This is page iPrinter: Opaque thisContents1 Problemas que deram origem mecnica quntica 31.1 Radiao de corpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1 Teoria de troca de Prevost . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Leis de Kircho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Lei de Stefan-Boltzman . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4 Leis de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.5 Lei de Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.6 Lei de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Efeito fotoeltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Radiao eletromagntica de tomos . . . . . . . . . . . . . 141.3.1 O tomo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Postulados de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Calor especco dos slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1 Modelo de Dulong e Petit . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2 Modelo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.3 Modelo de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Mecnica ondulatria 332.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Dualidade onda-partcula: hiptese de de Broglie . . . . . . 342.3 Princpio da incerteza de Heisenberg. . . . . . . . . . . . . 382.4 Pacotes de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Equao de Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6 Interpretao da funo de onda (x, t) . . . . . . . . . . . 44ii Contents2.7 Reviso dos conceitos de probabilidade . . . . . . . . . . . . 482.8 Valores esperados de varivels dinmicas. Operadores. . . . 502.8.1 Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.8.2 Denio de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . 572.8.3 Equao de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . 582.8.4 Relaes de comutao . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 Equao de Schrdinger independente do tempo 633.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Estados estacionrios em uma dimenso . . . . . . . . . . . 653.3 Estados estacionrios de uma partcula numa caixa: o pooquadrado innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4 Outros potenciais unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . 733.4.1 O potencial degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.2 A barreira de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4.3 O poo de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.5 O oscilador harmnico simples . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.6 Outro mtodo de soluo do problema do oscilador . . . . . 1083.6.1 Normalizao das funes de onda do oscilador har-mnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.6.2 Ortogonalidade das funes de onda . . . . . . . . . 1194 A equao de Schrdinger em trs dimenses 1214.1 O potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.1.1 Momento angular. Relaes de comutao . . . . . . 1254.1.2 Equaes de autovalores para L2e Lz. . . . . . . . 1294.2 Funes associadas de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.2.1 Mtodo das sries de potncia . . . . . . . . . . . . . 1314.2.2 Mtodo de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.3 Soluo da equao radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.3.1 A partcula livre em trs Dimenses: coordenadas es-fricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.3.2 Expanso de ondas planas em harmnicos esfricos . 1604.4 Outros potenciais tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . 1624.4.1 Poo quadrado de potencial . . . . . . . . . . . . . . 1624.4.2 O oscilador harmnico tridimensional isotrpico . . . 1675 O tomo de hidrognio 1815.1 Sistema de duas partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.2 Estados ligados do tomo de hidrognio (E < 0) . . . . . . 1835.2.1 Exemplos de funes Rn,l (r) para o tomo de hidrognio1915.3 Observaes sobre as solues para o tomo de hidrognio. 1935.3.1 Nveis de energia e a notao espectroscpica. . . . 1935.3.2 Distribuio de probabilidades . . . . . . . . . . . . 194Contents 16 Interao de eltrons com campo eletromagntico 1996.1 Sistema clssico sujeito a um potencial eletromagntico . . 2006.2 Sistema quntico sujeito a um potencial eletromagntico . 2036.2.1 Efeito Zeeman normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057 Adio de momentos angulares. Coecientes de Clebsch-Gordan 2097.1 Anlise clssica de um sistema de partculas no-interagentes 2107.2 Anlise clssica de um sistema de partculas interagentes . . 2117.3 Adio de dois spins 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127.3.1 Autovalores de Sz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2147.3.2 Autovalores de S2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.4 Adio de dois momentos angulares arbitrrios . . . . . . . 2177.5 Coecientes de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . 2248 Teoria de perturbao 2278.1 Teoria de perturbao independente do tempo . . . . . . . . 2288.1.1 Estados no-degenerados . . . . . . . . . . . . . . . 2288.1.2 Aplicaes da teoria de perturbao de primeira ordem2348.1.3 Estados degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2388.1.4 Efeito Stark no tomo de hidrognio. . . . . . . . . 240Index 2462 ContentsThis is page 3Printer: Opaque this1Problemas que deram origem mecnica qunticaNo nal do sculo passado, os fsicos se depararam com alguns problemasque no tinham respostas dentro da Fsica Clssica, cujas bases j estavambem estabelecidas naquela poca. So eles: Radiao do corpo negro Efeito fotoeltrico Radiao eletromagntica dos tomos Calor especco dos slidosAtualmente esses problemas so comumente relacionados com a origemda Mecnica Quntica:4 1. Problemas que deram origem mecnica quntica1.1 Radiao de corpo negroNeste captulo, vamos estudar a radiao de corpo negro. Com base emresultados experimentais, podemos dizer que:a) Todos os corpos emitem radiao eletromagntica quando aquecidos.b) medida que a temperatura aumenta, o corpo muda da coloraovermelha ao branco.c) baixa temperatura a radiao est no infravermelho e, por isso,invisvel.d) Mesmo um corpo estando a uma temperatura mais baixa que o meioambiente ele continua a irradiar.A partir desses resultados nasce a questo: Por que um corpo no seesfria at o zero absoluto?A resposta a esta questo pode ser construda com base nas observaesde vrios pesquisadores. Cronologicamente, tem-se:1.1.1 Teoria de troca de Prevost1809 Teoria de Troca de PrevostExiste um intercmbio permanente de calor entre os corposvizinhos, cada um irradiando como se os outros no estivessempresentes; no equilbrio, cada um absorve exatamente tanto quantoemite.1.1.2 Leis de Kircho1859 Lei de KirchoA razo entre a emitncia e absortncia de um corpo s de-pende da frequncia da radiao e da temperatura do corpo, e independente da sua natureza.Denition 1 Emitncia (E) a energia radiante emitida por um corpocom frequncias no intervalo e +d por unidade de tempo e por unidadede rea.Denition 2 Absortncia (A) a frao da energia incidente, dentro dointervalo de frequncia e +d, que absorvida pelo corpo.1.1 Radiao de corpo negro 5Placa 1S, E, AES (1-a)aES (1-a)(1-A)aESESES - aES = ES (1-a)ES (1-a) (1-A)Placa 2S, e, aFIGURE 1.1.Para uma frequncia , podemos calcular a quantidade de radiao ab-sorvida pela placa 2.a) Devido emisso da placa 1:17 2= ES +aES(1 a)(1 A)+ aES(1 a)2(1 A)2+ aEscrevendo k = (1 a)(1 A) < 1 e substituindo na expresso acima,encontra-se17 2= aES +aESk +aESk2+ = aES(1 +k +k2+ )=aES1 konde usamos o resultado da soma de uma PG com razo q < 1.b) Devido emisso da placa 2:6 1. Problemas que deram origem mecnica qunticaPlaca 1S, E, AeS (1-a)(1-A)eaS (1-A)eS eSeS - AeS = eS (1-)eS (1-a) (1-A)Placa 2S, e, aeS (1-a) (1-A)2ES (1-a) (1-A)2FIGURE 1.2.27 2= ae(1 A)S +aeS(1 a)(1 A)2= aeS(1 a)2(1 A)3+ = ae(1 A) S (1 +k +k2+ )=ae(1 A) S1 kAplicando a lei de troca de Prevost para a placa 2, obtem-se:eS =aES1 k+ ae(1 A)S1 ke(1 k)S = aE +ae(1 A)e [1 (1 a)(1 A)] = aE +ae(1 A)eA= aEea=EAEste resultado nos diz que a relao EA independe da natureza dos corpos e,portanto, dependemos apenas da frequncia e da temperatura T. Podemosento dizer que1.1 Radiao de corpo negro 7nSdu(,T)FIGURE 1.3.EA = f(, T), funo universal de e T.1860 - Kircho introduziu o conceito de Corpo Negro (A = 1)A partir desse conceito Kircho concluiu que a funo de distribuiof(, T) igual ao poder emissivo de um corpo negro, isto E = f(, T) poder emissivo de um corpo negroA partir desse resultado, estabeleceu tambm a relao entre a radiaoemitida por um corpo negro e por uma cavidade (um forno, por exemplo),atravs do Teorema da Cavidade, cujo enunciado diz queA radiao dentro de uma cavidade isotrmica temper-atura T do mesmo tipo que a emitida por um corpo negro.Por este teorema tornou-se possvel calcular a funo universal f(, T),atravsdo poder emissivo de uma cavidade. Seja u(, T) a densidade de energiaradiante com frequncia entre e +d emitida por uma cavidade que pos-sui um orifcio de rea S. A energia contida no volume V = cS cos no memso intervalo de frequncia u(, T)V d. Assim, a energia emi-tida pelo orifcio num ngulo slido d, considerando o espao isotrpido,d4u(, T)cS cos d. Integrando d (= sen d d),uma vez que a en-8 1. Problemas que deram origem mecnica qunticaergia no depende da direo, encontra-seZ/20cos sind4Z20d = 14Logo, a energia total emitida pelo orifcio por unidade de tempo comfrequncia no intervalo entre (, +d) c4S u(, T) d Cavidade corpo negro energia emitida igual a emitncia docorpo, isto ,ES d S f(, T) d = c4S u(, T) dEnto:f(, T) = c4u(, T)1.1.3 Lei de Stefan-Boltzman1879 Lei de StefanAs experincias de Tyndall mostraram que a quantidade total de radiaoemitida por um o de platina, aquecido a 1473 K era11,7 vezes aquelaemitida pelo mesmo o a uma temperatura de 798 K. Stefan percebeu que14737984= 11, 609 e concluiu que a radiao total proporcional T4,isto , u(T) = T4.1884 BoltzmanAps cinco anos, Boltzman d sustentao terica lei de Stefan, combase nas leis da termodinmica. De fato, partindo da equao de estadopara a radiao, p = u3, e usando as duas primeiras leis da termodinmicadQ = dU +p dV,dQ = T dS (U = uV )TdS = dU +pdV,dU = d(uV ) = V du +udVTdS = V du + (p +u) dV= V du + 43udV1.1 Radiao de corpo negro 9dS =VT du + 4u3T dV S(u, V )dS = SuVdu +SVudVdS = M du +N dVM =Su = VT ,N =SV= 4u3T(dif.exata) uM =uNVVT=u4u3T(u)1T=43T 4u3T2dTdududT=4uTBoltzman encontrou o resultado obtido por Stefan, isto ,u = T4Para T = 0, u(0) = 0. ( = 7, 061 1015erg/cm3K4). Devemos notarque esta relao no leva em conta a distribuio espectral da radiao,isto , no depende de uma frequncia em particular.1.1.4 Leis de Wien1893 Lei do Deslocamento de Wien:u(, T) = 3f(/T)1896 Forma emprica de Wien:f(/T) = Ce T u(, T) = C3e TT grande1.1.5 Lei de Rayleigh-Jeans1900 Rayleigh-JeansA partir da lei da equipartio (clssica) da energia dos modos nor-mais da radiao eletromagntica no intervalo de frequncia , + d,10 1. Problemas que deram origem mecnica qunticaRayleigh-Jeans obtiveram u(, T) = 82c3kBT. Comparando com a lei deWien, obtem-se a distribuio de Rayleigh-Jeans: f(/T) =8c3(/T)kB =8c3kBTO procedimento para obter este resultado, est baseado nos seguintesresultados:Lei da Equipartio: Todo sistema, cuja energia