NOÇÕES DE PROBABILIDADE · 2020. 2. 29. · Exercício 6- (FGV – 2016) Um barco de pesca partiu do ponto P e navegou em linha reta, com velocidade constante por 3 milhas. Em seguida,

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Professor: Luiz Antônio

NOÇÕES DE PROBABILIDADE A teoria da probabilidade estuda as chances de ocorrer um determinado resultado, num experimento aleatório. Probabilidade de um evento Considerando um experimento aleatório, em que as chances de ocorrência de cada evento simples é a mesma, temos que a probabilidade para um evento A qualquer é dada por:

possíveiscasosden

eventoaofavoráveiscasosden

Sn

AnAp

º

º=

)(

)(=)(

Obs: a) a probabilidade de um evento é um número que está sempre entre 0 e 1 ou entre 0% e 100% (ou seja: 10 )(Ap ou %)(% 1000 Ap )

b) a probabilidade do evento complementar )( A é dada por: )()( ApAp 1

Soma de Probabilidades Dados dois eventos A e B, a probabilidade de que ocorra o evento A ou o evento B é dada por: )()()()( BApBpApBAp

Obs: se os eventos forem mutuamente exclusivos, isto é A ∩ B = Ø, teremos: )()()( BpApBAp

Produto de Probabilidades

Eventos Independentes Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade de realização do outro e vice-versa. Assim, se dois eventos A e B são independentes, a probabilidade de que ocorra o evento A e o evento B é dada por: )()()( BpApBAp

Exercícios 1- (FGV – 2015) As idades das pessoas que trabalham em certa empresa estão distribuídas em faixas como mostra a tabela a seguir:

Faixa de idade Número de pessoas De 20 até 29 anos 12 De 30 até 39 anos 20 De 40 até 49 anos 34 Com 50 anos ou

mais 14

Se uma dessas pessoas for escolhida ao acaso, a probabilidade de que tenha menos de 40 anos é: (A) 25% (B) 30% (C) 35% (D) 40% (E) 45% 2- (FGV – 2015) Um ciclo completo de um determinado semáforo é de um minuto e meio. A cada ciclo o semáforo fica vermelho 30 segundos, em seguida fica laranja 10 segundos e, por fim, fica verde 50 segundos. Escolhido um instante de tempo ao acaso, a probabilidade de que neste instante de tempo o semáforo NÃO esteja fechado, isto é, NÃO esteja vermelho, é: (A) 1/9 (B) 2/9 (C) 1/3 (D) 4/9 (E) 2/3 3- (FUNRIO – 2010) Quando Betinho volta da escola, a probabilidade dele comprar um saco de pipoca é 28%; a probabilidade dele comprar uma lata de refrigerante é 11% e a probabilidade dele comprar ambos, pipoca e refrigerante, é 4%. Dessa forma, a probabilidade de Betinho ao voltar da escola não comprar um saco de pipoca e não comprar uma lata de refrigerante é igual a: (A) 13/20 (B) 17/20 (C) 11/20 (D) 9/20 (E) 7/20

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4- (FGV – 2015) No departamento de contabilidade de certa empresa trabalham 1 homem e 4 mulheres. O diretor do departamento pretende escolher por sorteio duas dessas pessoas para trabalhar com um novo cliente. A probabilidade de que as duas pessoas sorteadas sejam mulheres é de: (A) 50% (B) 60% (C) 70% (D) 75% (E) 80% 5- (FGV – 2016) Em uma urna há quinze bolas iguais numeradas de 1 a 15. Retiram-se aleatoriamente, em sequência e sem reposição, duas bolas da urna. A probabilidade de que o número da segunda bola retirada da urna seja par é: (A) 1/2 (B) 3/7 (C) 4/7 (D) 7/15 (E) 8/15 NOÇÕES DE GEOMETRIA Ângulos - Classificação

