Num Comp Stall

8/17/2019 Num Comp Stall

1/9

N u m e r i c a l S i m u l a t i o n o f D y n a m i c S t a l l P h e n o m e n a i n A x i a l F l o w

C o m p r e s s o r B l a d e R o w s

C . J . R i v e r a

y

L . N . S a n k a r

z

J . V . R . P r a s a d

x

A b s t r a c t

T h i s a r t i c l e e x p l o r e s t h e s i m u l a t i o n o f s t a l l p h e n o m -

e n a i n a x i a l c o m p r e s s o r b l a d e r o w s . T h e a p p r o a c h

i s b a s e d o n t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e c o m p r e s s -

i b l e , t w o - d i m e n s i o n a l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . T h e

r e s u l t s o f b o t h u n f o r c e d a n d f o r c e d l o w - s p e e d r o -

t o r s t a l l a r e p r e s e n t e d . I n u n f o r c e d c a s e s , s u b s t a n -

t i a l o w s e p a r a t i o n i s o b s e r v e d b e f o r e t h e m a x i m u m

p r e s s u r e r i s e o p e r a t i n g p o i n t i s r e a c h e d . T h e s e u n -

s t e a d y s e p a r a t i o n e v e n t s m a n i f e s t a s o s c i l l a t i o n s i n

b l a d e l i f t a n d p r e s s u r e r i s e , a t f r e q u e n c i e s w i t h i n a n

o r d e r o f m a g n i t u d e o f t h e b l a d e p a s s i n g f r e q u e n c y .

T h e i n t r o d u c t i o n o f s t a t i o n a r y p e r t u r b a t i o n s t o t h e

f r e e - s t r e a m r e f e r e n c e o w c r e a t e s d i s t u r b a n c e s i n

t h e o u t o w w h i c h p r o p a g a t e a t s p e e d s d i e r e n t f r o m

t h e b l a d e s p e e d . A n a s s e s s m e n t o f t h e v a r i a t i o n s i n

f o r c e d r e s p o n s e w i t h d i s t u r b a n c e l e n g t h s c a l e s h o w s

t h a t l o w f r e q u e n c y p r o p a g a t i n g w a v e s i n a x i a l o w

v e l o c i t y d e v e l o p a s t h e d i s t u r b a n c e w a v e l e n g t h i s

i n c r e a s e d .

1 I n t r o d u c t i o n

A r e n e w e d i n t e r e s t i n t h e m o d e l i n g a n d s i m u l a t i o n

o f a i r c r a f t e n g i n e d y n a m i c s h a s e m e r g e d d u r i n g t h e

p a s t t w e n t y y e a r s . A d o m i n a n t d r i v i n g f o r c e b e h i n d

s u c h e o r t s i s t h e p r e d i c t i o n o f u n s t e a d y s t a l l p h e -

n o m e n a i n c o m p r e s s o r s a n d i t s e e c t o n e n g i n e p e r -

f o r m a n c e . A s a r e s u l t o f p r o g r e s s i v e i m p r o v e m e n t s

i n m o d e l i n g , m o d e r n c o n t r o l t h e o r y h a s b e e n s u c -

c e s s f u l l y a p p l i e d t o t h e p r o b l e m s o f c o m p r e s s o r s t a -

b i l i t y 1 , 2 . I n e e c t , p r o g r e s s i n c o n t r o l c o n c e p t s

h a s p r o m p t e d a n e w n e e d f o r i m p r o v e d m o d e l i n g

P r e s e n t e d a t t h e 3 3 r d A I A A A S M E S A E A S E E J o i n t

P r o p u l s i o n C o n f e r e n c e , J u l y 1 9 9 7 , S e a t t l e , W A . T h i s w o r k

w a s s u p p o r t e d b y A R O u n d e r t h e I n t e l l i g e n t T u r b i n e E n g i n e

I n i t i a t i v e , a n d b y a n A A S E R T g r a n t f r o m O N R .

y

G r a d u a t e S t u d e n t , S c h o o l o f A e r o s p a c e E n g i n e e r i n g ,

G e o r g i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y . M e m b e r A I A A .

z

R e g e n t s ' P r o f e s s o r , S c h o o l o f A e r o s p a c e E n g i n e e r i n g ,

G e o r g i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y . S e n i o r M e m b e r A I A A .

x

A s s o c i a t e P r o f e s s o r , S c h o o l o f A e r o s p a c e E n g i n e e r i n g ,

G e o r g i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , A t l a n t a , G A 3 0 3 3 2 - 0 1 5 0 .

S e n i o r M e m b e r A I A A .

C o p y r i g h t

c

1 9 9 7 b y t h e A m e r i c a n I n s t i t u t e o f A e r o n a u t i c s

a n d A s t r o n a u t i c s , I n c . A l l R i g h t s R e s e r v e d .

m e t h o d s f o r c o m p r e s s o r d y n a m i c p e r f o r m a n c e .

D u r i n g a p p r o x i m a t e l y t h e s a m e t i m e s p a n n u m e r -

i c a l m e t h o d s f o r t h e s o l u t i o n o f t h e u i d o w e q u a -

t i o n s h a v e e v o l v e d c o n s i d e r a b l y . A c l e a r i n c e n t i v e

o f n u m e r i c a l a p p r o a c h e s i s t h e i d e n t i c a t i o n o f d e -

t a i l e d o w p h e n o m e n a w h i c h c a n h a v e a l a r g e i m -

p a c t o n t h e r e s p o n s e o f t h e m o d e l e d s y s t e m . F r o m

t h e p e r s p e c t i v e o f c o m p r e s s o r a e r o d y n a m i c s , s u c h

n u m e r i c a l m e t h o d s a r e i n c r e a s i n g l y b e c o m i n g a n

i m p o r t a n t a s s e t i n t h e m o d e l i n g e o r t s o f c o m p r e s -

s o r s t a l l p h e n o m e n a .

I n t h i s a r t i c l e t h e a u t h o r s c o n s i d e r t h e n u m e r i -

c a l s i m u l a t i o n o f r o t o r o w s . T h e s e s i m u l a t i o n s a r e

b a s e d o n t h e a p p l i c a t i o n o f w e l l e s t a b l i s h e d m e t h -

o d s f o r t h e s o l u t i o n o f t h e u n s t e a d y , c o m p r e s s i b l e

N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i n t w o d i m e n s i o n s . O n e

o f t h e p r o m i n e n t r e s u l t s i n l o w - s p e e d r o t o r c a l c u -

l a t i o n s i s t h e e e c t o f s e p a r a t i o n o n b l a d e l o a d i n g

a n d p r e s s u r e r i s e . I t i s f o u n d t h a t s i g n i c a n t u n -

s t e a d y s e p a r a t i o n t a k e s p l a c e w e l l b e f o r e t h e t r a -

d i t i o n a l s t a b i l i t y l i m i t a t p e a k p r e s s u r e d e l i v e r y i s

r e a c h e d . T h e e e c t o n i n s t a n t a n e o u s , s p a t i a l a v e r -

a g e p r e s s u r e r i s e a r e o s c i l l a t i o n s o a t i m e a v e r a g e

v a l u e a t t h e f r e q u e n c y o f t h e u n s t e a d y l i f t r e s p o n s e .

A s e c o n d r e s u l t r e l a t e s t o t h e d e v e l o p m e n t o f p r o p -

a g a t i n g d i s t u r b a n c e s i n t h e o u t o w a s s t a t i o n a r y

d i s t u r b a n c e s a r e a p p l i e d a t t h e i n o w . C o m p a r e d

t o t h e z e r o d i s t u r b a n c e c a s e , i n w h i c h t h e r e s p o n s e

i s m o s t l y d r i v e n b y t h e b l a d e p a s s i n g f r e q u e n c y , t h e

i n p u t d i s t u r b a n c e s c a u s e a n i n t e r e s t i n g m i g r a t i o n

o f f r e q u e n c y c o n t e n t t o l o w f r e q u e n c i e s . I t i s h o p e d

t h a t t h e s e r e s u l t s w i l l f o s t e r n e w i d e a s i n t h e d e v e l -

o p m e n t o f c o m p r e s s o r s t a l l m o d e l s .