total pode serexpressa como a soma das energias em cada grau de liberdade e,se a energia cintica de cada grau de liberdade proporcional aoquadrado do momento correspondente quele grau de liberdade,ento o valor mdio da energia cintica, por grau de liberdade,estando o sistema temperatura T, igual a K = 12kBT.Para a radiao:E =fXi=1ip2i +iq2i = Xi(Ki +Ui)onde qi e pi so coordenadas normais que descrevem o estado do campoeletromagntico. Assim, a Lei da Equipartio nos diz quehEsi = hKsi +hUsi = kBTEm outras palavras, cada modo normal de vibrao possui uma ener-gia total igual a kBT. Portanto, para conhecermos a densidade de energiau(, T) no intervalo de frequncia (, +d) precisamos conhecer quantosmodos normais de vibrao existem neste intervalo. Chamando este nmerode Z(),temosu(, T) = Z() hEi = Z() kBTClculo de Z():a) Caso da vibrao de uma corda: = 2L, 2L2 , 2L3 , n = 2Ln , n = 1, 2, 3 . . . Frequncia: n =vn = n v2L, v a velocidade de propagao. = n+1n =v2L. Ento o nmero de oscilaes no intervalo(, +) :Z() = = 2Lv Em 1 dim: n 1 o nmero de nodos da vibrao.1.1 Radiao de corpo negro 11b) Radiao: Cavidade cbica de aresta L , cujas paredes so reetoresideais.nxnynz = qn2x +n2y +n2z c2LConstruimos uma rede cbica uniforme, onde cada ponto correspondea uma frequncia permitida. O nmero de frequncias permitidas entre(, +d) igual ao nmero de pontos da rede entre as esferas de raio re r +dr, onder = qn2x +n2y +n2z = 2Lc Assim, o nmero de pontos igual ao volume do primeiro quadrante dacasca esfrica de raios r e r +dr,que igual a184r2dr = r2dr2, isto ,Z0()d = 24L2c2 22Lc d = 4L3c32dRadiao dois estados de polarizao independentes: Z() = 2 Z()Z()d = 8L3c32dEnergia total, por unidade de frequncia:U()d = Z() d kBT=8L3c32kBTdUL3d = UV d = ud = 8c3 2kBTdu(, T) = 8c3 2kBTComparando com a lei de Wien, encontra-sef(/T) = 8c3kB/T1.1.6 Lei de Planck1900 Lei da radiao de PlanckAt ento a diculdade residia na forma da funo f(/T), da lei dedeslocamento de Wienu(, T) = 3f(/T)As formas propostas por Wien f (/T) = Ce/T(vlida para / T 1) e por Rayleigh-Jeans f(/T) =8c3kB/T(vlida para / T 1 ) no12 1. Problemas que deram origem mecnica qunticatinham validade para todo o espectro. Uma nova funo foi obtida porPlanck, como uma interpolao dessas duas, cuja base terica introduziu anoo de quantum de energia:f(/T) =8c3 kB1e/T 1u(, T) =8hc33eh/kBT 1onde kB h a constante de Planck. A densidade de energia total daradiao do copo negro obtida, integrando-se u(, T) em todas as fre-quncias, entre 0 e :u(T) = Z 0u(, T)dFazendo x =hkBT ,obtem-seu(T) = 8k4Bc3h3Z 0x3dxex1T4que a frmula de Stefan.Para obter seu resultado, Planck introduziu um postulado que, no s eranovo, como tambm discordadva dos conceitos da Fsica Clssica. Como apalavra Max Planck: (. . .) Se E for considerada como uma grandeza quepode ser ilimitadamente divisvel, ento a redistribuio pode ser feita deinnitos modos. Ns, ao contrrio - e este o ponto mais importante detodo o cculo - consideraremos E como uma grandeza composta de umnmero bem determinado de partes iguais nitas, e para isso usaremos aconstante da natureza h = 5, 55 1027erg s. (. . .) . Este postulado dePlanck hoje pode ser enunciado da seguinte maneira: Qualquer entidadefsica, cuja nica coordenada efetua oscilaes harmnicas simples (isto ,que seja uma funo senoidal do tempo) somente pode ter uma energia total que satisfaa a relao: = nh, n = 1, 2, 3 . . . , onde frequncia deoscilao, e h = 6, 63 1027erg s. Vejamos como Planck aplicou este postulado ao caso da radiao. In-cialmente devemos lembrar que as ondas eletromagnticas possuem umacoordenada no sentido admitido no postulado, que as descreve instantanea-mente, que a amplitude, e esta varia senoidalmente com o tempo. Logoa radiao uma entidade a que devemos aplicar o postulado de Planck,para se determinar como a energia se distribui entre os graus de liber-dade. Usando a distribuio de Boltzmann em um sistema em equilbrio temperatura T :P() =ekBTPekBT1.1 Radiao de corpo negro 13Energia mdia de cada modo normal:hEi = XP()onde = nh, segundo o postulado. Logo:hEi =Pnnh enh/kBTPn enh/kBTO problema agora calcular estas somas. Antes, devemos notar que:Xnnh enh/kBT= dd(1kBT )Xnenh/kBTVamos denir =1kBT e o = h. Logo:Xnno eno= ddXnenoResta-nos ento calcular a soma:Xn=0eno= 1 +eo+e2o+e3o+. . .Podemos identic-la como uma PG de razo q = eo< 1. Logo a somaser:Xn=0eno=11 eo =eoeo1eXnno eno ddXneno= ddeoeo 1=oeo(eo 1)2Portanto:hEi =Pnno enoPn eno=oeo(eo1)2eoeo1=oeo114 1. Problemas que deram origem mecnica qunticaVoltando s variveis iniciais, encontramos:hEi =heh/kBT 1que podemos reescrever como:hEi = h/kBTeh/kBT 1kBTque difere da lei clssica da equipartio pelo fator =h/kBTeh/kBT 1. Paraencontrarmos a densidade de energia, precisamos multiplicar pelo nmerode graus de liberdade no intervalo entre e + d, que denimos comoZ()d. Como para este clculo (no caso de Rayleigh-Jeans) no usamosconsideraes de energia, podemos tom-lo como correto. Finalmente en-contramos:u(, T)d = hEi Z() d=82c3h/kBTeh/kBT 1kBTdque resulta na lei de Wien,u(, T) = 3f(/T) Lei de Wienparaf(/T) = 8c3h/kBTeh/kBT 1 kB/T Planckque difere pelo fator =h/kBTeh/kBT 1 da funo obtida por Wien:f(/T) = 8c3kB/T Wien1.2 Efeito fotoeltricoAMAMM1.3 Radiao eletromagntica de tomos1.3.1 O tomo de BohrEm 1900, Planck havia explicado o espectro contnuo emitido por um corpoaquecido. O problema agora era entender a parte do espectro chamada1.3 Radiao eletromagntica de tomos 15FIGURE 1.4. Espectro de emisso do tomo de hidrognio na regio do visvel eprximo do UV (Srie de Balmer)espectro de linha, que emitido pelos tomos e molculas. A substnciaque apresentava o espectro mais simples era o hidrognio, para o qual j setinha obtido algumas informaes.Em 1868, Angstrn publicou uma tabela de comprimentos de onda de al-gumas linhas espectrais do hidrognio. Com base nesses resultados, Balmer(1885) estudou as regularidades das linhas de hidrognio medidas por Angstrn,que caem na parte visvel do espectro, designadas por H, H, H e H.Cada linha tinha o seguinte comprimento de onda: = 96d, = 1612d, = 2521d, = 3632donde d = 3.645, 6 . Ele notou por exemplo, que os numeradores formavamuma sucesso 32, 42, 52e 62, ao passo que os denominadores correspon-dentes so as diferenas de quadrados: (32 22), 4222,5222 e6222. Destas observaes, Balmer tirou a seguinte frmula para : = n2n222d, onde n = 3, 4, 5 e 6.Rydberg (1890) estudou os espectros mais complexos do que os do hidrognioe mostrou que os espectros atmicos em geral podem ser classicados emvrias sries e que as linhas em cada uma dessas sries podem ser represen-tadas pela frmula:1 =1 R(n +b)2onde n um nmero inteiro positivo, signica o comprimento de ondalimite da srie em considerao, isto , o comprimento de onda para o qualconvergem as linhas da srie; R chamada constante de Rydberg, uma16 1. Problemas que deram origem mecnica qunticaconstante universal, a mesma para todas as sries e todos os elementos.Para o caso particular da srie de Balmer, Rydberg usou sua frmula ecalculou a constante R : = d, b = 0 R =4dou R = 109.678cm1; b uma constante que toma valores diferentes para substncias ousries diferentes, mas dentro de cada srie tem um valor aproximadamenteconstante.Rydberg mostrou que o termo1 pode ser expresso comoR(m+a)2,onde m um inteiro positivo, obtendo a frmula:c = 1 =R(m+a)2 R(n +b)2chamada frmula de Rydberg. Fazendo a = b = 0, temos:c = 1 =Rm2 Rn2e para o caso particular em que m = 2, temos a srie de Balmer1= R 122 1n2 =22n2R1n222=4n24/d1n222 = n2n222d.Outras sries forma observadas mais tarde: Srie de Lyman (1906) param = 1; Srie de Paschen (1908) m = 3.Em 1908, Ritz introduziu o que ele deniu como Termo espectral : Tn =Rn2. Para isto, Ritz tomou como princpio fundamental que as frequnciasde cada linha espectral de um elemento podia ser expressa como a diferenaentre dois termos espectrais: = c (TnTm)conhecido hoje como Princpio de Combinao de Ritz.1.3.2 Postulados de BohrAs experincias de , com espalhamento de partculas atravs de lminasnas, mostraram a inconsistncia do modelo atmico de (v. gura abaixo).Rutherford, ento, props um novo modelo para o tomo, baseado nosistema planetrio, isto , toda a massa do tomo estaria concentrada numa1.3 Radiao eletromagntica de tomos 17FIGURE 1.5. Termos Espectrais de Ritz: Tn =Rn2FIGURE 1.6. Modelo atmico de Thomson: a carga positiva era distribuda con-tinuamente no volume atmico, enquanto que os eltrons (cargas negativas) -cavam encravados nessa distribuio.18 1. Problemas que deram origem mecnica qunticaprtoneltronFIGURE 1.7. tomo de Rutherford: modelo planetrio. Os eltrons orbitam emtorno do ncleo. Este mesmo modelo foi adotado por Bohr (v. texto).pequena regio (o ncleo) em rbita do qual os eltrons giravam atradospor uma fora do tipo 1/r2.Embora este modelo explicasse quantitativamente o espalhamento departculas , havia nele duas diculdades:1) Como explicar os espectros da radiao dos tomos que, como sesabia da experincia, era do tipo 1 = TnTm (Princpio de Combinao deRitz)? ( Pelo modelo de Rutherford esperava-se um espectro, cuja estruturafosse semelhante ao de uma corda vibrante.)2) Como explicar a estabilidade do tomo, uma vez que, estando o eltronem rbita circular em torno do ncleo sob a ao de uma fora (e, portantouma carga eltrica acelerada) e, de acordo com a teoria clssica do eletro-magnetismo, este teria de irradiar, perdendo energia e, consequentementeindo colapsar com o ncleo? (Um clculo deste tempo mostra ser da or-dem de 1010s, o tempo de vida de um tomo. Isto sabemos que no verdade!).Para explicar a estrutura espectral dos tomos e evitar os problemasde estabilidades vericados no modelo de Rutherford, Bohr introduziu em1913 um modelo atmico, baseado nos seguintes postulados:1oPostulado de Bohr: Um tomo s pode ter energias discretas comvalores E1, E2, ..., En que so caractersticas de cada tomo. Nesses esta-dos permitidos, o tomo no emite radiao. Esses estados so chamadosestacionrios .2oPostulado de Bohr: A emisso (ou absoro) de radiao por umtomo ocorre quando o tomo passa de um para outro estado estacionrio.1.3 Radiao eletromagntica de tomos 19Este processo, chamado salto quntico ou 0 transio d origem emis-so (ou absoro) de um fton, cuja frequncia de radiao emitida (ouabsorvida) dada por:hnm = EnEm, onde En > Em.As justicativas dos postulados de Bohr s podem ser encontradas, comparando-se algumas de suas previses com os resultados experimentais. Por exemplo,comparando-se o segundo postulado com os resultados experimentais parao hidrognio (srie de Balmer) temos:En = hcRn2 , (1.1)a energia negativa pois temos estados ligados (U < 0, K > 0, |K| < |U| ,E = K +U < 0).Para calcular R, Bohr usou o que chamou de Princpio da Correspondn-cia, que diz:Na situao limite, na qual o discreto quase contnuo, a nova Mecnicadeve reproduzir os resultados clssicos .No caso considerado, a situao limite : n, m grandes. Da srie deBalmer, temos: =c = cRm2n2m2n2= cR(mn)(m+n)m2n2Nesta situao limite encontramos: = 2ncRn4onde usamos = m n = 1, 2, 3, ..., e, sendo m, n grandes podemos con-siderar m n m+n 2n. Logo, = n,n=2cRn3 ,relao que nos diz que as frequncias so mltiplas de n. Das expressesde En e n podemos encontrar uma relao que seja independente de n nolimite de n grande e, portanto vlida na