agudo reto obtuso raso completo

menor que 90º igual a 90º maior que 90º igual a 180º igual a 360º

Exercício 6- (FGV – 2016) Um barco de pesca partiu do ponto P e navegou em linha reta, com velocidade constante por 3 milhas. Em seguida, virou a proa de um ângulo de 45º para a direita e navegou com a mesma velocidade por mais 3 milhas. A manobra foi repetida, sempre da mesma forma e com a mesma velocidade. A figura a seguir mostra o início do percurso desse barco. Após certo número de manobras, o barco voltou ao ponto P de partida. Nesse percurso, o barco percorreu uma distância total de: (A) 18 milhas (B) 21 milhas (C) 24 milhas (D) 27 milhas (E) 30 milhas

Polígonos Polígono é a figura geométrica plana formada por segmentos de reta. Designa-se um polígono pelas letras maiúsculas de seus vértices: Polígono ABCDEF... Perímetro: é a soma das medidas de todos os lados do polígono. Triângulo: É o polígono de três lados. - Classificação quanto ao comprimento dos lados:

Equilátero – Quando os 3 lados são iguais (os três ângulos internos medem 60º).

Isósceles – Quando 2 de seus lados são iguais (os ângulos da base são iguais).

Escaleno – Quando os 3 lados são diferentes (os três ângulos são diferentes).

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Equilátero Isósceles Escaleno

Lei angular de Tales: a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o. Exercícios

7- (CEPERJ – 2013) Observe o triângulo a seguir:

O ângulo α vale: (A) 30º (B) 35º (C) 40º (D) 45º (E) 50º

Circunferência e Círculo Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo desse plano chamado centro da circunferência. Círculo é a união da circunferência com a sua região interna.

Na figura temos: O = centro do círculo (da circunferência) r = raio d = diâmetro d = 2 . r Comprimento da circunferência: C = r..2

Área do círculo: A = 2r .

Exercícios 8- (CEPERJ – 2013) A área de uma circunferência com diâmetro de 20 cm vale, em cm2: (A) 40 (B) 800 (C) 100 (D) 200 (E) 400 Áreas de Figuras Planas

Retângulo Quadrado Paralelogramo Triângulo

Exercícios 9- (FGV – 2014) Na figura a seguir, tem-se um quadrado formado por 4 retângulos idênticos e um quadrado de área 1 cm². A área de cada um dos retângulos é 2 cm².

O perímetro de cada um dos retângulos mede: (A) 8 cm (B) 6 cm

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(C) 4 cm (D) 3 cm (E) 2 cm

10- (FGV – 2015) A figura abaixo mostra a planta de um salão. Os ângulos A, B, C, D e E são retos e as medidas assinaladas estão em metros.

A área desse salão em m² é: (A) 81 (B) 86 (C) 90 (D) 94 (E) 96

11- (FGV – 2016) Carlos tem um terreno retangular com 15 metros de largura e 40 metros de comprimento. Amostras feitas no local indicam que há, em média, três formigas por centímetro quadrado no terreno de Carlos. O número aproximado de formigas no terreno de Carlos é: (A) 18 mil (B) 180 mil (C) 1 milhão e 800 mil (D) 18 milhões (E) 180 milhões Sólidos: são figuras espaciais formadas por faces que são polígonos (poliedros). Volume: basicamente é dado pelo produto da medida da área da base pela medida da altura.

Poliedros

Cubo Paralalepíp

edo Retângulo

V = a³ V = a . b . c

Exercícios 12- (FGV – 2014) Para a casa que está construindo, Julio comprou uma cisterna (reservatório de água) pré-fabricada com a forma de um cilindro com 2 m de diâmetro e 1,6 m de altura. A capacidade dessa cisterna é de, aproximadamente: (A) 2.000 litros (B) 3.000 litros (C) 4.000 litros (D) 5.000 litros (E) 6.000 litros 13- (FGV – 2014) A figura ilustra uma caixa com 36 cm de comprimento, 20 cm de largura e 16 cm de altura e cubos com arestas medindo 4 cm.

