Notas do Curso de SLC533 - Topologia Prof. Wagner Vieira

Notas do Curso de SLC533 - Topologia

Prof. Wagner Vieira Leite Nunes

2

Sumario

1 Introducao 5

2 Espacos Metricos 7

2.1 De�ni�c~oes e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Bolas Abertas, Fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Conjuntos Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.4 Distancia de um ponto a um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.5 Distancia entreconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.6 Imers~oes Isom�etrica e Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.7 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3 Funcoes Contınuas 99

3.1 De�ni�c~ao, Exemplos e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.2 Propriedades de fun�c~oes cont��nuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.3 Homeomor�smo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.4 M�etricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.5 Transforma�c~oes lineares e multilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

3.6 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

3

4 SUM�ARIO

Capıtulo 1

Introducao

Este trabalho poder�a servir como notas de aula para cursos cujas ementas tratam de

espa�cos m�etricos, em particular, para a disciplinas SLC533 - Topologia.

Ser~ao exibidos todos os conceitos relacionados com o conte�udo acima, bem como

propriedades e aplica�c~oes dos mesmos.

As referencias ao �nal das notas poder~ao servir como material importante para o

conte�udo aqui desenvolvido.

5

6 CAP�ITULO 1. INTRODUC� ~AO

Capıtulo 2

Espacos Metricos

2.1 Definicoes basicas e exemplos de espacos metricos

Come�caremos com a:

Definicao 2.1.1 Seja M um conjunto n~ao vazio.

Diremos que uma aplica�c~ao

d : M×M → R

�e uma metrica (ou distancia) no conjunto M se as seguintes condi�c~oes est~ao sa-

tisfeitas:

1. para todo x ∈ M, deveremos ter d1

d(x , x) = 0 ; (2.1)

2. se x , y ∈ M e x = y, deveremos ter d2

d(x , y) > 0 ; (2.2)

3. para todo x , y ∈ M, deveremos ter d3

d(x , y) = d(y , x) ; (2.3)

4. para todo x , y , z ∈ M, deveremos ter d4

d(x , z) ≤ d(x , y) + d(y , z) . (2.4)

Observacao 2.1.1

7

8 CAP�ITULO 2. ESPAC�OS M�ETRICOS

1. Notemos que os itens 1. e 2. da De�ni�c~ao 2.1.1, implicam que, para todo

x , y ∈ M, deveremos ter

d(x , y) ≥ 0 , (2.5)

e que

d(x , y) = 0 se, e somente se, x = y . (2.6)

2. Na situa�c~ao acima, obtemos que, para x , y , z ∈ M, teremos:

d(x , y)(2.4)

≤ d(x , z) + d(z , y)

(2.3)= d(x , z) + d(y , z)

ou seja, d(x , y) − d(y , z) ≤ d(x , z) ,

ou ainda, |d(x , y) − d(y , z)| ≤ d(x , z) .

3. o item 3. da De�ni�c~ao 2.1.1, nos diz que a fun�c~ao d : M × M → R �e um

fun�c~ao sim�etrica.

4. o item 4. da De�ni�c~ao 2.1.1, �e conhecida como desigualdade triangular.

Este nome se deve ao fato que, na geometria euclideana, o comprimento de

um lado de um triangulo �e sempre menor que a soma dos comprimentos dos

outros dois lados do triangulo.

x

y

zd(x , z) < d(x , y) + d(y , z)

Podemos agora introduzir a:

Definicao 2.1.2 Se a fun�c~ao d : M×M → R �e uma m�etrica no conjunto M, ent~ao

o par (M,d) ser�a denominado espaco metrico.

Observacao 2.1.2 Quando n~ao houver possibilidade de confus~ao nos referiremos

ao espa�co m�etrico M, ao inv�es de (M,d), deixando subentendido a m�etrica d a

ser considerada.

2.1. DEFINIC� ~OES E EXEMPLOS 9

Notacao 2.1.1 Se (M,d) �e um espa�co m�etrico, os elementos do conjunto M ser~ao

ditos pontos do espaco metrico.

A seguir daremos alguns exemplos de espa�cos m�etricos.

Exemplo 2.1.1 Seja M um conjunto n~ao vazio.

Consideremos a aplica�c~ao d : M×M → R dada por

d(x , y) =

{0 , para x = y

1 , para x = y. (2.7)

A�rmamos que a fun�c~ao d �e uma m�etrica em M, que ser�a denominada metrica

zero-um.

Resolucao:

O item 1. da De�ni�c~ao 2.1.1 ocorre.

Para isto notemos que, de (2.7), segue que

d(x , x) = 0 ,

mostrando que o item 1. da De�ni�c~ao 2.1.1 se veri�ca.

Mostremos que o item 2. da De�ni�c~ao 2.1.1 ocorre.

De fato, para isto notemos que se x = y, de (2.7), segue que

d(x , y) = 1 > 0 ,



De fato, para isto notemos que se x = y, de (2.7), segue que

d(x , y) = 0 e d(y , x) = 0 ,

isto �e, d(x , y) = 0 = d(y , x) . (2.8)

Por outro lado, de x = y, de (2.7), segue que

d(x , y) = 1 e d(y , x) = 1 ,

isto �e, d(x , y) = 1 = d(y , x) . (2.9)

Logo, de (2.8) e (2.9), segue que item 3. da De�ni�c~ao 2.1.1 se veri�ca.


De fato, para isto notemos que se x = z ent~ao, de (2.7), segue que

d(x , z) = 0

≤ d(x , y)︸︷︷︸item 2. da De�ni�c~ao 2.1.1

≥ 0

+ d(y, z)︸︷︷︸item 2. da De�ni�c~ao 2.1.1≥0

(2.10)


para todo y ∈ M.

Por outro lado, se x = z ent~ao, de (2.7), segue que

d(x , z) = 1 ≤ d(x , y) + d(y , z) (2.11)

para todo y ∈ M, pois se y = z, de (2.7), teremos

d(x , y) = 0

e como y = x = z, de (2.7), segue que d(y , z) = 1 assim (2.11) ocorrer�a.

Se y = z teremos algo semelhante ocorrendo.

Logo, de (2.11) , segue que item 4. da De�ni�c~ao 2.1.1 se veri�ca, ou seja a fun�c~ao

d : M×M → R, dada por (2.7), �e uma m�etrica no conjunto M.

�Temos tamb�em o:

Exercıcio 2.1.1 Sejam (M,d) um espa�co m�etrico e S ⊆ M, n~ao vazio.

Ent~ao tomando-se a restri�c~ao de d ao conjunto S × S, isto �e, d|S : S × S → Rdada por

d|S(x , y).= d(x , y) , para cada x , y ∈ S ,

segue que a fun�c~ao d|S ser�a uma m�etrica no conjunto S.

Resolucao:

A veri�ca�c~ao que os itens 1., 2., 3. e 4. da De�ni�c~ao 2.1.1 ocorrer~ao para a fun�c~ao

d|S �e imediata, pois as mesmas ocorrem no conjunto M, logo continuar~ao valendo no

subconjunto S do conjunto M.

�

Observacao 2.1.3 No caso acima o par (S , d|S) ser�a dito subespaco metrico do

espaco metrico (M,d) e a m�etrica d|S ser�a dita metrica induzida pela metrica d

do conjunto M.

Com isto temos o:

Exemplo 2.1.2 Seja M.= R e d : R× R → R dada por

d(x , y).= |x− y| , para cada x , y ∈ R . (2.12)

A�rmamos que a fun�cao d �e uma m�etrica em M = R.

Resolucao:


De fato, notemos que

d(x , x)(2.12)= |x− x| = |0|

propriedade do m�odulo= 0 ,




De fato, se x = y, segue que

d(x , y)(2.12)= |x− y|

x−y =0> 0 ,

mostrando que o item 2 da De�ni�c~ao 2.1.1 se veri�ca.


De fato, notemos que

d(y , x)(2.12)= |y− x|

= |− (x− y)|

propriedade do m�odulo= |x− y|

(2.12)= d(x , y) ,



De fato, observemos que

d(x , y)(2.12)= |x− y|

= |x+ (−z+ z) − y|

= |(x− z) + (z− y)|

propriedade do m�odulo

≤ |x− z|+ |z− y|

(2.12)= d(x , z) + d(z , y) ,

mostrando que o item 4. da De�ni�c~ao 2.1.1 se veri�ca, ou seja, a fun�c~ao d, dada por

(2.12), ser�a uma m�etrica no conjunto M = R.�

Observacao 2.1.4 No caso acima diremos que a m�etrica d �e a metrica usual em R.

Podemos estender a situa�c~ao apresentada no Exemplo 2.1.2 acima, a saber:

Exemplo 2.1.3 Para n ∈ N, seja M.= Rn.

Podemos considerar as seguintes aplica�c~oes

d , d1 , d2 : Rn × Rn → R


dadas por:

d(x , y).=

√(x1 − y1)

2 + · · ·+ (xn − yn)2

=

[n∑i=1

(xi − yi)2

] 12

, (2.13)

d1(x , y).= |x1 − y1|+ · · ·+ |xn − yn|

=

n∑i=1

|xi − yi| , (2.14)

d2(x , y).= max{|x1 − y1|, · · · , |xn − yn|}

= maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

|xi − yi| , (2.15)

onde

x.= (x1 , x2 , · · · , xn), y

.= (y1 , y2 , · · · , yn) ∈ Rn .

A�rmamos que as aplica�c~oes d1 , d2 , d3 s~ao m�etricas no conjunto M = Rn.

Resolucao:

Mostremos que aplica�c~ao d satisfaz os itens 1., 2., 3. e 4. da De�ni�c~ao 2.1.1.

Notemos que

d(x , x)(2.14)=

[n∑i=1

(xi − xi)2

] 12

=

[n∑i=1

02

] 12

= 0 ,

ou seja, o item 1. da De�ni�c~ao 2.1.1 se veri�ca.

Al�em disso, se x = y ent~ao para algum io ∈ {1 , 2 , · · · , n}, temos que

xio = yio .

Com isot segue que

d(x , y)(2.14)=

[n∑i=1

(xi − yi)2

] 12

≥[(xio − yio)

2] 1

2

xio =yio

> 0 ,



Temos tamb�em que, se x , y ∈ Rn,

d(x , y)(2.14)=

[n∑i=1

(xi − yi)2

] 12

=

[n∑i=1

[−(yi − xi)]2

] 12

=

[n∑i=1

(−1)2(yi − xi)2

] 12

=

[n∑i=1

(yi − xi)2

] 12

(2.14)= d(y , x) ,


O item 3. da De�ni�c~ao 2.1.1 para da fun�c~ao d ser�a veri�cada no Exemplo (2.1.4)

que vir�a mais adiante.

Portanto a fun�c~ao d ser�a uma m�etrica em M = Rn.

Mostremos que aplica�c~ao d1 satisfaz os itens 1., 2., 3. e 4. da De�ni�c~ao 2.1.1.

Notemos que

d1(x , x)(2.15)=

n∑i=1

|xi − xi|

=

n∑i=1

0

= 0 ,



xio = yio .

Com isto segue que

d1(x , y)(2.15)=

n∑i=1

|xi − yi|

≥ |xio − yio |

xio =yio

> 0 ,




d1(x , y)(2.15)=

n∑i=1

|xi − yi|

=

n∑i=1

|− (yi − xi)|

=

n∑i=1

|yi − xi|

(2.15)= d1(y , x) ,


Para �nalizar, observemos que, se x , y , z ∈ Rn, teremos:

d1(x , y)(2.15)=

n∑i=1

|xi − yi|

=

n∑i=1

|xi − zi + zi − yi|

=

n∑i=1

|(xi − zi) + (zi − yi)|

|a+b|≤|a|+|b|

≤n∑i=1

[|xi − zi|+ |zi − yi|]

propriedade de somas �nitas=

n∑i=1

|xi − zi|+

n∑i=1

|zi − yi|

(2.15)= d1(x , z) + d1(z , y)


Portanto a fun�c~ao d1 ser�a uma m�etrica em M = Rn.

Mostremos que aplica�c~ao d2 satisfaz os itens 1., 2., 3. e 4. da De�ni�c~ao 2.1.1.

Notemos que

d2(x , x)(2.15)= max

i∈{1 ,2 ,··· ,n}|xi − xi|

= maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

0

= 0 ,



xio = yio .


Com isto segue que

d2(x , y)(2.15)= max

i∈{1 ,2 ,··· ,n}|xi − yi|

≥ |xio − yio |

xio =yio

> 0 ,



d2(x , y)(2.15)= max

i∈{1 ,2 ,··· ,n}|xi − yi|

= maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

|− (yi − xi)|

= maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

|yi − xi|

(2.15)= d2(y , x) ,


Para �nalizar, observemos que, se x , y , z ∈ Rn, teremos:

d2(x , y)(2.15)= max

i∈{1 ,2 ,··· ,n}

= maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

|xi − zi + zi − yi|

= maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

|(xi − zi) + (zi − yi)|

|a+b|≤|a|+|b|

≤ maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

[|xi − zi|+ |zi − yi|]

propriedade do m�aximo de n�umeros n~ao negativos

≤ maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

|xi − zi|+ maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

|zi − yi|

(2.15)= d2(x , z) + d2(z , y)


Portanto a fun�c~ao d2 ser�a uma m�etrica em M = Rn.

�

Observacao 2.1.5

1. A m�etrica d acima de�nida ser�a denominada metrica euclideana em Rn.

Ela prov�em da f�ormula da distancia entre dois pontos (em coordenadas carte-

sianas) que �e uma conseq�uencia do Teorema de Pit�agoras, pois o quadrado do

comprimento da hipotenusa �e igual a soma dos quadrados da distancia entre

os pontos que correspondem aos v�ertices da hipotenusa; logo devem ser igual


a soma dos quadrados dos catetos, que correspondem a somar o quadrado das

distancias das proje�c~oes ortogonais, nos respectivos eixos cartesianos (veja

�gura abaixo para o caso R2).

-

6

p

q

p1

p2

q1

q2

d(p , q) =

√(q1 − p1)

2+ (q2 − p2)

2

Devido a este fato a m�etrica d ser�a dita metrica usual de Rn.

2. Quando n = 2, a m�etrica d, �e a que nos fornece a distancia usual entre os

pontos p e q do plano R2, ou seja, o comprimento do segmento de reta que

une os pontos p e q (veja a �gura abaixo).

p

q

d1(p , q)

J�a m�etrica d1, nos fornece a distancia entre dois pontos do plano, utilizando-

se da soma dos catetos do triangulo retangulo determinado pelos pontos p e

q (veja a �gura abaixo).


p

q

r

� -

6

?

Y

M

d1(p , q) = d(p , r) + d(r , q)

Por �m, a m�etrica d2, nos fornece a distancia entre dois pontos do plano,

utilizando-se o comprimento do maior cateto do triangulo retangulo deter-

minado pelos pontos p e q (veja a �gura abaixo).

p

q

r

� -Y

d2(p, q) = max{d(p , r) , d(r , q)}

Geometricamente, temos a seguinte con�gura�c~ao para as tres m�etrica osu

distancias acima:

p

q

d(p , q)

d2(p , q)

-�

-�

6

?

9

M

d1(p , q)


3. Notemos que para n = 2, temos no plano R2, os elementos ser~ao representa-

dos por pares ordenados, denotados por (x , y) ou (u , v), onde x , y , u , v ∈ R.

4. Em algumas situa�c~oes, identi�caremos o conjunto R2 com o conjunto C, oconjunto dos n�umeros complexos, por meio da seguinte correspondencia:

(x , y) 7→ x+ i y , (2.16)

onde

i2.= −1 .

5. Para o casp n = 3, no espa�co R3, representaremos os elementos por ternas

ordenadas, denotadas por (x , y , z) ou (u , v ,w), onde x , y , z , u , v ,w ∈ R.

Podemos agora enunciar e demonstrar o:

Proposicao 2.1.1 Consideremos d , d1 , d2 as m�etricas introduzidas no Exemplo

(2.1.3) no conjunto Rn.

Ent~ao, para todo x , y ,∈ Rn teremos:

d2(x , y) ≤ d(x , y) ≤ d1(x , y) ≤ nd2(x , y) . (2.17)

Demonstracao:

A�rmamos que, para todo a , b ≥ 0 temos que:√a+ b ≤

√a+

√b . (2.18)

De fato, pois [√a+

√b]2

=[√

a]2

+ 2√a√b+

[√b]2

= a+ 2√a√b︸︷︷︸

≥0

+b ≥ a+ b .

Portanto √a+ b ≤

√a+

√b

como a�rmamos.

Observemos que para todo x , y,∈ Rn, teremos:

d2(x, y)(??)= max

i∈{1 ,2 ,··· ,n}|xi − yi|

|a|=√a2

= maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

√(xi − yi)

2

≤

[n∑j=1

(xj − yj)2

] 12

(2.14)= d(x , y) . (2.19)


Temos tamb�em:

d(x , y)(2.14)=

[n∑j=1

(xj − yj)2

] 12

(2.18)

≤n∑j=1

√(xj − yj)2

√a2=|a|=

n∑j=1

|xj − yj|

(2.15)= d1(x , y) . (2.20)

Para �nalizar, notemos que:

d1(x, y)(2.15)=

n∑j=1

|xj − yj|

≤n∑j=1

maxj∈{1 ,2 ,···n}

|xj − yj|

= maxj∈{1 ,2 ,···n}

{|xj − yj|}

n∑j=1

1

maxj∈{1 ,2 ,···n}

{|xj − yj|} · n

(2.15)= nd2(x , y) (2.21)

Logo, de (2.19), (2.20) e (2.21) segue a desigualdade (2.17), completando a demons-

tra�c~ao.

�Temos a seguinte :

Definicao 2.1.3 Seja X um conjunto n~ao vazio. Diremos que uma fun�c~ao f : X → R�e limitada, se existir k = kf > 0 tal que

|f(x)| ≤ k , para todo x ∈ X . (2.22)

Denotaremos por B(X ; R), o conjunto formado por todas as fun�c~oes, f : X → Rque s~ao limitadas, isto �e,

B(X ; R) .= {f : X → R : f �e limitada} . (2.23)

Precisaremos, como veremos mais adiante, de um conceito e alguns resultados rela-

cionados a:


Definicao 2.1.4 Seja A ⊆ R com A = ∅.Diremos que o conjunto A �e limitado superiormente em R, se existir l ∈ R

tal que

a ≤ l , para todo a ∈ A . (2.24)

Neste caso diremos que o n�umero real l ser�a dito limitante superior do conjunto

A.

De modo semelhante, diremos que o conjunto A �e limitado inferiormente em R,se existir m ∈ R tal que

m ≤ a , para todo a ∈ A . (2.25)

Neste caso diremos que o n�umero real m ser�a dito limitante inferior do conjunto

A.

Consideremos o:

Exemplo 2.1.4

1. Se

A.= (−∞ , π) ⊆ R ,

ent~ao o conjunto A ser�a limitado superiormente em R.

De fato, por exemplo, l.= 4 ser�a um limitante superior do conjunto A

O conjunto A nao �e limitado inferiormente em R.

2. Se

A.= (e ,∞) ⊆ R ,

ent~ao o conjunto A ser�a limitado inferiormente em R.

De fato, por exemplo, m.= 3 �e um limitante inferior do conjunto A

O conjunto A nao �e limitado superiormente em R.

3. Se

A.= Z ⊆ R ,

ent~ao A nao �e limitado superiormente ou inferiormente em R.

4. Se

A.=

{1

n; n ∈ N

},

ent~ao o conjunto A �e limitado superiormente e inferiormente em R.

De fato, por exemplo, l.= 1 �e um limitante superior do conjunto A, e m

.= 0

�e um limitante inferior do conjunto A.



Definicao 2.1.5 Seja A ⊆ R limitado superiormente em R.Diremos que so ∈ R �e o supremo do conjunto A, denotado por supA, se este

satisfaz as seguintes condi�c~oes:

1. so �e um limitante superior do conjunto A; s1

2. so �e o menor n�umero real, satisfazendo a propriedade 1. acima, mais pre-

cisamente, qualquer n�umero real menor que ele, n~ao ser�a limitante superior

do conjunto A. s2

De modo semelhante, temos a:

Definicao 2.1.6 Seja A ⊆ R limitado inferiormente em R.Diremos que s1 ∈ R �e o ınfimo do conjunto A, denotado por inf A, se satisfaz

as seguintes condi�c~oes:

1. s1 �e um limitante inferior do conjunto A; i1

2. s1 �e o maior n�umero real satisfazendo a propriedade 1. acima, mais preci-

samente, qualquer n�umero real maior que ele n~ao ser�a limitante superior do

conjunto A. i2

A seguir daremos um resultado muito �util para a caracteriza�c~ao do supremo, respec-

tivamente, do ��n�mo, de um subconjunto limitado superiormenmte, respectivamente,

infeiormente, de R, a saber:

Teorema 2.1.1 Seja A ⊆ R limitado superiormente em R.Temos que so

.= supA se, e somente se,

1. so �e um limitante superior do conjunto A; s1'

2. dado ε > 0, podemos encontrar a ∈ A, de modo que s2'

so − ε < a ≤ so . (2.26)

A �gura abaixo ilustra a situa�c~ao acima:

so = supAso − ε

?

a ∈ A


Demonstracao:

Suponhamos que so = supA.

Notemos que o item 1. da De�ni�c~ao 2.1.5 �e o mesmo do item 1. acima.

Por outro lado, dado 0 < ε, temos que

s.= so − ε < so,

logo o n�umero real s n~ao poder�a ser limitante superior, pois so �e o menor limitante

superior do conjunto A e

s < so .

Assim, dever�a existir a ∈ A, de modo que

so − ε < a ≤ so,

ou seja, 2. acima.

Por outro lado se 2. acima ocorrer, devemos mostrar que 2. da De�ni�c~ao 2.1.5

dever�a ocorrer.

Para isto, consideremos s ∈ R tal que

s < so .

Mostraremos que o n�umero real s nao poder�a ser limitante superior do conjunto

A, ou seja, so ser�a o menor limitante superior do conjunto A, mostrando que 2. da

De�ni�c~ao 2.1.5 dever�a ocorrer, ou seja,

so = supA .

Consideremos

ε.= so − s > 0 . (2.27)

Do item 2. acima, segue que podemos encontrar a ∈ A, de modo que

so − ε < a ≤ so, (2.28)

ou seja,

s = so − (so − s)

(2.27)= so − ε

(2.28)< a ,

para algum a ∈ A, ou ainda, s < a, para algum a ∈ A.

Logo o n�umero real s nao pode ser um limitante superior do conjunto A, comple-

tando a demonstra�c~ao.

�De modo an�alogo temos o:


Teorema 2.1.2 Seja A ⊆ R limitado inferiormente em R.Temos que s1

.= inf A se, e somente se,

1. s1 �e um limitante inferior do conjunto A; i1'

2. dado ε > 0, podemos encontrar a ∈ A, de modo que i2'

s1 ≤ a < s1 + ε . (2.29)

s + εs = inf A

?

a ∈ A

Demonstracao:

Suponhamos que

s1 = inf A .

Notemos que o item 1. da De�ni�c~ao 2.1.6 �e o mesmo do item 1. acima .

Por outro lado, dado 0 < ε, temos que

s.= s1 + ε < so,

logo o n�umero real s n~ao poder�a ser limitante inferior, pois s1 �e o menor limitante

superior do conjunto A e

s1 < s .

Assim, dever�a existir a ∈ A, de modo que

s1 < a ≤ s1 + ε,

ou seja, 2. acima.

Por outro lado se 2. acima ocorrer, devemos mostrar que 2. da De�ni�c~ao 2.1.6

dever�a ocorrer.

Para isto, consideremos s ∈ R tal que

s1 < s .

Mostraremos que o n�umero real s nao poder�a ser limitante inferior do conjunto A,

ou seja, s1 ser�a o maio limitante inferior do conjunto A, mostrando que 2. da De�ni�c~ao

2.1.6 dever�a ocorrer, ou seja,

s1 = inf A .

Consideremos

ε.= s− s1 > 0 . (2.30)


Do item 2. acima, segue que podemos encontrar a ∈ A, de modo que

s1 < a ≤ s1 + ε, (2.31)

ou seja,

s = s1 + (s− s1)

(2.30)= s1 + ε

(2.31)> a ,

para algum a ∈ A, ou ainda, s > a, para algum a ∈ A.

Logo o n�umero real s nao pode ser um limitante inferior do conjunto A, completando

a demonstra�c~ao.

�Temos as seguintes propriedades para o supremo e o ��n�mo de subsconjuntos limi-

tados de R:

Proposicao 2.1.2 Sejam A ,B ⊆ R conjunto limitados (isto �e, limitado superior-

mente e inferiormente) e α ∈ R.Ent~ao

1. inf A ≤ supA . (2.32)

2. Se A ⊆ B ent~ao

supA ≤ supB , (2.33)

inf A ≥ inf B . (2.34)

3. De�namos o conjunto:

A+ B.= {a+ b ; a ∈ A e b ∈ B} .

Ent~ao o conjunto A+ B �e um subconjunto limitado de R e

sup(A+ B) = supA+ supB , (2.35)

inf(A+ B) = inf A+ inf B . (2.36)

4. Se α > 0, de�namos o conjunto:

α ·A .= {α ; a ∈ A} .

Ent~ao o conjunto α ·A �e limitado em R e

sup(α ·A) = α supA , (2.37)

inf(α ·A) = α inf A . (2.38)

5. Se α < 0, ent~ao

sup(α ·A) = α inf A , (2.39)

inf(α ·A) = α supA . (2.40)


6. Em particular, se

−A.= {−a ; a ∈ A}, ent~ao

sup(−A) = − inf A (2.41)

inf(−A) = − supA . (2.42)

7. Se os conjunto A ,B ⊆ [0,∞) s~ao limitados, de�namos o conjunto:

A · B .= {ab ; a ∈ A e b ∈ B}.

Ent~ao o conjunto A · B �e limitado em R e

sup(A · B) = supA supB , (2.43)

inf(A · B) = inf A inf B . (2.44)

(2.45)

Demonstracao:

Deixaremos a demonstra�c~ao como exerc��cio para o leitor.

�Temos tamb�em as seguintes propriedades para o supremo e o ��n�mo de fun�c~oes

limitadas tomando valores em R:

Proposicao 2.1.3 Sejam f , g ∈ B(X ; R) e α ∈ R. Ent~ao:

1. segue que (f+ g) ∈ B(X ; R) (isto �e, a fun�c~ao f+ g �e uma fun�c~ao limitada em

X) e valem:

supx∈X

(f+ g)(x) ≤ supx∈X

f(x) + supx∈X

g(x) (2.46)

infx∈X

(f+ g)(x) ≥ infx∈X

f(x) + infx∈X

g(x) . (2.47)

2. temos que (α f) ∈ B(X ; R) (isto �e, a fun�c~ao α f �e uma fun�c~ao limitada em X)

e, para α > 0, teremos:

supx∈X

(α f)(x) = α supx∈X

f(x) (2.48)

infx∈X

(α f)(x) = α infx∈X

f(x) , (2.49)

por outro lado, para α < 0, teremos:

supx∈X

(α f)(x) = α infx∈X

f(x) (2.50)

infx∈X

(α f)(x) = α supx∈X

f(x) . (2.51)


3. Se f , g : X → [0 ,∞) s~ao fun�c~ao limitadas, ent~ao (f · g) ∈ B(X ; R) (isto �e, a

fun�c~ao f · g �e uma fun�c~ao limitada em X) e valem:

supx∈X

(f · g)(x) ≤ supx∈X

f(x) supx∈X

g(x) , (2.52)

infx∈X

(f · g)(x) ≥ infx∈X

f(x) infx∈X

g(x) . (2.53)

Demonstracao:

Deixaremos como exerc��cio para o leitor a demonstra�c~ao da mesma.

�

Observacao 2.1.6

1. Observemos que utilizamos as seguintes nota�c~oes nna Proposi�c~ao 2.1.3 acima:

supx∈X

f(x).= sup{f(X)} , inf

x∈Xf(x)

.= inf{f(X)} , (2.54)

supx∈X

(f+ g)(x).= sup{(f+ g)(X)} , inf

x∈X(f+ g)(x)

.= inf{(f+ g)(X)} , (2.55)

supx∈X

(α f)(x).= sup{(α f)(X)} , inf

x∈X(α f)(x)

.= inf{(α f)(X)} , (2.56)

supx∈X

(f · g)(x) .= sup{(f · g)(X)} , inf

x∈X(f · g)(x) .

= inf{(f · g)(X)} , (2.57)

(2.58)

onde

f(X).= {f(x) ; x ∈ X} . (2.59)

2. Para as demonstra�c~oes dos itens 1. e 2. da Proposi�c~ao 2.1.3 acima, ser�a

�util mostrarmos que valem as seguintes inclus~oes: se f, g : X → R ent~ao

(f+ g)(X) ⊆ f(X) + g(X) , (2.60)

(f · g)(X) ⊆ f(X) · g(X) . (2.61)

3. Lembremos, da disciplina de �Algebra Linear, que um conjunto E, n~ao vazio,

munido de duas opera�c~oes:

+ : E× E → E e

· : R× E → E

ser�a dito espaco vetorial sobre R , se satisfaz as seguintes: propriedades:

(A1) a opera�c~ao + �e comutativa, isto �e,

x+ y = y+ x para x , y ∈ E ; (2.62)


(A2) a opera�c~ao + �e associativa , isto �e,

(x+ y) + z = x+ (y+ z) para x , y , z ∈ E ; (2.63)

(A3) a opera�c~ao + admite elemento neutro, isto �e, podemos encontrar um

elemento, que ser�a indicado por O, pertencente ao conjunto E, de modo

que

x+O = x para x ∈ E ; (2.64)

(A4) a opera�c~ao + admite elemento oposto, isto �e, dado x ∈ E, podemos en-

contrar um elemento, que ser�a indicado por −x, pertencente ao conjunto

E, denominado elemente oposto de x, tal que

x+ (−x) = O para x ∈ E ; (2.65)

(M1) Vale propriedade associativa da oper�c~ao · por elmentos de E, isto e�,

(αβ) · x = α · (β · x) para x ∈ E e α ,β ∈ R ; (2.66)

(M2) O n�umero real 1 �e elemento neutro da oper�c~ao ·, isto �e,

1 · x = x para x ∈ E ; (2.67)

(D1) Vale a propriedade distributiva da opera�c~ao · pela opera�c~ao +, isto �e,

α · (x+ y) = α · x+ α · y para x , y ∈ E e α ∈ R ; (2.68)

(D2) Vale a distributiva de adi�c~ao de n�umeros reais pela opera�c~ao ·, isto �e,

(α+ β) · x = α · x+ β · x para x ∈ E e α ,β ∈ R . (2.69)

4. Na situa�c~ao acima denotaremos o espa�co vetorial sobre R pela terna (E ,+ , .)

ou, quando n~ao houver possibilidade de confus~ao, por E simplesmente.

Com isto temos o:

Exemplo 2.1.5 (B(X ; R) ,+ , ·) �e um espa�co vetorial sobre R, com as opera�c~oes

usuais de adi�c~ao de fun�c~oes (ou seja, a opera�c~ao +) e multiplica�c~ao de n�umero

real por fun�c~ao (ou seja, a opera�c~ao ·).

Resolucao:

A veri�ca�c~ao deste fato ser�a deixado como exerc��cio para o leitor.

�


Exemplo 2.1.6 Relativamente ao Exemplo acima, consideremos a fun�c~ao

d : B(X ; R)× B(X ; R) → R

por

d(f , g).= sup

x∈X|f(x) − g(x)| , (2.70)

para f , g ∈ B(X ; R).A�rmamos que d �e uma m�etrica em B(X ; R), que ser�a denominada metrica da

convergencia uniforme ou metrica do sup.

Resolucao:

De fato:

1. Se f ∈ B(X ; R) ent~ao

d(f , f)(2.70)= sup

x∈X|f(x) − f(x)|

= 0 ,

mostrando que vale o item 1. da De�ni�c~ao 2.1.1.

2. Se f, g ∈ B(X ; R) e f = g, ent~ao podemos encontrar xo ∈ X tal que

f(xo) = g(xo) . (2.71)

Assim

d(f , g)(2.70)= sup

x∈X|f(x) − g(x)|

≥ |f(xo) − g(xo)|(2.71)> 0 ,


3. Se f , g ∈ B(X ; R), termeos

d(f , g)(2.70)= sup

x∈X|f(x) − g(x)|

= supx∈X

|− [g(x) − f(x)]|

= supx∈X

|g(x) − f(x)|

(2.70)= d(g , f) ,



4. Se f , g , h ∈ B(X ; R) ent~ao, para cada x ∈ X temos que

|f(x) − g(x)| = |[f(x) − h(x)] + [h(x) − g(x)]|

[|a+b|≤|a|+|b|]

≤ |f(x) − h(x)|+ |h(x) − g(x)| . (2.72)

Logo

d(f , g)(2.70)= sup

x∈X{|f(x) − g(x)|}

(2.72)

≤ supx∈X

{|f(x) − h(x)|+ |h(x) − g(x)|}

(2.46)= sup

x∈X{|f(x) − h(x)|+ sup |h(x) − g(x)|}

(2.70)= d(f , h) + d(h , g)

mostrando que vale o item 4. da De�ni�c~ao 2.1.1, completando a prova que a fun�c~ao

d, dada por (2.70), �e uma m�etrica em B(X ; R).

�

Observacao 2.1.7

1. Para ilustrar, considermeos X.= [0 , 1], e as duas fun�c~oes

f , g : [0 , 1] → R

s~ao dadas por

f(x).= x e g(x)

.= x2 , para cada x ∈ [0 , 1] .

Ent~ao, geometricamente, d(f , g), dada por (2.70), ser�a o comprimento da

maior corda vertical unindo os pontos do gr�a�cos das fun�c~oes f e g (veja a

�gura abaixo).

6

-1

1

f

g

?

d(f , g) =∣∣∣f ( 1

2

)− g

(12

)∣∣∣ = 12

− 12

2= 1

4

x

y

6+

12


2. Vale observar que se

X.= {1 , 2 , · · · , n} ,

ent~ao toda fun�c~ao f ∈ B(X ; R) ser�a limitada.

De fato, pois

|f(x)| ≤ maxi∈{1 ,2 ,·,n}

|f(i)| , para x ∈ X .

Notemos tamb�em que identi�car a fun�c~ao f com a n-upla

(x1 , x2 , · · · , xn) ,

onde

xi.= f(i) para i ∈ {1 , 2 , · · · , n} .

Portanto, neste caso, o conjunto B(X ;R) pode ser identi�cado com conjunto

Rn.

Neste caso, a m�etrica d em B(X ;R), de�nida no Exemplo (2.1.6) acima

(dada por (2.70)), induzir�a a m�etrica d2 em Rn, vista no Exemplo 2.1.3

(veja (2.15)).

De fato, pois

d(f , g)(2.70)= sup

x∈X|f(x) − g(x)|

= maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

|f(i) − g(i)|

= maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

|xi − yi|

(2.15)= d2(x, y) ,

onde

xi.= f(i) , yi

.= g(i) para i ∈ {1 , 2 , · · · , n} .

Conclus~ao, temos a seguinte identi�ca�c~ao:

(B(X ;R) , d) = (Rn , d2) .

Para o pr�oximo exemplo precisaremos da:

Definicao 2.1.7 Seja (E ,+ , ·) um espa�co vetorial sobre R.Diremos que uma fun�c~ao

∥ · ∥ : E → R

�e uma norma em E se as seguintes condi�c~oes s~ao veri�cadas:


1. Se x ∈ E �e tal que x = O ent~ao (n1)

∥x∥ = 0 ; (2.73)

2. Se λ ∈ R e x ∈ E, ent~ao (n2)

∥λ · x∥ = |λ| ∥x∥ ; (2.74)

3. Se x , y ∈ E, ent~ao (n3)

∥x+ y∥ ≤ ∥x∥+ ∥y∥ . (2.75)

Observacao 2.1.8

1. Observemos que, na sistua�c~ao da De�ni�c~ao acima, se x ∈ E, teremos:

∥O∥ = ∥0 · x∥(2.74)= |0| ∥x∥

= 0 , (2.76)

∥− x∥ = ∥(−1) · x∥(2.74)= |− 1| ∥x∥

= ∥x∥ (2.77)

0 = ∥x+ (−x)∥(2.77)

≤ ∥x∥+ ∥− x∥(2.77)= ∥x∥+ ∥x∥

= 2 ∥x∥ ,ou seja, ∥x∥ ≥ 0 . (2.78)

Finalmente, notemos se x ∈ E e x = O segue, de (2.73) e (2.78), que,

∥x∥ > 0 . (2.79)

2. Notemos tamb�em que, para x , y ∈ E teremos:

|∥x∥− ∥y∥| ≤ ∥x− y∥ .

A demosntra�c~ao deste fato segue de (2.75) e ser�a deixada como exerc��cio

para o leitor.

Com isto podemos introduzir a:


Definicao 2.1.8 Um espaco vetorial normado �e um par (E , ∥ · ∥), onde (E ,+ ·) �eum espa�co vetorial sobre R e ∥ · ∥ �e uma norma de�nida em E.

A seguir exibiremos alguns exemplos de espa�cos vetoriais normados.

Exemplo 2.1.7 Consideremos no espa�co vetorial real (Rn ,+ , ·) (onde + e · s~aoas opera�c~oes de adi�c~ao de n-uplas e multiplica�c~ao de n�umero real por n-upla) as

seguintes fun�c~oes ∥ · ∥ , ∥ · ∥1 , ∥ · ∥2 : Rn → R, dadas por:

∥x∥ .=

√√√√ n∑i=1

xi2 (2.80)

∥x∥1.=

n∑i=1

|xi| , (2.81)

∥x∥2.= max

i∈{1 ,2 ,···n}|xi| , (2.82)

onde

x.= (x1 , x2 , · · · , xn) ∈ Rn .

Ent~ao as fun�c~oes ∥ · ∥ , ∥ · ∥1 , ∥ · ∥2, de�nidas acima, s~ao normas no espa�co

vetorial real (Rn ,+ , ·).

Resolucao:

De fato, mostremos que a fun�c~ao ∥ · ∥ : Rn → R, dada por (2.80), satisfaz as 3

condi�c~oes da De�ni�c~ao (2.1.7).

Para isto, observemos que

(n1) para x ∈ Rn, se x = O, segue que

xio = 0 , para algum io ∈ {1 , 2 , · · · , n} .

Assim

∥x∥ (2.80)=

√√√√ n∑i=1

xi2

≥ xio2xio =0

> 0 ,

em particular, ∥x∥ = 0 ,

mostrando que o item 1. da De�ni�c~ao (2.1.7) ocorre.


(n2) para x ∈ Rn e λ ∈ R, temos

∥λ · x∥ (2.80)=

√√√√ n∑i=1

(λ xi)2

=

√√√√ n∑i=1

λ2 xi2

=

√√√√λ2

n∑i=1

xi2

=√λ2

√√√√ n∑i=1

xi2

√λ2=|λ|= |λ|

√√√√ n∑i=1

xi2

(2.80)= |λ| ∥x∥ ,


(n3) A pripriedade 3. da De�ni�c~ao (2.1.7), ser�a veri�cada no Exemplo (2.1.4).

Portanto a fun�c~ao ∥ · ∥ : E → R �e uma norma no espa�co vetorial real (Rn ,+ , ·).Mostremos agora, que a fun�c~ao ∥ · ∥1 : Rn → R, dada por (2.81), satisfaz as 3


Para isto, notemos que:

(n1) Para x ∈ Rn , x = O, temos que


Assim

∥x∥1(2.81)=

n∑i=1

|xi|

≥ |xio |xi0 =0

> 0 ,

em particular, ∥x∥1 = 0 ,



(n2) Para x ∈ Rn e λ ∈ R temos:

∥λ · x∥1(2.81)=

n∑i=1

|λ xi|

=

n∑i=1

|λ| |xi|

= |λ|

n∑i=1

|xi|

(2.81)= |λ| ∥x∥1 ,


(n3) Para x , y ∈ Rn, temos que:

∥x+ y∥1(2.81)=

n∑i=1

|xi + yi|

para cada i ∈ {1 , 2 , · · · , n} temos: |xi+yi|≤|xi|+|yi|

≤n∑i=1

[|xi|+ |yi|]

propriedade de somat�orio=

n∑i=1

|xi|+

n∑i=1

|yi|

(2.81)= ∥x∥1 + ∥y∥1 ,

mostrando que o item 3. da De�ni�c~ao (2.1.7) ocorre, ou seja, a fun�c~ao ∥ · ∥1 : Rn → R,dada por (2.81) �e uma norma no espa�co vetorial real (Rn ,+ , ·).

Finalmente, mostremos que a fun�c~ao ∥ · ∥2 : Rn → R, dada por (2.82), satisfaz as 3


(n1) Para x ∈ Rn , x = O temos que


Assim

∥x∥2(2.82)= max

i∈{1 ,2 ,··· ,n}|xi|

≥ |xio |xio =0

> 0 ,

em particular, ∥x∥2 = 0 ,



(n2) Para x ∈ Rn e λ ∈ R temos:

∥λ · x∥2(2.82)= max

i∈{1 ,2 ,··· ,n}|λ xi|

= maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

[|λ| |xi|]

item 4. da Proposi�c~ao (2.1.2)= |λ| max

i∈{1 ,2 ,··· ,n}|xi|

(2.82)= |λ| ∥x∥2 ,


(n3) Para x , y ∈ Rn temos:

∥x+ y∥2(2.82)= max

i∈{1 ,2 ,··· ,n}|xi + yi|

para cada i ∈ {1 , 2 , · · · , n}, temos: |xi+yi|≤|xi|+|yi|

≤ maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

[|xi|+ |yi|]

item 3. da Proposi�c~ao (2.1.2)

≤ maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

|xi|+ maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

|yi|

(2.82)= ∥x∥2 + ∥y∥2 ,

mostrando que o item 3. da De�ni�c~ao (2.1.7) ocorre, ou seja, a fun�c~ao ∥·∥2 : Rn →R, dada por (2.81) �e uma norma no espa�co vetorial real (Rn ,+ , ·).

