NMF105 - Notas de Aula - Rev8

NMF105

Algebra Linear Notas de aula

2010-rev1

Prof. Fabio Lacerda Prof. Emerson Costa

Prof. Ronaldo Pimentel

ÍNDICE UNIDADE 1 – MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES .................................. 1

1.1 INTRODUÇÃO..................................................................................................................................... 1

1.2 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZ ............................................................................................................. 2

1.2.1 Matriz quadrada .......................................................................................................................... 2

1.2.2 Matriz nula .................................................................................................................................. 2

1.2.3 Matriz coluna ............................................................................................................................... 2

1.2.4 Matriz linha.................................................................................................................................. 2

1.2.5 Matriz diagonal ............................................................................................................................ 2

1.2.6 Matriz identidade ........................................................................................................................ 3

1.2.7 Matriz triangular .......................................................................................................................... 3

1.2.8 Matriz triangular .......................................................................................................................... 3

1.2.9 Matriz simétrica ........................................................................................................................... 3

1.3 OPERAÇÕES BÁSICAS COM MATRIZES .............................................................................................. 4

1.3.1 Adição .......................................................................................................................................... 4

1.3.2 Multiplicação ............................................................................................................................... 5

1.3.3 Transposição ................................................................................................................................ 6

1.4 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ......................................................................................................... 8

1.5 OPERAÇÕES ELEMENTARES COM LINHAS DE MATRIZ .................................................................... 11

1.6 MATRIZ INVERSA ............................................................................................................................. 12

1.6.1 Cálculo da matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan ......................................................... 13

1.7 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ................................................................................................ 14

1.7.1 Definições básicas ..................................................................................................................... 14

1.7.2 Método de Gauss ...................................................................................................................... 15

1.7.3 Usando matriz inversa ............................................................................................................... 17

LISTA DE EXERCÍCIOS 1 ............................................................................................................................ 18

UNIDADE 2 – DETERMINANTES ............................................................................................ 27

2.1 DETERMINANTE ............................................................................................................................... 27

2.2 MENOR COMPLEMENTAR ................................................................................................................ 29

2.3 COFATOR ou COMPLEMENTO ALGÉBRICO ...................................................................................... 30

2.4 DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE (GERAL) .......................................................................................... 30

2.5 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES ............................................................................................ 33

2.6 CÁLCULO DE DETERMINANTES (REGRA DE CHIÓ) ............................................................................ 34


UNIDADE 3 – ESPAÇOS VETORIAIS ...................................................................................... 40

3.1 ESPAÇOS VETORIAIS REAIS ............................................................................................................... 40

3.2 SUBESPAÇOS VETORIAIS REAIS ........................................................................................................ 43

3.3 COMBINAÇÃO LINEAR ...................................................................................................................... 46

3.4 ESPAÇOS GERADOS .......................................................................................................................... 51

3.5 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ....................................................................................... 55

3.6 BASES E DIMENSÃO .......................................................................................................................... 62

3.6.1 Base de um Espaço Vetorial ...................................................................................................... 62

3.6.2 Dimensão de um Espaço Vetorial .............................................................................................. 71

3.7 MUDANÇA DE BASE .......................................................................................................................... 75


UNIDADE 4 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES ................................................................... 91


BIBLIOGRAFIA E REFERÊNCIAS ........................................................................................... 96

NMF105 – Notas de aula 1

NMF105 – ALGEBRA LINEAR Prof. Emerson Costa (responsável pela disciplina) Prof. Fabio Lacerda ([email protected])

UNIDADE 1 – MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARE S Notas de Aula

11..11 IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Sua utilização passa a ser indispensável quando o número de variáveis e observações em um problema torna-se muito grande. Por exemplo, seja a composição de uma carteira de ações e a sua evolução ao longo do primeiro semestre:

Movimentação (em número de ações)

Ação Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun

PETR4 (Petrobras) 200 262 180 85 0 167 VALE5 (Vale) 0 0 343 203 150 110 USIM5 (Usiminas) 50 0 162 215 400 300 GVTT3 (GVT) 0 160 40 0 420 480

Poderia ser abstraída para:

Generalizando, tem-se:

�� = �� ⋯ �� ⋯ ��⋮ ⋮ ⋱ ⋮�� ⋯ ��

� = [��]� � �


11..22 TTIIPPOOSS EESSPPEECCIIAAIISS DDEE MMAATTRRIIZZ

1.2.1 Matriz quadrada � O número de linhas é igual ao número de colunas (m = n).

Exemplos:

�� = � 2 −7 8

5 3 5

−1 2 4

� ∴ �� = �2� ∴ �� = �1 2

3 4

1.2.2 Matriz nula � Todos os elementos da matriz são nulos (�� para todo i e j).

Exemplos:

�� = �0 0 0 0

0 0 0 0 ∴ �� = �0� ∴ �� = �0 0

0 0

0 0

�

1.2.3 Matriz coluna � Possui uma única coluna (n=1).

Exemplos:

�� = � 1

−2

3

� ∴ �� = �0 ∴ �� = �2� �

1.2.4 Matriz linha � Possui uma única linha (m=1).

Exemplos: �� = �1 −2 3� ∴ �� = �0 � ∴ �� = � 2 � �

1.2.5 Matriz diagonal � Matriz quadrada (m=n) onde �� = 0 para � ≠ �. Ou seja, todos os

elementos fora da diagonal principal são nulos.

Exemplos:

�� = �2 0

0 0 ∴ �� = �1 0 0

0 −5 0

0 0 �� ∴ �� = �1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 4

�


1.2.6 Matriz identidade � Representada por I, matriz quadrada (m=n) onde �� = 1 para

� = � e �� = 0 para � ≠ �. Ou seja, possui “1” na diagonal

principal e “0” para todas as outras entradas.

Exemplos:

�� = �1 0

0 1 ∴ �� = �1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

� ∴ �� = �1 0 0

0 1 0

0 0 1

�

1.2.7 Matriz triangular � Matriz quadrada (m=n) onde �� = 0 para � > �.

Exemplos:

�� = �1 1

0 1 ∴ �� = �1 0 0

0 0 −2 2

0 0 0 0

0 0 0 1

� ∴ �� = �0 0 −4

0 � 0

0 0 1

�

1.2.8 Matriz triangular � Matriz quadrada (m=n) onde �� = 0 para � < �.

Exemplos:

�� = �1 0

1 0 ∴ �� = � 0 0 0 0

0 0 0 0

10 −2 0 0

5 � 0 0

� ∴ �� = � 2 0 0

−1 4 0

3 � 1�

1.2.9 Matriz simétrica � Matriz quadrada (m=n) onde �� = �� .

Exemplos:

�� = �0 7

7 0 ∴ �� = � 1 −4 0

−4 5 0

0 0 �� ∴ �� = �� ℎ ��


1.2.10 Matriz anti-simétrica � Matriz quadrada (m=n) onde �� = −�� para � ≠ � e

�� = 0 para � = �.

Exemplos:

�� = �0 −7

7 0 ∴ �� = � 0 4 0

−4 0 1

0 −1 0

� ∴ �� = � 0 −� � �� 0 � −�−� −� 0 −�−� � � 0

�

11..33 OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS BBÁÁSSIICCAASS CCOOMM MMAATTRRIIZZEESS

1.3.1 Igualdade � Duas matrizes são consideradas iguais quando elas possuem as mesmas

dimensões (�� = �� ) e seus elementos correspondentes são iguais

(�� = ��)

Exemplo:

Considere as matrizes

� = �1 −1

2 3 , � = �1 −1 0

2 3 0 , � = �1 � 3

� � � = � 1 −1

−2 3

• �� e �� não não iguais porque não possuem as mesmas

dimensões;

• �� e �� não não iguais porque �� = 2 e �� = −2 (não não

iguais);

• Se � = � então = −1 e � = 2.

1.3.2 Adição � a soma de duas matrizes de mesma ordem (�� = �� ) é representada

por “ A+B ”, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de

A e B. Ou seja,


� + � = � �� + �� + �� ⋯ �� + �� + �� + �� ⋯ �� + ��⋮ ⋮ ⋱ ⋮�� + �� + �� ⋯ �� + ��

�

Exemplos:

�1 −1

2 3 + �0 4

3 −3 = �1 3

5 0 ∴ �1 2

3 4

5 6

� + � 7 8

9 10

11 12

� = � 8 10

12 14

16 18

�

∴ �2 −3� + �� −1 0� = �2 + � − 1 −3�

Propriedades:

i) A + B = B + A (comutatividade)

ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)

iii) A + 0 = A , onde “0” é uma matriz nula

1.3.3 Multiplicação � representada por “ k.A ”, é obtida multiplicando-se A por k. Ou seja,

�� = �� ⋯ �� ⋯ ��⋮ ⋮ ⋱ ⋮�� ⋯ ��

�

Exemplos:

�� = −3 � � = � 0 −1 2

2 4 1

−1 3 −2

� �� = −3. � 0 −1 2

2 4 1

−1 3 −2

� = � 0 3 −6

−6 −12 −3

3 −9 6

�

�� = � � = � 0 − 2

0 2 1

−1 0 −2

� �� = . � 0 − 2

0 2 1

−1 0 −2

� = � 0 −� 20 2�

− 0 −2�


Propriedades:

i) k.(A + B) = kA + kB

ii) (k1 + k2).A = k1 A + k2 A

iii) 0.A = 0, onde o primeiro “ 0 ” é um escalar e o segundo é uma matriz nula

iv) k1 ( k2 A) = (k1 k2 )A

1.3.4 Transposição � representada por “ �� ” ou por “�� ”, é obtida quando as linhas de A

passam a ser colunas de B (= ��). Ou seja, �� = ��.

Exemplos:

� = �0 −1 �2 4 8

� � �

� � = � 0 2

−1 4� 8��

� = ! 2

−1"� � �

� � = � 2 −1��

Propriedades:

i) Uma matriz (A) é simétrica somente se � = ��

ii) �� = � �� (��)� = �

iii) (� + �)� = �� + ��

iv) (�)� = ��

Exemplo 1: Sendo � = �−3 0 2

0 4 −6

−7 1 1

�, calcule 2�

Solução:

2. �−3 0 2

0 4 −6

−7 1 1

� = �2. #−3$ 2.0 2.2

2.0 2.4 2. #−6$2. #−7$ 2.1 2.1

� = � −6 0 4

0 8 −12

−14 2 2

� Conclusão: 2� = −6 0 4

0 8 −12−14 2 2

�


Exemplo 2: Sendo � = � 1 2 3

−2 0 4

−3 0 2

�, calcule 2�

Solução:

2. � 1 2 3

−2 0 4

−3 0 2

� = 2. �1 −2 −3

2 0 0

3 4 2

� = �2.1 2. #−2$ 2. #−3$2.2 2.0 2.0

2.3 2.4 2.2

� = �2 −4 −6

4 0 0

6 8 4

�

Conclusão: 2� = �2 −4 −6

4 0 0

6 8 4

�

Exemplo 3: Dadas � = �−3 0 2

0 4 −6

−7 1 1

�, � = � 2 4 6

6 4 2

−3 −4 0

� e � = � 1 2 3

−2 0 4

−3 0 2

�, calcule X

para % − &' = ( − &)�

Solução 1:

* − 2� = � − 2� ⇨ * = � − 2� + 2�

aproveitando os cálculos dos exemplos 1 e 2, tem-se,

* = � 2 4 6

6 4 2

−3 −4 0

� + �−2 +4 +6

−4 0 0

−6 −8 −4

� + � −6 0 4

0 8 −12

−14 2 2

� ⇨

* = � 2 − 2 − 6 4 + 4 + 0 6 + 6 + 4

6 − 4 + 0 4 − 0 + 8 2 − 0 − 12

−3 − 6 − 14 −4 − 8 + 2 0 − 4 + 2

� ⇨


* = � −6 8 16

2 12 −10

−23 −10 −2

�

Solução 2:

De forma mais direta, tem-se * − 2� = � − 2� ⇨ * = � − 2� + 2�

* = � 2 4 6

6 4 2

−3 −4 0

� − 2. �1 −2 −3

2 0 0

3 4 2

� + 2. �−3 0 2

0 4 −6

−7 1 1

� ⇨

* = � 2 − 2.1 + 2. #−3$ 4 − 2. #−2$ + 2.0 6 − 2. #−3$ + 2.2

6 − 2.2 + 2.0 4 − 2.0 + 2.4 2 − 2.0 + 2. #−6$−3 − 2.3 + 2. #−7$ −4 − 2.4 + 2.1 0 − 2.2 + 2.1

� ⇨

* = � −6 8 16

2 12 −10

−23 −10 −2

�

Conclusão: * − 2� = � − 2� ⇨ * = � −6 8 16

2 12 −10

−23 −10 −2

�

11..44 MMUULLTTIIPPLLIICCAAÇÇÃÃOO DDEE MMAATTRRIIZZEESS

O produto de duas matrizes A e B, denotado por “AB”, só é possível se o número de colunas de

A for igual ao número de linhas de B. Cada elemento resultante ij é obtido pelo produto da

linha i de A pela coluna j de B. Ou seja, se � = ��,

�� = �� + �� + ⋯ + �� = +��

��

Assim, por exemplo, ��.�� = �� ∴ ��.�� = ��

��.�� = �� ∴ ��.�� = ��


Propriedades:

i) �� = �� = �

ii) �� ≠ �� (�, �� -)

iii) �#� + �$ = �� + ��

iv) #� + �$� = �� + ��

v) #��$� = �(��)

vi) (��) = ��

vii) 0.� = 0 � �. 0 = 0

Exemplo 1: Resolver ��, onde ��

�� . �� = �(�� + �� + ��) (�� + �� + ��)

(�� + �� + ��) (�� + �� + ��)�

Exemplo 2: Resolver � = ��, onde � = �1 3

2 −1 � � = �2 0 −4

5 −2 6

� = �1 3

2 −1 . �2 0 −4

5 −2 6 =

� (1.2 + 3.5) (1.0 + 3. (−2)) (1. #−4$ + 3.6)

(2.2 + #−1$. 5) (2.0 + #−1$. (−2)) (2. #−4$ + #−1$. 6)� =

� � = �17 −6 14

−1 2 −14

Dicas: é comum, enquanto não se pratica bastante o produto entre matrizes, que se faça confusão com a

posição certa de cada um dos elementos da matriz resultante. Para se minimizar erros por falta

de atenção, vale a pena realizar um “double check” usando a própria matriz resultante para

validação do resultado. Em primeiro lugar, deve-se checar se a dimensão da matriz está correta

(por exemplo, o produto entre matrizes ��.�� deve ter como resultado uma matriz com

dimensão “ ��”). Além disso, observe que, para o caso da matriz C do exemplo 2, os elementos

resultantes em C são definidos de acordo com a posição da linha da matriz A e a posição da

coluna da matriz B. Assim,


Exemplo 3: Encontrar x e y sabendo que �� = �. � e � = � −4

2 −3 �� = �.� = � −4

2 −3 . � −4

2 −3 = � (. + (−4).2) . #−4$ + (−4). (−3)

(2. + #−3$. 2) 2. (−4) + #−3$. (−3)�

� �� = �(� − 8) (8)

(−4) (9� − 8)�

Como �. � = �. �1 0

0 1 = �� 0

0 ��, então �(� − 8) (8)

(−4) (9� − 8)� = �� 0

0 ��

Assim, . � − 8 = �8 = 0

−4 = 0

9� − 8 = �/ Resolvendo o sistema, encontra-se = 0 � � = −8.

Exemplo 4: Encontrar a movimentação financeira mensal (em valor presente) de uma carteira

de ações a partir do valor atual de cada ação e da tabela que mostra a

movimentação dessa carteira, em número de ações (exemplo dado no item 1.1).

Para isso, sabe-se que:

Ação Valor presente

PETR4 (Petrobras) R$33,80 VALE5 (Vale) R$42,74 USIM5 (Usiminas) R$46,15 GVTT3 (GVT) R$56,45

Ou seja, � = �200 262 180 85 0 167

0 0 343 203 150 110

50 0 162 215 400 300

0 160 40 0 420 480

� e � = �33,80

42,74

46,15

56,45

� (matriz A extraída do item 1.1)

Como ∄ ��.��, pode-se fazer �� .��. Logo, �� = ��

� .��


= [�33,80.200 + 0 + 46,15.50 + 0� �33,80.262 + 0 + 0 + 56,45.160�

�33,80.180 + 42,74.343 + 46,15.162 + 56,45.40� �33,80.85 + 42,74.203 + 46,15.215 + 0� �0 + 42,74.150 + 46,15.400 + 56,45.420�

(33,80.167 + 42,74.110 + 46,15.300 + 56,45.480)]

= �9067,50 17887,60 30478,12 21471,47 48580 51287�

Ou seja,

Movimentação (em valor presente)

Jan Fev Mar Abr Mai Jun

R$9.067,50 R$17.887,60 R$30.478,12 R$21.471,47 R$48.580,00 R$51.287,00

11..55 OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS EELLEEMMEENNTTAARREESS CCOOMM LLIINNHHAASS DDEE MMAATTRRIIZZ Uma matriz elementar é obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz identidade.

i) Troca de ordem de duas linhas da matriz (exemplo 1);

ii) Multiplicação de uma linha da matriz por uma constante diferente de zero (exemplo 2);

iii) Substituição de uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante diferente de zero (exemplo 3).

Exemplo 1: � →�� →� →

1 0 00 1 00 0 1

� ⇨ 01 ↔ 02 ⇨ 0 1 01 0 00 0 1

�

Exemplo 2: � →�� →� →

1 0 00 1 00 0 1

� ⇨ 03 = −403 ⇨ 1 0 00 1 00 0 −4

�

Exemplo 3: � →�� →� →

1 0 00 1 00 0 1

� ⇨ 02 = 02−203 ⇨ 1 0 00 1 −20 0 1

�

Exemplo 4: �1 0 0

0 1 0

0 0 1

� ⇢ 0� = 30�0� ↔ 0� ⇢ �3 0 0

0 0 1

0 1 0

� ⇢0� = 0�−40�0� = 0�+30� ⇢ � 3 0 0

9 0 1

−12 1 0

�


Exemplos de operações possíveis:

Exemplos de operações que NÃO são possíveis:

11..66 MMAATTRRIIZZ IINNVVEERRSSAA

Uma matriz quadrada (m=n) A é chamada inversível se existe uma matriz B tal que �� = �� = � Nesse caso, a matriz inversa de A é indicada por ��. Ou seja, �.�� = ��.� = �.

