Nelly Piedad Rubio Rubio Estudo de dutos enterrados ...livros01.livrosgratis.com.br/cp092252.pdf · Luiz Eloy Vaz . Escola de Engenharia ... comportamento não-linear dos materiais

Nelly Piedad Rubio Rubio

Estudo de dutos enterrados considerando a interação

solo-estrutura

Tese de Doutorado

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Engenharia Civil. Área de concentração: Estruturas.

.

Orientadores: Deane de Mesquita Roehl Celso Romanel

Rio de Janeiro

Dezembro de 2008

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0521686/CA

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Estudo de dutos enterrados considerando a interação

solo-estrutura

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Deane de Mesquita Roehl Orientadora

Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Celso Romanel Co-Orientador


Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Giuseppe Barbosa Guimarães


Pedro Colmar Gonçalves da Silva Vellasco Departamento de Engenharia Civil – UERJ

Luiz Eloy Vaz

Escola de Engenharia – UFRJ

Prof. José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico – PUC-Rio

Rio de Janeiro, 17 de dezembro de 2008

DBD


Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução

total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, da autora e do orientador.


Graduada em Engenharia Civil pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ/RJ) em 1997. Em 2000, obteve o título de Mestre em Engenharia Civil, na área de Estruturas, na PUC-Rio, com dissertação desenvolvida na linha de pesquisa de Comportamento Inelástico de Materiais e Estruturas. Em janeiro de 2005 passou a formar parte da equipe Grupo de Engenharia e Tecnologia de Petróleo (GTEP/PUC-Rio), e na linha de Estabilidade de Poços e Modelagem Geomecânica vem desenvolvendo trabalhos de Pesquisa, Desenvolvimento e Suporte.

Ficha Catalográfica

CDD: 624

Rubio Rubio, Nelly Piedad

Estudo de dutos enterrados considerando a

interação solo-estrutura / Nelly Piedad Rubio Rubio ;

orientadores: Deane de Mesquita Roehl, Celso

Romanel. – 2008.

120 f. : il. ; 30 cm

Tese (Doutorado em Engenharia Civil)–Pontifícia

Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de

Janeiro, 2008.

Inclui bibliografia.

1. Engenharia civil – Teses. 2. Problema de

contato com atrito. 3. Método da penalidade. 4. MEF.

5. Dutos enterrados. 6. Interação solo-estrutura. I.

Roehl, Deane de Mesquita. II. Romanel, Celso. III.

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.

DBD


A DEUS, a força maior do universo!

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Agradecimentos

A Deus, que me trouxe aqui e que me acompanhou em todos os momentos.

À Prof. Orientadora Deane Roehl, pelos ensinamentos transmitidos, pelo

incentivo e suporte na pesquisa.

Ao Prof. Celso Romanel, pela contribuição na elaboração do trabalho.

Ao Prof. Sergio A. B. da Fontoura pelo apoio, incentivo e motivação.

Ao CNPq, e a PUC-Rio pelo apoio financeiro.

À minha família no Peru: meus pais Luis y Nelly, irmãos e sobrinhos, pelo

amor incondicional sempre. Vocês são especiais demais na minha vida!

À minha familia no Brasil: a familia Tyrrell Rubio, pelo carinho e amparo, em

todos os momentos desde que cheguei ao Brasil.

Aos todos meus colegas e amigos do GTEP/PUC-Rio, em especial: Olga

Carvajal e Bruno Holzberg amigos muito queridos com que partilhei momentos

para sempre.

Aos amigos da PUC, em especial: Isabelle, Luciana, Ciro, Walter, Joabson,

Flâvio, Ataliba e Ana Julia, Paôla, Michele, Emiliana, Cyntia, Luis e Maristâni,

pelos momentos inesquecíveis partilhados.

Aos amigos da Pastoral da PUC, em especial: Pe. Emmanuel, Helena, Juliana,

Ir. Graça e Fernanda. Muito obrigada pela força e pelas suas orações.

A todos os Professores do DEC/PUC-Rio, pelos ensinamentos transmitidos.

DBD


Aos meus familiares e amigos do Peru pelo carinho e incentivo.

Aos funcionários da Secretária da Pós do DEC pela disponibilidade, em

especial: Ana Roxo, Rita, Cristiano, Lenilson e Fátima.

A todos os colegas da Pós pelos momentos partilhados.

Aos professores da Comissão Examinadora.

A todos os que me ajudaram nesta caminhada.

DBD


Resumo

Rubio, Nelly Piedad Rubio. Roehl, Deane de Mesquita; Romanel, Celso

(Orientadores). Estudo de dutos enterrados considerando a interação

solo-estrutura. Rio de Janeiro, 2008. 120 p. Tese de Doutorado -

Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio

de Janeiro.

Esta pesquisa tem como objetivo o desenvolvimento de uma metodologia

com base no método de elementos finitos para o estudo do problema de contato

com atrito que surge na interação solo-duto no comportamento de dutos

enterrados. O tratamento das restrições de contato e a incorporação da lei do atrito

(tipo Coulomb) é feita através do Método da Penalidade, tomando como

referencia o trabalho de Laursen & Simo (2002), onde as restrições de contato são

impostas de maneira aproximada com o uso de parâmetros de penalidade para as

forças normal e tangencial no contato. As relações cinemáticas são descritas em

termos de uma função diferenciável da distancia entre os corpos (gap). Para a

discretização são empregados elementos hexaedricos de 8 nós com uma

formulação híbrida - Enhanced Assumed Strain (EAS) e os efeitos de

comportamento não-linear dos materiais envolvidos são considerados na presença

de grandes deslocamentos e grandes deformações. A teoria da plasticidade é

utilizada para modelar a natureza não-linear das relações constitutivas do duto.

Aplicações considerando o problema de contato com atrito que surge na interação

solo-duto são apresentadas.

Palavras-chave

Problema de contato com atrito; método da Penalidade; Método dos

Elementos Finitos; dutos enterrados; interação solo-estrutura.

DBD


Abstract

Rubio, Nelly Piedad Rubio; Roehl, Deane de Mesquita; Romanel, Celso

(Advisors). Design of buried pipelines considering the reciprocal soil-

structure interaction. Rio de Janeiro, 2008. 120 p. Tese de Doutorado –

Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio

de Janeiro.

This research aims the development of a methodology based on the finite

element method for 3D frictional contact problems such as the frictional contact

problem that arises from the soil-pipe interaction of buried pipelines. The

treatment of the contact restrictions and the incorporation of the friction law of the

Coulomb type are carried out through a penalty method, where the contact

restrictions are imposed in an approximated manner using penalty parameters for

both normal and tangential forces. The cinematic relations are established in terms

of the diferential function of the gap between bodies. Hexahedral eight-node

elements are employed based on the Enhanced Assumed Strain (EAS) concept

and the effects of the non-linear behavior of the materials are considered in

presence of large displacements and large deformations. The theory of plasticity is

used to model the non-linear nature of the constitutive relations of the pipe.

Applications are presented considering the frictional contact problem that arises

on the interaction surfaces of a buried structure such as an oil pipeline.

Keywords

Frictional contact problem; penalty method; finite element method; buried

pipelines; soil-structure interaction.

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Sumário

1 INTRODUÇÃO 18

1.1 Definição do Problema 18

1.2 Motivação 19

1.3 Justificativa 20

1.4 Objetivo 21

1.5. Estrutura da Tese 21

2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROJETO ESTRUTURAL DE DUTOS

ENTERRADOS 23

2.1 Introdução 23

2.2 Pressão Interna 26

2.3 Transporte/Instalação 27

2.4 Deformações do Anel 29

2.5 Deflexão do anel devido à pressão interna 31

2.6 Pressão Vertical do solo (P) 31

2.7 Resistência do solo 32

2.8 Mecanismos do Duto 32

2.8.1 Análises longitudinais 33

2.8.2 Análise do anel: tensão, deformação e estabilidade 33

2.9 Mecanismos Longitudinais 35

2 3 MODELOS DE INTERAÇÃO SOLO-DUTO 36

3.1 Introdução 36

3.2 Modelos Propostos na Literatura 37

3.2.1 Modelo de Selvadurai & Pang (1998)6 37

3.2.2 Modelo de Zhou & Murray (1993, 1996)7,8,9 37

3.2.3 Modelo de Rajani, Robertson & Morgenstern(1995)10 38

3.2.4 Modelo de Veiga, Romanel & Roehl (2000)11 38

3.2.5 Modelo de Lim, Kim, Kim & Jang (2001)12 39

3.2.6 Modelo de Mandolini, Minutolo e Ruocco (2001)13 40

3.2.7 Modelo de Mejia & Roehl (2003)14 40

3.2.8 Modelo de Souza, Guimarães & Roehl (2004)15 41

3.2.9 Modelo de Lazaro, Hecke, Roehl & Machado (2004)16 41

3.2.10 Modelo de Souza, Hecke, Roehl & Machado (2005)17 42

DBD


3.2.11 Modelo de Coelho & Roehl (2007)18 43

3.2.12 Modelo de Teixeira & Romanel (2008)19 43

3.3 Comentários Finais 44

4 MODELOS PARA O PROBLEMA DE CONTATO 47

4.1 Introdução 47

4.2 Modelos Propostos na Literatura 49

Modelo de Lee & Kwak43 49

Modelo de Simo, Wriggers & Taylor44 49

Modelo de Nour-Omid & Wriggers45 49

Modelo de Klarbring46 50

Modelo de Fisher & Melosh47 50

Modelo de Kwak & Lee63 50

Modelo de Gakwaya & Lambert64 50

Modelo de Laursen48,50 - Laursen & Simo49 50

Modelo de Björkman76 50

Modelo de Kwak62 51

Modelo de Changming & Yongjie52 51

Modelo de Peric & Owen53 51

Modelo de Klarbring & Bjorkman65 51

Modelo de Heegaard & Curnier54 51

Modelo de Lee, Kwak & Kwon66 51

Modelo de Kim & Kwak77 52

Modelo de Hongwu, Wanxie & Yuanxian78 52

Modelo de Garrido & Lorenzana67 52

Modelo de Liolios, Pitilakis & Yeroyianni68 52

Modelo de Guyot, Kosior & Maurice79 52

Modelo de Pietrzak & Curnier57 52

Modelo de Ferreira & Roehl58,80 53

Modelo de Bandeira59 53

4.3 Modelo Proposto 53

5 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE CONTATO COM ATRITO 55

5.1 Formulação Continua do Problema de Contato 55

5.1.1 Notação 55

5.1.2 Restrições de contato normal 56

5.1.3 Contato com atrito 58

5.1.4 Método da Penalidade 62

5.1.5 Algoritmos para mapeamento de retorno do atrito 63

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5.1.6 Formulação Variacional do Problema de Contato 65

5.2 Implementação da Formulação em Elementos Finitos: Método

da Penalidade 70

5.3 Fluxograma do Método da Penalidade: PC com atrito 77

6 APLICAÇÕES 79

6.1 EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO 80

6.1. 1 BLOCO ELÁSTICO com L>>H 80

Solução Numérica: Método de Penalidade considerando contato com atrito 84

6.1. 2 LIGAÇÃO DE PLACA DE EXTREMIDADE 87

6.1. 3 PUNÇÃO ELÁSTICA DE UM BLOCO SOBRE UMA FUNDAÇÃO

RÍGIDA 91

6.1. 4 DESLIZAMENTO DE UM BLOCO ELÁSTICO 93

6.2 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 95

6.2.1 DUTO ENTERRADO 95

6.2.2 INTERAÇÃO SOLO-DUTO DE UM DUTO ENTERRADO QUE

ATRAVESSA UMA ENCOSTA 98

Modelagem do Duto 98

Modelagem Sistema Solo-Duto 103

7. CONCLUSÕES E SUGESTÕES 111

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 114

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Lista de Figuras e Tabelas

Figura 2.1 – Esquema da definição da seção transversal de dutos enterrados 24

Figura 2.2 – Possíveis limites de execução do sistema solo-duto1 24

Figura 2-3 – Limites de Execução do duto enterrado devido à pressão

externa do solo1 25

Figura 2.4 - Diagrama de corpo livre da seção transversal (metade)

incluindo pressão interna 27

Figura 2.5 – Cargas mais comuns nos dutos devido ao transporte/instalação1 28

Figura 2.6 - Diagramas de corpo livre do duto: rígido e flexível sujeito à

força F. 28

Figura 2.7 - Diagrama de corpo livre da seção transversal (metade)

incluindo pressão externa 29

Figura 2.8 – O círculo imaginário como um anel flexível 30

Figura 2.10 – Pressão vertical do solo no nível do topo de um duto

enterrado (P) 32

Figura 2.11 – Comparação da análise de tensão: coluna curta x anel de duto 34

Figura 2.12 – Colapso de um anel circular flexível devido à pressão

externa baseado na rigidez do duto 35

Figura 5.1 – Notação das deformações finitas do Problema de Contato

com atrito 56

Figura 5.2 – Definição da função de folga (“gap”) 57

Figura 5.3 – Parametrizações das superfícies de contato )2(

Γ e )2(

γ 58

Figura 5.4 – Definição do ponto escravo e da superfície mestre em 3D 72

Figura 5.5 – Fluxograma do Método da Penalidade: PC com atrito 78

Figura 6.1 – Definição do problema do bloco elástico L>>H 80

Figura 6.2 – Tensões atuando no elemento infitesimal 81

Figura 6.3 – Comportamento Constitutivo do elemento de interface:

tensão cisalhante versus deslocamento de cisalhamento relativo 82

Figura 6.4 – Deslocamentos Horizontais na interface obtidos com a

formulação analítica 84

Figura 6.5 - Discretização da malha em elementos finitos para o problema

bloco L>>H 85

Figura 6.6 - Deslocamentos Horizontais na Interface obtidos na

DBD


Formulação Analítica e na Formulação desenvolvida (CARAT 3D) 86

Figura 6.7 - Deslocamentos na interface CARAT versus

Hird & Russell: diferentes níveis de carregamento 86

Figura 6.8 - Detalhe da zona de contato e o carregamento no plano89. 87

Figura 6.9 – Características geométricas do modelo reduzido89 88

Figura 6.10 – Comparação dos resultados das análises experimental de

Rother et al. E a análise numérica com CARAT 3D com elementos

Hexa8-E3. 89

Figura 6.11 – Deformada da ligação de placa de extremidade no

instante final (maximização em 25 vezes) 89

Tabela 6.1 – Variação de parâmetros de penalidade nas análises realizadas 90

Figura 6.12 – Comparação dos resultados das análises experimental de

Rother et al. e as análise numérica com CARAT 3D com elementos

Hexa8-E3 para diferentes parâmetros de penalidade normal e tangencial

(pn e pt respectivamente). 90

Figura 6.13 – Geometria do bloco sobre uma fundação rígida90,91,92. 91

Figura 6.14 – Discretizacção em elementos finitos do bloco sobre uma

fundação rígida. 92

Figura 6.15 – Geometria do Bloco Elástico sobre uma Fundação

Rígida49,50,93,94 93

Figura 6.16 – Deslocamentos tangenciais na interface de contato com

atrito 0.5 94

Figura 6.17 – Deformada do bloco elástico devido ao carregamento aplicado 94

Figura 6.18 – Geometria do Sistema Solo-Duto 96

Figura 6.19 - Malha em Elementos Finitos do Sistema Solo-Duto

(365 elementos Hexa8-E3) 96

Figura 6.20 - Campo de Deslocamentos DX (eixo horizontal) no sistema

solo-duto 97

Figura 6.21 - Campo de Deslocamentos DY (eixo vertical) no sistema

solo-duto 97

Figura 6.22 - Esquema da linha de duto e as suas condições de contorno 98

Figura 6.23 - Discretização da malha em elementos finitos do duto 100

Figura 6.24 – Curva fator carga versus deslocamento (vertical) para

o nó localizado no comprimento 2.5 m da linha de duto. 101

Figura 6.25 - Campo de deslocamento DX devido a uma pressão

interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8 101

Figura 6.26 - Campo de deslocamento DX devido a uma pressão

DBD


interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8-E3 101

Figura 6.27 - Campo de deslocamento DY devido a uma pressão


Figura 6.28 - Campo de deslocamento DY devido a uma pressão


Figura 6.29 - Campo de deslocamento DZ devido a uma pressão


Figura 6.30 - Campo de deslocamento DZ devido a uma pressão


Figura 6.31 – Tensões de von Mises devido a uma pressão interna

equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8 103

Figura 6.32 – Tensões de von Mises devido a uma pressão interna

equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8-E3 103

Tabela 6.1 – Carregamento solicitado pelo duto por trechos. 103

Figura 6.33 - Discretização da malha em elementos finitos do duto 104

Tabela 2 – Variação de deslocamentos (em mm) nos nós de contato em

função da variação de coeficiente de atrito para μ =0.1 e μ =0.3. 105

Figura 6.34 – Tensões Von Mises, na configuração final, considerando o

sistema solo-duto, para μ =0.6: Vistas 1 e 2. 106

Figura 6.35 – Tensões longitudinais, na configuração final,

considerando o sistema solo-duto, para o caso μ =0.6. 107

Tabela 6.3 – Verificação de Modelo do Solo: Critério de Falha

Mohr-Coulomb 3D. 108

Figura 6.36 – Tensões Von Mises, no sistema solo-duto, para a

configuração final de carregamento com parâmetros de penalidade:

εN=103 e εT= 102 e coef. de atrito μ=0.6. 109

DBD


Lista de Símbolos

( )i Posição corrente da superfície de contorno

( )i Superfícies dos contornos dos corpos i

k

cΦ Vetor das variações nodais correspondente ao ponto k da quadratura

Redução do diâmetro D devido à forca F

k

cΦ Vetor dos valores nodais de hu

r Acréscimo do raio devido à pressão interna

D Acréscimo do raio devido à pressão interna

Deformação

N Penalidade normal

T Penalidade tangencial

b

T

b

T

t

t Taxa de deslizamento

Coeficiente de atrito

Variável do domínio paramétrico

Tensão circunferencial

1

)(a Valor nodal de h)1(

i

t Configuração no tempo t do corpo (i)

_)(i

t Deslocamento prescrito

)i(

tΨ Serie de mapeamentos indexados pelo tempo t

i Configuração inicial do corpo deformável (i)

A Seção transversal do duto

Bi Definição do corpo deformável (i)

d Deflexão do anel (percentagem)

D Diâmetro médio do duto

E Módulo de Elasticidade

αE ξ Base para )2(Γ

DBD


αe ξ Base para )2(

F Carga diametral atuante no duto durante o transporte e instalação

)2(

tF Gradiente de deformação correspondente a )2(

,g tX Função de folga (“gap”)

,g t

X Derivada da Função de folga (“gap”)

Tg Função de folga tangencial

),(*

)()()( ii

t

iG Soma do trabalho virtual interno e o trabalho virtual das forças

aplicadas no corpo )(i

)(gH Função Heaviside

ID Diâmetro interno

kj η Jacobiano da transformação em relação ao domínio de referência

k

cK Matriz de rigidez de contato

NcK Rigidez normal

tcK Rigidez tangencial

b

TvL t Derivada de Lie

M Métrica na configuração inicial

m Métrica na configuração corrente

ηaN Função de forma isoparamétrica padrão

intn Número de pontos de integração para a superfície de cada elemento

)()1(

0 Xn Normal a X na configuração de referência

P Pressão vertical total do solo no topo do duto (pressão externa)

)´(IDP Força máxima de ruptura

´P Pressão interna

dP Peso do solo no topo do duto

lP Cargas correspondentes às cargas da superfície

),()1( tXP Primeiro tensor de Piola-Kirchhoff em X

)1(tP Projeção de )1(t no plano tangente associado

r Raio médio do duto

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cR Vetor residual

k

cR Vetor residual para o ponto k da quadratura

S Força de escoamento

sf Fator de segurança

t Espessura da parede do duto

(1) ( , )tt X Força superficial de contato

),( ttN X Pressão normal de contato em X

( , )b

T tt X Força superficial de atrito na base dual

_)(i

tt Força superficial prescrita

T e t Vetores tangentes (particularização das bases para o ponto _

ξ )

T Base co-variante ou tangente

T Base contra-variante

ν Normal externa a )1( em )()1(

Xx t

tVT ,X Velocidade tangencial relativa

tb

T ,Xv TV na base dual, na configuração corrente

kW Peso da quadratura correspondente ao ponto local da quadratura k

X Representação dos pontos de )(1 na configuração inicial

x Representação dos pontos de )(1 na configuração corrente

Y Representação dos pontos de )( 2 na configuração inicial

y Representação dos pontos de )( 2 na configuração corrente

DBD


1 INTRODUÇÃO

1.1 Definição do Problema

Dutos enterrados de longas extensões são largamente empregados no

transporte de óleo, gás natural, entre outros produtos. Ao contrário dos dutos

aéreos, a análise estrutural, projeto e avaliação de risco nos dutos enterrados

devem considerar a interação recíproca que existe entre o duto flexível e o solo

circunvizinho. Esta interação pode ser considerada pelo efeito das cargas de

serviço, tais como a expansão do duto devido à temperatura e à pressão interna,

as cargas de origem geotécnica tais como recalque da superfície do terreno,

construções de aterros, variação do nível freático, ocorrência de sismos,

empolamento devido a congelamento, além da ação de cargas externas tais como

cargas de tráfego ou funcionamento de máquinas.

