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Notas de aula de Introdução à Matemática – período2009.1
João Bosco Nogueira
25 de março de 2011
ii
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Sumário
Sumário iii
1 Conjuntos Numéricos 11.1 Operações com números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Potenciação e Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Expressões Algébricas 52.1 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Produtos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Equações 93.1 Equações Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Funções 114.1 Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2.1 Funções especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 De volta às equações 175.0.2 Equações do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.0.3 Equações do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6 Sistema de equações lineares 236.1 Estudo de um sistema de duas equações lineares a duas incógnitas . . . . . . 24
7 Operações simples com números complexos 27
8 Exponenciais e logarítmos 31
iv SUMÁRIO
9 Razão, proporção, proporcionalidade 33
10 Permutações e Combinações e o Binômio de Newton 3510.1 Permutações, Combinações e Arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.2 O Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11 Progressões aritméticas e geométricas 41
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1Conjuntos Numéricos
Os conjuntos numéricos compõe uma parte fundamental da Matemática, notadamente nocontexto de aplicação a outros campos de estudo. Atualmente tais conjuntos englobam osnúmeros naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, denotados respectivamente por N,Z, Q, R e C. Os três primeiros podem ser apresentados de maneira direta e simples, comona seqüência:
N = f0 1 2 3 ¢ ¢ ¢ gZ = f¢ ¢ ¢ ¡3¡2¡1 0 1 2 3 ¢ ¢ ¢ g = f0§1§2§3 ¢ ¢ ¢ g
Q =
½
: e 2 Z, 6= 0
¾
Note que os dois primeiros conjuntos são apresentados com forte apêlo ao bom senso e auma espécie de noção intuitiva de recursão, propriedade intrínseca ao conjunto dos númerosnaturais, "escondida"às vezes sob o apelido de existência de sucessor. Quanto ao conjunto dosnúmeros racionais, a apresentação usa o conjunto dos inteiros (Z) e introduz uma simbologiaque é a da fração, que por sua vez precisa de uma informação adicional: a equivalência. Duasfrações são ditas equivalentes ou iguais de acordo com o seguinte1:
=
() =
neste caso dizemos que representam o mesmo número racional. Também se torna necessário,no sentido de fazer com que os números racionais englobem os inteiros, que se faça a con-
1Uma de…nição em Matemática é sempre “arbitrária”, apenas se exige que não cause dúvida e que seja coerente. Veja osseguintes exemplos de “de…nição”:
De…nição 1 uma fração
é feia se + é ímpar.
De…nição 2 um número racional
é feio se + é ímpar.
A primeira de…nição não é dúbia (de…ne algo), enquanto a segunda não pode ser aceita, pois depende da representação donúmero ( 1
4= 2
8portanto esse número seria feio ou não, conforme sua representação).
2 1. Conjuntos Numéricos
venção de que as frações de denominador 1 representem o número inteiro correspondente aoseu numerador.
A construção do conjunto dos números reais é extremamente técnica e foge do escopo dequalquer texto introdutório de Matemática. Apresentaremos R como sendo o conjunto dosnúmeros identi…cados com os pontos da reta numérica. Esta forma se deve ao fato de que osnúmeros racionais são identi…cados de forma simples com pontos da reta numérica, usandoos conhecimentos de Geometria Plana, como ilustrado a seguir.
Figura 1
O conjunto dos números complexos, C será estudado mais adiante.
1.1 Operações com números
As operações com números são as usuais, denominadas de Adição e Multiplicação, …candosubentendidas as operações de…nidas a partir destas (subtração e divisão). São supostasconhecidas as regras ou algorítmos. São supostas conhecidas as operações com númerosinteiros, porisso apenas apresentamos as de…nições de adição e multiplicação de frações eenunciamos logo em seguida as propriedades básicas.
De…nição 1 Dados os números racionais =
e =
de…nimos
+ = +
e £ =
Observação 1 Para os números reais , e são válidas as propriedades a seguir:
(i) + (+ ) = (+ ) + (Associatividade da Adição)
(ii) + = + (Comutatividade da Adição)
(iii) + 0 = (Existência de Elemento Neutro da Adição)
(iv) 9 ¡ 2 R satisfazendo à relação + (¡) = 0 (Existência de Opostos)
(v) ¢ ( ¢ ) = ( ¢ ) ¢ (Associatividade da Multiplicação)
(vi) ¢ = ¢ (Comutatividade da Multiplicação)
(vii) ¢ 1 = (Existência de Elemento Neutro da Multiplicação)
(viii) 9¡1 2 R satisfazendo à relação ¢ (¡1) = 1 (Existência de Inversos)
1.2 Potenciação e Radiciação 3
(ix) ¢ (+ ) = ¢ + ¢ (Distributividade)
Estas propriedades têm por objetivo completar a apresentação do conjunto dos númerosreais e são úteis no estudo das expressões algébricas.
1.2 Potenciação e Radiciação
A potenciação é uma operação que pode ser considerada como notação simpli…cada de certasoperações. No caso de expoentes inteiros positivos isto é feito de maneira recursiva. Umaoperação (ou um raciocínio) está na forma recursiva, quando é de…nida inicialmente paraum número inteiro e, a partir daí se de…ne usando o conceito de sucessor, como no exemploque segue.
De…nição 2 Seja um número real não nulo e um inteiro não negativo (ou natural).Neste caso de…ne-se da seguinte forma:
0 = 1
+1 = ¢
Exemplo 1 31 = 30 ¢ 3 = 3
Exemplo 2 35 = 34 ¢ 3 = (33 ¢ 3) ¢ 3 = [(32 ¢ 3) ¢ 3] ¢ 3 = f[(31 ¢ 3) ¢ 3] ¢ 3g ¢ 3.
Na de…nição apresentada, o número é denominado base e é o expoente, enquantoo resultado é denominado potência. Observe também que, no caso de expoente positivo,a potência corresponde ao produto cujos fatores são iguais à base e o número dêles é oexpoente. A exigência de que a base seja não nula tem uma razão especial que será estudadanos exercícios. Para manter coerência com as propriedades conhecidas das potências, de…ne-se potência com expoentes inteiros negativos da seguinte maneira.
De…nição 3 Seja um número real não nulo e um inteiro positivo (ou natural). Nestecaso de…ne-se
¡ =1
Exemplo 3 7¡1 = 17
Exemplo 4 2¡3 = 123= 1
8
Exemplo 5¡12
¢¡5= 32 (veri…que).
A de…nição de radiciação, apesar de simples, é indireta, mas é necessária quando se pre-tende de…nir expoente racional.
De…nição 4 Sejam e números reais não nulos, de mesmo sinal e um inteiro positivo.Se = , então de…ne-se
p = .
A partir da radiciação se de…ne expoente fracionário.
4 1. Conjuntos Numéricos
Exemplo 6 5p
¡32 = ¡2; 4p81 = 3
De…nição 5 Se é um número real não negativo e = , então de…ne-se
= p
Observação 2 não há coerência na de…nição dada, caso se admita negativo. Por exemplo,se = ¡1 e = 3, sabendo que
2
6=1
3,
teríamos:13 = (¡1)
13 = 3
p¡1 = ¡1
e também
13 =
26 = (¡1)
26 =
6
q(¡1)2 = 6
p1 = 1
que é uma contradição inadmissível.
Observação 3 Para os números reais não negativos , e e para os números racionais e, são válidas as propriedades a seguir:
(i) ¢ = +
(ii)
= ¡
(iii) () =
(iv) ( ¢ ) = ¢ (v)
¡
¢=
Observação 4 No caso de expoentes inteiros positivos as propriedades (i), (iii) e (iv) sãoválidas, mesmo que as bases envolvidas sejam negativas ou nulas.