fsica clssica de acordo com oprincpio de correspondncia de Bohr. Ento, para n grande:(En)32=(hcR)3n6(2cR)2n6=h3cR420 1. Problemas que deram origem mecnica qunticaFIGURE 1.8. Ilustrao da rbita eletrnica no tomo de hidrognio, segundo omodelo de Rutherford-Bohr.independente de n! De acordo com o princpio de correspondncia, estarelao deve ser a mesma que encontraramos no caso clssico.Para completar o cculo de R, vamos obter essa relao, isto (En)32,diretamente da mecnica clssica. Para isto vamos considerar que a rbitaeletrnica seja um crculo de raio r em torno do ncleo. (Isto no detudo correto, uma vez que a massa nuclear nita e possui tambm ummovimento.)Partimos da expresso da energia: E = K + U. Para este sistema, U =e2r , que a energia potencial do eltron (carga eltrica e) num campoeltrico do ncleo (carga eltrica +e), em unidades gaussianas. K = 12mv2,onde v pode ser obtido diretamente da Lei de Coulomb, que expressa afora que atua sobre o eltron (em mdulo vale FE =e2r2), que do tipocentrpeta, uma vez que o eltron est em rbita circular em torno doncleo. Assim, da relao Fc = mv2r, obtemos:FE= Fce2r2=mv2robtendo-se dav =emr. (1.2)Portanto K = 12mv2= e22r e E = K +U dada por:E = e22r e2r= e2r , (1.3)1.3 Radiao eletromagntica de tomos 21que a expresso clssica da energia do eltron. Tambm, das relaes domovimento circular =1T=w2=v2r, obtem-se a expresso clssicapara a frequncia do eltron em rbita circular em torno do ncleo: =e2rmr.Assim, podemos calcular a relao (E)3v2diretamente da mecnica cls-sica, obtendo-se a expresso:(E)3v2=e2r3e2rmr2=2me42.Igualando as duas expresses (Princpio da Correspondncia)(E)3v2!n=(E)3v2!clssicoh3cR4=2me42obtemosR = R0 = 22me4h3c.Esta a expresso para a constante de Rydberg. Com ela podemos agoratestar a teoria, substituindo-se os valores experimentais das constantese, m, c e h. Feito isto, temos R0 = 109.737 cm1.O valor experimental (para o tomo de hidrognio) , como se sabe,R = 109.678 cm1. Como se v, o valor obtido analiticamente est prx-imo do valor experimental, mas pode ainda ser melhorado. O problema que usamos a hiptese de um ncleo xo o que, na realidade, falsa. Defato, o ncleo se move (circularmente) e o movimento relativo obtido,substituindo-se a massa do eltron m pela mass reduzida, , do sistema:1=1m +1M =mMm+m = m__11 + mM__(1.4)22 1. Problemas que deram origem mecnica qunticaonde M a massa do ncleo. Substituindo m na expresso para R,obtem-seR = R0__11 + mM__(1.5)=22me4h3c__11 + mM__(1.6)cujo valor numrico R = 109.678 cm1que, dentro da preciso que apre-sentamos, concorda plenamente com o valor experimental.Substituindo a expresso para R da Eq.(1.5) em (1.1) encontra-se o es-pectro de energia para o tomo de hidrognio:En= hcn222me4ch3__11 + mM__= 22me4n2h2__11 + mM__.Vejamos agora algumas equaes que foram importantes no desenvolvi-mento da teoria de Bohr. Por simplicidade, vamos usar a hiptese do ncleoxo. Para obtermos o resultado com o movimento relativo, basta substi-tuirmos m , dado da expressao (??). Nesta aproximao, os nveis deenergia so dados por:En = 22me4h21n2. (1.7)Segundo o primeiro postulado de Bohr, quando o eltron est numa r-bita estacionria so vlidas as leis clssicas. Desta forma, supondo o eltronnuma rbita de raio r = rn (no n-simo estado estacionrio, temos, paraE = En, da teoria clssica (ver Eq.(1.3)):En = e22rn. (1.8)Igualando a Eq.(1.8) com a Eq.(1.7), tem-se:22me4h21n2 = e22rnde onde se obtemrn= n2a0a0=h242me2 = 0, 53.1.3 Radiao eletromagntica de tomos 23O raio da primeira rbita eletrnica, r1 = a0, tambm chamado deraio de Bohr. Assim, as rbitas permitidas tm raios que so mltiplosinteiros do raio de Bohr. Vejamos agora como ca a velocidade do eltron.Da expresso (1.2) temosvn=emrn=ema01nO momento angular do eltron, na n-sima rbita Ln= mvnrn= mema01nn2a0= ema0n (1.9)Da expresso para o raio de Bohr, encontra-seh = p42e2ma0= 2ema0segue-se queema0 =h2 ~.Substituindo este resultado na expresso (??) obtem-se:Ln = n h2ouLn = n~. (1.10)O fato importante que deve ser notado que a expresso para Ln, Eq.(1.10)no depende das grandezas caractersticas do sistema, isto , carga doeltron, massa etc. Isto sugere que tal expresso tenha uma validade geral.De fato, em alguns textos sobre o assunto, esta expresso tomada a nvelde postulado, que pode ser assim enunciado: O mdulo do momento angulars pode ter valores que sejam mltiplos inteiros de ~.O sucesso obtido por Bohr para o tomo de hidrognio e tambm paraos hidrogenides, pois basta substituir a carga nuclear e por Ze encorajouos pesquisadores a generalizarem os resultados de Bohr para que fossemintroduzidas nos clculos as rbitas elticas para o tomo de hidrognioe que tambm permitissem o estudo de tomos mais complexos. Comosugerido pela teoria de Bohr, havia grandezas que deveriam ser quantizadas,notadamente aquelas que dependem do nmero quntico n. O problema dageneralizao era saber quais seriam essas grandezas!24 1. Problemas que deram origem mecnica qunticaEm 1916, Sommerfeld e Wilson postularam que tais grandezas so aschamadas variveis de ao, isto ,Ji = Ipidqi(1.11)onde qi uma quantidade que varia periodicamente e pi o momentoconjugadopi = L qi(1.12)L sendo a Lagrangeana do sistema (L = KU), a integral sendo calculadanum perodo da varivel qi. A condio de quantizao postulada Ji Ipidqi = n~Example 1 Oscilador Harmnico SimplesComo se sabe, a fora que atua neste sistema uma fora elstica dotipo F = kx, que d origem a uma energia potencial U =12kx2, ondek = m2 a constante de fora da mola. Assim, a Lagrangeano para estesistema dada por:L(x, x) = 12m x2 12m2x2(1.13)A equao de movimento para esse sistema dada pela equao de Euler-Lagrangeddt L q = LqComo q x, v = q x,L x = m x eLx = m2x = kx, esta equaonada mais do que uma representao mais elaborada da 2aLei de Newtonm x = F= kx,cuja soluo do tipox = Acos(t +)que peridica no tempo. De (1.13), p = L x, tem-sep = mv = m x x = Asen(t +).A varivel de ao neste caso :J = Ipdx = n~.1.3 Radiao eletromagntica de tomos 25Mas pdx = mvdx = mv2dt, onde usamos dx = vdt. Substituindo o valorde v obtemospdx = m2A2sen2(t +)dtentoH pdx = m2A2H sen2(t +)dtH sen2(t +)dt = RT=20sen2(t +)dtH pdx == m2A2 14 sin(2T + 2) + 12T +14 sin2= m2A22TMas E = K +U, ondeK =12m x2=12m2A2sen2(t +)eU =12kx2=12m2A2cos2(t +).Logo,E = K +U == 12m2A2sen2(t +) + 12m2A2cos2(t +) .= 12m2A2sen2(t +) + cos2(t +)= 12m2A2.EntoIpdx = 12m2A2Tonde T o perodo de oscilao do oscilador e que est relacionado comsua frequncia atravs da relaoT = 1.Assim, usando a condio de quantizao, obtemos:Ipdx = 12m2A2T=E = n~ou sejaE = n~que reproduz o postulado de Planck.26 1. Problemas que deram origem mecnica quntica1.4 Calor especco dos slidosOutro problema que colocou em dvida os conceitos clssicos foi o problemado calor especco dos slidos.1.4.1 Modelo de Dulong e PetitA partir de dados experimentais, Dulong e Petit (1819) observaram queo produto do calor especco em temperatura ambiente, e acima desta,pelo peso atmico do elemento slido era praticamente independente doelemento considerado. Este resultado, que hoje conhecido como lei deDulong e Petit, pode ser anunciado da seguinte maneira: O calor especco(molar) dos slidos aproximadamente 6 cal/K para todos os slidos temperatura ambiente (e acima dela). Esta a lei clssica para o calorespecco dos slidos.Demonstrao: Para evitarmos complicaes de clculo, e isto no inval-ida nossos resultados, vamos considerar como modelo um slido monoatmico,cujos tomos estejam ligados entre si por foras elsticas, consideradoscomo osciladores harmnicos tridimensionais. Apliquemos agora a lei daequipartio (clssica) de energia a cada grau de liberdade do sistema (emequilbrio trmico). Desse modo, temos associado a cada tomo do slidouma energia mdia igual a kBT (potencial + cintica) multiplicada por 3,que o nmero de graus de liberdade de cada tomo (oscilador). Logo,cada tomo tem uma energia total mdia igual a 3kBT. Se considerar-mos um mol dessa substncia (N0 tmos, N0 = 6, 022 1023 o nmerode Avogadro), a cada um est associada uma energia total mdia igual aU = 3N0kBT = 3RT, onde R = N0kB = 1, 99 cal/K, que d um calorespeccoc = UT = 3R = 5.97 cal/Kigual para todas as temperaturas!Entretanto, medidas experimentais posteriores mostraram desvios da leiclssica, principalmente, em baixas temperaturas, onde foi vericado queo calor especco variava com a temperatura, e que para T 0, C 0como T3. Em outras palavras, o calor especco, para baixas temperaturas funo da temperatura e varia com T3.1.4.2 Modelo de EinsteinEinstein (1906) usou um modelo em que admitiu que todos os tomosdo slido vibravam com a mesma frequncia 0 e utilizou a distribuiode Planck para calcular a energia mdia dos osciladores. Isto equiva-lente a substituir a lei clssica da equipartio, que d o valor kBT porh0eh0/kBT 1. Assim encontramos, para um mol da substncia, o valor da1.4 Calor especco dos slidos 27C/R3TFIGURE 1.9. Calor especco dos slidos (Lei de Dulong-Petit)energia total mdiaU =3N0h0e h0kBT1eC =UT = 3N0h220kBT2e h0kBTe h0kBT12=3N0h220kBT2e h0kBTeh02kBTeh02kBT12=3N0h220kBT2e h0kBTe h0kBTeh02kBTeh02kBT12Usando cosechx =2exex, concluimos:C = 3N0 (h0)24kBT2cosech2 h02kBTque a frmula de Einstein para o calor especco dos slidos. Vamosconsiderar alguns limites.28 1. Problemas que deram origem mecnica quntica Altas Temperaturas (kBT h0).Fazendo x =h02kBT 1, e lembrando que cosechx = 1x 16x + O(x3),que para x 1 podemos considerar cosechx '1x, encontramos:limkBT/h01C =3N0 (h0)24kBT24k2BT2(h0)2= 3N0kB= 3Rque a lei clssica de Dulong-Petit. Baixas Temperaturas (kBT h0).Para x =h02kBT 1, cosechx ' 2ex. Logo,limkBT/h01C = 3N0 (h0)22kBT2eh0/kBTque no d o comportamento esperado para a dependncia em T, isto C(T) 6= T3.1.4.3 Modelo de DebyeComo vimos, o modelo de Einstein ainda no explicava o comportamentodo calor especco a baixas temperaturas, como se sabia da experincia. Nomodelo usado por Debye (1912), os tomos poderiam vibrar com vrias fre-quncia e no com apenas uma, como no modelo de Einstein. E mais, aban-donou a estrutura atmica do slido e tratou este como um meio elsticocontnuo. O problema calcular a energia trmica de um corpo isotrpicode volume V. Pode-se fazer isto, calculando-se o nmero de graus de liber-dade (modos normais) com frequncias no intervalo e +d e usando alei de distribuio de energia de Planck. O primeiro semelhante ao clculopara a radiao numa cavidade:Z0()d = 4L3c32d,para a radiao (sem polarizao)Z()d = 4L3 1v3L +2v3T2d,para um corpo isotrpico.Note que num meio contnuo podemos ter oscilaes longitudinais (comvelocidade vL) e transversais (vT). O fator 2 devido s duas polarizaestransversais.1.4 Calor especco dos slidos 29Remark 1 Um cristal real diferente de um meio contnuo em vrios as-pectos. Naquilo que nos interessa aqui, um cristal possui um nmero nitode graus de liberdade, igual a 3N (N sendo o nmero de tomos, que daordem do nmero de Avogadro, N0), enquanto que o meio contnuo possuiinnitos graus de liberdade (innitos modos normais, cada um correspon-dendo a uma frequncia de oscilao).Para corrigir esta distoro do modelo, que usa a idia de um cristal comoum meio contnuo, devemos adotar um limite mximo para a frequnciade oscilao, m ax, acima do qual Z() deve ser considerado nulo, pordenio.Com base nessas consideraes, fazemos:Zm ax0Z()d = 3N0que nos