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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Escola de Engenharia de Lorena – EEL
NÚMEROS E SISTEMA DE NUMERAÇÃO
DANIELA SANTOS OLIVEIRA
LORENA – SP
2008
DANIELA SANTOS OLIVEIRA
NÚMEROS E SISTEMA DE NUMERAÇÃO
LORENA – SP 2008
Monografia apresentada ao 6º curso de Pós-
Graduação “Lato Sensu” em Matemática da
Escola de Engenharia de Lorena.
Orientador: Prof. Dr. Antonio Sérgio Cobianchi
AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.
Catalogação na Publicação Biblioteca Universitária
Escola de Engenharia de Lorena da Universidade de São Paulo
Oliveira, Daniela Santos
Números e sistemas de numeração / Daniela Santos Oliveira ; orientador Antonio Sérgio Cobianchi. – Lorena: 2008.
53 f. : fig.
Monografia (Especialização – Programa de Pós-Graduação “Lato Sensu” em Matemática) – Escola de Engenharia de Lorena da Universidade de São Paulo
1. Educação matemática 2. Números 3. Sistema de numeração 4. Números
(História). I. Título. 51-7 CDU
DANIELA SANTOS OLIVEIRA
NÚMEROS E SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Monografia apresentada ao 6º curso de Pós-Graduação “Lato Sensu” em Matemática da
Escola de Engenharia de Lorena.
Prof. Dr. Antonio Sérgio Cobianchi (Orientador) – EEL – USP
Prof. MSc. Flávio José da Silva – EEL – USP
Prof. MSc. Francisco Sodero Toledo – EEL – USP
“Os números governam o mundo.” Pitágoras
“Desde os primeiros dias do desenvolvimento da criança, suas atividades adquirem um significado próprio num sistema de comportamento social, e
sendo dirigidas a objetivos definidos, são refratadas através do prisma do ambiente da criança. O caminho do objeto até a criança e desta até o objeto
passa através de outra pessoa. Essa estrutura humana complexa é o produto de um processo de desenvolvimento profundamente enraizado nas ligações
entre história individual e história social.” Vygotsky
DEDICATÓRIA
Aos meus pais, Valdenice e Emiliano, que guiaram meus primeiros passos e com amor me ensinaram a ter respeito, seriedade e confiança.
Obrigada, meus queridos, por existirem e por me ensinarem a ser o que sou.
A minha irmã, Valquiria, pelo incentivo e ajuda para a realização deste trabalho. Obrigada Val, minha irmã e amiga.
A memória do meu irmão, Emilio, que continua presente em nossas vidas.
E ao meu marido, Hamilton, companheiro e amigo de todas as horas. Obrigada, meu amor, pela sua paciência, compreensão e ajuda.
AGRADECIMENTOS
A Deus pelo dom da vida e pela oportunidade da realização deste trabalho. A minha primeira professora, tia Rosângela, por despertar em mim a curiosidade sobre os números, e aos meus professores de Matemática, Claudete e Rogério, que me incentivaram a ser professora e cultivaram em mim o prazer de aprender Matemática. A minha sogra, Nadir, e ao meu sogro, Jean, pela constante ajuda no período da realização deste trabalho. Ao meu querido professor, Sérgio Cobianchi, que fez meus olhos brilharem logo na primeira aula de História da Matemática e a quem eu admiro e respeito muito. Obrigada, professor, pelo carinho e dedicação com que me orientou.
RESUMO
Este trabalho se constitui em estudos sobre o desenvolvimento e a construção do
conceito de número e do sistema de numeração. Inicialmente é feito um panorama da história
dos números, mostrando sua importância, e um perfil de alguns dos sistemas de numeração
que surgiram ao longo da história.
Há um capítulo voltado para o sistema de numeração indo-arábico, no qual é feita uma
abordagem de alguns tópicos do desenvolvimento dos indianos até chegar no sistema de
numeração atual.
Posteriormente é utilizada uma abordagem do pensamento Vygotskiano acerca da
relação professor-aluno e da importância da escola na construção do conhecimento, levando
em consideração a aprendizagem dos números de forma lúdica.
E finalmente, é feita a análise de uma pesquisa realizada com professores e alunos a
respeito da História da Matemática aliada ao ensino dos números.
Palavras-chave: números, sistema de numeração, história dos números, aprendizagem dos
números.
ABSTRACT
This work is about the studying of the development and construction of the number
and the number system. First, there is a research of the history of numbers, their importance
and how some of the systems used to be throughout history.
There is an entire chapter about the arabic system, in which we can see some topics of
the Indian development until we reach the current number system.
Next we can find Vygotsky and his teacher-student relationship, as well as the role of
the school in the knowledge achievement, taking into consideration the learning of numbers in
a pleasant way.
Finally, the analysis of a research which has been done among teachers and students,
about Mathematics history added to teaching numbers.
Key words: numbers, number system, history of numbers, learning of numbers.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO....................................................................................................................... 1
CAPÍTULO 1: UM PANORAMA DA HISTÓRIA DOS NÚMEROS............................... 3
A contagem e o senso numérico................................................................................................ 3
Números..................................................................................................................................... 6
Sistema de numeração babilônico.............................................................................................. 8
Sistema de numeração egípcio................................................................................................... 9
Sistema de numeração grego....................................................................................................10
Sistema de numeração romano.................................................................................................11
Sistema de numeração chinês-japonês......................................................................................12
Sistema de numeração maia......................................................................................................13
CAPÍTULO 2: O SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO................................14
Os algarismos indos-arábicos....................................................................................................14
Introdução dos algarismos arábicos na Europa.........................................................................18
CAPÍTULO 3: A CRIANÇA, A APRENDIZAGEM E OS NÚMEROS...........................21
Vygotsky...................................................................................................................................21
O pensamento Vygotskiano acerca da relação professor-aluno e a importância da escola na
construção do conhecimento.....................................................................................................21
A aprendizagem dos números de forma lúdica.........................................................................22
CAPÍTULO 4: A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E O ENSINO....................................24
Análise da entrevista realizada com os professores..................................................................24
Análise da entrevista realizada com os alunos..........................................................................29
CONCLUSÃO.........................................................................................................................32
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................................35
ANEXOS..................................................................................................................................37
Anexo I – História em quadrinhos............................................................................................37
Anexo II – Questionário da entrevista feita com os professores...............................................41
Anexo III – Questionário da entrevista feita com os alunos.....................................................43
Anexo IV – Especialista de cálculo com o ábaco de peças efetuando suas operações
aritméticas.................................................................................................................................44
Anexo V – Detalhe de uma página do Codex Vigilanus..........................................................45
Anexo VI – Os algarismos e o zero num manuscrito latino do século XIII.............................46
Anexo VII – Os algarismos e a imprensa desde o século XV..................................................47
Anexo VIII- O cálculo escrito com os algarismos “arábicos”..................................................48
Anexo IX – A querela entre os abacistas e os algoristas..........................................................49
Anexo X – Gravura da Senhora Aritmética..............................................................................50
Anexo XI – Figuras que ajudam a criança a formar o conceito de quantidade........................51
Anexo XII – Figuras que ajudam a criança a formar o conceito de quantidade.......................52
Anexo XIII – Figuras que ajudam a criança a formar o conceito de seqüência.......................53
INTRODUÇÃO
Igualmente a diversas outras espécies animais, os humanos têm um senso numérico.
Podemos reconhecer a diferença entre um objeto, um grupo de dois objetos e um grupo de três
objetos. Também reconhecemos que um grupo de três objetos tem mais elementos do que um
grupo de dois (DEVLIN, 2005, p.28).
Devlin afirma ainda que o senso numérico não é algo que aprendemos; nós nascemos
com ele, e que a capacidade de distinguir e comparar pequenas quantidades não exige um
conceito de número e nem a capacidade de contar.
O presente trabalho procura apresentar de forma simples e concisa a importância do
senso numérico tanto nos animais quanto nos homens, mostrando a evolução do ser humano
tendo como foco a questão “número” e uma abordagem dos vários sistemas de numeração que
existiram e que foram usados antes do estabelecimento do sistema de numeração que usamos
hoje.
O trabalho começa com um panorama da história dos números, ressaltando a diferença
entre a contagem e o senso numérico. Discorre sobre o que é um número, e em seguida relata
sobre os vários sistemas de numeração que existiram, situando-os no tempo e mostrando a
importância de cada um, para obtermos esta nossa atual versão.
A pesquisa apresenta vários sistemas de numeração, mas dá um enfoque ao sistema de
numeração indo-arábico. A escolha por um enfoque a este sistema de numeração é devido a
sua importância, já que hoje ele é usado de forma quase que universal.
