FiltrosDigitais

tipoFIR

1

Pro

cessamento

DigitaldeSinais

NotasdeAula

FiltrosDigitais

TipoFIR

RicardoTok

ioHiguti

Departamento

deEngenharia

Eletrica-FEIS

-Unesp

Observacao:Estas

notas

deau

laestaobaseadas

nolivro:“D

iscrete-Tim

eSignal

Processing”,

A.V

.Oppen

heim

andR.W

.Schafer,Prentice

Hall,1989/1999.

FiltrosDigitais

tipoFIR

2

FiltrosDigitais

TipoFIR

•Resposta

aoim

pulsocom

duracaofinita

•Funcaodetran

sferencia

H(z)=

MX n=0

b nz−

n

•Im

plementacaodeform

anao-recursiva

•Metodos

deprojeto

–Jan

elam

ento

–Amostragem

emfrequencia

–Metodos

otim

os

FiltrosDigitais

tipoFIR

3

Meto

dodoJanelamento

Sejaum

filtro

passa-baixas

idealcom

fase

linear:

Hd(e

jω)=

e−jω

nd,|ω|≤

ωc

0,ωc<

|ω|≤

π

Acorrespon

dente

resposta

impulsivaideale:

hd[n]=

sinωc(n−

nd)

π(n

−nd)

−∞

<n<

∞

Nota-se

quearesposta

impulsivatem

dura

caoinfinitaeenao-causal.

Umasolucaoparaisso

etruncararesposta

impulsiva,

toman

doN

=

M+1am

ostras

(M=

2nd):

h[n]=

hd[n],

0≤

n≤

M=

2nd=

N−1

0,caso

contrario

oqueequivaleamultiplicararesposta

impulsivaidealhd[n]por

umajanela

deduracaofinitaw[n]:

h[n]=

hd[n]·w[n]

ondenocaso

deum

simplestruncamento,w[n]eumajanelaretangu

lar:

w[n]=

1,0≤

n≤

M=

N−

10,

caso

contrario

FiltrosDigitais

tipoFIR

4

Resp

ostaim

pulsiva-filtro

passa-b

aixasideal

hd[n]=

sinωc(n−

nd)

π(n

−nd)

,−∞

<n<

∞

Truncando-se

aresposta

impulsivaidealpara0≤

n≤

M=

2nd,fica-se

com:

−10

−5

05

10

15

−0.20

0.2

0.4

0.6 −10

−5

05

10

15

−0.20

0.2

0.4

0.6

M=

5(F

IRtipoII)

M=

6(F

IRtipoI)

n

Exercıcio

Calcule

asrespostasim

pulsivas

ideais

detodos

ostipos

defiltrosideais

com

fase

linear:

passa-baixas,passa-altas,passa-faixaerejeita-faixa,

e

determinequetipos

defiltrosFIR

com

fase

linearpodem

ser(I,II,IIIou

IV).

FiltrosDigitais

tipoFIR

5

Meto

dodoJanelamento

Sejaaresposta

impulsivadeum

filtro

idealhd[n].

Deseja-se

aproxim

a-la

por

umaresposta

deduracaofinita

h[n]=

0,para

n<

0e

n>

M

Paraaap

roxim

acao,serabuscad

aasolucaoqueminim

izaoerro

quad

ratico:

E2=

∞X

n=−∞|h

d[n]−

h[n]|2

Com

oaresposta

final

tem

duracaofinita,

pode-se

separar

asomatoria

emtres

term

os:

E2=

−1

X

n=−∞|h

d[n]|2+

MX n=0

|hd[n]−

h[n]|2+

∞X

n=M

+1

|hd[n]|2

Com

ohd[n]esta

fixo,

aminim

izacao

deE

2consisteem

minim

izar

a

somatoria

domeio,

cujo

valormınim

oezero

quan

doh[n]=

hd[n].

Portanto,otruncamento

daresposta

idealcom

umajanelaretangu

lar

resultanomınim

oerro

quad

ratico

daap

roxim

acao.Noentanto,em

geral

otruncamento

com

ajanelaretangu

larnao

eamelhor

escolhanoprojeto

defiltros.

FiltrosDigitais

tipoFIR

6

Meto

dodoJanelamento

Oefeito

dojanelam

ento

emaisevidente

nodom

ınio

dafrequencia,

noqual

tem-seaconvolucaoperiodicaentrearesposta

emfreq.idealeoespectro

dajanela:

H(e

jω)=

1 2π

Z

π −πH

d(e

jθ)W

(ej(ω−θ))dθ

Dessa

form

a,aescolhadajanelaw[n]vaiinfluenciar

aresposta

emfreq.

dofiltro

obtidoepor

isso

existem

diversostipos

dejanelas

dispon

ıveis,

alem

daretangu

lar.

