Números Complexos e Polinômios

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Matemática Em Nível IME/ITA - Caio dos Santos Guimarães

Text of Números Complexos e Polinômios

  • Caio dos Santos Guimares

    Matemtica

    Em Nvel IME/ITA

    Volume 1: Nmeros Complexos e Polinmios

    1 Edio

    Editora Vestseller So Jos dos Campos SP

    2008

  • proibida a reproduo parcial ou total por quaisquer meios sem autorizao prvia do autor. Os transgressores sero punidos nos termos da lei. Denuncie o plgio, cpias ilegais, pirataria pela internet, sites para download pirata, comunidades piratas na internet anonimamente atravs do correio eletrnico do autor :

    caioguima@gmail.com

    Todos os direitos desta edio reservados a: 2008 Caio dos Santos Guimares

    Editor responsvel: Renato Brito Bastos Neto Editorao: Renato Brito Bastos Neto

    Capa: Cleiton Maciel

    Esta obra pode ser adquirida diretamente na EDITORA VESTSELLER

    atravs de sua pgina eletrnica www.vestseller.com.br

    FICHA CATALOGRFICA: Preparada por Ruth Helena Linhares Leite e Luiza Helena de Jesus Barbosa.

    B327m Guimares, Caio dos Santos

    Matemtica em Nvel IME ITA / Caio dos Santos Guimares - So Jos dos Campos: Vestseller, 2008. 324p. ; v.1.

    I. Matemtica II. Complexos (segundo grau) III. Polinmios IV. Ttulo

    CDD 531

  • FOTOCPIA

    proibida a reproduo parcial ou total por quaisquer meios

    sem autorizao prvia do autor. os transgressores sero

    punidos com base no artigo 7, da lei 9.610/98. Denuncie o

    plgio ou cpias ilegais anonimamente atravs do correio

    eletrnico do autor :

    Caioguima@gmail.com

    Todo o contedo dessa obra encontra-se registrado

    na Biblioteca Nacional do Rio de Janeiro.

  • Sumrio 01 Nmeros Complexos : Introduo

    1.1 A histria dos nmeros complexos.......................................... 07 1.2 Algumas Definies e Propriedades ...................................... 09 1.3 Representao Trigonomtrica do Complexo......................... 19 1.4 Representao Exponencial do Complexo.............................. 22 1.5 Propriedades Importantes..................................... ................. 27 1.6 Razes n-simas da unidade................................................... 35 1.7 Exerccios de Fixao ............................................................. 37

    02 Nmeros Complexos: Geometria e os Complexos

    2.1 O complexo como vetor .......................................................... 45 2.2 A Geometria Plana ................................................................. 51 2.3 Representao de Lugares Geomtricos ............................... 59 2.4 Exerccios de Fixao.............................................................. 65

    03 Nmeros Complexos: Aplicao em Somatrios

    3.1 Somatrios Binomiais ............................................................... 69 3.2 Outras Somas .......................................................................... 74 3.3 Interpretao Geomtrica......................................................... 79 3.4 Produtrios ............................................................................... 81 3.5 Exerccios de Fixao ............................................................. 82

    04 Polinmios

    4.1 A histria dos polinmios ........................................................ 86 4.2 Introduo: Razes de um polinmio ...................................... 88 4.3 Operaes com Polinmios e Fatoraes Importantes ......... 96 4.4 Relaes de Girard ................................................................ 108 4.5 Teorema de Newton ............................................................... 114 4.6 Teorema de Girard ............................................................... 117 4.7 MDC de Polinmios e Razes Comuns .................................. 122 4.8 Razes Mltiplas ..................................................................... 128 4.9 Exerccios de Fixao ............................................................. 132

    05 Polinmios: Equaes Algbricas

    5.1 Inspeo Algbrica de Razes................................................ 140 5.2 Equaes Recprocas ............................................................ 143 5.3 Transformadas Polinomiais ................................................... 150 5.4 Polinmio Interpolador de Lagrange ...................................... 161 5.5 Exerccios de Fixao ........................................................... 166

  • 06 Polinmios: Anlise Grfica de Funes Polinomiais

    6.1 Traando Grficos Polinomiais ............................................. 168 6.2 Comportamentos Especiais .................................................. 177 6.3 Teorema de Bolzano ............................................................. 187 6.4 Exerccios de Fixao ........................................................... 191

    07 Resolues Comentadas Resolues Comentadas ..................................................................... 195 Apndice Apndice.................................................................................................322

    Bibliografia Bibliografia.............................................................................................333

    Projeto Rumo ao ITA Projeto Rumo ao ITA ............................................................................334

  • Prefcio

    Os estudantes e professores do segmento IME ITA sempre estudaram

    Complexos e Polinmios por bons livros didticos, mas ainda no dispunham

    do livro que contasse todos os segredos, teoremas e artimanhas poderosas

    para a resoluo de problemas mais avanados de nvel IME ITA. O livro s

    agora foi publicado.