Exemplo: encontrar a inversa da matriz � = �2 3

1 4

�2 3

1 4 . �� = �1 0

0 1 � �2� + 3� 2� + 3�� + 4� � + 4� = �1 0

0 1 � .2� + 3� = 1� + 4� = 0

2� + 3� = 0� + 4� = 1

/ �

� = 451 ∴ � = −3

51 ∴ � = −151 ∴ � = 2

51

�� = � 451 −3

51−1

51 251 �


1.6.1 Cálculo da matriz inversa pelo método de Gau ss-Jordan

Se uma matriz A pode ser reduzida à matriz identidade por uma sequência de operação elementares com linhas, então A é inversível e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz identidade aplicando-se a mesma sequência de operações com linhas. �� ⋮ �� → (� ⋮ ��)

Exemplo: Achar a inversa da matriz � = �−1 2 1

1 2 1

−1 2 3

�

�� ⋮ �� = −1 2 1 ⋮ 1 0 01 2 1 ⋮ 0 1 0

−1 2 3 ⋮ 0 0 1� ⇢ 01 ↔ 02 ⇢ 1 2 1 ⋮ 0 1 0

−1 2 1 ⋮ 1 0 0−1 2 3 ⋮ 0 0 1

�

⇢ 0� = 0� + 0� ⇢

⇢ 0� = 0� + 0� ⇢�1 2 1 ⋮ 0 1 0

0 4 2 ⋮ 1 1 0

0 4 4 ⋮ 0 1 1

�

⇢ 0� =1

40� ⇢ �1 2 1 ⋮ 0 1 0

0 1�

�⋮

�

�

�

�0

0 4 4 ⋮ 0 1 1

�

⇢ 0� = 0� − 20� ⇢

⇢ 0� = 0� − 40� ⇢�1 0 0 ⋮ �

�

�

�

�0

0 1�

�⋮

�

�

�

�0

0 0 2 ⋮ −1 0 1

�

⇢ 0� =1

20� ⇢ 233

341 0 0 ⋮ ��

�

�

�0

0 1�

�⋮

�

�

�

�0

0 0 1 ⋮ ��

�0

�

�56667

⇢ 0� = 0� −1

20� ⇢ 233

341 0 0 ⋮ ��

�

�

�0

0 1 0 ⋮�

�

�

�−

�

�

0 0 1 ⋮ ��

�0

�

� 56667

� �� = ��

�

�

�0

�

�

�

�−�

�

��

�0 �

�

� Observação: Se |�| = 0, então A não é inversível. Além disso, lembre-se que |�| =

�

|��|. Essa

informação poderá ajudar a validar se o cálculo da matriz inversa foi realizado corretamente.


11..77 SSIISSTTEEMMAASS DDEE EEQQUUAAÇÇÕÕEESS LLIINNEEAARREESS 1.7.1 Definições básicas

Um sistema de equações lineares com “m” equações e “n” incógnitas é um conjunto de equações do tipo:

� �� + �� + ⋯ + �� = �� + �� + ⋯ + �� = �� ⋮ ⋮ ⋮ ⋮�� + �� + ⋯ + �� = ��

� Pode ser escrita numa forma matricial:

Sendo definida �� ⋯ �� ⋯ �� ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮�� ⋯ �� como a “matriz ampliada do sistema”.


Exemplo: 8 2� + � = 3� − 4� = −1

/ �2 1

1 −4 . �� = � 3

−1 � �2 1 3

1 −4 1

A . X = B matriz ampliada do sistema 1.7.2 Método de Gauss

Reduz por linha equivalência a matriz ampliada do sistema a uma matriz triangular. Pode ser dividido em duas etapas: Etapa1 : (eliminação direta) redução passo a passo do sistema levando, ou a uma equação

degenerada sem solução, ou a um sistema mais simples na forma triangular ou reduzida;


Etapa2 : (eliminação retroativa) substituições retroativas determinam a solução de novo sistema

mais simples.

Exemplo 1: Encontrar os valores de x, y e z a partir do sistema 9 + 2� − 3 = 1

2 + 5� − 8 = 4

3 + 8� − 13 = 7

/ �1 2 −3 1

2 5 −8 4

3 8 −13 7

� ⇢

⇢

0� = 0� − 20� ⇢

0� = 0� − 30� ⇢ �1 2 −3 1

0 1 −2 2

0 2 −4 4

� ⇢

0� = 0� − 20� ⇢ �1 2 −3 1

0 1 −2 2

0 0 0 0

� ⇢

� 8 + 2� − 3 = 1� − 2 = 2/

Logo, se : = ;, então x= −< − ; e � = & + &;

(o sistema admite infinitas soluções)

Exemplo 2: Encontrar os valores de x, y e z a partir do sistema 9 + 2� − 4 = −4

2 + 5� − 9 = −10

3 − 2� + 3 = 11

/ �1 2 −4 −4

2 5 −9 −10

3 −2 3 11

� ⇢

⇢

0� = 0� − 20� ⇢

0� = 0� − 30� ⇢ �1 2 −4 −4

0 1 −1 −2

0 −8 15 23

� ⇢

0� = 0� + 80� ⇢ �1 2 −4 −4

0 1 −1 −2

0 0 7 7

� ⇢


� 9 + 2� − 4 = −4� − = −2

7 = 7

/

Logo, se : = =, então > = −= e � = &

1.7.3 Usando matriz inversa

Se �* = � admitir solução única (A for inversível), então: ��.�* = ��.� �

(��).* = ��.� � �* = ��.� �

� = �.�


LLIISSTTAA DDEE EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS 11

Operações básicas com matrizes

1. Determine x e y de modo que se tenha

++

=

43

21

43

32

y

yxyx.

2. Dadas

=1193

751A ,

=12108

642B e

−−=

741

510C , calcule:

a) CBAX ++=1 b) ( )TBAX −=2 c) CBAX 33 +−=

3. Dadas as matrizes

−−

=

=

=25

71 e

67

50 ,

32

21CBA determine a matriz X tal que

.CBAX −=+

4. As tabelas a seguir mostram as vendas dos carros GOL e PÁLIO, nas cores Azul, Branco e Verde, de uma agência automobilística, nos meses de Janeiro e Fevereiro de 2000.

Vendas do mês de Janeiro Vendas do mês de Fevereiro

Modelo

Cor

Gol

Pálio

Azul 20 45 Verde 44 23 Branco 61 36

Modelo

Cor

Gol

Pálio


Qual foi a venda bimestral realizada por esta loja em relação a esses carros?

Produto de matriz 5. Calcule os seguintes produtos:

a)

⋅

=32

74

01

10A

b)

⋅

−=

11

13

12

11

1732

0511B


c)

−⋅

−=

154

321

43

22

11

C

d)

⋅

=021

100

741

430

022

110

D

6. Resolva as seguintes equações:

a)

−=

⋅

− 95

75

22

31

dc

ba b)

=

⋅

−−

3

9

21

12

y

x

7. Sendo 01

12 e

210

121

−=

−−

= BA , determine o valor de:

a) BAM T ⋅=1

b) BAM ⋅=2

c) 2

3 BM =

8. Uma indústria fabrica três modelos diferentes de televisores. A Tabela I mostra o número de

teclas e alto-falantes usados em cada aparelho A, B e C, e a Tabela II mostra a produção que a fábrica planeja fazer para os meses de Abril e Maio:

Tabela I Tabela II

Modelo

Componentes

A

B

C

Teclas 10 12 15 Alto-Falantes 2 2 4

Mês

Modelo

Abril

Maio

A 800 200 B 1000 1500 C 500 1000

Quantas teclas e quantos alto-falantes serão necessários para a produção dos dois meses?

9. Uma montadora de carretas de São Bernardo precisa de eixos e rodas para os três

modelos que produz. A Tabela I mostra a relação dos componentes para cada um dos modelos:

Modelo

Componentes A B C

Eixos 3 4 4 Rodas 4 6 8

A Tabela II mostra uma previsão de quantas carretas a fábrica deverá produzir em Julho e Agosto de 2000:

Mês

Modelo Julho Agosto

A 15 25 B 30 20 C 18 15


Pergunta-se: a) Quantos eixos e quantas rodas são necessários em cada um dos meses para que a

montadora atinja produção desejada? b) Se a produção de Agosto se mantiver até Dezembro, quantas rodas a montadora

utilizará no segundo semestre?

10. Uma rede de de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências distintas. Estabeleceu-se, na matriz abaixo, que se:

• 1=ija significa que a estação i pode transmitir diretamente à estação j;

• 0=ija significa que a estação i não alcança a estação j.

Observe que a diagonal principal é nula, significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma.

=

01000

10100

01010

01101

11110

A

Se [ ]ijbA =2 , o elemento ∑=

=++++==5

12442 100100

kkk aab . Note que a única parcela

não nula veio de 1.13243 =aa . Isto significa que a estação 4 transmite para a estação 2

através de uma retransmissão pela estação 3, embora exista uma transmissão direta de 2 para 4. Com base nessas informações, responda os itens a seguir: a) Calcule 2A

b) Qual o siginificado de 213 =b ?

c) Discuta os significados dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a

justificar a afirmação: “A matriz 2A representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a outra com uma única retransmissão”.

d) Qual o significado das matrizes 2AA + , 3A e 32 AAA ++ ?

e) Se A fosse simétrica, o que significaria?

Sistemas de Equações Lineares

11. Uma refinaria de petróleo processa dois tipos de petróleo: com alto teor de enxofre e com baixo teor de enxofre. Cada tonelada de petróleo de baixo teor necessita de 5 minutos no setor de mistura e 4 minutos no setor de refinaria; já o petróleo com alto teor são necessários 4 minutos no setor de mistura e 2 minutos no setor de refinaria. Se o setor de mistura está disponível por 3 horas, e o setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de combustível devem ser processadas de modo que os dois setores não fiquem ociosos?


12. Um determinado produto é vendido em embalagens de 30g e 50g. Na embalagem de 30g,

o produto é comercializado a R$ 10,00 e na embalagem de 50g. a R$ 15,00. Gastando R$ 100,00, qual é a quantidade de cada tipo de embalagem para uma pessoa adquirir precisamente 310g desse produto?

13. Um vinhateiro deseja produzir 1000 litros de vinho tipo A de 15% de teor alcoólico misturando vinho tipo B de 10% de teor alcoólico com vinho C de 35%. Determine as quantidades de vinho B e C necessárias para se obter a mistura desejada.

14. Necessitando construir casas de madeira, alvenaria e mistas em uma propriedade, quanto será gasto de material em cada tipo de construção considerando as seguintes especificações:

tábuas Tijolos (mil) Telhas (mil) Tinta (litro) Mão de obra (dias) Madeira 200 1 5 80 12 Mista 10 10 5,5 60 9 Alvenaria 80 4 5 70 10

Tendo-se 2030 tábuas, 123 mil tijolos, 123.5 mil telhas, 1660 litros de tinta e 243 dias para construir, quantas construções de casa tipo poderão ser feitas?

15. Um estádio de futebol tem capacidade para 14.000 espectadores. Em dois jogos realizados em dois dias diferentes foram vendidos todos os lugares. No primeiro cobrou-se R$ 5,00 dos homens, R$ 3,00 das mulheres e R$ 2,00 das crianças. No segundo cobrou-se R$ 4,00 dos homens, R$ 2,00 das mulheres e R$ 1,00 das crianças. A renda do primeiro jogo foi de R$ 56.000,00 e a do segundo jogo de R$ 42.000,00. Quantos homens, mulheres e crianças, em grupos inteiros de mil (milhares), compareceram a cada jogo.

16. Determine os valores de a, de modo que o sistema

=++=++

=−+

23

332

1

zayx

azyx

zyx

tenha:

a) Nenhuma solução

b) Mais de uma solução

c) Uma única solução

17. Resolva os sistemas abaixo e classifique-os quanto ao número de soluções:

a)

−=+−=−=−

642

963

1284

yx

yx

yx

b)

=++=−−+−

=+−+−=+−+

0

02

032

022

543

5321

54321

5321

xxx

xxxx

xxxxx

xxxx


18. Considere a matriz � = � 1 1 −1

−1 0 1

0 1 1

� a) Determine o polinômio ( ) xIAxp −= sendo 3I , a matriz identidade de ordem 3 e ∈x

ℜ

b) Verifique que ( ) 0=Ap (matriz nula)

c) Calcular a inversa de A .

19. Um litro de creme contém suco de fruta, leite e mel. A quantidade de leite é o dobro da

quantidade de suco de fruta, e a quantidade de mel é a nona parte da quantidade dos outros dois líquidos juntos. Determine a quantidade de suco de fruta que contém esse litro de creme.

20. Uma indústria produz três produtos, A , B e C, utilizando dois tipos de insumos, X e Y. Para

a manufatura de cada quilo de A são utilizados 1 grama do insumo X e 2 gramas do insumo Y; para cada quilo de B, 1 grama do insumo X e 1 grama do insumo Y e, para cada quilo de C, 1 grama do insumo X e 4 gramas do insumo Y. O preço da venda do quilo de cada um dos produtos A, B e C é de R$ 2,00, R$ 3,00 e R$5,00, respectivamente. Determine quantos quilos de cada um dos produtos A, B e C foram vendidos se:

a) Com a venda de toda a produção de A, B e C, manufaturada com 1 quilo de X e 2

quilos de Y, essa indústria arrecadou R$ 2.500,00.

b) Em outro período, com a venda de toda a produção de A, B e C, manufaturada com 1

quilo de X e 2,1 quilos de Y, essa indústria arrecadou R$ 2.900,00.

Matriz inversa

21. Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem, encontre X em função de A e B a partir

das seguintes equações matriciais:

a) ( ) BXA T = b) BAXAT =

22. Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multilpicação por matrizes. Seja a associação das letras do alfabeto com números, segundo a correspondência abaixo:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26


Assumindo que a mensagem que queira enviar de forma codificada seja “PUXA VIDA”.

Pode-se formar uma matriz 3×3 como:

−ADI

VA

XUP

, que usando a correspondência

numérica fica:

=149

2201

242116

M . Agora, seja C uma matriz qualquer 3×3 inversível,

como por exemplo:

−=110

131

101

C . Multiplicando a matriz da mensagem M por C,

obtem-se

−=⋅

14135

23221

61875

CM . O que se transmitiria seria esta nova matriz CM ⋅ (na

prática, envia-se a cadeia de números ). Quem recebe a mensagem, decodifica-a através da multiplicação pela inversa de C, isto é, fazendo ( ( ) MCCM =⋅⋅ −1 ) e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada de matriz chave para o código. a) Foi recebida a mensagem [1 16 12 -6 39 27 8 18 21]. Utilizando a mesma chave,

traduza a mensagem.

b) Foi recebida a mensagem [15 21 35 -1 11 8 -5 57 33]. Utilizando a mesma chave, traduza a mensagem.

23. Calcule, pelo método de sistema de equações e por Gauss-Jordan, as inversas das

seguintes matrizes:

=

=

−−

=

−−

=175

013

001

D

300

020

001

93

62 B

510

27CA


RESPOSTAS

1. 01 == yx

2. 20112-

14-2-1- M

11

11

51

M302312

883321

=

−−−−

=

=M

3.

−=

50

40X

4.

Vendas do bimestre Modelo

Cor

Gol

Pálio


5. a)

74

32 b)

1330

514 c)

−−

−

131419

8610

273

d)

384

1682

121

6. a) 8

25=a :: 8

13−=b :: 8

5=c :: 8

23=d b) 57 −=−= yx

7. a)

10

23

12

M1

−−

= b) Não existe 2M c)

−−

=12

233M

8.

Mes

Componentes

Abril

Maio

Teclas 27.500 35.000 Altos-falantes 5.600 7.400

9. a)

Mes

Componentes

Julho

Agosto

Eixos 237 215 Rodas 384 340

b) 2084 rodas


10. a)

=

10100

02010

11201

22220

13211

2A

b) 213 =c indica que existem 2 caminhos disponíveis para se ir da estação 1 a

estação 3 usando uma única retransmissão. c) Para discutir (representa o número de caminhos possíveis para se alcançar o

destino usando uma retransmissão). d) Para discutir (representa o número de caminhos possíveis para se alcançar o

destino, incluindo uma retransmissão ou incluindo até duas retransmissões). e) Se A fosse simétrica, significaria que se a estação i conseguisse transmitir

diretamente para a estação j, então necessariamente a estação j seria capaz de transmitir diretamente para a estação i.

11. 20 toneladas de cada tipo

12. 7 embalagens de 30g e 2 embalagens de 50g

13. 800 l do vinho B e 200 l do vinho C

14. 5 casas de madeira

7 casas mistas 12 casas de alvenaria

15. 8000 homens, 4000 mulheres e 2000 crianças ou

9000 homens, 1000 mulheres e 4000 crianças

16. a) 3−=a b) 2=a c) 2≠a e 3−≠a

17. a) Infinitas soluções: ay = e ax 23+=

b) Infinitas soluções: 01 =x , ax −=2 , ax −=3 , 04 =x e ax =5

18. a) �� = −�� + 2�� + 1 b) 0)( =−=−= AAAIAAp

c) �� = �−1 −2 1

1 1 0

−1 −1 1

�

19. 300 ml de suco de fruta

20. a) Foram vendidos 700 quilos de A, 200 quilos de B e 100 quilos de C; b) Foram vendidos 500 quilos de A, 300 quilos de B e 200 quilos de C.


***********

MODELAGENS PARA AS QUESTÕES DE 11 A 20 (estrutura para se chegar às repostas)

11. �5� + 4 = 180

4� + 2 = 120

12. �30� + 50 = 310

10� + 15 = 100

13. �10� + 35 = 15(� + )� + = 1000

14.