Após fornecer um panorama da história dos sistemas de numeração e chegarmos ao
sistema de numeração indo-arábico, temos o pensamento de Vygotsky sobre como se deve
ensinar este tema tão importante para a Matemática e para a sociedade. Serão apresentados
procedimentos didáticos que podem ser trabalhados com os alunos para a construção do
conceito de número e de contagem de forma lúdica, ou seja, maneiras concretas, que
demonstram a importância e a utilidade dos números.
Este estudo se encerra com os relatos e resultados das entrevistas feitas com
professores e alunos que tem a finalidade de indagar a respeito da formação de cada um,
tentando relacionar essa formação com a maneira de ensinar. Já a entrevista com os alunos
procura mostrar o que eles sabem ou têm curiosidade em saber sobre a criação dos números.
Este trabalho objetiva-se a levar aos professores e alunos, um material a mais que
possa ajudá-los a entender melhor a criação dos números e os sistemas de numeração,
mostrando que tudo que existiu e que existe foi criado motivado pela necessidade humana da
evolução.
2
CAPÍTULO 1: UM PANORAMA DA HISTÓRIA DOS NÚMEROS A contagem e o senso numérico
Usar os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 nos parece tão comum e tão evidente que
não nos indagamos as razões da sua natural utilidade, parece até que já nascemos com essa
aptidão. Mas não é bem assim! Para falar sobre números é necessário recordar como foi difícil
o seu aprendizado, e perceber que na verdade se trata de algo inventado e que, para aprender é
preciso que seja transmitido, ou seja, é preciso mostrar o símbolo e relacioná-lo a certa
quantidade.
Será que o sistema de numeração que usamos hoje, e a maneira como contamos
sempre foi assim? No dia a dia nos deparamos também com o sistema de numeração romano.
Em que momento da história ele surgiu? Por que não o utilizamos de forma utilitária no nosso
cotidiano, por exemplo, para fazer contas? Quais as vantagens e desvantagens dos outros
sistemas de numeração?
Contar não é algo que já se nasce sabendo. A contagem se inicia através de uma
correspondência um a um. Por exemplo, se entrarmos numa sala com cadeiras e pessoas
podemos distinguir se há mais cadeiras ou pessoas através de uma simples comparação. Se
estiverem sobrando cadeiras é por que a quantidade de pessoas é menor do que a quantidade
de cadeiras. Se houver pessoas em pé e todas as cadeiras estiverem ocupadas, significa que há
mais pessoas do que cadeiras. E se todas as pessoas estiverem sentadas e não estiver sobrando
cadeiras significa que a quantidade de cadeiras é igual à quantidade de pessoas.
A correspondência um a um nos permite abranger vários números sem necessitar
contar ou nomear as quantidades envolvidas. Graças a essa correspondência é que podemos
perceber uma quantidade qualquer mesmo se a linguagem, a memória ou o pensamento
abstrato falharem.
De acordo com Ifrah (1996, p.39), os índios da Austrália determinavam os dias e
outras quantidades usando os dedos, o cotovelo, o ombro, a orelha e o olho; e dependendo do
caso usavam mais partes do corpo ou usufruíam deste artifício mais vezes.
Através do exemplo dos índios australianos, podemos concluir que a partir do
momento que o homem começa a utilizar o seu próprio corpo para determinar uma
quantidade, falta pouco para aprender a contar.
Com isso deixa de existir somente a relação um a um e começa a relação de ordem (do
dedo mínimo, para o anelar, para o médio,... e assim por diante até chegar ao olho direito), e
3
quando o homem faz essa relação de ordem ele está no caminho para aprender a contar,
abstrair o conceito de número, ou seja, enumerar.
A contagem não é uma aptidão natural, sabemos que algumas espécies animais são
mais ou menos dotadas de uma espécie de sensação numérica, o que não quer dizer que eles
saibam contar como nós. A expressão “senso numérico” foi introduzida por Tobias Dantzig
(1970, p.15).
O homem, mesmo nos estágios mais inferiores de desenvolvimento, possui uma faculdade que, `a falta de melhor nome, chamarei de senso numérico. Essa faculdade lhe permite reconhecer que algo mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi retirado ou acrescentado ao conjunto. Não importa qual seja a aptidão Matemática de uma pessoa, ela apresenta um senso
numérico natural e uma capacidade aritmética rudimentar. Os bebês mostram essa capacidade
básica com poucos dias de vida e muitos animais, desde o pombo até o chimpanzé, possuem
um senso numérico e uma capacidade aritmética semelhantes. O senso numérico faz com que
reconheçamos a diferença entre um objeto, um grupo de dois objetos e um grupo de três
objetos. Também através do senso numérico reconhecemos que um grupo de três objetos tem
mais elementos do que um grupo de dois.
O senso numérico não pode ser confundido com a contagem, a contagem é um atributo
exclusivamente humano, apesar de algumas espécies irracionais possuírem um rudimentar
senso numérico semelhante ao nosso. De acordo com Ifrah (1996, p.45) são necessárias três
condições psicológicas para que um homem saiba contar e conceber os números no sentido
em que entendemos:
- ele deve ser capaz de atribuir um “lugar” a cada ser que passar diante dele; - ele deve ser capaz de intervir para introduzir na unidade que passa a lembrança de todas as que
precederam; - ele deve saber conceber esta sucessão simultaneamente.
4
FIGURA 1
FIGURA 2
Em Dantzig (1970, p.17), há uma história muito interessante sobre o senso numérico
dos animais:
Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que fez seu ninho na torre de observação de sua mansão. Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía do ninho. De uma árvore distante, ele esperava atentamente até que o homem saísse da torre e só então voltava ao ninho. Um dia, o fazendeiro tentou um ardil: dois homens entraram na torre, um ficou dentro, e o outro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi enganado: manteve-se afastado até que o outro homem saísse da torre. A experiência foi repetida nos dias subseqüentes com dois, três e quatro homens, ainda sem sucesso. Finalmente, cinco homens foram utilizados como anteriormente, todos entraram na torre e um permaneceu lá dentro enquanto os outros quatro saíam e se afastavam. Desta vez o corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre quatro e cinco voltou imediatamente ao ninho.
5
Ainda de acordo com Dantzig (1970, p.17) dois argumentos podem ser utilizados:
1º) As espécies possuidoras de tal senso numérico são extremamente raras. 2º) Em todos os casos conhecidos, o senso numérico dos animais é tão limitado em alcance que até pode ser ignorado. Dantzig afirma ainda que: O primeiro ponto tem procedência. Na verdade, é notável que a faculdade de perceber números, de uma forma ou outra, pareça estar confinada a alguns insetos e pássaros e ao homem. Quanto ao segundo argumento, é de pequeno valor, porque o alcance do senso numérico humano também é muito limitado. Todos nós distinguimos sem erro ao olhar rapidamente, um, dois, três e até quatro
elementos, além de quatro tudo se confunde e a nossa visão global não possui utilidade
específica.
Experimentos realizados levaram à conclusão de que o senso numérico visual direto
do homem civilizado médio raramente vai além de quatro, e que o senso numérico tátil é
ainda mais limitado em extensão.
Estudos antropológicos sobre povos primitivos revelaram que os selvagens que não
alcançaram a etapa da contagem pelos dedos são quase desprovidos de percepção numérica.
Poucos entre os nativos da Austrália são capazes de discernir quatro, e nenhum australiano em
seu estado selvagem consegue perceber sete. Os selvagens da África do Sul não têm palavras
correspondentes aos números acima de um, dois e muitos. Se julgarmos o desenvolvimento de
nossos ancestrais remotos pelo estado mental das tribos contemporâneas, chegaremos à
conclusão de que o início foi extremamente modesto, digamos que um rudimentar senso
numérico, igual, em seus limites, ao possuído pelos pássaros.
Números
A diferença entre um lobo e muitos, entre um carneiro e um rebanho, entre uma árvore
e uma floresta, sugerem que um lobo, um carneiro e uma árvore têm em comum sua
unicidade, da mesma maneira podemos observar que certos grupos, como os pares, podem ser
postos em correspondência um a um, as mãos podem ser relacionadas com os pés, olhos ou
orelhas. Essa percepção de uma propriedade abstrata que certos grupos têm em comum pode
ser chamada de número.
6
O conceito de número inteiro tem dois aspectos: o cardinal e o ordinal (fig. 3). O
cardinal que é baseado somente no princípio da equiparação, ou seja, indica o número ou a
quantidade dos elementos de um conjunto (1,2,3,4,...), já o ordinal introduz ordem e dá a idéia
de hierarquia (primeiro, segundo, terceiro, ...).
