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5.º ano – Números e Operações
Tópicos Objectivos específicos Notas Calendarização Tarefas
PFCM ESE DGIDC
Números naturais
• Números primos e compostos
• Decomposição em factores primos
• Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum de doisnúmeros
• Critérios de divisibilidade
• Potências de base e expoente naturais
• Potências de base 10
• Propriedades das operações e regras operatórias
• Identificar e dar exemplos de números primos e distinguir números primos de números compostos.
• Decompor um número em factores primos.
• Compreender as noções de mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum de dois números e determinar o seu valor.
• Utilizar os critérios de divisibilidade de um número.
• Interpretar uma potência de expoente natural como um produto de factores iguais.
• Identificar e dar exemplos de quadrados e de cubos de um número e de potências de base 10.
• Calcular potências de um número e determinar o produto e o quociente de potências com a mesma base ou com o mesmo expoente.
• Compreender as propriedades e regras das operações e usá-las no cálculo.
• Resolver problemas que envolvam as propriedades da adição, subtracção, multiplicação e divisão bem como potenciação, mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum.
• Solicitar exemplos de números primos menores que 100.
• Pedir a decomposição em factores primos, pelo menos de números menores que 20.
• Para determinar o valor do m.m.c. e do m.d.c. de dois números, usar quer a decomposição em factores primos, quer a representação dos seus múltiplos e divisores.
• Considerar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 9 e 10.
• Estudar regularidades com potências, por exemplo, regularidades do algarismo das unidades de potências com a mesma base e expoentes diferentes.
• Solicitar os quadrados até 12 x12 e os cubos de 2, 3, 4, 5 e 10.
• Dar destaque ao trabalho com potências de base 10.
• Usar a calculadora no cálculo de potências.
14 blocos Divisores de um número
Os números não são todos iguais!
Números primus
Marcadores em caixas
Medicamentos a horas
Critérios de divisibilidade
Mais critérios de divisibilidade
Quadrados e áreas...cubos e volumes
Vamos arrumar caramelos
Rectângulos e mais rectângulos
Decomposições e mais decomposições
Potências e regularidades
Divisores de um número
O que é um divisor de um número? É um número que divide exactamente outro. Por exemplo, o 5 é divisor de 10, mas o 4 não é.
Encontra os conjuntos dos divisores dos números menores que 20.
Procura regularidades nesses conjuntos de divisores.
PROGRAMA DA MATEMÁTICAFORMAÇÃO CONTÍNUA PFCM 2009/10
www.esev.ipv.pt/mat1ciclo
Aprendizagens prévias
• Compreender os efeitos das operações sobre os números.
Compreender o sistema de numeração decimal.
Aprendizagens visadas
Identificar e dar exemplos de múltiplos e de divisores de um número natural.
Compreender que os divisores de um número são divisores dos seus múltiplos
(e que os múltiplos de um número são múltiplos dos seus divisores).
Interpretar a informação e ideias matemáticas representadas de diversas
formas.
Representar informação e ideias matemáticas de diversas formas.
Apresentação e desenvolvimento pelo professor
Esta tarefa tem como objectivo trabalhar com os alunos os conceitos de divisor
e de múltiplo. Embora sejam tópicos do 1.º Ciclo (NPMEB), uma vez que estes alunos
que agora estão no 5.º ano não os trabalharam, esta tarefa, de natureza exploratória,
visa suprir essa falta.
A tarefa está prevista para ser realizada durante 90 minutos. Depois da
apresentação da tarefa, os alunos trabalham em pequenos grupos durante 30 minutos,
ficando o tempo restante para a apresentação e discussão de resultados e para a
institucionalização das ideias e respectivos registos. Durante a realização do trabalho
autónomo dos alunos, o professor deve assegurar-se de que os alunos trabalham de
modo produtivo, não dando demasiadas informações, mas também não deixando os
alunos bloqueados.
