GUIDG.COM 1 26/8/2012 – Notação matemática, símbolos matemáticos. Tags: As principais notações utilizadas em matemática, dicionário, manual, tabela, conceitos, notação, números, formulário, fórmulas, operadores matemáticos, simbologia, símbolos, sinais, letras, abreviações, definições, teoremas, regras e etc.

Sumário

1 CONCEITOS INICIAIS ....................................................................................................................................................2

2 ALFABETOS E CONTAGEM..........................................................................................................................................4

3 CONJUNTOS NUMÉRICOS............................................................................................................................................6

4 APLICAÇÃO, SENTENÇA E DEFINIÇÃO .................................................................................................................13

5 OPERADORES MATEMÁTICOS.................................................................................................................................17

6 NÚMEROS E CONSTANTES ........................................................................................................................................32

7 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA............... ....................................................................................33

8 TRIGONOMETRIA, SÍMBOLOS E NOTAÇÕES.......................................................................................................40

9 GEOMETRIA, TEOREMAS E FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA ...... ...................................................................44

10 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.............................................................................................................................47

11 PRODUTOS NOTÁVEIS ................................................................................................................................................53

12 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS..........................................................................................................................................55

13 SEQÜÊNCIAS, FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA ....................................................................................................57

GUIDG.COM 2 1 CONCEITOS INICIAIS

Com o objetivo de facilitar os estudos nas áreas de física e matemática desenvolvemos este texto. Observa-se que um percentual da dificuldade no aprendizado esta na compreensão da linguagem matemática, logo compreendendo melhor a linguagem os estudos serão ao menos legíveis, seguindo então para o completo entendimento. 1.1 Notação matemática

(1) É o conjunto de símbolos do qual o matemático utiliza para expressar, resumir, esclarecer e aplicar na resolução de problemas. (2) É uma linguagem cuja grafia e semântica se utiliza dos símbolos matemáticos e da lógica matemática, respectivamente. É com base nessa notação que são construídas as sentenças matemáticas (Wiki). 1.2 Notação científica / Notação exponencial

(1) É uma forma de escrever números macroscópicos ou microscópicos, utilizando um número simples multiplicado por uma potência de base decimal. Ex: 990 000 000 000 = 9,9.10¹¹ . (2) Veja a definição completa na seção de Medidas físicas (MEF). 1.3 Ciência

Ciência, do latim “scientia” que significa "conhecimento”. Conjunto sistematicamente organizado de proposições evidentes ou aceitas, necessárias e universais, capaz de dar sobre seu objeto o conhecimento pelas causas. 1.4 Matemática

Matemática do grego “µάθηµα” (máthēma) que significa, conhecimento, aprendizagem; e µαθηµατικός, (mathēmatikós) que significa apreciador do conhecimento. É a ciência que tem por objetivo determinar as medidas, propriedades e relações de quantidades e grandezas. É a ciência do raciocínio lógico e abstrato. 1.5 Número

(1) É um objeto da Matemática usado para descrever quantidade, ordem ou medida (Wiki); (2) É a relação entre a quantidade e a unidade (Newton). 1.6 Cálculo

Cálculo do latim “calculus” que significa “pedra, pedrinha”. Pela história as primeiras contagens do homem foram feitas com pedrinhas, tais que pudessem ser carregadas numa bolsa por exemplo, a fim de expressar a quantidade que se tinha de alguma coisa. Já o significado atual de “cálculo” é o efeito de calcular, resolver problemas matemáticos ou do mundo real, utilizando métodos matemáticos. O interessante neste ponto é o método de cálculo, ou seja, como abordar um problema de forma lógica, tal que a matemática possa ser uma ferramenta útil na otimização de um processo ou na solução de um determinado problemas.

GUIDG.COM 3 1.7 Álgebra

A álgebra (abreviação Álg.) é a parte da matemática que ensina a calcular, generalizando e simplificando as questões aritméticas, por meio de letras de um ou mais alfabetos. A palavra Al-jabr da qual álgebra foi derivada significa "reunião", "conexão" ou "complementação". A palavra Al-jabr significa, ao pé da letra, a reunião de partes quebradas. E foi o título de um trabalho do matemático Al-Khowarizmi (considerado o fundador da álgebra como nós conhecemos hoje). 1.8 Incógnita

Em álgebra, as incógnitas são os valores desconhecidos que representamos por letras. 1.9 Razão

Razão do latim “ratio” que significa divisão ou o quociente entre dois números x e y . É a relação existente entre grandezas da mesma espécie. 1.10 Axioma

Definição admitida como verdadeira (verdade absoluta), que não necessita de provas. 1.11 Hipótese

Suposição feita sobre uma coisa possível ou impossível, de que se tiram conclusões. 2. Acontecimento incerto; eventualidade. 3. Explanação científica de um fato não verificado. 4. Mat. Proposição admitida como dado de um problema 1.12 Teorema

Proposição que, para ser admitida ou se tornar evidente, precisa ser demonstrada. 1.13 Tese

Proposição que se enuncia, que se expõe, que se sustenta. 2. Tema, assunto. 3. Conjunto de trabalhos que se expõe em público para obtenção de cátedra universitária. 4. Mat. Conclusão de um teorema. 1.14 Corolário

(1) Afirmação deduzida de uma verdade já demonstrada. (2) Conseqüência. 1.15 Lema

Lóg. Premissa. 2. Mat. Proposição subsidiária usada na demonstração de outra proposição. 3. Argumento, tema. 4. Regra ou norma de procedimento. 5. Emblema, divisa, norma. 6. Sentença. 7. Slogan.

GUIDG.COM 4 2 ALFABETOS E CONTAGEM

Nesta seção seguem os alfabetos (abecedários) comuns utilizados na matemática, física e nas demais ciências que usam dessas bases em seu desenvolvimento. E também alguns sistemas numéricos. 2.1 Alfabeto latino

(1) Conjunto das letras usadas na grafia de uma língua; abecedário; (2) Conjunto de símbolos que usamos para descrever em palavras os objetos que vemos e aquilo que se traduz por sentimentos, conhecimentos e etc. É constituído de um grupo de vogais e um de consoantes. (3) É utilizado em todos os ramos da matemática, na álgebra, geometria e no cálculo. As letras podem representam quantidades e variáveis, e algumas letras em especial podem representar algum valor numérico ou um significado matemático. Letras minúsculas: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o , p, q, r ,s, t, u, v, w, x, y, z Letras maiúsculas: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J , K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z Vogais: a, e, i, o, u Consoantes: b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, w, x, y, z 2.2 Alfabeto grego

Utilizado na matemática, física e entre muitas outras áreas do conhecimento, o Alfabeto Grego. Da esquerda para a direita temos, as letras gregas minúsculas, correspondentes latinas minúsculas, seguido das letras gregas maiúsculas e correspondentes latinas maiúsculas.

1 α a Α A Alfa 9 ι i Ι I Iota 17 ρ r Ρ R Rô 2 β b Β B Beta 10 κ k Κ K Capa 18 σ ς s Σ S Sigma 3 γ c Γ C Gama 11 λ l Λ L Lambda 19 τ t Τ T Tau 4 δ d ∆ D Delta 12 µ m Μ M Mi 20 υ y Υ Y Ípsilon

5 ε Ε Epsilo 13 ν n Ν N Ni 21 ϕ φ Φ Fi 6 ζ z Ζ Z Dzeta 14 ξ Ξ Xi (Csi) 22 χ x Χ X Qui 7 η e Η E Eta 15 ο o Ο O Ômicron 23 ψ Ψ Psi 8 θ Θ Teta 16 π p Π P Pi 24 ω Ω Omega

2.3 Sistema decimal, algarismos Indos-Arábicos

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Algarismos ou dígitos são símbolos usados na representação de números inteiros ou reais em sistemas numerais posicionais. Utiliza-se estes dez símbolos, que chamamos de algarismos (por homenagem ao matemático Al-Khowarizmi) para representar quantidades, objetos, etc. 0 para nenhuma unidade, 1 para uma unidade, 2 para duas unidades... É usado internacionalmente na ciência e na maioria dos países. 2.4 Sistema sexagesimal

Um exemplo cotidiano do sistema sexagesimal é o nosso sistema de marcação de tempo, ou seja, sessenta segundos corresponde a um minuto, e sessenta minutos corresponde a uma hora.

GUIDG.COM 5 2.5 Números romanos

Algarismos romanos e seus correspondentes arábicos, exemplos de aplicação.

Romanos Arábicos Romanos Arábicos Romanos Arábicos I 1 XVII 17 XCIX 99

II 2 XVIII 18 C 100 III 3 XIX 19 CI 101 IV 4 XX 20 CC 200 V 5 XXI 21 CCC 300

VI 6 XXX 30 CD 400 VII 7 XXXI 31 CDXCIX 499

VIII 8 XL 40 D 500 IX 9 XLVI 46 DC 600 X 10 L 50 DCC 700

XI 11 LIX 59 DCCC 800 XII 12 LX 60 CM 900

XIII 13 LXV 65 CMXCIX 999 XIV 14 LXX 70 M 1000 XV 15 LXXX 80

XVI 16 XC 90

GUIDG.COM 6 3 CONJUNTOS NUMÉRICOS Apresentaremos nesta seção os símbolos mais comuns utilizados na teoria dos conjuntos e suas notações. Elemento, Conjunto e Pertinência. Diagrama de Euler-Venn. Os números 0,1, 2, 3 formam um conjunto numérico. Os conjuntos são nomeados com letras maiúsculas de algum alfabeto (normalmente Grego ou Latino). Podemos chamar este conjunto de conjunto A , onde A = 0, 1, 2, 3 Então os números 0, 1, 2, 3 são elementos do conjunto A , e dizemos que esses elementos pertencem ao conjunto A . Quando um elemento pertence a um conjunto, usamos o símbolo pertence, por exemplo 02 A e 12 A , isso indica que 0 pertence ao conjunto A , da mesma forma 1 pertence a A . A é um subconjunto dos números naturais, denota-se AjN e lê-se A está contido em N . NjZ . O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, é portanto um subconjunto dos números inteiros. A união do conjunto dos números irracionais com conjunto dos racionais formam o conjunto dos números reais.

3.1 Naturais

N

N é o conjunto dos números naturais. São os números que vão de 0, 1, 2, 3 ... à +∞ (lê-se mais infinito). Todo número natural é seguido imediatamente por outro número natural chamado sucessor, ou seja N = 0,1,2,3,4, .... O antecessor de 1 é 0, e a definição é o número que antecede, isto é que vem antes (sinônimo: predecessor).

O símbolo NC é usado para indicar o conjunto de números naturais sem o zero, ou seja:

NC = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...

0,1,2, 3 N Z Q I R

GUIDG.COM 7 3.2 Inteiros

Z

Z é o conjunto dos números inteiros, e é composto pelo conjunto dos números naturais acrescido dos seus opostos (os naturais negativos). É representado pela letra Z , devido ao fato da palavra Zahl em alemão significar "número". Z = ... ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

O símbolo ZC é usado para indicar o conjunto de números inteiros, sem o zero

ZC = ... , -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...

O símbolo Z+ é usado para indicar o conjunto de números inteiros não negativos Z+ =N= 0,1,2,3,4,... O símbolo Z@ é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não-positivos Z @ =@N= ..., -3, -2, -1, 0

O símbolo Z+C

é usado para indicar o conjunto de números inteiros positivos

Z+C =NC= 1,2,3,4,5, ...