2 N u m e r i c a l M e t h o d

F l o w S o l v e r

A t w o - d i m e n s i o n a l N a v i e r - S t o k e s m u l t i b l o c k s o l v e r

w a s d e v e l o p e d a n d t e s t e d f o r t h e r e s u l t s p r e s e n t e d

i n t h i s a r t i c l e . T h e G T C A S C A D E s o l v e r , a s i t h a s

b e e n c a l l e d , i s b a s e d o n t h e A l t e r n a t i n g D i r e c t i o n

I m p l i c i t A D I f a c t o r i z a t i o n o f t h e l i n e a r i z e d d i s -

c r e t e e q u a t i o n s 3 . T h e n i t e - d i e r e n c e d e v e l o p -

m e n t i s b a s e d o n t h e t r a n s f o r m a t i o n o f t h e e q u a t i o n s

o f m o t i o n t o a c u r v i l i n e a r , b o d y - t t e d c o o r d i n a t e

s y s t e m . W i t h i n t h e c o d e , t h e s p a t i a l d i m e n s i o n s

1


2/9

F i g u r e 1 : D e t a i l o f R o t o r C a s c a d e G r i d N e a r B l a d e s .

a r e n o r m a l i z e d b y t h e c h o r d l e n g t h o f t h e b l a d e s , c

A l l o w v e l o c i t i e s a r e n o r m a l i z e d b y t h e u p s t r e a m

s p e e d o f s o u n d , a

1

. T h u s , t i m e i s n o r m a l i z e d b y

t h e t i m e s c a l e c = a

1

. D e n s i t y i s n o r m a l i z e d b y t h e

u p s t r e a m d e n s i t y

1

a n d p r e s s u r e i s n o r m a l i z e d b y

1

a

2

1

. T u r b u l e n c e i s m o d e l e d v i a t h e a l g e b r a i c

t w o - l a y e r B a l d w i n - L o m a x m o d e l . F o r t h e l o w s p e e d

c a s e s r e p o r t e d h e r e , t h e t h e r m o d y n a m i c v i s c o s i t y i s

a s s u m e d c o n s t a n t , a n d i t s r e f e r e n c e v a l u e i s s e t b y

a f r e e s t r e a m M a c h n u m b e r a n d R e y n o l d s n u m b e r .

F o r t h e p u r p o s e s o f t h i s s t u d y , a g r i d b l o c k i s

m a d e u p o f a b l a d e p a s s a g e , w h i c h i s d i s c r e t i z e d

u s i n g a n H - g r i d t o p o l o g y . A s e c t i o n o f a t y p i c a l

H - g r i d s t a c k u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n s i s s h o w n i n

F i g u r e 1 . A m u l t i b l o c k g r i d g e n e r a t o r c o d e b a s e d

o n t h e m e t h o d s i n 4 i s e m p l o y e d t o g e n e r a t e t h e

g r i d s . W h e n o w p a t h g e o m e t r y d o e s n o t c h a n g e

f r o m b l a d e t o b l a d e , t h e c o m p u t e d g r i d f o r o n e z o n e

c a n b e s t a c k e d u p a s m a n y t i m e s a s r e q u i r e d b y t h e

n u m b e r o f b l a d e s i n t h e s i m u l a t i o n .

B o u n d a r y C o n d i t i o n s

S o l i d S u r f a c e s

T h e n o - s l i p b o u n d a r y c o n d i t i o n o f z e r o o w v e -

l o c i t y r e l a t i v e t o t h e s u r f a c e i s a p p l i e d . I n a d d i t i o n ,

t h e s u r f a c e i s a s s u m e d a d i a b a t i c a n d t h e t h i n s h e a r

l a y e r a p p r o x i m a t i o n i s e m p l o y e d , r e s u l t i n g i n z e r o

n o r m a l d e r i v a t i v e s o f p r e s s u r e a n d d e n s i t y a t t h e

s o l i d s u r f a c e .

I n o w a n d O u t o w B o u n d a r i e s

C u r r e n t c o m p u t e r t i m e c o n s t r a i n t s l i m i t t h e g r i d

t o e x t e n d a p p r o x i m a t e l y 1 5 t o 2 c h o r d s a w a y f r o m

t h e b l a d e s i n t h e s t r e a m w i s e d i r e c t i o n . A c c o r d -

i n g l y , a n o n - r e e c t i v e t y p e o f b o u n d a r y c o n d i t i o n

i s e m p l o y e d t o a l l o w w a v e s t o e n t e r a n d l e a v e t h e

d o m a i n w i t h o u t o w e l d d i s t o r t i o n . I n t h i s a r t i -

c l e , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s d e v e l o p e d i n 5 a r e

u s e d . T h e s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s s e t t h e r e l a t i v e -

f r a m e s t a g n a t i o n e n t h a l p y a n d p r e s s u r e a t t h e i n -

o w b o u n d a r y e q u a l t o t h e i r f r e e - s t r e a m r e f e r e n c e

c o u n t e r p a r t s . T h e u p s t r e a m p r o p a g a t i n g R i e m m a n

i n v a r i a n t V

r e

,

2 a

1

i s e x t r a p o l a t e d f r o m t h e i n -

t e r i o r d o m a i n . F r o m t h e t o t a l c o n d i t i o n s a n d t h e

R i e m m a n i n v a r i a n t , v a l u e s f o r t h e m a g n i t u d e o f t h e

r e l a t i v e f r a m e o w s p e e d a n d l o c a l s p e e d o f s o u n d

a r e f o u n d . T h e r e l a t i v e o w c o m p o n e n t s a r e d e t e r -

m i n e d b y x i n g t h e r e l a t i v e i n o w a n g l e . A b s o l u t e -

f r a m e v e l o c i t y c o m p o n e n t s a r e t h e n t h e s u m o f t h e

g r i d s p e e d c o m p o n e n t s a n d t h e r e l a t i v e o w c o m -

p o n e n t s . F o r c a l c u l a t i o n s i n v o l v i n g d i s p l a c e m e n t s

o f t h e e n t i r e g r i d i n t h e p i t c h w i s e d i r e c t i o n , t h e i n -

o w b o u n d a r y c o n d i t i o n i s a n a l o g o u s t o i m p o s i n g

t h e r o t h a l p y o f t h e o w a t t h e v a l u e d i c t a t e d b y t h e

f r e e - s t r e a m c o n d i t i o n a n d g r i d s p e e d . T h e o u t o w

b o u n d a r y c o n d i t i o n s a l s o f o l l o w t h e c h a r a c t e r i s t i c

v a r i a b l e t r e a t m e n t p r e s e n t e d i n 5 .

Z o n a l B o u n d a r i e s

A t t h e i n t e r f a c e s b e t w e e n c o n s e c u t i v e b l a d e p a s -

s a g e s e x c l u d i n g t h e r e g i o n w h i c h c o n t a i n s t h e s o l i d

s u r f a c e , t h e g r i d s a r e a l l o w e d t o o v e r l a p , b y m e a n s

o f t h e d u m m y o r g h o s t p o i n t t e c h n i q u e 6 . T h e r e -

f o r e , t h e o w o n t h e i n t e r f a c e i s f o u n d b y d i r e c t

s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n s , w i t h o u t n e e d f o r i n t e r p o -

l a t i o n b e t w e e n c o n s e c u t i v e b l a d e p a s s a g e s .

P i t c h w i s e D a t a C o l l e c t i o n

I n t h i s s t u d y , a t t e n t i o n i s d e v o t e d t o t h e t e m p o -

r a l a n d s p a t i a l f r e q u e n c y c o n t e n t o f t h e o w v a r i -

a b l e s a l o n g v e r t i c a l l i n e s i n t h e g r i d . S u c h a n a l y s i s

r e v e a l s t h e t y p e s o f d i s t u r b a n c e s w h i c h m a y p r o p -

a g a t e a s w a v e s i n i n e r t i a l c o o r d i n a t e s . T o c a r r y

o u t t h e s e m e a s u r e m e n t s , t h e m o v i n g g r i d d a t a i s

i n t e r p o l a t e d t o a n i n e r t i a l l y x e d s e t o f p o i n t s , a f -

t e r t r a n s l a t i n g i n s p a c e b y a n a m o u n t d i c t a t e d b y

t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e i n e r t i a l p o i n t d i s t r i b u t i o n

s e n s o r s a n d t h e m o v i n g b l a d e s . T h e p r o c e d u r e ,

w h i c h i s a n a l o g o u s t o t h e i n t e r p o l a t i o n m e t h o d s

e m p l o y e d i n r o t o r - s t a t o r i n t e r a c t i o n s t u d i e s , i s i l -

l u s t r a t e d i n F i g u r e 2 . T h e g r i d , o f s p a t i a l p e r i o d

S

0

e q u a l t o t h e n u m b e r o f b l a d e s t i m e s t h e b l a d e

p i t c h , m o v e s a t s p e e d U i n t h e n e g a t i v e y d i r e c t i o n .