�Outro exemplo importante �e

Exemplo 2.1.8 No Exemplo 2.1.5 acima, podemos considerar a fun�c~ao ∥ · ∥ :

B(X ; R) → R dada por

∥f∥ .= sup

x∈X|f(x)| , para cada f ∈ B(X ; R). (2.83)

A�rmamos que a fun�c~ao ∥ · ∥ : B(X ; R) → R �e uma norma no espa�co vetorial

real (B(X ; R) ,+ , ·).De fato, notemos que:

(n1) para f ∈ B(X ; R) e f = 0 (ou seja, n~ao �e a fun�c~ao identicamente nula), ent~ao

podemos encontrar

xo ∈ X de modo que f(x0) = 0 .

Assim

∥f∥ (2.83)= sup

x∈X|f(x)|

≥ |f(xo)|f(xo) =0

> 0 ,

em particular, ∥f∥ = 0 ,



(n2) para f ∈ B(X ; R) e λ ∈ R temos:

∥λ · f∥ (2.83)= sup

x∈X|λ f(x)|

= supx∈X

[|λ| |f(x)|]

item 2. da Proposi�cao 2.1.3= |λ| sup

x∈X|f(x)|

(2.83)= |λ| ∥f∥ ,


(n3) para f , g ∈ B(X ; R) teremos:

∥f+ g∥ (2.83)= sup

x∈X|(f+ g)(x)|

= supx∈X

|f(x) + g(x)|

para cada x ∈ X, temos: |f(x)+g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|

≤ supx∈X

[|f(x)|+ |g(x)|]

item 1. da Proposi�cao 2.1.3

≤ supx∈X

|f(x)|+ supx∈X

|g(x)|

(2.83)= ∥f∥+ ∥g∥ ,

mostrando que o item 3. da De�ni�c~ao (2.1.7) ocorre, ou seja, a fun�c~ao

∥ · ∥ : B(X ; R) → R �e uma norma no espa�co vetorial real (B(X ; R) ,+ , ·).

Tal norma ser�a denominada de norma da convergencia uniforme (ou do sup)

no espaco vetorial real (B(X ; R) ,+ , ·).

Podemos agora obter uma cole�c~ao de exemplos de espa�cos m�etricos, a saber:

Exemplo 2.1.9 Seja (E , ∥ · ∥) um espa�co vetorial normado.

Consideremos a fun�c~oes d : E× E → R, dada por:

d(x , y).= ∥x− y∥ , para cada x , y ∈ E . (2.84)

A�rmamos que a fun�c~ao d �e um m�etrica em E.

Resolucao:

Veri�quemos que as 4 condi�c~oes da De�ni�c~ao 2.1.1 ocorrem.

(d1) para x ∈ E temos que

d(x , x)(2.84)= ∥x− x∥

= ∥O∥(2.76)= 0,

ou seja, o item 1. da De�ni�c~ao 2.1.1 ocorre.


(d2) Se x = y temos que

x− y = O ,

logo

d(x , y)(2.84)= ∥x− y∥

(2.77)> 0 ,


(d3) para x , y ∈ E, temos que

d(x , y)(2.84)= ∥x− y∥

= ∥− (y− x)∥(2.77)= ∥y− x∥

(2.84)= d(y , x) ,

ou seja, 3. da De�ni�c~ao 2.1.1 ocorre.

(d4) para x , y , z ∈ E, temos que:

d(x , z)(2.84)= ∥x− z∥

= ∥(x− y) + (y− z)|

(3)

≤ ∥x− y∥+ ∥y− z|

(2.84)= d(x , y) + d(y , z) ,


Portanto a fun�c~ao d, dada por (2.84), �e um m�etrica no espa�co vetorial normado

(E , ∥ · ∥) e assim (E , d) �e um espa�co m�etrico.

�

Observacao 2.1.9

1. O Exemplo 2.1.9 acima, nos mostra que todo espa�co vetorial normado �e um

espa�co m�etrico, onde a m�etrica �e dada por (2.84).

Neste caso diremos que a m�etrica d, dada por (2.84), provem da norma ∥ · ∥do espa�co vetorial normado (E , ∥ · ∥).

2. Por exemplo, as m�etricas d , d1 , d2 do espa�co vetorial real (Rn ,+ , ·), dadaspor (2.13), (2.14) e (2.15), prov�em das normas ∥ · ∥ , ∥ · ∥1 , ∥ · ∥2,, , dadas por

(2.80), (2.81) e (2.82), respectivamente.


3. De modo semelhante temos que a m�etrica d : B(X ; R) × B(X ; R) → R dada

por

d(f , g) = ∥f− g∥ para f , g ∈ B(X ; R) , (2.85)

(onde a norma ∥ · ∥ �e a do Exemplo 2.1.8) �e proveniente da norma da con-

vergencia uniforme.

4. Pergunta-se:

Seja (E ,+ , ·) um espa�co vetorial real e d �e uma m�etrica em E.

Sempre existir�a uma norma ∥ · ∥ : E → R, no espa�co vetorial real (E ,+ , ·), demodo que a m�etrica dada d prov�em dessa norma?

Ou seja, uma m�etrica qualquer de�nida no espa�co vetorial real (E ,+ , ·)prov�em de alguma norma de�nida nesse espa�co vetorial real (E ,+ , ·) ?

Infelizmente isto �e falso.

Na verdade na lista de exerc��cio pede-se para mostrar que em um espa�co

vetorial real (E ,+ , ·), uma m�etrica d prov�em de uma norma se, e somente

se, valem as seguintes identidades

d(x+ a , y+ a) = d(x , y) (2.86)

d(λ · x , λ · y) = |λ|d(x , y) , (2.87)

para todo x , y , a ∈ E e λ ∈ R.

5. Observemos tamb�em que se (E , ∥ · ∥) �e um espa�co vetorial normado, ent~ao

para todo x ∈ E temos

d(x ,O)(2.84)= ∥x−O∥ = ∥x∥ ,

isto �e, a norma do vetor x ∈ E �e igual a distancia do ponto x ∈ E �a origem

O ∈ E.

Para considerar uma outra classe de exemplos precisaremos da

Definicao 2.1.9 Seja (E ,+ , ·) um espa�co vetorial sobre R.Diremos que a fun�c~ao

⟨ · , ·⟩ : E× E → R

�e um produto interno (ou escalar) no espaco vetorial (E ,+ , ·) se satisfaz as se-


guintes condi�c~oes:

(p1) para x , x ′ , y ∈ E deveremos ter:

⟨x+ x ′ , y⟩ = ⟨x , y⟩+ ⟨x ′ , y⟩ ; (2.88)

(p2) para x , y ∈ E e λ ∈ R, devemos ter:

⟨λ · x , y⟩ = λ ⟨x , y⟩ ; (2.89)

(p3) para x , y ∈ E e λ ∈ R, devemos ter:

⟨x , y⟩ = ⟨y , x⟩ ; (2.90)

(p4) para x ∈ E, x = O, devemos ter:

⟨x , x⟩ > 0 . (2.91)

Neste caso diremos que o par (E , ⟨ · , ·⟩) �e um espaco (vetorial) com produto in-

terno (ou escalar).

Observacao 2.1.10

1. Se (E , ⟨· , ·⟩) �e um espa�co vetorial com produto interno, ent~ao para x , y , y ′ ∈ E

e λ ∈ R, teremos:

⟨x , y+ y ′⟩ (2.90)= ⟨y+ y ′ , x⟩

(2.88)= ⟨y , x⟩+ ⟨y ′ , x⟩

(2.90)= ⟨x , y⟩+ ⟨x , y ′⟩ (2.92)

e

⟨x , λ · y ′⟩ (2.90)= ⟨λ · y , x⟩

(2.89)= λ ⟨y , x⟩

(2.90)= λ ⟨x , y⟩ , (2.93)

ou seja, a fun�c~ao ⟨ · , ·⟩ : E × E → R ser�a uma transforma�c~ao linear, quando

�xada cada uma das suas entradas, e assim ser�a dita forma bilinear.

2. Notemsoq tamb�em que (2.91) garante que se x ∈ E e

⟨x , x⟩ = 0 , ent~ao x = O . (2.94)

Portanto temos que

⟨x , x⟩ ≥ 0 , para todo x ∈ E (2.95)

e ⟨x , x⟩ = 0 se, e somente se, x = O . (2.96)


3. No curso de �Algebra Linear, a fun�c~ao ⟨ · , ·⟩ : E × E → R �e denominada

forma bilinear, simetrica, positiva e definida .

A seguir exibiremos alguns exemplos de espa�cos com produto interno.

Exemplo 2.1.10 Consideremos o espa�co vetorial real (Rn ,+ , ·) (onde as opera�c~oes+ e · s~ao as opera�c~oes usuais de soma de n-uplas e multiplica�c~ao de n�umero real

por n-upla) e de�namos a aplica�c~ao

⟨ · , ·⟩ : Rn × Rn → R ,

dada por

⟨x , y⟩ .= x1 y1 + x2 y2 + · · ·+ xn yn

=

n∑i=1

xi yi , (2.97)

onde

x.= (x1 , x2 , · · · , xn) , y

.= (y1 , y2 , · · · , yn) ∈ Rn . (2.98)

A�rmamos que ⟨ · , ·⟩, dada por (2.98), �e um produto interno no espa�co vetorial

real (Rn ,+ , ·).

Resolucao:

Deixaremos como exerc��cio para o leitor mostrar que a fun�c~ao ⟨ · , ·⟩, dada por (2.98),satisfaz as condi�c~oes (2.88), (2.89), (2.90) e (2.91), ou seja, a aplica�c~ao

⟨ · , ·⟩ : Rn × Rn → R ,

�e um produto interno no espa�co vetorial real (Rn ,+ , ·).�

Observacao 2.1.11 O caso n = 3 foi tratado na disciplina de Geometria Anal��tica.

Outro caso importante �e dado pelo:

Exemplo 2.1.11 Consideremos

C([a , b] ; R) .= {f : [a , b] → R ; a fun�c~ao f cont��nua em [a , b]} . (2.99)

A�rmamos que (C([a , b] ; R) ,+ , ·) (onde + e · denotam as opera�c~oes de adi�c~ao

de fun�c~oes e multiplica�c~ao de n�umero real por fun�c~ao, respectivamente) �e um

espa�co vetorial real.

Considerando-se a fun�c~ao

⟨ · , ·⟩ : C([a , b] ; R)× C([a , b] ; R) → R ,


dada por:

⟨f , g⟩ .=

∫b

a

f(x)g(x)dx , (2.100)

onde f , g ∈ C([a , b] ; R), a�rmamos que a a fun�c~ao

⟨ · , ·⟩ : C([a , b] ; R)× C([a , b] ; R) → R ,

�e um produto interno no espa�co vetorial real (C([a , b] ; R) ,+ , ·).

Resolucao:

Lembremos que se f ∈ C([a , b] ; R) ent~ao a fun�c~ao f ser�a limitada em [a , b], ou seja,

f ∈ B([a , b] ; R).Portanto, para mostrar que (C([a , b] ; R) ,+ , ·) �e um espa�co vetorial real, como visto

da disciplina de �Algebra Linear, basta mostrar que C([a , b] ; R) �e um subsepa�co vetorial

do espa�co vetorial real (B([a , b] ; R) ,+ , ·).Mas isto �e simples pois, a soma de duas fun�c~oes cont��nuas �e uma fun�c~ao cont��nua e

multiplica�c~ao de um n�umero real por uma fun�c~ao cont��nua �e uma fun�c~ao cont��nua.

Deixaremos como exerc��cio para o leitor mostrar que a fun�c~ao ⟨ · , ·⟩, dada por (2.99),satisfaz as condi�c~oes (2.88), (2.89), (2.90) e (2.91), ou seja, a aplica�c~ao

⟨ · , ·⟩ : C([a , b] ; R)× C([a , b] ; R) → R ,

�e um produto interno no espa�co vetorial real (C([a , b] ; R) ,+ , ·).�

Com isto temos a:

Proposicao 2.1.4 Seja (E , ⟨ · , ·⟩) um espa�co vetorial com produto interno.

Considere a fun�c~ao

∥ · ∥ : E → R

dada por

∥x∥ .=√⟨x , x⟩ , (2.101)

para x ∈ E.

A�rmamos que a fun�cao ∥ · ∥ �e uma norma no espa�co vetorial real (E ,+ , ·).

Resolucao:

Notemos que:

1. para x ∈ E, como x = O, teremos

∥x∥ (2.101)=

√⟨x , x⟩

(2.95) e (2.96) temos que ⟨x ,x⟩>0

= 0 ,

isto �e, vale (1) da De�ni�c~ao 2.1.7.


2. para x ∈ E e λ ∈ R, temos que:

∥λ · x∥ (2.101)=

√⟨λ · x , λ · x⟩

(2.89) e (2.93)=

√λ2 ⟨x , x⟩

=√

λ2√⟨x , x⟩

(2.101)= |λ| , ∥x∥ ,

isto �e, vale (2) da De�ni�c~ao 2.1.7.

3. vale a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, ou seja, sendo (E , ⟨ · , ·⟩) um espa�co ve-

torial com produto interno, ent~ao para todo x , y ∈ E temos que

| ⟨x , y⟩ | ≤ ∥x∥ ∥y∥ . (2.102)

De fato:

Se x.= O, como

⟨O ,y⟩ = 0 e ∥x∥ = 0 ,

valer�a a igualdade em (2.102), logo valer�a a desiguladade.

Se x = O, podemos de�nir o n�umero rela

λ.=

⟨x , y⟩∥x∥2

, (2.103)

z.= y− λ · x . (2.104)

Observemos que

⟨z , x⟩ (2.104)= ⟨y− λ · x , x⟩

(2.88) e (2.89)= ⟨y , x⟩− λ ⟨x , x⟩

(2.103)= ⟨y , x⟩− ⟨x , y⟩

⟨x , x⟩⟨x , x⟩

(2.90)= ⟨x , y⟩− ⟨x , y⟩ = 0 , (2.105)

isto �e, os vetores em z e x s~ao ortogonais.


Logo

∥y∥2 (2.101)= ⟨y , y⟩

(2.104)= ⟨z+ λ · x , z+ λ · x⟩

(2.88) e (2.89)= ⟨z , z⟩+ λ ⟨z , x⟩+ λ ⟨x , z⟩+ λ2 ⟨x , x⟩

(2.105)= ∥y∥2 + λ2 ∥x∥2

∥y∥2≥0

≥ λ2∥x∥2 ,ou seja, λ2 ∥x∥2 ≤ ∥y∥2 ,

de (2.103), teremos:

[⟨x , y⟩∥x∥2

]2∥x∥2 ≤ ∥y∥2 ,

isto �e, ⟨x , y⟩2 ≤ ∥x∥2 ∥y∥2 , (2.106)

implicando a desigualdade (2.102), como quer��amos demonstrar.

4. Para �nalizar, se x , y ∈ E, teremos:

∥x+ y∥2 (2.101)= ⟨x+ y , x+ y⟩

(2.88) e (2.89)= ⟨x , x⟩+ ⟨x , y⟩+ ⟨y , x⟩+ ⟨y , y⟩

(2.101)e(2.90)= ∥x∥2 + 2 ⟨x , y⟩+ ∥y∥2

(2.102)

≤ ∥x∥2 + 2 (∥x∥ ∥y∥) + ∥y∥2

= (∥x∥+ ∥y∥)2 ,

inplicando na:

∥x+ y∥ ≤ ∥x∥+ ∥y∥,

vale (3) da De�ni�c~ao 2.1.7, mostrando com isto que a aplica�c~ao ∥ · ∥, dada por

(2.101), �e uma norma no espa�co vetorial real (E ,+ , ·).

�

Observacao 2.1.12

1. No caso acima diremos que a norma ∥ · ∥, dada por (2.101), ser�a dita uma

norma que provem do produto interno ⟨ · , ·⟩ espa�co vetorial real (E ,+ , ·).

2. Logo a Proposi�c~ao (2.1.4) acima, nos mostra que todo espa�co vetorial com

produto interno, pode tornar-se um espa�co vetorial normado, com a norma

que prov�em do produto interno dado.

3. Pergunta-se: toda norma no espa�co vetorial real (E ,+ , ·) prov�em de um pro-

duto interno?


A resposta �e negativa, isto �e, existem espa�cos vetoriais normados cuja norma

nao prov�em de um produto interno de�nido no espa�co vetorial em quest~ao.

Como exemplo disto temos que no espa�co vetorial real (B(X ; R) ,+ , ·), a

norma da convergencia uniforme nao prov�em de um produto interno de�-

nido no espa�co vetorial em quest~ao.

A veri�ca�c~ao deste fato ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.

Um outro exemplo pode ser obtido utlizando-se o item abaixo.

4. Para respoder a quest~ao acima temos a seguinte a�rma�c~ao: seja (E , ∥ ·∥) umespa�co vetorial normado.

Ent~ao a norma ∥·∥ prov�em de um produto interno de�nido no espa�co vetorial

real (E ,+ , ·) se, e somente se, vale a seguinte identidade:

∥x+ y∥2 + ∥x− y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2

), (2.107)

para todo x , y ∈ E, que �e conhecida como lei do paralelogramo.

5. Devido a este fato, pode-se mostra que a norma ∥·∥1, dada por (2.81), de�nida

no espa�co vetorial real(R2 ,+ , ·

)nao prov�em de um produto interno espa�co

vetorial em quest~ao.

De fato, pois tomando-se

x.= (1 , 0) e y

.= (0 , 1) ,

temos que estes vetores n~ao satisfazem a lei do paralelogramo, isot �e (2.107).

Deixaremos a veri�ca�c~ao deste fato como exerc��cio para o leitor.

6. Como conseq�uencia do que vimos acima todo espa�co vetorial com produto

interno �e um espa�co m�etrico.

Para isto, basta tomar a m�etrica que prov�em da norma que, por sua vez, �e

proveniente do produto interno dado incialmente.

Para concluir a se�c~ao temos a:

Proposicao 2.1.5 Sejam (M,dM) e (N,dN) dois espa�cos m�etricos.

Em M×N podemos considerar as seguinte fun�c~oes

d , d1 , d2 : (M×N)× (M×N) → R

dadas por:

d(z , z ′).=

√[dM(x , x ′)]2 + [dN(y , y ′)

]2; (2.108)

d1(z , z′)

.= dM(x , x ′) + dN(y , y ′) ; (2.109)

d2(z , z′)

.= max{dM(x , x ′), dN(y , y ′)}, (2.110)


onde

z.= (x , y) , z ′ .

= (x ′ , y ′) ∈ M×N.

Demonstracao:

Deixaremos como exerc��cio para o leitor mostrar que a fun�c~oes d , d1 , d2 : (M×N)×(M×N) → R s~ao metricas em M×N.

�

Observacao 2.1.13

1. Podemos generalizar a Proposi�c~ao 2.1.5 acima, para o produto de um n�umerto

�nito de espa�cos m�etricos.

Mais precisamente, se

(M1 , d1) , (M2 , d2) , · · · , (Mn , dn)

s~ao n-espa�cos m�etricos, ent~ao podemos de�nir as seguintes m�etricas no pro-

duto cartesiano M1 ×M2 × · · · ×Mn:

d(x , y).=

√[d1(x1 , y1)]

2 + · · ·+ [dn(xn , yn)]2

=

√√√√ n∑i=1

[di(xi , yi)]2 ; (2.111)

d1(x , y).= d1(x1 , y1) + · · ·+ dn(xn , yn)

=

n∑i=1

di(xi , yi) ; (2.112)

d2(x , y).= max{d1(x1 , y1) , · · · , dn(xn , yn)}

= maxi∈{1 ,2 ,··· ,n}

{di(xi , yi)} , (2.113)

onde

x.= (x1 , x2 , · · · , xn) , y

.= (y1 , y2 , · · · , yn) ∈ M1 ×M2 × · · · ×Mn .


2. A m�etrica d, dada por (2.111), ser�a dita metrica produto em

M.= M1 ×M2 × · · · ×Mn .

A m�etrica d1, dada por (2.112), ser�a dita metrica da soma em

M.= M1 ×M2 × · · · ×Mn .

A m�etrica d2, dada por (2.113), ser�a dita metrica do maximo em

M.= M1 ×M2 × · · · ×Mn .


3. De modo an�alogo ao feito na Proposi�c~ao 2.1.1, pode-se mostrar que para todo

x , y ,∈ M1 ×M2 × · · · ×Mn temos

d2(x , y) ≤ d(x , y) ≤ d1(x , y) ≤ nd2(x , y). (2.114)


4. Quando

M1 = M2 = · · · = Mn = R ,

reobteremos o espa�co euclideano (Rn ,+ , ·), como produto cartesiano de n-

c�opias do espa�co vetorial real m�etrico (R ,+ , ·).

2.2 Bolas abertas, bolas fechadas e esferas em espacos

metricos

Come�caremos introduzindo a:

Definicao 2.2.1 Sejam (M,d) um espa�co m�etrico, a ∈ M e r > 0.

De�nimos a bola aberta, de centro no ponto a e raio r, denotada por B(a ; r),

como sendo o seguinte subconjunto de (M,d):

B(a ; r).= {x ∈ M ; d(x , a) < r} . (2.115)

De�nimos a bola fechada, de centro no ponto a e raio r, denotada por B[a ; r],

como sendo o seguinte subconjunto de (M,d):

B[a ; r].= {x ∈ M ; d(x , a) ≤ r} . (2.116)

De�nimos a esfera, de centro no ponto a e raio r, denotada por S(a ; r), como

sendo o seguinte subconjunto de (M,d):

S(a ; r).= {x ∈ M ; d(x , a) = r} . (2.117)

Observacao 2.2.1

1. Em um espa�co m�etrico, a bola aberta, de centro no ponto a e raio r, �e o

conjunto dos pontos de (M,d), cuja a distancia ao ponto a �e menor do que

r.

POr outro lado, a bola fechada, de centro no ponto a e raio r, �e o conjunto

dos pontos de (M,d), cuja a distancia ao ponto a �e menor ou igual do que

r.

Finalmente, a esfera, de centro no ponto a e raio r, �e o conjunto dos pontos

de (M,d) cuja a distancia ao ponto a �e igual r.

2.2. BOLAS ABERTAS, FECHADAS 47

2. A�rmamos que

B[a ; r] = B(a ; r) ∪ S(a ; r), (2.118)

onde a reuni~ao acima disjunta, isto �e,

B(a ; r) ∩ S(a ; r) = ∅. (2.119)

A veri�ca�c~ao destes fatos �e simples e ser�a deixada como exerc��cio para o

leitor.

3. Se M.= E, onde (E ,+ , ·) �e um espa�co vetorial real e a m�etrica d : E× E → R

prov�em de uma norma ∥ · ∥ : E → R, isto �e,

d(x , y) = ∥x− y∥ , para cada x , y ∈ E ,

ent~ao teremos:

B(a ; r) = {x ∈ E ; ∥x− a∥ < r} , (2.120)

B[a ; r] = {x ∈ E ; ∥x− a∥ ≤ r} , (2.121)

S(a ; r) = {x ∈ E ; ∥x− a∥ = r} . (2.122)

Com isto temos a:

Proposicao 2.2.1 Sejam (M,dM) um espa�co m�etrico, X ⊆ M um subsepa�co (m�etrico)

de (M,dM), a ∈ X e r > 0.

Denotemos por BX(a ; r) a bola aberta de centro no ponto a e raio r no espa�co

m�etrico (X , dM).

Ent~ao

BX(a ; r) = BM(a ; r) ∩ X , (2.123)

onde BM(a ; r) enota a bola aberta, de centro no ponto a e raio r, no espa�co m�etrico

(M,dM).

Reciprocamente, dada uma bola aberta, de centro no pontoa e raio r, no espa�co

m�etrico (M,dM), ent~ao o conjunto BM(a ; r) ∩ X ser�a uma bola aberta, de centro

no ponto a e raio r, no espa�co m�etrico (X , dM), ou seja,

BM(a ; r) ∩ X = BX(a ; r) . (2.124)

Demonstracao:

Observemos que

BX(a ; r)(2.120)= {x ∈ X ; dM(x , a) < r}

= {y ∈ M ; dM(y , a) < r} ∩ X

(2.120)= BM(a ; r) ∩ X ,

completando deste modo a demonstra�c~ao do resultado.

�De modo semelhante temos a:


Proposicao 2.2.2 Sejam (M,M d) um espa�co m�etrico, X ⊆ M um subsepa�co (m�etrico)

de (M,dM), a ∈ X e r > 0.

Denotemos por BX[a ; r] e SX(a ; r) a bola fechada e esfera, de centro no ponto

a e raio r, no espa�co m�etrico (X , dM), respectivamente.

Ent~ao

BX[a ; r] = BM[a ; r] ∩ X e SX[a ; r] = SM(a ; r) ∩ X (2.125)

onde BM[a ; r], SM(a ; r) denotam a bola fechada e a esfera, de centro no ponto a

e raio r, no espa�co m�etrico (M,dM), respectivamente.

Reciprocamente, dadas a bola fechada e a esfera, de centro no ponto a e raio r,

no espa�co m�etrico (M,dM), ent~ao os conjuntos BM[a ; r] ∩ X e SM(a ; r) ∩ X ser~ao

a bola fechada e a esfera, de centro no ponto a e raio r, no espa�co m�etrico X,

respectivamente, ou seja,

BM[a ; r] ∩ X = BX[a ; r] e SM(a ; r) ∩ X = SX[a ; r] . (2.126)

Demonstracao:

A demonstra�c~ao destes fatos ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.

�Para ilustrar temos os:

Exemplo 2.2.1 Consideremos R2 a m�etrica d, dada por (2.13) (com n = 2) e

X.= S1 .

={(x , y) ∈ R2 ; x2 + y2 = 1

}.

Seja a ∈ S1 e r > 0.

Encontre, geometricamente, BX(a ; , r), BX[a ; , r] e SX(a ; , r)

Resolucao:

Pela Proposi�c~ao 2.2.1 (ou ainda (2.124)), segue que

BS1(a ; r) = BR2(a ; r) ∩ S1 ,

ou seja, ser�a um arco (sem os extremos) da circunferencia S1, cujo ponto m�edio ser�a a

(veja �gura abaixo).


-

6

x

y

-S1

a

6r

9BR2 (a : r)?

BS1 (a; r)

De modo semelhante, pela Proposi�c~ao 2.2.2 (ou ainda, (2.125)), segue que

BS1[a ; r] = BR2 [a ; r] ∩ S1 e SS1(a ; r) = SR2(a ; r) ∩ S1 ,

ou seja, ser~ao o arco (com os extremos) da circunferencia S1, cujo ponto m�edio ser�a o a

e os pontos extremos do mesmo arco, respectivamente (veja a �gura abaixo).

-

6

x

y

-S1

a

6r

9BR2 [a : r]?

BS1 [a; r]

*

z

SS1 (a; r)

�

Exemplo 2.2.2 Sejam M = ∅, munido da m�etrica zero-um, a ∈ X e r > 0.

Encontre os conjuntos

B(a ; r) , B[a ; r] e S(a ; r) .


Resolucao:

Observemos que

d(x , y).=

{0 , se x = y ,

1 , se x = y. (2.127)

Notemos que

para r > 1 temos que: B(a ; r)(2.120)= {x ∈ M ; d(x , a) < r}

d(x ,a)(2.127)

≤ 1<r= M,

B[a ; r](2.121)= {x ∈ M ; d(x , a) ≤ r}

d(x ,a)(2.127)

≤ 1<r= M ;

para r < 1 temos que: B(a ; r)(2.120)= {x ∈ M ; d(x , a) < r}

r<1= {x ∈ M ; d(x , a) = 0}

(2.6)= {a} ,

B[a ; r](2.121)= {x ∈ M ; d(x , a) ≤ r}

r<1= {x ∈ M ; d(x , a) = 0}

(2.6)= {a} ;

para r = 1 temos que: B(a ; r)(2.120)= {x ∈ M ; d(x , a) < r}

r<1= {x ∈ M ; d(x , a) = 0}

(2.6)= {a} ,

B[a ; r](2.121)= {x ∈ M ; d(x , a) ≤ r}

r=1=

(2.127)= M.

Como consequencia das rela�c~oes acima, teremos:

para r = 1 segue que: S(a ; r)(2.118) e (2.119)

= B[a ; r] \ B(a ; r) = ∅ ,

S(a ; 1)(2.118) e (2.119)

= B[a ; 1] \ B(a ; 1) = M− {a} .

�

Exemplo 2.2.3 Consideremos o espa�co m�etrico (R , d), onde d �e a m�etrica usual,

a ∈ R e r > 0.

Encontre e represente geometricamente a bola aberta, bola fechada e a esfera,

de centro no ponto a e raio r.


Resolucao:

Notemos que

B(a ; r)(2.115)= {x ∈ M ; d(x , a) < r}

(2.13) com n=1= {x ∈ R ; |x− a| < r}

= (a− r , a+ r) ,

ou seja, um intervalo aberto de R,

B[a ; r](2.116)= {x ∈ M ; d(x , a) ≤ r}

(2.13) com n=1= {x ∈ R ; |x− a| ≤ r}

= [a− r , a+ r] ,

ou seja, um intervalo fechado de R;

S(a ; r) =(2.117)= {x ∈ M ; d(x , a) = r}

(2.13) com n=1= {x ∈ R ; |x− a| = r}

x = a− r ex = a+ r ,

ou seja, os extremos de um intervalo limitado em R.

Geometricamente temos:

-a

a + ra − r

Bola aberta, de centro no ponto a e raio r

-a + ra − r a

Bola fechada, de centro no ponto a e raio r

-a + r

a

a − r

Esfera, de centro no ponto a e raio r


Exemplo 2.2.4 Consideremos os espa�cos m�etricos(R2 , d

),(R2 , d1

)e(R2 , d2

),

onde as as m�etricas d , d1 , d2 foram de�nidas no Exemplo 2.1.3, a.= (a1 , a2) ∈ R2

e r > 0.


de centro no ponto a e raio r.


Resolucao:

Encontraremos e representaremos a bola aberta, de centro no ponto a e raio r.

Os casos da bola fechada e da esfera ser~ao deixados como exerc��cio para o leitor.

Notemos que, se x.= (x , y) ∈ R2, teremos:

1.: para a m�atrica d:

B(a ; r)(2.115)=

{x ∈ R2 ; d(x , a) < r

}=

{(x , y) ∈ R2 : d[(x , y) , (a1 , a2)] < r

}(2.13) com n=2

= ={(x , y) ∈ R2 ;

√(x− a1)2 + (y− a2)2 < r

}=

{(x , y) ∈ R2 ; (x− a1)

2 + (y− a2)2 < r2

},

isto �e, a regi~ao interior de uma circunferencia, de centro no ponto a e raio r .

A �gura abaixo nos fornece a representa�c~ao do conjunto acima.

a = (a1, a2)

3r

2.: para a m�atrica d1:

B1(a ; r)(2.115)=

{x ∈ R2 ; d1(x , a) < r

}=

{(x , y) ∈ R2 : d1[(x , y) , (a1 , a2)] < r

}(2.14) com n=2

={(x , y) ∈ R2 ; |x− a1|+ |y− a2| < r

}isto �e, a regi~ao interior do losango, de centro no ponto (a1 , a2) e cujas diagonais

s~ao paralelas aos eixos coordenados (veja �gura abaixo).

Observemos que

|x− a1|+ |y− a2| = r

se, e somente se,

x− a1 + y− a2 = r, para x− a1 ≥ 0 e y− a2 ≥ 0

−(x− a1) + y− a2 = r, para x− a1 < 0 e y− a2 > 0

−(x− a1) − (y− a2) = r, para x− a1 < 0 e y− a2 < 0

x− a1 − (y− a2) = r, para x− a1 > 0 e y− a2 < 0

que dar~ao origem as quatro retas que determinam losango citado acima.



-

6

a = (a1 , a2)

� x − a1 − y + a2 = r

� x − a1 + y − a2 = r-−x + a1 + y − a2 = r

-−x + a1 − y + a2 = r

(a1 , a2 − r)

(a1 + r, a2)(a1 − r , a2)

(a1 , a2 + r)

3.: para a m�atrica d2:

B2(a ; r)(2.115)=

{x ∈ R2 ; d1(x , a) < r

}=

{(x , y) ∈ R2 ; d1[(x , y) , (a1 , a2)] < r

}(2.15) com n=2

= ={(x , y) ∈ R2 ; max{|x− a1| , |y− a2|} < r

}=

{(x , y) ∈ R2 ; |x− a1| < r e |y− a2| < r

}= (a1 − r , a1 + r)× (a2 − r , a2 + r)

isto �e, a regi~ao interior do quadrado [a1 − r , a1 + r]× [a2 − r , a2 + r].


a = (a1, a2)

-

6

a1 − r a1 + ra1

a2 − r

a2 + r

a2

�

Observacao 2.2.2 Geometricamente, o Exemplo 2.2.4 ilustra que uma bola aberta

pode nao ncessariamnte corresponder ao que pensamos.


Por exemplo, no caso da m�etrica d2, dada por (2.15), uma bola aberta corres-

ponde a regi~ao interior de um quadrado.

De modo an�alogo, temos situa�c~oes semelhantes para a bola fechada e para a

esfera.

Temos tamb�em o:

Exemplo 2.2.5 Consideremos o espa�co m�etrico (B([a , b] ; R)), d), onde a m�etrica

d �e a m�etrica do sup (veja os Exemplos 2.1.5 e 2.1.6, com X.= [a, , b]).

Sejam fo ∈ B([a , b] ; R)) e r > 0.


de centro no ponto fo e raio r.

Resolucao:

Encontraremos e representaremos a bola aberta, de centro no ponto a e raio r.

Os casos da bola fechada e da esfera ser~ao deixados como exerc��cio para o leitor.

Notemos que, de (2.115), g ∈ B(fo ; r) se, e somente se,

d(fo , g) < r

que, de (2.70), �e o mesmo que: supx∈[a ,b]

|fo(x) − g(x)| < r

ou seja, |fo(x) − g(x)| < r , para todo x ∈ [a, b]

ou ainda, fo(x) − r < g(x) < fo(x) + r , para cada x ∈ [a , b] ,

(2.128)

logo

B(fo ; r) = {g ∈ B([a, , b] ; R) ; fo(x) − r < g(x) < fo(x) + r , para cada x ∈ [a , b]} .

(2.129)

Geometricamente podemos interpretar o conjunto acima da seguinte forma:

Encontremos a representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co da fun�c~ao fo, isto �e, do conjunto

G(f).= {(x , f(x)) ; x ∈ [a , b]} .

Com isto podemos considerar a faixa de amplitude 2 r em torno do gr�a�co da

fun�c~ao fo, que indicaremos por F2 r(fo) isto �e, o conjunto

F2 r(fo).= {(x , y) ∈ R2 ; fo(x) − r < y < fo(x) + r , para cada x ∈ [a , b]} .

A representa�c~ao geom�etrica do conjunto acima �e dada pela �gura abaixo.


6

-

G(fo)

fo(x)

x

?

6

6

?

r

r

F2r(fo)

�

Deste modo, de (2.128), teremos que g ∈ B(fo ; r) se, e somente se, a representa�c~ao

geom�etrica do gr�a�co da fun�c~ao g estiver contida na faixa de amplitude 2 r em torno

do gr�a�co da fun�c~ao fo, isto �e,

G(g) ⊆ F2 r(fo) .

Portanto, a representa�c~ao geom�etrica do conjunto B(fo ; r) ser�a dada pela �gura

abaixo.

6

-

G(f)

f(x)

x

?

6

6

?

r

r

G(g)

�

Observacao 2.2.3 Notemos que, no Exemplo 2.2.5 acima, pode ocorrer de

G(g) ⊆ F2 r(fo) e d(f , g) = r .

Para ver isto basta considerar as fun�c~oes f , g : [0 , 1] → R dadas por

f(x).= 0 , para x ∈ [0 , 1] e g(x)

.=

{x , para x ∈ [0 , 1)

0 , para x = 1(2.130)

Neste caso, temso

d(f , g)(2.70)= sup

x∈[0 ,1]|f(x) − g(x)|

(2.130)= 1 ,


ou seja, g ∈ B(fo ; 1).

Por�em o conjunto G(g) est�a contido no conjunto F2(fo)

A �gura abaixo ilustra a situa�c~ao acima.

-

6

G(f)

G(g)

F2r(f)

)

Temos tamb�em o:

Exemplo 2.2.6 Consideremos o espa�co m�etrico(R2 , d

), onde a m�etrica d �e a

usual (ou seja, dada por (2.13)) e o conjunto

M.=

{z = (x , y) ∈ R2 ; ∥z ∥ ≤ 1

}(2.131)

subespa�co m�etrico o espa�co m�etrico(R2 , d

)(ou seja, a bola fechada, de centro na

origem O = (0 , 0) e raio 1, em(R2 , d

)).


de centro no ponto O e raio r, ou seja,

M = B[O ; 1

]. (2.132)

Resolucao:

Notemos que, da Proposi�c~ao 2.2.2, teremos:

1. para r ∈ (1 ,∞), segue que:

BM

(0 ; r

)(2.124)= B

(0 ; r

)∩M

(2.132)= B

(0 ; r

)∩ B

[0 ; 1

]r>1= B

[0 ; 1

](2.132)= M, (2.133)


2. para r ∈ (0 , 1), segue que:

BM

(0 ; r

)(2.124)= B

(0 ; r

)∩M

(2.132)= B

(0 ; r

)∩ B

[0 ; 1

]0<r<1= B

(0 ; r

).

Por outro lado, da Proposi�c~ao (2.2.2), teremos:

1. para r ∈ [1 ,∞), segues que:

BM

[0 ; r

](2.125)= B

[0 ; r

]∩M

(2.132)= B

[0 ; r

]∩ B

[0 ; 1

]r≥1= B

[0 ; r

](2.132)= M, (2.134)


BM

[0 ; r

](2.125)= B

[0 ; r

]∩M

(2.132)= B

[0 ; r

]∩ B

[0 ; 1

]0<r<1= B

[0 ; r

].

Em particular, para r ∈ (1 ,∞), de (2.133) e (2.134), segue que

BM

(0 ; r

)= BM

[0 ; r

].

Para �nalizar, , da Proposi�c~ao (2.2.2), teremos:

1. para r ∈ [1 ,∞), segues que:

SM

(0 ; r

)(2.125)= S

(0 ; r

)∩M

(2.132)= S

(0 ; r

)∩ B

[0 ; 1

]r≥1= ∅ , (2.135)


SM

(0 ; r

)(2.125)= S

(0 ; r

)∩M

(2.132)= S

(0 ; r

)∩ B

[0 ; 1

]0<r<1= S

(0 ; r

).



Exemplo 2.2.7 Para n ∈ N, sejam (M1 , d1) , (M2 , d2) , · · · (Mn , dn) n espa�cos m�etricos

e consideremos o espa�co (M,d), onde M.= M1 × · · ·Mn e a m�etrica d e dada por

(2.113) (ou seja, a m�etrica do m�aximo).

Sejam a.= (a1 , a2 , · · · , an) ∈ M e r > 0.

Encontre a bola aberta e bola fechada, de centro no ponto a e raio r

Resolucao:

Notemos que:

B(a ; r)(2.115)= {x ∈ M ; d(x , a) < r}

(2.113)= {(x1 , x2 , · · · , xn) ∈ M1 × · · · ×Mn ; max

i∈{1 ,2 ,··· ,n}di(xi , ai) < r}

= {(x1 , x2 , · · · , xn) ∈ M1 × · · · ×Mn ; di(xi , ai) < r , para cada i ∈ {1 , 2 , · · · , n}}= {x1 ∈ M1 ; d1(x1 , a1) < r}× · · · × {xn ∈ Mn ; dn(xn , an) < r}

= BM1(a1 ; r)× BM2

(a2 ; r)× · · · × BMn(an ; r )

De modo semelhante temos que:

B[a ; r] = BM1[a1 ; r]× · · · × BMn

[an ; r]


�

Observacao 2.2.4

1. Acabamos de mostrar que a bola aberta (ou fechada), no produto cartesiano

de espa�cos m�etricos, munido da m�etrica do m�aximo, ser�a igual ao produto

cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada um dos fatores do produto

cartesiano dos espa�cos m�etricos.

2. Se no Exemplo 2.2.7 acima mudarmos a m�etrica do m�aximo pela m�etrica

produto ou pela m�etrica da soma (ou seja, as m�etricas dadas por (2.111) ou

(2.112),) teremos que uma bola aberta (ou fechada) no produto cartesiano

pode nao ser o produto cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada

um dos fatores do produto cartesiano dos espa�cos m�etricos.

Como exerc��cio para o leitor deixaremos que o mesmo encontre um contra-

exemplo para a situa�c~ao acima no espa�co m�etrico (R2 , d), ou a m�etrica d �e

a usual (ou seja, dada por (2.111) ou (2.113), com n = 2).


3. Se considerarmos o conjunto(R3 , d

), como sendo o produto cartesiano dos

espa�cos m�etricos(R2 , dR2

)e (R , dR) munidos das correspondentes m�etricas

euclieanas (ou seja, dR2 e dR s~ao dadas por (2.111), com n = 2 e n = 1,

respectivamente) e tormarmos no conjunto R3 = R2 × R, a m�etrica d : R3 ×R3 → R dada por:

d[(x , t) , (x ′ , t ′)].= max {dR2(x , x ′), dR(t , t

′)} , (2.136)

onde

(x , t) , (x ′ , t ′) ∈ R2 × R ,

ent~ao uma bola aberta (respectivamente, fechada), de centro no ponto a ∈ R3

e raio r > 0, ou seja B(a ; r) (respectivamente, B[a ; r]) no espa�co m�etrido(R3 , d

), onde a m�etrica d, ser�a a regi~ao interior de um tronco cilindro cir-

cular reto, que tem o eixo Oz como eixo revolu�c~ao, raio da base r) e altura

igual a 2 r.


A �gura abaixo �e a representa�c~ao geom�etrica da situa�c~ao acima.

6

B(0; r)

6

?6

?