permite calcular m ax.Rm ax04L3 1v3L +2v3T2d = 3N04L33 1v3L +2v3T3m ax = 3N0m ax = 3N0GL31/3onde G = 43 1v3L +2v3T. Usando a distribuio de Planck podemos obtera energia total do cristal (por mol e por unidade de volume).U = Zm ax0heh/kBT 14L3 1v3L +2v3T2d=3GL3k4BT4h3Zxm ax0x3dxex1onde x =hkBT . Da equao m ax = 3N0GL31/3e G = 3N03L3 , obtemos:U = 3N0kBTk3BT3h33m axZxm ax=hm axkBT0x3dxex1.Introduzindo a variveel =hm axkB, que a chamada temperatura deDebeye, encontra-seU = 3N0kBT 3T33Z/T0x3dxex130 1. Problemas que deram origem mecnica qunticaouU = 3N0kBT D(/T)ondeD(/T) = 3T3Z/T0x3dxex1.Podemos agora calcular o calor especco, no modelo de Debeye. AssimC = UT = 3N0kBD(/T) +T D(/T)TD(/T)T= 9T23Z/T0x3ex1 dx 3T2e/T 1Substituindo na frmula do calor especco, obtem-se:C = 3N0kB"D(/T) + 9T3Z/T0x3ex1 dx 3(/T)e/T 1#ouC = 3N0kBD(/T) + 3D(/T) 3(/T)e/T 1= 3N0kB4D(/T) 3(/T)e/T 1.Vamos agora comparar com a experincia, usando valores limites de C :T e T .a) Altas Temperaturas (T )Escrevendo C na varivel = T , temoos:C = 3N0kB4D() 3e1e neste caso podemos tomar o limite 0. Assim:lim0D() = lim0 33Z0x3dxex1Comolim0Z0f(x)dx = f(/2)temos:lim0D() = lim0 33(/2)3e/21= lim0 33(/2)31 +/2 1 = 34 ' 11.4 Calor especco dos slidos 31Da mesma forma:lim0e1 = 1Substituindo na equao para C, obtemos:C = 3N0kB (4 1 3 1) = 3N0kBque reproduz a lei de Dulong-Petit.b) Temperaturas Baixas (T )Neste caso /T 1 (posso fazerT ). AssimlimD() = lim33Z0x3dxex1=33415 = 4T353onde usamoslim3e1 = 0Logo:C = 124N0kB53T3que d a forma T3para a variao do calor especco que era encontradoem experincias a baixas temperaturas.32 1. Problemas que deram origem mecnica quntica0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,00,20,40,60,81,0EinsteinDebeyeTEMPERATURA (K)CALOR ESPECFICO (Unid. Arb.)FIGURE 1.10. Comparao das frmulas de Debeye e Einstein, para o calorespecco dos slidos a baixas temperaturas.This is page 33Printer: Opaque this2Mecnica ondulatria2.1 IntroduoEmbora os trabalhos de Wilson e Sommerfeld tenham dado um carter maisgeral s regras de quantizao, tornando-se possvel a aplicao dos postula-dos de Bohr a uma grande variedade de sistemas atmicos, constituindo-seno que hoje denominamos de Mecnica Quntica Antiga, esta apresentavaalgumas diculdades, tanto de ordem prtica quanto conceitual. De fato,uma das diculdades de ordem prtica encontrada na teoria quntica antiga que as regras de quantizao no poderiam ser aplicadas a sistemas no-peridicos, que constituem uma grande classe de problemas encontradosem fsica.Alm destas, diculdades de ordem conceitual apareceram quando setentava dar explicaes satisfatrias aos fenmenos fundamentais. Por ex-emplo, a velha teoria no explicava, pelo menos satisfatoriamente, por queos eltrons acelerados perdiam a habilidade de irradiar, quando num estadoestacionrio (postulado de Bohr); alm disto, se desconhecia qual o mecan-ismo que atuava na emisso e absoro de radiao, na transio entre essesestados estacionrios.As diculdades mencionadas e outras das quais no falamos desa-pareceram com a nova Mecnica inaugurada por Heisenberg e Schrdingerpor volta de 1926.34 2. Mecnica ondulatria2.2 Dualidade onda-partcula: hiptese de deBrogliePor volta de 1900, j se havia estabelecido a natureza corpuscular damatria (com base nas leis de Newton), bem como a natureza ondulatriada luz (leis de Maxwell). Com a explicao do efeito fotoeltrico, por Ein-stein em 1905, e do efeito Compton, em 1923, tornou-se evidente que a luztambm possua uma natureza corpuscular (alm da ondulatria). Apesarde ser reconhecida quela poca, a natureza dual (onda-partcula) da luzno era bem entendida.Em 1924, Louis de Broglie sugeriu que partculas materiais, e, em par-ticular, os eltrons, possuiam certas caractersticas ondalatrias hoje de-nominadas ondas de matria muito embora quela poca no houvessenenhuma evidncia experimental.As razes que levaram de Broglie a sugerir a natureza dual para aspartculas materiais partiram, sem dvida, do carter de simetria dos fen-menos naturais: matria e energia, que constituem duas grandes entidades,devem ser mutuamente simtricas, isto , se a energia (radiao) apresentaum carter dual, o mesmo deveria ser vlido para a matria.Inicialmente, de Broglie desenvolveu uma teoria para a luz, em termosdos ftons (quanta de luz). Se a energia da luza est concentrada nos ftons,como podemos entender o fenmeno da interferncia? Deve haver algumaespcie de onda associada aos ftons, no sentido de se poder levar emconta os efeitos de interferncia. Por sua vez, a energia no pode estardistribuda sobre essas ondas, como na teoria clssica (ondas de Maxwell);na concepo de de Broglie, as ondas associadas aos ftons devem ser umaespcie de onda piloto que determinam, num padro de interferncia, ondeos ftons podem produzir efeitos ao serem absorvidos. Essas ondas soconhecidas como ondas de fase. A uma tal onda de frequncia , associa-seuma energia E = h ao fton correspondente. Observe que a constante hconecta propriedades de onda () e de partcula (E) da luz.Vejamos agora uma analogia para as partculas materiais. Como sabe-mos, uma partcula (por exemplo, o eltron) possui energia. De acordo coma hiptese de de Broglie, impossvel imaginarmos uma quantidade isoladade energia sem associ-la com uma certa frequncia. Portanto, partculasmateriais devem tambm, assim como os ftons, ser acompanhadas de on-das de fase que, por sua vez, em certas circunstncias, devem dar origemaos efeitos de interferncia. Completando a analogia com os ftons, a fre-quncia das ondas de fase multiplicada pela constante h deve ser igual energia da partcula. Assim, para o caso no-relativstico, teremos:h =p22m +V Ep =h(2.1)2.2 Dualidade onda-partcula: hiptese de de Broglie 35FIGURE 2.1. Esquema das medidas feitas por Davisson e Germer.Trs anos aps ser publicada, a hiptese de de Broglie foi conrmadaexperimentalmente por Davisson e Germer (1927), quando estudavam es-palhamento de eltrons por superfcies de um slido (nquel).Numa medida particular, usando eltrons com energias de 54 eV, a in-tensidade mxima foi observada para um ngulo de espalhamento = 50.Da gura, = 2 = 65.Da condio de Bragg para interferncia construtiva de ondas espalhadasnum ngulo , por planos espaados por uma distncia d 2 d sen = n, (n = 1, 2, 3 . . . ) (2.2)onde d = 0, 91 , foi uma medida obtida cuidadosamente por tcnicas deraios-X. Ento o espalhamento do eltron nesta experincia particular caracterstico de uma onda cujo comprimento de onda (n = 1) dado por = 2 0, 91 sen65 = 1, 65. Este valor pode ser comparado com o com-primento de onda calculado a partir da hiptese de de Broglie, Eq.(3.115),isto :E =p22m = eV p =2meV =hp =h2meV=6.62 10342 9.11 1031 1.6 1019 54= 1, 67 1010m= 1, 67 .36 2. Mecnica ondulatriaFIGURE 2.2. Intensidades dos feixes de eltrons espalhados, como funo dongulo, para cada uma das energias dos eltrons: (a) 40 eV; (b) 48 eV; (c) 54 eV.FIGURE 2.3. Esquema mostrando a condio de Bragg.2.2 Dualidade onda-partcula: hiptese de de Broglie 37FIGURE 2.4.que est em excelente concordncia com o resultado experimental obtidopor Davisson e Germer, atravs da difrao de eltrons.Alm das experincias de Davisson e Germer, outras experincias foramrealizadas (e.g., G.P. Thomson, 1928), de maneira que as propriedades on-dulatrias das partculas tem-se tornado bem estabelecidas.A partir dessas propriedades, por exemplo, podemos compreender osnveis de energia quantizados num tomo de hidrognio. De fato, o conjuntodiscreto de estados do eltron (no tomo) deduz-se da teoria ondulatria,da mesma forma que os estados (discretos) de vibrao de uma corda, oschamados harmnicos. Uma aplicao grosseira ao tomo de hidrognio, daidia da idia do eltron como onda, permite-nos calcular corretamente osnveis de energia desse tomo. Para isto, consideremos que o eltron tenhaum momento p, numa rbita circular de raio r (v. g abaixo).Se o comprimento de onda do eltron, a existncia de uma onda bemdenida exige que a circunferncia da rbita seja exatamente igual a umnmero inteiro do comprimento de onda, ou seja, 2r = n. Como =hp(hiptese de de Broglie) segue que2r =nhppr = n h2 a condio de quantizao de Bohr Ln = n~, para o momento angularque, como vimos, nos d os nveis de energia quantizados para o tomo dehidrognio.Um fato importante, sugerido pelas experincias, que os conceitos cls-sicos de onda podem no representar a natureza dos eltrons ou dos f-tons de forma adequada: o estado fsico de uma onda-partcula pode noser adequadamente representado pela especicao de aspectos clssicos,tais como, posio, momento, amplitude ou fase. Como veremos mais adi-38 2. Mecnica ondulatriaante, em Mecnica Quntica a descrio formal do estado de um sistemamecnico est contida em sua funo de onda, , uma entidade matemticanova, que no uma onda no sentido clssico de uma ondulao, cuja fre-quncia, fase, amplitude etc, possam ser medidas.2.3 Princpio da incerteza de HeisenbergUma consequncia fundamental da hiptese de de Broglie que foi mostradapela primeira vez por Heisenberg (1927), com profundas repercusses naFsica, o que hoje conhecemos como Princpio da Incerteza de Heisen-berg. Segundo este princpio, a localizao de uma partcula no espao de-manda condies desfavorveis para medir seu momento. Inversamente, ascondies necessrias para a medio do momento interfere na possibilidadede localizao da partcula no espao. Assim, segundo este princpio, existeum limite acima do qual no podemos determinar simultaneamente, ambos,o momento e a posio de uma partcula. Em outras palavras, o princpioda incerteza especica os limites dentro dos quais a imagem clssica dapartcula pode ser usada.Como exemplo, vamos supor que medimos a posio x de uma partcula,com uma preciso que chamaremos de x, isto , a partcula pode estarlocalizada no intervalo x12x x x12x; simultaneamente medimosa componente x do momento, px, com uma preciso px. (O mesmo podeser feito para as demais coordenadas: y, z, py e pz.) O princpio daincerteza estabelece que, numa medida simultnea, os erros mnimos dessamediao, esto relacionados por:xpx ~y py ~z pz ~ (2.3)Agora precisamos ter um pouco de cuidado para interpretarmos a re-lao expressa na Eq.(2.3). As quantidades x e px (o mesmo raciocniovale para as demais componentes), que representam os erros (ou incertezas)nas medidas simultneas, no se referem e este o ponto principal slimitaes dos aparelhos de medidas usados. Pelo contrrio, poderamosconstruir um aparelho com qualquer preciso desejada e teramos aindavlida a relao (2.3). De fato, as incertezas que aparecem naquela relaoso devidas ao prprio ato de medio em si, isto , quanto maior for onvel de conhecimento que temos da quantidade x menor ser aquele corre-spondente a px. Para ilustrarmos isto, vamos considerar alguns exemplos,baseados em experincias idealizadas.Example 2 Determinao da posio de uma partcula livre.2.3 Princpio da incerteza de Heisenberg 39LENTEeltronfton incidentefton espalhadovai para o olho do observadorFIGURE 2.5. Experincia idealizada para medir a posio de um eltron.Vamos considerar o dispositivo experimental da gura, tal como um mi-croscpio, cuja nalidade medir a posio de uma partcula livre, porexemplo, o eltron (esta experincia foi idealizada por Bohr).Se o eltron se move a uma determinada distncia do microscpio, cujaabertura angular correspondente 2, pode-se mostrar (a partir das leis datica) que o poder de resoluo para um tal aparelho dado porx =sen(2.4)onde o comprimento de onda da luz usada e x representa a pre-ciso com que a posio do eltron pode ser determinada, usando-se luzcom aquele comprimento de onda. Para fazermos x to pequeno quantose queira, devemos usar luz de comprimento de onda cada vez menor. Paratermos alguma preciso em nossas medidas, o poder de resoluo do mi-croscpio, x, deve ser menor que as dimenses da partcula envolvida.