Novas Configurações de Antenas, Filtros e FSS com Fractais

Novas Configurações de Antenas, Filtros e FSS

com Fractais de Fuga no Tempo para

Aplicações em Microondas e Ondas

Milimétricas

Diego Ramalho Minervino

Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D’Assunção

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de

Computação da UFRN (área de concentração:

Telecomunicações) como parte dos requisitos para

obtenção do título de Doutor em Ciências.

Número de ordem PPgEEC: D209

Natal, RN, dezembro de 2017

Minervino, Diego Ramalho. Novas configurações de antenas, filtros e FSS com fractais defuga no tempo para aplicações em microondas e ondas milimétricas/ Diego Ramalho Minervino. - 2017. 110 f.: il.

Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande doNorte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação emEngenharia Elétrica e de Computação. Natal, RN, 2019. Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D'Assunção.

1. Microfita - Tese. 2. Filtros - Tese. 3. Antenas - Tese. 4.FSS - Tese. 5. Microondas - Tese. 6. Ondas milimétricas - Tese.I. D'Assunção, Adaildo Gomes. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 621.396.67

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNSistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Elaborado por Ana Cristina Cavalcanti Tinôco - CRB-15/262

A minha mãe, Fátima, por nunca

ter perdido a fé em mim.

"Nenhum homem realmente

produtivo pensa como se estivesse

escrevendo uma dissertação."

Albert Einstein

Agradecimentos

À Deus, por tudo.

Ao professor Adaildo Gomes D’Assunção, pela orientação, amizade, paciência,

colaboração, respeito, carinho e sugestões para o desenvolvimento deste trabalho.

Ao professor Custódio Peixeiro, junto ao IST (Instituto Superior Técnico – Lisboa, PT)

pela colaboração, amizade e sugestões para a pesquisa.

Ao professor Paulo Henrique (IFPB), pela amizade e por acreditar em meu potencial e

me incentivar a entrar na pós-graduação.

Ao professor Alfredo Gomes Neto (IFPB), pela amizade e por me indicar a pós-

graduação.

Ao professor Adaildo Jr. Pela amizade e apoio nas medições.

À minha mãe, Fátima, pelo amor, apoio incondicional, incentivo, compreensão e

paciência nos difíceis momentos.

A minha amiga e irmã (consideração), Albanisa, pela ajuda, diversão, apoio, amizade e

companheirismo.

Também agradeço aos funcionários do IST, Carlos Brito, António Almeida e Jorge

Farinha pela amizade, respeito e por terem me ajudado a construir e medir os protótipos

do trabalho.

À Capes e INCT-CSF, pelo apoio financeiro.

Resumo

Neste trabalho são investigadas e propostas novas configurações de dispositivos e

circuitos de micro-ondas e ondas milimétricas, com configurações fractais de fuga no

tempo, como os Conjuntos de Julia e Mandelbrot, que são estruturas definidas por uma

relação de recorrência de cada ponto no espaço. Especificamente, será investigada a

distribuição das correntes nas superfícies dos elementos condutores de filtros, antenas

planares e superfícies seletivas em frequência (FSS) com as geometrias fractais

consideradas, para aplicações tanto em sistemas de comunicações sem fio (wireless

communication systems), como em sistemas de comunicações em ondas milimétricas,

na faixa de frequência entre 0,7 a 30 (GHz). Foram consideradas estruturas planares de

transmissão como as linhas de microfita e o coplanar waveguide (CPW), no

desenvolvimento de filtros e antenas com geometrias euclidianas e fractais para

aplicações em micro-ondas e ondas milimétricas. A opção por estruturas de linhas de

microfita para o desenvolvimento de novas configurações de antenas e filtros se justifica

pela larga aplicação dessas linhas de transmissão, resultando sempre na fabricação de

circuitos planares com estruturas leves, de dimensões reduzidas, de baixo custo, fáceis

de construir e, principalmente, fáceis de integrar com outros circuitos de micro-ondas e

ondas milimétricas. O grande interesse em relação às aplicações na faixa de ondas

milimétricas está associado ao crescimento da utilização nas bandas L e S, a velocidade

de transmissão entre circuitos, sistemas de comunicações sem fio e na redução dos

componentes para a utilização em comprimentos de micro-ondas e ondas milimétricas.

Inicialmente, o estudo das configurações de fractais de fuga no tempo foi voltado para

aplicações em micro-ondas em antenas alimentadas por cabo coaxial e CPW. Por fim,

foram realizadas simulações, medições e construções dos protótipos de antenas, filtros e

FSSs com propósito de validar o trabalho realizado nesta tese de doutorado.

Palavras chaves: Microfita, filtros, antenas, CPW, FSS, micro-ondas, ondas

milimétricas.

Abstract

In this work, new configurations of devices and circuits of millimeter waves and

microwaves with fracturing configurations of escape-time are investigated and

proposed, such as the Julia and Mandelbrot sets, which are structures defined by a

recurrence relation of each point in space. Specifically, it will be investigated the

distribution of currents on the surfaces of filter conductors, planar antennas and

frequency selective surfaces (FSS) with the considered fractal geometries, for

applications in both wireless communication systems and systems in millimeter waves,

in the frequency range between 0.7 and 30 (GHz). Transmission planar structures such

as the microstrip lines and the coplanar waveguide (CPW) were considered in the

development of filters and antennas with Euclidean and fractal geometries for

microwave and millimeter wave applications. The choice of microstrip line structures

for the development of new antenna and filter configurations is justified by the wide

application of these transmission lines, always resulting in the manufacture of flat

circuits with small structures, low cost, easy to construct and especially easy to integrate

with other microwave and millimeter wave circuits. The great interest in applications in

the millimeter wave range is associated to the growth of the use in the L and S bands,

the speed of transmission between circuits, wireless communications systems and the

reduction of components for use in wavelengths and millimeter waves. Initially, the

study of time-fracturing fracturing was focused on microwave applications in antennas

fed by coaxial cable and CPW. Finally, simulations, measurements and constructions of

prototypes of antennas, filters and FSSs were carried out to validate the work done in

this doctoral thesis.

Keywords: Microstrip, filters, antennas, CPW, FSS, microwaves, millimeter waves.

Sumário

Lista de Figuras ................................................................................................................. i

Lista de Tabelas .............................................................................................................. vii

Lista de Símbolos e Abreviaturas ..................................................................................... x

Capítulo 1 Introdução ..................................................................................................... 11

Capítulo 2 Fractais .......................................................................................................... 16

2.1 – Conjuntos de Mandelbrot ................................................................................ 19

2.2 – Conjuntos de Julia ............................................................................................ 24

2.3 – Conclusão .......................................................................................................... 27

Capítulo 3 Filtros ............................................................................................................ 28

3.1 – Filtros de microfita ........................................................................................... 30

3.2 – Conclusão .......................................................................................................... 34

Capítulo 4 Antenas ......................................................................................................... 35

4.1 – Tipos de antenas ............................................................................................... 36

4.2 – Parâmetros de antenas ..................................................................................... 38

4.3 – Antenas de microfita ........................................................................................ 47

4.4 – Patch circular .................................................................................................... 49

4.5 – Conclusão .......................................................................................................... 59

Capítulo 5 Superfícies Seletivas em Frequência ............................................................ 60

5.1 – Abordagens teóricas ......................................................................................... 62

5.2 – Conclusão .......................................................................................................... 66

Capítulo 6 Resultados Teóricos e Experimentais ........................................................... 67

6.1 – Filtros................................................................................................................. 68

6.2 – Antenas .............................................................................................................. 73

6.3 – Superfícies seletivas em frequência ................................................................ 90

6.4 – Conclusão .......................................................................................................... 95

Capítulo 7 Conclusão ..................................................................................................... 97

Referências Bibliográficas .............................................................................................. 99

i

Lista de Figuras

Figura 2.1 - Fractal de Koch: (a) curvas de Koch e (b) Floco de Neve de Koch ........... 17

Figura 2.2 - Conjunto de Cantor ..................................................................................... 18

Figura 2.3 - Triângulos de Sierpinski ............................................................................. 18

Figura 2.4 - Conjunto de Mandelbrot: pontos não divergentes (preto), pontos

divergentes (tons de azul) (imagem retirada de um programa gratuito Fraqtive -

https://fraqtive.mimec.org/). ........................................................................................... 20

Figura 2.5 - Conjunto de Mandelbrot com d = 2, n = 3 e uma matriz: (a) 10x10 e (b)

1000x1000 ...................................................................................................................... 21


1000x1000 ...................................................................................................................... 21

Figura 2.7 - Conjunto de Mandelbtot e sua réplica em ad infinitum com zoom de 100

vezes. .............................................................................................................................. 22

Figura 2.8 - Conjunto de Mandelbrot com d = 2 e com número de iterações n: (a) n =1,

(b) n = 2, (c) n = 5 e (d) n = 20. ...................................................................................... 23

Figura 2.9 - Conjunto de Mandelbrot com n = 20 iterações e níveis d: (a) d =2, (b) d = 5,

(c) d = 10 e (d) d = 50. .................................................................................................... 23

Figura 2.10 - Conjunto de Julia cujos pontos: (a) não escapam para o infinito e (b)

escapam para o infinito. .................................................................................................. 25

Figura 2.11 - Conjunto de Julia d = 2 e c = -0,7 com número de iterações n: (a) n =1, (b)

n = 2, (c) n = 5 e (d) n = 20............................................................................................. 26

Figura 2.12 - Conjunto de Julia com c = 0,1 + 0,5i com n = 20 e níveis d: (a) d = 2, (b) d

= 3, (c) d = 10 e (d) d = 50.............................................................................................. 26

Figura 2.13 - Formação do conjunto de Julia com d = 2, c = 0.28+0.52i e: (a) matriz

10x10 e n = 20, (b) matriz 1000x1000 e n = 20 e (c) matriz 1000x1000 e n = 100. ...... 27

Figura 3.1 - Tipos de filtros de microfita; (a) cascata, (b) série, (c) paralelo e (d) série-

paralelo ........................................................................................................................... 30

Figura 3.2 - Linha de transmissão em microfita ............................................................. 31

Figura 4.1 - Tipos de antenas; (a) corneta em uma câmara anecóica, (b) antena fractal de

Julia no tecido, (c) antena tipo CPW, (d) cornetas sendo usadas para aferição de FSS e

(e) antena patch fractal. .................................................................................................. 37

Figura 4.2 - Antenas do tipo; (a) monolopos planares com patch circular, (b) arranjo de

patches quadrados usando fractal de Peano, (c) arranjo linear 4x2, (d) arranjo linear tipo

monopolo 2x1, (e) arranjo linear tipo monopolo 4x1 e (f) arranjo linear tipo monopólio

4x2 .................................................................................................................................. 38

Figura 4.3 - Diagramas de radiação; (a) bi dimensional e (b) tridimensional. ............... 40

Figura 4.4 - Tipos de diagramas de radiação; (a) isotrópico, (b) direcional e (c) omni-

direcional. ....................................................................................................................... 41

Figura 4.5 - Exemplo de uma antena com polarização circular: (a) razão axial

(adimensional) e (b) S11 da antena com os pontos de polarização circular ................... 45

Figura 4.6 - Patch de microfita ....................................................................................... 48

Figura 4.7 - Elementos geométricos para o patch; (a) circular, (b) quadrado, (c)

retangular, (d) losango, (e) pentágono, (f) fractal de Julia com d = 3 e c = 0,5 + 0,51i,

(g) fractal de Julia com d = 4 e c = 0,72 + 0,35i, (h) fractal de Julia com d = 5 e c = 0,66

+ 0,13i, (i) fractal de Mandelbrot com d = 2, (j) fractal de Mandelbrot com d = 3 e (l)

fractal de Mandelbrot com d = 4. ................................................................................... 48

Figura 4.8 - S11 dos patches circular e dos fractais de Julia. ......................................... 53

Figura 4.9 - Diagramas de radiação dos patches circular e Julia em: (a) = 0° e (b) =

90°. .................................................................................................................................. 54

Figura 4.10 - S11 dos patches circular e dos fractais de Mandelbrot ............................. 54

Figura 4.11 - Diagramas de radiação dos patches circular e Mandelbrot em: (a) = 0° e

(b) = 90°. ...................................................................................................................... 55

Figura 4.12 - S11 das antenas patches circular e Mandelbrot ........................................ 56

Figura 4.13 - Diagramas de radiação dos patches circular e Mandelbrot CPW em: (a)

= 0° e (b) = 90°. ........................................................................................................... 57

Figura 4.14 - Patch circular no topo, logo abaixo, da esquerda para direita, os fractais de

Mandelbrot (2ª linha) e Julia (3ª linha) com d = 2, 3, 4, 5 e 6, respectivamente, e os

modelos CPW com o patch circular e os fractais Mandelbrot com d = 4 e 5. ............... 58

Figura 5.1 - Modelos de FSS; (a) tipo abertura e (b) tipo patch ..................................... 60

Figura 5.2 - Exemplo de cascateamento de FSS. ............................................................ 61

Figura 5.3 - Setup de medição de uma FSS .................................................................... 61

Figura 6.1 - Filtro de Julia com c = -0,43x + 0,56iy em microfita no substrato de tecido

(jeans) alimentado por cabo coaxial ............................................................................... 69

Figura 6.2 - Resultado experimental do filtro da Figura 6.1 .......................................... 69

Figura 6.3 - Filtro de Julia com c = -0,69x – 0,007iy em microfita no substrato de tecido

(jeans) alimentado por cabo coaxial ............................................................................... 70



(jeans) alimentado por linhas de microfita. .................................................................... 71


Figura 6.7 - Fotografias (a) Câmara anecóica (IST) e (b) antena fixada para medição do

diagrama de radiação. ..................................................................................................... 74

Figura 6.8 - Antena do tipo CPW com geometria circular para faixa de ondas

milimétricas .................................................................................................................... 75

Figura 6.9 - Resultado experimental da antena da Figura 6.8 ........................................ 75