Para avaliar o problema de interação solo-duto, para o caso de recalque do

solo, uma série de fatores deve ser levada em conta: a resposta mecânica do solo

circunvizinho ao duto, o comportamento mecânico do duto, a resposta mecânica

da interface solo-estrutura, a geometria e a orientação do duto em relação ao

recalque do solo, as características gerais do terreno onde o duto é localizado.

Para os dutos enterrados cobrindo longas distâncias é necessário fazer as

devidas considerações para as prováveis variações e incertezas que são associadas

com a distribuição espacial das propriedades do solo.

Uma grande variedade de procedimentos analíticos e computacionais pode

ser aplicada na análise do problema de interação solo-duto, desde modelos

simplificados do comportamento do solo que representam a resposta do solo em

termos de elementos discretos unidimensionais de mola, a modelos mais

complexos que representam uma resposta contínua em três dimensões do solo.

Considerações similares aplicam-se ao modelo da resposta estrutural do duto. Em

abordagens elementares, o duto é modelado como uma viga flexível que possui

rigidez de flexão, axial, de cisalhamento e de torção. Em abordagens mais

DBD


Capítulo 1 - Introdução

19

avançadas, o duto é modelado como uma casca cilíndrica que possui uma relação

tensão-deformação não-linear.

Um aspecto importante que deve ser considerado no estudo de dutos

enterrados é o tratamento da interface solo-duto. A modelagem da estrutura

considerando o fenômeno de atrito proveniente do contato entre o duto e o solo

circunvizinho torna-se necessária. Alguns modelos de elementos finitos

desenvolvidos adotam que o solo e o duto são solidários durante a deformação1

enquanto que outros modelos adotam que pode existir uma separação entre o solo

e o duto após a deformação2, 3,4.

1.2 Motivação

O sistema de dutos é o meio mais seguro e econômico de transporte e

contribui para aumentar a segurança nas estradas e diminuir a poluição causada

pelo tráfego pesado das carretas. Portanto, investir na ampliação, modernização e

na confiabilidade da malha dutoviária brasileira é fundamental para atender às

necessidades e exigências cada vez maiores da população. Entre os dutos que dão

suporte a setores de grande importância para o país destacam-se:

a) na indústria petrolífera, com atividades de exploração, refino e

transporte de petróleo e seus derivados: os oleodutos da

PETROBRAS: Caxias-Santa Cruz-Volta Redonda, Caxias-Angra

dos Reis, Paraná-Santa Catarina, Araucária-Paranaguá, São

Sebastião-Paulínea, Rio-Belo Horizonte, Sergipe-Alagoas, Macaé-

Caxias, Vale do Paraíba-Utinga, Suzano-Guarulhos, Estreito-

Guamaré, Serraria-Estreito, Urucu-Coari e outros.

b) no setor energético, especialmente com as usinas nucleares de

Angra I e II, os dutos para abastecimento de água e gás: tubulações

enterradas das Usinas Nucleares ANGRA I e II e das Usinas

Termoelétricas a Gás de Uruguaiana (CONSÓRCIO PROMON-

MPE-EBE) e Cuiabá (ENRON).

c) gasodutos de Transporte Sergipe-Alagoas, Macaé-Caxias, Sergipe-

Bahia, Furado- Robalo, do Nordeste, Rio-São Paulo, Tabuleiro dos

Martins-Salgema, Urucu-Coari, Guamaré-Fortaleza

DBD



20

(PETROBRAS), Gasoduto Bolívia-Brasil (TBG) e Gasodutos

Urbanos de Ponta Grossa (COMPAGAS), Campo Largo

(COMPAGAS), Araucária e Curitiba (COMPAGAS), Tijucas

(SCGAS), Canoas (SULGAS), Gravataí (SULGAS), Itaboraí

(CEG), Barra Mansa (CEG), Campos (CEG), São Paulo

(COMGAS) e outros.

A produção de petróleo e o consumo de derivados estão crescendo cada vez

mais e é preciso que o cuidado com o transporte desses produtos acompanhe esse

crescimento.

A construção de termelétricas por todo o território nacional é a principal

alternativa para minimizar o déficit de energia elétrica. Isto representaria uma

maior participação do gás na matriz energética brasileira e, conseqüentemente,

maior consumo de gás transportado por novos gasodutos.

Devido à sua importância econômica e ambiental, e aos riscos envolvidos

com o dano de tais dutos, o objeto principal desta pesquisa é o estudo do

comportamento de dutos enterrados considerando efeitos de interação solo-

estrutura.

Nos sistemas mencionados são as atividades de inspeção e manutenção de

grande relevância visto que a interrupção de uma linha pode ocasionar prejuízos

elevados. Em casos extremos a ruptura total ou parcial de dutos pode levar a

graves acidentes de trabalho ou ambientais. Destaca-se ainda que alguns dos

sistemas de dutos de petróleo, bem como os da Usina de Angra I são, dado o seu

tempo de operação, fortes candidatos a apresentarem defeitos por corrosão e dano

do material. Assim, atualmente um dos desafios a ser superado é aumentar a vida

útil da malha de dutos existentes (40% dos oleodutos da Petrobrás).

1.3 Justificativa

A pesquisa do comportamento de dutos enterrados é importante para o

avanço dos conhecimentos básicos do problema, principalmente nos aspectos

envolvendo efeitos de interação solo-duto, flambagem, atrito, desgaste, grandes

deslocamentos (deformações), enrugamento e corrosão no comportamento

mecânico da estrutura, tendo, portanto grande relevância científica.

DBD



21

Tendo em vista os significativos investimentos que o país tem realizado e

pretende realizar nos próximos anos na construção de extensas dutovias para

transporte de óleo e gás entre eles o Gasoduto Bolívia-Brasil, empreendimento

destinado ao transporte de gás natural proveniente da Bolívia até os Estados de

Mato Grosso do Sul, São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Paraná, Santa

Catarina e Rio Grande do Sul, totalizando cerca de 3.000 km de extensão. No

Mato Grosso do Sul sua extensão será de 702 km, em sua maior parte próxima à

linha da rodovia BR 262, que liga o município de Corumbá ao de Três Lagoas.

Tendo em vista os acidentes envolvendo vazamentos em dutos enterrados (na baía

de Guanabara, no Rio de Janeiro, em janeiro de 2000; na Refinaria de Araucária,

no Paraná, em julho de 2000; na Serra do Mar, no Paraná, em 2001 e 2008), o

estudo também se justifica sob os pontos de vista de interesse social, econômico e

de conservação ambiental.

1.4 Objetivo

Este projeto tem como objetivo o desenvolvimento de uma metodologia

para o estudo do comportamento estrutural de dutos enterrados com base no

método dos elementos finitos e através da formulação matemática do problema de

contato com atrito. Neste estudo são considerados os efeitos de comportamento

não linear dos materiais envolvidos, a presença de grandes deslocamentos e

grandes deformações e a modelagem do contato considerando o fenômeno de

atrito entre o duto e o solo circunvizinho para representar a interação solo-

estrutura.

1.5. Estrutura da Tese

A tese é compreendida pelos capítulos especificados a seguir:

Capitulo 2: Considerações para o Projeto Estrutural de Dutos enterrados;

apresenta os aspectos considerados no projeto e análise de dutos enterrados

especificados em códigos e normas.

Capitulo 3: Modelos de Interação Solo-Duto. São apresentados modelos

propostos na literatura internacional6,7,8,9,10,12,13, para a análise de problemas de

DBD



22

interação solo-duto. Também são apresentados modelos propostos em pesquisas

realizadas pela PUC-Rio11,14,15,16,17 e em trabalhos desenvolvidos em parceria

entre a Universidade Federal do Paraná e a PUC-Rio como parte do projeto:

Análise do Comportamento Estrutural e Geotécnico de Dutos Enterrados

coordenado pela PUC-Rio com colaboração da UFPR16,17 e da UENF.

Capitulo 4: Modelos para o Problema de Contato. Neste capítulo são

apresentados modelos de contato da literatura. O modelo proposto para o

problema de contato é apresentado

Capítulo 5: Formulação do Problema de Contato com Atrito. Neste capítulo

apresentam-se: a formulação contínua e o procedimento utilizado para a solução

do problema de contato com atrito -método da Penalidade- adotado para a solução

deste problema e a sua implementação em elementos finitos.

Capítulo 6: Aplicações: São apresentadas exemplos da literatura com intuito

de verificar a adequação do método proposto para a solução do problema de

contato com atrito. Finalmente, aplica-se a metodologia à análise de dutos

enterrados para a investigação dos efeitos da interação solo-duto.

Capítulo 7: Conclusões e Sugestões: Elaboram-se neste capítulo as

principais questões levantadas pelo presente estudo e as suas conclusões

Referências Bibliográficas.

DBD


2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROJETO ESTRUTURAL DE DUTOS ENTERRADOS

2.1 Introdução

Para o apoio ao projeto de dutos enterrados são desenvolvidos códigos

(normas) e especificações para o sistema solo-duto de tal forma que em

funcionamento a estrutura não atinja os limites de execução. A Figura 2.1

apresenta a definição da seção transversal de um duto enterrado.

O limite de execução1 é a deformação sob a qual o sistema solo-duto não

atende mais o propósito para o qual foi projetado. Pode ser uma deformação no

solo, tais como inclinação, curvatura ou fratura na superfície do solo sobre o duto,

de tal forma que a deformação é inaceitável. A inclinação e a curvatura dependem

do adensamento relativo tanto do solo diretamente sobre o duto como do solo nas

laterais (ver Fig. 2.2).

Freqüentemente, o limite de execução é a deformação excessiva do duto que

ocasiona vazamentos ou restringe a capacidade de fluxo. Se o duto colapsa devido

ao vácuo interno ou à pressão hidrostática externa, a interrupção do fluxo é

necessária. Por outro lado, se a deformação ocasiona uma pequena deflexão no

duto (ovalização do duto), geralmente a restrição do fluxo não é significante. Por

exemplo se a seção transversal do duto fletir para uma elipse de tal forma que a

diminuição do menor diâmetro é 10% do diâmetro circular original, a diminuição

na área da seção transversal é de somente 1%.

DBD


Capítulo 2 – Considerações sobre o Projeto Estrutural de Dutos Enterrados

24

PAREDE DA TRINCHEIRA

EMBUTIMENTO

EXCAVAÇÃO

SUPERF. DE ACAMAMENTO

FUNDAÇÃO

SOLO IN SITU LARGURA DA TRINCHEIRA

LENÇOL FREÁTICO

Figura 2.1 – Esquema da definição da seção transversal de dutos enterrados

TOPO DO DUTO

LINHA CENTRAL

ÁREA DO ARCO

COROA

BASE

INVERSO

DIÂMETROS

ESPESSURA DA PAREDE

Figura 2.2 – Possíveis limites de execução do sistema solo-duto1

FRATURA INCLINAÇÃO CURVATURA

DBD



25

O limite de execução mais comum para um duto é a deformação na qual o

duto não pode resistir a qualquer acréscimo de carga. O mais óbvio é o caso do

rompimento de um duto devido à pressão interna e o menos óbvio e mais

complicado é a deformação devido à pressão externa do solo. Na Fig. 2.3

mostram-se exemplos de limites de execução para o duto. Estes limites de

execução não implicam em colapso ou ruína. É possível que, o solo absorva

qualquer acréscimo de carga pela ação de arqueamento ao duto, protegendo assim

o duto do colapso total. O duto pode até mesmo continuar em serviço, mas

geralmente não se considera explicitamente a ação do solo para preservar a seção

transversal do duto. Qualquer contribuição do solo para resistir a pressões

externas pela ação de arqueamento é tratada como uma reserva de segurança.

SOLO DENSO

FLAMBAGEM DA PAREDE ESMAGAMENTO DA PAREDE

DUTO RÍGIDO DUTO FLEXÍVEL

SOLO MOLE

DEFLEXÃO DO DUTO RACHADURAS OU

RÓTULAS PLÁSTICAS

Entre 10:00 e 2:00 h Em

9:00 e 3:00 h

Inversão na coroa Se possível

rachaduras

rótulas

Figura 2-3 – Limites de Execução do duto enterrado devido à pressão externa do solo1

No projeto estrutural de dutos enterrados são considerados os estados a

seguir: a) resistência à pressão interna, isto é, resistência dos materiais e a

espessura mínima da parede do duto; b) resistência para o transporte e instalação,

isto é, máxima carga admissível no duto; c) resistência à pressão externa e ao

DBD



26

vácuo interno, isto é, a rigidez do anel e a resistência do solo; d) deflexão do anel,

isto é rigidez do anel e a rigidez do solo; e) tensões longitudinais e deflexões; f)

verificações adicionais referentes à flutuação do duto, cargas de construção,

técnicas de instalação, etc.

Os primeiros três estados lidam com a resistência às cargas. Cargas no duto

enterrado podem ser complexas, especialmente quando acontece a ovalização do

duto. A análise pode ser simplificada se adotada uma seção transversal como

circular. Para dutos rígidos, a deflexão é desprezível. Para dutos flexíveis, as

deflexões do anel são geralmente limitadas a vários valores não maiores que 5%.

2.2 Pressão Interna

Para o cálculo da menor área da parede do anel por unidade de

comprimento, considera-se o diagrama de corpo livre da metade do duto com

pressão interna devido ao fluido (ver Fig. 2.4). A força máxima de ruptura é

, onde é a pressão interna e )´(IDP ´P ID é o diâmetro interno. Esta força de

ruptura é resistida pela tensão de tração na parede do duto. Igualando a força de

ruptura e a força resistente, onde A é a seção transversal do duto, obtém-se:

( )2

P IDA

σ =

(2.1)

O limite de execução é atingido quando a tensão σ é igual à força de

escoamento . Para o projeto, a força de escoamento da parede do duto é

reduzida pelo fator de segurança . Assim,

S

sf

´( )2

P ID SA s

σ = =f

(2.2)

Esta é a equação básica para o projeto do duto para resistir a pressão interna.

Aplica-se com adequada precisão a dutos de parede fina, onde a razão 0D t >> ;

onde é o diâmetro médio e t é a espessura da parede do duto. D

DBD



27

FORÇA DE RUPTURA = P(ID)´

Figura 2.4 - Diagrama de corpo livre da seção transversal (metade) incluindo pressão

interna

2.3 Transporte/Instalação

A carga mais comum imposta ao duto durante o seu transporte e instalação é

a carga diametral . Esta carga ocorre quando os dutos são empilhados ou

quando o solo é compactado nas laterais ou no topo dos dutos (ver Fig. 2.5).

F

FORÇA RESISTENTE

PRESSÃO INTERNA = P´

ID

σAσA

EMPILHAMENTO DOS

DUTOS

CARGA F

CARGA F

DEFLEXÃO DO ANELd = Δ/D

CARGA F DEVIDO À COMPACTAÇÃO DO

SOLO

DBD



28

Figura 2.5 – Cargas mais comuns nos dutos devido ao transporte/instalação1

Se a tensão de escoamento do material é excedida devido à carga , o duto

pode fissurar ou a seção transversal do duto deformará de forma permanente

podendo uma dessas situações ser inaceitável. Os fabricantes de dutos limitam a

carga em função da deflexão máxima admissível do anel,

F

F

dDΔ

=

(2.3)

onde é a redução do diâmetro devido à carga . Δ D F

Assim, duas análises são necessárias para o transporte e instalação, com

dois limites de execução: força de escoamento e deflexão do anel (ver Fig. 2.6).

Em geral, a força de escoamento é limitante para dutos rígidos (dutos de concreto)

e a deflexão do anel para dutos flexíveis (ver Fig. 2.7).

RÓTULA

FISSURA

Figura 2.6 - Diagramas de corpo livre do duto: rígido e flexível sujeito à força F.

PRESSÃO EXTERNA P

FORÇA DE COLAPSO P(OD)

FORÇA DE RESISTÊNCIA

(OD)

DBD



29

Figura 2.7 - Diagrama de corpo livre da seção transversal (metade) incluindo pressão

externa

2.4 Deformações do Anel

A deformação no anel do duto ocorre sob qualquer carga. Para a maioria das

análises de dutos enterrados, esta deformação é tão pequena que pode ser

desprezada. Porém, para algumas análises a deformação do anel tem que ser

considerada. Este é o caso da instabilidade do anel, o colapso hidrostático do duto

devido ao vácuo interno ou pressão externa. O colapso pode ocorrer mesmo que a

tensão não tenha atingido a tensão de escoamento, mas ele pode ocorrer quando o

anel se deforma. Análises de colapso requerem um conhecimento da seção

transversal do anel deformado.

Para pequenas deflexões do anel de um duto circular enterrado, a seção

transversal defletida é uma elipse. Considerando-se um meio infinito (solo) com

um círculo imaginário, se o solo é compactado (deformado) uniformemente numa

direção, o círculo torna-se uma elipse. Supondo que esse círculo imaginário seja

um anel flexível, quando o solo é compactado, o anel deflete com a forma

aproximada de uma elipse com pequenos desvios. Se a circunferência do anel

permanece constante, a elipse tem que se expandir para fora, dentro do meio,

aumentando as tensões compressivas entre o anel e o meio e assim o anel torna-se

um ponto rígido no meio. Por outro lado, se a circunferência do anel é reduzida, o

anel torna-se um ponto frágil e a pressão de contato entre o anel e o solo é

diminuída. Em qualquer caso, a deformação básica de um anel enterrado é uma

elipse com pequenas modificações relativas às diminuições nas áreas dentro ou

fora do anel. A seção transversal é também afetada pela não uniformidade do solo

(como mostrado na Fig. 2.8).

DBD



30

Figura 2.8 – O círculo imaginário como um anel flexível

CÍRCULO IMAGINÁRIO SOLO

DEFORMAÇÃO VERTICAL NO SOLO= Δ/D

SOLO

ELIPSE

IMAGINÁRIA

SOLO

SOLO SOB COMPRESSÃO

SOLO




ANEL FLEXÍVEL

CÍRCULO IMAGINÁRIO

ELIPSE INAGINÁRIA

ANEL FLEXÍVEL

Contudo, para pequenas deformações do solo, a deflexão de um duto

enterrado flexível é uma elipse (ver Fig. 2.9).

Figura 2.9 – Aproximação das propriedades de uma elipse para análise de dutos

DBD



31

2.5 Deflexão do anel devido à pressão interna

Quando o anel é sujeito à pressão interna uniforme, o duto expande. O raio

aumenta. A deflexão do anel é igual ao aumento do raio em percentagem, assim,

22

r D rdr D r

π ε επ

Δ Δ= = = =

(2.4)

onde é a deflexão do anel (percentagem); d rΔ e DΔ são acréscimos devido à

pressão interna; r é o raio médio; é o diâmetro médio; D ε é a deformação; E é

o módulo de Elasticidade e σ é a tensão circunferencial, com EdE == εσ

Se:

( )2

P IDA

σ =

(2.5)

Então:

( )2

P IDdAE

=

(2.6)

2.6 Pressão Vertical do solo (P)

Para a análise e projeto de dutos enterrados, a pressão externa do solo tem

que ser conhecida (ver Fig. 2.10). A pressão vertical do solo no topo do duto é

ocasionada por:

a) a carga permanente correspondente ao peso do solo no topo do duto

; )( dP

b) as cargas acidentais correspondentes às cargas da superfície .

Assim:

( )lP

ld PPP += (2.7)

onde P é a pressão vertical total do solo no topo do duto.

Se o solo circunvizinho ao duto é densamente compactado, a pressão

vertical do solo no topo do duto é reduzida pela ação do arqueamento do solo

sobre o duto, caso contrário esta pressão vertical do solo pode aumentar pelas

concentrações de pressão devida à área de relativamente baixa compressibilidade

a uma distância do anel em solo folgado compressível. Para projeto, é necessário

DBD



32

que seja especificado ou o fator de concentração de pressão ou a densidade

mínima do solo. Para um longo período de tempo, as concentrações de pressão no

duto podem ser reduzidas pela deformação na parede do duto (dutos plásticos).

Figura 2.10 – Pressão vertical do solo no nível do topo de um duto enterrado (P)

CARGA DE SUPERFÍCIE (TRANSPORTE DE VEÍCULOS)

CARGA PERMANENTE

γ = PESO ESPECÍFICO DO SOLO γH = PESO ESPECÍFICO DO SOLO

Pl = CARGA ACIDENTAL: PRESSÃO DO SOLO Pd = CARGA PERMANENTE: PRESSÃO DO SOLO

DUTO

2.7 Resistência do solo

A falha de um duto enterrado está muitas vezes associada com a falha do

solo no qual o duto está embutido. Para a análise é usualmente empregado o

modelo clássico bidimensional de resistência ao cisalhamento. O modelo

compreende três elementos: circulo de tensões; diagrama de orientação e

envoltórias de resistência.