O símbolo Z@C

é usado para indicar o conjunto de números negativos

Z@C =@NC= -1, -2, -3, -4, -5...

Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N é um subconjunto de Z ou que N está contido em Z e indica-se NjZ ou que Z contém N .

GUIDG.COM 8 3.3 Racionais

Q

Fração:ndffff= numerador

denominadorfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

Fração: Número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro. Numerador: o numero superior do traço que separa os termos da fração, indica quantas partes da unidade foram tomadas, enquanto o denominador indica em quantas partes foi dividida a mesma unidade. Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) obtemos um número racional. Todo número racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária. A letra Q deriva da palavra inglesa Quotient , que significa Quociente, já que um número racional é um quociente de dois números inteiros. Quociente: Número que indica quantas vezes o divisor se contém no dividendo; resultado de uma divisão. Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se a = 1 e b = 2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata. Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por exemplo, a = 1 e b = 3 nos dá o número racional 0,33333... É a chamada dízima periódica. Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros.

Q = a

bffff| a 2 Z e b 2 Z

CT U

Lembre-se que não existe divisão por zero. Por quê? Zero é o que nos indica a ausência, o vazio, o nada. Logo se estamos dividindo por zero não estamos dividindo, e por isso a divisão não pode ser efetuada. Assim consideramos a inexistência da divisão por zero.

QC é usado para indicar o conjunto dos números racionais sem o zero: Q

C = x 2 Q | x ≠ 0R S

Q+ é usado para indicar o conjunto de números racionais não-negativos: Q+ = x 2 Q | x ≥ 0R S

Q@

é usado para indicar o conjunto de números racionais não-positivos: Q@

= x 2 Q | x ≤ 0R S

Q+C

indica o conjunto de números racionais positivos sem o zero: Q+C = x 2 Q | x > 0R S

Q@

C indica o conjunto de números racionais negativos sem o zero: Q

@

C = x 2 Q | x < 0R S

3.4 Irracionais

I ou ℑ

Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula, que não se repetem periodicamente, obtemos um número chamado irracional. O número irracional mais famoso é o pi ( π ).

GUIDG.COM 9 3.5 Reais

ℜ ou R

O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais, indicado por R .

RC indica o conjunto dos números reais sem o zero: R

C =R@ 0P Q

R+ é usado para indicar o conjunto de números reais não-negativos: R+ = x2R | x ≥ 0R S

R@ é usado para indicar o conjunto de números reais não-positivos: R@ = x2R | x ≤ 0R S

R+C

é usado para indicar o conjunto de números reais positivos: R+C = x2R | x > 0R S

R@C

é usado para indicar o conjunto de números reais negativos: R@C = x2R | x < 0R S

3.6 Complexos

C ou C

Um número complexo é representado na forma: a + bi , sendo a a parte real e b a parte imaginária. A unidade imaginária é representada pela letra i , e significa a raiz quadrada de -1. Pode-se escrever então: i = @1pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww .

3.7 Unidade imaginária

i

i = @ 1pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

i é utilizado para representar a raiz de menos um. Consulte a teoria dos Números Complexos.

3.8 Par e ímpar

pares

0, 2, 4, 6, 8 ...

ímpares

1, 3, 5, 7, 9 ...

Números pares. Subconjunto especial dos números inteiros. Sejam b = 2 e a 2 Z então c 2 Z é um número par

se for posssível escreverc = a2ffffA

12/2 = 6 , 6/2 = 3 , 336/2 = 168 , 168 / 2 = 84 , ... Um número par é aquele que podemos dividir por dois. Números ímpares. Subconjunto especial dos números inteiros. (1) Um número ímpar é aquele que não podemos dividir por dois. (2) Aquele que não é par.

GUIDG.COM 10 3.9 Primos

2, 3, 5, 7 ...

Subconjunto especial dos números Naturais. Número primo: (1) Aquele que só é divisível por si e pela unidade; (2) Número divisível por um e por ele mesmo. Observação: o número 1 não é primo e nem composto, é o único número divisível apenas por um número, ele mesmo. O número 2 é o único primo par. As unidades comuns (isto é todo primo termina em) são: 1, 3, 7, 9. Até hoje não se sabe se existe uma regra, função ou lei de seqüência, que permita calcular qual o próximo número primo. Os 100 primeiros números primos:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 ...

O último número primo calculado (por computador): 243.112.609 − 1 , este é o primo “Mersenne” de número 46 e tem 12.978.189 dígitos.

3.10 Compostos

2, 4, 6, 8, 9, 10,

12, 14, ...

No conjunto dos números naturais, um número composto é aquele que é divisível por mais de dois números distintos. 2. Aquele que não é primo.

3.11 Vazio (empty)

Ø

Esses dois símbolos significam que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio. C = ou C = Ø Ex: Se A=1,2,3 e B=4,5,6 , AT B= ou AT B= Ø Obs: Um erro muito comum é o seguinte E = ∅

P Q , dessa forma o conjunto contém um elemento.

3.12 União (union)

S

ASB Lê-se: "A união com B" Ex: A=5,7,10 , B=3,6,7,8 , ASB= 3,5,6,7,8,10

3.13 Interseção (intersect)

T

AT B Lê-se como "A interseção B" Ex: A=1,3,5,7,8,10 , B=2,3,6,7,8 , AT B=3,7,8

GUIDG.COM 11 3.14 Pertence (in)

∈

Indica relação de pertinência. Ex: 52N . Significa que o elemento número cinco pertence aos Naturais.

3.15 Não pertence (not in)

∉

Ex: @126 N . Significa que o número -1 não pertence aos números Naturais.

3.16 Existe ao menos um

À definir.

3.17 Está contido (subset of)

j

Ex: NjZ . Significa que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.

3.18 Não está contido (not subset of)

j6

Ex: Rj6 N . Significa que o conjunto dos números reais não está contido no conjunto dos números naturais.

3.19 Contém (superset of)

k

Ex: ZkN . Significa que o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais.

3.20 Não contém (not superset of)

k6 Ex: Rk6 C . Significa que o conjunto dos números Reais não contém o conjunto dos números complexos.

3.21 Tal que

|

Barra reta (vertical). Ex: R+ = x 2 R | x ≥ 0R S

Leitura: Reais positivos são todos os “x pertencentes a R tais que x é maior ou igual a zero”. OBS: A barra pra direita ( / ) indica divisão.

GUIDG.COM 12 3.22 Menos (minus), sem

\

Barra para esquerda. Teoria dos conjuntos (Complemento teórico) A \ B, significa que é o conjunto que contém todos os elementos de A menos os elementos de B. Ex: A=1,2,3,4,5 e B=1,3,5 Então A \ B = 2,4 OBS: A barra pra direita ( / ) indica divisão.

3.23 Se, então

→

Se, então, se associa, em p: José vai ao mercado q: José vai fazer compras p q Se José vai ao mercado então ele vai fazer compras. Para a notação de funções temos por exemplo: f :RQR (Lê-se f de R em R )

E significa que a função associa (leva) elementos do domínio R (à esquerda) para o contradomínio R (à direita).

GUIDG.COM 13 4 APLICAÇÃO, SENTENÇA E DEFINIÇÃO

Símbolos mais comuns utilizados em diversas situações. 4.1 Implica (implies)

⇒

Implica (Lógica) A: São Paulo é capital de um estado brasileiro B: São Paulo é uma cidade brasileira A [ B Ex: sendo verdadeira a afirmação que está antes dele, então também será verdadeira a afirmação à sua direita. Por exemplo, “São Paulo é capital de um estado brasileiro” implica que “São Paulo é uma cidade brasileira”. *Deve-se tomar cuidado na utilização deste sinal, para não aplica-lo desnecessariamente. Exemplos:

x2 + 2 = 4 [ x2 = 2 [ x =F 2pwwwwwwwwwwwwwwwww (certo, usar em linha, numa igualdade)

x2 + 2 = 4 [ F 2pwwwwwwwwwwwwwwwww ? (errado, quatro implica em...)

x2 + 2 = 4[ x = F 2pwwwwwwwwwwwwwwwww ? (errado, não pular a linha)

4.2 Se, e somente se (if and only if)

⇔

Se, e somente se. Ex: p: Maria vai para a praia q: Maria vai tirar notas boas p ^ q Maria vai para a praia se, e somente se ela tirar notas boas.

4.3 Existe (exists) e não existe

9 9+

Indica existência, (existe um e um só)

9 x 2 Z | x > 3 Lê-se: Existe x pertencente ao conjunto dos números inteiros tal que x é maior que 3. O “existe” pode aparecer ainda, como um “E” ao contrario e cortado, que representa inexistência.

Ex: 9+ x → B. (não existe x em B) Sendo B=0,1,2,3, e x = 9, não existe x no conjunto B.

GUIDG.COM 14 4.4 Reticência (ellipsis), período, seqüência

... A aplicação depende do caso. 1 – Pode representar o período de um numero racional ou irracional. (Período: parte que se repete). Ex: 1,222... (Neste caso indica que o período, é 2) 2 – Pode representar a continuidade de uma seqüência numérica, ou uma soma. 3 – Pode ocorrer mais aplicações. Ex: Seja o conjunto Z = ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... E isto indica que os números seguem indefinidamente para o infinito. Verifique a definição de infinito. Veja a definição do dicionário português: reticência : s. f. Omissão daquilo que se devia ou podia dizer; silêncio voluntário. S. f. pl. Pontos (...) que, na escrita, indicam aquela omissão.

4.5 Portanto (therefore)

#

Utilizado em expressões, equações, e etc. Especialmente quando for apresentar o resultado final de um cálculo. Exemplo em logaritmos: log

24 = x^ 2x = 4

2x = 42x = 22

# x = 2 4.6 Porque (because)

$

Porque, Pela razão de, desde que Usado para resumir sentenças, teoremas e conclusões de problemas matemáticos/ físicos, etc... , usa-se este símbolo ao invés de usar a palavra.

4.7 Para todo (for all)

8

Nas linguagem matemática um A de cabeça para baixo significa "para todo", "para todo e qualquer” e “para qualquer que seja".

Ex: 8 x2 Z+C

, x > 0 Leitura: para todo x pertencente aos inteiros positivos sem o zero, x é maior que zero, x é positivo.

GUIDG.COM 15 4.8 Parênteses (1)

( )

Por ordem de resolução é o primeiro a se resolver. O parênteses na matemática pode ter várias aplicações, vamos citar algumas: 1 – f(x) = 3x+2 Aqui está representando a função de 1ºgrau, ou função afim, o parênteses neste caso, guarda o espaço para valores que serão substituídos no lugar de “x”. Ex: supondo que x = 3/2 + 4 , f(3/2+4) = 3(3/2 + 4) + 2 Para resolver você pode aplicar a propriedade distributiva, ou tirar o mínimo antes de multiplicar, os dois caminhos levam a mesma resposta. Substituindo f(x) por y. y = 3(11/2) + 2 = 33/2 + 2 = (33+4)/2 = 37/2 Pode também representar um intervalo aberto (igualmente o colchetes para fora). Veja: x tal que x, está entre 3 e 4, inclusive 3 e exclusive 4. Ou x2R | 3 ≤ x<4 . Ou [ 3 , 4 ) = [ 3 , 4 [ O parênteses aqui tem o mesmo papel que o colchetes para fora Ou seja representa um intervalo aberto, no qual os valores tendem a esse valor, mas não o atinge. Como se fosse o seu limite.