S i n c e t h e s o l u t i o n i s p e r i o d i c i n S

0

, t h e d a t a c a n

b e i n t e r p o l a t e d t o a u n i f o r m p o i n t d i s t r i b u t i o n o v e r

y 2 0 S

0

. A t a n y i n s t a n t o f t i m e , t h e s i g n e d d i s -

t a n c e b e t w e e n t h e g r i d a n d t h e o r i g i n o f t h e s e n s i n g

l i n e i s

s

= , Y

b

t . T h e i n t e r p o l a t i o n i s c a r r i e d

o u t b y a d d i n g t o t h e g r i d y - v a l u e s a n i n t e g e r m u l -

2


3/9

So

y (inertial point distribution)0

So

∆

Yb(t) = Yb(0) - UtU

F i g u r e 2 : I l l u s t r a t i o n o f I n t e r p o l a t i o n M e t h o d

t i p l e o f S

0

, c o m p u t e d f r o m t h e i n t e g e r t r u n c a t i o n

o f t h e r a t i o

s

= S

0

. A d d i n g t h i s f a c t o r r e c t i e s t h e

g r i d a g a i n s t t h e s e n s i n g l i n e . T h e n , o n e - d i m e n s i o n a l

p o l y n o m i a l s p l i n e s a r e u s e d t o d e t e r m i n e t h e o w

v a r i a b l e s a t t h e i n e r t i a l p o i n t s .

3 R e s u l t s

C o d e V a l i d a t i o n R e s u l t s

T h e G T C A S C A D E c o d e h a s b e e n e x t e n s i v e l y v a l -

i d a t e d a g a i n s t e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l b e n c h -

m a r k d a t a . A t y p i c a l s e t o f r e s u l t s f o r t h e s t e a d y -

s t a t e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n o v e r a b l a d e i n a c a s c a d e

i s s h o w n i n F i g u r e 3 . T h e g u r e s h o w s a c o m p a r i -

s o n b e t w e e n e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s f o r

t h e s u r f a c e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n o n a N A C A 6 5 -

4 1 0 c a s c a d e . T h e e x p e r i m e n t a l d a t a c o m e s f r o m

7 . T h e c a s c a d e h a s a s t a g g e r a n g l e = 3 0

, b l a d e

a n g l e o f a t t a c k

1

= 0

, a n d s o l i d i t y = 1 2 5

T h e o p e r a t i n g c o n d i t i o n s a r e s e t a t f r e e s t r e a m

M a c h n u m b e r M

1

= 0 0 8 5 , a n d R e y n o l d s n u m -

b e r R e = 2 4 5 0 0 0 . I n t h e s e r e s u l t s , l o a d i n g i s

r e p o r t e d i n t e r m s o f t o t a l t o s t a t i c p r e s s u r e d i f -

f e r e n c e , S = 2 p

0

, p =

1

V

2

1

, w h e r e p

0

i s t h e

u p s t r e a m s t a g n a t i o n p r e s s u r e . M i n o r d i s c r e p a n c i e s

c a n b e a t t r i b u t e d t o g r i d r e s o l u t i o n n e a r t h e s u r f a c e ,

a n d g e o m e t r y m a t c h i n g . O t h e r c o d e o u t p u t s f o r

d i e r e n t c a s c a d e c o n g u r a t i o n s c o m p a r e d v e r y w e l l

w i t h t h e e x p e r i m e n t a l d a t a i n 7 . F u r t h e r d e t a i l s

o n o t h e r s t e a d y a n d u n s t e a d y v a l i d a t i o n s , w h i c h i n -

c l u d e o s c i l l a t i n g c a s c a d e r e s u l t s , c a n b e f o u n d i n

F i g u r e 3 : C o m p a r i s o n o f E x p e r i m e n t a l a n d N u m e r -

i c a l R e s u l t s f o r C a s c a d e L o a d i n g o n N A C A 6 5 - 4 1 0

p r o l e , M

1

= 0 0 8 5 R e = 2 4 5 0 0 0

1

= 0

1

=

3 0

o

= 1 2 5

8 . I n t h e p r e s e n t w o r k , t h e c o d e i s e m p l o y e d t o

d e m o n s t r a t e i n t e r e s t i n g u n s t e a d y r e s p o n s e e v e n t s ,

b o t h w i t h a n d w i t h o u t e x t e r n a l f o r c i n g .

U n f o r c e d R o t o r P e r f o r m a n c e a n d D y n a m i c s

T h e p e r f o r m a n c e o f a r o t o r b l a d e r o w o r c o m p r e s s o r

i s t y p i c a l l y d e s c r i b e d b y t h e m a p p i n g o f t h e g e n e r -

a t e d p r e s s u r e r i s e v e r s u s o p e r a t i n g o w . S u c h r o t o r

p e r f o r m a n c e m a p o r c h a r a c t e r i s t i c a l s o r e v e a l s t h e

b l a d e l o a d i n g a s t h e o w i s v a r i e d . F o r t h e r e s u l t s

p r e s e n t e d i n t h i s s t u d y , a c a s c a d e w a s g e n e r a t e d

w i t h N A C A 0 0 1 2 p r o l e s c a m b e r e d w i t h a N A C A

a = 1 m e a n l i n e w i t h z e r o - a n g l e l i f t C

o

= 1 5

T h e c a s c a d e s t a g g e r a n g l e a n d s o l i d i t y w e r e s e t t o

= 4 4 5

o

a n d = 1 4 6 , r e s p e c t i v e l y . T h e g r i d ,

o f d i m e n s i o n s 9 0 4 6 p e r b l a d e p a s s a g e , e x t e n d s

1 . 6 c h o r d s u p s t r e a m o f t h e l e a d i n g e d g e s a n d 1 . 6 7

c h o r d s d o w n s t r e a m o f t h e t r a i l i n g e d g e s . T h e b l a d e

s h a p e i s r e s o l v e d i n 4 1 p o i n t s , u s i n g a h y p e r b o l i c

t a n g e n t p o i n t d i s t r i b u t i o n w h i c h c l u s t e r s t h e p o i n t s

n e a r t h e e d g e s . S p a c i n g f r o m t h e s u r f a c e p o i n t s t o

t h e n e i g h b o r i n g p o i n t s i n t h e i n t e r i o r r e m a i n s b e -

l o w 0 . 0 0 0 4 c h o r d s e x c e p t n e a r t h e e d g e s , w h e r e t h e

g r i d g e n e r a t o r c o n v e r g e s t o a m a x i m u m s p a c i n g o f

0 . 0 0 1 2 o n t h e s u c t i o n s i d e t o e n s u r e s m o o t h n e s s .

S i n c e t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a l l o w c o n s i s t e n t

s o l u t i o n s i n b o t h b l a d e - x e d a n d a b s o l u t e c o o r d i -

n a t e s , t h e c a l c u l a t i o n o f t h e p e r f o r m a n c e m a p i s

p e r f o r m e d i n b l a d e - x e d c o o r d i n a t e s . T h u s , i n e r -

3


4/9

t i a l o w q u a n t i t i e s s u c h a s t h e o w c o e c i e n t a n d

b l a d e s p e e d a r e t r a n s f o r m e d i n t o a c o r r e s p o n d i n g

a n g l e o f a t t a c k a n d i n o w M a c h n u m b e r r e l a t i v e t o

t h e b l a d e s . I n t h e s e s i m u l a t i o n s , t h e b l a d e M a c h

n u m b e r w a s s e t a t M

T

= U = a

1

= 0 1 5 7 6 , w h i c h

w a s a g a i n u s e d i n c a s e s w h e r e t h e b l a d e s m o v e . I n

t h e f o l l o w i n g , w e d r o p t h e u s e o f M

T

i n f a v o r o f U

g i v e n t h a t a l l v e l o c i t i e s a r e n o r m a l i z e d b y t h e r e f -

e r e n c e f r e e - s t r e a m s p e e d o f s o u n d . F o r e a c h v a l u e

a b s o l u t e o w M a c h n u m b e r s c o r r e s p o n d i n g t o o w

c o e c i e n t v a l u e s , a t a b l e o f c o r r e s p o n d i n g r e l a t i v e

M a c h n u m b e r s a n d a n g l e s o f a t t a c k w a s o b t a i n e d

f o r t h e s e l e c t e d r o t o r s p e e d . T h e s e p a r a m e t e r s a r e

p a s s e d t o t h e c o d e f o r e a c h o p e r a t i n g c o n d i t i o n . T h e

c o m p u t e d p e r f o r m a n c e m a p i s s h o w n i n F i g u r e 4 .

T h e p r e s s u r e r i s e , r e p r e s e n t e d b y t h e t o t a l - t o - s t a t i c

p r e s s u r e r i s e , , i s p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f t h e a x i a l

o w , g i v e n i n t e r m s o f t h e a x i a l o w c o e c i e n t .

