Notas de Aula 2011/2Matemtica para Economia IIIProfessoras: Marina Tebet e Solim PimentelEMENTA1. Matrizes 2. Determinantes 3. Sistemas Lineares 4. Espaos vetoriais 5. Transformaes Lineares 6. Autovetores e Autovalores 7. Equaes Diferenciais Ordinrias 7.1 Equaes Diferenciais de 1 Ordem 7.2 Equaes Diferenciais Lineares de 1 Ordem 7.3Equaes Diferenciais Ordinrias Lineares de 2 Ordem 7.4 Sistemas de EDO lineares7.5 Equaes de Diferenas BIBLIOGRAFIA:lgebra Linear: A. Steimbruch e P. WinterleEditora Makron BooksMatemtica para Economistas: A. ChiangEditora Mc Graw Hill1. MatrizesUma matriz deordemmporn umarranjoretangular dem.nelementos dispostos em mlinhas e n colunas. Os elementos deumamatriz podemser nmeros, funes, ouaindaoutras matrizes.Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por:[ ]mxnijmn m m mnnmxnaa a a aa a a aa a a aA 1111]1

...... ... ... ... .........3 2 12 23 22 211 13 12 11

Usaremos sempre letras maisculas para denotar matrizes, e quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A (isto , o nmero de linhas e colunas), escrevemos Amxn.Igualdade de MatrizesDuas matrizes Amxn e Bmxn, de mesma ordem so iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posio so idnticos.Matrizes Especiais1. Matriz Retangular: Amxn uma matriz na qual m n .2. Matriz Coluna: aquela que possui uma nica coluna (n = 1).Exemplo: 111111]1

1312111maaaaVetor coluna com m linhas.3. Matriz Linha: aquela que possui uma nica linha (m = 1).Exemplo: [ ] na a a a1 13 12 11Vetor linha com n colunas.A matriz-linha denominada vetor-linha.4. Matriz Quadrada: aquela cujo nmero de linhas igual ao nmero de colunas (m = n). Neste caso diremos que A uma matriz de ordem n.Exemplo: A= (aij) de ordem 2 onde aij =i + j.4.1. Diagonal principalOs elementos aij, em que i = j, constituem a diagonal principal.4.2. Diagonal SecundriaOs elementos aij, em que i + j = n+1, constituem a diagonal secundria.4.3.MatrizDiagonal:umamatrizquadradaondeaij=0parai j, isto, os elementos que no esto na diagonal principal so nulos.Exemplo: 1111]1

nnaaa0 0 00 0 00 0 00 0 022114.4. Matriz Escalar: a matriz diagonal porm os elementos da diagonal principal so todos iguais.aaa0 00 00 0

1]111 a 04.5. Matriz Identidade ou matriz Unidade: uma matriz quadrada onde aij = 1 para i = j e aij= 0 para i j. Notao: I = I n=1111]1

1 0 0 00 0 00 0 1 00 0 0 1Matriz Identidade de ordem n4.6Matriz Triangular Superior:umamatrizquadradaondetodos os elementos abaixo da diagonal principal so nulos, isto , m = n e aij = 0 para i > j.Exemplo: 1111]1

nnnnaa aa a a0 0 002 221 12 11 4.7. Matriz Triangular Inferior: aquela em que m = n e aij = 0 para i < j.Exemplo: 1111]1

nn n na a aa aa 2 122 211100 00 0 05. Matriz Nula: aquela em que aij= 0 para todo i e j.Exemplo: A=( )aijx2 3 onde aij = 0, i,j.Operaes com Matrizes1. Adio e subtrao de matrizes. Sejam Amxn , Bmxn eCmxn matrizes de mesma ordem. Cada elemento de uma matriz ento somado ou subtrado ao correspondente elemento da outra matriz.Propriedades 1. A + B = B + A2. A + (B + C) = (A + B) + C3. A + 0 = 0 + A4. A + (-A) = 02.Multiplicao por um escalar. Seja Amxn= [aij]mxne k um nmero, ento definimos uma nova matriz k.A = [kaij]mxn Exemplo: 1]1