4.9 Colchetes (2)

[ ]

Por ordem de resolução é o segundo a se resolver. Em funções/intervalos, representa inclusão; exemplo: [0;1] Entre 0 e 1. (inclusive o 0 e 1) 0 ≤ x ≤ 1 (Lê-se: x maior ou igual a zero e menor ou igual a 1) ]2;4] Entre 2 e 4. (exclusive 2 e inclusive 4) 2 < x ≤ 4 (Lê-se: x maior que dois e menor ou igual a 4) ]-6;2[ Entre -6 e 2. (exclusive -6 e exclusive 2) -6 < x < 2 (Lê-se: x maior que menos seis e menor que 2)

4.10 Chaves (3)

Por ordem de resolução é o terceiro a se resolver. o conjunto de... Ex: a,b,c representa o conjunto composto por a, b e c. * Nesta forma as chaves indicam o conjunto vazio.

GUIDG.COM 16 4.11 Sinal numérico

#

Octothorpe, cerquilha, cardinal, hash tag, … * Este símbolo foi incluído neste manual pela semelhança com o símbolo de diferente, portanto é um sinal de igual com dois cortes paralelos, mas que não tem nenhuma aplicação matemática de grande importância. Para o matemático o símbolo cerquilha é o sinal que é também definido como o símbolo de número. Isto é ele indica o número de algo. #1, #2 ... pode ser lido como: número um, número dois. Pode ser empregado na construção de tabelas, enumeração de exemplos, exercícios, ordem etc. Nome oficial: Octothorpe (Bell Labs), empregado nos primeiros telefones Este símbolo é muito comum e pouco valorizado, com isso adquiriu vários nomes e agora esta como um símbolo de multi-significado (ou seja, o significado depende do caso de aplicação). Alguns exemplos de nomes comuns. Ex: jogo-da-velha, chiqueirinho, tralha, cerquinha, e etc.

4.12 Infinito

∞

É um "oito deitado" e representa o infinito. Este símbolo foi criado pelo matemático Inglês John Wallis (1616-1703) para representar a "aritmética Infinitorum". Infinito não é um número, é um conceito, pode ser visto como aquilo que esta acima de todos os números, e que contém todos e além. Existem vários tipos de infinitos. Ex. O conjunto dos números naturais é infinito, e o conjunto dos números inteiros também, mas como o conjunto dos números naturais esta contido no conjunto dos números inteiros, vê-se a diferença de infinitos que estamos lidando, o mesmo vale para outros conjuntos. xQ1 Quando dizemos que x tende ao infinito, queremos dizer que ele cresce sempre, sem ter um limite, independente do sinal, positivo ou negativo, cresce nos dois sentidos simultaneamente. xQ +1 Se for dito que x tende a mais infinito, então ele cresce sempre, somente na parte positiva.

4.13 Proporcional à

∝

Símbolo de aplicações particulares. À definir.

GUIDG.COM 17 5 OPERADORES MATEMÁTICOS

Nesta seção veremos os símbolos utilizados em operações, como o sinal de adição, o sinal de igualdade, e as notações que resultam em alguma operação como a potenciação a radiciação, a fatoração e etc. 5.1 Adição, mais (plus)

+

Uma grande parte da matemática esta baseada (se não toda ela) na adição (soma), a subtração é um soma de parcelas com sinais negativos, a multiplicação é uma soma de parcelas de sinais repetidos. Dessa operação inicial se constrói todos os demais operadores matemáticos. Produtos, Funções, Transformações, Integrações e etc. O que irá ser redefinido (diferenciado) é a forma como os elementos se associam na soma. Lê-se: "mais" Ex: 2+3 = 5 (Lê-se: dois mais três é igual a cinco). Significa que se somarmos 2 e 3 o resultado é 5.

5.2 Mais ou menos (plus or minus)

F Mais / menos

G Menos / mais

Indicação de um valor “x” com duplo sinal. x =F 5 [ x1 = + 5 e x2 =@5

* O menos / mais surge por exemplo no seguinte caso. Se x2 = 4[ x =F 4pwwwwwwwwwwwwwwwwwww=F 2 Multiplicando a igualdade por (-1) temos:

@1` a

x = @1` a

F 2 [ @ x =G 2 [ @ x` a2 = G 2

b c2

= 4

Isto é pode ser um ou pode ser outro, e ainda pode ser os dois, a conclusão é feita com a prova ou teste dos valores. Isto é melhor entendido no assunto equações de segundo grau e raízes de eq. de 2º grau. Quando delta é maior que zero, a equação de segundo grau apresenta duas raízes devido a presença do sinal “mais ou menos” contida na “fórmula para as raízes da equação de segundo grau” (fórmula atribuída à Báskara).

5.3 Subtração, menos (minus)

−

Lê-se como "menos". A operação inversa da adição Ex: 5-3 = 2, significa que se subtrairmos 3 de 5, o resultado é 2. O sinal - também denota um número negativo. Por exemplo: (-6) + 2 = -4. Significa que se somarmos 2 em -6, o resultado é -4.

GUIDG.COM 18 5.4 Multiplicação, vezes (times)

* B .

C

Nome dos símbolos: * asterisco (asterisk, star), B cruz (cross), . ponto (dot) Lê-se: "multiplicado" ou “vezes” Ex: 8*2 = 16, significa que se multiplicarmos 8 por 2, o resultado é 16. 2*3 = 3*2 (Lê-se duas vezes três é igual a três vezes dois) Propriedade Comutativa: “A ordem dos fatores não altera o produto” 2 e 3 são fatores, 6 é o resultado da multiplicação, também chamado de produto. *Fator: Cada uma das quantidades que são objetos de uma multiplicação É comum omitirmos o sinal de multiplicação por exemplo. xy = x.y = x*y = xBy (2)(4) = 2.4 = 8 2x = 2 . x

5.5 Divisão

/ ÷ :

Lê-se: "dividido"

Ex: Vamos representar a divisão: 6 por 2: 6 / 2 = 62fff= 6D2 = 6 :2

Todas essas notações significam que se dividirmos 6 por 2, o resultado é 3.

62fff= 3 . Neste caso temos uma fração (aparente) que é uma divisão.

Lê-se: Seis sobre dois é igual à três.

GUIDG.COM 19 5.6 Fração (fraction)

ndffffn

d.

n d+

Fração:ndffff= numerador

denominadorfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

;

A Fração é uma representação da divisão, isto é uma simplificação devido as divisões não exatas:

Ex: Como expressar a divisão 2 por 3: 0,666666666... = 2/3 = 23fff= 2D3 = 2A

13fff

Tipos de frações: Fração própria: n < d (numerador menor que o denominador, isto é a parte tomada dentro do inteiro). Fração imprópria : n > d (numerador maior que o denominador, isto é a parte tomada é maior que o inteiro). Fração aparente: n é múltiplo de d . Ex: 0/3 = 0 , 4/2 = 2 Fração equivalente: são frações que representam a mesma parte do inteiro. Ex: ½ = 2/4 = 3/6 = 4/8 Fração composta: quando n é uma fração e d é outra fração, tais que se apresentem na forma:

ndffff|n = e

ffffffe d= g

hffff, n

dffff=

effffffgfffffffhffffff= e

ffffffAhgffff

Portanto as frações do tipo ( e/f ) / ( g/h ) , são denominadas frações compostas. Simplifica-se aplicando a regra de multiplicação: “a primeira pela inversa da segunda”. Isto é: ( e/f ) / ( g/h ) = ( e.h )/( f.g )

5.7 Frações, leitura

ndffffn

d.

n d+

1/1 = 1 = um inteiro ½ = um meio 1/3 = um terço ¼ = u quarto 1/5 = um quinto 1/6 = um sexto 1/7 = um sétimo 1/8 = um oitavo 1/9 = um nono 1/10 = um décimo 1/10 = um dez avos 1/11 = um onze avos 1/12 = um doze avos 1/13 = um treze avos 1/14 = um quatorze avos 1/15 = um quinze avos 1/16 = um dezesseis avos 1/17 = um dezessete avos 1/18 = um dezoito avos 1/19 = um dezenove avos

1/20 = um vinte avos 1/30 = um trinta avos 1/40 = um quarenta avos 1/50 = um cinqüenta avos 1/60 = um sessenta avos 1/70 = um setenta avos 1/80 = um oitenta avos 1/90 = um noventa avos 1/100 = um cem avos 1/200 = um duzentos avos 1/300 = um trezentos avos 1/400 = um quatrocentos avos 1/500 = um quinhentos avos 1/600 = um seiscentos avos 1/700 = um setecentos avos 1/800 = um oitocentos avos 1/900 = um novecentos avos 1/1000 = um mil avos 1/10000 = um dez mil avos 1/100000 = um cem mil avos 1/1000000 = um milhão avos 1/10000000 = um bilhão avos 2/3 = dois terços 3/2 = três meios 4/5 = quatro quintos 5/4 = cinco quartos 6/7 = seis sétimos 7/8 = sete oitavos 8/9 = oito nonos 9/8 = nove oitavos

= um vigésimo = um trigésimo = um quadragésimo = um qüinquagésimo = um sexagésimo = um septuagésimo = um octogésimo = um nonagésimo = um centésimo = um ducentésimo = um trecentésimo = quadringentésimo = qüingentésimo = sexcentésimo = setingentésimo = octingentésimo = nongentésimo = um milésimo = um décimo milésimo = um centésimo milésimo = um milionésimo = um bilionésimo 2/20 = 1/10 = dois vigésimos = um décimo 3/70 = três septuagésimos 10/11 = dez onze avos, 10 sobre 11 13/20 = treze vinte avos, 13 sobre 20 60/7 = sessenta sétimos, 60 sobre 7 73/21 = setenta e três vinte e um avos π/e = pi sobre e n/m = n sobre m

GUIDG.COM 20 5.8 Número misto

indffff

5⅔

523fff= 17

3fffffff

Um número misto, é aquele que é constituído por uma parte inteira (i) mais a fração n/d. O número misto não é o produto i . n/d . Transformações: Ex, número misto para uma fração:

414ffff= 4 + 1

4ffff= 16

4fffffff+ 1

4ffff= 17

4fffffff

Lê-se: quatro e um quarto; quatro mais um quarto; ou quatro inteiros e um quarto; Quatro inteiros mais um quarto;

Ex: fração para um número misto: 1913fffffff= 13

13fffffff+ 6

13fffffff= 1 + 6

13fffffff= 1

613fffffff

5.9 Porcentagem, percentagem

%

... 1%, 2%, 3% ... 100% ... (Lê-se: Um por cento, dois por cento ... ) Por cento, do latim, “per centum” que significa “a cada centena”. (1) É definido como uma medida de razão de base cem (100). Isto é a proporção que o número a está para b (base), sendo a o numerador e b o denominador ( a / b ). (2) O símbolo ( % ) é um indicador indicador de fração por cento (100). (3) Porcentagem = Por cento, ou seja um número por 100 (sobre 100, dividido por cem). 10% = 10/100 = 1/10 = 0,1 20% = 20/100 = 2/10 = 1/5 = 0,2

5.10 Por mil (per mille), permilagem

‰

Semelhante à porcentagem, porém aqui o numerador é uma fração de mil. 10‰ = 10/1000 = 1/100 = 1% = 0,01

5.11 Igual, igualdade (equal)

=

Lê-se como "igual a" Ex: x = y, significa que x e y possuem o mesmo valor. Por exemplo: 3+5 = 7+1

GUIDG.COM 21 5.12 Numericamente igual

=N

Este símbolo é empregado em casos particulares. Exemplo em física: Considere o gráfico abaixo de um movimento uniforme:

Neste caso dizemos que a área A do gráfico representa o deslocamento escalar ∆s do móvel, então:

∆s=N A =v + v0

2fffffffffffffffffff

A∆t

5.13 Diferente

≠

Ex: 13 ≠ 31 (13 é diferente de 31). Ex: x=5, y=2 Logo x ≠ y

5.14 Equivalente (equivalent to)

≡ a6

Equivalente, idêntico e não idêntico, não equivalente (not equivalent to) Exemplos: 2/4 ≡ 1/2 Lê-se: “é equivalente à” ou “é idêntico à”.

x= 16 , y = 4 logo x ≡ y O sinal cortado significa “não equivalente” ou “não equivale”.