T h e s e q u a n t i t i e s a r e d e n e d a s

=

u

1

U

=

p

2

, p

0

1

U

2

1

T h e v e l o c i t y u

1

i s t h e r e f e r e n c e a x i a l o w v e l o c i t y .

T h e o u t l e t p r e s s u r e p

2

i s c o m p u t e d b y a v e r a g i n g i n

s p a c e o v e r t h e e x i t p l a n e . T h e p r e s s u r e p

0

i s t h e r e f -

e r e n c e , a b s o l u t e f r a m e t o t a l p r e s s u r e a n d U i s t h e

b l a d e s p e e d . T h e g u r e s h o w s t h a t t h e t r e n d s o f

e v e r y b a s i c c o m p r e s s o r m a p a r e w e l l p r e d i c t e d . A s

t h e a x i a l o w d e c r e a s e s , t h e p r e s s u r e r i s e i n c r e a s e s

u p t o a p o i n t w h e r e w a k e s b e c o m e q u i t e t h i c k . F u r -

t h e r d e c r e a s e i n a x i a l o w b e y o n d t h a t p o i n t c a u s e s

t h e p r e s s u r e t o d r o p , a n d c o n s e q u e n t l y , t o a l o s s i n

p e r f o r m a n c e d u e t o s t a l l .

F o r o w c o e c i e n t s b e l o w 0 . 5 5 , t h e l o c a l t i m e

s t e p c a l c u l a t i o n m o d e f a i l s t o c o n v e r g e t o a s t e a d y

s o l u t i o n . I n t h o s e c a s e s , t h e c a l c u l a t i o n m o d e i s

s w i t c h e d t o t h e f u l l u n s t e a d y m o d e a t x e d t i m e

s t e p . T h e m a x i m u m t i m e s t e p a l l o w e d b y t h e i m -

p l i c i t s c h e m e f o r t h e p a r t i c u l a r g r i d e m p l o y e d r e s u l t s

i n a b o u t 4 3 0 0 i t e r a t i o n s p e r b l a d e p a s s i n g . I n t h e s e

s i m u l a t i o n s , i t i s f o u n d t h a t t h e e x i t - p l a n e , s p a c e -

a v e r a g e p r e s s u r e o s c i l l a t e s i n t i m e . T h u s , i n F i g u r e

4 , t h e s o l u t i o n s a t o w s b e l o w 0 . 5 5 a r e d e n o t e d b y

t h r e e s y m b o l s . T h e l l e d s y m b o l s d e n o t e t h e t i m e

D C c o m p o n e n t o f t h e s p a c e - a v e r a g e p r e s s u r e r i s e .

T h e o p e n a n d s t a r s y m b o l s c o r r e s p o n d t o t h e m a x i -

m u m a n d m i n i m u m p r e s s u r e r i s e f o u n d o v e r a c y c l e .

T h e o s c i l l a t i o n s i n s p a c e - a v e r a g e p r e s s u r e r i s e a r e

f o u n d t o b e r e l a t e d t o t h e b l a d e l o a d d y n a m i c s a n d

t h e e x t e n t o f b o u n d a r y l a y e r s e p a r a t i o n . E v e n a t

h i g h - o w c o n d i t i o n s , t h e s h a p e o f t h e b l a d e p r e -

c l u d e s a t t a c h e d o w o n t h e t r a i l i n g e d g e p a r t o f

t h e s u c t i o n s i d e . I n e e c t , a s e p a r a t i o n p o i n t a t

t h e h i g h - o w p o i n t = 0 6 5 i s f o u n d a t a b o u t

F i g u r e 4 : C o m p u t e d R o t o r P e r f o r m a n c e M a p .

F i g u r e 5 : A m p l t i t u d e a n d F r e q u e n c y o f O s c i l l a t i o n s

o f t h e B l a d e L i f t C o e c i e n t . F r e q u e n c y R e p o r t e d

i n T e r m s o f B l a d e P a s s i n g F r e q u e n c y U = S

b

4


5/9

9 5 c h o r d . A s t h e o w i s r e d u c e d , t h e s e p a r a t i o n

p o i n t m o v e s f o r w a r d t o w a r d s t h e l e a d i n g e d g e . A t

= 0 4 1 2 5 , f o r e x a m p l e , t h e a v e r a g e s e p a r a t i o n

p o i n t i s a t a m e a n p o s i t i o n o f 8 2 c h o r d . T h e e x -

a c t l o c a t i o n o f t h e s e p a r a t i o n p o i n t i s f o u n d t o o s -

c i l l a t e i n t i m e w i t h t h e s a m e f r e q u e n c y a s t h e b l a d e

l i f t a n d t h e a v e r a g e p r e s s u r e r i s e . T h e r e f o r e , i t i s

a r g u e d t h a t t h e o s c i l l a t i o n s i n a v e r a g e p r e s s u r e a r e

t h e r e s u l t o f a n u n s t e a d y p e r i o d i c s e p a r a t i o n e e c t .

T h e m a p p i n g o f t h e u n s t e a d y l i f t a m p l i t u d e a n d f r e -

q u e n c y w i t h o w c o e c i e n t i s s h o w n i n F i g u r e 5 .

A s t h e o w c o e c i e n t i s d e c r e a s e d i n c r e a s e d a n -

g l e o f a t t a c k , t h e a m p l i t u d e o f t h e l i f t o s c i l l a t i o n

i n c r e a s e s , b u t t h e f r e q u e n c y o f o s c i l l a t i o n b e c o m e s

s m a l l e r . F r o m a v i s c o u s o w v i e w p o i n t , t h e v o r -

t i c e s s h e d f r o m t h e b l a d e o v e r t h e s e p a r a t i o n z o n e

b e c o m e l a r g e r i n s c a l e a s t h e a n g l e o f a t t a c k i s i n -

c r e a s e d . T h e g r o w t h i n l i f t a m p l i t u d e c o r r e s p o n d s

t o t h e g r o w t h i n t h e s i z e o f t h e s e p a r a t i o n z o n e .

H o w e v e r , a s t h e s e p a r a t i o n z o n e b e c o m e s l a r g e r ,

t h e t i m e s c a l e r e q u i r e d t o e s t a b l i s h t h e c i r c u l a t i o n

a r o u n d t h e b l a d e i n c r e a s e s , o w i n g t o t h e g e n e r a t i o n

o f l a r g e r v o r t i c e s . T h u s , t h e l i f t f r e q u e n c y b e c o m e s

s m a l l e r . S i n c e l i f t t r a n s l a t e s i n t o p r e s s u r e r i s e , t h e s e

o s c i l l a t i o n s a r e a l s o f o u n d i n t h e p r e s s u r e r i s e . I n e f -

f e c t , t h e p l o t i n F i g u r e 4 g i v e s e v i d e n c e o f t h e f a c t

t h a t s t a l l b e c o m e s p r o g r e s s i v e l y s e v e r e a s t h e o w

i s r e d u c e d , g i v e n t h e i n c r e a s e i n d e v i a t i o n o f t h e

s p a c e - a v e r a g e p r e s s u r e s i g n a l f r o m i t s t i m e - a v e r a g e

v a l u e .

A n i m p o r t a n t o b s e r v a t i o n i s t h e f a c t t h a t , r e g a r d -

l e s s o f t h e n u m b e r o f b l a d e s e m p l o y e d i n t h e s i m u l a -

t i o n s , t h e o w h a s b l a d e - t o - b l a d e p e r i o d i c i t y , e v e n

i f s u c h b o u n d a r y c o n d i t i o n i s n o t e x p l i c i t l y a p p l i e d .

N a t u r a l l y , t h i s r e q u i r e s t h e g r i d t o b e b l a d e - t o - b l a d e

p e r i o d i c , i n t h e s e n s e t h a t e a c h b l a d e p a s s a g e i s a n

e x a c t d u p l i c a t e o f i t s n e i g h b o r s , w i t h a p i t c h w i s e

c o o r d i n a t e o s e t . I t a l s o r e q u i r e s t h a t t h e i n i t i a l

c o n d i t i o n s s p e c i f y u n i f o r m i t y f r o m b l a d e t o b l a d e ,

a s i m p o s e d i n t h e c a l c u l a t i o n s o f t h e r o t o r p e r f o r -

m a n c e . A n a l p r o v i s i o n i s t h a t t h e n o m i n a l o p -

e r a t i n g c o n d i t i o n M a c h n u m b e r r e m a i n s s e t a t a

x e d c o n s t a n t v a l u e d u r i n g t h e s i m u l a t i o n . T h u s ,

i n a b s o l u t e f r a m e c o o r d i n a t e s , i t i s f o u n d t h a t n o

p r o p a g a t i n g d i s t u r b a n c e s , o t h e r t h a n t h o s e r e s u l t -

i n g f r o m t h e s o l u t i o n b e i n g c a r r i e d p i t c h w i s e a t t h e

b l a d e s p e e d , a r e o b s e r v e d . T h e s i g n a l o v e r a p i t c h -

w i s e l i n e c o r r e s p o n d s t o a s i n g l e w a v e p a c k e t w i t h

f u n d a m e n t a l p e r i o d 1 i n b o t h b l a d e - p a s s t i m e u n i t s

a n d b l a d e - p i t c h s p a t i a l u n i t s .