1]1

6 220 43 110 22Propriedades1. k(A + B) = kA + kB2. ( k1k2 A =k1Ak2 A3. 0.A = 04. A k k A k k ) ( ) (2 1 2 13.Produto entre duas matrizes.O produto das matrizes mxp pxn mxne a matriz C A B , onde cada elemento ijC obtido atravs da soma dos produtos dos elementos i-sima linha de A pelos elementos da j-sima coluna de B. Isto :ijC =nj in j i j ib a b a b a . ... . .2 2 1 1+ + +, para cada par i e j.Propriedades: Sejam A, B, C, I e 0 matrizes de ordens tais que as somas e produtos dados abaixo sejam possveis.1. Em geral ABBA2. AI = IA = A3. A(B+C) = AB + AC4. (A+B)C = AC + BC5. (AB)C = A(BC)6. 0.A = 0 e A.0 = 04. Transposio Dada uma matriz A = [aij]mxn, podemos obter uma outra matriz B = [bij]nxm,cujas linhas so as colunas de A, isto , bij = aji. B denominada transposta de A. Notao: B = At.1111]1

a a a aa a a aa a a aAmn m m mnnmxn........ .... .... .... ............3 2 12 23 22 211 13 12 11 1111]1

a a a aa a a aa a a aAnm m m mnnTnxm........ .... .... .... ............3 2 12 32 22 121 31 21 11Propriedades1.ttA= A2.(A + B)t = At + Bt3. (kA)t = kAt, onde k um escalar.4. (AB)t = BtAt 4.1. Matriz Simtrica: uma matriz quadrada igual sua transposta.4.2. Matriz Oposta: uma matriz oposta de uma matriz A a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos seus elementos. Notao: - A.3. Matriz Antissimtrica: uma matriz quadrada igual oposta de sua transposta.5. Potncia de uma matrizDefinimos Ak como sendo o produto da matriz A k-vezes, ou seja, A AAkAvezes k... 5.1 Matriz Peridica: Uma matriz quadrada A peridica se An =A, sendo n 2.5.2 Matriz Idempotente: Uma matriz Anxn dita idempotente se o produto dela por ela mesma resulta ela prpria: A.A = A ou A2 = A.Exemplo: A=

,_

4 45 55.3 Matriz Nilpotente: Uma matriz Anxn chamada nilpotente se o produto dela por ela mesma resulta a matriz nula: A. A = 0 ou A2 = 0.Exemplo:A=

,_

0 2 10 1 10 1 1, Nilpotente para n = 3.1 Lista de Exerccios1. Uma matriz quadrada A se diz simtrica se AT = A e anti-simtrica se AT = - A.a. Mostre que a soma de duas matrizes simtricas tambm simtrica e que o mesmo ocorre para matrizes anti-simtricas.b. Oprodutodeduasmatrizessimtricasdeordemntambmuma matriz simtrica?2. Determine a e b para que a matriz A =

,_

5 0 1 0 3 + 2 4 2b ab a seja simtrica.3. Encontre todas as matrizes 2 x 2 tal que X2 = I, em que I a matriz identidade de ordem 2.4. Se A e B so matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz

,_

0 1 1 0, mostre que AB = BA.5. Verdadeiro ou falso?a. (-A)T = -(AT).b. Se AB = 0, ento A = 0 ou B = 0.c. Se AB = 0, ento B.A = 0.d. Se podemos efetuar o produto A.A, ento A uma matriz quadrada.6. Seja A uma matriz arbitrria. Sob quais condies o produto AAT definido?7. Nos problemas 1, 2 e 3, sejam A = 1]1

4 3 02 1 1, B = 1]1

3 2 13 0 4, C= 111]1

3 0 0 12 4 1 51 0 3 2, D = 111]1

312.Encontre, se possvel,A + B, A + C, 3A 4B, AB, AC, AD, BC, BD, CD, AT, AT C, BTA, DTAT , DDT.Sejam A = 1]1

