Números Números IncomensuráveisIncomensuráveis

A proporção áureaA proporção áurea

Um pouco de HistóriaUm pouco de História

Pitágoras nasceu na ilha de Samos (Grécia), por volta do ano 580 a.C. viajou pelo Egito Pitágoras nasceu na ilha de Samos (Grécia), por volta do ano 580 a.C. viajou pelo Egito e Babilônia e foi morar em Crotona (Itália) onde fundou uma sociedade secreta e e Babilônia e foi morar em Crotona (Itália) onde fundou uma sociedade secreta e comunitária, uma escola mística chamada Escola Pitagórica. Os membros dessa comunitária, uma escola mística chamada Escola Pitagórica. Os membros dessa sociedade, chamados de os pitagóricos, se dedicavam principalmente aos estudos sociedade, chamados de os pitagóricos, se dedicavam principalmente aos estudos filosóficos, matemáticos, astronômicos e musicais. Seus alunos eram divididos em duas filosóficos, matemáticos, astronômicos e musicais. Seus alunos eram divididos em duas categorias: os alunos dos três primeiros anos eram chamados categorias: os alunos dos três primeiros anos eram chamados ouvintes ouvintes e os alunos dos e os alunos dos anos seguintes, matemáticos. Somente aos matemáticos eram revelados os segredos da anos seguintes, matemáticos. Somente aos matemáticos eram revelados os segredos da matemática. É bom dizer que a palavra matemática (“o que é aprendido”) é atribuída a matemática. É bom dizer que a palavra matemática (“o que é aprendido”) é atribuída a Pitágoras. Pitágoras.

Os Pitagóricos possuíam uma filosofia de vida em que os números apresentavam Os Pitagóricos possuíam uma filosofia de vida em que os números apresentavam importância fundamental: a harmonia do universo, o movimento dos planetas, a vida importância fundamental: a harmonia do universo, o movimento dos planetas, a vida animal e vegetal, o som, a luz, tudo o que existe na natureza só podia ser explicado animal e vegetal, o som, a luz, tudo o que existe na natureza só podia ser explicado através dos números. Conta-se que o lema da Escola Pitagórica era: Tudo é número.Essa através dos números. Conta-se que o lema da Escola Pitagórica era: Tudo é número.Essa afirmação parece ter sido fortemente influenciada por uma descoberta importante da afirmação parece ter sido fortemente influenciada por uma descoberta importante da Escola Pitagórica, a explicação da harmonia musical através de frações de inteiros.Escola Pitagórica, a explicação da harmonia musical através de frações de inteiros.

A grande crise da Matemática grega A grande crise da Matemática grega

Uma das mais importantes descobertas da Escola Pitagórica foi a de que dois segmentos nem sempre são comensuráveis, ou seja, nem sempre a razão entre os comprimentos de dois segmentos é uma fração de números inteiros (número racional). Essa descoberta foi uma conseqüência direta do teorema de Pitágoras.

A descoberta de um par de segmentos não comensuráveis, como o lado e a diagonal de um quadrado, geraram uma crise na matemática. Os matemáticos gregos ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fração, foram levados a conceber grandezas incomensuráveis. 

Somente no século IV a.C., Eudoxo, com sua teoria das proporções, redefiniu um conceito mais geral de razão entre dois segmentos, permitindo, em sua teoria, definir-se a razão entre dois segmentos comensuráveis ou não.

Os Pitagóricos usaram também a secção de Os Pitagóricos usaram também a secção de ouro na construção da estrela pentagonal. ouro na construção da estrela pentagonal.

Não conseguiram exprimir como quociente Não conseguiram exprimir como quociente entre dois números inteiros, a razão entre dois números inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono regular existente entre o lado do pentágono regular estrelado (pentáculo) e o lado do pentágono estrelado (pentáculo) e o lado do pentágono regular inscritos numa circunferência. regular inscritos numa circunferência. Quando chegaram a esta conclusão ficaram Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isto era muito muito espantados, pois tudo isto era muito contrário a toda a lógica que conheciam e contrário a toda a lógica que conheciam e defendiam que lhe chamaram irracional. defendiam que lhe chamaram irracional.

Número de Ouro                Número de Ouro               

O Número de Ouro é um número irracional misterioso e enigmático que nos surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, sendo considerada por muitos como uma oferta de Deus ao mundo. Foi o primeiro número irracional de que se teve consciência que o era. Este número era o número ou secção de ouro apesar deste nome só lhe ser atribuído uns dois mil anos depois.

A designação adotada para o número de ouro é a inicial do nome do escultor e arquiteto Fídias - a letra grega f (Phi maiúsculo). Construído muitas centenas de anos depois (entre 447 e 433 a.C.), o Partenon Grego, templo representativo do século de Péricles contém a razão de Ouro no retângulo que contêm a fachada (Largura / Altura), o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa.

O número de ouro tem também, através dos tempos, influenciado a arte através do retângulo áureo que é considerado perfeito, pois é o retângulo mais agradável à visão. Nesse retângulo, a razão entre o lado maior e o lado menor é o número de ouro. Esta razão recebeu o nome Número de Ouro dos Gregos, mais especificamente do escultor grego Phidias.