5.15 Aproximadamente e aproximadamente igual (approximately equal)

≈

Tanto faz a utilização de um ou de outro, mas não confunda com Congruente. Usamos para arredondamento de um valor muito grande, periódico ou irracional. Alguns exemplos de aplicação:

π ≈ 3,14 ; e≈ 2,72 ; 2pwwwwwwwwwwwwwwwww≈ 1,41 ; 3pwwwwwwwwwwwwwwwww≈ 1,73 ;13fff≈ 1,3 ,

*Não confundir com t congruente. Para informações sobre como arredondar um valor corretamente veja o artigo: MEF: (1) Um curso de Medidas, Algarismos significativos, Notação científica e Unidades SI

GUIDG.COM 22 5.16 Congruente (congruente to)

t

Ângulos Congruentes: Dois segmentos de reta são chamados congruentes quando tiverem a mesma medida, na mesma unidade. Exemplo: Os segmentos de reta AB

ffffffffffe CDffffffffff

da figura, têm medida 4 cm, portanto são congruentes.

Indica-se: ABfffffffffftCDffffffffff

5.17 Eqüipolente, negação (lógica), semelhança (trigonometria / álgebra)

~

Depende o caso ou assunto. 1 - Em Álgebra Linear e Geometria Analítica: Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. A eqüipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD .

2 – Em lógica, podem ser os símbolos: ~ e :

Ex: p: Os alunos irão passear. ~p ou : p : Os alunos não irão passear. 3 – Veja o uso do til para a semelhança de triângulos (mais abaixo). 4 – Podem existir outras aplicações.

5.18 E (lógica)

∧

Ex: ( p ) Cláudia tem um cachorro, ( q ) Cláudia tem um gato p ˄ q = Cláudia tem um cachorro e um gato.

5.19 Ou (lógica)

∨

Ex: ( p ) José gosta de jogar futebol , ( q ) José gosta de jogar tênis p ˅ q = José gosta de jogar futebol ou tênis.

5.20 Comparação estrita

< >

Desigualdade Estrita. É menor que, é maior que x < y significa que x é menor que y x > y significa que x é maior que y

GUIDG.COM 23 5.21 Comparação não estrita

≤ ≥

Desigualdade não estrita. É menor ou igual à, e é maior ou igual à. x ≤ y , significa que x é menor ou igual a y x ≥ y , significa que x é maior ou igual a y

5.22 Muito maior e muito menor

mmmm llll Desigualdades. Símbolo de aplicações particulares. É muito maior que, e é muito menor que. x m y , significa que x é muito maior que y 1 l 100 000 000 , significa que 1 é muito menor que cem milhões.

GUIDG.COM 24 5.23 Potenciação

xn

Definição dos termos da potenciação Lê-se: x elevado à enésima potência é igual ao produto de x , “n” vezes, que é igual a y .

x n = x A x A x … = y x = base n = expoente ou potência (determina o número de fatores) x.x.x... = produto de fatores (é determinado pelo expoente) y = produto (em alguns livros é definido como potência) Exemplos: …

@ 3` a@ 2 = 1

@ 3` a2

fffffffffffffffffff= 19fff

@ 2` a@ 1 = 1

@ 2` a1ffffffffffffffffff=@ 1

2fff

,

10 = 1

21 = 2

32 = 3A3 = 9…

Particularidades:

I` a

x0 = 1 8 x 2 RC

x ≠ 0` a

II` a

x1 = x

III` a

x@ 1 = 1xffff8 x 2 R

Cx ≠ 0` a

IV` a

1x = 1

Propriedades:

I` a

xm xn = xm + n = xn + m

II` a

xm : xn = xm

xnffffffff= xm@ n 8 x 2 R

C

III` a

x@m = 1xfffff gm

= 1xmffffffff8 x 2 R

C

IV` a

xm` an = xn` am = xmA n

V` a

xmn ≠ xm` an

VI` a

xm ym = x A y` am

VII` a

xm : ym = xyffffff gm

= xm

ymfffffffff8 y 2 R

Cy ≠ 0b c

Exemplo de (V ):

2 23b c

= 28 = 256≠ 22b c3

= 26 = 64

GUIDG.COM 25 5.24 Radiciação (1)

√

Raiz (root), raiz quadrada (square root) O símbolo radical deriva da letra r devido ao nome em latim radix quadratum (raiz quadrada), interpreta-se geometricamente como o lado do quadrado. Definição: y é a raiz n-ésima de x se, e somente se y elevado à n-ésima potência for igual à x .

xnpwwwwwwwwwwwwwwwwwww= y [ xnpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb cn

= yn [ x = yn

Observações: I - Quando não houver número no índice esta será sempre quadrada; II - Não existe em R raízes de índice par de números negativos. III - Existe em R raízes de índices impares de números negativos.

IV - A raiz quadrada de um número é sempre positiva. x2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= xLLMM

Símbolos:

r eipwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= reifffff

= z

√ Radical (sinal) i Índice (fora) r Radicando (dentro) e Expoente de r z Raiz (resultado)

O expoente fracionário é a notação auxiliar para raízes e indica exatamente a mesma coisa. Muitas vezes essa notação nos ajuda a visualizar alguma propriedade que poderia resolver algum exercício ou simplificar a notação. Exemplos:

16pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 4 (raiz quadrada de dezesseis) , 164pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 2 (raiz quarta de dezesseis)

273pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 3 (raiz cúbica de três) , @273pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=@3 (raiz cúbica de menos três) Exemplos com expoentes fracionários:

x3qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= x32fffff (raiz quadrada de x ao cubo é igual à x elevado à três meios)

x25qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= x25fffff (raiz quinta de x ao quadrado é igual à x elevado à dois quintos)

Decoreba: Se você é um aluno estudioso, então está por dentro do assunto e consequentemente seu nome estará por cima na lista dos aprovados no vestibular, mas se você não é um aluno muito aplicado, então está por fora do assunto e consequentemente seu nome estará por baixo na lista dos aprovados no vestibular. Portanto temos a regrinha:

“Quem esta por dentro esta por cima, e quem esta por fora esta por baixo”. Se tratando de raízes: Dentro da raiz, por cima na fração (numerador) e fora da raiz, por baixo na fração (denominador).

GUIDG.COM 26 5.25 Radiciação (2)

√

Em radiciação (1), definido os símbolos e as notações, então podemos seguir para as propriedades da radiciação. Propriedades:

Sendo x , y 2 R+ , n , k 2 NC

e m 2 Z temos:

I` a

xnpwwwwwwwwwwwwwwwwwww ynpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= x A ynpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

x1nffffffA y

1nffffff

= x A y` a

1nffffff

II` a

xnpwwwwwwwwwwwwwwwwwww: ynpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=xnpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwynpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffff=

xyfffffnswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

y ≠ 0b c

x1nffffff

: y1nffffff

= x1nffff

y1nffffffffffff= x

yffffff g

1nffffff

III` a

xnpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb cm

= xmnpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

x1nffffffd em

= xmnffffffff

IV` a

xmpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwnqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= xn Ampwwwwwwwwwwwwwwwwwww

x1mffffffffd e

1nffffff

= x1

mA nffffffffffffffffff

V` a

xmnpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= xmA kn A kqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

xmnffffffff

= xmA kn A kffffffffffffffffff

GUIDG.COM 27 5.26 Racionalização (3)

x

y1nffffffffffff

xynpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffff

Visto os conceitos de radiciação 1 e 2, podemos seguir para racionalização. Em matemática é muito comum aparecer raízes como denominador de uma fração. Então para alívio de notação, definimos a racionalização que é o processo que se faz para determinar uma fração equivalente àquela com raízes como denominador, porém com um número inteiro no denominador.

Exemplo: 12pwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffff= 1

2pwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffff 2pwwwwwwwwwwwwwwwww

2pwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffff= 2pwwwwwwwwwwwwwwwww

4pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffff= 2pwwwwwwwwwwwwwwwww

2fffffffffff

Neste caso encontramos o número 2pwwwwwwwwwwwwwwwww

2fffffffffff

que tem o mesmo valor de 12pwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffff

, apenas multiplicando

pela fração 2pwwwwwwwwwwwwwwwww2pwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffff= 1 , ou seja, aliviamos a notação sem alterar o valor original, pois 1 é o número

neutro na multiplicação, e basicamente este é o objetivo do processo racionalização (note que dividir esse número se torna mais fácil também). I ) Denominador do tipo xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww .

yxpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffff= y

xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffff xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww

xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffff= y xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww

x2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffff= y xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww

|x|ffffffffffffffffff x ≠ 0

` aou

yxpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffff= y xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww

xffffffffffffffffff com x> 0

II ) Denominador do tipo xmnpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww com n > 2 e m < n .

yxmnpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffff= y

xmnpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffff xn@mnpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwxn@mnpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffff= y xn@mnpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

xm + n@mnpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffffff= y xn@mnpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwxnnpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffffff= y xn@mnpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

xffffffffffffffffffffffffffffffff com x ≠ 0

III) Denominador do tipo ypwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww+ xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c

.

z

xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww+ ypwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffffffff= z

xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww+ ypwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffffffff xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww@ ypwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww@ ypwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffffffff

h

j

i

k=z xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww@ ypwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c

xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c2

@ ypwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c2ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= z xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww@ ypwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c

x@ yffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww+ ypwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c

xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww@ ypwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c

= xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c2

@ xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww ypwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww+ ypwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww@ ypwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c2

= x@ y

GUIDG.COM 28 5.27 Módulo, valor absoluto

| x | No conjunto dos números Reais, definimos o módulo de um numero real. Definição: O módulo de x é x se x for maior ou igual a zero ou o módulo de x é -( x) se x for menor que zero. Definição em linguagem matemática:

|x| = x, se x≥ 0@ x, se x<0

V

|-5| = 5 Lê-se: o módulo de menos cinco é igual à cinco. Significa geometricamente a distancia do valor de x até zero. (veja a definição de módulo para mais informações).

|x| = x` a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww , |9|= 9

` a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 9

5.28 Raízes de uma equação quadrática simples

x2 = n

É comum alunos terem dúvidas nesse caso, por isso destacamos com um exemplo:

x² = 9 ? Aqui vem a seguinte pergunta, que número elevado ao quadrado é igual a nove? E você responde 3 (certo), mas esquece que pode ser (-3) também. Portanto não cometa mais esse erro, existem dois números que elevados ao quadrado são iguais a nove. Isto é:

x2 = 9

x2@9 = 0 [ x2@32 = 0 diferença de quadradosb c

x + 3` a

x@3` a

= 0 forma fatorada` a

x + 3 = 0 ou x@3 = 0x =@3 ou x = 3

Portanto podemos generalizar esse tipo de questão como:

x2 = nx =F npwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Vamos ver como fica quando substituindo n = 9 :

x2 = 9x =F 9pwwwwwwwwwwwwwwwww=F 3# S= @3, 3

P Q

GUIDG.COM 29 5.29 Fatorial, n fatorial (n!)

