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PROGRAMA PARA A PROVA NA ÁREA DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA Subárea de Mecânica/Fenômeno de Transportes Tema 01 – Estática Abstrata – Força – Equilíbrio; Momento estático, Redução de Sistemas de Forças. Tema 02 – Estática Técnica - Vínculos –Apoios –Ligações; Equilíbrio de Sistemas de Forças; Estruturas. Tema 03 – Análise vetorial: derivada vetorial; operadores; fórmulas de Frenet. Tema 04 – Conceitos Fundamentais dos fenômenos de transportes: O fluido como continuum, Campo de velocidade, Campo de tensões, Viscosidade, A lei de Newton da viscosidade, Classificação dos escoamentos; Tema 05 – Estática dos Fluidos: Manometria, Forças hidrostáticas sobre superfícies submersas, Empuxo e estabilidade, Fluidos em movimento de corpo rígido; Tema 06 – Equações Básicas na forma integral para um volume de controle: Conservação de massa, Segunda lei de Newton, Momento da quantidade de movimento, Primeira e segunda leis da termodinâmica; Tema 07 – Equações de Navier-Stokes: Uma breve apresentação; Tema 08 – Escoamento Incompressível de Fluidos não Viscosos: Equação de Bernoulli, Aplicações e restrições; Tema 09 – Análises Dimensional e Semelhanças: O Teorema dos PI de Buckingham, Determinação dos grupos adimensionais de importância na Mecânica dos Fluidos, Semelhança de escoamentos e estudos em Modelos; Tema 10 – Escoamento Viscoso, Incompressível, Interno: Escoamento laminar completamente desenvolvido, Escoamento em Tubos e Dutos, Cálculo de perda de carga; Escoamento Viscoso, Incompressível, Externo: O conceito de camada limite fluidodinâmica.

Notas de Aula - Mecanica Dos Fluidos

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  • PROGRAMA PARA A PROVA NA REA DE CINCIAS EXATAS E DA TERRA

    Subrea de Mecnica/Fenmeno de Transportes Tema 01 Esttica Abstrata Fora Equilbrio; Momento esttico, Reduo de Sistemas de Foras. Tema 02 Esttica Tcnica - Vnculos Apoios Ligaes; Equilbrio de Sistemas de Foras; Estruturas. Tema 03 Anlise vetorial: derivada vetorial; operadores; frmulas de Frenet. Tema 04 Conceitos Fundamentais dos fenmenos de transportes: O fluido como continuum, Campo de velocidade, Campo de tenses, Viscosidade, A lei de Newton da viscosidade, Classificao dos escoamentos; Tema 05 Esttica dos Fluidos: Manometria, Foras hidrostticas sobre superfcies submersas, Empuxo e estabilidade, Fluidos em movimento de corpo rgido; Tema 06 Equaes Bsicas na forma integral para um volume de controle: Conservao de massa, Segunda lei de Newton, Momento da quantidade de movimento, Primeira e segunda leis da termodinmica; Tema 07 Equaes de Navier-Stokes: Uma breve apresentao; Tema 08 Escoamento Incompressvel de Fluidos no Viscosos: Equao de Bernoulli, Aplicaes e restries; Tema 09 Anlises Dimensional e Semelhanas: O Teorema dos PI de Buckingham, Determinao dos grupos adimensionais de importncia na Mecnica dos Fluidos, Semelhana de escoamentos e estudos em Modelos; Tema 10 Escoamento Viscoso, Incompressvel, Interno: Escoamento laminar completamente desenvolvido, Escoamento em Tubos e Dutos, Clculo de perda de carga; Escoamento Viscoso, Incompressvel, Externo: O conceito de camada limite fluidodinmica.

  • Tema 01: Esttica Abstrata Fora Equilbrio; Momento esttico, Reduo de Sistemas de Foras. Referncias: [1] L. N. F Franca e A. Z. Matsumara, Mecnica Geral, 1 ed., Editora Edgard Blcher Ltda, So Paulo, 2001. [2] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Mecnica, vol. 1 e 2, 4 ed., LTC Livros Tcnicos e Cientficos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1993. [3] J. L. Meriam e L. G. Kraige, Engenharia Mecnica Esttica, 4 ed. LTC Livros Tcnicos e Cientficos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1999. [4] A. Fonseca, Curso de Mecnica, vol. 1, 3 ed., LTC Livros Tcnicos e Cientficos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1976. [5] R. C. Hibberler, Mecnica Esttica, 8 ed., LTC Livros Tcnicos e Cientficos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1999. Esttica Abstrata.

    Denominaremos de esttica abstrata as condies de equilbrio de um corpo sujeitas a um sistema de foras. Neste, observamos suas relaes de soma e subtrao, seus pontos de ao, momentos de fora, etc. Essas condies de equilbrio se subordinam em primeiro lugar a situao de dependncia do corpo, isto , sua prpria estabilidade, ou seja, a natureza dos vnculos que o sujeitam e nos quais despertam-se reaes capazes de contrabalanar o sistema de foras ativas que tendem a mover o corpo. Fora Quando estudamos movimentos de corpos a sempre algumas quantidade fsica que se conservam (energia, momentum linear, momentum angular). Em um sistemas de corpos isolados ( 1A , 2A , ..., iA , ..., nA ) com massas ( 1m , 2m , ..., im , ..., nm ) deslocando-se com direes e sentidos dado pelo vetores velocidade ( 1v

    , 2v , ..., iv

    , ..., nv ), a

    quantidade definida como momentum linear do sistema p dada como:

    =

    =n

    iiivmp

    1

    (1)

    O momentum linear do sistema isolado uma constante temporal, isto , mesmo com interaes internas do sistema de corpos, mudando o momento linear iii vmp

    = de

    cada corpo i , a soma total das contribuies de cada corpo ao sistema permanece inalterado ao longo do tempo. Assim, se temos um sistema composto de uma nica partcula de massa m isolada, observamos que o seu momentum linear vmp = permanece inalterado temporalmente, em outras palavras, vejamos o que isso significa:

    1 Lei de Newton (Lei da inrcia). Se um corpo esta em movimento uniforme com certa direo e sentido e

    no interage com nenhum outro corpo ento permanecera com este movimento uniforme, direo e sentido, de forma inalterada enquanto esta situao durar.

  • Em um sistema isolado de n corpos interagindo entre si, temos derivando ambos os lados da equao (1) no tempo:

    ===

    ====n

    jii

    ijn

    i

    in

    i

    ii dt

    pddtpd

    dtpd

    dtvdm

    dtpd

    1110

    (2)

    Definimos a quantidade fsica

    dtpdF ii

    = (3)

    como sendo a fora que esta atuando no corpo i de massa im por uma mudana de seu momentum linear ip

    . Observe, pela equao (3), que isto equivalente a termos a acelerao dtvda ii

    = sendo aplicada ao corpo de massa im constante, isto :

    ( ) iiiiiiiiii amFamdtvdmvm

    dtdF

    ==== (4)

    Assim, da equao (2) a fora resultante RF

    atuante na partcula j do sistema na forma:

    ( ) jjn

    iiR amFF ==

    (5)

    onde iF a fora que atua na partcula i devido a partcula j .

    2 Lei de Newton (Lei da Fora). Se um corpo sofre uma interao com outros corpos ento a fora

    resultante sobre ele ser a soma de todas as foras em sentido contrario atuante em cada corpo que interage com ele.

    Da equao (2) temos tambm que quando dois copos, digamos 1 e 2, interagem

    entre si, a fora que atua em um igual e com sentido contrario a fora que atua no outro corpo.

    2121

    100 FF

    dtpd

    dtpd

    dtpdn

    i

    i ==+==

    (6)

    3 Lei de Newton (Lei da Ao e reao).

    Se um corpo sofre uma interao com outro corpo ento a fora resultante sobre ele ser igual a fora em sentido contrario atuando no outro corpo.

    Assim podemos tambm usar a 3 lei de Newton para reescrever a formula para a segunda lei de Newton de um conjunto de foras distribudas espacialmente em pontos diferentes para um conjunto de foras atuando diretamente na partcula de interresse

    jj

    n

    iiR amFF ==

    (7)

    onde iF agora representa a fora que atua na partcula j devido a partcula i . Assim a fora resultante representa a fora total que a partcula esta sendo submetida e isto ser proporcional a sua acelerao e massa. As trs leis de Newton vm quantificar o que definimos como fora. Intuitivamente a conceito de fora, em nosso dia a dia, esta relacionado com a ao recproca de um corpo sobre outro, determinado mudanas em seus movimentos (no seu modulo, direo ou sentido),

  • Medidas de Fora. No S.I. a unidade de Fora o Newton ( 2/ smkgN = ) que representa a fora resultante em um corpo de massa kg1 com uma acelerao de 2/1 sm . Outros sistemas de unidades tambm so usados, tais como: MKS com forakg ( forakgN 8,91 = ), CGS com a dina ( Ndina 5101 = ). Sistemas de Fora. Denominamos de sistema de foras ao conjunto de foras atuando em um ponto P de um corpo cuja sua soma vetorial seja uma fora resultante RF

    dada por:

    =i

    iR FF

    (8)

    Para realizao desta soma de foras devemos decompor os vetores iF

    em componentes escalares. O nmero de componentes depende do tipo de sistema em que elas estejam envolvidas. Assim em problemas em que todas as foras esto atuando paralelas a uma reta podemos considerar como sendo um sistema de foras unidimensional e cada fora pode ser representado por um escalar e suas somas so feitas da mesma forma que nos escalares. Um exemplo para este tipo de sistema o sistema de foras produzindo trao ou compresso em uma barra, figura 1.

    Figura 1. Foras unidimensionais em uma barra.

    Em sistemas em que todas as foras envolvidas esto em plano (sistema bidimensional) devemos decompor estas foras em duas componentes ortogonais entre si, digamos num plano definido por xy , assim teremos a estrutura mostrada no exemplo abaixo:

    Figura 2. Decomposio de fora bidimensional.

  • Figura 3. Sistema de foras co-planares.

    Em sistemas tridimensionais podemos decompor as foras em trs componentes ortogonais entre si usando as relaes conhecidas como co-senos diretores, mostrado na figura 4, Ainda, podemos tambm usar a notao vetorial de vetores unitrios ( )kji ,, para escrever a fora ( )zyx FFFF ,,=

    na forma . kFjFiFF zyx ++=

    Tornando, intuitivo

    a soma de vetores. Assim, as componentes ( )zRyRxR FFF ,, do vetor resultante RF

    de um sistema de foras:

    kFjFiFF zRyRxRR ++=

    =i

    xixR FF , =i

    yiyR FF , =i

    zizR FF (9)

    Figura 4. Decomposio de foras tridimensionais por co-senos diretores.

    Na equao para RF

    a insero de trs vetores unitrios i , j e k no espao real tridimensional possibilita que qualquer vetor possa ser escrito como uma combinao linear de i , j e k . Desde que i , j e k so linearmente independentes (nenhum combinao linear do outro), eles formam uma base do espao real tridimensional 3R . Momento de um sistema de foras Momento de uma fora F

    ou torque de F

    aplicado em um ponto P em relao a um

    ponto O o vetor definido por: FrM

    = (10)

    onde, r um vetor com modulo ____OP e sentido de O para P , representa o produto

    vetorial.