1

r

r

r

-

=

Temos a:

Definicao 2.2.2 Seja (M,d) um espa�co m�etrico.

Diremos que um ponto a ∈ M �e um ponto isolado de (M,d), se podemos

encontrar uma bola aberta em (M,d), que contenha somente o ponto a, isto �e,

existe r > 0, tal que

B(a ; r) = {a} . (2.137)

Observacao 2.2.5


1. Um ponto a ∈ M �e ponto isolado de (M,d), se existe r > 0, de modo que

nao existem pontos, diferentes do ponto a, a uma distancia menor que r, do

ponto a.

2. Um ponto a ∈ M nao �e um ponto isolado de (M,d) se toda bola aberta,

centrada no ponto a, cont�em, pelo menos, um ponto do conjunto M, diferente

do ponto a, isto �e, para todo r > 0 temos

[B(a ; r) ∩M] \ {a} = ∅ . (2.138)

Apliquemos os conceitos acima ao:

Exemplo 2.2.8 Consideremos o espa�co m�etrico (Z , d), onde Z �e o conjunto for-

mado por todos os n�umeros reais inteiros e a m�etrica d �e a m�etrica usual de (R , d)

(dada por (2.111) com n = 1) induzida de (R , d).

Mostre que todo ponto do conjunto Z �e um ponto isolado do espa�co m�etrico

(Z , d).

Resolucao:

De fato, notemos que se n ∈ Z e r ∈ (0 , 1), teremos que

BZ(n ; r) ∩ Z = {n} ,

pois

B(n ; r)(2.120)= {x ∈ R ; |x− n| < r ≤ 1} = (n− r , n+ r)

0<r≤1

⊆ (n− 1 , n+ 1) . (2.139)

Logo, se r ∈ (0 , 1) temos que

BZ(n ; r)(2.124)= B(n ; r) ∩ Z

(2.139)= (n− 1 , n+ 1) ∩ Z ,

= {n} , (2.140)

ou seja, n~ao existe nenhum natural, diferente de n, no intervalo (n−1 , n+1), mostrando

que todo n ∈ Z �e ponto isolado do esp�cao m�etrico (Z , d).


-n − 1 n + 1n



Exemplo 2.2.9 Consideremos o espa�co m�etrico(P , d

), onde

P.=

{0 , 1 ,

1

2,1

3, · · · , 1

n, · · ·

}, (2.141)

munido da m�etrica d, dada por (2.111) (com n = 1), induzida de (R , d).

Mostre que o ponto O ∈ P �e o �unico que n~ao �e ponto isolado do espa�co m�etrico(P , d

).

Resolucao:

A�rmamos que o ponto 0 n~ao �e ponto isolado do espa�co m�etrico(P , d

).

De fato, dado r > 0, podemos encontrar no ∈ N, de modo que

no >1

r. (2.142)

d

(1

no

, 0

)(2.111) com n=1

=

∣∣∣∣ 1no

− 0

∣∣∣∣=

1

no

(2.142)< r ,

isto �e,1

no

∈ [B(0 ; r) ∩ P] \ {0} = BP(0 ; , r) \ {0} ,

ou seja, o ponto 0 n~ao �e ponto isolado do espa�co m�etrico(P , d

).

A�rmamos que, qualquer outro ponto do conjunto P \ {0} �e um ponto isolado. do

espa�co m�etrico(P , d

).

De fato, se1

n∈ P ,

notemos que o ponto mais pr�oximo dele, no espa�co m�etrico(P , d

), �e o ponto

1

n+ 1.

A �gura abaixo ilustra a sistua�c~ao acima.

-0 1

1n−1

1n

1n+1

Observemos que a distancia entre o ponto1

n+ 1e o ponto distancia a

1

n, no espa�co

m�etrico(P , d

), �e dada por:

d

(1

n,

1

n+ 1

)(2.111), com n=1

=

∣∣∣∣ 1n −1

n+ 1

∣∣∣∣=

∣∣∣∣(n+ 1) − n

n(n+ 1)

∣∣∣∣=

1

n (n+ 1). (2.143)


Se tomarmos

0 < r <1

n(n+ 1), (2.144)

segue, de (2.143) e (2.144), que para

x ∈ P , com d

(x ,

1

n

)< r <

1

n (n+ 1),

deveremos ter

x =1

n, ou seja,

[B

(1

n; r

)∩ P

]\

{1

n

}= ∅ ,

mostrando que o ponto1

n�e um ponto isolado do espa�co m�etrico

(P , d

), para cada

n ∈ N, completando a resolu�c~ao.

�

Observacao 2.2.6 Se no conjunto

P.=

{1 ,

1

2,1

3, · · · , 1

n, · · ·

}, (2.145)

considerarmos a m�etrica d (dada por (2.111), com n = 1) induzida do espa�co

m�etrico (R , d) ent~ao, do Exemplo 2.2.9 acima, segue que todo ponto do conjunto

P �e um ponto isolado do espa�co m�etrico (P , d).

Temos o:

Exemplo 2.2.10 Seja (E , ∥ · ∥) um espa�co vetorial normado, com E ={O}.

Mostre que nenhum ponto do conjunto E �e um ponto isolado do espa�co m�etrico

(E , d), onde d �e a m�etrica induzida pela norma ∥ · ∥ (ou seja, dada por (2.1.9) -

veja o Exemplo 2.1.9).

Resolucao:

De fato, dado a ∈ E, para cada r > 0, mostremos que

B(a ; r) \ {a} = ∅ .

Para mostrar isso, consideremos y ∈ E, tal que y = 0.

Notemos que o vetor

z.=

r

2 ∥y∥· y (2.146)

�e um vetor diferente do vetor O e

∥z∥ (2.146)=

∥∥∥∥ r

2 ∥y∥· y∥∥∥∥

(2)=

r

2 ∥y∥∥y∥

=r

2,

logo: 0 < ∥z∥ < r . (2.147)


Seja

x.= a+ z . (2.148)

Ent~ao

x = a ,

pois z = 0e

∥x− a∥ (2.148)= ∥z∥

(2.147)< r,

ou seja,

x ∈ B(a ; r) e x = a ,

mostrando que

x ∈ B(a ; r) \ {a},

isto �e,

B(a ; r) \ {a} = ∅.Portanto o ponto x do conjunto E, n~ao �e ponto isoldado do espa�co m�etrico (E , d).

A situa�c~ao acima pode ser descrita geometricamente pela �gura abaixo.

~

ar

*y

>x

.= a + r

2∥y∥ y

�Podemos agora introduzir a:

Definicao 2.2.3 Diremos que um espa�co m�etrico (M,d) �e discreto se todo ponto

do conjunto M �e um ponto isolado do espa�co m�etrico (M,d).

Exemplo 2.2.11 O Exemplo 2.2.8 mostra que o espa�co m�etrico (Z , d), onde d �e

a m�etrica dada por (2.111) (com n = 1), induzida do espa�co m�etrico (R , d), �e um

espa�co m�etrico discreto.

Exemplo 2.2.12 A Observa�c~ao 2.2.6 garante que o conjunto

P.=

{1 ,

1

2,1

3, · · · , 1

n, · · ·

},

quando munido da m�etrica d, dada por (2.111) (com n = 1), induzida do espa�co

m�etrico (R , d), �e um espa�co m�etrico discreto.


Temos tamb�em o:

Exemplo 2.2.13 Seja (M,d) um espa�co m�etrico, onde e d �e a m�etrica zero-um .

A�rmamos que (M,d) �e um espa�co m�etrico discreto.

Resolucao:

De fato,, pois se a ∈ M, ent~ao para r ∈ (0 1), do Exemplo (2.2.2), segue que

B(a ; r) = {a} ,

ou seja todo ponto do conjunto M �e ponto isolado do espa�co m�etrico (M,d), portanto

(M,d) �e um espa�co m�etrico discreto.


Definicao 2.2.4 Seja (M,dM) um espa�co m�etrico.

Diremos que um subconjunto X ⊆ M �e discreto em (M,dM), se o espa�co

m�etrico (X , dM) �e um espa�co m�etrico discreto.

Observacao 2.2.7 Da Proposi�c~ao 2.2.1 (ou de (2.124)) e da De�ni�c~ao acima segue

que um conjunto X �e discreto em (M,dM) se, e somente se, para cada x ∈ X, existe

r > 0 tal que

B(x ; r) ∩ X = {x} .

Apliquemos as ideias acima ao:

Exemplo 2.2.14 Seja (M,d) um espa�co m�etrico e X um subconjunto formado por

um �nito de pontos M.

Mostre que o conjunto X �e um subconjunto discreto de (M,d).

Resolucao:


�Para �nalizar esta se�c~ao, temos a:

Proposicao 2.2.3 Sejam (M,d) espa�co m�etrico, a , b ∈ M, com a = b.

Consideremos r , s > 0 tais que

r+ s ≤ d(a , b) . (2.149)

Ent~ao as bolas abertas B(a ; r) e B(b ; s) s~ao disjuntas , isto �e,

B(a ; r) ∩ B(b ; s) = ∅ . (2.150)



ab

- �r

s

-�d(a, b) > r + s

Demonstracao:

Suponhamos, por absurdo, que existe

x ∈ B(a ; r) ∩ B(b ; s) ,

ou seja, d(a , x) < r e d(b , x) < s . (2.151)

Portanto

d(a , b)(??)

≤ d(a , x) + d(x , b)

(2.151)

≤ r+ s

(2.149)

≤ d(a , b) ,

ou seja, d(a , b) < d(a , b) ,

o que �e um absurdo.

Portanto deveremos ter

B(a ; r) ∩ B(b ; s) = ∅ ,

como quer��amos mostrar.

�De modo semelhante temos a:

Proposicao 2.2.4 Na situa�c~ao da Proposi�c~ao (2.2.3) acima, se

r+ s < d(a , b) , (2.152)

ent~ao as bolas fechadas B[a ; r] e B[b ; s] s~ao disjuntas , isto �e,

B[a ; r] ∩ B[b ; s] = ∅ . (2.153)

Resolucao:

Suponhamos, por absurdo, que existe

x ∈ B[a ; r] ∩ B[b ; s] ,

ou seja, d(a , x) ≤ r e d(b , x) ≤ s . (2.154)


Portanto

d(a , b)(??)

≤ d(a , x) + d(x , b)

(2.154)

≤ r+ s

(2.152)

≤ d(a , b) ,

ou seja, d(a , b) < d(a , b) ,

o que �e um absurdo.

Portando deveremos ter

B[a ; r] ∩ B[b ; s] = ∅ ,


�

2.3 Subconjuntos limitados de um espacos metricos

Iniciaremos com a:

Definicao 2.3.1 Seja (M,d) um espa�co m�etrico.

Diremos que um subconjunto X ⊆ M, n~ao vazio, �e limitado em (M,d), se

podemos encontrar c > 0 de modo que

d(x , y) ≤ c , para todo x , y ∈ X . (2.155)

Observacao 2.3.1 Se X ⊆ M, �e um conjunto limitado em (M,d), ent~ao podemos

considerar o conjunto

D.= {a ∈ R ; d(x , y) ≤ a , para todo x , y ∈ X} ⊆ R . (2.156)

Como o conjunto X �e limitado em (M,d), segue que o conjunto D �e n~ao vazio

e limitado superiormente, ou seja, podemos encontrar c ∈ R, de modo que

c ∈ D .

Como todo subconjunto limitado superiormente em R, admite supremo segue

que existe

supD ∈ [0 ,∞) .

Logo podemos introduzir a:

Definicao 2.3.2 Na situa�c~ao acima, supD ser�a denominado diametro do con-

junto X, em (M,d) e indicado por diam(X), ou seja,

diam(X).= sup{a ∈ R ; d(x , y) ≤ a , para todo x , y ∈ X} . (2.157)

2.3. CONJUNTOS LIMITADOS 67

Observacao 2.3.2

1. Se X = ∅ segue que

diam(X) = 0 .

2. Se X ⊆ M n~ao for limitado em (Md), escreveremos

diam(X) = ∞. (2.158)

Isto signi�ca que para todo c > 0, podemos encontrar xc , yc ∈ X, de modo que

d(xc, yc) > c .

3. Se X ⊆ M for limitado em (M,d) ent~ao, de (2.157), segue que

d(x , y) ≤ diam(X) , para todo x , y ∈ X . (2.159)

4. Notemos que se X ⊆ M for limitado em (M,d) e Y ⊆ X, ent~ao Y ⊆ M �e

limitado em (M,d) e

diam(Y) ≤ diam(X) . (2.160)


Consideremos alguns exemplos relacionados com os conceitos introduzidos acima.

Exemplo 2.3.1 Sejam (M,d) um espa�co m�etrico.

Ent~ao toda bola aberta (ou fechada; ou esfera) �e subconjunto limitado em

(M,d) e seu diametro �e menor ou igual ao dobro do raio da bola aberta (ou

fechada; ou esfera) .

Resolucao:

Faremos a demonstra�c~ao para o caso da bola aberta.

Os outros casos s~ao semelhante e ser~ao deixados como exerc��cio para o leitor

Sejam a ∈ M e r > 0.

Se x , y ∈ B(a ; r) ent~ao

d(x , y) ≤ d(x, a) + d(a, y)

< r+ r = 2 r ,

mostrando que o B(a ; r) ⊆ M �e um subconjunto limitado em (M,d).

Al�em disso, segue que 2 r �e um limitante superior do conjunto

{a ∈ R ; d(x , y) ≤ a , para todo x , y ∈ B(a ; r)} .

Portanto

diam[B(a ; r)] ≤ 2 r ,

como a�rmamos acima.

�


Observacao 2.3.3 Em geral, nao podemos garantir que o diametro da bola aberta

(ou fechada, ou esfera) seja igual ao dobro do seu raio, como mostra o seguinte

exemplo:

Consideremos em Z, a m�etrica usual induzida de R (ou seja, a m�etrica (2.12)),

r = 1 e n ∈ Z.Como vimos no Exemplo (2.2.8),

B(n ; 1) = {n} ,

ou seja, cujo diametro �e zero (que �e menor que 2, que �e o dobro do raio, que �e

igual a 1).

Logo, neste caso, temos que

diam[B(n ; 1)] < 2 .

Quando vale a igualdade?

O exemplo a seguir responde esta quest~ao:

Exemplo 2.3.2 Seja (E ,+ , ·) um espa�co vetorial munido de uma norma, indicada

por ∥ · ∥, tal queE =

{O}

.

A�rmamos que toda bola aberta (ou fechada, ou esfera) tem diametro igual ao

dobro do raio da mesma, ou seja:

diam[B(a ; r)] = diam[B[a ; r]] = diam[S(a ; r)] = 2 r . (2.161)

Resolucao:

Faremos a demonstra�c~ao para a bola aberta.

Os outros casos s~ao semelhantes e ser~ao deixados como exerc��cio para o leitor.

Sejam a ∈ E e r > 0.

Sabemos que B (a ; r) �e um subconjunto limitado no esp�cao m�etrico (E , d), onde a

m�etrica d �e dada por (2.84).

Al�em disso, se

x , y ∈ B(a ; r) , (2.162)

teremos:

d(x , y)(??)

≤ d(x , a) + d(a , y)

(2.162)

≤ r+ r = 2 r ,

ou seja, diam[B(a ; r)] ≤ 2 r . (2.163)

Mostremos que se

s ∈ (0 , 2 r)


ent~ao s n~ao poder�a ser limitante superior do conjunto (2.156), relativamente a X.=

B(a ; r), ou seja, podemos encontrar

x1 , y1 ∈ B(a ; r) , tal que d(x1 , y1) > s .

Consideremos y ∈ E, tal que y = 0 e seja t ∈ R tal que

t ∈(s2, r)⊆ (0 ,∞) . (2.164)

Observemos que o vetor

x.=

t

∥y∥· y ∈ E (2.165)

tem a seguinte propriedade:

∥x∥ (2.165)=

∥∥∥∥ t

∥y∥· y∥∥∥∥

(2.74)= |t|︸︷︷︸

(2.164)= t

∥y∥∥y∥︸︷︷︸=1

= t ,

ou seja, ∥x∥ = t(2.164)= r . (2.166)

A�rmamos que

x1.= a+ x , y1

.= a− x ∈ B (a ; r) . (2.167)

De fato,

d(x1 , a)(2.166)= d(a+ x , a)

(2.84)= ∥(a+ x) − a∥

= ∥x∥(2.84)< r ,

De modo semelhante podemos mnostrar que

d(y1 , a) < r .


Para �nalizar, notemos que

d (x1 , y1) =(2.166)= d (a+ x , a− x)

(2.84)= ∥(a+ x) − (a− x)∥

= ∥2 · x∥(2.74)= 2 ∥x∥

(2.166)= 2 t

(2.164)> s ,


ou seja,

d (x1 , y1) > s ,

com x1 , y1 ∈ B(a ; r).

Logo s ∈ (0 , 2 r) n~ao pode ser o diametro da bola aberta B(a ; r), completando a

demonsta�cao da a�rma�c~ao.

A �gura abaixo ilustra geometricamente a situa�c~ao descrita acima.

a

Kr

�y = O

�

x1 = a + t · y∥y∥

y1 = a − t · y∥y∥

�Observacao 2.3.4

1. Dado um espa�co m�etrico qualquer (mesmo sendo n~ao limitado), podemos

considerar subespa�cos (m�etricos) do mesmo que sejam limitados.

Basta considerarmos os subconjunto limitados do mesmo e colocar a m�etrica

induzida do espa�co m�etrico dado, neste subconjunto.

2. Seja (E ,+ , ·) um espa�co vetorial, munido de uma norma, que indicaremos

por ∥ · ∥, tal que E = {O}.

Ent~ao o espa�co m�etrico (E , d), onde a m�etrica d �e dada por (2.84), n~ao �e

limitado.

De fato, dado x ∈ E, com x = 0, para cada c > 0 podemos considerar o vetor

do espa�co vetorial real (E ,+ , ·), de�nido por

xc.=

2 c

∥x∥· x . (2.168)

Observemos que

∥xc∥(2.168)=

∥∥∥∥ 2 c

∥x∥· x∥∥∥∥

(2.74)= 2 c

∥x∥∥x∥︸︷︷︸=1

= 2 c . (2.169)


Logo

d(xc , O

)(2.84)=∥∥∥xc − O

∥∥∥= ∥xc∥

(2.169)> c ,

mostrando que o espa�co nm�etrico (E , d) n~ao �e limitado.

3. Seja (M,d) um espa�co m�etrico.

Vale observar que um subconjunto X ⊆ M, n~ao vazio, �e limitado em (M,d)

se, e somente se, o conjunto X est�a contido em alguma bola aberta em (M,d),

isto �e, existe a ∈ M e r > 0 tal que

X ⊆ B(a ; r) .

De fato, se existe a ∈ M e r > 0 s~ao tais que

X ⊆ B(a ; r) , (2.170)

ent~ao para todo x , y ∈ X, temos que

d(x , y)(??)

≤ d(x , a) + d(a , y)

(2.170)< r+ r = 2 r ,

ou seja, X �e limitado em (M,d).

Al�em disso, o diamentro do conjunto X �e menor ou igual a 2 r.

Reciprocamente, se o conjunto X �e limitado em (M,d), segue que existe c > 0

tal que

d(x , y) ≤ c , para todo x , y ∈ X . (2.171)

Consideremos xo ∈ X.

De (2.171), segue que

d(x , xo) ≤ c , para todo x ∈ X , (2.172)

assim teremos que X ⊆ B(xo ; r), ou seja, o conjunto X est�a contido em uma

bola aberta de (M,d), como quer��amos mostrar.

Podemos agora enunciar e demonstrar a

Proposicao 2.3.1 Sejam (M,d) espa�co m�etrico e X , Y ⊆ M subconjuntos limitados

em (M,d).

Ent~ao os conjuntos X ∪ Y e X ∩ Y s~ao subconjuntos limitados em (M,d).

Al�em disso, temos:

diam (X ∩ Y) ≤ min{diam(X) , diam(Y)} . (2.173)


Demonstracao:

Observemos que

X ∩ Y ⊆ X , Y

e como o conjunto X �e limitado em (M,d) segue, do item 4. da Observa�c~ao (2.3.2) ,

que o conjunto X ∩ Y tamb�em ser�a limitado em (M,d) e, de (2.160), teremos

diam (X ∪ Y) ≤ diam(X) , diam(Y)

ou seja, vale (2.173).

Notemos que, se

X = ∅ ou Y = ∅ ,

segue que

X ∪ Y = Y ou X ∪ Y = X ,

respectivamente, implicando que o conjunto X ∪ Y �e limitado em (M,d) e vale a (??),

pois diam(X) = 0 ou diam(Y) = 0, respectivamente.

Logo podemos supor, sem perda de generalidade, que X , Y = ∅.Por outro lado, se X , Y = ∅, como ambos s~ao limitados em (M,d), do item 3. da

Observa�c~ao 2.3.4, segue que existem r , s > 0 e a , b ∈ M tais que

X ⊆ B(a ; r) e Y ⊆ B(b ; r)

ou seja,

d(x1 , x2) ≤ 2 r e d(y1 , y2) ≤ 2 s , (2.174)

para todo x1 , x2 ∈ X e y1 , y2 ∈ Y.

Podemos supor, sem perdade de generalidade, que

r < s .

Com isto, de (2.174), teremos

d(x1 , x2) ≤ 2 s e d(y1 , y2) ≤ 2 s (2.175)

para todo x1 , x2 ∈ X e y1 , y2 ∈ Y.

Consideremos

k.= 2 s+ d(a , b) ≥ 2 s > 0 . (2.176)

Notemos que, se x ∈ X e y ∈ Y, segue que

d(x , y)(??)

≤ d(x , a) + d(a , b) + d(b , y)

(2.175)

≤ s+ d(a , b) + s

(2.176)= k . (2.177)


Portanto se x , y ∈ X ∪ Y, teremos que:

Se x , y ∈ X , segue que: d(x , y)(2.175)

≤ 2 s(2.176)

≤ k

Se x , y ∈ X , segue que: d(x , y)(2.175)

≤ 2 s(2.176)

≤ k

Se x ∈ X e y ∈ Y , segue que: d(x , y)(2.178)

≤ k,

ou seja,

d(x , y) ≤ k , para todo x , y ∈ X ∪ Y ,

mostrando que o conjunto X ∪ Y �e limitado em (M,d).

�Como conseq�uencia temos o:

Corolario 2.3.1 Sejam (M,d) espa�co m�etrico e X1 , X2 , · · · , Xn ⊆ M limitados em

(M,d).

Ent~ao os conjunto X1∪X2∪· · ·∪Xn e X1∩X2∩· · ·∩Xn s~ao subconjuntos limitados

em (M,d).

Al�em disso, temos:

diam (X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn) ≤ min{diam(X1) , diam(X2) , · · · , diam(Xn)} . (2.178)

Demonstracao:

A demonstra�c~ao segue de indu�c~ao matem�atica e da Proposi�c~ao 2.3.1 acima.

Sua elabora�c~ao ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.

�Como outra conseq�uencia temos o

Corolario 2.3.2 Seja (M,d) espa�co m�etrico.

Ent~ao subconjunto X �nito de M �e limitado em (M,d).

Demonstracao:

Basta observar que se X �e um subconjunto �nito de M ele ser�a uma reuni~ao �nita

de subconjuntos formados por cada um dos seus pontos.

Como o conjunto formado por um ponto �e limitado em (M,d) segue, do Corol�ario

2.3.1 acima, que o conjunto X ser�a um subconjunto limitado em (M,d), completando

a demonstra�c~ao.

�

Notacao 2.3.1 Dada uma fun�c~ao f : X → Y denoteremos o conjunto imagem as-

sociado a fun�c~ao f, indicado por f(X), e dado por

f(X).= {f(x) ; x ∈ X} ⊆ Y . (2.179)



Definicao 2.3.3 Sejam (M,d) espa�co m�etrico e X um subconjunto n~ao vazio.

Diremos que uma fun�c~ao f : X → M �e limitada se seu conjunto imagem, isto �e

conjunto f(X) ⊆ M, for um subconjunto limitado em (M,d).

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 2.3.3 Sejam (R , d) com a m�etrica usual (ou seja, a m�etrica dada por

(2.13), com n = 1) e f : R → R a fun�c~ao dada por:

f(x).=

1

1+ x2, para cada x ∈ R . (2.180)

Mostre que a fun�c~ao f �e limitada.

Resolucao:

Observemos que

|f(x)|(2.180)=

∣∣∣∣ 1

1+ x2

∣∣∣∣=

1

1+ x2

x2+1≥1

≤ 1 , para cada x ∈ R . (2.181)

Logo, da De�ni�c~ao 2.3.3 , segue que a fun�c~ao f �e uma fun�c~ao limitada.

Notemos que, neste caso, temos

f(R) = (0 , 1] .


A �gura abaixo nos fornece a representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co da fun�c~ao f.

-

6

G(f)

1

�


Exemplo 2.3.4 Consideremos o espa�co m�etrico (R , d) como no Exemplo 2.3.3.

Consideremos a fun�c~ao g : R → R, dada por

g(x).= x2 , para cada x ∈ R . (2.182)

A�rmamos que a fun�c~ao g n~ao �e limitada.

Resolucao:

Notemos que

g(R) = [0 ,∞) .


Como o conjunto [0 ,∞) n~ao �e um subconjunto limitado de (R , d), segue que a

fun�c~ao g n~ao ser�a limitada.

A �gura abaixo nos nos fornece a representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co da fun�c~ao g.

-

6

G(g)

�Um outro exemplo importante �e:

Exemplo 2.3.5 Seja d∥·∥ : E× E → R uma m�etrica de�nida no espa�co vetorial real

(E ,+ , ·), que prov�em de uma norma ∥ · ∥, que est�a de�nida no espa�co vetorial real

(E ,+ , ·), ent~ao a fun�c~ao d n~ao �e uma fun�c~ao limitada.

Resolucao:

Do item 2. da Observa�c~ao 2.3.4, temos que o conjunto E n~ao �e limitado em (E , d∥·∥).

Logo

d∥·∥ (E× E) = [0 ,∞) ⊆ R

n~ao poder�a ser um subconjunto limitado, ou seja, a fun�c~ao d∥·∥ n~ao ser�a uma fun�c~ao

limitada.

�Podemos agora generalizar o exemplo (2.1.5) por meio do


Exemplo 2.3.6 Sejam X um conjunto n~ao vazio e (M,dM) um espa�co m�etrico.

Indiquermos por B(X ; M) o conjunto de todas as fun�c~oes limitadas, de�nidas

em X e tomando valores em M, isto �e,

B(X ; M).= {f : X → M ; f �e uma fun�c~ao limitada } . (2.183)

Dadas f , g ∈ B(X ; M) temos que o conjunto

{dM(f(x) , g(x)) ; x ∈ X}

�e limitado em R.

Resolucao:

De fato, como as fun�c~oes f e g s~ao limitadas segue, de De�ni�c~ao 2.3.3, que os con-

juntos f(X) e g(X) s~ao subconjuntos limitados em (M,d).

Logo, da Proposi�c~ao 2.3.1, temos que o conjunto f(X) ∪ g(X) ser�a um subconjunto

limitado em (M,d), ou seja, o conjunto

{dM(f(x) , g(x)) ; x ∈ X} (2.184)

�e limitado em (R , d)

�

Observacao 2.3.5

1. Notemos que, an situa�c~ao acima, o conjunto (2.184) admite supremo em R.

Portanto, dadas f, g ∈ B(X ; M), podemos de�nir a fun�c~ao d : B(X ; M) ×B(X ; M) → R, dada por

d(f , g).= sup

x∈X{dM(f(x) , g(x))} . (2.185)

Pode-se mostrar que a fun�c~ao d �e uma m�etrica em B(X ; M) que ser�a deno-

minada metrica da convergencia uniforme ou metrica do sup.


2. Consideremos o conjunto F(X ; M) formado por todas as fun�c~oes de�nidas

em X e tomando valores em M.

Neste caso, a m�etrica do sup, dada por (2.185), pode n~ao fazer sentido em

F(X ; M), pois existem fun�c~oes f , g : X → M, tais que o conjunto

{dM(f(x) , g(x)) ; x ∈ X}

n~ao �e limitado em R logo, neste caso, n~ao poderemos considerar o supremo

desse conjunto (2.184).

Para mais detalhes ver [1], p�agina 15.

2.4. DISTANCIA DE UM PONTO A UM CONJUNTO 77

3. Seja (E , ∥·∥) �e um espa�co vetorial real (respectivamente, complexo) normado.

Se f , g ∈ B(X ; E) e λ ∈ R (respectivamente, C) , pode-se mostrar que

(f+ g) ∈ B(X;E) e λ · f ∈ B(X ; E) ,

ou seja (B(X , ; E) ,+ , ·) tornar-se-�a um espa�co vetorial real (respectivamente,

complexo) , com as opera�c~oes usuais de soma de fun�c~oes e multiplica�c~ao de

n�umero real (respectivamente complexo) por fun�c~ao.

A veri�ca�c~ao deste dao ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.

4. Na situa�c~ao acima, a m�etrica da convergencia uniforme em B(X ; E) (ou seja,

a m�etrica dada por (2.185)) prov�em da seguinte norma do espa�co vetorial

real(respectivamente, complexo) (B(X ; E) ,+ , ·), ∥ · ∥ : B(X ; E) → R, dada por:

∥f∥ .= sup

x∈X∥f(x)∥E, f ∈ B(X ; E). (2.186)

A veri�ca�c~ao deste dao ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.

5. Notemos que, para f , g ∈ B(X , ; E), teremos:

d(f , g)(2.185)= sup{dE(f(x) , g(x)) ; x ∈ X}

(2.186)= sup

x∈X∥f(x) − g(x)∥ . (2.187)

2.4 Distancia de um ponto a um subconjunto em um

espaco metrico

Observacao 2.4.1 Como motiva�c~ao consideremos o seguinte caso:

Em um plano consideremos uma reta X e a um ponto, que n~ao pertence �a reta

X (veja a �gura abaixo).

Consideremos xo ∈ X o "p�e da reta perpendicular" �a reta X, que cont�em o

ponto a (veja a �gura abaixo).

xo

a

X


Seja

x ∈ X tal que x = xo .

Ent~ao aplicando o Teorema de Pit�agoras ao triangulo retangulo ∆axox (veja a

�gura abaixo) obtemos

[d(a , x)]2 = [d(a , xo)]2 + [d(xo , x)]

2 .

x0

a

X

x

Em particular, teremos

d(a , x) ≥ d(a , xo) ,

para todo x ∈ X, ou seja, o ponto xo �e o ponto mais pr�oximo do ponto a, que

pertence �a reta X.

Deste modo poderemos escrever

d(a , xo) = infx∈X

{d(a , x)} .

Podemos generalizar este fato, para isto observemos que se (M,dM)�e um espa�co

m�etrico, X ⊆ M n~ao vazio e a ∈ M, ent~ao o conjunto

A.= {dM(x , a) ; x ∈ X} ⊆ R

�e limitado inferiormente por 0, pois

dM(a , x) ≥ 0 , para todo x ∈ X .

Logo existe o ��n�mo do conjunto A, em R, assim podemos introduzir a:

Definicao 2.4.1 Sejam (M,dM) um espa�co m�etrico, X ⊆ M n~ao vazio e a ∈ M.

De�nimos a distancia do ponto a ao conjunto X, indicada por d(a , X), como

sendo

d(a , X).= inf{dM(a , x) ; x ∈ X} . (2.188)

Observacao 2.4.2

1. Das propriedades de ��n�mo de subconjuntos limitados inferiormente em R,segue que:


(a) para todo x ∈ X, temos que

d(a , X) ≤ d(a , x) , (2.189)

isto �e, d(a , X) �e um limitante inferior do conjunto

{d(x , a) ; x ∈ X} ⊆ R ;

(b) Se d(a , X) < c, ent~ao existe x ∈ X, tal que d(a , x) < c, isto �e, d(a , X) �e

o maior dos limitantes inferiores do conjunto

{d(x , a) ; x ∈ X} ⊆ R .

2. Observemos que se a ∈ X ent~ao

d(a , X) = 0 .

De fato, se a ∈ X, ent~ao

0 ≤ d(a , x) = infx∈X

d(a , x)a∈X= 0 .

3. Al�em disso, se X ⊆ Y, ent~ao

d(a , Y) ≤ d(a , X) ,

Lembremos que se

A ⊆ B , ent~ao inf B ≤ inf A . (2.190)

Logo, se X ⊆ Y ent~ao

{d(x , a) ; x ∈ X} ⊆ {d(y , a) ; y ∈ Y} .

Assim, de (2.190), segue que

d(a , Y) = inf{d(y , a) ; y ∈ Y}

(2.190)

≤ inf{d(x , a) ; x ∈ X}

= d(a ,X) .

4. Se

d(a , X) = 0 ,

isto nao implica, necessariamente, que a ∈ X, como vereremos em exemplos

a seguir.

O que podemos a�rmar �e que:

d(a,X) = 0

se, e somente se, dado ε > 0, podemos encontrar x ∈ X, tal que

d(a , x) < ε .


5. Vale observar que, em geral, nao podemos substituir o ��n�mo na de�ni�c~ao

acima pelo m��nimo, isto �e, pode nao existir um ponto em xo ∈ X, de tal modo

que

d(a , X) = d(a , xo) ,

como veremos em exemplos a seguir.

Consideremos alguns exemplos:

Exemplo 2.4.1 Seja (M,d) um espa�co m�etrico, a ∈ M e X.= {x1 , x2 , · · · , xn} um

subconjunto �nito de M.

Ent~ao

d(a , X) = inf1≤i≤n

{d(a, xi)}

X �e conjunto �nito= min

i∈{1 ,2 ,··· ,n}{d(a , xi)} .

a

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

Exemplo 2.4.2 Consideremos o espa�co metrico(R2 , d

), onde d �e a m�etrica usual

(ou seja, dada por (2.13), com n = 2) e S1 .=

{(x , y) ∈ R2 ; x2 + y2 = 1

}, a circun-

ferencia de centro na origem (0 , 0) e raio igula a 1.

Ent~ao, se z.= (1 , 0) ∈ S1 e O

.= (0 , 0), temos que

d(O , z) =√(1− 0)2 + (y− 0)2

= 1 ,

ou seja, d(O , S1

)≤ 1 .

Pode-se mostrar que

d(O , S1

)= 1 .

A veri�ca�c~ao deste dato ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.

A �gura abaixo ilustra da situa�c~ao acima.


-

6

x

y

z.= (x , y)

O.= (0 , 0)

d(O , z) = 1

S1

R

Observacao 2.4.3 No Exemplo 2.4.2 acima, para qualquer ponto z ∈ S1, temos

que

d(O , S1) = d(O , z) .

A veri�ca�c~ao deste dato ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.

Exemplo 2.4.3 Conisderemos o espa�co m�etrico (R , d), onde d �e a m�etrica usual

(ou seja, dada por (2.13), com n = 1) e X.= (a , b).

Ent~ao temos que

d(a , X) = d(b , X) = 0 .

Resolucao:

Deixaremos a resolu�c~ao como exerc��cio para o leitor.

�Podemos provar isto diretamente ou utilizar o seguinte resultado geral:

Proposicao 2.4.1 Sejam (E , ∥ · ∥) um espa�co vetorial normado, a ∈ E e r > 0.

Ent~ao dado b ∈ E, temos que

d(b , B(a ; r)

)= 0 se, e somente se, b ∈ B [a ; r] ,

onde a m�etrica considerada �e a que prov�em da norma ∥ · ∥, ou seja, d : E× E → Rser�a dada por

d (x , a).= ∥x− y∥ , (2.191)

onde x , y ∈ E.

Demonstracao:

Suponhamos que

b ∈ B [a ; r] , ou seja,∥∥∥b− a

∥∥∥ ≤ r .


Se tivermos

∥b− a∥ < r ,

segue que

b ∈ B(a ; r) , ou seja, d(b , B (a ; r)

)= 0 .

A�rmamos que se

∥b− a∥ = r > 0 , (2.192)

dado ε > 0, podemos encontrar x ∈ B (a ; r), de modo que

d(b , x

)< ε .

De fato, consideremos

u.=

1

r·(b− a

)∈ E . (2.193)

Notemos que

∥u∥ (2.193)=

∥∥∥∥1r ·(b− a

)∥∥∥∥(2.74)=

1

r

∥∥∥b− a∥∥∥

(2.192)=

1

rr = 1 . (2.194)

Escolhamos

t ∈ (r− ε , r) , deste modo teremos 0 < r− t < ε . (2.195)

Consideremos

x.= a+ t · u ∈ E . (2.196)

Com isto, teremos:

d (x , a)(2.191)= ∥x− a∥

(2.197)= ∥(a+ t · u) − a∥

= ∥t · u∥(2.74)= |t| ∥u∥

(2.194)= t

(2.195)= r ,

ou seja, x ∈ B (a ; r) . (2.197)


Al�em disso, temos

d(x , b

)(2.191)=

∥∥∥b− x∥∥∥

(2.197)=

∥∥∥b− (a+ t · u)∥∥∥

=∥∥∥(b− a) − t · u

∥∥∥b−a

(2.193)= r·u= ∥r · u− t · u∥

= ∥(r− t) · u∥(2.74)= |r− t| ∥u∥

(2.194)= |r− t|

(2.195)< ε .

A �gura abaixo ilustra a situa�c~ao descrita acima:

>

a

b

�ε]

r

x = a + t · u

o

Logo dado ε > 0, podemos encontrar x ∈ B (a ; r), de modo que

0 ≤ d(b , x) < ε ,

ou seja, 0 ≤ d(b , B (a ; r)

)≤ d

(b , x

)< ε ,

isto �e, 0 ≤ d(b , B (a ; r)

)= inf

{d(b , x

); x ∈ B (a ; r)

}= 0 ,

ou seja,

d(b , B (a ; r)

)= 0 .

Reciprocamente, suponhamos que

d(b , B (a ; r)

)= 0 . (2.198)

Seja p ∈ E, tal que

p ∈ B [a ; r] . (2.199)


A�rmamos que

d (p , B (a ; r)) > 0 . (2.200)

De fato, como p ∈ B [a ; r], temos que

d (p , a)(2.191)= ∥p− a∥

p ∈B[a ; r]> r ,

ou seja, ∥p− a∥ = r+ c , (2.201)

para algum c > 0.

Se x ∈ B (a ; r), teremos

∥x− a|(2.191)= d (x− a) < r (2.202)

e como

∥p− a∥(2.75)

≤ ∥p− x∥+ ∥x− a∥ ,

ou ainda ∥p− x∥ ≥ ∥p− a∥− ∥x− a∥ (2.203)

segue que

d (p , x)(2.191)= ∥p− x∥

(2.203)

≥ ∥p− a∥− ∥x− a∥(2.201)= (r+ c) − ∥x− a∥

(2.202)> (r+ c) − r

= c > 0 ,

ou seja, o n�umero real c �e um limitante inferior do subconjunto

{d (p , x) ; x ∈ B (a ; r)} ⊆ R . (2.204)

A �gura abaixo ilustra a situa�c~ao descrita acima.

a

p

Ir

x


Como d (p , B (a ; r)) �e o ��n�mo do conjunto (2.204) acima, segue que

d (p , B (a ; r)) ≥ c > 0 .

6

a

p

6

r

c

Como, por hip�otese, temos que

d(b , B (a ; r)

)= 0 ,

da a�rma�c~ao (2.200), segue que deveremos ter b ∈ B [a ; r], como quer��amos demonstrar.

�

Observacao 2.4.4 Em particular, a Proposi�c~ao (2.4.1) nos diz que podemos ter

b ∈ E, com d(b , X) = 0 e b ∈ X, como a�rmamos anteriormente.

Para tanto, no caso da Proposi�c~ao (2.4.1) acima, basta considerar b ∈ S (a ; r)

e notar que b ∈ B(a , r), apesar de termos

d(b , B(a ; , r) = 0 .

Temos tamb�em a:

Proposicao 2.4.2 Sejam (M,d) um espa�co m�etrico, a , b ∈ M e X ⊆ M n~ao vazio.

Ent~ao

|d(a , X) − d(b , X)| ≤ d(a , b) . (2.205)

Demonstracao:

A �gura abaixo ilustra o resultado acima.


X

d(a , X)

d(b , X)

d(a , b)

a

b

A desigualdade (2.205) �e equivalente a

− d(a , b) ≤ d(a , X) − d(b , X) ≤ d(a , b) . (2.206)

Observemos que para todo x ∈ X, temos que

d(a , X) ≤ d(a , x)(??)

≤ d(a , b) + d(b , x) ,

ou seja, d(a , X) − d(a , b) ≤ d(b, x) ,

ou ainda, o n�umero real

d(a , X) − d(a , b)

�e um limitante inferior do subconjunto

{d(b , x) ; x ∈ X} ⊆ R .

Da de�ni�c~ao de ��n�mo de um subconjunto limitado inferiormente em R, segue que

d(a , X) − d(a , b) ≤ d(b , X) ,

isto �e, d(a , X) − d(b , X) ≤ d(a , b) (2.207)

Observemos tamb�em que, para todo x ∈ X, temos que

d(b , X) ≤ d(b , x)(??)

≤ d(b , a) + d(a , x) ,

ou seja, d(b , X) − d(a , b) ≤ d(a , x)

ou ainda, o n�umero real

d(b , X) − d(a , b)

�e um limitante inferior do subconjunto

{d(a , x) ; x ∈ X} ⊆ R .

2.5. DISTANCIA ENTRECONJUNTOS 87

Da de�ni�c~ao de ��n�mo de um subconjunto limitado inferiormente em R, segue que

d(b , X) − d(a , b) ≤ d(a , X) ,

isto �e, d(a , X) − d(b , Y) ≥ −d(a , b) . (2.208)

Portanto, de (2.207) e (2.208), segue a desiguladade (2.206), ou seja, (2.205), con-

cluindo a demonstra�c~ao.


Corolario 2.4.1 Seja (M,d) um espa�co m�etrico e a , b , x ∈ M. Ent~ao

|d(a , x) − d(a , y)| ≤ d(a , b) . (2.209)

Demonstracao:

Basta considerar

X.= {x} ,

na Proposi�c~ao (2.4.2) acima e veri�car que

d(a , {x}) = d(a , x) .