1 23 1 e B =1]1

6 2 34 0 2. Encontre AB e BA, se possvel.8. Se A uma matriz simtrica, calcule A AT.9. Se A uma matriz diagonal, calcule AT.10. Prove que (AB)T = BTAT.2. DeterminantesDeterminante umnmero associado a matrizes quadradas que pode indicar informao til sobre a matriz. Utilizaremos a notao A para denotar o determinante de A.1.Determinantedeprimeiraordem.Dadaumamatrizquadradadeprimeiraordem 11A a chamamos de determinante associado matriz A o nmero real a11.2. Determinante de segunda ordem. Dada a matriz11 1221 22a aAa a, de ordem 2, 11 1221 22deta aAa a = a a a a21 12 22 11. . 3. Determinante de terceira ordem. Seja 11 12 1321 22 2331 32 33Aa a aa a aa a a 1 1 1 1 ].Ento,( ) ( ) ( )11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31det A a a a a a a a a a a a a a a a + . Ou, 11 12 1322 2321 22 23 11 1232 3331 32 33deta a aa aA a a a a aa aa a a 21 2331 33a aa a+21 221331 32a aaa a.Propriedades dos Determinantes1. O determinante de uma matriz no se altera quando se trocam as linhas pelas colunas. 2. Se a matriz possui uma linha (coluna) constituda de elementos nulos, o determinante nulo.3. Se a matriz tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, seu determinante nulo.4. Sena matriz duas linhas (oucolunas) tmseus elementos correspondentes proporcionais, o determinante nulo.5. O determinante de uma matriz diagonal A (superior ou inferior) igual ao termo principal, isto , igual ao produto dos elementos da diagonal principal.6. Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz, seu determinante muda de sinal.7. Se A e B so matrizes quadradas de ordem n, ento det (A .B) = det A . det B.8. Quando se multiplicam por um nmero real todos os elementos de uma linha ou de uma coluna da matriz A, o determinante fica multiplicado por esse nmero.9. Um determinante no se altera quando se somam aos elementos de uma linha (coluna) da matriz os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um nmero diferente de zero.Clculo de um determinante de qualquer ordemPara calcular o determinante de uma matriz quadrada, de ordem n, utilizado o processo de triangularizao (ou triangulao). Esteprocessoconsisteemdadaumamatrizquadrada, seprocederocomas linhas(oucolunas) deseudeterminanteasoperaesadequadasparatransformar a matrizAnumamatriztriangular superior(ouinferior), aomesmotempoemquese efetuarocom o det A asnecessrias compensaes, quando for o caso, para manter inalterado seu valor, tudo de acordo com as propriedades dos determinantes.Exemplo. Usaremos este processo para calcular o seguinte determinante: 2 6 52 0 14 2 3. 2 6 52 0 14 2 3 2 6 54 2 32 0 1 2 6 54 2 32 0 1212 6 05 1 02 0 1212 6 010 2 02 0 1 . 