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Capítul o 2 NOTAS DE AULA, REV 6.0 – UERJ 2018 – FLÁVIO ALENCAR DO RÊGO BARROS Eletrônica 4 Estabilidade e Compensação Flávio Alencar do Rego Barros Universidade do Estado do Rio de Janeiro E-mail: [email protected] Notas de aula – versão 6.0

NOTAS DE AULA, REV 6 - UERJ :: Laboratório de Engenharia …falencar/arquivos-flavio-uerj/elo4/... · 2018-05-24 · Índice do capítulo 2: 12. Análise de Estabilidade.....49 Margem

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2N O TA S D E A U L A , R E V 6 . 0 – U E R J 2 0 1 8 – F L Á V I O A L E N C A R D O R Ê

Eletrônica 4

Estabilidade e Compensação

Flávio Alencar do Rego Barros Universidade do Estado do Rio de Janeiro

E-mail: [email protected]

Notas de aula – versão 6.0

Capítulo

G O B A R R O S

O capítulo 2 (Estabilidade e Compensação) trata de modo mais detalhado as

formas de analisar a estabilidade dos circuitos realimentados e as técnicas, métodos e

procedimentos, chamados compensação, para garantir tal estabilidade. Na versão

2015.2, nas aulas, serão suprimidas algumas partes que constam deste material, como

Critério de Nyquist, Análise no Plano-s para Estabilidade, Método de Compensação por

Equalizador. No entanto, os textos e as figuras relativas a estes assuntos foram mantidos

neste material de apoio. Estão incluídos textos e figuras sobre: análise de estabilidade,

Bode assintótico, critério de Nyquist, Routh-Hurwitz, Yen, compensação.

Estas notas de aulas se destinam a reduzir o trabalho de cópia do aluno durante

as aulas (indica-se manter em cada aula, cada aluno a sua cópia), mas também oferecer

material de apoio na forma de exercícios propostos e referências onde o aluno poderá

complementar seu estudo. É importante perceber que este material NÃO esgota o que o

aluno deve ler durante o curso, nem mesmo substitui a participação em sala de aula,

devendo ser encarado apenas como material de apoio. Alertamos que também pode

acontecer nestas notas de aula alguns erros de digitação ou de outra natureza, a ideia é

corrigi-los ao longo das aulas, à medida que forem descobertos.

Notas de aula – versão 6.0

Índice do capítulo 2:

12. Análise de Estabilidade.............................................................................................49 Margem de Ganho (MG) e Margem de Fase (MF)...............................................50

13. Análise de Estabilidade – Bode Assintótico 52

14. Critério de Nyquist 54

15. Método de Análise –Routh-Hurwitz..........................................................................56

16. Limites de Yen...........................................................................................................57

17. Compensação.............................................................................................................60 Compensação por Polo Dominante.......................................................................60 Compensação por Cancelamento Polo-Zero.........................................................63 Compensação por Equalizador..............................................................................64

Anexo C – 2ª. LISTA.........................................................................................................i

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 49

12. Análise de Estabilidade O efeito da realimentação na estabilidade de circuitos depende dos polos da função

A(s). Numa análise de A(s) no plano imaginário, caso os polos se localizem no SPD

(semiplano da direita), o circuito é instável. Sem demonstração, apenas por ilustração,

se A(s) tem polo simples (vide Figura 51 a seguir) não haverá instabilidade para

qualquer valor de aoβ (ou aor, segundo a notação do cap. 1):

Baixas frequências: ( ) [ ]

+

++

=⇒+

=

ββ

oaw

soa

soasA

wssoa

sa

111

)(1

)()(

Altas frequências: ( ) β222)(

22)(

woawswoa

sAwswoa

sa++

=⇒+

=

Estabilidade e Pólo SimplesIm

Re

a0β = 0

a0β = ∞

Estabilidade e Pólo Duplo Im

Re-w1-w2-w3-w4

a0β = 0

a0β = ∞

a0β = ∞

a0β = ∞

-w1-w2

Figura 51: Estabilidade e Polos

Ainda acompanhando na Figura 51 acima, se A(s) tem polo duplo, e da mesma

forma não existem polos no SPD:

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 50

Baixas frequências: ( )( ) ( )( ) 221

2)(

21

2)(

soawsws

soasA

wswssoa

saβ+++

=⇒++

=

Altas frequências:

( )( ) ( ) β4343432

43)(43

43)(wwoawwswws

wwoasA

wswswwoa

sa++++

=⇒++

=

A estabilidade, porém, pode não acontecer para três polos ou mais, além do que

a análise é muito mais complicada. O que vamos fazer neste capítulo é verificar a

estabilidade de circuitos realimentados, porém, olhando de um ponto de vista prático.

