Bertolo  Capítulo II  1 

V imos no capítulo anterior que a 1ª propriedades das cargas elétricas estabe­ lecia que: corpos carregados com cargas de mesmo sinais (mesmo tipos) se repelem e corpos carregados com cargas de sinais contrários (tipos diferen­ tes) se atraem. Agora, atrair ou repelir significa uma carga exercer sobre a outra uma força. 

Assim, 

Tanto na atração, quanto na repulsão, aparece um par de forças que estão na reta que liga as cargas e sempre de sentidos opostos. Tratam­se de forças de ação e reação, e pela 3ª lei de Newton, devem ter sempre a mesma intensidade. 

São estas forças que iremos estudar neste capítulo. 

O físico francês Coulomb estudou, por volta de 1785, esta interação entre as cargas elétricas e estabeleceu uma lei para ela, enunciada da seguinte maneira: 

Coulomb também percebeu que a força dependia do meio onde estavam as cargas elétricas. 

Matematicamente, podemos escrever: 

Ao lado temos um gráfico mostrando como a intensidade da força de interação entre duas cargas elétricas depende da separação d entre elas. 

Para duas cargas puntiformes sozinhas, no espaço vazio e isotrópico a direção das forças é a da reta que une as cargas. Não poderia ser outra, a não ser que o pró­ prio espaço tivesse alguma propriedade direcional intrínseca ou a carga possuir uma estrutura interna, com um eixo defindo uma direção, mas daí,  ela não seria descrita por uma simples grandeza escalar. 

2.1 – Lei de Coulomb 

“Duas partículas carregadas trocam, entre si, forças que são diretamente proporcionais ao produto de suas cargas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que as separa”. 

2 m . K F 

d q Q

= 

Km = constante eletrostática do meio ou constante de Coulomb. Se o meio é o vácuo, temos: 

K0 =  2 

2 9  . 10 . 9 

C m N 

Força Elétrica 

II 

Temos razões experimentais para confiar na Lei de Coulomb no enorme intervalo de 10 ­13 cm a vários quilômetros, senão mais, e tomamo­la como base da nossa descrição eletromagnética.

Bertolo  Capítulo II  2 

1.  Duas cargas elétricas Q1 e Q2 estão no vácuo, separadas por uma distância x. Os sentidos das forças F1 e F2 que atuam em Q1 e Q2 são, respectivamente: 

a.  opostos, somente quando as cargas tiverem sinais opostos. b.  o mesmo, quando as cargas tiverem mesmo sentido. c.  sempre opostos, independentemente dos sinais das cargas. d.  opostos, se Q1 é positiva e Q2 é negativa, e os mesmos, se Q2 é 

positiva e Q1 é negativa. e.  sempre os mesmos, independentemente dos sinais das cargas. 

2.  Duas cargas, q e 2q, de mesmo sinal são colocadas a uma distância d. Sobre a força elétrica entre elas, a melhor representação é: 

3.  Duas cargas puntiformes, Q = 5µC e q = ­1µC, estão separadas por 1 m no vácuo. Determine a força elétrica de interação entre essas cargas. 

4.  Duas cargas elétricas, Q e q, situam­se em pontos separados por uma distância d. A força com que uma atua sobre a outra é F. Substituindo a carga q por outra igual a 3q, e aumentando a distância para 2d, o que ocorre com a intensidade da nova força elétrica (dar a resposta em função de F)? 

5.  Duas cargas elétricas puntiformes estão separadas por 12 cm. Esta distância é alterada até que a força entre as cargas fique quatro vezes maior. A nova separação entre as cargas é: a.  3 cm  b.  4 cm  c.  6 cm d.  24 cm  e.  48 cm. 

1.  Duas cargas, q1 e q2, repelem­se com uma força de módulo igual a f quando situadas nos vértices adjacentes de um quadrado (Figura 1). Deslocando­se a carga q2 para o vértice do quadrado diagonalmente oposto ao vértice em que se encontra a carga q1 (Figura 2), a intensidade da força de repulsão entre elas será igual a: 

a. 2f  b.  2 f  c.  f  d. 2 2  f  e. 