84 ) 42 ( 242 0 05 1 02 0 1 Menor ComplementarChamamosmenor complementarrelativo ao elementoija de uma matriz quadrada A, o determinante Aij associado matriz obtida de A quando suprimos a linha i e a coluna j.Exemplo Dada a matriz 2 1 31 2 41 0 3A 1 1 1 1 ] ,232 11 0A = -1.CofatorChamamos decofatorrelativoaoelementoija deumamatriz quadradao nmeroijtal que:( 1)i jij ijA+ Exemplo.Dada a matriz 4222 1 32 31 2 4 ; ( 1) 1 ( 6 3) 91 31 0 3A 1 1 1 1 ].Matriz dos cofatoresDadaumamatrizAdefinimos amatriz AdoscofatoresdeAcomosendo a matriz cujos elementos so os cofatores de A, ou seja, ijA 1 ]Matriz Adjunta a transposta da matriz dos cofatores. Notao: adj A. Logo, TadjA A .Teorema de LaplaceO determinante de uma matriz quadrada mxmA (m 2) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz Apelos respectivos cofatores.Exemplo12 22 321 2 32 1 1 ( 2) 1 ( 1)2 1 2A + + ,onde1 2122 1( 1) 2;2 2+ 2 2221 3( 1) 8;2 2+ 3 2221 3( 1) 7.2 1+ Portanto,5. A Inverso de MatrizesDada uma matriz quadrada A de ordem n, se existir uma matriz quadrada B, de mesma ordem, que satisfaa condio: AB = BA = I, B dita a inversa de A e se representa por A-1.Uma matriz quadrada cujo determinante nulo uma matriz singular. Caso contrrio dita no-singular ou regular.Propriedades1. Se a matriz admite inversa, esta nica.2. Se a matriz no-singular, ento A admite inversa e sua inversa 11.detAdj AAA .3. A matriz unidade no singular e a sua prpria inversa.4. Se a matriz no-singular, sua transposta tambm , e ( ) ( )11TTA A .5. Se as matrizes A e B so no-singulares e de mesma ordem, o produto AB uma matriz no-singular e ( )11 1. . AB B A Uma matriz A dita ortogonal se.1 TA A Operaes ElementaresDada uma matriz A, chamam-se operaes elementares as seguintes aes:1. Permutar duas linhas de A.2. Multiplicar uma linha de A por um nmero real no nulo.3. Somar a uma linha de A uma outra linha, multiplicada por um nmero real.Definio. Dadas as matrizes AeB, de mesmaordem, diz-sequeamatriz B equivalente matriz A se for possvel transformar A em B por meio de uma sucesso finita de operaes elementares.Observao.Qualquer matriz quadrada A, de ordemn, no-singular, pode ser transformada na matriz equivalente I, de mesma ordem, por meio de uma sucesso finita de operaeselementares. Para transformar uma matriz quadrada A, no-singular,na matriz I, proceda da seguinte forma:1. TransformeamatrizAnumamatriztriangular superior (inferior), aomesmo tempoemquesosubstitudoscadaumdoselementosdadiagonal principal pelo nmero 1.2. Substitua todos os elementos situados acima (abaixo) da diagonal principal por zeros, isto , processe a diagonalizao da matriz A.Exemplo123 2 41 0 25 6 2LA1 1 1 1 ]( 1)11 0 23 2 45 6 2L 1 1 1 1 ]32 2 11 0 23 2 45 6 2L L L 1 1 1 1 ]53 3 11 0 20 2 105 6 2L L L 1 1 1 1 ]1( )321 0 20 2 100 6 12L1 1 1 1 ]63 3 21 0 20 1 50 6 12L L L 1 1 1 1 ]1( )3 3421 0 20 1 50 0 42L L 1 1 1 1 ]21 1 31 0 20 1 50 0 1L L L +1 1 1 1 ]52 2 31 0 00 1 50 0 1L L L + 1 1 1 1 ]1 0 00 1 00 0 1I 1 1 1 1 ]Inverso de uma matriz por meio de operaes elementaresA mesma sucesso finita de operaes elementares que transforma a matriz A na matriz I transforma a matriz I na matriz A-1.Procedimento:1. Coloca-se ao lado da matriz A a matriz I, separada por um trao vertical;2. Transforma-se, por meioe operaes elementares, a matrizAna matrizI, aplicando-se, simultaneamente, matriz I, as mesmas operaes.Exemplo. Determine a matriz inversa da matriz 111]1