  • Assim, podemos observar pelo produto vetorial que o vetor M

    perpendicular ao plano definido pelos vetores F

    e r , e tem por intensidade ( )rFsenM = , sendo

    o ngulo entre F

    e r , F e r seus mdulos, respectivamente.

    Figura 5. Momento de uma fora em relao a um ponto.

    De uma forma mais clara, podemos escrever a equao (10) na forma das componentes cartesianas do momento. Seja ( )zyxr ,,= e ( )zyx FFFF

    ,,= , ento as

    componentes de ( )zyx MMMM ,,=

    sero dados por:

    ==

    xy

    zx

    yz

    zyxz

    y

    x

    yFxFxFzFzFyF

    FFFzyxkji

    MMM

    det (11)

    Fisicamente o vetor torque M

    representa a rotao exercida ao redor de um ponto O devido aplicao da fora F

    a uma distancia r do ponto do O .

    Uma propriedade do momento de uma fora sua invarincia em relao ao ponto de aplicao da fora desde que este esteja sobre a linha de atuao da fora. Prova: Seja r e r os vetores deslocamento em relao aos pontos P e P que esto na linha de atuao da fora F

    , veja figura 6.

    Figura 6. Momento de uma fora em uma linha de ao.

  • Assim:

    FrMFrFPPFrFPPrFrM

    ===

    ==

    (12)

    observe que o vetor PP paralelo a F

    , logo 0=

    FPP

    . Definindo o momento resultante do sistema de foras em relao ao ponto O :

    ===i

    xiiyii

    ziixii

    yiizii

    iziyixi

    iiii

    iiR

    FyFxFxFzFzFy

    FFFzyxkji

    FrM

    det (13)

    Definindo foras concorrentes como foras que tm linhas de ao passando em um mesmo ponto. Podemos demonstrar que o momento de um sistema de foras concorrentes em relao a um ponto O qualquer, igual ao momento, em relao a O , da fora resultante RF

    do sistema suposta aplicada no ponto de interseco das foras.

    Prova:

    Ri

    ii

    i FrFrFrM

    === (Teorema de Varignon) (14)

    Figura 7. Foras concorrentes.

    Com relao a mudanas de pontos se temos dois pontos O e O , tem-se:

    =i

    iiO FrM , =

    iiiO FrM (15)

    subtraindo membro a membro das equaes acima

    ( ) Ri

    ii

    iiiiii

    iiOO FOOFOOFrrFrFrMM

    ====

    (16) Conclui-se a relao:

  • ROO FOOMM

    += (17) chamada de formula de mudana de pontos. Dessa formula conclui-se

    1. Se 0=RF

    , o momento do sistema independente do ponto escolhido.

    2. Se 0RF

    , ser OO MM

    = se e somente se OO for paralelo a RF

    .

    3. Se OO MM

    = , qualquer que seja O resulta 0=

    RFOO

    , para qualquer O , o

    que implica que 0=RF

    . 4. RORO FMFM

    = , isto , a projeo do momento do sistema sobre a direo da

    resultante invariante para mudanas de ponto. O escalar RO FMI

    = chamado de invariante escalar do sistema. Prova, de (15) temos:

    RRRORRORO FFOOFMFFOOMFMI

    +=

    +==

    como

    RFOO

    perpendicular a RF

    , temos 0=

    RR FFOO

    , assim:

    RORO FMFMI

    ==

    Reduo de Sistemas de Foras. Sistemas de foras equivalentes. Seja S e S dois sistemas de foras em relao a um ponto O qualquer. Denominamos S e S de sistemas equivalentes se tiverem em relao ao ponto O a mesma fora resultante RF

    e o mesmo momento resultante OM

    . Estes sistemas tero

    em relao a outro ponto qualquer O , ainda a mesma fora resultante RF

    , pois RF

    invariante, e momento resultante OM

    , dado pela formula de mudanas de pontos (17).

    ROO FOOMM

    +=

    Figura 8. Sistemas de foras equivalentes.

    Fisicamente, o que temos com sistemas de foras equivalentes que o comportamento dos corpos invariante a forma na qual as foras esto sendo aplicadas, deixando o comportamento do sistema dependendo unicamente da fora resultante e do momento resultante do sistema.

  • Reduo de sistemas de foras. Reduzir um sistema de foras S obter outro sistema equivalente com menor nmero de foras.

    Todo sistema de foras tem como resultado translaes (movimentos retilneos) e rotaes. Assim podemos considerar que um sistema equivalente com o menor nmero de foras sera um que tenha uma fora resultante RF

    aplicada ao longo de um

    eixo conveniente (chamaremos de eixo central) responsvel pelas translaes um conjunto de foras binrias, isto , duas foras de igual intensidade f , porem, em

    Figura 9. Reduo de foras.

    sentidos contrrios ),( ff

    , aplicados em pontos distintos. Foras binrias ),( ff

    possuem resultante nula e momento resultante no nulo OM , responsvel pelas rotaes. Veja figura 9. Casos especiais possveis de reduo de foras:

    1. 0=RF

    e 0=OM

    . Sistema em equilbrio esttico. O sistema encontra-se em repouso. Este caso ser estudado na seo de equilbrio.

    2. 0=RF

    e 0OM

    . Sistema com ausncia de translaes, porem, com presena

    de rotaes.

    3. 0RF

    e 0=I , Sistema equivalentes a uma nica fora, desde que aplicada em um ponto conveniente. Observe que para este caso temos 0== RO FMI

    ,

    sendo O um ponto qualquer.

    A intensidade do conjunto de foras pode ser arbitrada pelo valor da intensidade do momento. O momento resultante de foras binrias dado por:

    frMO

    = (16) Onde r tem seu modulo igual distncia entre os pontos de aplicao das

    foras. Como r , f

    ou f

    em um binrio so perpendiculares, podemos escrever para a intensidade da fora f

    da forma 0/ Mrf = .

  • Equilbrio. Dizemos que um sistema de foras esta em equilbrio esttico quando em relao a um ponto qualquer do espao, em um referencial inercial, a fora resultante

    RF

    e o momento resultante M

    forem nulos. Isto :

    ==== i

    iOi

    iR MMFF 0,0

    (16)

    Em termos das componentes cartesianas: 0,0,0 ======

    izizR

    iyiyR

    ixixR FFFFFF (17)

    ======i

    zizi

    yiyi

    xix MMMMMM 0,0,0 (18)

    Obs. Em um sistema em equilbrio esttico a coordenadas espaciais em relao a um referencial inercial so constantes temporais. Sempre que falarmos em equilbrio esttico, estamos nos referindo a equilbrio com relao a um referencial inercial. No faltam aplicaes de sistemas em equilbrios, so por exemplos, estruturas simples: trelias planas e espaciais, prticos, alavancas; a estruturas mais complexas, pontes, estruturas de prdios e edifcios, tneis etc.

  • Tema 02 Esttica Tcnica Vnculos Apoios Ligaes; Equilbrio de Sistemas de Foras; Estruturas. Referncias: [1] L. N. F Franca e A. Z. Matsumara, Mecnica Geral, 1 ed., Editora Edgard Blcher Ltda, So Paulo, 2001. [2] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Mecnica, vol. 1 e 2, 4 ed., LTC Livros Tcnicos e Cientficos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1993. [3] J. L. Meriam e L. G. Kraige, Engenharia Mecnica Esttica, 4 ed. LTC Livros Tcnicos e Cientficos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1999. [4] A. Fonseca, Curso de Mecnica, vol. 1, 3 ed., LTC Livros Tcnicos e Cientficos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1976. [5] R. C. Hibberler, Mecnica Esttica, 8 ed., LTC Livros Tcnicos e Cientficos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1999. Esttica Tcnica Sob este titulo pretendemos tratar, com o mximo de objetividade, os diversos casos particulares do problema geral do equilbrio. Vnculos Apoios Ligaes As aes e reaes se transmitem de corpo a corpo por intermdio dos vnculos. Toda vez que h qualquer restrio: ao movimento de um corpo, dizemos que h um vinculo. Os vnculos determinam as foras reativas ou reaes, sendo claro que s h reao quando h movimento impedido, pois s existira reao quando houver ao e esta s se manifestar quando um corpo for obstado em seu movimento, ou tendncia de movimento, por outro. Alguns princpios simples esclarecero

    I. Na figura 1(a), a parede vertical B no oferece reao sobre o corpo A , que se move sobre o plano horizontal P .

    II. J na posio indicada na figura 1(b), a parede B oferece uma reao horizontal igual ao F

    , pois a parede est agora impedindo o movimento horizontal do

    corpo A . III. Finalmente, o plano P (figura 1(c)) sempre ofereceu uma reao vertical, igual e

    contrario ao peso p do corpo A , em suas diversas posies sucessivas, pois o plano P contraria a tendncia de movimento vertical do corpo A .

    Figura 1

    Nos exemplos acima os vnculos entre o corpo A e o plano P e entre A e a parede B so os mais elementares possveis, pois se do por simples contato direto das

  • superfcies. Em muitos casos, entretanto, como veremos adiante, vnculos podem ser considerados por aparelhagens, mais ou menos complicadas, concebidas com a inteno de impedir alguns movimentos, permitindo, porm outros.

    Na tcnica, os vnculos so chamados apoios e transmisses ou ligaes, conforme sua situao na estrutura que se estuda.

    A designao apoio empregada quando o vinculo exterior estrutura que se considera; a designao transmisso ou ligao empregada quando est contida na estrutura considerada. O exemplo da figura 2 esclarecera.

    Figura 2.

    I. Se considerarmos o conjunto FMVMF , diremos que a estrutura est apoiada na terra T ; os vnculos C sero os apoios e os vnculos A e B transmisses ou ligaes.

    II. Se considerarmos apenas o quadro MVM , diremos que ele est apoiado sobre as fundaes F ; os vnculos A sero agora apoios e os vnculos B permaneceram como transmisses ou ligaes.

    III. Finalmente, se considerarmos apenas a viga V , apoiadas nos montantes M , diremos que os vnculos B sero apoios.

    Como se v, as designaes apoio e transmisso ou ligao dependem exclusivamente do ponto de vista do observador; no h distino fsica, mas meramente tcnica; apoios, transmisses ou ligaes so intrinsecamente vnculos, e o que se disse em relao a uns, vale evidentemente para os outros.

    Graus de liberdade

    A ao de um sistema de fora qualquer sobre um ponto a mesma que sua resultante sobre o mesmo ponto considerado. A resultante tende a dar uma translao ao longo de um eixo, passando pelo ponto, e o momento resultante uma rotao em torno do eixo, passando pelo ponto. Da se infere que os movimentos possveis de um corpo abandonado a um sistema arbitrrio de foras so uma translao e uma rotao. Tanto a translao como a rotao no tm direo nem intensidade privilegiadas. Para exprimir comodamente esse fato, diremos que a translao a resultante de 3 translaes segundo 3 eixos ortogonais arbitrrios e a rotao, a resultante de 3 rotaes segundo esses mesmos eixos.

    Diz-se em conseqncia, que um corpo no espao tem 6 graus de liberdade 3 translaes e 3 rotaes, segundo 3 eixos ortogonais.