A maior quantidade de cubos que cabem dentro dessa caixa é: (A) 18 (B) 72 (C) 108 (D) 160 (E) 180

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14- (FGV – 2014) Suponha que você precise montar uma caixa fechada, com a forma de um cubo, a partir de pedaços de papelão (como se fossem cubos planificados). Os pedaços de que você dispõe são mostrados a seguir, com as respectivas dobras.

Considerando que você não pode cortar nenhum desses pedaços e que só pode dobrá-los ao longo das linhas, o pedaço que NÃO serve para montar uma caixa cúbica, da esquerda para a direita, é o: (A) primeiro (B) segundo (C) terceiro (D) quarto (E) quinto 15- (FGV – 2016) Um contêiner possui, aproximadamente, 6,0 m de comprimento, 2,4 m de largura e 2,3 m de altura. A capacidade cúbica desse contêiner é de, aproximadamente: (A) 31 m³ (B) 33 m³ (C) 35 m³ (D) 37 m³ (E) 39 m³ 16- (FGV – 2016) A figura mostra a planificação das faces de um cubo.

Nesse cubo, a face oposta à face X é: (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E Relações Métricas no Triângulo Retângulo Num triângulo retângulo, o lado maior (que será oposto ao ângulo reto) chama-se HIPOTENUSA. Os outros dois lados serão chamados de CATETOS.

222 += cba (Teorema de

Pitágoras) Exercícios 17- (UFPR) Um poste de 12 m de altura está fixado verticalmente no chão. Deseja-se ligar um fio do topo desse poste até um ponto que se encontra no chão, a 5 m de sua base. Qual será o comprimento do fio esticado, do ponto de fixação no chão ao topo do poste? (A) 7 m (B) 9 m (C) 11 m (D) 13 m (E) 15 m

18- (CETAP - 2011) A área do triângulo ABC vale quantos m²? (A) 64 (B) 48 (C) 36

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(D) 42,6 (E) 24 Semelhança de Triângulos Toda paralela a um dos lados de um triângulo determina sobre os outros dois lados segmentos proporcionais.

Podemos ainda dizer que o triângulo EDC é semelhante ao triângulo ABC. Assim, temos que:

DC

ED

BC

AB=

O coeficiente de proporcionalidade entre as medidas dos lados chama-se razão de semelhança.

Exercícios 19- (INSTITUTO MACHADO DE ASSIS - 2012) Observe a figura: No instante em que uma árvore de 5 m de altura projeta uma sombra de 3 m, um homem projeta sua sombra de 1,08m. Qual a altura desse homem?

(A) 1, 60 m (B) 1, 80 m (C) 1, 50 m (D) 2,08 m 20- (FGV – 2015) As normas da ABNT para cadeirantes estabelecem que a inclinação máxima de uma rampa seja de 8%, ou seja, para atingir um deslocamento vertical de 8 m, deve existir um deslocamento horizontal correspondente de 100 m. Em uma escola, o andar das salas de aula fica a uma altura de 1,4 m do nível da rua. Assim, para que o cadeirante possa subir do nível da rua ao andar das salas de aula por uma rampa de inclinação máxima, essa rampa deverá ter um deslocamento horizontal de: (A) 12,5 m (B) 15,0 m (C) 17,5 m (D) 20,0 m (E) 22,5 m LÓGICA

Proposições Sentenças Abertas ou Fechadas As sentenças abertas são aquelas que não podem ser classificadas como Verdadeiras ou Falsas (valores lógicos): Ex: 4x + 8 = 3 e “Ela é muito bonita”. As sentenças fechadas são aquelas que podem ser classificadas como Verdadeiras ou Falsas. Ex: 4 + 7 = 10 e “Todo homem é mortal”. Proposição simples (ou atômicas): é uma sentença declarativa que pode ser classificada como verdadeira ou falsa.