FiltrosDigitais

tipoFIR

7

EfeitodoJanelamento

FiltrosDigitais

tipoFIR

8

EfeitodoJanelamento

•Osmax

imos

desviosnas

faixas

depassagem

erejeicao

saoproduzidos

pelos

lobuloslaterais.Portanto,os

desviosefetivam

ente

obtidos

no

filtro

final

seraoiguais,poisforam

produzidos

pelos

mesmos

lobulos.

•A

largura

dafaixadetran

sicaoediretam

ente

proporcion

alalargura

dolobulo

principal.

FiltrosDigitais

tipoFIR

9

EfeitodoJanelamento

Havariostipos

dejanelas

quepodem

serusadas.Cad

aumapossuidifer-

entescaracterısticasde:

•Form

a:relacion

adacom

alargura

dolobulo

principal

eonıvel

de

lobulo

lateral;

•Comprimento:relacion

adacom

alargura

dolobulo

principal.

FiltrosDigitais

tipoFIR

10

Janelas

Existem

diversasjanelas,com

diferentescaracterısticasdeform

atonodom

ınio

dotempo,

queacab

ampor

influenciar

noseuespectro.

Osparam

etros

principaissaorelacion

ados,noespectrodajanela,

a:

•Form

a:relacion

adacom

alargura

dolobulo

principal

eonıvel

de

lobulo

lateral;

•Comprimento:relacion

adacom

alargura

dolobulo

principal.

lóbulo

principal

lóbulos

laterais

nível de

lóbulo

lateral

largura do

lóbulo principal

formato

comprimento

0w[n]

Mn

DTFT

N=

M+1

W(e

jω)

ω−π

π

FiltrosDigitais

tipoFIR

11

Janelas(comprimento

N=

16(M

=15))

05

10

15

0

0.2

0.4

0.6

0.81

reta

ng

ula

r

Ham

min

g

Han

nin

g

Bla

ckm

an

n

Jan

elas

com

N=

16(M

=15)

-10

1-8

0

-60

-40

-200

dB

Reta

ngu

lar

-10

1-8

0

-60

-40

-200

Ham

min

g

-10

1-8

0

-60

-40

-200

dB

Han

nin

g

-10

1-8

0

-60

-40

-200

Bla

ck

man

ω/π

ω/π

−→

Aose

modificaroform

ato

dajanela,

tanto

alarg

ura

dolobulo

principalcomoonıveldoslobuloslatera

issaomodificados.

FiltrosDigitais

tipoFIR

12

Janela

deKaiser

Fam

ılia

dejanelas

param

etrizadapor

um

fatordeform

aβ.

05

10

15

0

0.2

0.4

0.6

0.81

n

β=

0

β=

3

β=

6

Jan

elas

deKaisercom

N=

16

-1-0

.50

0.5

1-8

0

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-100

dB

ω/π

β=

0

β=

3

β=

6

Espectros

dejanelas

deKaisercom

N=

16

FiltrosDigitais

tipoFIR

13

Janela

deKaiser

Mudan

do-se

ocomprimento

dajanelaeman

tendo-se

ofatordeform

aβ.

-1-0

.50

0.5

1-8

0

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-100

dB

ω/π

N=

8

N=

16

N=

32

Espectros

dejanelas

deKaisercom

β=

6

−→

Mudan

do-se

oco

mprimento

dajanela

eman

tendo-se

oseufor-

mato,

altera-sealarg

ura

doslobulos(principal

elaterais)eodeca

i-

mento

doslobuloslatera

isem

funcaodafrequencia,

mas

onıveldo

primeirolobulo

latera

lperm

anece

omesm

o.

FiltrosDigitais

tipoFIR

14

TiposdeJanelas

Algunstipos

dejanelas

w[n]para0≤

n≤

M=

N−

1:

•Retangular:

w[n]=

1

•Bartlett

(triangular):

1−2|n−

M/2|/M

•Black

man:

0.42

−0.5cos(2π

n/M

)+0.08

cos(4π

n/M

)

•Hamming:

0.54

−0.46

cos(2π

n/M

)

•Hanning:

0.5−

0.5cos(2π

n/M

)

•Kaiser:

I 0[β(1

−[(n−

M/2)/(M

/2)]2)1

/2]

I 0(β)

,β≥

0

I 0(.)-funcaodeBesselmodificadadoprimeiro

tipoedeordem

zero

•Lancz

os:

sin[2π(n

−M/2)/M

]

2π(n

−M/2)/M

L

,L>

0

•Tukey:

1,|n

−M/2|<

αM/2

0.5+0.5cos�

n−(1+α)M

/2

(1−α)M

/2

�

,αM/2

≤|n

−M/2|≤

M/2

FiltrosDigitais

tipoFIR

15

EfeitodoJanelamento

Resp

ostaim

pulsiva-filtro

passa-baixasideal

02

46

810

12

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

reta

ng

ula

r

n

02

46

810

12

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Ha

mm

ing

n

•Notar

asimetriadas

janelas

-man

utencaodafase

linear.

