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Capítulo 1 Problemas que deram origem à MQ Alguns problemas que deram origem à Mecânica Quântica: Radiação do corpo negro Efeito fotoelétrico Radiação eletromagnética dos átomos Calor específico dos sólidos 1 Radiação do corpo negro Formas do calor se propagar O calor pode se propagar num meio estacionário de duas maneiras distintas: Condução. Depende da temperatura do meio onde ocorre a propagação (gradiente de temperatura). Radiação. É um fenômeno que ocorre independentemente da temperatura do meio. Exemplo: raios solares através de uma lente convergente feita de gelo. Os mecanismos aqui são muito mais complexos do Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 1

notas de quantica-01

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Page 1: notas de quantica-01

Capítulo 1

Problemas que deram origem à MQ

Alguns problemas que deram origem à Mecânica Quântica:

Radiação do corpo negro

Efeito fotoelétrico

Radiação eletromagnética dos átomos

Calor específico dos sólidos

1 Radiação do corpo negroFormas do calor se propagar

O calor pode se propagar num meio estacionário de duas

maneiras distintas:

Condução. Depende da temperatura do meio

onde ocorre a propagação (gradiente de temperatura).

Radiação. É um fenômeno que ocorre

independentemente da temperatura do meio. Exemplo:

raios solares através de uma lente convergente feita de

gelo. Os mecanismos aqui são muito mais complexos do

Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 1

Page 2: notas de quantica-01

que aqueles relativos à condução.

Radiação eletromagnética

Algumas definições importantes

Emissão. Refere-se à ”criação” ou aparecimento de um

térmico. De acordo com conservação de energia, a emissão de

radiação sempre acontece às custas da transformação de

outras formas de energia (e.g., energia térmica, química,

elétrica, etc). Logo, somente partículas materiais, e não volumes

ou superfícies geométicas, podem emitir radiação

Absorção. Refere-se à “destruição” ou desaparecimento

um

raio térmico. Da mesma forma como na emissão, só pode

ocorrer em partículas materiais.

Corpo negro. Termo devido a Kirchhoff, refere-se a um

que tem a propriedade de permitir a entrada de todos os raios

térmicos incidentes sobre sua superfície e, uma vez em seu

interior, de impendir a saída dessa radiação por qualquer ponto

da superfície.

Resultados experimentais

todos os corpos emitem radiação eletromagnética quando

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Page 3: notas de quantica-01

aquecidos;

à medida que a temperatura aumenta, o corpo muda da

coloração vermelha para o branco;

a baixa temperatura, a radiação está na região do

infravermelho e, por isso, é uma radiação invisível;

mesmo um corpo, que está a uma temperatura mais baixa

que a do meio ambiente, continua a irradiar.

Primeira questão: por que um corpo não se esfria até o zero

absoluto?

A resposta a esta questão pode ser construída com base nos

trabalhos de vários pesquisadores. Cronologicamente, tem-se:

Teoria de troca de Prevost

1809 – Teoria de Troca de Prevost

”Existe um intercâmbio permanente de calor entre os corpos

vizinhos, cada um irradiando como se os outros não estivessem

presentes; no equilíbrio, cada um absorve exatamente a

quantidade de calor que emite.”

Leis de Kirchhoff

Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 3

Page 4: notas de quantica-01

1859 – Lei de Kirchhoff

”A razão entre a emitância e absortância de um corpo só

depende da frequência da radiação e da temperatura do corpo,

e é independente da sua natureza.”

Definições

Emitância (E). É a energia emitida por um corpo com

frequências no intervalo e d por unidade de tempo e por

unidade de área.

Absortância (A). É a fração da energia incidente, dentro do

intervalo de frequência e d, que é absorvida pelo corpo.

