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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO EE540 – TEORIA ELETROMAGNÉTICA Equações de Maxwell Prof. Lucas Heitzmann Gabrielli

Notas de aula de EE540: Equações de Maxwell (2o sem. 2014)

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Page 1: Notas de aula de EE540: Equações de Maxwell (2o sem. 2014)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO

EE540 – TEORIA ELETROMAGNÉTICA

Equações de MaxwellProf. Lucas Heitzmann Gabrielli

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Regimes estáticos

No regime eletrostático:

∇ × 𝓔 = 0 ∇ ⋅ 𝓓 = 𝜌

No regime magnetostático:

∇ × 𝓗 = 𝓙 ∇ ⋅ 𝓑 = 0

𝓔 [V/m] : campo elétrico𝓗 [A/m] : campo magnético𝓓 [C/m2] : densidade de fluxo elétrico ou campo de deslocamento elétrico𝓑 [T] : densidade de fluxo magnético ou campo de indução magnética𝓙 [A/m2] : densidade de corrente elétrica𝜌 [C/m3] : densidade volumétrica de carga

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Relações constitutivas

Em um meio linear, isotrópico e não dispersivo:

𝓓 = 𝜀𝓔

𝓑 = 𝜇𝓗

𝓙 = 𝜎𝓔

𝜀 [F/m] : permissividade ou constante dielétrica (no vácuo: 𝜀0 = 8,854 × 10−12 F/m)𝜇 [H/m] : permeabilidade (no vácuo: 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7H/m)𝜎 [S/m] : condutividade elétrica

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Lei de Faraday(Cheng 7-1, 7-2; Sadiku 9.1 a 9.3; Notaros 6)

Após a descoberta de que as correntes elétricas produzim campos magnéticos em 1820 porOersted, Michael Faraday demonstrou em 1831 que o oposto também era verdade: uma correnteelétrica é induzida em um circuito condutor quando o fluxo magnético através desse circuitovaria.

𝒱emf = −dΦd𝑡

= − dd𝑡

∬𝑆

𝓑 ⋅ d𝐒

O sinal negativo mostra que a corrente gerada pela força eletromotriz induzida terá direção talque o campo magnético por ela gerado será oposto à variação do fluxo magnético (lei de Lenz).

𝒱emf [V] : força eletromotrizΦ [Wb] : fluxo magnético

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Circuito estacionário

A força sobre uma carga 𝑞 estática e a tensão resultante são dadas por:

𝐅s = 𝑞𝓔 ⇒ 𝒱 = ∫ 𝐅s𝑞

⋅ d𝐥 = ∫ 𝓔 ⋅ d𝐥

Assim, a força eletromotriz em um circuito fechado estacionário pode ser calculada como:

𝒱emf = ∮∂𝑆

𝓔 ⋅ d𝐥 = − ∬𝑆

∂𝓑∂𝑡

⋅ d𝐒

Aplicando o teorema de Stokes à equação da força eletromotriz, obtemos:

∇ × 𝓔 = −∂𝓑∂𝑡

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Exemplo: espira

𝑥

𝑦

0 ℓ2− ℓ

2

ℓ2

− ℓ2

ℬ(𝑡)𝐚𝑧

𝑅

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Exemplo: transformador

𝒱(𝑡) 𝑅

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Campo estacionário

Uma carga 𝑞 com velocidade 𝐮 sob uma densidade de fluxo magnético 𝓑 experimenta uma força

𝐅m = 𝑞𝐮 × 𝓑

que é interpretada por um observador no referencial da carga como um campo elétrico deinduzido pelo movimento. A tensão definida por esse campo induzido será dada por:

𝒱 = ∫ 𝐮 × 𝓑 ⋅ d𝐥

Se o condutor for parte de um circuito fechado então a força eletromotriz resultante no circuitoserá:

𝒱emf = ∮∂𝑆

𝐮 × 𝓑 ⋅ d𝐥

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Exemplo: barra deslizante

ℎ𝒱

𝓑

𝐮

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Caso geral

Neste caso a força eletromotriz será composta por ambos os termos obtidos nas condiçõesanteriores:

𝒱emf = ∮∂𝑆

(𝓔 + 𝐮 × 𝓑) ⋅ d𝐥 = −dΦd𝑡

Observando que

dd𝑡

∬𝑆

𝓑 ⋅ d𝐒 = ∬𝑆

∂𝓑∂𝑡

⋅ d𝐒 − ∮∂𝑆

𝐮 × 𝓑 ⋅ d𝐥

obtemos novamente:

∇ × 𝓔 = −∂𝓑∂𝑡

que é o mesmo resultado anterior, obtido no caso estacionário.