FiltrosDigitais

tipoFIR

16

EfeitodoJanelamento

-Frequencia

00.5

10

0.2

0.4

0.6

0.81

00.5

10

0.2

0.4

0.6

0.81

00.5

10

0.2

0.4

0.6

0.81

Janela retangular

00.5

10

0.2

0.4

0.6

0.81

N=

3N

=15

N=

31N

=61

ω/π

ω/π

00.5

10

0.2

0.4

0.6

0.81

00.5

10

0.2

0.4

0.6

0.81

00.5

10

0.2

0.4

0.6

0.81

Janela de Hamming

00.5

10

0.2

0.4

0.6

0.81

N=

3N

=15

N=

31N

=61

ω/π

ω/π

FiltrosDigitais

tipoFIR

17

Cara

cterısticasdeJanelas

Caracterısticas

defiltros(passa-baixas,passa-altas,passa-faixa,

rejeita-

faixa)

projetados

com

janelas

decomprimento

N=

M+1

Janela

Δω/2π

Rp[dB]

Rs[dB]

LL

[dB]

δRetan

gular

0.9/N

0.7416

2113

0.089137

Han

ning

3.1/N

0.0546

4431

0.006306

Ham

ming

3.3/N

0.0194

5341

0.002236

Blackman

5.5/N

0.0017

7457

0.000196

Kaiser(β

=4.54)

2.93/N

0.0274

5034

0.003156

Kaiser(β

=6.76)

4.32/N

0.0027

7049

0.000316

Kaiser(β

=8.96)

5.71/N

0.000274

9066

0.000031

•Δω=

|ωs−

ωp|:largura

dafaixadetran

sicao

•R

p:max

imoripple

nafaixadepassagem

•R

s:m

ınim

aatenuacao

nafaixaderejeicao

•LL:relacaoentreas

magnitudes

dolobulo

principaledolobulo

lateral

•δeodesvio

efetivam

ente

obtidoquan

dose

utiliza

determinad

ajanela

•Notar

queδ=

δ p−ef

etivo=

δ s−ef

etivo

FiltrosDigitais

tipoFIR

18

Janela

deKaiser

•Jan

elas

com

form

atofixo:

apresentam

um

valorfixodenıveldelobulo

lateral,queindep

endedocomprimento

-oresultad

opodenao

sero

melhor

(menor

ordem

).

•AjaneladeKaiserenaverdad

eum

conjunto

dejanelas

param

etrizadas

por

β,cham

adodefatorde

form

a.

Dessa

man

eira,β

esta

rela-

cion

adocom

onıvel

delobulo

lateraldajanela.

Pro

cedim

ento

depro

jeto:

1.Determinar

alargura

detran

sicao:

Δω=

|ωs−

ωp|

2.Calcular:

A=

−20

log 1

0min{δ p,δ

s}

3.Determinar

ofatorβ:

β=

0,A

<21

0.5842(A

−21)0

.4+0.07886(A−21),

21≤

A≤

500.1102(A

−8.7),

A>

50

4.Calcularovalorap

roxim

adodeM

:

M=

A−

8

2.285Δ

ω

noqual

pode-se

terumavariacao

paramaisou

paramenos.

FiltrosDigitais

tipoFIR

19

Meto

dodojanelamento

Escolhadajanela:

1.Escolher

otipodajaneladeacordocom

osmax

imos

desviosnas

faixas

depassagem

erejeicao;

2.Determinar

oco

mprimento

dajaneladeacordocom

alargura

da

faixadetran

sicao.

Pro

cedim

ento

depro

jeto:

1.A

partirdas

especificacoes,determinar

aresposta

emfreq.ideal,ja

incorporan

dooterm

ocom

fase

linear(em

gerale−

jωM

/2);

2.Calculararesposta

impulsivaidealhd[n];

3.Determinar

otipo/form

atoeocomprimento

(M+

1)dajanelaw[n]

queatendeas

especificacoes;

4.Obteraresposta

dofiltro:h[n]=

hd[n]·w[n];

5.Verificarse

ofiltro

atendeas

especificacoes.Senecessario,

voltar

ao

passo

3.