Figura 6.10 - Antena fractal de Julia (d = 3 e c = 0,5x + 0,42iy) alimentada por cabo

coaxial ............................................................................................................................. 77

Figura 6.11 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.10 .......................... 78

Figura 6.12 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.10,

nas frequências de: (a) 9,04 GHz, (b) 17,58 GHz, (c) 19,75 GHz, (d) 23,55 GHz e (e)

25,69 GHz ....................................................................................................................... 79

Figura 6.13 - Antena fractal de Julia (d = 2 e c = -0,39x + 0,55iy) alimentada por cabo

coaxial ............................................................................................................................. 80


Figura 6.15 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.13

na frequência de: (a) 21,5 GHz e (b) 24,2 GHz .............................................................. 81

Figura 6.16 - Antena fractal de Julia (d = 2 e c = -0,7x) alimentada por cabo coaxial .. 82

Figura 6.17 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.16............................ 83


nas frequências em: (a) 11,2 GHz e (b) 18,9 GHz ......................................................... 83

Figura 6.19 - Antena fractal de Mandelbrot (d = 2 e n = 20) alimentada por cabo coaxial

........................................................................................................................................ 84


Figura 6.21 - Resultado experimental do diagrama de radiação, na frequência 21,6 GHz,

da antena da Figura 6.19 ................................................................................................. 85


........................................................................................................................................ 86



nas frequências de: (a) 15,8 GHz e (b) 27,2 GHz........................................................... 87


........................................................................................................................................ 88


Figura 6.27 - Resultado experimental do diagrama de radiação, na frequência 24,76

GHz, da antena da Figura 6.25 ....................................................................................... 89

Figura 6.28 - Superfície seletiva em frequência construída no tecido (brin) com

geometria de Mandelbrot (d = 2 e n =20) do patch. ....................................................... 91

Figura 6.29 - Resultado experimental (S21) da FSS da Figura 6.28 .............................. 91

Figura 6.30 - Resultado experimental da FSS de Mandelbrot (d = 3 e n = 20), simulada e

medida no tecido brin. .................................................................................................... 92

Figura 6.31 - Superfície seletiva em frequência construída no tecido (brin) com

geometria de Mandelbrot (d = 4 e n = 20) do patch. ...................................................... 93

Figura 6.32 - Resultado experimental (S21) da FSS da Figura 6.31 ............................. 93

Figura 6.33 - Células das FSSs de Mandelbrot e suas respectivas orientações de

polarização com: (a) d = 5 e (b) d = 6. ........................................................................... 94

Figura 6.34 - Resultados simulados das FSSs de Mandelbrot (Figura 6.33) com d = 5 e d

= 6 com estabilidade angular. ......................................................................................... 95

Lista de Tabelas

Tabela 4.1 - Dados calculados do patch circular com uso das equações aproximadas

(4.14 – 4.15) usando r = 2,2 e h = 0,51 mm .................................................................. 51

Tabela 4.2 - Dados simulados das antenas com geometrias circular e fractais de fuga no

tempo .............................................................................................................................. 53

Tabela 6.1 - Dados simulados e medidos dos filtros ...................................................... 72

Tabela 6.2 - Dados da antena CPW circular ................................................................... 76

Tabela 6.4 - Dados S11 da antena fractal de Julia com d = 3 e c = 0,5x + 0,42iy ......... 80

Tabela 6.5 - Dados da antena fractal de Julia com d = 2 e c = -0,39x + 0,55iy ............. 82

Tabela 6.6 - Dados da antena fractal de Julia com d = 2 e c = -0,7x .............................. 84

Tabela 6.7 - Dados da antena fractal de Mandelbrot com d = 2 com n = 20. ................. 86

Tabela 6.8 - Dados da antena fractal de Mandelbrot com d = 4 e n = 20 ....................... 88

Tabela 6.9 - Dados da antena fractal de Mandelbrot com d = 3 e n = 20. ...................... 90

Tabela 6.10 - Dados simulados e medidos das FSS de Mandelbrot no tecido ............... 94

x

Lista de Símbolos e Abreviaturas

permeabilidade magnética

BW bandwidth

CPW coplanar waveguide

fc frequência de corte

fr frequência de ressonância

FSS superfície seletiva em frequência

h altura do substrato dielétrico

l comprimento da linha de transmissão

MoM Método dos Momentos

P.H polarização horizontal

P.V polarização vertical

r raio do círculo

R resistência

t espessura da camada de metalização da linha de microfita

TEM transverse electromagnetic

TLM modelo de linha de transmissão

W largura da linha de microfita

Zc impedância do circuito

Zn Valor da iteração n dos fractais de fuga no tempo

n número de iterações dos fractais de fuga no tempo

c pontos de iteração dos fractais de fuga no tempo

d nível dos fractais de fuga no tempo

ε permissividade elétrica

εr permissividade elétrica relativa

εre permissividade elétrica efetiva

η impedância característica do meio

λ comprimento de onda

Capítulo 1

Introdução

O uso de fractais, em sistemas de telecomunicações, vem se tornando comum devido a

sua característica geométrica de autosimilaridade, dimensões não-Euclidianas e perímetro

infinito [1]-[14]. Essas características dos fractais, em telecomunicações, têm propriedades

de aumentar o comprimento elétrico do dispositivo, fazendo com que o mesmo tenha

redução de suas características de propagação, como a frequência. Essa característica faz

com que o dispositivo seja miniaturizado, podendo chegar a 50% de redução ou mais [15]-

[16].

Mandelbrot definiu fractal como "um sistema organizado para o qual a dimensão de

Hausdorff-Besicovitch excede estritamente a dimensão topológica Euclidiana, cujas

estruturas sejam auto-semelhantes, ou a dimensão de Hausdorff é igual a dimensão de

Minkowski-Bouligand” [1]. Ou seja, na dimensão Euclidiana, os valores são inteiros, por

exemplo, um ponto a dimensão é zero, uma linha a dimensão é um, e assim,

sucessivamente. A dimensão fractal pertence aos números Reais, ou seja, uma dimensão

fractal poderá ter um valor como 1,513, por exemplo [1]-[5]. Simplificando, o todo forma a

parte e a parte forma o todo, ou ainda, a parte reflete o todo, assim como, o todo reflete a

parte [1]-[5].

Os fractais podem ser denominados em três categorias principais. Estas categorias são

determinadas pelo modo como o fractal é formado ou gerado, são elas [2]-[5]:

Os sistema de funções iteradas possuem uma regra fixa de substituição geométrica.

Conjunto de Cantor, triângulo de Sierpinski, curva de Peano, floco de neve de Koch, curva

do dragão de Harter-Heighway, T-Square, esponja de Menger, são alguns dos exemplos

deste tipo de fractal.

12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Os fractais de fuga no tempo são fractais definidos por uma relação de recorrência em

cada ponto do espaço (tal como o plano complexo). Exemplos deste tipo são os conjuntos

de Mandelbrot e de Julia e o fractal de Lyapunov.

Os fractais aleatórios são gerados por processos estocásticos ao invés de

determinísticos, por exemplo, terrenos fractais e o vôo de Lévy.

Ainda, também podem ser classificados de acordo com sua autossimilaridade. Existem

três tipos de autossimilaridade encontrados em fractais [1]-[5]:

Autossimilaridade exata - é a forma em que a autossimilaridade é mais evidente. O

fractal é idêntico em diferentes escalas exemplos desses fractais são os gerados por

sistemas de funções iterativas geralmente apresentam uma autossimilaridade exata.

Quase-autossimilaridade - é uma forma mais solta de autossimilaridade. O fractal

aparenta ser, aproximadamente, idêntico em escalas diferentes. Fractais quase-

autossimilares contém pequenas cópias do fractal inteiro de maneira distorcida ou

degenerada. Os fractais definidos por relações de recorrência, como os conjuntos de

Mandelbrot, são exemplos dessa quase-autossimilaridade.

Autossimilaridade estatística - é a forma menos evidente de autossimilaridade. O

fractal possui medidas numéricas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas.

Os fractais aleatórios são exemplos de fractais que possuem autossimilaridade estatística.

Neste trabalho, foram desenvolvidas configurações de antenas e filtros com motivos

fractais de fuga no tempo para aplicações em micro-ondas e ondas milimétricas.

Em relação ao estudo de circuitos com geometrias fractais de fuga no tempo neste

trabalho, destacam-se os conjuntos de Julia e Mandelbrot, pois tais geometrias não foram

abordadas em aplicações de circuitos integrados de micro-ondas (ou de ondas milimétricas)

[61], destacam-se a diferente forma de iteração e os níveis desses fractais quando

comparados com os fractais de iteração ou geométricos, como, por exemplo, as curvas de

Koch. Nestes casos, dependendo da iteração da equação complexa dos fractais de Julia e de

Mandelbrot, as geometrias se tornam complexas e similares às dos neurônios e do sistema

circulatório humano [7]-[13]. Portanto, o estudo destes fractais é oportuno e permitirá

determinar as respostas de antenas de microfita e de coplanar waveguide (CPW) à

excitação através de correntes elétricas ou de ondas eletromagnéticas, além de permitir

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 13

comparar os seus resultados com os das antenas de microfita e de CPW projetadas com

geometrias tradicionais [41]-[60].

Os estudos observados, em relação ao uso dos conjuntos de Julia e Mandelbrot, foram

relacionados à criptografia, sistemas embarcados e engenharia biomédica, mas não tendo

sido observados estudos dessas geometrias para aplicações em antenas, filtros e FSSs, por

exemplo, o que justifica a execução desta tese [7]-[13].

Atualmente, o espectro de frequências disponibilizado para os sistemas de

telecomunicações, na faixa inferior de micro-ondas (até 10 GHz), se encontra saturado

devido ao grande aumento da demanda por novos serviços, em decorrência do incrível

avanço tecnológico na área. Assim, tornou-se indispensável o desenvolvimento de sistemas

com aplicações em frequências mais elevadas e, em particular, em ondas milimétricas (30 a

300 GHz) [17]-[32].

O desenvolvimento de sistemas de comunicações de quarta e quinta gerações e das

redes massivas de sensores (IoT – Internet of Things), tem requerido a identificação de

materiais adequados (com baixas perdas) e a realização de estudos visando o

desenvolvimento de novos componentes, como conectores, laminados e circuitos, como

filtros, FSS e antenas [17]-32]. A despeito do desafio tecnológico, que inclui o estudo de

propagação de ondas e o desenvolvimento de novos circuitos, com dimensões milimétricas

que possibilitará a redução dos tamanhos dos dispositivos e/ou manterem suas dimensões,

aumentando suas capacidades e velocidades de transmissão entre os circuitos [17]-[32].

Sabe-se que à medida que as frequências vão aumentando, em contra partida, os

comprimentos de onda vão diminuindo, fazendo que os desafios em se obter materiais mais

adequados, de baixas perdas, compactos, fáceis de produzir e de custo reduzido sejam mais

elevados [17]-[32].

Alguns trabalhos vêm sendo desenvolvidos em ondas milimétricas (30 a 300 GHz)

com o intuito de propor alternativas à utilização das bandas L e S [17][32]. A pesquisa em

ondas milimétricas vem aumentando ao longo dos anos, devido à demanda por serviços em

comunicações sem fio mais rápidos, maiores larguras de banda e menos interferências com

outras faixas de frequência, demasiadamente saturadas devido ao grande aumento de

dispositivos no mercado, além disso, é possível estender o conhecimento das características

de propagação em ondas milimétricas em substratos dielétricos, por exemplo [17]-[32].

14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Pesquisas recentes nos mostram que a utilização das faixas em ondas milimétricas, nas

quais serão implementadas à tecnologia 5G e IoT, aumentaram a velocidade das

comunicações sem fio em 100 vezes, também fará que cidades inteiras tornem-se

inteligentes, com todos os dispositivos conectados, como por exemplo, geladeira, lâmpadas,

fogões, quadros de energia e até tubulações de água [17]-[32]. Mas, para isso, além de

modelos matemáticos de propagação, dispositivos que possuam boas respostas nestas faixas

de frequência, como antenas, filtros, coplanar waveguide (CPW), superfícies seletivas em

frequência (FSS) entre outros dispositivos devem ser pesquisados, testados e enfim

produzidos para atenderem a demanda desses serviços de comunicações sem fio [17]-[32].

Portanto, o avanço dos estudos em ondas milimétricas, e principalmente, com a

utilização de geometrias de fractais de fuga no tempo, é muito importante para o

desenvolvimento de novos dispositivos e circuitos integrados de altas frequências, pois

essas geometrias fractais de fuga são capazes de reduzir a superfície metálica do condutor

em até 60% e também, reduzir em até, aproximadamente, 40% a frequência de ressonância

projetada para o dispositivo em questão [61]. Os fractais de fuga no tempo, além de

existirem inúmeras possibilidades de formas geométricas, como os Conjuntos de Julia,

também possibilitará observar o comportamento dessas geometrias em aplicações como

antenas, filtros e FSS. Desse modo, a análise do comportamento da distribuição de corrente

na superfície do condutor com essas geometrias de fractais de fuga no tempo, torna-se

relevante devido aos detalhes da borda da geometria, além disso, é possível reproduzi-las

em três dimensões, pois se trata de uma geometria que recorre a vários pontos no espaço.

Foram utilizados softwares comerciais como o Ansoft Designer e o Ansoft HFSS, para

a modelagem das geometrias estudadas, além de programas computacionais, de criação de

imagens, na etapa de projeto, com a definição do layout de cada configuração considerada.

Em seguida, foram construídos e medidos protótipos para a verificação das suas respostas

em frequência, através de analisadores de rede, nos Laboratórios de Telecomunicações do

IST-IT (Instituto Superior Técnico – Instituto de Telecomunicações), em Lisboa, UFRN

(Universidade Federal do Rio Grande do Norte) e do IFPB (Instituto Federal da Paraíba).

Foram efetuadas comparações entre os resultados simulados e medidos para fins de

validação do trabalho.