A História do número de OuroA História do número de Ouro A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. A história deste enigmático número perde-se na antiguidade.

No Egito as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em No Egito as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: A razão entre a altura de uma face e conta a razão áurea: A razão entre a altura de uma face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. O Papiro de Rhind (Egípcio) refere-se a uma «razão de ouro. O Papiro de Rhind (Egípcio) refere-se a uma «razão sagrada» que se crê ser o número de ouro. Esta razão ou sagrada» que se crê ser o número de ouro. Esta razão ou secção áurea surge em muitas estátuas da antiguidade.secção áurea surge em muitas estátuas da antiguidade.

O NÚMERO DE OURO NA NATUREZAO NÚMERO DE OURO NA NATUREZA

Os números de Fibonacci podem ser usados para Os números de Fibonacci podem ser usados para caracterizar diversas propriedades na Natureza. caracterizar diversas propriedades na Natureza. O modo como as sementes estão dispostas no O modo como as sementes estão dispostas no centro de diversas flores é um desses exemplos. A centro de diversas flores é um desses exemplos. A Natureza "arrumou" as sementes do girassol sem Natureza "arrumou" as sementes do girassol sem intervalos, na forma mais eficiente possível, intervalos, na forma mais eficiente possível, formando espirais logarítmicas que tanto curvam formando espirais logarítmicas que tanto curvam para a esquerda como para a direita. O curioso é para a esquerda como para a direita. O curioso é que os números de espirais em cada direção são que os números de espirais em cada direção são (quase sempre) números vizinhos na seqüência de (quase sempre) números vizinhos na seqüência de Fibonacci. O raio destas espirais varia de espécie Fibonacci. O raio destas espirais varia de espécie para espécie de flor. Existem espirais para espécie de flor. Existem espirais relacionadas com o número de ouro, como, por relacionadas com o número de ouro, como, por exemplo, os moluscos náuticos ou a simples exemplo, os moluscos náuticos ou a simples couve-flor.couve-flor.

O NÚMERO DE OURO NA ARTEO NÚMERO DE OURO NA ARTE Uma contribuição que não pode ser deixada de referir foi a contribuição de Uma contribuição que não pode ser deixada de referir foi a contribuição de

Leonardo Da Vinci (1452-1519) . A excelência dos seus desenhos revela os Leonardo Da Vinci (1452-1519) . A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas. como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas. É lembrado como matemático apesar da sua mente irrequieta não se É lembrado como matemático apesar da sua mente irrequieta não se concentrar na aritmética, álgebra ou geometria o tempo suficiente para fazer concentrar na aritmética, álgebra ou geometria o tempo suficiente para fazer uma contribuição significativa. Representa bem o homem tipo da renascença uma contribuição significativa. Representa bem o homem tipo da renascença que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Leonardo era um gênio de que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Leonardo era um gênio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de matemática, nomeadamente o número de ouro, nas suas obras de arte. Um matemática, nomeadamente o número de ouro, nas suas obras de arte. Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas de Leonardo, que foi baseada nos pentágonos, estrelado e cinco pontas de Leonardo, que foi baseada nos pentágonos, estrelado e regular, inscritos na circunferência. regular, inscritos na circunferência.

Um dos quadros mais célebres de Leonardo da Vinci: Mona Lisa, pintado Um dos quadros mais célebres de Leonardo da Vinci: Mona Lisa, pintado por cerca de 1505, feito em madeira, 77 x 53 cm., Paris, Louvre. Também por cerca de 1505, feito em madeira, 77 x 53 cm., Paris, Louvre. Também

contém o número de Ouro, ou melhor, o retângulo de Ouro.contém o número de Ouro, ou melhor, o retângulo de Ouro.

A PROPORÇÃO ÁUREA NA ARQUITETURAA PROPORÇÃO ÁUREA NA ARQUITETURA

Um retângulo considerado perfeito é o Retângulo de Ouro, nele a Um retângulo considerado perfeito é o Retângulo de Ouro, nele a razão entre o lado maior e o lado menor é o número de ouro. A razão entre o lado maior e o lado menor é o número de ouro. A razão entre a largura e o comprimento do retângulo de ouro foi razão entre a largura e o comprimento do retângulo de ouro foi considerada a mais agradável à visão.considerada a mais agradável à visão. Podem-se encontrar Podem-se encontrar retângulos de ouro associados a numerosas obras de arquitetura tal retângulos de ouro associados a numerosas obras de arquitetura tal como o Parthenon, em Atenas, nas obras do arquiteto Lê Corbusier. como o Parthenon, em Atenas, nas obras do arquiteto Lê Corbusier. Uma dessas obras de lê Corbusier aparece ilustrada na abaixo onde Uma dessas obras de lê Corbusier aparece ilustrada na abaixo onde se pode notar claramente a utilização de retângulos áureos.se pode notar claramente a utilização de retângulos áureos.

