NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMONotas de aula de Eletromagnetismo – Prof. Dr. Helder Alves Pereira Torque e momento magnéticos • Tendo considerado a força sobre uma espira de

Notas de aula de Eletromagnetismo – Prof. Dr. Helder Alves Pereira

NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA

Prof. Dr. Helder Alves PereiraMarço, 2019


- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS -

1. Estágio I: Campos eletrostáticos.

2. Estágio II: Campos elétricos em meio material.

3. Estágio III: Problemas de valor de fronteira em eletrostática.

4. Estágio IV: Campos magnetostáticos.

5. Estágio V: Forças, materiais e dispositivos magnéticos.









FORÇAS, MATERIAIS E DISPOSITIVOS MAGNÉTICOS

- TÓPICOS DAS AULAS -

1. Forças devido aos campos magnéticos.

2. Torque e momento magnéticos.

3. Dipolo magnético.

4. Magnetização em materiais.

5. Classificação dos materiais magnéticos.

6. Condições de fronteira magnéticas.

7. Indutores e indutâncias.

8. Energia magnética.

9. Circuitos magnéticos.


Forças devido aos campos magnéticos

• Há pelo menos três maneiras da força provocada por camposmagnéticos se manifestar:

1. Movimento de partículas carregadas submetidas a umcampo magnético externo.

2. Presença de um elemento de corrente em um campomagnético externo.

3. Interação entre dois elementos de corrente.


1. Força sobre partícula carregada:

– Um campo magnético pode exercer força somente sobre umacarga em movimento.

– Desse modo, a força magnética experimentada por umacarga Q em movimento, com velocidade u em um campomagnético B, é dada por

sendo perpendicular à direção da velocidade e à do campomagnético, portanto, não realiza trabalho.

÷øö

çèæ ´=

®®®

BuQFm

0m =×®®

ldF


– Para uma carga Q em movimento, na presença de um campoelétrico e de um campo magnético simultaneamente, a forçatotal sobre a carga é dada por

÷øö

çèæ ´+=

÷øö

çèæ ´+=+=

®®®®

®®®®®®

BuEQF

BuQEQFFF me

Equação da força de Lorentz


2. Força sobre um elemento de corrente:

– Para determinarmos a força sobre um elemento de correnteIdl, devido a um campo magnético externo B, partimos dasseguintes expressões

– Uma carga elementar dQ, se movimentando com umavelocidade u, é equivalente a um elemento de corrente decondução Idl.

÷øö

çèæ ´=

===

®®®

®®

®®

BuQF

udQdtlddQld

dtdQlId

m


– Portanto, temos que

caso a corrente I percorra um caminho fechado L, ou umcircuito.

– Devemos ter em mente que o campo magnético produzidopelo elemento de corrente Idl não exerce força sobre elemesmo.

– O campo B, que exerce força sobre Idl, deve ser gerado porum outro elemento, ou seja, B é externo ao elemento decorrente Idl.

ò®®®

®®®®®

´=

´=÷øö

çèæ ´=

LBlIdF

BlIdBudQFd

m

m


– Se, ao invés do elemento de corrente em uma linha (Idl),tivermos elementos de corrente em uma superfície (KdS) ouem um volume (Jdv), temos que

®®®

®®®

´=

´=

BdvJFd

BdSKFd

m

m


3. Força entre dois elementos de corrente:

– De acordo com a lei de Biot-Savart, ambos os elementos decorrente geram campos magnéticos.

– Dessa forma, podemos determinar a força d(dF1) sobre oelemento I1dl1 devido ao campo dB2, gerado pelo elemento decorrente I2dl2.

