3 - Noes bsicas de electromagnetismo. Lei geral de induo3.1-Magnetosttica 3.2-Fora magnetomotriz, fluxo e relutncia magntica 3.3-Lei de Biot Savart 3.4-Saturao e histerese magntica 3.5-Fora de Laplace. Efeito de Hall 3.6-Campo magntico varivel. Lei geral de induo 3.7-Transformador ideal

Cap. 3

58

3.1. MAGNETOSTTICAO campo magntico pode ter origem no movimento de cargas elctricas - corrente elctrica ou em materiais com propriedades ferromagnticas (ex.: iman permanente). A magnetosttica estuda o fenmeno magntico no varivel no tempo.

I S S (1) N (2) N

Figura 3.1- Origem do campo magntico: (1) Corrente; (2) Iman permanente.

3.2. FORA MAGNETOMOTRIZ, FLUXO E RELUTNCIA MAGNTICAFluxo Magntico: O fluxo magntico numa regio com campo magntico uniforme dado por: =BxA

A

Figura 3.2- Fluxo magntico. A- rea (m2) B- densidade de fluxo magntico por unidade de rea (Tesla) - fluxo total na rea A (Weber)

Campo magntico gerado por uma bobina I (N)

Figura 3.3- Bobina de N espiras percorrida por uma corrente I. N- n de espiras da bobina Cap. 3 59

I- corrente que percorre a bobina A fora magnetomotriz produzida pela bobina dada por: = NxI

- fora magntomotriz

(A.t) (adimensional) (A)

N - n de espirais I - corrente elctrica

O sentido do campo dado pela regra da mo direita (o polegar indica o sentido do campo magntico quando os restantes dedos apontam o sentido da corrente) ou pela regra do saca-rolhas.

Circuito magntico= x

- fora magnetomotriz (A.t) - fluxo magntico (Wb) - relutncia magntica (A.t/ Wb)

Lei do circuito magntico - =

Associao de relutncias magnticas:

RT=R1+ R2 +R3+ R4Cap. 3

RT=R1+(R2//R3)60

R1 R2 R4 R3

R3 R2 R1

(1) Associao Srie

(2)Associao Paralelo

Figura 3.4- Associao de relutncias magnticas: (1) Srie; (2) Paralelo. Analogias com a lei de Ohm:m B = H m V R V R D = E I=

=

I

EQS . = 1 + 2 + ... + n = ii =1

N

(Associao srie)(Associao paralelo)

1 EQ P .

=

N 1 1 1 1 + +...+ = 1 2 n i =1 i

3.3. LEI DE BIOT SAVARTClculo do campo magntico gerado por um condutor linear de comprimento infinito

Cap. 3

61

IR

R

P

l

I Figura 3.5- Condutor linear percorrido por uma corrente I.

I- Intensidade P- Ponto genrico a uma distncia R do eixo central do condutor R- Raio do condutor Premissas: l>>r para ser vlida a aproximao relativa ao comprimento Distribuio uniforme de corrente na seco transversal do condutor Meio homogneo = 0 em todo o espao Simetria cilindrca

Aplicando a lei de Hopkinson e tomando como percurso de circulao uma circunferncia contida num plano transversal ao condutor e concntrica com este, temos: 1 caso) Interior do condutor

Cap. 3

62

rR r h.dl = I ab

H . 2 r = I

I r2 r2 H= 2 r R 2 R2

H=

I r 2 R 2

(1)

2 caso) Exterior do condutorr>R r rr h .d l = I

H x 2 r = I

H=

I 2 r

(2)

Representando graficamente as expresses (1) e (2), obtemos a andamento da intensidade do campo magntico em redor do condutor:

r H (A/m ) I

2 R

R

r (m)

Figura 3.6- Campo magntico gerado por um condutor linear. Concluses: A intensidade do campo magntico H cresce linearmente no interior do condutor e decresce com 1 r fora do condutor;

Cap. 3

63

Atinge um valor mximo junto superfcie que vale I 2R (proporcional corrente); Existe continuidade do campo H na transio do condutor para o meio exterior.

