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NÚMEROS RACIONAIS
Professor: Carlos
O que são?
O conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de números inteiros a e b, em que b é não nulo. O uso da letra "Q" é derivado da palavra latina quotiē(n)s, cujo significado é quantas vezes .
N = conjunto dos números naturais Z = conjunto dos números inteiros Q = conjunto dos números racionais
Você já ouviu dizer que toda fração é uma divisão? Pois então, se temos
uma fração do tipo ½ , nós podemos representá-la como 0,5, já que, ao
dividirmos o numerador 1 pelo denominador 2, obtemos o quociente 0,5.
Portanto, podemos afirmar que os decimais e as frações são alternativas
para representar um mesmo número racional.
Exemplos de números inteiros expressos como decimais:
3 = 0,75 12 = 2,4 – 16 = – 8
4 5 2
Exemplos de números racionais
Números Inteiros
Números Decimais Exatos
Números Decimais com infinitas ordens decimais (dízimas periódicas)
Números irracionais
Podemos falar que os números irracionais são aqueles que, em sua
forma decimal, são números decimais infinitos e não periódicos. Em
outras palavras, são aqueles números que possuem infinitas casas
decimais e em nenhuma delas obteremos um período de repetição.
O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I (i
maiúscula).
Números irracionais obtidos pela raiz quadrada de um número:
√2 = 1,4142135623730950488016887242097...
√3 = 1,7320508075688772935274463415059...
Constantes irracionais ou números transcendentais:
π = 3,1415926535897932384... (Número pi, constante de Arquimedes)
φ = 1,61803398874989... (número áureo ou número de ouro)
e = 2,7182818... (Constante de Euler)
Esses são os números irracionais, cujo valor da última casa decimal
nunca saberemos.
As representações dos números racionais são
trabalhadas a partir do 4º ano do ensino
fundamental.
Representação decimal: números decimais (números
com vírgula)
Representação fracionária: frações
No 4º e 5º ano
Representação Geométrica
Conjunto dos Números Racionais
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos
5,15
4...25,0
3
1
4
5
2
7...1...0
Conjunto dos Números Racionais
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos
Imagem: Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU Lesser General Public
License
Entre dois números
racionais existem
infinitos outros
números racionais.
5,15
4...25,0
3
1
4
5
2
7...1...0
Conjunto dos Números Racionais
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos
Recorde
Os termos de uma fração são:
numerador
denominador 7
3
As operações envolvendo frações são
fundamentais para a resolução de diversos
problemas da Matemática e das demais ciências.
É importante saber adicionar, subtrair,
multiplicar e dividir esses números que são tão
comuns em nosso cotidiano. A potenciação e a
radiciação de frações são outras duas operações
importantes envolvendo os números racionais
(frações), mas que ainda provocam várias
dúvidas em muitos estudantes.
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos
POTENCIAÇÃO
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos
Veremos como
efetuar essas
operações e acabar
solucionando as
dúvidas existentes.
Potenciação de Números Racionais
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos
Imagem: David Vignoni, modifications by DaniDF1995 / GNU Lesser General Public License
Com expoentes
inteiros não
negativos
Potenciação de Números Racionais
A definição da potenciação de números racionais
com expoentes inteiros positivos é a mesma das
potências de números inteiros.
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos
Potenciação de Números Racionais
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos
Para todo número racional a e
número inteiro n, sendo n > 1,
definimos:
expoente
base fatores
...
n
aaaa na
Conjuntos dos números racionais relativos
Potenciação de números racionais
A definição da potenciação de números racionais
com expoentes inteiros positivos é a mesma das
potências de números inteiros.
Potenciação de Números Racionais
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos
Imagem: Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU Lesser General Public
License
Sabemos que a multiplicação de
frações é feita multiplicando
numerador com numerador e
denominador com denominador.
Assim, segue que:
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
an
...
Potenciação de números Racionais
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos
Imagem: Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU Lesser General Public
License
n
nn
b
a
b
a
Note que a potenciação de
frações é feita elevando o
numerador e o denominador ao
expoente n.
2. Exemplos de Aplicação de
Potência
Exemplo 1. Calcule o valor de cada uma das seguintes
potências.
16
9
4
3
4
3 a)
2
22
625
16
5
2
5
2 b)
4
44
243
1
3
1
3
1 c)
5
55
Exemplo 3. Calcule o valor de cada uma das seguintes
potências.
11
1
100
9
100
79 a)
0
00
11
1
3
2
3
2 b)
0
00
11
1
23
19
23
19 c)
0
00
RADICIAÇÃO
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos
Imagem: David Vignoni, modifications by DaniDF1995 / GNU Lesser General Public License
Veremos como
efetuar essas
operações e acabar
solucionando as
dúvidas existentes.
Radiciação
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos
Imagem: David Vignoni, modifications by DaniDF1995 / GNU Lesser General Public License
Para realizar a
radiciação de frações,
utilizaremos os
mesmos conceitos da
potenciação.
Radiciação de Números Racionais
Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos
Imagem: Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU Lesser General Public
License
Considerando uma fração do
tipo , com b ≠ 0, a raiz de
índice n de uma fração é dada
por:
b
a
n
n
n
b
a
b
a
3. Exemplos de Aplicação de
Radiciação
Exemplo 1. Calcule o valor de cada uma das seguintes
raízes.
6
5
36
25
36
25 a)
3
2
27
8
27
8 b)
3
3
3
4. Exercícios de Aplicação
1. Escreva na forma de potência os seguintes produtos:
5,85,85,85,8 a)
4
3
4
3 b)
2. Na potenciação, quando elevamos um número racional a
um determinado expoente, estamos elevando o numerador e
o denominador a esse expoente. Calcule o valor das
potências:
2
2
5
a)
3
9
7
b)
03
9
7
5
3
c)
3. Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um
número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador
e ao denominador. Calcule o valor das raízes:
64,17a)
44,1b)
36
25c)
5. Maria pintou 1/4 de um quadro, João também pintou 1/3
e Pedro pintou 1/5 restante. Calcule, a quantidade que os 3
pintaram juntos.