    Se todas as foras que constituem o sistema atuarem num mesmo plano (caso mais comum na pratica) o corpo ter apenas 3 graus de liberdade 2 translaes e uma

  • rotao. Efetivamente: para fixar idias suponhamos que o plano xy o plano das foras; no haver, portanto, nenhuma tendncia de movimento segundo o eixo z perpendicular ao plano xy ; tambm no haver nenhuma tendncia de rotao em torno dos eixos x e y , pois isso obrigaria o corpo a sair do plano; restam assim duas translaes segundo os eixos x e y uma rotao em torno do eixo z .

    Classificao dos vnculos A funo do vinculo, como se ter compreendido, restringir alguns graus de

    liberdade ao movimento, despertando reaes exclusivamente segundo os movimentos impedidos.

    Como sabemos um corpo pode ter ate 6 graus de liberdade podemos ter at seis tipos de vnculos diferentes. Podemos ter vnculos com 5 graus de liberdade ou at vnculos sem grau de liberdade, conhecido como vinculo absoluto ou ligao rgida.

    Principais tipos de vnculos de um corpo slido Articulaes tridimensionais Articulao tridimensional ou rotula o vinculo capaz de fornecer uma fora de

    qualquer modulo, direo e sentido, aplicado num ponto determinado. A articulao mantm unidos e coincidentes dois pontos pertencentes a dois

    corpos slidos diferentes. Este tipo de vinculo permite unicamente rotaes nos trs eixos, porm, nenhum grau de liberdade para as translaes, portanto, um vinculo com trs graus de liberdade.

    Uma articulao pode ser realizada fisicamente por meio de uma esfera pertencente a um corpo slido, podendo girar, sem atrito no interior de uma superfcie esfrica, concntrica, pertencente a outro corpo slido (ver figura 3).

    Figura 3. Articulao tridimensional.

    Num sistema cartesiano a determinao da fora resultante, RF

    , introduzida pela articulao, correspondente determinao das componentes, xF , yF , zF , da fora, segundo os trs eixos coordenados.

    Articulaes bidimensionais Articulao bidimensional o vinculo capaz de fornecer uma fora de qualquer

    modulo co-planar a um plano bem determinado. Este tipo de vinculo permite

  • unicamente rotaes em dois eixos, porm, nenhum grau de liberdade para as translaes, portanto, um vinculo com dois graus de liberdade.

    Uma articulao pode ser realizada fisicamente por meio de um pino passante a barra prendendo-a a um corpo slido, podendo a barra girar, sem atrito ao redor do pino (figura 4).

    Figura 4. Articulaes bidimensionais.

    Anel

    Anel ou curso o vinculo capaz de fornecer uma fora de qualquer mdulo e sentido, em qualquer direo, ortogonal a uma fora fixa. Um par de anis, em linha reta, fixa a posio de uma reta de um slido, permitindo apenas que os pontos dessa reta se movam na direo da mesma (vinculo com um nico grau de liberdade de translao).

    O nome anel indica a maneira de realizar este vinculo (contato com uma circunferncia rgida). Os anis so o modelo ideal de diversos tipos de mancais encontrados na pratica.

    Tomando-se um sistema cartesiano que em dos eixos coordenados seja uma reta fixa, r , a determinao da fora introduzida por meio de cada anel corresponde determinao das componentes da fora segundo dois eixos ortogonais a r .

    Figura 5. Anel

    Apoio simples

    um vinculo capaz de fornecer uma fora de qualquer modulo e sentido normal a uma superfcie. Os apoios sempre matem um ponto de contado do slido com a superfcie. A representao de um apoio simples indicada na figura 6.

    Num sistema cartesiano em que um dos eixos paralelo ao da fora proveniente do apoio simples, a determinao desta fora se reduz obteno de sua componente segundo aquele eixo. Os apoios simples podem ter diversos graus de liberdade, dependendo das necessidades tcnicas a que se destinam (at 3 graus de liberdade para rotaes e 2 graus de liberdade para translaes).

  • Figura 6. Apoios simples. Equilbrio de Sistemas de Foras Dizemos que um sistema de foras esta em equilbrio esttico quando em relao um a ponto qualquer do espao, em um referencial inercial, a fora resultante RF

    e o momento resultante M

    forem nulos. Isto :

    ==== i

    iOi

    iR MMFF 0,0

    (1)

    Em termos das componentes cartesianas: 0,0,0 ======

    izizR

    iyiyR

    ixixR FFFFFF (2)

    ======i

    zizi

    yiyi

    xix MMMMMM 0,0,0 (3)

    Obs. Em um sistema em equilbrio esttico a coordenadas espaciais em relao a um referencial inercial so constantes temporal. Sempre que falarmos em equilbrio esttico, estamos nos referindo a equilbrio com relao a um referencial inercial. Estruturas.

    Uma aplicao pratica em engenharia, que exemplifica a importncia do estudo de equilbrio esttico, o calculo de estruturas. Nos s consideraremos estruturas estaticamente determinadas, isto , estruturas que no possuem mais suportes (apoios) do que so necessrios para garantir uma configurao de equilbrio. Desta forma, como j foi visto, as equaes de equilbrio so suficientes para determinar todos os esforos externos desconhecidos.

    A analise de trelias, prticos, maquinas e vigas submetidas a cargas constitui uma aplicao direta do estudo de sistemas de foras em equilbrio. Trelias planas.

    Trelias planas so estruturas que podem ser representadas em um nico plano e so freqentemente utilizadas para suportar telhados e pontes. A trelia apresenta uma estrutura plana com trs pontos em equilbrio esttico, ela geralmente uma montagem triangular estvel de madeira ou ao suportando traes ou compresses, veja a figura 7.

  • Figura 7. (a) Trelia, (b) foras resultantes em trelias (par ao e reao).

    Os pontos de encaixes das barras so chamados de ns, neles atua as cargas que a estrutura treliada deve suportar. As foras que atuam nos ns so co-planares e concorrentes, isto , uma vez que o carregamento imposto, ele atua no mesmo plano da trelia e todas as foras passam por um ponto central, o n. As analise das foras envolvidas bidimensional (figura 8).

    Figura 8. Ns de trelias.

    Para projetar uma trelia e suas conexes, necessrio inicialmente determinar a fora desenvolvida em cada um dos seus elementos quando a trelia submetida a um carregamento conhecido. Para isso, ser considerado que todas as cargas so aplicadas nos ns. Para as trelias planas como todas as foras a que a estrutura esta sendo exposta so co-planares e concorrentes (suas linhas de atuao das foras passam pelo mesmo ponto, os ns), temos que o equilbrio para os momentos so automaticamente satisfeitas em cada n, isto , como o momento resultante para foras concorrentes

    = iO FrM e como 0== iR FF

    , assim, 0=OM

    em cada n.

    Exemplo de clculo em trelias planas (mtodo dos ns): Considerando o sistema indicado na figura 9(a), obter as foras nas duas barras. Consideramos o sistema de foras atuando no n A , figura 9(b). Sistemas de fora na horizontal (eixo x )

    00 =+=+ ABACABAC FsensenFsenFsenF

    Sistema de foras na vertical (eixo y )

    coscoscos0coscos PFFFPF ABACABAC ==+

  • Figura 9.

    Assim, montamos o sistema

    ( )

    =

    +

    =+

    =

    +

    =+

    =

    =+

    coscos

    0

    coscoscos

    0

    coscoscos

    0

    PsensenF

    FsensenF

    PsensenF

    FsensenF

    PFF

    FsensenF

    AC

    ABAC

    AC

    ABAC

    ABAC

    ABAC

    ( )

    ( )

    ( )

    +=

    +=

    +=

    =

    sensenPF

    sensenPF

    sensenPF

    sensenFF

    AC

    AB

    AC

    ACAB

    Caso = temos

    =

    =

    cos21

    cos21

    PF

    PF

    AC

    AB

    Os sinais indicam trao na barra AB e compresso em AC . Mtodos das sees. O mtodo das sees utilizado para determinar as foras atuantes no interior dos corpos. Ele baseado no princpio de que se um corpo est em equilbrio, ento todas as partes deste corpo tambm esto em equilbrio. Por exemplo, considere os dois elementos de uma trelia mostrados na figura 10. Para se determinar as foras internas aos elementos, devemos utilizar uma seo imaginaria indicada por uma linha transversal a seus eixos geomtricos, e secion-la em duas partes, expondo assim cada fora interna como externa ao diagrama de corpo livre, conforme mostrado na figura.

    Figura 10.

    O mtodo das sees muito usado para determinar as foras atuando em cada elemento de uma trelia, assim podemos, usando as equaes de equilbrio, descobrir as

  • foras que atuam em um dado elemento de uma trelia sem que para isso tenhamos que calcular as foras atuando em cada um dos ns da trelia. Exemplo de clculo em trelias planas (mtodo dos ns): Determinemos as foras nos elementos GE , GC e BC da trelia mostrada na figura 11. O corte mostrado na figura 11(a) foi escolhido por secionar os trs elementos cujas foras devem ser determinadas. Entretanto para que possamos utilizar o mtodo das sees, necessrio, inicialmente determinarmos as reaes externas nos apoios A e D . Um diagrama de corpo livre de toda trelia mostrado na figura 11(b). Aplicando as equaes de equilbrio, temos

    Figura11.

    ( ) ( )

    ====

    +=+==+=

    ===

    TbapADpADApF

    TbapT

    bapDbDaTbpM

    TAATF

    yyyyyy

    yyA

    xxx

    3100

    231

    33203)2(0

    00

    O diagrama de corpo livre da parte esquerda da trelia secionada mostrado na figura 11(c). Este diagrama ser utilizado na anlise por envolver o menor nmero de foras.

  • O somatrio dos momentos em relao ao ponto G elimina os efeitos de GEF e GCF e fornece uma soluo direta para BCF

    pabTF

    abAAFaFbAaAM BCyxBCBCyxG 33

    200 +=+==+= De modo anlogo, pelo somatrio de momentos em relao ao ponto C obtemos uma soluo direta para GEF

    ( )

    ===+= Tpa

    bFabAFaFbAM GEyGEGEyC 3

    22020

    Uma vez que BCF e GEF no tem componentes verticais, o somatrio das foras na direo vertical nos fornece o valor da componente vertical de GCF que cosGCF onde o

    22cos bab += , isto

    +==== Tb

    apb

    baFAFFAF GEyGEGEyy 3cos10cos0

    22

    Estes mesmos resultados seriam obtidos se usarmos as equaes de equilbrio ao diagrama de corpo livre da parte direita da trelia. Trelias espaciais.

    Uma trelia espacial consiste em elementos rotulados em sua extremidade formando uma estrutura tridimensional estvel. A trelia espacial mais simples um tetraedro, formado por seis barras interligadas, conforme mostrado na figura 10. Qualquer elemento adicional colocado nessa trelia ser redundante na sustentao da carga P

    . Uma trelia espacial simples pode ser construda a partir desse tetraedro

    bsico pela adio de elementos e ns, formando um sistema de tetraedros interligados. Os elementos de uma trelia podem ser tratados como elementos de duas foras

    desde que as cargas sejam aplicadas nos ns. Nos casos em que os pesos dos elementos da trelia devem ser includos na anlise de sua estrutura, ser satisfatrio aplic-los como uma fora vertical, metade aplicada em cada uma das extremidades dos elementos.

    Figura 10. Trelias espaciais.