3.4. SATURAO E HISTERESE MAGNTICANos materiais no lineares (ex.: substncias ferromagnticas) a relao B=f (I) uma relao no linear =f(I)

1- Zona linear ( vlida a aproximao linear) 2- Zona de saturao

r =

0

- Permeabilidade magntica relativa

B 2 1

I H Figura 3.7- Saturao magntica.

Histerese magnticaEm circuitos magnticos com materiais no lineares necessrio considerar o fenmeno de histerese e das correntes induzidas (correntes de Foucault).

Cap. 3

64

B Br Br- Magnetismo residual Hc H Hc- Campo coercivo

Figura 3.8- Histerese magntica.

3.5. FORA DE LAPLACE. EFEITO DE HALL.r Admitindo que na figura a seguir representada J uniforme na seco da placa

condutora as cargas em movimento ficam sujeitas fora de Laplace, dada por:

r r r FL = Q v x B v v - Velocidade mdia dos electres ou ies v B - Induo magnticaQ Carga elctrica r r r FL actua numa direco perpendicular ao plano definido por v x B , sendo o sentido dado pela regra dos 3 dedos da mo direita (q>0) e intensidade dada por: r r r FL = q v B sen

(

)

v v - ngulo entre os vectores v e B .r B r J A Em

l r r B J B Ee

Figura 3.9- Efeito de Hall. r Tudo se passa como se existisse um campo E m dado por:Cap. 3 65

r r F r r Em = = v x B Q

r r r Na situao de equilibrio: E m + E e = 0 e entre o lado A e B existir uma diferena de potencial dada por:b r r r Va Vb = E l dl = v B l a

Fora entre condutores (origem magntica)Considerando que um condutor percorrido por uma corrente elctrica de intensidade i, temos:dq i= dt r r r dF = dq v x B

( ) r dq r r dF = ( v dt x B) dt r r r dF = i (ds x B)Considerando a corrente contnua e um campo magntico uniforme ao longo do condutor ( = ) 2 r dF =I ds B

(sen=1)

A fora total para um comprimento L dada por: F=B I L L- Comprimento do condutor sob aco do campo do campo magntico Cap. 3

66

I- Intensidade da corrente B- Induo magntica F- Fora devida ao campo magntico I F r B

Figura 3.10- Fora exercida num condutor percorrido pela corrente I r e sujeito aco de um campo magntico B .

1) Correntes concordantes Desprezando a fora de origem elctrica e considerando que = 0 e d>>r, tem-se: I r F12 (1) d Figura 3.11- Fora de atraco no caso de correntes concordantes.r r F = F12 r F21

I r F21 (2)

L

ATRACO

F I I' = 0 L 2 d

Nesta situao temos por exemplo em relao ao condutor (2)

Cap. 3

67

B21 =

0 I I' L 2 d 0 I I' Logo F21 / L = 2 dF21 = B21 I' L =

0 I 2 d

2) Se as correntes forem discordantes teremos:

I

r F12

r F21 I d

REPULSO

Figura 3.12- Fora de repulso no caso de correntes discordantes. F I I' = 0 L 2 d Variao da intensidade da fora:

F/L

(1) (2) I d I=I

Figura 3.13- Variao da intensidade da fora entre condutores: (1) em funo de I; (2) em funo de d. Cap. 3 68

3.6. CAMPO MAGNTICO VARIVEL. LEI GERAL DE INDUO.A um campo magntico varivel est associada uma fora electromotriz induzida. O valor da fora electromotriz induzida dado pela lei geral de induo:

e(t) =

d dt

e(t)- fora electromotriz induzida

- fluxo magntico total associado ao percurso de induoA fora electromotriz induzida contraria a causa que a originou (Lei de Lenz). Exemplo: Determine o valor da fora electromotriz induzida num enrolamento de N espiras sendo: a) = 00 ; B = B0 sen1t b) = 300 ; B = B0 sen1t c) = = 900 ; B = B0 sen1t 2 d) = 2 t; B = B 0

-ngulo entre a normal (positiva- de acordo com o sentido de circulao) ao planor das espiras e o campo magntico B

Se N=1

r n

r B

e(t)