A t y p i c a l s e t o f a x i a l o w s i g n a l s i n d u c e d b y t h e

n a t u r a l b l a d e m o t i o n a t a g i v e n o p e r a t i n g c o n d i t i o n

a r e s h o w n i n F i g u r e 6 . I n t h i s c a s e , t h e b l a d e s a r e

a l l o w e d t o m o v e , a n d t h e i n t e r p o l a t i o n t e c h n i q u e

F i g u r e 6 : T o p : A x i a l V e l o c i t y T i m e T r a c e s o v e r o n e

B l a d e P i t c h a l o n g I n e r t i a l P o s i t i o n s D o w n s t r e a m o f

R o t o r . B o t t o m : T e m p o r a l F F T o f A x i a l V e l o c i t y

S i g n a l a t M i d d l e P o i n t . N o I n o w D i s t u r b a n c e s .

d e s c r i b e d p r e v i o u s l y i s e m p l o y e d t o m e a s u r e t h e r e -

s u l t i n g w a v e m o t i o n . T h e s e s i g n a l s c o r r e s p o n d t o

a x i a l v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s t a k e n a b o u t 0 . 1 c h o r d s

d o w n s t r e a m o f t h e t r a i l i n g e d g e o f t h e b l a d e r o w

o v e r 1 b l a d e p a s s a g e . T h e d a t a i s s a m p l e d a t 2 1

s a m p l e s p e r b l a d e p a s s i n g i n b o t h t i m e a n d s p a c e .

T h e n o m i n a l c a s e i s s e t b y t h e r e f e r e n c e f r e e - s t r e a m

M a c h n u m b e r M

1

= 0 0 6 5 0 1 , w h i c h c o r r e s p o n d s t o

t h e h i g h e s t p r e s s u r e r i s e p o i n t o n t h e c o m p u t e d p e r -

f o r m a n c e m a p . A l t h o u g h i t i s e v i d e n t f r o m t h e t o p

p l o t t h a t t h i s s o l u t i o n h a s b o t h p e r i o d 1 i n s p a c e

a n d t i m e r e l a t i v e t o t h e b l a d e p a s s a g e s p a c e a n d

t i m e s c a l e s , o n e c a n r u n i n t o a g e n e r a l s i t u a t i o n

i n w h i c h t h e p e a k s o b s e r v e d i n a s i n g l e t i m e t r a c e

F F T d o n o t c o r r e s p o n d t o w a v e h a r m o n i c s , b u t t o

t h e s p e e d s o f d i e r e n t w a v e p a c k e t s p r e s e n t i n t h e

t i m e - s p a c e s i g n a l . A d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f t h i s i s s u e

i s f o u n d i n 2 . S i n c e e a c h o f t h e f r e q u e n c i e s i n t h e

s i n g l e s e n s o r m e a s u r e m e n t m a y c o r r e s p o n d t o t h e

p r o p a g a t i o n s p e e d o f a w a v e p a c k e t , t h e d a t a m u s t

b e b a n d p a s s - l t e r e d a t t h o s e f r e q u e n c i e s t o d e t e r -

m i n e w h i c h s p a t i a l c o m p o n e n t s a r e p r e s e n t a t t h a t

s p e e d . T h e l t e r e d s i g n a l i s d e c o m p o s e d i n s p a t i a l

F o u r i e r c o e c i e n t s a p p l y i n g a s p a t i a l F F T o v e r a l l

s e n s o r m e a s u r e m e n t s a t x e d t i m e t o d e t e r m i n e t h e

d o m i n a n t s p a t i a l m o d e s a t t h a t s p e e d . S p a t i a l m o d e

h e r e c o r r e s p o n d s t o t h e n u m b e r o f l o b e s m i n u s 1 o f

t h e s i g n a l . T h e d o m i n a n t s p a t i a l m o d e s s h o u l d r e -

v e a l a n e a r c o n s t a n t a m p l i t u d e i n s p a c e a n d a p h a s e

5


6/9

w h i c h v a r i e s l i n e a r l y i n t i m e a t a r a t e g i v e n b y t h e

l t e r - i s o l a t e d f r e q u e n c y .

F o r t h e p a r t i c u l a r c a s e o f t h e t r a c e s i n F i g u r e

6 , t h e a p p l i c a t i o n o f b a n d p a s s l t e r s a t f r e q u e n c i e s

f

n

= n = U = S

b

i n t e g e r n r e v e a l s t h a t t h e d o m i -

n a n t m o d e s a r e t h o s e w i t h w a v e n u m b e r s k

n

= n = S

b

S i n c e f

n

i s p r o p o r t i o n a l t o k

n

, t h e o v e r a l l s i g n a l i s

a s i n g l e w a v e p a c k e t o f n o r m a l i z e d f u n d a m e n t a l f r e -

q u e n c y n = 1 i n b o t h t i m e a n d s p a c e , w h i c h c a n b e

d e s c r i b e d b y

Q y t = A

0

t +

N

X

n = 1

A

n

s i n

2 n

S

b

~y +

n

~y = y + U t 2

I n t h e m o s t g e n e r a l c a s e , a t i m e v a r i a t i o n o f t h e

s p a c e a v e r a g e s i g n a l , A

0

t , i s a c c o m m o d a t e d t o a l -

l o w f o r t h e e v e n t s d e s c r i b e d i n t h e c a l c u l a t i o n o f

t h e p e r f o r m a n c e m a p . H o w e v e r , i n t h e c a s e o f t h e

v e l o c i t y s i g n a l s , t h e d e p e n d e n c y o f t h e a v e r a g e v e -

l o c i t y o n t h e l i f t o s c i l l a t i o n f r e q u e n c y a p p e a r s n o t

a s s t r o n g a s t h a t o f t h e p r e s s u r e , a s t h e F F T m a g n i -

t u d e o f t h e s p a c e - a v e r a g e v e l o c i t y s i g n a l a t t h e l i f t

o s c i l l a t i o n f r e q u e n c y i s o n l y 1 = 1 0 o f i t s t i m e m e a n

v a l u e . I n t h i s c a s e , A

0

= 0 0 7 4 3 1 7 5 , a c o n s t a n t . T a -

b l e 1 l i s t s t h e a m p l i t u d e s a n d p h a s e s o f t h e a p p i n g -

i n d u c e d w a v e o f E q u a t i o n 2 . O b s e r v e t h a t , f o r t h e

p a r t i c u l a r c a s e u n d e r s t u d y , t h e a m p l i t u d e o f t h e

r s t h a r m o n i c o f t h e w a v e i s a b o u t 4 5 o f t h e m e a n

v a l u e o f t h e s i g n a l . T h i s i s q u i t e s i g n i c a n t , f r o m

t h e p e r s p e c t i v e o f a c o m p l e t e m u l t i b l a d e d r o t o r . F o r

a r o t o r h a v i n g N

b

b l a d e s , t h i s r e s u l t c l e a r l y d e m o n -

s t r a t e s t h a t t h e r e i s s i g n i c a n t f r e q u e n c y c o n t e n t

a t f r e q u e n c i e s o f t h e o r d e r N

b

t i m e s t h e r o t o r f r e -

q u e n c y w h i c h c a n n o t b e a t t r i b u t e d t o m e a s u r e m e n t

n o i s e . T h e v e l o c i t y p r o l e s a t t h e b l a d e s c a l e a r e

a n a l o g o u s t o p i p e o w p r o l e s , a n d , i n f a c t , a r e t h e

c o n s e q u e n c e o f t h e s a m e v i s c o u s p h e n o m e n a . T h e

o w i s r e t a r d e d a t t h e b l a d e s u r f a c e s a n d a c c e l e r -

a t e s t o w a r d s t h e m i d d l e o f t h e b l a d e p a s s a g e . I n

o r d e r t o c a p t u r e t h e m o s t s i g n i c a n t h a r m o n i c c o n -

t e n t o f t h i s p h e n o m e n a i n a r o t o r , a t l e a s t 2 N

b

+ 1

s e n s o r s a r e r e q u i r e d . M o r e o v e r , t o c a p t u r e t h e f r e -

q u e n c y , t h e b a n d w i d t h o f t h e s e n s o r s m u s t b e a t

l e a s t 2 N

b

+ 1 t i m e s t h e r o t o r f r e q u e n c y . M o s t e c o -

n o m i c a l s e n s i n g s c h e m e s f a l l b e l o w t h i s r a n g e , w i t h

t h e r e s u l t t h a t t h e f r e q u e n c y c o n t e n t a t t h e b l a d e

p a s s f r e q u e n c y c o u l d b e a l i a s e d t o l o w f r e q u e n c i e s .