Demonstração da Lei de Kirchhoff

1) Absorção pela placa 2 (emitido pela placa 1)

•••

Placa 1S, Eν, Aν

ΑνEνS (1-aν)

aνEνS (1-aν)(1-Aν)

aνEνS EνS

EνS - aνEνS = EνS (1-aν)

EνS (1-aν) (1-Aν)

Placa 2S, eν, aν

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Page 5: notas de quantica-01

Balanço de absorção de energia (placa 2) noprocesso 12:

A21

1 a parcela

aES

2 a parcela

aES1 a1 A

3 a parcela

aES1 a21 A2

Escrevendo k 1 a1 A 1 e substituindo na expressão

acima, encontra-se

A21 aES aESk aESk2

aES 1 k k2

aES1 k

onde usamos o resultado da soma de uma PG com razão

q k 1.

1) Absorção pela placa 2 (emitido pela placa 2)

Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 5

Page 6: notas de quantica-01

•••

Placa 1S, Eν, Aν

ΑνeνS (1-aν)(1-Aν)

eνaνS (1-Aν)

ΑνeνS eνS

eνS - AνeνS = eνS (1-Αν)

eνS (1-aν) (1-Aν)

Placa 2S, eν, aν

eνS (1-aν) (1-Aν)2

EνS (1-aν) (1-Aν)2

Balanço de absorção de energia (placa 2) noprocesso 22:

A22 aeS 1 A aeS 1 a 1 A2 . . . aeS 1 a21 A3

aeS 1 A 1 k k2

aeS 1 A1 k

Aplicando a lei de troca de Prevost para a placa 2, obtem-se:

tida pela placa 2radiação total emi-

eS

radiação total absorvida pela placa 2

radiação emitida pela placa 1

aES1 k

radiação emitida pela placa 2

ae1 AS1 k

Simplificando esta expressão, encontramos

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Page 7: notas de quantica-01

e1 kS aE ae1 A

ou

e1 1 a1 A aE ae1 A

que pode ser reescrita como

eA aE EA

ea

Este resultado nos diz que a relação EAé a mesma para todos

os corpos e, portanto, independente da natureza destes,

dependendo apenas da frequência e da temperatura T.

Podemos então dizer que

EA

f,T

onde f é uma função universal de e T.

1860 - Teorema da Cavidade de Kirchhoff

Conceito de corpo negro (A 1). A partir daí, concluiu

função de distribuição de radiação f,T de qualquer corpo é

igual ao poder emissivo de um corpo negro, isto é

E f,T poder emissivo de um corpo negro

Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 7

Page 8: notas de quantica-01

Aí reside o grande interesse no estudo do corpo negro. A

determinação do poder emissivo desse corpo tornou-se então o

centro das pesquisas sobre a radiação. A partir desse resultado,

Kirchhoff estabeleceu também a relação entre a radiação

emitida por um corpo negro e por uma cavidade (um forno, por

exemplo), através do Teorema da Cavidade, cujo enunciado diz

que

”A radiação dentro de uma cavidade isotérmica àtemperatura T é do mesmo tipo que a emitida por umcorpo negro. ”

Cálculo da função universal f,T. Por este teorema

tornou-se possível calcular a função universal f,T, através do

poder emissivo de uma cavidade. Seja

u,T a densidade da energia com frequência entre e

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Page 9: notas de quantica-01

d emitida

S área do orifício da cavidade.

V cScos volume cilíndrico

u,TVd energia contida no volume

d4 u,TcScosd energia emitida pelo orifício num

ângulo sólido d

Integrando d sendd, uma vez que a energia não

depende da direção, encontra-se

0

/2 cos sind4

0

2d 1

4

Logo, a energia total emitida pelo orifício por unidade de tempo

com frequência no intervalo entre (, d é

c4 S u,T d

A relação cavidade corpo negro nos permite portanto calcular

a emitância de um corpo negro, igualando-se as energia emitida

por esse corpo e aquela emitida pela cavidade. Assim

ESd S f,Td c4 S u,T d

Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 9

Page 10: notas de quantica-01

Então:

f,T c4 u,T

Lei de Stefan-Boltzman

1879 – Lei de Stefan

As experiências de Tyndall quantidade total de radiação

emitida por um fio de platina, aquecido a 1473 K era 11,7 vezes

aquela emitida pelo mesmo fio a uma temperatura de 798 K.