(Para o eltron, por exemplo, poderemos observ-lo, em princpio, usando-se a radiao gama.). Alm disso, para que qualquer medida seja possvel, necessrio que pelo menos um fton a menor quantidade de luz quepode ser usada seja espalhado pelo eltron e passe atravs do microscpio(lente) at o olho do observador. Deste fton, o eltron recebe uma quanti-dade de momento (efeito Compton) da ordem de h. O momento transferido,todavia, no pode ser conhecido exatamente, pois a direo do fton espal-hado indeterminada, podendo estar em qualquer posio entre a vertical eo ngulo (v. gura). Ento existe uma incerteza no momento transferido40 2. Mecnica ondulatriaao eltron (na direo x) dada porpx p sen = hsen.Usando a Eq.(2.4), encontramosxpx h(Como estamos considerando apenas ordem de grandeza, poderamos terxpx ~).2.4 Pacotes de ondaUma consequncia imediata do princpio da incerteza a introduo de umnovo esquema para se descrever o movimento de uma micropartcula. Defato, a sistemtica usada na Mecnica Clssica para a descrio do movi-mento, qual seja, o conhecimento simultneo dos valores exatos da posioe momento da partcula, no pode ser aplicada nova Mecnica, uma vezque, devido relao de incerteza, qualquer tentativa de se conhecer comgrande preciso a posio da partcula, por exemplo, mais se destri a pre-ciso com que podemos conhecer se momento e vice-versa. Isto de certaforma constitui-se numa diculdade a mais que teremos que transpor.Vamos iniciar esta nova etapa, escrevendo a relao de incerteza de umaforma ligeiramente diferente daquela representada na Eq. (2.3). Para isto,usaremos as igualdades:p =hk =2onde k o nmero de onda, uma quantidade til na descrio das ondas.Segue, destas relaes,px=h2kx = ~kx(2.5)px= ~kxe da relao de incerteza xpx ~,xkx 1. (2.6)Como podemos notar, nesta equao s aparecem a coordenada e onmero de onda, no dependendo de nenhuma propriedade da partcula,nem de constantes fsicas. Esta relao depende exclusivamente das pro-priedade ondulatrias. De fato, pode-se deduzir matematicamente que esta2.4 Pacotes de onda 41FIGURE 2.6. Onda senoidal estendendo-se por todo espao.FIGURE 2.7. Representao esquemtica de um pacote de onda.relao satisfeita por qualquer tipo de onda, independentemente da MecnicaQuntica. De um modo geral, para uma onda exatamente senoidal, porexemplo, senkx, com nmero de onda k (k = 0), a onda se estende uni-formemente ao longo do eixo x, de modo que x .Por outro lado, se uma perturbao ondulatria est localizada em umaregio nita, x, bvio que no podemos represent-la por uma nica onda senoidal. Defato, uma tal onda localizada tambm conhecida como pacote de onda representada, como se pode mostrar, pela superposio de um grupode ondas senkx com diferentes valores de k s, de modo que ela interramdestrutivamente fora da regio x. As tcnicas usadas para se conseguirtais ondas envolvem integrais de Fourier, que no discutiremos os detalhesneste texto (ver, e.g., Arfken).Voltemos agora ao esquema quntico. As consideraes feitas acima, sug-erem que o movimento de uma partcula localizada numa certa regio doespao, pode ser descrito, usando-se um pacote de onda. Examinemos talpossibilidade com mais detalhes. Vamos considerar incialmente um pacotede onda, movendo-se ao longo do eixo x, denido por:f(x, t) = Z g(k) ei(kxt)dk (2.7)onde = (k). O fato de supormos = (k), ou seja, um meio dispersivo, para termos um estudo mais geral possvel, uma vez que desconhecemos42 2. Mecnica ondulatriaa natureza deste fenmeno. Por outro lado, ainda no conhecemos a formada funo (k).Para as nossas nalidades, uma simples inspeo na Eq. (2.7) nos mostraque a funo g(k) deve ser diferente de zero para uma pequena regio emtorno de um valor particular k = k0. Isto implica na seguinte condio:g(k) 6= 0, se k0 k k0 +onde k0 . Para esta condio, vale a expanso da funo (k), em sriede potncias em torno de k = k0 :(k) = 0 + (k k0)ddkk=k0 ++ (k k0)2d2dk2k=k0+. . .(2.8)Usando esta expanso na expresso (2.7), encontramos:f(x, t) ' Z g(k) eikxeikx0(kk0)(ddk)k=k0dkconsiderando a expanso at a primeira ordem em (k k0). Reescrevendoesta expresso teremos:f(x, t) ' ei(k00t)Z g(k) ei(kk0)(xddkt)dk.Exceto pelo fator de fase que aparece multiplicando a integral, podemosdizer que a funo f(x, t) tem a formaf(x, t) = f x ddkt.Esta forma sugere fortemente que este pacote (grupo de ondas) propaga-se com uma velocidade, conhecida como velocidade de grupo, igual avg = ddkk=k0. (2.9)Agora temos um passo importante: se o pacote que estamos considerandodeve representar uma partcula de momento p (ou velocidade v), ento:vg = v = pm.Usando (3.14)vg = ddk = ~km(2.10)2.5 Equao de Schrdinger 43Integrando esta equao obtemos =~k22m + Constante(2.11)~ =~k22m + Constante(2.12)~ =p22m + Constante (2.13)O primeiro termo desta equao,p22m, a energia cintica da partcula; otermo constante, que tem dimenso de energia, pode ser interpretado, apsalguma reexo, como uma energia potencial. Deste modo, reescrevemos(2.13) como~ =p22m +V (x) Eque concorda com a expresso clssica para a energia da partcula. Istomostra que a descrio clssica de uma partcula como uma entidade local-izada no espao e movendo-se com uma velocidade denida realmente umaidealizao do movimento de um pacote de onda. Devido s decincias dosrgo de sentido, o carter extensivo do pacote de onda no usualmenteobservado e os conceitos fsicos baseados nessas observaes so idealizaesdas observaes. Ento um pacote de onda move-se tal como uma partculaclssica, sob as condies onde a Mecnica Newtoniana d uma descrioadequada do movimento.2.5 Equao de SchrdingerUma concluso importante obtida na seo anterior que o movimento deuma partcula pode ser descrito atravs de uma onda; a natureza da funoque representa esta onda, isto , da funo de onda, ainda desconhecemos.Entretanto, como nos ensina a Fsica Clssica, uma classe de fenmenosondulatrios regida por uma equao de onda geral, cuja soluo umafuno de onda correspondente a uma determinada situao. Nosso objetivonesta seo encontrar uma equao de onda, cujas solues sejam funesde ondas que descrevam o movimento de uma partcula.Para isto, vamos investigar qual a equao que a funo da Eq. (2.7)satisfaz. Para se obter esta equao com um carter geral, faremos algumas44 2. Mecnica ondulatriasubstituies naquela equao.k pf(x, t) (x, t)g(k) (p).Assim,(x, t) = Z(p) ei(p~ xt)dp= Z(p) ei(pxEt) / ~ dp.Derivando em relao ao tempot= i~Z(p) E ei(pxEt) / ~ dp= i~Z(p) p22m +V (x) ei(pxEt) / ~ dpi~t=12mZ(p) p2ei(pxEt) / ~ dp| {z }+V (x)(x, t) (2.14)onde usamos E =p22m + V (x). O termo entre colchetes da equao (2.14)pode ainda ser representado como a segunda derivada de em relao ax, isto :Z(p) p2ei(pxEt) / ~ dp = ~22(x, t)x2Finalmente, reagrupando os termos, obtemosi~(x, t)t= ~22m 2(x, t)x2+V (x) (x, t)que a equao procurada e que foi obtida pela primeira vez por Schrdinger.2.6 Interpretao da funo de onda (x, t)A funo de onda, que soluo da equao de Schrdinger, deve ser con-siderada como uma entidade que nos dar uma descrio quntica completade uma partcula de massa m com uma energia potencial V (x, t) e, ento, anloga trajetria clssica x(t).11Nesta discusso, estamos considerando o problema em apenas uma dimenso; ageneralizao para o caso tridimensional imediata e faremos mais tarde.2.6 Interpretao da funo de onda (x, t) 45A nica informao disponvel que temos at agora da funo de onda(x, t) que esta funo deve ter um valor grande onde mais provvelse encontrar a partcula e muito pequeno (ou nulo) em qualquer outro.Isto deve ser suplementado com exposies mais detalhadas de modo apermitir-nos obter de (x, t) a maior quantidade possvel de informaes.O fato de se ter (x, t) grande nas regies mais provveis de se en-contrar a partcula sugere que devemos interpretar a funo de onda emtermos estatsticos. Para considerarmos desta forma, vamos imaginar quepossamos repetir um nmero muito grande de vezes o mesmo movimento(com as mesmas condies iniciais), na mesma regio do espao, referindo-se t, em cada caso, a uma particular escolha dos tempos. Em cada casoo movimento ser descrito pela mesma funo de onda (x, t). Fazemosagora a suposio (que devida a Born) de que os resultados numricosnum determinado instante t de qualquer grandeza sicamente signicativa(e.g., posio, momento, energia etc) sero, em geral, diferentes para cadaum dos movimentos repetidos: existir uma distribuio desses nmerosque podem ser descritos por uma funo de probabilidade. natural, aps todas essas consideraes, interpretar (x, t) como umamedida de probabilidade de encontrar uma partcula numa posio partic-ular com relao a uma origem de coordenadas. Todavia devemos lembrarque uma probabilidade uma grandeza real e positiva; (x, t) , em geral,complexa. Portanto, vamos admitir que o produto de por seu complexoconjugado, , a densidade de probabilidade da posio:P(x, t) = (x, t) (x, t) = |(x, t)|2.Isto signica que P(x, t) dx a probabilidade de se encontrar uma partculanuma regio dx em torno do ponto x no instante t, quando um grandenmero de medidas precisas so feitas, cada uma delas descritas pela funode onda (x, t).Para que esta interpretao de (x, t) em termos de probabilidades sejavlida, devemos assegurar queZ+P(x) dx = Z+ |(x, t)|2dx = 1 (2.15)isto , que as funes (x, t) sejam normalizadas, contanto que as inte-gral sobre todo o espao de (x, t) (x, t) tenha um valor nito. Estaequao expressa o simples fato de que a probabilidade de se encontraruma a partcula descrita pela funo de onda (x, t), em qualquer lugar doespao um. Funes para as quais a integral de normalizao existe sodenominadas de funes quadraticamente integrveis.Mostraremos, a seguir, que a interpretao dada a (x, t) consistente,no sentido de que existe uma lei de conservao de probabilidade, isto ,se a probabilidade de encontrar a partcula dentro de uma regio do espaodiminui com o tempo, a probabilidade de encontr-la fora desta regio deve46 2. Mecnica ondulatriaaumentar da mesma quantidade, exatamente como no caso da conservaode matria em hidrodinmica, ou da conservao da carga eltrica, emeletrodinmica. Para isso, precisamos da equao de Schrdinger e de seucomplexo conjugado:i~dt= ~22m 2x2 +V (x) i~dt= ~22m 2x2+V (x) onde consideramos que V (x) seja real. Multiplicando a primeira equaopor (pela esquerda) e a segunda, por (pela direita)i~dt= ~22m2x2 +V (x) i~dt = ~22m 2x2 +V (x) e subtraindo a segunda da primeira, obtemos:i~dt dt = ~22m2x2 2x2 . (2.16)A expresso entre parnteses no primeiro membro pode ser identicadacomo a derivada, em relao ao tempo, do produto e, portanto deP(x, t) = , isto :P(x, t)t t () = t +t .O segundo membro pode ser identicado como:xx x == x x +2x2 2x2 x x= 2x2 2x2 que concorda com aquela expresso.Podemos ento reescrever a Eq. (2.16) como:i~ t () = ~22m xx x ouPt +x~2 i mx x = 0.2.6 Interpretao da funo de onda (x, t) 47Denindo a densidade de corrente (ou uxo) porj(x, t) =~2 i mx x temos nalmenteP(x, t)t+ j(x, t)x= 0. (2.17)Obs.: A generalizao da Eq. (2.17) para trs dimenses imediata:a) Uma dimenso1 DimensoEquao deSchrdingeri~(x, t)t== ~22m 2(x, t)x2+V (x)(x, t)Densidadede correntej(x, t) ==~2 i mx x Equao.dacontinuidadeP(x, t)t+ j(x, t)x= 0.