2.8 Mecanismos do Duto

No projeto de dutos enterrados as simplificações adotadas são justificadas

devido às inevitáveis imprecisões tais como a variação da geometria, a não

uniformidade do solo e a indeterminação das cargas. A análise longitudinal e a

análise do anel (transversal) são consideradas de forma independente uma da

outra. Cargas concentradas são o pior caso de carga, porque, de fato, as cargas são

distribuídas sobre uma área finita. A instabilidade do anel é o pior caso de análise

DBD



33

de colapso porque a instabilidade é reduzida pela interação da rigidez do anel com

a rigidez longitudinal.

2.8.1 Análises longitudinais

As análises longitudinais básicas são a axial e a de flexão. A análise axial

considera os efeitos longitudinais de mudanças de temperatura, tensão catenária,

empuxo nas válvulas e joelhos e o efeito Poisson da pressão radial. A análise de

flexão considera o efeito longitudinal de curvatura da viga. Estas análises

longitudinais da viga de dutos enterrados seguem os procedimentos clássicos.

Comprimentos de seções de dutos são limitados pelo fabricante para prevenir a

irregularidade longitudinal.

2.8.2 Análise do anel: tensão, deformação e estabilidade

A análise do anel compreende a análise de tensão, deformação e estabilidade

da seção transversal. A teoria da tensão fornece uma análise aceitável para anéis

rígidos e a teoria de deformação fornece uma melhor análise para dutos flexíveis.

A tensão circunferencial compreende: tensão decorrente da compressão do anel e

a tensão decorrente da deformação do anel. A análise da tensão circunferencial é

análoga à análise da tensão de uma coluna curta com uma carga excêntrica (ver

Fig. 2.11).

Usualmente, para um anel flexível, o controle da deformação é melhor

opção comparada ao controle da pressão do solo. Quando é necessário prever a

deformação do anel, a deformação básica do anel do duto circular enterrado é de

círculo para elipse.

DBD



34

Figura 2.11 – Comparação da análise de tensão: coluna curta x anel de duto

A = ÁREA DA ST

A estabilidade do anel é função da resistência a deformações progressivas

devidas a cargas freqüentes. Estas cargas podem ser causadas por pressões

internas, carregamento na viga ou pressão externa. A ruína é repentina e

catastrófica. A falha associada à pressão interna é dada pela ruptura. O diâmetro

do anel aumenta enquanto que a espessura da parede diminui. A falha ocasionada

pelo carregamento da viga se dá por fratura ou flambagem do duto sempre que a

curvatura provocada pelo momento é excessiva. A falha devida à pressão externa

é o colapso. O termo instabilidade, freqüentemente implica em colapso devido à

pressão externa P (ver Fig. 2.12). Se o duto é enterrado (restrito lateralmente), o

solo de suporte tem um efeito predominante na estabilidade. A pressão no duto

não é uniforme. Além disso, o duto enterrado sofrerá uma ovalização.

DBD



35

P = PRESSÃO EXTERNA

CRÍTICA UNIFORME Δ/F = RIGIDEZ DO DUTO

Figura 2.12 – Colapso de um anel circular flexível devido à pressão externa baseado na

rigidez do duto

2.9 Mecanismos Longitudinais

Mecanismos longitudinais de dutos enterrados referem-se às análises de

deformações longitudinais comparados aos limites de execução de deformação.

As principais causas da tensão longitudinal são: 1) mudanças na temperatura e na

pressão, que ocasionam o alongamento e o encurtamento relativos do duto em

relação ao solo e restrições de empuxo; 2) empuxo axial, que é o resultado da

pressão interna ou do vácuo nas válvulas, diafragmas, redutores, etc.; 3) curvatura

da viga, que ocasiona tensões de flexão. As possíveis causas da curvatura da viga

podem ser entre outras, a disposição das seções do duto sobre madeiras,

deslizamentos, movimentos massivos ou assentamentos do solo.

Cada uma das três causas da tensão longitudinal é analisada

individualmente. Os resultados são combinados para a análise.

DBD


3 MODELOS DE INTERAÇÃO SOLO-DUTO

3.1 Introdução

A análise de elementos finitos2,3,4 do sistema de interação solo-estrutura, tal

como duto enterrado é efetuada levando em conta que:

i) o solo pode ser representado por uma relação tensão-deformação linear ou

não-linear; ii) diferentes tipos de elementos podem ser usados para representar o

solo e o duto; iii) pode ser necessário permitir movimento entre o solo e o duto,

requerendo assim o uso de elementos de interface ou um modelo que represente a

interação solo-duto e iv) dutos muito flexíveis podem envolver grandes

deslocamentos (deformações), para os quais a solução pode ser geometricamente

não-linear.

Quando o comportamento tensão-deformação do solo é considerado não-

linear a relação tensão-deformação deverá ser obtida de resultados de testes de

laboratório em solos representativos. Foi proposto um método para descrever as

características εσ − do solo usando parâmetros hiperbólicos e apresentados

valores típicos do solo que podem ser usados se os resultados de testes de

laboratório não estão disponíveis5.

Quando se usa o método de elementos finitos para resolver problemas de

engenharia geotécnica, as condições tensão-deformação não-lineares são

geralmente obtidas pelo acréscimo de cargas por incrementos e pelo ajuste das

propriedades do solo de acordo com a magnitude da deformação. A matriz de

rigidez é inicialmente formada usando as propriedades iniciais do solo e da

geometria do elemento. Como as cargas são acrescentadas, o solo se deforma e as

propriedades do solo mudam, a matriz de rigidez tem que ser ajustada para se

obter as novas propriedades do solo.

Se a geometria, propriedades e condições de carregamento forem simétricas,

a metade do sistema solo-duto pode ser representada. As condições de contorno ao

longo da linha de simetria têm que ser apropriadamente estabelecidas para

DBD


Capítulo 3 – Modelos de Interação Solo-Duto

37

modelar o comportamento do sistema. A vantagem obtida da geometria reduz

significativamente o tamanho do problema.

3.2 Modelos Propostos na Literatura

3.2.1 Modelo de Selvadurai & Pang (1998)6

Nesse modelo do sistema solo-duto, os autores visam estabelecer

principalmente as influências da não-linearidade do solo no comportamento

interativo de flexão do duto. A interação de flexão é induzida por um

deslocamento descontínuo na base de uma linha do solo que contém o duto. Para

o tratamento da interação solo-duto é utilizado o esquema de elementos finitos

não-lineares que modela o duto como uma casca cilíndrica e o solo circunvizinho

como um sólido elasto-plástico idealizado segundo o critério de escoamento de

Drucker-Prager e a lei do fluxo associado. A interface entre o solo e o duto é

modelada através do contato com aderência perfeita. Este modelo avalia o

comportamento de flexão do duto e enfatiza a relação entre a reposta de flexão do

duto e a rigidez relativa do sistema solo-duto.

3.2.2 Modelo de Zhou & Murray (1993, 1996)7,8,9

O modelo foi desenvolvido com o intuito de realizar análises do

comportamento de dutos enterrados que sofrem grandes recalques quando sujeitos

a deslocamentos geotécnicos impostos, que são suficientemente grandes para

provocar flambagem local severa e enrugamento se desenvolvam. O duto é

representado como uma seqüência de elementos finitos retos de viga, suportado na

parte inferior por molas de sustentação do solo e no topo por molas de elevação do

solo. As propriedades do modelo de viga implicitamente incluem os efeitos de

qualquer flambagem local ou enrugamento, que os modelos de casca prevêem que

devem ocorrer no duto, e as molas do solo atuam somente em compressão e têm

uma resposta elástica perfeitamente plástica. O perfil do recalque do solo é

dividido em três zonas: a) zona de desgelo estável, onde nenhum recalque é

especificado; b) zona de recalque, provocada pelo desgelo, onde as molas do solo

DBD



38

de suporte são deslocadas de um valor de recalque máximo e c) zona de transição

sobre a qual os recalques são especificados de tal maneira de unir as outras duas

zonas.

3.2.3 Modelo de Rajani, Robertson & Morgenstern(1995)10

A NOVA Corporation de Alberta, Canadá, iniciou um programa de pesquisa

em colaboração com a Universidade de Alberta para o estudo da interação solo-

duto sujeita movimentos devido a deslizamentos. Uma solução analítica foi

desenvolvida para um melhor entendimento da influência das principais variáveis

e que trace a seqüência de eventos que acontecem como o resultado de uma

interação entre o duto e o solo circunvizinho quando o movimento de

deslizamento aumenta gradualmente. Estes eventos podem ser resumidos como a

seguir: a) um movimento de deslizamento inicial, tanto o duto enterrado, como o

solo comporta-se elasticamente; b) enquanto o movimento de deslizamento

aumenta, a resistência última passiva desenvolve-se em parte do solo médio

circunvizinho enquanto que o duto permanece elástico; c) quando o movimento de

deslizamento aumenta mais ainda, uma rótula plástica ou enrugamento pode

começar a desenvolver-se no duto dependendo de suas características estruturais.

A solução é baseada em um duto elástico enterrado em um solo elástico-

perfeitamente plástico. A solução incorpora todas as variáveis que desempenham

um papel importante na interação solo-duto.

3.2.4 Modelo de Veiga, Romanel & Roehl (2000)11

Pesquisa realizada pela PUC-Rio na área de dutos enterrados e interação

solo-duto. O trabalho estuda problemas geotécnicos e de interação solo-estrutura

utilizando o método dos elementos finitos acoplado com a transformada de

Fourier. Pela aplicação da transformada de Fourier, as equações diferenciais que

governam o problema elástico linear, com as correspondentes condições de

contorno, são reescritas no plano de Fourier, permitindo que um problema de

natureza tridimensional possa ser numericamente analisado por uma discretização

DBD



39

bidimensional. Esta técnica foi empregada neste trabalho para certos problemas de

engenharia, como dutovias, túneis e fundações tipo radier, onde a geometria e os

parâmetros dos materiais mantêm-se constantes ao longo do eixo longitudinal do

corpo, porém admitindo-se variações espaciais no carregamento imposto ao

sistema, gerando, assim, um estado tridimensional de tensões. Alguns elementos

de interface, com formulação publicada na literatura, foram também considerados

na implementação computacional, visto que em problemas de interação solo-

estrutura o comportamento do sistema é bastante influenciado pelas propriedades

e características mecânicas do solo imediatamente vizinho à estrutura geotécnicos

tridimensionais.

3.2.5 Modelo de Lim, Kim, Kim & Jang (2001)12

Muitos modelos empíricos têm sido propostos para a magnitude da

deformação permanente do solo. Existem três fatores dominantes nesta

deformação: 1) a magnitude da deformação longitudinal permanente do solo; 2) o

comprimento da zona de expansão; e 3) a variação da magnitude ao longo da zona

de expansão, isto é, o padrão da deformação permanente do solo. A liquefação do

solo que induz a expansão lateral é um fenômeno muito complexo.

O estudo desenvolvido por Lim, Kim M., Kim T. e Jang, enfoca a

deformação longitudinal permanente do solo devida a liquefação que induz a

expansão lateral e o comportamento do duto correspondente a essa deformação.

Com base na teoria de viga sobre base elástica e no método de elementos finitos, o

duto é considerado como uma viga e as forças de interação solo-duto são

representadas como uma serie de molas axiais do solo. Quando o carregamento

externo excede a força de interação solo-duto, inicia-se o deslizamento entre solo

circunvizinho e o duto. O comportamento de deslizamento na interface solo-duto

foi modelado como um comportamento elasto-plástico. A força última de

interação solo-duto é uma relação carga-deslocamento elástica perfeitamente

plástica ou exponencial. As principais conclusões obtidas pelos autores, após as

análises efetuadas neste estudo, foram: a) a deformação máxima do duto aumenta

enquanto que o padrão da deformação permanente do solo e o comprimento da

zona de espalhamento lateral aumentam; b) maior diâmetro maior deformação no

DBD



40

duto, devido ao aumento da força de interação solo-duto estimada para diâmetros

de dutos padrão. Para o caso da espessura, maior espessura, diminui a deformação

do duto; c) o comprimento crítico da zona de espalhamento lateral e a magnitude

crítica da deformação permanente do solo, decrescem na flambagem local

enquanto a taxa do diâmetro/espessura aumenta independente da profundidade do

aterro (acima do duto).

3.2.6 Modelo de Mandolini, Minutolo e Ruocco (2001)13

Os autores apresentam o caso de um duto enterrado num solo que sofre

deslizamento lento (monitorado nos últimos anos). O procedimento numérico

implementado tem como finalidade: i) prever a evolução do fenômeno em termos

da tensão induzida na tubulação pelo deslocamento do solo circunvizinho; ii)

tornar disponível conjunto de dados do campo de deslocamentos, capaz de

analisar o comportamento da tensão-deformação de estruturas similares mas em

condições diferentes do caso avaliado. Nesse modelo o duto foi representado

como uma viga e o solo através do método de equação integral de contorno

considerando o contato solo-duto.

3.2.7 Modelo de Mejia & Roehl (2003)14

Pesquisa realizada pela PUC-Rio na área de dutos enterrados e interação

solo-duto. Os autores apresentam uma metodologia de análise numérica para

dutos enterrados usados no transporte de petróleo e gás, considerando não-

linearidades geométricas e não-linearidades de material baseada na formulação

Lagrangeana Total. Modelagem com base em uma discretização com elementos

especiais de viga. Equações de equilíbrio formuladas a partir do principio dos

trabalhos virtuais, segundo as componentes de tensão e deformação no elemento

viga-duto, com a utilização da técnica do Módulo Reduzido de Integração Direta

(RMDI), na qual se incorporou o comportamento plástico do material. Esta

técnica não considera os efeitos da flambagem local nas paredes do duto. Os

efeitos considerados nessa metodologia: pressão interna constante no duto assim

DBD



41

como a interação solo-duto através da modelagem do solo por meio de molas

elasto-plásticas verticais e horizontais. As cargas distribuídas são consideradas

como constantes no sistema global de eixos.

3.2.8 Modelo de Souza, Guimarães & Roehl (2004)15

Pesquisa realizada pela PUC-Rio dando continuidade ao estudo de dutos

enterrados e interação solo-duto. Estudo experimental em modelos reduzidos do

duto PE-3, construído na Baía de Guanabara em 2003. O duto PE-3 tem diâmetro

de 18" e a sua principal característica é a sua geometria em zig-zag. Este duto

transporta óleo combustível à temperatura de 80ºC da Refinaria de Duque de

Caxias aos terminais de navios na Ilha D`Água. Modelos reduzidos com

semelhança física foram implementados para avaliar experimentalmente o

comportamento do modelo variando-se o ângulo de zig-zag e o comprimento do

duto. Os modelos foram submetidos à variação de temperatura, pressão interna e

condições de apoio lateral e longitudinal, simulando as condições reais de trabalho

do protótipo. Para cada comprimento (12m, 16m e 18m) e ângulo de zig-zag (5º,

10º e 15º) foram realizados ensaios com o modelo sem reação lateral do solo, com

reação lateral simulando 1 metro de enterramento no protótipo, com reação lateral

simulando 1 metro de enterramento e vão central livre, e com imperfeição

horizontal. Foram realizados ainda 2 ensaios com um duto reto para efeito de

comparação com o modelo zig-zag. Os resultados mostraram que a geometria em

zig-zag minimiza os esforços gerados pela expansão térmica do duto.

3.2.9 Modelo de Lazaro, Hecke, Roehl & Machado (2004)16

Pesquisa desenvolvida em parceria entre a Universidade Federal do Paraná e

a PUC-Rio como parte do projeto: Análise do Comportamento Estrutural e

Geotécnico de Dutos Enterrados coordenado pela PUC-Rio com colaboração da

UFPR e da UENF. O objetivo do trabalho é a análise da interação solo-duto em

encostas sujeitas a escorregamentos de taludes. O Método dos Elementos Finitos é

utilizado para a discretização espacial (2D) e o Método das Diferenças Finitas

para a discretização temporal. Na modelagem do duto emprega-se elemento de

DBD



42

viga e o para solo e a região circunvizinha são utilizados elementos

isoparamétricos planos. Adotam-se as hipóteses de estado plano de deformação

para representar o solo e uma alteração na matriz constitutiva de acordo com

Desai e Siriwardane (1984) para a região de interface. É considerado um modelo

elástico, perfeitamente plástico para as propriedades do solo e da região de

interface enquanto para o duto o modelo adotado é linear.

3.2.10 Modelo de Souza, Hecke, Roehl & Machado (2005)17

Pesquisa também desenvolvida em parceria entre a Universidade Federal do

Paraná e a PUC-Rio como parte do projeto: Análise do Comportamento

Estrutural e Geotécnico de Dutos Enterrados coordenado pela PUC-Rio com

colaboração da UFPR e da UENF. Os autores apresentam um modelo numérico

em elementos finitos para análise não-linear de tensões e deformações de dutos

enterrados usados no transporte de petróleo e gás. Atenção especial é dada a

problemas de dutos enterrados em encostas que apresentam escorregamento. A

formulação incremental do elemento viga-duto é desenvolvida a partir do

princípio dos trabalhos virtuais, com base nas componentes do segundo tensor de

tensão Piola-Kirchhoff e do tensor de deformação de Green-Lagrange, com o

emprego da técnica do Módulo Reduzido por Integração Direta (RMDI). O

elemento viga-duto é obtido, a partir de elementos especiais de viga bi e

tridimensional. A descrição cinemática do elemento admite grandes

deslocamentos, grandes rotações, mas pequenas deformações e se dá com base em

uma Formulação Lagrangeana Total. Adota-se o modelo constitutivo elasto-

plástico para o duto, com o escoamento segundo o critério de von Mises com

endurecimento isotrópico. A interação solo-duto é feita através de um conjunto

discreto de molas elásticas idealmente plásticas nas direções vertical, lateral e

longitudinal, conectadas ao eixo do duto. Os efeitos da temperatura e pressão

interna no duto são considerados. Um estudo do comportamento do duto é

realizado através da análise de simulações numéricas, sujeito a condições de

carregamentos externos e/ou internos e deslocamentos impostos.

DBD



43

3.2.11 Modelo de Coelho & Roehl (2007)18

Pesquisa realizada pela PUC-Rio dando continuidade ao estudo de dutos

enterrados e interação solo-duto. Análises de estabilidade de dutos enterrados

submetidos a cargas térmicas são realizadas. As cargas térmicas são devidas ao

aquecimento do fluido com o objetivo de facilitar o transporte dos óleos que são

escoados nos dutos. O duto expande na direção transversal devido a estas cargas

térmicas. Além da expansão na direção transversal o duto retrai na direção axial.

Como o duto está restringido em suas extremidades e devido à expansão na

direção transversal e retração na direção axial são causadas forças axiais de

compressão no duto. Para a análise dos dutos submetidos à variação da carga

térmica foram utilizados modelos teóricos e numéricos para o problema de

flambagem vertical e lateral, considerando o duto perfeito e com imperfeição. Os

modelos numéricos foram desenvolvidos utilizando o programa ABAQUS. Para

estes modelos numéricos o duto foi considerado como uma viga e a o solo com

elementos de interface e elementos de mola. Foi desenvolvido também um

modelo de viga-casca onde parte do duto é modelada como uma casca cilíndrica

para permitir a análise de enrugamento e da deformação da seção transversal. São

realizados estudos paramétricos numéricos para investigar o efeito do

recobrimento do duto, da forma e amplitude da imperfeição e da rigidez do solo

na temperatura crítica de flambagem do duto.

3.2.12 Modelo de Teixeira & Romanel (2008)19

Pesquisa realizada também pela PUC-Rio dando continuidade ao estudo

de dutos enterrados e interação solo-duto. Nesse trabalho, os autores realizaram

análises de estabilidade de um trecho da encosta da BR-376, que liga as cidades

de Curitiba a Joinville no km 55+800 do oleoduto OSPAR da Transpetro.

Segundo as informações disponíveis, devido a cortes executados para duplicação

da rodovia provocaram instabilidade em certa área da encosta, em 1995, em

janeiro de 1997, durante um período de fortes chuvas, um novo escorregamento

DBD



44

da porção inferior do talude provocou a ruptura do muro existente e uma série de

escorregamentos sucessivos, que chegaram a atingir a faixa dos oleodutos. O

programa de elementos finitos PLAXIS foi utilizado para as análises de

estabilidade e posteriormente, a fim de comparação, o programa Slope/W e

Sigma/W. Para as análises no PLAXIS foi utilizado o hardening soil model para o

solo, com os parâmetros sendo determinados através de ensaios triaxiais com

amostras obtidas de dois blocos de solo coletados da encosta. Os efeitos da

movimentação da encosta no oleoduto OSPAR foram analisados por programa 3D

de elementos finitos, dando-se ênfase às tensões e deformações para se a fim de

verificar a integridade do duto.