�

2.5 Distancia entre dois subconjuntos de um espaco

metrico

Podemos introduzir a:

Definicao 2.5.1 Sejam (M,d) um espa�co m�etrico e X , Y ⊆ M n~ao vazios.

De�nimos a distancia entre os conjuntos X e Y, indicada por d(X , Y), como

sendo

d(X , Y).= inf{d(x , y) ; x ∈ X e y ∈ Y} . (2.210)

Com siot temos o:

Exemplo 2.5.1 Consideremos o espa�co m�etrico (R , d), onde d �e a m�etrica usual

(ou seja, dada por (2.13), com n = 1),

X.= (−∞ , 0) e Y

.= (0 ,∞) .

Mostre que d(X , Y) = 0 e temos X ∩ Y = ∅.


Resolucao:

Dado ε > 0, existem x ∈ X e y ∈ Y tal que

d(x, y) < ε , ou seja, d(X , Y) = 0 .


Observemos tamb�em que

X ∩ Y = (−∞ , 0) ∩ (0 ,∞) = ∅ .

�

Observacao 2.5.1 Sejam (M,d) �e um espa�co m�etrico e X , Y ⊆ M, n~ao vazios

ent~ao:

1. Se X ∩ Y = ∅, segue que

d(X , Y) = 0 .

2. Notemos tamb�em que

d(X ,X) = 0 e d(X , Y) = d(Y , X) .

Deixaremos a veri�ca�c~ao destes fatos como exerc��cio para o leitor.

2.6 Imersoes Isometricas e Isometrias entre espacos

metricos

Come�caremos pela

Definicao 2.6.1 Sejam (M,dM) e (N ,dN) espa�cos m�etricos.

Diremos que uma fun�c~ao f : M → N �e uma imersao isometrica de (M,dM) em

(N,dN) se

dN(f(x) , f(y)) = dM(x , y) , para cada x , y ∈ M. (2.211)

Neste caso, diremos que a fun�c~ao f preserva as distancias (ou as metricas) de

(M,dM) e (N ,dN) .

Observacao 2.6.1

1. Notemos que, se a fun�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) �e uma imers~ao isom�etrica,

segue que a fun�c~ao f ser�a injetora e cont��nua em (M,dM).

De fato, se

f(x) = f(y) , (2.212)

ent~ao, dM(x , y)(2.211)= dN(f(x) , f(y))

(2.212)= 0 ,

logo, x = y ,

mostrando a fun�c~ao f �e injetora.

2.6. IMERS ~OES ISOM�ETRICA E ISOMETRIAS 89

2. Sejam (M,dM), (N,dN) e (P , dP) espa�cos m�etricos e f : M → N, g : N → P

imers~oes isom�etricas de (M,dM) em (N,dN) e de (N,dN) em (P , dP), respec-

tivamente.

A�rmamos que a fun�c~ao (g◦f) : (M,dM) → (P , dP) �e uma imers~ao isom�etrica

de (M,dM) em (P , dP).

De fato, se x , y ∈ M, segue que

dP((g ◦ f)(x) , (g ◦ f)(y)) = dP(g(f(x)) , g(f(y)))

g �e isometria= dN(f(x) , f(y))

f �e isometria]= dM(x , y) ,

mostrando que a fun�c~ao (g◦f) preserva as m�etricas de dM e dP, ou seja, ser�a

uma imers~ao isom�etrica entre os espa�cos m�etricos (M,dM) e (P , dP).

Podemos tamb�em introduzir a:

Definicao 2.6.2 Um imers~ao isom�etrica entre espa�cos m�etricos, que uma fun�c~ao

�e sobrejetora ser�a denominada isometria de (M,dM) em (N,dN).

Observacao 2.6.2

1. Notemos que, a fun�c~ao f : (M,dM) → (N ,dN) �e uma isometria se, e somente

se, a fun�c~ao f preservar as m�etricas (ou distancias) dM e dN e for uma

fun�c~ao sobrejetora.

2. Em particular se a fun�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) �e isometria segue, do item

1. da Observa�c~ao 2.6.1 que a fun�c~ao f ser�a bijetora.

Logo admitir�a fun�c~ao inversa f−1 : (N,dN) → (M,dM) e esta tamb�em �e uma

isometria. *

Em particular, a fun�c~ao f ser�a cont��nua em (M,dM) e a fun�c~ao f−1 ser�a

cont��nua em (N,dN). *

De fato pois se w , z ∈ N temos que existem x , y ∈ M tal que

z = f(x) e w = f(y) . (2.213)

Portanto, teremos:

dM

(f−1(z) , f−1(w)

) (2.213)= dM

(f−1(f(x)) , f−1(f(y))

)= dM(x , y)

(2.211)= dN(f(x) , f(y))

(2.213)= dN(z,w) ,

mostrando que a fun�c~ao f−1 preserva as m�etricas de dN e dM e como �e so-

brejetora, segue que ela ser�a uma isometria de (N,dN) em (M,dM).


3. Como conseq�uencia do item 2. da Observa�c~ao 2.6.1 e do fato que composta

de fun�c~oes sobrejetora �e uma fun�c~ao sobrejetora, segue que a composta de

isometrias tamb�em ser�a uma isometria.

4. Notemos que se f : (M,dM) → (N,dN) �e uma imers~ao isom�etrica, ent~ao

sobre a imagem de M a aplica�c~ao f ser�a uma isometria, ou seja, a aplica�c~ao

f : (M,dM) → (f(M) , dN) �e uma isometria, pois a fun�c~ao f : M → f(M) ser�a

sobrejetora e continuar�a a preservar as m�etricas dM e dN.

Podemos agoram introduzir o seguinte conceito:

Definicao 2.6.3 Diremos que os espa�cos m�etricos (M,dM) e (N,dN) s~ao isometricos,

se existir uma isometria de (M,dM) em (N ,dN) e neste caso escreveremos

M ∼ N. (2.214)

Observacao 2.6.3 Observemos que:

1. M ∼ M.

De fato, basta considerar a aplica�c~ao identidade id : (M,dM) → (M,dM),

dada por

id(x).= x , para cada x ∈ M. (2.215)

Deste modo teremos que a aplica�c~ao id ser�a sobrejetora e

dM(id(x) , id(y))(2.215)= dM(x , y) ,

para todo x , y ∈ M.

2. Se M ∼ N, ent~ao N ∼ M.

De fato, pois se existe uma isometria f : (M,dM) → (N,dN), como vimos

no item 2. da Observa�c~ao (2.6.2), existe a fun�c~ao inversa f−1 : (N,dN) →(M,dM), al�em disso, ser�a uma isometria, ou seja, N ∼ M.

3. Se M ∼ N e N ∼ P, ent~ao M ∼ P.

De fato, pois se existem isometrias f : (M,dM) → (N,dN) e g : (N ,dN) →(P , dP), como vimos no item 3. da Observa�c~ao (2.6.2), a fun�c~ao composta

(g ◦ f) : (M,dM) → (P , dP) ser�a uma isometria, ou seja, M ∼ P.

4. Os tres itens acima nos dizem que a rela�ca~o ∼, introduzida pela De�ni�c~ao

2.6.3 �e uma rela�c~ao de equivalencia no conjunto formado por todos os espa�cos

m�etricos, isto �e, a rela�c~ao ∼ satisfaz as propriedades: re exiva, sim�etrica e

transitiva .


5. Se existir uma imer~ao isom�etrica f : (M,dM) → (N,dN), ent~ao teremos que

M ∼ f(M) .

De fato pois, do item 4. da Observa�c~ao 2.6.2, a fun�c~ao f : (M,dM) →(f(M) , dN) ser�a uma isometria.

6. Sejam X um subconjunto n~ao vazio, (M,dM) um espa�co m�etrico e f : X → M

uma fun�c~ao injetora.

Nosso objetivo �e introduzir uma m�etrica em X, que indicaremos por dX, de

tal modo que a fun�c~ao f : (X , dX) → (M,dM) seja uma imers~ao isom�etrica de

(X , dX) e (M,dM).

Para isto de�namos a apli�c~ao dX : X× X → R, por

dX(x , y).= dM(f(x) , f(y)) , para cada x, y ∈ X . (2.216)

Com isto a fun�c~ao dX ser�a uma m�etrica em X.


Notemos que precisaremos utilizaar do fato que a fun�c~ao f �e injetora!

Como isto a fun�c~ao f : (X , dX) → (M,dM) tornar-se-�a uma imers~ao isom�etrica

de (X , dX) em (M,dM).

7. Na situa�c~ao acima, podemos mostrar que a m�etrica dX, em X �e a unica metrica

que torna a fun�cao f : (X , dX) → (M,dM) uma imers~ao isom�etrica de (X , dX)

em (M,dM).


Baseados nos dois �ultimos itens acima, introduziremos a:

Definicao 2.6.4 A m�etrica dX, de�nida no item 6. da Observa�c~ao 2.6.3, ser�a

denominada metrica induzida pela funcao f em X.

Observacao 2.6.4 Um caso particular da situa�c~ao acima �e a quando X ⊆ M, n~ao

vazio, onde (M,dM) �e um espa�co m�etrico.

Neste caso se considerarmos a aplicacao inclusao i : X → M, dada por

i(x).= x , para cada x ∈ X , (2.217)

�e f�acil ver que a fun�c~ao i ser�a injetora.

Logo podemos considerar em X, a m�etrica induzida pela fun�c~ao i, que ser�a

coincidir�a com a m�etrica induzida de (M,dM) em X.


De fato, pois

dX(x , y)(2.216)= dM(i(x) , i(y))

(2.217)= dM(x, y) ,

para todo x , y ∈ X.

A seguir consideraremos alguns exemplos relacionados com os conceitos introduzidos

acima.

Exemplo 2.6.1 Consideremos o espa�co m�etrico (R , dR), onde a m�etrica dR �e a

m�etrica usual (ou seja, dada por (2.13), com n = 1) e o espa�co m�etrico (Rn , dRn),

onde dRn �e uma metrica induzida por alguma norma, que indicaremos por ∥ · ∥,do espa�co vetorial real normado (Rn , ∥ · ∥) (ou seja, dada por (2.191)).

Sejam a , u ∈ Rn, tal que

∥u∥ = 1 . (2.218)

Consideremos a fun�c~ao f : R → Rn dada por

f(t).= a+ t · u , para cada t ∈ R . (2.219)

A�rmamos que a fun�cao f �e um imers~ao is�om�etrica de (R , d) em (Rn , dn).

Resolucao:

De fato, notemos que se t , s ∈ R, segue que:

dRn(f(t) , f(s))(2.191)= ∥f(t) − f(s)∥

(2.219)= ∥(a+ t · u) − (a+ s · u)∥

= ∥(t− s) · u∥(2.74)= |t− s| ∥u∥

(2.218)= |t− s|

(2.13) com n=1= dR(t , s) ,

mostrando que a fun�c~ao f, dada por (2.219) preserva as m�etricas de dR e dRn.

�

Observacao 2.6.5 Observemos que a representa�c~ao geom�etrica do conjunto f(R)ser�a uma reta, que passa pelo ponto a ∈ Rn e tem a dire�c~ao do vetor unit�ario

u ∈ Rn.

Em particular, a fun�c~ao f nao �e uma isometria de (R , dR) em (Rn , dRn), pois

n~ao �e sobrejetora.


Exemplo 2.6.2 Consideremos o espa�co m�etrico (Rn , dRn), onde dRn �e uma metrica

induzida por alguma norma, que indicaremos por ∥ · ∥, do espa�co vetorial real

normado (Rn , ∥ · ∥) (ou seja, dada por (2.191)). e a ∈ Rn.

Mostre que a fun�c~ao f : (Rn , dRn) → (Rn , dRn), dada por

f(x).= x+ a , para cada x ∈ Rn , (2.220)

�e uma isometria.

Resolucao:

De fato, para x , y ∈ Rn, segue que:

dRn(f(x) , f(y))(2.191)= ∥f(x) − f(y)∥

(2.220)= ∥(x+ a) − (y+ a)∥

= ∥x− y∥(2.191)= dRn(x, y) ,

mostrando que a fun�c~ao f preserva a distancia dRn.

Al�em disso

f(Rn) = Rn ,

pois se y ∈ Rn, considerando-se

x.= y− a , (2.221)

segue que

f(x)(2.220)= x+ a

(2.221)= (y− a) + a

= y ,

ou seja, a fun�c~ao f �e sobrejetora, ou seja, a fun�c~ao f �e uma isometria.

�

Observacao 2.6.6 Poderi�amos generalizar o Exemplo 2.6.2 acima, para a seguinte

situa�c~ao: sejam (E , ∥ · ∥) um espa�co vetorial normado, dE a metrica induzida pela

norma (ou seja, dada por (2.191)) e a ∈ Rn.

Mostre que a fun�c~ao f : (E , dE) → (E , dE), dada por

f(x).= x+ a , para cada x ∈ E , (2.222)

�e uma isometria.

A veri�ca�c~ao deste fato �e semelhante a resolu�c~ao do Exemplo 2.6.2 e ser�a

deixada como exerc��cio para o leitor.


Com isto temos a;

Definicao 2.6.5 A isometria f : (E , dE) → (E , dE), dada por (2.222), ser�a denomi-

nada translacao pelo vetor a.

Temos tamb�em o:

Exemplo 2.6.3 Consideremos o espa�co m�etrico (Rn , dRn), onde dRn �e uma metrica

induzida por alguma norma, que indicaremos por ∥ · ∥, do espa�co vetorial real

normado (Rn , ∥ · ∥) (ou seja, dada por (2.191)). e a ∈ Rn.

Mostre que a fun�c~ao f : (Rn , dRn) → (Rn , dRn), dada por

f(x).= −x , para cada x ∈ Rn , (2.223)

�e uma isometria.

Resolucao: De fato, para x , y ∈ Rn, segue que:

dRn(f(x) , f(y))(2.191)= ∥f(x) − f(y)∥

(2.223)= ∥(−x) − (−y)∥

= ∥(−1) · (x− y)∥(2.74)= |− 1| ∥x− y∥

(2.191)= dRn (x, y) ,

mostrando que a fun�c~ao f preserva a distancia dRn.

Al�em disso

f(Rn) = Rn ,

pois se y ∈ Rn, considerando-se

x.= −y , (2.224)

segue que

f(x)(2.223)= −x

(2.224)= −(y)

= y ,

ou seja, a fun�c~ao f �e sobrejetora, ou seja, a fun�c~ao f �e uma isometria.

�

Observacao 2.6.7 Poderi�amos generalizar o Exemplo 2.6.3 acima, para a seguinte

situa�c~ao: sejam (E , ∥ · ∥) um espa�co vetorial normado, dE a metrica induzida pela

norma (ou seja, dada por (2.191)) e a ∈ Rn.


Mostre que a fun�c~ao f : (E , dE) → (E , dE), dada por

f(x).= −x , para cada x ∈ E , (2.225)

�e uma isometria.

A veri�ca�c~ao deste fato �e semelhante a resolu�c~ao do Exemplo 2.6.3 e ser�a

deixada como exerc��cio para o leitor.

Com isto temos a

Definicao 2.6.6 A fun�c~ao f : (E , dE) → (E , dE), dada por (2.225), ser�a denominada

reflexao, em torno da origem de O ∈ E.

Observacao 2.6.8 Observemos que, na situa�ca~o da Observa�c~ao acima, �xados

a , b ∈ E, existe uma isometria f : (E , dE) → (E , dE) tal que

f(b)= a .

Para mostrar isto, basta considerar a transla�c~ao f : (E , dE) → (E , dE), dada por

f(x).= x+ (a− b) , para cada x ∈ E .

Temos tamb�em o:

Exemplo 2.6.4 Considermos o espa�co m�etrico (C , dC), onde C denota o conjunto

formado pelos n�umeros complexos e dC �e a munido da m�etrica induzida pelo valor

absoluto de um n�umero complexo, isto �e, se z.= a+ b i ent~ao

∥z∥ .=

√x2 + y2 . (2.226)

Sejam u ∈ C, tal que∥u∥ = 1 (2.227)

e a fun�c~ao f : C → C dada por

f(z).= u · z , para cada z ∈ C (2.228)

onde · denota a multiplica�c~ao de n�umeros complexos.

Mostre que a fun�c~ao f : (C , dC) → (C , dC) �e uma isometria.

Resolucao:


Notemos que, para z1 , z2 ∈ C, temos:

d(f(z1) , f(z2))(2.191)= ∥f(z1) − f(z2)∥

(2.226)= ∥u · z1 − u · z2∥

= ∥u · (z1 − z2)∥propriedade do m�odulo do produto em C

= ∥u∥ ∥z1 − z2∥(2.227)= ∥z1 − z2∥

(2.191)= d(z1 , z2) ,

mostrando que a fun�c~ao f : (C , dC) → (C , dC) preserva a m�etrica dC, ou seja, �e uma

imers~ao isom�etrica.

Al�em disso, se w ∈ C consideranod-se

z.=

w

u∈ C , (2.229)

segue que

f(z)(2.228)= u · z

(2.229)= u · w

u

= w ,

ou seja, a fun�c~ao f �e sobrejetora, portanto uma isometria.

�

Observacao 2.6.9 A isometria f, dada por (2.228), apresentada no Exemplo 2.6.4

acima, geometricamente, produz uma rota�c~ao (no sentido hor�ario), de um angulo

θ.=

π

2, se u = i

e

θ.= arctg

(b

a

), se u = a+ b i , para a = 0 .

A �gura baixo ilustra a situa�c~ao descrita acima.


-

6 C

z

f(z)

θ

Finalizaremos esta se�c~ao com a:

Proposicao 2.6.1 Seja (M,dM) um espa�co m�etrico limitado.

Ent~ao existe uma imers~ao isom�etrica φ : (M,dM) → (B(M ; R) , du), onde du �e

a m�etrica induzida pela norma da convergencia uniforme (dada por (2.187), com

E.= R, munido da m�etrica usual de R ou seja, dada por (2.13), com n = 1).

Demonstracao:

Consideremos a aplica�c~ao φ : M → B(M;R), dada por

φ(x).= dx , (2.230)

onde a fun�c~ao dx : M → R �e dada por

dx(y).= dM(x , y) (2.231)

ou seja, a distancia do ponto y ao ponto x.

Notemos que (M,dM) �e limitado, segue que existe K ≥ 0 tal que,

dM(x , y) ≤ K , para todo x , y ∈ M.

Donde teremos dx ∈ B(M ; R), ou seja, a fun�c~ao φ est�a bem de�nida.

Mostremos que a fun�c~ao φ preserva as m�etricas dM e du.

Para tanto, obervemos que se x , x ′ , y ∈ M, teremos:

|dx(y) − dx ′(y)|(2.231)= |d(x , y) − d(x ′ , y)|

(2.209)

≤ dM(x , x ′) , (2.232)

assim: ∥dx − dx ′∥ = supy∈M

|dx(y) − dx ′(y)|(2.232)

≤ dM(x , x ′) . (2.233)

Por outro lado,

|dx(x′) − dx ′(x ′)|

(2.231)= |dM(x , x ′) − dM(x ′ , x ′)|

= |dM(x , x ′) − dM(x ′ , x ′)|

= dM(x , x ′) . (2.234)


Logo

∥dx − dx ′∥ = supy∈M

|dx(y) − dx ′(y)|

(2.34)

≥ dM(x , x ′) . (2.235)

Portanto, de (2.233) e (2.234), segue que

∥dx − dx ′∥ = dM(x , x ′) . (2.236)

du(φ(x) , φ(x ′))(2.230)= du(dx , dx ′)

(2.187)= ∥dx − dx ′∥

(2.236)= dM(x , x ′) ,

ou seja, a aplica�c~ao φ : (M,dM) → (B(M ; R) , du) preserva as m�etricas dM e du, isto

�e, �e uma imers~ao isom�etrica.

�

Observacao 2.6.10

1. Pode-se provar um resultado an�alogo ao exibido acima retirando-se a hip�otese

do espa�co m�etrico (M,dM) ser limitado.

Uma demonstra�c~ao para esse fato pode ser encontrada em [1], na p�agna 20.

2. O resultado acima garante que todo esp�cao m�etrico pode ser imerso isome-

tricamente, em um espa�co vetorial normado.

2.7 Exercıcios

Capıtulo 3

Funcoes Contınuas Definidas emEspacos Metricos

3.1 Definicao de funcao contınua em espacos metricos

e exemplos

Temos a:

Definicao 3.1.1 Sejam (M,dM), (N,dN) espa�cos m�etricos e a ∈ M.

Diremos que uma fun�c~ao f : M → N �e contınua no ponto a, se dado ε > 0,

podemos encontrar δ = δ(ε , a) > 0, de modo que se x ∈ M satisfaz:

dM(x , a) < δ , implicar que dN(f(x) , f(a)) < ε . (3.1)

Diremos que a fun�c~ao f : M → N �e contınua em M se ela for cont��nua em

cada um dos pontos de M.

Observacao 3.1.1

1. Na situa�c~ao da De�ni�c~ao ?? acima, a fun�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) �e

cont��nua no ponto a se, e somente se, se dado ε > 0, podemos encontrar

δ = δ(ε , a) > 0, de modo que

f (B(a ; δ)) ⊆ B(f(a) ; ε) , (3.2)

ou ainda, dada uma bola aberta, em (N,dN), de centro no ponto f(a) e raio

ε > 0, podemos encontrar uma bola aberta, em (M,dM), de centro no ponto

a e raio δ > 0, de modo a imagem, pela fun�c~ao f, da segunda bola estar�a

contida na primeira bola.

Geometricamente, temos a seguinte situa�c~ao:

99

100 CAP�ITULO 3. FUNC� ~OES CONT�INUAS

f(a)

~

ε-

fa

= δ

f(B(a ; δ))

�

M

N

2. Se

M ⊆ R e N = R

munidos da m�etrica usual (ou seja, d, dada por (2.13), com n = 1), temos

que a fun�c~ao f : (R , d) → (R , d) ser�a cont��nua em a ∈ R se, e somente se,

dado ε > 0, podemos encontrar δ.= δ(ε , a) > 0, de modo que se

x ∈ R, satisfaz a− δ < x < a+ δ ,

teremos

f(a) − ε < f(x) < f(a) + ε ,

ou seja,

f((a− δ , a+ δ)) ⊆ (f(a) − ε , f(a) + ε). (3.3)

Geometricamente, a situa�c~ao �e caraterizada pela �gura abaixo:

6 6

-f

f(a)

a

a + δ

a − δ

f(a) + ε

f(a) − ε

A seguir exibiremos alguns exemplos, antes por�em introduziremos a:

Definicao 3.1.2 Sejam (M,dM) e (N ,dN) espa�cos m�etricos e uma fun�c~ao f : M →N que tem a seguinte propriedade: existe c > 0, tal que

dN(f(x) , f(y)) ≤ c dM((x , y) para todo x , y ∈ M. (3.4)

Neste caso diremos que a fun�c~ao f �e lipschitziana em (M,dM).

A constante c ser�a dita constante de Lipschitz associada a funcao f.

3.1. DEFINIC� ~AO, EXEMPLOS E PROPRIEDADES 101

Com isto temos a:

Proposicao 3.1.1 Se f : (M,dM) → (N,dN) �e uma fun�c~ao lipschitiziana em (M,dM),

ent~ao a fun�c~ao f �e cont��nua em (M,dM).

Demonstracao:

De fato, como f �e lipschitiziana em (M,dM), da De�ni�c~ao 3.1.2, existe c > 0, tal

que

dN(f(x) , f(y)) ≤ c dM((x , y) para todo x , y ∈ M. (3.5)

Logo, dado ε > 0, consideremos

δ.=

ε

c> 0 . (3.6)

Ent~ao se a ∈ M e

dM(x , a) < δ , (3.7)

teremos

dN(f(x) , f(a))(3.5)

≤ c dM(x , a)

(3.7)< cδ

= cε

c

= ε ,

mostrando que a fun�c~ao f �e cont��nua no ponto a ∈ M.

Como a ∈ M �e arbitr�ario, segue que a fun�c~ao f �e cont��nua em M.

�Passemos a exibir alguns exemplos importantes.

Exemplo 3.1.1 Sejam (E , ∥ · ∥E) um espa�co vetorial real normado e λ ∈ R (a

m�etrica em E �e a m�etrica induzida pela norma ∥ · ∥, dada por (2.191)).

A�rmamos que a aplica�c~ao

fλ : E → E

dada por

fλ(x).= λ · x , para cada x ∈ E , (3.8)

�e lipschitiziana em E.

Em particular, da Proposi�c~ao 3.1.1, segue que a fun�c~ao f ser�a cont��nua em E.

Resolucao:


De fato, para x , y ∈ E, temos que

dE(fλ(x) , fλ(y))(2.191)= ∥fλ(x) − fλ(y)∥E

(3.8)= ∥λ · x− λ · y∥E= ∥λ · (x− y)∥E(2.74)= |λ| ∥x− y∥E

(2.191)= |λ|dE(x , y) ,

mostrando que a a�rma�c~ao �e verdadeira.

�

Exemplo 3.1.2 Suponhamos que as fun�c~oes f1 , f2 , · · · , fn : E → E, onde (E , ∥ · ∥) �eum espa�co vetorial real normado (a m�etrica em E �e a m�etrica induzida pela norma

∥ · ∥, dada por (2.191)), s~ao lipschitzianas.

Ent~ao dados a1 , a2 · · · , an ∈ R, temos que a fun�c~ao f : E → E dada por

f(x).= a1 · f1(x) + a2 · f2(x) + · · ·an · fn(x) , para cada x ∈ E , (3.9)

tamb�em ser�a uma fun�c~ao lipschitziana.

Em particular, da Proposi�c~ao 3.1.1, segue que a fun�c~ao f ser�a cont��nua em E

Resolucao:

De fato, como para cada i ∈ {1 , 2 , · · · , n} a fun�c~ao fi �e lipschitziana em E, ous eja,

ent~ao existe ci > 0, tal que

dE(fi(x) , fi(y) ≤ ci dE(x , y) para todo x , y ∈ M. (3.10)

De�namos

c.= |a1| c1 + |a2 c2 + · · ·+ |an| cn . (3.11)

Ent~ao, se x, y ∈ E, temos que

dE(f(x) , f(y)(2.191)= ∥f(x) − f(y)∥E

(3.9)= ∥[a1 · f1 + · · ·+ an · fn](x) − [a1 · f1 + · · ·+ an · fn](y)∥E= ∥[a1 · [f1(x) − f1(y)] + · · ·+ an · [fn(x) − fn(y)]](x)∥E(2.75)

≤ ∥a1 · [f1(x) − f1(y)]∥E + · · ·+ ∥an · [fn(x) − fn(y)]∥E(2.74)= |a1| ∥f1(x) − f1(y)∥E + · · ·+ |an| ∥fn(x) − fn(y)(x)∥E

(2.191)

≤ |a1|dE(f1(x) , f1(y)) + · · ·+ |an|dM(fn(x) , fn(y))

(3.10)

≤ |a1| [c1 dE(x , y)] + · · ·+ |an| [cn dE(x , y)]

= [|a1| c1 + · · ·+ |an| cn] dE(x , y)

(3.11)= c dE(x , y) ,


mostrando que a fun�c~ao f : E → E, dada por (3.9), �e lipschitziana.

�

Observacao 3.1.2 Logo, resumindo O Exemplo 3.1.2 acima nos diz que a com-

bina�c~ao linear de fun�c~oes lipschitzianas �e uma fun�c~ao lipschitziana em um espa�co

vetorial normado.

Temos tamb�em o:

Exemplo 3.1.3 Consideremos o espa�co m�etrico (RdR), onde a m�etica dR �e a

m�etrica usual (ou seja, dada por (2.13), com n = 1).

Ent~ao a f : (R , dR) → (R , dR) �e lipschitiziana em (R , dR) se, e somente se existe

c > 0, tal que

|f(x) − f(y)|

|x− y|≤ c para todo x , y ∈ R , com x = y . (3.12)

Resolucao:

De fato, pois para x , y ∈ R, com x = y, temos que:

|f(x) − f(y)|

|x− y|

(2.191)=

dR(f(x) , f(y))

dR(x , y)(3.13)

Logo, da De�ni�c~ao 3.1.2, a fun�c~ao f ser�a lipschitiziana em (R , dR) se, e somente se,

existe c > 0, de modo que

dR(f(x) , f(y)) ≤ c dR(x , y) para todo x , y ∈ R . (3.14)

Logo, de (3.13), segue que (3.14) ser�a equivalente a (3.12), completando a demons-

tra�c~ao.

�Como consequencia temos o:


(ou seja, dada por (2.13), com n = 1) e f : I → R uma fun�c~ao diferenci�avel em I,

onde I �e um intervalo aberto de (R , d), tal que existe c ≥ 0, de modo que

|f ′(x)| ≤ c , para todo x ∈ I . (3.15)

Mostre que a fun�c~ao f �e lipschitziana em (I , d).

Resolucao:

De fato, dados x , y ∈ I, do Teorema do Valor M�edio para fun�c~oes de uma vari�avel

real, a valores reais (visto na discipina de C�alculo I), segue que existe �x ∈ (x , y) ( ou

(y , x), se y < x) tal quef(x) − f(y)

x− y= f ′(�x) . (3.16)


Logo

|f(x) − f(y)|

|x− y|

(3.16)= |f ′(�x)|

(3.15)

≤ c ,

ou seja, da De�ni�c~ao 3.1.2, segue que a fun�c~ao f �e lipschitziana em I, completando a

resolu�c~ao

�

Observacao 3.1.3 Conclus~ao: toda fun�c~ao real, de vari�avel real, diferenci�avel em

um intervalo aberto de R, de modo que sua derivada �e limitada nesse intervalo �e

uma fun�c~ao lipschitiziana no intervalo em quest~ao.

Em particular, ser�a uma fun�c~ao cont��nua nesse intervalo.

Uma situa�c~ao mais geral �e dada pela:


Diremos que a fun�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) �e localmente lipschitziana em M,

se para cada a ∈ M, podemos encontrar ra > 0, de modo que a restri�c~ao da fun�c~ao

f a bola aberta B(a ; ra) (,isto �e, f|B(a ; ra)) �e uma fun�c~ao lischitziana em B(a ; ra),

ou seja, existe c.= c(B(a ; ra)) > 0, de modo que

dN(f(x) , f(y)) ≤ c dM((x , y) para todo x , y ∈ B(a ; r) . (3.17)

Com isto temos o:

Exemplo 3.1.5 Sejam (M,dM) e (N,dN) espa�cos m�etricos. Suponhamos que a

fun�c~ao f : (M,dM) → (N ,dN) �e localmente lipschitziana em M.

Mostre que a fun�c~ao f �e cont��nua em (M,dM).

Resolucao:

De fato, dado a ∈ M, seja ra > 0 tal que a restri�c~ao da fun�c~ao f a bola aberta

B(a ; ra) seja lipschitziana, ou seja, vale (3.17).

Dado ε > 0, consideremos

δ.= min

{ε

c, ra

}> 0 . (3.18)

Logo se, x ∈ M satisfaz

dM(x , a) < δ , (3.19)


teremos

dN(f(x) , f(a))δ(3.18)

≤ ra , logo vale (3.17)

≤ c dM(x , a)

(3.19)

≤ c δ

(3.18)

≤ cε

c

= ε ,

mostrando que a fun�c~ao f �e cont��nua no ponto a ∈ M.

Como a ∈ M �e arbitr�ario, segue que a fun�c~ao f �e cont��nua em (M,dM), completando

a resolu�c~ao.


Exemplo 3.1.6 Consideremos (E , ∥ · ∥) um espa�co vetorial real normado, e de-

notemos por d∥·∥, a m�etrica em E, induzida pela norma ∥ · ∥ (ou seja, dada por

(2.191)).

Consideremos f1 , f2 , · · · , fn :→ E fun�c~oes de modo que, para cada j ∈ {1 , 2 , · · · , n},a fun�c~ao fj seja localmente lipschitziana em

(E , d∥·∥

)e a1 , a2 , · · · , an ∈ R.

Mostre que a fun�c~ao f : E → E, dada por

f(x).= a1 · f1(x) + a2 · f2(x) + · · ·+ an · fn(x) , para cada x ∈ E , (3.20)

�e uma fun�c~ao localmente lipschitziana(E , d∥·∥

).

Resolucao:

De fato, dado a ∈ E, como para cada j ∈ {1 , 2 , · · · , n} a fun�c~ao fj �e localmente

lipschitizianaem(E , d∥·∥

), podemos encontrar cj ≥ 0 e ra ,j > 0, de modo que teremos

d∥·∥(f(x) , f(y)) ≤ cj d∥·∥(x , y), para todo x , y ∈ B(a ; ra ,j) . (3.21)

Consideremos

C.= |a1| c1 + · · ·+ |an| cn e ra

.= min {ra ,j ; j ∈ {1 , 2 , · · · , n}} > 0 . (3.22)

Logo, para x , y ∈ B(a ; ra), de (3.22), teremos que

B(a ; ra) ⊆ B(a ; ra ,j) , para todo j ∈ {1 , 2 , · · · , n} , (3.23)

pois ra ≤ ra ,j, para todo j ∈ {1 , 2 , · · · , n}.


Logo,

d∥·∥(f(x) , f(y))(2.191)= ∥f(x) − f(y)∥

(3.20)= ∥[a1 · f1(x) + · · ·+ an · fn (x)] − [a1 · f1(y) + · · ·+ an · fn(y)]∥

= ∥a1 · [f1(x) − f1(y)] + · · ·an · [fn(x) − fn(y)]∥(2.75)

≤ ∥a1 · [f1(x) − f1(y)]∥+ · · · ∥an · [fn(x) − fn(y)]∥(2.74)

≤ |a1| ∥f1(x) − f1(y)∥+ · · · |an| ∥fn(x) − fn(y)∥(2.191)= |a1|d∥·∥(f1(x) , f1(y)) + · · · |an|d∥·∥(fn(x) , fn(y))

(3.23) e (3.21)

≤ |a1|[c1 d∥·∥(x , y)

]+ · · · |an|

[cn d∥·∥(x , y)

]= [|a1| c1 + · · · |an| cn]d∥·∥(x , y)

(3.22)= Cd∥·∥(x , y) ,

mostrando que a fun�c~ao f �e localmente lipschitiziana em(E , d∥·∥

), completando a re-

solu�c~ao.

�

Observacao 3.1.4 Conclus~ao: combina�c~ao linear de fun�c~oes localmente lipschit-

zianas �e uma fun�c~ao localmente lipschitziana em(E , d∥·∥

).

Em particular, ser�a uam fun�cao cont��nua em(E , d∥·∥

).


(ou seja, dada por (2.13), com n = 1) e, para cada n ∈ N �xado, a fun�c~ao f : R → R,dada por

f(x).= xn , para cada x ∈ R . (3.24)

Mostre que a fun�c~aoo f �e localmente lispchitziana em (R , d).

Em particular, ser�a cont��nua em (R , d).

Resolucao:

De fato, como a fun�c~ao f �e diferenci�avel em R e

f ′(x) = nxn−1 , para cada x ∈ R , (3.25)

par cada a ∈ R e r > 0, se

x ∈ B(a ; r) = (a− r , a+ r) , (3.26)

teremos que

|x| = |(x− a) + a|

≤ |x− a|+ |a|

(3.26)< r+ |a| (3.27)


|f ′(x)|(3.25)=∣∣nxn−1

∣∣= n |x|

n−1

(3.27)< n (r+ |a|)n−1 .

= M,

ou seja,

|f ′(x)| ≤ M, para todo x ∈ I.= (a− r , a+ r) .

Logo, do Exemplo 3.1.4, segue que a fun�c~ao f �e localmente lischitziana em (R , d).

ou seja, f .

Em particular, ser�a uma fun�c~ao cont��nua em (R , d).

�

Observacao 3.1.5 Notemos que, do Exemplo 3.1.7 acima e do Exemplo 3.1.6,

segue que toda fun�c~ao polinomial

p : R → R ,

ou seja, dada por

p(x).= ao + a1 x+ · · · , an x

n , para cada x ∈ R , (3.28)

onde a1 , a2 , · · · , an ∈ R est~ao �xadas, �e uma fun�c~ao localmente lispchitziana em

(R , d).

Em partitular, toda fun�c~ao polinomial ser�a cont��nua em (R , d).

temos o:


(ou seja, dada por (2.13), com n = 1) e a fun�c~ao f : R∗ .= R \ {0} → R, dada por

f(x).=

1

x, para cada x ∈ R∗ . (3.29)

Mostre que a fun�c~ao f �e localmente lischitiziana em (R∗ , d).

Em particular, a fun�c~ao ser�a cont��nua em (R∗ , d).

Resolucao:

Para cada a ∈ R∗, consideremos

x , y ∈ B

(a ;

|a|

2

)=

(a−

|a|

2, a+

|a|

2

). (3.30)

Notemos que se z ∈(a−

|a|

2, a+

|a|

2

)ent~ao

|z| ≥ |a|

2. (3.31)



d(f(x) , f(y))(2.191)= |f(x) − f(y)|

(3.29)=

∣∣∣∣1x −1

y

∣∣∣∣=

∣∣∣∣y− x

xy

∣∣∣∣=

1

|x| |y||x− y|

(3.31)

≤ 1

|a|2|x− y|

(2.191)=

1

a2dR(x , y),

(3.32)

mostrando que f �e lipschitziana em B

(a ;

|a|

2

)(bastando tomar a constante de Lipschitz

como sendo c.=

1

a2).

Portanto a fun�c~ao f �e localmente lischitiziana em (R∗ , d).


Exemplo 3.1.9 Sejam (E , ∥·∥) um espa�co vetorial real normado, munido da m�etrica

d∥·∥, induzida pela norma ∥ · ∥ (ou seja, dada por (2.191)) e o espa�co m�etrico

(R , dR), onde dR �e a m�etrica usual (ou seja, dada por (2.13), com n = 1) e λ ∈ R.Mostre que a aplica�c~ao m : R× E → E, dada por

m(λ , x).= λ · x , para cada (λ , x) ∈ R× E , (3.33)

�e localmente lipschitiziana no espa�co m�etrico (R× E , dR×E), onde a m�etrica dR×E

no produto cartesiano R× E, �e a m�etrica induzida pela norma

∥(λ , x)∥R×E.= |λ|+ ∥x∥E , para cada (λ , x) ∈ R× E , (3.34)

Em particular, a aplica�c~ao m : R× E → E ser�a cont��nua em (R× E , dR×E).

Resolucao:

Notemos que a m�etrica dR×E : (R× E)× (R× E) → R �e dada por

dR×E [(λ , x) , (β , y)].= |λ− β|+ ∥x− y∥ , (3.35)

pra cada (λ , x) , (β , y) ∈ R× E.


De fato, dado (λo , xo) ∈ R× E, para r > 0 �xado, temos que se

(λ , x) , (β , y) ∈ B ((λo , xo) ; r) ,

teremos:

|λ− λo| , |β− βo| < r e ∥x− xo∥E , ∥y− xo∥E < r. (3.36)

Logo

dR×E(m(λ , x) ,m(β , y))(3.35)= ∥m(λ , x) −m(β , y)∥

(3.33)= ∥λ · x− β · y∥

= ∥λ · x− λ · y+ λ · y− β · y∥= ∥ [λ · (x− y)] + (λ− β) · y∥(2.75)

≤ ∥λ · (x− y)∥+ ∥(λ− β) · y∥(2.74)

≤ |λ| ∥x− y∥+ |λ− β| ∥y∥

|λ|≤|λ−λo|+|λo|(3.36)

≤ r+|λo|

≤ [r+ |λo|] ∥x− y∥+ |λ− β| ∥y∥

∥y∥≤∥y−xo∥+∥xo∥E(3.36)

≤ r+∥xo∥≤ [r+ |λo|] ∥x− y∥+ [r+ ∥xo∥E] |λ− β|

≤ max{r+ |λo| , r+ ∥xo∥} [∥x− y∥+ |λ− β|]

c.=max{r+|λo|,r+∥xo∥}

= c[|λ− β|+ ∥x− y∥E](3.35)= c dR×E[(λ , x) , (β , y)]


�

Observacao 3.1.6 Em particular, do Exemplo 3.1.9 aciam, segue que vale os

an�alogos para multiplica�c~ao de n�umeros reais ou multiplica�c~ao de n�umeros reais

por vetores de (Rn ,+ , ·).

Uma outra classe de fun�c~oes importantes �e dada pela:

Definicao 3.1.4 Sejam (M,dM) e (N,dN) espa�cos m�etricos.

Diremos que a fun�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) �e uma contracao fraca em M, se

dN(f(x) , f(y)) ≤ dM(x , y) , para todo x , y ∈ M. (3.37)

e uma subclasse desta �e dada pela:

Definicao 3.1.5 Sejam (M,dM) e (N,dN) espa�cos m�etricos e f : M → N.

Diremos que a fun�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) �e uma contracao (forte) em M,

se existir c ∈ (0 , 1) tal que

dN(f(x) , f(y)) ≤ c dM(x , y) , para todo x , y ∈ M. (3.38)


Observacao 3.1.7 Observemos que toda contra�c~ao fraca ou forte, de�nida entre

espa�co espa�cos m�etricos, �e uma aplica�c~ao lipschitiziana e portanto uam fun�c~ao

cont��nua em todo o espa�co m�etrico.

A seguir, daremos alguns exemplos de contra�c~oes fracas de�nida entre espa�co espa�cos

m�etricos.

Exemplo 3.1.10 Sejam (M,dM) e (N,dN) espa�cos m�etricos e k ∈ R �xo.

Consideremos a fun�c~ao f : (M,dM) → (NdN), dada por

f(x).= k , para cada x ∈ M. (3.39)

Ent~ao a fun�c~ao f �e uma contra�c~ao forte em (M,dM).

Em particular, a fun�c~ao f �e cont��nua em (M,dM).

Resolucao:

De fato, pois para todo x , y ∈ M, temos:

dN(f(x) , f(y))(3.39)= dN(k , k)

= 0 ≤ 1

2dM(x , y) . (3.40)

Logo a fun�c~ao f �e uma contra�c~ao forte em (M,dM), onde

c.=

1

2< 1 .