Figura 1


– Dessa forma, as densidades de fluxo magnético geradaspelos elementos de correntes são dadas por

– Portanto, as forças exercidas pelos campos externos noselementos de corrente são dadas por

0321

2122203

21

21111 4

e4

µp

µp R

RldIBdRRldIBd

®®®

®®® ´

=´

-=

òò®®

®

®®®

®

®

®®

®

®®®

®

®

´=´=

´=´=

211222121112

1222121112

e

e

LLBldIFBldIF

BldIFdBldIFd


– Substituindo as expressões dos campos magnéticos externosobtemos

2112

321

212121

021

321

212121

012

1 2

1 2

4

4

®

®

®

®

®®®

®

®

®®®

®

®

-=

÷øö

çèæ ´´

-=

÷øö

çèæ ´´

=

ò ò

ò ò

FF

R

RldldIIF

R

RldldIIF

L L

L L

pµ

pµ


Exercícios

1. Uma partícula carregada de massa 1 kg e carga 2 C, parte daorigem, com velocidade inicial zero, em uma região ondeE=3âz V/m. Determine:a) A força sobre a partícula.b) O tempo que a partícula leva para alcançar o pontoP (0, 0, 12).c) A velocidade e a aceleração da partícula em P.d) A energia cinética da partícula em P.

2. Uma partícula carregada se move com uma velocidade uniforme4âx m/s em uma região onde E=20ây V/m e B=B0âz Wb/m².Determine B0 tal que a velocidade da partícula permaneçaconstante.


Exercício

3. Uma espira retangular, percorrida por uma corrente I2, écolocada paralelamente a um fio infinitamente longo, percorridopor uma corrente I1, como mostrado na figura 2. Determine:a) A expressão da força sobre a espira.b) A força sobre o fio infinitamente longo,se I1=10 A, I2=5 A, ρ0=20 cm, a=10 cm eb=30 cm.

Figura 2


Torque e momento magnéticos

• Tendo considerado a força sobre uma espira de corrente em umcampo magnético, podemos determinar o torque sobre ela.

• Se a espira for colocada paralelamente a um campo magnético,ela sofre uma força que tende a girá-la.

• O torque T, ou momento mecânico de força sobre a espira, é oproduto vetorial entre o braço de alavanca r e a força F, ou seja,

onde a unidade do torque é dada em Newton-metro.

®®®

´= FrT


• Considerando uma espira retangular, de comprimento l e larguraw, submetida a um campo magnético uniforme, temos

Figura 3


• Ou seja, nenhuma força é exercida na espira como um todo.

• Entretanto, Fo e -Fo agem em diferentes pontos sobre a espira e,com isso, geram um conjugado.

( ) ( ) ( ) ( )

0yoyoyxyx

14xxz

32xxz

=-=-=

´-´=

´=

òòò

--

®®®

âFâFâIlBâIlB

âBIdzââBIdzâ

BlIdF


• Se a normal ao plano da espira faz um ângulo α com B, o torquesobre a espira é dado por

Figura 4

aaa sensenseno BISBIlwwFT ===®®

S = l w => Representa a área da espira.


• Definimos

como o momento dipolo magnético da espira em A m².

• O momento dipolo magnético é o produto entre a corrente e aárea da espira. Sua direção é perpendicular à espira.

• Dessa forma, temos que

nISâm =®

®®®

´= BmT


• Essa expressão é geralmente aplicável para determinar o torquesobre uma espira plana, em qualquer formato, embora tenhasido obtida para uma espira retangular.

• A única limitação é que o campo deve ser uniforme.


Exercício

4. Uma bobina retangular, de área 10 cm², é percorrida por umacorrente de 50 A e está sobre o plano 2x + 6y - 3z = 7, tal que omomento magnético da bobina está orientado para fora daorigem. Calcule seu momento magnético.


Dipolo magnético

• Um ímã, ou uma espira filamentar de corrente, é usualmentereferido como dipolo magnético.

Figura 5

• Podemos determinar o campomagnético B em um ponto P (r, θ, φ)devido a uma espira circular,percorrida por uma corrente I, daseguinte forma:― Determinando A.― Simplificando a expressão

encontrada para camposdistantes (r >> a).

― Determinando B.


• Dessa forma, encontramos

( )θr30 sencos24

âârmAB qqpµ

+=´Ñ=®®®


• Podemos fazer um comparativo das expressões determinadaspara os campos elétrico e magnético da seguinte forma

Figura 6


• Um ímã, ou uma espira filamentar de corrente, é usualmentereferido como dipolo magnético.