2 1  f 

EXERCÍCIOS 

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Bertolo  Capítulo II  3 

Vamos imaginar uma região em um meio qualquer que contém n cargas elétricas de dimensões desprezíveis (puntiformes): 

Imaginando todas as cargas do exemplo anterior positivas, podemos ilustrar a situação particular da carga Q1. 

Esta resultante de forças F1 é dada pela adição vetorial das forças que atuam na carga elétrica. Assim, 

F1 = F2 + F3 + F4 + ......... + Fn. 

1. Três objetos puntiformes com cargas elétricas iguais estão localizados como mostra a figura abaixo. 

Qual a intensidade da resultante das forças elétricas sobre Q? Dados: q = 2 µC. 

2. Um objeto A, com carga elétrica +q e dimensões desprezíveis, fica sujeito a uma força de 2 . 10 ­5 N, quando colocado em presença de um objeto idêntico, à distância de 1 m. Se o objeto for colocado na presença de dois objetos idênticos, como indica a figura ao lado, qual a força elétrica a que ficará sujeito? 

3. No sistema ao lado, determine a força resultante das forças elétricas sobre a carga q1. Dados: |q1| = |q2| = |q3| = 1 C      e     d = 1m 

2.2 – Força Elétrica Devida a Várias Cargas 

A interação entre as cargas sempre ocorre duas a duas (por ação e reação) independentemente da presença de outras cargas (Princípio da Superposição) e, além disso, cada uma delas irá trocar força com todas as demais. 

O mesmo poderia  ter  sido  feito em  qualquer  outra  carga  da figura. Podemos  substituir  essas  forças por uma resultante de forças que apresenta  o mesmo efeito  físico destas. 

EXERCÍCIOS 

O  princípio  da  superposição não deve  ser  tomado  como um dogma.  Poderá  existir  muito bem  um  domínio  de  fenô­ menos,  abrangendo  distâncias muito  pequenas  ou  forças muito  intensas,  onde  a  super­ posição  não  vale  mais.  Real­ mente,  conhecemos  fenômenos quânticos do campo eletromag­ nético  que  representam  uma falha  no  princípio  da  super­ posição,  do  ponto  de  vista  da teoria clássica.

Bertolo  Capítulo II  4 

1.  Duas cargas Q1 = 10 ­6 C e Q2 = 4 . 10 ­6 C estão fixas nos pontos A e B e separadas pela distância de 20 cm, no vácuo. Determine a intensidade da resultante das forças elétricas sobre uma terceira carga Q3 = 2 . 10 ­6 C, colocada no ponto médio do segmento que une Q1 e Q2. 

2.  Três cargas positivas iguais de 2,0 . 10 ­6 C estão fixas nos vértices de um triângulo eqüilátero de lado igual a 0,30 m. Qual a intensidade da força elétrica resultante numa delas. 

3.  Três cargas elétricas positivas de 10 µC ocupam os vértices de um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 5,0 cm. Determine o módulo da resultante das forças que atuam sobre a carga do ângulo reto. 

4.  Duas cargas positivas, separadas por uma certa distância, sofrem uma força de repulsão. Se o valor de uma das cargas for dobrado e a distância duplicada, então, em relação ao valor antigo de repulsão, a nova força será: a.  o dobro  b.  o quádruplo c.  a quarta parte  d.  a metade 

5.  Duas cargas elétricas A e B, estão fixas nas posições indicadas na figura. Determine a posição onde deve ser colocada uma carga C para que ela permaneça em equilíbrio. 

A                  9 cm                          B 

Dados: QA = +4,0 10 ­6 C QB = +1,0 10 ­6 C 

6.  Um pêndulo elétrico de comprimento L e massa m = 0,12 kg, eletrizado com carga Q é repelido por outra carga igual e fixa no ponto A, conforme a figura abaixo: 

Supondo que o pêndulo esteja em equilíbrio, determine o valor da carga Q, supondo g = 10 m/s 2 . 