Entre 1942 e 1948, Le Entre 1942 e 1948, Le Corbusier desenvolveu um Corbusier desenvolveu um sistema de medição que ficou sistema de medição que ficou conhecido por “Modulor”. O conhecido por “Modulor”. O Modulor está baseado na Modulor está baseado na razão de ouro e nos números razão de ouro e nos números de Fibonacci e usa também as de Fibonacci e usa também as dimensões médias humanas dimensões médias humanas (dentro das quais 183 cm é a (dentro das quais 183 cm é a altura standard). O Modulor é altura standard). O Modulor é uma seqüência de medidas uma seqüência de medidas que Le Corbusier usou para que Le Corbusier usou para encontrar harmonia nas suas encontrar harmonia nas suas composições arquiteturais. O composições arquiteturais. O Modulor foi publicado em Modulor foi publicado em 1950.1950.

A PROPORÇÃO ÁUREA NA MÚSICAA PROPORÇÃO ÁUREA NA MÚSICA

Pitágoras em seus pensamentos sobre a Pitágoras em seus pensamentos sobre a estrutura do universo, razões e proporções estrutura do universo, razões e proporções elaborou uma teoria que vinculava a música, elaborou uma teoria que vinculava a música, o espaço e os números.o espaço e os números.

Em duas cordas, de mesmo material, sob Em duas cordas, de mesmo material, sob mesma tensão e sendo a primeira o dobro do mesma tensão e sendo a primeira o dobro do comprimento da segunda, quando tocadas, a comprimento da segunda, quando tocadas, a corda mais curta irá emitir um tom uma corda mais curta irá emitir um tom uma oitava acima da corda mais longa, devido a oitava acima da corda mais longa, devido a sua freqüência ter o dobro do valor. Ou seja, sua freqüência ter o dobro do valor. Ou seja, a relação de 1:2 compreende a relação a relação de 1:2 compreende a relação sonora de uma oitava.sonora de uma oitava.

Se dividirmos a corda mais curta pela Se dividirmos a corda mais curta pela metade, obtendo a relação de 2:4, o tom será metade, obtendo a relação de 2:4, o tom será de duas oitavas acima da corda inicial. Por de duas oitavas acima da corda inicial. Por outro lado, a relação de 3:4 nos dá um tom outro lado, a relação de 3:4 nos dá um tom uma quarta acima do tom inicial, e a relação uma quarta acima do tom inicial, e a relação de 2:3 apresenta um tom uma quinta acima.de 2:3 apresenta um tom uma quinta acima.

Desta maneira, Pitágoras elaborou relações entre sons, o tamanho das cordas e Desta maneira, Pitágoras elaborou relações entre sons, o tamanho das cordas e as razões de 1:2:3:4. Ainda sobre os pensamentos pitagóricos, podemos obter as razões de 1:2:3:4. Ainda sobre os pensamentos pitagóricos, podemos obter três tipos de proporções: (a) a proporção geométrica se estabelece entre oitavas três tipos de proporções: (a) a proporção geométrica se estabelece entre oitavas de um tom, ou seja, 1:2:4 o tom uma oitava acima e duas oitavas acima; (b) a de um tom, ou seja, 1:2:4 o tom uma oitava acima e duas oitavas acima; (b) a proporção aritmética, ao se apropriar da relação de 2:3:4, se estabelece ao proporção aritmética, ao se apropriar da relação de 2:3:4, se estabelece ao trabalhar o som de uma oitava em uma quinta e uma quarta e (c) a proporção trabalhar o som de uma oitava em uma quinta e uma quarta e (c) a proporção harmônica envolve a diferença dos valores das frações medianas, isto é, na harmônica envolve a diferença dos valores das frações medianas, isto é, na relação de 6:8:12, 8 excede 6 em um terço da mesma maneira que 12 excede 8 relação de 6:8:12, 8 excede 6 em um terço da mesma maneira que 12 excede 8 também em um terço.também em um terço.

A proporção harmônica pode ser considerada uma subversão da proporção A proporção harmônica pode ser considerada uma subversão da proporção aritmética, trabalhando o som de uma oitava em uma quarta e uma quinta. Na aritmética, trabalhando o som de uma oitava em uma quarta e uma quinta. Na música, existem artigos que relacionam as composições de Mozart, Bethoveen música, existem artigos que relacionam as composições de Mozart, Bethoveen (Quinta Sinfonia), Schubert e outros com a razão áurea. Pode-se verificar na (Quinta Sinfonia), Schubert e outros com a razão áurea. Pode-se verificar na figura abaixo que até mesmo a construção de instrumentos, como exemplo o figura abaixo que até mesmo a construção de instrumentos, como exemplo o violino, está relacionado com a proporção áurea.violino, está relacionado com a proporção áurea.

www.unimesp.edu.br/arquivos/mat/tcc06/Artigo_Andreia_Aparecida_Dias.pdfwww.unimesp.edu.br/arquivos/mat/tcc06/Artigo_Andreia_Aparecida_Dias.pdf http:http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htm//www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htm