3.3 Comentários Finais

Neste capítulo foram apresentados modelos da literatura que podem ser

aplicados na análise de dutos enterrados, submetidos a diferentes carregamentos,

considerando a interação solo-duto. Formulações analíticas ou numéricas são

adotadas para a definição do problema, bi ou tri-dimensional, de dutos

enterrados20,21,22,23,24,25,26. A seguir serão comentados alguns aspectos relevantes

desta revisão bibliográfica.

A definição do interesse do estudo pode levar a uma combinação de um

modelo relativamente simples para o solo e um modelo relativamente mais

detalhado do duto ou vice-versa.

Na análise em elementos finitos de dutos enterrados, o duto é muitas das

vezes modelado usando elementos de viga. Os nós do elemento do duto são

ligados aos elementos do solo adjacente em seus pontos nodais comuns, porém,

em alguns casos, pode ser necessário permitir que ocorra um deslizamento entre o

duto e o solo, fazendo-se necessário o uso de elementos de interface entre os nós

do duto e os nós do elemento do solo. Esses elementos de interface

cinematicamente permitem o movimento entre os nós quando a força superficial

de atrito especificada for excedida.

A literatura contém uma variedade de formulações de elemento de

interface27, porém eles podem ser geralmente classificados como: a) aproximação

de rigidez (elementos de rigidez); b) aproximação de restrição (multiplicadores de

DBD



45

Lagrange). Um elemento de interface usando a aproximação de restrição, não com

os multiplicadores de Lagrange e sim fazendo uso do Princípio dos Trabalhos

Virtuais foi apresentado. A motivação para adotar a aproximação de restrição foi

para evitar os problemas de arredondamento numérico inerente à aproximação de

rigidez e ao mesmo tempo para um controle direto das forças e deslocamentos

relativos na interface e pela sua fácil implementação no método de elementos

finitos28.

Na interação solo-duto, os efeitos do solo no duto podem ser modelados por

uma serie de molas. Para estabelecer o modelo de interação, o perfil do solo tem

que ser descrito em todos os estágios de deformação. As deformações das molas

do solo podem ser determinadas de acordo com as posições relativas do duto e do

perfil do solo. Pelo uso das relações constitutivas das molas do solo, que descreve

a relação entre as forças e as deformações na mola, as forças de reação das molas

do solo podem ser definidas7,8,9.

Para avaliar o problema de interação solo-duto, para o caso de recalque do

solo, uma série de fatores deve ser levada em conta: a resposta mecânica do solo

circunvizinho ao duto, o comportamento mecânico do duto, a resposta mecânica

da interface do solo-estrutura, a geometria e a orientação do duto em relação à

característica do recalque do solo e as características gerais do terreno onde o duto

é localizado. As análises de dutos sujeitos a recalques diferenciais podem ser

feitas de dois modos: a determinação de um projeto aceitável de um duto para

dado recalque diferencial e a determinação de um recalque diferencial aceitável

para um determinado duto.

O modelo de análise de dutos sujeitos a recalques diferenciais deve abranger

assuntos muito importantes, tais como, i) o recalque do solo induz deformações no

duto que produzem alterações na distribuição de deformações e tensões existentes

na linha antes do recalque. A magnitude e o padrão desta alteração dependem da

resposta estrutural do duto às deformações impostas através do recalque do solo;

ii) a interação solo-duto é um aspecto importante a ser considerado. Na interação,

tanto o duto como estrutura e o solo como meio de suporte têm que estar

apropriadamente modelados, o que usualmente leva a modelos analíticos

complexos.

Na análise de recalque o maior interesse pode ser dirigido na re-distribuição

das deformações e tensões ao longo do comprimento que na deformação da seção

DBD



46

transversal. Portanto, o modelo analítico tem que abranger um comprimento

suficiente para avaliar adequadamente a resposta global. Isto usualmente resulta

num modelo de grande escala dependendo da técnica de discretização particular

utilizada.

As pesquisas em deformação permanente do solo, seus efeitos no duto

enterrado podem ser categorizadas de acordo com o tipo da deformação

permanente do solo, isto é: deformação longitudinal permanente do solo e

deformação transversal permanente do solo. A deformação permanente do solo é

definida como um deslocamento de grande escala. As causas que podem provocar

desse deslocamento de grande escala podem ser dadas por: liquefação do solo,

movimentos de deslizamento e de falha. Observa-se que dentre estas três causas,

os movimentos de deslizamento e de falha apresentam uma baixa freqüência de

ocorrência; porém, muitos casos de liquefação do solo acontecem mais

freqüentemente e induzem grandes deformações permanentes do solo, que

originam muitos danos às estruturas de dutos. As estruturas de dutos, enterrados a

pequenas profundidades, têm a possibilidade de sofrer colapso, localizado ou

completo, causado por deformações permanentes do solo.

Portanto, devido à complexidade do problema, há a necessidade de

desenvolver um modelo que acople de forma adequada os principais fenômenos

envolvidos nos problemas de dutos enterrados considerando a interação solo-duto.

Assim, a formulação utilizada para representar a interação solo-duto deve ser

robusta e flexível, para permitir sua utilização em problemas com diferentes

geometrias. Além disso, o ideal é que os resultados sejam validados com ensaios

de laboratório, ou com outras soluções analíticas ou numéricas já validadas.

DBD


4 MODELOS PARA O PROBLEMA DE CONTATO

4.1 Introdução

O desafio da modelagem é idealizar modelos mecânicos que se comportem

como as estruturas reais, aliado aos recursos de formulações avançadas

conseguindo desta forma o equilíbrio entre os mecanismos rigorosos e as

simplificações de engenharia.

Para o caso de dutos enterrados, este desafio abrange quase todos os

aspectos do sistema solo-estrutura, isto é, o modelo constitutivo do solo, modelo

constitutivo estrutural, simulação do incremento de camadas de solo, condições de

contorno, não-linearidades geométricas, etc. Um aspecto de interesse particular é

o tratamento da interface solo-duto. Alguns modelos de elementos finitos

admitem que o solo permanece solidário ao duto durante a deformação, enquanto

que outros modelos admitem que existe uma separação entre o solo e o duto após

a deformação. Um dos objetivos desta pesquisa é a modelagem do contato

considerando o fenômeno de atrito entre o duto e o solo circunvizinho.

Problemas de contato são de grande importância em aplicações industriais e

das Engenharias Civil e Mecânica. As aplicações abrangem elementos de

máquinas tais como: esferas, rolimãs, engrenagens e elementos de ligação;

processos de conformação, colisão de veículos, ligações (semi-rígidas) em

estruturas metálicas e a biomecânica, onde são analisados os esforços nas juntas

humanas e implantes. Os problemas reais têm uma característica não-linear e

irreversível e são difíceis de lidar.

O problema de contato29,30,31,32 é um tópico relevante na mecânica dos

sólidos, porque introduzem muitas das vezes na interação entre os corpos, forças e

deformações locais elevadas. Este problema apresenta um elevado grau de

complexidade porque lida com os fenômenos de não-linearidade geométrica e do

material, até mesmo para materiais considerados com comportamento linear-

elástico. Essa não-linearidade se dá pelo fato de que a condição de contorno

DBD


Capítulo 4 – Modelos para o Problema de Contato

48

cinemática é desconhecida (a região de contato é desconhecida), enquanto que a

não-linearidade do material advém do atrito33,34,35,36,37,38,39.

Historicamente, o desenvolvimento deste assunto originou-se com o

trabalho de Heinrich Hertz (1882), que apresentou a solução analítica para o

contato sem atrito de dois corpos elásticos de forma elíptica. A análise de Hertz

ainda é usada hoje como base para projetos em muitas situações industriais que

envolvem contato elástico. Desde então, o problema de contato é um assunto de

pesquisa que vem sendo desenvolvido.

Soluções analíticas podem ser obtidas somente para uma classe muito

limitada de problemas de contato e como conseqüência uma série de métodos

numéricos vêm sendo desenvolvidos. Dois procedimentos numéricos são

largamente empregados para a solução de problemas de contato. O método

empírico busca uma solução de forma iterativa pelo ajuste do estado de

contato40,41,42. Uma alternativa é a formulação de um problema de otimização com

restrição e sua solução através de algoritmos de programação matemática, que

busca a solução via a minimização de uma função sujeita a certas restrições. Este

método apresenta a vantagem de uma convergência estável e uma formulação

simples. Esta alternativa, com base na formulação do problema de otimização com

restrição, vem sendo utilizada com sucesso em aplicações com elementos finitos43-

60. Aplicações com o método de elementos de contorno – MEC61-67, bem como na

combinação de elementos finitos e de contorno68.

A formulação matemática69,70,71,72,73 do problema de contato é caracterizada

por desigualdades unilaterais, que descrevem a impossibilidade física de

ocorrerem forças de tração no contato e a impenetrabilidade do material. Quando

existe atrito na interface de contato, condições adicionais são introduzidas, que

complicam consideravelmente as provas de existência e de unicidade. A mais

simples condição de atrito é o atrito de Coulomb, onde qualquer ponto na área de

contato apresenta uma das seguintes condições: aderência perfeita (’stick’), não

existe movimento relativo e a força tangencial resultante é menor que pμ , onde

μ é o coeficiente de atrito e p é a força normal, deslizamento (‘slip’), existe um

movimento relativo e a força tangencial é de magnitude pμ e seu sentido oposto

ao deslizamento.

DBD



49

Nota-se que o deslizamento na presença de atrito é essencialmente um

processo incremental e conseqüentemente, a solução do problema depende da

história de carregamento. Se a velocidade do carregamento é suficientemente

lenta, é possível definir uma solução quasi-estática onde os efeitos da inércia são

desprezíveis e o sistema passa por uma seqüência de estados de equilíbrio.

Quando o carregamento é monotônico e proporcional, o problema pode ser

reduzido a um problema estático equivalente74. Exemplos ilustram a

complexidade da dependência da história do carregamento, que pode surgir das

condições de atrito de Coulomb75.

O problema de contato sem atrito pode ser considerado um problema

quadrático que pode ser transformado em um problema complementar pela

aplicação da condição de Kuhn-Tucker às restrições da condição de contato. Este

procedimento pode ser aplicado às análises elasto-plásticas considerando grandes

deformações. Enquanto que o problema de contato com atrito pode ser formulado

como um problema linear complementar usando o método de elementos finitos ou

método de elementos de contorno.

4.2 Modelos Propostos na Literatura

Modelo de Lee & Kwak43

Análise de problemas de contato elasto-plásticos sem atrito, considerando

pequenas deformações, formulado em elementos finitos como um problema

quadrático.

Modelo de Simo, Wriggers & Taylor44

Solução do problema de contato baseada no método de elementos finitos e

no método Lagrangeano Aumentado.

Modelo de Nour-Omid & Wriggers45

Análise do problema de contato formulado em elementos finitos e no

método dos multiplicadores de Lagrange e utiliza um método iterativo, que

DBD



50

lineariza o problema de contato não-linear e assim o problema é resolvido pelo

método de Newton.

Modelo de Klarbring46

O problema de contato com atrito 3D, cuja formulação é dada em elementos

finitos como um problema linear complementar paramétrico;.

Modelo de Fisher & Melosh47

Análise de problemas de contato elásticos sem atrito e sua solução obtida

via programação linear.

Modelo de Kwak & Lee63

Problema de contato elástico bidimensional, com atrito do tipo Coulomb,

considerando pequenas deformações, formulado em elementos de contorno como

problema complementar linear.

Modelo de Gakwaya & Lambert64

Análise de problemas de contato quase-estáticos, em 3D, com atrito (lei de

Coulomb), utilizando o método de elementos de contorno e a formulação do

problema linear complementar paramétrico.

Modelo de Laursen48,50 - Laursen & Simo49

Análise de problemas de contato 3D com atrito, considerando grandes

deformações, com a sua solução baseada no método de elementos finitos e os

métodos da Penalidade e Lagrangeano Aumentado.

Modelo de Björkman76

Análise de problemas de contato sem atrito, a sua solução é formulada em

elementos finitos como um problema linear complementar.

DBD



51

Modelo de Kwak62

Análise de problemas de contato com atrito 3D do tipo Coulomb, utiliza o

método de elementos de contorno e a formulação do problema complementar.

Modelo de Changming & Yongjie52

Solução de problemas de contato elasto-plásticos com atrito, baseada no

método dos elementos finitos e na programação linear complementar.

Modelo de Peric & Owen53

Análise de problemas com atrito do tipo Coulomb, utilizando o método

dos elementos finitos, algoritmos de retorno para o critério de deslizamento e o

método da Penalidade.

Modelo de Klarbring & Bjorkman65

Problema de contato com atrito considerando grandes deformações,

formulados com base no método de elementos de contorno e utiliza o método de

Newton.

Modelo de Heegaard & Curnier54

Problema de contato bidimensional considerando grandes deslizamentos,

com sua solução baseada no método dos elementos finitos e no método

Lagrangeano Aumentado.

Modelo de Lee, Kwak & Kwon66

Análise de problemas de contato 3D com atrito do tipo Coulomb,

considerando deslizamento incipiente, formulado em elementos de contorno como

problema linear complementar.

DBD



52

Modelo de Kim & Kwak77

Análise dinâmica dos problemas de contato 2D, com atrito do tipo Coulomb

usando o método de elementos de contorno e a formulação do problema linear

complementar.

Modelo de Hongwu, Wanxie & Yuanxian78

Análise de problemas de contato elasto-plásticos, considerando o atrito (lei

de Coulomb), emprega o método de elementos finitos, uma combinação da

programação quadrática paramétrica e de um método iterativo.

Modelo de Garrido & Lorenzana67

Análise de problemas de contato em sólidos elásticos em 2D, considerando

grandes deformações, emprega o método de elementos de contorno e o método

Lagrangeano Atualizado.

Modelo de Liolios, Pitilakis & Yeroyianni68

Análise de problemas de contato unilateral na interação solo-duto que

utiliza a combinação do método de elementos finitos e o método de elementos de

contorno, a transformada de Laplace e a programação linear convolucional;

Modelo de Guyot, Kosior & Maurice79

Análise do problema de contato elástico, com atrito (tipo Coulomb), de

duas esferas deformáveis, via a combinação do método de elementos finitos e o

método de elementos de contorno com um método iterativo (sucessivas

aproximações).

Modelo de Pietrzak & Curnier57

Solução do problema de contato com atrito, considerando grandes

deformações, através do método de elementos finitos e o método Lagrangeano

Aumentado.

DBD



53

Modelo de Ferreira & Roehl58,80

Análise de problemas de contato elasto-plásticos sem atrito considerando

grandes deformações. Utilizam o método dos elementos finitos, o método da

Penalidade e a Programação Linear Complementar.

Modelo de Bandeira59

Solução de problemas de contato elasto-plásticos, com atrito (lei de

Coulomb), considerando grandes deformações, usa o método dos elementos

finitos e o método Lagrangeano Aumentado.

4.3 Modelo Proposto

Neste trabalho de pesquisa será utilizada a formulação, para o problema de

contato com atrito, desenvolvida por Laursen48,50 & Simo e Laursen49 e terá como

base o trabalho desenvolvido por Ferreira & Roehl58,80.

O objetivo desta pesquisa é o desenvolvimento de uma metodologia com

base no método dos elementos finitos para o estudo do comportamento estrutural

de dutos enterrados, considerando a interação solo-duto.

O trabalho desenvolvido por Ferreira & Roehl58,80 tomou-se como base. O

programa de elementos finitos utilizado foi o CARAT- Computer Aided Research

Analysis Tool, no qual já estava implementado:

- o problema de contato sem atrito entre dois corpos bidimensionais ou

tridimensionais com comportamento elasto-plástico, submetidos a grandes

deformações através de duas metodologias de solução;

- o algoritmo para consideração da geometria de contato para condições

genéricas de contato: nó-superficie.

- definição de elementos BRICK8, e elementos de formulação híbrida87 –

Enhanced Assumed Strain-EAS, com 8 nós mais 3 parâmetros internos de

deformação trilinear completo.

DBD



54

O procedimento de solução numérica inclui não-linearidades geométrica e

física, bem como a não-linearidade das condições de contato baseada em uma

estratégia incremental-iterativa.

No presente trabalho, foi implementada a formulação do problema de

contato considerando o fenômeno de atrito e, para tal emprega-se o método da

Penalidade, formulação baseada no trabalho desenvolvido por Laursen48,50 &

Simo e Laursen49, onde as restrições de contato com atrito são satisfeitas de forma

aproximada através do emprego do parâmetro de penalidade (normal e

tangencial). As relações cinemáticas são dadas em termos de uma função

diferenciável da distancia entre os corpos (gap).

DBD


5 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE CONTATO COM ATRITO

5.1 Formulação Continua do Problema de Contato

5.1.1 Notação

Neste trabalho será utilizadas a formulação e notação para o problema de

contato desenvolvido por Laursen48,50 & Simo e Laursen49. Considerando dois

corpos deformáveis definidos por Bi, 21,i = e suas configurações iniciais por ,

ℜ

1Ω

2Ω ⊂ 3. Estabelece-se que os corpos não estão em contato no tempo

(configuração de referência), ou se estão em contato nenhuma força de contato é

produzida. Configurações subsequentes são dadas por

0t =

[ ]T,0: )1()1( ×Ωϕ no ℜ3

para e para 1Ω [ T,0: )2()2( ×Ωϕ ] 2Ω . Devido ao contato físico dos dois corpos

surgem forças de interação durante o intervalo de tempo [ ]Tt ,0:= . Define-se

qualquer uma dessas configurações no tempo t como , itϕ 21,i = . A extensão para

problemas que envolvem mais corpos é feita levando em conta cada pares de

corpos em contato. Formulações de autocontato (o corpo em contato com ele

mesmo) são feitas similarmente.

As superfícies dos contornos dos corpos e são representadas por

e respectivamente, de tal forma que os pontos onde o contato pode

ocorrer são incluídos (ver Fig. 5-1). As posições correntes das superfícies são

dadas por

1Ω∂ 2Ω∂

)1(Γ )( 2Γ

( ))i()i(t

)i( Γϕ=γ , . 21,i =

Na configuração inicial, os pontos de )(1Γ são representados por e os

pontos de por e na configuração corrente por

X)( 2Γ Y ( )Xx )(

t1ϕ= e ,

respectivamente.

( )Yy )(t

2ϕ=

DBD


Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito

56

X

)(Ω 1

)2(Ω

)2(Γ

)1(Γ

Y)1(γ

)1(ϕ

)2(ϕ

nℜ

)2(γ

x

y

Figura 5.1 – Notação das deformações finitas do Problema de Contato com atrito

5.1.2 Restrições de contato normal

A superfície de contorno é designada como superfície escrava (“slave”)

e como superfície mestre (“master”). Para uma dada configuração,

)(1Γ)2(Γ

( ))2()2()2( Γ= tϕγ define-se uma superfície na qual nenhum dos pontos do

material pode penetrar. Da mesma maneira, pode ser feita a restrição nos

pontos com relação a .

)1(Γ∈X)2(Γ∈Y )1(Γ

5.1.2.1 Restrições de contato normal (impenetrabilidade)

A restrição de impenetrabilidade é formulada através da função de folga

(“gap”), definida por um par de movimentos ( )),)1( t⋅ϕ , ( )),)2( t⋅ϕ e para todos os

pontos , como a seguir: )1(Γ∈X

( ) ( )( ) ( )tgtgsigntg ,,, XXX =

( ) ( ) ( )tttgY

,,min, )2()1()2(

YXX ϕϕ −=Γ∈

onde: se é admissível 1)),(( −=tgsign X ),()1( tXϕ

1)),(( +=tgsign X , caso contrário (5.1)

DBD



57

Figura 5.2 – Definição da função de folga (“gap”)

A definição de é dada em termos da projeção do ponto de

em (ver Fig. 5-2). A restrição de impenetrabilidade é formulada

matematicamente como . As condições de complementaridade estão

associadas à força superficial de contato , onde

é o primeiro tensor de Piola-Kirchhoff em e é a normal a

na configuração de referência. Esta força superficial é dada por:

( tg ,X )

)(1 Xx tϕ=)2(γ

( ) 0, ≤tg X

)().,(),( )1()1()1( XnXPXt ott =

),()1( tXP X )()1(0 Xn X

),(),(),( )1()1( tPttt N XtνXXt ν+= (5.2)

onde ν (negativa) é a normal externa a em e é a projeção de

no plano tangente associado. A parcela , representa a pressão de

contato em . As restrições para contato normal são especificadas como:

)1(γ )()1( Xx tϕ=)1(tνP

)1(t ),( ttN X

X

0),( ≤tg X (5.3a)

0),( ≥ttN X (5.3b)

0),(),( =tgttN XX (5.3c)

0),(),( =•

tgttN XX (5.3d)

As expressões acima (5.3) representam a restrição de impenetrabilidade, a

restrição da força de contato em ser sempre não negativa (pressão); a condição

de complementaridade que admite que a pressão de contato seja diferente

X

),( ttN X

DBD



58

de zero somente se a folga (“gap”) for igual a zero ( 0g = ) e a condição de

persistência que é usada quando considerado o atrito cinemático.

