Aref Antar Neto Jos Luiz Pereira Sampaio

Nilton Lapa Sidney Luiz Cavallantte

CONJUNTOS E FUNES

Noes de Matemtica

VOLUME 1

Capa: Annysteyne Maia Chaves

CIP Brasil. Catalogao-na-Fonte. Cmara Brasileira do Livro, SP

C76

Conjuntos e funes: 2 grau / Aref Antar Neto.

(et al.) Fortaleza: Ed. Vestseller, 2009. (Noes de matemtica; v.1)

Suplementado por manual do professor.

1. Funo (2 grau) 2. Teoria dos conjuntos (2 grau) I. Antar Neto, Aref, 1949 II. Srie.

78-1507

17. CDD 512.817 18. 511.3 17. 510 18. 511.33

ndices para catlogo sistemtico: 1. Conjuntos: Matemtica 512.817 (17.) 511.3 (18.)

2. Funes: Matemtica 510 (17.) 511.33 (18.)

www.VestSeller.com.br

ndice

Parte I Captulo 1. Noes de lgica ................................................................................11

1.1 Introduo..................................................................................11 1.2 Sentenas..................................................................................11 1.3 Sentenas abertas.....................................................................12 1.4 Sentenas abertas com uma varivel........................................13 1.5 Sentenas abertas com vrias variveis ...................................13 1.6 Equaes e inequaes ............................................................14 1.7 Quantificadores..........................................................................16 1.8 Uso implcito do quantificador universal ....................................17 1.9 Conectivos.................................................................................17 1.10 Conectivo e .............................................................................18 1.11 Conectivo ou ...........................................................................19 1.12 Conectivo no .........................................................................19 1.13 Conectivo se... ento...............................................................21 1.14 Conectivo se e somente se .....................................................22

Captulo 2. Conjuntos ...........................................................................................26

2.1 Introduo..................................................................................26 2.2 Igualdade de conjuntos..............................................................27 2.3 O conjunto vazio ........................................................................27 2.4 Alguns conjuntos numricos......................................................28 2.5 Subconjuntos .............................................................................30 2.6 Diagramas de Venn ...................................................................32 2.7 Conjunto universo......................................................................35 2.8 Interseo de conjuntos.............................................................35 2.9 Unio de conjuntos ....................................................................36 2.10 Propriedades .............................................................................37 2.11 Diferena ...................................................................................38 2.12 Complementar ...........................................................................39 2.13 Propriedades .............................................................................40 2.14 Nmero de elementos ...............................................................45 2.15 Conjuntos de conjuntos .............................................................49 2.16 Conjunto das partes de um conjunto .........................................49 2.17 Nmeros reais ...........................................................................51 2.18 Intervalos ...................................................................................53 Exerccios Suplementares .........................................................59

Parte II Captulo 3. Equaes .............................................................................................63

3.1 Introduo..................................................................................63 3.2 Algumas propriedades da igualdade..........................................63 3.3 Equaes do primeiro grau com uma incgnita .........................64 3.4 Conjunto-verdade de sentenas abertas moleculares ...............66 3.5 Propriedades..............................................................................69 3.6 Equaes do tipo ak = bk............................................................71 3.7 Equaes literais........................................................................72 3.8 Sistemas de equaes...............................................................74 3.9 Sistemas de equaes lineares simultneas .............................75 3.10 Equaes do segundo grau a uma incgnita .............................80 3.11 Equaes do segundo grau: relaes de Girard........................88 3.12 Trinmio do segundo grau: fatorao ........................................90

Captulo 4. Inequaes ..........................................................................................95

4.1 Propriedades..............................................................................95 4.2 Inequaes do primeiro grau .....................................................96 4.3 Sinais de ax + b .....................................................................101 4.4 Sinais de ax2 + bx + c ............................................................108 4.5 Inequaes do segundo grau...................................................112 4.6 Propriedades............................................................................120 4.7 Mdulo .....................................................................................124 4.8 Equaes envolvendo mdulo .................................................127 4.9 Inequaes envolvendo mdulo ..............................................131 4.10 Propriedades do mdulo..........................................................138 Exerccios Suplementares .......................................................142

Parte III Captulo 5. Relaes ............................................................................................145

5.1 Coordenadas no plano.............................................................145 5.2 Par ordenado ...........................................................................147 5.3 Produto cartesiano...................................................................149 5.4 Relaes ..................................................................................155 5.5 Processos para se representar uma relao ...........................158 5.6 Alguns tipos de relaes..........................................................163 5.7 Funo.....................................................................................170

Captulo 6. Funo real de varivel real ...........................................................179

6.1 Funo real de varivel real generalidades .........................179 6.2 Algumas funes usuais.........................................................186 6.3 Funo crescente e funo decrescente ................................191 6.4 Funo mdulo .......................................................................195 6.5 Transformaes no grfico de uma funo ............................201 6.6 Funo quadrtica ..................................................................207 6.7 Posio de um nmero em relao s razes de uma equao do 2 grau ...............................................................................227 6.8 Outras funes elementares...................................................233 Exerccios Suplementares ......................................................239

Parte IV

Captulo 7. Equaes e inequaes irracionais ...............................................243

7.1 Equaes irracionais ..............................................................243 7.2 Resoluo de uma equao irracional....................................244 7.3 Equaes do tipo k a b .......................................................245 7.4 Equaes do tipo k ka b ....................................................246 7.5 Inequaes irracionais............................................................250 7.6 Inequaes do tipo a b .....................................................254 7.7 Inequaes do tipo a b ...................................................257 7.8 Inequaes do tipo a b .....................................................258 7.9 Expresses do tipo a b ...................................................260 Exerccios Suplementares ......................................................264

Parte V Captulo 8. A lgebra das funes.....................................................................267

8.1 As operaes da aritmtica ....................................................267 8.2 Composio de funes .........................................................271

Captulo 9. Tipologia das funes funo inversa ........................................283

9.1 Funo sobrejetora.................................................................283 9.2 Funo injetora .......................................................................284 9.3 Funo bijetora .......................................................................285 9.4 Um reconhecimento grfico....................................................286 9.5 Funo inversa .......................................................................292 Exerccios Suplementares ......................................................302

48

Na maioria dos casos mais fcil analisar problemas deste tipo atravs dos diagramas e no atravs da frmula. Seja U o conjunto de todos os alunos da escola. H 100 alunos que no esto no conjunto A nem em B. H 20 alunos que esto ao mesmo tempo em A e em B. Como o total de alunos de A 200, conclumos que o nmero de alunos que bebem apenas o refrigerante A : 200 20 = 180. O total de alunos da escola 600 e portanto, descontando os 100 que no esto em A nem em B. temos que nA B = 500. Como o conjunto A tem 200 elementos, o nmero de elementos que esto apenas em B : 500 200 = 300. Portanto, podemos dar as respostas: a) 180 b) 300 e) 320 d) 500

Exerccios Propostos 2.29) Sabendo que nA = 47, nB = 30 e nA B = 60, determine:

a) nA B b) nA B c) nB A

2.30) Sejam A, B e C conjuntos finitos. Sabe-se que nA B C = 8, nA B = 15,

nA C = 20, nB C = 24, nC = 50, nB = 60 e nA B C = 129. Determine: a) nA b) nB A c) nC A d) nA B e) n (A B) C f) nA C

2.31) Os conjuntos A e B so ambos finitos e subconjuntos de U. Sabe-se que

nA = 30, nB = 36, nU = 68, nA B = 50. Determine: a) nA B b) nA c) nB d) nB A

2.32) Foi feita uma pesquisa entre 3.600 pessoas sobre os jornais que costumam

ler e o resultado foi que:

49

1.100 lem O Dirio 1.300 lem O Estado 1.500 lem A Folha 300 lem O Dirio e O Estado 500 lem A Folha e O Estado 400 lem A Folha e O Dirio 100 lem A Folha, O Dirio e O Estado

a) Quantas pessoas lem apenas O Dirio? b) Quantas pessoas lem apenas O Estado? e) Quantas pessoas lem apenas O Estado e A Folha? d) Quantas pessoas no lem nenhum dos trs jornais? e) Quantas pessoas lem apenas um dos trs jornais? f) Quantas pessoas lem mais de um dos trs jornais?

2.33) Em uma escola, foi feita uma pesquisa entre os alunos para saber que

revista costumam ler e o resultado foi que, dos alunos consultados:

40% lem a revista Olhe 37% lem a revista Pois 17% lem Olhe e Pois

a) Quantos por cento no lem nenhuma das duas? b) Quantos por cento lem apenas Olhe? c) Quantos por cento lem apenas uma das duas revistas?

2.15 CONJUNTOS DE CONJUNTOS

Pode acontecer que os elementos de um conjunto sejam tambm conjuntos. Exemplo

Consideremos o conjunto: A = {{3; 4}, {5; 6; 7}, {8}} Neste caso o conjunto A tem 3 elementos, que so os conjuntos:

{3; 4}, {5; 6; 7} e {8} Portanto, podemos escrever:

{3; 4} A {5; 6; 7} A

{{3; 4}, {5; 6; 7}} A Mas no podemos escrever:

{3;4} A; 3 A; 8 A

2.16 CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO

Consideremos um conjunto finito A. Chamamos de conjunto das partes de A o conjunto cujos elementos so

todos os subconjuntos de A. O conjunto das partes de A representado por:

P(A)

50

Exemplo

Seja A = {2; 5}. Os subconjuntos de A so: {2}, {5}, {2; 5} e

Portanto: P(A) = {{2}, {5}, {2; 5}, }

Seja A um conjunto finito que possui n elementos. Pode-se demonstrar (com os recursos da Anlise Combinatria) que o nmero de elementos de P(A) igual a:

2n

Assim, no exemplo acima, o conjunto A tem 2 elementos (n = 2) e portanto P(A) tem 22 elementos, isto , 4 elementos.

Se tomarmos o conjunto B = {4; 7; 9}, que possui 3 elementos (n = 3), podemos afirmar que P(B) tem 23 elementos, isto , 8 elementos.

Exerccios Resolvidos 2.34) Dado o conjunto: A = {{2; 6}, {3; 4; 9}, {8}}, d o valor V ou F:

a) {2; 6} A e) 2 A i) {{2; 6}, {3; 4; 9}} A b) {2; 6} A f) 8 A j) {{2; 6}} A c) {8} A g) A d) {8} A h) A SoIuo

a) V O conjunto {2; 6} elemento de A: portanto podemos escrever: {2; 6} A;

b) F Para que {2; 6} A fosse verdadeira, todos os elementos de {2; 6} deveriam ser tambm elementos de A. Mas acontece que 2 elemento de {2; 6}, mas no elemento de A, o mesmo acontecendo com o nmero 6.

e) V d) F e) F f) F g) V

O conjunto vazio est contido em qualquer conjunto. h) F i) V j) V

2.35) Sendo B = {{3; 4}, {1; 2; 5}, } d o valor V ou F:

a) B b) B c) {3; 4} B d) {{3; 4}, {1; 2; 5}} B e) {{3; 4}, } B

51

Soluo

a) V b) V c) V d) V e) V

2.36) Considere o conjunto A = {}. D o valor V ou F:

a) A c) = { } b) A d) A possui um elemento Soluo

a) V b) V c) F d) V

2.37) Seja A = {2; 3; 5}

a) Determine P(A). b) Quantos elementos tem P(A)? Soluo

a) P(A) = {{2}, {3}, {5}, {2; 3}, {2; 5}, {3; 5}, {2; 3; 5}, } b) A possui 3 elementos e portanto P(A) possui 23 elementos, isto , 8

elementos, o que pode ser verificado acima. Exerccios Propostos 2.38) Sendo A = {4; 6}, {1; 3; 5}, {9}} e B = {{8}, {3; 6}, } d o valor V ou F:

a) {4; 6} A h) B b) {4; 6} A i) A c) 4 A j) B d) 9 A k) {{4; 6}, {1; 3; 5}} A e) {9} A l) {4; 6}} A f) {9} A m) {} A g) A n) {} B

2.39) Sendo A = {1; 2; 3; 5}, determine:

a) o nmero de subconjuntos de A. b) o nmero de subconjuntos prprios de A.

2.17 NMEROS REAIS

Alm dos nmeros naturais e dos nmeros inteiros, devemos nos lembrar agora dos nmeros racionais e dos reais.