FIGURA 3
Ifrah (1996, p.48), estabelece a diferença entre o cardinal e o ordinal em um exemplo
simples:
O mês de janeiro comporta trinta e um dias. O número 31 indica aqui o número total de dias desse mês: trata-se então de um número cardinal. Se, ao contrário, consideramos uma expressão como “dia 31 de janeiro”, o número 31 não está sendo empregado sob seu aspecto cardinal, apesar da terminologia, que não passa de um abuso de linguagem consagrado pelo uso. Este conceito designa “ o trigésimo primeiro” dia de janeiro: ele especifica o lugar bem determinado de um elemento (no caso, o último) de um conjunto que compreende trinta e um dias; trata-se então de um número ordinal ( ou, como se costuma dizer, de um número). No momento em que o ser humano começou a abstrair os números e aprendeu a
distinção entre o número cardinal e o número ordinal, ele continua usando pedras, conchas,
pauzinhos, etc., mas considerando esses instrumentos símbolos numéricos, e com esses
instrumentos começa a assimilar, guardar, diferenciar ou combinar números inteiros.
Foi a partir da abstração dos números que o ser humano se defrontou com um
problema: como saber concretamente, oralmente ou escrever números muito elevados com o
mínimo de símbolos possível?
7
Devido a esta dificuldade para números muito elevados que vários entre os sistemas de
numeração que veremos a seguir fazem a disposição dos números em grupos básicos
convenientes. De acordo com Cobianchi (2006, p.2), o método consistia em escolher um
número b como base e atribuir nomes aos números 1, 2, ..., b, sendo que para números
maiores que b os nomes eram combinações dos nomes dos números já escolhidos.
Sistema de numeração babilônico
Segundo Ifrah (1992, p.20), os babilônios desenvolveram numa época anterior ao ano
2000 a. C., o sistema de numeração sexagesimal (base 60) que empregava o princípio
posicional, na verdade esse sistema era uma mistura de base 10 com base 60. Os números
menores que 60 eram representados pelo uso de um sistema de base dez simples, por
agrupamentos, e o número 60 e os maiores eram designados pelo princípio da posição na base
sessenta.
Os babilônios escreviam em tábuas de argila e num estilo cujas extremidades podem
ter sido triângulos isósceles penetrantes. Eles produziam caracteres semelhantes a cunhas
(cuneiformes) e as tábuas eram cozidas em fornos até endurecer, obtendo assim registros
permanentes.
O símbolo representava a unidade e era repetido para números até 9. O símbolo
representava o 10 e era repetido e usado com o símbolo da unidade, conforme o necessário,
para representar números de 11 a 59. Os números de 60 em diante eram representados em
termos dos símbolos para os números de 1 a 59, usando o princípio da posição para indicar
múltiplos de potências de 60.
Os babilônios não tinham por volta de 1800 a 1600 a.C. nenhum símbolo para
representar o zero, eles deixavam um espaço em branco quando havia uma potência de 60
ausente. Já no período Selêucida (últimos três séculos a.C.) eles colocavam um símbolo
separatório, representado por , e que era usado para indicar tal espaço vazio.
Segundo Boyer (2003, p.18), o símbolo para o zero parece ter sido usado somente para
posições intermediárias, (ou seja, entre dígitos), o que constituía a maior desvantagem do
sistema babilônico, pois, a não ser pelo contexto, não havia como determinar, por exemplo, se
a combinação significava 11, 11 . 60 ou 26011⋅ .
8
Sistema de numeração egípcio
Os mais antigos numerais egípcios que se conhecem estão gravados em forma
hieroglífica1 e datam de aproximadamente 3400 a.C., em inscrições feitas em pedras.
O sistema primitivo egípcio usava a base 10, e não tinha nenhum símbolo para o zero.
Os números de 1 a 9 eram representados por um número respectivo de traços verticais e
símbolos individuais eram usados para as potências sucessivas de 10 até 1000 000. Os
símbolos eram combinados e repetidos conforme fosse necessário para expressar os números.
FIGURA 3 – Numerais egípcios
FIGURA 4 – Interpretação dos símbolos
Exemplos de como os números eram escritos:
1 Hieróglifos: Inscrições sagradas.
9
Sistema de numeração grego
Dos vários sistemas de numeração usados pelos gregos, dois são dignos de serem
mencionados, o ático ou herodiânico e o jônico.
O primeiro sistema é mais antigo e foi chamado de ático porque os símbolos ocorriam
com freqüência em inscrições atenienses e herodiânico por estar descrito num fragmento
atribuído a Herodian, um gramático do segundo século (BOYER, 2003, p.40).
Nesse sistema, I era usado para 1, Γ para 5, ∆ para 10, Η para 100, Χ para 1 000 e
Μ para 10 000. Os últimos cinco símbolos são as letras iniciais das palavras-número gregas
correspondentes.
Exemplos de como os gregos escreviam os números no sistema ático:
O outro sistema começou a entrar em uso por volta do ano 200 a. C., embora Atenas
ainda tenha preservado seu sistema antigo por mais um século. O sistema jônico é aditivo, de
base dez, e emprega vinte e sete símbolos.
FIGURA 6 – Sistema jônico
10
Exemplos de como os números eram escritos no sistema jônico:
Como se vê nos exemplos anteriores eram usados recursos especiais para denominar
números grandes. Os múltiplos de 1 000 até 9 000 eram indicados por um traço ou acento
colocado antes de cada uma das primeiras nove letras, abaixo ou acima e as dezenas de
milhares eram indicadas sob a forma multiplicativa, usando-se o símbolo Μ (miríade) de
10 000 abaixo do numeral a ser multiplicado.
O número 120 000, por exemplo, era indicado escrevendo-se o símbolo do 12, ,
acima de M (GUNDLACH, 1992, p.27).
Sistema de numeração romano
Segundo Gundlach (1992, p.24), nas inscrições mais antigas feitas em monumentos de
pedra, o “um” era indicado por um traço vertical, o “cinco” era representado por V, talvez
representando uma mão, o “dez” era representado por X que naturalmente sugere dois “V’s”.
Não existe nenhuma informação segura para a origem de L para “cinqüenta”. A palavra
romana para “uma centena” era centum, e a palavra para “um milhar” era mille, e talvez por
isso tenham sido usados o C para “uma centena” e o M para “um milhar”, também era usado o
símbolo par “um milhar”, o que pode ter originado o D para “cinco centenas” se
pensarmos no formato da parte dianteira deste símbolo que também era usado para “um
milhar”.
Símbolo I V X L C D M
Valor 1 5 10 50 100 500 1 000
FIGURA 5 – Numerais romanos
Nesse sistema, somente os símbolos I, X, C, M podem ser repetidos até três vezes.
Então, o número 15 é XV (10+5) e não VVV (5+5+5).
11
Exemplos de como os romanos escreviam os números:
9 → IX (10 – 1)
29 → XXIX (10 + 10 + 9)
552 → DLII (500 + 50 + 1 + 1)
Sistema de numeração chinês-japonês
É um sistema multiplicativo de base 10 que utiliza nove numerais e símbolos
adicionais para os componentes de valor relativo (local) das potências de dez (GUNDLACH,
1992, p.27).
Na figura 7, encontram-se os símbolos usados e um exemplo de como eles escreviam
os números.
FIGURA 7
12
Sistemas de numeração maia
O grande avanço dos maias começou por volta do século IV d.C., sendo que a
Matemática era uma de suas pedras angulares. Uma das mais notáveis entre as suas
realizações foi o desenvolvimento de um sistema de numeração vigesimal (base 20) com
notação posicional e um símbolo especial para o zero.
O sistema de numeração mais usado pelos maias empregava um ponto (seixo) para o
1, uma barra (vareta ou bastão) para o 5 e um símbolo especial para o zero que lembra o
desenho de uma concha.
FIGURA 8 – Numerais maias
De acordo com Gundlach (1992, p.29), os números de 1 a 19 eram representados
aditivamente pelo uso de combinações apropriadas de pontos e barras simbolizando 1 e 5,
sendo o 19 representado por quatro pontos (1) e três barras(5), já no 20 começava a
numeração posicional, os numerais sendo lidos verticalmente, de cima para baixo. O número
20, por exemplo, era representado por um ponto sobre o símbolo do zero.
13
CAPÍTULO 2: O SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO
Os algarismos indos-arábicos
Julgamos fundamental para um melhor entendimento um capítulo especial para os
indos-arábicos, pois se trata do sistema de numeração usado de forma quase que universal.