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 15

A contribuição principal desta tese de doutorado são as aplicações das geometrias de

fractais dos Conjuntos de Julia e Mandelbrot em antenas, filtros e FSS, em micro-ondas e

ondas milimétricas, principalmente, podendo ser aplicadas nas comunicações de quarta e

quinta gerações, IoT, aplicações médicas, militares e onde os profissionais necessitem de

dispositivos vestíveis, para comunicação. Foram obtidos resultados teóricos e

experimentais, tais como, largura de banda, diagrama de radiação (caso das antenas),

ganho, polarização e frequências de ressonância.

A apresentação desta tese está dividida em seis capítulos, de forma a evidenciar os

referenciais teóricos e experimentais para o estudo dos circuitos e das estruturas

mencionadas.

O Capítulo 2 apresenta uma breve história dos tipos de fractais, com ênfase nos fractais

de fuga no tempo, detalhando o desenvolvimento desses fractais e como abordar essas

geometrias em dispositivos como as antenas e as FSS.

O Capítulo 3 descreve as características principais dos filtros de microfita, abordando a

teoria de linhas de microfita.

O Capítulo 4 apresenta as características principais das antenas, priorizando os

diagramas de radiação, largura de banda, ganho e polarização. Um subcapítulo sobre

antenas de microfita é apresentado com foco em particular nos patches circulares, pois são

deles que deriva-se os fractais de Julia e Mandelbrot. Essas antenas foram projetadas em

micro-ondas (até 30 GHz) que possam ser aplicadas em sistemas de quarta e quinta

gerações.

O Capítulo 5 abordará a teoria básica sobre superfícies seletivas em frequência (FSS),

pois foram feitas três estruturas com as geometrias de Mandelbrot em tecido, com

aplicações em dispositivos vestíveis.

O Capítulo 6 apresenta os resultados simulados e medidos realizados dos filtros,

projetados em substratos de tecido para micro-ondas. Antenas, todas projetadas para

aplicações em até 30 GHz com uso do substrato Duroid 5880 e, por fim, as FSS todas

projetadas em tecido.

O Capítulo 7 são as conclusões finais para esta tese de doutorado.

Capítulo 2

Fractais

No passado, final do século XIX, matemáticos tem-se preocupados em grande parte

com conjuntos e funções para que os métodos de cálculo clássico possam ser aplicados.

Estas novas estruturas, na época, com definições ou funções que são suficientemente suaves

ou regulares (exemplo, curvas de Koch) foram ignoradas e denominadas como

“patológicas” ou dignas de estudo. Certamente, elas foram consideradas como curiosidades

individuais e apenas, raramente, foram pensadas como uma classe para a qual uma teoria

geral poderia ser aplicada [22]-[26].

Com o passar dos anos, esta atitude mudou. Foi percebido que uma grande quantidade

de objetos “não-regulares” existiam na matemática. Além disso, conjuntos irregulares

fornecem uma representação melhor de muitos fenômenos materiais do que as geometrias

clássicas [23]-[26]. A geometria fractal fornece um quadro geral para o estudo de tais

conjuntos irregulares.

Em 1872, Karl Weierstrass [22]-[26], descreveu uma função contínua, porém não

diferenciável em todo o seu domínio. Helge Von Koch [8], em 1904, fez infinitas adições

de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial, cujo nome ficou conhecido como “Floco

de Neve de Koch” (Figura 2.1). No limite, a curva de Koch possui as mesmas

características da função de Weierstrass, contudo sua definição é mais simples e intuitiva.

A curva de Von Koch, da origem a geometria conhecida como “Flocos de Neve de

Koch” (Figura 2.1b). Sendo E0 um segmento de linha da unidade de comprimento. O

conjunto E1 consiste em quatro segmentos obtidos por remoção do terceiro meio de E0 e

substituindo-o pelos dois outros lados do triângulo equilátero com base no seguimento

removido. Construímos E2, aplicando o mesmo procedimento para cada um dos segmentos

em E1, e assim, sucessivamente. Assim Ek vem substituir o terço

CAPÍTULO 2. FRACTAIS 17

médio de cada segmento de linha reta de Ek-1 pelos outros dois lados de um triângulo

equilátero. Quando k é grande, as curvas de Ek-1 diferem apenas em pequenos detalhes e

como k tende ao infinito, a sequência de curvas poligonais Ek se aproxima de uma curva

limite F, chamando a curva de Von Koch [23]-[26].

Outro fractal é conjunto de Cantor é um dos fractais mais conhecidos e mais facilmente

construídos, no entanto, ele exibe muitas características típicas fractais. Ele é constituído a

partir de uma unidade de intervalo por uma sequência de operações de redução (Figura 2.2).

Deixando E0 no intervalo [0,1], E1 será obtido pela redução do terço médio de E0, de modo

que E1 consiste em dois intervalos [0,1/3] e [2/3, 1]. Excluindo os terços médios desses

intervalos obtemos E2, assim E2 compreende os quatro intervalos [0,1/9], [2/9, 1/3], [2/3,

7/9] e [8/9, 1]. Continuando, dessa forma, obtemos Ek excluindo um terço de cada intervalo

de Ek-1. Assim Ek consiste em 2k intervalos de cada comprimento de 3

-k [23]-[26].

Figura 2.1 - Fractal de Koch: (a) curvas de Koch e (b) Floco de Neve de Koch

18 CAPÍTULO 2. FRACTAIS

Figura 2.2 - Conjunto de Cantor

Uma das aplicações para esse tipo de fractal pode ser vista em antenas de microfita

com aplicações em bandas ultra largas como também serem aplicadas em antenas ou filtros

reconfiguráveis devido as suas características fractais como visto na Figura 2.2.

Muitos outros conjuntos podem ser construídos utilizando o procedimento de recursão.

Por exemplo, o triângulo de Sierpinski é obtido por remoção repetida (invertida) de

triângulos equiláteros de um triângulo equilátero inicial da unidade de lado de comprimento

(Figura 2.3), outra definição é a substituição repetida de um triângulo equilátero por três

triângulos de meia altura [23]-[26].

Figura 2.3 - Triângulos de Sierpinski

Inúmeras aplicações com essas geometrias vistas foram utilizadas em antenas [18], FSS

[27]-[31] e filtros [32], com objetivos de aumentar o comprimento elétrico da estrutura,

assim, reduzindo seu tamanho, ou seja, a cada iteração do fractal a frequência de

ressonância da estrutura diminui [18].

2.1 CONJUNTOS DE MANDELBROT 19

2.1 – Conjuntos de Mandelbrot

Sistemas dinâmicos complexos são campos fascinantes da matemática. Tem tanto

apelo visual das infinitas belas variações fractais, como também o apelo intelectual dos

desenvolvimentos matemáticos sofisticados. Seus desafios teóricos têm atraído

pesquisadores de todo mundo [1]-[16].

Um objeto central do estudo de sistemas dinâmicos complexos é o conjunto de

Mandelbrot (M) uma forma fractal clássica dos polinômios quadráticos fc(z) = z2 + c. O

conjunto de Mandelbrot tem uma definição extremamente simples: é um fractal definido

como um conjunto de pontos “c”, no plano complexo, para o qual a sucessão definida

recursivamente (que não tende ao infinito) é representada por [15]:

𝑀 = 𝑐 ∈ ℂ: 𝑓𝑐𝑛(𝑧) 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑛 → ∞

No entanto M apresenta uma estrutura geométrica e combinatória rica, com muitos

detalhes intrigantes. Embora esteja definido em termos de polinômios quadráticos o

conjunto de Mandelbrot reaparece em, virtualmente, todos os outros membros da família de

mapas racionais, como pode ser observado em experiências de computador [15].

A teoria matemática do conjunto de Mandelbrot e objetos relacionados sofreu um

rápido desenvolvimento durante as duas últimas décadas [4]-[16]. Seus artigos vão desde a

exposição sistemática do conhecimento atual sobre o conjunto de Mandelbrot, até novos

trabalhos com resultados inéditos ou difíceis de encontrar na literatura [14].

Fixado um número inteiro 2 ≤ d ≤ ∞ na equação czzf d

c )( , o conjunto de

Mandelbrot é definido genericamente como 𝑀𝑑 ⊂ ℂ tal que, o conjunto de pontos c com o

conjunto de Julia J(fc) estão conectados. Equivalentemente, c não tende ao infinito, pois se

trata de pontos recorrentes no espaço do plano complexo. O conjunto de Mandelbrot

tradicional é a versão quadrada M2, ou seja,

(2.1)

O conjunto de Mandelbrot pode-se ser definido como o conjunto de todos os pontos c

do plano complexo para os quais a série de iterações,

czzfc 2)(


(2.2)

em que

(2.3)

e

(2.4)

não diverge para infinito, ou seja, aqueles pontos para os quais |Zn| se mantém finito após

um número qualquer de iterações. Observa-se na Figura 2.4 em que |Zn| diverge para o

infinito (tons de azul) e |Zn| não diverge para o infinito (tons de preto). Na Figura 2.5a,

observa-se o conjunto de Mandelbrot em uma matriz 10x10, ou seja, 100 pontos no espaço

complexo, com d igual a 2 e n igual a 3, na Figura 2.5b a matriz é 1000x1000 pontos no

espaço, ou seja, quanto mais pontos no espaço mais a geometria é suavizada. Na Figura 2.6,

o mesmo processo de iteração como na Figura 2.5 foi realizado, com a diferença que desta

vez, o n é igual a 9.

Figura 2.4 - Conjunto de Mandelbrot: pontos não divergentes (preto), pontos divergentes

(tons de azul) (imagem retirada de um programa gratuito Fraqtive -

https://fraqtive.mimec.org/).

cZZ d

nn 1

00 Z

iyxc



1000x1000


1000x1000

O conjunto de Mandelbrot, em sua representação gráfica, pode ser dividido em um

conjunto infinito de cardioides, localizado ao centro do plano complexo [6]. Existe uma

infinidade (contável) de quase círculos (o maior deles é a única figura que, de fato, é um

círculo exato e localiza-se à esquerda do cardioide) que tangenciam o cardioide e variam de

tamanho com raio tendendo assintoticamente a zero [6].


Cada um desses círculos tem seu próprio conjunto infinito (contável) de pequenos

círculos cujos raios também tendem assintoticamente a zero. Esse processo se repete

infinitamente, gerando uma figura fractal. Dentro do conjunto de Mandelbrot há réplicas do

conjunto ad infinitum (Figura 2.7). É uma característica dos objetos fractais. Só a limitada

precisão das computações faz com que, a partir de certa altura, o conjunto ad infinitum

deixe de acontecer [6].

Figura 2.7 - Conjunto de Mandelbtot e sua réplica em ad infinitum com zoom de 100

vezes.

Com o uso das equações (2.1)-(2.4), pode-se formar as imagens fractais de Mandelbrot

com o nível de iteração que se deseja, na Figura 2.8, assim como nas Figura 2.5 e Figura

2.6 observa-se essas iterações e como os conjuntos de Mandelbrot são formados, desse

modo temos:


Figura 2.8 - Conjunto de Mandelbrot com d = 2 e com número de iterações n: (a) n =1, (b)

n = 2, (c) n = 5 e (d) n = 20.

O conjunto de Mandelbrot à medida que aumenta o nível do fractal (d ) ele tende a

se tornar novamente a geometria circular que o derivou [ver equação (2.2)]. Podem-se

observar essas características do fractal na Figura 2.9.

Figura 2.9 - Conjunto de Mandelbrot com n = 20 iterações e níveis d: (a) d =2, (b) d = 5,

(c) d = 10 e (d) d = 50.


2.2 – Conjuntos de Julia

O conjunto de Julia de uma função complexa foi nomeado pelo matemático francês

Gaston Julia, que descobriu no século XX, muitas das propriedades básicas deste conjunto.

Uma precisa definição de conjunto de Julia de um polinômio é: a fronteira da coleção de

pontos (os pontos c da equação (2.2)) cujas órbitas escapam para o infinito (em que |Zn| não

diverge para o infinito). Isto significa que pontos, em um conjunto de Julia, têm órbitas que

não escapam para o infinito (Figura 2.10a), mas arbitrariamente muito perto existem pontos

cujas órbitas escapam (Figura 2.10b) [2]-[5].

O conjunto de Julia é uma derivação ao conjunto de Mandelbrot, cada ponto no plano

complexo no conjunto de Mandelbrot corresponde a um conjunto de Julia diferente. Os

pontos que pertencem ao conjunto de Mandelbrot correspondem precisamente aos

conjuntos de Julia conexos (Figura 2.10a), e os pontos fora do conjunto de Mandelbrot

correspondem aos conjuntos de Julia desconexos (Figura 2.10b) [2]-[5].

Intuitivamente, os conjuntos de Julia correspondem aos pontos próximos à fronteira do

conjunto de Mandelbrot, pontos mais internos ao conjunto de Mandelbrot correspondem a

formas geométricas relativamente simples, enquanto os pontos mais externos lembram

poeira rodeada por manchas de cores, isso significa que à medida que os pontos c do

conjunto de Julia ficam mais afastados da geometria conexa de Mandelbrot a imagem do

conjunto de Julia torna-se desconexa, lembrando grãos de areia espalhado em uma

superfície (Figura 2.10). Alguns programas, como o Fractive, permitem que o usuário

escolha um ponto e veja o conjunto de Julia correspondente, tornando fácil a navegação

[2]-[5].

O conjunto de Mandelbrot contém estruturas muito semelhantes aos conjuntos de Julia,

de fato, para qualquer valor c, a região do conjunto de Mandelbrot ao redor de c lembra o

centro do conjunto de Julia com parâmetro c [2]-[5].

Os conjuntos de Julia fornecem uma ilustração mais marcante de como um processo,

aparentemente, simples pode levar a conjuntos altamente complexos. No plano complexo

uma simples função como czzf 2)( , com c uma constante, pode dar origem a fractais

de uma aparência exótica (Figura 2.10) [2]-[5].

2.2 CONJUNTOS DE JULIA 25

Figura 2.10 - Conjunto de Julia cujos pontos: (a) não escapam para o infinito e (b) escapam

para o infinito.