84

b) Lembrando que:2 2 2

2 2 2

(a b) a 2ab b

(a b) a 2ab b

temos: (x 3)2 = x2 6x + 9 e (x + 4)2 = x2 + 8x + 16 Assim: (x 3)2 = (x + 4)2 (20x 23) x2 6x + 9 = x2 + 8x + 16 20x + 23 6x 8x + 20x = 16 + 23 9 6x = 30 x = 5

V = {5} c) (x2 8x + 21)2 = 81 x2 8x + 21 = 9 x2 8x + 21 = 9

2 2

2 2

x 8x 21 9 x 8x 12 0

x 8x 21 9 x 8x 30 0

1

2

V {2;6}V

V = V1 V2 = {2; 6} 3.39) Resolva as equaes:

a) 3x2 + x = 0 c) x2 = x b) 2x2 32 = 0 d) 5x2 + 2 = 0 Soluo

a) Neste caso, a equao incompleta e portanto no necessrio usar a frmula.

3x2 + x = 0 x(3x + 1) = 0 x = 0 ou 3x + 1 = 0 x = 0 ou x = 13

V = 10;3

b) 2x2 32 = 0 x2 16 = 0 x2 = 16 x = 4

V = {4; 4} c) x2 = x x2 x = 0 x(x 1) = 0 x = 0 ou x 1 = 0 x = 0 ou x = 1

V = {0; 1}

d) 5x2 + 2 = 0 5x2 = 2 x2 = 25

No existe nmero real que elevado ao quadrado resulte negativo. Portanto, a equao proposta no tem razes reais.

3.40) Resolva as equaes:

a) x6 + 7x3 8 = 0 b) 21 1x 5 x 6 0

x x

Soluo

a) Faamos x3 = y; assim x6 = y2 e a equao proposta transforma-se em y2 + 7y 8 = 0. Resolvendo esta ltima equao:

85

a 1b 7c 8

2 2b 4ac 7 4(1)( 8) 49 32 81

81 9

b 7 9y2a 2

7 9 2y ' 18 27 9 16y '' 82 2

Lembrando que x3 = y temos x = 3 y e portanto: 3

3

para y 1 vem x 1 1

para y 8 vem x 8 2

V = {1; 2}

b) Faamos 1(x )x

= y e vamos impor x 0. Com essa mudana de varivel, a equao proposta transforma-se em y2 5y + 6 = 0, equao esta que tem as razes y' = 2 e y'' = 3. Assim:

1) para y = 2 temos 1x 2x

21x 2 x 2x 1 0x

A equao x2 2x + 1 = 0 apresenta duas razes iguais:

x' = x'' = 1

2) para y = 3 temos 1x 3x

21x 3 x 3x 1 0x

As razes de x2 3x + 1 = 0 so 3 5 3 5x ' e x ''2 2 .

Portanto: 3 5 3 5V 1; ;2 2

3.41) Resolva a equao: 8x4 + 7x2 + 5 = 0.

Soluo

Neste caso, temos x4 0 e x2 0. Portanto, para qualquer valor de x teremos 8x4 + 7x2 0. No entanto, 8x4 + 7x2 + 5 = 0 8x4 + 7x2 = 5. Assim vemos que a equao proposta no tem soluo real, pois para nenhum valor real de x, a expresso 8x4 + 7x2 poder resultar negativa:

V =

86

3.42) Resolva os sistemas:

a) 2 2x y 2x 3y 9

2x 3y 4

b) 2 2x y 4

5x 4y 20

Soluo

a) Isolemos x na segunda equao:

2x 3y = 4 2x = 3y 4 x = 3y 42

e faamos a substituio na primeira: 2

2

22 2

3y 4 3y 4y 2 3y 92 2

9y 24y 16 y (3y 4) 3y 9 13y 24y 4 04

Resolvendo esta ltima equao obtemos: 2y ' 2 e y ''13 .

Lembrando que 3y 4x2 , temos:

3(2) 4para y 2, x 12

23 4132 29para y , x

13 2 13

Assim: 29 2V (1; 2); ;13 13

b) Isolando x na segunda equao:

5x + 4y = 20 20 4yx5

Substituindo na primeira equao: 2

2 2 2

2 2 2

20 4y 400 160y 16y( ) y 4 y 45 25

400 160y 16y 25y 100 41y 160y 300 0

Porm, ao calcularmos o discriminante desta ltima equao, temos: = (160)2 4(41) (300) = 25600 49200 = 23600 < 0

portanto esta ltima equao no tem soluo (no campo dos reais) e o sistema tambm no tem soluo:

V =

3.43) Resolva o sistema:2 2

2 2

x y 6x 12y 20 0

x y 2x 4y 20 0

87

Soluo

Vamos multiplicar a segunda equao por 1 e somar membro a membro: 2 2

2 2x y 6x 12y 20 0

x y 2x 4y 20 0________________________

8x 16y 40 0

A vantagem do que fizemos que conseguimos obter uma equao do 1 grau, o que facilita no momento de isolar uma incgnita. Vamos isolar a incgnita x:

8x 16y + 40 = 0 x 2y + 5 = 0 x = 2y 5 Substituindo na 1 equao, obtemos:

(2y 5)2 + y2 + 6(2y 5) 12y + 20 = 0 Resolvendo esta ltima equao, teremos: y' = 1, y'' = 3. Como x = 2y 5, vem:

para y 1, x 2(1) 5 3V {(3; 1); (1; 3)}

para y 3, x 2(3) 5 1

3.44) Resolva a equao: (x2 2x + 1)2 5(x2 2x) 41 = 0

Soluo

Fazendo x2 2x = y, temos: 2

2 2 2

x 2x 1 y 1

(x 2x 1) (y 1)

Com estas substituies, a equao proposta transforma-se em: (y + 1)2 5y 41 = 0

cujas razes so: y' = 8 e y'' = 5 Lembrando que x2 2x = y, temos: 1) para y = 8, x2 2x = 8. Resolvendo esta equao, obtemos:

x' = 4 e x'' = 2 2) para y = 5, x2 2x = 5. Porm esta equao no admite razes reais.

Assim, o conjunto-verdade da equao proposta : V = {4; 2}

Exerccios Propostos 3.45) Resolva as equaes:

a) 4x2 + 17x 21 = 0 d) 6x2 = 6(2x 1) + x b) 6x 1 = 9x2 e) (x + 1)2 = 4 c) 3x2 = x 1 f) x2 x 1 = 0

3.46) Resolva as equaes: a) x2 + x = 0 d) 3x2 + 2 = 0 b) 2x2 = 50 e) 4x2 + 2 = 0 c) 4x2 1 = 0

88

3.47) Resolva as equaes:

a) 2x 94x

2 2 e) x 2 x 5

3x 8 5x 2

b) 1x 2x

f) (3x + 2)2 4x = x + 4 c) (x + 1) (2x 3) = x2 + x + 7 g) (2x 5)2 x = 3x 7

d) 5x 1 15x 2 20x x 1 h)

2

2 2x 2 1 11

14x 5 x 2

3.48) Resolva as equaes:

a) 4x4 5x2 = 1 f) 4 21 6 8x x

b) 9x4 + 8x2 1 = 0 g) x 5 x 6 0 c) x4 + 13x2 + 36 = 0 h)

2x x 24x 1 4x 1

d) x6 28x3 + 27 = 0 i) (x2 x + 3)2 10(x2 x) = 105 e) x6 = x3 j) 5x8 + 7x6 + x2 + 1 = 0

3.49) Resolva as equaes: a) (2x 5)(x6 + x4 20x2) = 0 b) 4x3 + 5x2 + 16x + 20 = 0 e) 2x5 x4 + 10x3 5x2 = 0

d) 2

2x 5x 6 0

x 4

3.50) Resolva as equaes:

a) (x2 3x)2 = 16 b) (3x2 + 2x)3 = 125 (Sugestes: 16 = 42; 125 = 53)

3.51) Resolva os sistemas:

a) 2 2x y 25

2x y 2

d) 2 2x y 6x 4y 12 0

4x 3y 7 0

b) 2x 3y 16xy 8

e)

2 2

2 2

x y 8x 6y 16 0

x y 4x 6y 9 0

c) 2 2

2 2

x y 8x 24y 60 0

x y 2x 6y 40 0

3.11 EQUAES DO SEGUNDO GRAU: RELAES DE GIRARD

Dada a equao do segundo grau ax2 + bx + c = 0 (a 0), sabemos que suas razes so (supondo 0):

b bx ' e x ''2a 2a

89

Calculemos a soma das razes:

b b b b 2b bx ' x ''2a 2a 2a 2a a

Calculemos tambm o produto das razes:

2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

b b ( b )( b )x ' x '' ( )( )2a 2a 4a

( b) ( ) b b (b 4ac) b b 4ac 4ac ca4a 4a 4a 4a 4a

bx ' x ''a

cx ' x ''a

(Relaes de Girard)

Estas relaes entre os coeficientes e as razes foram estabelecidas por

Girard (Albert Girard, flamengo, 1590-1633) em 1629. Ele mostrou que essas relaes valem tambm para razes imaginrias e estabeleceu relaes entre os coeficientes e as razes para equaes de grau superior a 2. (Este assunto analisado mais detalhadamente no volume 7 de nossa coleo.) Exemplo

Consideremos a equao 6x2 7x + 2 = 0 onde: a = 6, b = 7 e c = 2.

Resolvendo-a, obtemos 2 1x ' e x '' .3 2

2 1 7x ' x '' b3 2 6 x ' x ''

ab 7 7a 6 6

2 1 1x ' x '' c3 2 3 x ' x ''ac 2 1

a 6 3

Caso em que a = 1

Consideremos a equao do segundo grau em que a = 1: x2 + bx + x = 0. Para este caso, temos:

b bx ' x '' ba 1

c cx ' x '' ca 1

Chamemos de S a soma das razes e P o seu produto: S = b e P = c

isto : b = S e c = P.

90

Assim a equao pode ser escrita: 2x Sx P 0

Exemplo

Consideremos o seguinte problema: qual a equao do segundo grau cujas razes so 7 e 8?. Suponhamos inicialmente que na equao procurada tenhamos a = 1. Assim a equao pode ser escrita: x2 Sx + P = 0.

Mas: S 7 8 15P 7(8) 56

Portanto, a equao : x2 15x + 56 = 0. Obviamente esta no a nica equao do segundo grau cujas razes so 7 e

8. Se multiplicarmos todos os coeficientes da equao acima por um nmero real diferente de zero, obteremos outra equao do segundo grau cujas razes so 7 e 8. Por exemplo, se multiplicarmos os coeficientes da equao por 2, obteremos a equao 2x2 30x + 112 = 0, cujas razes so 7 e 8.

Exemplo

Certas equaes do 2 grau em que a = 1 podem ser resolvidas por tentativa usando a forma x2 Sx + P = 0.

Seja por exemplo a equao x2 4x 12 = 0. Temos:

S = 4 e P = 12 Mentalmente, tentamos encontrar dois nmeros cuja soma seja 4 e cujo

produto seja 12. Encontramos 2 e 6. Sendo assim, o conjunto-verdade :

V = {2; 6}

3.12 TRINMIO DO SEGUNDO GRAU: FATORAO

Trinmio do segundo grau uma expresso do tipo: ax2 + bx + c

onde a var ivel

, e so coeficientes (reais)a 0

xa b c

importante no confundir trinmio do segundo grau com equao do segundo grau, pois esta obtida igualando a zero um trinmio do segundo grau (ax2 + bx + c = 0).

Vamos demonstrar que o trinmio do segundo grau pode ser fatorado do seguinte modo:

2ax bx c a(x x ')(x x '') onde x' e x'' so as razes da equao ax2 + bx + c = 0.

91

Demonstrao

Consideremos o trinmio: ax2 + bx + c, onde a 0. Suponhamos que a equao: ax2 + bx + c = 0 tenha as razes x' e x''.