  • Tema 03 Anlise vetorial: derivada vetorial; operadores; frmulas de Frenet. Referncias: [1] G. Arfken, Mathematical Methodos for Physicists, 3 ed., Academic Press, Inc., London, 1985. [2] P. V. Arajo, Geometria Diferencial, Coleo Matemtica Aplicada, IMPA, 1998. [3] C. A. Callioli, H. H. Domingues e R. C. F. Costas, lgebra Linear e Aplicaes. [4]. Sinvaldo Gama, Notas de aula de clculo, Universidade Federal de Alagoas, curso Calculo II, 1998. Anlise vetorial Definies elementares:

    Em cincias bsicas e aplicadas encontramos varias grandezas que possuem unicamente uma magnitude, denominadas de grandezas escalares: massa, tempo, e temperatura. Ao contrario, muitas quantidades fsicas tm magnitude e, em adio, uma direo e sentido associado, a este grupo denominamos de grandezas vetoriais. Podemos citar como exemplo de grandezas vetoriais: vetor deslocamento, velocidade, acelerao, fora, torque (momentos de fora), momentum linear e angular, campos eltricos e magnticos. Usualmente, em um tratamento elementar, nosso caso, vetor definido como uma grandeza que tem uma magnitude (ou intensidade) e uma direo.

    Um vetor pode ser convenientemente representado por uma seta com seu tamanho proporcional a sua intensidade. A direo da seta da direo do vetor. Nesta representao a adio de dois vetores fica da forma:

    BAC

    += (1)

    Figura 1 Lei do tringulo para soma de vetores. Por definio as grandezas vetoriais obedecem s seguintes propriedades: 1. ABBAC

    +=+= , comutatividade.

    2. ( ) ( ) CBACBA ++=++ , associatividade. 3. Existncia de vetor nulo 0

    (aqui representado sempre como 0 ).

    4. Para todo vetor qualquer V

    existe o seu aposto V

    . 5. A multiplicao de um vetor V

    por um escalar esta definido tendo:

    5.1. VV

    )()( = 5.2. VVV

    +=+ )(

    5.3. UVUV

    +=+ )( 5.4. VV

    =1

    Para qualquer V

    , U

    vetores e , escalar.

  • As componentes de um vetor A

    em um plano cartesiano tm a forma ( ) ( ))cos(),cos(),cos(,, AAAAAAA zyx ==

    , onde )cos( , )cos( , )cos( so

    chamados de co-senos diretores, veja figura 2.

    Figura 2. Co-senos diretores.

    Considerando vetores de modulo unitrios i , j , k nas direes dos eixos x , y , z , podemos escrever o vetor A

    por uma soma de vetores da forma: kAjAiAA zyx ++=

    (2)

    O modulo de um vetor calculado como 222 zyx AAAA ++= que a diagonal do

    cubo formado pelas componentes do vetor A

    . Note que se A

    for nulo todas as suas componentes tambm devem ser nulas

    individualmente, assim: 0=A

    ento 0=== zyx AAA (3)

    Na equao (2) a insero de trs vetores unitrios i , j e k no espao real tridimensional possibilita que qualquer vetor constante possa ser escrito como uma combinao linear de i , j e k . Desde que i , j e k so linearmente independentes (nenhum combinao linear do outro), eles formam uma base do espao real tridimensional 3R .

    Podemos agora definir soma e diferena de vetores usando a base i , j e k . Seja kAjAiAA zyx

    ++= e kBjBiBB zyx

    ++= , temos:

    ( ) ( ) ( ) kBAjBAiBABA yyyyxx ++=

    (4) Produtos escalares e vetoriais.

    Tendo definido vetores, procedemos agora com suas combinaes. As leis para combinaes de vetores devem ser matematicamente consistentes. Temos a possibilidade de selecionar dois vetores que sejam matematicamente e fisicamente interessantes.

    A combinao cosAB , em que A e B so intensidades de dois vetores e o ngulo entre eles, ocorre frequentemente na fsica, veja figura 3.

    Exemplos: cosFd= (trabalho=fora deslocamento cos ) Tendo em mente estas aplicaes, definimos:

    =++=i

    iizzyyxx BABABABABA

    (5)

  • Figura 3. Produto escalar de cosABBA =

    como sendo o produto escalar, ponto ou interno dos vetores A

    e B

    . Note que por

    definio o produto escalar comutativo ABBA

    = . Os vetores unitrios i , j e k satisfazem as relaes:

    ======

    ===

    001

    jkikijkjkijikkjjii

    (6)

    Assim temos outra forma de representao do produto escalar como ( ) ( ) zzyyxxzyxzyx BABABAkBjBiBkAjAiABA ++=++++=

    Pode-se mostrar ainda que a definio da equao (5) de produto escalar leva: cosABBA =

    (7)

    Uma segunda forma de multiplicao vetorial explora o seno do ngulo ente os vetores em vez do co-seno. Motivados por combinaes de vetores, tais como, torque = distncia fora sin , momentum angular = distncia momentum linear sin . Definimos o produto vetorial como

    BAC

    = (8) com

    sinABC = (9) No produto vetorial C

    um novo vetor com direo perpendicular ao plano formado

    pelos vetores A

    e B

    e forma um sistema de mo direita. Da definio do produto vetorial, equao 9, observamos sua anticomutao (

    o ngulo de A

    para B

    , e ngulo de B

    para A

    e observe que ( ) ( ) sinsin = ): ABBA

    = (10) temos tambm

    ======

    ===

    jkiijkkijjikikjkji

    kkjjii

    ,,,,

    0

    (11)

    Entre os exemplos de produtos vetoriais na matemtica e na fsica, est a relao entre momentum linear p e o momentum angular L

    prL

    = (12) e a relao entre velocidade v e velocidade angular

    = rv (13)

  • Os vetores p e v descrevem propriedade das partculas no sistema. Contudo o vetor posio r determinado pela escolha da origem do sistema de coordenadas. Isto significa que e L

    depende da escolha da origem.

    O produto vetorial tem uma importante interpretao geomtrica. No paralelogramo definido por A

    e B

    , figura 4, sinB a altura do paralelogramo se A for definido como o comprimento da base. Ento sinABBA =

    rea do

    paralelogramo. Como o vetor BA

    definido como a rea vetorial do paralelogramo definido por A

    e B

    , que um vetor normal para o plano do paralelogramo. Isto sugere que a rea pode ser tratada como uma quantidade vetorial.

    Figura 4. Representao do produto vetorial pelo paralelogramo. Uma definio alternativa do produto vetorial BAC

    = consiste em especificar as

    componentes de C

    :

    xyyxz

    zxxzy

    yzzyx

    BABACBABACBABAC

    ===

    (14)

    jkkji BABAC = com i , j e k todos diferentes (15)

    e com permutaes cclicas dos ndices i , j e k . O produto vetorial C

    pode tambm ser convenientemente representado por um determinante

    ( ) ( ) ( )kBABAjBABAiBABABBBAAAkji

    C xyyxzxxzyzzyzyx

    zyx

    det ++==

    (16)

    Derivada vetorial Diferenciar vetores simplesmente uma extenso de diferenciar quantidades escalares. Seja A

    um vetor da forma ( )nxxxAA ,..,, 21=

    , definimos a derivada parcial de

    A

    em relao ix da forma

    hxAhxA

    xA ii

    hi

    )()(lim0

    +

    =

    onde ni ,..,2,1= (17)

    Sendo kxxxAjxxxAixxxAA znynx ),...,,(),...,,(),...,,( 3212121 ++=

    teremos de (17)

  • kxAj

    xA

    ixA

    xA

    i

    z

    i

    y

    i

    x

    i

    +

    +

    =

    (18)

    Daremos agora uma motivao para a definio de derivadas vetoriais. Suponha ( )tr descrevendo a posio de um satlite em funo do tempo t. Ento, por diferenciar com respeito ao tempo t ,

    ( ) ( ) ( ) ( )tvt

    trttrdt

    trdt

    =

    +=

    0lim (velocidade linear) (19)

    ou seja kvjvivkdtdzj

    dtdyi

    dtdx

    dtrdv zyx ++=++==

    .

    Se resolvermos ( )tr em componentes escalares cartesianas, dtrd sempre reduzido em uma soma de no mais que trs derivadas escalares (para um espao tridimensional).

    A acelerao ( )ta seria calculada por

    ( ) kajaiakdt

    dvj

    dtdv

    idt

    dvkdt

    xdjdt

    xdidt

    xddt

    rddtvdta zyy

    yyx 2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    ++=++=++===

    (20)

    Observe que como a funo ( )trr = funo unicamente temporal, ou seja, funo somente de uma varivel, as derivadas parciais passaram para derivados totais. Quando desejarmos derivadas totais em relao a uma varivel ix , temos que recorrer regra da cadeia:

    +

    +

    =l i

    l

    l

    z

    i

    l

    l

    y

    i

    l

    l

    x

    i

    kxx

    xAj

    xx

    xA

    ixx

    xA

    dxAd

    (21)

    Operadores

    Definimos como operador uma transformao que leva um vetor de um espao vetorial a outro espao vetorial. Assim, Seja ( )mAAAA ,...,, 21=

    um vetor do espao vetorial S de dimenso m e

    ( )nAAAA = ,...,, 21

    um vetor de um espao vetorial S de dimenso n . Podemos ento

    definir um operador O que transforma vetores de S em S . Veja figura 5

    Figura 5. Operador de S para S

    Dizemos que um operador O linear, se e somente se, satisfizer as propriedades: 1. ( ) BABOAOBAO +=+=+ com A e B S e A e B S e 2. ( ) AAOAO == com A S e A S e um escalar.

  • Um fato importante quando trabalhamos com operadores a ordem de aplicao do operador, isto , a operao AO

    diferente de OA

    , na primeira o operador O aplicado no vetor A

    , enquanto a segunda nem segue foi aplicado.

    Outra, importante propriedade a no comutatividade dos operadores, matematicamente isto escrito [ ] ( )OPPOPO , = , dizemos que operadores so comutveis quando [ ] 0, =PO e no comutveis [ ] 0, PO . Assim, dois operadores so comutveis quando )()( AOPAPO

    = . Um estudo rigoroso de comutao de operadores

    extremamente importante em diversas reas das cincias, porem, excede nossos anseios com relao a operadores e no entraremos em maiores detalhes.

    Um bom exemplo de operado linear vetorial o operador (nabla)

    kz

    jy

    ix

    +

    +

    =

    , que dependendo da forma como esta sendo usado pode ter

    diferentes aplicaes: Operador gradiente

    Suponha que ),,( zyx uma funo escalar pontual, isto , uma funo que dependo somente dos valores das coordenadas ),,( zyx . A aplicao direta do operador

    sobre a funo ),,( zyx denominado de gradiente de ),,( zyx , ),,( zyx

    , que uma funo vetorial. Exemplo: calculo do gradiente de uma funo ( ) ( )222 zyxrfrf ++==

    ( ) kzfj

    yfi

    xfrf

    +

    +

    =

    Porem ( )rf depende de x atravs da dependncia de r com x . Assim

    xr

    rf

    xf

    = (regra da cadeia)

    de 222 zyxr ++= temos rx

    zyxx

    xr

    =++

    =

    22222 , Assim

    rf

    rx

    xf

    =

    de forma anloga para y e z obteremos:

    ( )rfr

    rf

    rr

    rfk

    rzj

    ryi

    rxrf

    =

    =

    ++= 0

    onde ( )rrr =0 o vetor unitrio na direo radial positiva. O gradiente de uma funo de r um vetor na direo radial 0r (positiva ou negativa). Uma interpretao geomtrica para gradiente

    Uma aplicao imediata de

    fazer o produto escalar pelo incremento do comprimento

    dzkdyjdxidr ++= (22)

    assim

  • ( ) ( ) ddzz

    dyy

    dxx

    dzkdyjdxikz

    jy

    ix

    rd =

    +

    +

    =++

    +

    +

    =

    (23)

    a mudana na funo ),,( zyx corresponde a uma mudana na posio rd . Consideremos P e Q dois pontos quaisquer sobre a superfcie de Czyx =),,( constante (figura 6(a)). Esses pontos so escolhidos tal que Q esta a uma distancia rd de P . Ento movendo de P para Q a mudana em Czyx =),,( dada por

    ( ) 0== rdd (24) desde que estamos sobre uma superfcie Czyx =),,( . Isto mostra que

    perpendicular a rd . Como rd paralelo ao plano de Czyx =),,( temos que

    normal a Czyx =),,( , figura 6(a).

