e do apoio à viga.
Figura 4.5 – Seção transversal do tabuleiro representativo.
4.4.1.2 Cargas
O trem-tipo utilizado é o recomendado pela NBR 7188 (2013). Como uma
forma de simplificar o processo de modelagem a carga distribuída foi considerada
inclusive dentro dos 18 m² (6,00 m x 3,00 m) pertencentes a área do veículo, ge-
rando um aumento total de carga de 90 kN. Esse aumento de carga distribuída é
79
compensado em uma redução das cargas concentradas do veículo. Dividindo-se
esse total pelas seis cargas concentradas, as cargas de cada roda do veículo pas-
sam a ser 60P kN . Neste trabalho foi comprovado em testes iniciais que essa
modificação não gera variações significativas no resultado final.
A NBR 7188 (2013) afirma:
“A carga móvel assume posição qualquer em toda a pista
rodoviária com as rodas na posição mais desfavorável,
inclusive acostamento e faixas de segurança. A carga
distribuida deve ser aplicada na posição mais
desfavorável, independentemente das faixas rodoviárias.”
(NBR 7188, 2013)
Como os objetos estudados são pontes de um único vão, a posição
longitudinal mais desfavorável do veículo para o cálculo de momento fletor e
deslocamento máximo é no meio do vão, e para o cálculo da força cortante é com
um dos eixos em cima do apoio. Para determinar a posição transversal mais
desfavóravel foram realizados vários testes. Os resultados encontrados confirmam
o trecho de Marchetti (2008): “Diz ainda a NBR 7188 (1984) que, no cálculo de
longarinas, lajes, etc., para obter efeitos mais desfávóraveis deve-se encostar a
roda do veículo no guarda-rodas”. Então em todos os casos o veículo foi
considerado junto ao guarda-corpo. A Figura 4.6 mostra a representação genérica
da posição transversal do veículo dada por Marchetti (2008).
Figura 4.6 – Posição transversal do veículo (retirado de Marchetti, 2008).
E a Figura 4.7 mostra a disposição transversal das cargas nos modelos.
80
Figura 4.7 – Disposição transversal das cargas no tabuleiro.
O carregamento móvel foi considerado de duas formas nos modelos de ele-
mentos finitos. A carga de multidão, que é distribuída ao longo de todo o tabulei-
ro, é uma carga estática e as cargas concentradas são dispostas longitudinalmente
em várias posições ao longo do vão. Para isso foi utilizado o menu “Special Loads
– Moving Loads” do programa Autodesk Robot. Nesse menu, apresentado na Fi-
gura 4.8, é realizada a criação do trem-tipo com as cargas concentradas (a) e a cri-
ação de uma lane que define a rota a ser percorrida pelo veículo criado (b). A cada
etapa de carga uma análise estática é realizada, gerando no final uma envoltória de
solicitações máximas e mínimas.
(a) (b)
Figura 4.8 – Criação da carga móvel: (a) determinação do trem-tipo; (b) definição da rota do trem-tipo.
A combinação entre as duas cargas foi realizada sem a consideração de fato-
res de segurança e de impacto, e a sua representação é apresentada na Figura 4.9.
81
(a)
(b)
Figura 4.9 – Representação das cargas (kN e kN/m²): (a) vista transversal; (b) vista 3D.
4.4.2 Engesser-Courbon
Apesar da necessidade de se respeitar as condições citadas em 2.3.1, o mé-
todo também será testado para casos em que a largura do tabuleiro é maior do que
metade do vão da ponte, com vãos de 10 e 20 m. Também é considerada a obser-
vação de Stucchi (2006) sobre a rigidez do tabuleiro ser suficiente para garantir a
distribuição transversal das solicitações entre as longarinas, dessa forma o método
também será testado sem a inclusão das transversinas, apesar de serem exigidas.
O método exige o cálculo de LI para cada variação do espaçamento e núme-
ro de longarinas, independentemente do comprimento do vão ou seção das vigas.
Como a largura do tabuleiro é a mesma para todos os casos estudados, apenas
quatro cálculos de LI são necessários para se determinar os trens-tipo de todos os
82
modelos, que são referentes aos quatro diferentes espaçamentos dos tabuleiros
analisados, agrupados conforme Tabela 4.6 –.
Tabela 4.6 – Grupos de espaçamentos
São mostrados a seguir o processo do cálculo das LI das vigas V1 e V2, e do
trem-tipo equivalente da viga V1 para uma ponte representativa do grupo 4V. Pela
simetria da seção transversal a LI da viga V3 é igual a inversa da V2, e a LI da
viga V4 é igual a inversa da V1.
Para esse caso 4n . A Figura 4.10 apresenta as distâncias entre as longari-
nas e o CG da seção, que são:
1
2
3
4
5,25
1,75
1,75
5,25
x m
x m
x m
x m
1,75m
5,25m
6,50m
1,75m
5,25m
6,50m
V1 V2 V3 V4
Figura 4.10 – Distância das longarinas do CG.