�

Observacao 3.1.8 Notemos que, no Exemplo 3.1.10 acima, poder��amos ter esco-

lhido qualquer

c ∈ [0 , 1) ,

no lugar de1

2, em (3.40).

Temos tamb�em o:

Exemplo 3.1.11 Sejam (M,dM) espa�co m�etrico e X ⊆ M subespa�co m�etrico de

(M,dM).

A fun�c~ao i : (X , dM) → (M,dM), dada por

i(x).= x , para cada x ∈ X , (3.41)

(ou seja, a inclus~ao, de X em M, veja a Observa�c~ao 2.6.4, ou ainda, (2.217)) �e

uma contra�c~ao fraca, mas n~ao �e uma contra�c~ao forte.

Em particular, a aplica�c~ao i : X → M �e cont��nua em (X , dM).


Resolucao:

De fato, pois para x , y ∈ X, temos que pois

dM(i(x) , i(y))(3.41)= dX(x , y) .

Logo a fun�c~ao f �e uma contra�c~ao fraca em (X , dM), onde

c.= 1 .

Notemos que a mesma n~ao ser�a uma contra�c~ao forte em (X , dM).

�Podemos estender o exemplo acima, como a�rma o:

Exemplo 3.1.12 Sejam (M,dM) e (N,dN) espa�cos m�etricos.

Se a fun�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) �e uma imers~ao isom�etrica ent~ao a fun�c~ao f

ser�a uma contra�c~ao fraca em (M,dM).

Em particular, a aplica�c~ao f ser�a cont��nua em (M,dM).

Resolucao:

De fato, pois para cada x , y ∈ M, teremos: pois

dN(f(x), f(y))De�ni�c~ao 2.6.1

= dM(x , y) ,

ou seja, a fun�c~ao f �e uma contra�c~ao fraca em (M,dM), onde

c.= 1 .

�

Observacao 3.1.9 Como caso particular do Exemplo 3.1.12 acima, temos que toda

isometria entre espa�cos m�etricos ser�a uma contra�c~ao fraca.

Em particular, ser�a cont��nua entres os espa�cos m�etricos considerados.

Exemplo 3.1.13 Sejam (M,dM) e (N,dN) espa�cos m�etricos.

Escolha uma das tres m�etricas, d, d1 ou d2, em M ×N consideradas na Pro-

posi�c~ao 2.1.5, que indicaremos por D.

Para cada a ∈ M e b ∈ N �xados, consideremos as aplica�c~oes

ib : M → M×N e ja : N → M×N,

dadas por

ib(x).= (x , b) , (3.42)

ja(y).= (a , y) , (3.43)

para cada x ∈ M e cada y ∈ N, respectivamente.

Ent~ao as fun�c~oes ib e ja s~ao uma contra�c~oes fracas em (M,dM) e (N,dN),

respectivamente.

Em particular, as aplica�c~oes ib : M → M ×N e ja : N → M ×N s~ao cont��nuas

em (M,dM) e (N,dN), respectivamente.


Resolucao:

Notemos que, para x1 , x2 ∈ M e y1 , y2 ∈ N, teremos:

DM×N [(x1 , b) , (x2 , b)] ≤ dM(x1 , x2) , (3.44)

DM×N [(a , y1) , (a , y2)] ≤ dM(y1 , y2) . (3.45)

Deixaremos, como exerc��cio para o leitor, a veri�ca�c~ao destes fatos.

Com isto, para x1 , x2 ∈ M e y1 , y2 ∈ N, teremos:

DM×N(ib(x1) , ib(x2))(3.42)= DM×N[(x1 , b) , (x2 , b)]

(3.44)

≤ dM(x1 , x2), ,

DM×N(ja(y1) , ib(y2))(3.43)= DM×N[(a , y1) , (a , y2)]

(3.45)

≤ dN(y1 , y2) ,

mostrando que as fun�c~oes ib e ja s~ao uma contra�c~oes fracas em (M,dM) e (N,dN),

respectivamente.

�Um outro caso interessante �e dado pelo:

Exemplo 3.1.14 Conisderemos (M,dM) espa�co m�etrico e X ⊆ M, n~ao vazio e o

espa�co m�etrico (R , dR), onde dR �e a m�etrica usual (ou seja, dada por (2.13), com

n = 1).

De�namos a fun�c~ao dX : (M,dM) → (R , dR), dada por

dX(y).= d(y , X) , para cada y ∈ M. (3.46)

Mostre que a fun�c~ao dX �e uma contra�c~ao fraca em (M,dM).

Em particular, a aplica�c~ao dX : M → R �e cont��nua em (M,dM).

Resolucao:

De fato, para y1 , y2 ∈ M, teremos:

dR [dX(y1) , dX(y2)](2.13) com n = 1

= |dX(y1) − dX(y2)|

(3.46)= |d(y1 , X) − d(y2 , X)|

Proposi�c~ao 2.4.2

≤ dM(y1 , y2) ,

mostrando que a fun�c~ao dX �e uma contra�c~ao fraca em (M,dM).

�

Observacao 3.1.10 Do Exemplo 3.1.14 acima segue que, para cada x ∈ M �xado,

temos que a aplica�c~ao dx : (M,dM) → (R , dR), dada por

dx(y).= dM(x , y) , para cada y ∈ M, (3.47)


�e uma contra�c~ao fraca em (M,dM).

Para mostrarmos isto basta considerar

X.= {x} ⊆ M.

Em particular, a aplica�c~ao dx : M → R ser�a cont��nua em (M,dM).

UM outro caso interessante �e dado pelo:

Exemplo 3.1.15 Seja (E , ∥ · ∥) um espa�co vetorial real normado.

Mostre que a aplica�c~ao ∥ · ∥ :(E , d∥·∥

)→ (R , dR) �e uma contra�c~ao fraca.

Em particular, a aplica�c~ao ∥ · ∥ :(E , d∥·∥

)→ (R , dR) �e uma fun�c~ao cont��nua em(E , d∥·∥

).

Resolucao:

De fato, para x , y ∈ E, teremos:

dR (∥x∥ , ∥y∥)(2.13) com n = 1

= |∥x∥− ∥y∥|item 2. da Observa�c~ao 2.1.8

≤ ∥x− y∥(2.191)= d∥·∥ (x , y) ,

mostrando que a aplica�c~ao ∥ · ∥ :(E , d∥·∥

)→ (R , dR) �e uma contra�c~ao fraca.

�

Exemplo 3.1.16 Seja (M1 , d1) , · · · , (Mn , dn) espa�cos m�etricos.

Para cada i ∈ {1 , 2 , · · · , n}, consideremos a aplica�c~ao pi : M1 × · · · ×Mn → Mi,

dada por

pi(x).= xi, para cada x = (x1 , x2 , · · · , xn) ∈ M1 × · · · ×Mn , (3.48)

denominada como i-esima projecao.

Mostre, para cada i ∈ {1 , 2 , · · · , n}, a apli�c~ao pi �e uma contra�c~ao fraca, onde

podemos considerar no produto cartesiano M.= M1 × · · · ×Mn a m�etrida dM como

sendo uma das tres m�etricas, d, d1 ou d2, introduzidas na Observa�c~ao 2.1.13

(dadas por (2.111), (2.112) ou (2.113), respectivamente).

Em particular, para cada i ∈ {1 , 2 , · · · , n}, a aplica�c~ao pi : (M1×· · ·×Mn , dM) →(Mi , di) �e cont��nua em (M1 × · · · ×Mn , dM).

Resolucao:

De fato, para cada xi , yi ∈ Mi, teremos:

dM1(pi(x) , pi(y))

(3.48)= dMi

(xi , yi)

independente da m�etrica escolhida em M

≤ dM(x , y) , (3.49)


onde

x.= (x1 , x2 , · · · , xi−1 , xi , xi+1 , · · · , xn) , y

.= (y1 , y2 , · · · , yi−1 , yi , yi+1 , · · · , yn) ∈ M,


�Outro caso interessante �e dado pelo:

Exemplo 3.1.17 Seja (M,dM) espa�co m�etrico.

Mostre que a aplica�c~ao dM : (M×M,d1) → (R , dR) (ou seja, a pr�opria m�etrica)

�e uma contra�c~ao fraca em (M×M,d1), onde d1 �e m�etrica em M×M, introduzida

na Propsi�c~ao 2.1.5, dada por (2.108), e a m�etrica dR �e a m�etrica usual (dada por

(2.13), com n = 1).

Em particular, a aplica�c~ao dM : (M×M,d1) → (R , dR) ser�a cont��nua em (M×M,d1).

Resolucao:

De fato, para cada (x , y) , (x ′ , y ′) ∈ M×M teremos:

dR(dM(x , y) , dM(x ′ , y ′))(2.13), com n = 1

= |dM(x , y) − dM(x ′ , y ′)|

= |dM(x , y) − dM(x ′ , y) + dM(x ′ , y) − dM(x ′ , y ′)|

desigualdade triangular

≤ |dM(x , y) − dM(x ′ , y)|+ |dM(x ′ , y) − dM(x ′ , y ′)|

= |dM(x , y) − dM(y , x ′)|+ |dM(y , x ′) − dM(x ′ , y ′)|

item 2. da Observa�c~ao 2.1.1

≤ dM(x , x ′) + dM(y , y ′)

≤ dM×M[(x , y) , (x ′ , y ′)] ,

mostrando que a aplica�c~ao dM : M × M → R (ou seja, a pr�opria m�etrica) �e uma

contra�c~ao fraca em (M×M,D).


Exemplo 3.1.18 Seja (E , ∥ · ∥E) um espa�co vetorial real normado e λ ∈ R.Mostre que a aplica�c~ao s : E× E → E, dada por

s(x , y).= x+ y , para cada (x , y) ∈ E× E , (3.50)

�e uma contra�c~ao fraca, onde em E × E estamos considerando a norma da soma,

isto �e, para (x , y) ∈ E× E, temos que

∥(x , y)∥E×E.= ∥x∥E + ∥y∥E (3.51)

e a respectiva m�etrica associada a esta norma (dada por (2.191)).

Em particular, a aplica�c~ao s : (E× E , dE×E) → (E , d∥·∥

)ser�a cont��nua em (E ×

E , dE×E).


Resolucao:

De fato, para cada (x , y) , (x ′ , y ′) ∈ E× E, teremos:

dE(s(x , y) , s(x′ , y ′))

(2.191)= ∥s(x , y) − s(x ′ , y ′)∥E

(3.51)= ∥(x+ y) − (x ′ + y ′)∥E

= ∥(x− x ′) + (y− y ′)∥E(2.75)

≤ ∥x− x ′∥+ ∥y− y ′∥Enorma da soma

= ∥(x , y) − (x ′ , y ′)∥E×E

(2.191)= dE×E((x , y) , (x

′ , y ′)) ,

mostrando que a aplica�c~ao s : E× E → E �e uma contra�c~ao fraca em (E× E , dE×E).

�

Observacao 3.1.11 Em particular, vale o mesmo para soma n�umeros reais, ou

seja, no espa�co vetorial real (R ,+ ·) ou, masi geralemnte, para soma de vetores

no espa�co vetorial real (Rn ,+ , ·), ou ainda, para soma no espa�co vetorial real

(B(X ; M) ,+ , ·), munido da m�etrica do sup (dada por (2.70)).

Observacao 3.1.12

1. Sejam (M,dM) e (N,dN) espa�cos m�etricos, a ∈ M um ponto isolado do

esp�cao m�etrico (M,dM) e f : M → N uma fun�c~ao.

A�rmamos que a fun�c~ao f �e cont��nua em a ∈ M.

De fato, como a ∈ M �e um ponto isolado de (M,dM), existe δo > 0, tal que

B(a ; δo) ∩M = {a} . (3.52)

Dado ε > 0, consideremos

δ ∈ (0 , δo] . (3.53)

Logo se x ∈ M satisfaz

dM(x , a) < δ(3.53)

≤ δo ,

de (3.52), segue que

x = a . (3.54)

Logo

dN(f(x) , f(a))(3.54)= dN(f(a) , f(a)) = 0 < ε,

mostrando que a fun�c~ao f �e cont��nua em a ∈ M


2. Como conseq�uencia da Observa�c~ao acima, temos que se o espa�co m�etrico

(M,dM) for um espa�co discreto (isto �e, todo ponto dele �e ponto isolado),

ent~ao toda fun�c~ao f : M → N ser�a cont��nua em (M,dM).

Em particular, se a m�etrica de (M,dM) �e a m�etrica zero-um (veja o Exemplo

2.1.1, ou ainda (2.7)) ent~ao vale o mesmo.

3. Por outro lado, se o espa�co m�etrico (N,dN) for um espa�co discreto, temos

que a fun�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) �e cont��nua em (M,dM) se, e somente se,

para cada a ∈ M, a fun�c~ao f �e constante em alguma bola aberta de centro no

ponto a.

De fato, suponhamos que a fun�cao f �e cont��nua em a ∈ M.

Logo, como f(a) ∈ N, e o espa�co m�etrico (N,dN) �e discreto, segue que existe

εo > 0, de modo que

B(f(a) ; εo) = {f(a)} . (3.55)

Logo, dada ε ∈ (o , εo), para qualquer δ > 0, se

x ∈ B(a ; δ) ,

para que tenhamos

f(x) ∈ B(f(a), ε) = {f(a)} ,

deveremos ter f(x) = f(a), ou seja, a fun�c~ao f �e constante na bola aberta

B(a ; δ), como a�rmamos acima.

A rec��proca �e imediata e ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.

Em particular, se a m�etrica em N �e a m�etrica zero-um, teremos a o mesmo.


Definicao 3.1.6 Sejam (M,dM) e (N ,dN) espa�cos m�etricos e a ∈ M.

Diremos que a fun�c~ao f : M → N �e descontınua no ponto a, se ela n~ao for

cont��nua no ponto a.

Observacao 3.1.13

1. Na situa�c~ao acima, a fun�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) �e descont��nua no ponto

a ∈ M se, e somente se, podemos encontrar εo > 0, de modo que para cada

δ > 0, podemos encontrar e xδ ∈ M, tal que

dM(xδ , a) < δ , mas dN(f(xδ) , f(a)) ≥ εo . (3.56)


2. Sejam (M,dM) um espa�co m�etrico, (xn)n∈N uma sequencia em M e xo ∈ M.

Diremos que a sequencia (xn)n∈N converge para xo, em (M,dM), se dado ε >

0, podemos encontrar No ∈ N, de modo que

se n ≥ No , teremos: dM(xn , xo) < ε . (3.57)

Neste caso diz-se que a sequencia (xn)n∈N �e convergente para xo, em (M,dM)

e escreveremos

xn → xo ou limn→∞ xn = xo . (3.58)

3. Com a no�c~ao acima, podemos obter uma formula�c~ao equivalente do item 1,

a saber: a fun�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) �e descont��nua no ponto a ∈ M se, e

somente se, podemos encontrar εo > 0, de modo que para cada n ∈ N, existexn ∈ M, tal que

dM(xn , a) <1

n, mas dN(f(xn) , f(a)) ≥ εo . (3.59)

Isto poderia ser dito da seguinte forma: existe uma seq�uencia (xn)n∈N em

(M,dM) que �e convergente para a ∈ M, em (M,dM), de modo que a seq�uencia

(f(xn))n∈N em (N,dN), n~ao �e convergente em (N,dN).


4. Ainda de modo equivalente com a no�c~ao de descotinuidade, temos que: a

fun�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) �e descont��nua no ponto a ∈ M se, e somente

se, podemos encontrar duas sequencias, em (M,dM), que denotaremos por

(pn)n∈N e (pn)n∈N, de modo que

pn → a , qn → a

de modo que uma possibilidades abaixo dever�a ocorrer:

� ou uma das sequencias (f(pn))n∈N, (f(qn))n∈N n~ao �e convergente em (M,dM),

� se

f(pn) → b , f(qn) → c ,

teremos

b = c .

Com isot temos o:

Exemplo 3.1.19 Consideremos fun�c~ao f : R → R dada por

f(x).=

{1 , para x ∈ Q0 , para x ∈ I

(3.60)


com no espa�co m�etrico (RdR) a m�etrica dR �e a m�etrica usual (ou seja, dada por

(2.13), com n = 1).

Mostre que a fun�c~ao f n~ao �e cont��nua em nenhum ponto de (RdR).

Resolucao:

Mostremos que a fun�c~ao f n~ao �e cont��nua em nenhum ponto de Q e depois faremos

o mesmo para os pontos de I.Dado a ∈ Q, consideremos

ε =1

2> 0 . (3.61)

Dado δ > 0, seja xδ ∈ I tal que

|xδ − a| < δ , isto �e, dR(xδ , a) < δ . (3.62)


-a ∈ Q a + δa − δ

?

xδ ∈ I

De (3.60), temos que

f(xδ) = 0 e f(a) = 1 , (3.63)

segue que

dR(f(x) , f(a))(2.13) com n=1

= |f(x) − f(a)|

(3.63)= |0− 1|

= 1 ≥ 1

2

(3.61)= ε ,

mostrando que f n~ao �e cont��nua em a ∈ Q.Por outro lado, para a ∈ I, consideremos ε como em (3.61).

Dado δ > 0, seja xδ ∈ I tal que

|xδ − a| < δ , isto �e, dR(xδ , a) < δ . (3.64)


-a ∈ I a + δa − δ

?

xδ ∈ Q

3.2. PROPRIEDADES DE FUNC� ~OES CONT�INUAS 119

De (3.60), temos que

f(xδ) = 1 e f(a) = 0 , (3.65)

segue que

dR(f(x) , f(a))(2.13) com n=1

= |f(x) − f(a)|

(3.65)= |1− 0|

= 1 ≥ 1

2

(3.61)= ε ,

mostrando que f n~ao �e cont��nua em a ∈ I.Portanto a fun�c~ao f n~ao �e cont��nua em nenhum ponto de (R , dR).

�

Observacao 3.1.14 Observemos que, no Exemplo 3.1.19 acima, temos que as

fun�c~oes restri�c~oes

f|Q : Q → R e f|I : I → R

s~ao cont��nuas em (Q , dR) e (I , dR), respectivamente.

Na verdade a primeira �e constante e igual a 0 em (Q , dR), e a segunda �e

constante e igual a 1, em (I , dR).

Portanto dada uma fun�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) e X ⊆ M n~ao vazio, o

Exemplo 3.1.19 acima, nos mostra a diferen�ca entre:

1. f|X : X → N cont��nua em (X , dM);

2. f : M → N cont��nua em todos os pontos de (M,dM).

Podemos a�rmar que na situa�c~ao acima 2. implicar�a, sempre, em 1. .

Mas, em geral, a situa�c~ao 1. pode nao implicar em 2., como mostra o Exemplo

3.1.19 acima.

3.2 Propriedades elementares de funcoes contınuas

entre espacos metricos

Come�caremos pela:

Proposicao 3.2.1 Sejam (M,dM), (N,dN) e (P , dP) espa�cos m�etricos e a ∈ M.

Suponhamos que a fun�c~ao f : M → N �e cont��nua em a e a fun�c~ao g : N → P �e

cont��nua em f(a).

Ent~ao a fun�c~ao g ◦ f : M → P ser�a cont��nua em a.


Demonstracao:

Dado ε > 0, como a fun�c~ao g �e cont��nua no ponto f(a), podemos encontrar λ > 0,

tal que se y ∈ N e

dN(y , f(a)) < λ , teremos: dP(g(y) , g(f(a))) < ε . (3.66)

Como a fun�c~ao f �e cont��nua no ponto a, dado λ > 0 (obtido acima), podemos

encontrar δ > 0, tal que se x ∈ M e

dM(x , a) < δ , teremos: dN(f(x) , f(a)) < λ . (3.67)

Logo, de (3.67) e (3.66), segue qu

dP(g(f(x)) , g(f(a))) < ε ,

mostrando que a fun�c~ao g ◦ f �e cont��nua no ponto a, como quer��amos mostrar.

�

Observacao 3.2.1

1. O resultado acima nos diz, de modo coinciso, que a composta de duas fun�c~oes

cont��nuas �e uma fun�c~ao cont��nua.

2. Temos a seguinte caracteriza�c~ao geom�etrica para a demonstra�c~ao do resul-

tado acima:

g(f(a))

^

ε

-gf(a)

Uλ

g(BN(f(a) ; λ))

W-f

^δ

f(BM(a ; δ))

?

a

Como conseq�uencia temos:

Corolario 3.2.1 Sejam (M,dM), (N,dN) espa�cos m�etricos, X ⊆ M, n~ao vazio e

a ∈ X.

Suponhamos que a fun�c~ao f : M → N �e cont��nua em a.

Ent~ao a fun�c~ao restri�c~ao f|X : (X , dM) → (N,dN) ser�a cont��nua em a.

Demonstracao:

Sabemos que a aplica�c~ao inclus~ao, i : (X , dM) → (M,dM) �e cont��nua em (X , dM)

(veja o Exemplo 3.1.11).

Observemos que

f|X = f ◦ i .


Como, por hip�otese, a fun�c~ao f �e cont��nua em a segue, da Proposi�c~ao 3.2.1 acima,

que a fun�c~ao f|X = f ◦ i ser�a cont��nua no ponto a, completando a demosntra�c~ao.

�

Observacao 3.2.2

1. O Corol�ario 3.2.1 acima nos diz que a restri�c~ao de uma fun�c~ao cont��nua a

um subconjunto do seu dom��nio ser�a uma fun�c~ao cont��nua nesse subconjunto.

2. Sejam (M,dM), (N,dN), (P , dP) espa�cos m�etricos, f : (M × N,dM×N) →(P , dP), onde em M×N estamos consideranod uma das tres m�etricas usuais

do produto cartesiano (da raiz quadrada, da soma ou do m�aximo, ou seja,

dadas por (2.111), (2.112) ou (2.113), com n = 2).

Logo a fun�c~ao f ser�a cont��nua no ponto (a , b) ∈ M × N, se dado ε > 0,

podemos encontrar δ > 0, tal que

dM×N((x , y) , (a , b)) < δ implicar dP(f(x , y) , f(a , b)) < ε . (3.68)

Neste caso diremos que a fun�c~ao f �e contınua conjuntamente no ponto (a , b).


Definicao 3.2.1 Sejam (M,dM), (N,dN), (P , dP) espa�cos m�etricos, uma fun�c~ao

f : M×N → P e (a , b) ∈ M×N.

Diremos que a fun�c~ao f �e contınua, em relacao a 1.a variavel, no ponto (a , b)

se a aplica�c~ao fb : (M,dM) → (P , dP), dada por

fb(x).= f(x , b) , para cada x ∈ M, (3.69)

for cont��nua no ponto a.

Diremos que a fun�c~ao f �e contınua, em relacao a 2.a variavel, no ponto (a , b)

se a aplica�c~ao fa : N → P, dada por

fa(y).= f(a , y) , para cada y ∈ N, (3.70)

for cont��nua no ponto b.

Diremos que a fun�c~ao f : M×N → P �e contınua separadamente, no ponto (a , b),

se ela for cont��nua em rela�c~ao a cada uma das vari�aveis no ponto (a , b).

Observacao 3.2.3

1. Na situa�c~ao da De�ni�c~ao 3.2.1 acima se a fun�c~ao f : M×N → P �e cont��nua

conjuntamente no ponto (a , b) ent~ao temos que as fun�c~oes fb : (M,dM) →(P , dP) e fa : (N ,dn) → (P , dP), que podem ser dadas por:

fb = f ◦ ib e fa = f ◦ ja ,


onde as fun�c~oes

ib : (M,dM) → (M×N,dM×N) e ja : (N,dN) → (M×N ,dM×N) ,

s~ao as aplica�c~oes dadas pelo Exemplo 3.1.13 (dadas por (3.42) e (3.43), res-

pectivamente).

Assim, como ib e ja s~ao cont��nuas em (M,dM) e (N,dN), respectivamente

(veja o Exemplo 3.1.13 ), segue que que as fun�c~oes fa e fb ser~ao cont��nuas

nos pontos a e b, respectivamente.

Portanto a fun�c~ao f ser�a cont��nua separadamente no ponto (a , b).

2. Nao vale, em geral, a rec��proca do resultado acima, isto �e, existem fun�c~oes

f : (M×N,dM×N) → (P , dP) que s~ao cont��nuas separadamente no ponto (a , b),

mas nao s~ao cont��nuas conjuntamente no ponto (a , b).

Para ver isto, consideremos o seguinte exemplo:

Consideremos os espa�cos m�etricos (R × R , dR×R) e (R , dR), onde a m�etrica

dR �e a m�etrica usual (ou seja, dada por (2.13), com n = 1) e a m�etrica dR×R

uma das tres m�etricas do produto cartesiano (ou seja, dadas por (2.111),

(2.112) ou (2.113)), e a fun�c~ao f : (R× R , dR×R) → (R , dR), dada por

f(x).=

xy

x2 + y2, para (x , y) = (0 , 0) ,

0 , para (x , y) = (0 , 0). (3.71)

Notemos que que a fun�c~ao f �e cont��nua separamente no ponto (0 , 0).

Isto segue do fato que

f(x , 0)(3.71)= 0 e f(0 , y)

(3.71)= 0

para todo x , y ∈ R que s~ao fun�c~oes cont��nuas em (R , dR).

A�rmamos que a fun�c~ao f nao �e cont��nua conjuntamente no ponto (0 , 0).

De fato, se tomarmos a restri�c~ao da fun�c~ao f �a reta

y = ax , para cada a = 0

(que tornar-se-�a um espa�co m�etrico com a m�etrica induzida pela m�etrica de

R× R) ent~ao teremos

f(x , a x)(3.71)=

ax2

x2 + a2x2

=a

1+ a2= 0 , para x = 0 .


Por outro lado, para x = 0, teremos que

f(0 , a · 0) (3.71)= (0, 0) ,

mostrando que a fun�c~ao f �e descont��nua no ponto (0 , 0).

Para o pr�oximo resultado precisaremos da:

Definicao 3.2.2 Sejam M), N1, N2 espa�cos m�etricos e a fun�c~ao f : M → N1 ×N2,

dada por

f(x).= (f1(x) , f2(x)) , para cada x ∈ M (3.72)

onde, para cada j ∈ {1 , 2}, a fun�c~ao fj : M → Nj, ser�a dita funcoes coordenadas da

funcao f ou ainda j-eisma funcao coordenada associada a funcao f .

Neste caso escreveremos

f = (f1 , f2) .

Com isto temos a:

Proposicao 3.2.2 Sejam (M,dM), (N1 , d1), (N2 , d2), N1 × N2 espa�cos m�etricos,

onde no �ultimo consideramos uma das tres m�etricas usuais (ou seja, dada por

(2.111), (2.112) ou (2.113)) e a fun�c~ao f : M → N1 ×N2 dada por

f(x).= (f1(x) , f2(x)) , para cada x ∈ M (3.73)

onde, para cada j ∈ {1 , 2}, a fun�c~ao fj : M → Nj �e a j-�esima fun�c~ao coordenada

associada �a fun�c~ao f, e a ∈ M.

Ent~ao a fun�c~ao f �e cont��nua no ponto a se, e somente se, as fun�c~oes f1 e f2

s~ao cont��nuas no ponto a.

Demonstracao:

Suponhamos que a fun�c~ao f �e cont��nua no ponto a.

Temos que

f1 = p1 ◦ f e f2 = p2 ◦ f (3.74)

onde, para cada j ∈ {1 , 2}, a fun�c~ao pj : N1×N2 → Nj �e a i-�esima proje�c~ao em N1 e N2,

de�nida no Exemplo 3.1.16, respectivamente (dada por (3.48)).

Como vimos no Exemplo 3.1.16, as fun�coes p1, p2 s~ao cont��nuas em (N1 , d1) e

(N2 d2), respectivamente, segue, de (3.74) e da Proposi�c~ao 3.2.1, que as fun�c~oes f1 e f2

s~ao cont��nuas em a ∈ M.

Reciprocamente, suponhamos que as fun�c~oes f1 : (M,dM) → (N1 , d1) e f2 : (M,dM) →(N2 , d2) s~ao cont��nua no ponto a ∈ M.


(i) Consideremos em N1 ×N2 a m�etrica do m�aximo (ou seja, dada por (2.113)).

Como as fun�c~oes f1 e f2 s~ao cont��nuas em a ∈ M, dado ε > 0, podemso encontrar

δ1 e δ2 > 0 ,

tal que, para cada i ∈ {1 , 2}, se

dM(x , a) < δi , teremos: dNi(fi(x) , fi(a)) < ε . (3.75)

Seja

δ.= min{δ1 , δ2} > 0 . (3.76)

Logo, se

dM(x , a) < δ(3.76)

≤ δi , para cada i ∈ {1 , 2} ,

de (3.75), teremos:

dN1×N2(f(x) , f(a))

(2.113)= max{d1(f1(x) , f1(a)) , d2(f2(x) , f2(a))}

(3.75)< ε ,

mostrando que a fun�cao f �e cont��nua no ponto a.

(ii) Se considerarmos em N1 × N2 a m�etrica da raiz quadrada (ou seja, dada por

(2.111)), dado ε > 0 , podemos encontrar

δ1 , δ2 > 0 ,


dM(x , a) < δi , teremos: dNi(fi(x) , fi(a)) <

ε√2. (3.77)

Consideremos

δ.= min{δ1 , δ2} > 0 . (3.78)

Logo, se

dM(x , a) < δ(3.78)

≤ δi , para cada i ∈ {1 , 2} ,

de (3.77), segue que:

dN1×N2(f(x) , f(a))

(2.111)=

√[d1(f1(x) , f1(a))]2 + [d2(f2(x) , f2(a))]2

(3.77)<

√[ε√2

]2+

[ε√2

]2=

√ε2

2+

ε2

2

=√

ε2

= ε,

mostrando que a fun�cao f �e cont��nua no ponto a.


(iii) Se considerarmos em N1×N2 a m�etrica da soma (ou seja, dada por (2.112)), dado

ε > 0, podemos encontrar

δ1 , δ2 > 0 ,


dM(x , a) < δi , teremos dNi(fi(x) , fi(a)) <

ε

2. (3.79)

Conisderemos

δ.= min{δ1 , δ2} > 0 . (3.80)

Logo, se

dM(x , a) < δ(3.80)

≤ δi , para cada in ∈ {1 , 2} ,

de (3.79), teremos

dN1×N2(f(x) , f(a))

(2.112)= d1(f1(x) , f1(a)) + d2(f2(x) , f2(a))

(3.79)<

ε

2+

ε

2

= ε ,

mostrando que a fun�c~ao f �e cont��nua no ponto a, completando a demonstra�c~ao.


Corolario 3.2.2 Sejam (M1 , d1), (M2 , d2), (N1 , d1), (N2 , d2) espa�cos m�etricos e as

fun�c~oes f1 : M1 → N1 e f2 : M2 → N2.

Suponhamos que as fun�c~oes f1 e f2 s~ao cont��nuas em (M1 , d1) e (M2 , d2), res-

pectivamente.

Ent~ao a aplica�c~ao

f1 × f2 : (M1 ×M2 , dM1×M2) → (N1 ×N2 , dN1×N2

)

(f1 × f2)(x1, x2).= (f1(x1), f2(x2)) , para cada (x1, x2) ∈ M1 ×M2

ser�a cont��nua em (M1 × M2 , dM1×M2), onde a m�etrica dM1×M2

e dN1×N2�e uma

das tres m�etricas usuais de�nidas no produto cartesiano M1 × M2 e N1 × N2,

respectivamente (ou seja, dada por (2.111), (2.112) ou (2.113)).

Demonstracao:

Notemso que as fun�c~oes coordenadas associadas �a fun�c~ao f1 × f2 s~ao as fun�c~oes

(f1 × f2)1 : M1 ×M2 → N1 e (f1 × f2)2 : M1 ×M2 → N2, dadas por

(f1 × f2)1 = f1 ◦ p1 e (f1 × f2)2 = f2 ◦ p2 , (3.81)


onde, para cada i ∈ {1 , 2}, a fun�c~ao pi : M1 ×M2 → Mi �e a proje�c~ao de M1 ×M2 em

Mi, que �e cont��nuas em (M1 ×M2 , dM1×M2) (veja o Exemplo (3.1.16)).

Como, por hip�otese as fun�c~oes f1 e f2 s~ao cont��nuas em (M1 , d1) e (M2 , d2), respec-

tivamente, de (3.81) e da Proposi�c~ao (3.2.1), segue que as fun�c~oes (f1 × f2)1 e (f1 × f2)2s~ao cont��nuas (M1 ×M2 , dM1×M2

).

Assim, da Proposi�c~ao (3.2.2), temos que a fun�c~ao f1 × f2 ser�a cont��nua em (M1 ×M2 , dM1×M2

), concluindo a demonstra�c~ao do resultado.

�Como consequencia dos resultados acima temos a:

Proposicao 3.2.3 Sejam (M,dM) espa�co m�etrico, (E , ∥ · ∥E) espa�co vetorial real

normado, (R , dR), onde dR �e a m�etrica usual (ou seja, dada por (2.13) com n = 1),

f , g : M → E fun�c~oes em (M,dM), α ,β : M → R fun�c~oes cont��nuas em (M,dM),

com β(x) = 0, para todo x ∈ M.

Ent~ao as fun�c~oes f + g , α · f : M → E s~ao cont��nuas em (M,dM) e a fun�c~aoα

β: M → R �e cont��nua em (M,dM), onde

(f+ g)(x).= f(x) + g(x) , (α · f) (x) .

= α · f(x) ,(α

β

)(x)

.=

α(x)

β(x),

para cada x ∈ M.

Demonstracao:

Vimos nos Exemplos (3.1.8), (3.1.18) e (3.1.9), que as fun�c~oes

r : R \ {0} → R , s : E× E → E e m : E → E ,

dadas por

r(t).=

1

t, s(x+ y)

.= x+ y , m(λ , x)

.= λ · x ,

onde t ∈ R \ {0}, x , y ∈ E e λ ∈ R, s~ao cont��nuas em (R \ {0} , dR), (E× E , dE×E) e

(R× E , dR×E), respectivamente.

Notemos que

M(f ,g)−→ E× E

s−→ E

x −→ (f(x), g(x)) −→ f(x) + g(x),

ou seja,

(f+ g)(x) = [s ◦ (f , g)](x) , para cada x ∈ E .

Logo, da Corol�ario (3.2.2), do Exemplo (3.1.18) e da Proposi�c~ao (3.2.1), segue que

a fun�c~ao (f+ g) ser�a cont��nua em (M,dM).

Noteos tamb�em que

M(α ,f)−→ R× E

m−→ E

x −→ (α(x) , f(x)) −→ α(x) · f(x).

3.3. HOMEOMORFISMO 127

Logo , da Corol�ario (3.2.2), do Exemplo (3.1.9) e da Proposi�c~ao (3.2.1), segue que a

fun�c~ao α · f �e cont��nua em (M,dM).

Finalmente, observemos que

M(α ,β)−→ R× R \ {0}

(id ,r)−→ R× R m−→ R

x −→ (α(x) , β(x)) −→ (α(x) ,

1

β(x)

)−→ α(x)

1

β(x)

,

onde a fun�c~ao id : R → R �e a aplica�c~ao identidade, isto �e

id(x).= x , para cada x ∈ R .

Logo , da Corol�ario (3.2.2), do Exemplo (3.1.8), do Exemplo (3.1.9) e da Proposi�c~ao

(3.2.1), segue que a fun�c~aoα

β�e cont��nua em (M,dM), completando a demonstra�c~ao do

resultado.

�Como conseq�uencia imediata temos o:

Corolario 3.2.3 Sejam (M,dM) espa�co m�etrico, (RdR), onde dR �e a m�etrica usual

(ou seja, dada por (2.13), com n = 1), f , g : M → R fun�c~oes cont��nuas em (M,dM).

Ent~ao as fun�c~oes f + g , f g : M → R s~ao cont��nuas em (M,dM) ef

g: X

.=

M \ {x ∈ M ; g(x) = 0} → R �e cont��nua em (X , dM).

Demonstracao:�E consequencia imediata da Proposi�cao (3.2.3) e sua elabora�c~ao ser�a deixada como

exerc��cio para o leitor.

�

3.3 Homeomorfismos entre espacos metricos

Observacao 3.3.1 O objetivo desta se�c~ao �e estudar fun�c~oes bijetoras e cont��nuas

que admitam fun�c~ao inversa cont��nua.

Ao contr�ario do que ocorreu na disciplinas de �Algebra Linear (onde a fun�c~ao

inversa de uma transforma�c~ao linear �e, necessariamente, uma transforma�c~ao li-

near) e da disciplina de �Algebra (onde a fun�c~ao inversa de um homomor�smo �e,

necessariamente, um homomor�smo), na Topologia existem fun�c~oes cont��nuas e

bijetoras cujas fun�c~oes inversas podem nao ser fun�c~oes cont��nuas, como mostra o

exemplo a seguir:

Exemplo 3.3.1 Sejam o espa�co m�etrico (M,d), onde M.= R e a m�etrica dM �e a

m�etrica zero-um e o espa�co m�etrico (R , dR), onde dR �e a m�etrica usual (ou seja,

dada por (2.13), com n = 1).


Consideremos a aplica�c~ao identidade id : M → R, dada por

i(x).= x , para cada x ∈ M. (3.82)

Observemos que, neste caso, aplica�c~ao id �e bijetora e cont��nua em (M,dM)

(veja o item 2. da Observa�c~ao 3.1.12).

A�rmamos que a fun�c~ao inversa associada a id, que �e a aplica�c~ao id−1 : R → M

dada por

id−1(y).= y , para cada y ∈ R , (3.83)

nao �e uma fun�c~ao cont��nua em nenhum ponto de (R , dR).

De fato, pois a m�etrica em M �e a m�etrica zero-um (veja o item 3. da Oberva�c~ao

3.1.12).

A seguir exibiremos um outro exemplo menos "arti�cial", a saber:

Exemplo 3.3.2 Sejam

M.= [−1 , 0] ∪ (1 ,∞) e N

.= [0 ,∞) (3.84)

ambos munidos da m�etrica induzida de (R , dR), onde dR �e a m�etrica usual (dada

por (2.13), com n = 1).

Consideremos a fun�c~ao f : M → N, dada por

f(x) = x2 , para cada x ∈ M. (3.85)

A�rmamos que a fun�c~ao f : (M,dR) → (N,dR) �e uma aplica�c~ao bijetora e

cont��nua em (M,dM) e a fun�c~ao inversa f−1 : (N,dR) → (M,dR), que �e dada por

f−1(y).=

{−√y , para cada y ∈ [0 , 1]

√y , para cada y ∈ (1 ,∞)

(3.86)

nao �e cont��nua em y = 1.

Resolucao:

Deixaremos como exerc��cio para o leitor a veri�ca�c~ao que a fun�c~ao f : (M,dR) →(N,dR) �e uma aplica�c~ao bijetora e cont��nua em (M,dM) e que a sua fun�c~ao invesa

f−1 : (N,dR) → (M,dR) �e dada por (3.86).

A representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co da fun�c~ao f e dada pela �gura abaixo.


6N

-

M

−1

1

1 x

f(x)

A representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co da fun�c~ao f−1 e dada pela �gura abaixo.

-

6

1

1

−1

M

Ny

f−1(y)

Mostremos que f−1 : (N,dR) → (M,dR) nao �e cont��nua em y = 1.

De fato, dado

ε =1

2> 0 ,

para qualquer δ > 0 �xado, cosnderemos

z ∈ (1, 1+ δ) . (3.87)

Com isto teremos que

z ∈ BM(1 ; δ) ,

mas

dR(f−1(z) , f−1(1)

) (2.13) com n=1=

∣∣f−1(z) − f−1(1)∣∣

f−1(1)(3.86)= −1

=∣∣f−1(z) + 1

∣∣= f−1(z)︸︷︷︸

∈(1 ,∞)

+1

>1

2= ε ,


mostrando que

f−1(z) ∈ BN

(f−1(1) ; ε

).

Portanto f−1 n~ao ser�a cont��nua no ponto y = 1.

A �gura abaixo nos fornece uma ilustra�ca~o da situa�c~ao acima.

-

6

1

1

−1

M

N

�

?

-

?

�Sobre o mesmo assunto, temos seguinte caso importante:

Exemplo 3.3.3 Sejam

M.= [0 , 2π) ,

munido da m�etrica d[0 ,2π), induzida da m�etrica dR (ou seja, (2.13), com n = 1),

S1 .=

{(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 = 1

}(a circunferencia unit�aria, de centro na origem, no plano) munido da m�etrica

dS1, induzida pela m�etrica dR2 (ou seja, (2.13), com n = 2) e f : [0 , 2π) → S1, a

fun�c~ao dada por

f(t) = (cos(t) , sen(t)) , para cada t ∈ [0 , 2π) . (3.88)

A�rmamos que a fun�c~ao f �e cont��nua em (M,d[0 ,2π)) e bijetora, logo existe a

fun�c~ao inversa f−1 : S1 → [0 , 2 π), mas esta nao �e cont��nua em (1 , 0) = f(0).

Resolucao:

Deixaremos a veri�ca�c~ao que a fun�c~ao f �e cont��nua e bijetora em ([0 , 2π) , d[0 ,2π))

como exerc��cio para o leitor (notemos que as componentes da fun�c~ao f s~ao fun�c~oes

cont��nuas em ([0 , 2π) , dR)).

Para mostrar a descotinuidade da fun�c~ao f−1 no ponto f(0)(3.88)= (1 , 0), utilizaremos

o item 4. da Observa�c~ao 3.1.13.


Mais precisamente, construiremos duas sequencia em S1, que denotaremos por (pn)n∈Ne (qn)n∈N, de modo que

pn → (1 , 0) , em (S1 , dS1) , qn → (1 , 0) , em (S1 , dS1)

e

f−1(pn) → 0 e f−1(qn) → 2π .

Logo, do item 4. da Observa�c~ao 3.1.13, segue que a fun�c~ao f−1 n~ao ser�a cont��nua em

f(0) = (1 , 0).