�� 200� + 10 + 80� = 2030

1� + 10 + 4� = 123

5� + 5,5 + 5� = 123,5

80� + 60 + 70� = 1660

12� + 9 + 10� = 243

15. � � + + � = 14000

5� + 3 + 2� = 56000

4� + 2 + � = 42000

16. �1 1 −1 1

2 3 a 3

1 a 3 2

�

17. a) � 4 −8 12

3 −6 9

−2 4 −6

�

b) � 2 2 −1 0 1 0

1 −1 2 −3 1 0

−1 1 −2 0 −1 0

0 0 1 1 1 0

�

18. ---

19. � � = 2� =�

�(� + )� + + � = 1

20. a) �� + � + � = 1000 (�� )

2� + � + 4� = 2000 (�� )

2� + 3� + 5� = 2500 (��çã�)

�� = !"""# 7

5$ 25$ −3

5$2

5$ −35$ 2

5$−4

5$ 15$ 1

5$ %&&&'

b) � � + � + � = 1000

2� + � + 4� = 2100

2� + 3� + 5� = 2900

***********


21. a) 1−= ABX T

b) ( ) 11 −−= TABAX

22. ☺ ::

−−−−

=−

311

211

3121C

23.

=−

15

7

3

2152

31

1A :: 1−B não existe. 0=B . ::

=−

3

100

02

10

0011C ::

−−=−

1716

013

0011D


NMF105 – ALGEBRA LINEAR Autor: Prof. Ronaldo Abrão Pimentel

UNIDADE 2 – DETERMINANTES Notas de Aula

22..11 DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE O determinante de uma matriz quadrada nA , indicado por nADet ou nA é um número

associado a esta matriz, obtido mediante operações específicas com seus elementos, a saber:

1 - Se A é de ordem 1=n , então AADet = é o único elemento de A . Ou seja, se

[ ] 111111 aaAADetaA ===⇒=

Exemplo: [ ] 333 =⇒=A

2 - Se A é de ordem 2=n , então AADet = é a diferença entre o produto dos

elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja, se

211222112221

1211

2221

12112 .. aaaa

aa

aaAADet

aa

aaA −===⇒

=

Exemplo 1: ( ) 111.34.243

12

43

12−=⇒−−=⇒

−=⇒

−= MMMM

Exemplo 2: ( )basenAasenbbsenaAba

senbsenaA −=⇒−=⇒

= cos.cos.

coscos

3 - Se é de ordem n = 3 , ou seja,

⇒=⇒

=

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

aaa

aaa

aaa

A

332112322311312213322113312312332211 ............ aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++=


Exemplo: ⇒

−−

−=

121

112

011

M

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1.2.112.11.1.02.2.01.1.11.1.1 −−−−−−−+−−+=M

6−=M ou seja, 6−=MDet .

Dispositivo prático de Sarrus:

Podemos obter o

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A = usando o dispositivo prático de Sarrus, que consiste no

seguinte: anotamos a matriz A , repetindo à direita a primeira e a segunda colunas, e somando os produtos indicados pelas setas contínuas e subtraindo os produtos indicados pelas retas pontilhadas, como no esquema abaixo:

A

a a a

a a a

a a a

A

a a a

a a a

a a a

a

a

a

a

a

a

= ⇒ =11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11

21

31

12

22

32

- - - + + + OBS: Este dispositivo só se aplica a determinantes de 3a ordem

Observe que o

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A = poderia ser calculado também da seguinte forma:

332112322311312213322113312312332211 ............ aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++=

312213322113332112312312322311332211 ............ aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −+−+−=

( ) ( ) ( )312232211333213123123223332211 ...... aaaaaaaaaaaaaaaA −+−+−=

( ) ( ) ( )A a a a a a a a a a a a a a a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

= − − − + −11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31

21 22

31 32

22 23

32 33

21 23

31 33

. . . . . .1 24444 34444 1 24444 34444 1 2444 3444

Então, podemos dizer que:

434214342143421

13

3231

222113

12

3331

232112

11

3332

232211 ...

M

aa

aaa

M

aa

aaa

M

aa

aaaA +−= ou seja,


131312121111 ... MaMaMaA +−= , onde o termo 11M foi conseguido calculando o determinante

obtido ao se eliminar a linha 1 e a coluna 1 de A , o termo 12M foi conseguido calculando o

determinante obtido ao se eliminar a linha 1 e a coluna 2 de A , e o termo 13M foi conseguido

calculando o determinante obtido ao se eliminar a linha 1 e a coluna 3 de A .

Veja que, com este artifício, um determinante que era de 3a ordem foi calculado através de operações com determinantes de 2a ordem. A este processo chamaremos por enquanto de Rebaixamento de Ordem. Exemplo: Calcular

( ) ⇒

−−−+

−−

−=⇒

−−

−=

21

10.3

21

20.2

22

21.1

221

210

321

AA

11.32.26 −=⇒−−= AA

Com isto já temos definidos determinantes para matrizes de ordem 3≤n . Para matrizes de ordem maior, necessitamos de alguns outros elementos que veremos a seguir: Veja que no exemplo anterior trabalhamos com os determinantes .e, 131211 MMM A estes

determinantes daremos o nome de MENOR COMPLEMENTAR. 22..22 MMEENNOORR CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARR Seja nA de ordem 2≥n e seja jia um elemento genérico de nA . Definiremos Menor

Complementar do elemento jia , denotado por jiM , como sendo o determinante da matriz que

se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de nA .

Exemplo 1: Dada a matriz

−−

−=

221

210

321

3A , calcular 3211 e MM

11M é o determinante que se obtém suprimindo a linha 1 e a coluna 1 de 3A :

;422

211111 =⇒

−= MM

32M é o determinante que se obtém suprimindo a linha 3 e a coluna 2 de 3A :

220

313232 =⇒

−= MM


Exemplo 2:

−−−

−=

1211

0103

1002

0011

Se 4X , calcular 34M .

34M é o determinante que se obtém suprimindo a linha 3 e a coluna 4 de 4X

Então 4

211

002

011

3434 −=⇒

−= MM

22..33 CCOOFFAATTOORR oouu CCOOMMPPLLEEMMEENNTTOO AALLGGÉÉBBRRIICCOO Seja a matriz nA de ordem jian e2≥ ∈ nA . Definimos como COFATOR de jia e indicamos

por jiC como sendo o número ( ) jiji

ji MC .1 +−=

Exemplo: Se

−−

−=

221

210

321

3A , calcular 3222 e CC :

( ) ( ) ( ) 132.121

31.1.1 2222

42222

2222 −=⇒−=⇒

−−

−=⇒−= + CCCMC

( ) ( ) 22.120

31.1.1 3232

53232

2332 −=⇒−=⇒

−−=⇒−= + CCCMC

Tendo conhecimento destes elementos podemos agora dar uma definição de determinante de qualquer ordem: 22..44 DDEEFFIINNIIÇÇÃÃOO DDEE DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE ((GGEERRAALL)) Seja nA uma matriz quadrada de ordem n . Definimos o nADet da seguinte forma:

i) Se A n é de ordem n = 1, então [ ] 1111 aADetaA nn =⇒= ;

ii) Se A n é de ordem 2≥n , seu determinante é a soma dos produtos dos elementos

de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. (Teorema fundamental de Laplace) .

Método para se calcular o determinante segundo Lapl ace:


Seja

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

1) Escolhemos uma fila qualquer (linha ou coluna);

2) Calculamos os cofatores de todos os elementos desta fila;

3) Calculamos a soma dos produtos destes elementos por seus respectivos cofatores.

Vamos escolher, por exemplo, a linha 1 e encontremos os cofatores de seus elementos:

( ) ( ) ( )3231

22213113

3331

23212112

3322

23221111 111

aa

aaC

aa

aaC

aa

aaC +++ −=−=−=

então 131312121111 ... CaCaCaDetA ++=

ou seja 3231

222113

3331

232112

3322

232211 ..

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaADet +−=

A este método de cálculo de determinante chamamos de Método de Expansão por cofatores em termos da linha i (ou coluna j). Veja que este método nos permite calcular um determinante de qualquer ordem pois podemos fazer o rebaixamento da ordem dos determinantes a serem calculados quantas vezes forem necessárias.

Exemplo: Seja

−−−

=

1001

0101

1220

2001

4A . Calcular 4ADet

Como podemos expandir o ADet em termos de qualquer linha ou coluna, é conveniente escolhermos a linha ou coluna que tenha o maior número de zeros, para nos facilitar o cálculo. A coluna 2 é a mais indicada neste exemplo. Como a coluna 2 é formada pelos elementos 42322212 e,, aaaa , então teremos que encontrar os cofatores

42322212 e,, CCCC :

( ) ( )101

011

201

1

101

011

120

1 2222

2112 −−=−

−−= ++ CC


( ) ( )011

120

201

1

101

120

201

1 2442

2332

−−−=−−= ++ CC

Então 42423232222212124 .... CaCaCaCaADet +++=

Mas, no nosso exemplo, 00,2,0 42322212 ==−== aeaaa , logo

( ) ( ) ( )

( ) ( )011

120

201

1.0

101

120

201

1.0

101

011

201

1.2

101

011

120

1.0

2423

22214

−−−+−−+

−−−+−−

−=

++

++ADet

101

011

201

200

101

011

201

.20 44 −−=⇒++−−= DetAADet

Agora, ou calculamos o determinante de terceira ordem usando Sarrus ou então poderemos fazer nova expansão e trabalhar com determinante de segunda ordem, que é o que faremos: Tomemos novamente a coluna 2 (que é a que contem mais zeros)

( ) ( ) ( )

−−+−+

−−−= +++

01

21.1.0

11

21.1.1

11

01.1.02 232221

4ADet

( ) 221.2011

2102 444 =⇒−−=⇒

++−= ADetADetADet

Exercícios:

1) Calcule 4ADet usando agora a linha 3 e confira que vai dar o mesmo resultado.

2) Calcule

1211

0103

1002

0011

−−−

−=B Resp. 6−=B


22..55 PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS DDEETTEERRMMIINNAANNTTEESS

1) O determinante de uma matriz é igual ao determinante da transposta desta matriz ( )tAA =

2) Se uma matriz tem uma fila (linha ou coluna) toda nula, seu determinante é zero. 3) Se multiplicarmos toda uma fila de uma matriz por um escalar, o seu determinante fica

multiplicado por este escalar. 4) Se trocarmos a ordem de duas filas paralelas de uma matriz, o seu determinante muda de

sinal. 5) Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, seu determinante é nulo. 6) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, seu determinante é nulo. 7) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos de sua diagonal

principal. 8) Teorema de Binet : O determinante de um produto de duas matrizes é igual ao produto de

seus determinantes. ( )nnnn BABA .. =

9) Teorema de Jacobi : Adicionando-se a uma fila de uma matriz nA uma outra fila paralela,

previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz nB tal que

.DetBDetA =

Exemplo: 2

212

624

221

=−

−−

Se substituirmos a linha 2 pela soma dela com a linha 1, prèviamente multiplicada por -4, encontraremos uma outra matriz cujo determinante será também igual a 2 . Veja:

2

212

260

221

4

212

624

221

122 =−

−−

⇒−=⇒

−−−

LLL e mais:

2

250

260

221

2

212

260

221

133 =−

−−

⇒+=⇒

−−

−LLL

Obs: Esta propriedade facilita muito o cálculo de determinantes pelo Teorema

Fundamental de Laplace. 10) Se uma matriz quadrada A tem uma fila que é Combinação Linear de outras filas

paralelas, então o 0=ADet .


Exemplo: 0

645

914

132

=⇒

−= DetAA

pois a coluna 3 é igual à coluna 1 multiplicada por 2 mais a coluna 2 multiplicada por -1. Ou seja,

( ) 213 .1.2 CCC −+=

22..66 CCÁÁLLCCUULLOO DDEE DDEETTEERRMMIINNAANNTTEESS ((RREEGGRRAA DDEE CCHHIIÓÓ)) Utilizando os teoremas de Laplace, Jacobi e outras propriedades. 1o passo: Escolhemos uma coluna qualquer do determinante, preferivelmente uma que tenha o maior número de zeros e, se possível, que contenha o número 1. (No ex. abaixo, escolhemos a coluna 2). 2o passo: Utilizando a linha que contém este número 1(no ex., a linha 3) e, aplicando o teorema de Jacobi, fazemos operações com as outras linhas de modo a zerar todos os elementos da coluna escolhida (no ex., a coluna 2), exceto o elemento da linha utilizada (no ex., a linha 3). 3o passo: Aplicamos o teorema de Laplace, para rebaixar a ordem do determinante. Executamos estes processos até conseguirmos um determinante de 3a ordem e então o resolvemos pelo método de Sarrus, ou então fazemos o rebaixamento até conseguirmos um determinante de 2a ordem e o calculamos. Exemplo 1:

( ) =−−−=−

−−=

+−=+=

−

−−

+

232

642

141

.1.1

2302

2213

6402

1401

3

2302

2213

0237

3212

23232

131

lLL

LLL

( ) ( ) 40400.105

84.1.1

050

840

141

2

2

232

642

14111

313

212 −=+−=−

−−=−

−=+−=

+=−−−= +

LLL

LLL


Fazer:

4 1 2 0

3 1 0 2

5 3 2 2

1 0 2 1

= Resp. = 30

Obs: Se, por acaso, não houver nenhum zero nem o número 1, não tem importância, conseguimos este número 1 (neste caso é aconselhável que seja no elemento a11) através de

Jacobi ou de qualquer outra das propriedades dos determinantes. Exemplo 2:

=

−

=

+=+=+=

−−−−−

−−−=

+−=

−−−

−−

1250

9380

25110

3421

2

2

4231

3542

4372

3421.1

4232

3542

4375

3423

414

313

212

121

LLL

LLL

LLLCCC

( ) ( ) =−−

−−=

−−−=

+−=+−=

−=

+−=

−−=

33

57.1.1

330

570

251

1

2

121

932

2512

125

938

2511

.11 2

313

212

1212

LLL

LLL

CCC

( ) 36152133

57=+=

−−−

=

REGRA DE CHIÓ SIMPLIFICADA Usando operações elementares, consiga o número 1 na posição a11

1 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

21 12 22 21 13 23 21 1 2

31 12 32 31 13 33 31 1 3

1 12 2 1 13 3 1

a a a

a a a a

a a a a

a a a a

m

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a

m

m

m

m m m mm

m m

m m

m m m m m

....

....

....

....

. . .... .

. . .... .

. . .... .M M M M M

1 244444 344444

M M M M

matriz de ordem

=

− + − + − +− + − + − +

− + − + − 1

1

m mma

m

+

−matriz de ordem1 2444444444444 3444444444444


JUSTIFICATIVA:

1 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

2 21 1 2

3 31 1 3

1 1

a a a

a a a a

a a a a

a a a a

L a L L

L a L L

L a L L

m

m

m

m

m m m mm m m m

....

....

....

....

.

.

.

M M M M M M

1 244444444444 344444444444

= − += − +

= − +

⇒

matriz de ordem

⇒

− + − + − +− + − + − +

− + − + − +

⇒

1

0

0

0

12 13 1

21 12 22 21 13 23 21 1 2

31 12 32 31 13 33 31 1 3

1 12 2 1 13 3 1 1

a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

m

m

m m

m m

m m m m m m mm

... .

. . ... . .

. . ... . .

. . ... . .

.

M M M M M

1 244444444444444 344444444444444matriz de ordem

⇒

− + − + − +− + − + − +

− + − + − +

−

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

m

m m

m m

m m m m m m mm

21 12 22 21 13 23 21 1 2

31 12 32 31 13 33 31 1 3

1 12 2 1 13 3 1 1

1

. . .... .

. . .... .

. . .... .

M M M M

1 24444444444444 34444444444444matriz de ordem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

Ex

L L

L L

:

. . . .

. . . .

. . . .

. .

−−

− −−− − −

==

= −

−−− −

−− − −

= −

− − − + − − + − − + − − +− − − + − − + − − + − − + −− − + − − + − + − +− − + − − + −

2 1 2 3 1

1 2 0 2 3

1 0 1 2 2

2 2 3 0 0

0 3 2 0 4

1 2 0 2 3

2 1 2 3 1

1 0 1 2 2

2 2 3 0 0

0 3 2 0 4

2 2 1 2 0 2 2 2 3 2 3 1

1 2 0 1 0 1 1 2 2 1 3 2

2 2 2 20 3 22 0 23 0

0 2 3 00

1 2

2 1

( ) ( )2 02 0 03 4− + − + −. .

=


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= −

−−

− −− − −

= − +

= −

−−

− −− − −

= −− − + − − − + − − +− + − − + − − + −

− − + − − − − + − − + −

3 2 7 7

2 1 4 1

2 3 4 6

3 2 0 4

2 1 0 1 5

2 1 4 1

2 3 4 6

3 2 0 4

2 0 1 2 1 4 2 5 1

20 3 2 1 4 25 6

3 0 2 3 1 0 3 5 4

1 2 1L L L. . .

. . .

. . .

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )= − − −

− −= −

− + − − + −− − + − − − +

= −− −

= − − + =1 2 11

3 2 16

2 3 11

3 2 2 311 16

2 2 3 2 11 11

8 49

1 33264 49 215

. .

. .



Determinantes 1. Calcule os determinantes das matrizes abaixo:

−−=

=

=

−−=

152

201

231

D

110

010

011

511

713

2

12

23CBA

2. Calcule os determinantes das matrizes abaixo, utilizando o teorema de Laplace.

−=

=

d

c

b

a

A

0000

2000

3200

1310

54321

B

3301-

0400

2-1-05

1243

3. Determine x tal que 0

113

122

1

=+x

x

xx

4. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal.

Sabendo que o traço vale 9 e o determinante 15, calcule os elementos x e y da matriz:

y

zx

00

0

321

5. Sejam A, B e C, matrizes reais de ordem 3, satisfazendo a seguintes relações: AB=C-1,

B=2A. Se o determinante da matriz C vale 32, qual é o módulo do valor do determinante da matriz A?