    Figura 6.

    Se permitirmos rd sair de uma superfcie 1C= tara uma adjacente 2C= (figura 6(b)),

    ( ) rdCCCd === 12 (25) Para um dado d , rd mnimo quando este escolhido paralelo a

    ( )1cos = ; ou, para um dado rd , a mudanas na funo escalar mxima por escolha de rd paralelo a

    . Isto identifica

    como um vetor tendo a direo de

    mxima taxa de variao de , uma identificao que tem inmeras aplicaes quando desejamos maxilar ou minimizar funes de mltiplas variveis. Operador divergncia

    Como

    um operador vetorial podemos realizar as operaes vetoriais

    com ele. Uma operao vetorial muito usada o produto interno utilizando o operador

    , a esta operao dar-se o nome de divergncia de um vetor e esta

    definida no espao cartesiano como

    ( )zA

    yA

    xAkAjAiAk

    zj

    yi

    xA zyxzyx

    +

    +

    =++

    +

    +

    =

    (26)

    Exemplos: Calculo de r

    ( ) 3 =

    +

    +

    =++

    +

    +

    =zz

    yy

    xxkzjyixk

    zj

    yi

    xr

    (27)

  • ;. Calculo de ( )( )rfr

    ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )dr

    rdfrrrf

    drrdf

    rz

    ry

    rxrf

    drrdf

    zrz

    drrdf

    yry

    drrdf

    xrxrf

    zrfz

    yrfy

    xrfxrf

    zrfz

    yrfy

    xrfx

    zz

    yy

    xxrfrzf

    zryf

    yrxf

    xrfr

    2222

    33

    33

    +=

    +++=

    +

    +

    +=

    +

    +

    +=

    +

    +

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    =

    ( ) ( )dr

    rdfrrf += 3 (28)

    Uma interpretao para o operador

    dada pela equao da continuidade muito usada em varias reas das cincias bsicas e aplicadas.

    Para fins de demonstrao, imaginemos uma superfcie cbica pequena de volume inicial dxdydz no qual temos um fluido compressvel de densidade pontual ( )zyx ,, e com velocidade v . A componente tangencial do fluxo interno em uma das

    fases, digamos na fase do plano yz , dado por dydzvxx 0

    , onde 0x esta sobre uma das

    fases do cubo, as componentes yv e zv em nada contribuem para o fluxo nas fases

    do plano yz . O fluxo fora do cubo ser dado por dydzvdxxx +0

    , para podermos

    comparar o fluxo interno com o externo, vamos expandir o fluxo externo em uma seria de Taylor:

    (Fluxo externo) ( ) dydzdxvx

    dydzvdydzvx

    xxxdxxx0

    00

    +==+

    (29)

    Fazendo 0dx , a diferena do fluxo interno pelo externo temos

    (Fluxo no plano yz ) ( ) ( )dxdydzvx

    dydzdxvx

    vdydzv xxxx

    =

    += (30)

    Escrevendo equaes semelhantes para fluxo nos planos xy e xz , obteremos:

    (Fluxo) ( ) ( ) ( ) ( )dxdydzvdxdydzvz

    vz

    vz zxx

    =

    +

    +

    = (31)

    A real variao temporal de fluxo dentro de dxdydz dxdydzt

    . Assim

    ( )dxdydzvdxdydzt

    =

    ( ) 0=+ v

    t

    (Equao da continuidade) (32)

  • Operador rotacional

    Outra possibilidade de operao com o operador

    o produto vetorial com outro

    vetor. Obteremos:

    ky

    Vx

    Vj

    xV

    zVi

    xV

    yV

    VVVzyx

    kji

    V xyzxyz

    zyx

    det

    +

    +

    =

    =

    (33)

    que chamado rotacional de V

    . Exemplo: O produto vetorial de uma funo escalar f por um vetor V

    ( ) ( ) ( )

    ( )xx

    yy

    zz

    yzx

    VfVf

    zfV

    zV

    fyfV

    yVf

    xfV

    yfVVf

    +=

    +

    =

    =

    Assim ( ) ( ) VfVfVf += . Calcular ( )fr

    :

    ( ) ( ) rfrfVr += Primeiro termo:

    0

    det =

    =

    zyxzyx

    kji

    r

    Segundo termo, usando ( ) rfrrf = 0

    , obteremos:

    ( ) 0 00 =

    =

    = rrrfr

    rfrrf

    Produto vetorial nulo, desde que 0rrr = e 0 00 = rr .

    O rotacional muito usado em equaes com grandezas que estejam sobre uma rotao, como por exemplo, campos magnticos e dinmica de fluidos com turbulncia, etc. Uma interpretao fsica disto dispendiosa, o que nos leva a no considerarmos. Frmulas de Frenet.

    J estudamos anteriormente que dado um vetor posio r podemos calcular atravs da derivada, a velocidade e a acelerao de um corpo ao longo do seu trajeto. Agora, podemos discutir mais sobre as caractersticas destes vetores com relao a sua trajetria que de agora em diante chamaremos de curva.

    Podemos intuitivamente observar que em um movimento retilneo o vetor velocidade e acelerao so paralelos ao vetor ( )ttsr ),( que esta parametrizada com relao ao parmetro )(ts (comprimento de um arco da curva com relao a uma

  • origem bem determinada) e t (tempo). Podemos tambm observar que em um movimento circular, com velocidade angular constante, temos o vetor velocidade perpendicular a acelerao. Veremos que em um movimento qualquer, o vetor acelerao a soma de dois vetores perpendiculares entre si, um paralelo e outro perpendicular ao vetor velocidade. Se o movimento no retilneo, esses dois vetores definem um plano que passa pelo ponto correspondente da curva e que se chama plano osculador.

    Iniciamos por calcular o vetor velocidade para a curva ( )ttsrr ),( = , utilizando a regra da cadeia temos

    ( ) ( ) ( )dsrdtv

    dsrd

    dtds

    dttsrdtsv

    ===,, (34)

    Definiremos assim o vetor tangente unitrio ( )tsTT ,

    = se ( ) 0= dtdstv como

    ( ) ( )( ) vv

    tvtsv

    dsrdtsTT

    ====

    ,, (35)

    Podemos mostrar facilmente que o modulo de T

    unitrio, seja TT

    = , ento

    1====dsds

    dsrd

    dsrdT

    ou 1====

    vv

    vv

    vvT

    (36)

    Observe que se temos um vetor qualquer ),( tsAA

    = com modulo constante A , temos que este vetor ortogonal a dtAdtsA

    = ),( .

    Prova:

    022 ===+== AAAdAdA

    dtAdAA

    dtAd

    dtdAAAA

    (36)

    Que nos mostra que AAAA =

    0 Assim, o vetor ( ) dtTdtsTT

    == , ortogonal ao vetor T

    , TT

    (figura

    7(a)). Calculando o vetor T

    utilizando a regra da cadeia

    ( )dsTdtv

    dsTd

    dtds

    dtTdT

    === (37)

    Definimos o vetor normal principal como sendo

    ( )kvT

    dsTd

    tsktsN

    ==

    ),(1, (38)

    onde dsdTdsTdtskk ===

    ),( . Assim observamos que 1== NN

    ( N

    um vetor

    unitrio). Observe que NT

    (demonstrao feita na equao 36, figura 7(b))

    Figura 7

  • Quando os dois vetores unitrios T

    e N

    so traados a partir do ponto r da curva a que dizem respeito, determinam um plano chamado plano osculador da curva (figura 7(b)). Quando queremos definir como uma curva se dobra (ou se curva) em cada um dos seus pontos, podemos ver isto como variaes no sentido do vetor tangente em um dado ponto da curva. Assim, o parmetro dsdTk = definido como sendo a curvatura de curva ( )tsr , . O vetor T

    denominado de vetor curvatura da curva r .

    Observe que da forma como definimos o vetor tangencial T

    e o vetor normal principal N

    temos que a acelerao ( )tsaa , = de um ponto sobre uma curva r

    composta por uma combinao linear dos vetores ( )tsT ,

    e ( )tsN ,

    vTv

    = (39)

    ( ) NkvTvTvTvdtvdta

    2+=+== (40)

    onde ( ) dtdvtvv == . Assim a acelerao esta contida no plano osculador da curva r . Podemos tambm definir um vetor unitrio perpendicular ao plano osculador

    ( )tsNtsTtsB ,),(),(

    = (41) denominado vetor binomial. Os trs vetores T

    , N

    e B

    , formam nesta ordem, um triedro positivamente orientado cujos vetores dois a dois ortogonais. Denominamos esse triedro de Frenet-Serret. Este triedro forma naturalmente uma base do espao 3R . Portanto qualquer vetor do espao 3R pode ser escrito como combinao linear do terno { }BNT ,, , o qual varia quando nos deslocamos ao longo da curva. Anteriormente, abordamos o problema de curvatura de um curva. Agora, cuidaremos do problema de se avaliar o quanto uma curva se torce em cada ponto. Como no caso da curvatura, atribumos um valor numrico a esta grandeza; este nmero ser chamado toro da curva. Resta-nos atribuir agora o elementos responsvel por esta toro.

    Se r uma curva plana, ento o vetor binormal B

    no sofre variaes de direo uma vez que B

    perpendicular ao plano osculador o qual coincide com o plano

    da curva. Neste caso, 0== dtBdB

    . Se a curva sai do plano osculador, ento o vetor binormal sofre mudana na sua direo, pois ele ser ortogonal ao novo plano osculador no novo ponto. Portanto, B

    indica quo rapidamente a curva se afasta do plano

    osculador em s e t . Analisemos melhor este vetor B

    . Como 1== BB

    , para todo s e t , podemos observar que BB

    . Portanto,

    B

    pertence ao plano osculador gerado por T

    e N

    . Por outro lado, NTB

    = , para todo s e t , ento, NTNTB +=

    . Como

    0= NT

    (so paralelos), NTB =

    , ou seja, TB

    , conclumos que B

    deve ser paralelo a N

    , isto ,

    NvB

    = (42) com ( ) Rts = , . Tomando-se o produto escalar em ambos os membros por N

    ,

    obteremos

    NBv

    =1

    (43)

  • o nmero ),( ts = chamada a toro da curva no ponto ( )ts, . Formulas de Frenet: Se ),( tsr uma curva parametrizada pelo tempo t e por um comprimento de arco s com curvatura 0>k e toro , ento para cada t e s , temos:

    =

    BNT

    kk

    BNT

    v00

    000

    1

    (44)

    Com relao a estas trs equaes temos somente a segunda para ser demonstrada, pois, a primeiro e a terceira foram demonstradas em 38 e 42, respectivamente. Sendo { }BNT ,, uma base do 3R , podemos escrever BcNbTaN ++= com

    Rcba ,, , Assim

    cBBcBNbBTaBN

    bNBcNNbNTaNN

    aTBcTNbTTaTN

    =++=

    =++=

    =++=

    (45)

    Diferenciando a identidade 0=TN

    temos ( ) vkNvkNTNTNTNTN ====+ 0 (47)

    Portanto vka = . Por outro lado, visto que 1=N , ento 0= NN

    e assim 0=b .