Cap. 3

69

A- rea da espira N- N de espiras do enrolamento e(t) - Fora electromotriz induzidad dt = N = NB A cos e( t ) =

Substituindo vem: d d ( N B A cos ) = N A B cos dt dt

e(t) =

a)

= 00

e(t ) = N A cos0 B 0 1 cos 1 t = = NA B 0 1 cos 1 t

b) = 30 0 c) = 900 d)

e(t ) = NA B 0 1 cos 1 t e(t) = 0

3 2

d B0 cos 2 t=NA B0 2 sen 2 t= dt =NA B0 2 sen 2 t e ( t ) = NA

3.8. TRANSFORMADOR IDEALAproximaes: - No existe dissipao de energia - Coeficiente magntico de acoplamento unitrio (K=1) - Coeficientes/auto-indues L11 e L22 infinitos Lei Geral de Induo: Cap. 3 70

d 1 dt = 2 = d 2 1 v2 = n2 dt v1 = n1

v1 n1 = v2 n2

relao de transformao

m = m n1 I1 + n 2 I 2 = m i n como m = 0(caso ideal) 1 = 1 i2 n2

(A)

di1 di + LM 2 dt dt Se i2=0 atendendo relao (A) i1=0 di 2 di1 v2 = LM + L22 dt dt v1 = L11

Para v1 0 L11= . O mesmo raciocnio pode ser aplicado a L22.

v1 i1 = v 2 (-i 2 )

potncia fornecida ao primrio = potncia cedida ao secundrio

v1 n n 1 v n = v2 1 1 = 2 1 i1 n 2 n 2 ( -i 2 ) -i 2 n 2

2

impedncia (resistncia) de carga i1 v1 R v1 i1 2

n1 R n2

Pode ser utilizado para adaptao de impedncia (maximizar rendimento de transferncia de potncia entre gerador e carga) Figura 3.14- Utilizao do transformador como adaptador de impedncias.Cap. 3 71

Isolamento galvnico

~

ZC

Figura 3.15- Utilizao do transformador para isolamento galvnico. S faz-se acoplamento da componente A.C. (bloqueia componente D.C.)

Transporte de energia (minimizar perdas de Joule)

T1 Geradorn1 n2 > 1

ZC carga

Figura 3.16- Utilizao do transformador no transporte de energia.

Cap. 3

72

ANEXOTABELA DE PERMEABILIDADES ( r ) Substncia Tipo

r0.99983 0.99998 0.999991 0.999991 1 1.0000004 1.00002 250 600 5 000 100 000 200 000 1000 000

Bismuto Prata Cobre gua Vcuo Ar Alumnio Cobalto Nquel Ferro (0.2)*

Diamagntico No magntica Paramagntica Ferromagntica

78 Permalloy Ferro (0.05)* Supermalloy *- Grau de impurezas B= H B- Induo magntica (T) H- Campo magntico (H)

- Permeabilidade magntica (H.m-1) r - Permeabiliadde relativa ( r = 0 = 4 .107 H.m-1 ) 0

Cap. 3

73

RESUMO DAS UNIDADES ELCTRICAS E MAGNTICAS (S.I.) Q E D U Carga elctrica Intensidade do campo elctrico Deslocamento elctrico Potencial Densidade superficial de carga Densidade volumtrica de carga Capacidade Permitividade elctrica Intensidade de corrente Densidade de corrente Resistncia Condutncia Induo magntica Fluxo magntico Intensidade do campo magntico Fora magnetomotriz Indutncia Permeabilidade magntica Q=I x t E= F Q Coulomb Volt/m

( C)(V/m) (C/m2) (V) (C/m2) (C/m3) (F) (F/m) (A) (A/m2)

D = E Coulomb/m2U= EP Volt Q Q A Q V Q U Coulomb/m2 Coulomb/m3 Farad

C

= =C=

I J R G B

= 0 r Farad/m

I=

Q t

Ampere Ampere/m2 Ohm

I J= A R= U I

( )(S) r 1

G = 1 R SiemensB = H r Tesla = B.A Weber

(T) (W) (A/m)

H F L

H=

B

Ampere/m

Gilbert

F = I Ampere.Volta (Gb)