RESPOSTAS

1. 25=A :: 12−=B :: 1=C :: 9−=D

2. 208−=A :: abcdB =

3. 21=x

4. 53 == yx ou vice-versa

5. =Adet 1/16



UNIDADE 3 – ESPAÇOS VETORIAIS Notas de Aula

Trata-se de uma ferramenta poderosa para estender nossa visualização geométrica a uma larga classe de importantes problemas matemáticos, nos quais normalmente não poderíamos contar com nossa intuição geométrica. Assim, parte-se do princípio que podemos visualizar os vetores �� e �� como flechas, o que nos permite desenhar ou formar figuras mentais que nos ajudam a resolver problemas. Como os axiomas que definem os nossos novos tipos de vetores serão baseados nas propriedades dos vetores de �� e ��, os novos vetores terão muitas propriedades familiares. Consequentemente, quando quisermos resolver um problema envolvendo nossos novos tipos de vetores, como matrizes ou funções, poderemos utilizar como ponto de apoio uma visualização do problema correspondente em �� ou �� (Anton, 2001). 33..11 EESSPPAAÇÇOOSS VVEETTOORRIIAAIISS RREEAAIISS “Visa estender o conceito de vetor extraindo as propriedades mais importantes dos vetores usuais e transformando-as em axiomas. Assim, quando um conjunto de objetos satisfizer estes axiomas, estes objetos automaticamente têm as mais importantes propriedades dos vetores usuais, o que torna razoável considerar estes novos objetos como novos tipos de vetores.” (Anton, 2001). Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é: ∀ �, � ∈ �, � + � ∈ �

∀ � ∈ � e ∀ � ∈ �, � ∈ � Onde � e � são elementos do conjunto V e podem ser do tipo:

• Vetores do �� • Matrizes � � � • Polinômios �� (polinômios de graus ≤ n) • Números complexos (espaço vetorial complexo)

O conjunto V é chamado espaço vetorial se forem verificados os seguintes axiomas:

A) Em relação à adição ∀ �, �,� ∈ �, tem-se �) �� + �� + � = � + (� + �) associativa da adição �) � + � = � + � cumulativa

�) ∃0 ∈ �, ∀ � ∈ �, � + � = � + � = � elemento neutro �) ∀ � ∈ �, ∃�−�� ∈ �, � + �−�� = � elemento simétrico


M) Em relação à multiplicação por escalar

∀ �, �,� ∈ � e ∀ �,� ∈ �, tem-se ��) (�)� = (��)

��) � + �� = � + ��

��) (� + �) = � + �

��) �� = �

Propriedades dos Espaços Vetoriais

a) Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adição); b) Cada vetor � ∈ � admite apenas um simétrico �−�� ∈ �; c) Para quaisquer �, �,� ∈ �, se � + � = � + �, então � = �; d) Qualquer que seja � ∈ �, tem-se: −�−�� = �, isto é, o oposto de −� é �; e) Quaisquer que sejam �, � ∈ �, existe um e somente um x, tal que � + � = �; f) Qualquer que seja � ∈ �, 0� = 0; g) Qualquer que seja � ∈ �, �0 = 0; h) �� = 0, implica � = 0 ou � = 0; i) Qualquer que seja � ∈ �, �−1�� = −�; j) Quaisquer que sejam � ∈ �, � ∈ �, �−�� = ��−�� = −��;

Exemplo 1: O conjunto � = �� = ��, �� / �, � ∈ � é um espaço vetorial com as operações de

adição e multiplicação por escalar assim definidas: ��,�� + ��, �� = (�� + ��,�� + ��)��,�� = ��,�� Essas operações são denominadas operações usuais. Para verificar os oito axiomas de espaço vetorial (condição necessária), tomemos os vetores genéricos (sempre) � = ��,��, = ��, �� = ��,�� ) �� + � + � = ��,�� + ��, �� + ��,��

= �� + ��, �� + �� + ��,�� = �� + ��) + ��, (�� + �� + �� = �� + �� + ��), �� + (�� + �� = (��,��) + �� + ��,�� + �� = (��,��) + �� + ��, �� + �� = � + � + ��

��) � + = ��,�� + ��,�� = �� + ��,�� + �� = �� + ��,�� + �� = ��, �� + ��,�� = + �


��) ∃0 = �0,0� ∈ ��, ∀ � ∈ ��,� + 0 = ��, �� + �0,0� = �� + 0, �� + 0� = ��,�� = �

��) ∀ � = ��,�� ∈ ��, ∃�−�� = �−��, −�� ∈ ��,� + �−�� = ��,�� + �−��, −�� = �� − ��, �� − �� = �0,0� = 0

Em relação à multiplicação, ∀ �, � ∈ �, tem-se: ��) �� = ��,��

= ��, �� = ��,�� = ��,�� = ��,�� = ��

��) �� + �� = �� + ��,�� = �� + ��, �� + �� = �� + ��, �� + �� = ��,�� + ��,�� = ��,�� + ��, �� = �� + �� ) �� + � = ��, �� + ��,�� = �� + ��, �� + �� = �� + ��, �� + �� = �� + ��,�� + �� = ��,�� + ��,�� = ��,�� + ��,�� = �� + �

��) 1� = 1��,�� = �1��, 1�� = ��,�� = �

Exemplo 2: O conjunto � = �� = ��, �� / �, � ∈ � é um espaço vetorial com as operações de

adição e multiplicação por escalar assim definidas: ��,�� + ��, �� = (�� + ��,�� + ��)��,�� = ��, �� ∈ � � Como a adição aqui definida é uma operação usual, todos os axiomas (como visto) serão verificados (verdadeiros). Logo, não devem se verificar alguns (ou algum) dos axiomas da multiplicação. Sejam � = ��, ��, = ��,�� vetores de V e �, � ∈ �


��) �� = ��,�� = ��,�� = ��,�� = ��,�� = ��,�� = ��

��) �� + �� = �� + �� = ��,�� + ��, �� = ��,�� + ��,�� = �� + ��, �� + �� = �� + ��, 2�� ≠ �� + �� Logo, não é espaço vetorial.

33..22 SSUUBBEESSPPAAÇÇOOSS VVEETTOORRIIAAIISS RREEAAIISS “É possível para um espaço vetorial estar contido em outro espaço vetorial.” (Anton, 2001). Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de V. O subconjunto S é um subespaço vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condições:

I. ∀ �, � ∈ � � � + � ∈ � (adição) II. ∀ � ∈ �, ∀� ∈ � � �� ∈ � (multiplicação por escalar)

Todo espaço � ≠ �0 admite, pelo menos, dois subespaços:

- o conjunto {0}, chamado subespaço zero ou subespaço nulo; - e o próprio espaço vetorial V.

Esses dois são os subespaços triviais de V. Os demais são denominados subespaços próprios de V.


Exemplo 1: Identificar quais são os subespaços triviais e próprios de ��.

Solução:

Subespaços triviais do ��: ��0,0�� e ��; Subespaços próprios do ��: retas que passam pela origem do sistema de

referência.

W é um subespaço vetorial (subespaço próprio) do ��

Note que � � ∈ � e: � + ∈ � �� ∈ � Exemplo 2: Identificar quais são os subespaços triviais e próprios de ��.

Solução:

Subespaços triviais do ��: ��0,0,0�� e ��; Subespaços próprios do ��: retas e planos que passam pela origem do sistema

de referência.


Exemplo 3: Verificar se W é subespaço vetorial de � sabendo que

� = ��0, ��, ��, �, ��; �� ∈ ��. Ou seja, W é o conjunto dos vetores de �, cuja primeira coordenada é nula.

Solução:

Verificação das condições (i) e (ii) i) � = �0, ��, ��, �, �� e v= �0, ��, ��, �, �� ∈ �

Então � + � = �0, �� + ��, �� + ��, � + �, � + ��, que ainda pertence a W, pois tem a primeira coordenada nula.

ii) �� = �0, ��, ��, ��, �� ∈ �, pois a primeira coordenada é nula para todo � ∈ �.

Conclusão: W é um subespaço vetorial de �.

Exemplo 4: Se � = ��, verificar se W é um subespaço vetorial de �, onde

� = ��, �� ∈ �� / � = 4 − 2��.

Solução:

Verificação das condições (i) e (ii) i) Se � = �1,2� e v= �3, −2�, então � + � = �4,0� �

Conclusão: W não é um subespaço vetorial de �.


Exemplo 5: Se � = � � �, verificar se W é um subespaço vetorial de V, sendo W o

subconjunto das matrizes triangulares superiores.

Solução:

Conclusão: W é um subespaço vetorial de �, pois a soma de matrizes triangulares superiores ainda é uma matriz triangular superior, assim como o produto de uma matriz triangular superior por um escalar.

33..33 CCOOMMBBIINNAAÇÇÃÃOO LLIINNEEAARR Definição: Um vetor � é uma Combinação Linear dos vetores ��,��, ⋯ ,� se � pode ser

escrito na forma

� = �� + �� +⋯+ �� ,

onde ��, ��, ⋯ , � são escalares.

Exemplo 1: Sendo o espaço vetorial � dos polinômios de grau ≤ 2, expressar o polinômio = 7�� + 11� − 26 como Combinação Linear dos polinômios: � = 5�� − 3� + 2 e � = −2�� + 5� − 8

Solução: = � � + � �

7�� + 11� − 26 = ��5�� − 3� + 2� + ��−2�� + 5� − 8� = �5�� − 3�� + 2�� + �−2�� + 5�� − 8�� = 5�� − 3�� + 2� − 2�� + 5�� − 8� = �5� − 2�� + �−3� + 5�� + �2� − 8��

comparando os polinômios termo a termo, tem-se:

5� − 2� = 7

−3� + 5� = 11

2� − 8� = −26

� � � = 3� = 4

Conclusão: ! = "!� + #!�

Observação: Para se encontrar os valores dos escalares a e b, também pode-se resolver as equações usando o método de Gauss (ver 1.7.2), ou escalonamento, através da matriz ampliada do sistema. Esta alternativa mostra-se mais indicada para sistemas mais complexos. Assim:

5� − 2� = 7

−3� + 5� = 11

2� − 8� = −26

� � $ 5 −2 7

−3 5 11

2 −8 −26

%


$ 5 −2 7

−3 5 11

2 −8 −26

% ⇢ &� =�

�&� ⇢ $ 5 −2 7

−3 5 11

1 −4 −13

% ⇢ &� ↔ &� ⇢

$ 1 −4 −13

−3 5 11

5 −2 7

% ⇢ &� = &� + 3&� ⇢

⇢ &� = &� − 5&� ⇢ $1 −4 −13

0 −7 −28

0 18 72

% ⇢ &� = −

1

7&� ⇢

⇢ &� =1

18&� ⇢

$1 −4 −13

0 1 4

0 1 4

% ⇢ &� = &� + 4&� ⇢ $1 0 3

0 1 4

0 1 4

% = � = 3� = 4� = 4

� � � = 3� = 4

� ! = "!� + #!�

Exemplo 2: Considere os vetores � = �1,2, −1� e = �6,4,2� em ��. Verifique se '� = �9,2,7� e '� = �4, −1,8� são Combinações Lineares de � e .

Solução: '� = �� + � �9,2,7� = ��1,2, −1� + ��6,4,2�

= ��, 2�, −�� + �6�, 4�, 2�� = �� + 6�, 2� + 4�, −� + 2��

comparando os vetores termo a termo, tem-se:

� + 6� = 9

2� + 4� = 2

−� + 2� = 7

� � $ 1 6 9

2 4 2

−1 2 7

%

$ 1 6 9

2 4 2

−1 2 7

% ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� + &� ⇢ $1 6 9

0 −8 −16

0 8 16

% ⇢ &� = −�

�&� ⇢

⇢ &� =�

�&� ⇢

$1 6 9

0 1 2

0 1 2

% ⇢ &� = &� − 6&� ⇢ $1 0 −3

0 1 2

0 1 2

% = � = −3� = 2� = 2

� � � = −3� = 2

Conclusão 1: '� = −"� + ( ('� é uma Combinação Linear de � e )

'� = �� + � �4, −1,8� = ��1,2, −1� + ��6,4,2� = ��, 2�, −�� + �6�, 4�, 2�� = �� + 6�, 2� + 4�, −� + 2��


� + 6� = 4

2� + 4� = −1

−� + 2� = 8

� � $ 1 6 4

2 4 −1

−1 2 8

%


$ 1 6 4

2 4 −1

−1 2 8

% ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� + &� ⇢ $1 6 9

0 −8 −9

0 8 12

% ⇢ &� = −�

�&� ⇢

⇢ &� =�

�&� ⇢

)1 6 9

0 1 98*

0 1 128* + ⇢ &� = &� − &� ⇢ )1 6 9

0 1 98*

0 0 38* + � 0 = 3

8* ‼! � Inconsistente

Conclusão2: Como não existe solução, '� não é uma Combinação Linear de � e .

Exemplo 3: Considere os vetores �� = �1,2,1�, �� = �1,0,2� e �� = �1,1,0� em ��. Encontre a

Combinação Linear de ��, �� e �� que resulte no vetor ' = �2,1,5�.

Solução: ' = �� + �� + ,�� 2,1,5� = ��1,2,1� + ��1,0,2� + ��1,1,0� �2,1,5� = ��, 2�, �� + ��, 0,2�� + ��, �, 0� �2,1,5� = �� + � + �, 2� + �, � + 2�� comparando os vetores termo a termo, tem-se:

� + � + � = 2

2� + � = 1� + 2� = 5

� � $1 1 1 2

2 0 1 1

1 2 0 5

%

$1 1 1 2

2 0 1 1

1 2 0 5

% ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� − &� ⇢ $1 1 1 2

0 −2 −1 −3

0 1 −1 3

% ⇢ &� ↔ &� ⇢

$1 1 1 2

0 1 −1 3

0 −2 −1 −3

% ⇢ &� = &� − &� ⇢

⇢ &� = &� + 2&� ⇢ $1 0 2 −1

0 1 −1 3

0 0 −3 3

% ⇢ &� = −�

�&� ⇢

$1 0 2 −1

0 1 −1 3

0 0 1 −1

% ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� + &� ⇢ $1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 −1

% = � = 1� = 2

� = −1

� Conclusão: ' = �� + (�� − ��.


Exemplo 4: Escreva a matriz - = .3 1

1 −1/ como Combinação Linear das matrizes

� = .1 1

1 0/ :: 0 = .0 0

1 1/ :: 1 = .0 2

0 −1/

Solução:

- = 2� + 30 + 41 .3 1

1 −1/ = � .1 1

1 0/ + � .0 0

1 1/ + 5 .0 2

0 −1/

.3 1

1 −1/ = .� �� 0

/ + 60 0� �7 + .0 250 −5/ .3 1

1 −1/ = 6 � � + 25� + � � − 5 7


8 � = 3� + 25 = 1� + � = 1� − 5 = −1

� � )1 0 0 3

1 0 2 1

1 1 0 1

0 1 −1 −1

+

)1 0 0 3

1 0 2 1

1 1 0 1

0 1 −1 −1

+ ⇢ &� = &� − &� ⇢

⇢ &� = &� − &� ⇢ )1 0 0 3

0 0 2 −2

0 1 0 −2

0 1 −1 −1

+ ⇢ &� =�

�&� ⇢

⇢ &� = −&� + &� ⇢

)1 0 0 3

0 0 1 −1

0 1 0 −2

0 0 1 −1

+ ⇢ &� ↔ &� ⇢ )1 0 0 3

0 1 0 −2

0 0 1 −1

0 0 1 −1

+ = � = 3� = −2

5 = −1

� Conclusão: - = 3� − 20 − 1

Exemplo 5: Escrever o vetor 0 ∈ �� como Combinação Linear dos vetores:

a) � = �1,3� e � = �2,6� b) � = �1,3� e � = �2,5�

Solução: a) �0,0� = ��1,3� + ��2,6�

= �1�, 3�� + �2�, 6�� = �1� + 2�, 3� + 6��

comparando os vetores termo a termo, tem-se: 9 � + 2� = 0

3� + 6� = 0� � .1 2 0

3 6 0/

.1 2 0

3 6 0/ ⇢ &� = &� − 3&� ⇢ .1 2 0

0 0 0/ = �� + 2� = 0 �

Conclusão: � � + � � = 0 ∀� = 2�


b) �0,0� = ��1,3� + ��2,5�

= �1�, 3�� + �2�, 5�� = �1� + 2�, 3� + 5��

comparando os vetores termo a termo, tem-se: 9 � + 2� = 0

3� + 5� = 0� � .1 2 0

3 5 0/

.1 2 0

3 5 0/ ⇢ &� = &� − 3&� ⇢ .1 2 0

0 −1 0/ ⇢ &� = &� + 2&� ⇢

⇢ &� = −&� ⇢

.1 0 0

0 1 0/ = 9� = 0� = 0

� Conclusão: 0 � + 0 � = 0

Exemplo 6: Expressar o vetor � = �−1,4, −4,6� ∈ �� como Combinação Linear dos vetores � = �3, −3,1,0�, � = �0,1, −1,2� e � = �1, −1,0,0�.

Solução: � = � � + � � + , � �−1,4, −4,6� = ��3, −3,1,0� + ��0,1, −1,2� + ��1, −1,0,0�

= ��3, −3,1,0� + ��0,1, −1,2� + ��1, −1,0,0� = �3�, −3�, �, 0� + �0, �, −�, 2�� + ��, −�, 0,0� = �3� + �, −3� + � − �, � − �, 2��


8 3� + � = −1

−3� + � − � = 4� − � = −4

2� = 6

� � ) 3 0 1 −1

−3 1 −1 4

1 −1 0 −4

0 2 0 6

+

) 3 0 1 −1

−3 1 −1 4

1 −1 0 −4

0 2 0 6

+ ⇢ &� ↔ &� ⇢ ) 1 −1 0 −4

−3 1 −1 4

3 0 1 −1

0 2 0 6

+ ⇢ &� = &� + 3&� ⇢

⇢ &� = &� − 3&� ⇢

⇢ &� =�

�&� ⇢

)1 −1 0 −4

0 −2 −1 −8

0 3 1 11

0 1 0 3

+ ⇢ &� = &� + &� ⇢

⇢ &� = &� + 2&� ⇢

⇢ &� = &� − 3&� ⇢ )1 0 0 −1

0 0 −1 −2

0 0 1 2

0 1 0 3

+ ⇢ &� = −&� ⇢

⇢ &� ↔ &� ⇢

)1 0 0 −1

0 1 0 3

0 0 1 2

0 0 1 2

+ = � = −1� = 3� = 2

� Conclusão: -1� = − � + 3 � + 2 �


33..44 EESSPPAAÇÇOOSS GGEERRAADDOOSS Se �, �, ⋯ , � são vetores em um espaço vetorial �, então:

(a) O conjunto � de todas as combinações lineares de �, �, ⋯ , � é um subespaço de �.