A ideia de divisor de um número é discutida no âmbito da relação da divisão
como operação inversa da multiplicação. Um número diz-se divisor de outro se existe
um número natural que multiplicado pelo primeiro dá como resultado o segundo. Por
isso, na tarefa, o 5 é divisor do 10 porque existe o número inteiro 2, tal que 2x5=10. Tal
já não acontece com o 4, que não é divisor de 10, porque não existe nenhum número
natural que multiplicado por 4 dê o 10. Nestes termos, é importante explorar a relação
entre os conceitos de divisor e de múltiplo, sublinhando que se o 5 é divisor do 10
porque o divide, então o 10 é múltiplo do 5 porque resulta do primeiro por
multiplicação de um número natural.
Durante este trabalho é importante representar o conjunto dos divisores de um
número, introduzindo a notação. A análise destes conjuntos deve permitir concluir que
os conjuntos de divisores são conjuntos finitos, de que fazem sempre parte a unidade
e o próprio número e que todos os números pares admitem o divisor 2. É também
importante sublinhar que alguns números só têm dois divisores e que outros têm um
número ímpar de divisores – neste último caso é de explorar o facto de estes números
poderem ser obtidos como o produto de dois factores iguais.
Esta aula constitui também uma oportunidade para o professor fazer uma
primeira abordagem à ideia de máximo divisor comum (m.d.c.) a partir da comparação
dos divisores de dois ou mais conjuntos. Por exemplo, pode questionar Qual é o maior
divisor comum aos números naturais 15 e 20? Esta questão pode ser colocada assim
ou inserida numa situação da realidade.
Explorações dos alunos
Os alunos representam, em compreensão e em extensão, o conjunto dos
divisores dos números naturais menores que 20. Os alunos apercebem-se que em
todos os conjuntos de divisores aparece o número 1 e que só nos conjuntos dos
divisores de números pares surge o número 2. Os alunos observam que qualquer
número é divisor de si próprio. Para além disso, descobrem que alguns números (1, 4,
9, 16) têm um número ímpar de divisores, ao contrário de todos os outros que têm um
número par de divisores. Os alunos concluem que nesses casos, o número que
multiplicado pelo divisor dá o número inicial é ele próprio (por ex. 3 é divisor de 9 por
existe o natural 3 tal que 3x3=9).
Os alunos concluem que se um número é divisor de outro, então o outro é
múltiplo do primeiro. Por exemplo, se o 10 é divisor do 20, então o 20 é múltiplo do
10.
Os números não são todos iguais!
Observa os dados apresentados na folha de cálculo seguinte. Experimenta com outros números. O que podes concluir?
Como se chamam os números que encontraste quanto ao seu número de divisores? Pesquisa a sua origem histórica.
PROGRAMA DA MATEMÁTICAFORMAÇÃO CONTÍNUA PFCM 2009/10
www.esev.ipv.pt/mat1ciclo
Aprendizagens prévias
• Compreender os efeitos das operações sobre os números.
Compreender o sistema de numeração decimal.
• Identificar e dar exemplos de múltiplos e de divisores de um número natural.
Aprendizagens visadas
Identificar e dar exemplos de números primos e distinguir números primos de
números compostos.
Interpretar a informação e ideias matemáticas representadas de diversas
formas.
Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos.
Apresentação e desenvolvimento pelo professor
Esta tarefa, uma exploração, vem aprofundar a ideia de divisor de um número
trabalhada com a tarefa anterior – divisores de um número. Está prevista para ser
realizada durante 45 minutos, com os alunos aos pares.
Nesta tarefa, os alunos são confrontados com uma tabela em que se registam
dados numéricos, pelo que é necessário que interpretem a informação nela contida,
relacionando linhas com colunas.
A ideia de divisor de um número surge a partir de quocientes de um dado
número (em linha) por todos os números naturais menores ou iguais a ele (em coluna).