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Proposições compostas (ou moleculares): quando temos duas ou mais proposições simples unidas por um conectivo. Obs: não são proposições: sentenças abertas, frases subjetivas, perguntas, ordens, pedidos. Exercícios 21- (UEPB – 2015) Assinale a alternativa INCORRETA: (A) “Fique quieto” é uma sentença imperativa. (B) “A gata é pintadinha?” é uma sentença interrogativa. (C) “Bravo!” é uma sentença exclamativa. (D) “Que mistérios tem Clarice? é uma sentença declarativa. (E) “O papa é popular” é uma sentença declarativa. 22- (UEPB – 2015) Qual das sentenças abaixo é uma proposição? (A) O que é que a baiana tem? (B) Sem lenço, sem documento. (C) Viver e não ter a vergonha de ser feliz. (D) Dizer segredos de liquidificador. (E) As rosas não falam. 23- (UEPB – 2015) Das expressões: I – Cinco mais oito são catorze. II – 2 + x > 0 III – x + y, com x = – 2 e y < 0 IV – 3 é um número racional. V – Existem infinitos números primos. Quais são sentenças abertas? (A) Apenas V (B) Apenas I, IV e V (C) Apenas IV e V (D) Apenas II, III e V (E) Apenas II e III

Modificador lógico Negação: ~ p (corresponde a “não p”) – também representada pelo símbolo p Ex: Sejam as proposições: p: João gosta de estudar e q: Maria não é professora. Teremos então: ~p: João não gosta de estudar. (neste caso, basta colocar a palavra não antes da proposição simples). e ~q: Maria é professora. (neste caso basta excluir a palavra não). Obs: alguns autores consideram a negação também como um conectivo.

Conectivos Considerando duas proposições simples, teremos: Conjunção: p q (corresponde a “p e q”) - só será verdadeira quando as duas proposições simples forem verdadeiras. Disjunção: p q (corresponde a “p ou q”) - só será falsa quando as duas proposições simples forem falsas.

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Condicional (ou Implicação): pq (corresponde a “se p então q”) – o único que importa a ordem

- só será falsa quando a 1ª proposição simples for verdadeira e a 2ª proposição simples for falsa. Bicondicional: p q (corresponde a “p se e somente se q”) - uma proposição está ligada à outra

- será verdadeira quando as duas proposições forem verdadeiras ou as duas proposições forem falsas.

Tabela Verdade

p q ~ p p q p q p q p q

V V F V V V V

V F F F V F F

F V V F V V F

F F V F F V V

Exercícios 24- (IBFC – 2013) Se o valor lógico de uma proposição P é verdadeiro e o valor lógico de uma proposição Q é falso, então é incorreto afirmar que: (A) o condicional entre P e Q, nessa ordem, é falso. (B) a disjunção entre P e Q é verdade. (C) a conjunção entre P e Q é falsa. (D) o bicondicional entre P e Q é verdade. 25- (IBFC – 2013) Se a conjunção entre uma proposição a e uma proposição b é verdadeira, então é correto afirmar que: (A) Ambas proposições são falsas. (B) Somente a proposição a é falsa. (C) Somente a proposição b é falsa. (D) A negação da proposição a é verdadeira. (E) Ambas proposições são verdadeiras. 26- (IBFC – 2013) Se o valor lógico de uma proposição p é verdadeira e o valor lógico de uma proposição q é falsa, podemos afirmar que: (A) A conjunção entre as duas é verdadeira. (B) p condicional q é verdadeira. (C) p bicondicional q é falsa. (D) A disjunção entre as duas é falsa. 27- (UEPB – 2015) Dadas as proposições: p: Raul é cantor q: Raul é compositor Qual das alternativas corresponde à proposição “Raul não é cantor nem é compositor”? (A) ~p ~q (B) ~(p q) (C) ~p q (D) ~p q (E) p q