(b) � é o menor subespaço de � que contém �, �, ⋯ , �, no seguinte sentido: qualquer subespaço de � que contém �, �, ⋯ , � também contém �.

Definição: Se � = ��, ��, ⋯ , � � é um conjunto de vetores de um espaço vetorial �, então o

subespaço � de � que consiste de todas as combinações lineares dos vetores em : é chamado de espaço gerado por ��, ��, ⋯ , � e nós dizemos que os vetores ��, ��, ⋯ , � geram �. Para indicar que � é o espaço gerado pelos vetores do conjunto � = ��, ��, ⋯ , � �, nós escrevemos

� = � !�� ou � = � !��, ��, ⋯ , � � Exemplo 1: Verificar se o conjunto ��2,1,1�, �−1,0,2�, �1,2,1� gera o espaço ��.

Solução:

Para isso deve-se provar que todo vetor ��, �, 5� de �� pode ser escrito na forma ��2,1,1� + ��−1,0,2� + ��1,2,1�. Assim, ��, �, 5� = ��2,1,1� + ��−1,0,2� + ��1,2,1�

= �2�, 1�, 1�� + �−1�, 0�, 2�� + �1�, 2�, 1�� = �2� − 1� + 1�, 1� + 0� + 2�, 1� + 2� + 1��

Comparando os vetores termo a termo, tem-se,

2� − 1� + 1� = � 1� + 0� + 2� = �1� + 2� + 1� = 5 � �� $2 −1 1

1 0 2

1 2 1

% . ;��< = ;��5< Para que o sistema tenha solução única a primeira matriz (dos coeficientes) deve ser inversível, isto é, seu determinante deve ser diferente de zero. Calculando,

=2 −1 1

1 0 2

1 2 1

= = −7

Como esse determinante é diferente de zero, o sistema possui solução única. Ou seja, existem valores de �, � e � que satisfazem a igualdade ��, �, 5� = ��2,1,1� +��−1,0,2� + ��1,2,1�. Conclusão: O sistema possui solução única porque o determinante da matriz dos

coeficientes é diferente de zero. Logo, todos os vetores de �� podem ser escritos como combinação linear dos vetores dados.


Exemplo 2: Verificar se o conjunto ��2,1,3�, �3,1,2�, �5,2,5� gera o espaço ��.

Solução:

Para isso deve-se provar que todo vetor ��, �, 5� de �� pode ser escrito na forma ��2,1,3� + ��3,1,2� + ��5,2,5�. Assim, ��, �, 5� = ��2,1,3� + ��3,1,2� + ��5,2,5�

= �2�, 1�, 3�� + �3�, 1�, 2�� + �5�, 2�, 5�� = �2� + 3� + 5�, 1� + 1� + 2�, 3� + 2� + 5��


2� + 3� + 5� = � 1� + 1� + 2� = �3� + 2� + 5� = 5 � �� $2 3 5

1 1 2

3 2 5

% . ;��< = ;��5< Calculando o determinante da matriz de coeficientes, tem-se

=2 3 5

1 1 2

3 2 5

= = 0

Como este determinante é zero, o conjunto não gera ��. Neste caso, o conjunto irá gerar um subconjunto de ��. Para determinar tal subconjunto, pode-se utilizar escalonamento da matriz ampliada do sistema. Assim,

$2 3 5 �1 1 2 �3 2 5 5% ⇢ &� ↔ &� ⇢ $1 1 2 �

2 3 5 �3 2 5 5% ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� − 3&� ⇢

$1 1 2 �0 1 1 � − 2�0 −1 −1 5 − 3�% ⇢ &� = &� + &� ⇢ $1 1 2 �

0 1 1 � − 2�0 0 0 � − 5� + 5%

Para que o sistema não seja inconsistente, é necessário que � − 5� + 5 = 0. Conclusão: O sistema só terá validade para vetores ��, �, 5� que satisfaçam a

relação � − 5� + 5 = 0. Ou seja, ��, �, 5� ∈ �� / � − 5� + 5 = 0. Exemplo 3: Mostrar que � = �1,1,1�, � = �0,1,1� e � = �0,0,1� geram o ��.

Solução: ��, �, 5� = � � + � � + , � ��, �, 5� = ��1,1,1� + ��0,1,1� + ��0,0,1�

= ��, �, �� + �0,�, �� + �0,0, �� = ��, � + �, � + � + ��



> � = �� + � = �� + � + � = 5� � $1 0 0 �1 1 0 �1 1 1 "

%

$1 0 0 �1 1 0 �1 1 1 "

% ⇢ &� = &� − &� ⇢

⇢ &� = &� − &� ⇢ $1 0 0 �

0 1 0 � − �0 0 1 " − �

% = � = �� = � − �� = 5 − � � Conclusão: ��, �, 5� = 2 � + �3 − 2� � + �4 − 3� �

Exemplo 4: Seja o Espaço Vetorial ��. Determine os subespaços gerados por: � = .−1 0

0 1/, � = .1 −1

0 0/ e � = .0 1

1 0/

Solução: �� = .� �5 ?/ = � � + � � + , �

.� �5 ?/ = � .−1 0

0 1/ + � .1 −1

0 0/ + � .0 1

1 0/

= .−� 0

0 �/ + .� −�0 0

/ + .0 �� 0/

= .−� + � −� + �� /


8−� + � = �−� + � = �� = 5

# = $� � )−1 1 0 �

0 −1 1 �0 0 1 "1 0 0 $

+

)−1 1 0 �0 −1 1 �0 0 1 "1 0 0 $

+ ⇢ &� ↔ &� ⇢ ) 1 0 0 ?0 −1 1 �0 0 1 "

−1 1 0 �+ ⇢ &� = −&� + &� ⇢

⇢ &� = &� + &� ⇢

)1 0 0 ?0 1 0 5 − �0 0 1 "0 1 0 � + $

+ ⇢ &� = &� − &� ⇢ )1 0 0 ?0 1 0 5 − �0 0 1 "0 0 0 � + � − " + $

+

Conclusão: : = 9.� �5 ?/ / � + � − " + $ = 0@


Exemplo 5: Determinar o subespaço de � gerado pelos vetores A� = �� + 2�� − � + 3 e A� = −2�� − �� + 3� + 2

Solução: A = �� + �� + �� + B = CA� + DA� �� + �� + �� + B = �� + 2�� − � + 3� + ��−2�� − �� + 3� + 2�

= �� + 2�� − �� + 3� − 2�� − �� + 3�� + 2� = �� − 2�� + 2�� − �� − �� + 3�� + 3� + 2� = �� − 2�� + �2� − �� + �−� + 3�� + �3� + 2��


8 � − 2� = �2� − � = �

−� + 3� = �3� + 2� = %

� � ) 1 −2 �2 −1 �

−1 3 �3 2 B+

) 1 −2 �2 −1 �

−1 3 �3 2 B+ ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� + &� ⇢

⇢ &� = &� − 3&� ⇢ )1 −2 �

0 3 � − 2�0 1 � + �0 8 B − 3�+

⇢ &� = &� − 3&� ⇢

⇢ &� = &� − 8&� ⇢

⇢ &� = &� + 2&� ⇢

)1 0 3� + 2�0 0 −5� + � − 3�0 1 � + �0 0 −11� − 8� + B+ � −5� + � − 3� = 0

−11� − 8� + B = 0

Conclusão: : = �� + �� + �� + B� / � = 5� + 3� � B = 11� + 8�


33..55 DDEEPPEENNDDÊÊNNCCIIAA EE IINNDDEEPPEENNDDÊÊNNCCIIAA LLIINNEEAARR

Definição: Se & = ��,��, ⋯ ,� � é um conjunto não vazio de vetores, então a equação vetorial

�� + �� +⋯+ �� = 0

admite pelo menos a solução trivial �� = �� = ⋯ = � = 0.

Se esta é a única solução, então o conjunto � é chamado linearmente independente. Se existem outras soluções, então � é um conjunto linearmente dependente.

Teorema 1

Um conjunto � de dois ou mais vetores é:

(a) Linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vetores de � pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de �.

(b) Linearmente independente se, e somente se, nenhum vetor em � pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de �.

Teorema 2

(a) Um conjunto finito de vetores que contém o vetor nulo é linearmente dependente.

(b) Um conjunto de exatamente dois vetores é linearmente independente se, e somente se, nenhum dos dois vetores é um múltiplo escalar do outro.

Teorema 3

Seja � = ��, ��, ⋯ , � � um conjunto de vetores em ��. Se ! > ', então � é linearmente dependente.


Interpretação Geométrica da Independência Linear em E� e E. Para dois vetores em �� e ��: os vetores são linearmente independentes se, e somente se, os

vetores não estão numa mesma reta quando colocados com seus pontos iniciais na origem.

Linearmente dependente Linearmente independente

Linearmente dependente


Para três vetores em ��: os vetores são linearmente independentes se, e somente se, os

vetores não estão nem um mesmo plano quando colocados com seus pontos iniciais na origem.

Linearmente dependente Linearmente independente

Linearmente dependente


Exemplo 1: Determine se os vetores �� = �1,0,0�, �� = �0,1,0� e �� = �0,0,1� em �� são ou não

linearmente dependentes.

Solução: 2�� + 3�� + 4�� = 0 �0,0,0� = ��1,0,0� + ��0,1,0� + 5�0,0,1�

= ��, 0,0� + �0, �, 0� + �0,0, 5� = ��, �, 5�


� = 0� = 05 = 0

� Conclusão: O conjunto de vetores : = ��,��,�� é linearmente independente

porque o sistema admite apenas a solução trivial (� = � = 5 = 0). Exemplo 2: Determine se os vetores A�, A� e A� sao ou não linearmente dependentes, onde: A� = �� + � + 2 :: A� = 2�� + � :: A� = 3�� + 2� + 2

Solução 1:

�A� + �A� + ,A� = 0 �� + � + 2� + ��2�� + �� + ��3�� + 2� + 2� = 0 �� + �� + 2�� + �2�� + �� + �3�� + 2�� + 2�� = 0 �� + �� + 2� + 2�� + �� + 3�� + 2�� + 2� = 0 �� + 2� + 3�� + �� + � + 2�� + �2� + 2�� = 0 comparando os vetores termo a termo, tem-se:

� + 2� + 3� = 0� + � + 2� = 0

2� + 2� = 0

� � $1 2 3 0

1 1 2 0

2 0 2 0

%

$1 2 3 0

1 1 2 0

2 0 2 0

% ⇢ &� = &� − &� ⇢

⇢ &� = &� − 2&� ⇢ $1 2 3 0

0 −1 −1 0

0 −4 −4 0

% ⇢ &� = −&� ⇢

$1 2 3 0

0 1 1 0

0 −4 −4 0

% ⇢ &� = &� + 4&� ⇢ $1 2 3 0

0 1 1 0

0 0 0 0

% = 9� + 2� + 3� = 0� + � = 0�

Conclusão: O conjunto de vetores : = �A�,A�,A� é linearmente dependente porque o sistema admite infinitas soluções (duas equações e três incognitas). Ou seja, o sistema admite outra solução além da solução trivial (� = � = � = 0).


Solução 2:

De acordo com o “teorema 2” os vetores são linearmente dependentes e um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Assim:

A� = �A� + �A� �� + � + 2 = ��2�� + �� + ��3�� + 2� + 2� = �2�� + �� + �3�� + 2�� + 2�� = 2�� + �� + 3�� + 2�� + 2� = �2� + 3�� + �� + 2�� + �2��


2� + 3� = 1� + 2� = 1

2� = 2

� � resolvendo diretamente, tem-se 9� = −1� = 1�

Conclusão: Como A� é uma combinação linear de A� e A� (A� = −A� + A�) então o conjunto de vetores : = �A�,A�,A� é linearmente dependente.

Exemplo 3: Determine se os vetores �� = �1, −2,1�, �� = �2,1, −1� e �� = �7, −4,1� em �� são

ou não linearmente dependentes.

Solução 1: 2�� + 3�� + 4�� = 0 �0,0,0� = ��1, −2,1� + ��2,1, −1� + 5�7, −4,1�

= ��, −2�, �� + �2�, �, −�� + �75, −45, 5� = �� + 2� + 75, −2� + � − 45, � − � + 5�


� + 2� + 75 = 0

−2� + � − 45 = 0� − � + 5 = 0

� � $ 1 2 7 0

−2 1 −4 0

1 −1 1 0

%

$ 1 2 7 0

−2 1 −4 0

1 −1 1 0

% ⇢ &� = &� + 2&� ⇢

⇢ &� = &� − &� ⇢ $1 2 7 0

0 5 10 0

0 −3 −6 0

% ⇢ &� =�

�&� ⇢

$1 2 7 0

0 1 2 0

0 −3 −6 0

% ⇢ &� = &� + 3&� ⇢ $1 2 7 0

0 1 2 0

0 0 0 0

% = � + 2� + 75 = 0� + 25 = 0�

Conclusão: O conjunto de vetores : = ��,��,�� é linearmente dependente

porque o sistema admite infinitas soluções (duas equações e três incognitas). Ou seja, o sistema admite outra solução além da solução trivial (� = � = 5 = 0).


Solução 2:

De acordo com o “teorema 2” os vetores são linearmente dependentes e um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Assim:

�� = �� + �� 1, −2,1� = ��2,1, −1� + ��7, −4,1� = �2�, �, −�� + �7�, −4�, �� = �2� + 7�, � − 4�, −� + ��


2� + 7� = 1� − 4� = −2

−� + � = 1

� � $ 2 7 1

1 −4 −2

−1 1 1

%

$ 2 7 1

1 −4 −2

−1 1 1

% ⇢ &� ↔ &� ⇢ $ 1 −4 −2

2 7 1

−1 1 1

% ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� + &� ⇢

$1 −4 −2

0 15 5

0 −3 −1

% ⇢ &� =�

��&� ⇢ F1 −4 −2

0 1 13*

0 −3 −1

G ⇢ &� = &� + 4&� ⇢

⇢ &� = &� + 3&� ⇢

)1 0 −23*

0 1 13*

0 0 0

+ = � = −23*� = 1

3* �

Conclusão: Como �� é uma combinação linear de �� e �� (�� =��

�� +

�

��)

então o conjunto de vetores : = ��,��, �� é linearmente dependente.

Exemplo 4: Seja � o espaço vetorial das matrizes 2�2 sobre �. Determine se as matrizes �, 0, 1 ∈ � são linearmente dependentes, onde: � = .1 1

1 1/ :: 0 = .1 0

0 1/ :: 1 = .1 1

0 0/

Solução: 2� + 30 + 41 = 0

� .1 1

1 1/ + � .1 0

0 1/ + 5 .1 1

0 0/ = .0 0

0 0/

.� �� / + 6� 0

0 �7 + .5 50 0

/ = .0 0

0 0/

.� + � + 5 � + 5� � + �/ = .0 0

0 0/



8� + � + 5 = 0� + 5 = 0� = 0� + � = 0

� � resolvendo diretamente, tem-se � = 0� = 0

" = 0

�

Conclusão: As matrizes �, 0 e 1 são linearmente independentes porque o sistema admite apenas a solução trivial (� = � = 5 = 0).

Exemplo 5: Determine se os vetores �� = �2, −1,0,3�, �� = �1,2,5, −1� e �� = �7, −1,5,8� em ��

são ou não linearmente dependentes.

Solução: 2�� + 3�� + 4�� = 0 �0,0,0� = ��2, −1,0,3� + ��1,2,5, −1� + 5�7, −1,5,8�

= �2�, −�, 0,3�� + ��, 2�, 5�, −�� + �75, −5, 55, 85� = �2� + � + 75, −� + 2� − 5, 5� + 55, 3� − � + 85�


82� + � + 75 = 0

−� + 2� − 5 = 0

5� + 55 = 0

3� − � + 85 = 0

� � ) 2 1 7 0

−1 2 −1 0

0 5 5 0

3 −1 8 0

+

) 2 1 7 0

−1 2 −1 0

0 5 5 0

3 −1 8 0

+ ⇢ &� ↔ &� ⇢ )−1 2 −1 0

2 1 7 0

0 5 5 0

3 −1 8 0

+ ⇢ &� = −&� ⇢

)1 −2 1 0

2 1 7 0

0 5 5 0

3 −1 8 0

+ ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� − 3&� ⇢ )1 −2 1 0

0 5 5 0

0 5 5 0

0 5 5 0

+ ⇢ &� =�

�&� ⇢

)1 −2 1 0

0 1 1 0

0 5 5 0

0 5 5 0

+ ⇢ &� = &� − 5&� ⇢

⇢ &� = &� − 5&� ⇢ )1 −2 1 0

0 5 5 0

0 0 0 0

0 0 0 0

+ = � − 2� + 5 = 0� + 5 = 0�

Conclusão: O conjunto de vetores : = ��,��,�� é linearmente dependente

porque o sistema admite infinitas soluções. Ou seja, o sistema admite outra solução além da solução trivial (� = � = 5 = 0).


33..66 BBAASSEESS EE DDIIMMEENNSSÃÃOO

3.6.1 Base de um Espaço Vetorial

Em geral, tenta-se usar a mesma escala em cada eixo e com a mesma unidade de distância em cada eixo.