    Finalmente, como 0=BN

    para todo ts, , ento ( ) vNvNBNBNBNBN ====+ 0

    Portanto vc = e BvTvkN

    = Para o caso da curva r for parametrizada unicamente pelo comprimento do arco s temos a mudana nica de fazer 1=v nas formulas de Frenet.

    =

    BNT

    kk

    BNT

    000

    00

    (48)

  • Tema 04 Conceitos Fundamentais dos fenmenos de transportes: O fluido como continuum, Campo de velocidade, Campo de tenses, Viscosidade, A lei de Newton da viscosidade, Classificao dos escoamentos; Referncias: [1] R. B. Bord, W. E. Stewart e E. N. Lightfoot, Fenmenos de Transporte, 2 ed., LTC Livros Tcnicos e Cientficos Editora S. A., Rio de Janeiro, 2004. [2] W. F. Hughes e J. A. Brighton, Dinmica dos Fluidos, McGraw-Hill do Brasil, 1974. [3] I. H. Shames, Mecnica dos Fluidos, vol 1 Princpios bsicos, Edgar Blcher editora, Braslia, 1973. [4] H. Moyses Nussenzveig, Curso de Fsica Bsica, vol. 2 Fluidos Oscilaes e Ondas Calor, 4 ed. revisada, Editora Edgard Blcher, So Paulo, SP- Brasil, 2002. [5] M. C. Potter e David C. Wiggert, Mecnica dos Fluidos, traduo da 3 ed. americana, Pioneira Thomson Learning, So Paulo, SP- Brasil, 2004. [6] Giovani L. Vasconselos. Introduo a Mecnica dos Fluidos, notas de aula, UFPE 2005. [7] http://pt.wikipedia.org/ Conceitos Fundamentais dos fenmenos de transportes: O fluido como continuum. Fluidos so substancias capazes de escoar e tomar a forma de seus recipientes. Quando em equilbrio, os fluidos no suportam foras tangenciais ou de cisalhamento. Todos os fluidos possuem certo grau de compressibilidade e oferecem pouca resistncia mudana de forma. Assim quando um fluido experimenta uma fora de cisalhamento, o fluido se escoa, e permanece em movimento enquanto a fora estiver aplicada. Logo, vemos que em fluidos em equilbrio esttico a resultante das foras tangenciais nula.

    Um fluido se deforma continuamente quando submetida a uma tenso de cisalhamento no importando o quo pequena possa ser essa tenso (chamamos de tenso a fora por unidade de rea). No subconjunto das fases da matria, os fluidos incluem os lquidos, os gases, os plasmas e, de certa maneira, os slidos plsticos.

    Os fluidos compartilham a propriedade de no resistir deformao e apresentam a capacidade de fluir (tambm descrita como a habilidade de tomar a forma de seus recipientes). Estas propriedades so tipicamente em decorrncia da sua incapacidade de suportar uma tenso de cisalhamento em equilbrio esttico. Enquanto em um slido, a resistncia funo da deformao, em um fluido a resistncia uma funo da razo de deformao. Uma conseqncia deste comportamento o Princpio de Pascal o qual caracteriza o importante papel da presso na caracterizao do estado fluido.

    Os fluidos respeitam a conservao de massa, quantidade de movimento ou momentum linear e momentum angular, de energia, e de entropia. A conservao de quantidade de movimento expressa pelas equaes de Navier Stokes. Estas equaes so deduzidas a partir de um balano de foras/quantidade de movimento a um volume infinitesimal de fluido, tambm denominado de elemento representativo de volume. Modelo matemtico

    Na mecnica de corpo rgido, usualmente levamos em conta a questo: qual a posio no espao de uma partcula em relao ao tempo? A partir desta informao,

  • podem ser respondidas as demais questes, como valores para a velocidade a acelerao. Se o vetor posio ( )tr indica a posio da partcula, ento ( )tr um parmetro importante. A velocidade e a acelerao so simplesmente ( ) dttrd e

    ( ) 22 dttrd . Num fluido no tratamos apenas como uma partcula. Preocupamos-nos com um

    continuou, hiptese do continuou. De fato, no mantemos o acompanhamento de partculas individuais ou mesmo de pequeno aglomerados de fluido. Ao contrario, conveniente levantar a questo: em algum ponto do espao (relativo a algum referencial arbitrariamente fixado), quais so a velocidade, acelerao e propriedades termodinmicas em funo do tempo? medida que o tempo passa, o fluido naquele ponto varia constantemente, sendo substitudo por outro, em seu caminho normal, e ento mantemos a ateno no numa partcula individual, mas na historia de algum ponto no espao, independente da parcela de fluido que por ventura esteja l naquele instante. Tal descrio do fluido chamada Euleriana, em contraposio Lagrangeana, que analisa o comportamento individual de uma partcula.

    Mencionamos a palavra continuou, o que isto significa com relao a um fluido? Admitimos que a distncia entre as partculas do fluido (ou molculas) ou mais precisamente, o caminho livre mdio seja muito pequeno em relao s dimenses fsicas do problema que estamos estudando. Na aerodinmica, a espessura de uma asa de ordem de grandeza muitas vezes superior do caminho livre mdio do ar que escoa em torno da mesma asa. Desta forma, admitimos que todos os processos matemticos (do clculo) possam ser tomados em um sentido significativo e que qualquer volume de fluido possa ser continuamente subdividido em volumes cada vez menores, mantendo a caracterstica continua do fluido. Obviamente esta diviso eventualmente se partira, mas admitamos que no momento que isto ocorrer as dimenses sero to pequenas que se tornam microscpicas e sem interesse para o nosso caso.

    Em outras palavras, imaginemos um volume infinitesimal dxdydzdV = , estas dimenses dx , dy , dz devem ser muito menores que as distncias macroscpicas, mas, ao mesmo tempo, muito maiores que as distancias interatmicas, para que dV contenha um grande numero de molculas ou tomos que formo o fluido e as flutuaes sejam desprezveis. Como as distncias interatmicas tpicas so da ordem de cm1810 , fcil satisfazer simultaneamente a ambas as condies. Assim, por exemplo, para o ar, em condies normais de temperatura e presso (CNTP C020 e atm1 ), um cubo de

    cm310 de aresta contm ainda da ordem de 10103 molculas, e o nmero ainda maior para um liquido, como a gua. Consideraes anlogas se aplicam a um elemento de superfcie infinitesimal dxdydS = , por exemplo.

    No caso de fluidos, um ponto desse contnuo chamado, com um certo abuso de linguagem, de um partcula de fluido. Desse modo, possvel falar da partcula de fluido localizada no ponto P com coordenadas ( )zyx ,, e possuindo uma densidade ( )zyx ,, , uma velocidade ( )tzyxv ,,, , etc.

    So cinco as variveis bsicas da mecnica dos fluidos: trs componentes espaciais e duas termodinmicas. Quaisquer duas das propriedades termodinmicas, tais como, presso, temperatura, entropia, entalpia etc., so suficientes para determinar a equao de estado e, desta forma, as demais propriedades. O campo de escoamento do fluido completamente determinado pela especificao do vetor velocidade e duas propriedades termodinmicas em funo do espao e do tempo. Assim, necessitamos de cinco equaes independentes. Essas so usualmente as trs componentes da equao de

  • movimento, uma da equao de continuidade e uma da equao para a energia. Frequentemente tambm se introduz uma equao de estado, a fim de permitir a escrita da equao de energia em trs variveis (temperatura, presso, e massa especifica) no lugar de apenas duas. Nesse caso, temos seis variveis e seis equaes. No escoamento turbulento, incgnitas adicionais aparecem com o mesmo numero de equaes, o que evita uma completa formulao terica do problema.

    Num fluido incompressvel a equao da energia no necessria, por que a massa especifica totalmente conhecida e apenas presso e a velocidade precisam ser conhecidas para uma descrio completa do escoamento, necessitamos para isso, somente, a equao vetorial da quantidade de movimento e a equao da continuidade. A temperatura ento desvinculada, mas caso se necessite de tal informao, deve-se usar a equao da energia. Viscosidade, A lei de Newton da viscosidade. As molculas dos fluidos apresentam alguma interao de curto alcance entre elas, foras de Van der Walls. Quando maior for intensidade destas interaes intermoleculares mais rgidos este fluido se torna, isto , o fluido tende a se deforma sobre uma fora tangencial a sua superfcie (tenso cisalhante, chamamos de tenso a fora por unidade de rea), quanto maior for interao entre as molculas do fluido maior ser a sua resistncia a deformao devido a tenso cisalhante. A esta propriedade chamamos de viscosidade.

    Todos os fluidos apresentam viscosidade, a grosso modo, esta pode ser vista como um atrito entre as molculas de diversas camadas que compem o fluido. A importncia desse atrito nas situaes fsicas depende do tipo de fluido e da configurao fsica ou do escoamento.

    Assim, podemos tambm dizer que viscosidade uma medida da resistncia do fluido ao cisalhamento sem que se move (lembre-se que diferentemente de um slido um fluido no pode resistir ao cisalhamento sem que se mova). Imaginemos duas placas paralelas de grande tamanho em movimento relativo permanente, figura 1. O fluxo entre as placas tem perfil de velocidade linear conforme mostrado (se no existir gradiente de presso ao longo das placas no sentido do movimento). No existe deslizamento entre o fluido e as placas; isto , em uma interface entre um fluido e um slido, velocidade do fluido deve ser a mesma que a do slido. Se considerarmos um pequeno elemento do fluido, como mostra a figura 1, a tenso de cisalhamento (Fora F por unidade de rea da placa A ) na parte superior (que numericamente a mesma que no fluido, neste caso) pode ser escrita;

    Figura 1 Escoamento entre placas ilustrando a viscosidade. A distribuio de velocidades v linear na seo do canal, sendo nula no fundo e V

    no topo. Um pequeno elemento mostra

    a tenso de cisalhamento. Campo de velocidade de um fluido viscoso sobre uma tenso cisalhante.

  • yv

    AF xx

    == (1)

    onde a viscosidade ( ou viscosidade dinmica) a constante de proporcionalidade entre a tenso de cisalhamento e o gradiente da velocidade. As unidades da viscosidade so de fora-tempo por unidade de rea (No SI 2/ msN ). A relao entre a viscosidade e a massa especifica chamada viscosidade cinemtica :

    = .