A carga unitária se move transversalmente na seção, então para cada ponto
de locação da carga, a sua influência sobre cada viga é calculada, podendo ser ge-
rado assim a linha de influência. Considerando-se a carga na mesma posição das
longarinas tem-se 1 2 3 4, , ,ie x x x x . Então:
4
2 2 2 22
1
5,25 1,75 1,75 5,25 61,25i
i
x
83
Linha de influência das vigas V1 e V4:
1,1
1,2
1,3
1,4
5,25 5,2510,70
4 61,25
1,75 5,2510,40
4 61,25
1,75 5,2510,10
4 61,25
5,25 5,2510,20
4 61,25
R
R
R
R
Linha de influência das vigas V2 e V3:
2,1
2,2
2,3
2,4
5,25 1,7510,40
4 61,25
1,75 1,7510,30
4 61,25
1,75 1,7510,20
4 61,25
5,25 1,7510,10
4 61,25
R
R
R
R
As linhas de influência das vigas são apresentadas na Figura 4.11.
Figura 4.11 – LI das vigas do grupo 4V.
O trem-tipo, mostrado na Figura 4.12 é composto por três diferentes parce-
las de carga:
cargas concentradas do veículo;
84
cargas distribuídas no tabuleiro que passam na seção do veículo (Corte
AA);
cargas distribuídas no tabuleiro na seção fora do veículo (Corte BB).
Figura 4.12 – Vista superior do tabuleiro com carregamentos.
A Figura 4.13 apresenta a localização das cargas na seção dentro do veículo
e o detalhamento das suas parcelas de influência da viga V1.
Figura 4.13 – Carregamento transversal e linha de influência no corte AA.
Para a viga V1 por exemplo as cargas concentradas são calculadas pela so-
matória do produto entre a carga e a parcela de sua influência:
85
1 1 2 2'
' 75,00 0,786 75,00 0,614
' 105,00
P P LI P LI
P
P kN
onde:
'P carga concentrada calculada;
iP carga concentrada normativa ;
iLI parcela de influência da carga iP .
A carga distribuída é calculada pelo produto entre a carga e sua área de in-
fluência apenas em sua parcela desfavorável.
'2
0,571 6,67' 5,00
2
' 9,52 /
distdist
LI Lp p
p
p kN m
onde:
'p carga linearmente distribuída calculada dentro da seção do veículo;
distp carga distribuída normativa;
distLI parcela de influência do início da carga distribuída p ;
L largura efetiva da carga distribuída p .
Para a seção fora do veículo, mostrado na Figura 4.14, existe apenas carga
distribuída, que pode ser calculada da mesma forma como na seção de dentro do
veículo.
86
Figura 4.14 – Carregamento transversal e linha de influência no corte BB.
''2
0,807 9,42'' 5,00
2
'' 19,00 /
distdist
LI Lp p
p
p kN m
Após os cálculos, é possível criar o trem-tipo referente a viga V1, represen-
tado na Figura 4.15.
Figura 4.15 – Trem-tipo da viga V1 do grupo 4V.
Porém, também é possível simplificar o trem-tipo para facilitar os cálculos.
Ao considerar uma única carga linearmente distribuída de 19,00 / mp kN ao
longo de todo o vão, pode ser efetuada uma redução nas cargas concentradas, do
valor total aumentado.
L' (p' p'')
6105,00 19,00 9,52
3
86,04
v
e
P Pn
P
P kN
87
Onde:
P carga concentrada reduzida;
'P carga concentrada calculada;
'p carga linearmente distribuída calculada dentro da seção do veículo;
''p carga linearmente distribuída calculada fora da seção do veículo;
vL comprimento do veículo;
en número de eixos.
Dessa forma o trem-tipo reduzido da viga a ser utilizado nos cálculos é re-
presentado na Figura 4.16.
Figura 4.16 – Trem-tipo reduzido da viga V1 do grupo 4V.
Utilizando a mesma sequência, foram calculadas as linhas de influência e
seus respectivos trens-tipo dos modelos dos grupos 5V, 6V e 7V, apresentadas no
ANEXO.
4.4.3 Método da Viga Modelo
Assim como no método de Engesser-Courbon, a distribuição transversal de
cargas é calculada ao se criar um trem-tipo equivalente, relativo a uma longarina
específica que se deseja analisar e tem como base o cálculo de uma linha de in-
fluência para cada uma das vigas de um tabuleiro.
Para a utilização desse método foi desenvolvido um programa, identificado
como MVM.LI, que utiliza as formulações para o cálculo das linhas de influência
dos apoios elásticos e gera um arquivo de saída de resultados com os valores das
LI em cada ponto. A partir delas são obtidos os trens-tipo equivalentes a cada
longarina. A tela inicial da entrada de dados do programa desenvolvido é
apresentada na Figura 4.17.
88
Figura 4.17 – Entrada de dados do programa MVM.LI.
A obtenção do trem-tipo para esse método requer uma atenção especial, pois
como o encurvamento do tabuleiro é considerado no cálculo, a sua linha de
influencia não é linear e também não é necessariamente uma função exata,
portanto, é necessário utilizar métodos aproximados para se determinar a área de
influencia do trem-tipo, como o método de Simpson, dos trapézios e semelhança
de triângulos. Dessa forma também foi desenvolvido um novo programa
identificado como MVM.TT, de pós-processamento dos dados das LI para os
cálculos dos trens-tipo. O programa desenvolvido reconhece os arquivos de saída
de resultados do MVM.LI e fornece os trens-tipo para o cálculo das solicitações.
Sua interface de saída de resultados é apresentada na Figura 4.18.
Figura 4.18 – Saída de resultados do programa MVM.TT.