(exemplo) No entanto, isto nem sempre é prático ou adequado: pode ser necessário o uso de escalas diferentes, ou unidades distintas num mesmo sistema de coordenadas. Por exemplo, a representação de grandezas físicas, como o tempo – em horas – em um dos eixos e temperatura – em centenas de graus Celsius – no outro eixo.

(exemplo) Assim, quando um sistema de coordenadas é especificado por um conjunto de vetores base, é o sentido dos vetores de base que define o sentido positivo nos eixos coordenados e o comprimento dos vetores de base é que estabelece a escala de medida.


(exemplos)

Além disso, embora os eixos coordenados perpendiculares sejam os mais comuns, pode-se usar quaisquer duas retas não-paralelas para definir um sistema de coordenadas no plano.

(exemplo) De forma prática, interessa encontrar, dentro de um espaço vetorial �, um conjunto finito de vetores onde qualquer outro vetor de � seja uma combinação linear deles. Ou seja, a base de um espaço vetorial.

Definição: Se � é um espaço vetorial qualquer e & = ��,��, ⋯ ,� � é um conjunto de vetores em �, dizemos que � é uma base de � se valerem as seguintes condições:

(a) � é linearmente independente;

(b) � gera �.

Teorema

Se � = ��, ��, ⋯ , � � é uma base de um espaço vetorial �, então cada vetor em � pode ser expresso da forma � = (�� + (�� + ⋯ + ( � de uma única maneira.


Notas: [1] Bases canônicas

Os vetores e� = �1,0� e e� = �0,1� formam uma base para R�; os vetores e� = �1,0,0�, e� = �0,1,0� e e� = �0,0,1� formam uma base para R�; em geral, os vetores e�, e�,..., e formam uma base para R . Cada um desses vetores é chamado de base natural ou base canônica para R�, R� e R respectivamente.

[2] Coordenadas em relação a uma base

Se S = �v�, v�, … , v é uma base de um espaço vetorial � e se � = (�� + (�� + ⋯ + (�� é a expressão de um vetor em termos desta base �, então os escalares (�, (�, … , (� são chamados de coordenadas de em relação à base :. Assim, o vetor �(1, (2, … , (� é chamado vetor de coordenadas de ! em relação a H e é denotado por �� = �(�, (�, … , (��. Em muitos casos é conveniente listar as coordenadas como entradas de uma matriz ' � 1. Assim, é definido I J� como a matriz de coordenadas de em relação a S, onde

I J� = )(1

(2

⋮(�

+ Exemplo 1: Sejam �� = �1,2,1�, �� = �2,9,0� e �� = �3,3,4�. Mostre que o conjunto H =�!�, !�,!� é uma base de ��.

Solução:

(a) Para mostrar que � é linearmente independente, então 2�� + 3�� + 4�� = 0 só deve admitir a solução trivial � = � = 5 = 0. Logo, �0,0,0� = ��1,2,1� + ��2,9,0� + 5�3,3,4� = ��, 2�, �� + �2�, 9�, 0� + �35, 35, 45� = �� + 2� + 35, 2� + 9� + 35, � + 45�


� + 2� + 35 = 0

2� + 9� + 35 = 0� + 45 = 0

� � $1 2 3 0

2 9 3 0

1 0 4 0

% (matriz ampliada)

Obs.: Uma forma mais prática de se chegar na matriz ampliada seria usando

a matriz de coordenadas. Dessa forma,

II��J� I��J� I��J�J. ;��5< = $0

00

% �


A matriz ampliada então seria: $1 2 3 0

2 9 3 0

1 0 4 0

% (b) Para mostrar que um dado vetor pode ser expresso como uma combinação

de �, tem-se: 2�� + 3�� + 4�� = � �, �, �� = ��1,2,1� + ��2,9,0� + 5�3,3,4�

= ��, 2�, �� + �2�, 9�, 0� + �35, 35, 45� = �� + 2� + 35, 2� + 9� + 35, � + 45�


� + 2� + 35 = �2� + 9� + 35 = �� + 45 = � � � $1 2 3 �

2 9 3 �1 0 4 �%

Observa-se que os sistemas (a) e (b) possuem a mesma matriz de coordenadas. Assim, pode-se provar que � é linearmente independente e que gera �� demonstrando que a matriz de coeficientes de (a) e (b) possui determinante diferente de zero. Logo, sendo a matriz dos coeficientes

� = $1 2 3

2 9 3

1 0 4

% então |�| = =1 2 3

2 9 3

1 0 4

= = −1

Conclusão: Como o determinante da matriz de coeficientes é diferente de zero,

então o conjunto H = �!�,!�,!� é uma base de ��.

Prova de (a):

$1 2 3 0

2 9 3 0

1 0 4 0

% ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� − &� ⇢ $1 2 3 0

0 5 −3 0

0 −2 1 0

% ⇢ &� =�

�&� ⇢

F1 2 3 0

0 1 −35* 0

0 −2 1 0

G

⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� + 2&� ⇢ LM

MN1 0 215* 0

0 1 −35* 0

0 0 −15* 0OP

PQ ⇢ &� =��

�&� ⇢

)1 0 215* 0

0 1 −35* 0

0 0 1 0

+ ⇢ &� = &� −��

�&� ⇢

⇢ &� = &� +�

�&� ⇢

$1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

% = � = 0� = 05 = 0

� O conjunto de vetores : = ��,��,�� é linearmente independente porque o sistema admite apenas a solução trivial (� = � = 5 = 0).


Exemplo 2: Para que valores de � ∈ � o conjunto : = ��1, ��, ��, 4� é base de �� ?

Solução:

Para mostrar que � é linearmente independente, e ao mesmo tempo mostrar que um dado vetor pode ser expresso como uma combinação de �, deve-se demonstrar que a matriz de coeficientes possui determinante diferente de zero. Para se obter a matriz de coeficientes, pode-se fazer “2�� + 3�� = ” ou “2�� +3�� = 0”. � �, �� = ��1, �� + ��, 4�

= ��, �� + ��, 4�� = �� + ��, �� + 4��

comparando os vetores termo a termo, tem-se: � + �� = �� + 4� = � � � �R = 0 � .1 �� 4

/ . .��/ = . � �/ � = .1 �� 4

/ � |�| ≠ 0 � S1 �� 4S ≠ 0 � 4 − �� ≠ 0 � �� − 4 ≠ 0

� ≠��±√��

�� ≠

±��.�.��

�.� � � ≠ ±2

Conclusão: � ≠ ±2 Exemplo 3: Sejam � = �1,2,1�, � = �2,9,0� e � = �3,3,4�, onde o conjunto H = �!�,!�, !� é

uma base de ��.

a) Encontre o vetor de coordenadas de = �5, −1,9� em relação a : 1.

b) Encontre o vetor em �� cujo vetor de coordenadas em relação à base : é I J� = I−1 3 2J�.

Solução:

a) 2 � + 3 � + 4 � = �5, −1,9� = ��1,2,1� + ��2,9,0� + 5�3,3,4� = ��, 2�, �� + �2�, 9�, 0� + �35, 35, 45� = �� + 2� + 35, 2� + 9� + 35, � + 45�


� + 2� + 35 = 5

2� + 9� + 35 = −1� + 45 = 9

� � $1 2 3 5

2 9 3 −1

1 0 4 9

%

1 Como já mencionado, um vetor de coordenadas de , denotado por ��, especifica os valores que devem ser multiplicados aos vetores da base de � = �, �, … , �� de forma que o vetor correspondente possa ser expresso como combinação linear desses vetores. Ou seja, = �� + �� +⋯+ ��, onde ��, ��, … , �� são as coordenadas de .


Obs.: Já tratado no Exemplo 1, uma forma mais prática de se chegar na matriz ampliada seria usando a matriz de coordenadas.

II �J� I �J� I �J�J. ;��5< = � $1 2 3 5

2 9 3 −1

1 0 4 9

%

$1 2 3 5

2 9 3 −1

1 0 4 9

% ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� − &� ⇢ $1 2 3 5

0 5 −3 −11

0 −2 1 4

% ⇢ &� =�

�&� ⇢

F1 2 3 5

0 1 −35* −11

5*0 −2 1 4

G ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� + 2&� ⇢ LM

MN1 0 215* 47

5*0 1 −3

5* −115*

0 0 −15* −2

5* OPPQ

⇢ &� =��

�&� ⇢ )1 0 21

5* 475*

0 1 −35* −11

5*0 0 1 2

+ ⇢ &� = &� −��

�&� ⇢

⇢ &� = &� +�

�&� ⇢

$1 0 0 1

0 1 0 −1

0 0 1 2

% = � = 1� = −15 = 2

�

Conclusão: I J� = $ 1

−1

2

%.

b) 2 � + 3 � + 4 � = , onde I J� = $−1

3

2

%. Ou seja, � = −1, � = 3 e 5 = 2.

! = −T � + " � + ( � = −1�1,2,1� + 3�2,9,0� + 2�3,3,4� = �−1, −2, −1� + �6,27,0� + �6,6,8� = �11,31,7�

Conclusão: = �11,31,7�.

Exemplo 4: Seja H = �!�,!�, !�,!� uma base para ��, onde � = �1,1,0,0�, � = �2,0,1,0�, � = �0,1,2, −1� e � = �0,1, −1,0�. Se = �1,2, −6,2�, calcule I J�.

Solução:

�� + �� + �� + �� =


II �J� I �J� I �J� I �J�J. )��+ = � )1 2 0 0 1

1 0 1 1 2

0 1 2 −1 −6

0 0 −1 0 2

+

)1 2 0 0 1

1 0 1 1 2

0 1 2 −1 −6

0 0 −1 0 2

+ ⇢ &� = &� − &� ⇢ )1 2 0 0 1

0 −2 1 1 1

0 1 2 −1 −6

0 0 −1 0 2

+

⇢ &� ↔ &� ⇢ )1 2 0 0 1

0 1 2 −1 −6

0 −2 1 1 1

0 0 −1 0 2

+ ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� + 2&� ⇢

⇢ &� = −&� ⇢

)1 0 −4 2 13

0 1 2 −1 −6

0 0 5 −1 −11

0 0 1 0 −2

+ ⇢ &� ↔ &� ⇢ )1 0 −4 2 13

0 1 2 −1 −6

0 0 1 0 −2

0 0 5 −1 −11

+

⇢ &� = &� + 4&� ⇢

⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� − 5&� ⇢ )1 0 0 2 5

0 1 0 −1 −2

0 0 1 0 −2

0 0 0 −1 −1

+ ⇢ &� = −&� ⇢

)1 0 0 2 5

0 1 0 −1 −2

0 0 1 0 −2

0 0 0 1 1

+ ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� + &� ⇢ )1 0 0 0 3

0 1 0 0 −1

0 0 1 0 −2

0 0 0 1 1

+

= 8 �� = 3�� = −1�� = −2�� = 1

�

Conclusão: I J� = ) 3

−1

−2

1

+.

Exemplo 5: Seja � o espaço vetorial �� de todos os polinômios de grau ≤ 1, e sejam : =�!�, !� e U = �'�,'� duas bases distintas para ��, onde � = � :: � = 1 :: '� = � + 1 :: '� = � − 1

Seja = A�� = 5� − 2

a) Calcule I J�.

b) Calcule I J�.


Solução:

a) = � � + � �

5� − 2 = �� + ��1� 5� − 2 = �� + �

comparando os vetores termo a termo, tem-se: 9 � = 5� = −2

�

Conclusão: I J� = . 5

−2/.

b) = �'� + �'�

5� − 2 = �� + 1� + �� − 1� 5� − 2 = �� + � + �� − �

5� − 2 = �� + �� + � − �


9 � + � = 5� − � = −2� � � = 3

2*� = 72* �

Conclusão: I J� = $32*

72* %.

Exemplo 6: Seja H = �V�,V�, V�, V�,V� um conjunto de vetores em ��. Encontre um subconjunto de � que seja base para � = I:J, onde �� = �1,2, −2,1� :: �� = �−3,0, −4,3� :: �� = �2,1,1, −1�, �� = �−3,3, −9,6� :: �� = �9,3,7, −6�

Solução:

Para mostrar que � é linearmente independente, então ,�� + ,�� + ,�� + ,�� + ,�� = 0

só deve admitir a solução trivial �� = �� = �� = �� = �� = 0. Logo,

II��J� I��J� I��J� I��J� I��J�J. LMMMN��OPP

PQ=

LMMMN000

0

0OPPPQ , que tem como matriz ampliada


) 1 −3 2 −3 9 0

2 0 1 3 3 0

−2 −4 1 −9 7 0

1 3 −1 6 −6 0

+ �� 8 � − 3� + 25 − 3W + 9? = 0

2� + 5 + 3W + 3? = 0

−2� − 4� + 5 − 9W + 7? = 0� + 3� − 5 + 6W − 6? = 0

�

) 1 −3 2 −3 9 0

2 0 1 3 3 0

−2 −4 1 −9 7 0

1 3 −1 6 −6 0

+ ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� + 2&� ⇢

⇢ &� = &� − &� ⇢ )1 −3 2 −3 9 0

0 6 −3 9 −15 0

0 −10 5 −15 25 0

0 6 −3 9 −15 0

+

⇢ &� =�

�&� ⇢ )1 −3 2 −3 9 0

0 1 −12* 3

2* −52* 0

0 −10 5 −15 25 0

0 6 −3 9 −15 0

+ ⇢ &� = &� + 3&� ⇢

⇢ &� = &� + 10&� ⇢

⇢ &� = &� − 6&� ⇢

LMMMN1 0 1

2* 32* 3

2* 0

0 1 −12* 3

2* −52* 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0OPPPQ

Conclusão: As linhas não-nulas são &� e &�. Nelas, os primeiros elementos não-nulos das linhas aparecem nas colunas 1 e 2 (1� e 1�), que correspondem aos vetores V� e V�. Logo, o conjunto �V�,V� é uma base para � = I:J.

Exemplo 7: Encontre uma base para �� que contenha os vetores �� = �1,0,1,0� e �� = �−1,1, −1,0� Solução:

Para isso é preciso associar ao conjunto ��,�� a base natural (ou base canônica) de ��.

A base canônica de �� pode ser dada por ��, ��, ��, ��, onde �� = �1,0,0,0�, �� = �0,1,0,0�, �� = �0,0,1,0� e �� = �0,0,0,1�

Assim, considera-se inicialmente o conjunto : = ��, ��, ��, ��, ��, ��. Então, ,�� + ,�� + ,�� + ,�� + ,�� + ,�� = 0. Ou seja,

II��J� I��J� I��J� I��J� I��J� I��J�J.LMMMMN��OP

PPPQ

=

LMMMMN0

0

0

0

0

0OPPPPQ, que tem como matriz ampliada


)1 −1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0

1 −1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

+ �� 8�� − �� + �� = 0�� + �� = 0�� − �� + �� = 0�� = 0

�

)1 −1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0

1 −1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

+ ⇢ &� = &� − &� ⇢ )1 −1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0

0 0 −1 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

+

⇢ &� = &� + &� ⇢ )1 0 1 1 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0

0 0 −1 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

+ ⇢ &� = −&� ⇢

)1 0 1 1 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 −1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

+ ⇢ &� = &� − &� ⇢ )1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 −1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

+

Conclusão: Todas as quatro linhas não são nulas. Nelas, os primeiros elementos não-nulos das linhas aparecem nas colunas 1, 2, 3 e 6 (1�,1�, 1� e 1�), que correspondem aos vetores V�,V�, X� e X�. Logo, o conjunto �V�,V�, X�,X� é uma base para �� que contem V� e V�.

3.6.2 Dimensão de um Espaço Vetorial

Um espaço vetorial não-nulo � é chamado de dimensão finita se contém um conjunto finito � �, �, … , � de vetores que constitui uma base de �. Se não existir esse conjunto, dizemos que � é de dimensão infinita .

Definição: A dimensão de um espaço vetorial de dimensão finita � é dada pelo número de vetores em uma base para � e denotada por dim��. Além disso, o espaço vetorial nulo é definido como tendo dimensão zero.

Nota: Se � é um subespaço de uma espaço vetorial � de dimensão finita, então dim�W� ≤ dim�V�; além disso, se dim�W� = dim�V�, então � = �.

Exemplo 1: Dimensões de alguns espaços vetoriais

dim�� = ' (pois a base canônica possui Y vetores)

dim�� = ' + 1 (pois a base canônica de um polinômio possui Y + 1 vetores)

dim�� = ).' (pois a base canônica de uma matriz possui �. Y vetores)


Exemplo 2: Ache uma base e a dimensão de �, onde � é o subespaço de �� gerado pelos vetores �� = �1, −2,5, −3�, �� = �2,3,1, −4� e �� = �3,8, −3, −5�.

Solução:

Para mostrar que � é linearmente independente, então 2�� + 3�� + 4�� = 0

�0,0,0,0� = ��1, −2,5, −3� + ��2,3,1, −4� + 5�3,8, −3, −5� = ��, −2�, 5�, −3�� + �2�, 3�, �, −4�� + �35, 85, −35, −55� = �� + 2� + 35, −2� + 3� + 85, 5� + � − 35, −3� − 4� − 55�


8 � + 2� + 35 = 0

−2� + 3� + 85 = 0

5� + � − 35 = 0

−3� − 4� − 55 = 0

� � ) 1 2 3 0

−2 3 8 0

5 1 −3 0

−3 −4 −5 0

+

) 1 2 3 0

−2 3 8 0

5 1 −3 0

−3 −4 −5 0

+ ⇢ &� = &� + 2&� ⇢

⇢ &� = &� − 5&� ⇢

⇢ &� = &� + 3&� ⇢

)1 2 3 0

0 7 14 0

0 −9 −18 0

0 2 4 0

+ ⇢ &� =�

�&� ⇢

)1 2 3 0

0 1 2 0

0 −9 −18 0

0 2 4 0

+ ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� + 9&� ⇢

⇢ &� = &� − 2&� ⇢ )1 0 −1 0

0 1 2 0

0 0 0 0

0 0 0 0

+ Conclusão: As linhas não-nulas são &� e &�. Nelas, os primeiros elementos não-

nulos das linhas aparecem nas colunas 1 e 2 (1� e 1�), que correspondem aos vetores V� e V�. Logo, o conjunto �V�,V� é uma base para � = I:J. Assim, em particular, dim�� = 2.