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Exemplo: circuito rotativo

𝒱

𝓑(𝑡) = 𝐵0 sin(𝜔𝑡)𝐚𝑦𝜔

𝑦

𝑧

𝑥

Área: 𝑆

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Continuidade(Cheng 7-3; Sadiku 9.4, 9.5; Balanis 1.2)

A equação de continuidade, que reflete a conservação de cargas, é incompatível com situaçõesdinâmicas:

∇ ⋅ 𝓙 = −∂𝜌∂𝑡

≠ 0

Porém, da lei de Ampère eletrostática:

∇ × 𝓗 = 𝓙 ⇒ ∇ ⋅ 𝓙 = ∇ ⋅ (∇ × 𝓗) = 0

Maxwell então introduziu uma densidade de corrente de deslocamento à lei de Ampère paratorná-la consistente com a continuidade de carga:

∇ × 𝓗 = 𝓙 + ∂𝓓∂𝑡

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Equações de Maxwell

Forma diferencial Forma integral

∇ × 𝓔 = −∂𝓑∂𝑡

∮∂𝑆

𝓔 ⋅ d𝐥 = − ∬𝑆

∂𝓑∂𝑡

⋅ d𝐒 Lei de Faraday

∇ × 𝓗 = 𝓙 + ∂𝓓∂𝑡

∮∂𝑆

𝓗 ⋅ d𝐥 = ∬𝑆

(𝓙 + ∂𝓓∂𝑡

) ⋅ d𝐒 Lei de Ampère

∇ ⋅ 𝓓 = 𝜌 ∯∂𝑉

𝓓 ⋅ d𝐒 = ∭𝑉

𝜌 d𝑉 Lei de Gauss

∇ ⋅ 𝓑 = 0 ∯𝑆

𝓑 ⋅ d𝐒 = 0 Lei de Gauss magnética

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Relações constitutivas(Balanis 2)

Meio inomogêneo: 𝜀 ou 𝜇 dependem da posição no espaço. Em geral usaremos soluções parameios homogêneos por partes.

𝓓 = 𝜀(𝐫)𝓔

Meio dispersivo: a resposta do meio à excitação dos campos não é instantânea, ou, de maneiraequivalente, 𝜀 ou 𝜇 dependem da frequência dos campos. Dispersão está diretamente ligada aperdas no material de forma análoga a oscilações harmônicas amortecidas.

𝓓 = 𝜀 ∗ 𝓔 =∞

∫𝜏=−∞

𝜀(𝑡 − 𝜏)𝓔(𝜏) d𝜏, 𝜀(Δ𝑡) = 0 para Δ𝑡 < 0

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Relações constitutivas

Os casos seguintes não serão abordados no curso, mas estão descritos a fim de completude.

Meio não linear: 𝜀 ou 𝜇 dependem da magnitude dos campos. A maior parte dos materiais podeser considerada linear para intensidades de campos até certos limites.

𝓓 = 𝜀(𝓔)𝓔 = 𝜀0𝓔 + 𝜀0 (𝜒(1)𝓔 + 𝜒(2)𝓔2 + 𝜒(3)𝓔3 + ⋯)

Meio anisotrópico: 𝜀 ou 𝜇 dependem da direção dos campos. Comum em cristais (uni- e biaxiais)e materiais magnéticos.

𝓓 = 𝜀𝓔 ⇔ ⎡⎢⎣

𝒟𝑥𝒟𝑦𝒟𝑧

⎤⎥⎦

= ⎡⎢⎣

𝜀𝑥𝑥 𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑥𝑧𝜀𝑦𝑥 𝜀𝑦𝑦 𝜀𝑦𝑧𝜀𝑧𝑥 𝜀𝑧𝑦 𝜀𝑧𝑧

⎤⎥⎦

⎡⎢⎣

ℰ𝑥ℰ𝑦ℰ𝑧

⎤⎥⎦

Meio bi-isotrópico: meios onde os campos elétrico e magnético acoplam-se.

