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Notas de Mecânica dos Fluidos

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  • Notas de Mecanica dos Fluidos

    Domingos H. U. MarchettiDepto. Fsica Geral

    Email: [email protected]

    Web: http://gibbs.if.usp.br/marchett

    Ifusp - 2008

  • 2

    RESUMO

  • Indice

    Prologo 5

    1 Algumas Consideracoes Gerais 71.1 Funcoes de Estado de um Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Conservacao da Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Conservacao de Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Conservacao de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2 Equacoes do Movimento 172.1 Derivada Material e Outras Propriedades do Contnuo . . . . . . . . . . . 172.2 Movimento de um fluido Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Campos Helicoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Decomposicao do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3 Fluidos Ideais: Diversos Resultados 453.1 Equacao da Vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Teorema da Circulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Movimentos Estacionarios Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 Aplicacao a Teoria dos Aerofolios e Problemas de Fronteira Livres . . . . 67

    4 Fluidos Reais: Algumas Aplicacoes 754.1 Equacoes de NavierStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    4.1.1 Escoamento de Poiseuille Entre Dois Planos Paralelos . . . . . . . 774.1.2 Escoamento de Poiseuille em um Tubo Cilndrico . . . . . . . . . 784.1.3 Equacao de NavierStokes em Coordenadas Cilndricas . . . . . . 804.1.4 Escoamento de CouetteTaylor entre Dois Cilndros Coaxiais . . . 824.1.5 Formula de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4.2 Termohidraulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

  • 4 Indice

    4.2.1 Aproximacao de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.2 Solucao Estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2.3 Forma Adimensional das Equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2.4 Estabilidade da Solucao Trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    4.3 Camada Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3.1 Um Exemplo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.2 Interpolacao da Camada Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

  • Prologo

    O Instituto Clay de Matematica, sediado em Cambridge, Massachusetts, instituiu no ano2000 um premio no valor de 1 milhao de dolares a quem resolvesse um dos sete problemasdo milenio que resistem por anos solucao (veja http://www.claymath.org/millennium).Um deles e Provar a existencia e suavidade das solucoes da equacao de NavierStokes.

    O enunciado surpreende a primeira vista, visto ser as primeiras questoes a serem inves-tigadas de uma equacao. Se nada podemos afirmar sobre sua propria existencia, como uti-lizar a equacao de NavierStokes (e equacao de Euler tambem) para descrever fenomenosde escoamento em fluidos?

    Deixando de lado os problemas sobre a existencia, as equacoes de Euler e NavierStokes tem, nos ultimos dois seculos, sido utilizada para compreender os mais variadosfenomenos em fluidos por intermedio de solucoes analticas em uma e duas dimensoes,reducao esta devido a simetria do problema, ou por solucoes aproximadas em combinacaocom engenhosos artifcios ou ainda por intermedio de integracao numerica. Boa partedesta fenomenologia se encontra concisamente apresentada no texto de Mecanica dosfluidos por Landau e Lifshitz.

    Os problemas soluveis terao destaque neste curso por seu papel ilustrativo, especi-almente aqueles cuja geometria bidimensional permite empregar a Teoria Potencial defuncoes a variavel complexa. Alem disso, sao importantes pois o escoamento de fluidosincompressveis com viscosidade proxima a zero comportase como um fluido ideal excetonas proximidades de obstaculos e fronteiras, devido a velocidade do fluido se anular ouacompanhar a interface. O estudo das boundary layers envolvendo tecnica nao pertur-bativas permite uma abordagem qualitativa de varios fenomenos interessantes.

    O presente curso de Mecanica dos Fluidos e uma introducao a Mecanica dos MeiosContnuos e esta dividido em tres partes. Um terco do curso para entender as equacoesdo movimento de um fluido, sua deducao das leis da Mecanica e Termodinamica e a suacinematica. Outro terco sera empregado em aplicacoes. A ultima parte do curso sera reser-vada para o problema da propagacao de chamas em canais. A escolha deste topico reside

  • 6 Prologo

    no fato da Teoria de DarrieusLandau sobre combustao reduzir equacoes hidrodinamicasem equacoes para o perfil da chama que por sua vez, devido a contribuicao de variosautores, permite um tratamento mais detalhado sobre alguns fenomenos relacionados adinamica caotica.

    Nao respeitando a ordem de apresentacao, serao cobertos os seguintes topicos: fluidosideais referenciais Lagrangeanos e Eulerianos equacoes de Euler e Bernoulli fluidoscompressveis e incompressveis escoamento rotacionais e irrotacionais escoamentobidimensionais fluidos reais leis de conservacao equacao de Navier-Stokes flui-dos geofsicos ondas superficiais ondas sonoras. Descreveremos as instabilidades deRayleighBenard, TaylorCouette e outros fenomenos associados a camada limite.

