Novas Tecnologias no Ensino da Matematica (GMA00144) GMA–IME-UFF

Novas Tecnologias no Ensino da Matematica

Lista 11

Humberto Jose Bortolossi

ATIVIDADE 1

Para poupar esforco de digitacao, voce pode usar o tradicional sistema de copiar e colar

(CTRL-C e CTRL-V) para aproveitar um comando digitado anteriormente em outro lugar.

Ja para copiar e colar o resultado de um comando, voce deve proceder como se segue:

suponha que voce queira copiar o resultado do comando da linha 3 para uma determinada

posicao no campo de entrada da linha 5. Clique primeiro na posicao desejada no campo de

entrada da linha 5 e, entao, clique no resultado (em azul) apresentado na linha 3. Pronto!

Voce tambem pode usar os numeros das linhas da Janela CAS do GeoGebra 5.x para

poupar esforco de digitacao. Vamos ver um exemplo: suponha que voce digite o numero

8712870/48506557 no campo de entrada da linha 1 e o numero 505149/2812281 no campo

de entrada da linha 2:

1

8712870/48506557

→8712870

48506557

2

505149/2812281

→505149

2812281

Se, no campo de entrada da linha 3, voce digitar $1 − $2, o GeoGebra 5.x calculara o numero

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8712870/48506557 − 505149/2812281:

3

$2 − $1

→1841

45471356208839

Se voce usar #1 e #2 ao inves de $1 e $2, o GeoGebra 5.x ira substituir #1 e #2 no campo de

entrada da linha em questao pelos resultados calculados nas linhas 1 e 2, respectivamente.

Por exemplo, se na linha 4 voce digitar:

4#2 − #1

e, entao, pressionar a tecla ENTER, a linha 4 ficara assim:

4

(168383 / 937427) − (8712870 / 48506557)

→1841

45471356208839

A tabela seguinte descreve o sistema de referencia para comandos e resultados.

Sintaxe Descricao

Substituicao

no Campo

de Entrada

# referencia para o resultado calculado na linha anterior sim

#5 referencia para o resultado calculado na linha 5 sim

$ referencia para o resultado calculado na linha anterior nao

$5 referencia para o resultado calculado na linha 5 nao

Uma outra maneira de se poupar esforco de digitacao e utilizar variaveis para representar

expressoes. Por exemplo, se voce vai usar muito a expressao

(a − 2) ∙ (a − 3),

e conveniente criar uma variavel para representa-la. Isso e feito com o operador de atribuicao

(:=):

b := (a - 2) (a - 3)

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Apos digitar esse comando, onde o sımbolo b aparecer, ele sera substituıdo pela expressao

(a − 2) ∙ (a − 3). Vamos acompanhar um exemplo.

Primeiro, reinicie o GeoGebra 5.x: Menu Principal→Arquivo→Novo.

Vamos fazer com que a variavel b represente um sinonimo para a expressao (a - 2)(a - 3).

1

b := (a − 2) (a − 3)

→ a2 − 5 a + 6

Vamos calcular

((a − 2) ∙ (a − 3))2 − (a − 2) ∙ (a − 3).

Para isto, ao inves de digitar toda a expressao, basta digitar b^2 - b no lugar.

2

b∧2 − b

→ a4 − 10 a3 + 36 a2 − 55 a + 30

Voce pode calcular o valor de (a−2) ∙ (a−3) em um determinado valor de a com o comando

Substituir[...]. Por exemplo, para calcular o valor de (a− 2) ∙ (a− 3) para a = 0, basta

digitar o comando

3Substituir[b, a, 0]

→ 6

Para limpar o conteudo da variavel b (isto e, para que b volte ser apenas b) basta usar o

comando Apagar[...].

4Apagar[b]

→ true

CUIDADO! CUIDADO! CUIDADO!

1. Um outro erro muito frequente e o de se utilizar = no lugar de := para indicar

atribuicoes. Como veremos, o sımbolo = possui outro proposito no GeoGebra 5.x.