T h e d e t a i l e d d e g r e e o f r e s o l u t i o n i s o n e o f t h e c l e a r

a d v a n t a g e s o f t h e c o m p u t a t i o n a l m e t h o d .

G i v e n t h e o b s e r v a t i o n s , i t i s n a t u r a l t o a s k a b o u t

t h e r e l e v a n c e o f t h e s m a l l - s c a l e b e h a v i o r . I n t h e

f o l l o w i n g s e c t i o n , w e a t t e m p t t o i l l u s t r a t e t h e i s s u e s

n A

n

n

1 0 . 0 3 3 1 9 5 7 3 . 2 5 5 7 4

2 0 . 0 1 7 9 0 4 3 2 . 4 1 7 1 9

3 0 . 0 1 1 1 6 3 5 1 . 6 4 6 5 5

4 0 . 0 0 7 6 0 8 0 0 . 9 5 4 3 2

T a b l e 1 : U n d i s t u r b e d V e l o c i t y S i g n a l H a r m o n i c s a t

R o t o r O u t o w .

b y c o n s i d e r i n g t h e e e c t o f i n o w d i s t u r b a n c e s o f

d i e r e n t l e n g t h s c a l e s o n t h e s o l u t i o n .

F o r c e d T r a n s i e n t s

A s d e s c r i b e d a b o v e , t h e e v o l u t i o n o f t h e s o l u t i o n r e -

s u l t s i n p e r i o d i c i t y f r o m b l a d e t o b l a d e . A s i m p l e

a p p r o a c h t o u p s e t t h e n a t u r a l t i m e s c a l e s i s t o i n -

t r o d u c e s t a t i o n a r y d i s t u r b a n c e s a t t h e r o t o r i n o w

b o u n d a r y . I n t h i s s t u d y , s t a t i o n a r y d i s t u r b a n c e s

i n t o t a l p r e s s u r e w i t h z e r o s p a t i a l m e a n a r e u s e d .

T h e s e a r e o f t h e f o r m

p

0

r

= p

0

r

1 + D t y 3

C o n t r a r y t o t h e w o r k i n 9 , t h r o t t l i n g d i s t u r b a n c e s

a r e n o t e m u l a t e d i n t h i s w o r k . I n t h i s w o r k , t h e

n o m i n a l c o n d i t i o n i s s e t a t t h e s a m e o p e r a t i n g p o i n t

o f t h e p r e v i o u s s i m u l a t i o n s , w i t h t h e r e f e r e n c e M a c h

n u m b e r M

1

= 0 0 6 5 0 1 . S i n c e t h r o t t l i n g i s n o t e m u -

l a t e d b y r e d u c i n g t h e M a c h n u m b e r a s d i s t u r b a n c e s

a r e i n t r o d u c e d , t h e d i s t u r b a n c e s r e q u i r e d t o c h a n g e

t h e s t a t e o f t h e o w i n a n y s i g n i c a n t m a n n e r a r e

5 t o 1 0 p e r c e n t o f t h e m e a n t o t a l p r e s s u r e . W h i l e

t h e s e a r e l a r g e d i s t u r b a n c e s f r o m a p h y s i c a l v i e w -

p o i n t , t h e y a r e a d e q u a t e l y a c c e p t e d b y t h e c o d e .

T h e b a s e s h a p e o f t h e t o t a l p r e s s u r e p e r t u r b a t i o n

e m p l o y e d i n t h i s w o r k i s a G a u s s i a n t y p e d i s t r i b u -

t i o n w i t h a = 0 1 5 b a n d w i d t h . T h e p u l s e i s c e n -

t e r e d a t t h e m i d d l e o f t h e s e n s i n g l i n e y = S

0

= 2

a n d i s a p p l i e d a t t h r e e d i e r e n t l e n g t h s c a l e s r e l a t i v e

t o t h e b l a d e p i t c h S

b

= S

0

= N

b

. A F o u r i e r d e c o m -

p o s i t i o n i s u s e d t o r e p r e s e n t t h e p u l s e i n o r d e r t o

e n s u r e p e r i o d i c i t y o v e r S

0

. I n t h i s f o r m

D t y = 2 A

p

0

u t , t

0

5

X

n = 1

c

n

c o s

2 n y , S

0

= 2

S

0

4

T h e c o n s t a n t 2 A

p

0

i s t h e p e a k - t o - p e a k a m p l i t u d e o f

t h e d i s t u r b a n c e . A v a l u e o f A

p

0

= 0 1 i s u s e d i n t h i s

w o r k t o s i m u l a t e a 1 0 p e r t u r b a t i o n . A s t e p i n p u t ,

u t , t

0

, i s u s e d t o t u r n t h e d i s t u r b a n c e o n a t t i m e

6


7/9

n c

n

1 0 . 4 2 7 0 0 5

2 0 . 2 1 7 8 9 9

3 0 . 0 7 1 0 0 9

4 0 . 0 1 4 7 7 5

5 0 . 0 0 1 9 6 5

T a b l e 2 : C o e c i e n t s f o r T o t a l P r e s s u r e P e r t u r b a -

t i o n .

t

0

i n o r d e r t o a l l o w s o m e t i m e f o r t h e e s t a b l i s h m e n t

o f t h e n o m i n a l i n i t i a l c o n d i t i o n . I n t h i s w o r k , t

0

i s

s e t t o 1 , c o r r e s p o n d i n g t o a b o u t 0 . 2 3 b l a d e p a s s i n g

t i m e u n i t s . F o r a n o r m a l i z e d b a n d w i d t h o f 0 . 1 5 , t h e

F o u r i e r c o e c i e n t s o f t h e p e r t u r b a t i o n a r e l i s t e d i n

T a b l e 2

T h r e e c a s e s i n w h i c h t h e a p p l i e d d i s t u r b a n c e s

h a v e s p a t i a l p e r i o d s 1 , 2 , a n d 3 , r e l a t i v e t o t h e

b l a d e s p a c i n g a r e c o n s i d e r e d h e r e . T h e r e f o r e , t h e

c a l c u l a t i o n c a n b e c a r r i e d o u t o n l y w i t h 1 , 2 , o r 3

b l a d e p a s s a g e s , r e s p e c t i v e l y . A r e a s o n a b l e e x p e c -

t a t i o n f o r t h e o u t c o m e w i l l b e a s c e n a r i o i n w h i c h

t h e d i s t u r b a n c e i m p r e g n a t e s i t s n o n m o v i n g p r o l e

o n t o t h e b l a d e - i n d u c e d m o t i o n . T o s o m e e x t e n t ,

t h e l o w - f r e q u e n c y r e s u l t s d o r e v e a l s u c h s c e n a r i o .

B u t , m o s t i m p o r t a n t l y , i t i s f o u n d t h a t t h e s p e c -

t r u m a t f r e q u e n c i e s l o w e r t h a n t h o s e o f t h e b l a d e s

i s a c t i v a t e d . B e f o r e s h o w i n g t h e r e s u l t s , i t i s u s e f u l

t o d i s c u s s t h e e x p e c t e d b e h a v i o r i n t h e r e s u l t s . T h e

i n t r o d u c t i o n o f a s t a t i o n a r y p e r t u r b a t i o n i n i n e r t i a l

c o o r d i n a t e s c o r r e s p o n d s t o a m o v i n g p e r t u r b a t i o n

i n b l a d e - x e d c o o r d i n a t e s . A s i n g l e b l a d e w i l l t r a -

v e r s e o n e f u l l p e r i o d o f t h e s t a t i o n a r y d i s t u r b a n c e

i n n b l a d e p a s s t i m e u n i t s , w h e r e n i s t h e w a v e -

l e n g t h o f t h e d i s t u r b a n c e r e l a t i v e t o t h e b l a d e p i t c h .