Equivalência Lógica ( ) É possível expressar uma proposição de diferentes maneiras. Duas proposições são ditas logicamente equivalentes se elas têm os mesmos valores-verdade em todos os casos possíveis. Casos de equivalência:

- Equivalência da conjunção - Equivalência da disjunção

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p q q p p q q p

- Equivalência da condicional (temos dois casos)

p q ~ q ~ p

(inverte e troca - Contrapositiva)

p q ~ p q

Exercícios 28- (ACESSO PÚBLICO – 2015) A seguinte proposição: “Roberto é arquiteto ou Joana não sonha”. É logicamente equivalente a: (A) Se Roberto é arquiteto, então Joana não sonha (B) Roberto é arquiteto ou Joana sonha (C) Se Joana sonha, então Roberto é arquiteto (D) Se Joana sonha, então Roberto não é arquiteto (E) Joana sonha e Roberto não é arquiteto 29- (FGV – 2013) Considere a afirmação: “Carne com gordura não é saudável.” Uma afirmativa que tem o mesmo significado da acima é: (A) Carne sem gordura é saudável. (B) Carne não saudável tem gordura. (C) Carne saudável não tem gordura. (D) Carne saudável pode ter gordura. (E) Carne, ou não tem gordura ou é saudável. 30- (FGV – 2015) Considere a sentença: “Se cometi um crime, então serei condenado”. Uma sentença logicamente equivalente à sentença dada é: (A) Não cometi um crime ou serei condenado. (B) Se não cometi um crime, então não serei condenado. (C) Se eu for condenado, então cometi um crime. (D) Cometi um crime e serei condenado. (E) Não cometi um crime e não serei condenado. 31- (FGV – 2016) Um guarda portuário trabalha na fiscalização das pessoas que transitam pelo porto e conhece a regra: “Quem tem crachá pode entrar no navio.” A partir dessa regra, é correto concluir que (A) se alguém não pode entrar no navio então não tem crachá. (B) quem não tem crachá não pode entrar no navio. (C) se alguém pode entrar no navio então tem crachá. (D) algumas pessoas com crachá não podem entrar no navio. (E) uma pessoa tem crachá ou não entra no navio.

Negação

A negação de “e” é “ou” (Lei de De Morgan)

A negação de “ou” é “e” (Lei de De Morgan)

~ (p q) ~ p ~ q ~ (p q) ~ p ~ q

A negação da condicional

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~ (p q) p ~ q

Exercícios 32- (FCC – 2015) Um casal está no supermercado fazendo compras do mês e o marido diz para a esposa: “Vamos comprar macarrão ou arroz integral”. A esposa negando a afirmação diz: (A) Se vamos comprar macarrão, então não vamos comprar arroz integral. (B) Não vamos comprar macarrão ou não vamos comprar arroz integral. (C) Se não vamos comprar macarrão, então não vamos comprar arroz integral. (D) Não vamos comprar macarrão e não vamos comprar arroz integral. (E) Se não vamos comprar macarrão, então vamos comprar arroz integral. 33- (ACESSO PÚBLICO – 2015) Dizer que “não é verdade que José é lento e João é devagar” é logicamente equivalente a dizer que: (A) José é lento ou João não é devagar (B) José não é lento ou João não é devagar (C) José não é lento ou João é devagar (D) José não é lento e João não é devagar (E) João não é devagar e José não é lento 34- (IDECAN – 2015) Seja a proposição composta a seguir. “Se a garagem estiver trancada, então Marcos viajou.” A NEGAÇÃO dessa proposição é: (A) A garagem não está trancada e Marcos viajou. (B) A garagem está trancada e Marcos não viajou. (C) Se a garagem não estiver trancada, então Marcos viajou. (D) Se a garagem estiver trancada, então Marcos não viajou. 35- (FGV – 2015) Considere a afirmação: “Mato a cobra e mostro o pau”. A negação lógica dessa afirmação é: (A) não mato a cobra ou não mostro o pau; (B) não mato a cobra e não mostro o pau; (C) não mato a cobra e mostro o pau; (D) mato a cobra e não mostro o pau; (E) mato a cobra ou não mostro o pau. 36- (FGV – 2016) Considere a sentença: “Corro e não fico cansado”. Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é: (A) Se corro então fico cansado (B) Se não corro então não fico cansado (C) Não corro e fico cansado (D) Corro e fico cansado (E) Não corro ou não fico cansado