Ele é hoje o nosso sistema, o sistema do mundo, quase sempre quando recorremos à escrita do
número são os indos-arábicos que usamos. Neste capítulo abordaremos certos períodos
históricos importantes na criação e difusão desses números e as razões do seu estabelecimento
e eficiência.
Foi no norte da Índia, por volta do século V, que nasceu o ancestral do nosso sistema
moderno de numeração.
Segundo Ifrah (1996, p.265), antes de atingir a forma que os números apresentam na
atualidade os indianos usaram por muito tempo uma numeração escrita bem rudimentar, mas
que já possuía uma das características do nosso sistema moderno. Como mostra a figura 9
seus nove primeiros algarismos (os das unidades simples) eram independentes, distintos e não
buscavam evocar visualmente os números correspondentes.
FIGURA 9
Esses algarismos não eram ainda submetidos à regra de posição e, portanto, não eram
tão operacionais como são hoje. A numeração dos indianos usava o princípio de adição e
atribuía um algarismo especial a cada um dos números.
14
Segundo Ifrah ( 1996, p. 265) a antiga numeração dos indianos comportava algarismos
particulares para as unidades, dezenas, centenas, milhares e dezenas de milhares.
Ainda de acordo com o mesmo autor, para representar o número 7 629 era preciso
justapor, nesta ordem, os algarismos “7 000”, “600”, “20” e “9”.
Como o número mais elevado correspondia a 90 000, então não era possível passar de
99 999.
Por causa da dificuldade para representar números grandes por meio de algarismos,
eles começaram a exprimi-los por extenso. Começaram atribuindo um nome particular a cada
um dos nove primeiros números inteiros (IFRAH, 1996, p.266).
eka dvi tri catur pañca sat sapta asta Nava
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Exprimiam os números na ordem das potências ascendentes de sua base, começando
pelas unidades simples correspondentes.
De acordo com Ifrah (1996, p.267), o que nós dizemos “três mil setecentos e nove”, os
estudiosos indianos exprimiam em sânscrito (uma das mais antigas línguas clássicas da Índia)
assim:
nava sapta sata ca trisahasra
(“nove, sete centos e três mil”)
e que no sistema falado dos indianos a cada potência de 10 eram atribuídos nomes totalmente
independentes uns dos outros, diferente do que acontece na nossa numeração atual (em que os
números 10 000, 100 000, 10 000 000 e 100 000 000, por exemplo, são denominados,
respectivamente, “dez mil”, “cem mil”, “dez milhões” e “cem milhões” e em que os nomes do
milhar e do milhão desempenham o papel das bases auxiliares).
Potência de 10 dos sábios da Índia:
10 – dasa
100 – sata
1 000 – sahasra
10 000 – ayuta
15
100 000 – laksa
1 000 000 – prayuta
10 000 000 – koti
100 000 000 – vyarbuda
1 000 000 000 – padma
Ainda de acordo com Ifrah, o número:
446 742 173 729 551 636
era enunciado pelos indianos assim:
6, 3 dasa, 6 sata, 1 sahasra, 5 ayuta, 5 laksa, 9 prayuta, 2 koti, 7 vyarbuda, 3 padma,
7 kharva, 1 nikharva, 2 mahapadma, 4 sankha, 7 samdra, 6 madhya, 4 antya, 4
pararddha
com a finalidade de abreviar o enunciado de um número os indianos desta época começaram
a exprimir um número, por exemplo, 7 629 da seguinte forma:
“NOVE. DOIS. SEIS. SETE”
O que quer dizer:
1000710061029 ×+×+×+
Com isso, os indianos elaboraram uma verdadeira numeração oral de posição. Ao
dizer: “UM, UM”, por exemplo, ao primeiro UM é atribuído um valor de unidade simples e
ao segundo UM, um valor de dezena.
Foi a partir da numeração oral de posição que os indianos chegaram à descoberta do
zero. De acordo com Ifrah (1992, p.269) essa afirmação pode ser melhor exemplificada
tomando-se dois números, o 321 e o 301. O primeiro pode ser expresso com facilidade
dizendo:
“UM. DOIS. TRÊS”
O que quer dizer:
10031021 ×+×+
16
Já no segundo número os indianos encontraram um problema, não bastava dizer:
“UM. TRÊS”
O que quer dizer:
1031 ×+ , que significa 31 e não 301.
Ainda de acordo com Ifrah, para resolver este problema os sábios indianos recorreram
à palavra nyaus_
, que significa o “vazio”. Desta forma o número 301 passou a ser enunciado
da seguinte maneira:
eka nyaus_
tri
(“UM. VAZIO. TRÊS”)
e que com o uso dessa palavra não havia mais possibilidade de equívocos. Além disso, eles
dispunham de todos os pré requisitos para constituir o que hoje nós chamamos de numeração
moderna. Ou seja, eles dispunham de algarismos distintos e independentes de qualquer
intuição visual direta para as unidades de 1 a 9, conheciam o princípio de posição e
descobriram o zero.
Segundo Ifrah (1996, p.270), a descoberta da regra de posição e do zero datam no
máximo, do século V de nossa era e que seus primeiros exemplos se encontram num tratado
de cosmologia com o título de gaaLokavibh_
, publicado por membros do movimento
religioso indiano jainista2 em 25 de agosto do ano de 458 do calendário juliano3.
Segundo Cobianchi (2006, p.11), o sistema de numeração indo-arábico tem esse nome
devido aos indianos (hindus) que o inventaram, e aos árabes, que o transmitiram para a
Europa Ocidental.
A partir do século VI, o sistema de numeração indiano se expandiu até fora das
fronteiras da Índia, em inscrições em pedras das civilizações Khmer (Camboja), Cham
(sudoeste do Vietnã), javanesa etc.
2 Jainista: uma das religiões mais antigas da Índia, juntamente com o hinduísmo e o budismo, compartilhando com este último a ausência da necessidade de Deus como criador ou figura central). 3 Calendário juliano: calendário implantado pelo líder romano Júlio César, em 46 a.C.
17
Introdução dos algarismos arábicos na Europa
Para entender melhor as circunstâncias da primeira vinda dos algarismos indo-arábicos
no Ocidente, é preciso recordar que a velha Europa levou muito tempo para reerguer-se da
queda de Roma (475-476) e das invasões bárbaras (300-900).
Durante o fim do império romano até o fim do século IX, a Europa ocidental que
estava devastada pelas epidemias, fome e guerras, mergulhou em uma grande desordem
política, na recessão econômica e em um obscurantismo absoluto. Os conhecimentos
científicos de que dispunham eram muito elementares. Eram raras as pessoas que aprendiam a
ler e escrever, e a aritmética prática na época medieval consistia essencialmente no uso da
velha numeração romana e na prática das operações através de pedras ou fichas abacus4,
herança da civilização romana (IFRAH, 1997 – 2v, p.458).
