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Notação Vetorial

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Text of Notação Vetorial

  • slide 1

    Objetivos da aula

    Mostrar como adicionar foras e decomp-las em componentesusando a lei do paralelogramo.

    Expressar a fora e sua posio na forma de um vetor cartesianoe explicar como determinar a intensidade e a direo do vetor.

    Introduzir o produto escalar para determinar o ngulo entre doisvetores ou a projeo de um vetor sobre outro.

    Vetores de fora

  • slide 2

    Escalares e vetores

    Um escalar qualquer quantidade fsica positiva ou negativa quepode ser completamente especificada por sua intensidade.

    Exemplos de quantidades escalares:

    Comprimento Massa Tempo

  • slide 3

    Um vetor qualquer quantidade fsica que requer uma intensidadee uma direo para sua completa descrio.

    Exemplos de vetores:

    Fora Posio Momento

    Escalares e vetores

  • slide 4

    Operaes vetoriaisMultiplicao por um escalar

  • slide 5

    Adio de vetoresTodas as quantidades vetoriais obedecem lei do paralelogramo daadio.

    Tambm podemos somar B a A usando a regra do tringulo:

    Operaes vetoriais

  • slide 6

    Adio de vetoresNo caso especial em que os dois vetores A e B so colineares, alei do paralelogramo reduz-se a uma adio algbrica ou escalarR = A + B:

    Operaes vetoriais

  • slide 7

    Subtrao de vetoresR' = A B = A + (B)

    Operaes vetoriais

  • slide 8

    Determinando uma fora resultante

    Podemos aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o tringulo a fim de obter a intensidade da fora resultante e sua direo.

  • slide 9

    Determinando as componentes de uma fora

    Algumas vezes necessrio decomporuma fora em duas componentes paraestudar seu efeito em duas direesespecficas.

    As componentes da fora Fu e Fv soestabelecidas simplesmente unindo aorigem de F com os pontos de interseonos eixos u e v.

  • slide 10

    Procedimento para anliseProblemas que envolvem a soma de duas foras podem serresolvidos da seguinte maneira:

    Lei do paralelogramo: Duas foras componentes, F1 e F2 se somam conforme a lei do

    paralelogramo, dando uma fora resultante FR que forma adiagonal do paralelogramo.

  • slide 11

    Se uma fora F precisar ser decomposta em componentes aolongo de dois eixos u e v, ento, iniciando na extremidade dafora F, construa linhas paralelas aos eixos, formando, assim, oparalelogramo. Os lados do paralelogramo representam ascomponentes, Fu e Fv.

    Procedimento para anlise

  • slide 12

    Trigonometria Redesenhe metade do

    paralelogramo para a adiotriangular extremidade-para-origem das componentes.

    Por esse tringulo, aintensidade da fora resultante determinada pela lei doscossenos, e sua direo, pelalei dos senos. As intensidadesdas duas componentes de foraso determinadas pela lei dossenos.

    Procedimento para anlise

  • slide 13

    Adio de um sistema de foras coplanaresQuando uma fora decomposta em duas componentes ao longo doseixos x e y, as componentes so chamadas de componentesretangulares.

    Estas componentes podem ser representadas utilizando:

    notao escalar.

    notao de vetor cartesiano.

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    Notao escalarQuando as componentes formam umtringulo retngulo, suas intensidades podemser determinadas por:

    No entanto, no lugar de utilizar o ngulo , como otringulo abc e o tringulo maior sombreado sosemelhantes, o comprimento proporcional doslados fornece:

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    Notao vetorial cartesianaTambm possvel representar as componentes x e y de uma foraem termos de vetores cartesianos unitrios i e j.

    Como a intensidade de cada componente de F sempre umaquantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) Fx eFy, ento, podemos expressar F como um vetor cartesiano.

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    Resultante de foras coplanaresQualquer um dos dois mtodos descritos pode ser usado paradeterminar a resultante de vrias foras coplanares. Por exemplo:

  • slide 17

    Usando a notao vetorial cartesiana, cada fora representada comoum vetor cartesiano, ou seja,

    F1 = F1x i + F1y j

    F2 = F2x i + F2y j

    F3 = F3x i F3y j

    O vetor resultante , portanto,FR = F1 + F2 + F3

    = F1x i + F1y j F2x i + F2y j + F3x i F3y j

    = (F1x F2x + F3x) i + (F1y + F2y F3y) j

    = (FRx) i + (FRy) j

    Resultante de foras coplanares

  • slide 18

    Se for usada a notao escalar, temos ento( + ) FRx = F1x F2x + F3x

    (+ ) FRy = F1y + F2y F3y

    As componentes da fora resultante de qualquer nmero de forascoplanares podem ser representadas simbolicamente pela somaalgbrica das componentes x e y de todas as foras, ou seja,

    Resultante de foras coplanares

    Uma vez que estas componentes sodeterminadas, elas podem seresquematizadas ao longo dos eixosx e y com seus sentidos de direoapropriados, e a fora resultantepode ser determinada pela adiovetorial.