7.  Duas partículas eletricamente carregadas estão separadas por uma distância r. O gráfico abaixo que melhor expressa a variação do módulo da força eletrostática F entre elas, em função de r, é: 

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Bertolo  Capítulo II  5 

P  Massa g 

Terra 

Sabemos que a Terra atrai para ela todo corpo colocado em suas proximidades em razão do campo gravitacional terrestre. 

O  campo  gravitacional  g  é  então  um  vetor  que  caracteriza  a  modificação  do espaço que  a Terra  cria  ao  seu  redor  e  age  em  todas  as massas m  que  forem  nele inseridas com uma força de atração P. Esta força está sempre apontando para a Terra. 

Por analogia, vamos conceituar o campo elétrico E criado por uma carga Q. 

Mantendo a analogia, vamos estabelecer que: F = q0 E 

A carga q0, apesar de ser um escalar, ela pode ser positiva ou negativa, e o campo elétrico E poderá agora ter, ou não, o mesmo sentido de F. 

Vamos resumir as possibilidades: 

Em palavras poderíamos dizer que o vetor E tem as seguintes características: ♦ Intensidade: dada por F = q0 . E ♦Direção: a da reta que une Q e q0. ♦Sentido: saindo de Q se ela for (+) e entrando em Q se ela for (­). 

III Campo Elétrico 

Poderíamos pensar então que  a Terra cria  ao  seu  redor uma modificação no espaço tal que ao ser colocada uma massa  m  nessa  região  a  mesma  sofrerá  um  força  de atração (Peso) dada por: 

P = m g A massa m é sempre um escalar positivo e, portanto, 

o campo gravitacional g tem sempre o sentido de P . 

q0 

Q 

Poderíamos  pensar  então  que  a  carga  Q  cria  ao  seu redor  uma  modificação  no  espaço  tal  que  ao  ser colocada uma carga q0 nessa região a mesma sofrerá um força  F  de  atração  ou  de  repulsão  (força  elétrica), dependendo  dos  sinais  das  cargas  serem  iguais  ou diferentes, respectivamente. Pelo fato de existirem dois tipos de cargas implica numa complexidade maior para o campo elétrico E. 

+  +  F E 

­  E  ­  F 

+  F  ­  E 

Veja que sempre o campo sai de Q(+) e entra em Q(­). Quando q0 for (+) a força F e o campo E têm os mesmos sentidos. Porém, quando q0 for (­) a força F e o campo E têm sentidos opostos 

3.1 – Campo Elétrico

Bertolo  Capítulo II  6 

1.  Uma carga  elétrica de  +2C está  submetida  a uma  força elétrica  de 10N,  em razão  de  estar  imersa  em  uma  região  do  espaço  que  contém  um  campo elétrico. Determine a intensidade desse campo elétrico. 

2.  Uma carga de prova negativa q é colocada num ponto A, onde há um campo elétrico E gerado por uma carga Q positiva. Fica, então, sujeita a uma força F de intensidade 10 N. Sendo q = ­50 mC, indique a opção que fornece o valor correto  da  intensidade  do  vetor  campo  elétrico  em  A,  bem  como  as orientações corretas dos vetores E e F. 

3.  Em uma região do espaço onde existe um campo elétrico de 5 N/C, horizontal e para a direita, inserimos uma carga elétrica q = ­2 µC. Determine o vetor força elétrica sobre a carga. 

4.  Em um ponto P do espaço, existe um campo elétrico vertical para baixo, de intensidade 5 000 N/C. Coloca­se, nesse ponto, uma esfera de massa 2,0 g e eletrizada. Sabendo­se que a esfera fica em equilíbrio, determine o valor da quantidade de carga elétrica da esfera. Considere g = 10 m/s 2 . 

EXERCÍCIOS

Bertolo  Capítulo II  7 

5.  Uma carga de prova de  ­5 µC, colocada numa região de campo elétrico, fica sujeita  a  uma  força  elétrica  de  0,2  N  na  vertical,  de  baixo  para  cima. Caracterize o vetor campo elétrico no ponto onde foi colocada a carga q. 