As sequencias (pn)n∈N e (qn)n∈N est~ao representadas na �gura abaixo.

Notemos que, a sequencia (pn)n∈N, em (S1 , dS1), est�a contida no semi-plano superior

y > 0, a sequencia (qn)n∈N, em (S1 , dS1), est�a contida no semi-plano superior y < 0 e

ambas s~ao convergentes para f(0) = (1 , 0), em (S1 , dS1) (por constru�c~ao).

6

-(1, 0) 6

?

pn

qn

6

-f

2 π

0

f−1(pn)

?

6f−1(pn)

�

f−1

Deste modo, da de�ni�c~ao da fun�c~ao f−1, teremos:

f−1(Pn) → 0 e f−1(Qn) → 2π

em([0 , 2 π) , d[0 ,2π)

), mostrando que a fun�c~ao f−1 n~ao �e cont��nua em f(0) = (1 , 0),

completando a resolu�c~ao.

�Quando a fun�c~ao inversa, associada a uma fun�c~ao cont��nua e bijetora, for cont��nua,

teremos a:

Definicao 3.3.1 Sejam (M,dM) e (N,dN) espa�cos m�etricos.

Diremos que a fun�c~ao f : M → N �e um homemorfismo de (M,dM) em (N,dN),

se a fun�c~ao f for cont��nua em (M,dM), bijetora (logo admite fun�c~ao inversa) e a

sua fun�c~ao inversa for cont��nua em (N,dN).

Neste caso diremos que o espa�co m�etrico (M,dM) �e homeomorfo ao espa�co

m�etrico (N,dN) e, neste caso, escreveremos:

M ∼ N. (3.89)

Com isto temos a:


Proposicao 3.3.1 Sejam (M,dM), (N,dN) espa�cos m�etricos e f : (M,dM) → (N,dN)

uma isometria.

Ent~ao a fun�c~ao f �e um homeomor�smo de (M,dM) em (N,dN).

Demonstracao:

Como a fun�c~ao f �e uma isometria de (M,dM) em (N,dN), do item 2. da Observa�c~ao

2.6.2 (veja * ), segue que, al�em de existir sua fun�c~ao inversa, ela tamb�em ser�a uma

isometria.

Em particular, a fun�c~ao f e sua fun�c~ao inversa f−1 ser~ao cont��nuas em (M,dM) e

(N,dN), respectivamente, ou seja, a fun�c~ao f ser�a um homeomor�smo de (M,dM) em

(N,dN), completando a demosntra�c~ao.

�

Observacao 3.3.2 Sejam (M,dM), (N,dN) e (P , dP) espa�cos m�etricos.

1. Notemos que

M ∼ M.

De fato, pois a aplica�c~ao identidade id : M → M, dada por

id(x).= x , para cada x ∈ M,

�e um homeomor�smo de (M,dM) em (M,dM) (pois �e uma isometria!).

Logo a rela�c~ao, ∼, no conjunto formado por todos os espa�cos m�etricos, �e

re exiva.

2. Observemos que se a fun�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) �e um homeomor�smo, de

(M,dM) em (N,dN), ent~ao a fun�c~ao f−1 : (N,dN) → (M,dM) tamb�em ser�a

um homeomor�smo, de (N, , dN) em (M,dM), ou seja,

se M ∼ N , teremos N ∼ M.


sim�etrica.

3. Se as fun�c~oes f : (M,dM) → (N,dN), g : (N,dN) → (P , dP) s~ao homeomor-

�smos de (M,dM) em (N,dN), e de (M,dM) em (N,dN), respectivamente

ent~ao, da Proposi�c~ao 3.2.1, segue que a fun�c~ao (g ◦ f) : (M,dM) → (P , dP)

tamb�em ser�a um homeomor�smo, de (M,dM) em (P , dP)), ou seja,

se M ∼ N e N ∼ P , teremos N ∼ P .


transitiva.


4. Portanto, dos iten 1., 2. e 3. desta Observa�c~ao, segue que a rela�c~ao ∼, �e uma

rela�c~ao de equivalencia no conjunto formado por todos os espa�cos m�etricos.

Introduziremos as seguintes:

Definicao 3.3.2 Diremos que uma propriedade P, de um espa�co m�etrico (M,dM)

�e uma propriedade topologica se todo espa�co m�etrico homeomorfo a (M,dM)

tem a propriedade P, ou seja propriedades topol�ogicas s~ao aquelas preservadas

por homeomor�smos.

Definicao 3.3.3 Diremos que uma propriedade Q, de um espa�co m�etrico (M,dM),

�e uma propriedade metrica, se todo espa�co m�etrico isom�etrico a (MdM) tem a

propriedade Q, ou seja, propriedades m�etricas s~ao aquelas preservadas por isome-

trias.

Observacao 3.3.3

1. Obsevefmos que a Proposi�c~ao (3.3.1) garante que toda propriedade topol�ogica

�e uma propriedade m�etrica.

De fato, pois se uma propriedade P �e preservada por homeomor�smo, ent~ao

ela tamb�em ser�a preserva por isometrias, pois toda isometria �e um homeo-

ro�smo.

2. Em geral, nao vale a rec��proca da a�rma�c~ao acima, ou seja, existem propri-

edades m�etricas, em espa�co m�etricos, que nao s~ao propriedades topol�ogicas.

Ou seja, existem propriedades Q, em alguns espa�co m�etricos, que s~ao pre-

servada por isometrias mas nao s~ao preservas por homeomor�smos.

Veremos um Exemplo deste caso no item 4. da Observa�c~ao 3.3.4.

Relativamente a homeoformisfos entre espa�cos m�etricos, temos os seguintes resulta-

dos:

Proposicao 3.3.2 Sejam (M,dM) um espa�co m�etrico , (N ,dN) um espa�co m�etrico

discreto e a fun�c~ao f : M → N um homeomor�smo de (M,dM) em (N,dN).

Ent~ao o espa�co m�etrico (M,dM) �e um espa�co m�etrico discreto.

Demonstracao:

De fato, para a ∈ M, mostremos que o ponto a �e um ponto isolado em (M,dM),

isto �e, podemos encontrar δ > 0, de modo que

BM(a ; δ) = {a} .

Para isto, como o espa�co m�etrico (N,dN) �e discreto e f(a) ∈ N, podemos encontrar

ε > 0, de modo que

BN(f(a) ; ε) = {f(a)} . (3.90)


Como a fun�c~ao f �e cont��nua em a, podemos encontrar δ > 0, de modo que

f(BM(a ; δ)) ⊆ BN(f(a) ; ε)(3.90)= {f(a)}. (3.91)

Como a fun�c~ao f �e injetora, de (3.91), segue que BM(a ; δ) s�o poder�a ter um �unico

ponto, a saber, o ponto a.

De fato, caso contr�ario, se existisse x = a, tal que x ∈ B(a ; δ), de (3.91), ter��amos

f(x) ∈ B(f(a) ; ε)(3.90)= {f(a)},

ou seja,

f(x) = f(a) , com x = a ,

o que seria um absurdo, pois a fun�c~ao f �e injetora.

Assim

BM(a; δ) = {a} ,

ou seja, o pknto a �e um ponto isolado de (M,dM), mostrando que o espa�co m�etrico

(M,dM) �e discreto, como quer��amos demonstrar.

�

Observacao 3.3.4

1. Na verdade, na demonstra�c~ao da Proposi�c~ao 3.3.2, mostramos uma situa�c~ao

mais geral, a saber: se a fun�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) �e cont��nua em

(M,dM), injetora e, para algum a ∈ M, temos o ponto f(a) �e um ponto

isolado de (N,dN) ent~ao o ponto a ser�a um ponto isolado de (M,dM).

2. Em particular, a Proposi�c~ao 3.3.2 acima, garante que a propriedade:

(P) espa�co m�etrico ser discreto (ou n~ao discreto) ,

�e uma propriedade topol�ogica, ou seja, �e preservada por homeomor�smos

entre espa�cos m�etricos.

3. Sejam (M,dM) e (N,dN) espa�cos m�etricos discretos.

Os espa�co m�etricos (M,dM) e (N,dN) s~ao homeomorfos se, e somente se, os

conjuntos M e N tem a mesma cardinalidade, ou seja, existe uma aplica�c~ao

bijetora f : M → N.

De fato, suponhamos que

M ∼ N.

Ent~ao, em particular, existe uma aplica�c~ao bijetora f : M → N, ou seja, os

conjuntos M e N tem a mesma cardinalidade.


Por outro lado, se os conjuntos M e N tem a mesma cardinalidade, como

toda aplica�c~ao de�nida num espa�co m�etrico discreto �e cont��nua (veja o item

2. da Observa�c~ao 3.1.12), segue que toda aplica�c~ao bijetora entre espa�cos

m�etricos discretos ser�a um homeomor�smo (pois ela e sua inversa est~ao

de�nidas em espa�cos m�etricos discretos, logo s~ao cont��nuas, pelo item 2. da

Observa�c~ao 3.1.12).

Portanto, a aplica�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) ser�a um homeomor�smo, ou

seja, M ∼ N.

4. A�rmamos que a propriedade:

(P) espa�co m�etrico ser limitado,

�e uma propriedade m�etrica, ou seja, �e preservada por isometrias.

A veri�ca�c~ao deste fato �e simples ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.

Por�em a proriedade (P) nao �e uma propriedade topol�ogica, ou seja, pode nao

ser preservada por homeomor�smos, como mostra o seguinte exemplo:

Consideremos os espa�co m�etricos

(N , dN) e (P , dP) ,

com

P.=

{1

n; n ∈ N

}, (3.92)

onde as m�etricas dN e dP, s~ao as respectivas m�etricas induzida pela m�etrica

dR (dada por (2.13), com n = 1).

Temos que os espa�cos m�etricos (N , dN) e (P , dP) s~ao homeomorfos.

Notemos que os espa�cos m�etricos (N , dN) e (P , dP) s~ao discretos.


Al�em disso, notemos que os conjuntos N e P tem a mesma cardinalidade,

pois a aplica�c~ao f : N → P, dada por

f(n).=

1

n, para cada n ∈ N ,

�e uma aplica�c~ao bijetora do conjunto N no conjunto P.


Logo, do item 3 desta Observa�c~ao segue que eles ser~ao homeomorfos.

Por�em, notemos que o espa�co m�etrico (N , dN) nao �e limitado e o espa�co

m�etrico (P , dP) �e limitado, ou seja, a propriedade (P) nao �e uma propriedade

topol�ogica (apesar de ser uma propriedade m�etrica !).


Um outro resultado interessante �e dado pela:

Proposicao 3.3.3 Sejam (E , ∥ ·∥E) um espa�co vetorial real normado, a ∈ E e λ ∈ Rcom λ = 0.

Ent~ao a aplica�c~ao translacao do vetor a, que indicaremos por ta : E → E e a

aplica�c~ao homotetia, indicada por mλ : E → E, dadas por:

ta(x).= x+ a , (3.93)

e

mλ(x).= λ · x , para cada x ∈ E , (3.94)

s~ao homeomor�smos em (E , ∥ · ∥).

Demonstracao:

De fato, da Proposi�c~ao 3.2.3, segue que as fun�c~oes ta e mλ s~ao cont��nuas em (E , ∥·∥).Al�em disso, elas admitem fun�c~oes inversas ta

−1 : E → E e mλ−1 : E → E, que s~ao

dadas por:

ta−1(y)

.= y− a e mλ

−1(y).=

1

λ· x , para cada y ∈ E . (3.95)

A veri�ca�c~ao destes fatos ser~ao deixadas como exerc��cio para o leitor.

Observemos que as fun�c~oes ta−1 : E → E e mλ

−1 : E → E s~ao cont��nuas em (E , ∥ · ∥),logo se~ao homeomor�smos de (E , ∥ · ∥), completando a demonstra�c~ao.

�Como conseq�uecia temos o:

Corolario 3.3.1 Sejam (E , ∥ ·∥) um espa�co vetorial real normado, a , b ∈ E e r , s >

0.

Ent~ao as bolas abertas B (a ; r) e B(b ; s

)s~ao homeomorfas, munidas da m�etrica

induzida d∥·∥ (dada por (2.191)).

Demonstracao:

Consideremos a aplica�c~ao φ : B (a ; r) → E, dada por:

φ(x).=(tb◦m s

r◦ t−a

)(x) , para cada x ∈ B(a ; r) . (3.96)

A �gura abaixo ilustra a situa�c~ao descrita pela fun�c~ao acima:


a

or

-t−a

0

]

r

-m s

r

0

]

s

?

tb

b

}s

s

φ = tb

◦ m sr

◦ t−a

Observemos que

φ(a)(3.96)=(tb ◦m s

r◦ t−a

)(a)

=(tb◦m s

r

)(t−a(a))

(3.93)=(tb ◦m s

r

)(a− a)

=(tb◦m s

r

)(O)

= tb

(m s

r

(O))

(3.94)= t

b

(sr· O)

= tb

(O)

(3.93)= O+ b

= b ,


ou seja,

φ(a) = b . (3.97)

Notemos tamb�em que, para cada

x ∈ B(a ; r) , (3.98)

teremos:

d∥·∥ (φ(x) , φ(a))(2.191)= ∥φ(x) −φ(a)∥

(3.96) e (3.97)=

∥∥∥(tb ◦m sr◦ t−a

)(x) − b

∥∥∥=∥∥∥(tb ◦m s

r

)(t−a(x)) − b

∥∥∥(3.93)=∥∥∥(tb ◦m s

r

)(x− a) − b

∥∥∥=∥∥∥tb (m s

r(x− a)

)− b∥∥∥

(3.94)=∥∥∥tb (sr · (x− a)

)− b∥∥∥

(3.93)=∥∥∥[s

r· (x− a) + b

]− b∥∥∥

=∥∥∥sr· (x− a)

∥∥∥(2.74)=

∣∣∣sr

∣∣∣︸︷︷︸sr, pois s ,r>0

∥x− a∥

(2.191)=

s

rd∥·∥(x , a)

(3.98)<

s

rr

= s ,

ou seja,

φ(x) ∈ B(φ(a) ; s)(3.98)= B(b ; s) ,

mostrando que

φ : B(a ; r) → B(b ; s) .

Logo, da Proposi�c~ao 3.3.3, segue que a fun�c~ao φ �e um homeomor�smo (pois �e uma

composta de homeomor�smos), mostrando que(B(a ; r) , d∥·∥

)e(B(b ; s , d∥·∥)

)s~ao ho-

meomorfos, completando a demonstra�c~ao.

�De modo semelhante pode-se demonstrar o:

Corolario 3.3.2 Sejam (E , ∥ · ∥E) espa�co vetorial real normado, a , b ∈ E e r, s > 0.


Ent~ao as bolas fechadas B[a ; r] e B[b ; s] s~ao homeomorfas, munidas da m�etrica

induzida d∥·∥ (dada por (2.191)).

Al�em disso e as esferas S(a ; r), S(b ; s) tamb�em s~ao homeomorfas, munidas da

m�etrica induzida d∥·∥ (dada por (2.191)).

Demonstracao:

A veri�ca�c~ao destes fatos �e semelhante a do Corol�ario 3.3.1 e assim, sua elabora�c~ao

ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.

�

Observacao 3.3.5

1. Sabemos que o diametro de um subconjunto de um espa�co m�etrico �e um

invariante m�etrico, isto �e, �e preservado por isometrias, mas nao �e um inva-

riante topol�ogico, isto �e, pode n~ao ser preservado por homeomor�smo, como

mostram os Corol�arios acima, no caso de espa�cos vetoriais normados.

2. Observemos que em um espa�co m�etrico arbitr�ario, duas bolas abertas (ou

fechadas) podem nao ser homeomorfas, como mostra o seguinte exemplo:

Consideremos (M,dM) um espa�co m�etrico que possua um ponto a que seja

ponto isolado em (M,dM) e um ponto b que n~ao seja ponto isolado de

(M,dM).

Logo, podemos encontrar ε > 0, de modo que

B(a ; ε) = {a} .

Em particular essa bola aberta nao ser�a homeomorfa a uma bola aberta de

centro em b com qualquer raio �xado.

De fato, pois, para todo s > 0, temos que a bola aberta

B(b ; s)

�e um conjunto in�nito, pois o ponto b n~ao �e ponto isolado de (M,dM).

Portanto, nao poder�a existir uma aplica�c~ao bijetora do

conjunto B(a ; ε) = {a} , no conjunto B(b ; s) .

Portanto as bolas (B(a ; ε) , dM) e (B(b ; s) , dM) nao s~ao homeomorfas em

(M,dM).

A seguir, iremos introduzir a:



Diremos que uma fun�c~ao f : M → N �e uma imersao topologica de (M,dM) e

(N,dN) se a fun�c~ao f : (M,dM) → (f(M) , dN) for um homeomor�smo de (M,dM)

em (f(M) , dN).

Observacao 3.3.6

1. Notemos que um imers~ao isom�etrica f : (MdM) → (N,dN) ser�a uma imers~ao

topol�ogica.

De fato, pois se a fun�c~ao f �e uma imers~ao isom�etrica, teremos

dN(f(x) , f(y)) = dM(x , y) para todo x , y ∈ M,

mostrando que a fun�c~ao f : (MdM) → (f(M) , dN) ser�a bijetora, cont��nua

em (M,dM) e com fun�c~ao inversa f−1 : (f(M) , dN) → (M,dM) cont��nua em

(f(M) , dN).

2. Nao vale a rec��proca do item 1. acima, ou seja, nem toda imers~ao topol�ogica

�e uma imers~ao isom�etrica, como mostra o seguinte exemplo:

Consideremos os espa�cos m�etricos(R2 , dR2

), (R× {0} , dR2), onde a m�etrica

dR2 �e m�etrica usual (dadas por (2.13), com n = 2), o espa�co m�etrico (N,dN),

onde

N.=

{(x , x2

); x ∈ R

}(3.99)

(cuja represent�c~ao geom�etrica �e uma par�abola - veja a �gura abaixo) e a

m�etrica dN : N×N → R �e dada por

d(P ,Q).= comprimento do arco da par�abola que P a Q , (3.100)

para cada P ,Q ∈ N, e a fun�c~ao f : R× {0} → R2 dada por

f(t , 0).=(t , t2

), para cada (t , 0) ∈ R× {0} . (3.101)

-

6

ts

f(t) = (t, t2)

f(s) = (s, s2)

M = R

N = f(R)


Observemos que a fun�c~ao f �e cont��nua em (R × {0} , dR2) (pois cada uma de

suas componentes �e), bijetora sobre

f(R× {0})(3.101) e (3.99)

= N

e sua fun�c~ao inversa ser�a a fun�c~ao f−1 : N → R× {0}, dada por:

f(t , t2

) .= (t , 0) , para cada

(t , t2

)∈ N, (3.102)

que corresponde a restri�c~ao da proje�c~ao p1 : R2 → R× {0}, dada por

p1(x , y).= (x , 0) , para cada (x , y) ∈ R2 , (3.103)

(que �e uma fun�c~ao cont��nua em(R2 , dR2

)) ao conjunto f(R× {0}).

Logo a fun�c~ao f : (R×{0} , dR2) → (N,dN) ser�a um homeomor�smo, mostrando

que a fun�c~ao f : (R× {0} , dR2) → (N,dN) �e uma imers~ao topol�ogica.

Observemos que a fun�c~ao f : (R × {0} , dR2) → (N,dN) nao �e uma imers~ao

isom�etrica de (R× {0} , dR2) em (N,dN).

De fato, pois para t , s ∈ R, com t = s, teremos que

dN(f(t , 0) , f(s , 0))

�e o comprimento do arco da par�abola N que une os pontos(s , s2

)ao ponto

(t , t2

),

enquanto

dR2((t , 0) , (s , 0))

�e o comprimento do segmento de reta que une os pontos

(s , 0) e (t , 0) .

Portanto (veja a �gura acima)

dN(f(t , 0) , f(s , 0)) > dM((s , 0) , (t , 0)) ,

mostrando que a fun�c~ao f : (R × {0} , dR2) → (N,dN) n~ao ser�a uma imers~ao

isom�etrica.

Outro resultado importante �e dado pela:

Proposicao 3.3.4 Seja (E , ∥ · ∥) um espa�co vetorial real normado.

Ent~ao toda bola aberta de (E , ∥ · ∥) �e homeomorfa a (E , ∥ · ∥), isto �e, se a ∈ E e

r > 0 ent~ao (B (a ; r) , d∥·∥

)∼(E , d∥·∥

).


Demonstracao:

Notemos que, do Corol�ario 3.3.1, segue que basta mostrar que(B(O ; 1

), d∥·∥

)∼ (E , d∥·∥) ,

ou seja, basta construir um homeomor�smo

f :(E , d∥·∥

)→ (B(O ; 1

), d∥·∥

).

Consideremos a fun�c~ao f : E → E, dada por:

f(x).=

1

1+ ∥x∥· x , para cada x ∈ E . (3.104)

Observemos que

d(f(x) , 0

)(2.191)= ∥f(x) − O∥

(3.104)=

∥∥∥∥ 1

1+ ∥x∥· x∥∥∥∥

(2.74)=

1

1+ ∥x∥∥x∥

< 1 ,

mostrando que

f(E) ⊆ B(O ; 1

), ou seja, f : E → B

(O ; 1

).

Al�em disso a fun�c~ao f �e uma fun�c~ao cont��nua, pois a aplica�c~ao

x → ∥x∥

�e cont��nua em(E , d∥·∥

)e

1+ ∥x∥ = 0 , para todo x ∈ E .

De�namos a fun�c~ao g : B(O ; 1

)→ E, dada por:

g (y).=

1

1− ∥y∥· y , para cada y ∈ B

(O ; 1

). (3.105)

Notemos que a fun�c~ao g �e cont��nua em(B(O ; 1

), d∥·∥

), pois a aplica�c~ao

y → ∥y∥

�e cont��nua(E , d∥·∥

)e

1− ∥y∥ = 0 , para todo y ∈ B(O ; 1

).


Al�em disso, para cada y ∈ B(O ; 1

), teremos:

f (g(y))(3.105)= f

(1

1− ∥y∥· y)

(3.104)=

1

1+

∥∥∥∥ 1

1− ∥y∥· y∥∥∥∥

1

1− ∥y∥· y

(2.74)=

1

1+1

1− ∥y∥∥y∥

1

1− ∥y∥· y

=1− ∥y∥

1− ∥y∥+ ∥y∥1

1− ∥y∥· y

= y .

De modo semelhante mostra-se que

g(f(x)) = x , para cada x ∈ E .


Portanto,

g = f−1 ,

mostrando que a fun�c~ao f :(E , d∥·∥

) → (B(O ; 1

), d∥·∥

)�e um homeomor�smo de(

E , d∥·∥)em

(B(O ; 1

), d∥·∥

), ou ainda,

(E , d∥·∥

)∼(B(O ; 1

), d∥·∥

),

como quer��amos demonstrar.

�

Observacao 3.3.7

1. Da Proposi�c~ao 3.3.4 acima segue que,

((a , b) , dR) ∼ (R , dR) ,

onde dR �e m�etrica usual (dada por (2.13), com n = 1).

De fato, pois

(a , b) = B

(a+ b

2;b− a

2

).



a ba+b

2

-�-�b−a

2 b−a2

2. Na situa�c~ao do item acima, temos que

(a ,∞) , dR) ∼ (R , dR) .

Um outro modo de mostrar isto �e considerando a fun�c~ao f : R → (a ,∞),

dada por:

f(x).= a+ ex , para cada x ∈ R . (3.106)

A representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co da fun�c~ao f �e dada pela �gura abaixo.

-

6

x

f(x) = a + ex

y = a

Com isto pode-se mostrar que a fun�c~ao f �e cont��nua em (R , dR) e se de�nindo-

se a fun�c~ao h : (a ,∞) → R, dada por:

h(y).= ln(y− a) , para cada y ∈ (a ,∞) , (3.107)

teremos que a fun�c~ao h ser�a cont��nua em ((a ,∞) , dR).

A representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co da fun�c~ao h �e dada pela �gura abaixo.


-

6

y

h(y) = ln(y − a)

Al�em disso, pode-se veri�car que

f(h(y)) = y , para cada y ∈ (a ,∞) e g(f(x)) = x , para cada x ∈ R ,

mostrando que

h = f−1 .

A veri�ca�c~ao destes fatos ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.

Portanto, a fun�c~ao f �e um homeormor�smo de ((a ,∞) , dR) em (R , dR), ou

seja,

((a ,∞) , dR) ∼ (R , dR) .

3. De modo semelhante ao que �zemos no item 2. pode-se mostrar (ser�a deixado

como exerc��cio para o leitor) que (−∞, b) ∼ R.

Um outro caso importante �e dado pelo:

Exemplo 3.3.4 Consoderemos o espa�co m�etrico (Sn , dRn+1), onde

Sn .=

{x ∈ Rn+1 ; ∥x∥ = 1

}(3.108)

�e a denominada esfera unitaria n-dimensional , de centro na origem, munida da

m�etrica dRn+1, induzida pela m�etrica usual (dada por (2.13), com n = n+ 1) e

N.= (0 , 0 , · · · , 0 , 1) ∈ Rn+1 , (3.109)

o denominado polo norte da esfera Sn.

Mostrares que

(Sn \ {N} , dRn+1) ∼ (Rn , dRn) .


Resolucao:

Para isto exibiremos uma aplica�c~ao Π : (Sn \ {N} , dRn+1) → (Rn , dRn) que �e um

homeomor�smo.

A aplica�c~ao Π ser�a de�nida da seguinte forma:

Dado x ∈ Sn \ {N}, consideremos a semi-reta−→Nx, que une os pontos N e x, que est�a

bem de�nida pois x = N.

De�nimos Π(x), como sendo o ponto de intersec�c~ao da semi-reta−→Nx, com o h��per-

plano xn+1 = 0.

A �gura abaixo ilustra a situa�c~ao para o caso que n = 1.

RO

N.= (0 , 1)

x

π(x)

y

π(y)

semi-reta−→Nx

semi-reta−→Ny

6

�

S1 \ {N}

w

A seguir obteremos uma express~ao para π(x), para cada x ∈ Sn \ {N}.

Observemos para cada x ∈ S1 \ {N}, os pontos da semi-reta−→Nx s~ao da forma

p+ t · (x− p) , para cada t ∈ (0 ,∞) .

Logo

π(x) = p+ t · (x− p), para algum t ∈ (0 ,∞) . (3.110)

Mas π(x) dever�a pertencer ao h��per-plano xn+1 = 0, ou seja, a �ultima coordanada de

π(x) dever�a ser zero.

Como a �ultima coordenada de (3.110) �e da forma

1+ t · (xn+1 − 1) ,

pois a �ultima coordenada do ponto N �e igua a 1 (veja (3.109)), t ∈ (0 ,∞) dever�a

satisfazer

1+ t (xn+1 − 1) = 0 ,

ou seja, deveremos ter

t =1

1− xn+1

. (3.111)


Dado x ∈ Rn+1, podemos escreve-lo na forma

x.= (x1 x2 , · · · , xn , xn+1) = (x ′ , xn+1) , (3.112)

onde

x ′ .= (x1 , x2 , · · · , xn) e xn+1 ∈ R , (3.113)

segue que

N+ t · (x− p)(3.111)= N+

1

1− xn+1

· (x−N)

(3.109) e (3.112)= (0 , 0 , · · · , 0 , 1) + 1

1− xn+1

· [(x1 , x2 , · · · , xn , xn+1) − (0 , 0 , · · · , 0 , 1)]

= (0 , 0 , · · · , 0 , 1) + 1

1− xn+1

· (x1 , x2 , · · · , xn , xn+1 − 1)

(3.112) e (3.113)= (0 , 0 , · · · , 0 , 1) +

(1

1− xn+1

· x ′ ,−1

)=

(1

1− xn+1

x ′ , 0

).

Observemos que

({(x1 , x2 , · · · , xn , 0) ; xi ∈ R , para i ∈ {1 , 2 , · · · , n}} , dRn+1) ∼ (Rn , dRn) .

Para ver isto, basta considerar a aplica�c~ao ϕ : {(x ′ , 0) ; x ′ ∈ Rn} ⊆ Rn+1 → Rn, dada

por

ϕ(x ′ , 0).= x ′ , para cada ∈ (x ′ , 0) ∈ Rn × {0} , (3.114)

e mostrar que esta �e um homeomor�smo de ({(x ′ , 0) ; x ′ ∈ Rn} , dRn+1) em (Rn , dRn).


Assim a aplica�c~ao Π : S1 \ {N} → Rn ser�a dada por

Π(x) = (ϕ ◦ π)(x) , para cada x ∈ S1 \ {N} ,

ou seja,

Π(x) =1

1− xn+1

· x ′ , para cada x ∈ S1 \ {N}, (3.115)

onde, como em (3.112), temos que

x = (x ′ , xn+1) ∈ Rn × R = Rn+1 .

Como xn+1 = 1 (pois x = N), de (3.115), segue que a fun�c~ao Π : S1 \ {N} → Rn ser�a

cont��nua em S1 \ {N}.

Consideremos agora a aplica�c~ao φ : Rn → Rn+1 dada por

φ(y).= x , para cada y ∈ Rn, (3.116)


onde x = (x ′, xn+1), com

x ′ .=

2

∥y∥Rn2 + 1

· y e xn+1.=

∥y∥Rn2 − 1

∥y∥Rn2 + 1

, (3.117)

isto �e,

φ(y).=

(2

∥y∥Rn2 + 1

· y ,∥y∥Rn

2 − 1

∥y∥Rn2 + 1

)∈ Rn+1 , para cada y ∈ Rn . (3.118)

Observemos que, para cada y ∈ Rn, teremos

∥φ(y)∥Rn+12 (3.118)

=

∥∥∥∥ 2

∥y∥Rn2 + 1

· y∥∥∥∥Rn

2 +

∣∣∣∣∥y∥Rn2 − 1

∥y∥Rn2 + 1

∣∣∣∣2(2.74)=

4(∥y∥Rn

2 + 1)2 ∥y∥2Rn +

(∥y∥Rn

2 − 1)2(

∥y∥Rn2 + 1

)2=

4 ∥y∥Rn2 +(∥y∥Rn

2 − 1)2(

∥y∥Rn2 + 1

)2=

4 ∥y∥Rn2 +(∥y∥Rn

4 − 2 ∥y∥Rn2 + 1

)(∥y∥Rn

2 + 1)2

=∥y∥Rn

4 + 2 ∥y∥Rn2 + 1(

∥y∥Rn2 + 1

)2=

(∥y∥Rn

2 + 1)2(

∥y∥Rn2 + 1

)2= 1,

ou seja, de (3.108), teremos:

φ(y) ∈ Sn , para cada y ∈ Rn . (3.119)

Notemos que, se existe y ∈ Rn tal que

φ(y) = (0 , 0 , · · · , 0 , 1) = N ∈ Rn+1 ,

de (3.118), dever��amos ter:

2

∥y∥Rn2 + 1

· y = (0 , 0 , · · · , 0) ∈ Rn (3.120)

e

∥y∥Rn2 − 1

∥y∥Rn2 + 1

= 1 . (3.121)


Logo, de (3.120), dever��amos ter

y = (0 , 0 , · · · , 0) ∈ Rn (3.122)

e este y n~ao ir�a satisfazer (3.122), ou seja,

N ∈ φ (Rn) . (3.123)

Logo, de (3.119) e (3.112) segue que

φ : Rn → Sn \ {N} . (3.124)

Observemos tamb�em que, de (3.118) a fun�c~ao φ �e cont��nua em (Rn , dRn) e, al�em

disso, para

x = (x ′ , xn+1) ∈ Sn \ {N} , (3.125)

temos que

1(3.125)= ∥x∥Rn+1

2

(3.125)= ∥x ′∥Rn

2 + (xn+1)2 e xn+1 = 1 ,

assim ∥x ′∥Rn2 = 1− (xn+1)

2 . (3.126)

Deste modo, teremos

φ(Π(x))(3.118)=

(2

∥Π(x)∥Rn2 + 1

· Π(x) , ∥Π(x)∥Rn2 − 1

∥Π(x)∥Rn2 + 1

)

(3.115)=

2∥∥∥∥ 1

1− xn+1

· x ′∥∥∥∥2Rn

+ 1

·[

1

1− xn+1

· x ′],

∥∥∥∥ 1

1− xn+1

· x ′∥∥∥∥2Rn

− 1∥∥∥∥ 1

1− xn+1

· x ′∥∥∥∥2Rn

+ 1

(2.74)=

2

1

(1− xn+1)2∥x ′∥2Rn + 1

[1

1− xn+1

· x ′],

1

(1− xn+1)2∥x ′∥Rn

2 − 1

1

(1− xn+1)2∥x ′∥Rn

2 + 1

=

(2 (1− xn+1)

2[∥x ′∥Rn

2 + (1− xn+1)2](1− xn+1)

· x ′ ,∥x ′∥Rn

2 − (1− xn+1)2

∥x ′∥Rn2 + (1− xn+1)

2

)

=

(2 (1− xn+1)[

∥x ′∥Rn2 + (1− xn+1)

2] · x ′ ,

∥x ′∥Rn2 − (1− xn+1)

2

∥x ′∥Rn2 + (1− xn+1)2

)

(3.126)=

2 (1− xn+1){[1− (xn+1)

2]+ (1− xn+1)

2} · x ′ ,

[1− (xn+1)

2]− (1− xn+1)

2[1− (xn+1)

2]+ (1− xn+1)

2

=

(2 (1− xn+1)[

1− (xn+1)2 + 1− 2 xn+1 + (xn+1)

2] · x ′ ,

1− (xn+1)2 −[1− 2 xn+1 + (xn+1)

2]

1− (xn+1)2 +[1− 2 xn+1 + (xn+1)

2])

=

(2 (1− xn+1)

(2− 2xn+1)· x ′ ,

2 xn+1 − 2(xn+1)2

2− 2 xn+1

)


=

(x ′ ,

2 (1− xn+1)xn+1

2 (1− xn+1)

)= (x ′ , xn+1)

(3.112)= x ,

ou seja, φ(Π(x)) = x . (3.127)

Por outro lado, para y ∈ Rn, denotando

φ(y) = ([φ(y)] ′ , [φ(y)]n+1) ∈ Rn × R , (3.128)

segue que:

Π(φ(y))(3.115)=

1

1− [φ(y)]n+1

· [φ(y)] ′

(3.118)=

1

1−

[∥y∥Rn

2 − 1

∥y∥Rn2 + 1

] ·[(

2

∥y∥Rn2 + 1

· y ,∥y∥Rn

2 − 1

∥y∥Rn2 + 1

)] ′

de�ni�c~ao de ′=

1

1−

[∥y∥Rn

2 − 1

∥y∥Rn2 + 1

] 2

∥y∥Rn2 + 1

· y

=∥y∥Rn

2 + 1

(∥y∥Rn2 + 1) − (∥y∥Rn

2 − 1)

2

∥y∥Rn2 + 1

· y

=2(∥y∥Rn

2 + 1)

2(∥y∥Rn

2 + 1) · y

= y ,

ou seja, Π(φ(y)) = y . (3.129)

Portanto, de (3.127) e (3.129), segue que

Π(φ(x)) = x , para cada x ∈ Sn \ {N} e φ(Π(y)) = y , para cada y ∈ Rn ,

mostrando que a fun�c~ao cont��nua φ �e a fun�c~ao inversa da fun�c~ao cont��nua Π e como

isto podemos concluir que

Π : (Sn \ {N} , dRn+1) → (Rn , dRn)

�e um homeormor�smo, ou ainda

Sn \ {p} ∼ Rn ,


�


Observacao 3.3.8 A aplica�c~ao Π : Sn \ {N} → Rn, dada por (3.115), �e denominada

projecao estereografica.

Para �nalizar a se�c~ao temos a:

Definicao 3.3.5 Sejam (M,dM) e (N,dN) espa�cos m�etricos e f : M → N.

De�nimos o grafico da funcao f, indicado por G(f), como sendo o seguinte

subconjunto de M×N:

G(f).= {(x , f(x)) ; x ∈ M} . (3.130)

Com isto temos a:

Proposicao 3.3.5 Sejam (M,dM) e (N,dN) espa�cos m�etricos e f : (M,dM) →(N,dN) uma fun�c~ao cont��nua em (M,dM).

Ent~ao o espa�co m�etrico

(G(f) , dM×N) ,

onde dM×N �e uma das tres m�etrica do produto cartesiano (dadas por (2.111),

(2.112) ou (2.113)), �e homeomorfo a (M,dM).

Demonstracao:

Consideremos a seguinte aplica�c~ao

~f : M → M×N

dada por~f(x)

.= (x , f(x)) , para cada x ∈ M. (3.131)

Observemos que a fun�c~ao ~f �e cont��nua em (M,dM), pois suas fun�c~oes coordenadas

s~ao cont��nuas em (M,dM), �e injetora, pois se x1 = x2, teremos

~f(x1)(3.131)= (x1 , f(x1)) = (x2 , f(x2))

(3.131)= ~f(x2)

e portanto bijetora sobre a sua imagem

~f(M)(3.131) e (3.130)

= G(f) .

Observemos que fun�c~ao p1 : G(f) → M, dada por

p1(x , f(x)).= x , para cada (x , f(x)) ∈ G(f) (3.132)

(ou seja, a restri�c~ao ao conjunto G(f) da proje�c~ao no primeiro fator) �e cont��nua em

(G(f) , dM×N) e

~f(p1(x , f(x)))(3.132)= ~f(x)

(3.131)= (x , f(x)) , para cada (x , f(x)) ∈ G(f)

e

p1(~f(x))(3.131)= p1(x , f(x))

(3.132)= x , para cada x ∈ M,


mostrando que a aplica�c~ao p1 �e a fun�c~ao inversa associada a fun�c~ao ~f.

Como as fun�c~oes acima s~ao cont��naus, segue que a aplica�c~ao ~f : (M,dM) → (G(f) , dM×N)

�e um homeomor�smo, mostrando que

(M,dM) ∼ (G(f) , dM×N) ,

como quer��amos demonstrar.

�Podemos aplicar as ideias acima aos:

Exemplo 3.3.5 Mostremos que (R\{0} , dR), onde a m�etrica dR �e a m�etrica induzida

pela m�etrica usual (ou seja, dada por (2.13), com n = 1) �e homeomorfo �a (H ,dR2),

onde a m�etrica dR2 �e a m�etrica induzida pela m�etrica usual (ou seja, dada por

(2.13), com n = 2) e

H.=

{(x , y) ∈ R2 ; xy = 1

}, (3.133)

ou seja, �e o gr�a�co da hip�erbole

xy = 1 .

Resolucao:

De fato, consideremos a fun�c~ao f : R \ {0} → R, dada por

f(x).=

1

x, para cada x ∈ R \ {0} . (3.134)

Observemos que a fun�c~ao f cont��nua em (R \ {0} , dR) e que

G(f) = H .

A veri�c~a�c~ao destes fatos ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.

Logo, da Proposi�c~ao 3.3.5 segue que

(R \ {0} , dR) ∼ (H ,dR2) .

A �gura abaixo nos fornece a representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co da fun�c~ao f, ou

seja, do conjunto H.

-

6

x

y

f(x) = 1x

(x , 1

x

)

x


�

Exemplo 3.3.6 Mostre que o hemisferio norte da esfera unit�aria centrada na ori-

gem contida em (Rn , dRn), que ser�a indicada por

Sn+

.= {(y1 , y2 , · · · , yn, yn+1) ∈ Sn ; yn+1 > 0} (3.135)

�e homeomorfa �a bola aberta unit�aria centrada na origem em (Rn , dRn+1), isto �e,

(Sn+ , dRn) ∼

(B(O ; 1

), dRn

).

Resolucao:

De fato, consideremos a aplica�c~ao f : B(O ; 1

)→ R, dada por

f(x).=

√1− ∥x∥2 , para cada x ∈ B

(O ; 1

). (3.136)

Notemos que a fun�c~ao f �e cont��nua em(B(O ; 1

), dRn

), pois �e composta de fun�c~oes

cont��nuas.


Observemos que

y = (y1 , y2 , · · · , yn , yn+1) ∈ Sn+

se, e somente se,

1 = ∥y∥2

(2.13)= y1

2 + · · ·+ yn2 + yn+1

2

e

yn+1 > 0 ,

que �e equivalente a

yn+1 =

√1− y1

2 − y22 − · · ·− yn

2 . (3.137)

Logo, para x.= (y1, · · · , yn) ∈ Rn, temos que (3.137) �e equivalente a

∥x∥ = 1 e yn+1 =√1− ∥x∥2 ,

ou seja, y = (y1 , y2 , · · · , yn , yn+1) ∈ Sn+ se, e somente se, y =

(x ,

√1− ∥x∥2

),

ou ainda, G(f) = Sn+ . (3.138)

Logo, da Proposi�c~ao 3.3.5 segue que

(G(f) , dRn+1) ∼ (B(O ; 1

), dRn) ,


que, de (3.138), �e o mesmo que dizer que

(Sn+ , dRn+1) ∼ (B

(O ; 1

), dRn) .

A �gura abaixo nos fornece a representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co da fun�c~ao f, ou

seja, do conjunto Sn+.

Rn

�

Sn+

91

O

x

f(x)

(x, f(x))

�

3.4 Metricas equivalentes em um espaco metrico

Iniciaremos esta se�c~ao com a introdu�c~ao do seguinte importante conceito:

Definicao 3.4.1 Sejam d1 e d2 duas m�etricas em M.

Diremos que a metrica d1 e mais fina que a metrica d2, escrevendo d1 ≻ d2,

se a aplica�c~ao identidade i12 : (M,d1) → (M,d2), dada por

i12(x).= x , para cada x ∈ M (3.139)

for cont��nua em (M,d1).

Observacao 3.4.1 Da De�ni�c~ao 3.4.1 acima, segue que a m�etrica d1 �e mais �na

que a m�etrica d2 (em M) se, e somente se, para cada a ∈ M, dado ε > 0, podemos

encontrar δ > 0, de modo

Bd1(a ; δ) ⊆ Bd2

(a ; ε) , (3.140)

ou seja, toda bola aberta, segundo a m�etrica d2, cont�em uma bola aberta, segunda

a m�etrica d1.