T h e r e f o r e , o n e c a n e x p e c t t h a t f r e q u e n c y 1 = n i n

t e r m s o f t h e b l a d e p a s s i n g f r e q u e n c y w i l l b e c o m e

a c t i v e a s t h e d i s t u r b a n c e i s a p p l i e d . S p e c i c a l l y ,

t h i s f r e q u e n c y b e c o m e s a c t i v e f o r t h e s q u a r e o f t h e

v e l o c i t y s i g n a l . F r o m a s t e a d y - s t a t e a r g u m e n t , v e -

l o c i t y s q u a r e d w i l l s c a l e w i t h t o t a l p r e s s u r e . T h e r e -

f o r e , i f t o t a l p r e s s u r e v a r i e s w i t h f r e q u e n c y 1 = n , o n e

c o u l d n d h a r m o n i c c o n t e n t i n t h e v e l o c i t y s i g n a l s

a t f r e q u e n c y 1 = 2 n . T h i s f r e q u e n c y s h o u l d b e c o m e

p r o m i n e n t i f t h e t i m e m e a n o f t h e s i g n a l s i s l e s s t h a n

t h e F F T a m p l i t u d e a t 1 = 2 n

F i g u r e 7 s h o w s t h e r e s u l t s o b t a i n e d b y i m p o s i n g

a s t a t i o n a r y d i s t u r b a n c e w i t h a s p a t i a l p e r i o d o f

n = 1 b l a d e p i t c h . C o m p a r e d t o t h e c l e a n o w

r e s u l t , t h i s s h o w s t h a t t h e a p p i n g f r e q u e n c y a n d

a s s o c i a t e d h a r m o n i c s r e m a i n q u i t e d o m i n a n t . H o w -

e v e r , a l l o t h e r f r e q u e n c i e s a r e a c t i v a t e d , p a r t i c u l a r l y

F i g u r e 7 : T o p : A x i a l V e l o c i t y T i m e T r a c e s o v e r o n e

B l a d e P i t c h a l o n g I n e r t i a l P o s i t i o n s D o w n s t r e a m o f

R o t o r . B o t t o m : T e m p o r a l F F T o f A x i a l V e l o c i t y

S i g n a l a t M i d d l e P o i n t . D i s t u r b a n c e L e n g t h S c a l e

= 1 B l a d e P i t c h .

t h o s e i n t h e r a n g e 1 = 2 n . F o r t h i s p a r t i c u l a r c a s e ,

t h e f r e q u e n c y r a n g e n e a r o n e h a l f o f b l a d e p a s s i n g

f r e q u e n c y F

S

b

= U = S

b

w a s l t e r e d t o e x a m i n e t h e

p o s s i b i l i t y o f o r g a n i z e d w a v e m o t i o n a t t h a t s p e e d .

I n t h i s c a s e , n o o r g a n i z e d m o t i o n w a s f o u n d , a s a l l o f

t h e s p a t i a l h a r m o n i c s s h o w n o c o r r e l a t i o n i n p h a s e

o r a m p l i t u d e c o n s t a n c y . T h e s a m e w a s f o u n d f o r

o t h e r i n t e r m e d i a t e f r e q u e n c i e s . F o r t h e p a r a m e t e r s

c o n s i d e r e d i n t h i s s i m u l a t i o n , t h e e v i d e n t e e c t o f

t h e d i s t u r b a n c e o f b l a d e - p a s s a g e s c a l e i s t o r a i s e f r e -

q u e n c y c o n t e n t a t a l l f r e q u e n c i e s , l e a v i n g d o m i n a n t

w a v e p r o p a g a t i o n a t t h e b l a d e p a s s i n g f r e q u e n c y

a n d i t s h a r m o n i c s . A s c a n b e s e e n , t h e F F T o f

t h e s i g n a l s h o w s s m a l l h a r m o n i c c o n t e n t a t 1 = 2 n

c o m p a r e d t o t h e D C z e r o f r e q u e n c y o f t h e s i g n a l .

T h e r e f o r e , t h e e v e n t s n e a r f r e q u e n c y 1 = 2 n d o n o t

d o m i n a t e i n t h e w a v e p r o p a g a t i o n p h e n o m e n a .

F i g u r e 8 s h o w s t h e r e s u l t s o b t a i n e d a s a p e r t u r -

b a t i o n s p a n n i n g n = 2 b l a d e p i t c h e s i s a p p l i e d . I n

t h i s c a s e , t h e r e i s r e a s o n t o b e l i e v e t h a t s o m e f o r m o f

p r o p a g a t i o n i s o c c u r r i n g a t 1 4 a n d 1 2 o f t h e b l a d e

p a s s i n g f r e q u e n c y , a s e x p l a i n e d p r e v i o u s l y . I n d e e d ,

t h e F F T s h o w s t h a t t h e s e f r e q u e n c i e s a r e a c t i v e .

H o w e v e r , t h e D C r e m a i n s h i g h o v e r t h e a m p l i t u d e s

a t t h o s e f r e q u e n c i e s . T h e l t e r i n g o f t h e s i g n a l s a t

1 4 b l a d e p a s s a n d 1 2 b l a d e p a s s d o e s n o t r e v e a l

p r o p a g a t i o n a t t h o s e f r e q u e n c i e s . T h e b l a d e p a s s -

i n g m o d e r e m a i n s v e r y a c t i v e , a s c a n b e a r g u e d f r o m

7


8/9

F i g u r e 8 : T o p : A x i a l V e l o c i t y T i m e T r a c e s o v e r t w o

B l a d e P i t c h e s a l o n g I n e r t i a l P o s i t i o n s D o w n s t r e a m

o f R o t o r . B o t t o m : T e m p o r a l F F T o f A x i a l V e l o c i t y

S i g n a l a t M i d d l e P o i n t . D i s t u r b a n c e L e n g t h S c a l e

= 2 B l a d e P i t c h e s .

t h e t r a c e F F T .

I n c o n t r a s t , F i g u r e 9 s h o w s t h e v e l o c i t y s i g n a l s

o v e r n = 3 b l a d e p i t c h e s a s a p e r t u r b a t i o n c o v e r -

i n g a 3 - b l a d e - p i t c h l e n g t h i s a p p l i e d . H e r e , i t b e -

c o m e s e v i d e n t t h a t l o w f r e q u e n c y p h e n o m e n a a r e

t a k i n g p l a c e . I n e e c t , t h e m i d s i g n a l F F T o v e r

t h e l a t t e r s e c t i o n o f t h e t r a n s i e n t s h o w s s i g n i c a n t

c o n t e n t n e a r 1 = 2 n = 1 = 6 o f t h e b l a d e p a s s i n g f r e -

q u e n c y . T h e s i g n a l s a r e l t e r e d i n t h e f r e q u e n c y

r a n g e t o r e v e a l a m o d e 1 d i s t u r b a n c e r e l a t i v e t o 3

b l a d e p a s s a g e s t r a v e l i n g a t 1 8 o f t h e b l a d e p a s s -

i n g f r e q u e n c y . T h e l t e r e d s i g n a l i s s h o w n i n F i g u r e

1 0 . T h e a m p l i t u d e o f t h e s e l o w f r e q u e n c y o s c i l l a -

t i o n s i s m e a s u r e d a t 0 . 1 2 . I n c o n t r a s t , t h e s i g n a l

D C f r o m F i g u r e 9 i s a t 0 . 0 4 , i l l u s t r a t i n g t h e e e c t

o f t h e i n c r e a s e i n a m p l i t u d e o f t h e l o w f r e q u e n c y

c o n t e n t b e y o n d t h e D C , w h i c h a l l o w s f o r t h e l o w

f r e q u e n c y w a v e m o t i o n .

F i n a l l y , a c o m p a r i s o n o f a l l t h r e e f o r c e d t r a n s i e n t s

r e v e a l s t h a t , a s t h e w a v e l e n g t h o f t h e a p p l i e d d i s -

t u r b a n c e i n c r e a s e s , t h e v e l o c i t y s i g n a l d e v e l o p s a

p r o p e n s i t y t o s h o w w a v e p r o p a g a t i o n a t l o w e r f r e -

q u e n c i e s . T h e s e r e s u l t s a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e n d -

i n g s b y H e i n 9 . I n t h a t w o r k , c a l c u l a t i o n s i n -

v o l v i n g 2 0 b l a d e p a s s a g e s r e v e a l t h a t l o n g s c a l e i n -

o w d i s t u r b a n c e s a r e t h e m o s t d e s t a b i l i z i n g d i s t u r -

b a n c e s . H o w e v e r , o n l y 4 m e a s u r i n g p o i n t s p e r 2 0

b l a d e s w e r e u s e d t o v i s u a l i z e t h e p h e n o m e n a . T h e

F i g u r e 9 : T o p : A x i a l V e l o c i t y T i m e T r a c e s o v e r

t h r e e B l a d e P i t c h e s a l o n g I n e r t i a l P o s i t i o n s D o w n -

s t r e a m o f R o t o r . B o t t o m : T e m p o r a l F F T o f A x -

i a l V e l o c i t y S i g n a l a t M i d d l e P o i n t . D i s t u r b a n c e

L e n g t h S c a l e = 3 B l a d e P i t c h e s .