5.1.3 Contato com atrito

5.1.3.1 Conversão de base

A restrição de impenetrabilidade introduz a idéia da geometria da estrutura

influenciar na definição da restrição g . Este fato é utilizado para a definição de

uma base tangente associada, conveniente para definir as restrições de atrito

Parametrizações para e , )i(Γ )i(γ 21,i = são adotadas, para o corpo (2)

como mostrado na Fig. 5-3. Define-se e uma serie de mapeamentos

, indexados pelo tempo , assim ,

1−ℜ∈ nA)i(

tΨ t 1Ψ −ℜ→ n)i()i(t A: 21,i = . Em particular,

tem-se: ( ))()(0

)( iii AΨ=Γ , ( ))()()( iit

i AΨ=γ e . Assume-se que estas

parametrizações são suficientemente suaves assim todas as derivadas necessárias

podem ser obtidas

)(0

)()( 0 iit

it ΨΨ ϕ=

48,49,50.

ξ

)2(A

Y

y

( )2t

Ψ

3ℜ)2(

tϕ

( )20

Ψ)2(γ

)2(Γ

Figura 5.3 – Parametrizações das superfícies de contato e )2(Γ )2(γ

DBD



59

No caso tridimensional, um ponto é dado por )2(Α∈ξ ( )21,ξξ=ξ . Bases

para e são convenientemente definidas pelas derivadas parciais em

relação a estas variáveis:

)2(Γ )2(γ

( ) ( )ξα)2(

,0ΨξE =α (5.4)

( ) ( ) ( )( ) ( )ξEξΨFΨξe αttα)2(

0)2()2(

, == ξα , 2,1=α (5.5)

onde é o gradiente de deformação correspondente a . As expressões da

forma representam derivadas em relação a .

)2(tF

)2(ϕ

( )α,⋅ αξ

Para qualquer ponto é designado um ponto )1(Γ∈X )2(Γ∈Y que com a

minimização obtém-se . Pontos correspondentes nos domínios espacial (na

configuração corrente) e paramétrico são dados por e e obtém-se as relações a

seguir:

_

Y

_

y_

ξ

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== tt ,,

_)2(

0

_

XξΨXY

(5.6)

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== tt t ,,

_)2(

_

XξΨXy

(5.7)

A identificação de para um ponto depende do movimento de ambos os

corpos. Portanto, o objetivo é parametrizar as restrições pelos pontos ; a

projeção envolvida nesta caracterização é considerada implícita.

_

ξ X)1(Γ∈X

5.1.3.2 Particularização das bases

A particularização das bases para o ponto é dada por: _

ξ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

_

ξET αα

(5.8)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

_

ξet αα , 2,1=α

(5.9)

Nas equações acima as dependências de e em relação a e são

omitidas, embora exista a identificação de . Os vetores tangentes e

αT αt X t

( t,_

Xξ ) αT

DBD



60

αt de fato descrevem uma base que mostra como o ponto se move em relação a

. O vetor normal no âmbito espacial é dado por:

X

)2(Γ

21

21:ttttv

××

=

(5.10)

A orientação da superfície é importante, uma vez que adota-se que as

parametrizações ( e ) são tais que a expressão da normal é a da normal

externa ao corpo (2), como mostrado na Fig. 5-2.

)2(γ

)2(0Ψ )2(

tΨ

5.1.3.3 Cinemática do atrito

A condição de persistência na resposta de contato, requer que a derivada da

folga em relação ao tempo seja igual a zero ( ) quando a força de contato é

diferente de zero. Esta condição tem importantes implicações para a cinemática do

atrito. Se , então teremos que a taxa de variação, no tempo, do vetor de

posição relativa entre

0=•

g

( ) 0, =•

tg X

( )t,)1( Xx ϕ= e tem que ser igual

a zero; isto é:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= tt ,,

_)2( XYy ϕ

( ) ( ) 0,,,_

)2()1( =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− ttt

dtd XYX ϕϕ

(5.11)

Resolvendo esta derivada no tempo, aplicando a regra da cadeia, obtém-se

uma importante expressão da velocidade relativa do material em : X

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− t

dtdttt t ,,,),(

__)2(

0)2(

_)2()1( XYξΨFXYVXV

(5.12)

Na expressão acima, o lado esquerdo da equação representa a diferença

entre as velocidades do material nos pontos e , e fisicamente representa a

razão de deslizamento de em relação à superfície adjacente

X_Y

X ( ))2()2()2( Γtϕγ = . O

lado direito da equação define a geometria que é muito usada quando definida a

evolução das leis de atrito:

( ) ( ) ( ) αα TXξXYX tt

dtdtVT ,,:,

__•

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

(5.13)

DBD



61

Matematicamente, representa a velocidade tangencial relativa. A

velocidade tangente relativa não tem componente normal, considerando que foi

adotado, como ponto de partida, que a derivada da folga em relação ao tempo é

igual a zero ( ).

( tVT ,X )

0=•

gβαα

β δ=⋅TT (5.14)

onde é a base co-variante ou tangente e é a base contra-variante. Esta

relação é igualmente definida na configuração corrente como:

αTβT

βαα

β δ=tt

A métrica também pode ser expressa como:

βααβ TT ⋅=M (5.15)

A métrica na configuração corrente é similarmente construída: .

A inversa das métricas

βααβ tt ⋅=m

αβM e são definidas de maneira similar. αβm

Considerando que a velocidade relativa pode ser expressa na base dual,

na configuração corrente, obtém-se:

TV

( tbT ,Xv )

( ) αβαβ ξ tXXv ),),(

_

tMtbT

•

=

(5.16)

A força superficial de atrito também pode ser expressa na base dual:

( ) ( ) αα tXXtXt ),:,:),( )1( tttPt Tv

bT =−= (5.17)

Usando-se estas definições na velocidade de deslizamento e na força

superficial, tem-se a formulação de atrito de Coulomb como a seguir:

0: ≤−= NbT tμtΦ (5.18a)

0=−bT

bTb

T ttv ζ

(5.18b)

0≥ζ (5.18c)

0=ζΦ (5.18d)

Na formulação de atrito acima, nenhuma distinção é feita entre os

coeficientes de atrito estático e cinemático, e não é considerada a evolução do

coeficiente de atrito μ , isto é, não são considerados os efeitos de endurecimento

(“hardening”) e/ou amolecimento (“softening”).

DBD



62

5.1.4 Método da Penalidade

5.1.4.1 Restrições de regularização

A solução de problemas de contorno sujeitos a restrições tais como as

condições de Kuhn-Tucker para o contato normal e as leis de atrito de Coulomb,

consiste em encontrar uma solução dentro de um espaço restrito. O uso da

formulação fraca destes problemas induz limitações nas variações admissíveis

impostas pelas restrições físicas. É possível superar estas limitações através do

uso dos Multiplicadores de Lagrange, mas resulta em um aumento das equações e

variáveis do problema. O método da Penalidade remove este aumento de graus de

liberdade do problema e faz cumprir as restrições de contato de forma aproximada

através do emprego do parâmetro da penalidade. A vantagem deste método está na

sua simplicidade e fácil implementação em elementos finitos. Além disso, se o

parâmetro de penalidade é escolhido adequadamente, resultados bastante

satisfatórios são obtidos. A introdução destas técnicas faz com que os algoritmos

empregados para a solução de problemas com atrito sejam análogos aos

algoritmos para resolver problemas elasto-plásticos.

A penalização das condições de Kuhn-Tucker para contato normal é

efetuada através da introdução da penalidade normal Nε através de:

gt NN ε= (5.19)

onde ⋅ representa a parte positiva do operando (colchete de Macauley). A

penalização torna-se exata quando ∞→Nε .

Definindo a penalidade tangencial Tε , a regularização para a resposta do

atrito pode ser expressa como a seguir:

0: ≤−= NbT tμtΦ (5.20a)

bTv

TbT

bTb

T L tttv

εζ 1

=− (5.20b)

0≥ζ (5.20c)

0=ζΦ (5.20d)

onde:

DBD



63

αα tt T

bTv tL

•

=: (5.21)

A única diferença devida a penalização está na segunda equação, onde no

lado direito, o zero foi substituído pela penalização da derivada no tempo

(derivada de Lie) . A regularização somente torna-se exata quando bTvL t ∞→Tε ,

no caso que a taxa de deslizamento bT

bT

tt

ζ é forçada a ser igual que à velocidade

relativa . Estas equações são adequadas para a incorporação no Princípio dos

Trabalhos Virtuais e para a posterior implementação no Método dos Elementos

Finitos.

bTv

5.1.5 Algoritmos para mapeamento de retorno do atrito

Considerando um conjunto de sub-intervalos [ ]10 , += nnNn ttU , para resolver um

problema de valor de contorno de forma incremental, inicia-se cada passo com um

estado conhecido, que integra-se no tempo para se obter o estado . Existe

uma série de algoritmos para resolver estes problemas, sendo que a maioria deles

avalia o trabalho virtual interno e de contato em diferentes instantes , onde

nt 1+nt

α+nt

[ 1,0∈ ]α . Neste trabalho utiliza-se o algoritmo explícito de Euler, ou seja adota-se

1=α . Nesse algoritmo o trabalho virtual de contato e a sua linearização são

calculados no instante n+1, sendo que todos os dados em n são conhecidos.

Aplicando o algoritmo de Euler diretamente às equações (5.20), e utilizando as

expressões (5.16), (5.17) e substituindo nelas os termos: e

, obtém-se:

__

1

_ββ ξξξ nn −= +

•

nnn TTT ttt −=+

•

1

0:111 ≤−=

+++ nn NbTn tμtΦ (5.22a)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

+

+

++ bT

TnnTTnT

n

n

n

tMtt

1

1__

11 tα

ααζξξε ββ

αβ (5.22b)

0≥ζ (5.22c)

01 =+ ζnΦ (5.22d)

DBD



64

A atualização das tensões (incluindo o atrito) é obtida considerando o gap

normal (necessário para obter ) e o gap tangencial . O

problema é resolvido pela introdução de um estado preditor e de um mapeamento

de retorno, como utilizado em certos algoritmos na integração das equações

elasto-plásticas. Inicialmente considera-se um estado preditor:

1+ng1+nNt

__

1ββ ξξ nn −+

11 +=+ nNN gt

nε (5.23a)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= +

__

1ββ

αβ ξξεαα

nnNTtrial Mtt

nnT

(5.23b)

0:111 ≤−=

+++ n

trial

n NbT

trialn tμtΦ (5.23c)

seguido de uma verificação da condição de deslizamento: trialTnT n

ttαα 11 +

=+ se (aderência) 01 ≤+trialnΦ (5.24a)

trial

n

n

n bT

trialT

NnT

ttt

1

1

11

+

+

+=+

tα

αμ , caso contrário (deslizamento)

(5.24b)

As derivadas α1+

ΔnTt podem ser obtidas das equações (5.23) e (5.24). Para a

situação de aderência:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ+Δ=Δ=Δ +++

__

1

_

,

_

:11

ββγγαβ

βαβ ξξξξε

αα nnTtrialTT MMtt

nn

(5.25a)

De forma semelhante, para o caso de deslizamento:

[ ]ααβαα

βγγββ

ββα ξξξμδ

μμε TTTNTTTb

T

NTNT Pptppt

tgpgHt

h

nntrial

n

n

n ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+−Δ+Δ=Δ

++

+

+

+

__

,

_)2(

,11

1

1

1)( eup

t

(5.25b)

onde: trial

n

trial

n

bT

bT

T

tp

1

1

+

+=t

α . As não-linearidades ainda presentes após a operação de

linearização do trabalho virtual estão associadas ao termo: (rigidez

direta do atrito).

_

1

αξδα+

ΔnTt

DBD



65

5.1.6 Formulação Variacional do Problema de Contato

Usando as notações da seção 5.1.1, as equações de equilíbrio e as condições

de contorno, para cada corpo e considerando uma resposta quase-estática, são

dadas a seguir:

0)()( =+ it

itDIV fP em )(iΩ (5.26a)

_)()(

0)( i

tii

t tnP = em )(iσΓ

(5.26b) _

)()( it

it ϕϕ = em )(i

ϕΓ

(5.26c)

onde: o primeiro tensor de tensão Piola-Kirchhoff no corpo (i), no tempo ;

a força prescrita no corpo (i), no tempo t ; a normal externa na

configuração de referência, para o corpo (i); e são as partes do contorno

do corpo (i) onde a força superficial ( ) e o deslocamento ( ) são

prescritos. O termo subscrito é associado a configuração no intervalo de

tempo . O termo pode ser governado por leis constitutivas elásticas

ou inelásticas.

)(itP t

)(itf

)(0in

)(iσΓ

)(iϕΓ

)(iΩ∂_

)(itt

_)(i

tϕ

t )(itϕ

[ Tt ,0= ] )(iP

Na formulação fraca das equações globais consideram-se as funções

para cada corpo (i), onde são todas as variações admissíveis

que satisfazem a condição em . Na linearização das

variações de e em são considerados os campos perturbados dados a

seguir:

)(*

)( ii U∈ϕ )(iU

3)(*

)( : ℜ→Ω iiϕ 0*

)( =iϕ )(iϕΓ

g_

ξ )1(ΓX∈

*)1()1()1( ϕεϕϕε +=

(5.27a)

*)2()2()2( ϕεϕϕε +=

(5.27b)

Assim, para um dado ( ))2()1( ,, ϕϕβ X , para todos os pontos )1(ΓX∈ , a sua

variação linearizada ( ))2()1( ,, ϕϕδβ X , usando a definição da derivada direcional, é:

( ) ( ))1()1()2()1( ,,,, εε ϕδβε

ϕϕδβ XXdd

= para 0=ε

(5.28)

DBD



66

logo, a variação de g :

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−= vXYX )(

_)2()1( ϕϕδδg

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= )()(

_)2()1( gsignXYX ϕϕδ

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

__*)2(

*)1(

_)2()1( )()( α

α ξδϕϕϕϕ τXYXYXg

gsign

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−= )(

_*)2(

*)1( XYXv ϕϕδg

(5.29)

O termo que contém desaparece devido à ortogonalidade existente

entre a normal e os vetores tangentes . É conveniente ressaltar que qualquer

termo baseado em , tal como , inclui de forma implícita ,

tornando-se necessário considerar a sua variação. A coordenada paramétrica

não pode ser expressa em função das deformações, assim o cálculo da sua

variação é feito de forma implícita como indicado a seguir:

_αξδ

v ατ

)(_

XY )2(tϕ )(

_

Xξ

_

ξ

_αξδ

0)()(_

)2()1( =⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− αϕϕ τXYX

(5.30)

A expressão (5.30) garante que é a projeção de em

, e a sua variação linerizada é dada por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ )(

_)2( XYϕ )()1( Xϕ

)2(γ

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

__

,

_*2,

__*)2(

*)1( )()()(0 β

βαααγ

γ ξδϕξδϕϕ ξeXYvττXYX g

(5.31)

ou

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⋅

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= )()(

_*)2(

,

_*)2(

*)1(

_

XYvτXYX ααγ

αβ ϕϕϕξδ gA

(5.32)

onde:

)(_

, ξev βααβαβ ⋅+= gmA (5.33)

A simplificação da variação para o caso de _βξδ 0=g é dada a seguir:

DBD



67

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅= )(

_*)2(

*)1(

_

XYXτ ϕϕξδ ββ

(5.34)

5.1.6.1 Trabalho Virtual de Contato

Multiplicando a equação de equilíbrio (5.26a) por , integrando

em e aplicando a integração por partes obtém-se:

)(*

)( ii U∈ϕ

)(iΩ

∫ ∫∫Ω ΓΩ

Γ⋅−Ω⋅−Ω⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=

)( )()(

)(*

)(_

)()(*

)()()(*

)()(*

)()()( :),(i ii

iiiiiit

iiit

iit

i dddGRADGσ

σϕϕϕϕϕ tfP

(5.35a)

∫Γ

Γ⋅=)(

)(*

)(_

)(

i

iiit dϕt

(5.35b)

A equação acima tem que ser satisfeita por cada corpo durante todo o tempo

. O termo representa a soma do trabalho virtual interno e o

trabalho virtual das forças aplicadas no corpo , assim:

t ),(*

)()()( iit

iG ϕϕ

)(i

),(),(:,*

)2()2()2(*

)2()1()1(*

ϕϕϕϕϕϕ ttt GGG +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∫∫ΓΓ

Γ⋅+Γ⋅=)2()1(

)2(*

)2(_

)2()1(*

)1(_

)1( dd tt ϕϕ tt

(5.36)

onde tϕ abrange os mapeamentos de ambos os corpos e . Idem

para .

)1(tϕ

)2(tϕ

*ϕ

O lado direito da expressão (5.36) representa o trabalho virtual referente ao

contato, que pode ser representado numa única integral no contorno . Para

cada ponto , torna-se necessário que a força de contato induzida no corpo

(2) em seja igual mas com sentido oposto daquela produzida no corpo (1) em

; sendo assim, tem-se:

)1(Γ)1(ΓX∈

_

Y

X

)1()1()2(_

)2( )()( Γ−=Γ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ dd tt XtXYt

(5.37)

DBD



68

Adota-se que para um dado instante, em todas as áreas em que ocorre

contato, é considerado ser indexado por )2(Γ )1(Γ∈X pela identificação dos

pontos . Substituindo (5.34) em (5.36), teremos a contribuição do

contato, numa única integral em :

)2(_

)( ΓXY ∈

)1(Γ

0)()(*

,

*

, =+ ϕϕϕϕ tct GG (5.38)

∫Γ

Γ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−⋅−=

)1(

)1(_*

)2(*

)1()1(*

)()()(),( dG ttc XYXXt ϕϕϕϕ

(5.39)

[ ] )1(_*

)2(*

)1(*

)1(

)()(),( Γ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−−= ∫

Γ

dttG TNtc XYXτv ϕϕϕϕ αα

∫Γ

Γ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

)1(

)1(_

dtgttt TN

αα ξδδ

(5.40)

onde as forças superficiais de contato são dadas nas equações (5.19) e

(5.20). Esta formulação do trabalho virtual de contato é obtida diretamente da

forma forte das equações, isto é possível devido à estrutura geométrica das

restrições de contato.

Na determinação de (5.40), foi utilizada (5.34) em lugar de (5.32) para

definir . Considerando a solução, (5.38) tem que satisfazer as restrições de

contato, a folga

_αξ

g tem que ser igual a zero em todos os pontos onde o integrando

de (4.40) é diferente de zero.