Já nos séculos XI e XII a Europa tem um intenso impulso demográfico que engendrou
em várias conseqüências (a difusão da instrução, o desenvolvimento das cidades e das ordens
monásticas, as cruzadas5, a construção de igrejas mais espaçosas). A partir dessas
4 Usadas no ábaco. Ábaco: A origem da palavra ábaco não é certa. Alguns remontam-na ao semita abac, poeira; outros acreditam que vem do grego abax, placa. O instrumento era amplamente usado na Grécia, e encontramos referências a ele em Herótodo e Políbio. 5 As Cruzadas foram a contra-ofensiva da cristandade diante do avanço do Islã. Do século VIII ao século XI a Europa tinha ficado na defensiva, sem condições de reagir em relação aos árabes, que controlavam todo o Mediterrâneo e tinham se apoderado de grande parte da Península Ibérica. No século XI surgiram as condições materiais para uma guerra santa contra os muçulmanos, que era a idéia de muitos papas. As Cruzadas teriam sido impossíveis sem a crise do sistema feudal, que marginalizou a mão-de-obra militar indispensável à realização das campanhas militares. A espiritualidade e o sentimento religioso do homem medieval eram muito fortes; antes de tudo ele era um fiel servidor de Deus e da Igreja. A Cruzadas representavam para ele uma satisfação material e também o cumprimento de uma obrigação religiosa. Combater o infiel muçulmano era uma ação santa e representava a possibilidade de salvação eterna, garantida pelas indulgências oferecidas pela Igreja aos cruzados. Foram muitos os motivos que justificaram as Cruzadas. No século XI a Igreja passou a ter dois papas: o verdadeiro no exílio, e o antipapa, em Roma. O papa no exílio, Urbano II, queria demonstrar que era o verdadeiro papa e que tinha autoridade perante toda a Igreja. E convocar a cruzada era uma demonstração de força e prestígio junto aos fiéis. (Arruda, 1976, p.378-9). Um outro motivo para as Cruzadas foi um pedido de ajuda, em 1095, do imperador bizantino Aleixo Comneno. Aleixo nutria a esperança de reconquistar territórios bizantinos na Ásia Menor, perdidos pouco antes para os turcos. Como já existia o costume em usar mercenários ocidentais como tropas auxiliares, pediu ao papa que o ajudasse a reunir algum apoio militar no Ocidente. No entanto, o imperador verificou, com surpresa, que estava recebendo não apenas uma simples ajuda, mas uma cruzada. Ao invés de um bando de mercenários para lutar na Ásia Menor, o Ocidente despachou um enorme exército de voluntários, cuja meta era arrancar Jerusalém das mãos do Islã. Uma motivação de Urbano II para esta que seria primeira Cruzada, seria trazer a Igreja Ortodoxa grega de volta ao redil (em 1054 o patriarca de Constantinopla rejeitou definitivamente a supremacia do papa e passou a considerar-se o chefe supremo da Igreja no Império Bizantino, surgindo a Igreja Ortodoxa). Com esse poderoso exército de voluntários ao Oriente, talvez Urbano poderia espantar os bizantinos com a força ocidental e convencê-los a aceitar o papado de Roma. A Cruzada, assim, seria tanto contra os infiéis muçulmanos, quanto contra os cristãos cismáticos do Império Bizantino. Outra finalidade seria causar embaraço ao maior inimigo do papa, o imperador alemão Henrique IV, que havia conseguido uma força militar tão grande que obrigou Urbano a fugir da Itália, e refugiar-se na França. Com esse poder, o papa demonstraria a sua capacidade para ser o líder espiritual do Ocidente. Um outro motivo seria capturar Jerusalém, considerada como o centro do mundo e representava o santuário mais sagrado da religião cristã. Ao papado deve ter parecido direito que as
18
conseqüências os preços das mercadorias sobem, a circulação monetária cresce e o comércio
vai tomando forças. Um personagem importante nesta fase é o francês Gerbert d’Aurilac que
foi uma das personalidades científicas mais marcantes dessa época.
Gerbert d’Aurilac nasceu na Aquitânia por volta de 945, foi inicialmente um monge no
convento de Saint-Géraud d’Aurilac, onde se distinguiu rapidamente por sua paixão pelos
estudos. Iniciou-se em Matemática e em astronomia sob a orientação de Atton, bispo de Vich.
Mais tarde, em virtude de uma estada na Espanha muçulmana de 967 a 970, esteve na escola
dos mestres árabes, onde aprendeu a usar o astrolábio6, o sistema de numeração e os métodos
de cálculo de origem indiana. De 972 a 987 ele dirigiu a escola diocesana de Reims. Depois
foi conselheiro do papa Gregório V, e assumiu sucessivamente os arcebispados de Reims e de
Ravena, e em seguida foi eleito papa ( 2 de abril de 999 ), sob o nome de Silvestre II. Morreu
no dia 12 de maio de 1003.
Diz a lenda que para sua iniciação no cálculo indo-arábico, Gerbert d’Aurilac foi a
Sevilha, Fez e Córdoba e que se introduziu nas universidades árabes disfarçado de peregrino
muçulmano. Isso não é impossível, contudo, é mais provável que ele tenha permanecido na
Espanha cristã, no mosteiro de Santa Maria de Ripoll, já que a pequena cidade catalã7 de
Ripoll servia de intermediária entre os mundos cristão e muçulmano.
Segundo Ifrah (1997 – 2v, p.459), Gerbert d’Aurilac retornou a França dominando
toda ciência possível de ser assimilada naquela época e levando um ensino que exerceu uma
influência muito grande sobre as escolas de seu tempo, e o principal, devolvendo ao Ocidente
o gosto pela Matemática.
Houve uma grande relutância à iniciativa de Gerbert d’Aurilac, à maneira como ele
traz a Matemática, que para a época era uma Matemática inovadora, com um sistema de
numeração diferente e muito simples, principalmente para efetuar contas. Essa relutância foi
devida ao conservadorismo dos povos cristãos que se haviam agarrado à numeração romana e
aos métodos romanos de cálculo.
peregrinações a Jerusalém não fossem obstadas e que os cristãos deviam governar a cidade diretamente. (Burns, 2000, p.279-281) Foram oito as Cruzadas e, aconteceram entre 1095 até 1270. As razões do fracasso dessa empreitada devem-se em primeiro lugar ao caráter superficial da ocupação. A presença cristã no Oriente Médio limitou-se aos quadros administrativos, não criando raízes entre as populações locais. Outra razão foi a anarquia feudal, que enfraquecia as colônias militares estabelecidas em território inimigo. A luta fraticida foi uma constante entre as ordens religiosas e os cruzados latinos, principalmente entre os genoveses e venezianos. Em resumo, o fracasso foi uma conseqüência da rivalidade nacional entre as potências ocidentais e da incapacidade do papado em organizar uma força que soubesse superar essas dissenções. Em toda parte, a obra das Cruzadas foi destruída pelos próprios organizadores. (Arruda, 1976, p.385) 6 O astrolábio é um instrumento naval antigo, usado para medir a altura dos astros acima do horizonte. 7 Catalão: língua romântica falada em várias regiões do sudoeste da Europa.
19
Por causa dessa relutância os algarismos “arábicos” não foram difundidos no Ocidente
de forma imediata. O conhecimento desses algarismos ficou relacionado a um ensino oral do
cálculo, que foi criado por Gerbert d’Aurilac e seus discípulos e os povos cristãos
continuavam utilizando quase que exclusivamente os algarismos romanos.
Em conseqüência dessa relutância os algarismos e a numeração ditas “modernas”
(“arábicas”) que já eram conhecidas desde o final do século X, ficaram por mais de duzentos
anos tendo uma utilização muito primitiva.
Aos poucos o novo sistema de numeração serviu para simplificar métodos arcaicos e
acabar de vez com as regras que os abacistas (pessoas que usavam o ábaco para fazer contas)
só compreendiam com muito esforço e prática.
Foi no Renascimento8 europeu que se constituiu uma etapa decisiva na difusão do
cálculo de origem indiana, e que se estabilizou e racionalizou as formas cursivas desses
algarismos, foi a partir dessa época que houve a utilização da grafia árabe e seus algarismos
começaram a tomar uma forma cursiva que se estabilizou e adquiriu o formato que
conhecemos atualmente (IFRAH, 1997 – 2v, p.473).
8 Renascimento: Designa-se por esse termo o movimento literário, artístico e filosófico que começa no fim do século XIV e vai até o fim do século XVI, difundindo-se da Itália para os outros países da Europa. Durante toda a Idade Média, esse termo significava o retorno do homem a Deus, sua restituição à vida perdida com a queda de Adão. Mas a partir do século XV, essa palavra passa a ser empregada para designar a renovação moral, intelectual e política decorrente do retorno aos valores da civilização em que, supostamente, o homem teria obtido suas melhores realizações: a greco-romana. As características do Renascimento podem ser resumidas como: a) Humanismo, como reconhecimento do valor do homem e crença de que a humanidade se realizou em sua forma mais perfeita na Antigüidade clássica. B) Renovação religiosa, através da tentativa de reatar os laços com uma revelação originária, na qual se teriam inspirado os próprios filósofos clássicos, como os do platonismo (Nicolau de Cusa, Pico della Mirandola, M.Ficino), ou através da tentativa de restabelecer o contato com as fontes originárias do cristianismo, ignorando a tradição medieval, como é o caso da Reforma protestante. C) Renvação das concepções políticas, com o reconhecimento da origem humana ou natural das instituições sociais. d) Naturalismo, como novo interesse pela investigação direta da natureza, tanto na forma do aristotelismo, das manifestações de magia ou da metafísica da natureza (Campanella e Giordano Bruno) quanto na forma das primeiras conquistas da ciência moderna. (Abbagnano, 1999, p.852-3)
20
CAPÍTULO 3: A CRIANÇA, A APRENDIZAGEM E OS NÚMEROS
Dentre alguns estudiosos pesquisados tais como Emilia Ferreiro, Howard Gardner e
Jean Piaget, o que mais se adequou a este estudo foi Vygotsky; posto que segundo nossa
opinião o sócio-interacionismo é uma linha de pensamento que se enquadra nos objetivos
educacionais atuais.