Exemplo 3: Ache uma base e a dimensão do subespaço � de ��, onde:

a) � = ��, �, ��: � + � + � = 0 b) � = ��, �, ��: � = � = � c) � = ��, �, ��: � = 3� Solução:

a) Note que � ≠ ��, pois por exemplo, �1,1,1� �. Assim, dim�� < 3.

Arbitrariamente, �� = �1,0, −1� e �� = �0,1, −1� são dois vetores independentes em �. Assim, dim�� = 2 e ��,�� formam uma base de �.

b) O vetor �1,1,1� ∈ �. Qualquer vetor ∈ � tem a forma = ��, �, ��. Logo, = ��. Assim, � gera � e dim�� = 1.


c) � ≠ ��, pois, por exemplo, �1,1,1� �. Assim, dim�� < 3. Os vetores �� = �1,0,3� e �� = �0,1,0� são dois vetores independentes em �. Assim,

dim�� = 2 e ��,�� formam uma base de �. Exemplo 4: Seja � o subespaço de �� gerado pelos vetores �� = �1, −2,0,3� :: �� = �2, −5, −3,6� :: �� = �0,1,3,0�, �� = �2, −1,4, −7� :: �� = �5, −8,1,2�

a) Ache uma base e a dimensão do subespaço �;

b) Expresse cada vetor que não está na base como uma combinação linear dos vetores da base;

c) Estenda a base de � a uma base de todo o espaço ��.

Solução:

a) ,�� + ,�� + ,�� + ,�� + ,�� = 0. Ou seja,

II��J� I��J� I��J� I��J� I��J�J. LMMMN��OPP

PQ=

LMMMN000

0

0OPPPQ, que tem como matriz ampliada

) 1 2 0 2 5 0

−2 −5 1 −1 −8 0

0 −3 3 4 1 0

3 6 0 −7 2 0

+ �� 8 �� + 2�� + 2�� + 5�� = 0

−2�� − 5�� + �� − �� − 8�� = 0

−3�� + 3�� + 4�� + �� = 0

−3�� + 6�� − 7�� + 2�� = 0

�

) 1 2 0 2 5 0

−2 −5 1 −1 −8 0

0 −3 3 4 1 0

3 6 0 −7 2 0

+ ⇢ &� = &� + 2&� ⇢

⇢ &� = &� − 3&� ⇢ )1 2 0 2 5 0

0 −1 1 3 2 0

0 −3 3 4 1 0

0 0 0 −13 −13 0

+

⇢ &� = −&� ⇢ )1 2 0 2 5 0

0 1 −1 −3 −2 0

0 −3 3 4 1 0

0 0 0 −13 −13 0

+ ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

⇢ &� = &� + 3&� ⇢

)1 0 2 8 9 0

0 1 −1 −3 −2 0

0 0 0 −5 −5 0

0 0 0 −13 −13 0

+ ⇢ &� =��

�&� ⇢ )1 0 2 8 9 0

0 1 −1 −3 −2 0

0 0 0 1 1 0

0 0 0 −13 −13 0

+

⇢ &� = &� − 8&� ⇢

⇢ &� = &� + 3&� ⇢

⇢ &� = &� + 13&� ⇢ )1 0 2 0 1 0

0 1 −1 0 1 0

0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0

+


Numa forma escalonada, ⇢ &� ↔ &� ⇢ )1 0 2 0 1 0

0 1 −1 0 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0

+

Conclusão: As linhas não-nulas são &�, &� e &�. Nelas, os primeiros elementos não-nulos das linhas aparecem nas colunas 1, 2 e 4 (1�, 1� e 1�), que correspondem aos vetores V�, V� e V�. Logo, o conjunto �V�, V�,V� é uma base para �. Assim, em particular, dim�� = 3.

b) No item anterior, observou-se que a matriz ampliada

Foi reduzida à matriz ampliada resultante

Sendo o conjunto �V�,V�,V� a base para �, que consequentemente pode ser representado como �Z�,Z�,Z�, que é a base canônica de �. Assim, pode-se expressar os vetores Z� e Z� (que não formam uma base) como combinação linear de �Z�,Z�,Z�. Para isso, basta extrair tais informações da própria matriz ampliada resultante:

� Z� = ('� − T'�

Z� = T'� + T'� + T'�

Logo, as relações correspondentes são: V� = (�� − T�� V� = T�� + T�� + T��

Conclusão: V� = 2�� − �� V� = �� + �� + ��

c) No item (a) o que foi encontrado foi uma base para �, que é um subespaço

de ��. Para se encontrar uma base para ��, são necessários 4 vetores ao invés de apenas 3 (como no caso do item supracitado). Afinal, no Exemplo 1 já foi mencionado que dim�� = 4.


Recorrendo à matriz escalonada resultante da base de �

) 1 2 2 0

−2 −5 −1 0

0 −3 4 0

3 6 −7 0

+ � )1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

+ observa-se que pode-se fazer uso de um dos vetores da base canônica de � de modo que se forme uma matriz escalonada perfeita. O vetor em questão seria X� = �0,0,1,0�, que dessa forma teríamos

) 1 2 0 2 0

−2 −5 0 −1 0

0 −3 1 4 0

3 6 0 −7 0

+ � reduzindo à forma escalonada � )1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

+ e por isso mostra serem linearmente independentes.

Conclusão: Uma base para � seria �V�,V�, V�, X�, onde �� = �1, −2,0,3� :: �� = �2, −5, −3,6� �� = �2, −1,4, −7� :: X� = �0,0,1,0� 33..77 MMUUDDAANNÇÇAA DDEE BBAASSEE Muitas vezes, para a resolução de um problema, torna-se muito mais simples se for adotado um referencial mais conveniente para descrevê-lo. Por exemplo, em um problema em que um corpo se move no plano ��, cuja trajetória é uma elipse, a descrição do movimento torna-se muito mais simples se for utilizado um referencial que se apoia nos eixos principais da elipse (plano ��), como ilustrado na figura abaixo.


Em uma situação desse tipo, é preciso se definir:

1. Qual deve ser o novo referencial;

2. Qual a relação entre as coordenadas de um ponto no antigo referencial e suas coordenadas no novo referencial.

Bases diferentes conduzem a diferentes matrizes. Daí, uma escolha adequada das bases é de fundamental importância. Naturalmente, como mencionado anteriormente é desejável trabalhar, sempre que possível, com as matrizes mais simples possíveis. Escolher corretamente as bases não é uma tarefa trivial. Definição: Ao mudar a base de um espaço vetorial � de alguma base velha : = ��,��, … , ��

para uma base nova U = �'�,'�, … , '�, então a velha matriz de coordenadas I J� de um vetor está relacionado com a nova matriz de coordenadas I J� do mesmo vetor pela equação

*�+� = ��←�*�+�

onde

��←� = **,�+� *,�+� ⋯ *,�+�+ 2,

sendo ��←� chamada de matriz de transição de [ para H 3.

Para o caminho inverso, tem-se, *�+� = ��←�*�+�

onde

��←� = ��←��

Exemplo 1: (Kolman, 2008) Seja � = �� e : = �V�,V�, V� e U = �'�,'�,'� duas bases distintas para��, onde �� = �2,0,1� :: �� = �1,2,0� :: �� = �1,1,1� '� = �6,3,3� :: '� = �4, −1,3� :: '� = �5,5,2�

a) Calcule a matriz de transição ��←�

b) Sendo = �4, −9,5�, encontre as coordenadas I J�.

c) Com base nas informações obtidas nos itens anteriores (��←� e I J�), calcule I J�

2 w�

��, por exemplo, representa as coordenadas usadas para que w� possa ser expresso como combinação linear

dos vetores da base S. 3 Alguns livros preferem chamar P�←� como matriz de mudança de base da base � para a base �.


Solução:

a) Para encontrar ��←�, é preciso encontrar ��,��, �� tais que �� + �� + �� = '�

Isso nos leva a matriz ampliada I�� '�J. Ou seja,

$2 1 1 6

0 2 1 3

1 0 1 3

% De forma análoga, é preciso encontrar ��,��,�� e ��, ��, ��, tais que �� + �� + �� = '� �� + �� + �� = '�

Que nos leva às respectivas matrizes ampliadas I�� '�J I�� '�J Como a matriz de coeficientes de todos os três sistemas lineares é I�� J, podemos transformar as três matrizes ampliadas para a forma escalonada reduzida por linha simultaneamente, transformando a matriz em blocos I�� ⋮ '� '� '�J Para a forma escalonada reduzida por linhas. Dessa maneira,

$2 1 1 ⋮ 6 4 5

0 2 1 ⋮ 3 −1 5

1 0 1 ⋮ 3 3 2

%

⇢ &� ↔ &� ⇢ $1 0 1 ⋮ 3 3 2

0 2 1 ⋮ 3 −1 5

2 1 1 ⋮ 6 4 5

% ⇢ &� = &� − 2&� ⇢

$1 0 1 ⋮ 3 3 2

0 2 1 ⋮ 3 −1 5

0 1 −1 ⋮ 0 −2 1

% ⇢ &� ↔ &� ⇢ $1 0 1 ⋮ 3 3 2

0 1 −1 ⋮ 0 −2 1

0 2 1 ⋮ 3 −1 5

%

⇢ &� = &� − 2&� ⇢ $1 0 1 ⋮ 3 3 2

0 1 −1 ⋮ 0 −2 1

0 0 3 ⋮ 3 3 3

% ⇢ &� =�

�&� ⇢

$1 0 1 ⋮ 3 3 2

0 1 −1 ⋮ 0 −2 1

0 0 1 ⋮ 1 1 1

% ⇢ &� = &� − &� ⇢

⇢ &� = &� + &� ⇢ $1 0 0 ⋮ 2 2 1

0 1 0 ⋮ 1 −1 2

0 0 1 ⋮ 1 1 1

% Assim I'�J� = $2

1

1

% :: I'�J� = $ 2

−1

1

% :: I'�J� = $1

2

1

%


Conclusão: Como ��←� = II'�J� I'�J� I'�J�J, então ��←� = $2 2 1

1 −1 2

1 1 1

%

b) I J� indica que é uma combinação linear dos vetores da base U. Assim, ��'� + ��'� + ��'� = � I'� '� '� J

$6 4 5 4

3 −1 5 −9

3 3 2 5

% ⇢ &� =�

�&� ⇢ F1 2

3* 56* 2

3*3 −1 5 −9

3 3 2 5

G ⇢ &� = &� − 3&� ⇢

⇢ &� = &� − 3&� ⇢

LMMN1 2

3* 56* 2

3*0 −3 5

2* −11

0 1 −12* 3 OP

PQ ⇢ &� ↔ &� ⇢ LMMN1 2

3* 56* 2

3*0 1 −1

2* 3

0 −3 52* −11OP

PQ

⇢ &� = &� −�

�&� ⇢

⇢ &� = &� + 3&� ⇢ )1 0 7

6* −43*

0 1 −12* 3

0 0 1 −2

+ ⇢ &� = &� −�

�&� ⇢

⇢ &� = &� +�

�&� ⇢

$1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 −2

% = �� = 1�� = 2�� = −2

�


2

−2

%

Prova: ��'� + ��'� + ��'� = � �� $6

3

3

% + �� $ 4

−1

3

% + �� $5

5

2

% = $ 4

−9

5

% � 1. $6

3

3

% + 2. $ 4

−1

3

% − 2. $5

5

2

% = $ 4

−9

5

% � $6

3

3

% + $ 8

−2

6

% − $10

10

4

% = $ 4

−9

5

% � $6 + 8 − 10

3 − 2 − 10

3 + 6 − 4

% = $ 4

−9

5

%


c) *�+� = ��←�*�+�

I J� = $2 2 1

1 −1 2

1 1 1

% . $ 1

2

−2

% � I J� = F 2.1 + 2.2 + 1. �−2�1.1 + �−1�. 2 + 2. �−2�

1.1 + 1.2 + 1. �−2� G


−5

1

%

Exemplo 2: Sendo um dado vetor de coordenadas I J� = $ 4

−5

1

% e matriz de transição ��←� =

$2 2 1

1 −1 2

1 1 1

%, encontre o vetor correspondente à nova base I J�

Solução:

I J� = ��←�I J� Como ��←� = ��←�

��, então I��←� ⋮ \J � I\ ⋮ ��←�

��J $2 2 1 ⋮ 1 0 0

1 −1 2 ⋮ 0 1 0

1 1 1 ⋮ 0 0 1

% ⇢ &� ↔ &� ⇢ $1 1 1 ⋮ 0 0 1

1 −1 2 ⋮ 0 1 0

2 2 1 ⋮ 1 0 0

%

⇢ &� = &� − &� ⇢

⇢ &� = &� − 2&� ⇢ $1 1 1 ⋮ 0 0 1

0 −2 1 ⋮ 0 1 −1

0 0 −1 ⋮ 1 0 −2

% ⇢ &� = −2&� ⇢

⇢ &� = −&� ⇢

F1 1 1 ⋮ 0 0 1

0 1 −12* ⋮ 0 −1

2* 12*

0 0 1 ⋮ −1 0 2

G ⇢ &� = &� − &� ⇢

)1 0 32* ⋮ 0 1

2* 12*

0 1 −12* ⋮ 0 −1

2* 12*

0 0 1 ⋮ −1 0 2

+ ⇢ &� = &� −�

�&� ⇢

⇢ &� = &� +�

�&� ⇢

)1 0 0 ⋮ 32* 1

2* −52*

0 1 0 ⋮ −12* −1

2* 32*

0 0 1 ⋮ −1 0 2

+

� ��←� = ) 32* 1

2* −52*

−12* −1

2* 32*

−1 0 2

+


I J� = ��←�I J�

I J� = ) 32* 1

2* −52*

−12* −1

2* 32*

−1 0 2

+ . $ 4

−5

1

%

� I J� = ) �32* �. 4 + �1

2* �. �−5� + ]−52* ^. 1�−1

2* �. 4 + �−12* �. �−5� + �3

2* �. 1�−1�. 4 + 0. �−5� + 2.1

+


2

−2

%



Subespaço Vetorial Real 1. Verifique quais dos itens abaixo é subespaço vetorial do conjunto dado:

a) : = ��, �� / � = −2� do ��

b) -.# /0 (0 #, /, ( ∈ �1 do M2x2

c) � = ��, �� / � = � + 1� do ��

d) � = ��, �� / � + 7� = 0� do ��

e) � = ��, �� / � ≥ 0� do ��

f) � = ��, �, "� / � = 4� " = 0� do ��

g) � = ��, �, "� / " = 2� − �� do ��

h) � = ��, �, "� / � = "�� do ��

i) � = ��, −3�, 4�� / � ∈ �� do ��

j) � = ��, �, "� / � + � + " = 0� do ��

Combinação Linear

2. Escreva o polinômio v = t2 +4t –3 sobre � = $� + 4$ − 4 sobre R como combinação linear

aos polinômios:

� = $� − 2$ + 5 :: � = 2$� − 3$ :: � = $ + 3

3. Para qual valor de k será o vetor � = �1, −2, �� em �� uma combinação linear dos vetores � = �5,0, −2� e ' = �2, −1, −5�

4. Sejam os vetores � = �2, −3,2� e = �−1,2,4� em ��. Pede-se:

a) Escrever o vetor ' = �7, −11,2� como Combinação Linear de � e .

b) Determinar uma condição entre �, �, � para que o vetor ' = �#,/, (� seja Combinação Linear de � e .

5. Consideremos no Espaço Vetorial � = _#$2 + /$ + ( / #,/, ( ∈ �` os vetores 2� = $� −

2$ + 1, 2� = $ + 2 e 2� = 2$� + 6. Pede-se: a) Escrever o vetor 2 = 5$� − 5$ + 7 como Combinação Linear de 2�, 2� e 2�.

b) Escrever o vetor 2 = 5$� − 5$ + 7 como Combinação Linear de 2� e 2�.


6. Seja S o subespaço do � definido por : = ��, �, 5, ?� ∈ �� / � + 2� − 5 = 0 � ? = 0.

Pergunta-se: a) � = �−1,2,3,0� ∈ : ? Por que?

b) = �3,1,4,0� ∈ : ? Por que?

c) ' = �−1,1,1,1� ∈ : ? Por que?