5.1.6.2 Linearização do Trabalho Virtual de Contato

A solução implícita da equação não-linear (5.38) requer a linearização das

equações governantes. A linearização do trabalho virtual de contato , pode ser

obtida no contínuo, somente com a parcela da rigidez do atrito, baseada em

algoritmos para a obtenção das forças superficiais de contato.

cG

Assim como a primeira linearização (direcionada para ) de *ϕ );( ϕβ X foi

definida como );( ϕδβ X assim a segunda derivada (direcionada para ) é u

DBD



69

definida como );( ϕβ XΔ . O cálculo da derivada de (5.40) torna-se fácil, devido ao

fato que a integral é computada na configuração de referência. Somente o

integrando varia com o movimento. Analisando os termos do contato normal, a

derivada direcional de é dada por: Nt

gt NN εΔ=Δ

ggg

N Δ∂∂

= ε

( ) ggHt NN Δ=Δ ε (5.41)

onde , é a função Heaviside: )(gH 1)( =gH se ou 0>g 0)( =gH se ; a

derivada não é definida quando

0<g

0=g . A expressão para gΔ é dada por:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−=Δ )(

_*)2()( XYuXuv ig e )( gδΔ :

( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Δ+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅=Δ XYuvξeXYuvξeXYv

_)2(

,

___

,

_)2(

,

__

,

_*)2(

, )()()( ββα

αββγβα

αγγ ξδξξδϕδ mgg

( )___

,

_*)2(

,

_

)( αβαββ

β ξξδϕξ Δ⋅+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅Δ+ ξevXY

(5.42)

onde é obtida da expressão:

onde é dada por

(5.33). Portanto, a expressão para

_βξΔ

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⋅

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=Δ )()(

_)2(

,

_)2()1(

_

XYuvτXYuXu ααγ

αβ ξ gA αβA

( )gtNδΔ :

( ) ( ) ( )gtgtgt NNN δδδ Δ+Δ=Δ (5.43)

Na linearização dos termos de contato com atrito, o cálculo de , vai

depender do algoritmo usado para integrar as equações (5.20). A contribuição

permanente (geométrica) da linearização do atrito é dada pelo termo ,

calculado de forma implícita, através da derivada direcional:

TtΔ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

_αξδ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

___

,

_

,

__)2(

,

__*)2(

,

_γβ

βγαγβαα

βαα

βαβ

αβ ξξδξδξϕξδ ξevξetYuτYτ gA

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅Δ−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−

__

,

_*)2(

,

___

,

_)2(

,

_γ

γααββγ

γααββ ξδϕξξξδ ξeXYtξeXYut

DBD



70

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−

__

,

_)2(

,

_*)2(

*)1(

__)2(

,

__*)2(

, )()()( γγαα

ααβ

βαβ ξϕϕξδξϕ ξeXYuXYXXYuXYvg

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+

__

,

_*)2(

,

_)2()1( )()( γ

γαα ξδϕ ξeXYXYuXu

(5.44)

onde é dado pela expressão (5.33). Pode-se verificar que a equação (5.44) é

também simétrica em relação a e . Portanto, a linearização do trabalho virtual

de contato devido ao atrito é:

αβA

*ϕ u

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

Γ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+Δ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Δ ∫

Γ )1(

)1(_*

, dtgtG TNtcαξδδϕϕ

α

( )∫Γ

Γ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ+Δ+Δ=

)1(

)1(__

dttgt TTNαα ξδξδδ

αα

(5.45)

a não-simetria da linearização do PTV referente ao atrito provém do termo

. _αξδ

αTtΔ

5.2 Implementação da Formulação em Elementos Finitos: Método da Penalidade

Na discretização em elementos finitos são utilizados e em

contrapartida a e . Os mapeamentos e são um conjunto de

mapeamentos locais, definidos sobre a superfície de cada elemento, com

, cuja expressão é dada a seguir.

hi)(ϕ*

)( hiϕ

)(iϕ*

)(iϕhi)(ϕ

*)( hiϕ

( )ηh

e)1(ϕ

h

eA )1(∈η

( ) ( )∑=

=eh

n

aa

ae N

1

)1()1( ϕϕ ηη

(5.46)

onde é o valor nodal de , e é o número de nós em cada superfície do

elemento. , representa a função de forma isoparamétrica padrão. Da mesma

forma é feita a interpolação de . Usando o esquema de interpolação

isoparamétrica, pode-se obter também:

1)(aϕ

h)1(ϕ en

( )ηaN*

)1(ϕ

DBD



71

( ) ( )∑=

=en

aa

ahe N

1

XηηX

(5.47)

Da forma análoga a (5.46) e (5.47) pode ser obtida para o corpo (2).

Assim, o trabalho virtual de contato na forma discretizada pode ser expresso

como a seguir:

∫Γ

Γ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

hi

hh

dtgtG hT

ht

hN

hhtc

)(

)1(_*

, αξδδϕϕ

(5.48)

A equação (5.48) pode ser escrita como um somatório das integrais nas superfícies

dos elementos em : elnh)1(Γ

∑ ∫=

Γ

Γ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ el

hej

hhn

jej

hT

hhN

hhtc dtgtG

1

)1(_*

)1(

, αξδδϕϕ

(5.49)

onde cada sub-integral acima é avaliada usando uma quadratura adequada. Assim,

aplicando a regra de quadratura e realizando a mudança de variáveis para o

domínio padrão (parametrização: ) obtém-se: h

eA )1(

( ) ( )∑ ∑= = ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+≈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ el hn

j

n

k

kkhT

khkhN

kkhhc tgtjWG

1 1

_* int

)()()(, ηηηηη αξδδϕϕα

( )∑ ∑= = ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=eln

j

n

k

kc

kc

kk jW1 1

int

RΦη δ

(5.50)

onde é o número de pontos de integração para a superfície de cada elemento

de , que depende da regra de quadratura usada; é o peso da quadratura

correspondente ao ponto local da quadratura ;

intnh)1(Γ kW

k ( )kj η é o jacobiano da

transformação em relação ao domínio de referência; é o vetor das variações

nodais correspondente ao ponto k da quadratura e é o vetor residual para o

ponto da quadratura. Os termos

kcΦδ

kcR

k ( )khg ηδ e são obtidos usando as

expressões (5.29) e (5.34), com seus correspondentes campos discretos.

( kh

η_αξδ )

Através da linearização de (5.50) obtém-se a rigidez de contato necessária

para a solução de (5.38) pelo método de Newton-Raphson. Esta linearização se

obtém através da aplicação da quadratura a (5.45), isto porque a definição de

envolve uma integral na configuração de referência, assim tem-se:

cG

DBD



72

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= = ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Δ+Δ+Δ≈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

el hhn

j

n

k

kkhT

kkhT

khkhN

kkhhc ttgtjWG

1 1

__* int

, ηηηηηηη αα ξδξδδϕϕαα

( )∑ ∑= = ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

Δ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

eln

j

n

k

kc

kc

kc

kkhhc jWG

1 1

* int

, ΦKΦη δϕϕ (5.51)

onde: é matriz de rigidez de contato; os termos e

são dados por (5.43) e (5.44), com suas respectivos componentes

discretos. O vetor contém os valores nodais de , que é a representação em

elementos finitos de . O termo

kcK ( ) ( )[ ]khkh

N gt ηη δΔ

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Δ kh

η_αξδ

kcΦΔ hu

u ( )khTt ηΔ é obtido pelo algoritmo de retorno.

Adota-se a quadratura nodal para definir (5.50) e (5.51), e o elemento

sólido híbrido Enhanced Assumed Strain – EAS (Roehl & Ramm, 1996) de oito

(8) nós (BRICK8-E3) é usado para a discretização em elementos finitos. Devido

ao fato que a contribuição total de contato é a soma das contribuições individuais

de cada ponto da quadratura, enfoca-se a um ponto da quadratura a definição da

matriz de rigidez e do vetor residual . cK cR

A posição corrente do ponto da quadratura (escravo) é definido como

sendo e a superfície mestre contém a sua projeção em definido no

elemento como . Adota-se que encontra-se no interior contínuo da

superfície do elemento (ver Fig. 5-4).

x_

yh)2(γ

h

e)2(γ

_

yh

e)2(γ

Figura 5.4 – Definição do ponto escravo e da superfície mestre em 3D

DBD



73

Considerando que a quadratura nodal está sendo usada, o ponto de

quadratura escravo é de fato o nó escravo. Assim, Φδ é vetor que contém as

variações deste nó escravo ( ) e as variações dos nós da superfície mestre

em ( ). Logo, os vetores das variações são dados a seguir:

)(*

)1( Xϕ

h

e)2(γ 41),(

*)2( −=aYϕ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)(

)(

)(

)(

)(

4

*)2(

3

*)2(

2

*)2(

1

*)2(

*)1(

Y

Y

Y

Y

X

Φ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

δ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=Δ

)()()()()(

4)2(

3)2(

2)2(

1)2(

)1(

YuYuYuYuXu

Φ

(5.52)

A seguir são definidos os vetores que são usados nas expressões da matriz

de rigidez e do vetor residual para o contato com atrito:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

vξ

vξ

vξ

vξv

N

)(

)(

)(

)(

_

4

_

3

_

2

_

1

N

N

N

N

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

α

α

α

α

α

α

τξ

τξ

τξ

τξ

τ

T

)(

)(

)(

)(

_

4

_

3

_

2

_

1

N

N

N

N

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

vξ

vξ

vξ

vξ

N

)(

)(

)(

)(0

_

,4

_

,3

_

,2

_

,1

α

α

α

α

α

N

N

N

N

(5.53)

onde 2,1=α para as definições de e ; αT αN 4,1, =aNa , representa as funções

de forma isoparamétricas que definem a superfície mestre ( ). Os vetores

definidos a seguir dependem das definições acima (5.53):

h

e)2(γ

[ ] ( ) ([ ]221211221 det1 NTNTA

D gAgA +−+= )

(5.54a)

[ ] ( ) ([ ]111222112 det1 NTNTA

D gAgA +−+= )

(5.54b)

2

_

2,111

_

))(( DvξeNN ⋅−=

(5.54c)

1

_

2,122

_

))(( DvξeNN ⋅−=

(5.54d)

E a matriz é dada em (5.33). Comparando os vetores acima com a expressão

(5.50) torna-se fácil obter a expressão para :

A

cR

DBD



74

21 21DDNR TTNc ttt ++= (5.55)

onde as equações para e são dadas por (5.23) e (5.24). A rigidez de contato

é decomposta em uma parcela de rigidez normal e outra de rigidez tangencial:

NtαTt

TN ccc KKK += (5.56)

onde as expressões para e são extraídas de (5.51), (5.43), (5.44) e

(5.25). Assim, a rigidez normal é:

NcK tcK

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

TTTT

NT

Nc mmmgtgHKN

2

_

2

_22

1

_

2

_

2

_

1

_12

1

_

1

_11)( NNNNNNNNNNε

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+−−−−+ TTTTTT

Nt 1221

_

2,122112211 )( DDDDvξeDNDNNDND

(5.57)

Para se obter a rigidez tangencial torna-se necessário definir também os

termos a seguir:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

τξ

τξ

τξ

τξ

T

)(

)(

)(

)(0

_

,4

_

,3

_

,2

_

,1

N

N

N

N

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

vξ

vξ

vξ

vξ

N

)(

)(

)(

)(0

_

,4

_

,3

_

,2

_

,1

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

N

N

N

N

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

T

T

T

T

N

N

N

N

pξ

pξ

pξ

pξ

P

)(

)(

)(

)(0

_

,4

_

,3

_

,2

_

,1

α

α

α

α

α

(5.58)

onde 2,1, =βα e trial

n

trial

n

bT

bT

T

tp

1

1

+

+=t

α ., discutido no item (5.5). Neste caso, onde a

superfície mestre é definida por funções de interpolação bi-linear, os termos e

são iguais a zero. Baseado nisto definem-se os termos a seguir:

11N

22N

2

_

2,111

_)( DτeTT ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−= ααα ξ

(5.59a)

1

_

2,122

_)( DτeTT ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−= ααα ξ

(5.59b)

2

_

2,111

_

)( DpePP ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−= Tξ

(5.59c)

1

_

2,122

_)( DpePP ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−= Tξ

(5.59d)

DBD



75

logo, teremos a expressão de : TcK

[ ] [ ]221121

22121211TTTT cTTcTT

diretacc AtAtAtAt KKKK ++++= (5.60)

onde:

( )TTTTTTcT 12211

_

2,1122111212111 )(1

DDDDτeTDTDDTDTK +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−+++= ξ

( )TTTT

TT g 12221221

_

211

_

1221

_

111

_NDDNTDTDDTDT ++++++

TTT

mmmm ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−− 21

_22

11

_21

221

_12

11

_11

11

_TTTTTTNN

TTT

mmmm 221

_22

11

_21

121

_12

11

_11

1

_TTTTTTNN ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

(5.61)

( )TTTTTTcT 12212

_

2,1222211222121 )(2

DDDDτeTDTDDTDTK +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−+++= ξ

( )TTTT

TT g 21112122

_

212

_

1222

_

112

_NDDNTDTDDTDT ++++++

TTT

mmmm ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−− 22

_22

12

_21

222

_12

12

_11

12

_TTTTTTNN

TTT

mmmm 222

_22

12

_21

122

_12

12

_11

2

_TTTTTTNN ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

(5.62)

A parcela depende se prevalece a aderência ou o deslizamento. diretacT

K

Para o caso com aderência:

( ) ( )[ ]TTT

TT

TTTTT

diretac gkgkgkMMM

T 212

21

1112

122221221121111 2 DDDDDDDDDDDDK ++++++= ε

( )[ ]TT

TTTT gkgkgk 22

1212

11

222 DDDD +++ ε (5.63)

onde: e __

1ααα ξξ nnTg −= + αα TξE ⋅= )(

_

2,1k

Para o caso com deslizamento:

[ ] TTTN

diretac ppgH

TNDDK 2211)( += με

( )( ) ( )[ ] TTTTTTTTtrial

T

NT gkgkMppgkMppt

111

12

21222

1111 21

11DD

τ++−+−+

με

( )( ) ([ ] TTTTTTTTtrial

T

NT gkMppgkgkMppt

122

11111

12

2122

2221 DD

τ+−++−+

με )

DBD



76

( )( ) ([ ] TTTTTTTTtrial

T

NT gkMppgkgkMppt

211

22222

21

1121

2221 DD

τ+−++−+

με )

( )( ) ( )[ ] TTTTTTTTtrial

T

NT gkgkMppgkMppt

222

21

11211

2222 21

22DD

τ++−+−+

με

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−

T

TT

T

TT

T

TT

T

TTN ppppppppt 2

_

22

2

_

12

1

_

21

1

_

11

2221PDPDPDPDμ

(5.64)

DBD



77

5.3 Fluxograma do Método da Penalidade: PC com atrito

INICIO

Inicializa o contador dos passos de carga, n = 1.

Atualiza a geometria de contato: nova lista de nós de contato.

Inicializa o contador das interações de equilíbrio, k=0

Matriz de rigidez: )(_

kuK Forças externas e internas: )()( kk uFRur −=

Folga Normal e Folga Tangencial

Matriz de rigidez de contato: )( kc uK

Força de contato: cR

Matriz de rigidez global: )()(_

kc

k uKuK +

Vetor de forças global: ( ) ( ) ckk Rurur −=

_

Decomposição LDLT da matriz )(uΚ k

Resolve: )()(_

11 kTkk urLDLuu −+ +=

DBD



78

Figura 5.5 – Fluxograma do Método da Penalidade: PC com atrito

não

sim

Convergência

k = k+1

Imprime os deslocamentos nodais, tensões e forças de contato.

Novo passo de carga n=n+1

sim

não

FIM

DBD


6 APLICAÇÕES

O método dos elementos finitos é uma ferramenta que devido a sua

versatilidade, permite a modelagem numérica de diversos problemas da

engenharia considerando as recomendações práticas de projeto. Na aplicação a

situações de interesse de engenharia o problema analisado pode ter geometria,

carregamento e condições de contorno arbitrárias, sendo necessária experiência

para representar corretamente esses atributos.

Neste capítulo apresentam-se análises numéricas com o intuito de verificar a

resposta da formulação proposta para a solução do problema de contato com

atrito. O Método da Penalidade para consideração do contato com atrito foi

implementado no programa de elementos finitos CARAT (Computer Aided

Research Analysis Tool - Universitat Stuttgart) disponível no departamento de

Engenharia Civil da PUC/Rio, como já comentado no Capitulo 4, seção 4.3.1. No

desenvolvimento deste programa ferramentas adicionais vêm sendo introduzidas,

entre as quais a consideração do contato sem atrito entre corpos deformáveis são

de grande importância para as análises a serem apresentadas.

As primeiras análises realizadas têm como objetivo principal validar o

algoritmo de contato implementado. Subseqüentemente análises voltadas para a

aplicação da análise de dutos enterrados considerando a interação solo-duto

através do algoritmo de contato apresentado no capitulo 5. Os exemplos que serão

apresentados a seguir incluem exemplos bi e tridimensionais. Os modelos a serem

representados por a formulação implementada podem incluir grandes deformações

e grandes deslocamentos além de não linearidade do material.

O programa POS3D do grupo Tecgraf da PUC-Rio foi utilizado para a

visualização da geometria, discretização da malha em elementos finitos e os

resultados obtidos tais como tensões e deslocamentos.

DBD


Capítulo 6 – Aplicações

80

6.1 EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO

Este item tem por objetivo apresentar alguns exemplos que validem as

implementações computacionais realizadas.

6.1. 1 BLOCO ELÁSTICO com L>>H

O problema consiste em um bloco elástico onde L>>H apoiado em um

material rígido. Na interface entre a base do bloco e o material rígido considera-se

a ação do atrito. O bloco é submetido a uma força de compressão P na face oposta

a da face que está totalmente restringida (ver Fig. 6.1). Na face horizontal superior

o deslocamento vertical é impedido. Para a análise deste problema utilizou-se o

método da Penalidade. A lei de atrito de Coulomb é aplicada entre o bloco e a

fundação.

y y

H

z xL

P

Figura 6.1 – Definição do problema do bloco elástico L>>H

Este problema é utilizado como referência nos problemas de contato com

atrito. Os resultados obtidos foram comparados com os resultados obtidos tanto na

solução analítica quanto na solução numérica desenvolvida por Hird & Russell88.

A seguir será apresentada a definição do problema e a sua solução analítica.

Solução Analítica

Considerando um elemento de tamanho infitesimal, como mostrado na

Figura 6.2, a hipótese simplificadora adotada é que para um bloco com L>>H as

tensões normais (σ) e as deformações diretas (ε) não variam significativamente

com H acima da interface.

DBD



81

dx

σx+ dσxσx

τ

Figura 6.2 – Tensões atuando no elemento infitesimal

Da teoria da elasticidade, as deformações no elemento são:

1 ( )

1 ( )

1 ( )

x x y z

y y x z

z z x y

E

E0

0E

ε σ υ σ σ

ε σ υ σ σ

ε σ υ σ σ

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

=

=

(6.1)

onde E é o módulo de Young e υ é o coeficiente de Poisson. Considerando as

equações (6.1) pode-se obter a relação entre a tensão (σx) e a deformação (εx) na

direção longitudinal:

( )( )2

11 2x x

E υσ ε

υ υ−

=− − ⋅

(6.2)

O deslocamento de cisalhamento relativo na interface, w, é relativo a εx

por:

xdwdx

ε=

(6.3)

Consequentemente,

( )( )2

11 2x

E dwdx

υσ

υ υ−

= ⋅− − ⋅

(6.4)

Por equilíbrio na direção longitudinal,

( )x xH dx dσ τ σ σ⋅ + ⋅ = + ⋅x H (6.5)

onde τ é a tensão de cisalhamento na interface. Assim tem-se:

xddx Hσ τ

=

(6.6)

DBD



82

Considerando as características da interface, de acordo com a Figura 6.3

tem-se:

sk wτ = ⋅ (6.7)

ks1

τmax

w

Figura 6.3 – Comportamento Constitutivo do elemento de interface: tensão cisalhante

versus deslocamento de cisalhamento relativo

onde ks é o parâmetro de rigidez de cisalhamento. Substituindo a tensão de

cisalhamento (τ) na equação 6.6 obtém-se:

x sd kdx H

wσ ⋅=

(6.8)

Pela diferenciação da tensão σx, definida na equação (6.4) tem-se:

( )( )

2

22

11 2

x Ed d wdx dx

υσυ υ

−=

− − ⋅

(6.9)

Combinando as equações (6.8) e (6.9) obtém-se:

2

22 0d w a w

dx− =

(6.10)

onde: ( )

( )

22

1 21

ska

E Hυ υ

υ

⋅ − − ⋅=

⋅ ⋅ −

A solução para a equação (6.10) pode ser expressa como:

1 2ax axw C e C e−= ⋅ + ⋅ (6.11)

onde C1 e C2 são constantes, obtidas pela aplicação das condições de contorno.

Quando x=0, w=0, assim:

C C 1 2 0+ = (6.12)

DBD



83

Se o deslizamento ocorre na interface quando x≥x1, assim em x=x1, w=w1

onde w1 é definido na Figura 6.3.

Consequentemente:

1 11 1 2

ax axw C e C e−= ⋅ + ⋅ (6.13)

Pela combinação das equações (6.12) e (6.13) tem-se:

1 1

11 2 ax ax

wC Ce e−= − =

− (6.14)

A distribuição da tensão cisalhante entre x=0 e x=x1 é dado por:

1 11

ax ax

s s ax ax

e ek w k we e

τ−

−

−= ⋅ = ⋅ =

−

(6.15)

A tensão normal longitudinal em x=x1, σx1, pode ser calculada utilizando a

equação (6.4):

( )( ) 1

1 2

11 2x

x x

E dwdx

υσ

υ υ =

− ⎡ ⎤= ⋅ ⎢ ⎥− − ⋅ ⎣ ⎦

(6.16)

Consequentemente, após a avaliação de 1x x

dwdx =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

pela diferenciação da

equação (6.11):

1 1

1 1

11

ax axs

x ax ax

k w e ea H e e

σ−

−

⋅ +=

⋅ −

(6.17)

Para o deslizamento de uma parte do bloco, entre x=x1 e x=L, a tensão de

cisalhamento na interface é constante max 1sk wτ τ= = ⋅ . Equilíbrio longitudinal

desta parte requer que:

( )1 1x s 1p H H k w Lσ⋅ = ⋅ + ⋅ − x (6.18)

onde p é a pressão aplicada em x=L.

Portanto, após substituição para σx1 na equação (6.17):

( )1 1

1 1

11

ax axs

ax ax

k w e ep a L xa H e e

−

−

⎡ ⎤⋅ += + ⋅⎢ ⎥⋅ −⎣ ⎦

− (6.19)

Esta análise não é rigorosa, considerando que é baseada na hipótese que as

condições de tensão-deformação são uniformes na seção transversal. Na realidade,

a tensão σx e a deformação εx serão menores perto no contorno inferior restrito

longitudinalmente do que perto do contorno superior irrestrito.