Figura 7


Magnetização em materiais

• Sabemos que um dado material é composto de átomos.

• Cada átomo pode ser considerado como constituído de elétronsorbitando em torno de um núcleo central positivo.

Figura 8


• Os elétrons também giram em torno de seus próprios eixos.

• Portanto, um campo magnético interno é gerado pelos elétronsque orbitam em torno do núcleo ou pela rotação dos elétrons emtorno de si mesmos.

Figura 9


• Esses dois movimentos eletrônicos geram campos magnéticosinternos Bi que são similares ao campo magnético produzido poruma espira de corrente.

Figura 10


• Sem um campo externo B aplicado ao material, a soma dosmomentos de dipolo magnético é igual a zero devido à orientaçãoaleatória dos mesmos.

Figura 11


• Quando um campo externo B é aplicado, os momentosmagnéticos dos elétrons tendem a se alinhar com B, tal que omomento magnético líquido é diferente de zero.

Figura 12


• Se há N átomos em um dado volume Δv e o k-ésimo átomo temum momento de dipolo magnético igual a mk, temos que

representando a densidade de polarização magnética do meio.

v

mM

N

kk

v D=

å=

®

®D

®1

0lim


• Um meio para o qual M não é zero em nenhum ponto é ditomagnetizado.

• Para um volume diferencial dv’, o momento magnético é dadopor

• Desse modo,

'dvMmd®®

=

'4

'4 3

02R0 dv

RRMdv

RâMAd

pµ

pµ

®®®® ´

=´

=


• Integrando dA por todo o volume e considerando que

ò ò®®®®

®®®

®

´-=´Ñ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ´Ñ-´Ñ=÷

øö

çèæÑ´

÷øö

çèæÑ=

v S

dSFdvF

RMM

RRM

RRR

'''

''11'

1'3


• Temos que

onde:

òò®®

®

+='

m0

'

m0 '4

'4 Sv

dSRKdv

RJA

pµ

pµ

®®®

´Ñ= MJmRepresenta a densidade decorrente de magnetização ligada,em um volume, em A/m².

nâMK ´=®®

m

Representa a densidade decorrente ligada em umasuperfície, e ân é o vetor normal àsuperfície.


• No espaço livre, temos que M=0, logo

onde Jf representa a densidade de corrente livre em um volume.

®®

®®®®

=÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ´Ñ=´Ñ f

0f ou JBJH

µ


• Em um meio material M é diferente de zero, dessa forma

ou

®®®®

®®®®

®

´Ñ+´Ñ=

=+=÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ´Ñ

MH

JJJBmf

0µ

÷øö

çèæ +=

®®®

MHB 0µ


• Para materiais lineares, temos que

®®

= HM mcRepresenta a susceptibilidade magnética do meio


• Dessa forma

( )®®

®®®

=+=

÷øö

çèæ +=

HH

HHB

rµµcµ

cµ

0m0

m0

1Representa a permeabilidade relativa do meio


Classificação dos materiais magnéticos

• Em geral, podemos usar a susceptibilidade magnética (χm), ou apermeabilidade magnética relativa (µr), para classificar osmateriais em termos de suas propriedades magnéticas, ou deseu comportamento magnético.

• Um material é dito não magnético se χm=0 (ou µr=1). Ele émagnético caso essa condição não se verifique.

• Espaço livre, ar e materiais com χm=0 (ou µr≈1) são consideradosnão-magnéticos.

( )®®®

=+= HHB r0m0 1 µµcµ


• Em termos gerais, os materiais magnéticos podem ser agrupadosem três categorias principais, são elas:

1. Diamagnéticos2. Paramagnéticos3. Ferromagnéticos

Figura 13


• O diamagnetismo ocorre em materiais em que os camposmagnéticos, devido aos movimentos de translação dos elétronsem torno do núcleo e de rotação dos elétrons em torno de seuspróprios eixos, se cancelam mutuamente.

• Desse modo, o momento magnético permanente (ou intrínseco)de cada átomo é zero, e os materiais são fracamente afetadospelo campo magnético.