Exemplos 1 Con…ra os exemplos a seguir
(a) 22 ¢ 26 = 22+6 = 28.
(b) 52
55= 52¡5 = 53
(c)³334
´ 23= 3
34£ 23 = 3
12 =
p3
(d) (2 ¢ 3)4 = 24 £ 34 = 1296
(e)¡23
¢4= 24
34= 16
81
Exercícios 1 Calcule:
(a) 25
(b) (¡2)5
(c) ¡25
(d) (¡2)6
(e) 118
(f) 04
(g)¡¡12
¢6
(h) (0 01)3
Exercícios 2 Simpli…que as expressões:
(a) 25
432
£ 34 £ 12823
(b) 25 ¢ 2¡3
(c) 5p1 + 6
p0 + 4
p81
(d) 4p81 + 3
p¡125¡ 3
p64
(e) 212 ¢ 2 13 ¢ 216
(f) 253 ¢2
72
216
(g) (32)56
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2Expressões Algébricas
Existem basicamente dois tipos de problemas em que o uso de expressões algébricas sim-pli…ca sua resolução: aqueles em que se procura um ou mais valores numéricos satisfazendocertas relações estabelecidas (equações ou inequações) e aqueles em que se busca descrever ocomportamento de parâmetros interdependentes. Nos dois casos, os valores numéricos ou osparâmetros são representados por letras do alfabeto sendo estas, no primeiro caso, denomi-nadas incógnitas e, no segundo caso, variáveis. O uso de expoentes simpli…ca a escrita dasexpressões algébricas. Dentre as expressões algébricas serão estudadas as expressões polino-miais com “poucas” variáveis.
2.1 Polinômios
Os polinômios são expressões algébricas obtidas com o uso da adição, subtração e multipli-cação (incluindo potenciação com expoentes inteiros). São exemplos de polinômios:
33 ¡ 72 + 1, 4 + 13 ¡ 1, 55, 2 ¡ + , 122
Observação 5 Quando não há de fato adição ou subtração, o polinômio tem o nome demonômio. Os monômios formam os têrmos dos polinômios. O fator numérico do têrmo oudo monômio é denominado coe…ciente e a soma dos expoentes das variáveis é o grau domonômio ou do têrmo. O grau do polinômio é o maior dentre os graus de seus têrmos.
Para simpli…car a classi…cação dos polinômios, convenciona-se considerar as primeirasletras do alfabeto como sendo constantes, reservando as letras …nais para desempenharem opapel de variáveis. Assim, por exemplo, para se referir a qualquer polinômio de grau três navariável , se diz “polinômio da forma 3+ 2+ +”. As operações com polinômios sãode…nidas partindo das operações com números e, exceto a existência de inversos, as demaispropriedades continuam válidas para os polinômios.
Também se consideram números como parte da coleção dos polinômios. O número zero, 0,é também denominado polinômio nulo enquanto que os demais números são os polinômiosinversíveis ou de grau zero.
6 2. Expressões Algébricas
Outra observação: na multiplicação de polinômios, o grau do produto é a soma dos grausdos fatores correspondentes.como no exemplo
¡24 ¡ 32 + 5
¢ ¡32 ¡ 5+ 1
¢= 66 ¡ 105 ¡ 74 + 153 + 122 ¡ 25+ 5
Observe que os graus dos fatores são 4 e 2, respectivamente e o do produto é 6 que é a soma4 + 2.
As propriedades das operações com polinômios têm analogia com as correspondentes dosinteiros, inclusive quanto ao Algorítmo da Divisão e à fatoração. Desse modo, uma parte dospolinômios admite fatoração. Por fatoração, entende-se um produto em que cada fator é umpolinômio de grau positivo.
2.1.1 Produtos Notáveis
Alguns problemas envolvendo polinômios têm sua resolução simpli…cada com o uso de pro-dutos notáveis. A seguir apresentamos alguns deles. Uma igualdade de expressões algébricasexpressa uma condição ou exigência a respeito das variáveis envolvidas e tem o nome deequação. Nem toda substituição de valores de variáveis por números em uma equação atorna verdadeira. No extremo oposto dessa observação, isto é, quando qualquer substituiçãotorna verdadeira a equação, então esta é denominada identidade. Uma identidade tambémsigni…ca que um membro da igualdade pode ser obtido a partir do outro mediante sucessi-vas aplicações das propriedades das operações das expressões algébricas. As equações serãoestudadas num tópico à parte. Quanto às identidades, estudamos a seguir algumas que, pelasua importância na fatoração de polinômios têm o nome de produtos notáveis.
Observação 6 As seguintes propriedades são válidas para as expressões algébricas envolvi-das:
(a) (+ ) (¡ ) = 2 ¡ 2.
(b) ( § )2 = 2 § 2+ 2
(c) ( § ) (2 ¨ + 2) = 3 § 3
(d) (§ )3 = 3 § 32 + 32§ 3
Nos produtos notáveis, e podem ser substituídos por expressões algébricas e funcionamcomo método direto de obtenção de certos produtos. Esse tipo de problema tem, na maioriadas vezes, apenas um papel de estabelecer familiaridade com o assunto, no intuito de facilitara compreensão simples de métodos de fatoração de polinômios.
Exemplos 2 Nos exemplos a seguir se utilizam os produtos notáveis para obtenção diretados resultados.
(a) (32 + 2) ¢ (32 ¡ 2) = (32)2 ¡ (2)2 = 924 ¡ 422
(b) (22 + 3)2 = (22)2 + 2 ¢ (22) (3) + (3)2 = 442 + 1232 + 922
(c) (2+ )£(2)2 ¡ (2) + 2
¤= (2)3 + 3 = 83 + 3
(d) (5+ 3)3 = (5)3 + 3 (3) (5)2 + 3 (3)2 (5) + (3)3
Exercícios 3 Desenvolva as expressões com o uso de produtos notáveis.
2.1 Polinômios 7
(a) (4+ 7) (4 ¡ 7)
(b) (22 + 5)2
(c) (32 ¡ 5)2
(d) (32 ¡ 5) (942 + 153 + 252)
(e) (32 + 5) (942 ¡ 153 + 252)
(f) (2+ 3)3
(g) (2 + 4) (2 ¡ 4)
2.1.2 Fatoração
Fatorar um número inteiro signi…ca escrevê-lo como um produto de inteiros. Se cada fa-tor puder, por sua vez, ser fatorado, o processo continua. Este procedimento não se repeteinde…nidamente: para no momento em que os fatores são primos, isto é, não admitirem fa-toração não trivial (uma fatoração é dita trivial se um dos fatores é uma unidade (1 ou ¡1)e o outro é o próprio número ou seu oposto). Com os polinômios há muita semelhança comos problemas de fatoração. Em primeiro lugar, é imediato que o processo de fatoração deum polinômio não poderia ser feito inde…nidamente se se quizer fatorar com polinômios degrau menor que o próprio, por conta da aditividade do grau na multiplicação de polinômios.Inicialmente se considera como fatoração um produto em que cada fator tem grau maiorque zero. Consideram-se os números não nulos como unidades, o que signi…ca que admiteminversos. Por outro lado, o conjunto dos coe…cientes também in‡ui nas possibilidades de fa-toração. Assim, enquanto que, no conjunto dos polinômios com coe…cientes reais o polinômio2 ¡ 2 se fatora como
2 ¡ 2 =³+
p2´³
¡p2´
,
o mesmo não acontece no conjunto dos polinômios com coe…cientes racionais. Trabalharemosapenas com os polinômios a coe…cientes inteiros e consideraremos apenas as fatorações cujosfatores sejam polinômios a coe…cientes racionais.