FiltrosDigitais

tipoFIR

20

Exemplo:FiltroPassa-B

aixas

Esp

ecificacoes

•faixadepassagem:0a1.5kHz

•largura

detran

sicao:

0.5kHz

•freq.derejeicao:2.0kHz

•Max

imoRipple

nafaixadepassagem:0.1dB

•Mınim

aatenuacao

nafaixaderejeicao:50

dB

•Freq.am

ostragem

:8kHz

Tra

nsform

andopara

freq.discretasω=

2πf/f

s:

•faixadepassagem:0aωp=

3π/8

•largura

detran

sicao:

Δω=

π/8

•freq.derejeicao:ωs=

π/2

•Max

imoRipple

nafaixadepassagem:R

p=

0.1dB

(δp=

0.0116)

•Mınim

aatenuacao

nafaixaderejeicao:R

s=

50dB

(δs=

0.0032)

•Freq.am

ostragem

:8kHz

FiltrosDigitais

tipoFIR

21

Solucao

1.A

partirdas

especificacoes,determina-se

aresposta

emfrequenciado

filtro

passa-baixas

ideal/desejad

oH

d(e

jω)com

fase

linear,

noqual

aordem

Maindaedesconhecidaeωc=

(ωp+

ω2)/2=

0.4375π

ea

frequenciadecorte.

Con

sidera-se

um

term

odefase

linar

e−jω

M 2.

Hd(e

jω)=

e−jω

M 2,|ω|≤

ωc

0,ωc<

|ω|≤

π

2.Determina-se

aexpressao

daresposta

impulsivadofiltro

ideal/desejad

o:

hd[n]=

sinωc(n−

M/2)

π(n

−M/2)

3.A

partirdomınim

odesvio

(0,0032),oqueequivaleaumaatenuacao

de50

dB,escolhe-se

natabelaumajanelaquesatisfaz

aessa

condicao:

Ham

ming,

Blackman

,Kaiser,etc.

Escolhe-se

aqueresultaem

menor

ordem

,nocaso

ajaneladeHam

ming;

4.Determina-se

ocomprimento

dajanela,

neste

caso

N=

3.3/(Δ

ω/2π),

naqual

alargura

detran

sicaonormalizad

ae:

Δω

2π=

|ωs−

ωp|

2π=

1 16

Oqueresultaem

N=

52.8.

Com

oN

deveserinteiro,

utiliza-se

N=

53,oqueequivaleaM

=52,ou

seja,trata-se

deum

filtro

FIR

tipoI,poisaresposta

esimetrica.

5.Deposse

dos

valoresnumericos

deM

eωc,calculam-seos

valoresde

hd[n]para0≤

n≤

M=

52;

6.Calcula-seajanelaw[n],decomprimento

53:

w[n]=

0.54

−0.46

cos(2π

n/M

),0≤

n≤

M=

52

7.Realiza-seojanelam

ento

daresposta

ideal/desejad

a,ob

tendo-se

ofil-

tropratico:

h[n]=

hd[n]·w[n]

FiltrosDigitais

tipoFIR

22

Exemplo:FiltroPassa-B

aixas-janela

deHamming

010

20

30

40

50

60

−0.20

0.2

0.4

0.6

resp

osta

id

ea

l h

d[n

]

amplitude

010

20

30

40

50

60

−0.20

0.2

0.4

0.6

resp

osta

ob

tid

a h

[n]=

hd

[n].

w[n

]. J

an

ela

de

Ha

mm

ing

N=

53

am

ostr

a n

amplitude

FiltrosDigitais

tipoFIR

23

Exemplo:FiltroPassa-B

aixas-janela

deHamming

00.2

0.4

0.6

0.8

1−

80

−60

−40

−200

Re

sp

osta

em

fre

qu

en

cia

dB

00.2

0.4

0.6

0.8

1−

50

−40

−30

−20

−100

Re

sp

osta

de

Fa

se

rad

ω/π

00.0

50.1

0.1

50.2

0.2

50.3

0.3

5

0.9

981

1.0

02

Fa

ixa

de

Pa

ssa

ge

m −

Ha

mm

ing

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

10123

x 1

0−

3F

aix

a d

e R

eje

içã

o

ω/π

FiltrosDigitais

tipoFIR

24

Exemplo:FiltroPassa-B

aixas-janela

deKaiser

•A

=50

•β=

0.1102(A

−8.7)

=4.55

•N

>(A

−8)/(2.285Δ

ω)=

47.9

⇒N

=48,M

=47

•NoMATLAB:w=kaiser(N,beta);

010

20

30

40

50

−0.20

0.2

0.4

0.6

resp

osta

id

ea

l h

d[n

]

amplitude

010

20

30

40

50

−0.20

0.2

0.4

0.6

resp

osta

ob

tid

a h

[n]=

hd

[n].