Subespaço Vetorial Gerado 7. Determinar os subespaços do �� gerados pelos seguintes conjuntos:

a) � = ��2, −1,3� b) � = ��−1,3,2�, �2, −2,1� c) � = ��1,0,1�, �0,1,1�, �−1,1,0�

d) � = ��−1,1,0�, �0,1, −2�, �−2,3,1�

8. Seja o conjunto � = � �, �, onde � = �−1,3, −1� e � = �1, −2,4�. Determinar:

d) O subespaço a(�)

e) O valor � ∈ � para que = �5, �, 11� pertença a a(�) 9. Sejam os vetores � = �1,1,1�, � = �1,2,0� e � = �1,3, −1�. Se � = �3, −1,�� ∈ I �, �, �J,

qual é o valor de �? 10. Determinar os subespaços de P (Espaço Vetorial dos polinômios de grau ≤ 2) gerados

pelos seguintes vetores:

a) A� = 2� + 2 :: A� = −�� + � + 3 :: A� = �� + 2�

b) A� = �� :: A� = �� + �

c) A� = 1 :: A� = � :: A� = �� 11. Determinar o Subespaço a(�), onde � = ��1, −2�, �−2,4�. O que representa

geometricamente este subespaço? 12. Seja o Espaço Vetorial ��. Determine os subespaços gerados por: � = .−1 0

0 1/, � = .1 −1

0 0/ e � = .0 1

1 0/


Dependência e Independência Linear

13. Classificar os seguintes subconjuntos de em LI (Linearmente Independente) ou LD (Linearmente Dependente) a) ��1,3�

b) ��1,3�, �2,6� c) ��2, −1�, �3,5� d) ��1,0�, �−1,1�, �3,5�

14. Verificar se são LI ou LD os seguintes subconjuntos de :

a) ��2, −1,3� b) ��1, −1,1�, �−1,1,1� c) ��2, −1,0�, �−1,3,0�, �3,5,0� d) ��2,1,3�, �0,0,0�, �1,5,2�

e) ��1,2, −1�, �2,4, −2�, �1,3,0� f) ��1, −1, −2�, �2,1,1�, �−1,0,3� g) ��1,2, −1�, �1,0,0�, �0,1,2�, �3, −1,2�

15. Verificar se são LI ou LD os seguintes subconjuntos de :

a) �2 + � − ��, −4 − � + 4��, � + 2�� b) _1 − � + �2, � − �2,�2` c) _1 + 3� + �2, 2 − � − �2, 1 + 2� − 3�2, −2 + � + 3�2` d) _�2 − � + 1, �2 + 2�`

16. Quais dos seguintes conjuntos de vetores do são LD ?

a) ��2,1,0,0�, �1,0,2,1�, �−1,2,0, −1� b) ��0,1,0, −1�, �1,1,1,1�, �−1,2,0,1�, �1,2,1,0� c) ��1, −1,0,0�, �0,1,0,0�, �0,0,1, −1�, �1,2,1, −2� d) ��1,1,2,4�, �1, −1, −4,2�, �0, −1, −3,1�, �2,1,1,5�

17. Sendo M(2,3) o Espaço Vetorial das matrizes 2 × 3, verificar se é LI ou LD, onde:

−−

=

−−

=

−−

=301

501

012

210

423

121CBA

18. Determinar K ∈∈∈∈ IR para que seja LI o conjunto ( ) ( ) ( ){ }0,2,,1,1,1,2,0,1 −− K


19. Determinar K ∈∈∈∈ IR para que

−

0

12,

00

11,

01

01

K seja LD.

Bases e Dimensão

20. Sendo ( )2,11 =v ∈ 2IR , determinar v2 ∈ 2IR tal que { }21,vv seja base de 2IR .

21. Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do 2IR :

a) ��1,2�, �−1,3� b) ��3, −6�, �−4,8� c) ��0,0�, �2,3�

d) ��3, −1�, �2,3�

22. Para que valores de k ∈ IR o conjunto ( ) ( ){ }4,,,1 kk=β

é base do 2IR ?

23. O conjunto � = ��2, −1�, �−3,2� é uma base do 2IR . Escrever o vetor genérico do 2IRcomo Combinação Linear de �.

24. Quais do seguintes conjuntos de vetores formam uma base do 3IR ?

a) ��1,1, −1�, �2, −1,0�, �3,2,0� b) ��1,0,1�, �0, −1,2�, �−2,1, −4� c) ��1,2,3�, �4,1,2� d) ��2,1, −1�, �−1,0,1�, �0,0,1� e) ��0, −1,2�, �2,1,3�, �−1,0,1�, �4, −1, −2�

25. Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base de 2P ?

a) 2t� + t − 4, t� − 3t + 1

b) 1, t, t�

c) 2, 1 − x, 1 + x�

d) 1 + x + x�, x + x�, x�

e) x − x�, 1 + x, 1 + 2x − x�

26. Determinar uma base do subespaço do 4IR gerado pelos vetores

� = �1, −1,0,0� :: � = �−2,2,2,1� :: � = �−1,1,2,1� :: � = �0,0,4,2�


27. Seja 3IRV = e o conjunto B ( ) ( ) ( ){ } 31,2,1,0,1,1,1,1,0 IR⊂= ;

a) Mostrar que B não é base do ;3IR

b) Determinar uma base do 3IR que possua dois elementos de B.

28. Sejam os vetores ( ) ( ) ( )0,1,01,2,1,1,0,1 321 −==−= vevv do 3IR ;

a) Mostrar que B { }321 ,, vvv= é base do 3IR ;

b) Escrever cada um dos vetores ( ) ( ) ( )1,0,0,0,1,0,0,0,1 321 === eee como CL dos

vetores da base B.

29. Determinar uma dimensão para cada um dos seguintes subespaços vetoriais:

a) ( ){ zyxW ,,= ∈ }xyIR 3/3 =

b) ( ){ zyxW ,,= ∈ }05/3 == zexyIR

c) ( ){ yxW ,= ∈ }0/2 =+ yxIR

d) ( ){ zyxW ,,= ∈ }yzeyxIR −== 3/3

e) ( ){ zyxW ,,= ∈ }032/3 =+− zyxIR

f) ( ){ zyxW ,,= ∈ }0/3 =zIR 30. Determinar a dimensão para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de ��:

a)

=+=

= cdecabdc

baV /

b)

+=

= cabdc

baV /

c)

=−=

= 03/ debacdc

baV

d)

+=+

= cbdadc

baV /

31. Seja o subespaço

=+=

= adedacdc

baS / de ��. Pede-se:

a) Qual é a dimensão de S ?

b) O conjunto

−43

12,

10

11é uma base de S ? Justificar!


32. Sejam os vetores ( ) ( ) ( )4,2,7,3,5,1,2,3,2,0,1,1 321 −−−=−=−−= vvv . Pede-se:

a) Encontre o Subespaço � de IR4 gerado por v v e v1 2 3, ;

b) O vetor ( )∈−−= 1,1,0,2u � ? Por que?

c) O vetor ( )∈−−= 1,5,6,3u � ? Por que?

d) Os vetores v v e v1 2 3, são LI ou LD ? Justificar!

e) Qual a dimensão de � (dim��) ? Por que?

f) Encontre uma base de �. Justificar!

33. Sejam os vetores ( ) ( ) ( )2,0,1,1,5,1,2,3,4,2,1,3 321 −−=−=−= vvv . Pede-se:

a) Encontre o Subespaço � de IR4 gerado por v v e v1 2 3, ;

b) O vetor ( )∈−−−= 5,1,3,2u � ? Por que?

c) O vetor ( )∈−= 0,2,1,1u � ? Por que?

d) Os vetores v v e v1 2 3, são LI ou LD ? Justificar!

e) Qual a dimensão de � (dim��) ? Por que?

f) Encontre uma base de �. Justificar!

Mudança de Base 34. Sejam as bases � = ��,�� e � = ��,��

� de �, onde

�� = �1,0� :: �� = �0,1� �� = �1,1� :: �� = �2,1� a) Calcule a matriz de transição ��←�

b) Sendo �� = −3 5��, encontre as coordenadas ��.

35. Seja = � e � = ��,��,��

� e � = ��,��,�� duas bases distintas para�, onde

�� = �2,0,1� :: �� = �1,2,0� :: �� = �1,1,1� �� = �6,3,3� :: �� = �4, −1,3� :: �� = �5,5,2� a) Calcule a matriz de transição ��←�

b) Sendo � = �4, −9,5�, encontre as coordenadas ��.

c) Com base nas informações obtidas nos itens anteriores (��←� e ��), calcule ��


36. Sendo um dado vetor de coordenadas �� = � 4

−5

1

� e matriz de transição ��←� =

�2 2 1

1 −1 2

1 1 1

�, encontre o vetor correspondente à nova base ��


RESPOSTAS

1. a) Sim :: b) Sim :: c) Não :: d) Sim :: e) Não

f) Sim :: g) Sim :: h) Não :: i) Sim :: j) Sim

2. � = −3�� + 2�� + 4��

3. � =��

�

4. a) � = 3� − �

b) 16� + 10� − �

5. a) � = �� − 3�� + 2�� b) Impossível

6. a) Sim, porque (� + 2� − � = −1 + 2.2 − 3 = 0) e �� = 0 = 0�

b) Não, porque �� + 2� − � = 3 + 2.1 − 4 ≠ 0� c) Não, porque �� = 1 ≠ 0�

7. a) ��,�, �� ∈ � / � = −2� � � = −3�� b) ��,�, �� ∈ � / 7� + 5� − 4� = 0� c) ��,�, �� ∈ � / � + � − � = 0� d) �

8. a) �� = ��,�, �� ∈ � / 10� + 3� − � = 0� b) � = −13

9. � = 7

10. a) � = �� + �� + � / � = 2� + ��

b) � = �� + �� / �,� ∈ � c) � = �

11. A reta � = −2�

12. � = �� ! / � + � − � + = 0"

13. a) LI

b) LD

c) LI

d) LD

14. a) LI b) LI

c) LD d) LD

e) LD f) LI

g) LD

15. a) LD

b) LI

c) LD

d) LI

16. Itens “b” e “d”

17. LI

18. # ≠ 3


19. # = 3

20. �� ≠ �� ∀� ∈ 21. Itens “a” e “d”

22. # ≠ ±2

23. ��,�� = �2� + 3��2, −1� + �� + 2��−3,2�

24. Itens “a” e “d”

25. Itens “b”, “c” e “d”

26. ��,��

27. a) $0 1 1

1 1 2

1 0 1

$ = 0. Ou seja, B é LD.

b) ��0,1,1�, �1,1,0�, �0,0,1��

28. a) $ 1 1 0

0 2 −1

−1 1 0

$ ≠ 0. Ou seja, B é LI.

b) �� =�

�� +

�

�� + �� :: �� = −�� :: �� = −

�

�� +

�

�� + ��

29. a) dim�%� = 2

b) dim�%� = 1

c) dim�%� = 1

d) dim�%� = 1

e) dim�%� = 2

f) dim�%� = 2

30. a) dim� � = 2 b) dim� � = 3 c) dim� � = 2 d) dim� � = 3

31. a) dim�� = 2, porque o subespaço � é função de 2 variáveis � � = � � �2� �!

b) Não é uma base porque �1 −1

0 1! � = � � �

2� �! e �2 1

3 4! �.

32. a) � = ��,�, �, �� ∈ � / 2� + � + � = 0�

b) Não. � �, porque � não satisfaz a condição 2� + � + � = 0.

c) Sim. � ∈ �.

d) LI, porque nenhum dos 3 vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois.

e) dim�� = 3

f) ��,��,�� porque esses vetores são LI.

33. a) � = ��,�, �, �� ∈ � / � + � + � = 0 � � − � + � = 0�

b) Não. � �, porque � não satisfaz a condição � − � + � = 0.

c) Sim. � ∈ �.


d) LD, porque �� é CL de ��,��. �� =�

�� −

�

��

e) dim�� = 2

f) ��,�� porque, usando escalonamento, as linhas não-nulas são &� e &�. Ou seja, ��,�� são LI.

34. a) ��←� = �1 2

1 1!

b) �� = 7 2��. Ou seja, −3�� + 5�� = 7�� + 2��.

35. a) ��←� = �2 2 1

1 −1 2

1 1 1

� c) �� = 1 2 −2��

d) �� = 4 −5 1��

36. �� = 1 2 −2��



UNIDADE 4 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES Notas de Aula

Uma transformação linear é uma aplicação que leva vetores de um espaço vetorial em outro. Denota-se uma transformação linear como �:� → �, onde � é a transformação linear (uma aplicação, mapeamento, função, etc) de � em �, sendo � (um espaço vetorial) o domínio e � (um espaço vetorial) o contradomínio . Definição: Se �:� → � é uma função de um espaço vetorial � em um outro espaço vetorial

�, então � é chamada uma transformação linear de � em � se, para quaisquer vetores � e � em � e qualquer escalar valem

(i) �� + � = �� + �� ;

(ii) �� = �� . No caso especial em que � = �, a transformação linear é chamada um operador linear de .

Observações.

• Nós escrevemos �:� → � para indicar que � aplica vetores do espaço vetorial � em vetores do espaço vetorial �. Isto é, � é uma função com domínio �, contra domínio � e cuja imagem é um subconjunto de �;

• �� é lido " � de � ", de modo análogo à notação funcional '��, que é lida " ' de �";

• No caso especial em que � = �, ou seja, uma transformação linear �:� → �, que tem

como domínio e contra domínio o mesmo espaço vetorial �, a transformação linear é chamada um operador linear de ;

• As duas condições (i) e (ii) da definição podem ser aglutinadas numa só:

�� + � = �� + �� .


Exemplo: Dentre as transformações, verifique quais são lineares:

a) �:� → , ��,�� = 2� + 3�

b) �:� → �, ��,�� = �2�, 3��

c) �:� → �, ��,�� = �� + �, � − ��

d) �:� → �, ��,�� = �� + �, 0,0�

e) �:� → , ��,�� = 2� + 3� + 4

f) �:� → �, ��,�� = ��,�� g) �:� → �, ��,�� = �� + �, 1,3�

Solução: Sendo � = ��,�� e � = ��,��...

a) �:� → , ��,�� = 2� + 3� (i) �� + �� = �(��,�� + ��,��) = �� + ��,�� + ��

Como ��,�� = �2�, 3��, faz-se “� = �� + ��” e “� = �� + ��”

��,�� = 2� + 3� = 2�� + �� + 3�� + �� = 2�� + 2�� + 3�� + 3�� = �2�� + 3�� + �2�� + 3�� = ��,�� + ��,�� = �� + ��

(ii) ��*�� = �(*��,��) = ��*��,*�� ,�� = 2� + 3� = 2*�� + 3*��

= *�2�� + 3�� = *��

Conclusão: ��,�� = 2� + 3� é uma transformação linear

b) �:� → �, ��, �� = �2�, 3��

(i) �� + �� = �(��,�� + ��,��) = �� + ��,�� + ��

Como ��,�� = �2�, 3��, faz-se “� = �� + ��” e “� = �� + ��”


��,�� = �2�, 3�� = (2�� + ��, 3�� + ��) = �2�� + 2��, 3�� + 3�� = (�2��, 3�� + �2��, 3��) = �� + ��

(ii) ��*�� = �(*��,��) = ��*��,*�� ,�� = �2�, 3�� = (2�*��, 3�*��) = �2*��, 3*��

= *�2��, 3�� = *��

Conclusão: ��,�� = �2�, 3�� é uma transformação linear

c) �:� → �, ��, �� = �� + �, � − �� (i) �� + �� = �(��,�� + ��,��) = �� + ��,�� + ��

Como ��,�� = �2�, 3��, faz-se “� = �� + ��” e “� = �� + ��”

��,�� = �� + �, � − �� = (�� + �� + �� + ��, �� + �� − �� + ��) = (�� + �� + �� + ��, �� + �� − �� + ��) = (�� + ��, �� − �� + �� + ��, �� − ��) = �� + ��

(ii) ��*�� = �(*��,��) = ��*��,*�� ,�� = �� + �, � − �� = �*�� + *��,*�� − *��

= *�� + ��, �� − �� = *��

Conclusão: ��,�� = �� + �, � − �� é uma transformação linear

d) �:� → �, ��, �� = �� + �, 0,0� (i) �� + �� = �(��,�� + ��,��) = �� + ��,�� + ��

Como ��,�� = �2�, 3��, faz-se “� = �� + ��” e “� = �� + ��”

��,�� = �� + �, 0,0� = (�� + �� + �� + ��, 0,0) = (�� + ��, 0,0� + �� + ��, 0,0�) = �� + ��

(ii) ��*�� = �(*��,��) = ��*��,*�� ,�� = �� + �, 0,0� = �*�� + *��, 0,0�

= *�� + ��, 0,0� = *��


Conclusão: ��,�� = �� + �, 0,0� é uma transformação linear

e) �:� → , ��,�� = 2� + 3� + 4 (i) �� + �� = �(��,�� + ��,��) = �� + ��,�� + ��

Como ��,�� = �2�, 3��, faz-se “� = �� + ��” e “� = �� + ��”

��,�� = 2� + 3� + 4 = 2�� + �� + 3�� + �� + 4 = 2�� + 2�� + 3�� + 3�� + 4 = �2�� + 3�� + �2�� + 3�� + 4 = ��,�� + ��,�� + 4 ≠ �� + ��

Conclusão: ��,�� = 2� + 3� + 4 não é uma transformação linear porque ��0,0� = 4

f) �:� → �, ��, �� = ��,�� (i) �� + �� = �(��,�� + ��,��) = �� + ��,�� + ��

Como ��,�� = �2�, 3��, faz-se “� = �� + ��” e “� = �� + ��”

��,�� = ��,�� = �� + ��,�� + �� = (�� + 2�� + ��,�� + 2�� + ��) = ��,�� + (��,��) + �2��, 2�� ≠ �� + ��

Conclusão: ��,�� = ��,�� não é uma transformação linear

g) �:� → �, ��, �� = �� + �, 1,3�

Conclusão: ��,�� = �� + �, 1,3� não é uma transformação linear porque ��0,0� = �0,1,3� ≠ �0,0,0�



Transformações Lineares 1. Dentre as transformações, verifique quais são lineares:

a) ( ) ( )yxyxyxTT 52;3;,: 22 +−=ℜ→ℜ

b) ( ) ( )2222 ;;,: yxyxTT =ℜ→ℜ

c) ( ) ( )0;;,: 22 yxyxTT −=ℜ→ℜ

d) ( ) ( )2;,: 2 xxTT =ℜ→ℜ

e) ( ) zyxzyxTT −+−=ℜ→ℜ 23;;,: 3

f) ( ) ( )

+−=→ℜ

yxy

xyyxTMT

2

32;,2,2: 2

g) ( ) ( )cbcadc

baTMT +−=

ℜ→ ;,2,2: 2

h) ( )

−−++

=ℜ→ℜzx

zyxzyxTT

2

32;;,: 23

RESPOSTAS

1. a) T é linear

b) T não é linear

c) T é linear

d) T não é linear

e) T é linear

f) T é linear

g) T é linear

h) T é linear


BIBLIOGRAFIA E REFERÊNCIAS (Anton, 2001) Anton, H; Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. 8ª edição. Porto Alegre: Bookman, 2001. (Kolman, 2008) Kolman, B. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. 8ª edição. LTC, 2008. (Lipschutz, 1994) Lipschutz, S. Álgebra Linear: 591 Problemas Resolvidos, 442 Problemas Suplementares. 3ª edição. Makron Books, 1994. (Boldrini, 1986) Boldrini, J. L. Álgebra Linear. 3ª edição. Harbra, 1986.

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