Diferentemente do MEC que tem apenas o número de longarinas e o espa-
çamento entre elas como variáveis consideradas nos cálculos, o MVM tem como
89
variáveis: a largura, a espessura e o módulo de elasticidade do tabuleiro, a quanti-
dade de vigas, suas inércias e módulo de elasticidade e o comprimento do vão da
ponte. Dessa forma cada um dos modelos analisados tem a sua própria LI e o seu
próprio trem-tipo. As LI das vigas 1 e 2 de um dos modelos do grupo 4V retiradas
do MVM.LI são apresentadas na Figura 4.19.
Figura 4.19 – LI das vigas de um modelo do grupo 4V.
Já na Figura 4.20 é apresentado o trem-tipo reduzido da viga V1 calculado a
partir da LI.
Figura 4.20 – Trem-tipo reduzido da viga V1 do grupo 4V.
Os trens-tipos de todos os modelos são apresentados no ANEXO.
4.4.4 AASHTO LRFD
Diferentemente de outros métodos simplificados, o método do cálculo de
distribuição de carga da AASHTO foi criado a partir de estudos estatísticos que
consideram a influência de diversas características do tabuleiro, como sua seção
transversal, rigidez das longarinas, espessura da laje e comprimento do vão na dis-
tribuição de solicitações. Nesse método não existe a necessidade de se calcular
90
linhas de influência pois ele é definido pelo cálculo de um fator de distribuição de
carga, denominado LDF, e a sua determinação é baseada no sistema estrutural da
ponte em estudo.
Existem algumas diferenças importantes entre os carregamentos móveis da
AASHTO LRFD e da NBR 7188 (2013), portanto, para a validação desse método
de cálculo utilizando-se o trem-tipo da NBR algumas considerações precisam ser
feitas.
O carregamento de projeto da AASHTO, assim como o da NBR, tem duas
parcelas, uma de carga concentrada das rodas de um veículo tipo e de uma carga
distribuída, que equivale a Lane Load da AASHTO e a carga de multidão da
NBR. Porém, a maior diferença entre eles é que, enquanto a AASHTO sugere um
carregamento de multidão apenas dentro do limite de uma faixa de rolamento, a
NBR sugere que o carregamento atue sobre toda a superfície que produza solicita-
ções desfavoráveis no tabuleiro, excluindo a área sob o veículo. Por esse motivo, a
primeira etapa para validar esse método é a definição de uma faixa de rolamento
teórica, utilizando-se os valores das cargas normativas brasileiras.
Para seguir a lógica da norma americana essa faixa de rolamento também
tem 3,00 m de largura, portanto, multiplicando-se a carga de multidão de
25 /kN m pela largura da faixa, a carga de multidão do trem-tipo teórico é de
15 /kN m . Também é possível reduzir as cargas concentradas para se obter uma
carga linearmente distribuída contínua e simplificar os cálculos, resultando no
trem-tipo definido para esse método, representado na Figura 4.21.
Figura 4.21 – Trem-tipo NBR / Padrão AASHTO.
Os LDF calculados estão dispostos no ANEXO deste trabalho.
91
5 Resultados
5.1 Considerações Iniciais
Neste capítulo são apresentados os resultados das análises descritas no capí-
tulo anterior. Essas análises tiveram o objetivo de validar o método de distribuição
transversal de solicitações da AASHTO LRFD em pontes de vigas de concreto e
de aço em comparação com o MEF e com outros métodos simplificados.
Todas as análises em elementos finitos foram realizadas considerando-se as
recomendações das normas pertinentes como a NBR 6118 (2007) e a NBR 7188
(2013). No total, 168 pontes foram modeladas e analisadas dentro do programa
Autodesk Robot 2013, sendo 84 com vigas de concreto e 84 com vigas metálicas.
Foram verificadas as solicitações de momento fletor e força cortante nas vigas e
os deslocamentos máximos de cada modelo.
Para o cálculo dos momentos fletores é necessário a etapa de pós-
processamento dos resultados encontrados, já discutida anteriormente. Durante as
análises notou-se que a parcela do momento fletor do tabuleiro cascaM tem uma
influência muito pequena no momento fletor total da viga, então de forma a sim-
plificar a análise, foi desconsiderado. Portanto o momento fletor total de uma viga
é dado por:
MEF barra axialM M M
1 1MEF b bM SM SF e (5.1)
As análises bidimensionais dos outros métodos e o processo de obtenção das
solicitações em cada um deles já foi detalhado em capítulos anteriores, sendo que
para a determinação do momento máximo o veículo é considerado no meio do vão
da ponte, e para a determinação da força cortante máxima, o veículo é considerado
com uma roda sobre o apoio.
92
Os resultados encontrados são apresentados como a razão entre as solicita-
ções calculadas nas análises simplificadas e as solicitações calculadas nas análises
por elementos finitos em três gráficos distintos, que incluem os resultados das
pontes com espessuras de tabuleiro de 15, 20 e 25 cm. Na sequência são apresen-
tados os resultados das comparações do método LRFD com os outros métodos
simplificados de EC e MVM de maneira similar.
Para melhor detalhamento dos resultados as pontes foram divididas em três
grupos. O grupo 1 inclui as pontes com vãos menores, de 10 m, o grupo 2 inclui
as pontes com vãos intermediários, de 20, 28, 32, 36 e 40 m e o grupo 3 inclui as
pontes com vãos maiores, de 50 m.