  • slide 19

    Pelo esquema, a intensidade de FR determinada pelo teorema dePitgoras, ou seja,

    Alm disso, o ngulo , que especifica a direo da fora resultante, determinado atravs da trigonometria:

    Resultante de foras coplanares

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    Pontos importantes A resultante de vrias foras coplanares pode ser determinada facilmente

    se for estabelecido um sistema de coordenadas x e y e as foras foremdecompostas ao longo dos eixos.

    A direo de cada fora especificada pelo ngulo que sua linha de aoforma com um dos eixos.

    A orientao dos eixos x e y arbitrria e sua direo positiva pode serespecificada pelos vetores cartesianos unitrios i e j.

    As componentes x e y da fora resultante so simplesmente a somaalgbrica das componentes de todas as foras coplanares.

    A intensidade da fora resultante determinada pelo teorema dePitgoras e, quando as componentes so esquematizadas nos eixos x e y,a direo determinada por meio da trigonometria.

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    Vetores cartesianosAs operaes da lgebra vetorial, quando aplicadas para resolverproblemas em trs dimenses, so enormemente simplificadas se osvetores forem primeiro representados na forma de um vetorcartesiano.

    Sistema de coordenadas destro

    Dizemos que um sistema de coordenadas retangular destro desdeque o polegar da mo direita aponte na direo positiva do eixo z,quando os dedos da mo direita esto curvados em relao a esse eixoe direcionados do eixo x positivo para o eixo y positivo.

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    Componentes retangulares de um vetor 3DCom duas aplicaes sucessivas da lei do paralelogramo pode-sedecomp-lo em componentes, como:

    A = A + Az

    e depoisA = Ax + Ay.

    Combinando essas equaes, para eliminar A', A representadopela soma vetorial de suas trs componentes retangulares,

    A = Ax + Ay + Az

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    A = Axi + Ayj + Azk

    Separando-se a intensidade e a direo de cada vetor componente,simplificam-se as operaes da lgebra vetorial, particularmente emtrs dimenses.

    Componentes retangulares de um vetor 3D

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    sempre possvel obter a intensidade do vetor A, desde que ele sejaexpresso sob a forma de um vetor cartesiano.

    temos:

    Componentes retangulares de um vetor 3D

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    Direo de um vetor cartesiano 3D

    A direo de A definida pelos ngulos de direo coordenados (alfa), (beta) e (gama), medidos entre A e os eixos x, y, zpositivos, desde que sejam concorrentes na origem de A.

  • slide 26

    Para determinarmos , e , vamos considerar as projees de Asobre os eixos x, y, z. Os ngulos esto nos planos de projeo.

    Direo de um vetor cartesiano 3D

  • slide 27

    Um modo fcil de obter os cossenos diretores criar um vetorunitrio uA na direo de A.

    Direo de um vetor cartesiano 3D

    Se A for expresso sob a forma de umvetor cartesiano, A = Ax i + Ay j + Az k,ento para que uA tenha uma intensidadeunitria e seja adimensional, A serdividido pela sua intensidade, ou seja,

    vemos que as componentes i, j, k de uArepresentam os cossenos diretores de A,ou seja,uA = cos i + cos j + cos k

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    Existe uma relao importante entre os cossenos diretores:

    cos2 + cos2 + cos2 = 1

    A pode ser expresso sob a forma de vetor cartesiano como:

    A = A uAA = A cos i + A cos j + A cos k

    A = Ax i + Ay j + Az k

    A direo de A tambm pode ser especificadausando s dois ngulos: e

    Direo de um vetor cartesiano 3D

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    Pontos importantes

    A anlise vetorial cartesiana usada frequentemente para resolverproblemas em trs dimenses.

    A intensidade de um vetor cartesiano dada por A direo de um vetor cartesiano definida pelos ngulos de direo

    coordenados , , que o vetor forma com os eixos x, y, z positivos,respectivamente. As componentes do vetor unitrio uA = A/Arepresentam os cossenos diretores , , . Apenas dois dos ngulos , , precisam ser especificados. O terceiro ngulo calculado pela relao:cos2 + cos2 + cos2 = 1.

    Algumas vezes, a direo de um vetor definida usando os dois ngulos e . Nesse caso, as componentes vetoriais so obtidas pordecomposio vetorial usando trigonometria.

    Para determinar a resultante de um sistema de foras concorrentes (quese interceptam em um ponto), expresse cada fora como um vetorcartesiano e adicione as componentes i, j, k de todas as foras dosistema.