(2.18)b) Trs dimenses3 DimensesEquao deSchrdingeri~(r, t)t== ~22m2(r, t) +V (r)(r, t)Densidadede correntej(r, t) ==~2 i m ( )Equao.dacontinuidadeP(r, t)t+ j(r, t) = 0(2.19)A Eq. (??) [ou a generalizao (2.19)] a lei de conservao procurada:ela expressa o fato de que, se a probabilidade de encontrar uma partculanuma regio limitada decresce com o tempo, a probabilidade de encontr-lafora dessa regio aumenta na mesma proporo ou vice-versa.48 2. Mecnica ondulatriaIntegrando-se a Eq. (??) [ou (2.19)] em todo o espao, obtem-se:Z+P(x, t)tdx = Z+j(x, t)xdxoutZ+P(x, t)dx = Z+j(x, t)xdxtZ+P(x, t)dx = [j(+, t) j(, t)] .Mas, para funes quadraticamente integrveis, j() = 0, isto , se an-ulam no innito. Logo,tZ+P(x, t)dx = 0tZ+ |(x, t)| dx = 0o que nos mostra que a normalizao mostrada na Eq. (2.15), feita numinstante t qualquer permanece inalterada: isso garante que, se zermos anormalizao no instante t = 0, por exemplo, ela continua valendo paratodos os valores de t.2.7 Reviso dos conceitos de probabilidadeDevido a interpretao da funo de onda em termos probabilsticos, necessria uma breve reviso nos conceitos de probabilidades.Vamos supor que a cada evento Ek, numa coleo de N eventos E1, E2, E3, . . . EN,atribui-se uma probabilidade de ocorrncia, que chamaremos de Pk, comPNk=1Pk = 1. Por exemplo, lanando-se uma moeda os dois resultados pos-sveis (cara e coroa) podem ser identicados como eventos E1 e E2, cujasprobabilidades de ocorrncia, se a moeda for perfeita, so P1 = P2 = 0, 5.Uma varivel x, que toma os valores x1 se E1 ocorre, x2 se E2 ocorreetc, chamada de varivel aleatria. Se num lanamento de moeda, vocaposta, por exemplo, R$1,00 para a ocorrncia de cara e R$3,00 para aocorrncia de coroa, seus ganhos constituem uma varivel aleatria comvalores x1 = R$1,00 e x2 = R$3,00.O valor esperado de x (que representaremos por hxi) para uma dadadistribuio de probabilidade denido comohxi = XkxkPk(2.20)2.7 Reviso dos conceitos de probabilidade 49No exemplo do lanamento de moedas, hxi = 1, 00 0, 5 +3, 00 0, 5 =2, 00. Isto , o ganho esperado por cada lanamento de moeda R$2,00,da o termo valor esperado para hxi.Se realizarmos uma prova um nmero N (muito grande) de vezes, N1 dasquais acontece o evento E1, N2, E2 etc, onde N1+N2+N2+. . . +NM = N,espera-se que as frequncias relativas fk = Nk/N, com que ocorre o eventoEk, sejam aproximadas pelas probabilidades ( fk Pk). Ento o valormdio de x, Pxk fk, aproximadamente o valor esperado hxi, e os doistermos (valor mdio e valor esperado) podem ser usados como sinnimos.Um outro conceito que aparece muito frequentemente a varincia,(x)2, da varivel aleatria x. Ela denida como(x)2= D(x hxi)2E = Xk(xkhxi)2Pk= Xkx2k +hxi22 xk hxiPk= Xkx2kPk +Xkhxi2Pk2Xkxk hxi Pk= Xkx2kPk +hxi2XkPk2 hxiXkxkPk= x2+hxi22 hxi hxiou(x)2=x2hxi2(2.21)uma quantidade que mede o desvio do valor mdio. Varincias sero usadasmais tarde para a formulao das relaes de incertezas de Heisenberg.Nesta seo admitimos que os eventos eram discretos, enquanto queem muitas aplicaes na Mecnica Quntica, comum encontrar-se dis-tribuies de probabilidades contnuas. Neste caso, as somas em (2.20) e(2.21) devem ser substitudos pelas integrais correspondentes. Por exemplo,para uma funo de onda normalizada, o valor mdio ou o valor esperadoda coordenada x, que uma varivel aleatria, 2hxi = Z x|(x, t)|2d (2.22)O valor mdio do vetor posio, r, hri = Z r |(x, t)|2d (2.23)2A partir de agora, usaremos a notao d = dxdydz dV, se estamos em trs di-menses, d = dxdy dS, em duas dimenses e d = dx, para uma dimenso. O smboloR f d, signica que devemos integrar a funo f em todo espao correspondente.50 2. Mecnica ondulatriaUma funo arbitrria de r, f(r), tem o valor esperado:hf(r)i = Z f(r) |(x, t)|2d (2.24)2.8 Valores esperados de varivels dinmicas.Operadores.As Eqs. (2.23) e (2.24) denem os valores esperados para o vetor posio efunes arbitrrias desse vetor. Os valores esperados de variveis dinmicas,tais como, velocidade, momento e energia, podem ser denidos satisfatori-amente, aplicando-se o Princpio da Correspondncia de Bohr. Para isto,exigimos que o movimento clssico de uma partcula seja descrito de formaaproximada pelo comportamento mdio de um pacote de ondas e, a par-tir disso, calcula-se os valores mdios das variveis dinmicas que devemsatisfazer as leis da mecnica clssica.Por exemplo, esperamos que a derivada temporal de hri corresponda velocidade clssica. Para a componente x, teremosddt hxi =ddtZ xP(x, t) d= Z x dP(x, t)dtdpois a nica quantidade no integrando que depende do tempo P. Usandoa equao da continuidade [(2.19)], podemos escreverddt hxi = Z x dP(x, t)dtd (2.25)(2.26)= Z x ( j) dMasx ( j) = xjxx + jyy + jzz=x(xjx) jx +y(xjy) + z(xjz)oux ( j) = (xj) jx. (2.27)Substituindo esta igualdade, obtemos:ddt hxi = Z (xj) d +Z jxd.2.8 Valores esperados de varivels dinmicas. Operadores. 51Como acontece com as funes quadraticamente integrveis, se anulasucientemente rpido no innito, de forma que a integral contendo a di-vergncia, R (xj) d, se anula nessas condies. Assim, a derivada tem-poral do valor mdio de x, :ddt hxi = Z jxd.A mesma expresso vale para as outras componentes:ddt hyi = Z jy dddt hzi = Z jz d.Tomando ento o vetor r = i x +j y +kz, encontra-se:ddt hri = i ddt hxi +j ddt hyi +k ddt hzi= Z (i jx +j jy +k jz)| {z } d.ouddt hri = Z j d. (2.28)Usando agora a denio de j apresentada na Eq.(2.19)ddt hri =~2 i mZ [() ] d52 2. Mecnica ondulatriae integrando por parte, obtemos3:ddt hri = 2 ~2 i mZ d=~i mZ d.oum ddt hri =~iZ d= Z ~i d= .Z ~i dO lado esquerdo desta equao simplesmente a massa vezes a velocidadeclssica. De acordo com a suposio de que os valores mdios satisfazemas leis da mecnica clssica, o lado direito dessa equao deve ser igual aovalor esperado do momento, p, da partcula. Ento somos levados a denirhpi = Z ~i d. (2.29)3Considere a componente x dessa integral:Z+x xdxO segundo termo pode ser integrado por partes, usando a frmula Rba udv = uv|ba Rba v du. Assim:Z+xdx = |+Z+dx dx.Como () = 0 (funo quadraticamente integrvel) o primeiro termo do segundomembro se anula e obtem-se:Z+xdx = Z+dx dxAssimZ+x xdx = 2 Z+dx dx.Como a mesma expresso vale para todas as componentes, podemos inferir o resultado,substituindo-sedx .2.8 Valores esperados de varivels dinmicas. Operadores. 53Podemos mostrar que esta identicao raticada, se considerarmos ataxa de variao de hpi com o tempo, isto :t hpi = tZ ~i d.Vamos considerar a componente x desta equao:t hpxi =tZ ~ix d= i~Ztx + tx d= Zi~t x xi~t donde invertemos a ordem da derivada de x e t no segundo termo do se-gundo membro. Vamos eliminar a derivada temporal, usando-se a equaode Schrdinger para e , isto :i~t= ~22m2+V ei~t= ~22m2 +V .Assimt hpxi = Z~22m2 +V xdZ x ~22m2+V d= ~22mZ2 x2d+ZV x x (V )d.Vamos usar o teorema de Green,Ru 2v v 2ud = RS (u v v u)n dS, para transformar as integrais volumtricas, contendo Laplaciano, emintegrais de superfcies. Fazendo as devidas substituies, obtem-set hpxi = ~22mZS() x x n dS+ZV x x (V )d.54 2. Mecnica ondulatriaDevemos lembrar que S, a superfcie que envolve o volume , que nonosso caso abrange todo o espao. Assim, tanto , como suas derivadas, seanulam nessa superfcie e a integral identicamente nula. Logo,t hpxi = ZV x x (V )d= ZV x V x +Vxdou nalmentet hpxi = Z Vx d.Da mesma forma como temos feito para outros casos, esta expresso valepara todas as componentes de p. Assim, no caso mais geral obtem-se:t hpi = Z (V ) d(2.30) hV i = hFi . (2.31)Esta equao representa a segunda lei de Newton, vlida para valoresesperados (ou mdios), de acordo com a formulao do princpio da corre-spondncia. A expresso contida na Eq. (2.31) conhecida como teoremade Ehrenfest. Como estamos considerando foras conservativas, esperamosque a lei de conservao da energia possa tambm ser escrita em termos devalores mdios. Em vista disto, a energia mdia deve ter a forma:hHi = hKi +hV i = hKi +Z V d = Constante (2.32)At agora ainda no sabemos como expressar hHie hKi em termos dafuno de onda, o que faremos a seguir. Multiplicando (pela esquerda) aequao de Schrdinger para [Eq.(2.19)], por e integrando o resultadoem todo o espao, obtem-se:R i~(r,t)td == R ~22m2(r, t)d +R V (r)(r, t)d(2.33)Derivando esta equao em relao ao tempo, pode-se mostrar que o ladodireito uma constante de movimento com dimenso de energia. Ento,como o segundo termo do lado direito o valor mdio da energia potencial,podemos identicar o primeiro termo do segundo membro como o valormdio da energia cintica e, por conseguinte, o primeiro membro como aenergia total mdia da partcula. Isto :hHi = Z i~(r, t)td (2.34)2.8 Valores esperados de varivels dinmicas. Operadores. 55ehKi = Z ~22m2(r, t)d (2.35)A seguir faremos algumas observaes a respeito dessas expresso quecalculamos nesta seo.Remark 2 As expresses para calcular valores esperados (ou valores m-dios) tm sempre a mesma forma: se quisermos calcular o valor esperadode uma grandeza G, usamos sempre uma expresso do tipohGi = Z (r, t) G (r, t) d. (2.36)Entretanto, para se calcular a integral em (2.36) precisamos expressar agrandeza G em funo das coordenadas (x, y, z) e do tempo t. Em mecnicaclssica, sempre possvel encontrar-se tal funo. Por exemplo, se a grandezaG representa o momento p da partcula, podemos sempre escrev-lo emfuno das coordenadas das partculas, uma vez que sempre possvelconhec-lo de forma precisa, em cada ponto da trajetria. De fato, podemosresolver a equao de movimento mr = F, para uma lei de fora especcado problema que estiver em pauta. A soluo nos fornece r = r(t) e, dav(t) = r, que nos permite calcular o momento em cada ponto da trajetria,isto , p = mv(r) = m r(r), o que completa o raciocnio.Mas, em mecnica quntica, o princpio de incerteza de Heisenberg nosdiz que no possvel escrever p em funo da posio r, pois r e pno podem ser conhecidos simultaneamente com preciso absoluta; e mais,este princpio elimina qualquer tentativa de se representar o movimentoatravs de trajetria. Devemos, portanto, encontrar alguma outra forma deexpressar G em termos de r e t. Voltemos equao (2.29):hpi = Z (r, t)~i(r, t) dDe acordo com a forma geral de valores esperados, hGi = R (r, t) G (r, t) d,podemos escreverhpi = Z (r, t) ( p (r, t) ) dEsta equao nos sugere uma associao entre a grandeza dinmica pe o operador diferencial~i. Em outras palavras, o efeito de multiplicara funo por p, (p) , o mesmo que obtemos, fazendo agir sobre elaaquele operador diferencial, isto , ~i.Este procedimento pode ser esten-dido para todas as grandezas dinmica. Concluimos, portanto, que a cadagrandeza fsica G, est associado um operador (diferencial ou no) G. Paradistinguirmos a representao da grandeza e seu operador correspondente,vamos escrever este (nas situaes em que possa ocorrer uma interpretao56 2. Mecnica ondulatriadbia) comoG. Assim, a cada grandeza G associamos um operadorG: G(grandeza) G (operador). A equao (2.36) pode ser reescrita como:hGi = Z (r, t) G (r, t)d (2.37)Operadores ImportantesGrandeza Fsica OperadorPosio, r r = rMomento, p p =~iEnergia Total, EE = i~ tEnergia Cintica, KK = ~22m2Energia Potencial, V (r)V (r) = V (r)(2.38)Como veremos mais adiante, os operadores desempenham um papel muitoimportante na mecnica quntica.Remark 3 Com o auxlio dos operadores, podemos obter a equao deSchrdinger a partir da equao clssica da energia (sistemas conserva-tivos)H(r, p) = Efazendo-se a substituio formal4r rp ~iE i~ t.Por exemplo, no caso do movimento de uma partcula, sujeita a um po-tencial V (r), temos para a funo Hamiltoniana:H p22m +V (r) = E.4 bom lembrar que este procedimento no signica uma tentativa de obter a equaode Schrdinger a partir das leis clssicas. Como sabemos, no existe nenhuma maneira(alm desta substituio formal) de se obter tal equao a partir da mecnica clssica,uma vez que a forma de descrever o movimento nas duas mecnicas so conceitualmentediferentes.2.8 Valores esperados de varivels dinmicas. Operadores. 