5.2 Pontes com Vigas de Concreto
5.2.1 Momento Fletor
Na Figura 5.1 são apresentadas as razões entre os momentos máximos cal-
culados nas análises dos métodos simplificados pelos obtidos nas análises por
elementos finitos das pontes com vigas de concreto.
93
(a)
(b)
(c)
Figura 5.1 – Comparações entre os métodos simplificados e o MEF dos momentos fleto-res máximos em vigas de concreto: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm.
94
Ao analisar os gráficos percebe-se claramente duas características de
comportamento. A primeira é que nas pontes do grupo 1 as diferenças encontradas
entre os momentos obtidos por meio dos métodos simplificados e através da
análise por elementos finitos se destoam para os três métodos. Para o LRFD e o
MVM aumentam, chegando ser até 55% e 47% maiores que o do MEF,
respectivamente, já para o EC a diferença reduz para até -2%. Para os grupos 2 e 3
as diferenças máximas encontradas nas análises de todos os métodos foram
sempre conservadoras, variando entre 9% para vãos de 50 m e tabuleiro de 25 cm
e 43% para vãos de 20 m e tabuleiro de 15 cm. A outra característica é que as
diferenças entre os métodos tendem a serem menores quanto maiores forem os
comprimentos dos vãos e a espessura do tabuleiro, se estabilizando em torno de
20%. A Tabela 5.1 – apresenta um resumo com as diferenças encontradas.
Tabela 5.1 – Resumo das diferenças entre métodos simplificados e MEF nos cálculos de momento fletor máximo em pontes de vigas de concreto
Na Figura 5.2 o LRFD é comparado com os outros métodos simplificados
diretamente.
95
(a)
(b)
(c)
Figura 5.2 – Comparações dos momentos entre os métodos simplificados nas pontes com vigas de concreto: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm.
Fica evidente a similaridade entre o comportamento do MVM e do LRFD,
onde há uma alternância do conservadorismo entre eles. Para pontes com maiores
espaçamentos entre vigas, o LRFD é até 14% mais conservador e com espaça-
mentos menores, o MVM é até 11% mais conservador. Já na comparação entre o
LRFD e o EC, o LRFD é mais conservador na maioria dos casos. As diferenças
entre as análises de do grupo 1 chegam até a 50%. Para os outros grupos, as dife-
renças variam entre o LRFD mais conservador em até 33% para pontes do grupo 2
e o EC mais conservador em até 8% para pontes do grupo 3.
96
5.2.2 Força Cortante
Na Figura 5.3 são apresentadas as razões entre as forças cortantes máximas
calculadas nas análises dos métodos simplificados pelos obtidos nas análises por
elementos finitos.
(a)
(b)
(c)
Figura 5.3 – Comparações entre os métodos simplificados e o MEF cortantes máximos em vigas de concreto: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm.
97
Ao se analisar os gráficos percebem-se variações em algumas características
de comportamento. As diferenças encontradas também se destoam para pontes do
grupo 1, alcançando variações máximas de 35% e 34% para o LRFD e o MVM,
respectivamente. Para as pontes dos grupos 2 e 3 o LRFD tem uma diferença
média de 15%, sendo mínima de 6% e máxima de 32%, e o MVM tem uma
diferença média de 5%, sendo mínima de -4% e máxima de 19%.
O método de EC se comporta de forma um pouco diferente dos outros,
fornecendo na maior parte das análises resultados menores do que os encontrados
pelo MEF. A média das diferenças encontradas foi de -4%, mínima de -15% e
máxima de 10%.
A Tabela 5.2 –Tabela 5.1 – apresenta um resumo das diferenças
encontradas.
Tabela 5.2 – Resumo das diferenças entre métodos simplificados e MEF nos cálculos da força cortante máximo em pontes de vigas de concreto
Na Figura 5.4 o LRFD é comparado com os outros métodos simplificados
diretamente.
98
(a)
(b)
(c)
Figura 5.4 – Comparações dos cortantes entre os métodos simplificados em vigas de concreto: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm.
Nessa situação também é evidente a similaridade entre o comportamento do
MVM e do LRFD. Excluindo-se as pontes do grupo 1 há pouca variabilidade nas
diferenças encontradas na comparação entre os dois métodos. A média das dife-
renças entre eles é de 9%, com mínima de -6% (grupo 1) e máxima de 21%. Ao
não se considerar as pontes do grupo 1 a diferença mínima passa a ser 1%.
Já a diferença entre os LRFD e o EC é bem maior. A média encontrada é de
22%, com 6% e 45% de diferença mínima e máxima respectivamente. Ao não se
considerar as pontes do grupo 1 a diferença máxima passa a ser 35%.
99
5.2.3 Deslocamentos
Para o cálculo dos deslocamentos nos métodos simplificados a inércia da
seção transversal considerada é a equivalente da seção composta pela viga com o
a largura efetiva do tabuleiro. Para a simplificação da análise a largura efetiva
considerada é o espaçamento entre as vigas de cada modelo.
Na Figura 5.5 são apresentadas as razões entre os deslocamentos máximos
calculados nas análises dos métodos simplificados pelos obtidos nas análises por
elementos finitos das pontes com vigas de concreto.
(a)
(b)
(c)
Figura 5.5 – Comparações entre os métodos simplificados e o MEF dos deslocamentos máximos em vigas de concreto: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm.