Conjuntos de Julia surgem em conexão com a iteração de uma função de uma variável

complexa f, de modo que estão relacionadas com os sistemas dinâmicos. No entanto, por

limitar-se a funções que são analíticas no plano complexo, isto é, diferenciável na medida

em que wzfwzfzf w 0

' lim)( , existe um número complexo, onde 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ,

assim podem-se usar técnicas poderosas da teoria da variável complexa para obter

informações mais detalhadas sobre a estrutura de tais conjuntos [2]-[5].

Do mesmo modo que o conjunto de Mandelbrot é formado, o conjunto de Julia

também é, ou seja, o número de iterações (n), a quantidade de pontos no espaço e o nível

(d), com a diferença que o ponto no espaço complexo é fixo, assim, como exemplo, uma

geometria que foi utilizada como antena nesta tese (Figura 6.16) (Julia d = 2 e c = -0,7) vê-

se a formação da geometria de Julia de acordo com o número de iterações:


Figura 2.11 - Conjunto de Julia d = 2 e c = -0,7 com número de iterações n: (a) n =1, (b) n

= 2, (c) n = 5 e (d) n = 20.

Também se pode observar, igualmente com o fractal de Mandelbrot que à medida que

é aumentado o nível do fractal, o mesmo tende a voltar à geometria que a derivou, a

geometria circular, observa-se essa relação na Figura 2.12:

Figura 2.12 - Conjunto de Julia com c = 0,1 + 0,5i com n = 20 e níveis d: (a) d = 2, (b) d =

3, (c) d = 10 e (d) d = 50.

Também é importante notar, que a quantidade de pontos no espaço e o nível de iteração

n são importantes para que a geometria tenha uma forma melhor definida Figura 2.13.

2.2 CONJUNTOS DE JULIA 27

Figura 2.13 - Formação do conjunto de Julia com d = 2, c = 0.28+0.52i e: (a) matriz 10x10

e n = 20, (b) matriz 1000x1000 e n = 20 e (c) matriz 1000x1000 e n = 100.

2.3 – Conclusão

Neste capítulo foi visto uma breve história dos fractais ditos como fractais geométricos

ou fractais de funções iteradas, conceitos a respeito dos mesmos, alguns exemplos e uma

visão um pouco mais elaborada em relação aos fractais geométricos com embasamentos

matemáticos e algumas aplicações. Também existem os fractais aleatórios que são

determinados por processos estocásticos ao invés de determinísticos.

Foi visto, com mais detalhes, os conjuntos de Mandelbrot e Julia, objeto desta tese, que

são os fractais conhecidos como fractais de fuga no tempo, que são uma recorrência de cada

ponto no espaço complexo, suas apresentações matemáticas e como são formados.

Aplicações destas geometrias serão vistas no capítulo de filtros, antenas e FSS.

O estudo destas geometrias fractais de fuga no tempo, em particular o fractal de Julia,

nos permite uma possibilidade quase infinita de formas, que possibilitam uma redução nas

antenas, filtros e FSS que utilizam geometrias circulares. Existe um limiar em que a

geometria de Julia se aproxima da frequência de ressonância do patch circular que será

visto no capítulo 4.

Este capítulo é fundamental para os capítulos seguintes, pois se trata de uma geometria

que foi utilizada para modelamento dos dispositivos desta tese, tais como as antenas

alimentadas por cabo coaxial, FSS e os filtros.

Capítulo 3

Filtros

Um filtro é um circuito de duas portas utilizado para controlar a resposta de frequência

de certo ponto num sistema de RF, micro-ondas ou ondas milimétricas, proporcionando

transmissão à frequência dentro da banda passante do filtro e de atenuação na faixa de

rejeição do filtro. Quanto à resposta em frequência, os filtros podem ser classificados em:

passa-baixa, passa-alta, passa-faixa e rejeita-faixa. As aplicações podem ser encontradas

virtualmente, em, qualquer tipo de comunicação de RF, micro-ondas ou ondas milimétricas

[24]-[44].

O desenvolvimento da teoria e da prática de filtros começou nos anos que procederam

a II Guerra Mundial por pioneiros como Mason, Darlington, Fano, Lauson e Richards. O

método de parâmetro por imagens do filtro foi desenvolvido no final de 1930 e foi útil para

filtros de baixa frequência nos rádios e telefonia. No início de 1950 um grupo no Stanford

Reaserch Institute, (composto por G. Matthaei, L. Young, E. Jones, S. Cohn, entre outros)

tornou-se muito ativo no desenvolvimento de filtros e acopladores de micro-ondas.

Atualmente, a maioria dos projetos dos filtros, de micro-ondas e ondas milimétricas,

são feitos com projetos assistidos por computador, com base no método de perda de

inserção. Por causa de contínuos avanços na síntese com elementos distribuídos, o aumento

de supercomputadores de baixa temperatura, o avanço no desenvolvimento de novos

materiais, a incorporação de dispositivos ativos em filtros, design de filtros de micro-ondas

e ondas milimétricas continua sendo uma área de pesquisa muito ativa [24]-[44].

Um processo mais moderno, o chamado método de perda de inserção, utiliza técnicas

de síntese de rede para projetar filtros com resposta de frequência completamente

específica. O projeto é simplificado, começando com os protótipos de filtros passa-baixa

que são normalizados em termos de impedância e frequência. Transformações, como as de

3.1 FILTROS DE MICROFITA 29

Richard e identidade de Kuroda são, então, aplicadas para converter os designs de

protótipos para o nível de faixa de frequência e impedância desejadas [36], [39].

Os filtros podem ser desenvolvidos a partir de elementos concentrados (com indutores

e capacitores) ou de elementos distribuídos (com seções de linhas de transmissão e stubs).

Também existe a possibilidade de constituição com elementos unicamente passivos, ou

com a incorporação de elementos ativos (como varactores, diodos pin e chaves MEMS)

[36], [39].

Os filtros passivos são muito utilizados na área de Telecomunicações, em sistemas de

comunicações, de radar e de telemetria, por exemplo, além de aplicações industriais e

médicas, pois, não necessitam de alimentação para funcionarem. Por outro lado, os filtros

ativos necessitam de uma alimentação externa para funcionarem, contudo sua precisão de

resposta em frequência é maior [36], [39].

Recentemente, o desenvolvimento de novas configurações de filtros tem aumentado o

interesse de muitos pesquisadores. Isto está relacionado com o grande aumento na

utilização do espectro eletromagnético, o que tem dificultado a expansão dos sistemas de

telecomunicações atuais, por parte das concessionárias de telecomunicações, para

atendimento da demanda crescente da sociedade por novos bens e serviços na área [36]-

[44]. Além disso, também existe a demanda específica para atender aos requisitos dos

sistemas de comunicações mais avançados.

Por isso, atualmente, pesquisadores de todo o mundo estão desenvolvendo pesquisas

em filtros objetivando, por exemplo, o aumento da eficiência, a miniaturização e a melhoria

de desempenho nas regiões de transição (rejeição/transmissão) desses dispositivos, como

também realizam pesquisas sobre filtros reconfiguráveis, que permitam o ajuste de suas

características principais, tais como frequências de corte, faixas de transmissão/rejeição e

largura de banda (transmissão/rejeição) [31]-[44].

O desenvolvimento de novas configurações de filtros, em estruturas planares (como as

de microfita), é parte essencial, tanto ao desenvolvimento de novas tecnologias para

sistemas de comunicações, como ao desenvolvimento de novos dispositivos portáteis [43],

[44].

Neste capítulo é apresentado, de forma resumida, modelos de filtros em microfita e

conceito de linha de microfita.

30 CAPÍTULO 3. FILTROS

3.1 – Filtros de microfita

Geralmente, os filtros de microfita são compostos por associações (em série, em

paralelo e em cascata) de seções de linhas de transmissão e/ou de stubs (em curto e/ou em

aberto), como mostrado na Figura 3.1. Estes filtros são muito utilizados nas faixas de

microondas e ondas milimétricas, em sistemas de comunicações sem fio e em inúmeras

aplicações, tais como, Wi-Fi, WiMax, Bluetooth, 5G, entre outros [24]-[44]. As geometrias

mais adequadas dependem das aplicações, por exemplo, filtros em cascata (Figura 3.1a) são

utilizados para aplicações rejeita-faixa, ou stubs em aberto (Figura 3.1c), utilizados em

sistemas passa-faixas, mas de modo geral, as geometrias Euclidianas são as mais comuns

em filtros de microfita, diferente das geometrias dispostas nesta tese, como os fractais de

fuga no tempo (Capítulo 2 e Capítulo 6). Os filtros podem ser encontrados em diversos

dispositivos, sendo eles, portáteis, transmissores e receptores de micro-ondas para sistemas

de comunicações de alta potência, TV digital, sistemas de radar, sistemas de telemetria,

dentre outros [24]-[44].

Figura 3.1 - Tipos de filtros de microfita; (a) cascata, (b) série, (c) paralelo e (d) série-

paralelo


Linhas de microfita

A configuração típica de uma linha de microfita, ou apenas microfita, está ilustrada na

Figura 3.2. Sua estrutura é constituída por uma fita condutora uniforme, de largura W e

espessura t, impressa em um substrato dielétrico com permissividade elétrica relativa εr,

que por sua vez está montado sobre um plano de terra [25]-[39].

Geralmente, dispositivos projetados para operarem em até 10 GHz, nos cálculos para

projetos de filtros e de outros circuitos de microfita, inclusive de antenas, a espessura da

camada metálica fita condutora t é desprezível (aproximadamente 12 m), mas acima dessa

faixa de frequência os efeitos da espessura t são considerados [14]. Esta aproximação

simplifica a análise e o projeto dos circuitos desejados, sem afetar de forma significativa ou

não afetar os resultados dos circuitos integrados, na maioria das aplicações, na faixa de

micro-ondas entre 300 MHz até 10 GHz, pois acima de 10 GHz, as perturbações dos meios,

em que a onda passa, começam a interferir em seu comportamento [25]-[39].

Figura 3.2 - Linha de transmissão em microfita

Na linha de microfita, a propagação de ondas se dá na direção do seu eixo principal, ao

longo da estrutura. Os campos elétrico e magnético se concentram na região abaixo da fita

condutora, mas se distribuem em toda a região dielétrica (que não é homogênea) constituída

por ar (região acima da fita condutora, quando se trabalha com a fita suspensa) e pelo

material do substrato dielétrico [25]-[39].

t

h

W

L


Devido à sua constituição, a microfita não pode propagar uma onda TEM, apenas com

componentes transversais dos campos não nulas, e a velocidade de propagação não depende

apenas da permissividade, εr, e da permeabilidade, µ, do material dielétrico. A não

homogeneidade da região dielétrica, composta pelo substrato dielétrico e pelo ar (quando

possível), acarreta o surgimento de componentes longitudinais dos campos elétrico e

magnético, e em consequência a velocidade de propagação dependerá das dimensões da

microfita e das propriedades do substrato dielétrico [25]-[39].

Quando as componentes longitudinais dos campos elétrico e magnético (associados ao

modo de propagação em uma linha de microfita) são muito menores que as componentes

transversais, elas podem ser desprezadas. Neste caso, as características do modo de

propagação se aproximam das de um modo TEM. Isto permitiu definir o modelo de análise

conhecido como “aproximação quase-TEM”, que é válida especialmente para a faixa de

frequências de microondas 300 MHz a 10 GHz [25]-[39].

Nestas condições, a permissividade relativa efetiva, re, e a impedância característica da

microfita, Zc, podem ser expressas, para W/h ≤ 1, como [39]:

(3.1)

(3.2)

e para W/h ≥ 1, como:

(3.3)

(3.4)

sendo η = 120π Ω, que é a impedância característica do espaço livre.

25,0

104,01212

1

2

1

h

W

W

hrrre

h

W

W

hZ

re

c 25,08

ln2

5,0

1212

1

2

1

W

hrrre

1

444,1ln677,0393,1

h

W

h

WZ

re

c


Similarmente, existem expressões aproximadas para a síntese de linhas de microfita,

quando o objetivo principal é determinar suas dimensões físicas a partir da escolha da

impedância característica desejada e das propriedades do material do dielétrico utilizado.

As expressões de síntese apresentadas em (3.5) a (3.7) estão entre as mais usadas [39].

(3.5)

onde,

(3.6)

e

(3.7)

A ocorrência de descontinuidades em circuitos de microfita, como filtros, é muito

comum, tanto por imposições dos projetos como pela necessidade de redução das suas

dimensões, especialmente por envolverem a utilização de stubs (terminados em circuito-

aberto ou curto-circuito), gaps, curvas e junções de seções de microfita distintas [39].

Neste trabalho, são considerados os casos de tocos inseridos na geometria fractal de

Julia para uma melhor resposta do filtro (Figura 6.1, Figura 6.3, Figura 6.5, Erro! Fonte de

referência não encontrada.). Em geral, o efeito dessas descontinuidades é analisado

através de circuitos equivalentes, que permitem obter expressões aproximadas e precisas,

que podem ser incorporadas em programas de análise. Existem numerosas formas de

expressões para descontinuidades de microfita disponíveis na literatura [25]-[39].

2;61,0

39,0)1ln(2

1)12ln(1

2

2;2

82

hWBBB

hWe

e

h

W

rr

r

A

A

rr

rrZA

11,023,0

1

1

2

1

600

rZB

02

377


3.2 – Conclusão

Neste capítulo foi visto uma introdução sobre filtros e os processos de

desenvolvimento e síntese que existem na literatura. Embora, os métodos de

desenvolvimento e síntese dos filtros são apenas o ponto de partida para a construção do

filtro, os mesmos são finalizados nos softwares comerciais Ansoft Designer e HFSS. Foi

apresentada a teoria de filtros usados nas áreas de Eletrônica e de Telecomunicações, tanto

em sistemas de comunicações, radar e telemetria, como em aplicações industriais, médicas,

ondas milimétricas e 5G.

Também foram apresentadas as equações, aproximadas, de projeto e as seções de

linhas de microfita.