Temos ento:

bx ' x ''a

cx ' x ''a

2 2 2

2 2

b c b cax bx c a x x a x xa a a a

a[x (x ' x '')x x ' x ''] a[x x ' x x '' x x ' x '']a[x(x x ') x ''(x x ')] a[(x x ')(x x '')]

c.q.d Observao:

Pode-se demonstrar que esta decomposio vale mesmo que as razes sejam imaginrias. Exemplo

Consideremos o trinmio 6x2 7x + 2. Igualando-o a zero obtemos a

equao 6x2 7x + 2 = 0, cujas razes so: 2 1x ' e x '' .3 2

Portanto: a 6b 7c 2

2x '31x ''2

Assim: 2

2

ax bx c a(x x ')(x x '')2 16x 7x 2 6 x x3 2

Exerccios Resolvidos 3.52) Determine o valor de k na equao 3x2 7x + (k + 2) = 0 de modo que uma

de suas razes seja o sextuplo da outra. Soluo

a 3b 7 x ' 6x ''c k 2

1x ''b 7 3x ' x '' 6x '' x ''a 3 1x ' 6x '' 6( ) 2

3

92

c 1 k 2x ' x '' 2( ) k 0a 3 3

3.53) Determine o valor de p na equao 5x2 + (3p + 2)x 9 = 0 de modo que

suas razes sejam simtricas. Soluo

a 5b 3p 2 x ' x ''c 9

b 3p 2 3p 2 2x ' x '' x '' x '' 0 pa 5 5 3

Neste caso no foi necessrio usar a relao cx ' x '' .a

3.54) Fatore o trinmio 2x2 11x + 5

Soluo

Em primeiro lugar determinamos as razes da equao: 2x2 11x + 5 = 0,

que so 12

e 5.

ax2 + bx + c = a(x x')(x x'')

a 2b 11c 5

1x '2

x '' 5

Logo: 2x2 11x + 5 = 2 1x2

(x 5) ou ainda: 2x2 11x + 5 = (2x 1)(x 5)

3.55) D uma equao do segundo grau cujas razes sejam 3 e 7.

Soluo

1 modo - Suponhamos que a equao procurada tenha a = 1 2(x bx c 0)

b bx ' 3 x ' x '' 3 7 b 4a a

c cx '' 7 x ' x '' ( 3)(7) c 21a a

Portanto uma das equaes do segundo grau cujas razes so 3 e 7 : x2 4x 21 = 0

93

2 modo - Sabemos que x' = 3 e x'' = 7. Sendo ax2 + bx + c = 0 a equao procurada, temos:

ax2 + bx + c = a(x x')(x x'') = a(x + 3)(x 7) Fazendo a = 1, a equao :

(x + 3)(x 7) = 0 Efetuando a multiplicao, obtemos: x2 4x 21 = 0

3.56) Fatore a expresso 4x4 5x2 + 1

Soluo

Em primeiro lugar faamos a mudana de varivel: x2 = y e x4 = y2. Assim: 4x2 5x2 + 1 = 4y2 5y + 1

As razes da equao 4y2 5y + 1 = 0 so 1y ' e y '' 14

Assim: 4y2 5y + 1 = 4 14

(y 1) Mas como y = x2 temos:

4x4 5x2 + 1 = 4y2 5y + 1 = 4 2 1x4

(x2 1) =

=2

2 2 21 1 14 x [x 1 ] 4 x x (x 1)(x 1)2 2 2

3.57) Determine o valor de k de modo que a soma dos quadrados das razes da

equao 2x2 5x + k = 0 seja igual a 74

.

Soluo

2 2

2 2 2

2

5 7x ' x '' (x ') (x '')2 4kx ' x ''2

(x ' x '') (x ') (x '') 2x ' x ''

5 7 k 25 7 92 k k2 4 2 4 4 2

Exerccios Propostos 3.58) Determine o valor de m na equao 5x2 8x + (3m 8) = 0, de modo que

uma de suas razes seja o triplo da outra. 3.59) Determine o valor de k na equao 2x2 30x + (2k 1) = 0, de modo que a

diferena de suas razes seja igual a 3.

94

3.60) Determine o valor de k na equao 5x2 12x + 6k + 2 = 0, de modo que: a) uma de suas razes seja o dobro da outra b) suas razes sejam simtricas c) uma das razes seja o inverso da outra

3.61) Considere a equao 3x2 7x + 1 = 0. Calcule a soma dos quadrados de

suas razes. 3.62) D uma equao do segundo grau que tenha como razes:

a) 3 e 2 b) 6 e 4

c) 1 e 23

d) 2 e 3

3.63) D uma equao do segundo grau que tenha duas razes iguais a 5. 3.64) Fatore as expresses:

a) x2 + 3x 18 b) 2x2 + 7x 15 c) 4x2 + 12x + 9 = 0 d) x4 5x2 + 4 e) 9x4 10x2 + 1 f) x4 + x2 12

128

Exerccios Resolvidos 4.54) Resolva a equao |x| = 7

Soluo

1 modo |x| = 7 x = 7 ou x = 7 V = {7; 7} 2 modo Aplicando a propriedade M9, temos: |x| = 7 x2 = 72 x2 = 49 x = 7 V = {7; 7}

4.55) Resolva a equao |x 2| = 6

Soluo

1 modo |x 2| = 6 x 2 = 6 ou x 2 = 6 x = 8 ou x = 4 V = {8; 4} 2 modo |x 2| = 6 (x 2)2 = 62 x2 4x + 4 = 36 x2 4x 32 = 0. Resolvendo esta ltima equao, obtemos x' = 4 e x'' = 8. Assim: V = {8; 4} Podemos observar que o 2 modo em geral no ser muito vantajoso.

4.56) Resolva a equao |x 3| = |4x 1|

Soluo

1 modo |x 3| = |4x 1| x 3 = 4x 1 ou x 3 = (4x 1) x 4x = 3 1 ou x 3 = 4x + 1 x = 2

3 ou x = 4

5

2 4V ;3 5

2 modo |x 3| = |4x 1| (x 3)2 = (4x 1)2 x2 6x + 9 = 16x2 8x + 1 15x2 2x 8 = 0 Resolvendo esta ltima equao, obtemos 2 4x ' e x ''

3 5 .

4.57) Resolva a equao x2 3|x| 28 = 0

Soluo

Notando que x2 = |x|2 podemos escrever: |x|2 3|x| 28 = 0. Fazendo a mudana de varivel |x| = y, a equao fornecida transforma-se em: y2 3y 28 = 0. Resolvendo esta ltima equao, obtemos: y' = 7 e y'' = 4.

129

J que |x| = y, vem: para y 7, x 7 e por tan to x 7

para y 4, x 4 (impossvel)

Portanto: V = {7; 7} 4.58) Resolva a equao |3x + 9| = 1 x

Soluo

Para que a equao tenha soluo devemos ter 1 x 0, isto , x 1. Supondo esta condio vlida temos:

|3x + 9| = 1 x 3x + 9 = 1 x ou 3x + 9 = 1 + x x = 2 ou x = 5

Tanto 2 como 5 satisfazem a condio x 1 e portanto temos: V = {2; 5}

4.59) Resolva a equao |2x 1| = 5x + 3

Soluo

Devemos ter 5x + 3 0, isto , 3x5

. Supondo esta condio vlida, temos:

|2x 1| = 5x + 3 2x 1 = 5x + 3 ou 2x 1 = 5x 3 4x

3 ou 2x

7

O valor 2x7

satisfaz a condio 3x5

, porm 4x3

no satisfaz e portanto no soluo da equao. O conjunto-soluo ento:

2S7

4.60) Resolva a equao |x 1| + |x + 6| = 13

Soluo

Faamos em primeiro lugar os estudos dos sinais de x 1 e x + 6. A = x 1 B = x + 6 x 1 = 0 x = 1 x + 6 = 0 x = 6

para x 1 temos x 1 0 e por tan to x 1 x 1

para x 1 temos x 1 0 e por tan to x 1 x 1

para x 6 temos x 6 0 e por tan to x 6 x 6

para x 6 temos x 6 0 e por tan to x 6 x 6

130

Temos ento trs casos a considerar:

1) x 1 x 1

x 6x 6 x 6

Portanto a equao |x 1| + |x + 6| = 13 transforma-se em x + 1 x 6 = 13

2x =18 x = 9

O valor x = 9 satisfaz a condio x 6, portanto soluo.

2) x 1 x 1

6 x 1x 6 x 6

Para este caso a equao transforma-se em: x + 1 + x + 6 = 13 7 = 13 (absurdo)

Portanto, no h soluo no intervalo [6; 1]

3) x 1 x 1

x 1x 6 x 6

Temos ento:

x 1 + x + 6 = 13 2x = 8 x = 4

O valor x = 4 satisfaz a condio x 1 e portanto soluo. Assim, obtemos: V = {9; 4}

4.61) Resolva a equao 4|x| 3 = 5

Soluo

4|x| 3 = 5 4 |x| = 5 + 3 4 |x| = 8 |x| = 2 x = 2 ou x = 2

V = {2; 2}

131

Exerccios Propostos 4.62) Resolva as equaes:

a) |x 8| = 9 f) 5 114 x2x

b) |x2 1| = 7 g) |x2 4x| = |x 6| c) 3|4x 9| 1 = 0 h) |3x 5| (4x2 1) = 0 d) 4|x 3| = 13 i) |3 |4x 1|| = 6 e) |5 x| = |4x + 12| j) |7x 1| + 3 = 0

4.63) Resolva as equaes:

a) 3x2 10 |x| 8 = 0 b) (x 3)2 + |x 3| 12 = 0 4.64) Resolva as equaes:

a) |3x 1| = 6x + 2 c) |x2 6x| = 2x 12 b) |5x + 6| = 3x 1

4.65) Resolva as equaes:

a) |2x 6| + |3x + 4| = 11 c) |x 1| |2x + 6| + 2|x 4| = 13 b) |x + 4| + |x + 7| = 3

4.66) Resolva o sistema: 3x 4 2y

2x 1 y

4.9 INEQUAES ENVOLVENDO MDULO

As inequaes envolvendo mdulo podem ser resolvidas com o auxlio das propriedades a seguir:

M11 Dado a temos :x a a x a

Exemplo

Consideremos a inequao |x| < 2. Os valores que satisfazem essa inequao esto entre 2 e 2:

|x| < 2 2 < x < 2

Assim o conjunto-verdade de |x| < 2 :

V = {x | 2 < x < 2} = ] 2; 2[

M12 Dado a temos :x a x a ou x a

132

Exemplo

Seja a inequao |x| > 2. Temos: |x| > 2 x > 2 ou x < 2

Portanto o conjunto-verdade desta inequao :

V = {x | x > 2 x < 2} = ]; 2[ ]2; [ Exerccios Resolvidos 4.67) Resolva as inequaes:

a) |x| > 3 d) |x| 3 g) |x| > 0 j) |x| 0 b) |x| 3 e) |x| > 3 h) |x| < 0 k) 2x 4 c) |x| < 3 f) |x| < 3 i) |x| 0 Soluo

a) |x| > 3 x > 3 ou x < 3

V = {x | x > 3 x < 3} b) |x| 3 x 3 ou x 3

V = {x | x 3 ou x 3} c) |x| < 3 3 < x < 3

V = {x | 3 < x < 3} = ]3; 3[ d) |x| 3 3 x 3

V = {x | 3 x 3} = ]3; 3[ e) |x| > 3 Como |x| 0, |x| > 3 ser sempre verdadeira. Portanto: V = f) |x| < 3 Como |x| 0, |x| < 3 ser sempre verdadeira e assim: V = .

133

g) Sabemos que |x| 0. Portanto a inequao |x| > 0 ser satisfeita para qualquer x 0.

V = * h) |x| < 0 no satisfeita para nenhum nmero real: V = . i) Sabemos que |x| 0, x . Assim, V = . j) Como |x| no pode ser negativo, o nico nmero real que satisfaz |x| 0

0. V = {0}

k) 2x x e assim temos:

2x 4 x 4 x 4 ou x 4

V {x | x 4 x 4}

4.68) Resolva as inequaes:

a) |x + 3| 5 c) 2(x 1) 6 b) 3|x 3| 2 > 0 Soluo

a) |x + 3| 5 5 x + 3 + 5 8 x 2 V = {x | 8 x 2} = [8; 2] b) 3|x 3| 2 > 0 3|x 3| > 2 |x 3| > 2

3

x 3 > 23

ou x 3 < 23

x > 113

ou x < 73

11 7V x | x ou x3 3

4.69) Resolva a inequao: x2 5|x| + 6 > 0 Soluo

1 modo

Fazendo a mudana de varivel |x| = y, temos: x2 = |x|2 = y2. Lembrando que |x| 0, isto , y 0, temos:

x2 5 |x| + 6 > 0 2y 5y 6 0

ey 0

Vamos primeiramente resolver y2 5y + 6 > 0 y2 5y + 6 = 0 y = 2 ou y = 3.