Quando esse quociente é inteiro, então o número natural (coluna 1) é divisor do
primeiro. A partir desta análise, os alunos encontram os divisores de um número (é
importante que o professor estabeça ligação com a tarefa anterior).
Neste trabalho, os alunos podem usar unicamente papel e lápis ou recorrer
também à calculadora e ao computador (neste último caso, o professor pode preparar
previamente uma folha de cálculo com os dados constantes na tabela e estimular os
alunos a construírem outras colunas com novos números).
Uma vez que os quocientes da tabela são números naturais e números
racionais (estes últimos representados por dízimas finitas e infinitas periódicas), o
professor pode aproveitar para fazer uma breve abordagem aos números racionais.
Explorações dos alunos
Os alunos começam por interpretar a tabela, lendo a informação constante na
linha 1 e na coluna ª Depois, analisam os dados constantes nas células, identificando os
números como quocientes dos números das colunas pela sequência de números
naturais menores ou iguais a cada um deles. A partir dos quocientes inteiros, os alunos
identificam o conjunto dos divisores de um número (estabelecendo, assim, ligação à
tarefa anterior). Os alunos identificam os números com dois divisores como números
primos e os outros como números compostos. O 1 é visto como um caso particular,
não sendo número primo nem número composto.
Números Primus
A palavra latina primus, que significava originalmente primeiros, resultou em português em primos.
Encontra os números primos menores que 50.
Multiplica esses números primos, iguais ou diferentes, 2 a 2, 3 a 3... . Que números obténs?
Será que consegues obter todos os números naturais por esse processo?
PROGRAMA DA MATEMÁTICAFORMAÇÃO CONTÍNUA PFCM 2009/10
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Aprendizagens prévias
• Compreender os efeitos das operações sobre os números.
Compreender o sistema de numeração decimal.
Aprendizagens visadas
Identificar e dar exemplos de números primos e distinguir números primos de
números compostos.
Interpretar uma potência de expoente natural como um produto de factores
iguais.
Representar informações e ideias matemáticas de diversas formas.
Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos.
Apresentação e desenvolvimento pelo professor
Esta tarefa, uma exploração, pode ser realizada durante 90 minutos. Depois da
apresentação da tarefa (que o professor pode aproveitar para enquadrar
historicamente, fazendo referência ao desenvolvimento da Matemática e, em
particular, deste tema pelos Gregos), os alunos trabalham aos pares ou em grupos de 3
a 4 elementos.
Na sequência das aulas anteriores, em que os alunos iniciaram o contacto com
a ideia de número primo, nesta aula os alunos começam por encontrar os números
primos até 50. Neste trabalho, os alunos podem recorrer unicamente ao papel e lápis
ou ter à sua disposição instrumentos auxiliares de cálculo. A identificação da sequência
dos números primos menores que 50 pode também ser conseguida a partir da
pesquisa em manuais, internet ou em algum outro material informativo que o
professor possa fornecer. Desta forma, os alunos podem ganhar algum tempo, que
depois utilizam na segunda parte da tarefa quando se focam nos números compostos.
Para encontrar os números compostos, os alunos iniciam o seu trabalho
multiplicando os números primos que descobriram antes. Nesta fase, é importante
que o professor esteja atento, de forma a evitar que os alunos se dispersem. Duas
indicações podem ser dadas: fazer registos adequados dos números primos que estão
a ser usados em cada momento, da sua multiplicação e do seu produto. A outra
prende-se com o encontrar de um método de abordagem à situação, que pode passar
com iniciar os produtos com dois factores primos, começando pelos menores. Para a
abordagem à última parte da tarefa, e dependendo dos números compostos já
encontrados por cada grupo na fase anterior, pode ser sugerido que os alunos façam o
raciocínio inverso relativamente aos números compostos que ainda não obtiveram
como produtos de números primos. Desta forma, avança-se para a ideia de
decomposição dos números compostos num produto de factores primos. Deste
trabalho, surgirá naturalmente a necessidade de ter uma forma expedita de
representar produtos de factores iguais através de potências. Isso pode ser
particularmente evidente com a decomposição de números como o 16 e o 27.