Figura 14


• Os materiais cujos átomos têm um momento magnéticopermanente diferente de zero podem ser ou paramagnéticos ouferromagnéticos.

• O paramagnetismo ocorre em materiais para os quais os camposmagnéticos produzidos pelos movimentos de translação doselétrons em torno do núcleo e de rotação dos elétrons em tornode seus próprios eixos não se cancelam completamente.

Figura 15


• O ferromagnetismo ocorre em materiais para os quais os átomostêm momento magnético permanente relativamente grande.

• São denominados materiais ferromagnéticos porque o materialmais conhecido dessa categoria é o ferro.

• Outros materiais são o cobalto, o níquel e seus compostos.


• De forma distinta dos materiais diamagnéticos e dosparamagnéticos, os materiais ferromagnéticos apresentam asseguintes propriedades:– São capazes de serem magnetizados fortemente por um

campo magnético.

– Retêm um grau considerável de magnetização quandoretirados do campo.

– Perdem suas propriedades ferromagnéticas e tornam-semateriais paramagnéticos lineares quando a temperatura ficaacima de um certo valor (temperatura Curie).

– São não-lineares, isto é, a relação constitutiva B=µ0µrH nãose verifica para materiais ferromagnéticos porque µr dependede B e não pode ser representado por um único valor.


• Embora B=µ0(H+M) seja válida para todos os materiais, inclusiveos ferromagnéticos, a relação entre B e H depende damagnetização prévia do material ferromagnético, isto é, suahistória magnética.

• Ao invés de termos uma relação linear entre B e H, somente épossível representar essa relação pela curva de magnetização oucurva B-H.


Figura 16

Material linear


Figura 17

Curva B-H


Figura 18

Material desmagnetizado


Figura 19

Curva inicial de magnetização


Figura 20

Ponto de saturação


Figura 21

Histerese

Atraso de B em relaçãoà diminuição de H


Figura 22

Densidade de fluxo remanente

Causa de ímâspermanentes


Figura 23

Intensidade de campo coercitiva

HC = 0


Figura 24

Laço de histerese

O formato varia de ummaterial para outro


Figura 25

Laço de histerese

A área representa a energiaperdida por unidade devolume durante um ciclo demagnetização


Exercício

5. Em uma certa região (µ=4,6µ0),

encontre:

a) Χm.

b) H.

c) M.

mWb/m²10 zâeB y-®

=


Condições de fronteira magnéticas

• São definidas como as condições que o campo H, ou B, devesatisfazer na fronteira entre dois meios diferentes.

• Fazemos uso da lei de Gauss para campos magnéticos e da leicircuital de Ampère.

IdlHdSB =×=×®®®®

òò e0


• Considerando a fronteira entre dois meios magnéticos 1 e 2caracterizada, respectivamente, por µ1 e µ2, temos

( ) 0

22

N2N1

T2N2T1N1

=D-=

D+D-D+D=×ò®®

SBB

hBSBhBSBSdB prpr

Meio 1 (µ1)

Meio 2 (µ2)

B2

B2T

B2N

B1

B1T

B1N

Δh

ΔS

θ1

θ2

Figura 26

ân12


• Ou seja, a componente normal de B é contínua na fronteira.

• Dessa forma, em relação a H, obtemos que

2211N2N1 coscos qq BBBB =Þ=

N22N11

N2N1

HHBBµµ =

=A componente normal de H édescontínua na fronteira.


• Aplicando

IldH =×®®

òMeio 1 (µ1)

Meio 2 (µ2)

a

d

b

cΔw

Δh

H2

H2T

H2N

H1

H1T

H1N

θ1

θ2

X X X X X

Corrente na superfície da fronteirae normal ao caminho.

K

Figura 27

ân12


• Temos que

( )KHH

wKwHHwK

hHwHhH

hHwHhHldH

=-D=D-

D=

D+D-

D-

D-D+

D=×ò

®®

T2T1

T2T1

N2T2N2

N1T1N1

22

22


• Ou seja, a componente tangencial de H na superfície édescontínua.