k[n

]. J

an

ela

de

Ka

ise

r N

=4

8

am

ostr

a n

amplitude

FiltrosDigitais

tipoFIR

25

Exemplo:FiltroPassa-B

aixas-janela

deKaiser

00.2

0.4

0.6

0.8

1−

80

−60

−40

−200

Re

sp

osta

em

fre

qu

en

cia

dB

00.2

0.4

0.6

0.8

1−

40

−30

−20

−100

Re

sp

osta

de

Fa

se

rad

ω/π

00.0

50.1

0.1

50.2

0.2

50.3

0.3

5

0.9

981

1.0

02

Fa

ixa

de

Pa

ssa

ge

m −

Ka

ise

r

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

10123

x 1

0−

3F

aix

a d

e R

eje

içã

o

ω/π

FiltrosDigitais

tipoFIR

26

Exemplo

-FIR

Janelamento

Sejaum

diferenciad

orcom

fase

linear:

Hdif(e

jω)=

(jω)e

−jω

M/2,

−π<

ω<

π

Acorrespon

dente

resposta

impulsivaidealedad

apor:

hdif[n]=

cosπ(n

−M/2)

n−M/2

−sinπ(n

−M/2)

π(n

−M/2)2

,−∞

<n<

∞

Paraob

terum

filtro

FIR

,multiplica-searesposta

idealpor

umajanela

w[n],decomprimento

N=

M+1:

h[n]=

hdif·w[n]

•A

resposta

impulsivaob

edeceah[M

−n]=

−h[n]

•Filtros

FIR

tipos

IIIou

IV

FiltrosDigitais

tipoFIR

27

Resp

ostapara

M=5,janela

retangular

01

23

45

−1.5−1

−0.50

0.51

1.5

Difere

ncia

dor,

resposta

im

puls

iva, M

=5, ja

nela

reta

ngula

r

am

ostr

a

00.2

0.4

0.6

0.8

10

0.51

1.52

2.53

3.5

Difere

ncia

dor,

resposta

em

fre

q, M

=5, ja

nela

reta

ngula

r

Magnitude

ω/π

FiltrosDigitais

tipoFIR

28

Resp

ostapara

M=5,janela

retangular

05

10

15

20

25

30

35

40

0

0.2

0.4

0.6

0.81

entrada

Difere

ncia

dor,

M=

5, re

tangula

r

05

10

15

20

25

30

35

40

−2

−1012

am

ostr

a

saída

05

10

15

20

25

30

35

40

05

10

15

20

Difere

ncia

dor,

M=

5, re

tangula

r

entrada

05

10

15

20

25

30

35

40

−4

−2024

am

ostr

a

saída

FiltrosDigitais

tipoFIR

29

Resp

ostapara

M=5,janela

deHamming

01

23

45

−1.5−1

−0.50

0.51

1.5

am

ostr

a

Difere

ncia

dor,

resposta

im

puls

iva, M

=5

00.2

0.4

0.6

0.8

10

0.51

1.52

2.53

3.5

Difere

ncia

dor,

resposta

em

fre

q., M

=5

Magnitude

ω/π

FiltrosDigitais

tipoFIR

30

Resp

ostapara

M=5,janela

deHamming

05

10

15

20

25

30

35

40

0

0.2

0.4

0.6

0.81

Entrada

Difere

ncia

dor,

M=

5

05

10

15

20

25

30

35

40

−2

−1012

Saída

am

ostr

a

05

10

15

20

25

30

35

40

05

10

15

20

Entrada

Difere

ncia

dor,

M=

5

05

10

15

20

25

30

35

40

−4

−2024

Saída

am

ostr

a

FiltrosDigitais

tipoFIR

31

Resp

ostapara

M=6,janela

deHamming

01

23

45

6−

0.8

−0.6

−0.4

−0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

am

ostr

a

Difere

ncia

dor,

resposta

im

puls

iva, M

=6

00.2

0.4

0.6

0.8

10

0.51

1.52

2.53

3.5

Difere

ncia

dor,

resposta

em

fre

q., M

=6

Magnitude

ω/π

FiltrosDigitais

tipoFIR

32

Resp

ostapara

M=6,janela

deHamming

05

10

15

20

25

30

35

40

0

0.2

0.4

0.6

0.81

Entrada

Difere

ncia

dor,

M=

6

05

10

15

20

25

30

35

40

−1

−0.50

0.51

Saída

am

ostr

a

05

10

15

20

25

30

35

40

05

10

15

20

Entrada

Difere

ncia

dor,

M=

6

05

10

15

20

25

30

35

40

−4

−2024

Saída

am

ostr

a

FiltrosDigitais

tipoFIR

33

Amostra

gem

em

Frequencia

Con

sisteem

amostrar

aresposta

emfrequenciaidealou

desejad

aecalcular

aDFT

inversa.