A fase de discussão, que preencherá os últimos 45 minutos da aula, é
fundamental para que os diversos grupos possam explicar e justificar o trabalho
realizado, representando matematicamente as suas ideias. Deste trabalho, deve
resultar a institucionalização dos conceitos, neste caso de número primo e número
composto, a decomposição de um número composto em produto de números primos
e potência de um número natural.
Explorações dos alunos
Depois de os alunos encontrarem a sequência de números primos menores que
50, vão procurar números compostos resultantes do produto de números primos.
Depois de um trabalho inicial, é provável que os alunos verifiquem que não estão a
encontrar todos os números por composição. Então, podem focar-se nos números
compostos que ainda não obtiveram e fazer o raciocínio inverso, ou seja, decompor os
números em produtos de números primos.
A discussão da última questão é igualmente um momento em que os alunos
serão conduzidos à ideia de generalização e, neste caso, à formulação de conjecturas.
Assim, os alunos conjecturam que se reunirem os números primos com os números
compostos (e ainda o 1) podem obter todos os números naturais.
Medicamentos a horas
O Pedro está doente e foi a uma consulta médica. O médico receitou-lhe três
medicamentos: uns comprimidos, para tomar de 3 em 3 horas, um xarope, para tomar
de 6 em 6 horas, e uns supositórios, para tomar de 8 em 8 horas.
O Pedro vai tomar estes medicamentos durante uma semana. Como começou ao
meio-dia do dia 4 de Outubro, tomando os 3 medicamentos, quando voltará a tomar
os três medicamentos em simultâneo? Quantas vezes vai acontecer isso durante o
tratamento?
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Marcadores em caixas
I
A fábrica de marcadores coloridos SIUL embala, em caixas de 100
marcadores, estojos de 5, 10, 20... marcadores.
Que outros números de marcadores a fábrica pode colocar nesses
estojos para fazer as caixas de 100? Será que pode colocar nessas
caixas os estojos de 12 marcadores? Porquê?
Haverá alguma relação entre a decomposição em produtos de factores primos do 100 e dos 5,
10, 12...?
II
A fábrica está numa fase de remodelação dos seus produtos,
estando a pensar em introduzir uma nova caixa para embalagem
dos estojos (com 120 marcadores) e um estojo único. Como as
caixas de 100 se vão manter, quantos marcadores pode ter o
maior estojo para ser colocado em ambas as caixas (de 100 e
120)?
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Critérios de divisibilidade I
Critério é uma palavra de origem grega que significa “regra que permite tomar
decisões”. Na Matemática temos critérios de divisibilidade, que são regras que nos
permitem saber se determinado número é divisível por outro sem fazer qualquer conta
(algoritmo).
Por exemplo, precisas de fazer o algoritmo da divisão para saber se 2009 é divisível por
2? Com certeza que não!
Recorrendo aos teus conhecimentos e a cálculos que tenhas necessidade de efectuar, faz
uma proposta de critérios de divisibilidade por: 2, 5, 10, 100 e 1000.
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Critérios de divisibilidade II
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 são exemplos de números divisíveis por 3. A partir da
observação destes números, conjectura o critério de divisibilidade por 3.
Como será para o 9? E para o 4?
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Quadrados e áreas...cubos e volumes
I
Desenha no teu papel quadriculado um quadrado de lado duas unidades de comprimento (considera a unidade de comprimento o lado de uma quadrícula).
Qual a sua área, em quadrículas? (escreve também a área na forma de um produto)
Desenha outros quadrados de lados 3, 4, 5, 6... e repete o procedimento anterior.
Que nome têm os números que obtiveste e qual a sua origem histórica?
II
Consegues estabelecer uma relação semelhante à anterior entre cubos, volumes e potências?
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