Regras simples de fatoração
As regras a seguir são úteis como orientação para obter a fatoração de um polinômio. Aprimeira delas se baseia na propriedade distributiva enquanto as outras se baseiam nosprodutos notáveis.
1. Fator monômio comum. Se os coe…cientes dos termos de um polinômio têm um fator co-mum, digamos , então o monômio de coe…ciente e cujas variáveis são as variáveis dopolinômio, com os menores expoentes é denominado fator monômio comum e podemosiniciar a fatoração, como no exemplo
3632 ¡ 302 + 424 = 62¡6 ¡ 5 + 72
¢.
Note que o fator entre parêntesis não está na ordem padrão.
2. Diferença de quadrados. Se um polinômio se escreve como diferença de quadrados dedois monômios ou, numa situação mais complexa, como diferença de quadrados dedois outros polinômios, então o polinômio se escreve como o produto da soma peladiferença destes, como no exemplo
2546 ¡ 42 =¡523 + 2
¢ ¡523 ¡ 2
¢.
8 2. Expressões Algébricas
Note que um monômio é um quadrado quando o seu coe…ciente é um quadrado e,simultâneamente, os expoentes das variáveis são números pares.
3. Trinômio quadrado perfeito. Um trinômio da forma
2 § 2 +2,
onde e são monômios, se escreve na forma
2 § 2 +2 = ( § )2 ,
como no exemplo a seguir
2526 + 203 + 4 =¡53 + 2
¢2.
Observe que o quadrado do monômio = 53 é 2526, o quadrado do monômio = 2 é 4 e o dobro do produto é 2 = 2£ (53)£ 2 = 203, o que mostraa igualdade.
4. Soma ou diferença de cubos. Neste caso, usa-se a Observação 6 item (c) da página 6 parafatorar, como nos exemplos
12539 ¡ 8 =¡53 ¡ 2
¢ ¡2526 + 103 + 4
¢
12539 + 8 =¡53 + 2
¢ ¡2526 ¡ 103 + 4
¢
Exercícios 4 Fatore os polinômios
(a) 42 + 4 + 2
(b) 42 ¡ 4 + 2
(c) 3242 ¡ 182
(d) 92 + 243 + 1642
(e) 273 + 863
(f) 836 ¡ 273
(g) 2 ¡ 42
(h) 83 + 3 + 62 + 122
(i) 83 ¡ 3 + 62 ¡ 122
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3Equações
As equações são igualdades entre expressões algébricas. Conseqüentemente uma equaçãoconsiste de uma a…rmação ou ainda de uma restrição a respeito das variáveis envolvidas.Assim, por exemplo, as expressões algébricas 3 + 5 e 2 + 3 não fazem restrição ao valorque se pode atribuir à variável , uma vez que nada a…rmam a respeito. Se se atribui ovalor 1 à variável , a primeira expressão corresponde ao número 8, enquanto que a segundacorresponde ao número 5 e tudo está resolvido. No entanto, quando se escreve
3+ 5 = 2+ 3
e se atribui o mesmo valor a , a igualdade correspondente a essa substituição seria
8 = 5
que não faz parte das sentenças escolhidas como verdadeiras, ou seja, o valor 1 atribuido a não faz com que a igualdade seja verdadeira.
A menos que seja explicitado, denominam-se incógnitas as variáveis que compõem aequação. Uma solução de uma equação consiste de uma família de valores atribuídos àsincógnitas que tornam a igualdade verdadeira.
Exemplo 7 A equação32 ¡ 52 + 57 =
p24 + 7
é uma equação nas incógnitas , e . Também se diz que é uma equação em , e .Neste caso, uma solução consiste num terno de valores ( ) que tornam a equação umaigualdade de fato. Desse modo, o terno (1 2 3) é solução conforme os cálculos
3£ 12 £ 2¡ 5£ 22 £ 3 + 57 = 6¡ 60 + 57= 3p
2£ 12 + 7 =p2 + 7 =
p9 = 3.
Observe que o terno (2 1 3) não é solução, o que ilustra a importância da ordem dos valores.
10 3. Equações
Há dois tipos de problemas envolvendo equações: 1) veri…car se determinados valorespara as variáveis formam uma solução e 2) encontrar soluções da equação. Inicialmenteestudaremos o primeiro tipo de problema
3.1 Equações Polinomiais
Uma equação é polinomial se as expressões envolvidas são polinômios. Neste caso, após asimpli…cação (estudada adiante), o maior grau dos polinômios envolvidos é o grau da equação.Também serão estudadas as equações a uma ou duas variáveis.
Exercícios 5 Em cada problema a seguir são dados valores às variáveis e pede-se que veri-…que se os valores dados são soluções das respectivas equações.
(a) 42 + 4 + 2 = 25; ( ) = (2 1)
(b) 42 ¡ 4 + 2 = 16; ( ) = (1 6).
(c) 3242 ¡ 182 = 12, ( ) = (1 0)
(d) 3242 ¡ 182 = 18; ( ) = (1 0)
(e) 273 + 86 = 2; = 1
(f) 273 + 86 = 35; = 1
(g) 2 ¡ 42 = 12; ( ) = (4 1)
(h) 2 ¡ 42 = 12; ( ) = (1 4)
(i) 42 ¡ 4 + 2 = 16; ( ) = (6 1).
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4Funções
As funções são relações estabelecidas entre duas ou mais variáveis, de modo que o valorde uma delas …ca determinado a partir dos valores atribuídos às demais.e se diz simpli…-cadamente que aquela ”é função” das últimas. Outra forma de ver as funções consiste eminterpretá-las como regras de associação entre as variáveis, inspirando a notação padrão 7! para indicar que a cada valor atribuído à variável se associa um valor determi-nado à variável . Estudaremos as funções tentando visualizá-las das duas maneiras, emambos os casos olhando-as dentro do produto cartesiano.
4.1 Produto Cartesiano
O termo “Cartesiano” vem de Cartesius, nome em Latim do …lósofo e matemático francêsRené Descartes. Simpli…cadamente é uma construção formal de conjuntos a partir de outrosconjuntos, expressa da forma que segue. Considere os conjuntos e . O produto cartesianode por é denotado e de…nido assim
£ = f( ) : 2 e 2 g
signi…cando que o produto cartesiano consiste de todos os símbolos construídos por paresde valores atribuídos às variáveis e de modo que cada valor atribuído a faça parte doconjunto e cada valor atribuído a faça parte do conjunto . Deve-se observar que nessetipo de simbologia não são dadas interpretações aos símbolos .
Exemplo 8 Suponha que o conjunto seja constituído pelos números 1, 3, 5, 7 e 8, e queo conjunto seja constituído pelos números 0, 1 e 8. Neste caso, estes conjuntos podemtambém ser escritos da maneira seguinte
= f1 3 5 7 8g = f0 1 8g
12 4. Funções
e o produto cartesiano £ é constituído pelos símbolos (1 0), (1 1), (1 8), (3 0), (3 1),(3 8), (5 0), (5 1), (5 8), (7 0), (7 1), (7 8), (8 0), (8 1) e (8 8) ou ainda
£ = f(1 0) (1 1) (1 8) (3 0) (3 1) (3 8) (5 0) (5 1) (5 8) (7 0) (7 1) (7 8) (8 0) (8 1) (8 8)g
O único produto cartesiano que estudaremos será o produto R£R, também denotado porR2 que é descrito formalmente por
R2 = f( ) : e 2 Rg
Observe que não se fêz uma lista completa dos elementos que constituem tal conjuntodada a impossibilidade de se fazer isso. Esse produto é interpretado como sendo um plano,denominado plano cartesiano, mediante a correspondência descrita assim:
(i) traçam-se, no plano, duas retas que representam os números reais, de modo a acontecero seguinte:
² as origens (ou seja, os pontos que representam o número 0 em cada reta) coincidem;
² um deles tem a direção considerada horizontal, com o sentido positivo apontandopara a direita (denominado eixo ) e o outro é perpendicular a este (direçãoportanto considerada vertical), com o sentido positivo apontado para cima (de-nominado eixo ).