    Retornando ao problema de existencia e suavidade da solucao de Euler e NavierStokes,em duas dimensoes, o problema foi resolvido pela matematica russa Ladyzhenskaya. Emtres dimensoes, a existencia e suavidade e garantida se o campo de velocidades inicial v0for suficientemente pequeno. Solucoes fracas, satisfeitas pela equacao integrada em umaregiao, foram investigadas por Leray em 1934. Leray mostrou que a equacao de NavierStokes em tres dimensoes admite solucoes fracas com certo crescimento mas sua unicidadenao e conhecida. A unicidade da solucao fraca de Euler e falsa. Caffarelli-Kohn-Nirenbergobtiveram os melhores resultados sobre regularidade parcial (a menos de um conjuntosingular que nao contem curvas no espaco tempo) de solucoes fracas.

    O proprio Caffarelli conclui sua apresentacao do problema para Instituto Clay com asseguintes palavras: ... Fluids are important and hard to understand. There are manyfascinating problems and conjectures about the behavior of solutions of the Euler andNavierStokes equations. Since we dont even know whether these solutions exist, ourunderstanding is at a very primitive level. Standard methods from Partial DifferentialEquations appear inadequated to settle the problem. Instead, we probably need somedeep, new ideas.

    Podemos tentar ir um pouco mais longe sobre a necessidade de ideias novas. As equacoesda mecanica dos fluidos nao tem uma natureza fundamental. Sao, em ultima instancia,equacoes fenomenologicas e por esta razao nao se deve exigir muito delas. Porem estasnao devem estar erradas e devemos sempre contrapor as questoes de origem matematicassobre as equacoes com o fenomenos que pretendemos descrever por estas.

    Segue uma pequena lista de sugestoes de textos:L. D. Landau e E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon Press, 2a impressao 1963R. Teman e A. Miranville, Mathematical Modeling in Continuum Mechanics, Cam-

    bridge University Press, 2a edicao 2005A. J. Chorin e J. E. Marsden, A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics, Springer-

    Verlag, 2a impressao 1984H. Ockendon e J. R. Ockendon, Waves and Compressible Flow, SpringerVerlag 2004Hydrodynamics and Nonlinear Instabilities, Editado por C. Grodreche e P. Manneville,

    Cambridge University Press 2005

  • 1

    Algumas Consideracoes Gerais

    Mecanica dos fluidos e uma disciplina que tem como escopo descrever o movimento de flui-dos, incluindo nesta categoria lquidos e gases. Escoamento em tubos, canais ou atraves deobjetos; transferencia e difusao de calor; combustao; propagacao de ondas, som ou chamassao alguns fenomenos que serao abordados nestas notas. Por ser impossvel e, portanto,irrelevante acompanhar a dinamica dos constituintes de um fluido apenas grandezasmacroscopicas sao utilizadas para descricao destes fenomenos. Destitudo de seu cara-ter molecular o fluido e idealmente tratado como um meio contnuo.

    1.1 Funcoes de Estado de um Fluido

    A descricao matematica do estado de um fluido em movimento e feita atraves de funcoesdefinidas no instante t e posicao x = (x1, x2, x3) do espaco. Devido a hipotese do contnuo,xi, i = 1, 2 e 3, sao variaveis reais e t 0. Se R3 denota uma regiao do espacopertinente ao problema, definimos as seguintes funcoes

    1. Densidade: : R+ R+, = (t,x)

    2. Temperatura: T : R+ R+, T = T (t,x)

    3. Entropia (por unidade de massa): s : R+ R+, s = s (t,x)

    4. Campo de velocidade: v : R+ R3,v = v (t,x) = (v1 (t,x) , v2 (t,x) , v3 (t,x))

    Somente duas funcoes termodinamicas entre as tres primeiras sao independentes devidoa equacao de estado

    f(s, T, 1/) = 0 (1.1)

    correspondente ao fluido em questao. Para um gas ideal, temos

    s = ln(

    kT cV /R)

  • 8 1. Algumas Consideracoes Gerais

    onde cV e o calor especfico a volume molar constante, R a contante universal dos gasese k um valor de referencia do estado: s = ln k em T = = 1.

    Nota 1.1 Um leitor mais atento pode neste ponto se preocupar com a depedencia tem-poral nas grandezas termodinamicas , T e s. Nao seriam as grandezas volume especficoV = 1/, temperatura T e, consequentemente, entropia s definidas a partir do equilbrio?De fato ha aqui diferentes escalas de tempo e espaco envolvidas na dinamica do fluido.Quando tomamos um elemento infinitesimal do fluido ainda assim e grande suficientepara conter um numero de Avogadro de moleculas de tal forma que seu movimento ego

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