6.  Sobre uma carga de prova q = 4 . 10 ­7 C, colocada num ponto da região do campo elétrico, atua uma força de 2 N. Podemos afirmar que a intensidade do campo elétrico naquele ponto é, em N/C, igual a: a. 2 . 10 ­7  b. 0,5 . 10 ­6  c. 5 . 10 6 d. 5 . 10 7  e. 8 . 10 ­7 

7.  Uma carga elétrica puntiforme com 4,0 µC, que é colocada em um ponto P do vácuo, fica sujeita a uma força elétrica de intensidade 1,2 N. O campo elétrico nesse ponto P tem intensidade de: a. 3,0 . 10 5  N/C  b. 2,4 . 10 5 N/C  c. 1,2 . 10 5 N/C d. 4,0 . 10 ­6 N/C  e. 4,8 . 10 ­6 N/C 

8.  Uma gota de óleo de massa m = 1 mg e carga q = 2 . 10 ­7 C é solta em uma região de campo elétrico uniforme E, como mostra a figura abaixo. Mesmo sob o efeito da gravidade, a gota move­se para cima, com uma aceleração de 1 m/s 2 . Determine o módulo do campo elétrico. (g = 10 m/s 2 ). 

9.  Uma gotícula de água, com massa m = 0,80 . 10 ­9 kg eletrizada com carga q = 16 . 10 ­19 C, está em equilíbrio no interior de um capacitor de placas paralelas e horizontais, como mostra o esquema abaixo: 

Nestas circunstâncias, o valor do campo elétrico entre as placas é: a. 5 . 10 9 N/C  b. 2 . 10 ­10 N/C  c. 12,8 . 10 ­28 N/C d. 2 . 10 ­11 N/C  e. 5 . 10 8 N/C. 

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Bertolo  Capítulo II  8 

As linhas de força são linhas imaginárias que servem para representar o campo elétrico. 

Elas representam os vetores do campo elétrico em vários pontos, que, unidos, mostram­nos uma forma geométrica que é bastante útil para tentar visualizar o que ocorre entre as interações de cargas elétricas. 

As figuras a seguir nos mostram uma prefeita noção dessas linhas de força: 

Devido a uma carga puntiforme 

São retas concorrentes na carga. As linhas são orientadas no sentido do campo E, isto é, saindo das cargas (+) e entrando nas cargas (­). 

Devido a duas cargas puntiformes de mesma intensidade e sinais contrários 

As linhas saem da carga positiva e entram na carga negativa. 

Devido a duas cargas puntiformes de mesma intensidade e sinais iguais 

3.2 – Linhas de Força

Bertolo  Capítulo II  9 

As linhas de força representam o campo elétrico E da seguinte forma: ♦ Intensidade:  o  campo  elétrico  é  mais  intenso  quanto  maior  a  densidade  de linhas  de  força  na  região,  isto  é,  é  a  quantidade de  linhas que perfuram um plano perpendicular a estas pelo tamanho dessa área.

♦Direção: o campo elétrico é tangente às linhas de força. ♦Sentido: o campo elétrico, em um ponto,  tem o mesmo sentido das linhas de força. 

1. A figura representa, na convenção usual, a configuração de linhas de força associadas a duas cargas puntiformes Q1 e Q2. Podemos afirmar que: a. Q1 e Q2 são cargas negativas  b. Q1 é positiva e Q2 é negativa c. Q1 e Q2 são cargas positivas  d. Q1 é negativa e Q2 é positiva e. Q1 e Q2 são neutras. 

2.  A figura representa duas cargas puntiformes +q e –q (de módulos iguais). Trace o vetor campo elétrico em P, ponto médio da distância AB. 

3.  A figura representa as linhas de força de um campo elétrico. a. Em que região, A ou B, o campo elétrico tem intensidade maior? b. Represente o vetor campo elétrico no ponto C. 

O  campo  elétrico  E  é  mais intenso  em A do que  em B, pois  a  mais  linhas  de  força atravessando  uma  determi­ nada  área  em  A  do  que  a mesma área em B. 

EXERCÍCIOS

Bertolo  Capítulo II  10 

Quando uma carga elétrica Q, puntiforme, está fixa, sabemos que esta provoca um campo elétrico no espaço, o qual denominamos E. 