!

n!

O Símbolo / sinal de exclamação na matemática é definido como fatorial. Fatorial que vêm da palavra fator. A definição de n fatorial é a seguinte: n! = n.(n-1).(n-2)(n-3)...3.2.1 Definimos também: 0! = 1 1! = 1 Exemplos: Para n = 6, teríamos: n! = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 4!=4.3.2.1 = 24

20!18!fffffffff= 20.19A18!

18!ffffffffffffffffffffffffffffffff= 20.19= 380

(n+2)! = (n+2).(n+1).(n).(n-1)(n-2)!

n + 1` a

!n@1` a

!fffffffffffffffffffffffff= n + 1

` aA n` aA n@1` a

!n@1` a

!fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= n + 1

` an = n2 + n

5.30 Logaritmo

log

Ex: log28 = 3 (consulte o arquivo Logaritmos no site) O logaritmo de 8 na base 2 é 3, pois elevando 2 ao expoente 3 obtemos 8. Nunca esqueça, se não tiver base no logaritmo, definimos como sendo na base 10.

5.31 Logaritmo neperiano, natural

ln

Logaritmo natural (consulte o arquivo Logaritmos no site) logen = y Logaritmo neperiano é o logaritmo cuja base é o numero e = 2,718281828.... .

Ex: loge8 = ln8 = 2,079441542… $ e2,079441542… = 8

5.32 Somatório, notação sigma

Σ

letra grega sigma maiúscula

Xi = m

n

f i` a

= f m` a

+ f m + 1` a

+ f m + 2` a

+ …f n` a

i é o índice da soma (é um símbolo arbitrário, pode assumir o valor de qualquer letra) m é o limite inferior , n é o limite superior , f (i) é a função

Ex: Xk = 1

5

k2 =12 + 22 + 32 + 42 + 52

GUIDG.COM 30 5.33 Produtório

Π

letra grega pi maiúscula

Produto em, até, de... Um exemplo comum de produtório em matrizes é o corolário do teorema de Laplace. Sendo A uma matriz triangular (de qualquer ordem), o determinante de A é o produto dos elementos da diagonal principal.

detA =Yi = 1

n

aii = a11Aa22Aa33A…Aann .

5.34 Função ( I )

f :AQB

f = função : = de A = Conjunto de saída (Domínio) → = em B = Conjunto de chegada (Contra-domínio) Lê-se: “ f de A em B ”. Ou interpreta-se como associação, “Se associa ao elemento”. Exemplo de utilização em funções: f : R→ R x → y | y = ax + b, a ≠ 0 Lê-se: f de R em R , associa a cada x o elemento y igual à “a” vezes “x” mais “b” com “a” diferente de zero.

5.35 Função ( II )

f x` a

Consulte a teoria de funções. Lê-se: f de x Exemplo: f(x) = ax + b (Lê-se: f de x é igual a ax mais b ) Essa é uma função de primeiro grau, ou também chamada de função afim quando b for diferente de zero. Podendo variar entre f, f, F... e não se restringindo à x , podendo ser y , z , t , e qualquer outra letra.

5.36 Limite

lim

Verificar tabela de limites no índice de “Calculo diferencial e integral”. lim

xQ 15x + 9` a

= 5.1 + 9 = 14

Indica que 14 é o limite da função 5x + 9 quando x tende a 1 .

GUIDG.COM 31 5.37 Derivada

f .

dydxffffffff

∂udxffffffff

f ’ é a notação para a derivada de uma função, outras notações também são usadas freqüentemente:

Se y é uma função de x y = f x` a

b c

, então a derivada de x é indicada por: f . x` a

= dydxffffffff= Dx y

A definição:

f . x` a

= lim∆xQ 0

f x + ∆x` a

@ f x` a

∆xffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

∂ , lê-se: partial d (d parcial), partial differential (derivada parcial). Quando trata-se de uma função de várias variáveis, o símbolo de derivação muda. Ex: seja u = f(x,y,z) então a derivada é indicada em relação a que variável quer-se derivar a função:

∂u∂xffffffff, ∂u

∂yffffffff, ∂u

∂zffffffff

que indicam a derivada da função f em relação à x, à y , à z , respectivamente. Existem

outros casos de aplicação. 5.38 Integral

∫

Sinal de integração

∫ , S , S de Soma.

O símbolo da integral é um S estilizado (e não um I como pode se pensar), pelo fato da integral ser uma soma (Cálculo 2). Inicialmente a integral é vista como a inversa da derivada, a Anti-derivada (cálculo 1), e depois ela recebe uma nova cara, que é a soma de infinitésimos para o cálculo de áreas e volumes, verifique as noções intuitivas e a definição formal por um livro. Existem várias regras de integração. Exemplo de uma das regras:

Z sinx dx =@ cosx + c Lê-se: A integral de seno de x é "menos" cosseno de x "mais" a

constante. Verifique a Tabela de integrais imediatas no site. (para o cálculo 1)

GUIDG.COM 32 6 NÚMEROS E CONSTANTES

Algumas constantes frequentemente utilizadas em matemática. 6.1 Constante de Arquimedes

π

letra grega pi minúscula

A constante de Arquimedes é o famoso pi, que deve ser conhecido por todo estudante de matemática básica, pi é uma letra grega minúscula. É chamado de constante de Arquimedes, pois foi ele quem fez primeiro a melhor estimativa. Pi é a razão entre a circunferência e o seu respectivo diâmetro, esse número é sempre constante. Arquimedes fez isso (segundo a história) usando a noção intuitiva de limite, que somente depois de Newton foi desenvolvida. π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288... Em trigonometria π = 180º O número π é definido como a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro. Mas este número tem outras personalidades. É também um número irracional e um número transcendente. *Também é conhecido como o número de Ludoph.

6.2 Número de Euler

e

e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287... Lê-se “número de Óilar” ou também: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial. Publicado em 1618 por John Napier.

6.3 Constante de Euler-Mascheroni

γγγγ

letra grega gama minúscula

À teoria dos números. γγγγ = 0,577215664901532860606512090082402431... A sexta constante matemática importante, foi calculado com centenas de casas decimais. Não se sabe se γ γ γ γ é um número irracional.

6.4 Constante de Pitágoras

2pwwwwwwwwwwwwwwwww

*Raiz quadrada de dois.

2pwwwwwwwwwwwwwwwww= 1.41421 35623 73095 04880 16887… Segundo a história, Pitágoras lutou contra a existência de números irracionais, pois acreditava num mundo de números inteiros. Querendo ou não foram os pitagóricos que descobriram este número e por isso a atribuição.

6.5 Número de Ouro

φ

letra grega fi minúscula

À razão Áurea, Proporção Áurea.

φ =1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811...

GUIDG.COM 33 7 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

Nesta seção relacionamos as formas fundamentais da geometria e álgebra, desde equações de retas, vetores, produto interno usual (produto escalar), módulo, norma, e símbolos comuns da geometria. 7.1 Equação da reta, função do primeiro grau

y = ax + b

y = mx + n

* Para melhor entender verifique a definição de função. Ex: y = 0,5x + 1 m é o coeficiente angular, e intercepta o eixo das abscissas (Ox). n é o coeficiente linear e intercepta o eixo das ordenadas (Oy).

Se n e m forem diferentes de zero chama-se função afim, Se n for igual a zero chama-se função linear. Se m for maior que zero a função é crescente. Se m for menor que zero a função é decrescente. Se f(x) = y = x, chama-se função identidade.

7.2 Equação reduzida da reta

y = @ abfffffffffffx@ c

bffff

Verificar definição e teoria.

7.3 Equação geral da reta

ax + by + c = 0

Verificar definição e teoria.

7.4 Equação do segundo grau, função quadrática

ax2 + bx + c=0

Essa é a equação de segundo grau igualada à zero

ax2 + bx + c=0 a, b, c são os coeficientes (também chamados de “parâmetros” ), e x a variável. A partir da equação de segundo grau que surgiu a fórmula que veremos a seguir, o problema aqui consiste em determinar os valores de x para os quais a equação se torna verdadeira, ou seja que valores de x anulam a equação.

GUIDG.COM 34 7.4.1 Raízes da equação de segundo grau

ax2 + bx + c=0

Consulte Polinômios, e funções polinomiais. Função polinomial de segundo grau.

Os valores de x tais que ax2 + bx + c=0

São x =@bF b2

@4acqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww2a

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff .

Essa é a fórmula para as raízes da equação/ função quadrática. É apenas aqui no Brasil, que comum tornou-se atribuir créditos este matemático Bhaskara por essa solução da equação de segundo grau, ganhando o nome então de fórmula de Bhaskara. (Consulte a história). Essa fórmula se obtém quando fatora-se a equação de segundo grau, completa-se os quadrados e isola-se a variável (x). Viète também propôs outro método para extração das raízes (e ainda existem as relações de Girard), mas essa é a forma mais mecânica mesmo (trata-se de substituir valores e a resposta é imediata), e como na matemática trabalha-se repetidamente com equações de segundo grau, será fácil a memorização. Bhaskara Akaria – nascido em 1114, matemático hindu muito hábil em cálculos e um dos primeiros a se preocupar com soluções gerais de equações. Publicamos um artigo demonstrando essa fórmula, verifique o índice de Matemática Básica.

GUIDG.COM 35 7.5 Pesquisa de raízes ( I )

a0 + a1 x …+ a2 x2 + a3 x3 …+ an xn

Este método é chamado Pesquisa de raízes, por que raramente na primeira tentativa se acha uma solução para o problema. No entanto ele sugere um caminho, resumimos a definição abaixo. (A) Raízes Racionais: Seja a função polinomial P(x) = 0 de grau n.

f x` a

= an xn + an@1 xn@ 1 +…+ a2 x2 + a1 x + a0 = 0

an ≠ 0 e a0 ≠ 0b c

As possíveis raízes são o(s) número(s) x = p/q (p e q números primos), onde p é divisor Inteiro de a0

(termo independente) e q é divisor Inteiro de an (coeficiente do termo de maior grau). Exemplo: Determinar em C as raízes da função polinomial f (x) = 2x3 + x2 + x – 1 . Solução. I ) 2x3 + x2 + x – 1 = 0 II) As raízes possíveis são x = p/q, onde p é divisor inteiro de -1 e q é divisor inteiro de 2 . III) D(-1) = ±1 = p D(2) = ±1, ±2 = q IV) Raízes possíveis: x = p/q ±1 , ±1/2 V) Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio e testar as possíveis raízes.