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2. Uma vez que voce atribuiu um determinado valor a uma variavel (por exemplo,

com o comando b := (a - 2)(a - 3)), em todo e qualquer lugar que b aparecer,

a partir deste ponto, ele sera substituıdo por (a - 2)(a - 3). Se voce quiser

“limpar” o conteudo de b, emita o comando Apagar[b]. Para “limpar” o conteudo

de todas as variaveis simultaneamente, basta iniciar uma nova construcao (Menu

Principal→Arquivo→Novo)

3. O nome de uma variavel pode ter mais de uma letra (incluindo letras acentua-

das). Voce pode usar numeros mas nunca no comeco do nome. Tambem e possıvel

criar variaveis indexadas: a_{1} := 3 faz com que a variavel a1 assuma o valor 3.

Espacos em branco nao sao permitidos.

4. O GeoGebra 5.x faz distincao entre letras maiusculas e minusculas. Assim, a variavel

b e diferente da variavel B.

5. Na notacao matematica do ensino medio, e costume se usar parentesis, colchetes e

chaves para modificar a ordem de avaliacao de uma expressao:

{a + 5 ∙ [(a − 1) ∙ (a − 3) + 8]}/10.

No GeoGebra 5.x voce sempre deve usar parentesis:

(a + 5 ((a - 1)(a - 3) + 8))/10.

Os colchetes e as chaves sao usados com um outro proposito, como veremos mais

adiante.

O comando b := (a - 2)(a - 3) nao define uma funcao. Com esse comando estamos

apenas dizendo que b e um “sinonimo” para (a - 2)(a - 3). O exemplo a seguir mostra

como podemos definir funcoes no GeoGebra 5.x e usar a notacao funcional a que estamos

acostumados.

Vamos definir a funcao f(a) = (a − 2) ∙ (a − 3) que depende da variavel a.

5

f(a) := (a − 2) (a − 3)

→ a2 − 5 a + 6

Vamos calcular o valor de f no ponto a = 0, isto e, vamos calcular f(0). Uma das vantagens

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em se definir funcoes com o comando := e que podemos usar a mesma notacao que usamos

quando escrevemos textos em matematica.

6f(0)

→ 6

Uma vez que f e uma funcao, podemos facilmente efetuar composicoes. Por exemplo, vamos

calcular f(u + v).

7

f(u + v)

→ u2 + v2 + 2 u v − 5 u − 5 v + 6

IMPORTANTE! IMPORTANTE! IMPORTANTE!

Se voce definir uma funcao, entao ela sera registrada na Janela de Algebra e o seu

grafico sera exibido na Janela de Visualizacao do GeoGebra 5.x. O mesmo vale para

variaveis que recebem valores numericos. Por exemplo, se voce digitar a := 1/3, o

numero a sera criado na Janela de Algebra. Note contudo que, ao contrario da Janela

CAS, o valor de a na Janela de Algebra e aproximado (como em uma calculadora

usual). Para configurar o numero de casas decimais no GeoGebra 5.x, acesse: Menu

Principal→Opcoes→Arredondamento.

(a) Qual e a diferenca (se e que existe) entre

(x − 2) ∙ (x − 3)/(x − 4) ∙ (x − 5) e (x − 2) ∙ (x − 3)/((x − 4) ∙ (x − 5))?

(b) No GeoGebra 5.x, defina f(x) := 3 x - 6 e g(x) := x/3 + 2. Calcule as expressoes

f(g(x)) e g(f(x)). Conclua que f e g sao funcoes inversas uma da outra!

(c) No GeoGebra 5.x, defina f(x) := sqrt(x) (raiz quadrada de x) e g(x) := x^2. Cal-

cule as expressoes f(g(x)) e g(f(x)). As funcoes f e g sao funcoes inversas uma da

outra? Justifique sua resposta!

(d) Uma funcao afim e uma funcao do tipo f(x) = a ∙ x + b, com a e b constantes reais.