8 1 43 1 22 0 1.1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 02 1 3 0 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 04 1 8 0 0 1 0 1 0 4 0 1 0 0 1 6 1 1 111111 111111 111111 111111 ] ] ] ] ] ] 1 0 0 11 2 2 1 0 0 11 2 20 1 0 4 0 1 0 1 0 4 0 10 0 1 6 1 1 0 0 1 6 1 1 1111 1111 1111 1111 ] ] ] ]. A inversa de 111]1

8 1 43 1 22 0 1 111]1

1 1 61 0 42 2 11.2 Lista de Exerccios1. Admita que det A = 10, onde A =

,_

i h gf e dc b a. Ache:(a) det (3.A)(b) det (2.A-1)(c) det (2.A)-1(d) det

,_

f i ce h bd g a2. Calcule m e n para que a matriz B=

,_

9 222 5 seja a inversa da matriz A= .

,_

2 22 nm3. Encontre a inversa de 111]1

1 3 20 1 40 0 2.4. Calcule o valor de k para que a matriz

,_

kA24 5 no tenha inversa.5. Mostre que as matrizes111]1

8 1 43 1 22 0 1e 111]1

1 1 61 0 42 2 11so inversveis e que so inversas uma da outra.6. Encontre a inversa de 111]1

8 1 43 1 22 0 1.7. Quando uma matriz diagonal A=1111]1

naaa0 0 0... ... ... ...0 ... 00 ... 021 inversvel e qual sua inversa?8. Calcular, pelo processo de triangularizao, 111]1

4 3 52 3 17 1 2det.9. Dada a matriz A=111]1

3 1 51 2 03 1 2 calcule a) adjA; b) detA; c) A-110. Seja x o valor do determinante 1 0 0 01 1 0 03 0 2 00 1 1 2 entox igual a.11. Se 2 16 4A11 ] e 2( ) +3x+2 f x x , calcule( ) det f A.12. Resolver as equaes:(a) 1282 4 72 56 4 xxx(b) 77 10 93 5 44 1 3 + + + x x x13. Calcular o valor de k para que a matriz 1]1

kA63 2 no tenha inversa. 14. Seja A= 111]1

5 6 14 1 30 1 2 calcule a matriz adjunta.15. Seja a matrizA=111]1

21 1 20 1b ac. Sabendo queTA A , Calcule o determinante da matrizA - 2A + I2, onde I a matriz identidade de ordem 3.16.Se a matriz 1]1

+55 2xx xno inversvel, calcule o valor de x.17.Para que valores reais de x a matriz 111]1

8 4 20 34 3 1xxx inversvel? 18.Dizemos que A e B so matrizes semelhantes se existe uma matriz P tal que B = P-1AP. Mostre que DetA = DetB se A e B so semelhantes.19. A matriz A=111]1

2 0 00 2 00 0 x tal que o 42detxA . Calcule o valor de x.20.Verdadeiro ou falso? Se det A = 1 ento A-1 = A.21.Seja a matriz1 0 21 2 4A11 ]. Calcule o determinante do produto de A pela sua transposta.22.Determine a soluo da equao 021325 13 2 1 x = 0.23.Dada a matriz 1 2 34 5 67 8 9A 1 1 1 1 ], calcule o detA pelo mtodo de Laplace.24.Escreva o determinante de 5 3 22 4 6a b cA 1 1 1 1 ] e 5 13 22 3aB bc 1 1 1 1 ] um em funo do outro.25. Dadaamatriz111]1

1 0 00 cos sen0 sen cos M, calcular MMTeconcluir queM ortogonal.3. Sistemas de Equaes LinearesUma equao linear uma equao com a seguinte forma: b x a x a x an n + + + ...2 2 1 1Um sistema linear um conjunto de equaes lineares. Um sistema com m equaes e n variveis pode ser representado por:' + + + + + + + + +m n mn m mn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11Uma soluo de umsistema umanupla de nmeros( )nx x x ,..., ,2 1que satisfaa simultaneamente estas m equaes.Dois sistemas so equivalentes quando possuem a(s) mesma(s) soluo (es).Podemos escrever o sistema acima numa forma matricial:1111]1