100
Ao se analisar os gráficos percebe-se claramente a semelhança entre as
comparações dos momentos e dos deslocamentos no comportamento dos métodos,
com um importante detalhe, que para os métodos MVM e LRFD os resultados
para as pontes do grupo 1 não se destoam tanto dos outros, e apenas para o
método de EC que essa característica foi acentuada em relação a comparação dos
momentos. Uma outra diferença entre o método de EC e os métodos MVM e
LRFD é que o EC tem uma pequena tendência em afastar mais os resultados dos
valores encontrados nas análises por EF a medida que o vão tem seu comprimento
aumentado, ao contrário do que ocorre nas análises utilizando-se os outros
métodos.
A Tabela 5.3 – apresenta um resumo das diferenças encontradas.
Tabela 5.3 – Resumo das diferenças entre métodos simplificados e MEF nos cálculos de deslocamento máximo em pontes de vigas de concreto
Na Figura 5.6 o LRFD é comparado com os outros métodos simplificados
diretamente.
101
(a)
(b)
(c)
Figura 5.6 – Comparações dos deslocamentos máximos entre os métodos simplificados em vigas de concreto: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm.
Fica evidente a similaridade entre o comportamento do MVM e do LRFD,
onde há uma alternância do conservadorismo entre eles. Para pontes com maiores
espaçamentos entre vigas o LRFD é até 13% mais conservador, e com espaça-
mentos menores o MVM é até 9% mais conservador. Já na comparação entre o
LRFD e o EC, o LRFD é mais conservador na maior parte dos casos. As diferen-
ças entre as análises de do Grupo 1 chegam até a 48%. Para os outros grupos as
diferenças variam entre o LRFD mais conservador em até 30% para pontes do
Grupo 2, e o EC mais conservador em até 10% para pontes do Grupo 3.
102
5.3 Pontes com Vigas Metálicas
5.3.1 Momento Fletor
Na Figura 5.7 são apresentadas as razões entre os momentos máximos cal-
culados pelos métodos simplificados e pelos obtidos nas análises por elementos
finitos para as pontes com vigas metálicas.
(a)
(b)
(c)
Figura 5.7 – Comparações entre os métodos simplificados e o MEF dos momentos fleto-res máximos em vigas metálicas: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm.
103
A análise dos gráficos permite verificar que o comportamento dos métodos
na determinação do momento fletor nas vigas de pontes com vigas metálicas é
similar ao de pontes com vigas de concreto. Nesse caso, também para as pontes do
grupo 1, as diferenças encontradas se destoam para os três métodos. O MVM
fornece resultados até 74% maiores do que os encontrados nas análises por
elementos finitos nesses casos e o LRFD e o EC fornecem resultados até 85% e
60% maiores respectivamente. Percebe-se então que os métodos simplificados não
se aplicam para esses casos específicos. A Tabela 5.4 –Tabela 5.1 – apresenta um
resumo com as diferenças encontradas para os três grupos de pontes.
Tabela 5.4 – Resumo das diferenças entre métodos simplificados e MEF nos cálculos de momento fletor máximo em pontes de vigas metálicas
Na Figura 5.8 o LRFD é comparado com os outros métodos simplificados
diretamente.
104
(a)
(b)
(c)
Figura 5.8 – Comparações dos momentos entre os métodos simplificados: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm.
Os três métodos apresentam comportamentos semelhantes, com basicamen-
te a maior diferença ocorrendo em pontes do grupo 1. Porém, de forma geral, o
LRFD é o menos conservador entre eles para o cálculo de momento fletor em
pontes de vigas metálicas, fornecendo resultados em média até 5% menores em
comparação com o MVM e 1% menores em comparação com o EC.
105
5.3.2 Força Cortante
Na Figura 5.9 são apresentadas as razões entre as forças cortantes máximas
calculadas nas análises dos métodos simplificados pelos obtidos nas análises por
elementos finitos.
(a)
(b)
(c)
Figura 5.9 – Comparações entre os métodos simplificados e o MEF dos cortantes máxi-mos em vigas metálicas: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm.
106
As diferenças encontradas nesse caso também se destoam para pontes do
grupo 1, alcançando uma variação máxima de 35% e 23% para o LRFD e o
MVM, respectivamente. Para os outros grupos o LRFD tem uma diferença média
de 13%, mínima de 5% e máxima de 32%, o MVM tem uma diferença média de
1%, mínima de -8% e máxima de 14% e o EC, que fornece na maior parte das
análises resultados menores que os encontrados nas análises pelo MEF, tem uma
diferença média de -5%, mínima de -16% e máxima de 9%.
A Tabela 5.5 – apresenta um resumo com as diferenças encontradas.
Tabela 5.5 – Resumo das diferenças entre métodos simplificados e MEF nos cálculos de força cortante máximo em pontes de vigas metálicas
Na Figura 5.10 o LRFD é comparado com os outros métodos simplificados
diretamente.
107
(a)
(b)
(c)
Figura 5.10 – Comparações dos cortantes entre os métodos simplificados em vigas me-tálicas: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm.
Nessa situação fica evidente como o LRFD é mais conservador que os ou-
tros métodos simplificados. Isso ocorre porque para grande parte dos modelos os
métodos MVM e EC fornecem resultados menores do que os obtidos nas análises
por elementos finitos, portanto, resultados que são contra a segurança das pontes.