(ii) a cada par ( ) que constitue o produto cartesiano R2 associa-se o ponto do plano queé a interceção das retas e sendo
² a reta vertical que passa pelo ponto que corresponde ao valor da variável doeixo .
² a reta horizontal que passa pelo ponto que corresponde ao valor da variável doeixo .
Figura 2
A partir dos conhecimentos de Geometria Euclidiana Plana, pode-se concluir que a cor-respondência assim construída é bijetora, o que faz do plano uma representação perfeita doproduto cartesiano R2.
4.2 Funções 13
4.2 Funções
Uma função do conjunto no conjunto é um subconjunto do produto cartesiano £,que satisfaz às condições:
i. tem pelo menos um ponto (0 0);
ii. dado o ponto (0 0) 2 , nenhum outro ponto de primeira coordenada 0 pertence a .
O conjunto dos valores de 2 que comparecem como primeira coordenadas de pontosde é denominado domínio de , denotado por () ou . Se (0 0) 2 , então se dizque 0 é o valor de no ponto 0 e se escreve 0 = (0). O conjunto de todos os valores de é a imagem de , denotado por Im (). Nesse caso, a função é descrita assim
: ¡!
7¡! ()
Nosso objetivo é o de estudar as funções de R em R, denominadas funções reais de umavariável real. Essas funções serão apresentadas como equações nas variáveis e , que vin-culam seus valores. Esse vínculo pode ser apresentado de forma explícita, ou seja, na forma = (), ou na forma implícita, como na equação 2 + 2 = 25.
4.2.1 Funções especiais
Neste ponto estudaremos alguns tipos especiais de funções e os métodos de fazer um esboçode seus grá…cos. São as funções lineares, as funções quadráticas, as funções logarítmicas e afunção exponencial.
Funções lineares
As funções lineares são as funções da forma
= +
onde e são números reais …xos. Uma tal função consiste de pontos de uma linha reta, daío nome função linear, como ilustra a …gura.
Figura 3
14 4. Funções
Se = 0. então a função é denominada função constante, uma vez que para cada 2 Restá associado sempre o mesmo valor, , pela função. Seu grá…co é uma reta horizontal (ouseja, paralela ao eixo ) como ilustra a …gura.
Figura 4
Sabendo que o grá…co de uma função linear é uma linha reta, o esboço é uma tarefasimples pois sua determinação é feita com a obtenção de dois de seus pontos, obtidos com asubstituição de dois valores quaisquer para a variável , na equação que a de…ne, como noexemplo.
Exemplo 9 Para obter o grá…co da função = 2¡1, atribuindo os valores 0 e 2 à variável, obtemos os pontos (0 ¡1) e (2 3) e obtemos o seguinte esboço.
Figura 5
Exemplo 10 Um caso particular das funções lineares é a função identidade, de…nida por = e seu grá…co é a diagonal do primeiro e terceiro quadrantes do plano R2.
Funções quadráticas
As funções quadráticas são aquelas em que a uma das variáveis é expressa como um polinômiode grau dois na outra. Assim, temos efetivamente dois tipos possíveis: = 2 + + , ou
4.2 Funções 15
então =p+ + , onde 6= 0. Como padrão a literatura considera como função
quadrática apenas o primeiro tipo mas, de fato, o segundo também é, uma vez que, dentrodo domínio, podemos expressar em função de , assim: = 1
2 ¡ 2
+ 2¡
que garante,
por analogia entre as expressões, que os grá…cos são semelhantes. Um esboço do grá…code uma função quadrática pode ser obtido fazendo-se analogia com o do grá…co da função = 2. Um esboço desse grá…co pode ser obtido mediante as seguintes observações:
² O valor da expressão 2 é sempre positivo ou nulo, caso se atribua o valor zero à variável.
² O grá…co é simétrico em relação ao eixo , uma vez que o valor de 2 não se altera pelatroca o sinal do valor atribuído a .
² O valor da expressão 2 aumenta mais rapidamente que o valor absoluto de .
Com essas observações e usando alguns valores, pode-se concluir que os grá…cos das funções = 2 e =
p têm o seguinte esboço:
Figura 6
Observação 7 A título de ilustração, a parábola é uma …gura plana de…nida a partir de umareta denominada diretriz e de um ponto denominado foco. Nesse caso, a parábola consiste dospontos do plano cuja distância ao foco é sempre igual à distância à diretriz, como ilustradoa seguir. Munido dos conceitos de Geometria Analítica e dessa de…nição, mostra-se que umaparábola de diretriz horizontal ou vertical é descrita por equações do tipo = 2 + + e = 2 + + respectivamente. Um espelho de forma parabólica re‡ete todos os raiosparalelos a seu eixo de simetria na direção do foco. Essa observação permite uma vasta gamade aplicação, inclusive na área de saúde: há um tipo de intervenção, denominada Litotripsiaextra-corpórea por ondas de choque que utiliza essa propriedade para quebrar cálculos renais.
16 4. Funções
Figura 7
Um esboço preciso do grá…co de uma função só pode ser feito mediante técnicas do CálculoDiferencial, que foge aos nossos objetivos.
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5De volta às equações
Na primeira apresentação das equações descrevemos o conceito de solução (também denom-inada de raiz) de uma equação. Ficou presente nas entrelinhas que uma solução consiste devalor(es) atribuído(s) à(s) variável(eis) que torna a equação verdadeira. Dessa forma, con-siderando a condição (ou restrição) que é a equação, ela de fato de…ne um conjunto dentrodo universo em questão que é denominado conjunto solução. O número de incógnitas de…neo universo citado. A título de exemplo, a equação 2 ¡ 9 = 0, por ter uma única incógnita,de…ne um conjunto ”dentro” do conjunto dos números reais e diz-se que o universo é o con-junto dos números reais, enquanto que a equação 2+2 = 4, por ter duas incógnitas, de…neum conjunto dentro do conjunto dos pares ordenados ( ) de R2, ou do plano cartesianotal como foi identi…cado. Quanto às equações, nosso interesse é, de agora em diante, descr-ever o conjunto solução ou conjunto das raízes de certos tipos de equações ou de sistemas deequações. O conjunto de todas as soluções de uma equação é denominado conjunto soluçãoda equação. Para isso, identi…caremos de certa forma o conjunto solução com a equação.Assim, duas equações serão consideradas equivalentes se têm o mesmo conjunto solução.Resolver uma equação ou um sistema de equações signi…ca obter uma equação ou sistemaequivalente, de modo que os valores possíveis das variáveis são descritos de maneira evidente.
Exemplo 11 A equação 2 ¡ 9 = 0, por mais simples que possa parecer, não apresenta osvalores possíveis para a variável , no entanto, se escrevemos = 3 ou = ¡3, os valorespossíveis para a variável são descritos de forma evidente. Digamos que resolver a equaçãoinicial consiste em mostrar que ela é equivalente à sentença ’ = 3 ou = ¡3’.
Exemplo 12 Também, por mais simples que possa parecer, não é evidente que, dentro doconjunto dos números reais, a equação 273¡9¡52 = 0, seja equivalente à equação = 4
3,
sendo que esta última realmente apresenta a única possibilidade de solução, de forma bemmais evidente que a primeira!