• Se a fronteira está livre de corrente, ou os meios não sãocondutores, então K=0 e

• Dessa forma, temos que

T2T1 HH =

2

T2

1

T1

µµBB

= A componente tangencial de B édescontínua na fronteira.


• No caso geral,

considerando que ân12 representa o vetor unitário normal àinterface e orientado do meio 1 para o meio 2.

• Se a fronteira está livre de corrente, ou os meios não sãocondutores, então K=0, logo temos que

T2T1

®®

= HH2

T2

1

T1

µµ

®®

=BB

®®®

=´÷øö

çèæ - KâHH n1221


• Considerando uma fronteira onde não há qualquer fonte decorrente na superfície da interface de separação, temos que

Meio 1 (μ1)

Meio 2 (μ2)

B2

B1

θ1

θ2

2211

N2N1

coscos qq BBBB=

=

2

22

1

11

2

T2

1

T1

T2T1

sensenµq

µqµµBB

BBHH

=

=

=

ân12

Figura 28


• Dessa forma,

• Essa expressão representa a lei da refração para linhas de fluxomagnético.

2

1

2

1

2

2

1

1

tgtgoutgtg

r

r

µµ

qq

µq

µq

==


Exercícios6. A região 1, descrita por 3x + 4y ≥ 10, é um espaço livre,

enquanto que a região 2, descrita por 3x + 4y ≤ 10, é ummaterial magnético para o qual µ≈10µ0. Assumindo que afronteira entre o material e o espaço livre seja livre de corrente,determine B2, se B1 = 0,1âx + 0,4ây + 0,2âz Wb/m².

7. Um vetor unitário normal apontando da região 2 (µ=2µ0) para aregião 1 (µ=µ0) é ân21 = (6âx + 2ây - 3âz)/7. Se H1 = 10âx + ây +12âz A/m e H2 = H2xâx - 5ây + 4âz A/m, determine:

a) O vetor H2x.

b) A densidade de corrente K na interface.

c) Os ângulos que B1 e B2 fazem com a normal à interface.


Indutores e indutâncias

• Um circuito, ou um caminho fechado condutor, que é percorridopor uma corrente I gera um campo magnético B.

• Este campo B gera um fluxo

que atravessa cada espira do circuito.

ò®®

×=S

SdBy

Figura 29


• Se o circuito tiver N espiras idênticas, definimos o fluxoconcatenado (λ) como

• Ainda, se o meio que circunda o circuito é linear, o fluxoconcatenado é proporcional à corrente que o gerou, ou seja,

onde L é uma constante de proporcionalidade denominadaindutância do circuito.

• A indutância L é uma propriedade que é função da geometria docircuito.

yl N=

LII =®µ ll


Figura 30


• Um circuito, ou parte de um circuito, que tem uma indutância édenominado indutor.

• Podemos definir a indutância L de um indutor como a razãoentre o fluxo magnético concatenado e a corrente através doindutor, ou seja,

• O fluxo concatenado é gerado pelo próprio indutor.

• A unidade de indutância é o henry (H), que é equivalente àunidade de webers/ampère (Wb/A).

IN

IL yl

== Comumente referida comoauto-indutância.


• Podemos considerar a indutância como uma medida daquantidade de energia magnética que pode ser armazenadadentro de um indutor.

• A energia magnética (em joules) armazenada em um indutor éexpressa como

2m2

m2

21

IWLLIW =®=


• Se, ao invés de termos um circuito, tivermos dois circuitospercorridos por correntes I1 e I2, uma interação magnéticaexistirá entre os circuitos.

• Quatro componentes de fluxo (ψ11, ψ12, ψ21 e ψ22) são geradas.

Figura 31


• O fluxo ψ12 representa o fluxo que passa através do circuito 1devido à corrente I2 no circuito 2.