Encontre todas as funcoes afins que satisfazem a propriedade

f(f(x)) = x

para todo x ∈ R, isto e, encontre todas as funcoes afins cuja inversa e a propria funcao!

Dica: defina f(x) := a x + b e, em seguida, compare f(f(x)) com x.

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Envie as perguntas e as respostas de todos os itens ((a), (b), (c) e (d)) em uma mensa-

gem para o e-mail novas.tecnologias.no.ensino@gmail.com com o assunto “AE-01 da

Lista 11: Expressoes Algebricas”. Prazo de entrega dessa atividade: 03/11/2018.

ATIVIDADE 2

Certamente voce ja deve ter visto as expansoes

(u + v)2 = u2 + 2 uv + v2 e (u + v)3 = u3 + 3 u2v + 3 uv2 + v3.

Use o GeoGebra 5.x para ver as expansoes de (u + v)4, (u + v)5 e (u + v)20 (para fazer

isto, digite na Janela CAS, por exemplo, Expandir[(u + v)^4] e, entao pressione a tecla

ENTER.).

Na Janela CAS do GeoGebra 5.x, coloque o apontador do mouse sobre a resposta dada

pelo GeoGebra 5.x para (u + v)27. Clique com o botao direito do mouse e, entao, escolha

a opcao “Copiar como LATEX”. Cole a resposta em uma mensagem para o e-mail novas.

tecnologias.no.ensino@gmail.com com o assunto “AE-02 da Lista 11: Binomio de New-

ton”. Prazo de entrega dessa atividade: 07/11/2018.

ATIVIDADE 3

Diga como escrever cada uma das expressoes abaixo usando os comandos (a sintaxe) do Ge-

oGebra 5.x. Por exemplo, para calcular a expressao matematica

xy

2

a+

3

c d+

4

b

no GeoGebra 5.x, e preciso digitar os comandos: x^y/(2/a + 3/(c d) + 4/b) (note o espaco

em branco entre c e d).

(a)a − b

c − d, (b)

a

b c, (c) ab+c, (d) ab −

c

d,

(e)ab c − d

e, ( f )

a

b + c/d, (g) ab/c, (h)

√

a +√

b,

Envie as respostas de todos os itens (de (a) a (h)) em uma mensagem para o e-mail novas.

tecnologias.no.ensino@gmail.com com o assunto “AE-03 da Lista 11: Notacao Ma-

tematica Unidimensional”. Prazo de entrega dessa atividade: 03/11/2018.

ATIVIDADE 4

Defina, no GeoGebra 5.x, a seguinte funcao:

f(x) =(x − 1)(x − 3)(x − 5)(x − 7)

(x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8).

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Na Janela CAS do GeoGebra 5.x, coloque o apontador do mouse sobre a resposta dada

pelo GeoGebra 5.x para f(x). Clique com o botao direito do mouse e, entao, escolha a opcao

“Copiar como LATEX”. Cole entao sua resposta em uma mensagem para o e-mail novas.

tecnologias.no.ensino@gmail.com com o assunto “AE-04 da Lista 11: Funcao Racional”.

Prazo de entrega dessa atividade: 03/11/2018.

ATIVIDADE 5

Um aluno quer estudar a funcao

f(x) =x2 − 4

x − 2

na Janela CAS do GeoGebra 5.x. Para isto, em uma celula, ele digitou

f(x) := (x∧2 − 4)/(x − 2)

e, entao, ele pressionou a tecla ENTER. O GeoGebra 5.x deu entao como resposta:

f(x) = x + 2.

A funcao definida pelo GeoGebra 5.x e igual a funcao que o aluno que estudar? Justifique sua

resposta! Registre sua resposta em uma mensagem para o e-mail novas.tecnologias.no.

ensino@gmail.com com o assunto “AE-05 da Lista 11: Simplificacao Automatica”. Prazo

de entrega dessa atividade: 03/11/2018.

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