    Esse manual de Complexos e Polinmios do Caio Guimares pode ser

    chamado de O Livro vermelho dos Complexos e Polinmios. O autor no

    poupou esforos para revelar em sua obra todas as ferramentas poderosas

    importantes relacionadas aos Complexos e Polinmios, fornecendo ao leitor

    tanto interpretaes algbricas quanto geomtricas sempre que possvel,

    versatilidade essa que proporcionar ao leitor desse livro uma viso alm do

    alcance. Mesmo os problemas mais inquietantes agora tero solues

    elegantes e concisas, quando se dispe das melhores ferramentas para

    resolv-los. Essas ferramentas foram todas concentradas nessa obra prima.

    Assim, com muita honra que a VestSeller brinda os estudantes e

    professores de todo o Brasil com a publicao dessa obra de valor

    inestimvel. Estamos certos de que o empenho e a dedicao investidos pelo

    autor em mais de ano ano de trabalho rduo certamente foram

    compensados.

    Ganhamos todos, os estudantes, os professores e a sofrida educao

    brasileira

    Parabns ao Caio Guimares.

    Prof. Renato Brito Bastos neto

    (autor do livro Mecnica Para Vestibulandos IME ITA)

  • Apresentao O livro Matemtica em Nvel IME/ITA tem como objetivo no somente dar a base aos alunos que desejam encarar as difceis provas de vestibular do IME e do ITA, mas tambm ajudar a aumentar a barra de dificuldade das matrias de matemtica lecionadas no ensino mdio, a fim de atingir o nvel exigido nessas provas. A leitura desse material tambm indicada a professores de cursos preparatrios para pr-vestibular, principalmente aqueles com nfase nos vestibulares militares. Compilamos neste livro um material que contm tanto a carga terica que o aluno pode precisar para consulta, quanto sries de exerccios (e muitos!), com resolues, que daro a ele a confiana necessria para encarar o vestibular militar. Neste primeiro volume, abordamos dois assuntos de extrema importncia, e principalmente, reincidncia nas provas tanto do IME quanto do ITA: Nmeros Complexos e Polinmios. O nosso objetivo, neste volume, de, junto teoria bsica desses assuntos, tambm mostrar diferentes aplicaes dos mesmos, bem como diversas situaes problemas que podem ser pedidas no grande dia da prova e os grandes truques de como se comportar frente a ela.

    Caio dos Santos Guimares

    So Jos dos Campos, SP - 2008

  • Dedicatria

    Esse livro dedicado minha famlia (as pessoas mais importantes na minha vida): Ciro, Lcia, Marcos e minha companheira mais do que especial de todos os momentos, Fernanda. Amo vocs!

    Agradecimentos Gostaria de agradecer a todos colaboradores desse projeto. Em especial, os que tiveram contato direto com o trabalho. Entre elas cito meus verdadeiros amigos aqui no ITA (meus colegas de quarto), que colaboraram, no s com o apoio moral (e uma amizade fundamental), mas tambm muitas vezes com seu intelecto, ajudando na confeco de diversas partes do livro: Hlder Suzuki, Henry Wei, Rodolpho Castro, Luiz Adolfo Schiller, Rafael Daigo Hirama, Felipe Moraes. Agradeo a Alessandra Porto pela ajuda com o material para o contexto histrico do livro e pelo pessoal da AER-09 pela ajuda na reviso do material. Agradeo tambm aos colaboradores Edmilson Motta (Etapa), a SBM (Sociedade Brasileira de Matemtica) e Sergio Lima Netto, que permitiram o uso de seus artigos e trabalhos para referncia. No poderia esquecer tambm os grandes mentores que tive durante a minha preparao para o vestibular, os professores e restante da equipe GPI (RJ) Turma IME/ITA 2003-2005 (verdadeiros mestres que nunca esquecerei!). Junto a eles gostaria de agradecer aos meus companheiros de cursinho (turma IME/ITA GPI 2004): Marcello Nunes, Jorge Veloso, Vinicius Assis; sem eles, eu no teria alcanado os objetivos dos meus sonhos de passar no to sonhado vestibular. E, finalmente, gostaria de agradecer minha famlia e aos meus amigos, que sempre estiveram presente em todas as minhas