57Feitas as substituio acima sugeridas, encontra-se o operador Hamilto-niano para este casoH = ~22m2+V (r)e a equao de operadores~22m2+V (r) = i~ t.Por se tratar de operadores diferencias, evidente que uma equao destetipo no tem nenhum sentido se ela no estiver atuando (operando) sobrealguma funo das coordenadas e do tempo. necessrio, portanto, multi-plicar (pela esquerda) por uma funo (r, t). Logo, ~22m2+V (r)(r, t) = i~ t(r, t)que a equao desejada. Esta equao pode ainda ser representada sim-bolicamente porH (r, t) = i~ t(r, t) (2.39)que a equao de Schrdinger na forma de operadores, obtida pela sub-stituio formal das variveis clssicas na funo hamiltoniana pelos oper-adores correspondentes.2.8.1 OperadoresComo observamos anteriormente, os operadores desempenham um papelfundamental na mecnica quntica, pois eles representam de alguma formaas grandezas fsicas, sobre as quais estamos interessados no nosso estudo.Em vista disto, desenvolveremos nesta seo parte da teoria matemticados operadores, que nos ser muito til futuramente.2.8.2 Denio de operadoresComo denio, dizemos que um operador qualquer entidade matemticaque opera (atua) sobre qualquer funo, digamos, da varivel x, obtendo-secomo resultado desta operao uma nova funo dessa varivel.Seja, por exemplo, um operadorA(x) = x, atuando sobre uma funo(x), isto ,A(x). O resultado disto uma outra funo (x) = x(x),ou seja,A(x) = x(x) = (x).Um outro exmplo o operador A(x) =xx. Ento, para qualquer funo(x) :A(x) = xx(x)58 2. Mecnica ondulatriaouA(x) = (x) +x(x)x. (2.40)O segundo membro desta equao foi obtido, usando-se a regra usualda derivada de um produto de funes: x(x). Como a igualdade (2.40) vlida para qualquer funo (x) podemos omitir formalmente esta funonos dois membro da equao e escrever uma equao de operadores:xx = 1 +x x.De um modo geral, a equao de operadoresA = B + CimplicaA(x) = B + C(x)para qualquer funo (x).2.8.3 Equao de autovaloresPara cada operadorA existe um conjunto de nmeros (an) e um conjuntode funes (un) denidos pela equaoA(x) un(x) = anun(x) (2.41)onde un so denominadas de autofunes e an so os autovalores corre-spondentes. As autofunes de um operador so, ento, funes especiaisque permanecem inalteradas sob a operao do operador, exceto pela mul-tiplicao por um nmero, o autovalor correspondente.Como exemplo, vamos considerar o operadorA(x) = i ddx, e a equaode autovalores correspondente cai ddx un(x) = anun(x).Isto corresponde a uma equao diferencial de primeira ordem da forma:ddx un(x) ianun(x) = 0,cuja soluo (normalizada) do tipoun(x) = eianx,como pode ser vericado facilmente, substituindo-a na equao original.Nesta soluo, an so constantes arbitrrias que dependem das condies2.8 Valores esperados de varivels dinmicas. Operadores. 59de contorno do problema que estivermos resolvendo. Note que esta soluo geral, no sendo possvel extrair da nenhuma concluso a respeito daforma particular desses autovalores, at que as condies de contorno doproblema em questo sejam conhecidas.Por exemplo, poderamos estar interessados em resolver este problemapara o caso de un(x) ser peridica numa regio nita de comprimento L,isto , un(x + L) = un(x). Aplicando esta condio soluo encontrada,temos:un(x +L) = un(x)eian(x+L)= eianxeianL= 1o que implicaan = 2nLuma vez que e2in 1, para qualquer nmero inteiro n.Considere agora a diferena entre dois autovalores sucessivos:an+1an = 2L .Se zermos L , isto , se a funo for peridico em todo o espao,ento a diferena entre autovalores sucessivos torna-se nula e as autofunestomam a formau(x) = eiaxNeste caso, os autovalores tornam-se variveis contnuas, podendo receberqualquer valor, diferentemente do caso em que L nito, onde os autoval-ores s podiam ser mtliplos inteiros de2L .Desta discusso, observa-se que os autovalores de um operador dependemfortemente das condies de contorno impostas pelo problema particularque estamos resolvendo, tal que esses autovalores s sero bem denidos,quando essas condies so conhecidas.2.8.4 Relaes de comutaoVamos consideram uma operao sucessiva de dois operadores A e B. Den-imos o comutador desses operadores como:h A, Bi = A B B A (2.42)60 2. Mecnica ondulatriaque a diferena entre as operaes, em que primeiro atua o operadorBseguido deA eA seguidoB. Ao contrrio das operaes numricas,5emgeral, os operadores no comutam, isto ,h A, Bi 6= 0,mas seu comutador pode ter como resultado um novo operador.Para exemplicar, vamos considerar um caso simples:A = x e B =x.J sabemos que o comutador de dois operadores pode ser um novo oper-ador. Sabemos tambm que um operador s tem algum signicado se estiveroperando sobre alguma funo arbitrria (x). Assim, para calcularmos ocomutador, vamos faz-lo operar sobre uma funo arbitrria. Isto :x, x(x) = x x xx(x)= xx xx = .Como isto verdade para qualquer , podemos encontrar a equao deoperadores, omitindo a funo em ambos os membros da equao:x, x = 1.que a equao que determina o comutador dos dois operadores. De umamaneira geral, a equao que determina o comutador de dois operadoresquaisquer denominada de relao de comutao para aqueles operadores.Remark 4 Mostramos que a posio x e o momento px sorepresentados pelos operadores x x px ~ixVamos calcular a relao de comutao desses operadores. De(2.42), temos[ x, px] = x, ~ix5Considere dois nmeros quaisquer x e y. Se denirmos o comutador como na Eq.(2.42), essa operao nos d sempre como resultado [x, y] = 0, devido propriedadecomutativa da multiplicao (algbrica): xy = yx [x, y] = xy yx 0.2.8 Valores esperados de varivels dinmicas. Operadores. 61Lembramos que devemos fazer esse comutador atuar sobre umafuno arbitrria:x, ~ix(x) = x~ix ~ixx(x)=~ixx xx= ~i = i~(x)ou, eliminando a funo, encontra-se[ x, px] = i~. (2.43)Este exemplo importante para atribuirmos um signicado fsicoaos operadores. O fato de os operadores x e px no comutaremest coerente com as relao de incerteza e o signicado quedaremos aos operadores. Como denimos anteriormente, h A, Birepresenta a diferena entre as operaes sucessivas de oper-adores. Agora, suponha que desejamos fazer dois tipos de ob-servao, que designaremos por A e B (por exemplo, A podeser a medida da posio e B, do momento). Vamos representarpor AB a observao primeiro de B (momento, no exemplo)seguida de A (medida da posio). BA ser a observao naordem inversa. Como cada observao afeta a outra (estamosraciocinando com as medidas de posio e momento) de acordocom o princpio da incerteza, ento os dois procedimentos daroresultados diferentes. Representamos isto simbolicamente porAB BA 6= 0Isto sugere que as observaes A e B sejam representados poroperadoresA eB e, de uma maneira geral, deve-se associarum operador a cada grandeza observvel, tais como: posio,momento, energia etc.62 2. Mecnica ondulatriaThis is page 63Printer: Opaque this3Equao de Schrdinger independentedo tempo3.1 IntroduoA equao de Schrdinger obtida anteriormente para uma partcula sujeitaa um potencial, que na sua forma mais geral pode ser escrita comoih(r, t)t= ~22m2(r, t) +V (r, t)(r, t) (3.1)descreve a evoluo temporal de (r, t). Em alguns casos, quando V (r, t) =V (r), isto , para sistemas conservativos, podemos encontrar solues in-dependentes do tempo conhecidas como estados estacionrios a partirda equao de Schrdinger independente do tempo. Como de nosso in-teresse nesta fase do curso, vamos considerar por enquanto apenas o casounidimensional, isto , = (x, t).Para este caso particular, a Eq. (3.1) reduz-se a:ih(x, t)t= ~22m 2x2(x, t) +V (x)(x, t). (3.2)A Eq. (3.2) uma equao de derivadas parciais nas variveis x e t, quepode ser reduzida a um par de equaes diferenciais ordinrias em umavarivel, quando usamos o mtodo de separao de variveis1Para isto,vamos supor que (3.2) admite solues do tipo(x, t) = T(t) u(x) (3.3)1Ver, por exemplo, Arfken.64 3. Equao de Schrdinger independente do tempoonde T(t) e u(x) so funes s de t e x, respectivamente. Substituindo(3.3) em (3.2) obtemos:ihu(x)T(t)t= ~22m 2u(x)x2+V (x) u(x)T(t).Dividindo ambos os membros desta equao pelo produto T(t)u(x) encontra-sei~1T(t) dT(t)dt=1u(x)~22m d2u(x)dx2+V (x) u(x). (3.4)A forma de (3.4) simples: no primeiro membro s aparece a varivel t eno segundo, a varivel x. Isto signica que, para esta equao ser satisfeita, necessrio que ambos os membros sejam independentes tanto de t comox, isto , cada um deles seja igual a uma constante:i~1T(t) dT(t)dt= E (3.5)1u(x)~22m d2u(x)dx2+V (x) u(x) = E (3.6)onde E chamada de constante de separao.A Eq. (3.5), que pode ser reescrita comodT(t)dt= i~ET(t) (3.7)tem como soluoT(t) = CeiEt/~(3.8)como pode ser mostrado facilmente, substituindo-se este resultado de voltana Eq. (3.7).A outra equao, (3.6), cujas solues estamos interessados agora, podeser reescrita como ~22m d2dx2 +V (x)u(x) = Eu(x). (3.9)Como nesta equao no aparece a varivel t, ela frequentemente con-hecida como Equao de Schrdinger Independente do Tempo (ESIT), etem a forma de uma equao de autovalores, que estudamos na Parte II(seo sobre Operadores). De fato, o termo entre colchetes no primeiromembro, representa o operador Hamiltoniano (em uma dimenso)H = p22m + V (x) = ~22m d2dx2 +V (x) (3.10)e a equao correspondente [(3.9) e (3.10)]H u(x) = Eu(x) (3.11)3.2 Estados estacionrios em uma dimenso 65tem a forma de uma equao de autovalores, como conhecemos. A constantede separao E pode agora ser identicada como o autovalor do operador H;seu valor depende das condies de contorno impostas (3.11). A soluode (3.11), que a autofuno correspondente ao autovalor E do operadorH, depende evidentemente de E; por isso, para expressar este fato, vamosescrever u(x) = uE(x), para um particular autovalor E. Assim sendo, tem-seH uE(x) = EuE(x) (3.12)e a soluo (3.3) da forma:(x, t) = uE(x) eiEt/~. (3.13)A densidade de probabilidade de encontrar a partcula num ponto xe no instante t, como energia E, denida como P(x, t) = |(x, t)|2= uE(x) eiEt/~2= |uE(x)|2 eiEt/~2| {z } = |uE(x)|2, independente dotempo, uma vez que o termo eiEt/~2= 1 para qualquer E real. Assim,para estados estacionrios,P(x, t) P(x) = |uE(x)|2. (3.14)Como (3.2) uma equao linear, qualquer combinao de solues daforma (3.13), com valores permitidos de E, tambm uma soluo daquelaequao. Logo, a soluo mais geral de Eq. (3.2) da forma2(x, t) =XE+ZdE!c(E) uE(x) eiEt/~(3.15)onde c(E) uma funo arbitrria dos