Sejaumaresposta

desejad

a:

Hd(e

jω)=

|Hd(e

jω)|ej

6H

d(e

jω)

Amostran

doH

d(e

jω)em

Lpon

tosequiespacad

osentreω

=0e2π

,

tem-se:

H[k]=

Hd(e

jω)|ω=2πk/L,

k=0..L−1

ApartirdeH[k]calcula-seaDFT

inversa,

obtendo-se

aresposta

im-

pulsiva.

Dateoria

daDFT,sabe-se

quearesposta

notemposera

composta

por

um

perıododosinal:

h[n]=

∞X

r=−∞hd[n

−rL

]

h[n]=

h[n],

n=

0..L

−1

Assim

,podehaver

aliasingnotempo,

caso

aresposta

impulsivadesejad

a

nao

tenhaduracaomenor

ouigual

aL,queeocaso

geral.Um

janelam

ento

tambem

podeserutilizadoparareduziresse

problema.

FiltrosDigitais

tipoFIR

34

Exemplo

-FIR

Amostra

gem

em

Frequencia

Con

sidereum

filtro

passa-baixas

com

assegu

intesespecificacoes

emrelacao

asfrequencias

decorte:

ωp=

0.4π

ωs=

0.5π

Usandoatecnicadeam

ostragem

emfrequencia,

aresposta

demagni-

tudeam

ostrad

afica

comoindicad

aasegu

ir,com

L=

32am

ostras

entre0

e2π

−2π

/L:

00.5

11.5

20

0.2

0.4

0.6

0.81

1.2

Resposta

deseja

da

ω/π

Dos

valoresdeH

d[k],incorpora-se

umafase

linearecalcula-seaDFT

inversa,

obtendo-se

aresposta

impulsivah[n].

Estaresposta

podeainda

sermultiplicadapor

umajaneladeHan

ning,

por

exem

plo.

Osgrafi

cos

segu

intesmostram

asrespostasim

pulsivas

eas

magnitudes:

FiltrosDigitais

tipoFIR

35

05

10

15

20

25

30

−0.20

0.2

0.4

Am

ostr

agem

em

Fre

q. −

Reta

ngula

r

00.2

0.4

0.6

0.8

1−

80

−60

−40

−200

ω/π

05

10

15

20

25

30

−0.20

0.2

0.4

Am

ostr

agem

em

Fre

q. −

Hannin

g

00.2

0.4

0.6

0.8

1−

80

−60

−40

−200

ω/π

FiltrosDigitais

tipoFIR

36

Meto

dosOtimos

Con

sistedaap

roxim

acao

daresposta

emfrequenciadesejad

aem

term

osdoerro

quad

ratico

oudoerro

absoluto.

Sejaum

filtro

FIR

tipoI(resp.im

p.simetrica,M

par):

H(e

jω)=

MX n=0

h[n]e

−jω

n=

A(ω

)e−jω

M/2

e

A(ω

)=

M/2

X n=0

d[n]cos(ω

n)

emqued[0]=

h[M

/2];

d[k]=

2h[(M/2)−

k],

k=

1..M

/2

Supon

haquesejam

dad

asas

especificacoes

deum

filtro

por

meiode

umaresposta

desejad

a:

Hd(e

jω)=

D(ω

)e−jω

M/2

naqual

D(ω

)representa

aresposta

deam

plitudedesejad

a.

•Problema:

determinar

oscoeficientesd[n]quemelhor

aproxim

ema

resposta

desejad

a.

EscolhendoL

pon

tosdaresposta

desejad

a,nas

freq.ωi,i=

0..L

−1,

procura-seomelhor

A(ω

i)queap

roxim

aD(ω

i)segu

ndoum

criteriodeerro.

FiltrosDigitais

tipoFIR

37

Meto

dosOtimos

•Aproxim

acao

pela

minim

izacao

do

erro

quadra

tico

:Deve-se

procuraros

coeficientesd[n]queminim

izem

oerro

dad

opor:

E=

LX i=

1

e2 i=

LX i=

1[A(ω

i)−

D(ω

i)]2

Oresultad

oedad

opelasolucaodemınim

osquad

rados

discretos

(ref:

Proak

is)

•Aproxim

acaopela

minim

izacaodoerroabso

luto:Procuram-se

oscoeficientestalque,

definindooerro:

E(ω

)=

A(ω

)−

D(ω

)

tenha-se

min{max

|E(ω

)|}

consideran

doos

errosnas

faixas

depassagem

erejeicao,nas

freq.

ωiescolhidas.

Asolucaoedad

apeloalgoritm

odeRem

ez(P

arks-

McC

lellan

).

FiltrosDigitais

tipoFIR

38

FiltrosOtimos-M

inim

ax

Con

sidereum

filtro

FIR

tipoI(sim

etrico,M

par),

cuja

resposta

erepre-

sentadapor:

H(e

jω)=

A(ω

)e−jω

L

naqual

A(ω

)=

LX n=0

d[n]cos(nω)

eha(L

+1)

param

etrosadeterminar.