• Se B2 é o campo devido à I2 e S1 é a área do circuito 1, entãoFigura 32

ò®®

×=1

212S

SdBy


• Definimos a indutância mútua M12 como a razão entre o fluxoconcatenado λ12 = N1ψ12 sobre o circuito 1 devido à corrente I2 nocircuito 2, ou seja,

Figura 33

2

121

2

1212 I

NI

M yl==


• De maneira similar, a indutância mútua M21 é definida como ofluxo concatenado no circuito 2 por unidade de corrente I1, ouseja,

Figura 34

1

212

1

2121 I

NI

M yl==


• Se o meio que circunda os circuitos é linear, ou seja, ausência dematerial ferromagnético, temos que M12=M21.

• A indutância mútua é expressa em henrys (H).

• Dessa forma, a auto-indutância dos circuitos 1 e 2,respectivamente, podem ser definidas como

onde ψ1=ψ11 + ψ12 e ψ2= ψ21 + ψ22.

2

22

2

222

1

11

1

111 e

IN

IL

IN

IL ylyl

====


• A energia total no campo magnético é a soma das energiasdevido a L1, L2 e M12 (ou M21), ou seja,

• O sinal positivo é considerado se as correntes I1 e I2 fluem talque os campos magnéticos dos dois circuitos se reforçam.

• Se as correntes fluem de tal modo que seus campos magnéticosse opõe, o sinal é considerado negativo.

2112222

2111221m 21

21 IIMILILWWWW ±+=++=


• Um indutor é um condutor montado com formato adequado paraarmazenar energia magnética.

• Exemplos típicos de indutores são toróides, solenóides, linhas detransmissão coaxial e linhas de transmissão de fios paralelos.

• A indutância de cada um desses indutores pode ser determinadapelo seguinte procedimento:

– Escolhe-se um sistema de coordenadas apropriado.– Considera-se que o indutor é percorrido por uma corrente I.– Determina-se B a partir da lei de Biot-Savart, ou a partir da

lei de Ampère, desde que se constate presença de simetria.– Calcula-se o fluxo magnético.– Determina-se o valor da indutância.

INL y

=


• Em um indutor, tal como uma linha de transmissão coaxial ouuma linha de transmissão de fios paralelos, a indutânciaproduzida pelo fluxo interno ao condutor é denominadaindutância interna (Lin).

• Enquanto que a produzida pelo fluxo externo é denominadaindutância externa (Lext).

• A indutância total L é dada por

de forma que

extin LLL +=

µe=CLext


Energia magnética

• Considere um volume diferencial em um campo magnético.

Figura 35


• Seja o volume coberto com lâminas metálicas condutoras nassuperfícies do topo e da base percorridas por uma corrente ΔI.

• Assumimos que toda a região está preenchida com tais volumesdiferenciais.

Figura 36


• Dessa forma, cada volume diferencial tem uma indutância de

onde ΔI=H Δy.

• Com isso, temos que

IzxH

IL

DDD

=DD

=Dµy

vHW

zyxHILW

D=D

DDD=DD=D

2m

22m

21

21

21

µ

µ


• A densidade de energia magnetostática wm, em J/m³, é definidacomo

• Desse modo, a energia em um campo magnetostático,considerando um meio linear, é dada por

que é similar à equação da energia para um campoelestrostático.

òòò =×==®®

dvHdvHBdvwW 2mm 2

121 µ

𝑤" = lim∆(→*

∆𝑊"∆𝑣 =

12𝜇𝐻

1 =12𝐵𝐻 =

𝐵1

2𝜇


Exercícios

8. Calcule a auto-indutância, por unidade de comprimento, de umsolenóide infinitamente longo.

9. Um solenóide muito longo, com seção reta de 2 x 2 cm, tem umnúcleo de ferro (µr=1000) e 4000 espiras/metro. Se o solenóidefor percorrido por uma corrente de 500 mA, determine:

a) Sua auto-indutância por metro.

b) A energia armazenada, por metro, nesse campo.


Exercício

10. Determine a auto-indutância de um cabo coaxial de raio internoa e raio externo b.

Figura 37


Exercício

11. Determine a indutância, por unidade de comprimento, de umalinha de transmissão a dois fios, com separação entre eles de d.Cada fio tem um raio a.

