Números inteiros e Geometria. Explorando a ideia de número positivo e número negativo Fuso horário civil Se em Londres for meia-noite, no Brasil serão

Números inteiros e Geometria

Números inteiros e GeometriaExplorando a ideia de número positivo e número negativoFuso horário civil

Se em Londres for meia-noite, no Brasil serão 9 horas da noite, pois o fuso horário de Brasília em relação a Londres é –3 (menos 3 ou 3 negativo).

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2009

.

2


Temperatura

No Brasil, a unidade de medida de temperatura que usamos é o grau Celsius (ºC).

As temperaturas maiores do que 0 ºC são as de medidas acima de zero. Dizemos que elas têm valor positivo (+3 ºC, +25 ºC, +36 ºC, etc.). As temperaturas menores que 0 ºC são medidas abaixo de zero. Dizemos que elas têm valor negativo (‒4 ºC, ‒9 ºC, ‒25 ºC, etc.).

PAULO MANZI/ARQUIVO DA EDITORA

Explorando a ideia de número positivo e número negativo

3

Números inteiros e GeometriaO conjunto dos números inteiros

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou = {0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ...}ℕ

Observe agora o conjunto dos números inteiros negativos:

{..., ‒6, ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1}

Reunindo os números naturais ( ) com os números inteiros negativos,ℕobtemos o conjunto dos números inteiros, que é representado assim:

ℤ = {..., ‒6, ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6 }

4


+ =

O conjunto dos números inteiros

• 1• 2• 3• 4

ℕ

•••

• ‒1• ‒2• ‒3• ‒4

•••

• ‒2• ‒1• 0• 1• 2

ℤ •••

•••

5


A representação dos números inteiros em uma reta


0r

‒ 1‒ 2‒3‒4‒5 +5+4+3+2+1... ...

6


A representação dos números inteiros em uma reta

O ponto X está no sentido positivo, a 3 unidades de O: corresponde aonúmero inteiro 3 ou +3.

O ponto Y está no sentido negativo, a 1 unidade de O: corresponde aonúmero inteiro –1.


0r

+5+4+3+2+1 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13 +14‒10‒11‒ 12 ‒9 ‒8 ‒7 ‒6 ‒5 ‒4 ‒3 ‒2 ‒1

S R P Y O I X W

7


A distância do ponto A (representado por –2) à origem (O) é 2 unidades.

O número 2, que expressa a distância de A à origem, é chamado de valorabsoluto ou módulo do número inteiro –2. Indicamos assim: |–2| = 2.

módulo

Note que a distância do ponto B (representado por +2) à origem (O) também é 2 unidades, ou seja, o valor absoluto ou o módulo de +2 também é 2. Simbolicamente |+2| = 2.


Módulo ou valor absoluto de um número inteiro

0‒1‒2‒3 +3+2+1

A O B

8


Módulo ou valor absoluto de um número inteiro

O módulo de um número diferente de zero é sempre positivo.

|–3| = 3 |23| = 23

|–21| = 21 |–105| = 105

9

Números inteiros e GeometriaNúmeros opostos ou simétricos

A O B

0‒1‒2‒3‒4 +4+3+2+1... ...

• O simétrico de +3 –(+3) = ‒3• O oposto de –4 –(‒4) = +4 ou 4

• ‒2 e +2 são números simétricos

10


Comparação de números inteiros

Comparar dois números significa dizer se o primeiro é maior do que (>),menor do que (<) ou igual (=) ao segundo número.

–3 < +3P

AU

LO M

AN

ZI/A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

11


Qualquer número negativo é menor que o número positivo.

–1 > –3

O menor número entre dois números negativos é aquele tem o maior módulo.


Comparação de números inteiros

PA

ULO

MA

NZI

/AR

QU

IVO

DA

ED

ITO

RA

12

Números inteiros e GeometriaAdição de números inteiros

Somando inteiros positivos

Quando as duas parcelas são positivas, o resultado da adição é semprepositivo e o módulo do resultado é obtido somando os módulos das parcelas.

(+4) + (+3) = 4 + 3 = 7 ou +7

Somando inteiros negativos

Quando as duas parcelas são negativas, o resultado da adição é semprenegativo e seu módulo é obtido somando os módulos das parcelas.

(–4) + (–3) = –4 – 3 = – 7

(+5) + (+6) = +5 + 6 = +11

(–2) + (–1) = –2 – 1 = –3

13


Somando inteiros opostos

Quando as duas parcelas são dois números inteiros opostos ou simétricos, oresultado é zero.

(–7) + (+7) = –7 + 7 = 0 (–5) + (+5) = –5 + 5 = 0

Somando inteiros não opostos

Quando as parcelas têm sinais diferentes e não são números opostos, o sinal do resultado é o sinal do número que tem maior módulo. E o módulo do resultado é obtido subtraindo o módulo menor do módulo maior.

(–2) + (+5) = –2 + 5 = +3 (–9) + (+3) = –9 + 3 = –6

Adição de números inteiros

14

Números inteiros e GeometriaPropriedades da adição

Propriedade comutativaA ordem das parcelas não altera a soma.