A obtenção de equações equivalentes a uma dada equação é elementare e se baseia entreoutros, nos seguintes princípios
18 5. De volta às equações
² Se uma expressão é obtida de outra por uso das propriedades elementares das operações,então a substituição de uma por outra numa equação leva a outra equação equiva-lente. Por exemplo uma fatoração signi…ca que a expressão fatorada conduz à outrapor meio do uso de tais propriedades. Assim, sabendo que 2 ¡ 9 = (+ 3) (¡ 3)é uma fatoração, concluímos que a equação 2 ¡ 9 = 0 é equivalente à equação(+ 3) (¡ 3) = 0. Ora, essa última equação exibe um produto de dois números tendoresultado nulo, o que exige que pelo menos um dos fatores seja nulo ou: + 3 = 0 ou ¡ 3 = 0.
² A adição (ou subtração) de um mesmo valor a ambos os membros de uma equação conduza uma equação equivalente. Exemplos: a equação + 3 = 0 é equivalente à equação = ¡3 (foi subtraído o número 3 (ou somado o número ¡3) a ambos os membros daequação), da mesma maneira que se conclui a equivalência entre as equações ¡ 3 = 0e = 3.
² A multiplicação (ou divisão) de ambos os membros de uma equação por um númeroreal não nulo conduz a uma equação equivalente. O uso deste princípio exige cuidadoquando se efetua a divisão por expressões como no exemplo: a equação 2 = 2 não éequivalente à equação = 2.
5.0.2 Equações do primeiro grau
As equações do primeiro grau são aquelas do tipo
+ = 0, 6= 0
e sua resolução é muito simples: a equação + = 0 é equivalente à equação
= ¡
.
Essa veri…cação é simples e direta, mediante o uso dos princípios citados na seção anterior.
Exemplo 13 A equação 2 ¡ 3+5 = 2 ¡ 5+11 é equivalente à equação 2¡ 6 = 0 queé do primeiro grau e tem conjunto solução = f3g (veri…que!).
Exemplo 14 Outro tipo de problema que surge com freqüência na literatura consiste emapresentar um parâmetro na equação, de modo a ter uma raiz especi…cada, como a seguir.Sabendo que ¡3 é raiz da equação 6¡ 2 (+ 1) = 7¡, determine o valor de .
5.0.3 Equações do segundo grau
As equações do segundo grau têm sido utilizadas pelo menos desde o período conhecido nahistória como babilônico (1700 a1800 AC). O fato é que um papiro desse período foi encon-trado e a sua tradução mostrou uma técnica, bastante so…sticada para a época, de obtençãode dois números cuja soma e produto são conhecidos1. Essa formulação tem atualmente o
1O método é descrito assim:
5. De volta às equações 19
nome de forma normal de uma equação de segundo grau. Como o nosso objetivo é descr-ever o conjunto solução, não apresentaremos nenhuma fórmula para obter raízes de umaequação do segundo grau. Só nos interessa a resolução que utiliza a fatoração. Ainda assim,como medida para se ter segurança na obtenção da fatoração, será apresentada a fórmula dodiscriminante da equação.
Uma equação do segundo grau é uma equação do tipo
2 + + = 0, 6= 0,
sendo que consideraremos apenas os casos em que , e são números inteiros. O discrimi-nante é a função dos coe…cientes (, e ), dada por
¢ = 2 ¡ 4
sendo que a expressão 2 + + admite fatoração quando ¢ ¸ 0 e é irredutível casocontrário. Caso se considere a fatoração no universo dos polinômios a coe…cientes racionais,exige-se ainda por cima que ¢ seja um quadrado de um número racional.
Fatoração de um trinômio geral do segundo grau
A fatoração de um trinômio do tipo 2 + + = 0 é feita com base no produto notável(não apresentado anteriormente)
(+) (+) = 2 + ( +)+.
Quando = 1 o trinômio é denominado mônico e vale a seguinte versão simpli…cada doTeorema de Gauss
Teorema 6 As raízes racionais de um polinômio mônico (coe…cientes inteiros) são númerosinteiros.
Sendo mônico o polinômio, o produto notável apresentado pode ser considerado com = = 1:
(+) (+) = 2 + ( +) +
e o trabalho se reduz a procurar um par de números inteiros e cuja soma é e cujoproduto é .
Exemplo 15 A expressão 2 ¡ 5+ 6 se fatora assim:
2 ¡ 5+ 6 = ( ¡ 2) (¡ 3)
Portanto a equação2 ¡ 5+ 6 = 0
1. Tome a metade da soma;
2. tome o quadrado do resultado;
3. subtraia o produto;
4. tire a raiz quadrada do resultado;
5. adicione a metade da soma ao resultado e obtenha umdos números.
20 5. De volta às equações
é equivalente à equação(¡ 2) ( ¡ 3) = 0
que, por sua vez, é equivalente a
( ¡ 2) = 0 ou (¡ 3) = 0,
que é equivalente a = 2 ou = 3
sendo portanto o conjunto solução dado por
= f2 3g .
Exercícios 6 Fatore os trinômios a seguir.
(a) 2 + 2 ¡ 15
(b) 62 + 9 ¡ 15
(c) 2 ¡ 6+ 10
(d) 2 ¡ 7¡ 8
(e) 2 ¡ 7+ 8
(f) 62 + 5 ¡ 6
(g) 2 + 4+ 1
(h) 34 ¡ 452 + 63
(i) 23 ¡ 142 ¡ 16
(j) 2 ¡ 5¡ 14
(k) 44 ¡ 1202 + 43
(l) 303 + 252 ¡ 30
(m) 26 ¡ 105 ¡ 284
(n) 244 + 203 ¡ 242
(o) 2 ¡ 4 ¡ 21
Resolvendo uma equação de segundo grau por fatoração
Dada a equação 2 + + = 0, 6= 0, se o trinômio 2 + + , tiver uma fatoraçãoesta consistirá no produto de fatores de grau 1, por conta da propriedade da aditividade dosgraus em um produto de polinômios, isto é, a fatoração é do tipo
2 + + = (+) (+)
o que torna a equação original equivalente à equação
(+) (+) = 0
e é evidente que esta última é equivalente à condição + = 0 ou + = 0 que éuma condição que compõe duas equações de primeiro grau. Esse tipo de sentença (que usao termo ”ou”) descreve um conjunto denominado união, cujos elementos são precisamenteos que estão num dos dois ou em ambos. Se, por outro lado, o trinômio não se fatora,isso signi…ca que a equação inicial não tem raiz. Mas a fatoração depende do universo doscoe…cientes, se é o conjunto dos números reais (R), dos racionais (Q) ou dos complexos (C),estes estudados adiante. Estaremos estudando os polinômios a coe…cientes racionais emboracitaremos entre os exemplos a seguir as outras possibilidades.
Exemplo 16 Considere a equação 2 ¡ 6 + 4 = 0. O discriminante é ¢ = 20, que nãoé um quadrado perfeito, mas é não negativo. A conclusão é que o trinômio 2 ¡ 6 + 4 sefatora dentro da família dos polinômios a coe…cientes reais, como ilustrado
2 ¡ 6+ 4 =³ ¡ 3¡
p5´³
¡ 3 +p5´
o que mostra que a equação tem duas raízes reais, nenhuma delas racional.