DBD



84

A solução analítica foi desenvolvida para a compressão do bloco elástico

(L>>H) lateralmente restrito e apoiado em um material rígido. A solução permite

a distribuição da tensão cisalhante na interface com o material rígido e fornece

uma referência para testar a implementação do algoritmo do problema de contato

com atrito aplicado à interação solo-estrutura utilizando elementos finitos (Hird &

Russell88).

As características do problema são dadas a seguir:

Comprimento: L=10 m

Relação comprimento-altura: L/H=10

Carregamento aplicado: P=100 kPa (inicial)

Módulo de elasticidade: E=1.0 e5 kPa

Coeficiente de Poisson: v=0.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

0 2 4 6 8 10

Coordenada em X (m)

Desl

ocam

ento

s Ho

rizo

ntai

s (m

m)

FORMULAÇÃO ANALÍTICAp=400 kPa

Figura 6.4 – Deslocamentos Horizontais na interface obtidos com a formulação analítica

Solução Numérica: Método de Penalidade considerando contato com atrito

A discretização da malha em elementos finitos é dada a seguir, na figura 6.5.

DBD



85

Interface

Figura 6.5 - Discretização da malha em elementos finitos para o problema bloco L>>H

O bloco e a base foram modelados com trinta elementos isoparamétricos

com a formulação híbrida mista em deformações do tipo EAS denominada aqui

Hexa8-E3. Estes elementos são compatíveis cinematicamente com a formulação

de contato com atrito implementada.

Uma pequena tensão normal de compressão (0.1 kPa) é aplicada

inicialmente, como artifício para manter inicialmente um estado compressivo.

Para a análise deste problema utilizou-se o método da Penalidade com

penalidade normal e com penalidade tangencial . A lei de atrito

de Coulomb que se assume surge entre o bloco e a fundação tem um coeficiente

de atrito

610Nε = 410Tε =

0.1μ = . Para aplicação do carregamento total foi utilizado o controle de

carga em sete passos. Para a escolha dos parâmetros de penalidade (normal e

tangencial) e do coeficiente de atrito foi necessária uma calibração do modelo. No

método da penalidade a escolha dos parâmetros de penalidade é o ponto crucial na

utilização do mesmo.

DBD



86

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

0 2 4 6 8

Coordenadas em X (m)

Des

loca

men

tos

Hor

izon

tais

(m

m)

10

FORMULAÇÃO ANALÍTICA

FORMULAÇÃO CARAT 3D

Figura 6.6 - Deslocamentos Horizontais na Interface obtidos na Formulação Analítica e na

Formulação desenvolvida (CARAT 3D)

Os resultados obtidos foram comparados também com os resultados obtidos

na solução numérica desenvolvida por Hird & Russell88. Eles utilizaram um

modelo bi-dimensional com vinte (20) elementos triangulares para representar o

bloco e elementos de interface com espessura zero com as seguintes

características: kPa/m e 410sk = max 30τ = kPa.

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

0 2 4 6 8

Coordendas en X (m)

Des

loca

men

tos

Hori

zont

ais

(mm

)

10

FORMULAÇÃO HIRD & RUSSELL

FORMULAÇÃO CARAT 3D

Figura 6.7 - Deslocamentos na interface CARAT versus Hird & Russell: diferentes níveis

de carregamento

DBD



87

6.1. 2 LIGAÇÃO DE PLACA DE EXTREMIDADE

Neste exemplo é feita a análise do comportamento semi-rígido de uma

ligação viga-coluna tipo placa de extremidade estendida, que consiste em uma

placa de extremidade cujo comprimento é maior do que a altura da viga, sendo

mais prolongada junto à parte tracionada da seção da viga (ver Figura 6.8). Esta

aplicação é baseada nos trabalhos desenvolvidos por Rothert, Gebbeken &

Binder89.

O objetivo deste exemplo é verificar o algoritmo de contato implementado

para problemas 3D. Uma finalidade importante é comparar os resultados obtidos

pelos métodos da Penalidade com a curva carga x deslocamento experimental

fornecida pelo trabalho de Rothert , Gebbeken & Binder89 servindo de base de

comparação.

Esta análise se concentra na região da alma e da mesa da coluna que está

ligada à viga através da placa de extremidade na parte tracionada pela mesa da

viga (ver Figura 6.8). A placa de extremidade é considerada rígida quando

comparada com a espessura da mesa da coluna. Assume-se que não há

carregamento fora do plano yz (alma da coluna) e por isso as condições de

contorno são aplicadas de forma a não permitir deslocamentos fora deste plano.

área de contato

h

F

F

área tracionada

M

δ

θ

z

x

Figura 6.8 - Detalhe da zona de contato e o carregamento no plano89.

DBD



88

Devido à simetria, na discretização da malha em elementos finitos

considerou-se somente um oitavo da ligação. O detalhe do trecho da coluna

analisado e a discretização em elementos finitos são mostrados respectivamente

nas figuras abaixo:

200

45 155

100

4532

.518

4.5

medidas em mm

100

85

671815

A.

A.

F

Fv

vF

.A

F

yz

zx

y x

Figura 6.9 – Características geométricas do modelo reduzido89

O aço empregado nos perfis é o St37, o módulo de elasticidade vale

E m= 21 2. / E8 kN , o material segue a lei de escoamento J2, sem encruamento,

com tensão de escoamento igual σ . Para o parafuso adota-se o

mesmo modelo do material com tensão de escoamento . As

forças externas F são modeladas por forças nodais na alma da coluna, equivalentes

a uma carga uniformemente distribuída.

y m= 2 4 2. / E5 kN

σ y m= 10 2. / E5 kN

Para a análise deste problema foi utilizado o Método da Penalidade com

penalidade normal e com penalidade tangencial . O

carregamento total foi atingido através de controle de deslocamento.

310Nε = 110Tε =

As curvas carga x deslocamento obtidas pelo método da Penalidade

considerando elementos Hexa8-E3 com integração 3x3x3 e pela curva

experimental obtida por Rothert , Gebbeken & Binder89 no instante final podem

ser visualizadas na Figura 6.10 .

DBD



89

0

100

200

300

400

500

600

0 1 2 3 4 5

Deslocamentos (mm)

Car

ga (K

N)

Experimental Rother et al

CARAT 3D Hexa8-E3

Figura 6.10 – Comparação dos resultados das análises experimental de Rother et al. E a

análise numérica com CARAT 3D com elementos Hexa8-E3.

A deformada para o método da Penalidade é apresentada na Figura 6.11.

Figura 6.11 – Deformada da ligação de placa de extremidade no instante final

(maximização em 25 vezes)

DBD



90

Neste exemplo foi analisada a variação dos parâmetros de penalidade

normal e tangencial. Os parâmetros utilizados nas análises são mostrados na

tabela a seguir.

Parâmetros Valor Valor Valor Valor

Penalidade Normal 1.0e+3 1.0e+2 1.0e+3 1.0e+4

Penalidade Tangencial 1.0e+1 1.0e+2 1.0e+2 1.0e+2

Tolerância ao Gap 1.0e-4 1.0e-4 1.0e-4 1.0e-4

Coeficiente de atrito 0.1 0.1 0.1 0.1 Tabela 6.1 – Variação de parâmetros de penalidade nas análises realizadas

Os resultados obtidos estão resumidos na Figura 6.12

0.0

100.0

200.0

300.0

400.0

500.0

600.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Deslocamentos (mm)

Car

ga (k

N)

CARAT 3D (pn=3, pt=2)

Experimental Rother et al



CARAT 3D( pn=2, pt=2)

Figura 6.12 – Comparação dos resultados das análises experimental de Rother et al. e as

análise numérica com CARAT 3D com elementos Hexa8-E3 para diferentes parâmetros de

penalidade normal e tangencial(pn e pt respectivamente).

DBD



91

6.1. 3 PUNÇÃO ELÁSTICA DE UM BLOCO SOBRE UMA FUNDAÇÃO RÍGIDA

Neste exemplo é descrito o problema de punção elástica de um bloco sobre

uma fundação rígida. Este exemplo foi analisado por A. F. Martin e A. W.

Leissa90 no modelo 3D e por Jiann-Wen-Ju, R. L. Taylor e L. Cheng91 no modelo

2D. Maiores detalhes deste exemplo também podem ser encontrados em Parisch92.

A geometria do problema e apresentada na figura 6.13. O objetivo deste

exemplo é comparar o resultado obtido com a formulação apresentada com a

solução apresentada na literatura90,91,92.

Figura 6.13 – Geometria do bloco sobre uma fundação rígida90,91,92.

5

20 20

20

30

30

Apenas a base do bloco inferior é mantida indeslocável na direção do eixo z

(direção de aplicação da carga). Um corpo é mantido sobre outro e uma carga de

80000 é aplicada no centro do bloco superior em seis (6) incrementos iguais de

carga.

Os blocos foram modelados com elementos isoparamétricos com a

formulação híbrida mista em deformações - EAS -, denominada Hexa8-E3. Estes

elementos são compatíveis cinematicamente com a formulação de contato com

atrito implementada. A discretização da malha e o comportamento linear elástico

dos materiais atende a finalidade de demonstração da formulação90.

DBD



92

Figura 6.14 – Discretizacção em elementos finitos do bloco sobre uma fundação rígida.

As características dos materiais estão apresentas a seguir.

Bloco de Punção Fundação Rígida

Módulo de Elasticidade: .10000=E Módulo de Elasticidade: .1000=E

Coeficiente de Poisson: 3.0=υ Coeficiente de Poisson: 3.0=υ

Para a análise deste problema utilizou-se o método da Penalidade com

penalidade normal e com penalidade tangencial . Considera-se

um coeficiente de atrito de Coulomb

810Nε = 610Tε =

0.5μ = . Para aplicação do carregamento

total fora utilizado o controle de carga. A tolerância de gap normal utilizada foi de

. 410−

O deslocamento obtido no nó 46 é de 3.62. A altura inicialmente de 25.0

fica reduzida há um pouco mais de 10%. A geometria deformada do problema

mostra uma redução altura total como obtida nos trabalhos de A. F. Martin e A.

W. Leissa90 no modelo 3D e por Jiann-Wen-Ju, R. L. Taylor e L. Cheng91 no

modelo 2D.

Neste exemplo foi realizada uma verificação enquanto à variação do

coeficiente de atrito. Os coeficientes de atrito utilizados nas análises foram:

0.1μ = , 0.25μ = e 0.5μ = . Com relação aos resultados obtidos no

deslocamento vertical (nó 46) em função do carregamento aplicado manteve-se o

mesmo, mas a verificaram-se, na interface, algumas modificações nas forcas de

contanto normal e de tangencial.

DBD



93

6.1. 4 DESLIZAMENTO DE UM BLOCO ELÁSTICO

Este exemplo é baseado nos trabalhos de Laursen49,50, Oden & Pires93 e

Wriggers et al.94. Neste problema um bloco elástico é simultaneamente empurrado

para dentro da fundação e puxado ao longo da mesma, isto ocasiona uma resposta

de deslizamento com atrito na interface.

As dimensões do bloco elástico são: altura 2=h ; comprimento e uma

largura . O bloco está sujeito a uma carga vertical distribuída

(aplicada num comprimento igual a 3.6) e uma carga horizontal

distribuída aplicada em dos seus lados

4=l

1=e

200−=yp

60=xp (ver Figura 6.15).

Figura 6.15 – Geometria do Bloco Elástico sobre uma Fundação Rígida49,50,93,94

O bloco, que tem um módulo de elasticidade .1000=E e um coeficiente de

Poisson 3.0=υ , está sendo discretizado usando 200 elementos sólidos Hexa8-E3.

Para a análise deste problema foi utilizado o Método da Penalidade com

parâmetros de penalidade normal e penalidade tangencial , os

mesmos utilizados por Simo & Laursen

810Nε = 410Tε =

49, Laursen50 e por Wriggers94 et al. nas

suas simulações. O controle de deslocamento está sendo utilizado para aplicação

do carregamento total.

Os resultados obtidos na análise numérica são muito próximos dos obtidos

no trabalho desenvolvido por Simo & Laursen49 e Laursen50 utilizando tanto o

método da Penalidade e o algoritmo Lagrangiano Aumentado para simular o

contato com atrito, como mostrado na Figura 6.16.

DBD



94

A lei de atrito de Coulomb que se assume surge entre o bloco e a fundação

tem um coeficiente de 0.5μ = 49,50.

Figura 6.16 – Deslocamentos tangenciais na interface de contato com atrito 0.5μ =

A seguir a deformada do bloco elástico devido ao carregamento aplicado.

Figura 6.17 – Deformada do bloco elástico devido ao carregamento aplicado

DBD



95

6.2 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

6.2.1 DUTO ENTERRADO

A análise estrutural, o projeto e a avaliação de risco nos dutos enterrados

devem considerar a interação recíproca que existe entre o duto flexível e o solo

circunvizinho. Esta interação é ativada na presença de cargas de serviço, tais

como a expansão do duto devido à temperatura e à pressão interna; as cargas de

origem geotécnica tais como recalque da superfície do terreno, construções de

aterros, variação do nível freático, ocorrência de sismos, empolamento devido a

congelamento, além da ação de cargas externas tais como cargas de tráfego ou

funcionamento de máquinas.

Este exemplo analisa as variações observadas nos campos de

deslocamentos no sistema solo-duto numericamente determinado pela análise de

elementos finitos, considerando as condições de aderência e deslizamento entre o

solo e a estrutura. As condições de deslizamento foram introduzidas assumindo

que a interface solo-duto pode ser aproximadamente descrita pela formulação de

contato com atrito, que permite os deslocamentos relativos entre elementos da

estrutura e do solo.

A Figura (6.18) ilustra um duto de aço enterrado, com um diâmetro

interno , enterrado a uma profundidade de 0.10 =D 02 D× , que apresenta as

seguintes propriedades mecânicas e geométricas:

Rigidez Axial kN; 54.2x10EA =

Rigidez Flexional kN.m0.1EI = 2;

Espessura 2t = mm;

Coeficiente de Poisson 0.3=Dν .

A camada do solo homogêneo linear elástico apresenta as seguintes

características:

Altura m 8=H

Módulo de Elasticidade kPa 2.7x10E 3=

Coeficiente de Poisson 30.3=Sν .

DBD



96

Na superfície do solo, numa largura de 2B= m, no plano XY, na superfície

do terreno, acima do duto é aplicada uma carga equivalente a

uniformemente distribuída ao longo do eixo do duto (Figura 6.18). kPa 100q =

Figura 6.18 – Geometria do Sistema Solo-Duto

Figura 6.19 - Malha em Elementos Finitos do Sistema Solo-Duto (365 elementos Hexa8-

E3)

Devido à simetria, a metade do sistema solo-duto foi modelada por uma

malha de elemento finitos (ver Figura 6.19), que consiste de 365 elementos

sólidos Hexa8-E3. A análise foi feita assumindo condições de deformação plana,

DBD



97

prevenindo deslocamentos axiais pela introdução de condições de contorno

adequadas.

O coeficiente de atrito considerado foi μ=0.5 e os parâmetros de penalidades

foram os seguintes: εN=104 (penalidade normal) e εT= 104 (penalidade tangencial).

A análise foi realizada com controle de carga e de deslocamento até atingir o fator

de carga igual a 1.0. Neste caso foi realizada uma análise elástica.

As figuras a seguir apresentam os campos de deslocamento horizontal e

vertical do sistema solo-duto como resposta ao carregamento aplicado, de acordo

com a formulação implementada de contato com atrito.

Figura 6.20 - Campo de Deslocamentos DX (eixo horizontal) no sistema solo-duto

Figura 6.21 - Campo de Deslocamentos DY (eixo vertical) no sistema solo-duto

O intuito deste exemplo aplicado foi primeiro fazer uma serie de análises

erro-tentativa para a determinação dos parâmetros de penalidade normal e

penalidade tangencial a serem utilizados, assim como a definição do coeficiente

DBD



98

de atrito que melhor representa-se a atrito dos materiais no problema solo-duto.

Também foi necessário verificar a relevância de considerar o contato com atrito

no estudo de dutos enterrados. Isto se faz necessário para cada caso a ser

analisado.

Neste exemplo são tratados dois assuntos extremamente importantes e

complexos: a análise de dutos enterrados e o problema de contato com atrito,

tentar acoplar esses dois assuntos é uma tarefa realmente árdua e que demanda

muito tempo de estudo.

Após uma serie de análises verificou-se a importância do estudo da

interação solo-duto, tomando como referencia o acoplamento dos nos na interface,

que não representa o comportamento real dos dutos.

6.2.2 INTERAÇÃO SOLO-DUTO DE UM DUTO ENTERRADO QUE ATRAVESSA UMA ENCOSTA

O objetivo deste exemplo é a aplicação da formulação de contato com atrito

direcionado para o problema de interação solo-duto em dutos enterrados.

Modelagem do Duto

A seguir uma análise elasto-plástica de uma linha de duto, analisada na

dissertação de Souza19 considerando a geometria dada na figura a seguir:

Figura 6.22 - Esquema da linha de duto e as suas condições de contorno

5m

1.5m 1.5m

1.5m

5.0m

t=0.00625

DBD



99

O duto assume um modelo constitutivo elastoplástico, com o escoamento

segundo o critério de von Mises com endurecimento isotrópico. A tensão de

escoamento e o módulo de encruamento isotrópico são adotados iguais a 420 MPa

e 75000 MPa, respectivamente. Os valores do módulo de elasticidade (E) e do

coeficiente de Poisson (ν) para o elemento duto são 205000 MPa e 0.25,

respectivamente. As propriedades geométricas da seção transversal do duto são

apresentadas a seguir:

Propriedades geométricas do duto.

Momento de Inércia Izz (m4) 7.9516531 10-5

Área da seção transversal (m2) 6.2586416 10-3

Diâmetro externo (m) 0.325

Diâmetro interno (m) 0.3125

Espessura (m) 0.00625

No duto é aplicada uma pressão interna de 9.0 MPa. Este carregamento se

da através de controle de carga em um total de sete (7) passos. Adotada a

condição de simetria geométrica e de carregamento considera-se somente a

metade da seção transversal, com a restrição de deslocamento em x.

As análises foram realizadas utilizando elementos formulados em

deslocamentos, hexaédricos de oito (8) nós, denominados Hexa8, e elementos

com a formulação híbrida mista em deformações - EAS -, denominados Hexa8-E3

A discretização da malha em elementos finitos foi de 132 elementos, como

mostrado na figura a seguir:

DBD



100

Figura 6.23 - Discretização da malha em elementos finitos do duto

Pode-se observar nas curvas fator de carga x deslocamento, para o nó de

controle (nó 126), nota-se um comportamento mais rígido apresentado pelo

modelo em deslocamentos (ver figura 6.24).

Nas Figuras 6.25 a 6.32, estão apresentados os campos de deslocamento no

estágio final de carregamento com as tensões de von-Mises para ambos os

modelos, Hexa8 e Hexa8-E3, respectivamente. Nota-se que o modelo em

deslocamentos apresenta um nível de tensões bem mais elevado do que o modelo

híbrido Hexa8-E3 em uma mesma faixa de deslocamentos; assim o modelo

Hexa8-E3 apresenta um comportamento mais flexível. Infelizmente não se tem

uma curva carga x deslocamento experimental ou mesmo de um outro modelo

numérico que possa servir de comparação. Testes apresentados na tese de Ferreira

(2000) confirmaram que o elemento Hexa8-E3 apresenta melhor desempenho.

DBD



101

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03 2,00E-03 2,50E-03 3,00E-03

Deslocamento Vertical

Fato

r de

Car

ga

HEXA8

Formulação Híbrida HEXA8-E3

Figura 6.24 – Curva fator carga versus deslocamento (vertical) para o nó localizado no

comprimento 2.5 m da linha de duto.

Figura 6.25 - Campo de deslocamento DX devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8

Figura 6.26 - Campo de deslocamento DX devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8-E3

DBD



102

Figura 6.27 - Campo de deslocamento DY devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8

Figura 6.28 - Campo de deslocamento DY devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8-E3

Figura 6.29 - Campo de deslocamento DZ devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8

Figura 6.30 - Campo de deslocamento DZ devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8-E3

DBD



103

Figura 6.31 – Tensões de von Mises devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8

Figura 6.32 – Tensões de von Mises devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8-E3

Modelagem Sistema Solo-Duto

Neste exemplo, é considerado o comportamento elástico do solo com um

módulo de elasticidade (E) de 50.0 MPa e coeficiente de Poisson (v) de 0.3.