A média das diferenças entre o LRFD e o MVM é de 13%, com mínima de 2% e
máxima de 26%.
108
Já a diferença entre os LRFD e o EC é maior. A média encontrada é de
19%, com 6% e 45% de diferença mínima e máxima, respectivamente. Ao não se
considerar as pontes do grupo 1 a diferença máxima passa a ser 35%.
5.3.3 Deslocamentos
Na Figura 5.11 são apresentadas as razões entre os deslocamentos máximos
calculados nas análises dos métodos simplificados pelos obtidos nas análises por
elementos finitos das pontes com vigas metálicas.
(a)
(b)
(c)
Figura 5.11 – Comparações entre os métodos simplificados e o MEF dos deslocamentos máximos em vigas metálicas: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Ta-buleiro com 25 cm.
109
A análise dos gráficos mostra como os métodos simplificados são
imprecisos para o cálculo dos deslocamentos máximos em pontes de vigas
metálicas. Para as pontes do grupo 1 e as pontes com 20 m de comprimento de
vão do grupo 2, os deslocamentos encontrados nas análises dos métodos
simplificados chegaram a ser até 2,5 vezes maiores do que os encontrados nas
análises por elementos finitos. Já para as pontes do Grupo 3 as análises
simplificadas encontraram deslocamentos até 21% menores, sendo, portanto,
contra a segurança.
A Tabela 5.6 – apresenta um resumo das diferenças encontradas.
Tabela 5.6 – Resumo das diferenças entre métodos simplificados e MEF nos cálculos de deslocamento máximo em pontes de vigas metálicas
Os motivos que levam a essa inconsistência nos deslocamentos encontrados
pelos métodos simplificados para pontes de vigas metálicas podem ser diversos.
Não foi realizada neste trabalho uma análise profunda para entender a causa desse
problema, porém o fato de sua ocorrência apenas para as pontes com vigas metáli-
cas levantou a questão sobre a influência da rigidez das vigas nesse resultado, pois
nas pontes com vãos menores as vigas metálicas consideradas têm rigidez relati-
vamente baixa, bem inferior as vigas de concreto.
Portanto, foi analisada a relação entre a rigidez equivalente dos tabuleiros
por metro com as diferenças encontradas nas análises, onde a rigidez relativa dos
tabuleiros é dada por: vigas eqN EI L , na qual vigasN é a quantidade de vigas na pon-
te, E é o modulo de elasticidade equivalente da seção composta pela viga e o ta-
110
buleiro com sua largura equivalente, eqI é a inércia equivalente da seção compos-
ta e L é o comprimento do vão. A Figura 5.12 apresenta essa relação.
Figura 5.12 – Relação entre a rigidez das vigas e as diferenças dos resultados.
Essa análise indica que os resultados encontrados estão relacionados
diretamente com a rígidez das vigas. Para os casos em que a rígidez das vigas é
muito pequena em relação ao comprimento do vão, nenhum método simplificado
reproduz de forma confiável o comportamento de um tabuleiro, superestimando
os deslocamentos.
O LRFD também foi comparado diretamente com os outros métodos
simplificados. A Figura 5.13 apresenta essa análise.
111
(a)
(b)
(c)
Figura 5.13 – Comparações dos deslocamentos máximos entre os métodos simplificados em vigas metálicas: (a) Tabuleiro com 15 cm; (b) Tabuleiro com 20 cm; (c) Tabuleiro com 25 cm.
Com excessão dos resultados das pontes do Grupo 1 os métodos simplifica-
dos apresentam resultados bem próximos. Assim como em outros casos os resul-
tados das pontes do grupo 1 nas análises pelo método de EC também se destoam
um pouco. Para os outros grupos a maior diferença encontrada entre os resultados
das análises utilizando-se o MVM e o LRFD é de 15%, e entre as análises utili-
zando o EC e o LRFD é de 17%.
112
6 Conclusões e Recomendações para Trabalhos Futuros
6.1 Conclusões
Os métodos simplificados de análise da distribuição transversal das solicita-
ções em pontes têm uma grande importância na elaboração de projetos estruturais.
Atualmente algumas mudanças estão ocorrendo nessa realidade, pois a tecnologia
e a informática trouxeram a possibilidade do uso de poderosos programas compu-
tacionais que utilizam métodos mais completos, ou até mesmo os próprios méto-
dos simplificados para agilizar o processo, reduzindo o tempo gasto em um proje-
to.
Como em toda inovação os benefícios trazidos por esses programas são
inúmeros, desde incluir fatores que aumentam a velocidade da execução de proje-
tos estruturais até a inserção da possibilidade de projetos mais complexos que se-
riam muito difíceis, ou até mesmo impossíveis de serem executados sem a utiliza-
ção dessas novas tecnologias. Porém, junto com os benefícios, existem restrições
importantes a serem consideradas. A primeira delas é que é necessário um alto
investimento financeiro para adquirir os programas comerciais mais usuais e con-
fiáveis no mercado. Em seguida, dando como exemplo programas que fazem aná-
lises por meio do MEF, a exigência do conhecimento em elementos finitos e mé-
todos de modelagem entre outros, também é uma necessidade para o engenheiro
projetista. Por esses e diversos outros motivos, ainda existe a necessidade do uso e
melhorias de métodos simplificados, e este trabalho teve como objetivo sugerir e
validar uma alternativa racional e simplificada de análise da distribuição transver-
sal de solicitações em pontes de vigas, que não exigisse complexidades desneces-
sárias e altos investimentos financeiros, e que ao mesmo tempo fornecesse resul-
tados seguros para todas as situações, além de estudar a influência de algumas das
variáveis mais importantes para esse tipo de projeto
As normas brasileiras referentes a projetos de pontes necessitam modifica-
ções maiores que englobam novas cargas móveis, definidas a partir de estudos re-
113
alizados no tráfego real brasileiro e a especificação de um ou mais métodos de
análise da distribuição transversal de solicitações para o uso em projetos de pontes
de vigas.