F i g u r e 1 0 : A x i a l V e l o c i t y T i m e T r a c e s o v e r t h r e e

B l a d e P i t c h e s a l o n g I n e r t i a l P o s i t i o n s D o w n s t r e a m

o f R o t o r . B a n d p a s s F i l t e r a t f r e q u e n c y = 0 1 8 = T

S

8


9/9

r e s u l t s r e p o r t e d i n t h e p r e s e n t a r t i c l e , w h e r e n e

s a m p l i n g w a s u s e d i n b o t h t i m e a n d s p a c e , s h o w

t h a t s i m i l a r p h e n o m e n a o c c u r s a t t h e s c a l e o f s e v -

e r a l b l a d e p a s s a g e s .

4 C o n c l u s i o n s

I n t h i s a r t i c l e , t h e r e s u l t s o f b o t h u n f o r c e d a n d

f o r c e d o w s i n a r o t o r b l a d e r o w w e r e i n v e s t i g a t e d .

T h e r e s u l t s f o r u n f o r c e d l i f t a n d p r e s s u r e r i s e s h o w

t h a t t h e i r d y n a m i c b e h a v i o r s i n t e r m s o f f r e q u e n c y

r e s p o n s e a r e s i m i l a r . T h i s i s a r g u e d t o b e t h e r e -

s u l t o f d y n a m i c s t a l l e v e n t s w h i c h o c c u r n a t u r a l l y

d u e t o o w s e p a r a t i o n . I t i s f o u n d t h a t p r e s s u r e

r i s e a m p l i t u d e i n c r e a s e s a s t h e o w i s d e c r e a s e d ,

w h i l e t h e o s c i l l a t i o n f r e q u e n c y d e c r e a s e s w i t h t h e

o w . A c o n n e c t i o n b e t w e e n v o r t e x - s h e d d i n g t e m -

p o r a l a n d s p a t i a l s c a l e s a n d t h e s e e v e n t s p r o v i d e s a

s i m p l e e x p l a n a t i o n f o r t h e o b s e r v e d p h e n o m e n a . A

m o r e c o m p l e t e d o c u m e n t a t i o n o f t h e s e r e s u l t s c a n

b e f o u n d i n 8 .

F o r c e d r e s p o n s e w a s a s s e s s e d t h r o u g h t h e a p p l i -

c a t i o n o f s t a t i o n a r y t o t a l p r e s s u r e d i s t u r b a n c e s a t

t h e i n l e t , w i t h v a r y i n g s p a t i a l p e r i o d r e l a t i v e t o t h e

b l a d e p i t c h . T h e s e r e s u l t s d e m o n s t r a t e t h a t d i s t u r -

b a n c e s o f i n c r e a s i n g l e n g t h s c a l e c o m p a r e d t o t h e

b l a d e p i t c h c a u s e t h e r o t o r o u t o w a x i a l v e l o c i t y

t o d e v e l o p w a v e p r o p a g a t i o n a t l o w e r f r e q u e n c i e s .

W h i l e t h e o r i g i n o f t h e s e f r e q u e n c i e s h a s b e e n e x -

p l a i n e d t h r o u g h a s t e a d y - s t a t e a r g u m e n t , t h e i n -

c r e a s e i n a m p l i t u d e a t t h e l o w f r e q u e n c i e s w i t h i n -

c r e a s e d d i s t u r b a n c e w a v e l e n g t h r e m a i n s t o b e e x -

p l a i n e d . F i n a l l y , a n y n o m i n a l q u a n t i t y o t h e r t h a n

t o t a l p r e s s u r e c a n b e u s e d t o i m p l e m e n t d i s t u r -

b a n c e s . A d d i t i o n a l w o r k w i l l b e c a r r i e d o u t t o d e -

t e r m i n e i p o s s i b l e v a r i a t i o n s i n t h e f r e q u e n c y r e -

s p o n s e a s o t h e r n o m i n a l i n o w v a r i a b l e s a r e p e r -

t u r b e d , a n d , i i t h e p r o p e n s i t y o f i n c r e a s e d l o w f r e -

q u e n c y w a v e m o t i o n a s d i s t u r b a n c e l e n g t h s c a l e i s

i n c r e a s e d .

R e f e r e n c e s

1 J . D u g u n d j i , V . H . G a r n i e r , A . H . E p s t e i n , E . M .

G r e i t z e r , G . G u e n e t t e , J . P a d u a n o , P . S i l k o w s k i ,

J . S i m o n , a n d L . V a l a v a n i . A P r o g r e s s R e p o r t o n

A c t i v e C o n t r o l o f F l o w I n s t a b i l i t i e s : R o t a t i n g S t a l l

S t a b i l i z a t i o n i n A x i a l C o m p r e s s o r s . I n P r o c e e d i n g s o f

t h e 1 9 8 9 A I A A 2 n d S h e a r F l o w C o n f e r e n c e , M a r c h

1 9 8 9 . A I A A P a p e r N o . 8 9 - 1 0 0 8 .

2 O . O . B a d m u s , S . C h o w d h u r y , K . M . E v e k e r , C . N .

N e t t , a n d C . J . R i v e r a . S i m p l i e d A p p r o a c h f o r C o n -

t r o l o f R o t a t i n g S t a l l , P a r t 1 : T h e o r e t i c a l D e v e l o p -

m e n t , a n d P a r t 2 : E x p e r i m e n t a l R e s u l t s . J . P r o p u l -

s i o n a n d P o w e r , 1 1 6 : 1 1 9 5 1 2 2 3 , N o v D e c 1 9 9 5 .

3 R . M . B e a m a n d R . F . W a r m i n g . A n I m p l i c i t F a c -

t o r e d S c h e m e f o r t h e C o m p r e s s i b l e N a v i e r S t o k e s

E q u a t i o n s . A I A A J o u r n a l , 1 6 : 3 9 3 4 0 2 , 1 9 7 8 .

4 J . F . T h o m p s o n , Z . U . A . W a r s i , a n d C . W a y n e

M a s t i n . N u m e r i c a l G r i d G e n e r a t i o n : F o u n d a t i o n s

a n d A p p l i c a t i o n s . E l s e v i e r S c i e n c e , 1 9 8 5 .

5 R . V . C h i m a . I n v i s c i d a n d V i s c o u s F l o w s i n C a s -

c a d e s w i t h a n E x p l i c i t M u l t i p l e G r i d A l g o r i t h m .

A I A A J o u r n a l , 2 3 1 0 : 1 5 5 6 1 5 6 3 , O c t 1 9 8 5 .

6 T . W . S w a o r d , D . H . D o e , D . L . H u , D . H .

H u d d l e s t o n , a n d T . S . R . R e d d y . T h e E v o l u t i o n

o f N P H A S E : E u l e r N a v i e r S t o k e s C o m p u t a t i o n s o f

U n s t e a d y T w o D i m e n s i o n a l C a s c a d e F l o w F i e l d s .

1 9 9 4 . A I A A P a p e r n o . A I A A - 9 4 - 1 8 3 4 - C P .

7 J . C . E m e r y , L . J . H e r r i g , J . R . E r w i n , a n d R . F e -

l i x . S y s t e m e t i c T w o D i m e n s i o n a l C a s c a d e T e s t s o f

N A C A 6 5 S e r i e s C o m p r e s s o r B l a d e s a t L o w S p e e d s .

T e c h n i c a l r e p o r t , N a t i o n a l A d v i s o r y C o m m i t t e e f o r

A e r o n a u t i c s , 1 9 5 8 . N A C A T R 1 3 6 8 .

8 C . J . R i v e r a . N u m e r i c a l S i m u l a t i o n o f D y n a m i c S t a l l

i n A x i a l C o m p r e s s o r B l a d e R o w s . P h D t h e s i s , G e o r -

g i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , I n p r e p a r a t i o n .

9 L . H e . C o m p u t a t i o n a l S t u d y o f R o t a t i n g - S t a l l I n c e p -

t i o n i n A x i a l C o m p r e s s o r s . J . P r o p u l s i o n a n d P o w e r

1 3 1 : 3 1 3 8 , J a n - F e b 1 9 9 7 .

9

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