1111]1

1111]1

m n mn m mnnbbbxxxa a aa a aa a a 21212 12 22 211 12 11.ouA.X=Bonde1111]1

mn m mnna a aa a aa a aA 2 12 22 211 12 11a matrizdoscoeficientes,1111]1

nxxxX21a matriz das incgnitase1111]1

mbbbB21a matriz dos termos independentes. Umsistemadeequaes lineares ondeos termos independentes sotodos nulos chamado homogneo.Outra matriz que podemos associar ao sistema 1111]1

m mn m mnnb a a ab a a ab a a a 2 12 2 22 211 1 12 11, que chamamos matriz ampliada do sistema.Solues de um sistema de equaes linearesEmumsistema de uma equao e uma incgnita,ax=bexistiro trs possibilidades:i)a 0. Neste caso a equao tem uma nica soluo x = b/a.ii) a = 0 e b = 0. Ento temos0.x = 0 e qualquer nmero real ser soluo da equao.iii) a = 0 e b 0. Temos 0.x = b. No existe soluo para esta equao.Caso geralConsideremos um sistema de m equaes lineares com n incgnitas . ,..., ,2 1 nx x x' + + + + + + + + +m n mn m mn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11Cujos coeficientesija e termos independentes bi so nmeros reais (ou complexos).Este sistema poder teri) Uma nica soluo: 'm nk xk xk x2 21 1ii) Infinitas soluesiii) Nenhuma soluo.No primeiro caso dizemos que o sistema possvel (compatvel) e determinado.No segundo caso, dizemos que o sistema possvel (compatvel) e indeterminado. E no terceiro caso, dizemos que o sistema impossvel (incompatvel).Operaes Elementares e Sistemas EquivalentesUmsistemadeequaeslinearessetransformanumsistemaequivalentequandose efetuam as seguintes operaes lineares:1. Permutao de duas equaes. 2. Multiplicao de uma equao por um escalar no nulo. 3. Substituiodeumaequaopor suasomacomoutraequaopreviamente multiplicada por um nmero real no nulo. Forma Escada Uma matriz mxn linha reduzida forma escada se1) O primeiro elemento no-nulo de cada linha no-nula 1.2) Cadacolunaquecontmoprimeiroelementono-nulodealgumalinhatem todos os seus outros elementos iguais a zero.3) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas no nulas (isto , daquelas que possuem pelo menos um elemento nulo).4) Se as linhas 1, ..., r so as linhas no nulas, e se o primeiro elemento no nulo da linha i ocorre na coluna ki, ento . ...2 1 rk k k < < < Esta ltima condioimpe a forma escada matriz. Isto, onmerode zeros precedendo o primeiro elemento no nulo de uma linha aumenta a cada linha, at que sobrem somente linhas nula, se houver.Exemplos:1. 111]1

0 1 0 00 1 1 00 0 0 1 No a forma escada, pois a segunda condio no satisfeita.2.111]1

0 0 03 0 11 2 0No a forma escada, pois no satisfaz a primeira e a quarta condies.3. 111]1

2 1 0 0 00 0 0 0 01 0 3 1 0 No satisfaz a primeira nem a terceira condio.4. 111]1

0 0 0 0 02 1 0 0 02 0 3 1 0 a forma escada, pois todas as condies so satisfeitas.Teorema.TodamatrizAmxnlinhaequivalenteaumanicamatriz-linhareduzida forma escada.Definio. Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz-linha reduzida forma escada linha equivalente a A. O posto de A, denotado por p, o nmero de linhas no nulas de B. A nulidade de A o nmero n p.Exemplos 1. Desejamos encontrar o posto e a nulidade de 111]1