5. De volta às equações 21
Exemplo 17 Considere a equação 2 ¡ 8 + 17 = 0. O discriminante é ¢ = ¡4, que éum negativo. A conclusão é que o trinômio 2 ¡ 8 + 17 não se fatora dentro da famíliados polinômios a coe…cientes reais. No entanto, esse trinômio se fatora no universo dospolinômios a coe…cientes complexos como ilustrado
2 ¡ 8+ 17 = ( ¡ 4¡ ) ( ¡ 4 + )
o que mostra que a equação tem duas raízes complexas, nenhuma delas real.
Exemplo 18 Considere a equação 2 ¡ 13+ 42 = 0. O discriminante é ¢ = 1, que é umquadrado perfeito A conclusão é que o trinômio 2 ¡ 6+ 4 se fatora dentro da família dospolinômios a coe…cientes racionais, como ilustrado
2 ¡ 13+ 42 = ( ¡ 7) (¡ 6)
o que mostra que a equação tem duas raízes racionais, descritas pelas equações = 7 e = 6.
Exercícios 7 Resolva, usando fatoração, as equações seguir.
(a) 2 + 2 ¡ 15 = 0
(b) 62 + 9 ¡ 15 = 0
(c) 2 ¡ 6+ 10 = 0
(d) 2 ¡ 7¡ 8 = 0
(e) 2 ¡ 7+ 8 = 0
(f) 62 + 5 ¡ 6 = 0
(g) 2 + 4+ 1 = 0
(h) 34 ¡ 452 + 63 = 0
(i) 23 ¡ 142 ¡ 16 = 0
(j) 2 ¡ 5¡ 14 = 0
(k) 44 ¡ 1202 + 43 = 0
(l) 303 + 252 ¡ 30 = 0
(m) 26 ¡ 105 ¡ 284 = 0
(n) 244 + 203 ¡ 242 = 0
(o) 2 ¡ 4 ¡ 21 = 0
22 5. De volta às equações
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6Sistema de equações lineares
Um sistema de equações consiste na composição de uma ou mais equações. Se todas asequações são de grau 1, dizemos que o sistema é linear. Se uma equação representa umarestrição aos valores possíveis das variáveis envolvidas, cada equação acrescentada representamais uma restrição. Por outro lado, cada incógnita (ou variável) da equação representa umgrau de liberdade a mais. Essa observação permite uma conclusão empírica que corresponde,de certa forma, ao que de fato acontece:
Observação 8 Num sistema linear se o número de equações independentes é e se onúmero de incógnitas é , sendo · , então a diferença ¡ é o número de variáveislivres.
Os esclarecimentos sobre os termos equações independentes e número de variáveis livresserão feitos de forma indireta nos exemplos que seguem, uma vez que isso exige uma análisemais acurada de um sistema.
Exemplo 19 O sistema ½2¡ = 14 ¡ 2 = 2
é constituído de duas equações que são equivalentes. Nesse caso qualquer das duas equaçõesé equivalente ao sistema e dizemos que o número de equações independentes é = 1. Maso número de incógnitas é = 2. Conclusão: o número de variáveis livres é 1. De fato, nocaso presente, podemos atribuir qualquer valor a uma das variáveis e temos possibilidade deencontrar uma solução para o sistema.
Exemplo 20 O sistema ½2¡ = 14 ¡ 2 = 0
é constituído de duas equações que não são equivalentes. Nesse caso, o número de variáveislivres é nulo, ou melhor: não há variável livre. Acontece que um par de valores atribuídos às
24 6. Sistema de equações lineares
variáveis, que satisfaça à primeira delas produz o valor 2 para a expressão 4 ¡ 2, o quenos faz concluir que o sistema é contraditório, não admitindo portanto solução.
Exemplo 21 O sistema ½2¡ = 34+ = 9
é constituído de duas equações que não são equivalentes. Nesse caso, o número de variáveislivres é nulo, ou melhor: não há variável livre. Diferentemente do exemplo anterior, estesistema admite uma única solução, dada por
½ = 2 = 1
No exemplo 19 temos um sistema que é classi…cado como indeterminado, signi…cando queé compatível, mas as incógnitas têm uma in…nidade de possibilidades, ou seja, o conjuntosolução é in…nito. O grá…co de uma tal solução consiste do conjunto de pares ( ) quesatisfazem à equação que é equivalente ao sistema, no caso, 2¡ = 1 por exemplo, que jávimos tratar-se de uma reta. No exemplo 20 temos a situação oposta, em que o sistema éclassi…cado como incompatível e o conjunto solução é o que se denomina conjunto vazio. Jáno exemplo 21 temos a situação padrão esperada em que o sistema de…ne de forma inequívocaa única solução possível e sua classi…cação é como sistema determinado. Gra…camente cadaequação representa uma reta e portanto a solução é o ponto comum de interseção de ambas.
6.1 Estudo de um sistema de duas equações lineares a duas incógnitas
O estudo a seguir é um método que de certa forma se aplica a sistemas mais gerais (com equações e incógnitas, sendo e números inteiros positivos quaisquer). Considere osistema ½
+ = + =
, , , , e números reais. A matriz do sistema é
=
·
¸
e a matriz ampliada é
=
·
¸
Neste caso, as duas equações são equivalentes se, e somente se, seus coe…cientes são pro-porcionais, isto é,
=
=
o que, por sua vez, é equivalente a uma linha da matriz ser múltiplo escalar de outra, ouainda, se existe um número real , de modo a se ter
= , = e =
6.1 Estudo de um sistema de duas equações lineares a duas incógnitas 25
Quando isto acontece com a matriz e não com a matriz , o sistema é incompatível,como acontece no exemplo 201. Quando não há proporcionalidade entre as linhas da matriz, o mesmo acontece com a matriz , e as duas equações são de fato necessárias paradescrever o sistema. A conseqüência disto é que o sistema é determinado, sendo seu conjuntosolução constituído por um único elemento, como no exemplo 21.
Exercícios 8 Estude cada sistema apresentando as matrizes envolvidas e, caso seja com-patível, descreva o conjunto solução.
(a)½
5+ 7 = 22¡ 3 = ¡5
(b)½10 ¡ 6 = 415 ¡ 9 = 3
(c)½10¡ 6 = 415¡ 9 = 6
(d)½
5+ = 2910 ¡ 4 = 10
(e)½
5+ = 2910+ 2 = 58
(f)½
5+ = 2910+ 2 = 57
(g)½12 ¡ 6 = 1212 ¡ 6 = 10
(h)½12 ¡ 6 = 1212+ 6 = 60
(i)½12 ¡ 6 = 126 ¡ 3 = 6
1 Isto é equivalente a
det
= det
= det
= 0
26 6. Sistema de equações lineares
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7Operações simples com números complexos
Os números complexos surgiram diante da impossibilidade de se resolver equações do tipo2 + 1 = 0 que não tem raiz real. Parte-se da de…nição de unidade imaginária, , de…nidapela equação 2 = ¡1, o que, de imediato, resolve aquela de…nição prossegue, de modo aestabelecer as operações respeitando as propriedades das operações de números reais. Assim,um número complexo é de…nido como sendo uma expressão (simbólica) da forma = + ,onde e 2 R, onde é denominado parte real de , ou em símbolos Re () = e édenominado parte imaginária de , em símbolos Im () = . Identi…camos os números reaiscom aqueles números complexos cuja parte imaginária é nula denominando imaginário puroaqueles cuja parte real é nula. As operações, considerando os números complexos 1 = 1+1e 2 = 2 + 2 são de…nidas por
1 + 2 = (1 + 2) + (1 + 2)
1 ¢ 2 = (12 ¡ 12) + (12 + 21)
Com essas de…nições pode-se observar que as propriedades listadas na observação 1, página2. Mostraremos a propriedade (viii). Para isso, se = +, de…nimos = ¡, denominadoconjugado de . Observe que = 2 + 2 que é um número real positivo. O valor absolutodo número é de…nido como sendo a raiz quadrada desse valor: jj =
p =
p2 + 2.