𝓓 = 𝜀𝓔 + 𝜉𝓗 𝓑 = 𝜇𝓗 + 𝜁𝓔

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Potenciais(Cheng 7-4; Sadiku 9.6)

Como ∇ ⋅ 𝓑 = 0 podemos descrever 𝓑 através de um potencial vetorial 𝓐:

𝓑 = ∇ × 𝓐

Usando a lei de Faraday:

∇ × (𝓔 + ∂𝓐∂𝑡

) = 0

Assim definimos o potencial escalar 𝒱 para descrever 𝓔 como:

𝓔 = −∇𝒱 − ∂𝓐∂𝑡

mantendo consistência com as definições utilizadas para campos eletrostáticos.

𝓐 [Tm] : potencial magnético vetorial𝒱 [V] : potencial elétrico escalar

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Condição de Lorenz

Introduzindo os potenciais na lei de Ampère e assumindo um meio homogêneo:

∇ × ∇ × 𝓐 = ∇(∇ ⋅ 𝓐) − ∇2𝓐 = 𝜇𝓙 − ∇ (𝜇𝜀∂𝒱∂𝑡

) − 𝜇𝜀∂2𝓐∂𝑡2 ⇔

⇔ ∇2𝓐 − 𝜇𝜀∂2𝓐∂𝑡2 = −𝜇𝓙 + ∇ (∇ ⋅ 𝓐 + 𝜇𝜀∂𝒱

∂𝑡)

Escolhemos a condição (gauge) de Lorenz para fixar 𝓐:

∇ ⋅ 𝓐 + 𝜇𝜀∂𝒱∂𝑡

= 0

obtendo equação de onda inomogênea para o potencial vetor:

∇2𝓐 − 𝜇𝜀∂2𝓐∂𝑡2 = −𝜇𝓙

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Equação para o potencial escalar

Resta apenas introduzirmos os potenciais na lei de Gauss:

∇ ⋅ (∇𝒱 + ∂𝓐∂𝑡

) = ∇2𝒱 + ∂∂𝑡

∇ ⋅ 𝓐 = −𝜌𝜀

Utilizando novamente a condição de Lorenz, estabelecemos a equação de onda inomogênea parao potencial escalar:

∇2𝒱 − 𝜇𝜀∂2𝒱∂𝑡2 = −𝜌

𝜀

Podemos assim descrever ou resolver um problema eletromagnético em meio homogêneo atravésdos potenciais 𝓐 e 𝒱 e, a partir destes, calcular os campos 𝓔, 𝓗, 𝓓, 𝓑.

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Teorema de Poynting(Cheng 8-5; Sadiku 10.7; Balanis 1.6)

Partimos da identidade vetorial:

∇ ⋅ (𝓔 × 𝓗) = 𝓗 ⋅ (∇ × 𝓔) − 𝓔 ⋅ (∇ × 𝓗)

Aplicando as leis de Faraday e Ampère:

∇ ⋅ (𝓔 × 𝓗) = −𝓗 ⋅ ∂𝓑∂𝑡

− 𝓔 ⋅ ∂𝓓∂𝑡

− 𝓔 ⋅ 𝓙

Introduzimos as relações constitutivas assumindo um meio simples e invariante no tempo eintegramos em um volume de interesse:

∯∂𝑉

𝓔 × 𝓗 ⋅ d𝐒 = − ∂∂𝑡

∭𝑉

(12

𝜀|𝓔|2 + 12

𝜇|𝓗|2) d𝑉 − ∭𝑉

𝜎|𝓔|2 d𝑉

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Vetor de PoyntingDefinimos o vetor de Poynting, que representa a densidade de potência transportada pelo campoeletromagnético a partir do termo no lado esquerdo da equação anterior.

Reconhecemos assim nos termos do lado direito as densidades volumétricas de energiaarmazenada nos campos e a potência ôhmica dissipada.

𝓟 = 𝓔 × 𝓗 [W/m2] : vetor de Poynting (densidade de potência transmitida)

12

𝜀|𝓔|2 [J/m3] : densidade de energia elétrica armazenada

12

𝜇|𝓗|2 [J/m3] : densidade de energia magnética armazenada

𝜎|𝓔|2 [W/m3] : densidade de potência ôhmica dissipada

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Exemplo: fio condutor

𝐼

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Campos harmônicos(Cheng 7-7; Sadiku 9.7; Balanis 1.7)

Até agora a dependência temporal das grandezas estudadas não estava especificada, podendotomar qualquer forma. Analisaremos o caso especial em que essas grandezas se comportamcom dependência senoidal no tempo, pois em problemas lineares é possível decompor oscampos e fontes utilizando séries ou transformadas de Fourier e resolver cada componenteindependentemente das demais (por superposição).