Stefan

1473798

4 11,609

Assim, Stefan concluiu que a energia total emitida sob forma de

radiação é proporcional à quarta potencia da temperatura do

corpo, T4, isto é,

uT T4

que ficou conhecida como Lei de Stefan.

1884 – Boltzman

Boltzman dá sustentação teórica à lei de Stefan, com base nas

leis da termodinâmica. De fato, partindo da equação de estado

para a radiação, p u3 , e usando as duas primeiras leis da

termodinâmica, isto é

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Page 11: notas de quantica-01

dQ dU pdV,

dQ TdS U uV

que podem ser reescritos como

TdS dU pdV

Como

dU duV Vdu udV TdS Vdu p udV Vdu 43 udV

Ou seja,

dS VT du

4u3T dV

onde S Su,V. Como dS é um diferencial exato, podemos

escrevê-lo na forma

dS Su V

du SV u

dV

ou

dS Mdu NdV

de onde obtém-se que

Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 11

Page 12: notas de quantica-01

M Su VT ,

N SV 4u

3T

Como dS é um diferencial exato, podemos escrever

V M

u N

ou

V

VT

u4u

3Tu

o que nos leva a

1T 4

3T 4u

3T2dTdu

e daí

dudT 4u

T

Integrando esta equação, Boltzman encontrou o resultado

obtido por Stefan, isto é,

u T4

Para T 0, u0 0. ( 7,061 1015 erg/cm3 K4. Devemos

notar que esta relação não leva em conta a distribuição

espectral da radiação, isto é, não depende de uma frequência

Mecânica Quântica I / Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen 12

Page 13: notas de quantica-01

em particular.

Leis de Wien

1893 – Lei do deslocamento de Wien

Ponto principal redução da dependência da densidade de

energia com e T, para uma dependência em relação a um

único argumento, /T. Ou seja,

u,T 3f/T

1896 – Forma empírica de Wien

Forma empírica da função f :

f/T Ce T

que concordava com a função distribuição para grandes valores

de /T, obtendo da lei do deslocamento a distribuição de

densidades de energia

u,T C3e T

que evidentemente era válida apenas no limite /T .

Lei de Rayleigh-Jeans

1900 – Rayleigh-Jeans

A partir da lei da equipartição (clássica) da energia dos modos

Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 13

Page 14: notas de quantica-01

normais da radiação eletromagnética no intervalo de frequência

, d, Rayleigh-Jeans obtiveram a distribuição de energia na

forma

u,T 82

c3 kBT.

Comparando-se este resultado com a lei de deslocamente de

Wien, obtem-se a função de distribuição espectral de

Rayleigh-Jeans:

f/T 8c3/T

kB 8c3kBT

que concordava com os resultados experimentais apenas no

limite /T 0. Para a obtenção desta lei, Rayleigh-Jeans

basearam-se na lei clássica da equipartição e cujo

procedimento descreveremos a seguir.

Lei clássica da equipartição de energia. Todo sistema,cuja energia total pode ser expressa como a soma das energias

em cada grau de liberdade e, se a energia cinética de cada grau

de liberdade é proporcional ao quadrado do momento

correspondente àquele grau de liberdade, então o valor médio

da energia cinética, por grau de liberdade, estando o sistema à

temperatura T, é igual a K 12 kBT.