VI) Verifica-se que 1/2 é raiz do polinômio, e a função polinomial é dividida sem resto, assim re-escrevemos P(x): P(x) = (2x²+2x+2)(x-1/2) VII) Com o Método para extração das raízes da eq. De segundo grau temos o conjunto solução, com duas raízes imaginárias:

GUIDG.COM 36 7.6 Pesquisa de raízes (II)

a0 + a1 x …+ a2 x2 + a3 x3 …+ an xn

Um caso particular para a obtenção das raízes da função polinomial de grau n é o seguinte. Seja

f x` a

= an xn + an@1 xn@ 1 +…+ a2 x2 + a1 x + a0 = 0

an ≠ 0 e a0 ≠ 0b c

Então se a0

dividido por an , resultar num número inteiro, obtemos sem tantas tentativas as raízes,

que são os divisores inteiros de a0 .

*(Mas o teorema que abrange mais amplamente é o primeiro mesmo). Exemplo: Determinar as raízes de f (x) = 2x³ - 11x² + 17x – 6 = 0 . De acordo com o teorema II, as raízes possíveis, já que -6 é divisível por 2, são apenas os divisores inteiros de -6. D(-6) = ±1, ±2, ±3, ±6 Pesquisando as raízes pelo dispositivo de Briot-Ruffini:

Vemos que 2 é raiz, simplificando a função: f (x) = (x – 2) (2x2 – 7x + 3) S = 1/2, 2, 3 Logo notamos também que existe outra raiz inteira, 3. E aqui se esclarece que se utilizarmos o teorema A, a raiz já seria sugerida, no entanto o conjunto das raízes possíveis aumentaria de oito raízes possíveis para doze. Utilizando o método A, o conjunto das raízes possíveis é: x = p/q= -½, ½ , ±1, ±3/2, -2, 2, 3, -3, ±6 Portanto esteja consciente de utilizar o método adequado.

GUIDG.COM 37 7.7 Teorema de Bolzano

a0 + a1 x …+ a2 x2 + a3 x3 …+ an xn

Teorema Auxiliar: O Teorema de Bolzano sugere duas implicações e resumimos abaixo omitindo a demonstração. Considere a função polinomial de coeficientes Reais: f x` a

= an xn + an@1 xn@ 1 +…+ a2 x2 + a1 x + a0 = 0

an ≠ 0 e a0 ≠ 0b c

E dois números tais que a < b , f (a) . f (b) ≠ 0 1 – Se f (a) . f (b) < 0 , Então em f (x) existe um número impar de raízes no intervalo (a, b). Dependendo do grau do polinômio. (se for três, então uma ou três raízes). 2- Se f (a) . f (b) > 0 , Então em f (x) não existe, ou existe um número par de raízes no intervalo (a, b). Dependendo do grau do polinômio. (se for seis, então não existem raízes, ou há duas, ou quatro ou seis raízes). Este teorema resolve questões de análise, por exemplo: Analise a função polinomial e verifique quantas raízes há no intervalo (0, 1). f(x) = x5 – 2x2 + 3x +1 . Solução: Pelo teorema P(0).P(1) > 0 , então não há raízes, ou há duas, ou quatro raízes no intervalo dado. (isto porque o polinômio é de quinto grau).

7.8 Segmento de reta

ABffffffffff

Dados dois pontos distintos, chamamos de segmento de reta a figura (*) constituída por eles e por todos os pontos que estão entre eles. Exemplo: O segmento de reta determinado por A e B é representado por AB

ffffffffff , dizemos que A e B são suas

extremidades, e representamos por AB a medida de .

7.9 Vetor

ujjjjjjjjkvjjjjjjjjkwjjjjjjjjjjjjjjk

Geometria Analítica, Álgebra Linear. Vetor: Representante de um segmento de reta orientado (verifique a definição formal). *Um único vetor representa infinitos e distintos segmentos de retas.

ujjjjjjjjk= ABjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

= B@A

Ex: se A x1 ,y1 ,z1

` ae B x2 ,y2 ,z2

` a

então ABjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

= B@A = x2@ x1 , y2@ y1 ,z2@ z1

` a

GUIDG.COM 38 7.10 Distância de um ponto a um plano

d P,πb c

d P,πb c

=ax0 + by

0+ cz0 + d

LLL

MMM

a2 + b2 + c2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

a,b,csão ascoordenadasdovetor normal do planox0 ,y0 ,z0 são as cordenadas do ponto qualquer

d =@ax1@ by1@cz1 onde x1 ,y1 ,z1

` asão as coordenadas

de umponto pertencente ao planoA

Ex: A distância entre o ponto P(-4,2,5) ao plano π : 2x + y + 2z + 8 = 0

d P,πb c

=2 @ 4` a

+ 1 2` a

+ 2 5` a

+ 8LLL

MMM

22 + 12 + 22qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

d P,πb c

= 4uc

7.11 Distancia entre dois pontos

d P1 ,P2

b c

GEOMETRIA ANALÍTICA Utilizando como base o teorema de Pitágoras, pode-se calcular a facilmente a distancia entre dois pontos no plano cartesiano. seja: P1 x1 , y1 ,z1

` ae P2 x2 ,y2 ,z2

` a

então a distância d P1 ,P2

b c

=|P1P2

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk|

d P1 ,P2

b c

= x2@x1

` a2+ y2@y1

` a2+ z2@z1

` a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Ou seja a distância é o módulo do vetor P1,P2

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk

Ex. A distância entre P(7,3,4) e Q(1,0,6)

d P,Qb c

= 1@7` a2+ 0@3

` a2+ 6@4` a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 49pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=7 u.c.

u.c. : unidades de comprimento

7.12 Parênteses de ângulo (Angle brackets)

()

Popular bracket (braquete). Existem várias aplicações para estes símbolos, veremos a seguir uma aplicação. ( opening angle brackets (abrindo parênteses de ângulo)

e ) closing angle brackets (fechando parênteses de ângulo)

7.13 Produto escalar (scalar product)

A , A( )

Produto interno usual (inner product) Verificar definição e teoria; Geometria Analítica, Álgebra Linear. Esta notação implica que devemos multiplicar as coordenadas do vetor u pelas de v, e então obter o

produto escalar. Também representasse por: ujjjjjjjjkA vjjjjjjjjk

Exemplo: ujjjjjjjjk= 1,2,3b c

e vjjjjjjjjk= 4,5,6b c

então ujjjjjjjjk, vjjjjjjjjk* +

= ujjjjjjjjkA vjjjjjjjjk= 1,2,3b c

A 4,5,6b c

= 4 + 10 + 18` a

= 32

GUIDG.COM 39 7.14 Norma, comprimento

|| v || Espaços vetoriais. || v || Lê-se a norma de v Não interprete v como apenas um vetor, pois v pode também ser uma função continua num intervalo dado, ser uma matriz de ordem m por n ou um polinômio de grau n . A norma indica o comprimento/medida/distância de v em relação à origem do sistema, em V (num espaço vetorial onde existe o produto interno T:VBVQR ), semelhante ao módulo que indica a distância de um número até a origem em R (no conjunto dos números reais) .

Se v2 R2

| v = x,y` a

então ||v||= v,v( )qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= x2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

*Neste caso a norma de v em relação ao produto interno usual/produto escalar. Aqui a norma de v indica a medida da hipotenusa do triangulo retângulo formado pelas componentes do vetor v . Ex: || x + y || ≤ ||x || + || y || Aqui segue um bom exemplo para a diferença entre norma e módulo.

u,v( )LLL

MMM≤ uNNNN vNNNN (desigualdade de Schwarz)

Veja que no lado esquerdo da desigualdade temos u escalar v, que resulta num número real, então faz sentido falarmos de módulo e não de norma (porque u,v

( )2R ) , diferente do lado direito, que temos

o produto das normas de u e v (neste caso u,v2V ).

7.15 Soma direta

L

Espaços vetoriais. O uso desse símbolo é muito particular. Quando a interseção de dois subespaços vetoriais W1 e W2 resulta num conjunto com apenas o vetor nulo, então dizemos que existe uma soma direta entre W1 e W2 e denota-se W1LW2 .

Ou seja 9 W1LW2 ^ W1TW2 = 0jjjjjjjjjjjjjjjjjjkR S

GUIDG.COM 40 8 TRIGONOMETRIA, SÍMBOLOS E NOTAÇÕES

Nesta seção listamos as nomenclaturas e os símbolos comuns em trigonometria assim como as formas e formulas trigonométricas suas definições e também algumas deduções quando triviais. 8.1 Ângulo

∠

Ângulo: (1) Figura formada por duas semi-retas que partem do mesmo ponto. (2) inclinação calculada entre qualquer duas coisas. Símbolo usado para indicar um ângulo entre dois vetores, duas retas (ou segmentos), ou dois planos.... (ou qualquer duas coisas que formem um ângulo).

8.2 Ângulo reto, 90º

∟

Representa em geometria e trigonometria, ou em geral. A formação de um ângulo de noventa graus (90º) entre duas retas ou planos, independente se a primeira(o) estiver disposta(o) de forma horizontal, vertical ou diagonal. Um ângulo reto é a metade de um ângulo raso.

8.3 Ângulo raso

Um ângulo raso mede 180º, e é a metade do ângulo de uma volta completa (360º).

Raso: Adj.: De superfície plana; liso.

8.4 Ângulo agudo

É o ângulo cuja medida esta entre 0º e 90º. Ou o mesmo que 0º < x < 90º gudo: Adj.: Terminado em gume ou em ponta. (gume: lado afiado de um instrumento cortante)

8.5 Ângulo obtuso

É aquele cuja medida situa-se entre 90º e 180º. Ou o mesmo que 90º < x < 180º Obtuso: Adj.:Que não é aguçado ou agudo; que não é bicudo; arredondado, rombo.

8.6 Ângulos complementares

São aqueles cujas medidas somam 90º, e diz-se que um é o complemento do outro. Ex: 34º é o complemento de 56º e vice-versa, pois 34º + 56º = 90º Complemento: s. m. 1. Ato ou efeito de completar.

GUIDG.COM 41 8.7 Ângulos suplementares

São aqueles cujas medidas somam 180º e diz-se que um é o suplemento do outro. Ex: 48º é o suplemento de 132º e vice-versa, pois 48º + 132º = 180º Suplemento: s. m. Aquilo que serve para suprir qualquer falta.

8.8 Ângulo de depressão

É o ângulo que se forma abaixo da linha horizontal. Neste caso o ângulo alfa "α"

8.9 Ângulo de elevação

É o ângulo que se forma acima da linha horizontal. Neste caso o ângulo alfa "α"

8.10 Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo – é a semi-reta que partindo do vértice, determina dois ângulos congruentes ( ou seja, de mesma medida).

Obs: todo ângulo possui uma única bissetriz

8.11 Perpendicular (perp), ortogonal

⊥

Perpendicular (abreviação Perp.) Se r e s , são retas perpendiculares indicamos r? s . Lê-se: r é perpendicular à s . Ou r é ortogonal à s . Retas perpendiculares / ortogonais são aquelas que possuem um único ponto em comum e formam entre si um ângulo de 90º.

GUIDG.COM 42 8.12 Retas paralelas

// || Se r e s são duas retas paralelas indicamos por r // s . Lê-se: r é paralela(o) à s . Retas paralelas são aquelas que não possuem ponto em comum, ou seja não se cruzam, não são concorrentes.