    Por observao direta da equao (1), podemos observar que uma tenso cisalhante pequena pode produzir uma deformao arbitrariamente grande, desde que atue um tempo suficiente. Um fluido newtoniano ope resistncia ao deslizamento relativo entre suas camadas adjacentes: esta resistncia mede a viscosidade do fluido, e dependendo da taxa de variao espacial da velocidade relativa de deslizamento. Assim enquanto num slido a resistncia a esforos tangenciais depende da deformao, num fluido ela depende da velocidade de deformao, e por isto que pequenas tenses cisalhantes atuando durante tempos longos podem produzir grandes deformaes. A viscosidade por ser resultado de interaes moleculares tem seu valor dependente do grau de agitao das molculas, isto , tem uma dependncia com a temperatura. Com temperaturas mais elevadas a alta interao entre as molculas diminui a viscosidade do sistema. A viscosidade tambm tem dependncia com a presso porem esta dependncia usualmente pequena e por isso sem importncia, comparada com a variao trmica. Tal relao entre a tenso de cisalhamento e o gradiente de velocidade conhecido como relao Newtoniana, ou lei de Newton da viscosidade. Em geral os fluidos que obedecem a essa relao so chamados fluidos newtonianos. Embora a relao newtoniana linear seja apenas uma aproximao, surpreendentemente boa para uma grande classe de fluidos. Entretanto, para algumas substancias a tenso de cisalhamento pode ser funo no apenas do gradiente de velocidade (que o mesmo que a taxa de deformao de cisalhamento) mais tambm da deformao ordinria. Tais substancias so conhecidos como visco-elstica. E mesmo para fluidos viscosos simples, nos quais a tenso de cisalhamento depende apenas do gradiente de velocidade, o fluido pode no ser newtoniano e, de fato, pode existir uma relao no linear bastante complicada entre a tenso de cisalhamento e a taxa de deformao. Se a relao da taxa de tenso deformao do fluido depende do trabalho ou deformao anterior, o fluido chamado tixotrpico (tal como a tinta de impresso).

  • Figura 2. Fluidos newtonianos e no-newtonianos.

    Outro tipo de fluido o de comportamento plstico caracterizado por uma teso de escoamento aparente; isto , se comporta como slido at o escoamento (aqui no sentido de escoamento de material), a partir de ento comportando-se como fluido viscoso. Algumas graxas e lamas comportam-se desta maneira (com esse comportamento idealizado esse fluido conhecido como plstico ideal de Bighan). No outro extremo dos fluidos plsticos, encontramos os chamados dilatantes que escoam facilmente com baixa viscosidade e pequenas taxas de deformao, mas comportam-se mais como slido a medida que cresce a taxa de deformao (areia movedia um exemplo). E por ltimo destacamos os fluidos pseudoplsticos, estes ficam menos resistentes ao movimento com o aumento da taxa de tenso. Estes comportamentos esto ilustrados na figura 2. Campo de velocidade Em vista a hiptese do continuou, as grandezas fsicas de interresse na mecnica de corpos deformveis so naturalmente descritas em termos de campos, ou seja, essas grandezas so definidas em todos os pontos do espao ocupado pelo corpo. A mecnica de meios contnuos , portanto, uma teoria clssica de campos, tendo sido a primeira dessas teorias a ser formulada. (As duas outras importantes teorias clssicas de campos da fsica so o eletromagnetismo e a relatividade geral.) Como ficar claro em breve, h trs tipos bsicos de campos, a saber: campos escaleres (e.g. densidades), campos vetoriais (e.g. velocidades, acelerao), campos tensoriais (e.g. campo das tenses). Campos das velocidades: Em dinmica de partculas e de corpo rgido habilitamos-nos a escrever o movimento de cada partcula ou corpo de maneira separada e discreta, descrio Lagrangeana do movimento. Por exemplo, a velocidade da n -sima partcula de um agregado que se movem no espao pode ser especificada pelas equaes escalares

    ( ) ( )tfv nnx = , ( ) ( )tgv nny = , ( ) ( )thv nnz = (2) Observe que a identificao de uma partcula facilitada pelo uso de um ndice. Entretanto em um sistema deformvel, tal como o fluido, h um nmero infinito de partculas cujos movimentos devem ser descritos, tornando impossvel tal prtica.

  • Empregamos, ento, coordenadas espaciais para ajudar a identificao das partculas de um escoamento dessa forma pode ser expressa da seguinte maneira

    ( )tzyxfvx ,,,= , ( )tzyxgvy ,,,= , ( )tzyxhvz ,,,= (3) Assim, as coordenadas espaciais substituem o ndice n dos sistemas estudados na mecnica. Este chamado de mtodo de campo, descrio Euleriana. Se as propriedades e caractersticas do escoamento em cada ponto no espao permanecem constantes ser chamado de escoamento permanente (as grandezas de interrresse tais como, presso, massa especifica, velocidades etc. so constantes temporais em todo o espao de coordenadas). Um escoamento que depende do tempo, por outro lado, dito de escoamento no-permanente ou transitrio (as grandezas de interrresse, agora, tm dependncias temporais em todo o espao de coordenadas). O campo de velocidade no regime permanente seria dado por

    ( )zyxfvx ,,= , ( )zyxgvy ,,= , ( )zyxhvz ,,= (4) Os escoamentos so, com freqncia, representados graficamente com a ajuda de linhas de corrente. Essas linhas so desenhadas de forma a estarem sempre tangente aos vetores velocidade de partculas fluidas, conforme ilustrado na figura 3(a). Para o escoamento permanente a orientao das linhas so fixas espacialmente. Partculas fluidas, nesse caso, prosseguem ao longo de trajetrias coincidentes com as linhas de corrente. As linhas de corrente que passam pela periferia de uma rea infinitesimal em um instante de tempo t formaram um tubo. Este tubo chamado de tubo de corrente e esta ilustrado na figura 3(b). A partir das consideraes da definio de linhas de corrente, claro que no pode haver escoamento atravs da superfcie lateral do tubo e linhas de corrente se cruzando dentro do tubo.

    Figura 3.(a) Linhas de correntes, (b) tubos de corrente.

    No escoamento transitrio, entretanto, uma configurao de linhas de corrente dar somente uma representao instantnea e, para tal escoamento, no haver uma correspondncia simples entre as trajetrias das partculas e as linhas de corrente. Assim, em escoamentos permanentes:

    ( ) ( )zyx

    zyx vdz

    vdv

    vdxdtvvv

    dtdz

    dtdy

    dtdx

    dtrdzyxv ====

    == ,,,,,,

    (5)

    Podemos determinar as linhas de corrente em escoamentos permanentes por integrao de equao (5) ou por

    ( ) ( )== dtzyxvrdtrdzyxv ,,,,

    (6)

  • Porm, mais conveniente a utilizao da equao (5) a invs da (6). Vamos exemplifica isto determinando as linhas de correntes de alguns escoamentos permanentes simples. I. Escoamento Uniforme O escoamento estacionrio mais simples possvel sem duvida aquele em que a velocidade a mesma em todos os pontos do espao, ou seja, o escoamento espacialmente uniforme: ( ) Urv

    = onde U velocidade constante.

    Obviamente, as linhas de corrente nesse caso so linhas retas paralelas na direo da velocidade (figura 4)

    Figura 4. Escoamento permanente. II. Fonte e Sorvedouro Considere o seguinte campo de velocidade bidimensional

    ( ) ( ) 2222 ,,, yxQyyxv

    yxQxyxv yx +

    =+

    = (7)

    onde RQ um constante. Usando agora a equao (7) em (5) temos ( ) ( ) x

    xyy

    yy

    xx

    ydy

    xdx

    Qydyyx

    Qxdxyx

    0

    0

    00

    2222

    lnln =

    =

    =

    +=

    + (8)

    onde ( )00, yx um ponto arbitrrio. Logo, as linhas de corrente so retas passando pela origem com inclinao ( )00 xytgarc . Para descobrir a orientao das linhas de corrente necessrio analisarmos o campo de velocidade dado pela equao (7). Considere, por exemplo, um ponto ( )yx, localizado no primeiro quadrante. Como as coordenadas x e y so ambas positivas nesse caso, conclumos de (8) que a velocidade v aponta radialmente para fora se 0>Q e na direo contraria se 0

  • III. Vrtice puntiforme Considere agora o seguinte campo de velocidades:

    ( ) ( ) 2222 ,,, yxxyxv

    yxyyxv yx +

    =

    +

    = (9)

    Onde R um constante. Nesse caso obteremos ( ) ( ) 2

    020

    2220

    220

    22222

    yxyxyyxxx

    dyy

    dxx

    dyyxy

    dxyx+=++==

    +

    =+ (10)

    As linhas de campo so crculos concntricos, sendo o sinal de determinando a direo da circulao, conforme indicado na figura 6.

    Figura 6. Linhas de corrente de um vrtice: (a) 0 . Acelerao em fluidos:

    Ao usar o campo de velocidade, devemos empregar um segundo ponto de vista

    ao observamos que zyx ,, so funes temporais, podemos estabelecer a acelerao de uma partcula fluida ( ) dtvdzyxa =,, , por uso da regra da cadeia da diferenciao parcial temos

    ( ) ( )tvvv

    tv

    zvv

    yvv

    xvv

    tv

    zv

    dtdx

    yv

    dtdy

    xv

    dtdx

    dttzyxvd

    zyx

    +=

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    +

    =

    ,,, (11)

    ( ) ( )vvtv

    DtvD

    dttzyxvd

    +

    ==,,, (12)

    Assim, a acelerao ( )zyxa ,, das partculas fluidas em um campo de escoamento pode ser imaginada como sendo a superposio de dois efeitos, que so dados a seguir:

    1. Em um dado instante t , admiti-se que o campo fique permanente. A partcula em tais condies, esta para mudar de posio nesse campo permanente. Dessa forma, ela est efetuando uma mudana de velocidade porque a velocidade vria com as posies diferente em cada instante t . Essa razo de variao de velocidade com o tempo devido mudana de posio no campo e chamada de acelerao de transporte ou acelerao convectiva, e dada pelo termo ( )vv na equao (12). A figura 7 mostra o efeito da acelerao convectiva em uma tubulao com a mudana da rea da seo transversal do cano. Como podemos observar na figura temos velocidades menores para reas de seo transversais maiores e velocidades maiores para reas de seo transversal menor.

  • Figura 7. Efeito de acelerao convectiva em tubulaes.

    2. O termo tv na equao (12), no aparece devido a mudanas de posio da partcula, mais sim pela razo de variao do campo de velocidade na posio ocupada pela partcula de fluido no instante t . Ela dita de acelerao local. A derivada na equao (12) chamada de substancial ou total ou material. A

    fim de se acentuar que a derivada temporal efetuada quando se segue uma partcula, a notao DtD (operador derivada material ou substancial) freqentemente usada no lugar de dtd , para dar maior nfase a estas caractersticas de campos. A complexidade crescente alm da experimentada na mecnica das partculas o preo que pagamos por usarmos, com necessidade, coordenadas espaciais para identificarmos partculas em um meio continuo deformvel.