Para o duto adota-se um modelo constitutivo elastoplástico, com o

escoamento segundo o critério de von Mises com endurecimento isotrópico. A

tensão de escoamento e o módulo de encruamento isotrópico são adotados iguais a

420 MPa e 75000 MPa, respectivamente e com coeficiente de Poisson (v) de 0.3.

O duto é solicitado pelos carregamentos dados por pressão interna de 9.0

MPa, sobrecarga de 1000.0 N/m, e peso próprio do solo (γ = 18.0 KN/m3). Os

trechos do duto solicitados são mostrados a seguir:

Trecho Solo Sobrecarga Pressão interna

0 a 5.0 m X X X

5.0 m a 6.5m X X

6.5m a 8.0m - - X

8.0m a 13.0m - - X Tabela 6.1 – Carregamento solicitado pelo duto por trechos.

DBD



104

O solo e o duto são modelados com elementos híbridos Hexa8-E3. A

discretização da malha em elementos finitos é dada na figura a seguir:

Figura 6.33 - Discretização da malha em elementos finitos do duto

Devido à simetria, somente foi modelada a metade do sistema solo-duto

(no sentido longitudinal) por uma malha de elementos finitos (ver Figura 6.33),

que consiste de 622 elementos híbridos Hexa8-E3.

Os dados utilizados no solo, duto e interface foram tirados de dados da

literatura26,95. A formulação do problema de contato com atrito permite a

simulação do comportamento da interação solo-duto.

Os parâmetros de penalidades utilizados foram os seguintes: penalidade

normal εN=103 e penalidade tangencial εT= 102.

Análises considerando a variação da magnitude do coeficiente de atrito

foram realizadas; os valores considerados foram de μ=0.1, de μ=0.3 e de μ=0.6.

Para isto o carregamento ao que o duto está submetido (pressão interna e

carregamento externo) foi aumentado até o duto estar totalmente plastificado (10

vezes o valor de carregamento inicial apresentado). Os mesmos valores de

parâmetros de penalidade conseguiram-se manter para as diferentes análises.

DBD



105

Nó Contato ΔDX ΔDY ΔDZ Nó Contato ΔDX ΔDY ΔDZ8 0.00 15.06 0.16 92 0.00 12.55 0.359 2.06 11.19 0.00 93 2.09 9.50 0.0010 1.58 3.61 0.00 94 0.45 3.11 0.0011 6.22 0.00 0.00 95 4.27 0.09 0.0012 1.58 3.61 0.00 96 0.48 3.31 0.0013 2.06 11.19 0.00 97 2.05 9.69 0.0014 0.00 15.06 0.16 98 0.00 12.74 0.4215 0.00 12.41 0.04 99 0.00 13.11 0.0316 1.01 8.99 0.00 100 1.27 9.45 0.0017 3.38 2.45 0.00 101 2.90 2.69 0.0018 7.93 0.00 0.00 102 7.40 0.06 0.0019 3.38 2.44 0.00 103 2.89 2.82 0.0020 1.01 8.99 0.00 104 1.28 9.55 0.0021 0.00 12.41 0.04 105 0.00 13.20 0.0322 0.00 14.89 0.22 106 0.00 12.65 0.0923 2.07 11.11 0.00 107 1.47 9.33 0.0024 1.48 3.60 0.00 108 2.18 2.80 0.0025 6.09 0.00 0.00 109 6.47 0.06 0.0026 1.48 3.59 0.00 110 2.18 2.92 0.0027 2.07 11.11 0.00 111 1.47 9.42 0.0028 0.00 14.89 0.22 112 0.00 12.75 0.0536 0.00 11.69 0.54 113 0.00 12.52 0.0237 2.05 9.02 0.00 114 1.46 9.18 0.0038 0.14 3.09 0.00 115 2.17 2.77 0.0039 3.79 0.02 0.00 116 6.36 0.05 0.0040 0.15 3.06 0.00 117 2.17 2.86 0.0041 2.05 8.98 0.00 118 1.46 9.28 0.0042 0.00 11.59 0.56 119 0.00 12.62 0.0143 0.00 14.18 0.02 120 0.00 12.27 0.0144 1.26 10.02 0.00 121 1.47 9.05 0.0045 3.19 2.88 0.00 122 2.00 2.77 0.0046 7.76 0.04 0.00 123 6.12 0.04 0.0047 3.19 2.80 0.00 124 2.00 2.86 0.0048 1.25 10.03 0.00 125 1.47 9.15 0.0049 0.00 14.08 0.06 126 0.00 12.37 0.0150 0.00 11.96 0.57 127 0.00 12.52 0.0451 2.02 9.16 0.00 128 1.46 9.18 0.0052 0.22 3.15 0.00 129 2.14 2.79 0.0053 3.83 0.06 0.00 130 6.34 0.03 0.0054 0.18 3.02 0.00 131 2.14 2.84 0.0055 2.07 8.99 0.00 132 1.46 9.28 0.0056 0.00 11.77 0.45 133 0.00 12.52 0.0464 0.00 8.01 0.94 134 0.00 12.73 0.1165 1.66 7.20 0.00 135 1.48 9.41 0.0066 2.42 4.83 0.00 136 2.20 2.84 0.0067 1.88 2.18 0.00 137 6.50 0.02 0.0068 2.63 0.50 0.00 138 2.20 2.89 0.0069 1.75 2.66 0.00 139 1.48 9.41 0.0070 0.00 3.23 0.92 140 0.00 12.83 0.1171 0.00 6.03 0.94 141 0.00 12.91 0.0572 1.40 5.34 0.00 142 1.26 9.35 0.0073 2.09 3.02 0.00 143 2.80 2.72 0.0074 1.49 0.00 0.00 144 7.26 0.02 0.0075 2.08 3.02 0.00 145 2.80 2.75 0.0076 1.40 5.36 0.00 146 1.26 9.45 0.0077 0.00 6.04 0.92 147 0.00 12.91 0.0578 0.00 3.25 0.89 148 0.00 13.17 0.3179 1.75 2.67 0.00 149 2.06 9.85 0.0080 2.62 0.53 0.00 150 0.74 3.23 0.0081 1.88 2.14 0.00 151 4.68 0.01 0.0082 2.42 4.79 0.00 152 0.74 3.25 0.0083 1.64 7.13 0.00 153 2.06 9.85 0.0084 0.00 7.94 0.95 154 0.00 13.17 0.32

Tabela 2 – Variação de deslocamentos (em mm) nos nós de contato em função da

variação de coeficiente de atrito para μ =0.1 e μ =0.3.

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106

Na Tabela 6.2, apresenta-se a variação dos diferentes deslocamentos (em

mm) nos nós de contato em função da mudança do valor do coeficiente de atrito

para μ=0.1 e μ =0.3. Pode-se conferir uma diferença de deslocamento até de

15.06mm. A mudança de μ =0.3 para μ =0.6, para esta mesma geometria, não

representou uma variação significativa nos deslocamentos.

Isto mostra a importância de definir um coeficiente de atrito que melhor

representa-se o atrito dos materiais envolvidos, para ser utilizado na análise

numérica, através de ensaios de laboratório.

Figura 6.34 – Tensões

Von Mises, na

configuração final,

considerando o

sistema solo-duto, para

μ =0.6: Vistas 1 e 2.

Na figura 6.34, estão representadas as tensões de Von Mises (vistas 1 e 2),

na configuração final de carregamento, considerando μ =0.6, onde se verifica o

duto, no sistema solo-estrutura, já completamente plastificado, todo ele já

submetido a tensões maiores que a tensão de escoamento do material 420 MPa.

DBD



107

Figura 6.35 – Tensões longitudinais, na configuração final, considerando o sistema solo-

duto, para o caso μ =0.6.

Na figura 6.35, estão representadas as tensões longitudinais, também na

configuração final de carregamento, considerando μ =0.6 para representar o atrito

entre os materiais envolvidos (solo e duto), onde se verificam no duto, tensões

superiores à tensão de escoamento.

Neste exemplo, o modelo elástico foi utilizado para representar o solo.

Hipótese simplificadora considerada, a priori, representativa para o caso

analisado, uma das razões é o interesse principal voltado ao comportamento do

duto no sistema solo-duto. Na configuração final, com o intuito de confirmar esta

representatividade do modelo do solo, as tensões principais nos elementos do solo

foram inseridas no critério de ruptura Mohr-Coulomb em 3D. Para isto,

considerou-se os valores de coesão igual a 0.020MPa e de ângulo de atrito igual a

30º. Na tabela 3, observam-se valores, para alguns elementos das tensões que

representam a função de ruptura através do critério Mohr-Coulomb em 3D.

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108

S1 S2 S3 Criterio de Falla Mohr-Coulomb 3D2.14E+06 4.38E+05 -4.27E+05 -2.06E+05 -4.30E+05 1.71E+062.09E+06 3.45E+05 -5.98E+05 -2.64E+05 -5.35E+05 1.72E+062.46E+06 6.44E+05 -3.69E+05 -1.32E+05 -4.38E+05 1.94E+062.57E+06 8.01E+05 -1.51E+05 -4.17E+04 -3.13E+05 1.97E+069.92E+05 4.26E+05 -2.34E+05 7.15E+04 -2.82E+05 8.03E+051.44E+06 5.91E+05 -2.98E+05 8.33E+04 -3.71E+05 1.15E+061.14E+06 3.59E+05 -5.26E+05 -1.57E+04 -4.84E+05 9.87E+057.50E+05 3.18E+05 -4.48E+05 5.10E+04 -4.15E+05 6.75E+05

7.32E-01 2.34E-01 1.56E-01 1.73E+01 1.74E+01 1.78E+013.81E-01 1.37E-01 -1.45E-02 1.73E+01 1.73E+01 1.76E+013.79E-01 7.37E-02 -2.20E-01 1.73E+01 1.71E+01 1.77E+017.40E-01 1.80E-01 -2.95E-02 1.73E+01 1.73E+01 1.79E+016.62E-02 -3.47E-02 -1.05E-01 1.73E+01 1.73E+01 1.74E+018.60E-02 7.31E-02 1.66E-02 1.74E+01 1.73E+01 1.74E+013.37E-02 -4.96E-03 -1.24E-01 1.73E+01 1.72E+01 1.74E+01

-3.95E-02 -9.64E-02 -1.69E-01 1.73E+01 1.72E+01 1.73E+01

4.42E-01 1.65E-01 1.40E-01 1.73E+01 1.74E+01 1.76E+017.59E-01 2.84E-01 1.88E-01 1.73E+01 1.74E+01 1.78E+017.73E-01 2.31E-01 3.94E-03 1.73E+01 1.73E+01 1.79E+014.36E-01 9.19E-02 -8.12E-02 1.73E+01 1.72E+01 1.77E+013.29E-01 1.63E-01 1.15E-01 1.74E+01 1.74E+01 1.75E+016.89E-02 8.59E-03 -9.24E-02 1.73E+01 1.72E+01 1.74E+01

-2.13E-02 -5.72E-02 -1.59E-01 1.73E+01 1.72E+01 1.73E+012.33E-01 6.61E-02 7.41E-03 1.73E+01 1.73E+01 1.75E+01

5.80E+00 2.57E+00 1.88E+00 1.78E+01 1.81E+01 2.12E+019.95E-01 1.89E-01 -1.93E-01 1.72E+01 1.71E+01 1.81E+019.34E-01 1.61E-01 -7.89E-01 1.72E+01 1.67E+01 1.82E+016.52E+00 2.80E+00 2.12E+00 1.78E+01 1.82E+01 2.17E+011.95E+00 -5.01E-01 -1.98E+00 1.65E+01 1.60E+01 1.93E+011.60E+00 1.20E+00 6.58E-01 1.78E+01 1.75E+01 1.84E+011.14E+00 1.07E+00 5.53E-01 1.78E+01 1.75E+01 1.80E+012.83E+00 -2.51E-01 -1.92E+00 1.64E+01 1.59E+01 1.99E+01

-3.49E+00 -5.24E+00 -1.39E+01 1.43E+01 8.21E+00 1.82E+016.51E+00 4.59E+00 1.04E+00 1.91E+01 1.70E+01 2.19E+018.39E+00 3.94E+00 9.43E-01 1.82E+01 1.70E+01 2.34E+01

-2.83E+00 -4.74E+00 -1.56E+01 1.45E+01 6.81E+00 1.91E+019.26E+00 3.39E+00 -2.49E+00 1.75E+01 1.46E+01 2.49E+01-8.95E-01 -2.14E+00 -3.89E+00 1.59E+01 1.49E+01 1.76E+017.71E-01 -2.41E+00 -4.14E+00 1.53E+01 1.48E+01 1.89E+011.01E+01 3.34E+00 -3.77E+00 1.73E+01 1.37E+01 2.58E+01

-3.56E+01 -4.51E+01 -1.21E+02 -7.60E+00 -6.22E+01 2.09E+01-4.54E-01 -1.07E+01 -2.42E+01 9.41E+00 1.85E+00 2.30E+01-4.76E-01 -6.51E+00 -2.26E+01 1.26E+01 2.00E+00 2.26E+01-4.05E+01 -5.25E+01 -1.31E+02 -1.19E+01 -6.78E+01 1.97E+011.28E+01 1.16E+00 -4.44E+01 1.50E+01 -1.63E+01 3.80E+01

-2.15E+00 -2.20E+01 -3.02E+01 1.36E+00 1.71E-01 2.33E+01-2.94E+00 -2.09E+01 -2.47E+01 2.38E+00 4.02E+00 2.13E+011.12E+01 -3.05E+00 -6.07E+01 1.22E+01 -2.74E+01 4.09E+01

Tabela 6.3 – Verificação de Modelo do Solo: Critério de Falha Mohr-Coulomb 3D.

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109

Figura 6.36 – Tensões Von Mises, no sistema solo-duto, para a configuração final de

carregamento com parâmetros de penalidade: εN=103 e εT= 102 e coef. de atrito μ=0.6.

Assim como o primeiro exemplo de aplicação foi necessário primeiro

fazer uma serie de análises erro-tentativa para a determinação dos parâmetros de

penalidade normal e penalidade tangencial a serem utilizados na análise.

Definir o coeficiente de atrito que melhor represente o atrito dos materiais

no problema solo-duto, como verificado nas análises realizadas no duto enterrado

com um trecho atravessando um talude é de grande importância para obter

resultados mais precisos.

O modelo elástico do solo, hipótese simplificadora, para este caso é

representativa. O comportamento do duto e a sua interação solo-duto representada

pela formulação do problema de contato com atrito -definido pelos parâmetros de

penalidade (normal e tangencial) e pelo coeficiente de atrito- foram o foco de

atenção das análises realizadas.

Nas analises realizadas também verificou-se que a pressão interna induz o

surgimento de tensões longitudinais no duto devido ao efeito de Poisson. Essa

tensão surge quando o duto está restringido nas extremidades e/ou pelo atrito que

surge na interação entre o solo e o duto ao longo da seção transversal. Neste caso

tem um adicional que é a presença do talude que é um fator atenuante.

Ao ser analisado este exemplo também se verificou as diferentes respostas

considerando o duto simplesmente apoiado no solo (para o caso do duto sem

considerar o talude) e o duto semi-enterrado com a finalidade de se poder ter uma

DBD



110

sensibilidade maior do problema. Como já foi dito anteriormente este tipo de

análise demanda um conhecimento de dois tipos de problemas altamente

complexos como são os dutos enterrados e o contato com atrito. A tentativa em

acoplar esses conhecimentos não é uma tarefa trivial e demanda muito tempo de

estudo.

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7. CONCLUSÕES E SUGESTÕES

Este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de uma metodologia

com base no método dos elementos finitos para o estudo do comportamento

estrutural de dutos enterrados, considerando a interação solo-duto.

Para representar a interação solo-duto foi implementada a formulação do

problema de contato considerando o fenômeno de atrito e, para tal emprega-se o

método da Penalidade, formulação baseada no trabalho desenvolvido por

Laursen48,50 & Simo e Laursen49, onde as restrições de contato com atrito são

satisfeitas de forma aproximada através do emprego do parâmetro de penalidade

(normal e tangencial). As relações cinemáticas são dadas em termos de uma

função diferenciável da distancia entre os corpos (gap).

O Método da Penalidade para consideração do contato com atrito foi

implementado no programa de elementos finitos CARAT (Computer Aided

Research Analysis Tool - Universitat Stuttgart) disponível no departamento de

Engenharia Civil da PUC/Rio, como já comentado no Capitulo 4, seção 4.3.1

As primeiras análises realizadas tiveram como objetivo principal validar o

algoritmo de contato implementado. Subseqüentemente foram efetuadas as

análises voltadas para a aplicação da análise de dutos enterrados considerando a

interação solo-duto. Os exemplos que apresentados incluem exemplos bi e

tridimensionais nos quais podem ser representados modelos com grandes

deformações e grandes deslocamentos além de não linearidade do material.

O programa POS3D do grupo Tecgraf da PUC-Rio foi utilizado para a

visualização da geometria, discretização da malha em elementos finitos e os

resultados obtidos tais como tensões e deslocamentos.

Para a utilização desta metodologia torna-se necessário primeiro fazer uma

serie de análises erro-tentativa para a determinação dos parâmetros de penalidade

normal e penalidade tangencial a serem utilizados, assim como definir o

coeficiente de atrito que melhor representa-se o atrito dos materiais envolvidos.

Isto se faz necessário para cada caso a ser analisado. Esses parâmetros de

penalidade quando escolhidos adequadamente apresentam resultados bastante

DBD


Capítulo 7 – Conclusões e Sugestões

112

satisfatórios. A escolha destes parâmetros é efetuada de maneira que torne o

sistema estável, isto é, que não apresente oscilações nos resultados obtidos.

Na modelagem do sistema solo-duto, o modelo de formulação com

elementos de formulação híbrida mista em deformações -EAS- (Hexa8-E3),

apresentou ser mais versátil e flexível quando comparado com o modelo de

elementos de formulação em deslocamentos (Hexa8).

Na geometria de duto enterrado atravessando uma encosta foram realizadas

análises considerando a variação da magnitude do coeficiente de atrito. Os valores

considerados foram de μ=0.1, de μ=0.3 e de μ=0.6. Nestas análises verificaram-se

diferentes deslocamentos nos nós de contato em função da variação do valor do

coeficiente de atrito para μ=0.1 e μ =0.3, onde se conferiu uma diferença nos

deslocamentos até de 15.06 mm. Isto mostra a importância de definir um

coeficiente de atrito que melhor representa-se o atrito dos materiais envolvidos,

para ser utilizado na análise numérica. Para este caso mesma geometria a mudança

de μ =0.3 para μ =0.6 não representou uma variação significativa nos

deslocamentos.

A hipótese simplificadora adotada de representar o solo como material

elástico considera-se representativa para o caso analisado, uma das razões é o

interesse principal voltado ao comportamento do duto e da interação solo-duto

representada pelo problema de contato com atrito, através dos parâmetros de

penalidade e do coeficiente de atrito. Com o intuito de confirmar esta

representatividade do modelo do solo, as tensões principais nos elementos do solo

foram inseridas no critério de ruptura Mohr-Coulomb em 3D.

Nas analises realizadas verificou-se que a pressão interna induz o

surgimento de tensões longitudinais no duto devido ao efeito de Poisson. Essa

tensão surge quando o duto está restringido nas extremidades e/ou pelo atrito que

surge na interação entre o solo e o duto ao longo da seção transversal. A

geometria é um fator atenuante no surgimento/concentração de tensões.

A implementação de um algoritmo para a adaptação automática para a

seleção dos parâmetros de penalidade normal e tangencial seria de grande de valia

na continuidade do trabalho.

Uma pesquisa com o modelo numérico aliado ao modelo experimental para

a estimativa dos coeficientes de atrito que melhor represente o atrito entre os

materiais envolvidos (solo e duto) sem dúvida seria uma valiosa contribuição para

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Capítulo 7 – Conclusões e Sugestões

113

a linha de pesquisa de Estudos do Comportamento de Dutos Enterrados que vem

sendo desenvolvida no DEC/PUC-Rio.

Para um estudo mais a detalhe do solo é necessário utilizar um modelo

elasto-plástico que seja calibrado com resultados obtidos em ensaios de

laboratório.

A geração da malha automática torna-se necessária, uma vez que, os

modelos para a simulação, compreendem muitos nós e elementos, tornando a

malha de elementos finitos muito complexa.

O CARAT (Computer Aided Research Analysis Tool - Universitat

Stuttgart) é uma ferramenta potencialmente poderosa e onde podem ser

implementados modelos mais específicos para o problema de interação solo-duto.

Uma análise alternativa pode considerar elementos de casca para o duto e

elementos sólidos para o solo. A influência do efeito da variação de temperatura

(no duto) e de recalques do solo são efeitos que devem ser levados em conta da

análise de interação solo-duto também.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Nelly Piedad Rubio Rubio Estudo de dutos enterrados ...livros01.livrosgratis.com.br/cp092252.pdf · Luiz Eloy Vaz . Escola de Engenharia ... comportamento não-linear dos materiais