8.13 Losango

◊

Figura geométrica cuja soma dos ângulos internos (no plano) é sempre 360º . Diferentemente do triangulo, este cuja soma dos ângulos internos (no plano) é sempre 180º. *(no plano) porque curvando-se o espaço (o plano) a soma dos ângulos será maior ou menor.

8.14 Grau

º

Indicação para ângulos e coordenadas em geometria / trigonometria, temperatura em graus Celsius e etc. Tempo: 1 grau é igual a 60 minutos que é igual a 3600 segundos. 1º = 60’ = 3600” MAT: Por definição, 1 grau é o arco equivalente a 1/360 (um trezentos e sessenta avos) da circunferência, ou seja, em um arco de volta completa, ou de uma volta, cabem 360° (graus).

8.15 Minuto

‘ Indicação abreviada de minuto. Ex: 1’ = 60” (Um minuto igual a sessenta segundos).

8.16 Segundo

“

Indicação abreviada de segundo. x: 20 segundos = 20”

8.17 Grado

gr Definimos como 1 grado o arco equivalente a 1/400 da circunferência, isto é, em uma circunferência ou arco de uma volta cabem 400 gr (grados). Esse sistema não é tão eficaz quanto ao sistema grau, por isso caiu em desuso.

GUIDG.COM 43 8.18 Radiano

rad (1) Um radiano é o arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência onde tal arco foi determinado. (2) Um radiano é o comprimento de arco cujo medida é igual a do raio da circunferência que ele compõe.

8.19 Arco

arc

AB&

Definimos como arco de circunferência cada uma das partes em que ela é dividida por dois de seus pontos.

AB&

, um arco é representado dessa forma, e lê-se: arco AB Se dois pontos coincidem, há portanto dois arcos, um é o arco nulo, e outro é o arco de uma volta.

Atenção: Não confundir com segmento de reta. ABffffffffff

GUIDG.COM 44 9 GEOMETRIA, TEOREMAS E FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA

Nesta seção listamos os principais teoremas de geométrica, juntamente com algumas deduções triviais e fórmulas de recorrência. 9.1 Teorema de Pitágoras

a2 = b2 + c2

Consulte trigonometria. Relação trigonométrica de Pitágoras para o Triangulo Retângulo (T.R. é aquele que possui um ângulo de noventa graus ou ângulo reto). a, b e c são as medidas dos catetos. Cateto: Cada um dos lados do ângulo reto no triângulo retângulo. Adjacente: próximo, vizinho, ao lado. Hipotenusa: em geometria, é o nome do lado do triangulo que esta oposto ao ângulo reto.

A hipotenusa ao quadrado (a²) é igual (=) a soma dos quadrados dos catetos (b² + c²). CO = cateto oposto ao ângulo CA = cateto adjacente ao ângulo Outras relações:

Altura h: a.h = b.c h² = m.n Projeções m e n: b² = a.n c² = a.m

Existem controvérsias quanto a atribuição da fórmula à Pitágoras, pelo fato dele próprio não ter deixado nada por escrito, o que se tem são relatos de outros estudiosos daquela época, que podem ser alterações do trabalho original, de qualquer forma conhecemos esse teorema e assim nos lembramos por “teorema de Pitágoras”.

9.2 Polígonos regulares

4 5 6 8

Polígonos (figuras geométricas com n número de lados iguais). Obs: Polígono regular é todo polígono convexo que tem os lados congruentes e os ângulos coincidentes (ângulos iguais). Número de lados, Polígono: 3 - Tri angulo 4 - Quadrilátero 5 - Pentágono 6 - Hexágono 7 - Heptágono 8 – Octógono 10 - Decágono 11 - Undecágono 12 - Dodecágono 15 - Pentadecágono 20 – Icoságono

GUIDG.COM 45 9.3 Número de diagonais

d =nA n@ 3` a

2fffffffffffffffffffffffffffff

A diagonal é a reta que liga vértices não consecutivos: O número de diagonais (d) é dado por:

d =nA n@ 3` a

2fffffffffffffffffffffffffffff

(n) é o número de lados do polígono.

Para este polígono temos 5 lados, e substituindo na fórmula temos o número de diagonais que é 5. Mas nem sempre o número de lados é igual ao número de diagonais. As diagonais desde pentágono são as retas coloridas.

9.4 Soma dos ângulos internos

Si = n@ 2

` aA 180

Essa fórmula determina a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, mas não necessariamente regular.

Si = n@ 2` a

A 180º 9.5 Ângulo interno

i^

Em polígonos regulares, como todos os ângulos são coincidentes, podemos calcular cada ângulo interno utilizando a formula da soma de ângulos internos (Si ) dividida pelo número de lados (n) do polígono.

i^ =Si

nffffff[ i^ =

n@ 2` a

A 180ºn

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

9.6 Teorema de Tales

ABBCffffffffff= DE

EFffffffffff

Um feixe de retas paralelas (a, b, c) determina, sobre duas transversais quaisquer, que segmentos de

uma (ABBCffffffffff

) são proporcionais aos segmentos correspondentes da outra (DEEFffffffffff

).

a // b // c entãoABBCffffffffff= DE

EFffffffffff

GUIDG.COM 46 9.7 Semelhança de triângulos

∆∆∆∆ABC ~ ∆∆∆∆DEF

O til (~) neste caso pode ser lido como “é semelhante”

Os triângulos são semelhantes se as seguintes condições forem verificadas: 1 – Os ângulos internos correspondentes são iguais. 2 – A razão entre os lados homólogos forem proporcionais. Homólogo: lados, ângulos, diagonais, vértices e outros elementos que se correspondem ordenadamente. Então, em linguagem matemática resumimos:

∆ABC~∆DEF ^

A^ = D^

B^ = E^

C^ = F^

X^^\

^^Z

eadffff= b

effff= c

ffff= k

Decorrência:

No Triângulo ABC, se PQ

ffffffffff // BCffffffffff

, então ∆∆∆∆APQ ~ ∆∆∆∆ABC

GUIDG.COM 47 10 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

A seguir uma lista de relações trigonométricas usuais, somente as que realmente podem ser úteis em algum determinado problema de geometria ou de cálculo. 10.1 Seno e co-seno

sin

sen

cos

Muitas pessoas tem dificuldade com trigonometria, por não entender o significado das abreviações sen, cos, tg, etc. Esses termos representam medidas, que se projetam em algum eixo. Por exemplo, o seno de um ponto P(x,y) é dado pela relação a baixo, e significa uma medida.

sen α` a

= catetoopostohipotenusafffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

, cos α` a

= catetoadjacentehipotenusa

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

Função Trigonométrica:

Definição geométrica de “sen” e “cos”: Tomemos uma circunferência de raio 1 e um ponto A da mesma, considere o sistema de coordenadas da figura acima. Dado um número real x, seja Px o ponto da circunferência correspondente a x, então: cos x = abscissa de Px ; sen x = ordenada de Px ; Portanto Px = (cos x, sen x) Obs: o símbolo da função seno é sen, então deveríamos escrever sen(x), e da mesma forma para cos x, cos(x). A omissão dos parênteses é tradicional, e serve para aliviar a notação. Contudo não vá pensar que sen x, é um produto de sen por x. E isso não tem sentido, pois sen e cos é uma correspondência (função) e não um número:

sen x não é produto de sen por x; cos x não é produto de cos por x.

GUIDG.COM 48 10.2 Lei dos senos

sin

Aplicação: qualquer triangulo

A medida de um lado (x) é igual ao dobro do raio (2R) vezes o seno do ângulo oposto ao lado (X^ ):

( x = 2RsenX^ ).

Ou também: a

senA^fffffffffffffffff= b

senB^ffffffffffffffff= c

senC^ffffffffffffffff= 2R

Obs: O Triângulo não precisa ser eqüilátero (ter os lados iguais).

10.3 Lei dos co-senos

cos

Aplicação: qualquer triangulo

a2 = b2 + c2@2bcA cos A^

b2 = a2 + c2@2acA cos B^

c2 = a2 + b2@2abA cosC^

10.4 Tangente

tan x

tg x

tg = co/ca co = cateto oposto, ca = cateto adjacente

tg x = senxcosxffffffffffffff=

cohfffffffffcahfffffffffffffffff= co

hfffffffA

hcafffffff= co

cafffffff

Interpretação geométrica no ciclo trigonométrico:

GUIDG.COM 49 10.5 Co-razão x, o complemento de

co-x

Expliquemos o significado da partícula co, que inicia o nome das relações co-seno, co-tangente e co-secante. Ela foi introduzida por Edmund Gunter, em 1620, querendo indicar a razão trigonométrica do complemento. Por exemplo, co-seno de 22° tem valor idêntico ao seno de 68° (complementar de 22°).

Assim, as relações co-seno, co-tangente e co-secante de um ângulo indicam, respectivamente, seno, tangente e secante do complemento desse ângulo.

Assim, indicando seno, tangente e secante simplesmente pelo nome de razão, podemos dizer que

co-razão x = razão (90º - x)

Exemplos:

Iasen

π3fffffd e

= cosπ2fffff@

π3fffffd e

= cos3π @2π

6fffffffffffffffffffffffffff g

= cosπ6fffffd e

IIasen 37º` a

= cos 90º@37º` a

= cos 53º` a

Com base no triângulo apresentado na figura A, conclui-se que:

sen α = cos β , sen β= cos α tan α = cot β , tan β= cot α sec α = csc β , sec β= csc α

10.6 Co-tangente

cot x

ctg x

cotg x

cotan x

cotx = cosxsen xffffffffffffffff= 1

tg xffffffffffff

Sabendo as três primeiras “sen, cos e tg”, o resto não fica difícil de memorizar veja: Quando aparecer “Co” pode se para memorização interpretar como: “inverso de”. Tg é sen sobre cos, então cotg é o inverso de tg, e fica cos sobre sen.

GUIDG.COM 50 10.7 Secante

sec

secx = 1cosxfffffffffffffff

“Secante lembra Seno, mas é um sobre cosseno” .

10.8 Co-secante

csc cosec cossec

cscx = 1senxffffffffffffffff

“Co-secante lembra co-seno, mas é um sobre seno”

10.9 Interpretações geométricas das funções trigonométricas

10.10 Relação fundamental

sin x + cos x = 1

Partindo da figura A e da relação de Pitágoras: a² = b² + c² (dividindo por a²) 1 = (b/a)² + (c/a)² Tomando em relação ao Ângulo B. Sabemos que sen² x = (c.o./h)² = (b/a)² e cos² x = (ca/h)² = (c/a)²

sen2 x + cos2 x = 1 Outras relações:

sec2 x = 1 + tg2 x mas cosx≠ 0

cossec2 x = 1 + cotg2 x mas senx≠ 0

GUIDG.COM 51 10.11 Relações em senos

sin Algumas fórmulas que podem ser úteis na vida dos estudantes de cálculo. Quando aparece: cos a cos b , isto implica que estamos multiplicando o co-seno de a pelo co-seno de b, e isto se aplica a todas as fórmulas apenas mudando as funções em sen, cos, tg, etc. 1: sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b 2: sen(a – b) = sen a cos b – cos a sen b “Decoreba” para 1 e 2: Minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá, seno a co-seno b, seno b co-seno a. Sinais iguais 3: sen(2a) = sen (a +a) = sen a cos a + sen a cos a sen(2a) = 2 sen a cos a

4: sena senb=@12fffcos a+ b

` a@cos a@b

` aB C

5: sena cos b= 12fffsen a+ b

` a+ sen a@b

` aB C

Não recomendo a memorização, mas você deve saber que existem essas relações, saber aplicar e ter em mãos quando for necessário.