Finalmente, se é não nulo, isto signi…ca que ou é não nulo. Neste caso, o inverso de é o número complexo
¡1 =1
=
jj =p
2 + 2¡ p
2 + 2
pois
¢
jj =
jj =jjjj = 1
Formalmente o conjunto dos números complexos é de…nido assim:
C = f = + j e 2 Rg
28 7. Operações simples com números complexos
Gra…camente os números complexos = + são identi…cados aos pontos ( ) do planocartesiano R2, o eixo denominado eixo real e o eixo denominado eixo imaginário comona ilustração.
Figura 8
Observação 9 Um número complexo = + também pode ser identi…cado ao segmentoorientado ligando a origem (0 0) ao ponto ( ) do plano. Desse modo um número complexopode ser descrito pela identi…cação do comprimento desse segmento ( = jj) e do ânguloque êle faz com o eixo real, digamos , como na ilustração. Assim, = (cos + sen ) queé denominada forma polar do número complexo .
Figura 9
Essa representação é útil, pois se pode mostrar que uma potência real de um número complexopode ter uma fórmula simpli…cada1:
= (cos () + sen ())
1Esta fórmula tem o nome de fórmula de Moivre.
7. Operações simples com números complexos 29
e, correspondentemente, para se obter uma raiz -ésima, a fórmula seria
p =
p
µcos
µ
¶+ sen
µ
¶¶.
30 7. Operações simples com números complexos
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8Exponenciais e logarítmos
Descreveremos as exponenciais e os logarítmos como funções. As exponenciais podem serconsideradas como sendo expressões que contêm variáveis em expoentes. Pelas de…niçõesvistas (cf. de…nições 2, p. 3 e 5, p. 4), os valores das variáveis …cariam restritos aos númerosracionais. A maneira de estender os valores possíveis aos números reais utiliza séries de potên-cias, que são generalizações de polinômios, obtidas com técnicas de aproximações do CálculoDiferencial. Apelando para a intuição e para o conhecimento de funções contínuas, diremosque a exponencial é a função contínua = exp (), que tem a seguinte propriedade: se éum número racional, então exp () = , sendo o número real cujo valor é aproximada-mente 2 7181. Uma vez feita essa de…nição, escreve-se exp () = , sendo que a variável pode assumir qualquer valor real. Além disso, pode-se estender também a exponencial paraoutras bases diferentes do número , mas, para simpli…car essa extensão, faremos uso doslogarítmos. Os logarítmos são as funções inversas das exponenciais2 e foram usados inicial-mente como auxiliares em cálculos numéricos mais complexos, devido às suas propriedades(cf. observação 10 a seguir).
De…nição 7 O logarítmo natural ou neperiano de um número real positivo , denotado porln ou log , ou ainda log , é de…nido por
ln = () = .
Observação 10 O logarítmo natural tem as seguintes propriedades:
(a) ln () = ln + ln
(b) ln¡
¢= ln ¡ ln
(c) ln = ln
1Este valor é o valor limite da soma simbólica1
=01!= 1 + 1
1+ 1
2!+ 1
3!+ 1
4!+ ¢ ¢ ¢ . Esse número é denominado base dos
logarítmos naturais.2Mais uma vez lançamos mão de conhecimentos anteriores, sem estabelecê-los aqui!
32 8. Exponenciais e logarítmos
Observação 11 Para de…nir exponencial em uma base diferente de , usa-se o fato deque as funções ln e exp são inversas uma da outra e a propriedade (c) da observação 103. Ataxa de variação de uma função exponencial = em relação à variável é proporcionala (cf. o tópico 9 a seguir). Essa propriedade torna a exponencial muito útil em diversasáreas de pesquisa como, por exemplo, na Arqueologia (na estimativa de idades geológicas),nas Ciências Sociais e na Biologia (no estabelecimento de modelos de estudos populacionais).Também com base na mesma propriedade, pode-se ter uma idéia intuitiva do comportamentodo grá…co da exponencial.
3A seqüência de…ne o log de um número real positivo :
= ln = ln
) log = () =
() ln = ln
() log =ln
ln
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9Razão, proporção, proporcionalidade
Uma razão é uma fração numérica
, também escrita na forma : , em ambos os casos
exige-se e 2 R, 6= 0; uma proporção é uma igualdade de duas razões; quando duasvariáveis têm uma razão constante entre elas, dizemos que é uma proporcionalidade, porexemplo:
= é uma equação que estabelece uma proporcionalidade entre as variáveis e
. Neste último caso se diz que varia diretamente com ou que é proporcional a .
Observação 12 (Regras de Proporção) Dada a proporção
=
ou : = : , (*)
e são os extremos, e são os meios e é a quarta proporcional entre , e . Quandoos meios são iguais, digamos
=
é a terceira proporcional. Ainda com referência à proporção (*), são válidas as seguintespropriedades:
(a) =
(b)
=
(c)
=
(d)+
=
+
(e) ¡
=
¡
(f)+
¡ =
+
¡
34 9. Razão, proporção, proporcionalidade
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10Permutações e Combinações e o Binômio de Newton
10.1 Permutações, Combinações e Arranjos
Uma permutação de um conjunto é uma função bijetora do conjunto em si mesmo. Uma per-mutação nada mais é que uma ordenação dos elementos do conjunto. Assim, se um conjuntotem um elemento, então só há uma permutação, se tiver dois elementos há duas possibili-dades. Digamos que o conjunto seja constituído pelos elementos denominados de e .Nesse caso, podemos tomar a ordenação “” ou “”. Se acrescentamos um terceiro ele-mento ao conjunto , teremos, para cada ordenação escolhida para os elementos de , trêspossibilidades de inserir o elemento , o que indica haver seis possibilidades de ordenaçãopara o novo conjunto: “”, “”,“”, “”, “” e “”. Note que cada ordenaçãode…ne uma função bijetora do conjunto f g em si mesmo, por exemplo a ordenação “”corresponde à função
: f g ¡! f gde…nida por () = , () = e () = .
Observação 13 A seqüência do raciocínio utilizado no parágrafo anterior leva à conclusãode que o número de permutações de um conjunto com elementos ( um número natural)pode ser obtido por um procedimento recursivo (cf. citado à página 3, no parágrafo anteriorà De…nição 2). Esse número é exatamente o fatorial do número , como de…nido a seguir.
De…nição 8 Se é um número inteiro natural, então o fatorial de , simbolizado por !, éde…nido por
0! = 1
(+ 1)! = (+ 1)!, 8 2 N.
Desse modo, temos:
0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6
4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040
36 10. Permutações e Combinações e o Binômio de Newton
O fatorial de aumenta consideravelmente na medida que se aumenta o valor de . A títulode exemplo,
10! = 3628 800
20! = 2432 902 008 176 640 000
45! = 119 622 220 865 480 194 561 963 161 495 657 715 064 383 733 760 000 000 000
Esse último valor não é tão gigantesco (observe que tem 57 dígitos), se comparado com 1“google” que tem 101 dígitos (1 google = 10100)1.