Mecânica Quântica I / Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen 14

Page 15: notas de quantica-01

Energia da radiação. Como a energia da radiação pode ser

escrita na forma

E i1

f

ipi2 iqi2 iKi Ui

onde qi e pi são coordenadas normais que descrevem o estado

do campo eletromagnético, a lei da equipartição nos assegura

que

Es Ks Us kBT

Em outras palavras, cada modo normal de vibração possui uma

energia total igual a kBT. Portanto, para conhecermos a

densidade de energia u,T no intervalo de frequência

, d precisamos conhecer quantos modos normais de

vibração existem neste intervalo. Chamando este número de

Z, tem-se que

u,T Z E ZkBT

Assim, para conhecermos a densidade de energia para cada

frequência numa determinada teperatura, precisamos da

densidade dos modos normais de vibração para aquela

frequência. Para tornar o cálculo mais ameno, consideraremos

Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 15

Page 16: notas de quantica-01

em primeiro lugar o caso de uma corda vibrante e a seguir

faremos a generalização para o caso da radiação.

Cálculo de Z:

Corda vibrante

Neste caso, o comprimento de onda, como já sabemos, é dado

por

2L, 2L2 , 2L

3 ,

ou na forma compacta, por

n 2Ln , n 1,2,3

A frequência correspondente é obtida através da relação

n vn

n v2L ,

onde v é a velocidade de propagação da onda no meio, no caso

a corda. Chamando de , uma constante que mede a diferença

entre duas frequências consecutivas, isto é,

n1 n v2L

então o número de oscilações com frequências no intervalo

, pode ser facilmente calculada, dividindo o intervalo de

frequência pela diferença entre quaisquer duas frequências

Mecânica Quântica I / Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen 16

Page 17: notas de quantica-01

do intervalo, isto é:

Z 2L

v

Devemos observar que, em uma dimensão, n 1 corresponde

ao número de nodos da vibração.

Radiação numa cavidade

Para uma cavidade cúbica de aresta L , cujas paredes são

refletores ideais, temos

nxnynz nx2 ny2 nz2 c2L

Construimos uma rede cúbica uniforme, onde cada ponto

corresponde a uma frequência permitida. O número de

frequências permitidas entre , d é igual ao número de

pontos da rede entre as esferas de raio r e r dr, onde

r nx2 ny2 nz2 2Lc

Assim, o número de pontos é igual ao volume do primeiro

quadrante da casca esférica de raios r e r dr,que é igual a

18 4r

2dr r2dr2 ,

Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 17

Page 18: notas de quantica-01

isto é,

Zd 2

4L2

c2 2 2Lc d 4L3

c3 2d

Considerando os dois estados de polarização independentes,

tem-se Z 2Z, isto é

Zd 8L3

c3 2d

A energia total, por unidade de frequência é dada por

Ud Z d kBT

8L3

c3 2kBTd

e por unidade de volume

UL3 d

UV d ud

8c3

2kBTd

donde resulta,

u,T 8c3

2kBT

Comparando-se este resultado com a lei de deslocamento de

Wien, encontra-se finalmente

f/T 8c3

kB/T

que é a função de distribuição de Rayleigh-Jeans, válida apenas

no limite de T 0.

Mecânica Quântica I / Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen 18

Page 19: notas de quantica-01

Lei de Planck

1900 – Lei da radiação de Planck

Até então a dificuldade residia na forma da função f/T, da lei

de deslocamento de Wien, dada por

u,T 3f/T

As formas propostas por Wien

f/T Ce/T, válida para /T 1

e por Rayleigh-Jeans

f/T 8c3

kB/T , válida para /T 1

não tinham validade para todo o espectro. Uma nova função foi

obtida por Planck, como uma interpolação dessas duas, cuja

base teórica introduziu a noção de quantum de energia:

f/T 8c3 kB

1e/T 1

obtendo daí

u,T 8hc3

3

eh/kBT 1

onde kB h é a constante de Planck. A densidade de energia

total da radiação do copo negro é obtida, integrando-se u,T

Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 19

Page 20: notas de quantica-01

sobre todas as frequências, entre 0 e :

uT 0

u,Td

Fazendo x hkBT

,obtem-se

uT 8kB4

c3h3 0

x3dxex 1 T4, fórmula de Stefan

Para obter seu resultado, Planck introduziu um postulado que,

não só era novo, como também discordava dos conceitos até

então inabalados da física clássica. Com a palavra, o próprio

Max Planck:

”(...) Se E for considerada como uma grandeza que pode ser

indefinidamente divisível, então a redistribuição pode ser feita

de número infinito de modos. Nós, ao contrário (e este é o ponto

mais importante de todo o cáculo) consideraremos E como uma

grandeza composta de um número bem determinado de partes

iguais finitas, e para isso usaremos a constante da natureza

h 5,55 1027 ergs. ”.