10.12 Relações em co-senos

cos 1: cos(a + b) = cos a cos b – sen a sen b 2: cos(a – b) = cos a cos b + sen a sen b “Decoreba” para 1 e 2: coça-coça, senta-senta.Sinais contrários. 3a: cos(2a) = cos (a + a) = cos a cos a – sen a sen a cos(2a) = cos²a – sen²a 3b: cos(2a) = 1 – 2sen²a 3c: cos (2a) = 2cos² a – 1 OBS: 3b e 3c são obtidas por substituição da relação fundamental. E a partir dessas duas relações pode-se chegar a outras por manipulação algébrica.

4: cos a cos b= 12fffcos a+ b

` a+ cos a@b

` aB C

10.13 Relações em tangentes

tg tan

1: tg a + b` a

=sen a + b` a

cos a + b` a

ffffffffffffffffffffffffffffffffff , tg a + b` a

= tga + tgb1@ tgaA tgbffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

^ cos a + b` a

≠ 0

2: tg a@b` a

=sen a@b` a

cos a@b` a

ffffffffffffffffffffffffffffffffff , tg a@b` a

= tga@ tgb1 + tgaA tgbfffffffffffffffffffffffffffffffffffff

^ cos a@b` a

≠ 0

3: tg 2a` a

= 2tga1@ tg2 affffffffffffffffffffffffffff

^ cos 2a` a

≠ 0

GUIDG.COM 52 10.14 Relações de senos, co-senos e tangentes em metades

sin ( x/2 )

cos ( x/2 )

tan ( x/2 )

1: sen2 a2ffffd e

= 1@cosa2

ffffffffffffffffffffffffffff

2: cos2 a2ffffd e

= 1 + cosa2

fffffffffffffffffffffffffff

3: tg2 a2ffffd e

= 1@cosa1 + cosaffffffffffffffffffffffffffff

^ cosa≠@1

10.15 Soma e diferença de senos

sin x

1: senp+ senq= 2senp + q

2fffffffffffffffffd e

A cosp@q

2fffffffffffffffffd e

2: senp@senq= 2senp@q

2fffffffffffffffffd e

A cosp + q

2fffffffffffffffffd e

10.16 Soma e diferença de co-senos

cos x

1: cos p+ cos q= 2cosp + q

2fffffffffffffffffd e

A cosp@q

2fffffffffffffffffd e

2: cos p@cos q=@2senp + q

2fffffffffffffffffd e

A senp@q

2fffffffffffffffffd e

GUIDG.COM 53 11 PRODUTOS NOTÁVEIS

Fórmulas básicas, regras de fatoração e expansão de termos. 11.1 Trinômio quadrado fatorado

ax2 + bx + ca ≠ 0

Supondo que x1 e x2 sejam raízes reais da equação

ax2 + bx + c = 0 Então

a x@ x1

` ax@ x2

` a= ax2 + bx + c

11.2 Quadrado da soma ou diferença de dois termos

aF b` a2

Trinômio quadrado perfeito

a + b` a2 = a + b

` aa + b` a

= aa + ab + ba + bb = a2 + 2ab + b2

“ O quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo mais o quadrado do segundo termo”

a@ b` a2 = a2@ 2ab + b2

11.3 Soma ou diferença de quadrados

a2F b2

Para a soma o que se pode fazer é acrescentar um fator de correção:

a2 + b2 = a + b` a2

@2ab Diferença de Quadrados:

a2@ b2 = a + b` a

A a@ b` a

11.3.1 Cubo da soma ou diferença de dois termos

aF b` a3

a + b` a3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

a@ b` a3 = a3@ 3a2 b + 3ab2

@ b3

11.4 Soma ou diferença de cubos

a3F b3

a3 + b3 = a + b` a

A a2@ ab + b2b c

a3@ b3 = a@ b` a

A a2 + ab + b2b c

GUIDG.COM 54 11.5 Binômio de Newton

x + a` an

A seguinte fórmula foi desenvolvida com a intenção de facilitar o cálculo.

A forma x + a` an

8 n> 1 2 Z , é expandida da seguinte maneira e aplicável a todas as formas demonstradas anteriormente em Produtos notáveis.

x + a` an = xn + n

1!fffffA xn@ 1Aa +

nA n@1` a

2!ffffffffffffffffffffffffffffff

A xn@ 2A a2 + …

…+nA n@1` a

A n@2` a

3!ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

A xn@ 3Aa3 + …

… +n n@1` a

n@2` a

…2n@1` a

!ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

A x Aan@ 1 + an

Procedimento, para o lado direito da igualdade: 1 – o primeiro termo (x) é sempre elevado ao expoente n. 2 – o segundo termo, é o expoente vezes x elevado a uma unidade a menos que o n inicial. Multiplique isso por a. 3 – o terceiro é o produto de n pelo expoente de x do segundo termo, ou seja: n e (n – 1). Divida isso pelo número de termos escritos, ou seja, dois. Multiplique por x elevado a duas unidades reduzidas do n inicial. Multiplique por a elevado a uma unidade a mais que a do segundo termo. A dica é memorizar os passos, deduzir os produtos notáveis (que possam ser) pelo Binômio de Newton, e por último demonstrar a fórmula até o quarto termo. Depois disso é repetição.

GUIDG.COM 55 12 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

Definição das funções hiperbólicas e uma analogia às relações trigonométricas, onde alguns casos de relações entre as funções trigonométricas também são verificados nas funções hiperbólicas. 12.1 Seno hiperbólico

sinh

senh

Definimos a seguinte função exponencial como Seno hiperbólico, e suas demais conseqüentes abaixo.

f:RQR , sinh x` a

= ex@e@ x

2ffffffffffffffffffffffffff

12.2 Co-seno hiperbólico

cosh

f:RQ 1, +1B c

, cosh x` a

= ex + e@ x

2fffffffffffffffffffffffff

12.3 Tangente hiperbólica

tanh

tgh

f:RQ @1, 1b c

,sinh x` a

cosh x` a

ffffffffffffffffffffffff= tgh x` a

= ex@e@ x

ex + e@ xffffffffffffffffffffffffff

12.4 Co-tangente hiperbólica

coth

cotgh

f:RCQ @1 ,@1b cS 1, +1

b cD E

,

1tgh x` a

fffffffffffffffffffff= coth x` a

= ex + e@ x

ex@e@ xffffffffffffffffffffffffff

12.5 Secante hiperbólica

sech

f:RQ 0, 1b c

,1

cosh x` a

ffffffffffffffffffffffff= sech x` a

= 2ex + e@ xfffffffffffffffffffffffff

12.6 Co-secante hiperbólica

csch cossech

f:RCQR

C,

1sinh x` a

ffffffffffffffffffffff= csch x` a

= 2ex@e@ xffffffffffffffffffffffffff

GUIDG.COM 56 12.7 Relações hiperbolicas

1) cosh2 x@sinh2 x = 1 2) sinh @ x

` a=@ sinh x

` a

3) cosh @ x

` a= cosh x

` a

4) coshx + sinhx = ex 5) coshx@ sinhx = e@ x 6) sech2 x = 1@ tgh2 x

7) @csch2 x = 1@coth2 x

csch2 x = coth2 x@1

X\

Z

8) sinh x + y

` a= sinhxA coshy + sinhyA coshx

9) cosh x + y

` a= coshxA coshy + sinhxA sinhy

10) sinh 2x

` a= sinh x + x

` a= 2A sinhxA coshx

11)

cosh 2x` a

= cosh x + x` a

= cosh2 x + sinh2 x

= 2Asinh2 x + 1

= 2Acosh2 x@1

X^^^\

^^^Z

12) sinh2 x = coshx@12

fffffffffffffffffffffffffffff

13) cosh2 x = coshx + 12

fffffffffffffffffffffffffffff

GUIDG.COM 57 13 SEQÜÊNCIAS, FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA

Nesta seção veremos algumas definições básicas e a fórmulas básicas das seqüências numéricas, progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG). 13.1 Progressão Aritmética

PA

PA, Progressão Aritmética. É uma seqüência numérica, tal que o termo posterior é o termo anterior mais a razão.

PA = a1 , a2 , a3 , … ,an

P Q

A Razão de uma PA r é a razão, numa PA determina-se fazendo a diferença do termo posterior pelo termo anterior, isto é: r = a2@a1

13.1.1 Termo geral e termo qualquer

PA

Termo geral de uma PA: an = a1 + n@1

` ar

Termo qualquer: Sendo n ≠ m an = am + n@m

` ar

Exemplo: Determinar r sendo a4 = 25 e a10 = 43 : an = am + n@m

` ar [ a10 = a4 + 10@4

` ar

43 = 25 + 6r6r = 18 [ r = 3

Conseqüência: A soma dos extremos de uma PA é sempre um número constante. Considere a PA = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 então:

a1 = 2, a2 = 4, … a9 = 18a1 + a9 = a2 + a8 = a3 + a7 = a4 + a6 = a5 + a5

2 + 18 = 4 + 16 = 6 + 14 = 8 + 12 = 10 + 10 = 20

13.1.2 Termo médio, média aritmética e soma dos termos

PA

Termo médio, Média aritmética:

Sendo a1 , a2 , a3 uma PA então:

a2 =a1 + a3

2ffffffffffffffffffff

[ an =an@ 1 + an + 1

2ffffffffffffffffffffffffffffffffffff

Soma dos termos da PA: Sendo a1 e an entãoasomados n termosdaPA:

Sn =a1 + an

b c

n

2ffffffffffffffffffffffffffffffff

GUIDG.COM 58 13.2 Progressão Geométrica

PG

PG, Progressão Geométrica. É uma seqüência numérica, tal que o termo posterior é o termo anterior vezes a razão. Ex: PG = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... é uma PQ de razão 2. q é a razão, e obtém-se dividindo o termo posterior pelo anterior.

q = an

an@ 1

ffffffffffffff

13.3 Termo geral, termo qualquer, termo médio e média geométrica

PG

Termo geral: an = a1Aq

n@ 1 Termo qualquer: an = amAqn@m Termo médio, Média Geométrica: Seja a PG: … , an@ 1 , an , an + 1 , …

` a

an

` a2 = an@ 1

` aA an + 1

` a

an

` a=F an@ 1

` aA an + 1

` aqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Isto é, o termo do meio é a raiz quadrada do produto: termo anterior vezes termo posterior (depende o sinal da seqüência também).

13.3.1 Soma dos termos

PG

Soma dos termos da progressão geométrica

Sn = a1Aqn@1q@1ffffffffffffffffffff g

ou Sn = a1A1@qn

1@qffffffffffffffffffff g

*Apesar da troca de sinal, as duas fórmulas são iguais. Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Convergente.

Quando -1 < q < 1 , e n → +∞ . Sn =a1

1@qffffffffffffffff

Ex: Qual o valor da soma s= 1 + 12fff+ 1

4ffff+ 1

8fff+ … ?

q =12ffff1ffff= 1

2fff , S1 = 1

1@ 12ffff

ffffffffffffffff=11fff2fff= 2