Normal

Introdução à

BioestatísticaNutrição e Fisoterapia

Primeiro Semestre/2013

Introdução

• Apesar das distribuições Binomial e Poisson serem de extrema

utilidade, elas não descrevem todos os casos;

• A distribuição binomial tem a desvantagem de ser impraticável

para grandes amostras;

• A distribuição de Poisson, apesar de ser bem ajustada a um

grande conjunto de dados, considera apenas números

inteiros;

• O que fazer quando temos uma variável aleatória contínua

como altura e peso?

Distribuição de Probabilidade –

Densidade de Probabilidade• A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória

discreta pode ser representada por um gráfico de barras;

• Tomemos por exemplo uma distribuição binomial com

probabilidade de sucesso igual a 0,5 e tamanho da amostra

variando de 5 a 40 qual a tendência que podemos observar

pelo desenvolvimento dos gráficos?

Distribuição de Probabilidade –

Densidade de Probabilidade

Densidade de Probabilidade de

Variáveis Aleatórias Contínuas• A densidade de probabilidade de uma variável aleatória

contínua X, definida em um espaço amostral S, é dada por

uma função que relaciona um intervalo contendo X com sua

probabilidade.

• O gráfico da função densidade de probabilidade (f.d.p)

representa uma tradução da distribuição de probabilidades do

caso discreto para o caso contínuo.

Distribuição Normal

• A distribuição contínua mais comum é a distribuição normal

ou Gaussiana;

• Assim como a distribuição de Poisson a distribuição normal

pode ser entendida como uma aproximação da distribuição

binomial com probabilidade de sucesso constante e tamanho

da amostra tendendo ao infinito;

• Diferentemente da Poisson, no entanto, a distribuição normal

pode representar qualquer intervalo pertencente ao conjunto

dos números reais.


• Uma variável aleatória � tem distribuição normal com

parâmetros � e �� se sua densidade de probabilidade é dada

por:

� � �1

2��

��

��

• Em que ∞ � � � ∞;∞ � � ∞ e �� 0.

• Observações:

• � representa uma constante, aproximadamente 3,1415;

• � representa uma outra constante, aproximadamente 2,7182;

• � representa a média da distribuição;

• �� representa o desvio-padrão da distribuição;

• Juntos, os parâmetros � e �� definem uma função densidade deprobabilidade normal.


• Diferentemente de uma variável aleatória discreta, a

probabilidade de uma variável aleatória contínua ser igual a

um determinado valor é sempre nula;

• Não faz sentido pensar em valores únicos quando se considera

uma variável aleatória contínua, mas sim em intervalos;

• Assim como não se calcula a probabilidade de um único valor

para � , também não se utiliza, diretamente, a função

densidade de probabilidade (f.d.p.) para calcular as

probabilidades dos intervalos, deve-se considerar a curva

definida pela f.d.p. e calcular a área sob a mesma.


• Muitas variáveis aleatórias de interesse na bioestatística

seguem uma distribuição aproximadamente normal:

• Pressão sanguínea;

• Nível sérico de colesterol;

• Altura;

• Peso;

• ...

Exemplo

• Suponha que o comprimento de recém-nascidos do sexo feminino

não portadores de anomalias congênitas seja uma variável aleatória

com distribuição aproximadamente normal de média 48,54cm e

desvio-padrão 2,5cm.

Intervalo de 2cm

Intervalo de 1cm Intervalo de 0,5cm

Exemplo

Propriedades da Distribuição

Normal• A distribuição normal é unimodal e simétrica em torno de sua

média �;

• � � � � � �� ;

• O desvio padrão � é uma medida da dispersão dos dados ao

redor da média �:

• � � � � � � � � � � 0,6826;

• � � � 2� � � � � 2� � 0,9546;

• � � � 3� � � � � 3� � 0,9974.

Como Calcular a Probabilidade de

Pertencer a Determinado

Intervalo• Basta calcular a área sob a curva normal relativa a f.d.p. da

variável aleatória �;

• Para calcular a área sob um gráfico, é necessário resolver uma

integral, nem sempre trivial;

• Como fugir do cálculo de uma integral cada vez que quiser

calcular uma probabilidade?

• Como a construção de tabelas para todas as possíveis variáveis

aleatórias pertencentes a uma distribuição normal é

impossível (existem infinitas combinações de médias e desvios

padrão), utiliza-se a tabela da distribuição normal padrão.

Distribuição Normal Padrão



Como usar a tabela?

• � � � 2,65 � 0,0040;

• � � � 0,5 � 1 � � � 0,5 � 1 0,3085 � 0,6915;

• � � � 1,85 � � � � 1,85 � 0,0322;

• � � � 2,46 � 1 � � � 2,46 � 1 � � � 2,46 �

0,9931;

• � 0,71 � � � 1,93 � 1 � � � 1,93 � � � 0,71 �

1 � � � 1,93 1 � � � 0,71 � � � � 0,71

� � � 1,93 � 0,2389 0,0268;

Exemplo• Voltemos para o exemplo dado, em que se pretende estudar o

comprimento de recém nascidos ( � 48,54cm e � � 2,5cm).

Exemplo

• Se subtrairmos 48,54cm de todas as observações teremos

uma distribuição normal com média 0cm e desvio padrão

2,5cm.

Exemplo

• Se, após subtrairmos 48,54cm, dividirmos todas as

observações por 2,5cm teremos uma distribuição normal com

média 0cm e desvio padrão 1cm.


Padronizada• Uma variável aleatória � que siga um distribuição normal com

média � 0 ou desvio padrão � � 1 pode ser padronizada

pela seguinte expressão:

• � ��

�

• Conhecendo a relação entre uma variável aleatória � seguindo

uma distribuição normal diferente da padrão e a variável

aleatória � que segue uma distribuição normal padrão, é

possível calcular as probabilidades relativas à variável �

utilizando a tabela de probabilidades de �.

Exemplo

• Tomando � a variável aleatória relativa ao comprimento de recémnascidos (� � 48,54cm e � � 2,5cm). Tem-se:

• P � � 48,54 �?

• � � 48,54 ⟹ � ��,��,��

�,�� 0 ⟹ P � � 48,54 � P � � 0 �

0,5

• P � � 44,79 �?

• � � 44,79 ⟹ � ��,��,��

�,��

�,��

�,�� 1,5 ⟹ P � � 44,79 �

P � � �1,5 � P � � 1,5 � 0,0668

• P 46,04 � � � 51,04 �?

• � � 46,04 ⟹ � ��,��,��

�,��

��,�

�,�� 1;� � 51,04 ⟹ � �

��,��,��

�,��

�,�

�,�� 1 ⟹ P 46,04 � � � 51,04 �

P �1 � � � 1 � P � � �1 � P � � 1 � 0,8413 � 0,1587 �

0,6826.

Exercício

• Para a população de homens de 18 a 74 anos, nos Estados

Unidos, a pressão sanguínea sistólica tem distribuição

aproximadamente normal com média de 129 milímetros de

mercúrio (mm Hg) e desvio padrão de 19,8 mm Hg.

• Tome � como a variável aleatória que representa a pressão

sanguínea sistólica. Encontre:

• O valor de � que limite os 2,5% superiores e inferiores da curva

de pressão sanguínea sistólica;

• Qual a proporção de homens na população que tem pressão

sanguínea sistólica maiores do que 150mm Hg;

• Qual a proporção de homens na população que tem pressão

sanguínea sitólica entre 115 mm Hg e 145 mm Hg?

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