Uma atenção especial foi dada ao projeto de filtros para aplicações na faixa de micro-

ondas em substratos têxteis com geometrias fractais de Julia com tocos de impedância, de

maior interesse nesta tese. Este capítulo é a base teórica em que, os filtros construídos nesta

tese, estão fundamentados.

Capítulo 4

Antenas

Uma antena é um dispositivo que transmite/recebe ondas eletromagnéticas. Ela é um

componente intermediário entre o espaço livre e um dispositivo de guiamento. Um

dispositivo de guiamento, ou linha de transmissão, pode ter a forma de um cabo coaxial, um

tubo oco (guia de onda) ou uma linha de microfita, sendo usado para transportar a energia

eletromagnética da fonte de transmissão à antena ou da antena ao receptor [45]-[48].

No circuito equivalente, a fonte é representada por uma linha de impedância

característica Ze e a antena é representada por uma carga ArLA jXRRZ conectada à

linha de transmissão. A resistência de carga RL é usada para representar as perdas de

condução e dielétricas associadas à estrutura da antena, enquanto Rr, refere-se como

resistência de radiação e é usada para representar a parte imaginária da impedância

associada à radiação da antena [45], [47].

Ondas refletidas na interface, junto com ondas viajando da fonte à antena, criam, ao

longo do comprimento da linha de transmissão, padrões de interferência construtiva e

destrutiva, referidos como ondas estacionárias, que representam bolsões de concentração e

armazenamento de energia, características de dispositivos ressonantes. Se o sistema de

antena não for adequadamente projetado, a linha de transmissão pode, em grande parte,

funcionar como um dispositivo de armazenamento e energia [45], [47].

Para sistemas de comunicações sem fio, a antena é um dos componentes cruciais. Um

bom projeto de antena pode amenizar outros requisitos do sistema e melhora o desempenho

do mesmo. O sistema 5G é um exemplo no qual a recepção/transmissão podem ser

melhorados com o uso de antenas de alto desempenho [57]. As antenas exercem em um

sistema a mesma função em que os olhos e os óculos exercem nas pessoas, ou seja, se a

36 CAPÍTULO 4. ANTENAS

visão está mal, a recepção dos sinais de imagem são maus, neste caso se faz necessário o

uso de um dispositivo que melhore a recepção, os óculos.

4.1 – Tipos de antenas

Existem na literatura, modelos de antenas que podem ser estudadas com seus modelos

matemáticos, projetadas e construídas, como os arranjos de antenas, antenas patch com

alimentações por linha de microfita, CPW, antenas com alimentação coaxial, antenas do

tipo corneta, antenas em tecido e mais uma gama de antenas existentes (Figura 4.1 e Figura

4.2). Cada antena tem sua particularidade e utilidade, existem tipos de antenas apropriadas

para transmissão de longo alcance (arranjos ou antenas de alto ganho) que possuem um

ganho elevado para a transmissão, antenas cornetas (que são utilizadas para padronização

de antenas) também muito utilizadas em câmaras anecóicas e medições de FSS (Frequency

Selectives Surfaces), antenas do tipo CPW ou monopolo são bastante utilizadas em

dispositivos móveis devido as suas características de radiação omni-direcional, antenas em

tecido que podem ser utilizadas em fardamentos militares e/ou em hospitais para

monitoramento de indivíduos, entre outras.

Nesta tese, os conceitos básicos de alguns tipos de antenas, parâmetros fundamentais

(que servem para qualquer tipo de antena) serão vistos. Por fim, as antenas planares, terão

uma ênfase maior, principalmente as circulares e as antenas fractais de fuga no tempo, que

são os conjuntos de Julia e Mandelbrot [45], [47].

4.1 TIPOS DE ANTENAS 37

Figura 4.1 - Tipos de antenas; (a) corneta em uma câmara anecóica, (b) antena fractal de

Julia no tecido, (c) antena tipo CPW, (d) cornetas sendo usadas para aferição de FSS e (e)

antena patch fractal.


Figura 4.2 - Antenas do tipo; (a) monolopos planares com patch circular, (b) arranjo de

patches quadrados usando fractal de Peano, (c) arranjo linear 4x2, (d) arranjo linear tipo

monopolo 2x1, (e) arranjo linear tipo monopolo 4x1 e (f) arranjo linear tipo monopólio 4x2

4.2 – Parâmetros de antenas

Para descrever o desempenho de uma antena a definição de diversos parâmetros se faz

necessária. Alguns desses parâmetros são inter-relacionados e nem todos são necessários

ser especificados para uma descrição completa do desempenho da antena. As definições e

os desenvolvimentos matemáticos apresentados são limitados dos parâmetros das antenas

desta tese, tais quais são eles; diagrama de radiação, diretividade, eficiência de antenas,

ganho, largura de banda, polarização e impedância de entrada. Essas definições são

importantes para entendermos mais a frente os dados coletados, pois algumas medições

realizadas nesta tese, em laboratório, dos protótipos construídos, foram utilizados esses

parâmetros fundamentais de antenas [45], [47].

4.2 PARÂMETROS DE ANTENAS 39

Diagrama de radiação

O diagrama de radiação de uma antena é definido como “uma função matemática ou

representação gráfica das propriedades de radiação da antena em função das coordenadas

espaciais. Na maioria dos casos, o diagrama de radiação é determinado na região de campo

distante e é representado como uma função das coordenadas direcionais. As propriedades

de radiação, intensidade de campo, diretividade, fase ou polarização.” A propriedade de

radiação de maior interesse é a distribuição bi ou tridimensional (Figura 4.3) de energia

radiada em função da posição do observador ao longo de um percurso ou superfície de raio

constante. Uma curva representando o campo elétrico (magnético) recebido a um raio

constante é referida como diagrama de amplitude de campo [45], [47].

Para esta tese de doutorado o que será levado em consideração no estudo de caso são

os lóbulos principais. Um lóbulo principal é definido como “o lóbulo de radiação que

contém a direção de máxima radiação [47]”.

Para um diagrama de amplitude de uma antena em geral haverá três componentes de

campo elétrico (Er, Eθ, E) em cada ponto de observação na superfície de uma esfera de raio

r = re. Na região de campo distante, para todas as antenas, a componente radial E é nula ou

desprezível em comparação com qualquer uma das outras componentes [47]. Dependendo

da sua geometria e da distância de observação, pode haver somente uma, duas ou todas as

três componentes e a magnitude de campo elétrico total seria [47]:

(4.1)

Existem três tipos de diagramas de radiação: isotrópicas, direcionais e omni-direcionais

(Figura 4.4).

Um radiador isotrópico (Figura 4.4a) é definido como “uma antena hipotética sem

perda que tem a mesma radiação em todas as direções.” Seria uma antena ideal, contudo

não realizável fisicamente, este tipo de antena é utilizada como referência para expressar as

propriedades direcionais de antenas reais [47].

222

EEEE r


Uma antena direcional (Figura 4.4b) é aquela que “tem a propriedade de radiar ou

receber ondas eletromagnéticas mais eficientemente em algumas direções que em outras.”

Este termo é usualmente aplicado a uma antena cuja diretividade máxima é

significativamente maior que um dipolo de meia-onda [47].

Uma antena omnidirecional (Figura 4.4c) é aquela que “tem diagrama essencialmente

não-direcional em um dado plano e um diagrama direcional em qualquer plano ortogonal.”

Um diagrama omni-direcional é, então, um tipo especial de diagrama direcional [47].

Figura 4.3 - Diagramas de radiação; (a) bi dimensional e (b) tridimensional.


Figura 4.4 - Tipos de diagramas de radiação; (a) isotrópico, (b) direcional e (c) omni-

direcional.

Diretividade

A diretividade de uma antena é definida como “a razão entre a intensidade de radiação

em uma dada direção da antena e a intensidade de radiação média [47]”. A intensidade de

radiação média é igual à potência total radiada pela antena dividido por 4π. Se a direção

não for especificada, a direção de máxima intensidade de radiação fica implícita. Assim

temos que a diretividade pode ser escrita como [45], [47]:

(4.2)

onde U é a intensidade de radiação e Prad é a potência radiada.

No caso de antenas com lóbulo principal estreito, ou seja, lóbulo direcional, o ângulo

sólido de feixe é aproximadamente igual ao produto das larguras de feixe de meia potência

em dois planos perpendiculares.

Se as larguras de feixe forem dadas em graus a equação de diretividade pode ser escrita

como [47]:

(4.3)

radP

U

U

UD

4

0

dddd

D2121

2

0

412531804


No caso de conjuntos planos, uma melhor aproximação pode ser representada por [47]:

(4.4)

Frequentemente é conveniente expressar a diretividade em decibéis (dB), assim

podemos transformar a diretividade adimensional em dB.

Eficiência de antenas

A eficiência total de uma antena e0 leva em consideração as perdas nos terminais de

entrada e no interior da estrutura da antena. Essas perdas podem ser divididas em [47]:

Reflexões causadas por descasamento de impedâncias entre a linha de

transmissão e a antena.

Perdas I2R (em condutores dielétricos).

Em geral, a eficiência total pode ser escrita como:

(4.5)

onde

e0 → eficiência total (adm)

er → eficiência de reflexão (descasamento) = (1-||2) (adm)

ec → eficiência condutiva (adm)

ed → eficiência dielétrica (adm)

→ coeficiente de reflexão de tensão na entrada dos terminais da antena

00 ZZZZ inin , onde Zin é a impedância de entrada da antena e Z0 é a impedância

característica da linha de transmissão.

VSWR é a taxa de onda estacionária de tensão

1

1.

Usualmente ec e ed são de cálculo difícil, mas podem ser determinados

experimentalmente através de um aparelho chamado Wheeler cap [72].

ddA grausD

21

20

32400

)(

32400

dcr eeee 0


Ganho

Outra medida útil para descrever o desempenho de uma antena é o ganho. Embora o

ganho de uma antena seja, aproximadamente, relacionado à diretividade, esta é uma medida

que leva em consideração, tanto a eficiência como as propriedades direcionais da antena.

Ganho de uma antena (em uma dada direção) é definido como “a razão entre a

intensidade de radiação que seria obtida se a potência aceita pela antena fosse radiada

isotropicamente.” A intensidade de radiação correspondente à potência radiada

isotropicamente é igual à potência aceita pela antena dividida por 4π. O ganho é expresso

na forma de equação como [47]:

(4.6)

onde,

(4.7)

Largura de banda

A largura de banda de uma antena é definida como “a faixa de frequências na qual o

desempenho da antena, referido algumas características, atende um padrão especificado.” A

largura de banda pode ser considerada a faixa de frequências, nos dois lados de uma

frequência central, na qual as características da antena (impedância de entrada, ganho, etc.)

tem valores dentro de limites aceitáveis definidos a partir dos correspondentes valores na

frequência central. Desse modo podemos escrever a largura de banda como [47]:

(4.8)

onde,

ffinal é a frequência superior de operação aceitável

finicial é a frequência inferior de operação aceitável

inP

UG

),(4

e

PP rad

in

inicialfinal ffBW


Por exemplo, na comunidade científica a faixa de operação aceitável é abaixo de -10

dB sendo assim uma antena com operação de 22 a 27 [GHz] possui uma largura de banda

de 5 GHz com frequência central de 24,5 GHz essa antena hipotética possui uma largura de

banda de, aproximadamente, 10%, esse valor é considerado baixo, caracterizando a antena

como de banda estreita. À medida que se aumenta a frequência de operação fica mais difícil

obter uma antena banda larga, pois, por exemplo, uma antena 2:1, ou seja, uma antena com

frequência superior duas vezes maior que a frequência inferior, por exemplo, uma antena

que trabalha de 1 a 2 [GHz] é mais fácil projetar que uma antena de 22 a 44 [GHz].

Polarização

A polarização de uma antena em uma dada direção é definida como “a polarização da

onda transmitida pela antena.” Na prática, a polarização da energia radiada varia com a

direção do centro da antena de modo que partes do diagrama de radiação podem ter

polarizações diferentes [45]-[54].

A polarização da onda radiada é definida como a propriedade de uma onda

eletromagnética que descreve a direção e amplitude, variante no tempo, do vetor de campo

elétrico, ou seja, é a curva traçada, em função do tempo pela extremidade do vetor em um

ponto fixo do espaço e o sentido em que é traçada, sendo observada ao longo da direção de

propagação [45], [54].

A polarização pode ser classificada como linear, circular ou elíptica. Se o vetor

descreve o campo elétrico em um ponto no espaço como uma função do tempo e sempre

estiver direcionada ao longo de uma linha reta, o campo é dito linearmente polarizado. As

polarizações linear e circular são casos particulares da polarização elíptica, onde a elipse

movimenta-se em linha reta ou em uma circunferência perfeita, respectivamente. No caso

da polarização circular, pode ser classificada como circular direita (sentido horário) ou

circular esquerda (sentido anti-horário).

Em geral, as características de polarização de uma antena podem ser representadas por

seu diagrama de polarização, cuja definição é “a distribuição espacial das polarizações de

um vetor de campo excitado (radiado) pela antena, sendo a distribuição tomada sobre a


esfera de radiação. Em cada ponto da esfera de radiação a polarização é usualmente

decomposta em um par de polarizações ortogonais, a co-polarização e a polarização

cruzada”.

A razão axial (RA) da polarização de uma antena é igual a:

(4.9)

onde,

(4.10)

(4.11)

Pode-se observar virtualmente o tipo de polarização da antena com o simulador Ansoft

Designer, nas figuras abaixo se observa que a razão axial estão abaixo de 2 dB (polarização

circular) (Figura 4.5a) nos cortes em = -30° e = 40° e acima disso teremos polarização

linear.

Figura 4.5 - Exemplo de uma antena com polarização circular: (a) razão axial

(adimensional) e (b) S11 da antena com os pontos de polarização circular

RAOB

OA

menoreixo

maioreixoRA 1,

2

1

21

224422 )2cos(22

1000000

yxyxyx EEEEEEOA

2

1

21

224422 )2cos(22

1000000

yxyxyx EEEEEEOB


Impedância de entrada

Impedância de entrada é definida como “a impedância apresentada pela antena em seus

terminais ou a razão entre tensão e corrente em um par de terminais, ou a razão entre

componentes apropriadas de campo elétrico e magnético em um ponto.”.