Quantificadores São expressões que aparecem, em geral, no início das frases, para indicar o universo sobre o qual será feita a afirmação. Ex: “para todo”, “cada”, “existe um”, “não existe algum”, “nenhum”, qualquer um”, ... Essas expressões podem ser universais ou particulares e cada uma delas se subdivide em afirmativa e negativa.

Afirmativa Negativa

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Universal (I) Todo A é B (III) Nenhum A é B (Todo A não é B)

Particular (II) Algum A é B (IV) Algum A não é B

Proposições Categóricas As proposições formadas com os termos todo, algum e nenhum são chamadas de proposições categóricas. Temos as seguintes formas: 1. Todo A é B 2. Nenhum A é B 3. Algum A é B 4. Algum A não é B A negação dos quantificadores

Afirmação Negação

Todo é … Algum não é …

Nenhum é … Algum é …

Algum não é … Todo é …

Algum é … Nenhum é …

Os quantificadores universal e particular são trocados um pelo outro quando fazemos a negação de uma proposição iniciada por um deles. Exemplos da negação de proposições: Seja a proposição p: Todo aluno é estudioso. Sua negação é ~ p: Algum aluno não é estudioso. Seja a proposição q: Algum aluno é estudioso. Sua negação poderá ser ~ q: Todo aluno não é estudioso ou ~ q: Nenhum aluno é estudioso. Exercício 37- (FUNDEPES - 2012) Dados os seguintes enunciados, I. João ama Maria e Joana. II. Alguns universitários não são cientistas. III. Se chover, então molha a rua. IV. O cego tem um chapéu vermelho ou o cego tem um chapéu branco. é correto afirmar que: (A) apenas III é uma proposição categórica. (B) apenas IV é uma proposição categórica. (C) apenas I e IV são proposições categóricas. (D) apenas II é uma proposição categórica. (E) I, II, III e IV são proposições categóricas. 38- (ACESSO PÚBLICO – 2015) A negação da seguinte sentença é: “Existe pelo menos um atleta de vôlei que está doente” (A) Todo atleta de vôlei está doente (B) Nenhum atleta de vôlei está doente (C) Pelo menos dois atletas de vôlei estão doentes (D) Se atleta de vôlei está doente, então não tem jogo (E) Pelo menos um atleta de vôlei está doente 39- (FGV – 2015) Considere a afirmação: “Nenhum pintor é cego”. A negação dessa afirmação é:

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(A) Há pelo menos um pintor cego. (B) Alguns cegos não são pintores. (C) Todos os pintores são cegos. (D) Todos os cegos são pintores. (E) Todos os pintores não são cegos. 40- (FGV – 2015) Considere a afirmação: “Todo animal de 4 patas é mamífero”. A negação dessa afirmação é: (A) Nenhum animal de 4 patas é mamífero. (B) Qualquer animal de 4 patas não é mamífero. (C) Nenhum mamífero tem 4 patas. (D) Existe animal mamífero que não tem 4 patas. (E) Existe animal de 4 patas que não é mamífero.

Gabarito:

Questões 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Respostas D E A B C C D C B A

Questões 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Respostas D D E D B B D E B C

Questões 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Respostas D E E D E C A C C A

Questões 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Respostas A D B B A A D B A E

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NOÇÕES DE PROBABILIDADE · 2020. 2. 29. · Exercício 6- (FGV – 2016) Um barco de pesca partiu do ponto P e navegou em linha reta, com velocidade constante por 3 milhas. Em seguida,