Figura 38


Exercício

12. Dois anéis circulares coaxiais de raios a e b (b>a) estãoseparados por uma distância h (h >> a, b) como mostrado nafigura 39. Determine a indutância mútua entre os anéis.

Figura 39


Exercício

13. Determine a indutância mútua de duas espiras circulares,coplanares e concêntricas de raios 2 m e 3 m.


Circuitos magnéticos

• O conceito de circuitos magnéticos está baseado na resolução dealguns problemas de campo magnético utilizando a abordagemde circuitos.

• Dispositivos magnéticos como toróides, transformadores,motores, geradores e relés podem ser considerados circuitosmagnéticos.

• A análise desses circuitos é simplificada se uma analogia entrecircuitos elétricos e magnéticos for explorada.

• Uma vez feito isso, podemos diretamente aplicar conceitos decircuitos elétricos para resolver circuitos magnéticos análogos.


• Resumo da analogia entre circuitos elétricos e magnéticos

Figura 40


• Analogia entre um circuito elétrico e um circuito magnético

Figura 41


• Definimos a força magnetomotriz (fmm), em ampères-espiras,como

• A fonte de fmm em circuitos magnéticos é usualmente umabobina percorrida por uma corrente.

• Definimos também relutância, em ampères-espiras/weber, como

onde l e S são, respectivamente, o comprimento médio e a áreada seção reta do núcleo magnético.

ò®®

×==Á ldHNI

Slµ

=Â


• O recíproco da relutância é a permeância.

• A relação básica para elementos de circuitos é a lei de Ohm(V=RI), ou seja,

• Baseado nisso, as leis de Kirchhoff de corrente e de tensãopodem ser aplicadas aos nós e às malhas de um determinadocircuito magnético da mesma forma como em um circuitoelétrico.

• As regras de soma de tensões e de combinação de resistênciasem série e em paralelo também são válidas para fmm’s erelutâncias.

Â=Á y


• Para n elementos de circuito magnético em série, temos

• Para n elementos de circuito magnético em paralelo, temos

n

n

Á++Á+Á+Á=Á====...

...

321

321 yyyy

n

n

Á==Á=Á=Á++++=

......

321

321 yyyyy


• Algumas diferenças entre circuitos elétricos e magnéticos devemser destacadas:

– Diferentemente de um circuito elétrico onde flui corrente I, ofluxo magnético não flui.

– A condutividade (σ) é independente da densidade de corrente(J) em um circuito elétrico, enquanto que a permeabilidade(µ) varia com a densidade de fluxo magnético (B) em umcircuito magnético. Isso porque materiais ferromagnéticos,não lineares, são normalmente utilizados na maioria dosdispositivos magnéticos práticos.

• Apesar dessas diferenças, o conceito de circuito magnético é útilcomo uma análise aproximada dos dispositivos magnéticospráticos.


Exercício

14. O núcleo toroidal da figura 42 tem ρ0=10 cm e uma seção retacircular com a=1 cm. Se o núcleo é feito de aço (µr=1000) e temuma bobina com 200 espiras, calcule a intensidade de correnteque irá gerar um fluxo de 0,5 mWb no núcleo.

Figura 42


Exercício

15. O toróide da figura 43 tem uma bobina com 1000 espirasenroladas em torno de seu núcleo. Se ρ0=10 cm e a=1 cm, quala corrente necessária para estabelecer um fluxo magnético de0,5 mWb:

a) Se o núcleo é não magnético ?

b) Se o núcleo tem µr=500 ?

Figura 43


Exercício

16. No circuito magnético da figura 44, calcule a corrente na bobinaque irá gerar uma densidade de fluxo magnético de 1,5 Wb/m²no entreferro de ar, assumindo que µr=50, e que todos ostrechos do núcleo tenham a mesma área de seção reta de10 cm².

Figura 44


Referências• SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo. 5ª edição – 2012. Editora

Bookman.









NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA

Prof. Dr. Helder Alves PereiraMarço, 2019

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NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMONotas de aula de Eletromagnetismo – Prof. Dr. Helder Alves Pereira Torque e momento magnéticos • Tendo considerado a força sobre uma espira de