Vygotsky
Lev Semenovith Vygotsky nasceu no dia 17 de novembro de 1896, na cidade de
Orsha, em Bielarus. Seus pais eram de uma família judaica, culta e com boas condições
financeiras. Em 1911, ingressou pela primeira vez em uma instituição escolar, após anos de
instrução com tutores particulares.
Aos 18 anos, matriculou-se no curso de medicina em Moscou, mas acabou cursando a
faculdade de direito. Formou-se em direito em 1917. Lecionou literatura estética e história da
arte e fundou um laboratório de psicologia. Com seu pensamento inovador e sua intensa
atividade, Vygotsky se destacou na área de psicologia. Morreu em 11 de junho de 1934,
vítima de tuberculose.
Vygotsky teve uma vida curta, mas muito intensa. Deixou em seus escritos sobre
educação teorias e pensamentos que discutimos e utilizamos hoje como se tivessem sido
escritos na atualidade, ou seja, são pensamentos e teorias aplicáveis na educação que estamos
vivenciando. Para Vygotsky é de extrema importância a interação social no processo de
construção do conhecimento. Um ambiente social determinado (por exemplo, a escola) e a
relação com o outro (aluno-aluno ou professor-aluno) é essencial para que esse processo
realmente aconteça (OLIVEIRA, 1993, p.38; REVISTA NOVA ESCOLA, 2006, p.59)
O pensamento Vygotskiano acerca da relação professor-aluno e a importância da escola
na construção do conhecimento
O pensamento Vygotskiano sobre o aprendizado se resume na importância da
intervenção pedagógica para os avanços na construção do conhecimento. Segundo Oliveira
(1993, p.38), a cultura não é pensada por Vygotsky como algo pronto, e a vida social é um
21
processo dinâmico, no qual cada sujeito é ativo e nele acontece a interação entre o mundo
cultural e o mundo subjetivo de cada um.
A escola é, ou deveria ser, o lugar onde ocorrem a apropriação e a sistematização do
conhecimento. É nela que a criança deve formalizar os conhecimentos já adquiridos e os que
ainda serão. Ela deve ser, portanto, um ambiente motivador, ou seja, um ambiente em que os
professores e toda a equipe escolar sejam motivadores, capazes de envolver os alunos,
fazendo com que eles se sintam estimulados a participar de todo o processo ensino-
aprendizagem.
Cabe ao professor transformar o conhecimento espontâneo em conhecimento
científico, e é fundamental destacarmos que esse processo deve sempre ser interativo, ou seja,
um processo em que todos devem ter a possibilidade de falar, levantar hipóteses e chegar a
conclusões.
A zona de desenvolvimento proximal, que é a interação de pessoas mais experientes
com pessoas menos experientes é essencial. Posto que é a partir desse processo interativo que
as crianças aprendem como abordar e resolver problemas.
A aprendizagem dos números de forma lúdica
Quando aprendida na prática, a Matemática pode ser divertida e muito natural. Os
jogos, brincadeiras e desafios ajudam as crianças na aprendizagem dos números, e faz com
que elas tenham um momento “mágico” e cheio de descobertas.
De acordo com Gaspar (2004, p.127) “a habilidade das crianças dizerem a seqüência
correta das palavras numéricas é fortemente influenciada pelas oportunidades que lhe são
dadas de aprender e praticar seqüências”.
A capacidade de lidar com a Matemática e pensar objetos totalmente abstratos, como
por exemplo os números, requer da criança construções mentais progressivamente mais
abstratas. Por isso, é importante considerar além dos fatores biológicos, as influências
culturais que podem expandir a capacidade de lidar com a Matemática, e utilizar para o
processo ensino-aprendizado um material de apoio adequado que possa concretizar o que
aparentemente é abstrato para a criança.
A brincadeira descrita a seguir está publicada na revista Guia Prático para
Professoras de Educação Infantil (maio, 2005, p.14) é um exemplo de material de apoio que
pode ser usado para ajudar a criança na construção do conhecimento sobre seqüência de
números e compreensão prática de operações. Nesta brincadeira a intervenção pedagógica
22
acontece de forma prática, o que para Vygotsky é importante que aconteça para que haja
avanços na construção do conhecimento. Nos anexos XII, XIII e XIV, as figuras ajudam a
criança a formar o conceito de quantidade, relacionando-a com um número correspondente.
Pescando números
Espaço → sala de aula.
Material → patinhos feitos em EVA , barbante, varinhas de madeira, clips e uma bacia com
água.
Objetivo → Seqüência de números; compreensão prática de operações; somas, subtrações e
multiplicações de até dois dígitos.
Como jogar:
Os patinhos estão nadando e possuem, em sua base, um número a ser trocado por
palitos.
1. Distribua as varetas para os alunos e deixe que eles pesquem.
2. Quando um aluno conseguir pescar, dê a ele palitos de sorvete de acordo com o número que
está escrito no pé do patinho, contando junto com o aluno o número de palitos entregues.
3. Devolva o patinho na água.
4. Repita o ritual com todos os alunos que conseguirem pescar.
5. Ao final da pescaria, utilize-se ao máximo dos palitos que cada aluno juntou para criar
operações, propondo questões como: Quantos palitos vocês juntaram? Se reunirmos os palitos
de todos, quantos palitos teremos? Se cada um de vocês tivesse pescado o dobro de patinhos,
quantos palitos teriam agora? E se cada um tivesse de dar metade de seus palitos ao colega ao
lado: com quantos palitos ficariam?
No anexo I, segue uma história em quadrinhos, utilizada em uma atividade
desenvolvida pela professora Simone Fonseca da Silva em uma classe de alfabetização no ano
de 2006 no Sesi de Taubaté. A professora contou a história para as crianças e ao final pediu
para que elas continuassem o desenho e a história.
23
CAPÍTULO 4: A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E O ENSINO
O objetivo desse capítulo é verificar como os professores introduzem o assunto
“números” para os alunos e como a presença ou a ausência da disciplina História da
Matemática pode influenciar no ensino e na aprendizagem. O roteiro para essa construção
teve como referência o utilizado por Cobianchi (2001, p.281), em sua Tese de Doutorado em
Educação Matemática, apresentada na Universidade Estadual de São Paulo, em 2001.
Análise da entrevista realizada com os professores
Dos 15 professores entrevistados, 8 concluíram o Ensino Fundamental e Médio em
escolas públicas e 7 em escolas particulares, 8 lecionam em escolas públicas e 7 em escolas
particulares. Desses entrevistados, dois possuem licenciatura plena em Ciências Biológicas
pela Universidade de Taubaté – Unitau; quatro são licenciados em Pedagogia, sendo três pela
Universidade de Taubaté e um pela Universidade Católica de Santos. Um dos entrevistados
não possui formação de nível superior, leciona na Educação Infantil e é formado pela Escola
Anchieta (Taubaté), no curso de magistério. Os outros oito entrevistados são licenciados em
Matemática, sendo cinco formados pela Unitau, um pela Universidade Estadual de São Paulo
(Unesp – Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá), um pela Universidade de Campinas
(Unicamp) e um pela Universidade Federal Fluminense (UFF).
Com relação à pergunta quanto a motivação pela escolha em ser professor de
Matemática, a maioria respondeu que foi por causa da facilidade que sempre teve na área e
pelo incentivo de bons professores. Destacamos alguns depoimentos:
• “Sempre gostei muito da disciplina e tive muita facilidade. Também tive excelentes professores que muito me incentivaram.”
• “Pela facilidade na área de exatas.”
• “Quem me motivou foi um professor do Ensino Médio.”
• “Sempre gostei de Matemática, pois tive bons professores que me transmitiram
essa matéria com boa vontade e clareza.”
• “Ter aptidão desde pequena e bons professores de Matemática.”
24
Um dos professores entrevistados afirmou gostar, ter facilidade e que optou por
licenciatura em Matemática porque pretende seguir carreira acadêmica:
• “Sempre gostei e tive facilidade em Matemática, Física e Química. Minha mãe foi professora e diretora, eu cresci dentro de escolas, brincando de desenhar na lousa. Optei por licenciatura em Matemática porque pretendo seguir carreira acadêmica.”
Um entrevistado, afirma que fez Matemática por questão financeira, mas que hoje se
sente realizado com o que faz:
• “Primeiramente por questão financeira e quando me dei conta percebi que me sentia realizada com o que faço.”
Quando perguntados se a História da Matemática ajudaria o aluno a entender melhor
sobre a criação dos números, todos responderam que sim:
• “Sim. Acredito que o aluno quando tem contato com a história da Matemática compreende sua importância.”
• “Certamente. Tanto que a grande parte dos materiais didáticos atuais faz
referência à história da Matemática. É um assunto cativante, principalmente se o professor demonstrar isso aos alunos.”