A impedância de entrada de uma antena é definida como [47]:

(4.12)

onde,

ZA é a impedância da antena nos terminais a e b (Ω)

RA é a resistência da antena nos terminais a e b (Ω)

XA é a reatância da antena nos terminais a e b (Ω)

Em geral a parte resistiva é dividida em duas componentes [47]:

(4.13)

onde,

Rr é a resistência de radiação da antena.

RL é a resistência de perda da antena.

Uma maneira eficiente de verificar a impedância de uma antena é através da carta de

Smith ela nos permite identificar a impedância com precisão da antena.

AAA jXRZ

LrA RRR

4.3 ANTENAS DE MICROFITA 47

4.3 – Antenas de microfita

Existem muitas vantagens associadas à utilização das antenas de microfita, dentre as

quais podem ser destacadas: as pequenas dimensões, o peso reduzido, o baixo custo e a

praticidade, tanto de fabricação como de instalação. Naturalmente, existem algumas

desvantagens, como por exemplo, a largura de banda estreita, o baixo ganho e a pouca

eficiência, entretanto, estas desvantagens podem ser contornadas com a adoção de

monopolos, o uso de arranjos de antenas e a utilização de materiais dielétricos anisotrópicos

e condutores com condutividade maior, respectivamente [48].

Tipicamente, a antena de microfita é constituída por um patch condutor, impresso

sobre um substrato dielétrico, que por sua vez está depositado sobre um plano de terra,

como mostrado na Figura 4.6. O patch condutor pode assumir diversas geometrias, tais

como: quadrado, retângulo, triângulo, círculo, anel, coração, estrela e, inclusive, os fractais

de fuga no tempo (Figura 4.7). Entretanto, a utilização de algumas desses formatos se torna

complexa, como nos casos de leiautes como coração, estrela e fractais, pela dificuldade em

estabelecer as suas equações básicas e a relação existente com os parâmetros das antenas,

como por exemplo, com a(s) frequência(s) de ressonância desejada(s).

Os avanços tecnológicos recentes e a necessidade de miniaturização dos equipamentos

usados em sistemas de telecomunicações, como os dispositivos portáteis, têm contribuído

para o aumento da importância das antenas planares, em decorrência da facilidade de

fabricação, do baixo custo e da facilidade de integração com outros circuitos, tornando-as

muito atrativas para a indústria, que necessita reduzir custos e aumentar a eficiência do

processo de produção, para melhor atender à grande e crescente demanda por bens e

serviços na área de Telecomunicações [55]-[61].


Figura 4.6 - Patch de microfita

Figura 4.7 - Elementos geométricos para o patch; (a) circular, (b) quadrado, (c) retangular,

(d) losango, (e) pentágono, (f) fractal de Julia com d = 3 e c = 0,5 + 0,51i, (g) fractal de

Julia com d = 4 e c = 0,72 + 0,35i, (h) fractal de Julia com d = 5 e c = 0,66 + 0,13i, (i)

fractal de Mandelbrot com d = 2, (j) fractal de Mandelbrot com d = 3 e (l) fractal de

Mandelbrot com d = 4.

4.4 PATCH CIRCULAR 49

Métodos de análise

Os métodos de análise das antenas de microfita podem ser classificados em dois

grandes grupos: o dos modelos aproximados (baseados em uma aproximação quase-

estática) e o dos métodos de onda completa (baseados em soluções das equações de onda)

[47].

O primeiro grupo é composto, essencialmente, pelos métodos da linha de transmissão e

da cavidade, enquanto que o segundo grupo é composto, principalmente, pelos métodos dos

momentos (MoM), dos elementos finitos (FEM), da diferença finita no domínio do tempo

(FDTD) e pela análise do domínio espectral (SDA) [47].

Os métodos utilizados nos softwares comerciais usados neste trabalho são: o método

dos momentos (MoM), empregado no Ansoft Designer, e o método dos elementos finitos

(FEM), implementado no Ansoft HFSS [55]-[61].

4.4 – Patch circular

O patch circular é uma das configurações mais populares de antenas de microfita. Esta

geometria tem recebido bastante atenção, devido aos modos suportados pela a antena com

essa geometria, pois podemos tratá-la como uma cavidade circular [47].

No patch circular, a alteração em sua geometria para conseguir a frequência de

ressonância desejada é realizada alterando o raio do círculo, desse modo, a não ser que seja

usado o modo de onda completa, o patch circular só pode ser convenientemente analisado

usando o modelo de cavidade. A cavidade é composta de dois condutores elétricos perfeitos

nas faces superior e inferior, representando o patch e o plano de terra, e uma parede

cilíndrica condutora magnética perfeita em volta da borda circular da cavidade. O material

dielétrico da cavidade é considerado como truncado da extensão do patch.


Frequência de ressonância

As frequências de ressonância do patch são determinadas usando as seguintes equações

aproximadas [47]:

(4.14)

Onde X’mn representa os zeros das derivadas da função de Bessel Jm(x), que determina a

ordem das frequências de ressonância. Os primeiros valores de X’mn em ordem crescente

são 2012,48318,3,0542,3,8412,1 '

31

'

01

'

21

'

11 XeXXX [47]:

A equação para a frequência de ressonância do patch circular, não mostra os efeitos da

borda, o “franjamento” faz com que o patch pareça maior eletricamente, mas podemos

reduzir esse efeito, utilizando um raio efetivo, chamado de re, que é calculado com a

equação aproximada [47]:

(4.15)

Para exemplificar o uso das equações aproximadas (4.14)-(4.15) junto ao uso do

programa Ansoft Designer para ajustar as dimensões, em uma tabela, serão mostrados os

resultados simulados dos patches com geometrias circular, de Mandelbrot e Julia, nesses

resultados se observa a redução da frequência com o uso dos fractais de fuga no tempo,

contudo como foi visto no Capítulo 2, à medida que se aumenta o nível dos fractais de fuga

a geometria tende a se tornar novamente circular, desse modo, a frequência tende a igualar

novamente com a frequência do patch circular.

A Tabela 4.1 mostra os dados calculados através das equações aproximadas (4.14) e

(4.15), como também o raio ajustado através de simulação com o uso do programa Ansoft

Designer, o modo utilizado como principal foi o TM11 em 25 GHz, a diferença entre as

r

Xf mn

mnr

'

2

1)(

0

21

7726,12

ln2

1

h

r

r

hrr

r

e


frequências dos raios calculados e simulados são de 7,4%. A partir desse raio calculado e

ajustado pelo programa aplica-se as equações de transformação da geometria circular para

as geometrias fractais de fuga no tempo. O ponto de alimentação das antenas fractais de

fuga é aproximado aos pontos do raio do patch circular, ou seja, se o ponto de alimentação

do patch circular for igual a r = 3 mm, então toda a extensão, em que o raio é 3 mm, será a

alimentação do patch circular e, a partir, desses pontos pode-se encontrar o ponto de

alimentação para as antenas fractais de fuga no tempo, pois, como foi visto no Capítulo 2,

os fractais de fuga no tempo são derivados da geometria circular.

Patch circular Raio

(r)

fr

(simulada)

Raio simulado 2,29 mm 25 GHz

Raio calculado 2,13 mm 27 GHz

Tabela 4.1 - Dados calculados do patch circular com uso das equações aproximadas (4.14 –

4.15) usando r = 2,2 e h = 0,51 mm


Antenas Frequência

(GHz)

BW

(MHz)

Ganho

(dB)

Eficiência

(%)

Área

do

patch

(mm2)

Circular

24,97 1330 6,97 84,72 16,475

Julia N2

19,92 420 6,61 84,92 11,62

Julia N3

19,58 380 6,27 79,98 8,5591

Julia N4

16,43 140 5,8 72,61 8,9886

Julia N5

21,67 530 6,63 84,14 10,554

Julia N6

23,71 830 6,75 84,53 10,876

Mandel N2

27,45 1310 6,79 83,56 9,7251

Mandel N3

23,32 650 6,67 83,95 7,2822

Mandel N4

23,39 700 6,71 84,33 10,216

Mandel N5

25,11 990 6,81 83,95 9,9337

Mandel N6

25,12 1060 6,81 84,14 10,486

Circular CPW

24,08 14280 6,69 -- --

Mandel N4

CPW 9,8 8020 2,39 -- --

Mandel N5

CPW 9,74 7510 2,36 -- --


Tabela 4.2 - Dados simulados das antenas com geometrias circular e fractais de fuga no

tempo

Figura 4.8 - S11 dos patches circular e dos fractais de Julia.


Figura 4.9 - Diagramas de radiação dos patches circular e Julia em: (a) = 0° e (b) =

90°.

Figura 4.10 - S11 dos patches circular e dos fractais de Mandelbrot


Figura 4.11 - Diagramas de radiação dos patches circular e Mandelbrot em: (a) = 0° e (b)

= 90°.


Figura 4.12 - S11 das antenas patches circular e Mandelbrot


Figura 4.13 - Diagramas de radiação dos patches circular e Mandelbrot CPW em: (a) =

0° e (b) = 90°.

Na Figura 4.14 veremos os modelos simulados referentes à Tabela 4.2, as geometrias

foram aumentadas em cinco vezes para que, no processo de fabricação litográfica, os erros

de construção das antenas também diminuam em cinco vezes. Observa-se que, mesmo

sendo menores fisicamente, as antenas fractais de Julia e Mandelbrot, possuem frequências

de ressonância, em grande parte delas, menores que a da antena circular. Uma atenção

especial para as antenas CPW de Mandelbrot que, além de uma redução visível na área do

patch, também houve uma redução de, aproximadamente, 60% na frequência de

ressonância.


Figura 4.14 - Patch circular no topo, logo abaixo, da esquerda para direita, os fractais de

Mandelbrot (2ª linha) e Julia (3ª linha) com d = 2, 3, 4, 5 e 6, respectivamente, e os

modelos CPW com o patch circular e os fractais Mandelbrot com d = 4 e 5.

4.5 CONCLUSÃO 59

4.5 – Conclusão

Neste capítulo, foram vistos conceitos gerais sobre antenas que foram utilizados nesta

tese, como diagrama de radiação, ganho, largura de banda e eficiência. Foi visto também as

fórmulas aproximadas utilizadas para criação do protótipo do patch circular, como o raio

adequado para uma determinada frequência de ressonância. A partir desse modelo inicial a

antena é simulada e ajustada com a utilização do programa Ansoft Designer, inclusive um

melhor ponto de alimentação para um casamento de impedância mais preciso. A partir

desse ajuste, a geometria circular passa a ter um tratamento através das equações complexas

dos fractais de Julia e Mandelbrot vistas no Capítulo 2, dando origem as antenas fractais de

Julia e Mandelbrot.

Devido à sua origem, as antenas fractais de fuga no tempo, possuem um ponto de

alimentação equivalente ao ponto de alimentação do patch circular, ou seja, se a antena

circular de microfita for alimentada no ponto onde seu raio é 3 mm, por exemplo, a antena

fractal de fuga no tempo vai possuir alimentação próximo a esse raio de 3 mm.

Pode-se observar, também, que as características de propagação dos fractais são

próximos as das antenas circulares, os diagramas de radiação são semelhantes, como

também as curvas de S11, contudo perde-se em largura de banda, em compensação temos

uma redução bastante significativa na frequência de ressonância, cerca de 34% podendo

essa porcentagem aumentar variando o ponto c para os conjuntos de Julia.

Capítulo 5

Superfícies Seletivas em Frequência

Uma superfície seletiva em frequência (FSS) é um arranjo periódico de aberturas ou de

elementos condutores distribuídos ao longo de um plano sobre um substrato, como, por

exemplo, fibra de vidro, duroid, ar, entre outros. Elas possuem um comportamento de,

basicamente, filtros passa-faixa (Figura 5.1a) ou rejeita-faixa (Figura 5.1b) de frequências

em ondas eletromagnéticas. Elas podem ser de aberturas, com superfície composta por

material condutor e apenas cortes geométricos periodicamente projetados para a frequência

desejada, ou tipo patch que são formadas por patches compostos por materiais condutores.

Essas FSS comportam-se como filtros passa-faixa e rejeita faixa, respectivamente [62],

[63].

Figura 5.1 - Modelos de FSS; (a) tipo abertura e (b) tipo patch

Estudos recentes estão investindo na utilização de "cascateamento" de FSS, que são as

sobreposições de estruturas seletivas uma após a outra, porém a dificuldade do projeto é a

análise das equações de espalhamento após a passagem da onda através da primeira

5.1 ABORDAGENS TEÓRICAS 61

superfície, assim dificultando cada vez mais quando se utiliza várias estruturas

"cascateadas" [64], [68].

Figura 5.2 - Exemplo de cascateamento de FSS.

O setup de medição de uma FSS pode ser realizado com a utilização de duas antenas do

tipo corneta, uma receptora e outra transmissora, ligadas a um analisador de redes vetorial,

uma corneta na porta um e a outra na porta dois. Antes de tudo se faz necessário uma

medição sem a FSS para obter a referência das perdas no ar livre, depois de feito essa

medição, a FSS é posta em seu lugar e enfim a medição é realizada (Figura 5.3).

Figura 5.3 - Setup de medição de uma FSS

62 CAPÍTULO 5. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA

Enfim, o estudo de modificações de estruturas, tais como, tipos de dielétricos, modelos

de aberturas ou patches condutores fractais, acoplamento, entre outras formas de arranjos,

tem como finalidade aumentar a largura da banda da transmissão ou da reflexão da onda,

como também transformar a FSS em um estrutura multibanda, dependendo do tipo de

modelo estudado, sendo mais aplicadas nas bandas X e Ku, mas também, projetos

realizados recentemente, estão sendo realizados em bandas S e C [64]-[71].