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    Vetor posio Coordenadas x, y, zAs coordenadas do ponto A so obtidas a partir de O, medindo-se xA= +4 m ao longo do eixo x, depois yA = +2 m ao longo do eixo y e,finalmente, zA = 6 m ao longo do eixo z. Portanto, A (4 m, 2 m, 6m). De modo semelhante, as medidas ao longo dos eixos x, y, z desdeO at B resultam nas coordenadas de B, ou seja, B (6 m, 1 m, 4 m).

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    Vetor posioSe r estende-se da origem de coordenadas O at o ponto P (x, y, z),

    ento r pode ser expresso na forma de um vetor cartesiano como:

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    Observe como a adio vetorial das trs componentes produz o vetorr.

    Vetor posio

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    Na maioria dos casos, o vetor posio podem ser direcionado de umponto A para um ponto B no espao. Tambm podemos obter essascomponentes diretamente.

    Vetor posio

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    Produto escalarO produto escalar dos vetores A e B, escrito A B e lido A escalarB, definido como o produto das intensidades de A e B e docosseno do ngulo entre eles. Expresso na forma de equao,

    A B = AB cos

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    Propriedades do produto escalar

    1. Lei comutativa:A B = B A

    2. Multiplicao por escalar:a (A B) = (aA) B = A (aB)

    3. Lei distributiva:A (B + D) = (A B) + (A D)

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    Formulao cartesiana do produto escalarSe quisermos determinar o produto escalar de dois vetores A e Bexpressos na forma de um vetor cartesiano, teremos:

    A B = (Axi + Ayj + Azk) (Bxi + Byj + Bzk)= AxBx(i i) + AxBy(i j) + AxBz(i k)+ AyBx(j i) + AyBy(j j) + AyBz(j k)

    + AzBx(k i) + AzBy(k j) + AzBz(k k)

    Efetuando as operaes do produto escalar, obtemos o resultado final:

    A B = AxBx + AyBy + AzBz

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    AplicaesO produto escalar tem duas aplicaes importantes na mecnica.

    O ngulo formado entre dois vetores ou linhas que se interceptam.

    As componentes de um vetor paralelo e perpendicular a uma linha.

    Aa = A cos = A ua

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    Pontos importantes O produto escalar usado para determinar o ngulo entre dois

    vetores ou a projeo de um vetor em uma direo especificada. Se os vetores A e B so expressos na forma de vetores cartesianos,

    o produto escalar ser determinado multiplicando-se as respectivascomponentes escalares x, y, z e adicionando-se algebricamente osresultados, ou seja, A B = AxBx + AyBy + AzBz.

    Da definio do produto escalar, o ngulo formado entre as origensdos vetores A e B = cos1 (AB/AB).

    A intensidade da projeo do vetor A ao longo de uma linha, cujadireo especificada pelo vetor unitrio ua, determinada peloproduto escalar Aa = A ua.

    Exemplos e exerccios

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    Exemplo 1Considerando que = 600 e que T = 5 kN determine amagnitude da fora resultante e sua direo

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    Exemplo 1

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    Exemplo 2Decomponha as foras F1 e F2 nas direes u e

    v. determine os valores destas componentes.

    Para F1 teremos:

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    Exemplo 2Para F2:

  • slide 43

    resolver1. Trs cabos puxam uma tubulao de forma a criar uma

    fora resultante de 1800 N. Se dois cabos esto submetidos a

    foras conhecidas, como indicado na figura, determine o

    ngulo do terceiro cabo de forma que a magnitude da foraF seja mnima. Todas as foras se encontram no plano x-y.

    Qual o valor da F mnima?

    2. Se a magnitude da fora resultante no suporte da figura

    de 600 N e sua direo medida a partir do eixo positivo x na

    direo horria 30o, qual a magnitude da F1 e qual sua

    direo ?

    3. Determine a magnitude e a direo (os ngulos

    coordenados ou diretores) da fora resultante no suporte da

    figura.

  • slide 44

    resolver4. Se a fora resultante atuando no suporte FR = {-300 i +

    650 j + 250 k} determine a magnitude e os ngulos diretores

    de F

    5. O candelabro suportado por trs braos com correntes

    congruentes no ponto O. se a fora resultante em O e de 650

    N direcionada segundo o eixo negativo z, determine a fora

    em cada um dos trs braos.

    6. Uma torre mantida no seu lugar por trs

    cabos. Se a fora que atua em cada cabo

    indicada, determine os ngulos diretores , , da fora resultante. Considere x = 20 m e y =15 m

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    resolver7. Determine a magnitude da componente da fora FAB atuando na direo do eixo z.