Este postulado de Planck hoje pode ser enunciado da seguinte

maneira:

”Qualquer entidade física, cuja única coordenada efetuaoscilações harmônicas simples (isto é, que seja uma

Mecânica Quântica I / Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen 20

Page 21: notas de quantica-01

função senoidal do tempo) somente pode ter uma energiatotal que satisfaça a relação: nh, n 1,2,3 ,onde é frequência de oscilação, e h 6,63 1027 ergs.”

Aplicação do Postulado à Radiação. Vejamos

como Planck aplicou este postulado ao caso da radiação.

Incialmente devemos lembrar que as ondas eletromagnéticas

possuem uma coordenada no sentido admitido no postulado,

que as descreve instantaneamente, que é a amplitude, e esta

varia senoidalmente com o tempo. Logo, a radiação é uma

entidade a que devemos aplicar o postulado de Planck, para se

determinar como a energia se distribui entre os graus de

liberdade. Usando a distribuição de Boltzmann em um sistema

em equilíbrio à temperatura T :

P ekBT

ekBT

A energia média de cada modo normal será então:

E

P

onde nh, segundo o postulado. Logo:

Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 21

Page 22: notas de quantica-01

E n nh enh/kBT

n enh/kBT

O problema agora é calcular estas somas. Antes, devemos

notar que:

n

nh enh/kBT dd 1

kBTn

enh/kBT

Vamos chamar de 1kBT

e o h. Assim:

n

no eno dd n

eno

Resta-nos então calcular a soma:

n0

eno 1 eo e2o e3o

Podemos identificá-la como uma PG de razão q eo 1.

Então, o resultado da soma será:

n0

eno 11 eo

eoeo 1

A soma no numerador daquela equação pode ser facilmente

calculada, notando-se que

Mecânica Quântica I / Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen 22

Page 23: notas de quantica-01

n

no eno dd n

eno ddeoeo 1

e assim,

n

no eno oeoeo 12

Portanto:

E n no e

no

n eno

oeoeo 12

eoeo 1

oeo 1

Voltando às variáveis iniciais, encontramos:

E heh/kBT 1

podendo ser reescrita como:

E h/kBTeh/kBT 1

kBT

que difere da lei clássica da equipartição por um fator

h/kBTeh/kBT 1

,

isto é, EPlanck ECássico. Para encontrarmos a densidade

de energia, precisamos multiplicar a energia média pelo número

Capítulo 1: Problemas que deram origem à MQ 23

Page 24: notas de quantica-01

de graus de liberdade no intervalo entre e d, que

definimos como Zd. Como no caso de Rayleigh-Jeans para

este cálculo não usamos considerações de energia, podemos

considerá-lo como correto. A deficiência ali fica por conta da lei

da equipartição clássica. Fazendo assim, encontramos

finalmente:

u,Td EZd 82

c3h/kBTeh/kBT 1

kBTd

que resulta na lei de deslocamento de Wien,

u,T 3f/T

onde a função f daí obtida toma a forma

f/T 8c3

h/kBTeh/kBT 1

kB/T

que é a função de distribuição de Planck.

Podemos observar que esta função de Planck difere daquela

proposta por Wien, pelo mesmo fator pelo qual diferem as leis

de equipartição clássica e de Planck, isto é,

fPlanck/T fWien/T

Mecânica Quântica I / Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen 24