Em seguida, ao se analisar diversos trabalhos, conclui-se que as transversi-
nas, principalmente as intermediárias são consideradas cada vez menos necessá-
rias. Devido à dificuldade de sua execução, a tendência atual é reduzir a sua quan-
tidade ou até mesmo a retirar definitivamente dos projetos. Essa tendência foi um
dos motivos que levou os testes dos métodos simplificados a serem realizados sem
a consideração das transversinas.
Em relação ao estudo dos métodos de modelagem de pontes, concluiu-se
que independentemente dos tipos de elementos utilizados para representar os ele-
mentos da estrutura, a discretização das malhas e dos nós é muito importante. Para
os casos estudados uma discretização da malha de 50 cm já se mostrou suficiente
para que os modelos conseguissem representar bem o comportamento de uma
ponte. Obviamente o melhor modelo é o que utiliza menor memória computacio-
nal, o que é mais simples de ser executado e o que apresenta os resultados da for-
ma mais direta possível. Considerando-se a necessidade deste trabalho, que é a
modelagem de superestruturas de pontes, o melhor elemento para a modelagem
das vigas é o de viga e para a modelagem das lajes é o de casca.
Foi também realizado neste trabalho o estudo das características das pontes
encontradas na malha viária federal brasileira. A primeira e mais importante con-
clusão obtida é que o Brasil não tem um sistema de gestão de pontes que reúna de
forma acessível e confiável as informações sobre as pontes brasileiras. Assim, é
muito complicado definir um panorama da situação existente e projetar às tendên-
cias futuras. Apesar da dificuldade, com as informações encontradas na literatura
foi possível tirar outras conclusões, como o que a maioria das pontes no Brasil são
de vigas de concreto, ultrapassando os 90% do total, e que quase 80% delas têm
largura inferior a 12 m, consideradas estreitas pelo padrão atual.
Durante o processo de validação do modelo de elementos finitos foram tes-
tadas duas pontes reais que receberam testes de cargas. Uma delas construída em
escala real especificamente para o teste em laboratório era relativamente nova,
com poucos meses de construção quando foi testada. A outra, antiga, já tinha qua-
se 30 anos de idade na época em que foi testada. O fato de terem sido analisadas
pontes com idades tão diferentes foi positivo, pois apresentou um resultado que
114
não é considerado atualmente nos projetos de pontes, que é a deterioração dos
apoios quando não são realizadas manutenções e vistorias regularmente. Na ponte
mais nova foi possível determinar os deslocamentos na análise por elementos fini-
tos com boa precisão, pois os apoios ainda estavam em ótimo estado de conserva-
ção. Já para a ponte mais antiga as restrições nos apoios causadas pela deteriora-
ção causaram erros na determinação das deformações específicas na análise por
elementos finitos. Foi necessário definir molas nos apoios com uma determinada
rigidez para que o comportamento da ponte analisada fosse bem representado. Es-
se resultado é importante para chamar a atenção dos órgãos responsáveis, para ga-
rantir uma manutenção regular das pontes, e dos engenheiros para considerarem
de alguma forma essas restrições em seus projetos.
Em relação ao processo de validação do método da AASHTO LRFD, dentre
os três métodos simplificados analisados, ele foi o único que forneceu apenas re-
sultados favoráveis à segurança em todas as comparações de momentos e forças
cortantes nas pontes com vigas de concreto e metálicas, e nas comparações de
deslocamentos nas pontes de vigas de concreto. Porém para alguns casos específi-
cos do Grupo 1 os métodos simplificados não se aplicam, já que os resultados en-
contrados foram ultraconservadores. Nenhum dos métodos simplificados foi ca-
paz de determinar os deslocamentos máximos em pontes de vigas metálicas de
forma eficaz, apesar de ter bons resultados para algumas pontes com vãos inter-
mediários, entre 28 e 40 m. Para pontes com vãos menores os resultados encon-
trados foram muito maiores do que os deslocamentos encontrados nas análises por
elementos finitos e para as pontes com vãos maiores os resultados encontrados
foram até 26% menores.
Os outros dois métodos simplificados apresentaram alguns resultados contra
a segurança em comparação das forças cortantes com os encontrados nas análises
por elementos finitos. Para alguns modelos de pontes com vigas metálicas o
MVM forneceu resultados até 8% menores, e o EC forneceu resultados até 16%
menores em alguns casos. Para os modelos de pontes com vigas de concreto essas
diferenças chegaram a 4% e 15%, respectivamente.