A �gura abaixo ilustra a situa�c~ao descrita acima

3.4. M�ETRICAS EQUIVALENTES 155

a

�ε

Y δ

� Bd2(a ; ε)

3

Bd1(a ; δ)

Com isto temos a:

Proposicao 3.4.1 Seja (M,d1) um espa�co m�etrico discreto (isto �e, a m�etrica d1 �e

a m�etrica discreta) e d2 uma outra m�etrica qualquer em M.

Ent~ao

d1 ≻ d2 , (3.141)

ou seja, a m�etrica discreta em conjunto �e mais �na que qualquer m�etrica que

coloquemos nesse conjunto.

Al�em disso, se d �e uma m�etrica em M, tal que

d ≻ d1 ,

ent~ao a m�etrica d �e uma m�etrica discreta em M, ou seja, a a m�etrica discreta em

conjunto �e a �unica m�etrica nesse conjunto que �e mais �na que qualquer m�etrica

que coloquemos nesse conjunto..

Demonstracao:

Lembremos que de d1 �e m�etrica discreta emM ent~ao todo ponto de (M,d1) �e isolado.

Logo, para cada a ∈ M, podemos encontrar δ > 0, tal que

Bd1(a ; δ) = {a} . (3.142)

Logo, dado ε > 0, temos que

Bd1(a ; δ)

(3.142)= {a} ⊆ Bd2

(a ; ε)

mostrando, pela Observa�c~ao (3.4.1), que

d1 ≻ d2 ,

completando a primeira parte da demonstra�c~ao.

Suponhamos que a m�etrica d em M �e tal que

d ≻ d1 .


Logo, para cada a ∈ M, como a m�etrica d1 �e a m�etrica discreta, podemos encontrar

ε > 0, tal que

Bd1(a ; ε) = {a} . (3.143)

Como

d ≻ d1 ,

da Observa�c~ao (3.4.1), podemos encontrar δ > 0, de modo que

Bd(a ; δ) ⊆ Bd1(a ; ε)

(3.143)= {a} ,

ou seja,

Bd(a ; ε) = {a} ,

mostrando que a m�etrica d �e a uma m�etrica discreta em M, completando a demosn-

tra�c~ao.

�Outro resultado interessante �e dado pela:

Proposicao 3.4.2 Sejam d1 e d2 duas m�etricas em M, satisfazendo a seguinte

rela�c~ao: existe c > 0 tal que

d2(x , y) ≤ c d1(x , y) para todo x , y ∈ M. (3.144)

Ent~ao

d1 ≻ d2 .

Demonstracao:

Notemos que a desigualdade (3.144) acima implica que a aplica�c~ao identidade

i12 : (M,d1) → (M,d2)

�e lischitziana em (M,d1).

Em particular, pela Proposi�c~ao 3.1.1, ser�a uma fun�c~ao cont��nua em (M,d1) mos-

trando, pela De�ni�c~ao 3.4.1 que d1 ≻ d2, completando a demonstra�c~ao.

�

Observacao 3.4.2 Podemos provar o resultado acima diretamente, ou seja, para

cada a ∈ M, para podemos mostra que a fun�c~ao i12 : (M,d1) → (M,d2) �e cont��nua

em a.

Para isto observemos que, dado ε > 0, consideremos

δ.=

ε

c> 0 . (3.145)

Logo, se x ∈ M satisfaz:

x ∈ Bd1(a ; δ) , isto �e, d1(x , a) < δ , (3.146)


segue que

d2(x , a)(3.144)

≤ c d1(x , a)

(3.146)< cδ

(3.145)< c

ε

c= ε ,

ou seja, x ∈ Bd2(a ; ε), mostrando que

Bd1(a ; δ) ⊆ Bd2

(a ; ε) ,

e assim, da Observa�c~ao (3.4.1), segue que, d1 ≻ d2, completando a veri�ca�c~ao.

Temos tamb�em a:

Proposicao 3.4.3 Sejam (M,d1) e (M,d2) espa�cos m�etricos.

As a�rma�c~oes s~ao equivalentes;

1. d1 ≻ d2, isto �e, a aplica�c~ao i12 : (M,d1) → (M,d1) �e cont��nua em (M,d1);

2. Para todo espa�co m�etrico (N,dN), se uma fun�c~ao f : (M,d2) → (N,dN) �e

cont��nua em (M,d2), ent~ao a aplica�c~ao f : (M,d1) → (N,dN) ser�a cont��nua

em (M,d1), ou seja, toda aplica�c~ao cont��nua segundo a m�etrica d2 dever�a

ser cont��nua segundo a m�etrica d1;

3. Consideremos o espa�co m�etrico (R , dR), onde a m�etrica dR �e a m�etrica usual

(ou deja, dada por (2.13), com n = 1). Se uma fun�c~ao f : (M,d2) → (R , dR) �e

cont��nua em (M,d2), ent~ao a fun�c~ao f : (M,d1) → (R , dR) ser�a cont��nua em

(M,d1), ou seja, toda aplica�c~ao cont��nua, a valores reais, segundo a m�etrica

d2 dever�a ser cont��nua segundo a m�etrica d1;

4. Para cada a ∈ M �xado, a fun�c~ao d2 a : (M,d1) → (R , dR), dada por

d2 a.= d2(a , x) , para cada x ∈ M, (3.147)

�e cont��nua em (M,d1);

5. Toda bola aberta, segundo a m�etrica d2, cont�em uma bola aberta, segundo

d1, de mesmo centro que a primeira;

6. A fun�c~ao d2 : (M × M,D1) → (R , dR) �e cont��nua em (M × M,D1), onde a

m�etrica D1 �e uma das tres m�etricas usuais do produto cartesiano, relativa-

mente �a m�etrica d1 (ou seja, dadas por (2.111), (2.112) ou (2.113)).

Demonstracao:

Faremos a demonstra�c~ao segundo a seguinte seq�uencia de implica�c~oes:


-1. 2.

?3.�4.

?

6

5.

6.

j

+6

Come�caremos mostrando que:

1. =⇒ 2.:

isto �e, vale 1., ou ainda, d1 ≻ d2 e mostremos que 2. ocorrer�a, ou seja, se a fun�c~ao

f : (M,d2) → (N,dN) �e cont��nua em (M,d2) ent~ao a fun�c~ao f : (M,d1) → (N,dN)

dever�a ser cont��nua em (M,d1).

Para isto, denotemos por

f1.= f : (M,d1) → (N,dN) (3.148)

e f2.= f : (M,d2) → (N,dN) . (3.149)

Logo, segundo a conve�c~ao acima teremos

f1 = f2 ◦ i12 . (3.150)

Como d1 ≻ d2, pela De�ni�c~ao (3.4.1), segue que a fun�c~ao i12 : (M,d1) → (M,d2) �e

cont��nua em (M,d1).

Logo, da hip�otese que a fun�c~ao f2 �e cont��nua em (M,d2), de (3.150) e da Proposi�c~ao

3.2.1, segue que a fun�c~ao f1 ser�a cont��nua em (M,d1), ou seja, vale 2. .

O diagrama abaixo ilustra a situa�c~ao descrita acima:

-

R

(M,d1) (Md2)

(N ,dN)

i12

f1f2

Mostremos que:

2. =⇒ 3.: isto �e, vale 2., ou ainda, se a fun�c~ao f : (M,d2) → (N,dN) �e cont��nua

em (M,d2) ent~ao a fun�c~ao f : (M,d1) → (N ,dN) dever�a ser cont��nua em (M,d1) e

deveremos mostrar que valer�a 3., ou seja, ent~ao a fun�c~ao f : (M,d1) → (R , dR) ser�a

cont��nua em (M,d1)


Notemos que isto �e um como caso particular de 2., bastando conisderar

N.= R e dN

.= dR ,

e assim obteremos que 2. �e verdadeira.

Mostremos agora que:

3. =⇒ 4.:

isto �e, se vale 3., ou ainda, se a fun�c~ao f : (M,d2) → (R , dR) �e cont��nua em (M,d2)

implicar�a que a a fun�c~ao f : (M,d1) → (R , dR) �e cont��nua em (M,d1), ent~ao valer�a 4.,

isto �e, a fun�c~ao d2 a : (M,d1) → (R , dR), dada por (3.147), ser�a cont��nua em (M,d1).

Sabemos que a aplica�c~ao d2a : (M,d2) → (R , dR), dada por (3.147), �e cont��nua em

(M,d2).

De fato pois, do Exemplo 3.1.17, temos que a fun�c~ao d2 �e cont��nua em

(M,d2)× (M,d2) , d) ,

onde a m�etrica d �e m�etrica dada por (2.13), no produto cartesiano.

Logo, do item 1. da Observa�c~ao 3.2.3, segue que restri�c~ao de d2 �a ({a}×M,d2), ser�a

uma fun�c~ao d2 a, tamb�em ser�a cont��nua em ({a}×M,d).

Logo do item 3. segue a aplica�c~ao d2 a : (M,d1) → (R , dR) tamb�em ser�a cont��nua

em (M,d1), mostrando que 4. �e verdadeira.


4. =⇒ 1.:

isto �e, se vale 4., ou seja, se para cada a ∈ M �xado, a fun�c~ao d2 a : (M,d1) → (R , dR),

dada por (3.147) �e cont��nua em (M,d1), mostremos que vale 1, ou seja, d1 ≻ d2,

ou ainda, precisamos mostra que a aplica�c~ao i12 : (M,d1) → (M,d2) �e cont��nua em

(M,d1).

Para isto precisamos mostrar que i12 : (M,d1) → (M,d2) �e cont��nua em b, para

b ∈ M.

Por hip�otese, para cada a ∈ M, a aplica�c~ao d2 a : (M,d1) → (R , dR) �e cont��nua em

(M,d1), segue que dado ε > 0, podemos encontrar δ > 0, de modo se x ∈ M satisfaz

d1(x , a) < δ , teremos |d2 a(x) − d2 a(a)| < ε ,

ou seja, (de (3.147)) ε > |d2(x , a) − d2(a , a)︸︷︷︸(2.1)= 0

| = d2(x , a).

Portanto se x ∈ M satistaz:

d1(x , a) < δ , teremos d2(x , a) < ε ,

ou seja, Bd1(a ; δ) ⊆ Bd2

(a ; ε) ,

que, da Observa�c~ao 3.4.1. �e equivalente a dizer que d1 ≻ d2, mostrando que 1. coorrer�a.



4. ⇐⇒ 5.:

isto �e, vale 4., ou seja, se para cada a ∈ M �xado, a fun�c~ao d2 a : (M,d1) → (R , dR),

dada por (3.147) �e cont��nua em (M,d1) se, e somente se, vale 5, ou seja, toda bola

aberta, segundo a m�etrica d2, cont�em uma bola aberta, segundo d1, de mesmo centro

que a primeira.

Suponhamos que, vale 4., isto �e, a aplica�c~ao d2 a : (M,d1) → (R , dR), dada por

(3.147), �e cont��nua em (M,d1).

Logo dada a bola aberta Bd2(a ; ε), da continuidade da aplica�c~ao d2 a no ponto a,

segue que existe δ > 0, tal que se x ∈ M, satisfaz

d1(x , a) < δ , ou seja, se x ∈ Bd1(a ; δ)

deveremos ter: ε > |d2 a(x) − d2 a(a)|

(3.147)= |d2(x , a) − d2(a , a)︸︷︷︸

(2.1)=0

|

= d2(x , a) ,

ou seja, x ∈ Bd2(a ; ε) .

Portanto, se

x ∈ Bd1(a ; δ) , teremos x ∈ Bd2

(a ; ε) ,

ou seja, Bd1(a ; δ) ⊆ Bd2

(a ; ε) ,

mostrando que 5. ocorrer�a.

Por outro lado, se vale 5., ou seja, se toda bola aberta, segundo a m�etrica d2, cont�em

uma bola aberta, de mesmo centro, segundo a m�etrica d1, ent~ao dados a ∈ M e ε > 0,

segue que podemos encontrar δ > 0 tal que

Bd1(a ; δ) ⊆ Bd2

(a ; ε) . (3.151)

Logo se x ∈ M, satisfaz

d1(x , a) < δ ,

ou seja, x ∈ Bd1(a ; δ) ,

teremos que x ∈ Bd2(a ; ε) , (3.152)

e assim, segue que: |d2 a(x) − d2 a(a)|(3.147)= |d2(x , a) − d2(a , a)︸︷︷︸

(2.1)=0

|

= d2(x , a)(3.152)< ε ,

mostrando que a aplica�c~ao d2 a : (M,d1) → (R , dR) �e cont��nua em (M,d1), ou seja, 4.

ocorrer�a.



6. =⇒ 4.:

isto �e, vale 6., ou seja, a fun�c~ao d2 : (M × M,D1) → (R , dR) �e cont��nua em (M1 ×M1 , D1), onde a m�etrica D1 �e uma das tres m�etricas usuais do produto cartesiano,

relativamente �a m�etrica d1 (ou seja, dadas por (2.111), (2.112) ou (2.113)) e mostremos

que 4. ocorrer�a, isto �e, para cada a ∈ M �xado, a fun�c~ao d2 a, dada por (3.147), �e

cont��nua em (M,d1).

Notemos que se a fun�c~ao d2 : (M×M,D1) → (R , dR) �e cont��nua em (M×M,D1),

relativamente �a m�etrica d1, ent~ao a sua restri�c~ao ao conjunto {a}×M tamb�em ser�a, isto

�e,

d2|{a}×M : ({a}×M,d1) → (R , dR)

ser�a cont��nua em ({a}×M,d1).

Observemos que

d2 a = d2|{a}×M ,

portanto a aplica�c~ao d2 a ser�a cont��nua em (M,d1), mostrando que 4. ocorrer�a.

Para �nalizar, mostremos que:

1. =⇒ 6.:

isto �e, vale 1., ou seja, se d1 ≻ d2, ent~ao 6. ocorrer�a, ou seja, a fun�c~ao d2 : (M×M,D1) →(R , dR) �e cont��nua em (M×M,D1), onde a m�etrica D1 �e uma das tres m�etricas usuais

do produto cartesiano, relativamente �a m�etrica d1 (ou seja, dadas por (2.111), (2.112)

ou (2.113)).

De fato, se d1 ≻ d2, ent~ao a aplica�c~ao i12 : (M,d1) → (M,d2) ser�a cont��nua em

(M,d1).

Logo, do Corol�ario 3.2.2, segue que a aplica�c~ao identidade id : (M,×M,D1) →(M×M,D2) ser�a cont��nua em (M×M,D1), onde para cada i ∈ {1 , 2}, a m�etrica Di �e

uma das tres m�etricas usuais do produto cartesiano, relativamente �a m�etrica di (dadas

por (2.111), (2.112) ou (2.113)), pois

id = (i12 , i12)

e a aplica�c~ao i12 �e cont��nua em (M,d1).

Portanto a m�etrica D1 �e mais �na que a m�etrica D2, em M×M.

Sabemos que a fun�c~ao d2 : (M×M,D2) → (R , dR) �e cont��nua em (M×M,D2).

Logo, como 1. =⇒ 3., segue que a aplica�c~ao d2 : (M×M,D1) → (R , dR) tamb�em ser�a

cont��nua em (M×M,D1), mostrando que 6. ocorrer�a, completando a demonstra�c~ao.

�Um outro resultado interessante �e dado pela:

Proposicao 3.4.4 Sejam (M,dM) e (N,dN) espa�cos m�etricos e uma aplica�c~ao f :

M → N injetiva.

Ent~ao a fun�c~ao f �e cont��nua em (M,dM) se, e somente se, a m�etrica dM ≻ d1,

onde a m�etrica d1 �e a m�etrica induzida em (M,dM) pela aplica�c~ao f.


Demonstracao:

Podemos supor, sem perda de generalidade que a fun�c~ao f �e sobrejetora, isto �e,

N = f(M) ,

pois caso contr�ario trocamos o espa�co m�etrico (N,dN) pelo espa�co m�etrico (f(M,dN)

(munido da m�etrica induzida por (N,dN)).

Indicaremos por df : M ×M → R a m�etrica induzida pela aplica�c~ao f, isto �e, dada

por

df(x , y).= dN(f(x) , f(y)) , para cada x , y ∈ M. (3.153)

Notemos que a aplica�c~ao f : (M,d1) → (N,dN) ser�a uma isometria, pois

dN(f(x) , f(y))(3.153)= df(x , y) , para cada x , y ∈ M.

Indiquemos por

iMf : (M,dM) → (M,df)

a aplica�c~ao identidade.

Como a fun�c~ao f �e bijetora, segue que ser�a um homeomor�smo de (M,df) em

(N,dN).

Com isto temos o seguinte diagrama:

-

?

3(M,dM) (N ,dN)

(M,df)

iMf

f

f �e homeomro�smo

Como

f = f ◦ iMf

segue que a fun�c~ao f : (M,dM) → (N,dN) ser�a cont��nua em (M,dM) se, e somente se,

a fun�c~ao iMf �e cont��nua em (M,dM), ou seja, dM ≻ df, completando a demostra�c~ao da

proposi�c~ao.

�Apliquemos as ideias acima ao:

Exemplo 3.4.1 Consideremos os espa�cos m�etricos

([0 , 2 π) , d[0 ,2 π)) e(S1 , dR2

),

onde as m�etricas d[0 ,2 π) e dS1 s~ao as m�etricas induzidas pelas m�etricas usuais dR

e dR2 (dadas por (2.13), com n = 1 e n = 2, respectivamente) em [0 , 2 π) e S1,

respectivamente,

S1 .=

{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1

}


e a fun�c~ao f : [0 , 2 π) → S1, �e dada por

f(t).= (cos(t) , sen(t)) , para cada t ∈ [0 , 2π) . (3.154)

Mostre que a m�etrica d[0 ,2 π) �e mais �na que a m�etrica induzida pela aplica�c~ao

f.

Resolucao:

Vimos, no Exemplo (3.3.3), que a aplica�c~ao f �e cont��nua e bijetora em ([0 , 2 π) , d[0 ,2 π)).

Logo, da Proposi�c~ao (3.4.4) acima, segue que a m�etrica d[0 ,2π) �e mais �na que a

m�etrica induzida pela aplica�c~ao f.

Notemos que df : [0 , 2 π)× [0 , 2 π) → R ser�a dada por a m�etrica

df(x , y).= dS1(f(x) , f(y))

(3.154)= dS1[(cos(x) , sen(x)) , (cos(y) , sen(y))]

(2.13) com n=2=

√[cos(x) − cos(y)]2 + [sen(x) − sen(y)]2 ,

para cada x , y ∈ [0 , 2π).


Definicao 3.4.2 Sejam d1 e d2 m�etricas em M.

Diremos que as m�etricas d1 e d2 s~ao equivalentes em M, denotando por d1 ∼

d2, se a aplica�c~ao

i12 : (M,d1) → (M,d2)

for um homeomor�smo de (M,d1) em (M,d2).

Observacao 3.4.3

1. As m�etricas d1 e d2 em M, s~ao equivalentes em M se, e somente se,

d1 ≻ d2 e d2 ≻ d1 . (3.155)

2. A rela�c~ao ∼, no conjunto formado por todas as m�etricas de�nidas em M, �e

uma rela�c~ao de equivalencia, isto �e, satisfaz as seguintes condi�c~oes:

(a) para toda m�etrica d1 em M, temos que

d1 ∼ d1 ,

ou seja, a rela�c~ao ∼ �e re exiva.

De fato, pois a aplica�c~ao identidade

i11 : (M,d1) → (M,d1)

�e uma isometria, em particular, um homeomor�smo de (M,d1) em

(M,d1), assim d1 ∼ d1.


(b) se as m�etricas d1 e d2 em M, satisfazem d1 ∼ d2, ent~ao d2 ∼ d1, ou seja,

a rela�c~ao ∼ �e sim�etrica.

De fato, pois se d1 ∼ d2, ent~ao a aplica�c~ao identidade

i12 : (M,d1) → (M,d2)

�e um homeomor�smo de (M,d1) em (M,d2).

Logo a aplica�c~ao identidade

i21 = i12−1 : (M,d2) → (M,d1)

tamb�em ser�a um homeomor�smo de (M,d2) em (M,d1), mostrando que

d2 ∼ d1.

(c) se as m�etricas d1, d2 e d3 em M, satisfazem d1 ∼ d2 e d2 ∼ d3 ent~ao

teremos que d1 ∼ d3 , ou seja, a rela�c~ao ∼ �e transitiva.

De fato, pois se d1 ∼ d2, ent~ao a aplica�c~ao identidade

i12 : (M,d1) → (M,d1)

ser�a um homeomor�smo de (M,d1) em (M,d2).

De modo semelhante, como d2 ∼ d3, ent~ao teremos que a aplica�c~ao iden-

tidade

i23 : (M,d2) → (M,d3)

tamb�em ser�a um homeomor�smo de (M,d2) em (M,d3).

Logo a aplica�c~ao identidade

i13 = i23 ◦ i12 : (M,d1) → (M,d3)

dever�a ser um homeomor�smo de (M,d1) em (M,d3) mostrando que

d1 ∼ d3.

3. Notemos que, da Proposi�c~ao 3.4.3, segue que duas m�etricas em M s~ao equiva-

lentes se, e somente se, toda bola aberta, segundo uma das m�etricas, cont�em

uma bola aberta, de mesmo centro, segundo a outra m�etrica.

4. Observemos que duas m�etricas discretas em M s~ao sempre equivalentes, pois

toda bola aberta segundo uma ser�a uma bola aberta segunda a outra.

Al�em disso, vale observar que se d1 ∼ d2 e a m�etrica d1 �e uma m�etrica discreta

em M ent~ao, da Proposi�c~ao 3.4.1, segue que a m�etrica d2 tamb�em ser�a uma

m�etrica discreta em M.


5. Observemos tamb�em que, o 2. da Proposi�c~ao 3.4.3, garante que se d1 ∼ d2

em M, ent~ao uma aplica�c~ao

f : (M,d1) → (N,dN)

ser�a cont��nua em (M,d1) se, e somente se, a aplica�c~ao

f : (M,d2) → (N,dN)

for cont��nua em (M,d2).

Conclusao: se trocarmos a m�etrica de um espa�co m�etrico por uma outra

m�etrica equivalente dada inicialmente, estudar a continuiade de uma fun�c~ao

segundo a m�etrica, dada inicialmente, �e equivalente a estudar a continuidade

da fun�c~ao segundo a nova m�etrica.

A seguir consideraremos alguns exemplos importantes.

Exemplo 3.4.2 Mostre que as m�etricas d, d1 e d2 em Rn, introduzidas no Exemplo

2.1.3 (dadas por s~ao (2.13), (2.14) e (2.15), respectivamente) equivalentes.

Resolucao:

Notemos que, da Proposi�c~ao 2.1.1 segue que para x , y ∈ Rn (veja (2.17)) temos

d2(x , y) ≤ d(x , y) (3.156)

d(x , y) ≤ d1(x, y) (3.157)

d1(x , y) ≤ nd2(x , y) . (3.158)

Logo, aplicando a Proposi�c~ao 3.4.2 �as m�etricas d, d1 e d2, segue que;

� de (3.156), teremos que d ≻ d2 ;

� de (3.157), teremos que d1 ≻ d ;

� de (3.158), teremos que d2 ≻ d1 ;

ou seja, as m�etricas s~ao equivalentes d, d1 e d2 em Rn.

�

Observacao 3.4.4

No Exemplo 3.4.2 acima, se n = 2, temos garantido que toda bola aberta,

segundo a m�etrica d (que, neste caso, �e o interior de um disco), cont�em uma bola

aberta, segundo a m�etrica d1 (que, neste caso, �e o interior de um quadrado cujas

diagonais s~ao paralelas aos eixos coordenados) que, por sua vez, cont�em uma bola

aberta, segundo a m�etrica d2 (que, neste caso, �e o interior de um quadrado cujos

lados s~ao paralelos aos eixos coordenados) que, por �m, cont�em uma bola aberta,

segundo a m�etrica d (que, neste caso, �e o interior de um disco).

A �gura abaixo nos fornece uma representa�c~ao geom�etrica da situa�c~ao descrita

acima.


Bd(a ; r)

?

� Bd1(a ; r)

?

Bd2(a ; r2)

i

Bd(a ; s)

a

Em particular, do item 5. da Observa�c~ao 3.4.3 segue que, para estudar a

continuidade de uma fun�c~ao f : Rn → (MdM) onde em Rn consideramos, por

exemplo, a m�etrica d, podemos trocar a mesma pela m�etrica d1, ou pela m�etrica d2,

e estudar a continuidade da fun�c~ao dada relativamente �a nova m�etrica considerada

que o resultado obtido ser�a o mesmo que seria obtido com a m�etrica d, ou seja,

a fun�c~ao f : (Rn , d) → (M,dM) �e cont��nua em (Rn , d) se, e somente se, a fun�c~ao

f : (Rn , d1) → (M,dM) �e cont��nua em (Rn , d1) se, e somente se, a fun�c~ao f :

(Rn , d2) → (M,dM) �e cont��nua em (Rn , d2). .

Podemos estender o Exemplo 3.4.2 acima, utilizando a Proposi�c~ao 3.4.2, mais pre-

cisamente:

Corolario 3.4.1 Sejam d1 e d2 duas m�etricas em M tais que podemos encontrarα ,β >

0, de modo que

αd1(x , y) ≤ d2(x , y) ≤ βd1(x , y) , para cada x , y ∈ M. (3.159)

Ent~ao d1 ∼ d2.

Demonstracao:

Denotemos por

αd1(x , y)(I)

≤ d2(x , y)(II)

≤ βd1(x , y) , para cada x , y ∈ M.

Logo, de (I) segue que

d1(x , y) ≤1

αd2(x , y) , para cada x , y ∈ M.

Logo, da Proposi�c~ao 3.4.2, segue que

d2 ≻ d1 .


Logo, de (II) segue que

d2(x , y) ≤ βd1(x , y) , para cada x , y ∈ M.


d1 ≻ d2 ,

portanto d1 ∼ d2, como quer��amos demonstrar.

�Apliquemos as ideias acima ao:

Exemplo 3.4.3 Seja d uma m�etrica em M.

Consideremos as aplica�c~oes d1 , d2 : M×M → R, dadas por

d1(x , y).=

d(x , y)

1+ d(x , y)(3.160)

e

d2(x , y).= min{1 , d(x , y)} , para cada x , y ∈ M. (3.161)

Logo, da Proposi�c~ao

Mostre que d1 e d2 s~ao m�etricas em M e, al�em disso

d1 ∼ d ∼ d2 .

Resolucao:

Deixaremos a veri�ca�c~ao que d1 e d2 s~ao m�etricas em M como exerc��cio para o leitor.

Observemos que, para cada x , y ∈ M, teremso:

d1(x , y)(3.160)=

d(x , y)

1+ d(x , y)

≤ d(x , y)

e

d2(x , y)(3.161)= min{1 , d(x , y)}

≤ d(x , y) .


d ≻ d1 e d ≻ d2 . (3.162)

Por outro lado, dado ε > 0, consideremos

δ1.=

ε

1+ ε> 0 e δ2

.= min{1 , ε} > 0 . (3.163)


Notemos que, para x ∈ Bd1(a ; δ1), temos que

d1(x , a) < δ1 . (3.164)

Assim, segue que x ∈ M satisfaz

d1(x , a) < δ1 ,

por (3.163) e (3.160), �e equivalente �a:d(x , a)

1+ d(x , a)<

ε

1+ ε

ou ainda, d(x , a) [1+ ε] < ε [1+ d(x , a)]

ou, equivalentemente: d(x , a) < ε ,

ou seja, teremos:

Bd1(a ; δ1) ⊆ Bd(a ; ε),

mostrando que

d1 ≻ d .

De modo semelhante, se x ∈ M satisfaz

d2(x , a) < δ2(3.161)

≤ 1 , (3.165)

teremos, em particular, que

d2(x , a) < 1 , (3.166)

e assim segue que

d(x , a)(3.166)= d2(x , a)

< δ2

(3.163)= min{1 , ε}

≤ ε , (3.167)

que implicar�a que

d(x , a) < ε ,

ou seja

Bd2(a ; δ2) ⊆ Bd(a ; ε),

mostrando que

d2 ≻ d .

Com isto teremos que

d1 ∼ d ∼ d2 ,


�


Observacao 3.4.5

1. Observemos que as m�etricas d1 e d2, exibidas no Exemplo 3.4.3, s~ao limitadas

em M×M.

De fato, pois para todo x , y ∈ M, teremos:

d1(x , y)(3.160)=

d(x , y)

1+ d(x , y)d(x ,y)≤1+d(x ,y)

≤ 1

e

d2(x , y)(3.161)= min{1 , d(x , y)}

≤ 1 .

Conclusao: toda m�etrica em M �e equivalente a uma m�etrica limitada em M.

2. Ainda com rela�c~ao ao Exemplo 3.4.3, observemos que se a m�etrica d �e nao

limitada em M, ent~ao nao existe βj ≥ 0, tal que

d(x , y) ≤ βj dj(x , y) , para cada x , y ∈ M e cada j ∈ {1 , 2} . (3.168)

De fato, se existisse β1 ≥ 0 com a propriedade (3.168), no caso j = 1, para

x , y ∈ M, com x = y, dever��amos ter:

d(x , y) ≤ β1 d1(x , y)

de (3.160), �e o mesmo que : d(x , y) ≤ β1

d(x , y)

1+ d(x , y),

ou ainda, d(x , y) [1+ d(x , y)] ≤ β1 d(x , y)

se x = y, temos que d(x , y) = 0, ou seja: d(x , y) ≤ β1 − 1 , (3.169)

portanto, a m�etrica d deveria ser limitada, o que �e um absurdo.

se existisse β2 ≥ 0 com a propriedade (3.168), no caso j = 2, para x , y ∈ M,

com x = y, dever��amos ter:

d(x , y) ≤ β2 d2(x , y)

de (3.161), �e o mesmo que : β2 min{1 , d(x , y)}︸︷︷︸≤1

em particular, dever��amos ter: d(x , y) ≤ β2 , (3.170)

portanto, a m�etrica d deveria ser limitada, o que tamb�em �e um absurdo.

Logo podemos concluir da situa�c~ao descrita acima que a condi�c~ao (3.159),

dada pelo Corol�ario 3.4.1 �e su�ciente, mas nao �e necess�aria, para que duas

m�etricas sejam equivalentes em M.


Temos tamb�em a:

Proposicao 3.4.5 Sejam (M,dM), (N,dN) espa�cos m�etricos e f : M → N uma

fun�c~ao bijetora.

Ent~ao a fun�c~ao f �e um homeomor�smo de (M,dM) em (N,dN) se, e somente

se, a m�etrica dM �e equivalente �a m�etrica df em M, induzida pela aplica�c~ao f.

Demonstracao:

Notemos que a fun�c~ao f : (M,df) → (N,dN) �e uma isometria de (M,df) em (N,dN),

pois

d1(x , y).= dN(f(x) , f(y)) , para cada x , y ∈ M,

em particular, ser�a um homeomor�smo de (M,df) em (N,dN).

Portanto a fun�c~ao inversa

f−1 : (N,dN) → (M,df)

ser�a cont��nua em (N,dN).

Consideremos as aplica�c~oes identidades

ifM : (M,df) → (M,dM) e iMf : (M,dM) → (M,df) . (3.171)

Notemos que

iMf = f−1 ◦ f e ifM = f−1 ◦ f ,

segundo o digrama abaixo:

-

6 3(M,dM) (N ,dN)

(M,df)

ifM

f

f �e isometria

�

+

f−1

f−1

?

iMf

Portanto df ≻ dM, isto �e, a aplica�c~ao ifM �e cont��nua de (M,df) em (M,dM) se, e

somente se, a fun�c~ao f−1 : (N,dN) → (M,dM) for cont��nua em (N,dN).

Por outro lado, dM ≻ df, isto �e, a aplica�c~ao iMf �e cont��nua de (M,dM) em (M,df)

se, e somente se, f : (M,dM) → (N,dN) for cont��nua em (M,dM).

Logo, das duas considera�c~oes acima, temos que

d1 ∼ dM se, e somente se, a fun�c~ao f �e um homeomor�smo de (M,dM) em (N,dN) ,

completando a demonstra�c~ao.

�


Observacao 3.4.6 Notemos que, da Proposi�c~ao 3.4.5 acima segue que, no Exem-

plo 3.4.1, a m�etrica d[0 ,2π), induzida em [0 , 2π) pela m�etrica usual de R (ou seja,

dada por (2.13), com n = 1) e a m�etrica induzida em [0 , 2π) pela fun�c~ao cont��nua

e bijetora f : [0 , 2π) → S1 (dada por ) nao s~ao equivalentes.

De fato, pois como vimos no Exemplo 3.3.3, a fun�c~ao f nao �e homeomor�smo

de([0 , 2π) , d[0 ,2π)

)em (S1 , dS1).

Para �nalizar a se�c~ao temos a:

Proposicao 3.4.6 Sejam d1 e d2 duas m�etricas em M, (N,dN) e (R , dR) espa�cos

m�etricos, onde dR �e m�etrica usual (ou seja, dada por (2.13), com n = 1).

As seguinte aforma�c~oes s~ao equivalentes:

1. d1 ∼ d2;

2. a aplica�c~ao f : (M,d1) → (N ,dN) �e cont��nua em (M,d1) se, e somente se,

f : (M,d2) → (N,dN) �e cont��nua em (M,d2);

3. a aplica�c~ao f : (M,d1) → (R , dR) �e cont��nua em (M,d1) se, e somente se,

f : (M,d2) → (R , dR) �e cont��nua em (M,d2);

4. Para cada a ∈ M, as fun�c~oes d1 a : (M,d2) → (R , dR) e d2 a : (M,d1) →(R , dR), dadas por

d1 a(x).= d1(a , x) e d2 a(x)

.= d2(a , x) , para cada x ∈ M (3.172)

s~ao cont��nuas no ponto a;

5. Toda bola aberta, segundo a m�etrica d1, cont�em uma bola aberta, de mesmo

centro, segundo a m�etrica d2 e toda bola aberta, segundo a m�etrica d2, cont�em

uma bola aberta, de mesmo centro, segundo a m�etrica d1;

6. As fun�c~oes d1 : (M × M,D2) → (R , dR) e d2 : (M × M,D1) → (R , dR) s~ao

cont��nuas em (M×M,D1) e (M×M,D2), respectivamente, onde as m�etricas

D1 e D2 podem ser uma das tres m�etricas usuais de M×M, relativamente a

d1 e d2, respectivamente.

Demonstracao:�E, essencialmente, conseq�uencia da Proposi�c~ao 3.4.3.

Deixaremos os detalhes como exerc��cio para o leitor.

�


3.5 Transformacoes lineares e multilineares definidas

em espacos vetoriais normados

Come�caremos pela:

Definicao 3.5.1 Sejam (E ,+E, ·

E) e (F ,+

F, ·

F) espa�cos vetoriais sobre R.

Diremos que uma aplica�c~ao f : E → F �e uma transformacao linear de (E ,+E, ·

E)

em (F ,+F, ·

F), se ela satisfaz as seguintes propriedades:

f (x+Ey) = f(x) +

Ff(y) , (3.173)

f(λ ·Ex) = λ ·

Ff(x) , (3.174)

para todo x , y ∈ E e λ ∈ R.

Se na situa�c~ao acima, se F = E, isto �e, f : E → E, ent~ao a aplica�c~ao f ser�a dita

operador linear em (E ,+E, ·

E).

Se na situa�c~ao acima, F = R (onde em R estamos considerando as opera�c~oes

usuais de soma e multiplica�c~ao de n�umeros reais), a saber, f : E → R, ent~ao a

aplica�c~ao f ser�a dita funcional linear em (E ,+E, ·

E).

Observacao 3.5.1

1. Vale observar que a adi�c~ao do lado esquerdo de (3.173), ou seja, +E, �e adi�c~ao

de vetores do espa�co vetorial real (E ,+E, ·

E), e a adi�c~ao do lado direito de

(3.173), ou seha, +F, �e adi�c~ao �e adi�c~ao de vetores do espa�co vetorial real

(F ,+F, ·

F).

Al�em disso, a multiplica�c~ao por n�umero real do lado esquerdo de (3.173), ou

seja, ·E, �e a multiplica�c~ao de vetores por n�umero real em do espa�co vetorial

real (E ,+E , ·E), e a multiplica�c~ao por n�umero real do lado direito de (3.173),

ou seja, ·F, �e a multiplica�c~ao de vetores por n�umero real do espa�co vetorial

real (F ,+F, ·

F).

2. Como conseq�uencia de (3.173) e (3.174) temos que

f (λ1 ·E x1 +E· · ·+

Eλn ·E xn) = λ1 ·F f(x1) +F

· · ·+Fλn ·F f(xn) , (3.175)

para x1 , x2 , · · · , xn ∈ E e λ1 , λ2 , · · · , λn ∈ R.

A demonstra�c~ao deste fato �e simples e foi vista na disciplina �Algebra Linear.

3. Nosso objetivo nesta se�c~ao �e estudar a continuidade de transforma�c~oes line-

ares entre espa�cos vetoriais reais normados.

Com isto temos o:

3.5. TRANSFORMAC� ~OES LINEARES E MULTILINEARES 173

Teorema 3.5.1 Consideremos o espa�co vetorial real (Rn ,+ , ·) (onde + e ·, deno-tam as opera�c~oes usuais de soma de n-uplas e multiplica�c~ao de n�umero real por

n-upla, respectivamente), munido da norma ∥ · ∥Rn , como sendo uma das tres nor-

mas usuais, introduzidas no Exemplo 2.1.7 (dadas por (2.80), (2.81) e (2.82)) e o

espa�co vetorial (F ,+F, ·

F) munido da norma ∥ · ∥

F.

Se a fun�c~ao f : Rn → F �e uma transforma�c~ao linear, ent~ao a fun�c~ao f �e cont��nua

em(Rn , d∥·∥Rn

).

Demonstracao:

Para tando, consideremos

B .= {e1 , e2 , · · · , en}

a base canonica do espa�co vetorial real (Rn ,+ , ·), ou seja,

ek.= (0 , 0 · · · , 0 , 1︸︷︷︸

k−�esima posi�c~ao

, 0 , · · · , 0) . (3.176)

Logo para x ∈ Rn, temos que

x = x1 · e1 + x2 · e2 + · · ·+ xn · en , (3.177)

para xi ∈ R, para cada i ∈ {1 , 2 , · · · , n}.Como a fun�c~ao f �e uma trasforma�c~ao linear, do item 2. da Observa�c~ao 3.5.1, temos

que

f(x)(3.177)= f (x1 · e1 + x2 · e2 + · · ·+ xn · en)

(3.175)= x1 ·F f(e1) +F

x2 ·F f(e2) +F· · ·+

Fxn ·F f(en) . (3.178)

Portanto

∥f(x)∥F

(3.178)= ∥x1 ·F f(e1) +F

x2 ·F f(e2) +F· · ·+

Fxn ·F f(en)∥F

(2.75)

≤ ∥x1 ·F f(e1)∥F+ ∥x2 ·F f(e2)∥F

+ · · ·+ ∥xn ·F f(en)∥F

(2.74)

≤ |x1| ∥f(e1)∥F+ |x2| ∥f(e2)∥F

+ · · ·+ |xn| ∥f(en)∥F. (3.179)

Consideremos

c.= max {∥f(e1)∥F

, ∥f(e2)∥F, · · · , ∥f(en)∥F

} . (3.180)

Logo, (3.179), segue que

∥f(x)∥F≤ c (|x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn|) . (3.181)

Consideremos a norma em Rn da soma, isto �e,

∥x∥Rn = |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn| ,


onde x.= (x1 , x2 , · · · , xn).

Ent~ao, de (3.181), teremos que

∥f(x)∥F≤ c ∥x∥Rn , para cada x ∈ Rn . (3.182)

Como a fun�c~ao f �e uma transforma�c~ao linear de (Rn ,+ , ·) em (F ,+F, ·

F), temos que

∥f(x) − f(y)∥F

f �e linear= ∥f(x− y)∥

F

(3.182)

≤ c ∥x− y∥Rnpcx , y ∈ Rn ,

mostrando que a aplica�c~ao f �e lipschitiziana de(Rn , d∥·∥Rn

)em

(F , d∥·∥

F

)e assim, da

Proposi�c~ao 3.1.1, temos que ser�a uma fun�c~ao cont��nua em(Rn , d∥·∥Rn

).

Notemos que, como as m�etricas d, d1 e d2 (que prov�em das tres normas usuais)

s~ao equivalentes, do item 5. da Observa�c~ao 3.4.3, segue que a transforma�c~ao linear

f : Rn → F ser�a cont��nua em rela�c~ao a qualquer uma das tres m�etricas usuais que

considerarmos em Rn, completando a demonstra�c~ao.

�

Observacao 3.5.2 O resultado acima nos diz que uma transforma�c~ao linear de�-

nida em espa�co vetorial normado de dimensao finita e tomando valores em outro

espa�co vetorial normado �e sempre cont��nua.

Isto segue do fato que todo espa�co vetorial de dimens~ao �nita �e isomorfo a

(Rn ,+ , ·), para algum n ∈ N, visot na dissiplina de �Algebra Linear.

O mesmo nao �e verdade se a dimens~ao do espa�co vetorial do dom��nio nao for

�nita, como mostra o seguinte exemplo.

Exemplo 3.5.1 Seja E, o conjunto formado por todos os polinomios a valores

reais, de uma vari�avel real, munido dadas opera�c~oes usuais de adi�c~ao de fun�c~oes

e multiplica�c~ao de n�umero real por fun�c~oes.

No curso de �Algebra Linear mostra-se que (E ,+ , ·), munido das opera�c~oes

acima, �e um espa�co vetorial sobre R (na verdade �e um subespa�co vetorial das

fun�c~oes reais cont��nuas de uma vari�avel real).

No espa�co vetorial real (E ,+ , ·) podemos considerar a fun�c~ao ∥ · ∥E: E → R,

dada por

∥p∥E

.= sup

x∈[0 ,1]|p(x)| . (3.183)

A�rmamos que ∥ · ∥E�e uma norma no espa�co vetorial real (E ,+ , ·).