5.1 – Abordagens teóricas

Superfícies seletivas em frequência atuam no controle na onda eletromagnética no

espaço, trabalhando como filtros. Algumas estruturas atuam com um comportamento

multibanda com faixas estreitas, sendo aplicadas mais nas áreas militares. Outras possuem

comportamento de faixa ultra larga tendo em vista uma aplicação de passar ou rejeitar uma

banda inteira de frequências, por exemplo, a banda X [62]-[71].

As equações de base das estruturas podem ser facilmente reproduzidas ou

extremamente difíceis, tais como, estruturas complexas envolvendo fractais aleatórios ou de

fuga no tempo e até mesmo alguns fractais geométricos. Com o uso dos programas Ansoft

Designer e HFSS as equações de base das estruturas complexas dos fractais são formuladas

por computador, facilitando o estudo das estruturas complexas. Os dois programas foram

utilizados nesta tese de doutorado para as simulações dos protótipos que serão apresentados

no Capítulo 6 [62], [63].

Potenciais vetoriais e equações de espalhamento

Para calcular as equações de campo e que possamos deduzi-las, tem-se que obter os

potenciais vetoriais para campos com corrente elétrica (tipo patch) ou magnética (tipo

abertura). Como neste trabalho a análise da FSS foi do tipo patch então obtem-se os

potenciais para correntes elétricas [62], [63].


Com o cálculo dos potenciais vetoriais e tendo a equiparação das equações de

Maxwell com os potenciais, calcula-se a equação de espalhamento da onda, desse modo

[62]:

(5.1)

Multiplicando a equação acima por )( 00 jj

(5.2)

Separando as componentes Ax e Ay e pondo como operador matricial tem

(5.3)

onde a soma com o 2

0k advém de tAj 0 .

Sabendo que Ax = G * Jx e Ay = G * Jy, define-se a Transformada de Fourier como [62]:

(5.4)

(5.5)

Tira-se da equação as derivadas parciais JGJG~~

e AjyAjx , ,

portanto,

(5.6)

tt

inc

t Aj

AjE 0

0

1

tt

inc

t Ak

jAjE

2

0

00

y

x

inc

y

inc

x

A

A

kyyx

yxk

x

k

j

E

E

2

02

22

22

02

2

2

0

0

dxdyeeyxff yjxj ),(),(~

ddeefyxf yjxj),()2(

1),(

2

y

x

inc

y

inc

x

J

JG

kj

kj

k

j

E

E2

0

2

2

0

2

2

0

0

)(

)(


Então (5.6) no domínio de Fourier se tem

(5.7)

onde,

(5.8)

onde I é o tensor identidade.

Para satisfazer o Teorema de Floquet, a corrente deve ficar na forma [62]:

(5.9)

Onde inc

xk e a são respectivamente o número de ondas incidentes e a periodicidade da

mesma na direção “x”.

Definindo uma nova função, para satisfazer o Teorema de Floquet, tem-se:

(5.10)

Por isso, J’(x) é uma função periódica que pode ser representada como componentes de

Fourier:

(5.11)

e

(5.12)

Com a direção em “y” utiliza-se kyinc com periodicidade “n” desse modo a equação

(5.7) torna-se:

ddeeJ

JG

k

k

jyxE

yxEyjxj

y

x

inc

y

inc

x~

~~1

)2(

1

),(

),(22

0

22

0

0

2

Ik

jG

222

02

~

ajk incxexJaxJ )()(

xjk incxexJxJ

)()('

m

xamj

meJxJ )2(' ~)(

m

xkamj

m

incxeJxJ

2~)(


(5.13)

onde,

(5.14)

e

(5.15)

Quando o ângulo de incidência (Ω) for diferente de 90° se tem:

(5.16)

Analogamente, para uma corrente magnética em uma superfície de abertura tem-se,

(5.17)

m

yjxj

nmy

nmx

nm

n nnm

nmm

inc

y

inc

x nm eeJ

JG

k

k

abjyxE

yxE

),(~

),(~

)(~2

),(

),(22

0

22

0

0

inc

xm ka

m

2

inc

yn kb

n

2

inc

ymn ka

m

bsen

n

)cot(

2

)(

2

m

yjxj

mnmny

mnmnx

mnmn

n nnm

nmm

inc

y

inc

x mnmn eeM

MG

k

k

abjyxH

yxH

),(~

),(~

)(~4

),(

),(22

0

22

0

0


5.2 – Conclusão

Neste capítulo sabe-se o que é uma FSS, como também, conceitos básicos sobre FSS,

com algumas aplicações na literatura e suas equações de formação e espalhamento da onda.

As FSS são basicamente de aberturas (Figura 5.1a) e tipo patch (Figura 5.1b), elas possuem

características de passa-faixa e rejeita faixa, respectivamente. As geometrias para

modelagem das estruturas são infinitas (Figura 4.7), podendo, elas, serem, de certo modo,

melhores ou piores que as outras, cabem aos pesquisadores analisarem e deduzirem quais as

melhores geometrias para determinada aplicação.

O uso de FSS é importante para filtragem de frequências de ondas planas em

determinadas superfícies, cujo ambiente se faz necessário o uso dessas estruturas para

reduzir ou eliminar as frequências indesejadas de um determinado ambiente como, por

exemplo, o espaço, penitenciárias, escolas, entre outros ambientes que sejam sensíveis a

determinadas frequências de ondas eletromagnéticas.

Nesta tese de doutorado as FSS simuladas e medidas foram projetadas em tecido (brim)

com geometria fractal de Mandelbrot e os resultados simulados e medidos estão no capítulo

a seguir.

Capítulo 6

Resultados Teóricos e Experimentais

Neste capítulo serão vistos os resultados teóricos e experimentais realizados ao longo

dos dias da pesquisa para esta tese de doutorado. Os resultados simulados foram realizados

com o auxílio dos programas comerciais Ansoft Designer e HFSS. Os dispositivos

estudados foram projetados para frequências entre 1 a 30 [GHz].

Alguns protótipos foram fabricados nos laboratórios do Instituto Nacional de Ciência e

Tecnologia de Comunicações Sem Fio (INCT-CSF) em substratos de tecido e os mesmos

foram medidos nos laboratórios de telecomunicações da UFRN e IFPB. Outros protótipos

foram construídos e medidos nos laboratórios do Instituto Superior Técnico (IST) em

Lisboa, Portugal. Nos laboratórios do IST foram medidas as perdas de retorno e os

diagramas de radiação das antenas nas câmaras anecóicas.

Em princípio, os protótipos foram projetados, simulados e medidos para frequências da

tecnologia 5G (11, 24 e 25 a 28 GHz) no IST, em substratos de Duroid 5880. Logo em

seguida, superfícies seletivas em frequência (FSS) e filtros com as geometrias dos fractais

de fuga no tempo foram projetados para frequências abaixo de 10 GHz.

O processo de fabricação das antenas fractais de Julia e Mandelbrot podendo ser

aplicadas em 5G foi realizado através da fotolitografia, um processo feito através da luz

ultravioleta inserindo a imagem na placa, o processo reduz o erro dos detalhes da geometria

complexa, melhorando a resposta do dispositivo. Um microscópio foi utilizado para

observar os detalhes da antena após sua corrosão. Os conectores utilizados foi o SMA até

18 GHz, o diâmetro do pino de alimentação do conector foi reduzido de 1,5 mm para 0,5

mm, com um torno, pois o diâmetro original do pino do conector é grande em relação ao

ponto de alimentação coaxial da antena, mesmo o conector trabalhando até 18 GHz as

respostas simuladas e medidas até 28 GHz ficaram com erros de deslocamento de

frequência abaixo de 5%.

68 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS

Os protótipos de FSS e filtros no tecido foram fabricados e medidos na UFRN e no

IFPB, os resultados simulados e medidos dos protótipos se comportaram como esperado,

com precisões acima de 97%, resultados esses muito promissores para continuidade da

pesquisa com essa geometria.

6.1 – Filtros

Os resultados dos filtros feitos nesta tese de doutorado que foram projetados para

frequências de micro-ondas e ondas milimétricas, o material utilizado foi o tecido jeans.

Foram projetados filtros com linhas de impedância com alimentação em 50 Ohms e

também foram utilizados geometrias fractais de Julia e Mandelbrot, esse último foi

utilizado o método de parametrização para encontrar a frequência de ressonância do filtro.

O filtro da Figura 6.1, foi projetado com a geometria de Julia em c = -0,43x + 0,56iy

no substrato Jeans com altura de 1,1 mm, permissividade elétrica de 1,92 e tangente de

perdas de 0,074, esses dados foram medidos no laboratório da UFRN [Gustavo]. A linha

próxima da porta um é de 75 Ω e da porta dois é de 50 Ω, essas linhas foram inseridas para

obter uma melhor resposta do filtro, a diferença, entre as impedâncias equivalentes das

linhas, foi observada em simulação e essa diferença é que melhora o resultado previsto em

projeto, sem as linhas o filtro não responde como esperado. É um filtro com alimentação

coaxial (portas um e dois), com uma precisão de, aproximadamente, 97% (Figura 6.2).

6.1 FILTROS 69


(jeans) alimentado por cabo coaxial

Figura 6.2 - Resultado experimental do filtro da Figura 6.1


O filtro da Figura 6.3, também foi projetado com a geometria de Julia com c = -0,69x –

0,007iy e no substrato de tecido jeans, as linhas de impedância também são as mesmas do

filtro da Figura 6.1 com o mesmo objetivo de otimização da resposta do filtro, seu resultado

(Figura 6.4) nos mostra uma precisão de 93%.

Figura 6.3 - Filtro de Julia com c = -0,69x – 0,007iy em microfita no substrato de tecido

(jeans) alimentado por cabo coaxial


6.1 FILTROS 71

O filtro da Figura 6.5, diferente dos dois vistos acima, são filtros alimentados por linha

e as mesmas são de 50 Ω, a geometria de Julia possui ponto c = -0,15x + 0,73iy, o resultado

desse protótipo tem uma precisão de, aproximadamente, 100%, com comportamento de um

rejeita faixa de 1,1 a 2,1 [GHz], com uma largura de banda de 1 GHz.


(jeans) alimentado por linhas de microfita.



Os filtros vistos nesta seção foram projetados em tecido jeans em faixas de micro-

ondas. Os resultados desses filtros são bastante promissores. A facilidade de incorporação

do filtro de microfita no circuito é o maior interesse para a continuação de pesquisas neste

ramo da ciência, sobretudo as telecomunicações, pois se ver, cada vez mais, os dispositivos

evoluindo, diminuindo e melhorando a cada dia.

Os filtros fractais mostraram bons comportamentos, como também, são estruturas

ressonantes originais que podem funcionar como filtros e antenas devido ao seu elemento

central. Um estudo mais aprofundado poderá fornecer infinidades de possibilidades

utilizando as equações e formas complexas dos conjuntos de Julia e Mandelbrot.

Dados 01 02 03

BW S21

(simulada)

[GHz]

0,27 0,88 1,17

BW S21

(medida)

[GHz]

0,06 0,94 1,24

fr

(Simulada)

[GHz]

1,5 2,8 1,7

fr

(Medida)

[GHz]

1,45 2,7 1,7

Tabela 6.1 - Dados simulados e medidos dos filtros

6.2 ANTENAS 73

6.2 – Antenas

As medições e construções dos protótipos das antenas desta tese foram realizadas no

Instituto Superior Técnico (IST) em Lisboa, Portugal. No processo de construção

utilizamos uma câmara fotolitográfica para inserção da imagem do patch na camada

metálica, após esse processo fotolitográfico, o substrato vai para a corrosão com o

Percloreto de Ferro. O processo fotolitográfico foi importante, pois os detalhes complexos

das geometrias de Julia e Mandelbrot são muitos, para frequências com comprimentos de

onda, relativamente, grandes os detalhes não são tão importantes, pois, pequenos detalhes

são irrelevantes quando se trata de um comprimento de onda muito grande, contudo à

medida que diminuímos o comprimento de onda esses detalhes fazem a diferença, como

por exemplo, uma variação na frequência de ressonância da antena ou menos bandas de

frequências em faixas entre 20 e 30 GHz, se uma antena fractal de Mandelbrot ou Julia

possui quatro bandas ela pode passar a ter duas ou, no máximo, três.

Todas as antenas a seguir foram projetadas para faixas próximas das ondas

milimétricas, construídas no substrato de Duroid 5880 com altura de 0,51 mm e

permissividade elétrica de 2,2. Além das medições de S11 das antenas, também foram

medidos os diagramas de radiação em uma câmara anecóica (Figura 6.7a) e foram obtidos

resultados com precisão acima de 95%, tanto os resultados dos S11 como os dos diagramas

de radiação.

Alguns resultados próximos de 30 GHz e acima, divergem um pouco da resposta

simulada devido ao uso do conector SMA que trabalha bem até 18 GHz. Acima dessa

frequência começam a existir perdas que influenciam no resultado medido, contudo grande

parte das antenas possuem resultados com precisão acima do esperado, mesmo trabalhando

com frequências acima da frequência ideal do conector, validando ainda mais os resultados,

pois, com o conector adequado para frequências acima de 18 GHz, os resultados teriam

menos interferências, ruídos e desvios de frequências, melhorando as respostas.


Figura 6.7 - Fotografias (a) Câmara anecóica (IST) e (b) antena fixada para medição do

diagrama de radiação.

A antena da Figura 6.8 é um CPW com patch circular alimentado por uma linha de 50

Ω apropriada para frequência de 45 GHz, os resultados (Figura 6.9) são promissores, pois

mesmo com a utilização de um conector que trabalha bem até 18 GHz a antena se

comportou como esperado com poucas perdas. Observe que a curva da medição se

comporta como a da simulação com uma perda de poucos dBs.