Con

sidereagoraumaresposta

desejad

a

Hd(e

jω)=

D(ω

)e−jω

L

Nocaso

deum

filtro

passa-baixas,D(ω

)ficaria:

D(ω

)=

1,ω∈[0,ω

p](faixadepassagem)

0,ω∈[ω

s,π

](faixaderejeicao)

Definindoafuncaopeso:

W(ω

)=

δ s/δ

p,ω∈[0,ω

p]

1,ω∈[ω

s,π

]

naqual

δ peδ s

saoconstan

tesrelacion

adas

aosdesviosnas

faixas

depas-

sagem

erejeicao.O

erro

normalizad

ofica:

E(ω

)=

W(ω

)[A(ω

)−D(ω

)]

AfuncaopesoW

(ω)serveparanormalizar

oserrosnas

faixas

depassagem

erejeicao,quepodem

terdesviosdiferentes.

Oproblemaconsisteem

determinar

oscoeficientesd[n]queminim

izem

omax

imoerro

absoluto

|E(ω

)|quan

doωestivernas

faixas

depassagem

erejeicao.

FiltrosDigitais

tipoFIR

39

Solucaodaaproxim

acao

Asolucaoedad

apeloTeoremadaAlternan

cia:

Teorema

da

Altern

ancia:SejaΩ

um

subconjunto

deω

em[0,π

],

comopor

exem

plo

auniaodos

conjuntos[0,ω

p]e[ω

s,π

].EntaoA(ω

)ea

unicaemelhorap

roxim

acao

deD(ω

)(nosentidodeminim

izar

omax

imo

erro

absoluto)se

esomente

seafuncaoerro

E(ω

)eequiripple

etem

pelo

menos

L+2frequencias

ondeaderivad

aezero

(frequencias

extrem

antes).

Em

outras

palavras,existem,noconjunto

Ω,frequencias

extrem

antes

0≤

ω1<

ω2...<

ωL+2≤

π

queincluem

ωpeωs,talque:

E(ω

i)=

−E(ω

i+1)=

±|E

m|,

i=

1,2,...,

L+1

noqual

|Em|=

max

{ω∈Ω}|E

(ω)|

Umaresposta

queob

edeceao

teorem

adaalternan

cia,

paraL=

7,e:

FiltrosDigitais

tipoFIR

40

Possıveis

aproxim

acoespara

L=7

FiltrosDigitais

tipoFIR

41

Algoritm

ode

Park

s-M

cClellan

ou

Algoritm

ode

Re-

mez

Oob

jetivo

doproblemaedeterminar

amelhor

aproxim

acao

nas

frequencias

ωi,talque:

W(ω

i)[A

(ωi)−

D(ω

i)]=

(−1)

i+1δ,

i=

1,2,...,

(L+2)

ou LX n=0

d[n]cos(nωi)−

(−1)

i+1

δ

W(ω

i)=

D(ω

i),

i=

1,2,...,

(L+2)

Asolucaoedad

apelamelhor

aproxim

acao

polinom

ialqueob

edecaao

teorem

adaalternan

cia,

com

assegu

intescondicoes:

•O

numeromax

imodealternan

cias

e(L

+3);

•Alternan

cias

sempre

ocorrem

emωpeωs;

•O

filtro

sera

equiripple,exceto

epossivelm

ente

emω=

0eω=

π.

ParkseMcC

lellan

mostraram

queosegu

inte

algoritm

oresolveoprob-

lema:

FiltrosDigitais

tipoFIR

42

Algoritm

ode

Park

s-M

cClellan

ou

Algoritm

ode

Re-

mez

Pri

mei

ra�es

tim

ativ

a�das

(L+

2)�f

req.�e

xtr

eman

tes

Cal

cula

�oóti

mo�no

conju

nto

�

�i

Há�m

ais�d

e�(L

+2)

freq

.�extr

eman

tes�?

Inte

rpola

�pel

os�(

L+

1)

ponto

s�par

a�obte

r�A(e

)j�

Mel

hor

apro

xim

ação

Conse

rva�(

L+

2)�f

req.

refe

rente

s�aos�m

áxim

os

extr

emos

Cal

cula

�o�er

ro�E

()�e

enco

ntr

a�o�m

áxim

o,

onde�|

E(

)|>

=

�

��

As�f

req.

extr

eman

tes�s

em

odif

icar

am?