• “Sim, é claro! Além de tornar as aulas mais interessantes, mostra o
surgimento dos números e como ele foi usado durante os anos.”
• “Sim, pois os alunos ficam curiosos para saber como surgiu e quem inventou os números.”
• “Com certeza sim. Acredito que ao partir da história da Matemática, o aluno
consegue familiarizar-se com a disciplina e entender melhor os conceitos atuais.”
Todos os entrevistados responderam que usam a História da Matemática antes de
abordarem sobre números com os alunos, a maioria usa o material didático, livros
paradidáticos e pesquisas na internet para tratar do assunto:
• “Livros paradidáticos, pesquisas na internet e revistas.”
25
• “Uso o conteúdo dos livros adotados para a série respectiva e complemento com conhecimentos adquiridos e com pesquisas.”
• “Material didático (apostilas e livros) e pesquisas na internet.”
A respeito da introdução didática para os alunos sobre questões que envolvem
números, a maioria dos professores respondeu que introduz o assunto conversando com os
alunos, pedindo exemplos de como os números aparecem no nosso dia-a-dia e mostrando a
utilidade dos números:
• “Eu tento dar exemplos com situações que eles vivenciam diariamente para que eles percebam que os números estão presentes constantemente em nossas vidas.”
• “Explicando a eles a importância e a presença dos números no nosso
cotidiano.”
• “Através de problemas de fácil visualização, problemas concretos.”
• “Conversando com os alunos e pedindo exemplos de como os números aparecem no dia-a-dia de cada um, e com isto eles passam a entender que os números têm várias utilidades e não só para fazer continhas.”
Somente dois dos entrevistados responderam que usam a história dos números:
• “Faço uma síntese da história do surgimento da contagem e confecção de ábaco com material reciclado.”
• “Na 5ª série eles já chegam com noções importantes a respeito de números, eu
costumo introduzir o assunto contando a história dos números de forma simples e depois fazendo as relações necessárias.”
Em relação a matéria História da Matemática, sete tiveram essa matéria na graduação
e oito não.
Os que tiveram História da Matemática afirmam que foi uma disciplina muito
importante no curso e que ajudou muito na compreensão dos conteúdos e na sua associação
com situações reais:
• “Quando sabemos quando surgiu, porque surgiu e como é aplicado, temos uma visão melhor do assunto a ser abordado.”
26
• “Creio que sua presença facilite a compreensão dos conteúdos e sua
associação com situações reais.”
Os que não tiveram afirmam ter que buscar esse conhecimento em livros e que com o
tempo vão acumulando experiências e buscando informações:
• “Eu tenho que buscar sozinha algumas coisas para que eles possam entender melhor o que eu estou transmitindo.”
• “Acredito que o verdadeiro conhecimento sempre vem com a prática. E, a
medida que a matéria vais sendo dada eu busco em livros uma forma de abordar o assunto.”
Quanto à satisfação sobre a maneira como os livros didáticos abordam a questão
“números”, a maioria dos professores se sentem satisfeitos:
• "É um assunto um pouco abrangente, mas tratando-se de conceitos fundamentais, como sistemas de numeração não tenho muito a criticar. Sempre encontro o que preciso ao preparar minhas aulas nos livros didáticos.”
• “Sim. Há vários livros atuais excelentes que abordam esse tema.”
• “Alguns têm uma linguagem de fácil entendimento e são bons.”
Quando questionados se ocorreram mudanças nas suas justificativas matemáticas com
relação à questão “números”, a maioria respondeu que sim:
• “Sim, pois o ensino evolui muito e exige mudanças no ensino.” • “Sim. No período do ginásio (Ensino Fundamental II), via a Matemática como
algo distante, automático e sem aplicação o cotidiano. Com o passar do tempo, percebi o quanto essa disciplina é fundamental e fácil de ser compreendida, se for bem trabalhada e transmitida.”
• “Sim, a cada ano há novas idéias até porque os cursos de atualização
permitem que eu vá ampliando e tendo um boa visão sobre os números.”
• “Sim, cada vez que aprendo coisas novas acrescento-as em minhas explicações. Desde a graduação já tive oportunidade de enriquecer meus conhecimentos a respeito desse assunto.”
27
• “Sim, a mudança é necessária, pois a partir da experiência vamos tendo uma análise mais correta das justificativas matemáticas.”
• “Sim, fiz vários cursos para renovar o meu conhecimento.”
E finalmente, quando questionados sobre a eficiência da abordagem do tema
“números” nos livros didáticos, seis professores responderam que a abordagem é positiva;
sete responderam que não e dois responderam que é variável.
• “Isso depende da escolha do livro didático. Os livros mais atuais tratam dos números
em forma de histórias, curiosidades, o que é muito válido.”
• “Não, acho que tratam de maneira superficial.”
• “Poderiam ser mais ricos na abordagem desse tema.”
• “Posso responder positivamente em relação aos livros didáticos do Ensino Fundamental. E acho que essa questão tem grande relevância na Educação Infantil, setor em que não tenho experiência.”
• “Nem todos, procuro selecionar.”
28
Análise da entrevista realizada com os alunos
A pesquisa apresentada a seguir foi realizada com alunos de escolas estaduais,
municipais e particulares na cidade de Taubaté – SP. A maioria dos alunos se encontra entre
11 e 12 anos, conforme pode ser constatado na figura 10.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Frequência
11 12 13 14 15
Idade
Figura 10
Com relação ao sexo, 44 % são do sexo feminino e 56% do sexo masculino, o que
pode ser visualizado na figura 11.
44%
56%
Feminino
Masculino
Figura 11
A pesquisa revelou que 14% dos alunos não gostam de estudar Matemática, 40%
gostam e o restante, 46% mais ou menos, o que pode ser mais bem visualizado através da
figura 12.
29
Dos 14% que não gostam de estudar Matemática, 29% acham que o professor deve ser
mais incentivador para que eles possam gostar de Matemática, 29% acham que o uso de jogos
em sala de aula os motivaria mais e ajudaria no gosto pela Matemática, 29% acreditam que as
atividades em grupo seriam um grande incentivo e 13 % consideram a utilização do
computador um grande aliado para o aprendizado da Matemática.
40%
14%
46% Sim
Não
Mais ou Menos
Figura 12
De acordo com a pesquisa feita com os alunos, 42% se interessam pela história da
Matemática, 40% não se interessam e 18% se interessam mais ou menos, o que está
representado na figura 13.
Dos que se interessam ou se interessam mais ou menos, a maior parte tem curiosidade
em saber como os números eram antes de ser como são na atualidade.
42%
40%
18%
Sim
Não
Mais ou Menos
Figura 13
30
Com relação à criação dos números, 77% não sabem por que os números foram
criados, conforme pode ser visualizado na figura 14. Dentre os alunos que não sabem por que
os números foram criados, 78% têm curiosidade em saber sobre a criação dos números.
23%
77%
Sim
Não
Figura 14
31
CONCLUSÃO
A história dos algarismos mesmo sendo descontínua no decorrer da evolução da
humanidade, e muitas vezes mostrada de maneira fragmentada, converge para os algarismos
que utilizamos hoje e para o nosso sistema de numeração de posição que se propagou por todo
o mundo (IFRAH, 1996, p.9).
Podemos perceber pelo que foi descrito na pesquisa que não foi fácil a introdução do
sistema de numeração indo-arábico pelo mundo. Ifrah, (1997-2v, p.459) afirma que houve
grande resistência à iniciativa da introdução do sistema de numeração dos indianos, e que tal
relutância foi devida essencialmente ao conservadorismo dos povos cristãos que se haviam
agarrado, por assim dizer, à numeração e aos métodos romanos de cálculo.
Por causa dessa resistência por parte dos povos cristãos o sistema de numeração dos
indianos ficou por muito tempo tendo uma utilização muito primitiva na Europa. Foi com o
Renascimento europeu que o sistema se estabilizou e adquiriu o formato que conhecemos
atualmente.
Ao ensinar sobre os números, os professores devem ter um estudo bem aprofundado a
respeito do assunto e perceber que o ensino dos números deve ser feito em contato com a
construção do conceito de números ao longo da história e em contato com a sociedade, já que
segundo Vygotsky na “ausência do outro, o homem não se constrói homem”(REVISTA
NOVA ESCOLA, 2006, p.58).
Não podemos pensar que ensinar números para uma criança seja uma tarefa fácil,
muito pelo contrário, consideramos que o professor necessita do conhecimento da História da
Matemática, e conseqüentemente da história dos números para ensinar de maneira mais
eficaz.