De início, analisaremos três métodos: Margens (de Ganho e Fase), Bode, Nyquist e

Hurwitz (os dois primeiros, gráficos, os dois últimos, analíticos).

Margem de Ganho (MG) e Margem de Fase (MF)

Como )()(1)(

srsasa

fA+

= , o circuito será instável se:

ganho de malha aberta

∞→⇒−= )(1)()( sfAsrsa

circuito estável requer osrsaquandosrs 180)()(1)()( =∠<a ,

então a estabilidade do amplificador pode ser analisada pelos plots de

)()()()( srsaesrsa ∠ .

Define-se Margem de Ganho (MG) e Margem de Fase (MF):

odBsrsaMG180

)()(−= diferença entre 0 dB e o módulo na frequência que a fase

chega a 180°.

)()( srsaMF ∠= diferença entre a fase na frequência que o módulo alcança 0 dB e a fase de -180°.

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 51

Na Figura 52 a seguir se encontram as visualizações gráficas destas duas

definições. Para o circuito ser estável é rigorosamente necessário que:

MG > 0

MF > 0

Em termos práticos, MG representa o quanto |ar| pode ser aumentado antes do

amplificador se tornar INSTÁVEL. É praxe de projeto garantir MG > 10 dB e também

MF > 50° .

Margem de Ganho – Margem de Fase

1 10 100 1000 w (rad/seg)

1 10 100 1000 w (rad/seg)

|ar|dB

ar

20

10

0

-10

-20

-60º

-120º

-180º

MG

2

2 3

4

1ba

MF

c

d

Figura 52: Margens de Ganho e de Fase

Observe agora que se w1 é a frequência onde o ganho de malha aberta é unitário:

MFojjwa −=⋅⋅⋅⋅⋅∈⋅= 1801)1( θθβ então, o ganho de malha fechada é:

θ

θβ

β j

j

jwajwa

jwfA∈+

=+

=1

1

)1(1)1(

)1(

( ) θθ

βθ

β2sen2cos1

1

1

1

)1(++

=+

=⇒j

jwfA

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 52

se fizermos MF = 50° ⇒ θ = 180°- 50 = 130°

ββ 18.1

1302sen2

130cos1

1

)1( =

+

+

=⇒oo

jwfA

significa um pico de 1.4 dB (20 log 1.18) acima do ganho de meia-banda (20 log 1/β) MF diminui ⇒ pico aumenta (MF = 10° ⇒ pico= 15.1 dB)

Se:

MF aumenta ⇒ pico diminui (MF = 90° ⇒ pico= -3 dB !!!)

Perceba, portanto, a solução de compromisso envolvida!

Observe os picos acima de meia banda para diversas situações:

Pico acima da meia-banda (dB) MF θ

15.2 10° 170° 9.2 20° 160° 5.7 30° 150° 3.3 40° 140

1.5 50° MF limítrofe prático 130°

0 60° 120° -3 90° 90°

O problema deste método de análise de estabilidade é que nos obriga a soluções

gráfica e computacionalmente intensivas.

13. Análise de Estabilidade – Bode Assintótico Trata-se de um método gráfico (podem também ser tiradas conclusões analíticas),

simples, que fornece o grau de estabilidade do circuito (estável, fracamente estável ou

instável).

Condição de estabilidade:

1)()( −=srsa

Frequentemente r(s) é puramente resistivo: β=)(sr

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 53

|A|dB |a|dB |1/β|dB

ββ 1log20)(log20)(log20 −=⇒ sasa

ganho de malha ganho do ganho de aberta canal direto realimentação (FABRICANTE) (SEU CIRCUITO)

Visualização gráfica desta equação:

Bode Assintótico

Módulo(dB)

w (escala log)

(1/β)dB

|a|dB

condição de instabilidade: |1|log20|)(|log20|)(|log20β

β −= sasa

ganho de malha aberta

ganho de canal direto

(FABRICANTE)

ganho de Realimentação

(SEU CIRCUITO)

180º ?

Figura 53: Bode Assintótico

Aquele ponto indicado na Figura 53 corresponde ao risco de instabilidade, se o

gráfico de fase para este valor de w passar por 180°.

