Noções de Geometria Descritiva

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Noções de Geometria Descritiva

Text of Noções de Geometria Descritiva

  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CINCIAS AGRRIAS

    DESENHO TCNICO / ICA 221

    1. GEOMETRIA DESCRITIVA - DEFINIO

    Utiliza de projees ortogonais para representar objetos tridimensionais por meio de

    desenhos bidimensionais. A viso para adotar o mtodo construtivo na geometria descritiva precisa ser espacial. A Geometria Descritiva e importante na formao de profissionais que trabalham com espao e forma.

    Gaspar Monge (1746 a 1818), figura poltica do final do sculo XVIII e incio do sculo XIX, um dos fundadores da Escola Politcnica Francesa, criador da Geometria Descritiva e grande terico da Geometria Analtica, pode ser considerado o pai da Geometria Diferencial de curvas e superfcies do espao.

    A Geometria Descritiva surgiu no sculo XVII. uma cincia que estuda os mtodos de representao grfica das figuras espaciais sobre um plano. Resolve problemas em que so consideradas at 3 dimenses, por meio de traados, que permitem a real utilizao nas artes e nas indstrias dos princpios geomtricos, como: construo de vistas, obteno das verdadeiras grandezas de cada face do objeto atravs de mtodos descritivos e tambm a construo de prottipos do objeto representado.

    2. SISTEMAS DE PROJEO

    Esses traados obtm-se projetando sobre um plano dado, os diversos pontos de uma

    figura ou pelo menos, os necessrios sua determinao no espao. A projeo de um ponto sobre um plano a interseo com esse plano de uma reta que

    passa pelo ponto. Essa reta a projetante do ponto no plano e pode ser traada paralelamente a uma direo determinada ou sujeita a passar por um ponto fixo.

    Essas duas condies dividem as projees em 2 grandes sistemas:

    a. Projees cilndricas b. Projees cnicas

    a. Projees cilndricas ou paralelas

    Obtm-se a projeo cilndrica ou paralela, quando o observador se encontra no infinito. Assim os raios visuais que passam do observador aos pontos de uma figura, se tornam paralelas tendo como projeo o mesmo tamanho da figura.

    Poder a projeo cilndrica ser ortogonal ou oblqua conforme a posio do observador quanto perpendicularidade.

  • 3. 4.

    1. 2.

    b. Projees cnicas ou perspectivas Quando o centro de projeo encontra-se prximo ao plano de projeo. O ponto de

    concorrncia ou centro de projeo (O), pode estar situado em 4 posies diferentes. 1. Na zona oposta da figura. Caso em que a projeo reduzida

    2. Situado entre a figura e o plano . Caso em que a projeo pode ser reduzida ou ampliada, dependendo da distncia do ponto O ao plano;

    3. Situado na mesma zona da figura e mais distante do plano do que a figura. Caso em que a projeo ampliada.

    4. Situado no plano . Caso em que a projeo da figura fica reduzida a um ponto.

    3.ESTUDO DO PONTO Consiste em determinar duas projees ortogonais sobre dois planos perpendiculares um

    horizontal e um vertical (H / V). Considere os dois planos, limitados, perpendiculares entre si, cuja interseco forma um eixo chamado LINHA DE TERRA (LT) conforme Figura 1. Os dois planos, formam quatro semi-planos, formando quatro regies denominadas Diedros, numerados em sentido anti-horrio.

    FIGURA 1. Planos Horizontal e Vertical, cuja interseco forma eixo chamado LINHA DE TERRA (LT), e assim quatro semi-planos denominados DIEDROS.

    Os planos, horizontal e vertical so

    divididos em semi-planos:

    PHA: Semi-plano horizontal anterior

    PHP: Semi-plano horizontal posterior

    PVS: Semi-plano vertical superior

    PVI: Semi-plano vertical inferior

    LT

  • A representao bidimensional do objeto obtida pela pura. Para que se possam

    representar no plano as figuras do espao, faz-se o rebatimento (Figura 2) do plano vertical sobre o plano horizontal (no sentido anti-horrio) que consiste em faz-lo girar em torno da Linha de Terra, de modo que PVS venha ficar em coincidncia com PHP e PVI com o PHA. Assim aps o rebatimento, obtemos a representao da pura (Figura 3).

    FIGURA 2. Rebatimento do plano vertical sobre o plano horizontal

    FIGURA 3. PURA. A linha que liga a at a a linha de chamada. Por conveno esta linha deve ser pontilhada.

    Um objeto pode estar localizado em qualquer um dos quatro diedros, assim sendo ter

    suas projees horizontais e verticais, nos respectivos planos, horizontal e vertical. Conforme Figura 4, observe o posicionamento de um objeto em diferentes diedros.

    FIGURA 4. Posicionamento de um objeto qualquer no 1 , 2 , 3 e 4 DIEDRO.

    3.2 CONCEITOS PRINCIPAIS mtodo projetivo:

    Diante de uma noo espacial, contamos com um sistema de coordenadas (X, Y, Z) onde,

    X (abcissa) diz respeito distncia ao longo da Linha de Terra, Y (afastamento) o afastamento a partir do Plano Vertical e, Z (cota) a altura em relao ao Plano Horizontal.

