NÚMEROS COMPLEXOS

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NÚMEROS COMPLEXOS

Os Babilónios em 1700 AC já conheciam regras para resolver Equações do 2º grau.

Os Gregos demonstraram essas regras e conseguiram, por processos geométricos, obter raízes irracionais.

Na Itália do século XV (1494) Luca Pacioli ensinou em verso a regra para resolver equações do 2º grau e afirma que não há regras para resolver as do 3º grau.

Scipione Ferro (cerca de 1515) descobriu uma regra para resolver as equações do 3º grau. Mas não publicou.

Fiore desafia Tartaglia para uma disputa matemática onde inclui problemas do 3º grau. Tartaglia descobre uma fórmula e vence Fiore.

Cardano atrai Tartaglia a Milão e aí, mediante promessa de guardar segredo, Tartaglia, em verso, dá-lhe a fórmula mas não a demonstração.

Em 1542, Cardano e Ferrari visitaram Bolonha e obtiveram de Della Nave permissão de examinar os manuscritos deixados por Ferro.

Os algebristas antigos (gregos, hindus e árabes) já tinham percebido o caso embaraçoso de

b2-4ac ser negativo, mas sempre que isso acontecia os problemas não tinham solução.

Mas é ao usarem a fórmula para resolver as equações do 3º grau que surgem, em passos

intermédios raízes de números negativos em problemas com solução.

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NÚMEROS COMPLEXOS

Os números complexos surgiram para sanar uma das maiores dúvidas que atormentavam os matemáticos

𝑥2 + 1 = 0

Por isso, foi criado um número especial, que denominamos algebricamente

como i, que elevado ao quadrado resulte em -1, matematicamente:

Este novo conceito possibilitou a resolução da equação anterior

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Qual a solução da equação

NÚMEROS COMPLEXOS

Assim, foi criado um novo conjunto numérico denominado conjunto dos números complexos ou conjunto dos números imaginários, que representamos pela letra

Relação fundamental:

Assim:

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NÚMEROS COMPLEXOS O conjunto C – Conjunto dos números complexos

Principio da conservação das propriedades formais do cálculo

As novas definições de igualdade, adição e multiplicação conservam, tanto quanto possível, as propriedades formais válidas em |R.

NÚMEROS COMPLEXOS Forma algébrica de um número complexo

O número complexo possui uma parte real e outra imaginária. Como a parte imaginária conta com a presença do i, a sua forma algébrica é

a + bi

Parte real Parte imaginária

Imaginário Puro Número complexo cuja parte real é zero, isto é do tipo 𝒛 = 𝒃𝒊, 𝑏 ∈ |R

Se b = o então z = a --> Número real

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a = Re z (parte real)

b = Im z (coeficiente da parte imaginária)

NÚMEROS COMPLEXOS

Exemplos:

2 + 4i → número complexo

8 - i√2 → número complexo

6i → número imaginário puro

4 → número real

-i → número imaginário puro

i² → número real

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NÚMEROS COMPLEXOS

Um número complexo z = a + bi possui um conjugado que é representado por z, onde:

z = a – bi (lê-se conjugado de z)

z = 2 – 4i →z = 2 + 4i

z = i →z = -i

z = 1 + 2i →z = 1 - 2i

z = 2 →z = 2

z = -3 – 8i →z = -3 + 8i

Um número complexo z = a + bi possui um simétrico

que é representado por - z onde:

- z = - a – bi (lê-se simétrico de z)

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NÚMEROS COMPLEXOS

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Igualdade de números complexos (na forma algébrica)

Se z = a + bi e w = c + di z = w a = c b = d isto é, dois números complexos são iguais se e só se tiverem a mesma parte real e a mesma parte imaginária

NÚMEROS COMPLEXOS Operações na forma algébrica

Como os números reais possuem forma real e imaginária separadas, as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação diferem um pouco das habituais com números reais.

Para somar e subtrair números complexos deve-se efetuar as operações na parte real e imaginária separadamente:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Adição

Subtracção

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NÚMEROS COMPLEXOS Operações na forma algébrica

Para efetuar a multiplicação aplica-se simplesmente a propriedade distributiva e em seguida efectuam-se as operações possíveis:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²

= (ac – bd) + (ad+bc)i

Exemplos:

• (2 + 3i)(1 + i) = 2 + 2i + 3i + 3i² = 2 + 5i – 3 = -1 + 5i

• 2 (1 + i) = 2 + 2i

• (2 - i)(-3 + 2i) = -6 +4i +3i – 2i² = -4 + 7i

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NÚMEROS COMPLEXOS Operações na forma algébrica

Para se dividir números complexos, deve-se multiplicar ambos os números pelo conjugado do complexo do denominador.

22

21

2

1

.

.

zz

zz

z

z

22

5

2

5

11

5

1

2233

)1)(1(

)1)(23(

1

23

2

2 iii

i

iii

ii

ii

i

i

Exemplo:

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NÚMEROS COMPLEXOS Potências de i

Nas potências de i notam-se regularidades de quatro em quatro no expoente:

ii

i

ii

i

3

2

1

0

1

1

ii

i

ii

i

7

6

5

4

1

1

…

Deste modo, para encontrar o resultado de qualquer potência, dividimos o expoente por 4 e resolvemos a potência utilizando como expoente o resto da divisão.

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NÚMEROS COMPLEXOS Potências de i Deste modo, para encontrar o resultado de qualquer potência, dividimos o expoente por 4 e resolvemos a potência utilizando como expoente o resto da divisão.

1047 3

4

261

i 1047

i 1047 = i3 = -i

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NÚMEROS COMPLEXOS Plano de Argand Os números complexos podem ser representados num plano, onde a recta das abscissas é a recta dos números reais e a das ordenadas é a recta dos números complexos.

Afixo do número complexo

Recta dos reais

Recta dos imaginários

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