134

Portanto: y2 5y + 6 > 0 y < 2 ou y > 3 Porm, como devemos ter y 0, os valores de y que nos servem so os que satisfazem:

0 y < 2 ou y > 3

Portanto: x2 5|x| + 6 > 0 0 x 2

oux 3

Mas: 1

2

0 x 2 x 2 2 x 2 (S )

x 3 x 3 ou x 3 (S )

S = {x | x < 3 ou 2 < x < 2 ou x > 3} 2 modo

Consideremos dois casos: x 0 ou x 0 1) x 0

Neste caso |x| = x e a inequao pode ser escrita: x2 5x + 6 > 0 x2 5x + 6 > 0 x < 2 ou x > 3

Seja: 12

V {x | x 0}V {x | x 0 ou x 3}

Assim, um primeiro conjunto de valores que servem : A = V1 V2 = {x | 0 x < 2 ou x > 3}

2) x 0

Neste caso temos |x| = x e a inequao pode ser escrita: x2 + 5x + 6 > 0 x2 + 5x + 6 > 0 x < 3 ou x > 2

135

Sejam: 34

V {x | x 0}V {x | x 3 ou x 2}

Um outro conjunto de valores que nos servem : B = V3 V4 = {x | x < 3 ou 2 < x 0} O conjunto-soluo da inequao proposta ser S = A B.

S = {x | x < 3 ou 2 < x < 2 ou x > 3} 4.70) Resolva a inequao: |2x 6| > x 4.

Soluo

Faamos duas hipteses: 1) 2x 6 0

2x 6 0 2x 6 x 3 Portanto, para 2x 6 0, isto , para x 3 temos: |2x 6| = 2x 6 e a inequao transforma-se em: 2x 6 > x 4 2x x > 6 4 x > 2

Porm, como estamos trabalhando com x 3, temos que um primeiro conjunto de valores que satisfazem a inequao proposta : A = {x | x 3}

2) 2x 6 < 0 2x 6 < 0 2x < 6 x < 3 Portanto, para 2x 6 < 0, isto , para x < 3, teremos: |2x 6| = 2x + 6 Assim, a inequao proposta transforma-se em: 2x + 6 > x 4

2x + 6 > x 4 3x > 10 x < 103

136

Lembrando que estamos trabalhando com x < 3, temos que um outro conjunto de valores que satisfazem a inequao : B = {x | x < 3}

Assim, o conjunto-soluo da inequao proposta : S = A B =

4.71) Resolva a inequao: |3x 12| + |5 x| < 12.

Soluo

Faamos em primeiro lugar o estudo dos sinais de |3x 12| e |5 x|. 3x 12 = 0 x = 4 5 x = 0 x = 5

Temos ento trs regies a considerar:

1) x 4 Para estes valores de x temos |3x 12| = 3x + 12 e |5 x| = 5 x. Assim a inequao proposta transforma-se em:

3x + 12 + 5 x < 12 4x < 5 x > 54

Como estamos trabalhando com x 4, um primeiro conjunto de valores que satisfazem :

137

5A x | x {x | x 4}4

5A {x | x 4}4

2) 4 x 5 |3x 12| = 3x 12 e |5 x| = 5 x 3x 12 + 5 x < 12 2x < 19

x < 192

B = {x | 4 x 5}

3) x 5 |3x 12| = 3x 12 |5 x| = 5 + x 3x 12 5 + x < 12 4x < 29

x < 294

29C x | 5 x4

138

5 29S x | x4 4

Exerccios Propostos 4.72) Resolva as inequaes:

a) |x| > 6 e) |x| > 6 b) |x| |x| f) |x| 6 c) |x| < 6 g) |x| < 6 d) |x| 6 h) |x| 6

4.73) Resolva as inequaes:

a) |3x 5| > 2 g) |3x 5| < 3 b) |3x 5| 2 h) |3x 5| 3 c) |3x 5| < 2 i) |3x 5| > 0 d) |3x 5| 2 j) |3x 5| 0 e) |3x 5| > 3 k) |3x 5| < 0 f) |3x 5| 3 l) |3x 5| 0

4.74) Resolva as inequaes:

a) 2(x 2) 7 b) 5 |3x + 8| 6 < 1 c) |2x 6| 3 0 d) |x2 3x| < 10

4.75) Resolva as inequaes:

a) x2 2 |x| 24 < 0 b) |x2 2x 3| < 3x 3 c) |2x 3| + |2x 5| 6

4.76) Resolva as inequaes:

a) (x2 16) |x 6| > 0 b) (x2 16) |3x 6| 0 c)

2

2

x 5x 6 0x 4

d) 2x 3x 10 0

x 4

4.10 PROPRIEDADES DO MDULO

Alm das propriedades j apresentadas, h mais algumas importantes que sero apresentadas a seguir.

M13 Sendo x um nmero real qualquer,

x x x

139

Exemplos

a) Seja x = + 3. Teremos |3| 3 |3|, isto , 3 3 3 que obviamente verdadeira.

b) Seja x = 3. Teremos: |3| 3 |3|, isto , 3 3 3 que verdadeira.

c) Seja x = 0. Teremos |0| 0 |0|, isto , 0 0 0, que tambm verdadeira.

M14 Sendo x e y nmeros reais quaisquerx y x y

Esta a chamada desigualdade triangular e a razo do nome entendida

quando se faz o estudo dos nmeros complexos (ver volume 7 desta coleo). Exemplos

a) Se x e y so ambos negativos ou ambos positivos, vale |x + y| = |x| + |y|

Assim, por exemplo, temos: |4 + 7| = |4| + |7|

|(4) + (7)| = |4| + |7| b) Se x = 0 ou y = 0, teremos tambm |x + y| = |x| + |y|. Assim, por exemplo.

|7 + 0| = |7| + |0| |(7) + 0| = |7| + |0|

c) Se x e y so diferentes de zero e de sinais contrrios, teremos: |x + y| < |x| + |y|

Assim, por exemplo, temos: |(5) + (2)| < |5| + |2| |(7) + (3)| < |7| + |3|

M15 Sendo x e y nmeros reais quaisquer, temos:

x y x y

x y x y

Exerccios Resolvidos 4.77) Demonstre que verdadeira a desigualdade triangular.

Soluo

H vrios processos de fazer essa demonstrao. Um deles poderia ser verificar que a desigualdade verdadeira para cada um dos seguintes casos:

x 0 e y 0 x 0 e y 0

140

x 0 e y 0 x 0 e y 0

Porm este processo muito demorado e assim apresentaremos, a seguir, 3 processos mais rpidos.

1 processo Podemos fazer 2 hipteses a respeito de x + y:

x + y 0 ou x + y < 0 1 caso:

x y 0

x y 0 x y x y

x x e y y x y x y

x y x y

2 caso: x + y < 0

x + y < 0 x y > 0 1 caso | x y| |x| + |y| Como:

x y x y

x x

y y

Vem: |x + y| |x| + |y|

2 processo

x x x

y y y

Somando membro a membro, obtemos:

|x| |y| x + y |x| + |y| ou (|x| + |y|) x + y |x| + |y| (I) Observando que |x| + |y| 0, vemos que a desigualdade (I) do tipo:

m k m (com m 0) e de acordo com a propriedade M11, temos:

m k m |k| m Assim, conclumos que a desigualdade (I) equivalente a:

|x + y| |x| + |y| 3 processo De acordo com M13, temos

xy |xy| Porm |xy| = |x| |y| e assim temos xy |x| |y| xy |x| |y| 2xy 2 |x| |y| x2 + y2 + 2xy x2 + y2 + 2|x| |y| x2 + y2 + 2xy |x|2 + |y|2 + 2 |x||y| (x + y)2 (|x| + |y|)2 |x + y|2 (|x| + |y|)2

141

Neste ponto devemos nos lembrar que, de acordo com a propriedade P12 do item 4.6, temos:

m2 n2 m n (para m 0 e n 0). Como |x + y| 0 e |x| + |y| 0, aplicando P12 vem:

|x + y|2 (|x| + |y|)2 |x + y| |x| + |y| 4.78) Demonstre que, |x y| |x z| + |z y|, quaisquer que sejam os nmeros

reais x, y e z. Soluo

x y (x z) (z y) x y (x z) (z y)

(x z) (z y) x z z y

x y x z z y

Exerccios Propostos 4.79) Sendo x e y nmeros reais quaisquer, demonstre que:

a) |x y| |x| + |y| b) |x y| |x| |y| c) |x + y| |x| |y|

4.80) Sendo x, y e z reais quaisquer, demonstre que

|x + y + z| |x| + |y| + |z|. 4.81) Sendo x, y, a, b e k nmeros reais quaisquer, demonstre que:

|x a| < k e |y b| < k |(x + y) (a b)| < 2k

142

Exerccios Suplementares II.1) Determine os valores do parmetro a, tais que o sistema

2x y ax 4y a 13

admita solues (x; y), de modo que: x < 0 e y > 0. II.2) Sejam os conjuntos:

A = {x + | x2 2x 15 0} B = {x | x2 2 < 0} M = {x | 2 x 1

2 4}

Determine: a) AMC b) (A B) M c) (A B)MC

II.3) Resolva a equao 2 22x 9x 4 2x 7x 1 1 . II.4) Resolva a equao 2x 3 5x 8 3x 5 . II.5) Resolva a inequao |2x + 4| > |x 1|. II.6) Resolva o sistema:

1 1 1 12x y z2 1 3 6x y z1 2 2 12x y z

II.7) Fatore a expresso x8 17x4 + 16. II.8) Resolva a inequao x8 17x4 + 16 < 0.

II.9) Resolva a inequao 8 4

2x 17x 16 0

1 4x .

II.10) Sendo x' e x'' as razes da equao 3x2 + 8x 2 = 0, calcule o valor de

1 1 .x ' x ''

201

c) Determine I(g). d) Resolva a equao f(x) = g(x).

6.49) Considere a funo f, de em , definida por:

f(x) = |x 1| + |x 4| a) Desenhe o grfico de f. b) Determine I(f).

6.50) Seja a funo f, real de varivel real, definida por:

f(x) = 1 + |x + 1| 2 |x| + |x 1| a) Construa o grfico de f. b) D I(f).

6.51) Para os nmeros reais a e b, a b, definem-se:

mx (a; b) = b mn (a; b) = a Assim, por exemplo, mx (2; 3) = 3, mx (2; 2) = mn (2; 2) = 2, mn (2; 3) = 2. Desenhe o grfico da funo f, de em , definida por:

f(x) = mx. (2; |x|) Qual o conjunto-imagem de f?

6.5 TRANSFORMAES NO GRFICO DE UMA FUNO

Certas transformaes (translaes, reflexes,...) podem ser feitas sobre o grfico de uma funo, possibilitando a sua construo com alguma facilidade.

Vamos examinar as transformaes mais importantes. Seja, ento, a funo definida pela sentena aberta y = f(x) e seja o nmero

real k, positivo. I. O grfico da funo definida por y = f(x) + k pode ser obtido do grfico da

funo definida por y = f(x), fazendo este sofrer uma translao de k unidades, na direo Oy, para cima.

O grfico da funo definida por y = f(x) k pode ser obtido do grfico da

funo definida por y = f(x), fazendo este sofrer uma translao de k unidades, na direo Oy, para baixo.

202

Exemplos

O grfico da funo f(x) = |x| sofreu uma translao para cima, obtendo-se o grfico da funo f(x) = |x| + 1.

O grfico da funo f(x) = |x| uma translao para baixo, obtendo-se o grfico da funo f(x) = |x| 1.

II. O grfico da funo definida por y = f(x + k) pode ser obtido do grfico da

funo definida por y = f(x), fazendo este sofrer uma translao de k unidades, na direo Ox, para a esquerda.

O grfico da funo definida por y = f(x k) pode ser obtido do grfico da

funo definida por y = f(x), fazendo este sofrer uma translao de k unidades, na direo Ox, para a direita.

203

Exemplos

O grfico da funo f(x) = |x| sofreu uma translao para a esquerda, obtendo-se o grfico da funo f(x) = |x + 1|.

O grfico da funo f(x) = |x| sofreu uma translao para a direita, obtendo-se o grfico da funo f(x) = |x 1|.

III. O grfico da funo definida por y = f(x) pode ser obtido do grfico da

funo definida por y = f(x), fazendo este sofrer uma reflexo em relao ao eixo Ox.

O grfico da funo definida por y = f(x) pode ser obtido do grfico da

funo y = f(x), fazendo este sofrer uma reflexo em relao ao eixo Oy.