    Cota de um ponto a distncia desse ponto ao plano horizontal de projeo (eixo y) Afastamento a distncia do ponto ao plano vertical de projeo (eixo x) Linha de projeo (ou de chamada) toda linha perpendicular Linha de Terra, que une

    as projees de um mesmo ponto. (Conforme Figura 5)

    FIGURA 5. Representao de um ponto no espao por meio das coordenadas abcissas, afastamento e cota.

    Sendo:

    A o ponto do espao a projeo vertical a projeo horizontal

    Na prtica ento:

    Aa cota Aa o afastamento

    Um ponto representado em um diedro a partir das suas coordenadas (X, Y, Z). A partir dos pontos so definidas as retas, a partir das retas os planos e por fim os elementos slidos. A

  • visualizao correta das projees no diedro de grande importncia. Imagine que cada diedro seja um apartamento, portanto s quem est em seu devido apartamento consegue ver a projeo do objeto na parede e no cho, ou no teto, se o observador estiver nos apartamentos do andar de baixo.

    Projees a e a do ponto A no 1 Diedro.

    Projees a e a do ponto A no 3 Diedro.

    Os Diedros podem ser representados ora individualmente, como ilustrado ao lado, ora conjugados, simulando a idia quatro apartamentos dispostos em dois andares, um andar inferior e outro superior.

    3.3 POSIES DO PONTO NO ESPAO

    Em relao aos planos de projeo, o ponto pode ocupar nove posies diferentes:

    1 POSIO NO 1 DIEDRO

    PURA

    2 POSIO NO 2 DIEDRO

    PURA

  • 3 POSIO NO 3 DIEDRO

    PURA

    4 POSIO NO 4 DIEDRO

    PURA

    5 POSIO O PONTO EST NA VS

    PURA

    6 POSIO O PONTO EST NA VI

    PURA

    7 POSIO O PONTO EST NA HA

    PURA

  • 8 POSIO O PONTO EST NA HP

    PURA

    9 POSIO O PONTO EST NA LINHA DE TERRA

    PURA

    COORDENADAS POSITIVAS E NEGATIVAS

    a) Cota positiva (+) acima do plano

    horizontal de projeo (1 e 2 diedros)

    b) Afastamento positivo (+) direita do

    plano vertical de projeo (1 e 4 diedros)

    c) Cota negativa (-) abaixo do plano

    horizontal de projeo (3 e 4 diedros)

    d) Afastamento negativo (-) esquerda do

    plano vertical de projeo (3 E 2 diedros)

  • Na prtica, o ponto dado por suas coordenadas (ABCISSA, AFASTAMENTO E COTA) nessa ordem (X, Y, Z), por exemplo (Figura 6), Ponto A (2; 3; 1):

    PURA

    FIGURA 6. Posicionamento de um ponto por meio da coordenadas (Abcissa; Afastamento ; Cota).

  • 4.ESTUDO DA RETA

    4.1. INTRODUO

    A projeo de uma reta sobre o plano, o lugar das projees de todos os seus pontos sobre esse plano (Figura 7.).

    FIGURA 7. Projeo de uma reta sobre o plano.

    4.2 CASOS PARTICULARES

    I. A projeo de uma reta sobre um plano, s

    deixa de ser uma reta, quando lhe for perpendicular, pois nesse caso a projeo ser um ponto.

    II. Quando uma reta for paralela a um plano, a sua projeo sobre esse plano igual e paralela prpria reta.

    III. Comprimento da projeo de uma reta sobre um plano varia com a inclinao dela sobre o plano. Quando a reta perpendicular, temos 1 ponto, e quando paralela temos o limite mximo, igual ao comprimento da reta.

    4.3 DETERMINAO DE UMA RETA

    De um modo geral, a posio de uma reta no espao fica bem determinada, quando so conhecidas as

    projees dessa reta sobre 2 planos ortogonais. Ao ser feito o rebatimento do plano vertical sobre o plano horizontal, temos a representao da pura, ou seja, a representao bidimensional da reta AB

  • (tridimensional) atravs das suas projees nos planos vertical e horizontal. Abaixo, os pontos A e B definem a reta AB localizada no 1 Diedro. Assim:

    A tem suas projees a e a, nos respectivos, plano horizontal e plano vertical. B tem suas projees b e b, nos respectivos, plano horizontal e plano vertical.

    A reta AB tem suas projees ab e a b, nos respectivos, plano horizontal e plano vertical.

    PURA

    4.3.1 POSIES DA RETA

    Em relao aos planos de projeo, a reta pode ocupar vrias posies, as quais recebem nomes

    particulares:

    a) RETA QUALQUER De um modo geral, a posio de uma reta no espao fica bem determinada, quando so conhecidas as

    projees dessa reta sobre 2 planos ortogonais.

    pura

    b) RETA HORIZONTAL

    Reta paralela ao PH e oblqua ao PV. Sua pura caracterizada por possuir a projeo vertical paralela LT e a horizontal oblqua essa mesma linha.

    pura

    c) RETA FRONTAL OU DE FRENTE Reta paralela ao PV e oblqua ao PH. Sua pura caracterizada por possuir a projeo horizontal

    paralela LT e a vertical, oblqua LT.

  • pura

    d) RETA FRONTO HORIZONTAL Reta paralela aos 2 planos de projeo. Essa reta tambm paralela LT e sua pura caracterizada

    por possuir ambas as projees paralelas a LT.

    pura

    e) RETA VERTICAL Reta perpendicular ao PH. Neste caso, ela ser obri