1 1 2 15 3 0 10 1 2 1A.assim, efetuamos as seguintes operaes com matrizes:111]1

1 1 2 15 3 0 10 1 2 1111]1

1 0 4 05 4 2 00 1 2 1111]1

1 0 4 02 1 00 1 2 125111]1

11 8 0 02 1 05 3 0 125111]1

81 1251 0 02 1 05 3 0 1111]1

81 141871 0 00 1 00 0 1o posto 3 e a nulidade 4 3 =1.Teoremai) Um sistema de m equaes e n incgnitas admite soluo se, e somente se o posto da matriz ampliada igual ao posto da matriz dos coeficientes.ii) Se as duas matrizes tm o mesmo posto p e p = n, a soluo ser nica.iii) Se as duas matrizes tm o mesmo posto pe p < n, podemos escolher n p incgnitas, e as outras incgnitas sero dadas em funo destas.Dizemos no caso iii que o grau de liberdade do sistema n p.Nos exemplos abaixo dada a matriz-linha reduzida forma escada da matriz ampliada. Usamos a notaopc = posto da matriz dos coeficientes epa = posto da matriz ampliada. Se pc = pa denotamos simplesmente por p.1. 111]1

2 1 0 02 0 1 03 0 0 1pc = pa= 3;m=n=p=3.Ento, a soluo nica e . 2 2 , 33 2 1 x e x x2.1]1

6 5 1 010 7 0 1pc = pa=2;m=2, n=3ep=2. Temosumgraudeliberdade: . 5 6 7 103 2 3 1x x e x x 3.111]1

2 0 0 06 5 1 010 7 0 1m=n=3;pc =2 e pa= 3. O sistema impossvel e, portanto, no existe soluo.4.111]1

0 0 0 0 04 1 7 1 010 2 10 0 1pc =pa=2; m=3, n=4ep=2. Temosdoisgrausde liberdade: . 7 4 2 10 104 3 2 4 3 1x x x e x x x + + Exemplo. Resolva o sistema ' + + + + +0 2 30 2t z y xt z y xSoluo. A matriz associada ao sistema 1]1

0 2 1 3 10 1 1 2 1 que reduzida forma escada fornece1]1

0 1 2 3 00 1 5 0 1. Reinterpretando o sistema, vemos que z e t so variveis livres (grau de liberdade 2). Chamando t e z obtemos: + tzyx25, ou na forma matricial 1111]1

+1111]1

1111]1

10110125 tzyx.Observe que [ ] [ ]T Te 1 0 1 1 0 1 2 5 sosolues dosistema. Elas so chamadassoluesbsicasdosistemaporquegeramtodasasoutras. Todosistema homogneo tem soluo que pode ser escrita desta forma.Regra de CramerSeja A uma matriz inversvel m x m e seja b = (b1, b2,..., bm). Seja Ai a matriz obtida substituindo-se a i-sima coluna de A por b. Se x for a nica soluo de AX= b, ento xi=det Aidet A, para i = 1, 2,..., m.Este mtodo s se aplica a sistemas lineares em que o nmero de equaes igual ao nmero de incgnitas.ExemploDado o sistema de 3 equaes e 3 incgnitas:' + + 0 25 31 7 3 2z yz xz y x temos0 11 2 03 0 17 3 2det 111]1

. Portanto, podemos usar a Regra de Cramer.Ento:4911 2 03 0 57 3 1 x;911 0 03 5 17 1 2 y;1810 2 05 0 11 3 2 z3 Lista de Exerccios 1. Determine os valores de ae bque tornam o sistema a seguir compatvel e determinado; em seguida, resolva o sistema.' + ++ + + 12 5 3 57 3b a y xb a y xb y xa y x2. Determine tal que o sistema ' + +22y xy x seja(a) Compatvel e determinado;(b) Compatvel e indeterminado;(c) Incompatvel.3. Determine os valores de k, de modo que o sistema ' + + + + +1 3 22 4 32z y xk z y xkz y x tenha(a) nenhuma soluo; (b) mais de uma soluo; (c) uma nica soluo4. Classifique e resolva o sistema linear:' + 1 24 2z y xz y x.5. Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:2 3 13 2 75 3 4 2x y zx y zx y z+ + '+ 6.Determine os valores de a, de modo que o sistema ' + + + + +2 33 3 21z ay xaz y xz y xtenha(a) nenhuma soluo; (b) mais de uma soluo; ( c) uma nica soluo7. Resolva o sistema usando a regra de cramer. 2 12 35 4x y zx yy z + + '