Uma outra conclusão importante é que de forma geral os resultados apresen-
tados pelos três métodos se destoaram muito quando os modelos apresentados ti-
nham vãos menores, de 10 e 20 m. Fato esse que se acentuou na determinação dos
115
deslocamentos das pontes com vigas metálicas, porém, não foi possível determi-
nar com precisão a causa dessas distorções.
Portanto o objetivo inicial do trabalho foi atingido, o método da AASHTO
LRFD se mostrou perfeitamente capaz, dentro das limitações expostas ao longo
do trabalho, de determinar as solicitações de momento fletor e força cortante em
pontes de vigas, tanto de concreto quanto metálicas. Também determina muito
bem os deslocamentos máximos em pontes com vigas de concreto, porém, assim
como os outros métodos, tem problemas para determinar os deslocamentos máxi-
mos em pontes com vigas metálicas. Então conclui-se que a nova norma “Projeto
de Pontes e Viadutos Rodoviárias de Aço e Mistas Aço e Concreto” que está sen-
do desenvolvida atualmente, considere os resultados encontrados para definir al-
guns pontos que precisam ser aperfeiçoados ou a inclusão de certos limites de
aplicabilidade.
Os métodos de EC e MVM também conseguem determinar os momentos
fletores em pontes de vigas de concreto e metálicas, além dos deslocamentos em
pontes de vigas de concreto. Porém é necessário tomar cuidados ao utilizá-los pa-
ra a determinação das forças cortantes, que podem fornecer alguns resultados que
vão de encontro à segurança das pontes. Apesar da exigência do uso de transver-
sinas pelo método de EC, foi provado que mesmo em uma situação onde não exis-
tem transversinas para colaborar com a distribuição das solicitações e com o au-
mento da rigidez do tabuleiro, os resultados apresentados foram satisfatórios.
6.2 Sugestões para Trabalhos Futuros
Primeiramente, como a NBR 7188 (2013) não tem o objetivo de representar
de maneira fidedigna a situação de tráfego real encontrada nas rodovias brasileiras
com suas cargas móveis, considera-se relevante a realização de estudos que de-
terminassem, por meio de análises estatísticas, cargas móveis e situações de car-
regamento que realmente se aproximassem das situações existentes.
Um outro ponto que chamou atenção ao longo da realização deste trabalho é
a falta de informações sobre a maioria das pontes brasileiras, desde informações
básicas como a idade de construção e sistemas estruturais, até informações mais
importantes como estado de conservação atual da estrutura e o tipo de carrega-
mento para o qual elas foram projetadas. Assim, recomenda-se a realização de es-
116
tudos que colaborem para a criação de um sistema eficiente de gestão de pontes,
abrangendo pesquisas de campos para a determinação de várias informações não
catalogadas atualmente.
É sugerido também uma análise aprofundada sobre as restrições existentes
em apoios deteriorados de pontes antigas, devido à falta de inspeções e manuten-
ções regulares. Como relatado neste trabalho, essa situação pode trazer alterações
significantes no modelo estrutural de uma ponte.
Como foi concluido que o método de EC apresentou resultados satisfatórios
e seguros mesmo sem o uso de transversinas, sugere-se que os limites de
aplicabilidade impostos pelo método sejam estudados, comparando resultados de
análises de pontes semelhantes, com e sem transversinas.
Por fim, como visto nas comparações realizadas, para as pontes com vãos
menores foram encontrados resultados que destoaram muito dos encontrados nas
pontes com vãos intermediários e maiores. Como não foi possível definir com
precisão o motivo que causa esta situação, considera-se necessária a realização de
estudos que tratam das análises transversais de solicitações para as pontes de me-
nor vão. Os focos sugeridos para esses estudos são a influência da maior propor-
ção entre largura do tabuleiro e comprimento do vão, ou a divergência entre o
comportamento de pontes com vãos menores e maiores.
117
7 Referências
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118
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121
Anexo
Linhas de Influência calculadas pelo método de Engesser-
Courbon
Figura 1 – Linha de Influência das vigas do grupo 5V pelo método de Engesser-Courbon.
Figura 2 – Linha de Influência das vigas do grupo 6V pelo método de Engesser-Courbon.
Figura 3 – Linha de Influência das vigas do grupo 7V pelo método de Engesser-Courbon.
122
Trens-tipo calculados pelos métodos de Engesser-Courbon e Viga
Modelo
Tabela 1 – Trens-tipo considerados nas análises das pontes do grupo 4V pelos métodos de Engesser-Courbon e Viga Modelo
Tabela 2 – Trens-tipo considerados nas análises das pontes do grupo 5V pelos métodos de Engesser-Courbon e Viga Modelo
123
Tabela 3 – Trens-tipo considerados nas análises das pontes do grupo 6V pelos métodos de Engesser-Courbon e Viga Modelo
Tabela 4 – Trens-tipo considerados nas análises das pontes do grupo 7V pelos métodos de Engesser-Courbon e Viga Modelo
124
Fatores de Distribuição de Carga (LDF) do método da AASHTO
LRFD
Tabela 5 – LDF considerados nas análises das pontes do grupo 4V pelos métodos da AASHTO LRFD
Tabela 6 – LDF considerados nas análises das pontes do grupo 5V pelos métodos da AASHTO LRFD
125
Tabela 7 – LDF considerados nas análises das pontes do grupo 6V pelos métodos da AASHTO LRFD
Tabela 8 – LDF considerados nas análises das pontes do grupo 7V pelos métodos da AASHTO LRFD
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