204

Se conhecemos o grfico da funo definida por y = f(x) e quisermos o

grfico da funo definida por y = |f(x)| faz-se a parte que est abaixo do eixo Ox do grfico de y = f(x) sofrer uma reflexo em torno do eixo Ox.

Exemplos

O grfico da funo f(x) = |x| sofreu uma reflexo em torno do eixo Ox, obtendo-se o grfico da funo f(x) = |x|.

Para x [1; 1], o grfico da funo f(x) = x + 1 sofreu uma reflexo em torno do eixo Oy, obtendo-se o grfico da funo f(x) = x + 1 (esta se obtm da primeira, substituindo-se x por x).

A parte abaixo do eixo Ox reflete em torno do eixo Ox. y = f(x) y = |f(x)|

227

Dar os sinais de: a) a b) c) b2 ac d) m2 n e) b2 2mab + na2

6.113) Determine m para que o domnio da funo definida por:

12 2f(x) = (x + mx + 1)

seja . 6.7 POSIO DE UM NMERO EM RELAO S RAZES DE UMA EQUAO

DO 2 GRAU

Seja a funo quadrtica f, definida por: f(x) = ax2 + bx + c, a 0,

e consideremos a equao do 2 grau ax2 + bx + c = 0, associada funo f. Sejam x1 e x2, x1 x2, as razes dessa equao; note que x1 e x2 so os

zeros de f. Problema

Dado um nmero real queremos verificar se: 1) < x1 x2, isto , se est esquerda de x1:

ou 2) x1 < < x2, isto , se est entre as razes:

228

ou 3) x1 x2 < , isto , se est direita de x2:

A soluo do problema baseia-se nos dois teoremas que seguem:

Teorema

Se a f() < 0, ento f admite dois zeros distintos, x1 < x2, e x1 < < x2. Demonstrao

Se fosse 0 teramos f() = 0 ou f() com mesmo sinal de a, isto , af() < 0, o que contraria a hiptese af() < 0; ento > 0 e f admite dois zeros x1 e x2, distintos. Admitamos x1 < x2.

Se estivesse esquerda de x1 ou direita de x2, f() teria o mesmo sinal de a, isto , af() > 0; e tambm, se fosse um zero de f teramos af() = 0. Ora, as situaes acima contrariam a hiptese feita e devem ser rejeitadas. Ento, por excluso, temos:

x1 < < x2 Veja as ilustraes:

a 0f( ) 0

af() < 0 a 0f( ) 0

af() < 0 Teorema

Se af() > 0 e 0, ento f admite os zeros x1 e x2, x1 x2, < x1 x2 ou x1 x2 < . Demonstrao

Supondo > 0, no podemos ter x1 x2, pois viria af() 0, o que contradiz a hiptese af() > 0.

Supondo = 0, no podemos ter = x1 = x2, pois viria af() = 0, o que contradiz a hiptese af() > 0.

Ento, por excluso, temos < x1 x2 ou x1 x2 < . Observe que se > 0 e af() > 0, est esquerda de x1 ou direita de

x2. Para decidirmos qual das duas situaes se verifica, devemos comparar com um nmero que esteja entre os zeros de f. Geralmente, o nmero utilizado b

2a

(abscissa do vrtice da parbola, ou ainda, a semi-soma dos zeros de f):

229

Se < b2a : est esquerda de x1

Se > b2a : est direita de x2

Observe tambm que se = 0 e af() > 0, para sabermos se est

esquerda de x1 = x2 ou direita de x2 = x1, compara-se diretamente com x1 = x2 =

b2a .

Veja as ilustraes:

Resumo

Seja a funo quadrtica f, definida por: f(x) = ax2 + bx + c, a 0

230

Seja um nmero real que deve ser comparado aos zeros de f ou s razes da equao do 2 grau ax2 + bx + c = 0; sejam x1 e x2, x1 < x2 essas razes. Ento:

Condies Posio do nmero a af() = 0 um zero de f af() < 0

baf( ) 0 e 0 e2a

baf( ) 0 e 0 e2a

baf( ) 0 e 0 e2a

baf( ) 0 e 0 e2a

Exemplos

a) Comparar o nmero = 1 com as razes da equao: x2 3x + 1 = 0

Tem-se a = 1 e f() = f(1) = 1 e da af() < 0; ento, a equao possui duas razes distintas e = 1 est entre essas razes; tambm se diz que = 1 interno ao intervalo das razes:

b) Comparar o nmero = 4 com os zeros da funo quadrtica definida

por: f(x) 2x2 7x + 1

Tem-se a = 2 e f() = f(4) = 5 e da af() > 0; = 41; ento a funo admite dois zeros distintos e = 4 externo ao intervalo dos zeros; como b 7 4,

2a 4 = 4 est direita do intervalo:

c) Comparar o nmero = 1 com as razes da equao:

3x2 7x 1 = 0.

231

Tem-se a = 3 e f() = f(1) = 9 e da af() > 0; = 61 > 0; ento a equao admite duas razes distintas e = 1 externo ao intervalo das razes; como b 7 1, 1

2a 6 est esquerda do intervalo:

Exerccios Resolvidos 6.114) Determine o parmetro m para que a equao:

(2m 1)x2 (3m + 2)x + m + 3 = 0 admita duas razes x1 e x2, tais que x1 < 2 < x2. SoIuo

A condio (nica) : af() < 0. Temos:

a = 2m 1 f() = f(2) = (2m 1)22 (3m + 2)2 + m + 3 = 3m 5

Ento: (2m 1) (3m 5) < 0

e da a resposta 1 5m .2 3

6.115) Seja a funo f definida por:

f(x) = (2m + 1)x2 4x 2m + 4 Determine o nmero real m para que f admita os zeros x1 e x2 tais que x1 x2 < 1. Soluo

As condies que se devem impor so traduzidas pelo sistema de inequaes simultneas:

0 (I)af( ) 0 (II)

b 1 (III)2a

O sistema acima escreve-se: m(2m 3) 0 (I)2m 1 0 (II)1 2m 0 (III)2m 1

Ento, a resposta 12

< m < 0.

232

6.116) Mostre, sem formar o discriminante, que a equao: (x p) (x q) r2 = 0, r 0

admite duas razes distintas. Compare os nmeros p e q com as razes da equao. Soluo

0 : a equao admite duas razesdis t int as

est "entre " as razes da equao

p

Exerccios Propostos 6.117) Comparar o nmero com as razes das equaes seguintes:

a) x2 7x 4 = 0 e = 1 b) 2x2 3x 25 = 0 e = 3 c) x2 6x + 4 = 0 e = 6 d) 3x2 26x + 54 = 0 e = 3

6.118) Determine o nmero real m para que o nmero 2 esteja entre as razes

da equao mx2 2(m + 1)x + m = 0, m 0. 6.119) Seja a equao:

x2 6mx + (2 2m + 9m2) = 0 Determine m para que suas razes x1 e x2 satisfaam condio: 3 < x1 x2.

6.120) Seja a equao:

x2 m.x + 2 = 0 Determine m para que suas razes x1 e x2 satisfaam condio: 0 < x1 x2 < 3.

6.121) Determine o parmetro a para que as razes da equao:

x2 + x + a = 0 Sejam maiores do que a.

6.122) Compare os nmeros 1, 1, 2 e 3 com as razes da equao:

(x 1)(x 3) m (x + 1) (x - 2) = 0, m 1 6.123) Considere a funo quadrtica definida por:

f(x) = (x p) (x q) + (x q) (x r) + (x r) (x p) com p < q < r. Deduza, sem formar o discriminante, que a equao f(x) = 0 admite duas razes distintas. Compare os nmeros p, q e r com as razes da equao.

233

6.124) Sejam a funo quadrtica f definida por: f(x) = ax2 + bx + c, a 0

e os nmeros reais e tais que < . Verifique que se f() f() < 0, ento f admite dois zeros distintos e um e somente um dos nmeros e pertence ao intervalo das razes.

6.125) Considere a funo quadrtica definida por:

f(x) = (3a 2)x2 + 2ax + 3a. Determine a para que a equao f(x) = 0 admita uma raiz e uma s entre 1 e 0. (Sugesto: exerccio anterior.)

6.8 OUTRAS FUNES ELEMENTARES 1. Funo Definida pela Sentena Aberta f(x) = x3

Consideremos a funo f, de em , que associa a cada nmero real x o nmero x3:

3

f :

f(x) = x

A funo f crescente em , pois para todo real x1, e todo real x2, tem-se:

x1 < x2 3 31 2x x O grfico de f mostrado na figura:

247

b) 2 2 2 2 2(x 3x 4) x 9 0 (x 3x 4 0 x 9 0) x 9 0 2

2

A equao x 3x 4 0 tem razes 1 e 4

A equao x 9 0 tem razes 3 e 3

Antes de aceitar estas razes devemos ver se satisfazem a condio x2 9 0. Fazendo a verificao observamos que a nica que no satisfaz 1. Assim:

V = {4; 3; 3}

7.2) Resolva as equaes:

a) 3 3x 4 4 b) x 6 2x 9 Soluo

a) 33 3x 4 4 3x 4 4 3x 60 x 20 V = {20}

b) 1 modo x 6 2x 9 x 6 9 2x

Elevando ao quadrado os dois membros desta ltima equao obtemos: x + 6 = (9 2x)2

que resolvida nos d as razes 3 e 254

Faamos a verificao: x 6 9 2x

x 33 6 9 2(3) (verdade)

x 6 9 2x25x 25 254 6 9 2 (falso)

4 4

Portanto, 254

no convm e assim: V = {3}

2 modo 2x 6 9 2x (x 6) (9 2x) 9 2x 0

Resolvendo a equao x + 6 = (9 2x)2 obtemos as razes 3 e 254

.

Destas, apenas o nmero 3 satisfaz condio 9 2x 0. Assim: V = {3}

7.3) Resolva as equaes:

a) x 23 x 16 1 b) 2x 3 3x 4 5x 9

248

Soluo

a) Para que as razes sejam reais, temos as seguintes condies:

(I) x 23 0x 16 0

Supondo estas condies vlidas, antes de elevar ao quadrado prefervel deixar um radical de cada lado (quando possvel):

x 23 x 16 1 x 23 1 x 16 Elevando ao quadrado os dois membros:

2 2

2

( x 23 ) (1 x 16)

x 23 1 2 x 16 x 16

x 16 3 x 16 3 x 7

O nmero 7 satisfaz s condies (I) e fazendo a verificao na equao original, verificamos que 7 raiz.

V = {7} b) Devemos ter:

(I) 2x 3 03x 4 05x 9 0

Supondo vlidas estas condies, temos: 2 2

2

( 2x 3 3x 4 ) ( 5x 9 )

2x 3 2 2x 3 3x 4 3x 4 5x 9

(2x 3)(3x 4) 1(2x 3)(3x 4) 1

6x 17x 11 0

Esta ltima equao tem razes: 1 e 116

. Destes dois nmeros, apenas 1 satisfaz s condies (I) Fazendo a substituio, observamos que 1 satisfaz equao original:

V = {1}

7.4) Resolva a equao: 6 1 3x 1 x 4 x 1 x 4

Soluo

Antes de tudo, vamos impor:

(I) x 1 0x 4 0

249

Supondo estas condies vlidas, e lembrando que: (a + b) (a b) = a2 b2, vamos tomar para denominador comum o produto:

( x 1 x 4 )( x 1 x 4 ) (x 1) (x 4) 3 Multiplicando todos os termos pelo denominador comum, temos:

6( x 1 x 4 ) 1( x 1 x 4 ) 3(3)

6( x 1 6 x 4 ) x 1 x 4 9

7( x 1 5 x 4 ) 9

7( x 1 9 5 x 4 )

Elevando ao quadrado:

49(x 1) 81 25(x 4) 2(9)(5 x 4 )

49x 49 81 25x 100 90 x 4

24x 30 90 x 4

4x 5 15 x 4

Elevando novamente ao quadrado: 16x2 40x + 25 = 225(x 4) 16x2 40x + 25 = 225x 900 16x2 265x + 925 = 0 = 2652 4(16)(925) = 11025 ( 105)

185x '265 105x 1632 x '' 5

As duas razes satisfazem s condies (I).