Numa abordagem prática, cada polo de a(s) – canal direto - acarreta uma

“quebra” de –20 dB/dec na curva de módulo e uma “queda” de -90° na curva de fase.

Assim, se a interceptação entre |a|dB e |1/β|dB se dá com uma diferença de angulação de

menos que –40 dB/dec o circuito é considerado ESTÁVEL; se igual a –40 dB/dec o é

FRACAMENTE ESTÁVEL (no ponto crítico a fase se aproxima assintoticamente de -

180°); se mais que –40 dB/dec o circuito é INSTÁVEL.

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 54

Na Figura 54 a seguir são mostrados diversos gráficos de redes de realimentação

para uma única plotagem de ganho de canal direto. Conforme o ponto de interceptação,

os respectivos circuitos terão o seu status quanto à estabilidade.

1 / ββ22

1 / ββ11

1 / ββ33

w

A ,dBV

ganhosem

compensação

Lista 2-6

1 / ββ44

Figura 54: Exemplos - Bode Assintótico

Vejamos a seguir métodos analíticos.

14. Critério de Nyquist “Um amplificador realimentado é estável se ele não apresenta polos

positivos ou contendo zero na sua parte real”.

O diagrama de Nyquist corresponde ao mapeamento do plano-s no plano-

a(jw)β:

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 55

Critério de Nyquist

Re

Im

plano-s

Re

Im

plano-a(s)β

SPDSPE

Im[a(jw)β]

-1

plano-a(s)β

Re [a(jw)β]

Im[a(jw)β]

-1

plano-a(s)β

Re [a(jw)β]

estável instável

Figura 55: Critério de Nyquist

O número de vezes que o contorno circunda o ponto crítico (-1 + j0) –

corresponde ao ponto crítico - é igual ao número de raízes com parte real positiva.

A relação entre MG, MF e Critério de Nyquist é ilustrada na Figura 56 a seguir:

Margens de Ganho e Fase/Critério de Nyquist

Im[a(jw)β]

-1Re [a(jw)β]

φM

- α |1|log20α

=MG

MMF φ=

Figura 56: Relações Nyquist e Margens de Ganho e Fase

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 56

Como α1log20=MG , se tiver múltiplas intercessões no semi-eixo negativo,

MG é da intercessão que mais se aproxima do ponto crítico. Quanto à Margem de Fase:

MMF φ= , ou seja, ângulo entre eixo real negativo e ponto de interceptação com o

círculo unitário.

15. Método de Análise – Routh-Hurwitz

Considere 02

21

1)(1)( ansnansnansnasasR +⋅⋅⋅−−+−

−+=+= β raízes de Af(s). O

método Routh-Hurwitz consiste em construir uma matriz como ilustrado na Figura 57 a

seguir e utilizar o seguinte critério quanto à estabilidade:

“Todos sinais da 1ª coluna (an, an-1, b1, c1, ...) são iguais”. Isto significa (a ausência de

inversões de sinal) que não existem raízes no SPD. Para casos não degenerativos, o

número de mudanças no sinal da 1ª coluna da matriz é igual ao número de raízes no

SPD do polinômio R(s).

Método de Routh-Hurwitz

sn an an-2 an-4 ........

sn-1 an-1 an-3 an-5 ........

sn-2 b1 b2 b3 ........

sn-3 c1 c2 c3 ........

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

s0

01

1 ...)(1)( asasasasR nn

nn +++=+= −

−β

1

3211

−−− −=

n

nnnna

aaaab

1

5412

−−− −=

n

nnnna

aaaab

.

.

.

1

12311 b

ababc nn −− −=

1

13512 b

ababc nn −− −=

.

.

.

sinaisiguais

Figura 57: Método Routh-Hurwitz

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 57

EXEMPLO: Dado R(s), verifique se o amplificador realimentado é estável ou instável.

24502353104)() ++++= sssssRa

402223)() +++= ssssRb

322234)() ++++= sssssRc

4423)() +++= ssssRd

SOLUÇÃO: Em sala de aula. Respostas: estável; instável; instável; estável, mas pode

oscilar.

16. Limites de Yen Trata-se do limite de realimentação que pode ser aplicada a um amplificador sem torná-

lo instável (utiliza o critério de Routh-Hurwitz para descobrir a máxima realimentação

aoβo).