Sim

Sim

Não

Não

FiltrosDigitais

tipoFIR

43

Algoritm

ode

Park

s-M

cClellan

ou

Algoritm

ode

Re-

mez

Estim

ativadoco

mprimento

dofiltro

Umaap

roxim

acao

paraovalordeM

paraum

filtro

passa-baixas

com

aproxim

acao

pelometodootim

ofoidad

apor

Kaiser(1974):

M=

−10

log 1

0(δ

1δ 2)−

13

2.324Δ

ω

FiltrosDigitais

tipoFIR

44

Exemplo:Algoritm

odeRemez

Deseja-se

aproxim

arafuncaod(x)=

x4+

xpor

umafuncaodosegu

ndo

grau

:a(x)=

a0+a1x+a2x2nointervalo[0,1]usandoatecnicadamini-

mizacao

doerro

max

imoab

soluto.

Solucao:

Com

oopolinom

iodosegu

ndograu

tem

L=

2,hapelomenos

L+

2=

4frequencias

extrem

antes.

Con

sideran

doaprimeira

estimativa,

incluindoos

extrem

os,como: X1=

{0,0.3,

0.5,

1}

Deve-se

buscar

asolucaoparaaap

roxim

acao:

W(x

i)[a(x

i)−d(x

i)]=

(−1)

i+1δ,

i=

1,2,

3,4.

ou,consideran

doafuncaopesoigual

a1:

a(x

i)−

(−1)

i+1δ=

d(x

i),

i=

1,2,

3,4.

a0+a1xi+a2x2 i−(−

1)i+

1δ=

d(x

i),

i=

1,2,

3,4.

Naprimeira

iteracao,tem-seosistem

a:

10

021

10.3

0.32

−1

10.5

0.52

1

11

12−1

a0

a1

a2 δ

=

00.34

+0.3

0.54

+0.5

14+1

=

00.3081

0.5625

2

Cuja

solucaoe:

a0

a1

a2 δ

=

0.0337

0.3175

1.6150

0.0337

FiltrosDigitais

tipoFIR

45

Calculandoagoraafuncaoerro:e(x)=

a(x)−

d(x),

tem-seografi

co

segu

inte,deon

detira-sequeas

frequencias

extrem

anteseos

respectivos

errossao:

X2=

{0,0.23,0.76,1}

e(X

2)=

{0.0337,

−0.0405,0.1142,−0.0337}

00

.20

.40

.60

.81

−0

.06

−0

.04

−0

.020

0.0

2

0.0

4

0.0

6

0.0

8

0.1

0.1

2P

rim

eira

ite

raçã

o

x

e(x)

Com

ooresultad

odoerro

nao

eequiripple,utilizandoX

2,repete-se

o

procedim

ento,consegu

indoosegu

inte

resultad

o:

a0

a1

a2 δ

=

0.0619

0.0546

1.8214

−0.0619

FiltrosDigitais

tipoFIR

46

Anovafuncaoerro

eas

frequencias

extrem

antessaodad

aspor:

X3=

{0,0.28,0.78,1}

e(X

3)=

{0.0619,

−0.0661,0.0626,−0.0619}

00

.20

.40

.60

.81

−0

.08

−0

.06

−0

.04

−0

.020

0.0

2

0.0

4

0.0

6

0.0

8S

eg

un

da

ite

raçã

o

x

e(x)

Rep

etindonovam

ente:

a0

a1

a2 δ

=

0.0634

0.0615

1.8116

−0.0634

X4=

{0,0.28,0.78,1}

e(X

3)=

{0.0634,

−0.0634,0.0634,−0.0634}

FiltrosDigitais

tipoFIR

47

00

.20

.40

.60

.81

−0

.08

−0

.06

−0

.04

−0

.020

0.0

2

0.0

4

0.0

6

0.0

8T

erc

eira

ite

raçã

o

x

e(x)

Noqual

nota-se

queoerro

eequiripple

efinalizam

-seaq

uias

iteracoes.

Osgrafi

cosdafuncaod(x)=

x4+xedafuncaoa(x)sao:

00

.20

.40

.60

.81

0

0.2

0.4

0.6

0.81

1.2

1.4

1.6

1.82

x

Ap

roxim

açã

o −

alg

oritm

o d

e R

em

ez

x4+

x

0.0

63

44

8 +

0.0

61

50

4 x

+ 1

.81

16

x2

FiltrosDigitais

tipoFIR

48

Exemplo:FiltroPassa-B

aixas-Algoritm

odeRemez

•N

=44,M

=43

05

10

15

20

25

30

35

40

45

−0

.20

0.2

0.4

0.6

resp

osta

ob

tid

a h

[n].

Alg

oritm

o d

e R

em

ez N

=4

4

am

ostr

a n

amplitude

00

.20

.40

.60

.81

−8

0

−6

0

−4

0

−2

00

Re

sp

osta

em

fre

qu

en

cia

dB

00

.20

.40

.60

.81

−4

0

−3

0

−2

0

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FiltrosDigitais

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Algunsco

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ATLAB

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•Jan

elas:

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•Projeto

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•Analise

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