Resolucao:

De fato, p , q ∈ E e α ∈ R, teremos:


1.

∥p∥E

(3.183)= sup

x∈[0 ,1]|p(x)| ≥ 0

e

∥p∥E= 0 se, e somente se, sup

x∈[0 ,1]|p(x)| = 0 ,

implicando que

|p(x)| = 0 , para cada parax ∈ [0 , 1] ,

que �e equivalente a dizer que

p(x) = 0 , para todo x ∈ [0 , 1] . (3.184)

Logo, se

p(x) = ao + a1 x+ · · ·+ an xn , para cada x ∈ R , (3.185)

de (3.184) segue que:

0(3.184)= p(0)

(3.185)= ao ,

0(3.184)= p ′(0)

(3.185)= a1 ,

0(3.184)= p ′′(0)

(3.185)= 2 a2 ,

... ,

0(3.184)= p(n)(0)

(3.185)= n!an ,

segue que

ak = 0 , para cada k ∈ {0 , 1 , · · · , n} ,

mostrando, por (3.185), que

p(x) = 0 , para todo x ∈ R ,

ou seja,

p = O ,

mostrando que ∥ · ∥Esatisfaz a 1. da De�ni�c~ao 2.1.7.

2. Temos tamb�em:

∥α · p∥E

(3.183)= sup

x∈[0 ,1]|αp(x)|

item 2. da Proposi�c~ao 2.1.3= |α| sup

x∈[0 ,1]|p(x)|

(3.183)= |α| ∥p∥

E,

mostrando que ∥ · ∥Esatisfaz a 2. da De�ni�c~ao 2.1.7.


3. PAra �nalizar, notemos que:

∥p+ q∥E

(3.183)= sup

x∈[0 ,1]|p(x) + q(x)|

|p(x)+q(x)|≤|p(x)|+|q(x)|

≤ supx∈[0 ,1]

[|p(x)|+ |q(x)|]

item 1. da Proposi�c~ao 2.1.3

≤ supx∈[0 ,1]

|p(x)|+ supx∈[0 ,1]

|q(x)|

(3.183)= ∥p∥

E+ ∥q∥

E,

mostrando que ∥ · ∥Esatisfaz a 3. da De�ni�c~ao 2.1.7. ou seja, ∥ · ∥

E�e uma norma no

espa�co vetorial real (E ,+ , ·).�

Observacao 3.5.3 Na situa�c~ao do Exemplo 3.5.1 acima, se considerarmos a fun�c~ao

f : E → R, dada por

f(p).= p(2) , para cada p ∈ E , (3.186)

segue que a fun�c~ao f �e um funcional linear em (E ,+ , ·).De fato se p , q ∈ E e α ∈ R teremos:

f(α · p+ q)(3.186)= (α · p+ q)(2)

= (α · p)(2) + q(2)

= αp(2) + q(2)

(3.186)= α f(p) + f(q) ,

mostrando que a f : E → R �e um funcional linear em (E ,+ , ·).A�rmamos que o funcional linear f n~ao �e cont��nua em O ∈ E (onde O denota

o polinomio nulo).

De fato, seja

ε =1

2> 0 ,

e para cada n ∈ N, consideramos o polinomio

pn(x).=(x2

)n, para cada x ∈ R . (3.187)

Notemos que, para cada n ∈ N temos que

pn ∈ E


e, al�em disso,

d∥·∥E(pn , O)

(2.191)= ∥pn −O∥

E

(3.183)= sup

x∈[0 ,1]|pn(x) −O(x)|

= supx∈[0 ,1]

|pn(x)|

a fun�c~ao pn �e crescente= pn(1)

(3.187)=

(1

2

)n

=1

2n.

Logo

pn → 0 , em(E , d∥·∥

E

), quando n → ∞ .

Por�em, notemos que,

dR[f(pn) , f(O)](2.191)= |f(pn) − f(O)|

(3.187)= |pn(2) −O(2)︸︷︷︸

=0

|

= |pn(2)|

(3.187)=

(2

2

)n

= 1 >1

2= ε ,

mostrando que o funcional linear f nao �e cont��nuo em(E , d∥·∥

E

).

Em geral temos o seguinte resultado importante:

Teorema 3.5.2 Sejam (E , ∥ · ∥E) e (F , ∥ · ∥

F) espa�cos vetoriais reias normados e

f : E → F uma transforma�c~ao linear.

As seguintes a�rma�c~oes s~ao equivalentes:

1. a fun�c~ao f �e cont��nua em(E , d∥·∥

E

);

2. a fun�c~ao f �e cont��nua em O ∈ E;

3. podemos encontrar c > 0, tal que

∥f(x)∥F≤ c ∥x∥

E, para x ∈ E ; (3.188)

4. podemos encontrar c > 0, tal que

∥f(x) − f(y)∥F≤ c ∥x− y∥

E, para x , y ∈ E . (3.189)


Demonstracao:

O diagrama abaixo ilustra como ser�a feita a demonstra�c~ao:

-

?�

61. 2.

3.4.

Notem os que, a implica�c~ao 1. ⇒ 2. �e trivial.

Mostremos que

2. ⇒ 3.:

ou seja, mostremos que se 2. ocorrer, isto �e, se a fun�c~ao f �e cont��nua em O ∈ E, ent~ao

3. ocorrer�a, isto �e, podemos encontrar c > 0, tal que (3.188) vai ocorrer.

Como a fun�c~ao f �e cont��nua em O ∈ E e

f(O) = O ,

pois a fun�c~ao f �e uma transforma�c~ao linear de (E ,+E, ·

E) em (F ,+

F, ·

F), dado ε = 1 > 0,

poderemos encontrar δ > 0, de modo que, se

∥x∥ =∥∥∥x− O

∥∥∥E

= d∥·∥E(x , O)

< δ , (3.190)

deveremos ter: ∥f(x)∥F=

∥∥∥∥∥∥∥f(x) − f(O)︸︷︷︸=O

∥∥∥∥∥∥∥F

= d∥·∥F

(f(x) , f

(O))

< ε = 1 . (3.191)

Consideremos c ∈ R, de modo que

c >1

δ. (3.192)


Com isto, para x = O, teremos

∥f(x)∥F=∥∥∥f(O)

∥∥∥F

f(O)=O=

∥∥∥O∥∥∥F

= 0

= c · 0

= c∥∥∥O∥∥∥

E

= c ∥x∥E,

mostrando que (3.188) ocorrer�a, se x = O.

Por outro lado, para x = O, consideremos que o vetor

1

c ∥x∥E

·Ex ∈ E . (3.193)

Observemos que este vetor satisfaz a seguinte propriedade:∥∥∥∥ 1

c ∥x∥E

·Ex

∥∥∥∥E

(2.74)=

1

c ∥x∥E

∥x∥E

=1

c

(3.192)< δ . (3.194)

Logo, de (3.193), (3.190) e (3.191), segue que∥∥∥∥f( 1

c ∥x∥E

·Ex

)∥∥∥∥F

≤ 1 . (3.195)

Como a fun�c~ao f �e uma trasforma�c~ao linear temos que

f

(1

c ∥x∥E

·Ex

)=

1

c ∥x∥E

·Ff(x) . (3.196)

Logo, de (3.196) e (3.195), teremos

1

c ∥x∥E

∥f(x)∥F

(3.196)=

∥∥∥∥ 1

c ∥x∥E

·Ff(x)

∥∥∥∥F

(3.196)

≤ 1 ,

ou ainda, ∥f(x)∥F≤ c ∥x∥

E,

mostrando, se x = O, (3.188) tamb�em ocorrer�a, ou seja, 3. vai ocorrer.

Mostremos agora que

3. ⇒ 4. :


ou seja, mostremos que se 3. ocorrer, isto �e, se podemos encontrar c > 0, tal que (3.188)

ocorre, ent~ao 4. ocorrer�a, isto �e, podemos encontrar c > 0, tal que (3.189) ocorrer�a.

Suponhamos que exista c > 0 tal que

∥f(x)∥F≤ c ∥x∥

E, para x ∈ E . (3.197)

Observemos que, para x , y ∈ E, teremos

∥f(x) − f(y)∥F

f �e transforma�c~ao linear= ∥f(x− y)∥

F

(3.197)

≤ c ∥x− y∥F,

ou seja, (3.189) ocorrer�a, ou ainda, 4. vai ocorrer..

A implica�c~ao

4 ⇒ 1.)

�e imediata, pois (3.189) garante que a fun�c~ao f �e lischitiziana em(E , d∥·∥

E

), logo ser�a

uma fun�c~ao cont��nua em(E , d∥·∥

E

), completando a demonstra�c~ao do resultado.

�Como consequencia temos o:

Corolario 3.5.1 Sejam (E , ∥ · ∥E) e (F , ∥ · ∥

F) espa�cos vetoriais reais normados e

f : E → F uma transforma�c~ao linear bijetora.

Ent~ao, a fun�c~ao f �e um homeomor�smo de (E , ∥·∥E) em (F , ∥·∥

F) se, e somente

se, podemos encontrar c , C > 0, tais que

C ∥x∥E

I≤ ∥f(x)∥

F

II≤ c ∥x∥

E, para cada x ∈ E . (3.198)

Demonstracao:

A�rmamo que se f : E → F �e uma transforma�c~ao linear bijetora ent~ao sua fun�c~ao

inversa f−1 : F → E tamb�em ser�a uma transforma�c~ao linear (e bijetora).

De fato, pois se y1 , y2 ∈ F e α ∈ R, do fato que a fun�c~ao f �e bijetora, existir~ao

x1 , x2 ∈ E, tais que

y1 = f(x1) e y2 = f(x2) . (3.199)

ou seja,

x1 = f−1(y1) e x2 = f−1(y2) . (3.200)

Logo

f−1 (y1 +Fα ·

Fy2)

(3.199)= f−1 (f(x1) +F

α ·Ff(x2))

f �e transforma�c~ao linear= f (f(x1 +E

α ·Ex2))

f−1◦f=id= x1 +E

α ·Ex2

(3.200)= f−1(y1) +E

α ·Ef−1(y2) , (3.201)


mostrando que a fun�c~ao f−1 : F → E transforma�c~ao linear do espa�co vetorial real

(E ,+E, ·

E) no espa�co vetorial real (F ,+

F, ·

F).

Notemos que, com vale II em (3.200), de 3. ⇒ 1., do Teorema 3.5.2 acima, segue

que a transforma�c~ao linear f ser�a cont��nua em(E , d∥·∥

E

).

Por outro lado se y ∈ F, como a fun�c~ao f �e bijetora, podemos encontra x ∈ E, de

modo que y = f(x), ou seja,

x = f−1(y) . (3.202)

Logo, de II , considerando-se x = f−1(y), segue que

C∥∥f−1(y)

∥∥E≤ ∥f[f−1(y)]∥

F

f−1◦f=id= ∥y∥

Fpara y ∈ F ,

ou seja, ∥f−1(y)∥E ≤ 1

c∥y∥F , para y ∈ F .

Logo, de 3. ⇒ 1., do Teorema 3.5.2 acima, segue que a fun�c~ao f−1 ser�a cont��nua

em(F , d∥·∥

F

), ou seja, a transforma�c~ao linear F : E → F ser�a um homeomor�smo de(

E , d∥·∥E

)em

(F , d∥·∥

F

), como quer��amos mostrar.

�A seguir exibiremos um exemplo de uma transforma�c~ao linear bijetora que nao

�e um homeomor�smo, mais precisamente, ela ser�a uma fun�c~ao cont��nua mans a sua

transforma�c~ao linear inversa nao ser�a cont��nua.

Exemplo 3.5.2 Denotemos por R∞, o conjunto formado por todas as seq�uencias

de n�umeros reais que tem a seguinte propriedade: x = (xn)n∈N ∈ R∞ se, e somente

se, no m�aximo, um n�umero �nito de entradas xn �e n~ao nula, isto �e,

x ∈ R∞se, e somente, se x = (xn)n∈N , com xn = 0 ,

somente para n ∈ {n1 , n2 , · · · , nm} ⊆ N . (3.203)

1. Mostre que (R∞ ,+ , ·) �e um espa�co vetorial sobre R, onde a opera�c~ao + �e a

oper�c~ao de adi�c~ao usual de seq�uencias e a opera�c~ao · �e a multiplica�c~ao usual

de n�umero real por uma sequencia.

2. consideremos a aplica�c~ao ∥ · ∥∞ : R∞ → R dada por

∥x∥∞ .=

√x1

2 + x22 + · · ·+ xn

2 + · · ·

=

√√√√ ∞∑j=1

|xj|2 , (3.204)

onde

x = (xn)n∈N ∈ R∞ .

Mostre que ∥ · ||∞ �e uma norma no espa�co vetorial real (R∞ ,+ , ·).


3. consideremos a aplica�c~ao ⟨ · , · ⟩∞ : R∞ × R∞ → R dada por

⟨x , y⟩∞ .= x1 · y1 + x2 · y2 + · · ·+ xn · yn + · · ·

=

∞∑j=1

xj · yj , (3.205)

onde

x = (xn)n∈N , y = (yn)n∈N ∈ R∞ .

Mostre que ⟨ · , · ⟩∞ �e um produto interno no espa�co vetorial real (R∞ ,+ , ·)e que a norma ∥ · ∥∞ prov�em do produto interno ⟨ · , · ⟩∞.

4. consideremos a fun�c~ao f : R∞ → R∞, dada por

f(x) = f ((xn)n∈N)

= f(x1 , x2 , · · · , xn , · · · ).=(x11,x2

2, · · · , xn

n, · · ·

), (3.206)

para cada x = (xn)n∈N ∈ R∞.Mostre que a fun�c~ao f : R∞ → R∞ �e um operador linear no espa�co vetorial

(R∞ ,+ , ·) que �e cont��nuo em(R∞ , d∥·∥∞

), mas a sua transforma�c~ao linear

inversa f−1 : R∞ → R∞ nao ser�a uma fun�c~ao cont��nua em(R∞ , d∥·∥∞

).

Resolucao:

Deixaremos como exerc��cio para o leitos mostrar que com as opera�c~oes + e · oconjunto R∞, tornar-se-�a um espa�co vetorial real (basta mostrar que a adi�c~ao de duas

sequencias de R∞ �e uma sequencia pertencente �a R∞ e a multiplica�c~ao de um n�umero

real por uma sequencia de R∞ �e uma sequencia pertencente �a R∞).

Observemos que, para

x = (xn)n∈N , y = (yn)n∈N ∈ R∞ ,

de (3.203), segue que as s�eries num�ericas que em (3.204) e (3.205), reduzem-se a somas

�nitas (pois as seq�uencias num�ericas envolvidas s~ao nulas, exceto para um n�umero �nito

de termos).

Deste modo as apli�c~oes ∥ · ∥∞ e ⟨ · , · ⟩ est~ao bem de�nidas.

Deixaremos como exerc��cio para o leitor mostrar que as fun�c~oes ∥ · ∥∞ e ⟨ · , · ⟩ s~aouam norma e um produto interno no espa�co vetorial real (R∞ ,+ , ·).

�E f�acil mostrar que a aplica�c~ao f : R∞ → R∞, dada por (3.206), �e um operador linear

em (R∞ ,+ , ·).A veri�ca�c~ao deste fato ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.


Para cada x = (xn)n∈N ∈ R∞, temos que:

∥f(x)∥∞2 = ∥f ((xn)n ∈N)∥∞2

(3.206) e (3.204)= =

∞∑j=1

∣∣∣∣xjj∣∣∣∣2

|xjj |≤|xj|

≤∞∑j=1

|xj|2

(3.204)= ∥x∥∞2, ,

ou seja, ∥f(x)∥∞ ≤ ∥x∥∞ ,

Logo, de 3.⇒ 1., do Teorema (3.5.2), segue que o operador linera f �e cont��nuo em(R∞ , d∥·∥∞

).

Observemos que a fun�c~ao f admite fun�c~ao inversa f−1 : R∞ → R∞, que �e dada por

f−1(y) = f−1 ((yn)n∈N)

f−1(y1 , y2 , · · · , yn , · · · ).= (y1 , 2 y2 , · · · , n yn , · · · ) , (3.207)

para cada y = (yn)n∈N ∈ R∞.

A veri�ca�c~ao deste fato ser�a deixada como exerc��cio para o leitor, isto �e, que

f ◦ f−1 = f−1 ◦ f = idR∞ .

Mostremos que a fun�c~ao f−1 nao �e cont��nua em(R∞ , d∥·∥∞

).

Para isto, notemos que, para cada n ∈ N temos que o vetor

en.= (0 , 0 , · · · , 0 , 1︸︷︷︸

n−�esima posi�c~ao

, 0 , · · · )

que pertence R∞, pois somente o termo da n-�esima posi�c~ao �e n~ao nulo, e igual a 1.

Observemos tamb �em que

∥en∥∞2 (3.204)=

∞∑j=1

|xj|2

xj=0 para n =j xn=1= 1 . (3.208)

Por outro lado, notemos que

∥f−1(en)∥2∞ (3.207) e (3.204)=

∞∑j=1

|j xj|2

xj=0 se n =j e xn=1]= n2 . (3.209)


Em particular,

∥f−1(en)∥∞ (3.208)= n2

≥ n

(3.207)= n ∥en∥R∞ . (3.210)

Portanto, fazendo n → ∞ em (3.211), ou seja, a fun�c~ao f−1 n~ao satisfaz o item 3.

do Teorema (3.5.2) item 3., portanto, do referido resultado, segue que a fun�c~ao f−1 n~ao

ser�a cont��nua(R∞ , d∥·∥∞

), completando a resolu�c~ao.

�Introduziremos agora a:

Definicao 3.5.2 Para cada i ∈ {1 , 2 , · · · , n}, consideremos o espa�co vetorial (Ei ,+i, ·

i)

e o espa�co vetorial real (F ,+F, ·

F).

Diremos que uma aplica�c~ao

f : E1 × E2 × · · · × En → F

�e n-linear (ou multi linear) , se ela for linear em cada uma de suas n-componentes,

ou seja, para cada j ∈ {1 , 2 , · · · , n}, temos que

f(x1 , · · · , xj−1 , xj +jyj , xj+1, · · · , xn) = f(x1 , · · · , xj−1 , xj , xj+1, · · · , xn)

+Ff(x1 , · · · , xj−1 , yj , xj+1 , · · · , xn) (3.211)

e

f(x1 , · · · , xj−1 , λ ·jxj , xj+1 , · · · , xn) = λ·

Ff(x1 , · · · , xj−1 , xj , xj+1 , · · · , xn) , (3.212)

onde

(x1 , · · · , xj−1 , xj , xj+1, · · · , xn) , (x1 , · · · , xj−1 , yj , xj+1 , · · · , xn) ∈ E1 × · · · × Ej × · · · × En

e λ ∈ R.

Observacao 3.5.4

1. Para cada i ∈ {1 , 2 , · · · , n}, consideremos o espa�co vetorial (Ei ,+i, ·

i) e o

espa�co vetorial real (F ,+F, ·

F) e suponhamos que a aplica�c~ao

f : E1 × E2 × · · · × En → F

seja n-linear.

Ent~ao, se

xj = 0 ∈ Ej , para algum j ∈ {1 , 2 , · · · , n}


teremos

f(x1 , · · · , xj−1 , xj , xj+1 , · · · , xn) = O ,

isto �e,

f(x1 , · · · , xj−1 , O , xj+1 , · · · , xn) = O . (3.213)

De fato, pois

f(x1 , · · · , xj−1 , xj , xj+1 , · · · , xn) = f(x1 , · · · , xj−1 , O, xj+1 , · · · , xn)= f(x1 , · · · , xj−1 , 0 · O , xj+1 , · · · , xn)(3.212)= 0 ·

Ff(x1 , · · · , xj−1 , O , xj+1 , · · · , xn)

= O ,

ou seja, f(x1 , · · · , xj−1 , O , xj+1 , · · · , xn) = O ,

como a�rmamos em (3.213).

2. Na situa�c~ao acima, para o caso n = 2, se (E1 ,+1, ·

1), (E2 ,+2

, ·2) e (F ,+

F, ·

F)

s~ao espa�cos vetoriais reais, uma fun�cao f : E1 × E2 → F que satisfaz (3.211) e

(3.212), ser�a dita bilinear e �e caracterizada pelas seguintes propriedades:

f(x1 +1y1 , x2) = f(x1 , x2) +F

f(y1 , x2) , (3.214)

f(x1 , x2 +2y2) = f(x1 , x2) +F

f(x1 , y2) , (3.215)

f(λ ·1x1 , x2) = λ ·

Ff(x1 , x2) , (3.216)

f(x1 , λ ·2x2) = λ ·

Ff(x1 , x2) , (3.217)

para xj , yj ∈ Ej, com j ∈ {1 , 2} e λ ∈ R.

3. Observemos que, do item 3.214. acima, segue que

f(O

1, x2

)= f

(x1 , O2

)= O

F,

para xj ∈ Ej, com j ∈ {1 , 2}, onde Oj ∈ Ej �e o elemento neutro da adi�c~ao

de (E1 ,+j, ·

j), com j ∈ {1 , 2} e O

F∈ F �e o elemento neutro da adi�c~ao de

(F ,+F, ·

F).

Temos os seguintes exemplos importantes de aplica�c~oes bilineares:

Exemplo 3.5.3 Seja (E ,+E, ·

E) um espa�co vetorial sobre R.

A multiplica�c~ao de n�umero real por vetor de (E ,+E, ·

E) �e uma aplica�c~ao bilinear

em (E ,+E, ·

E), mas precisamente, a aplica�c~ao m : R× E → E, dada por

m(λ , x).= λ ·

Ex para λ ∈ R e x ∈ E , (3.218)

�e uma aplica�c~ao bilinear de (E ,+E, ·

E) em (E ,+

E, ·

E).


Resolucao:

A veri�ca�c~ao deste fato �e simples e ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.

�

Exemplo 3.5.4 Seja (E ,+E, ·

E) um espa�co vetorial sobre R, munido de um produto

interno ⟨ · , · ⟩.A aplica�c~ao

⟨ · , · ⟩ : E× E → R ,

�e uma aplica�c~ao bilinear, onde estamos considerando no contra-dom��nio o espa�co

vetorial (R ,+ , ·), munido das opera�c~oes usuais.

Resolucao:

A veri�ca�c~ao deste fato �e simples e ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.

�

Exemplo 3.5.5 Seja (Rm ,+ , ·) o espa�co vetorial real, munido das opera�c~oes usuais

de adi�c~ao de m-uplas e multiplica�c~ao de n�umero real por m-upla.

Consideremos a aplica�c~ao det : Rm × · · · × Rm︸︷︷︸m−fatores

→ R dada por

det(x1 , · · · , xm).=∣∣∣ x1 · · · xm

∣∣∣ , (3.219)

para (x1 , · · · , xm) ∈ Rm × · · · × Rm︸︷︷︸m−fatores

, onde det, denota o determinante da matriz

quadrada obtida colocando-se na j-�esima coluna da matriz as coordenadas do ve-

tor xj, para j ∈ {1 , 2 , · · · ,m}, ou seja, a matriz das coordendas do vetor xj, em

rela�c~ao �a base canonica de (Rm ,+ , ·) , que �e da forma (xij)i∈{1 ,2 ,··· ,m}, para cada

j ∈ {1 , 2 , · · · ,m}.

Mostre que a fun�c~ao det, tem a seguinte propriedade:

det(x1 , · · · , xj−1 , λ · xj + yj , xj+1 , · · · , xm) = λ det(x1 , · · · , xj−1 , xj , xj+1 , · · · , xm)+ det(x1 , · · · , xj−1 , yj , xj+1 , · · · , xm),

para (x1 , · · · , xj−1 , xj , xj+1 , · · · , xm) , (x1 , · · · , xj−1 , yj , xj+1 , · · · , xm) ∈ Rm × · · · × Rm︸︷︷︸m−fatores

e

λ ∈ R, ou seja, a aplica�c~ao det �e m-linear.

Resolucao:


�Agora podemos enunciar e provar o:


Proposicao 3.5.1 Sejam (E , ∥ · ∥E), (F , ∥ · ∥

F) e (G , ∥ ∥

G) espa�cos vetoriais reais

normados, no espa�co vetorial real (E×F ,+ , ·), consideremos uma das tres normas

usuais (ou seja, da raiz quadrada, da soma ou do m�aximo) e uma aplica�c~ao f :

E× F → G �e bilinear.

S~ao equivalentes:

1. a fun�c~ao f �e cont��nua em (E× F ,D), onde a m�etrica D �e induzida por uma

das tres normas usuais (ou seja, da raiz quadrada, da soma ou do m�aximo);

2. a fun�c~ao f �e cont��nua em(O

E, O

F

)∈ E× F;

3. Existe c > 0, tal que

∥f(x , y)∥G≤ c ∥x∥

E∥y∥

F, (3.220)

para (x , y) ∈ E× F;

4. a aplica�c~ao f �e lischitziana em cada subconjunto limitado de (E× F ,D).

Demonstracao:

O diagrama abaxo ilustra como ser�a feita a demonstra�c~ao:

-

?�

61. 2.

3.4.

Notemos que �e imedi~ato mostrar que

1. ⇒ 2. e que 4. ⇒ 1 .

Mostremos que

2. ⇒ 3.:

Consideremos no espa�co vetorial real (E×F ,+ , ·) a norma da soma das normas, isto

�e,

∥(x , y)∥E×F

.= ∥x∥

E+ ∥y∥

F, (3.221)

para (x , y) ∈ E× F.

O caso com as outras duas normas (a da raiz quadrada e do m�aximo) utilizamos o

fato que estas normas s~ao equivalentes �a a norma acima.

Deixaremos os detalhes como exerc��cio para o leitor

Como a fun�c~ao f �e cont��nua em(O

E, O

F

)∈ E× F, ent~ao, como

f(O

E, O

F

)= O

G,


segue, tomando-se ε = 1 > 0 existir�a δ > 0, tal que

∥x∥E+ ∥y∥

F

(3.221)= ∥(x , y)∥

E×F< δ (3.222)

deveremos ter: ∥f(x , y)∥G≤ ε = 1 . (3.223)

Seja

c.=

4

δ2> 0 . (3.224)

Logo para (x , y) ∈ E× F com

x = OE

ou y = OF,

teremos

f(x , y) = OG, (3.225)

logo

∥f(x , y)∥G

(3.225)= ∥O

G∥

G

= 0 ≤ c ∥(x , y)∥E×F

,

ou seja, vale (3.220) nestes casos.

Suponhamos agoa que (x , y) ∈ E× F s~ao tais que

x = OE

e y = OF.

Ent~ao os vetores

X.=

δ

4 ∥x∥E

·Ex ∈ E e Y

.=

δ

4 ∥y∥F

·Fy ∈ F , (3.226)

satisfazem ∥∥∥X∥∥∥E

(3.226)=

∥∥∥∥ δ

4 ∥x∥E

·Ex

∥∥∥∥E

(2.74)=

δ

4 ∥x∥E

∥x∥E

=δ

4

<δ

2(3.227)

e ∥∥∥Y∥∥∥F

(3.226)=

∥∥∥∥ δ

4 ∥y∥F

·Fy

∥∥∥∥F

(2.74)=

δ

4 ∥y∥F

∥y∥F

=δ

4

<δ

2. (3.228)


Assim

∥∥∥(X , Y)∥∥∥

E×F

(3.221)=

∥∥∥X∥∥∥E

+∥∥∥Y∥∥∥

F

(3.227) e (3.228)<

δ

2+

δ

2

= δ . (3.229)

Logo, (3.229), (3.222) e (3.223), implicar~ao que

1(3.223)

≥∥∥∥f(X , Y

)∥∥∥G

(3.226)=

∥∥∥∥f( δ

4 ∥x∥E

·Ex ,

δ

4 ∥y∥F

·Fy

)∥∥∥∥G

f�e bilinear=

∥∥∥∥ δ

4 ∥x∥E

δ

4 ∥y∥F

·Gf(x , y)

∥∥∥∥G

(2.74)=

δ

4 ∥x∥E

δ

4 ∥y∥F

∥f(x , y)∥G,

ou seja,

∥f(x , y)∥G ≤ 16

δ2︸︷︷︸.=c

∥x∥E∥y∥

F, ,

para (x , y) ∈ E× F, mostrando que (3.220) �e verdadeira, ou seja, vale 3.

Mostremos agora que

3. ⇒ 4.):

Para isto consideremos U ⊆ E × F um subconjunto limitado do espa�co m�etrico

(E× F ,D).

Logo existe r > 0, tal que

U ⊆ B[(

OE, O

F

); r].

Mostremos que a fun�cao f �e lipschitiziana na bola

BD

[(O

E, O

F

); r].


De fato, se z.= (x , y) , z ′ .

= (x ′ , y ′) ∈ B[(

OE, O

F

); r]teremos:

∥f(z) − f(z ′)∥G= ∥f(x , y) − f(x ′, y ′)∥

G

= ∥f(x , y) − f(x , y ′) + f(x , y ′) − f(x ′, y ′)∥G

fbiliear= ∥f(x , y− y ′) + f(x− x ′ , y ′)∥G

≤ ∥f(x , y− y ′)∥G + ∥f(x− x ′, y ′)∥G3.

≤ c ∥x∥E∥y− y ′∥

F+ c ∥x− x ′∥

E∥y ′∥

F

∥x∥E,∥y ′∥

F≤r

≤ c r ∥y− y ′∥F+ c r ∥x− x ′∥

E

= c r [∥y− y ′∥F+ ∥x− x ′∥

E]

(3.221)= c r ∥z− z ′∥

E×F,

mostrando que 3. �e verdadeira e assim completando a demonstra�c~ao do resultado.

�Por indu�c~ao pode-se demonstrar o:

Corolario 3.5.2 Para cada j ∈ {1 , 2 , · · · , n} consideremos o espa�co vetorial real

normado (Ej , ∥ · ∥j) e o espa�co vetorial real normado (F , ∥ · ∥F), o espa�co vetorial

real (E1 × · · · × En ,+ , ·) munido de uma das tres normas usuais (a saber, da raiz

quadrada, da soma ou do m�aximo) e uma fun�c~ao f : E1 × · · · × En → F �e n-linear.

S~ao equivalentes:

1. f �e cont��nua em (E1 × · · · × En , D), onde D �e a m�etrica induzida por um das

tres normas usuais no produto cartesiano;

2. f �e cont��nua em (OE1, · · · , O

En) ∈ E1 × · · · × En;

3. Existe c > 0, tal que

∥f(x1 , · · · , xn)∥F≤ c∥x1∥1

· · · ∥xn∥n, (3.230)

para (x1 , · · · , xn) ∈ E1 × · · · × En;

4. a afun�c~ao f �e uma aplica�c~ao lischitziana em cada subconjunto limitado de

(E1 × · · · × En , D).

Demonstracao:

Ser�a deixada como exerc��cio para o leitor.



Corolario 3.5.3 Sejam (F , ∥·∥F) um espa�co vetorial real normado e, par j ∈ {m,n},

considremos o esap�co vetorial real (Rj ,+ , ·), munido de uma das tres normas

usuais (dadas por (2.80), (2.81) ou (2.82)).

Mostre que se a aplica�c~ao f : Rm × Rn → F �e uma aplica�c~ao bilinear, ent~ao ela

ser�a �e cont��nua (Rm×Rn , D), onde a m�etrica D �e uma das tres m�etricas induzidas

pelas respectivas normas consideradas.

Demonstracao:

Consideraremos a norma da soma nos espa�cos vetoriais reais (Rm ,+ , ·) e (Rn ,+ ·).Para as outras duas normas (a da raiz quadrada e dao m�aximo) podemos utilizar o

fato que as respectivas normas s~ao equivalentes �a norma da soma.

Ssejam

Bm.= {e1, · · · , em} e Bn

.= {f1, · · · , fn}

as bases canonicas dos espa�cos vetoriais reais (Rm ,+ , ·) e (Rn ,+ ·), respectivamente.

Dado (x, y) ∈ Rm × Rn, temos que existem

x1 , · · · xm ∈ R e y1 , · · ·yn ∈ R ,

tais que

x =

m∑i=1

xi · ei e y =

n∑j=1

yj · fj . (3.231)

Como a fun�c~ao f �e bilinear, segue que

f(x, y)(3.231)= f

(m∑i=1

xi · ei ,n∑j=1

yj · fj

)

=

m∑i=1

n∑j=1

xi yj · f(ei , fj) . (3.232)

Seja

c.= max

{f(ei , fj

); i ∈ {1 , 2 , · · · ,m} e j ∈ {1 , 2 , · · · , n}

}≥ 0 . (3.233)

Observemos que a norma escolhida �e a norma da soma, ou seja,

∥x∥Rm =

m∑i=1

|xi| e ∥y∥Rn =

n∑j=1

|yj| . (3.234)


Assim, teremos:

∥f(x , y)∥F

(3.232)=

∥∥∥∥∥m∑i=1

n∑j=1

xi yj · f(ei , fj

)∥∥∥∥∥F

(2.75) e (2.74)

≤m∑i=1

n∑j=1

|xi| |yj|∥∥∥f(ei , fj)∥∥∥

F

(3.233)

≤m∑i=1

n∑j=1

[|xi| |yj| c]

= c

[m∑i=1

|xi|

] [n∑j=1

|yj|

](3.234)= c ∥x∥Rm ∥y∥Rn ,

e assim, do fato que 3 implica 4 na Proposi�c~ao 3.5.1, segue que a fun�cao f �e lipschitziana

em (Rm × Rn , D) e portanto cont��nua em (Rm × Rn , D), completando a resolu�c~ao.

�Para �nalizar temos a:

Observacao 3.5.5

1. Se (E , ∥ · ∥E) �e um espa�co vetorial real normado, ent~ao a aplica�c~ao bilinear

(veja o Exemplo 3.5.4) m : R× E → E, dada por

m(λ , x) = λ ·Ex , para cada (λ , x) ∈ R× E , (3.235)

ser�a cont��nua em (R × E ,D), onde a m�etrica D no produto cartesiano �e a

m�etrica induzida pelas respectivas normas em cada um dos fatores.

Isto segue do fato que se (λ , x) ∈ R× E temos que

∥m(λ , x)∥E

(3.235)= ∥λ ·

Ex∥

E

(2.74)= |λ| ∥x∥

E

= ∥λ∥R ∥x∥E,

ou seja, vale (3.220) da Proposi�c~ao 3.5.1 (com c = 1).

Logo, da mesma, segue que a fun�c~ao m ser�a cont��nua em (R× E ,D).

2. Se ⟨ · , · ⟩E�e um produto interno no espa�co vetorial real (E ,+ , ·), a aplica�c~ao

⟨ · , · ⟩E: E × E → R, �e uma aplica�c~ao bilinear cont��nua em (E × E ,D), onde

a m�etrica D no porduto cartesiano �e a m�etrica induzida pela norma (que �e

induzida pelo produto interno acima) em cada um dos fatores.

O fato de ser bilinear �e evidente da de�ni�c~ao de produto interno.

3.6. EXERC�ICIOS 193

Da desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que

| ⟨x , y⟩E| ≤ ∥x∥

E∥y∥

E, para cada x , y ∈ E .

Logo o item 3. da Proposi�c~ao 3.5.1 ocorre (com c = 1) e assim a aplica�c~ao

⟨ · , · ⟩Eser�a cont��nua em (E× E ,D).

3. Do Corol�ario 3.5.3 acima, segue que a fun�c~ao determinante (veja o Exemplo

3.5.4 ) ser�a cont��nua em

Rm × · · · × Rm︸︷︷︸m−fatores

, D

, onde a m�etrica D no produto

cartesiano �e a m�etrica induzida pela norma (que �e induzida pelo produto

interno acima) em cada um dos fatores.

3.6 Exercıcios


Referencias Bibliograficas

[1] E.L. Lima - Espa�cos M�etricos - Projeto Euclides, IMPA, 1977. 2, 1

[2] G.F. Simmons - Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill,

1963

[3] S. Lipschutz - Topologia Geral, McGraw-Hill do Brasil, 1973.

195

Indice Remissivo

B(a ; r), 46

B[a ; r], 46

G(f), 151

M ∼ N, 90

S(a ; r), 46

diam, 66

inf

de um conjunto, 21

∼

entre espa�cos m�etricos, 131

≻, 154sup

de um conjunto, 21

d(a , X), 78

f(X), 73

i-�esima

proje�c~ao, 113

j-�eisma fun�c~ao coordenada

associada a uma fun�c~ao, 123

B(X ; M), 76

��n�mo

de um conjunto, 21

aplica�c~ao

inclus~ao, 91

bilinear

transforma�c~ao, 185

bola

aberta de centro em um ponto a e raio

maior que zero, 46

fechada de centro em um ponto a e raio

maior que zero, 46

conjuntamente cont��nua

fun�c~ao, 121

conjunto

inf, 21

sup, 21

��n�mo de um, 21

diametro de um, 66

discreto, 64

imagem de uma fun�c~ao, 73

limitado em um espa�co m�etrico, 66

limitado inferiormente em R, 20limitado superiormente em R, 20supremo de um, 21

constante

de Lipschitz, associada a uma fun�c~ao,

100

cont��nua

fun�c~ao, 99

contra�c~ao

forte entre espa�co m�etricos, 109

fraca entre espa�co m�etricos, 109

coordenada

fun�c~ao, 123

descont��nua

fun�c~ao, 116

desigualdade

de Cauchy-Schwarz, 42

triangular, 8

distancia, 7

de um ponto a um conjunto, 78

entre dois conjuntos, 87

elemento

neutro, 27

oposto, 27

196

�INDICE REMISSIVO 197

equivalentes

m�etricas, 163

esfera

de centro em um ponto a e raio maior

que zero, 46

unit�ario em um espa�co euclideano, 145

espa�co

m�etrico

bola aberta em um, 46

bola fechada em um, 46

discreto, 63

esfera em um, 46

vetorial

norma da convergencia uniforme, 36

norma em um, 30

normado, 32

produto escalar, 38

produto interno, 38

vetorial com produto escalar, 39

vetorial com produto interno, 39

vetorial real, 26

vetorial sobre R, 26espa�co m�etrico

sequencia que converge para um ponto

em um, 117

sequencia que convergente para um ponto

em um, 117

espa�co m�etricos

∼, 131

homeomorfos, 131

m�etricas equivalentes em, 163

espa�co vetorial

funcional linear em um, 172

operador linear em um, 172

espa�cos m�etricos

fun�c~ao que preserva distancias entre,

88

fun�c~ao que preserva m�etricas entre, 88

homeomor�smo entre, 131

imers~ao isom�etrica entre, 88

imers~ao topl�ogica, 140

isom�etricos, 90

isometria entre, 89

espa�cos vetoriais

transfoma�c~ao linear entre, 172

estereogr�a�ca

proje�c~ao, 151

faixa

de amplitude dada em torno do gr�a�co

de uma fun�c~ao, 54

forma

bilinear, 39

bilinear, sim�etrica, positiva e de�nida,

40

fun�c~ao

j-�esima fun�c~ao coordenada associada a

uma, 123

cont��nua conjuntamente em um ponto

do produto cartesiano, 121

cont��nua em um conjunto, 99

cont��nua em um ponto, 99

cont��nua separadamente, 121

contra�c~ao

forte, entre espa�cos m�etricos, 109

fraca, entre espa�cos m�etricos, 109

coordenada, 123

descont��nua em um ponto, 116

gr�a�co de uma, 151

homotetia, 136

inclus~ao, 91

limitada, 19, 74

lipschitziana, 100

localmente lischitziana, 104

que preserva m�etricas entre espa�cos m�etricos,

88

que preserva distancias entre espa�cos

m�etricos, 88

re ex~ao em torno da origem, 95

separadamente cont��nua no produto car-

tesiano, 121

transla�c~ao, 136

198 �INDICE REMISSIVO

transla�c~ao de um vetor, 94

funcional

linear, 172

gr�a�co

de uma fun�c~ao, 151

hemisf�erio

norte de um esfera, 153

homeomor�smo


homeomorfos

espa�cos m�etricos, 131

homotetia, 136

imers~ao

isom�etrica entre espa�cos m�etricos, 88

topol�ogica, entre espa�co m�etricos, 140

isom�etricos

espa�cos m�etricos, 90

isometria


lei

do paralelogramo, 44

limitante

inferior de um subconjunto em R, 20superior de um subconjunto em R, 20

linear

funcional, 172

operador, 172

transforma�c~ao linear, 172

Lipschitz

constante de

associada a uma fun�c~ao, 100

lipschitziana

fun�c~ao, 100

localmente lipschitiziana

fun�c~ao, 104

m�etrica, 7

da convergencia uniforme, 28, 76

da soma, 45

do sup, 28

do sup, 76

do m�aximo, 45

euclideana, 15

induzida, 10

induzida por uma fun�c~ao, 91

mais �na que outra m�etrica, 154

produto, 45

propriedade, 133

que prov�em de uma norma, 37

usual em R, 11usual em Rn, 16

zero-um, 9

m�etricas

equiavelentes em espa�cos m�etricos, 163

m�etrico

espa�co, 8

pontos do, 9

subespa�co, 10

multilinear

transforma�cao, 184

norma

da convergencia uniforme, 36

do sup, 36

em um espa�co vetorial, 30

operador

linear, 172

ponto

isolado em um espa�co m�etrico, 59

produto

escalar, 38

interno, 38

proje�c~ao

i-�esima, 113

esterogr�a�ca, 151

prorpriedade

m�etrica, 133

topol�ogica, 133

re ex~ao

�INDICE REMISSIVO 199

em torno da origem, 95

separadamente cont��nua

fun�c~ao, 121

sequencia

converge para um ponto, em um espa�co

m�etrico, 117

convergente para um ponto em um espa�co

m�etrico, 117

supremo

de um conjunto, 21

topol�ogica

propriedade, 133

transforma�c~ao

bilinear, 185

linear, 172

multilinear, 184

transla�c~ao, 136

de um vetor, 94

vetores

ortogonais, 42

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Notas do Curso de SLC533 - Topologia Prof. Wagner Vieira