    Em muitas analises, til pensar em um conjunto de linhas de corrente como parte de um sistema de coordenadas. Em tais casos, a letra s indica a posio da partcula ao longo de uma linha de corrente particular e, dessa forma, ( )tsvv , = , que d a acelerao resultante da ao da partcula que muda de posio ao longo de uma linha de corrente. A acelerao completa dada por

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s

    tsvvt

    tsvs

    tsvdtds

    ttsv

    DttsvD

    +

    =

    +

    =

    ,,,,, (13)

    Para as variaes de velocidade em que o escamento permanente temos variaes espaciais da velocidade (acelerao convectiva, termo ( )svv na equao (14)). Relembrando que, para o campo das velocidades o vetor ( )tsv , que o representa tangencial as linhas de corrente. Podemos definir um vetor tangente unitrio T

    da

    forma

    vvT

    = (14)

    Podemos observar que dado um vetor qualquer no espao ( )tsA ,

    , se seu modulo constante temos que sua derivada ortogonal a ( )tsA ,

    Prova: ( ) ( ) ( ) ( ) 020 ==+=== dtAdAdtAdAAdtAddtAdAdtdAAAA Assim temos dtAdA

    .

    Se derivarmos o vetor tangente T

    o vetor TdtTd

    porque T

    unitrio. Assim para campos de escoamentos temos

    ( ) ( )dsTdv

    dstsTd

    dtds

    dttsTd

    ==

    ,, (15)

  • Figura 8

    Definimos o vetor normal principal como sendo

    ( ) ( )dt

    tsTdkvds

    Tdtsk

    tsN ,1),(

    1,

    == (16)

    onde dsdTdsTdtskk ===

    ),( . Assim observamos que 1== NN

    ( N

    um vetor

    unitrio) e NT

    (figura 8(b)). Assim podemos escrever para o campo de acelerao da forma

    NkvTdtdv

    dtTdvT

    dtdv

    DtvDaTvv

    2+=+=== (17)

    NkvTdtdva

    2+= (18)

    Isto , a acelerao esta no plano definido pelos vetores T

    e N

    chamado de plano osculador. Assim podemos dizer que o vetor acelerao esta contido no plano osculador das linhas de corrente do fluido. intuitivo que se o fluido esta em um movimento retilneo suas linhas de corrente so retas e temos que os campos de velocidade e de acelerao so paralelos, se temos um fluido esta em movimento circular com velocidade constante (temporalmente e espacialmente) temos que a acelerao ortogonal ao campo da velocidade. Assim, em um movimento curvilneo qualquer esperamos que o vetor acelerao fosse uma superposio destes dois efeitos no plano osculador, que o que mostra a equao (18). Campo de tenses. Para descrever a fora atuando em uma partcula, faz-se necessrio, como sabermos, especificar trs nmeros, os quais podem designar as trs componentes da fora em um dado sistemas de coordenadas. Em outras palavras, fora uma grandeza vetorial. Por outro lado, para caracterizar as foras atuando em um dado elemento de volume de um corpo deformvel continuou so necessrias 9 componentes. Essas correspondero a uma representao matricial, ou mais precisamente tensorial, do estado de tenso em um dado ponto do corpo em questo, como veremos a seguir.

    Considere um corpo de forma arbitraria sob o qual atuam foras externas 1F

    , 2F

    ,

    3F

    , , nF

    , como indicado na figura 9. Em vista da natureza contnua do meio, (ou mais corretamente, devido a fora de coeso entre os constituintes do material), essas foras externas sero propagadas para pontos do interior do corpo dando origem aos chamados esforos internos. Imagine ento que o corpo seja dividido em duas partes,

  • Figura 9. Fora sobre uma partcula.

    1V e 2V , por uma superfcie imaginaria. Claramente, a ao da parte 2 sobre parte 1 pode ser calculada se conhecemos a distribuio de foras sobre S de contato entre as duas partes, uma vez que bastaria interagir essa distribuio sobre S para obtermos a fora resultante de uma parte sobre a outra (este princpio conhecido como axioma de Euler e Cauchy). Considere agora um ponto P sobre a superfcie S , e seja n o vetor normal a S nesse ponto. Considere ainda um elemento de rea A centrado em P , e seja F

    a resultante das foras atuando sobre A ; veja figura 10. Podemos ento

    definir a tenso n no ponto P da superfcie S atravs da seguinte relao

    AF

    An

    =

    0lim (19)

    A componente do vetor n ao longo da superfcie definida por n chamada por

    razes obvias, de tenso normal, ao passo que as duas componentes perpendiculares a n e, portanto, contida no plano tangente ao ponto P , representando tenses tangenciais ou de cisalhamento.

    Figura 10. Foras em um meio contnuo.

    Deve ter ficado claro da definio acima que a tenso n atuando em um dado

    ponto P depende da escolha da superfcie S , fato esse que indicado explicitamente pelo subndice n . Portanto, para cada superfcie imaginria passando pelo ponto P e dividindo o corpo em duas partes, ns teremos uma tenso n

    diferente. Entretanto essa infinidade de vetores n

    no ponto P no so todos independentes. Basta considerar 3 planos mutuamente perpendiculares passando pelo ponto P e determinar as tenses em cada um dos planos, pois a tenso em qualquer outra superfcie ser uma combinao

  • linear das 3 tenses acima. Esse resultado conhecido como teorema de Cauchy, o qual ser formalizado mais precisamente na discusso que segue.

    Considere um elemento de volume de forma cbica no interior de um corpo deformvel. Por convenincia, escolhemos um sistema cartesiano de coordenadas onde cada um dos eixos, ( ) ( ) ( )321 ,, xzxyxx , perpendicular a uma das fases do cubo, conforme indicado na figura 11. Fixemos inicialmente nossa ateno na fase 1 do cubo, que perpendicular ao eixo 1x . A tenso atuando sobre essa face denotado por 1

    ,

    Figura 11. Tensor das tenses em um elemento cbico de volume.

    onde o subndice 1 serve para indicar o plano em que as tenses atuam. O vetor 1

    possue 3 componentes, que sero denotadas pela letra grega , a saber

    11 , tenso normal na direo i

    12 , tenso tangencial na direo j

    13 , tenso tangencial na direo k

    onde i , j , k so vetores unitrios nas direes ( ) ( ) ( )321 ,, xzxyxx , em notao vetorial kji 1312111 ++=

    (20) Repetindo esse procedimento para as outras faces do cubo, segue que a tenso

    i , ,3,2,1=i em cada face do cubo pode ser escrita da seguinte maneira

    kji iiii 321 ++= (21)

    As componentes normais da tenso correspondem a foras de compresso ou trao que tendem a produzir um deslocamento de camadas contguas do material na direo perpendicular ao plano de contato, figura 12(a). As componentes tangenciais de tenso, por sua vez, correspondem s chamadas foras cortantes ou de cisalhamento, que fazem com que camadas contguas deslizem uma em relao s outras, na direo paralela ao plano de contato entre elas, figura 12(b).

    Figura 12 Efeitos das componentes normais (a) e tangenciais da tenso (b).

  • Dito de outra forma, o tensor das tenses definido tal que dado a tenso i ,

    para ,3,2,1=i pode ser obtido atravs da matriz coluna

    =

    =

    333231

    232221

    131211

    3

    2

    1

    (22)

    O teorema de Cauchy nos diz, portanto, que para descrevermos completamente o estado de tenso em determinado ponto de um meio continuou seria necessrio especificar as nove componentes, ij do tensor das tenses. Entretanto, mostraremos abaixo que o tensor ij simtrico nos ndices i e j , ou seja,

    jiij = (23) de modo que existem apenas seis componentes independentes. A relao de simetria da equao (23) uma conseqncia do equilbrio rotacional do elemento de volume. Para ver isso, considere, por exemplo, a componente de torque na direo k aplicado sobre o elemento de volume da figura 11. Esse torque (se no nulo) seria a resultante do torque produzido pela ao da tenso 12 , nas faces direita e esquerda, e da tenso 21 , nas faces superior e inferior, veja figura 13. Assim que, se 2112 , haveria um torque resultante M em relao ao centride dado por

    ( ) ( ) ( ) ( )( )3211221122112 xxAyAxAM === onde zyx == denota o comprimento das arestas do cubo elementar. Esse torque causaria, por sua vez, uma acelerao angular infinita no limite em que 0x , pois o momento de inrcia I do cubo proporcional a ( )5x , como indicado abaixo:

    Figura 13. Tensores responsveis por um torque na direo ( )3xz

    ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2

    21125232112 x

    xxdVIxM

    ===

    Como uma acelerao infinita no fisicamente aceitvel, as tenses tangenciais tm de se ajustar de modo a satisfazer a condio 2112 = , conforme antecipado na equao (23). Conseqentemente, para descrevermos os estados de tenso em todo o meio continuou, associamos a cada ponto ( )zyx ,, desse meio um tensor ij , ou seja, as tenses em um meio continuou so descritas por um campo tensorial . Exemplos Cisalhamento puro Considere a situao ilustrada na figura 1. Neste caso temos apenas foras de cisalhamento, de modo que o tensor das tenses da forma

  • =

    0000000

    onde AFx= , sendo A a rea da placa superior. Fluidos em repouso Considere o caso de um fluido em equilbrio hidrosttico (i.e. em repouso). Claramente, nesta situao no pode haver tenses de cisalhamento, qualquer que seja a superfcie escolhida, logo 0=ij para ji . Alem disso, como as tenses no pode depender da origem da superfcie, ou seja, o modulo n da tenso o mesmo para qualquer n

    , segue que as trs tenses normais devem ser idnticas

    p=== 332211 (24) onde p representa a presso termodinmica, que depende da densidade e da temperatura T via equao de estado do material (por exemplo, para um gs ideal

    RTp = ). O sinal negativo em (24) necessrio face conveno usual de que uma presso positiva corresponde a uma compresso, ao passo que uma tenso ii positiva corresponde a um trao, conforme indicado na figura 11. Assim, podemos compactar todas as expresses da forma

    pijij = (25) onde ij o delta de Kronecker. A equao acima indica, portanto, que o tensor das tenses para um fluido em repouso isotrpico ou esfericamente simtrico. Classificao dos escoamentos.

    Definimos por escoamento o movimento de massas de fluidos. Assim classificamos os escoamentos da forma ilustrada no diagrama abaixo.

    Definimos prioritariamente se o escoamento

    De um fluido viscoso. Quando o fluido apresenta viscosidade podemos dizer que ele pode ter dois

    regimes de escoamento: 1. Escoamento laminar A denominao de regime laminar e viscoso puro so usados como sinnimos para indicar um escoamento que se processa em laminas

  • ou camadas, neste, o vetor velocidade de cada partcula que compem so colineares, isto , h um caminho disciplinado das trajetrias das partculas fluidas, seguindo trajetrias regulares, sendo que as trajetrias de duas partculas vizinhas no se cruzam, figuras 13 e 14(a); 2. Escoamento turbulento neste, o vetor velocidade num dado ponto varia constantemente em intensidade, direo e sentido, com trajetrias irregulares, figura 14 e 15(c). O que determina a natureza do escoamento, se laminar ou turbulento? Para dado

    fluido, a velocidade e a configurao geomtrica regio em que o escoamento ocorre o determinam. O parmetro usado para descrever a interao desta variveis e quantificar o escoamento conhecido como nmero de Reynolds ( 0LvNR = ). Baixo nmero de Reynolds caracteriza escoamentos laminares medida que ele cresce, por aumento da velocidade, por exemplo, passa por uma fase de transio, e quando estiver suficientemente alto o escoamento torna-se turbulento. O valor do nmero de Reynolds para observar cada tipo de efeito depende