Portanto: 185V ; 516

Exerccios Propostos 7.5) Resolva as equaes:

a) 2x x 20 0 c) 23x 12x x 16 0 b) 3 2x 7x 0

7.6) Resolva as equaes:

a) 7x 14 x 2 c) 2x 7 x 4 1 b) x 1 2x 1 d) 5x 21 2 x 13

7.7) Resolva a equao: 2x 1 3x 13 .1 3x 2x 6

250

(Sugesto: faa 2x 1 3x 1y e )1 3x 2x y

7.8) Resolva as equaes:

a) 1 1 11 6 x 1 6 x

b) x 1 2x 2 2 7.9) Resolva as equaes:

a) 4 3 2252 x 39 4 b) 3 2x 1 x 1

7.5 INEQUAES IRRACIONAIS

Inequaes irracionais so inequaes em que a varivel aparece sob radical. De modo geral, para resolver uma inequao irracional, a idia elevar os dois membros a uma potncia conveniente para eliminar os radicais. No entanto, neste momento, devemos nos lembrar das propriedades P11 e P12 vistas no item 4.6 do captulo 4:

P11: Para n e mpar, a > b an > bn quaisquer que sejam os reais a e b.

P12: Para n * e par, a > b an > bn quaisquer que sejam a e b pertencentes a +.

Em outras palavras, quando elevamos os dois membros de uma

desigualdade do tipo a > b a um expoente mpar, a nova desigualdade equivalente original; no entanto, se elevarmos a expoente par (no-nulo), a desigualdade s vlida se a e b pertencerem a +.

Assim, quando o radical for de ndice mpar, podemos elevar os dois membros ao expoente mpar em questo e com certeza a nova desigualdade ser equivalente anterior. A dificuldade aparece, portanto, nas inequaes envolvendo radicais de ndice par. So estes casos que necessitaro uma anlise mais detalhada. Porm, antes de analis-los, veremos alguns casos que no exigem nenhum mtodo especial.

Exerccios Resolvidos 7.10) Resolva as inequaes:

a) 2x 5x 4 0 e) 3 2x 5x 4 0 b) 2x 5x 4 0 f) 3 2x 5x 4 0 c) 2x 5x 4 0 g) 3 2x 5x 4 0 d) 2x 5x 4 0 h) 3 2x 5x 4 0

261

ou ento 3 7r e s ,2 2

o que d no mesmo. Assim:

7 35 212 2

Consideremos agora a possibilidade da transformao, no caso geral.

a b r s a b r s a b r 2 r s s

a b r s 4rs a r s e 4rs bbr s a e rs4

Ento, os valores de r e s devem ser as razes da equao do segundo grau:

2 bx ax 04

O discriminante desta equao :

2 2ba 4 a b4

e as razes sero das por:

2a a a bx2 2

Portanto, para que as razes da equao 2 bx ax 04

sejam racionais,

necessrio que 2a b seja racional. Suponhamos ento que 2c a b seja racional. Temos:

a cx2

Assim: a c a cr e s2 2

e portanto:

a c a ca b2 2

Em resumo:

Sejam a e b racionais, tais que b 0 e a b 0,

Desde que 2c a b seja racional, temos: a c a ca b

2 2

262

De modo anlogo, conclumos que:

Sejam a e b racionais, com b 0 e a b 0,

Desde que 2c a b seja racional, temos: a c a ca b

2 2

importante ento observar que a transformao no possvel se 2a b no for racional. Exerccios Resolvidos

7.28) Transforme 6 11 na soma r s onde r e s so racionais. Soluo

Poderamos fazer essa transformao como no primeiro exemplo deste item. No entanto vamos fazer uso da frmula deduzida.

2a c a ca b , onde c a b2 2

temos: 2a 6

e c a b 36 11 5b 11

Como 5 racional, a transformao possvel: 6 5 6 5 11 16 11

2 2 2 2

7.29) Determine os nmeros racionais x e y tais que:

8 61 x y Soluo

temos: 2a 8

e c a b 64 61 3b 61

Como 3 no racional, a transformao no possvel. 7.30) Determine os nmeros racionais x e y tais que:

7 2 10 x y Soluo Temos 2 10 4(10) 40 e assim : 7 2 10 7 40 temos: 2

a 7e c a b 49 40 9 3

b 40

263

7 3 7 37 2 10 7 40 5 22 2

7.31) Determine os nmeros racionais x e y tais que:

3 7 5 2 x y Soluo

Neste caso temos radical de ndice 3 e portanto no vale a frmula. Supondo ento y > 0, temos: 3 3

3 2 2 3

3 2

7 5 2 x y 7 5 2 (x y )

7 5 2 x 3x y 3x y y

7 5 2 x 3x y 3xy y y

3

3 2 2

x 3xy 7

7 5 2 (x 3xy) (3x y) 3x y 5y 2

Resolvendo este sistema obtemos y = 2 e x = 1 Assim:

3 7 5 2 1 2 Exerccios Propostos 7.32) Determine os nmeros racionais x e y tais que as igualdades abaixo sejam

verdadeiras.

a) 9 17 x y d) 8 15 x y b) 9 80 x y e) 21 3 x y

4

c) 7 2 6 x y f) 6 2 x y 7.33) Efetue, se possvel, a transformao:

3 26 15 3 a b onde a e b so racionais.

264

Exerccios Suplementares

IV.1) Resolva a equao: x 2 x 4x 1

IV.2) Resolva a equao: 4 21 x x x 1

IV.3) Resolva e discuta a equao: 2x mx x m

IV.4) Resolva a inequao: (2x 3)(x 1) x 1

IV.5) Resolva a inequao: x 6 x 1 2x 5

IV.6) Resolva a inequao: 3 3x 2 x 8 IV.7) Discuta, segundo os valores de a e de b, o nmero de razes da equao.

2 2x a x b; a 0 e b 0

IV.8) Resolva a inequao: x 1 x 3 0x 4 1 x

IV.9) Resolva a inequao: 4x 9 x 18 0

IV.10) Resolva a inequao: 2 2(1 x) x 1 x 1

IV.11) Resolva a inequao: 1 1 x 1x 1x x x

IV.12) Considerem-se os nmeros:

1

2

x 4 10 2 5

x 4 10 2 5

Calcule 2 21 2 1 2x x e x x . Deduza o valor de x1 + x2.

IV.13) Verifique que 30 12 6 3 2 2 3. IV.14) Sendo a e b nmeros racionais positivos, no quadrados perfeitos, com

a b, mostre que os nmeros s a b e d a b so irracionais. Aplicao: Sendo A e B nmeros racionais positivos, B no quadrado perfeito, que relao deve existir entre A e B para que se possa ter dois nmeros racionais x e y tais que:

A B x y Calcule ento x e y.

Simplifique: 31 12 3

268

Observe que, por exemplo: (f g)(2) = f(2) g(2) = 2 0 = 2 (f . g)(2) = f(2) g(2) = 2 0 = 0

A funo quociente fg

tem domnio constitudo pelos elementos x que

pertencem ao conjunto D(f) D(g) tais que g(x) 0; como g(2) = 0, tem-se:

f f 1 1D {1; 3} e 1; , 3;g g 2 2

Note que f f(1) 1 1 f f(3) 2 1(1) e (3)g g(1) 2 2 g g(3) 4 2

b) Sejam as funes f e g definidas pelas sentenas abertas:

2f(x) x

g(x) x

Ento, D(f) = , D(g) = + e D(f) D(g) = + Da, as funes f + g, f g e f g tm domnio +, e so definidas, respectivamente, por:

2

2

2

(f g)(x) x x

(f g)(x) x x

(f g)(x) x x

A funo quociente fg

tem domnio:

f fD {x | x D(f ) D(g) g(x) 0}; ento, D , e :g g

2f x(x)g x

Exerccios Resolvidos 8.1) Sejam as funes f e g definidas, respectivamente, por:

f(x) x 2

g(x) 5 x

a) Determine D(f) e D(g).

b) Determine os domnios das funes f + g, f g, ff g eg

. c) D as sentenas abertas que definem cada uma dessas funes.

269

Soluo

a) D(f) = [2; +[ e D(g) = ] ; 5] b) Como D(f) D(g) = [2; 5] tem-se:

D(f + g) = D(f g) = D(f g) = D(f) D(g) = [2; 5] Todo elemento x que pertence ao domnio de f

g tal que:

x D(f) D(g) e g(x) 0 Ento, D f

g

= [2; 5[

c) (f + g) (x) = f(x) + g(x) = x 2 5 x (f g) (x) = f(x) g(x) = x 2 5 x (f g) (x) = f(x) g(x) = x 2 5 x

f f(x) x 2(x)g g(x) 5 x

8.2) Sejam as funes de em , f e g, definidas pelas sentenas abertas:

f(x) x

1, se x 0g(x) 0, se x 0

1, se x 0

Para as funes f + g, f g, f g e f :g

a) determine os domnios. b) d as sentenas abertas que a definem. c) desenhe os grficos. Soluo

a) Observe que D(f) = D(g) = e ento: D(f + g) = D(f g) = D(f g) = D(f) D(g) = D f

g

{x | x D(f) D(g) g(x) 0}, como g(0) = 0 tem-se:

fDg

b) Como x, se x 0

x 0, se x 0x, se x 0

vem:

x 1, se x 0(f g)(x) f(x) g(x) 0, se x 0

x 1, se x 0

270

x 1, se x 0(f g)(x) f(x) g(x) 0, se x 0

x 1, se x 0

x 1 x, se x 0

(f g)(x) f(x) g(x) 0 0 0, se x 0 ou seja,(f g)(x) x( x) ( 1) x, se x 0

x x, se x 0f f(x) f1(x) ou seja, (x) x, x 0xg g(x) gx, se x 01

c)

Exerccios Propostos 8.3) Sejam as funes f e g definidas por enumerao dos pares que as

constituem: f = {(0; 1), (1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 5)}

g = {(1; 2), (2; 3), (3; 0), (6; 1)}

Determine as funes f + g, f g, f g e f .g

271

8.4) Sejam as funes f e g definidas pelos diagramas de flechas:

Determine, atravs de diagramas de flechas as funes f + g, f g, f g e f .g

8.5) Sejam as funes f e g, reais e de varivel real, definidas por:

f(x) = x g(x) = x2 1

Para as funes: f + g, f g, g f, g f, g fe ,f g

determine:

a) o domnio de cada uma delas b) a sentena aberta que define cada uma delas

8.6) Sejam as funes de em definidas por:

f(x) = |x| (funo mdulo) g(x) = [x] (funo maior inteiro)

a) Obtenha os domnios das funes f + g, f g, f g e f ,g

e as sentenas

abertas que definem cada uma delas. b) Desenhe os grficos das funes f + g e f g, para x [2; 2[.

8.2 COMPOSIO DE FUNES

Basicamente, a idia da composio de funes a de uma reao em cadeia, em que as funes atuam uma aps a outra. Exemplos

a) comum, em nosso dia-a-dia, vermos raciocnios como o seguinte: o Imposto de Renda (IR) pago por um cidado funo do seu salrio; o salrio funo do nmero de horas que ele trabalha. Diz-se, ento, que o IR pago pelo cidado funo do nmero de horas que ele trabalha Raciocinemos mais claramente nesse exemplo. Imagine que o cidado A receba 50 reais por hora de trabalho. Podemos considerar a funo:

s(t) = 50t (1)

272

que determina, em reais, o salrio S do cidado A quando ele trabalha um certo nmero t de horas. Imagine que a Receita Federal adote a seguinte frmula para obter o IR a pagar, a partir do salrio s:

IR (s) = 16

(s 300) (2)

Se o cidado A trabalha 60 horas, qual o IR devido? Inicialmente calculemos o seu salrio (frmula (1)):

s(60) = 50 60 = 3000 (em reais) Em seguida, a partir do salrio (3000 reais), calculemos o imposto a pagar (frmula (2)):

IR(3000) = 16

(3000 300) = 450 (em reais)

Observe que o IR a pagar funo das horas que o cidado A trabalhou; para calcul-lo, inicialmente aplicamos a funo s ao nmero 60; em seguida, ao resultado obtido, 3000, aplicamos a funo IR, obtendo ento o imposto devido. Podemos sintetizar o clculo, determinando uma nica funo (frmula) que d o imposto devido pelo cidado A conhecendo-se o nmero de horas que ele trabalhou:

1(s) (s 300)6

1[s(t)] [s(t) 300]61[s(t)] (50t 300)6

IR

IR

IR

Ento, o IR funo das horas de trabalho, dada pela frmula:

IR(t) = 16

(50t 300) (3)

Ento, para as 60 horas que o cidado A trabalhou, o IR devido pode ser calculado fazendo t = 60 na frmula (3):

IR(60) = 16

(50 60 300) 450 (em reais)

b) Sejam as funes f e g definidas, respectivamente, pelas sentenas

abertas: f(x) = 9x

g(x) = x

Note que D(f) = e D(g) = {x | x 0}. Se x 0, ento f(x) = 9x no-negativo, isto , f(x) 0; logo, f(x) pertence ao domnio de g. Temos ento:

g[f(x)] f(x) 9x 3 x A sentena aberta:

g[f(x)] = 3 x

273

define uma nova funo, que se denomina composta de g com f, e que se representa com g f (l-se: g bola f). Observe que o domnio de f , mas elementos desse domnio so excludos para se obter o domnio de g f: se x negativo ento f(x) negativo e no existiria g[f(x)] f(x). Resumindo, o domnio de g f constitudo por todo x do domnio de f tal que f(x) est no domnio de g. No nosso exemplo, D(g f) = {x | x 0}

Definio

Dadas as funes g e f, g f uma funo que se diz composta de g com f, definida por:

(g f )(x) g[f(x)]

O domnio de g f :

D(g f ) {x | x D(f ) f(x) D(g)} Adotaremos CD(g f) = CD(g)

Exemplo

Sejam os conjuntos U = {x | 0 x 10}, A = {0; 2; 4; 6; 8; 10} e B = {2; 4; 6; 8; 10}. Consideremos as funes g e f

definidas por: g : B U

1g(x) x 12

274

f : A U1f(x) x 42

Para se obter a funo g f note que o conjunto: I(f) D(g) no pode ser vazio.