No estudo de arranjos, permutações e combinações é importante se ter em mente se a ordemde apresentação dos elementos é fundamental ou não. Já foi visto que uma permutaçãocorresponde a uma ordenação de seus elementos, desse modo, o número de permutaçõespossíveis é o fatorial de caso o conjunto tenha elementos. Dados os números naturais e , com ¸ , se é um conjunto com elementos, então o número de subconjuntos
de com elementos é denominado combinação de a e denota-se porµ
¶. Por
exemplo, se = f g, então os subconjuntos de 2 elementos de constituem a família
ff g f g f gg, ou seja,µ32
¶= 3. Outro exemplo: se = f g, então os
subconjuntos d 3 elementos de constituem a família
ff g f g f g f g f g f g f g f g f g f gg ,
o que indica queµ53
¶= 10. Os elementos das famílias de subconjuntos obtidas são as
combinações, por exemplo, nesta última família, f g é uma combinação de 3 elemen-tos do conjunto . Um arranjo é uma permutação de uma combinação. Desse modo, asordenações “” e “” são arranjos diferentes de 3 elementos do conjunto , embora oselementos considerados são os mesmos. Neste caso, para encontrar o número de arranjos de3 elementos do conjunto , basta multiplicar o número de combinações obtido por 3! (= 6),ou seja, denotando por
o número de arranjos de elementos de um conjunto com ele-mentos, temos: 53 = 10£ 3! = 60. De uma maneira geral, são válidas as seguintes fórmulas,considerando-se a possibilidade = 0:
µ
¶=
!
!£ (¡ )!
=
µ
¶£ !
=!
(¡ )!
O número de arranjos também pode ser considerado como o número possível de funçõesinjetoras, como ilustra o exemplo 22 a seguir
1É o mesmo nome do famoso site, mas isso é outra história.
10.1 Permutações, Combinações e Arranjos 37
Exemplo 22 Sejam = f0 1g e = f g.a tabela a seguir dá os valores das possíveisfunções injetoras de em
1 () 2 () 3 () 4 () 5 () 6 ()0 1
Outro componente importante na formação de “arranjos” de subconjuntos de um dadoconjunto é a repetição de elementos. Apresentaremos apenas o arranjo com repetição. Issocorresponde ao número de possibilidades de se construir funções. Considere os conjuntos com elementos e com elementos. O número de possíveis funções de em correspondeao número de arranjos com repetição de termos (ou simplesmente arranjos com repetição)de “ a ”.
Exemplo 23 Sejam = f g e = f0 1g.a tabela a seguir dá os valores das possíveisfunções de em
1 () 2 () 3 () 4 () 5 () 6 () 7 () 8 () 9 ()0 1
Observe que as colunas apresentam na verdade arranjos com repetição dos elementos de ,“tomados 2 a 2“. Já a próxima tabela apresenta os valores das possíveis funções de em
1 () 2 () 3 () 4 () 5 () 6 () 7 () 8 () 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Novamente, as colunas apresentam arranjos com repetição dos elementos de , “tomados 3a 3”.
A notação utilizada para o número possível de arranjos com repetição de a é ()e mostra-se que esse valor é dado pela fórmula () = (con…ra os resultados dadosnas tabelas do exemplo 23, e observe que não é necessário exigir · ). Um exemplocurioso é o número de possibilidades de resultados da loteria esportiva. São 13 jogos comtrês resultados possíveis para cada jogo: coluna 1, coluna 2 ou coluna 3. Se o conjuntodos jogos for denotando por = f1, 2, ¢ ¢ ¢ , 13g e o dos resultados por = f1, 2, 3g,então o conjunto dos resultados possíveis pode ser identi…cado como a família das funçõesde em , cujo número de elementos é ()313 = 3
13 = 1594 323. Outro exemplo curioso,ligado à probabilidade: Considere as possíveis datas de aniversário (sem levar em conta oano de nascimento), representadas pelos elementos de um conjunto com 365 elementos, e50 pessoas representadas pelos elementos de um conjunto . Se é a função cujo valor é adata de aniversário de cada pessoa, : ¡! , então para não haver coincidência de datasde aniversário, é necessário e su…ciente que seja injetora. O número de possibilidades para é ()50365 = 50
365, enquanto que o número de possibilidades de que não haja coincidência
38 10. Permutações e Combinações e o Binômio de Newton
é, conforme a observação que precede o exemplo 22 36550 =365!
(365¡50)! =365!305!
. A probabilidadede que não haja coincidência é portanto
36550()50365
=365!305!
50365¼ 2 413 8£ 10¡469
Conclusão: é quase nula a probabilidade de não haver coincidência alguma.
10.2 O Binômio de Newton
O Binômio de Newton é o desenvolvimento de expressões algébricas do tipo (+ ) com 2 N. Usando as notações da seção 10.1, o Teorema do Binômio de Newton a…rma que
(+ ) =X
=0
µ
¶¡
= + ¡1 +!
2! ( ¡ 2)!2¡2 + ¢ ¢ ¢
+!
! ( ¡ )!¡ + ¢ ¢ ¢+
Os exemplos a seguir ilustram a fórmula do Binômio de Newton com resultados já conhecidos.
Exemplo 24
(+ )0 =0X
=0
µ0
¶¡ =
µ00
¶00 =
0!
0!0!= 1
Exemplo 25
(+ )1 =1X
=0
µ1
¶1¡ =
µ10
¶01 +
µ11
¶10
=1!
0!1!+
1!
1!0! = +
Exemplo 26
(+ )2 =2X
=0
µ2
¶2¡
=
µ20
¶02 +
µ21
¶11 +
µ22
¶20
=2!
0!2!2 +
2!
1!1!+
2!
2!1!2
= 2 + 2+ 2
10.2 O Binômio de Newton 39
Exemplo 27
(+ )3 =3X
=0
µ3
¶3¡
=
µ30
¶03 +
µ31
¶12 +
µ32
¶21 +
µ33
¶30
=3!
0!3!3 +
3!
1!2!2 +
3!
2!1!2+
3!
3!0!2
= 3 + 32 + 32+ 3
40 10. Permutações e Combinações e o Binômio de Newton
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11Progressões aritméticas e geométricas
Uma função de N no conjunto dos números reais é denominada sucessão de números. Parase apresentar uma tal função, basta compor a lista de seus valores, desde que se possa teruma “lei de formação”. Assim, apresentar a função : N ¡! R, é equivalente a construir alista in…nita
(0) (1) (2) ¢ ¢ ¢ () ¢ ¢ ¢ou, para simpli…car, escrevendo, para cada 2 N, () = ,
0 1 2 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
daí o nome sucessão.Estudaremos apenas dois tipos de sucessões de números: progressões aritméticas (PA)
e progressões geométricas (PG). Para simpli…car, usaremos as funções de domínio N¤ =f 2 Nj 6= 0g, para ter coerência com a expressão -ésimo termo da sucessão ().
De…nição 9 Uma sucessão 1 2 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ de números reais é uma progressão aritmética(PA) se cada termo é obtido do anterior somando-se um valor constante denominado razão.
Exemplo 28 A sucessão 3 7 11 15 19 ¢ ¢ ¢ é uma PA de razão 4.
Fórmulas:
1. -ésimo têrmo: se, numa PA, 1 = e a razão é , então = + ( ¡ 1) .
2. A soma dos primeiros têrmos de uma PA é dada pela fórmula
=
2(1 + )
=
2[2+ ( ¡ 1) ]
De…nição 10 Uma sucessão 1 2 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ de números reais é uma progressão geométrica(PG) se cada termo é obtido do anterior multiplicando-se por um valor constante denomi-nado razão.
42 11. Progressões aritméticas e geométricas
Exemplo 29 A sucessão 2 6 18 54 162 ¢ ¢ ¢ é uma PG de razão 3.
Fórmulas:
1. -ésimo têrmo: se, numa PG, 1 = e a razão é , então = £ (¡1).
2. A soma dos primeiros têrmos de uma PG é dada pela fórmula
= ( ¡ 1) ¡ 1 , 6= 1
= ¡
¡ 1 , 6= 1