autovalores, a soma se estende sobretodos os valores discretos de E e a integral, sobre os valores contnuos dosautovalores. Isto constitui a base do postulado da expanso de funes emmecnica quntica, que voltaremos a falar mais tarde. A seguir discutiremosalguns problemas de autovalores para movimento em uma dimenso.3.2 Estados estacionrios em uma dimensoO fato da equao de Schrdinger independente do tempo (3.9) ser umaequao diferencial linear de segunda ordem em x, sendo V (x) nito (in-depedentemente de ser contnuo ou descontnuo), suciente conhecermos2Estamos admitindo o caso mais geral, onde o espectro de autovalores pode ser, simul-taneamente, discreto e contnuo. Ento, na notao da equao abaixo, PE representauma soma sobre todos os autovalores discretos, enquanto que R dE se aplica partecontnua do espectro. Desta maneira, garantimos que a combinao linear envolve todasas solues particulares da equao de Schrdinger.66 3. Equao de Schrdinger independente do tempoo comportamento da soluo uE(x) e de sua primeira derivadaduE(x)dxemqualquer ponto, o que feito, integrando-se a equao de Schrdinger cor-respondente, conhecida a soluo em algum outro ponto do espao x. Defato, se V (x) for uma funo contnua da varivel x, por exemplo, segueento de (3.9)d2uE(x)dx2= 2m~2 [E V (x)] uE(x) (3.16)que uE(x) e todas as suas derivadas sero contnuas.Por outro lado, se V (x) tiver alguma descontinuidade nita no ponto x0,v-se de (3.16) que a derivada segunda (e todas as derivadas de ordem maiselevadas) ser descontnua naquele ponto. Assim, tudo que precisamos fazer impor a condio de continuidade tanto para uE(x) quanto paraduE(x)dxno ponto de descontinuidade do potencial.Para sabermos o que as condies de continuidades representam sica-mente, vamos analisar as expresses para a densidade de probabilidade ecorrente, no caso em questo:P(x) = |uE(x)|2ej(x) =~2imuE(x)duE(x)dx duE(x)dxuE(x)(3.17)Da equao da continuidadeP(x, t)t+ j(x)x= 0e do fato de que P (x, t) = P (x) ser independente do tempo, segue quedj(x)dx= 0 (3.18)ou seja,j(x) = Constante (3.19)para todo x, o que equivale, em analogia com a hidrodinmica, a um escoa-mento de um uido incompressvel. Em particular, no ponto onde haja adescontinuidade (nita) do potencial (aqui considerado como o ponto x0),devemos ter a continuidade da corrente j(x0 ) = j(x+0 ), ou seja, a correntecalculada esquerda do ponto x0 (x0 ) deve ser igual quela do lado direito(x+0 ). Uma consequncia desta anlise que devemos ter, ambos, u(x) edudx,contnuos atravs do ponto x0, isto ,uE(x0 ) = uE(x+0 ) (3.20)eduE(x0 )dx= duE(x+0 )dx. (3.21)3.2 Estados estacionrios em uma dimenso 67que so as condies de contorno para o caso em considerao.Uma outra situao pode ocorrer, quando o potencial tem uma descon-tinuidade innita no ponto x0, isto , o potencial nito, por exemplo, dolado esquerdo de x0 e innito do lado direito deste ponto:V (x) = 0, |x| < 0+, |x| > 0Neste caso, possvel determinar as condies de contorno para esteproblema, levando em conta a passagem do limite do caso nito mais ascondies de continuidade descritas acima. Em outras palavras, podemosdescrever este movimento, considerandoV (x) = 0, |x| < 0V0, |x| > 0e no nal, passando o limite para V0 .Vamos supor que estamos interessados na soluo da equao de Schrdingerpara 0 < E < V0 :d2uE(x)dx2= 2m~2 [E V (x)] uE(x).Ento para a regio x > 0, V (x) = 0 e a equao se reduz ad2uE(x)dx2= 2mE~2uE(x),cuja soluo da formauE(x) = Asenkx +B cos kx, (x < 0)onde k = q2mE~2. Para x > 0, (E < V0) a equao toma a formad2uE(x)dx2= 2m(V0E)~2uE(x)Esta equao nos diz que a segunda derivada de u uma constante positivamultiplicada pela mesma funo. Assim, as solues so da forma ex,sendo a soluo mais geral combinao linear das duas funes, isto uE(x) = C exkx +Dex, (x > 0)com = q2m(V0E)~2. A condio para que as solues sejam sicamenteaceitveis, isto , sejam funes quadraticamente integrveis (u() = 0),impe D = 0. Alm disso, como u(0) = u(0+) (continuidade de u), implicaque B = C, enquanto quedu(0)dx=du(0+)dxassegura que k A = C. No68 3. Equao de Schrdinger independente do tempolimite V0 , e, para que as solues na regio x < 0 mantenham-se nitas, necessrio que C 0 naquele limite. Da relao B = C, resultaque B = 0. A constante A no ca determinada por esta relao, mas dacondio de normalizao. Assim, substituindo os valores das constantespara as solues acima, encontramos as seguintes relaes para o caso queanalisamos:uE(x0) = 0duE(x0)dx= indeterminada (3.22)Alm disso, como C e D so nulos, a soluo na regio onde V , assoluo so u(x) = 0, para todo x > 0.A seguir, estudaremos alguns problemas em uma dimenso.3.3 Estados estacionrios de uma partcula numacaixa: o poo quadrado innitoNesta seo discutiremos o problema de autovalores de uma partcula su-jeita a um potencial do tipoV (x) = 0, |x| < a+, |x| > a(3.23)A escolha deste potencial corresponde a restringir a partcula numaregio correspondente ao intervalo [a, a] (v. gura). Isto implica que aequao de autovalores deve satisfazer as condies de contorno, de acordocom (3.22),u(a) = u(a) = 0 (3.24)A soluo da equao de Schrdinger na regio onde V , isto paratodo |x| > a trivialu(x) = 0, |x| > 0de acordo com a discusso anterior. Isto signica que nunca encontraremosa partcula nessa regio.Vejamos a soluo na regio |x| < a. Neste caso, V (x) = 0 e a equaoH u = Eu pode ser reescrita comod2uE(x)dx2= 2mE~2uE(x) (3.25)Como j sabemos, a soluo de equaes de autovalores depende dosvalores de E. Vamos considerar solues para valores E < 0, isto E =|E| . A Eq.(3.25) toma a formad2uE(x)dx2= 2m|E|~2uE(x)3.3 Estados estacionrios de uma partcula numa caixa: o poo quadrado innito 69FIGURE 3.1. Esquema de um poo de potencial e dos trs primeiros estados.Observe o estado fundamental, que (sempre) um estado par.oud2uE(x)dx2= 2uE(x) (3.26)onde = q2m|E|~2. A soluo mais geral de (3.26) do tipouE(x) = Aex+BexComo podemos ver facilmente, esta soluo no satisfaz a condio de queu(a) = 0, no podendo ser considerada como soluo fsica do problema.Isto , no existem solues para este problema com energias negativas.Isto faz parte de uma restrio mais geral (que trataremos mais tarde) deque no existem solues para valores da energia menores do que o menorvalor do potencial.Vamos investigar as solues com E > 0. Neste caso temosd2uE(x)dx2= k2uE(x)ondek =r2m|E|~2(3.27)70 3. Equao de Schrdinger independente do tempo. As solues desta equao, que satisfazem s condies de contorno (3.24)sou()E(x) = Asen kx (3.28)u(+)E(x) = B cos kx (3.29)onde os ndices () referem-se s propriedades par/mpar da funo pelareexo x x em torno da origem. Esta identicao ser til para umaanlise posterior. Usando as condies de contorno (3.24) uE(a) = 0 resultak a = n02 onde n0 = 2, 4, 6, ..., parouk2na = 2n2onde n = 1, 2, 3, ... (3.30)Logou()E(x) = Asen k2nx (3.31)Fazendo o mesmo para (3.29), isto u(+)E(a) = 0, resultak a = n002 onde n00 = 1, 3, 5, ..., mparouk2n+1a = (2n + 1)2onde n = 1, 2, 3, ... (3.32)e dissou()E(x) = A cos k2n+1xNessas equaes A e B so constantes de normalizao. Elas podem serobtidas fazendo-se:Z+ |u(x)|2dx = 1ouZ a |u(x)|2dx|{z}+Z+aa |u(x)|2dx +Z++a |u(x)|2dx| {z } = 1As integrais de (, a) e (a, ) so nulas, uma vez que u(x) nula nessaregio. Resta entoZ+aau(+)(x)2dx = 1Z+aau()(x)2dx = 13.3 Estados estacionrios de uma partcula numa caixa: o poo quadrado innito 71que nos fornece A = B = q1a. Combinando as equaes (3.30) e (3.32)k2n2n=2ak2n+12n + 1=2aresultak2n2n = k2n+12n + 1 =2a(3.33)Esta equao uma frmula de recorrncia vlida para todos os ndices;dessa maneira obtemosknn=2aoukn = n2aonde n = 1, 2, 3, ... (3.34)De (3.27) e (3.34) obtem-sek2n = n224a2= 2mEn~2LogoEn = n22~28 ma2(n = 1, 2, 3, ..) (3.35)sendo E1 =2~28 ma2 a energia do estado fundamental.A equao acima nos d os valores permitidos das energias para umapartcula num caixa; as autofunes correspondentes a esses autovaloresso, como calculamos:u(+)n(x) =r1a cosn2ax, (n = inteiro mpar) (3.36)eu()n(x) =r1a sen n2ax, (n = inteiro par) (3.37)sendo u(+)1(x) = q1a cos 2ax a funo de onda correspondente autoen-ergia E1 do estado fundamental. No grco esto representadas as trsprimeiras autofunes.Remark 5 importante observar que as energias possveis para uma partculanuma caixa constituem um conjunto discreto de nveis; isto no um priv-ilgio deste problema em particular. De fato, como veremos em outros casos,esta uma caracterstica de sistemas em que a partcula est connada auma regio limitada do espao. Embora a mecnica clssica oferea soluesoscilatrias para o caso limitado (e.g. oscilador harmnico), as energias alicalculadas podem ter qualquer valor do contnuo, ao contrrio do que severica no caso da mecnica quntica.72 3. Equao de Schrdinger independente do tempoRemark 6 Outro fato importante de se mencionar refere-se aos tipos desolues encontradas, pares ou mpares. Isto uma propriedade geral dassolues da equao de Schrdinger para os casos do potencial ser umafuno par das coordenadas, isto V (x) = V (x), como era o caso doproblema analisado anteriormente. Se o potencial possui esta propriedade,ento a equao de Schrdinger~22m d2uE(x)dx2+V (x) uE(x) = EuE(x) (3.38)transforma-se em~22m d2uE(x)dx2+V (x) uE(x) = EuE(x) (3.39)quando fazemos x x, usando V (x) = V (x). V-se que as funesuE(x) satisfazem a mesma equao de uE(x) com os mesmos autovalores.Dizemos ento que uE(x) e uE(x) so degeneradas com o autovalor E. Acombinao linear dessas duas classes tambm uma soluo da equao deSchrdinger com o mesmo autovalor. Em particular u(+)= u(x) + u(x)e u()= u(x) u(x) so solues dessa equao, como pode ser vistofacilmente, somando-se e subtraindo-se (3.38) e (3.39), isto ~22m d2[uE(x) +uE(x)]dx2+V (x) [uE(x) +uE(x)]= E[uE(x) +uE(x)]e ~22m d2[uE(x) uE(x)]dx2+V (x) [uE(x) uE(x)]= E[uE(x) uE(x)]ou, usando a notao u() ~22m d2u()(x)dx2+V (x) u()E(x) = Eu()E(x)Da denio de u()(x) = u(x) u(x) v que, quando fazemos x xu(+)(x) = u(x) +u(x) u(+)(x) = u(x) +u(x) = u(+)(x)a funo no muda de sinal, isto u(+)(x) = u(+)(x) e, portanto, dizemosque u(+) uma funo par. Por outro lado,u()(x) = u(x) u(x) u()(x) = u(x) u(x) = u()(x)e, portanto, se comporta como uma funo mpar. Isto explica a diviso dassolues da equao de Schrdinger em classes de funes pares e mpares,quando o potencial uma funo par da coordenada: V (x) = V (x).3.4 Outros potenciais unidimensionais 73Remark 7 Se colecionarmos as energias em ordem crescente de seus val-ores, isto E1 < E2 < E3 < ....as autofunes correspondentes so alternadamente pares e mpares, sendopar [u(+)1(x), no caso analisado] a funo correspondente ao menor auto-valor (E1), que o estado fundamental do sistema analisado. Isto tambmno uma privilgio do problema em questo. De fato, como mostramosanteriormente, as solues divididas em classes de paridade denida (isto, pares ou mpares) uma caracterstica devida unicamente simetria dopotencial: se V (x) = V (x), ento as solues da equao de Schrdingerso do tipo de paridade denida, com a funo de onda do estado funda-mental sendo sempre par. A partir da, existe uma alternncia par/mpar,conforme mostramos para o caso particular analisado.Remark 8 Como pudemos observar, a energia mais baixa (energia do es-tado fundamental) no nula. Ao contrrio, ela vale E1 =2~28 ma2. Estefato est intimamente relacionado com o princpio de incerteza de Heisen-berg, como podemos ver facilme