O domnio de g f um subconjunto do domnio de f, constitudo pelos elementos cujas imagens (dadas por f) pertencem ao domnio de g. No exemplo, observe que:

I(f) = {4; 5; 6; 7; 8; 9} D(g) = {2; 4; 6; 8; 10} I(f) D(g) = {4; 6; 8}

D(g f) = {0; 4; 8} I(g f) = {1; 2; 3}

CD(g f) = CD(g) = U (conveno) Note, uma vez mais, que os elementos do domnio de g f so aqueles

cujas imagens, dadas por f, pertencem ao conjunto: I(f) D(g); e, para que exista g f, deve-se ter: I(f) D(g) . Observaes

No confunda a notao g f com a notao g f; note tambm que a grafia g f est s avessas: a primeira funo que se aplica f e a segunda g.

275

Dadas as funes g e f, pode-se pensar em duas funes compostas, g f e f g, para as quais se tem, respectivarnente:

(g f)(x) = g[f(x)] (f g)(x) = f[g(x)]

A composio de funes no uma operao comutativa: g f f g

Uma Representao Esquemtica

Podemos ilustrar, com o esquema da figura abaixo todo o processo para se construir a funo g f, composta de f com g:

Exerccios Resolvidos 8.7) Sejam as funes f e g definidas pelos pares que as constituem:

f = {(1; 2), (2; 5), (3; 6), (4; 0)} g = {(2; 4), (5; 7), (6; 8), (1; 3)}

Obtenha a funo g f. Soluo

Calculamos: (g f) (1) = g[f(1)] = g(2) = 4 (g f) (2) = g[f(2)] = g(5) = 7 (g f) (3) = g[f(3)] = g(6) = 8 Note que 4 D(g f), pois f(4) = 0 D(g). Ento:

g f = {(1; 4), (2; 7), (3; 8)}

276

Observe que: D(f) = {1; 2; 3; 4} I(f) = {2; 5; 6; 0} D(g) = {2; 5; 6; 1} I(f) D(g) = {2; 5; 6} I(g) = {4; 7; 8; 3} D(g f) = {1; 2; 3} I(g f) = {4; 7; 8}

8.8) Sejam as funes f e g definidas por:

2x 4f(x)x 11g(x)x

a) Determine D(f) e D(g). b) Determine D(g f). c) D a sentena aberta que define g f. Soluo

a) Para o domnio da funo f, deve-se ter x 1: D(f) = {1}; e, para o domnio da funo g, deve-se ter x 0: D(g) = *.

b) D(f) = {x | x 1} e D(g) = {x | x 0} D(g f) = {x I x D(f) f(x) D(g) } D(g f) = {x I x 1

2x 4 0x 1 }

D(g f) = {x I x 1 2 x 2} c) Se x 1, x 2 e x 2:

2 2

2

1 1 x 1(g f )(x) g[f(x)]f(x) x 4 x 4

x 1x 1(g f )(x)

x 4

8.9) Sejam as funes f e g definidas por:

3

f(x) x

g(x) x

Para as funes g f e f g, determine: a) o domnio. b) a sentena aberta que define cada uma delas.

277

Soluo

Note que D(f) = + = {x |x 0} e D(g) = a) D(g f) = {x | x D(f) f(x) D(g) }

D(g f) = {x I x 0 x3 satisfeita para todo x D(g f) = {x I x 0} = + D(g f) = {x I x D(g) g(x) D(f) } D(g f) = {x I x r x3 0 } A inequao x3 0 nos d x 0, e da:

D(f g) {x | x 0} = + b) (g f) (x) = g[f(x)] = [f(x)]3 = ( x )3

(g f) (x) = ( x )3 (f g) (x) = f[g(x)] = g(x) = 3x

(f g) (x) = 3x Note que para todo x 0 tem-se ( x )3 = 3x ; ento como D(g f) = D(f g), e como por conveno CD(g f) = CD(f g) tem-se g f = f g.

8.10) Sejam as funes reais e de varivel real definidas por:

2x, se x 1f(x) g(x) x2, se x 1

a) Determine (g f) (1) e (f g) (2). b) Determine (g f) (x) e (f g) (x).

Soluo

a) (g f) (1) = g[f(1)] = g(1) = 12 = 1 (f g) (2) = f[g(2)] = f(4) = 2

b) (g f) (x) = g[f(x)] = [f(x)]2 = 2x , se x 1

4, se x 1

(f g) (x) = f[g(x)] =

=2 2

2

g(x), se g(x) 1 x , se x 12, se g(x) 1 2, se x 1

2x , se 1 x 1

2, se x 1 ou x 1

Ento: 2x , se x 1(g f )(x)

4, se x 1

2x , se 1 x 1(f g)(x)

2, se 1 x 1

278

8.11) Se f(x) = x + 2, determine a sentena aberta que define uma funo g tal que (f g) (x) = x.

SoIuo (f g) (x) = f[g(x)] = g(x) + 2 Como g(x) + 2 = x, tem-se g(x) = x 2.

8.12) Dadas as funes definidas por f(x) = 3x, g(x) = (x 1)2 e h(x) = x + 2,

determine [(h f) g] (2).

Soluo [(h f) g] (2) = h { f [g(2)] } [(h f) g] (2) = h { f [1] } [(h f) g] (2) = h {3} [(h f) g} (2) = 5

8.13) Sejam f e g funes definidas por f(x) = 5x 3 e g(x) = 2x + k. Determine k

para que f g = g f.

Soluo Note que f g e g f so funes de em , pois f e g o so. Ento, para que f g = g f deve-se ter (f g) (x) = (g f) (x): (f g) (x) = f[g(x)] = 5g(x) 3 = 5(2x + k) 3 = 10x + 5k 3 (g f) (x) = g[f(x)] = 2f(x) + k = 2(5x 3) + k = 10x 6 k Ento, deve-se ter: 5k 3 = 6 + k e da k = 3 .

4

8.14) Se x 1f(x)x determine: f { f [f(x)] }

Soluo

Comeamos calculando f [f(x)]: x 1 1f(x) 1 x 1 x 1xf[f(x)] x 1f(x) x 1 x 1

x

Agora,

f { f [f(x)] } =

1 1f[f(x)] 1 1 x 1x 1 x1f[f(x)] 1x 1

Ento: f { f [f(x)] } = x

279

8.15) Determine: f(x) se f(x + 1) = x2 3x + 2. Soluo

Fazendo x + 1 = y, e da x = y 1, tem-se: f(y) = (y 1)2 3(y 1) + 2 f(y) = y2 5y + 6 (1) Em (1), substituindo-se y por x: f(x) x2 5x + 6

8.16)

Seja f uma funo real de varivel real, de domnio A, para a qual: se x A, ento x A.

Se para todo x de A se tem f(x) = f(x), f diz-se PAR. Se para todo x de A se tem f(x) = f(x), f diz-se MPAR.

Para as funes, de em , definidas pelas sentenas abaixo, diga qual par e qual mpar: a) f(x) = x2 b) f(x) = x3 c) f(x) = x2 + x Soluo

a) f(x) = (x)2 = x2 = f(x): par

Note que o grfico de uma funo par simtrico em relao ao eixo Oy.

b) f(x) = (x)3 = x3 = f(x): mpar

280

Note que o grfico de uma funo mpar simtrico em relao origem do sistema cartesiano.

c) 2 2 2f(x) : no par

f( x) ( x) ( x) x xf(x) x x : no mpar

Essa funo no se classifica segundo o critrio par ou mpar.

Exerccios Propostos 8.17) Sejam as funes f e g definidas pelos pares que as constituem:

f = {1; 2), (2; 1), (3; 4), (4; 6)} g = {(2; 4), (3; 5), (5; 6)}

Determine a funo g f. 8.18) Sejam as funes f e g definidas por:

f(x) = (x 1)2 g(x) = 2x + 1

Calcule: a) (f g) (1) c) (f f) (1)

b) (g f) (2) d) (g g) 72

Nos exerccios de 8.19 a 8.24 as sentenas abertas definem as funes f e g; determine em cada caso:

a) o domnio da funo f b) o domnio da funo g c) o domnio da funo g f d) a sentena aberta que define g f e) o domnio da funo f g f) a sentena aberta que define f g

8.19) f(x) = (x 1)2 e g(x) = x + 1 8.20) f(x) = x2 e g(x) = x

8.21) 2 2f(x) x 1 e g(x) x 1

8.22) 1 1f(x) 1 e g(x)x x 1

8.23) 1f(x) x 1 e g(x)x

8.24) f(x) = x2 e g(x) = x2

281

8.25) Sejam as funes reais e de varivel real:

x, se x 1f(x) g(x) 2x

x, se x 1

a) Determine (g f) (0), (f g) (4), (f f) (1) e (g g) (3). b) Determine (g f) (x) e (f g) (x).

8.26) Se f(x) = 2x 3 e f [g(x)] = x, determine g(x). 8.27) Considere as funes f e g definidas por g(x) = |x| e f(x) = x + 2.

a) Determine (f g) (x). b) Desenhe o grfico da funo f g. c) Resolva a inequao (f g) (x) < 6.

8.28) Suponha que as funes f e g so definidas por:

f(x) = ax + b g(x) = cx + d

Qual a condio para que f g = g f?

8.29) Seja 1 xf(x) .1 x Calcule f { f [f(x)]}.

8.30) Dadas as funes definidas por f(x) = 1x

, g(x) = x e h(x) = x2, calcule

f { g [h(2)] }. 8.31) Para a funo f, de em , definida por f(x) = 3x:

a) determine x se f(x2) = f(2x + 3). b) verifique se f(3x + 4) = 3f(x) + 4.

8.32) Se f(x) = x2 + 3 e g(x) = (f f) (x), determine g(2).

8.33) Se x 1 x 1f(x) e f x,x 1 x 1 determine x.

8.34) Se f(x) = 2x + 3, calcule:

a) f(0) e) 1fx

b) f(x) f) 1f(x)

c) f(x + 1) g) f(x h) f(x)h

d) f(x) + 1

282

8.35) Determine: 2xf(x) se f x .x 1

8.36) Sejam as funes f e g, de em , definidas por: 2x, se x mpar

f(x)x 1, se x parx 1, se x mpar

g(x)2x 1, se x par

a) Determine (g f) (5), f [g(2)] e (f f) (3). b) Determine (g f) (x).

8.37) Para as funes, de em , definidas pelas sentenas abaixo, diga qual par e qual mpar. a) f(x) = |x| b) f(x) = 3x x3

c) f(x) = 2

4x 1x 1

8.38) Uma funo f, de em , mpar. Determine f(0).