(–3) + (+7) = +4(+7) + (–3) = +4

(–3) + (+7) = (+7) + (–3)

Propriedade associativa[(–7) + (+4)] + (+3) = [–3] + (+3) = 0

(–7) + [(+4) + (+3)] = (–7) + (+7) = 0[(–7) + (+4)] + (+3) = (–7) + [(+4) + (+3)]

Propriedade do elemento neutro (+5) + 0 = 0 + (+5) = +5 (–3) + 0 = 0 + (–3) = (–3) = –3

O zero é o elemento neutro da adição.

Propriedade do elemento oposto O oposto de –5 é +5, pois (–5) + (+5) = 0

15

Números inteiros e GeometriaSubtração de números inteiros

(–9) – (+2) = –9 – 2 = –11

o sinal de “menos” indica o oposto do +2, ou seja, –2.

O sinal de menos na frente do parênteses, colchetes ou chaves indica ooposto do número.

(–5) – (– 3) =

oposto de (–3), que é +3

–5 + 3 = –2

No conjunto dos números inteiros (ℤ), a subtração é sempre possível.

16

Números inteiros e GeometriaAdição algébrica e soma algébricaUma expressão numérica que contém somente as operações de adição e subtração representa uma adição algébrica.

15 – [18 – (–6 – 9)] =

= 15 – [18 – (–15)] =

= 15 – [18 + 15] =

= 15 – 33 =

= –18

Assim, –18 é a soma da expressão15 – [18 – (–6 – 9)].

10 + {–12 + [5 – (1 – 9)] – 7} =

= 10 + {–12 + [5 – (–8)] – 7} =

= 10 + {–12 + [5 + 8] – 7} =

= 10 + {–12 + 13 – 7} =

= 10 + {–6} =

= 10 – 6 =

= 4

Assim, 4 é a soma da expressão10 + {–12 + [5 – (1 – 9)] – 7}.

17

Números inteiros e GeometriaMultiplicação de números inteiros

Multiplicação de dois números inteiros positivos

(+3) . (+5) = 0 . (+8) = 0

3 . 5 = 15

(+10) . (+5) = +50

A multiplicação de dois números inteiros positivos dá como resultado um número inteiro positivo. Os módulos devem ser multiplicados.

Multiplicação de dois números inteiros com sinais diferentes(+5) . (– 3) = 5 . (– 3) = (– 3) + (– 3) + (– 3) + (– 3) + (– 3) = – 15

(– 7) . (+5) = – (+7) . (+5) = – (+35) = –35

O resultado da multiplicação (produto) de dois números inteiros de sinaisdiferentes é sempre negativo e seu módulo é o produto dos módulos dosdois fatores.

+15

18

Números inteiros e GeometriaMultiplicação de dois números negativos

(–5) . (–3) = – (+5) . (–3) =

(–5) = – (+5)

+15

O resultado da multiplicação de números com sinais diferentes é sempre um número negativo.

O resultado da multiplicação (produto) de dois números inteiros negativos é sempre positivo, e seu módulo é o produto dos módulos dos dois fatores.

(–5) . (–3) . (+2) = (+15) . (+2) = +30

(–5) . (–3) . (–2) = (+15) . (–2) = –30

Nos demais casos, contamos o número de fatores negativos: se esse número for par, o resultado será positivo; se esse número for ímpar, o resultado será negativo.

– (–15) =

19

Números inteiros e GeometriaPropriedades da multiplicação em ℤ

Propriedade comutativa(–2) . (+5) = –10

(+5) . (–2) = –10(–2) . (+5) = (+5) . (–2)

A ordem dos fatores não altera o produto.

Propriedade associativa[(–8) . (+9)] . (+3) = (–72) . (+3) = –216

(–8) . [(+9) . (+3)] = (–8) . (+27) = –216[(–8) . (+9)] . (+3) = (–8) . [(+9) . (+3)]

Propriedade do elemento neutro

(+6) . (+1) = (+1) . (+6) = +6 O número +1 é o elemento neutro da multiplicação.

Propriedade distributiva(+3) . [(+2) + (–5)] = (+3) . (+2) + (+3) . (–5) = +6 – 15 = –9

20

Números inteiros e GeometriaDivisão de números inteiros

A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Se 3 . 5 = 15, então 15 : 5 = 3 e 15 : 3 = 5.

(+20) : (+5) = (+4)

(–30) : (–6) = (+5)

(+40) : (–5) = (–8)

sinais diferentes

Não existe divisão por zero.

Nem sempre é possível realizar a divisão em . Por exemplo, (–7) : (+2) ℤnão pode ser realizada em , pois o ℤquociente não é um número inteiro.