6.2 ANTENAS 75

Figura 6.8 - Antena do tipo CPW com geometria circular para faixa de ondas milimétricas

Figura 6.9 - Resultado experimental da antena da Figura 6.8


Antena

fr

(simulado)

[GHz]

BW

(simulado)

[GHz]

fr1

(medido)

[GHz]

fr2

(medido)

[GHz]

BW1

(medido)

[MHz]

BW2

(medido)

[MHz]

CPW

circular 40,5 48,8 21,9 36,3 2200 5970

Tabela 6.2 - Dados da antena CPW circular

A antena da Figura 6.10, também é um fractal de Julia, mas com d = 3 e ponto c = 0,5x

+ 0,42iy. Os resultados dessa antena possuem uma precisão de 98%, mesmo nas faixas

acima da suportada pelo conector.

Também foram medidos os diagramas de radiação dessa antena nas frequências em que

possui ressonância, ao todo foram cinco medições realizadas na câmara anecóica com

cortes em = 0° e = 90°, os resultados simulados e medidos possuem erros abaixo de 3%

em relação as frequências de ressonância e aos ganhos.

6.2 ANTENAS 77

Figura 6.10 - Antena fractal de Julia (d = 3 e c = 0,5x + 0,42iy) alimentada por cabo

coaxial


Figura 6.11 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.10

Simulado

Medido

Frequência

6.2 ANTENAS 79

Figura 6.12 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.10,

nas frequências de: (a) 9,04 GHz, (b) 17,58 GHz, (c) 19,75 GHz, (d) 23,55 GHz e (e) 25,69

GHz


Ressonância Frequência (GHz) Ganho (dBi)

Simulado Medido Simulado Medido

1ª 8,95 9,04 5,23 4,98

2ª 17,05 17,58 4,90 4,34

3ª 19,57 19,75 5,48 5,62

4ª 23,85 23,55 5,95 4,85

5ª 24,99 25,69 8,18 6,01

Tabela 6.3 - Dados S11 da antena fractal de Julia com d = 3 e c = 0,5x + 0,42iy

A antena da Figura 6.13 é uma antena fractal de Julia com d = 2 e ponto c = -0,39x +

0,55iy, a antena possui uma concordância próxima de 93% nas frequências acima de 20

GHz com seus dados simulados e medidos, possui um bom ganho com faixa estreita que é

uma característica comum entre as antenas dos tipos patches diretivas.

Figura 6.13 - Antena fractal de Julia (d = 2 e c = -0,39x + 0,55iy) alimentada por cabo

coaxial

6.2 ANTENAS 81


Figura 6.15 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.13 na

frequência de: (a) 21,5 GHz e (b) 24,2 GHz




1ª 21,2 21,5 3,15 3,5

2ª 23,8 24,2 6,12 6,47

Tabela 6.4 - Dados da antena fractal de Julia com d = 2 e c = -0,39x + 0,55iy

A antena da Figura 6.16 também é um fractal de Julia com d = 2 e ponto em c = -0,7x.

Os dados simulados e medidos possuem precisão de 90% na primeira ressonância e 98% na

segunda, tanto o S11 quanto os ganhos e diagramas de radiação da antena.

Figura 6.16 - Antena fractal de Julia (d = 2 e c = -0,7x) alimentada por cabo coaxial

6.2 ANTENAS 83



nas frequências em: (a) 11,2 GHz e (b) 18,9 GHz




1ª 12,4 11,2 7,12 7,21

2ª 18,5 18,9 7,15 6,68

Tabela 6.5 - Dados da antena fractal de Julia com d = 2 e c = -0,7x

A antena da Figura 6.19 é um fractal de Mandelbrot com d = 2 e com n = 20, os

resultados de S11 diferentes, apenas, 1,36% em relação à medição e simulação, como

também os resultados do diagrama de radiação simulados e medidos. Essa antena possui

apenas uma ressonância, diferente das outras já vistas, anteriormente, que possuem

multibandas de ressonância.


6.2 ANTENAS 85


Figura 6.21 - Resultado experimental do diagrama de radiação, na frequência 21,6 GHz, da

antena da Figura 6.19




1ª 22 21,6 3,59 4,99

Tabela 6.6 - Dados da antena fractal de Mandelbrot com d = 2 com n = 20.

A antena da Figura 6.22 é um fractal de Mandelbrot com d = 4 e n = 20, os resultados de

S11 e digramas de radiação validam a proposta, pois existe uma concordância evidente nas

curvas de simulação e medição.


6.2 ANTENAS 87



nas frequências de: (a) 15,8 GHz e (b) 27,2 GHz.




1ª 15 15,8 5,24 7,76

2ª 28,5 27,2 6,26 9,31

Tabela 6.7 - Dados da antena fractal de Mandelbrot com d = 4 e n = 20

A antena da Figura 6.25 é um fractal de Mandelbrot com d = 3 e n = 20, os resultados de

S11 e digramas de radiação possuem uma precisão de 99,4%, essa antena foi submetida,

aceita e publicada na revista Microwave and Optical Technology Letters (MOTL) [61] e é a

primeira antena fractal de Mandelbrot do mundo, assim validando a proposta. Observa-se

que existem concordâncias evidentes nas curvas de simulação e medição.


6.2 ANTENAS 89


Figura 6.27 - Resultado experimental do diagrama de radiação, na frequência 24,76 GHz,

da antena da Figura 6.25




1ª 24,62 24,76 7,38 6,45

Tabela 6.8 - Dados da antena fractal de Mandelbrot com d = 3 e n = 20.

6.3 – Superfícies seletivas em frequência

As FSS simuladas e medidas neste capítulo foram todas produzidas no tecido brim com

as geometrias de Mandelbrot com d = 2, 3 e 4 e n = 20. As simulações e medições foram

realizadas no laboratório de medidas de telecomunicações do IFPB. Percebe-se que no

gráfico de comparação de resultados existem duas siglas, P.H e P.V que são Polarização

Horizontal e Polarização Vertical, respectivamente. Essas medidas de polarizações foram

efetuadas com o propósito de averiguar a existência de estabilidade de rotação.

As FSS de Mandelbrot, d = 2 e 4, possuem duas frequências de rejeição quando

viramos as FSS para o modo P.H e P.V, nas Figura 6.29, Figura 6.30 e Figura 6.32 podemos

observar como foram realizadas as medições. Os resultados simulados e medidos

concordam-se, validando a proposta.

6.3 SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 91

Figura 6.28 - Superfície seletiva em frequência construída no tecido (brin) com geometria

de Mandelbrot (d = 2 e n =20) do patch.

Figura 6.29 - Resultado experimental (S21) da FSS da Figura 6.28

18,00 mm

18,0

0 m

m

PX

PYP.V

P.H


A FSS da Figura 6.30 com patch fractal de Mandelbrot com d = 3 e n = 20. Uma FSS

de banda larga com resultados simulado e medido que concordam entre si.

Figura 6.30 - Resultado experimental da FSS de Mandelbrot (d = 3 e n = 20), simulada e

medida no tecido brin.

18,00 mm

32

,00

mm

PX

PYP.V

P.H

6.3 SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 93

Figura 6.31 - Superfície seletiva em frequência construída no tecido (brin) com geometria

de Mandelbrot (d = 4 e n = 20) do patch.

Figura 6.32 - Resultado experimental (S21) da FSS da Figura 6.31

18,00 mm

18

,00 m

m

PX

PY

P.H

P.V


FSS

P.H P.V


fr BW fr BW fr BW fr BW

[GHz]

Mandelbrot

d = 2 11,7 2,3 11,2 2,2 9,2 2,4 8,8 1,9

Mandelbrot

d = 3 7,4 5,2 6,9 3,6 9,5 2,2 -- --

Mandelbrot

d = 4 10,5 3,1 10,4 1,8 8,9 2,4 8,9 2,2

Tabela 6.9 - Dados simulados e medidos das FSS de Mandelbrot no tecido

Uma característica foi observada nessa geometria fractal de Mandelbrot para FSS,

quando o nível do fractal aumenta (Figura 6.33), a FSS mantém uma estabilidade de rotação

(Figura 6.34), isso acontece devido à característica do fractal em se aproximar da geometria

circular na medida em que aumentamos o nível fractal (Figura 2.10).

Figura 6.33 - Células das FSSs de Mandelbrot e suas respectivas orientações de

polarização com: (a) d = 5 e (b) d = 6.

6.4 CONCLUSÃO 95

Figura 6.34 - Resultados simulados das FSSs de Mandelbrot (Figura 6.33) com d = 5 e d =

6 com estabilidade angular.

6.4 – Conclusão

Neste capítulo foram vistos os protótipos construídos e medidos desta tese, seus

resultados simulados e medidos e a concordância dos mesmos comparados. Os resultados

se validam mostrando que o trabalho realizado ao longo do doutorado e as intenções dos

resultados estão condizentes.

Os resultados medidos foram uma contribuição dos laboratórios de medidas em

telecomunicações do Instituto Superior Técnico (IST) de Lisboa, Portugal e o Instituto

Federal da Paraíba (IFPB). As medições dos diagramas de radiação foram realizadas no IST

em duas câmaras anecóicas, uma para frequências até 18 GHz e outra para frequências até

110 GHz.

Também para as antenas em micro-ondas (faixas entre 18 GHz e 30 GHz) e ondas

milimétricas houve uma adaptação dos conectores SMA, que trabalham até 18 GHz, em um

[d = 5] (P.H)

[d = 5] (P.V)

[d = 6] (P.H)

[d = 6] (P.V)


torno mecânico para diminuir o diâmetro do pino de alimentação, pois o ponto de

alimentação das antenas possuem um diâmetro de 0,5 mm e os pinos possuíam um

diâmetro de 1,5 mm.

Capítulo 7

Conclusão

Nesta tese foram apresentadas aplicações em dispositivos e circuitos de micro-ondas e

ondas milimétricas, configurações de fractais de fuga do tempo, que são estruturas

definidas por uma relação de recorrência de cada ponto no espaço, dois exemplos deles são

os conjuntos de Julia e Mandelbrot.

Foi investigada a distribuição das correntes nas superfícies dos elementos condutores

de filtros, ressoadores e antenas planares com as geometrias fractais consideradas, para

aplicações tanto em sistemas de comunicações sem fio (wireless communication systems),

como em sistemas de comunicações em ondas milimétricas, na faixa de frequência entre

0,7 a 30 (GHz).

No desenvolvimento de antenas com geometrias euclidianas e fractais para aplicações

em micro-ondas e ondas milimétricas, às opções por estruturas de linhas de microfita para o

desenvolvimento de novas configurações de antenas e filtros se justifica pela larga

aplicação dessas linhas de transmissão, resultando sempre na fabricação de circuitos

planares com estruturas leves, de dimensões reduzidas, de baixo custo, fáceis de construir e,

principalmente, fáceis de integrar com outros circuitos de micro-ondas e ondas

milimétricas.

O grande interesse em relação às aplicações na faixa de ondas milimétricas está

associado tanto ao crescimento da utilização do espectro eletromagnético nas bandas L e S,

quanto à velocidade de transmissão entre circuitos.

Inicialmente, o estudo foi voltado para aplicações em micro-ondas das configurações

de fractais de fuga no tempo em antenas alimentadas por cabo coaxial. Além disso, foram

98 CAPÍTULO 7. CONCLUSÃO

realizados nos laboratórios do IST (Instituto Superior Técnico – Lisboa, PT), as construções

e medições dos protótipos desenvolvidos para ondas milimétricas. Foram efetuadas

comparações entre resultados simulados (Ansoft Designer e HFSS) e medidos, tais

comparações validaram a proposta imposta por esta tese de doutorado, com a maioria dos

resultados, com precisões acima de 95%, mesmo com a utilização de conectores SMA que

trabalham até 18 GHz, ainda assim foram observados resultados promissores até 30 GHz.

Com a utilização dos fractais de fuga no tempo (Conjuntos de Julia e Mandelbrot), foi

observado, em alguns casos, uma redução de 34,2% na frequência de ressonância e 45,44%

na área do patch, essa diminuição foi observada no quarto nível do fractal de Julia e à

medida que aumentamos o nível o fractal, tanto de Julia quanto de Mandelbrot, tende a

voltar a geometria circular.

Foi observado, também, nas FSS no tecido, com a geometria fractal de Mandelbrot,

uma estabilização angular e de rotação nas geometrias acima do quinto nível do fractal.

Essa característica é interessante, pois dependendo da aplicação da FSS pode-se decidir

qual tipo de FSS será usada no projeto, se com estabilidade (níveis acima do quinto) ou

com reconfiguração mecânica de frequência através da rotação da estrutura (níveis abaixo

do quinto).

A validade da proposta desta tese está no estudo dessas geometrias complexas como

filtros, antenas e FSS, proposta essa, que ainda não foram feitas com tais objetivos,

inclusive a utilização das mesmas em frequências de ondas milimétricas, frequências nas

quais estão sendo pesquisadas para aplicações em comunicações 5G. Essas geometrias

fractais renderam a primeira antena de Mandelbrot do mundo [14].

Um estudo com esses fractais de fuga com algoritmos genéticos para identificar um

ponto ótimo dessa geometria, para que se obtenha um ponto da equação complexa em que a

redução de frequência e área do patch seja máxima, como também a observação das

infinitas variações dos conjuntos de Julia, a utilização de fendas nos patches com contornos

fractais de Julia ou Mandelbrot, cascateamento de FSS, metamateriais, divisores de RF,

estruturas reconfiguráveis, dispositivos 3D, dentre outras inúmeras aplicações para esse tipo

de geometria.

Referências Bibliográficas

[1] Mandelbrot, Benoit B. The fractal geometry of nature. 1. ed. New York: W.H.

Freeman, 1983.

[2] Barnsley, M. F. Fractals everywhere. 1. ed. Boston: Academic Press, 1988.

[3] Liebovitch, Larry S. Fractals and chaos simplified for the life sciences. 1. ed. New

York: Oxford University Press, 1998.

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[5] Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, 2st

Edition. 1. ed. [s.l.]: John Wiley & Sons, 2003.

[6] P. Andras, "Approximation of chaotic shapes with tree-structured neural networks,"

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Novas Configurações de Antenas, Filtros e FSS com Fractais