𝒮(𝑡) = 𝑆0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) = ℜ{𝑆0𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜑)}

Definimos então o fasor 𝑆 = 𝑆0𝑒𝑖𝜑 para obtermos:

𝒮(𝑡) = ℜ{𝑆𝑒𝑖𝜔𝑡} = 12

(𝑆𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝑆 ∗𝑒−𝑖𝜔𝑡)

Note que para sermos definirmos uma representação fasorial é necessário fixar a dependênciatemporal.

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Equações de Maxwell

As equações de Maxwell em termos das representações fasoriais (ou no domínio da frequência)ficam:

⎧{{{⎨{{{⎩

𝓔 = ℜ{𝐄𝑒𝑖𝜔𝑡}𝓗 = ℜ{𝐇𝑒𝑖𝜔𝑡}𝓓 = ℜ{𝐃𝑒𝑖𝜔𝑡}𝓑 = ℜ{𝐁𝑒𝑖𝜔𝑡}𝓙 = ℜ{𝐉𝑒𝑖𝜔𝑡}𝜌 = ℜ{𝜌𝑒𝑖𝜔𝑡}

⎧{{⎨{{⎩

∇ × 𝐄 = −𝑖𝜔𝐁∇ × 𝐇 = 𝐉 + 𝑖𝜔𝐃∇ ⋅ 𝐃 = 𝜌∇ ⋅ 𝐁 = 0

Similarmente para os potenciais vetor e escalar obtemos:

{ 𝓐 = ℜ{𝐀𝑒𝑖𝜔𝑡}𝒱 = ℜ{𝑉 𝑒𝑖𝜔𝑡} ⇒ {

∇2𝐀 + 𝜔2𝜇𝜀𝐀 = −𝜇𝐉∇2𝑉 + 𝜔2𝜇𝜀𝑉 = −𝜌

𝜀

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Relações constitutivas

Podemos olhar para a representação fasorial como a componente em uma dada frequência paraa transformada de Fourier da grandeza em questão. Assim, a convolução que existe nas relaçõesconstitutivas para meios dispersivos (com perdas) transforma-se em simples multiplicação nodomínio da frequência:

𝐃 = 𝜀(𝜔)𝐄 𝐁 = 𝜇(𝜔)𝐇

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Vetor de PoyntingComo o vetor de Poynting envolve um produto entre os campos, perdemos a relação delinearidade, então um pouco mais de cuidado é necessário:

𝓟 = 𝓔 × 𝓗 = 𝐄𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝐄∗𝑒−𝑖𝜔𝑡

2× 𝐇𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝐇∗𝑒−𝑖𝜔𝑡

2= 1

2ℜ{𝐄 × 𝐇∗} + 1

2ℜ{𝐄 × 𝐇𝑒𝑖2𝜔𝑡}

Conhecendo a dependência temporal do vetor de Poynting podemos calcular seu valor médio:

𝐏𝑚 = 1𝑇

𝑇

∫0

𝓟 d𝑡 = 12

ℜ{𝐄 × 𝐇∗}, onde 𝑇 = 2𝜋𝜔

Definimos então o vetor de Poynting complexo:

𝐏 = 12

𝐄 × 𝐇∗

de modo que a densidade de potência média transmitida é 𝐏𝑚 = ℜ{𝐏}.

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Teorema de Poynting

Com base no resultado anterior, utilizamos a seguinte identidade para deduzir o teorema dePoynting no domínio da frequência:

∇ ⋅ (𝐄 × 𝐇∗) = 𝐇∗ ⋅ (∇ × 𝐄) − 𝐄 ⋅ (∇ × 𝐇∗)

Seguindo os mesmo passos da derivação passada (e considerando 𝜀 e 𝜇 reais):

∇ ⋅ 𝐏 = 𝑖2𝜔 (14

𝜀|𝐄|2 − 14

𝜇|𝐇|2) − 12

𝜎|𝐄|2 ⇔

⇔ ∯∂𝑉

𝐏 ⋅ d𝐒 = 𝑖2𝜔 ∭𝑉

(14

𝜀|𝐄|2 − 14

𝜇|𝐇|2) d𝑉 − ∭𝑉

12

𝜎|𝐄|2 d𝑉

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Exercícios sugeridos

Cheng:

• R.7-7

• R.7-27

• P.7-2

• P.7-5

• P.7-7

• P.7-10

• P.7-15

Sadiku:

• P 9.3

• P 9.11

• P 9.12

• P 9.22