21

Números inteiros e GeometriaPotenciação: número inteiro na base e número natural no expoente

Base 0 e expoente diferente de 0

01 = 0 02 = 0 . 0 = 0

Base positiva(+8)1 = +8

(+2)3 = (+2) . (+2) . (+2) = +8

Base negativa(–5)1 = –5 (–6)2 = (–6) . (–6) = +36

Quando o expoente é ímpar, o sinal do resultado é negativo e seu módulo éobtido fazendo a potenciação do módulo da base. Quando o expoente é par, o sinal do resultado é positivo e seu módulo é obtido fazendo a potenciação do módulo da base.

22


Produto de potências de mesma base:am . an = am + n

Quociente de potências de mesma base:

am : an = am – n, com a ≠ 0

Potência de uma potência:

(am)n = am . n

Propriedades da potenciação em ℤ

Potência de um produto ou de um quociente:

(a . b)n = an . bn = , (b ≠ 0)

23

Números inteiros e GeometriaRaiz quadrada exata de número inteiro

Raiz quadrada exata dos números inteiros positivos e do zero

A raiz quadrada de um número negativo é impossível em ℤ

Por exemplo:

Por exemplo:

= 3, pois 3 . 3 = 9, podemos escrever = +3, pois (+3)2 = +9.

é impossível em , pois não existe número inteiro que elevado ℤao quadrado dê +10.

é impossível em , pois não existe número inteiro que elevado ℤao quadrado dê –9.

24

Números inteiros e GeometriaRepresentação de pares ordenados de números inteiros no plano

Coordenadas cartesianas

Cada quadrado representa 1 quarteirão

(–2, 4) Localiza-se a piscina

(2, –2) Localiza-se o supermercado

PA

ULO

MA

NZI

/AR

QU

IVO

DA

ED

ITO

RA

25

Números inteiros e GeometriaOutras expressões numéricas com números inteiros

Exemplos:

(–3 + 9 – 1 – 7)2 =

= (–11 + 9)2 =

= (–2)2 =

= +4

= (+6) : (+2) + (+25) . (–4) =

= (+3) + (–100) =

= –97

(–2) . [(–3) – (–2)] =

= (–2) . [(–3) + (+2)] =

= (–2) . (–1) =

= +2

: (+2) + (–5)2 . (–4) =

26


Contornos (linhas fechadas)

Contorno e linhas abertas têm uma única dimensão, o comprimento.

Linhas abertas

Alguns tipos de figuras geométricas

27

Números inteiros e GeometriaAlguns tipos de figuras geométricas

28

Figuras espaciais ou sólidos geométricos

Regiões planas

As figuras espaciais também são chamadas de tridimensionais.

As regiões planas também são chamadas de bidimensionais.


Poliedros:Apresentam somente faces planas.

Corpos redondos:Apresentam partes não planas.

Outros sólidos geométricos:Possuem partes não planas e planas.

Sólidos geométricos

29

Números inteiros e GeometriaPoliedros

30

PrismasPrismas retos Prismas oblíquos

vértice

aresta

base

base

face lateral

Números inteiros e GeometriaPirâmides retas

Pirâmides oblíquas O tetraedro regular

Tetra: quatro;edro: face;Tetraedro: quatro faces.

base

face lateral

ZOR

AN

KA

RA

PA

NC

EV

/ S

HU

TTE

RS

TOC

K /

GLO

W IM

AG

ES

31

Link paraambiente online

Números inteiros e GeometriaRelação de Euler

32

V + F = A + 2

Números inteiros e GeometriaCorpos redondos

33

Cilindros oblíquos e retos

Cone oblíquo e reto

Esfera

base

base

base

centro

diâmetro


Polígonos convexos Polígonos não convexos

Triângulo (3 lados)Quadrilátero (4 lados)Pentágono (5 lados)

Hexágono (6 lados)Heptágono (7 lados)Octógono (8 lados)

Eneágono (9 lados)Decágono (10 lados)Icoságono (20 lados)

Polígono é uma linha fechada simples (que não se cruza), formada apenas por segmentos de reta, todos de um mesmo plano.

Polígonos

34

Números inteiros e GeometriaPolígonos

35

Diagonais de um polígono convexo

Se um polígono convexo tem n lados, então o número de diagonais (d) éobtido pela fórmula:

d =

Números inteiros e GeometriaRegiões planas

36

cuboregião plana

região retangular

região plana circular ou círculo

região plana triangular

região plana retangular

Números inteiros e GeometriaRegiões planas poligonais

37

Região plana cujo contorno é um polígono.

Regiões poligonais convexas

Regiões poligonais não convexas

Números inteiros e GeometriaRegiões planas e arte

PA

UL

KLE

E /

GA

LER

IA R

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EN

GA

RT,

LU

CE

RN

A (S

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A)

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SIL

A D

O A

MA

RA

L / M

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-US

P, S

ÃO

PA

ULO

/ C

ED

IDO

PO

R T

AR

SIL

A

38

Números inteiros e GeometriaVistas de uma figura espacial

39

pirâmide

vista das facesvista superior vista inferior

Números inteiros e GeometriaSimetria

40

Figuras com simetria em relação a mais de um eixo

RO

BE

RT

MC

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Y /

ALL

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NA

DA

PH

OTO

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TOC

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GA

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