L=

I

Henry

(H) (H/m)

= 0 r Henry/m

Cap. 3

74

Formulrio Captulos 1, 2 e 3

Lei de Coulomb Q1 Q 2 =QE 4 d2 D = E F= 1

Campo gerado pela carga pontual: Q 4 d 2 1

E=

Capacidade de um condensador: C = Q U cilindrico: 2 ln R 2 R 1 esfrico: plano:4 1 1 R R 2 1

Ad QU U 2 C Q 2 = = 2 2 2C

Energia de um condutor carregado W =

Densidade de energia elctrica Wv =

ED E 2 D 2 = = 2 2 2

Corrente elctrica de conduo I =

dQ dt

Cap. 3

75

Lei de Ohm I =

U R

(A)

Potncia associada corrente elctrica P = U . I

(W)

Fora sobre um elemento de corrente inserido num campo magntico r r dF = H x d s I (N)

Fora entre correntes paralelas F =

I 1 I 2 d = (N) 2 2

Indutncia de um selenoide L =

N 2S d

(H)BH B2 H 2 = = 2 2 2

Densidade de energia magntica Wv =

(J/m3)

r r r Vector de Poynting (densidade de fluxo de energia radiante) S = E x H

Equaes de Maxwell

r B Lei de Faraday rot E = t r r r D Lei de Ampere rot h = J + t r Equao de Poissom div D =

r Continuidade das linhas de fora do campo magntico div B =0

Teoremas associados s leis de Maxwell Cap. 3

76

E.d =

d dt r r D r J + .n ds dt

h.d = S

Cap. 3

77

Bobinasi(t) + v(t) -

v( t ) = L

di( t ) dt

L- indutncia

[ L] =Henry

i (t 0 ) =

1 0 v(t ) dt L

t

Energia armazenada:t0

W (t 0 ) =t0

v(t ) i(t ) dt =

= =

L

di(t ) i(t ) dt = dt

1 1 L i 2 (t 0 ) i 2 (- ) = L i 2 (t 0 ) 2 2 assumindo valor nulo

[

]

Em correntes sinusoidais i(t)=I0 sen ( t) tem-se:

di(t ) = L I 0 cos (t ) = V0 cos (t ) dt [L] = ( ) V0 = L I 0 v (t ) = L

reactncia indutiva

Cap. 3

78

Para correntes continuas: regime D.C. d (K ) = 0 dt constante A bobina comporta-se como um curto-circuito

= 0 v (t ) =

Pela Lei Geral de Induo tem-se: i(t) v( t ) = v(t) n - n de espiras - Fluxo magntico Linhas de fora do campo magntico (sentido regra do saca-rolhas)

d d ( n ) = n dt dt

Para bobinas lineares tem-se: = n = L i

[] = [ ] = WEBER

A indutncia depende de factores geomtricos e do meio - Permeabilidade Magntica. Ex.: "Toroidal core"

L= R n

r 0 n2 A 2R

0 = 4 . 10-7 H.m-1 (permeabilidade magntica doar ou vazio)

Considerando vlida a aproximao linear, tem-se: Cap. 3

79

L=

n2 A l/ n2 A i l

= Li n = /ni = l Am

1

m

m - fora magnetomotrizm - relutncia magntica

Materiais ferro-magnticos - Histerese/Saturao

Energia perdida no material ferromagntico (perdas no ferro)- traduz-se por aquecimento do material

Associao de bobinas

a)

L1 L2 L EQ = Li = L1 + L2i=1 N

a) S/ ligao magntica mtua

L1

L EQ = L1 .L 2 L1 + L 2

L2Induo mtua

1 1 = L EQ i =1 Li

Cap. 3

80

121 2 n j jk ik

11

22

L jk =

di1 di 2 v1 = L11 dt + L12 dt v 2 = L21 di1 + L22 di 2 dt dt

L12=L21=LM LM L11 L22

pode ser positivo ou negativo

K=

coeficiente de acoplamento magntico

K 1

K = 1 (ligao magntica perfeita)

Fluxos aditivos (LM >0)

Fluxos subtractivos (LM