Vimos que a força elétrica podia ser escrita por: F = q E E, por outro lado, temos pela lei de Coulomb que 

2 m K F d Qq

= 

Igualando e depois simplificando, ficamos com: 

Esta fórmula fornece a intensidade do campo elétrico a partir da carga geradora Q puntiforme em um  ponto situado a uma distância d dessa carga. 

1. qual a intensidade do campo elétrico em um ponto P situado a 1 m de uma carga de 2 µC, no vácuo? 

2.  Considere uma carga puntiforme de 1,5 µC no vácuo. Determine a intensidade do campo elétrico a 6 m dessa carga. 

3.  O campo elétrico de uma carga puntiforme Q a uma distância d é E. Se dobrarmos a distância e multiplicarmos a carga elétrica por 4, o valor do novo campo elétrico será: a. E  b. 2E  c. 5E  d. 10E  e. 20E 

4.  Qual dos gráficos ao lado melhor representa o módulo do vetor campo elétrico E em um ponto P, nas proximidades de uma carga elétrica puntiforme, em função da distância d entre a carga e o ponto P? Considere a carga no vácuo. 

5. 

3.3 – Campo Elétrico de Carga Puntiforme 

2 m K E d Q

=

EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS 

A Figura 1 representa uma carga elétrica  pontual  positiva  no ponto P e o vetor campo elétrico no ponto 1, devido a essa carga. No  ponto  2,  a  melhor representação par o vetor campo elétrico,  devido  à  mesma  carga em P, será:

Bertolo  Capítulo II  11 

O campo elétrico de várias cargas puntiformes fixas é determinado pelo princípio da superposição, isto é, pela soma vetorial dos vetores campo elétrico de cada carga que compõe o sistema. 

Seja, por exemplo, o campo elétrico na posição P, devido às cargas Q1, Q2, Q3,..., Qn do sistema da figura abaixo: 

ER = E1 + E2 + E3 + ....+  En  ou ∑ =  i R  E E 

1.  Na figura adiante, o ponto P está eqüidistante das cargas fixas +Q e –Q. Qual dos vetores indica a direção e o sentido do campo elétrico em P, devido a essas cargas? 

2.  As cargas puntiformes q1 = 20 µC e q2 = 64 µC estão fixas no vácuo, respectivamente nos pontos A e B. O campo elétrico resultante no ponto P tem intensidade de: 

a. 3,0 . 10 6 N/C  b. 3,6 . 10 6 N/C  c. 4,0 . 10 6 N/C d. 4,5 . 10 6 N/C  e. 5,4 . 10 6 N/C 

3.  Sabendo­se que o vetor campo elétrico no ponto A é nulo, a relação entre d1 e d2 é: a. d1/d2 = 4  b. d1/d2 = 2 c.  d1/d2 = 1  d. d1/d2 = ½ e.  d1/d2 = ¼ 

3.4 – Campo Elétrico de Várias Cargas Puntiformes 

EXERCÍCIOS 

a.  A b.  B c.  C d.  D e.  E

Bertolo  Capítulo II  12 

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 

1.  Calcule  a  que distância  de uma  carga Q  de  4 µC,  o  campo  elétrico  apresenta intensidade de 4 . 10 5 N/C, no vácuo. 

2.  O gráfico representa a variação da intensidade do campo elétrico de uma carga Q puntiforme, em função da distância à carga. Determine: 

3.  Na figura abaixo, calcule a que distância da carga elétrica Q1 o campo elétrico resultante é nulo. 

4.  Na figura a seguir, determine o vetor campo elétrico no ponto P, sabendo­se que as cargas elétricas estão no vácuo. 

5.  A figura mostra três cargas, Q1, Q2, Q3, localizadas nos vértices de um quadrado. Sendo Q1 = Q3 = 4,0 µC, calcule Q2 para que o eletrostático no ponto P seja nulo. 

a.  o valor da carga Q b.  a intensidade do campo elétri­ 

co a 2 m da carga c.  a intensidade da força elétrica 

que atua numa carga de 1 µC colocada a 1 m da carga Q.

Bertolo  Capítulo II  13