Sejam b1, b2,...,bn os pólos nas baixas freqüências: ( )( )( )321

3)(

bsbsbssoa

sa+++

=

a1, a2,...,an os pólos nas altas freqüências: ( )( )( )321321)(

asasasaaaoa

s+++

=a

1) 3 POLOS (de baixa, portanto, 3 zeros na origem)

( ) ( ) ( ) 3212331212

32131)( bbbsbbbbbbsbbbsoasR ++++++++= β

(formato 3 polos de baixa)

sejam: βoaA += 1

BbbbC =++= 32113

CbbbbbbC =++= 32312123

=== mnCDbbbC ...321

33 soma das combinações dos n polos

tomados m a m (em produtos).

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 58

Routh-Hurwitz:

3s A C 2s B D

1s BADBC −

0

0s D como A, B e D > 0 ⇒

0>−A

ADBC (para ser estável)

( )( )0

321321)1(323121321 >

+++−++++

bbbbbboabbbbbbbbb β

⇒>++

+−++⇒ 0

321321)1(

323121 bbbbbboa

bbbbbbβ

⇒++++++++<+13

121

231

211

3

2

311

bb

bb

bb

bb

bb

bb

oa β

21

322

313

21 ++

++

++

<b

bbb

bbb

bboa β

Analisando dois casos limites:

i) b1 = 100 polo dominante (o pior entre os melhores casos)

b2 = 10

b3 = 10 ⇒ 2.24322.01111 =⇒+++< bYoa β

ii) b1 = b2 = b3 polos iguais (pior caso)

832222 =⇒+++< bYoa β

Se fizermos a mesma análise para 4 e 5 polos, vamos obter:

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 59

Limites de Yen

Limites de Yen (baixas)No. de Pólos Pólopólos Condições coincidentes dominante

BC – AD = 0 -> Y3b = a0 β|MAX

3 B = C31 C = C3

2 D = C33 A = 1 + a0β 8 24.2

BCD – AD2 – B2E = 0 -> Y4b = a0 β|MAX

4 B = C41 C = C4

2 D = C43 E = C4

4 4 11.1

5 (BC – AD)(BE – AF)D – (BE – AF)2B – (BC – AD)2 2.4 7.3

Figura 58: Limites de Yen

EXEMPLO: O formato de R(s) para altas frequências (3 polos) é:

( ) ( ) ( ) 3212331212

32131)( bbbsbbbbbbsbbbsoasR ++++++++= β

Prove que o limite de Yen para altas frequências é igual ao seu limite para baixas

( bYa 33 =Y ).

SOLUÇÃO: Possivelmente em sala de aula.

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 60

17. Compensação Se um amplificador realimentado se torna instável, existem dois métodos básicos para

estabilizá-lo. O primeiro, reduzir o ganho de malha aberta (ar), mas pode ter

consequências inaceitáveis. O segundo, compensação, significa acrescentar uma rede

que garanta MF ≥ 50° e MG ≥ 10 dB:

SEM COMPENSAÇÃO COM COMPENSAÇÃO

Figura 59: Rede de Compensação

São três os principais métodos de compensação que analisaremos:

polo dominante (Lag)

cancelamento polo-zero (Lag-Lead)

equalizador (Lead)

Em todos métodos a ideia é recuar o ponto em que a curva de decibéis corta a

origem (|a|dB = 0) em uma freqüência que seja GARANTIDO que a∠ não chegou

ainda em 180°, portanto, longe da instabilidade.

Compensação por Polo Dominante

No método POLO DOMINANTE, a ideia é inserir um polo (fd) de modo que

|a´|dB passe em 0 dB no primeiro polo f1 de |a|dB não compensado. Como ilustraremos

numa próxima figura o preço da estabilidade é a redução da banda!

Uma estrutura RC colocada na saída do amplificador direto oferece as condições de

polo dominante, senão vejamos:

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 61

pCpsR

psCpR

psC

VoV

pH+

=+

==1

11

1

1

Figura 60: Estrutura RC para Compensação Polo Dominante

chamando pH

pwsV

oV

pCpRpw =+

=⇒=1

1

1

1

Agregando esta estrutura RC à saída do canal direto, como ilustrado na Figura

61 abaixo:

Compensação Pólo Dominante

|a|dB

w (escala log)w1wp

|a´|dB

w (escala log)w1wp

BW antes

BW depois

-20dB/dec

-20dB/dec

ANTES DA COMPENSAÇÃO

DEPOIS DA COMPENSAÇÃO

Rp

Cp

aV1 V0Vi

awwp

1=

ppp CR

w 1=

R0

Figura 61: Compensação por Polo Dominante

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 62

Os resultados mostrados na Figura 61 são oriundos de:

pwwra

dBra

pwwj

rapaHra log20log20´

1

´ −=⇒+

==

aplicando a condição de polo dominante:

Figura 62: Estrutura de Compensação por Polo Dominante

raw

pwpw

wra 11log20log200 =⇒−= → na região em que |ra|dB tem –20 dB/dec

EXEMPLO: Dimensione a rede de compensação por polo dominante para o seguinte

amplificador realimentado. Sabe-se que o AMP OP apresenta:

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅+

−=Ω=Ω=

6103021

6101021

61021

41075;1

πππ

sssMReoRMiR

Figura 63: Exercício da Lista 2-11

SOLUÇÃO: Em sala de aula. Respostas: 1.57 KHz; 1.35 µF

Compensação por Cancelamento Polo-Zero

A ideia é inserir um zero antes de um polo, para cancelar o 1° polo e garantir 0 dB no

segundo polo da função original. É, pois, por construção, menos redutor de banda que o

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 63

método anterior. A rede de compensação responsável por isto é ilustrada na Figura 64 a

seguir.

Compensação Cancelamento Pólo-Zero

|a|dB

w (escala log)w1wpz

|a´|dB

w (escala log)w1wpz

BW antes

BW depois

-20dB/dec

-20dB/dec

ANTES DA COMPENSAÇÃO

DEPOIS DA COMPENSAÇÃO

Ra

Cc

V1 V0

awwpz

2=

cbapz CRRR

w)(

10++

=

w2wp

w2

Rb

1wwz =

cbz CR

ww 11 ==

Figura 64: Compensação por Cancelamento Polo-Zero

Para este circuito:

( ) csCbRaRcCbsR

csCbRaR

csCbR

VoV

pzH++

+=

++

+==

11

1

1

1 (numerador tem um

zero, denominador tem um polo). Se:

( )pw

wj

zwwja

pzHcCbRaRpwe

cCbRzw+

+

=∴+

==1

111

então:

pwwj

zwwja

pzaHa

pwwj

zwwj

pzH+

+

==⇒+

+=

1

1

1

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 64

Aplicando a condição de cancelamento polo-zero:

1

2

1

2log20log200

fzfaf

pf

wzwpf

fa

=

=⇒

=

−=

então:

( ) cCbRwzwe

cCoRbRaRpw 11

1==

++=

Compensação por Equalizador

É similar ao cancelamento polo-zero, exceto que o polo ocorre “depois” do zero:

eqeqeq

eqzwpw

pwszws

eqH >>+

+=

Nestes termos, a condição de compensação para o equalizador é:

aw

pwpwwa

eqeq

11log20log200 =⇒

−=

Agora, o segundo polo de a(s) é cancelado pelo zero da rede de compensação. A rede de

compensação e os resultados são ilustrados na Figura 65 a seguir.

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 65

Compensação Equalizador

Ra

Cc

V1V0 a

wwpeq1=

cbapeq CRR

w)||(

1=

Rb

2wwzeq =

cazeq CR

w 1=

Figura 65: Compensação por Equalizador

Conclusão: Esta é a solução mais economizadora de banda, porém, isto ocorre à custa

da diminuição do ganho. Por isto, vamos dar menor importância a ela.

EXEMPLO: Para o circuito abaixo, AV é o ganho do amplificador em malha aberta,

polos do AM POP em 1 MHz, 4 MHz e 40 MHz; dBVA 720

= .

a) Demonstre que:

+++

+⋅=

´//11

1

/

/

´

RrRcRcjwCcCcjwR

ocompensaçãs

VA

ocompensaçãc

VA

b) Determine BW (banda passante).

c) Calcule Rc e Cc considerando R1 = R// R´, R = 1K e R´ >> R.

SOLUÇÃO: Possivelmente em sala de aula. Respostas: ≅1 KHz; 81 nF e 2Ω.

Notas de aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 66

Anexo C - 2a. LISTA (Assunto: Análise de Estabilidade) 2.1) (Critério de Estabilidade) Se a0 = 100 e a(s) é dado abaixo, calcule a0βMAX de

modo a atender ao critério de Bode Assintótico de estabilidade.