8.39) Verifique que h (f g) = (h f) g para: 2f : x x

g : x x1h : xx

8.40) f, g e h so funes de em . Demonstre que: (f + g) h = f h + g h

8.41) f, g e h so funes de E em E. Demonstre que:

(h g) f = h (g f)

283

9.1 Funo Sobrejetora Definio

Seja f uma funo de A em B; f diz-se sobrejetora se e somente se I(f) = B, isto :

If sobrejetora (f ) CD(f )

f sobrejetora: em cada elemento de B = CD(f) chega pelo menos uma flecha.

Note que se f sobrejetora, para todo elemento y de B existe ao menos um elemento x de A tal que f(x) = y, isto , todo y de B imagem de pelo menos um x de A.

Quando a funo f, de A em B, sobrejetora, a equao f(x) = y admite para todo y B pelo menos uma soluo. Exemplo

A funo f, de em +, definida por f(x) = x2 sobrejetora, pois para todo y, y +, existe ao menos um x real, x y, tal que f(x) = y.

Note que o contradomnio de f dado: +; o conjunto-imagem de f obtm-se projetando o grfico de f sobre o eixo Oy: I(f) = +.

Ento, CD(f) = I(f) = + e f sobrejetora, por definio.

284

9.2 FUNO INJETORA

Seja f uma funo de A em B; f diz-se injetora se e somente se quaisquer que sejam os elementos x1 e x2 em A, se x1 x2 tem-se: f(x1) f(x2).

1 1 2 2 1 2 1 2f injetora ( x ,x A; x ,x A : x x f(x ) f(x ) Note que se f injetora, um elemento y de B no necessariamente

imagem de algum elemento x de A, mas, se o for, imagem de um nico x de A. Quando a funo f, de A em B, injetora, a equao f(x) = y admite no

mximo uma soluo para todo y B.

f injetora:

em cada elemento de B = CD(f) chega no mximo uma flecha. Exemplo

A funo f, de * em , definida por 1f(x)x

injetora.

Note que y = 0 no imagem de nenhum elemento x de D(f) = * e que todo y , y 0, imagem de um nico x de D(f) = *.

285

Quaisquer que sejam x1 e x2 em *, tem-se:

1 2

1 21 2

f(x ) f (x )

1 1x xx x

9.3 FUNO BIJETORA Definio

Seja f uma funo de A em B; f diz-se bijetora se e somente se f sobrejetora e injetora.

f bijetora (f sobrejetora e f injetora)

Note que se f bijetora, para todo elemento y de B existe um e um s elemento x de A tal que f(x) = y, isto , todo y de B imagem de um e um s x de A.

f bijetora:

em cada elemento de B = CD(f) chega uma e uma s flecha.

Quando a funo f, de A em B, bijetora, a equao f(x) = y admite para todo y B uma e uma s soluo. Exemplo

A funo f, de em , definida por f(x) = x3 bijetora, pois para todo y = CD(f) existe um e um s x de A, 3x y, tal que:

f(x) = y Note que f sobrejetora e injetora.

286

9.4 UM RECONHECIMENTO GRFICO

Seja f uma funo real de varivel real: f: A B

Podemos verificar graficamente se f sobrejetora ou injetora ou bijetora, da seguinte forma:

Traamos retas paralelas ao eixo Ox pelos pontos (0; y) com y B; ento: 1) Se essas retas encontram o grfico de f em pelo menos um ponto, f

sobrejetora.

2) Se essas retas encontram o grfico de f no mximo em um ponto (h

retas que no o encontram, mas aquelas que encontram o fazem em um nico ponto) a funo injetora.

3) Se essas retas encontram o grfico de f em um e um s ponto, a funo

bijetora.

287

Exerccios Resolvidos 9.1) As funes abaixo esto definidas atravs de diagramas de flechas; diga

qual sobrejetora, qual injetora e qual bijetora: a) b) c) d)

Soluo

a) no sobrejetora: nos elementos 2 e 3 de B no chegam flechas; observe que I(f) CD(f); no injetora: nos elementos 0 e 1 de B chegam mais do que uma flecha; no bijetora;

b) sobrejetora: I(f) = CD(f); no injetora: nos elementos 0 e 1 de B chegam mais do que uma flecha; no bijetora;

c) sobrejetora: I(f) = CD(f); injetora: em cada elemento de B chega uma nica flecha; bijetora;

d) no sobrejetora: nos elementos 2, 3 e 4 de B no chegam flechas, isto , I(f) CD(f); injetora: nos elementos 1 e 5 de B, onde chegam flechas, elas so nicas; no bijetora.

9.2) As funes abaixo, definidas pelos grficos, tm domnio A = [1; 4] e

contradomnio A = [1; 4]. Diga qual sobrejetora, qual injetora e qual bijetora:

a) b)

c) d)

288

Soluo

Quando conhecemos o grfico de uma funo f e queremos decidir se ela sobrejetora ou injetora ou bijetora, traamos retas paralelas ao eixo Ox pelos pontos (0; y) com y CD(f): a) bijetora; as retas encontram o grfico em um e um s ponto; note que a

funo sobrejetora e tambm injetora; b) injetora; as retas encontram o grfico no mximo em um ponto; no

sobrejetora e portanto no bijetora; c) no se classifica: no sobrejetora, no injetora e no bijetora; d) sobrejetora; as retas encontram o grfico em um ou mais do que um

ponto; no injetora e portanto no bijetora. 9.3) Seja a funo f definida por:

f :f(x) = x x

Verifique que f bijetora. Soluo Vamos demonstrar que a equao:

x |x| = y (I)

qualquer que seja y de = CD(f), admite uma e uma s soluo. Se y 0, tem-se:

2x yx x y x y

x 0

Se y 0, tem-se: 2x y

x x y x yx 0

Portanto, a equao (I) admite, qualquer que seja o real y, soluo nica:

x y se y 0,x y se y 0 Para a obteno do grfico da funo f note que: Se x 0: |x| = x e f(x) = x2 Se x 0: |x| = x e f(x) = x2 Ento:

2

2

x , se x 0f(x)

x , se x 0

289

f bijetora: toda reta paralela ao eixo Ox

que passa por (0; y) com y corta o grfico em um e s um ponto. 9.4) Considere a funo f, de em , definida por:

x , se x par2f(x)x 1, se x mpar

2

Verifique se f sobrejetora ou injetora ou bijetora. Soluo

A funo sobrejetora, pois todo a = CD(f) imagem de pelo menos um elemento de = D(f): esse elemento 2a (par). A funo no injetora, pois elementos do domnio da forma 2n e 2n 1 tm mesma imagem: f(2n) = f(2n 1) = n. A funo no bijetora.

9.5) Seja a funo f, de em B, definida por:

f(x) = x2 2x + 4 Determine B para que f seja sobrejetora. Soluo

Para que f seja sobrejetora deve-se ter I(f) = CD(f); ento: B = I(f)

I(f ) y |y4a

I(f) = {y | y 3} = [3; +[ Da: B = [3; +[

9.6) Seja o conjunto A = {x | x x0}. Considere a funo f, de A em ,

definida por: f(x) = x2 6x + 8

Determine o maior valor de x0 para que f seja injetora.

290

Soluo

Note que CD(f) = ; para que f seja injetora, retas paralelas ao eixo Ox que passam por (0; y), y = CD(f), devem encontrar o grfico no mximo em um ponto.

Para que isso acontea, o maior valor de x0 0bx 3.

2a

9.7) Sejam f e g funes de E em E. Mostre que se f e g so injetoras, a funo

g f injetora.

Soluo

Sejam x1 e x2 dois elementos quaisquer de E. f injetora: x1 x2 f(x1) f(x2) g injetora: f(x1) f(x2) g[f(x1)] g[f(x2)] Portanto: x1 x2 (g f)(x1) (g f)(x2) isto , g f injetora.

Exerccios Propostos 9.8) As funes abaixo esto definidas atravs de diagramas de flechas. Diga

qual sobrejetora ou injetora ou bijetora: a) b) c)

291

9.9) As funes abaixo, de A em B, so definidas pelos grficos. Diga qual sobrejetora ou injetora ou bijetora: a) b) c)

9.10) Para as funes definidas abaixo, diga qual sobrejetora ou injetora ou

bijetora: a) f: +, f(x) = |x| b) f: +, f(x) = |x| c) f: * *, f(x) = 1

x

d) f: , f(x) = x2 + 4 e) f: +, f(x) = x x

2

f) f: , f(x) = [x] (Sugesto: raciocine graficamente.)

9.11) Seja a funo f definida por:

3f :4

3x 5f(x)4x 3

Verifique que f no sobrejetora.

(Sugestao: nmero de solues da equao 3x 5 y.4x 3

)

9.12) Seja a funo f, de em , definida por: x , se x par

f(x) 20, se x mpar

A funo f sobrejetora? injetora? 9.13) Seja a funo f, de +* em +*, definida por:

f(x) = x2 + 21x

Calcule f 12

, f(1) e f(2). A funo injetora?

292

9.14) Seja a funo f, de em , definida por:

22x 3f(x)x 1

Resolva as equaes f(x) = 1 e f(x) = 1; conclua que f no injetora e no sobrejetora.

9.15) Seja a funo f, de em B, definida por:

f(x) = x2 + 2x 1 Determine B para que f seja sobrejetora.

9.16) Seja o conjunto A = {x | x x0}. Considere a funo f, de A em ,

definida por: f(x) = x2 6x + 8

Determine o menor valor de x0 para que f seja injetora. 9.17) Sejam os conjuntos A e B tais que nA = p e nB = q, e seja f uma funo de A

em B. Qual condio p e q devem satisfazer para que f seja sobrejetora? Injetora? Bijetora?

9.18) Quantas so as funes sobrejetoras de A = {1; 2; 3} em B = {1; 2}? 9.19) Quantas so as funes injetoras de A = {1; 2} em B = {1; 2; 3}? 9.20) Quantas so as funes bijetoras de A = {1; 2; 3} em B = {1; 2; 3}? 9.21) Sejam f e g funes de E em E. Mostre que se f e g so sobrejetoras, a

funo g f sobrejetora. 9.5 FUNO INVERSA O Conceito

Sejam os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {a; b; c} e as relaes de A em B: 1 = {(1; a), (2; a), (3; b)}

293

2 = {(1; a), (1; b), (2; c)}

3 = {(1; a), (2; b), (3; c)}

Observe que as relaes 1 e 3 so funes de A em B; a relao 2 no . Para cada uma das relaes dadas podemos construir a sua relao

inversa, de B em A: 11 = {(a; 1), (a; 2), (b; 3)}

21 = {(a; 1), (b; 1), (c; 2)}

31 = {(a; 1), (b; 2), (c; 3)}

294

Observe que a relao 1 funo de A em B, mas a relao 11 no funo de B em A (por qu?). A relao 2 no funo de A em B e a relao 21 no funo de B em A.

Entretanto, a relao 3 funo de A em B e a relao inversa 31, tambm, funo de B em A. Observe que 3 funo bijetora de A em B; e isto significa que para todo y B existe um e um s x A tal que (y; x) 31, isto , 31 funo de B em A.

Note tambm que D(31) = I(3) e I(31) = D(3). Teorema

Seja f uma funo de A em B; a relao inversa f 1 uma funo de B em A se e somente se uma funo bijetora.

Demonstrao

1) Vamos demonstrar que se f 1 uma funo de B em A ento f bijetora. Seja y um elemento qualquer de B; ento existe x A tal que (y; x) f 1,

pois f 1 funo, e da (x; y) f, isto , f sobrejetora. Sejam x1 e x2 dois elementos quaisquer de A, tais que x1 x2. Note que se

f(x1) = f(x2) = y viria 1 1(y) 1 (y) 2f x e f x contra a hiptese de que f 1 funo; ento

x1 x2 f(x1) f(x2), isto , f injetora. Logo f bijetora.

2) Vamos demonstrar que se f bijetora, ento f 1 funo de B em A. Para todo y em B existe um elemento x em A tal que (x; y) f, pois f

sobrejetora. Ento para todo y em B: (y; x) f 1, isto , todo y de B tem imagem x em A, dada por f 1.

Supondo que um elemento y B tenha as imagens x1 e x2 em A, dadas por f 1, teremos: (y; x1) f 1 e (y; x2) f 1 e da: (x1; y) f e (x2; y) f; ento x1 = x2, pois f injetora.

Conclumos ento que todo y de B possui uma e uma s imagem em A, dada por f 1 isto , f 1 funo de B em A. Definio

Seja f uma funo bijetora de A em B, e seja f 1 sua relao inversa. O teorema anterior mostra que f 1 uma funo de B em A e que se den