Podemos perceber através da pesquisa feita com os professores que muitas vezes a
escolha pela profissão pode interferir diretamente no aprendizado dos alunos. Existe uma
diferença muito grande na maneira de ensinar de uma pessoa que sempre sonhou em ser
professor e de uma pessoa que optou por essa profissão por não ter outra escolha.
A partir dos questionários aplicados, foi possível constatar que a História da
Matemática é uma disciplina muito importante, pois de acordo com a opinião dos
entrevistados ela ajuda na compreensão dos conteúdos e os associa a situações reais.
Constatamos que os professores que não tiveram essa disciplina na graduação se sentem
muitas vezes inseguros, precisam buscar em livros ou em especializações voltadas para
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Matemática os conhecimentos necessários para que se sintam seguros em discussões e
procedimentos didáticos sobre o assunto.
Não questionamos a necessidade e o mérito das especializações, mas julgamos que é
uma falha muito grande por meio das Universidades a falta dessa disciplina em um curso de
graduação em Matemática.
Dentre os professores entrevistados mais da metade não teve a disciplina História da
Matemática no seu curso de graduação, e com certeza essa falta influencia muito na
aprendizagem dos alunos, pois ensinamos melhor aquilo que mais vivenciamos.
A maioria dos professores afirma estar satisfeitos com a maneira como os livros
didáticos abordam questões sobre a História da Matemática, mas não se pode concluir se essa
satisfação é real, ou seja, se os livros didáticos realmente abordam bem os assuntos
relacionados a História da Matemática, ou se os professores, por falta de conhecimento
(principalmente a falta da disciplina na graduação), não conseguem perceber falhas que
ocorrerem nestes livros.
Um dado muito importante constatado foi que, mesmo não tendo História da
Matemática na graduação todos os professores usam a História da Matemática antes de
abordar o tema “números” com os alunos.
Na pesquisa realizada com os alunos constatamos que a falta da aprendizagem de
forma lúdica leva os alunos a não gostar muito de Matemática. Dentre os alunos que não
gostam de estudar essa disciplina, percebemos que a maioria deles acha que o professor deve
ser mais motivador e usar outros meios para ensinar (como jogos em sala de aula e atividades
em grupo). Um dado muito intrigante foi que poucos deles acreditam que o computador pode
ser um aliado na Matemática, talvez por não conseguirem relacionar a aprendizagem da
Matemática com o uso de computadores.
Constatamos também que a maioria dos alunos entrevistados se interessa pela História
da Matemática, mas não sabem por que os números foram criados. Talvez isso demonstre o
quanto a falta de um maior conhecimento sobre a História da Matemática pode acarretar em
todo o processo ensino-aprendizagem.
A nossa opinião acerca da importância da História da Matemática é reforçada com o
conteúdo publicado nos Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, p.42), “a História da
Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e
aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como uma criação
humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes
momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos
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matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno
desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento”.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 2003. BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática/Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998. CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Livraria Sá da Costa Editora, 1984. COBIANCHI, Antonio Sérgio. História da Matemática. Apostilas do 6º Curso de Especialização em Matemática, Lorena, 2006. COBIANCHI, Antonio Sérgio. Estudos de continuidade e números reais: Matemática, descobertas e justificativas de professores. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, Departamento de Matemática, UNESP – Rio Claro, 2001. DANTZIG, Tobias. Número: A Linguagem da Ciência. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1970. DEVLIN, Keith. O Gene da Matemática: O talento para lidar com os números e a evolução do pensamento matemático. Rio de Janeiro: Record, 2005. GASPAR, Maria Filomena R. da F. Aprender a contar, aprender a pensar: as seqüências numéricas da contagem abstracta construídas por crianças portuguesas em idade pré-escolar. In Análise Psicológicas, março 2004, vol 22, nº1, p. 119-138. GUIA PRÁTICO PARA PROFESSORAS DE EDUCAÇÃO INFANTIL. São Paulo: Lua das Artes, n.28, maio 2005. GUNDLACH, Bernard H. História dos números e numerais. São Paulo: Atual, 1992. IFRAH, Georges. Os números: história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 1996. IFRAH, Georges. História universal dos algarismos. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997 – 2v.
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KARLSON, Paul. A magia dos números. Rio de Janeiro: Globo, 1961. OLIVEIRA, Martha Kohl de. Vygotsky: Aprendizado e desenvolvimento um processo sócio-histórico. São Paulo: Scipione, 1993. REVISTA NOVA ESCOLA. São Paulo: Abril, edição especial, agosto 2006. TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois: a construção da Matemática. São Paulo, 1997.
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ANEXO I
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ANEXO II
Questionário da entrevista feita com os professores
1. Dados Pessoais
Nome:
Faculdade onde concluiu a graduação ou escola em que concluiu o magistério:
Ano de conclusão: Séries em que leciona:
Você concluiu o E.F. e E.M. em escola:
( ) Pública ( ) Particular
2. Qual foi seu incentivo para sua escolha como professor (a)? (Se for professor (a) de
matemática: o que o incentivou a fazer o curso de licenciatura matemática?)
3. Em sua opinião, a história da matemática ajudaria o aluno a entender melhor sobre a
criação dos números? Justifique.
4. Você usa história da matemática antes de falar sobre números com os alunos?
( ) Sim ( ) Não
Se a resposta for sim, qual o material usado para falar da história dos números para os alunos?
Se for negativa, porque não utiliza deste recurso didático?
5. Como você introduz didaticamente para seus alunos as questões que envolvem números?
6. No seu curso de graduação ou magistério, você teve a matéria história da matemática?
( ) Sim ( ) Não
7. Como a presença ou a ausência da disciplina história da matemática afetou a sua atividade
didática neste assunto?
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8. Na sua compreensão, é satisfatória a maneira como os livros didáticos abordam a questão
números? Justifique.
9. Desde a época que você cursou a Universidade ou o Magistério até hoje, ocorreram
mudanças nas suas justificativas matemáticas com relação à questão números? Justifique.
10. Em sua opinião, os livros didáticos tratam da maneira correta o tema números?
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ANEXO III
Questionário da entrevista feita com o aluno
1. Idade:
2. Sexo:
( ) feminino ( ) masculino
3. Você gosta de estudar matemática?
( ) sim ( ) não ( ) mais ou menos
Se a resposta for não, o que você acha que o levaria a gostar de matemática?
( ) o professor ( ) atividades em grupo
( ) o uso de jogos nas aulas ( ) utilização do computador
4. Você se interessa pela história da matemática?
( ) sim ( ) não ( ) mais ou menos
Se a resposta for sim ou mais ou menos, qual assunto da história da matemática que você mais
se interessa?
5. Você sabe por que os números foram criados?
( ) sim ( ) não
Se a resposta for não: você tem curiosidade sobre a criação dos números?
( ) sim ( ) não
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ANEXO IV
Especialistas de cálculo com o ábaco de peças efetuando suas operações aritméticas. Segundo uma ilustração do século XV. Ref. W. de Beauclair
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ANEXO V
Detalhe de uma página do Codex Vigilanus. Datado de 976 e proveniente da Espanha
setentrional.Esse manuscrito constitui a primeira menção conhecida do uso dos nove
algarismos de origem indiana na Europa ocidental. Bibl. San Lorenzo Del Escorial. MS lat.
D. I. 2. f o 9v. Ref. Burnam, II, PR:XXIII.
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ANEXO VI
Os algarismos e o zero num manuscrito latino do século XIII. BN, Paris. MS. Lat. 7413, 11ª
parte, f o 36v. Escola de Chartres. Fac-súmile,AF 1.113
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ANEXO VII
Os algarismos e a imprensa desde o século XV. Ref. J. Peignot.
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ANEXO VIII
O cálculo escrito com algarismos “arábicos”. Segundo uma ilustração européia do século
XV. Palácio da Descoberta, Paris.
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ANEXO IX
A querela entre os abacistas (à esquerda) e os algoristas (à direita). Segundo uma ilustração
da obra The Ground of Artes (“Memória sobre as artes liberais”) do matemático inglês
Robert Recorde (1510-1558).
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ANEXO X
Gravura em madeira ornando a Margarita Philosophica de Gregorius Reisch (Ed. Freiburg,
1503). Senhora Aritmética (simbolizada pela mulher de pé no centro da gravura) decide o
debate: a querela dos abacistas e dos algoristas não terá mais sentido doravante. A
aritmética olha na direção do calculador que efetua suas operações com o zero e os
algarismos “arábicos” (algarismos de que seu vestido está ornado).
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ANEXO XI
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ANEXO XII
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ANEXO XIII
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