)500)(200)(100(

30)(

+++=

ssssasa

2.2) (Critério de Estabilidade) Idem, calcule AfMIN se:

)1000(2)100(

3100)(++

=ss

ssa

2.3) (Critério de Estabilidade) Idem:

)1000)(500)(200)(100(

4100)(++++

=ssss

ssa

2.4) (Margens de ganho e de fase) Sabe-se que é praxe manter uma margem de fase

mínima de 50°, o que nos dá um pico de 1.14 dB acima do ganho de meia banda.

a) Determine que MF nos daria 0 dB acima do ganho de meia banda;

b) Determine que MF nos daria 15.2 dB acima do ganho de meia banda

2.5) (Estabilidade, Bode assintótico) Considere o amplificador com o ganho de canal

direto dado abaixo. Utiliza-se a rede de realimentação dada. Determine se o circuito

é ou não estável pelo método de Bode assintótico.

)10

1)(1(

1000)( fjjfjfa

++=

Notas d

e aula – versão 6.0

UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 67

2.6) (Estabilidade, Bode assintótico) Quais das redes de realimentação aplicadas ao

amplificador de canal direto cujo diagrama de Bode assintótico é dado na figura

abaixo serão instáveis ou fracamente estáveis. Explique.

A ,dBV

1 / ββ 22

1 / ββ 11

1 / ββ 33

w

ganhosem

com pensação

Lista 2-6

1 / ββ 44

2.7) (Método de Routh-Hurwitz) Se R(s) = 1 + a(s) β = s4 + 10s3 + 35s2 + 50s + 24,

analise as condições de estabilidade pelo método de Routh-Hurwitz.

2.8) (Método de Routh-Hurwitz) Idem para R(s) = s4 + s3 + 2s2 + 2s + 3.

2.9) (Método de Routh-Hurwitz) Idem para R(s) = s3 + s2 + 4s + 4.

2.10) (Método de Routh-Hurwitz) Idem para R(s) = s3 + 2s2 + 2s + 40.

2.11) (Compensação) Dimensione a rede de compensação por polo dominante para o

circuito abaixo, sabendo-se:

Ri = 1 MΩ Ro = 75 Ω

))61010.(2

1)()61010.(2

1)(610.21(

410

x

s

x

ssMR

πππ+++

−=

(circuito na próxima página)

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UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 68

R 1

R 2

51 Ω

Lista 2-11

180 Ω

Vi

Vo

Ri Ro

Vo

R 1

R ‘

R c

R

Cc

oVs

Lista 2-12

2.12) (Compensação) Para o circuito abaixo, AV é o ganho do amplificador em malha

aberta. Se os polos do AMP OP estão em 1 MHz, 4 MHZ e 40 MHZ, e se AVo = 72

dB:

a) Demonstre que:

),//1(1

1

RRRcRcjwCcCcjwR

VAVAf +++

+=

b) Determine a banda passante do amplificador compensado.

c) Calcule RC e CC considerando R1 = R//R´ e R = 1K e R´ >> R

2.13) (Estabilidade) Se AVo = 1000 e f1 = 20 Hz é o único polo do amplificador usado

abaixo:

a) Trace em um mesmo gráfico as curvas assintóticas de Bode do amplificador

canal direto e da realimentação (1/β);

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UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 69

b) Determine se o circuito realimentado é estável, instável ou fracamente estável.

2.14

2.15

R(s)

2.16

R(s)

+

-

VVoo

1

C 2R

R

VVss

0.1 microF

600 K

300 K

Lista 2-13

) (Compensação)

a) A função de transferência de um AMP OP apresenta polo em f1 = 1 MHz e

ganho em baixas frequências de 44 dB. Usa-se compensação de polo dominante.

Responda em que frequência fica o ganho compensado de 0 dB e calcule fd.

b) Idem, se o ganho em baixas frequências é de 68 dB.

) (Limites de Yen) Se o formato de três pólos em baixas frequências apresenta:

= 1 + a(s) β = (1 + a0β)s3 + (b1 + b2 + b3)s2 + (b1b2 + b1b3 + b2b3)s + b1b2b3

a) Prove que o limite de Yen é 24,2 se os polos são do tipo dominante (p, p, 10p)

b) Repita a prova para polos coincidentes (p, p, p) dando limite de Yen igual a 8.

c) Qual é o pior caso? Por quê?

) (Limites de Yen) Se o formato de três polos em altas frequências é dado por:

= s3 + (a1 + a2 + a3)s2 + (a1a2 + a1a3 + a2a3)s + a1a2a3(1 + a0β), prove que Y3a =

Y3b (este último foi calculado no exercício anterior).

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