Notas de aulaProbabilidade: fundamentosProbabilidade: fundamentos

Idemauro Antonio Rodrigues de Lara

Justificativas

• Base teórica para a inferênciaestatística.

• Mensuração da “possibilidade”de ocorrência de fenômenosou experimentos aleatórios.

Exemplo

Selecionar uma amostra de 500 indivíduos de uma

população urbana e estimar a idade média.População urbana

Parâmetro

A média amostral depende da escolha da amostra, portanto tem padrão aleatório (variável

aleatória)

Parâmetro

idade média

Outros Exemplos:

• Estimar a probabilidade de chuva em umdeterminado dia ( previsão).

• Calcular a probabilidade de que umaárvore de uma dada espécie, selecionadaárvore de uma dada espécie, selecionadaaleatoriamente, tenha mais de 150 cm dealtura.

• Calcular a probabilidade de que em umaregião da cidade, no verão, ocorrammenos de 3 casos de dengue por Km².

Probabilidade

EXPERIMENTO ALEATÓRIO

POSSUEM REGULARIDADE ESTATÍSTICA

Exemplos

1. Selecionar uma pessoa ao acaso e avaliar(exame) seu tipo de sangue

2. Medir a altura de uma árvore

3. Lançamento de uma moeda3. Lançamento de uma moeda

4. Tempo de reação de uma pomada anestésica

5. Número de partículas de radioativaspresentes na atmosfera;

Conceitos

• Espaço Amostral

• Eventos:

1. A pessoa tem sangue A+

2. A altura é inferior a 120 cm 2. A altura é inferior a 120 cm

3. Ocorre cara

4. O tempo de reação é inferior a 5 minutos

5. Há ao menos 20 partículas de vírus

Definições de probabilidade

1. Clássica (Laplace, 1812)

2. Probabilidade como limite de uma frequência

relativa

3. Definição moderna: Axiomas de Kolmogorov

Exemplo 1

• No lançamento de um dado honesto,estimar a probabilidade de ocorrer facepar.

Espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento A: “face par” = {2, 4, 6}

P(A) = 3/6 = 0,50

Exemplo 2

• Entre 10878 partos sucessivos em SP eque resultaram em crianças vivas, 100foram de gêmeos. Estimar a probabilidadede gêmeos entre os nascidos vivos.de gêmeos entre os nascidos vivos.

p = 100/10878 = 0,00919

Regras úteis

• Probabilidade do evento complementar

A

Probabilidade de que não ocorra o evento A

)(1)( APAP C

CA

Teorema da união

A

BA B

)()()()( BAPBPAPBAP

Exemplo 3

• Numa população humana, a probabilidadede ser surdo é estimada em 0,0050, aprobabilidade de ser cego em 0,0085 e aprobabilidade de ser cego e surdo emprobabilidade de ser cego e surdo em0,0006. Qual é a probabilidade de umapessoa escolhida ao acaso ser surda oucega?

p = 0,0129

Probabilidade condicional

• Considere as situações:

1. Qual é a probabilidade de ocorrer número 3 no lançamento de um dado honesto?lançamento de um dado honesto?

2. Qual é a probabilidade de ocorrer número 3 no lançamento de um dado honesto, se sabe-se que ocorreu número ímpar?

Formalizando:

• Dados dois eventos A e B de uma σ-álgebra, aprobabilidade de ocorrer A dado B é:

0)()(

BPseBAP

0)()(

0)()()|(

BPseAP

BPseBPBAP

satisfazendo aos axiomas de Kolmogorov.

Teorema do produto

)|().()( ABPAPBAP

Da definição de probabilidade condicional

)|()...|()()(1

1121

1i

n

ini

n

iAAPAAPAPAP

Generalização para n eventos

Exemplo: aplicação em amostragem

• Uma empresa produz um lote de 50 filtrosde combustível, dos quais 6 sãodefeituosos. Escolhem-se aleatoriamentee testam-se dois filtros do lote. Determinee testam-se dois filtros do lote. Determinea probabilidade de ambos serem bons, seos filtros são selecionados:

• [a.] com reposição; (0,7744)

• [b.] sem reposição. (0,7722)

Eventos Independentes

• Dados dois eventos A e B de uma σ-álgebra,dizemos que A e B são independentes se:

)()|()()|( BPABPouAPBAP

Ou ainda:

)()()( BPAPBAP

Exemplo

(Adaptado de Magalhães, 2004) Emfamílias com 3 filhos, defina os eventos A:filhos dos dois sexos e B: no máximo umamenina entre os dois filhos. Admita igualmenina entre os dois filhos. Admita igualprobabilidade no nascimento de meninos emeninas. Nessas condições, mostre queos eventos A e B são independentes.

Independência coletiva

Exemplo – Considere 3 eventos tais que:A B

C

A, B, e C são independentes dois a dois mas não coletivamente.

Independência coletiva

Definição - Os eventos são independentes coletivamente se:

nAAA ,...,, 21

)()...()()...( 2121 imiiimii APAPAPAAAP

nmnimii ,...,3,2...211

em que:

12 nnNúmero de condições a serem verificadas:

Algumas referências

Andrade, D. F.; Ogliari, P.J. Estatística para as ciências agrárias ebiológicas. Ed. UFSC, 2010.

Bussab, W. O; Morettin, P.A. Estatística Básica. São Paulo, Saraiva,5 ed. 2002.5 ed. 2002.

Magalhães, M. N; Lima, A. C. P. Noções de Probabilidade eEstatística, Edusp, 2002.