1 O nmero concreto Como surgiu o nmero?Alguma vez parou para pensar nisso? Certamente j imaginou que um dia algum teve uma ideia genial e de repente inventou o nmero. Mas no foi bem assim.

A descoberta do nmero no aconteceu de repente, nem foi uma nica pessoa a responsvel por essa faanha. O nmero surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e coisa. Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, os ns de uma corda, marcas num osso...

Com o passar do tempo, este sistema foi-se aperfeioando at dar origem ao nmero. Hoje ns j sabemos lidar com os mais diferentes tipos de nmeros:

At ao final da histria saber em que poca e porque que o homem inventou cada um desses nmeros.

Contando objetos com outrosobjetosH mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e cavernas para se esconder dos animais selvagens e proteger-se da chuva e do frio. Veja estes caadores.

Para registar os animais mortos numa caada, eles limitavam-se a fazer marcas numa vara. Nessa poca o homem alimentava-se daquilo que a natureza oferecia: caa, frutos, sementes, ovos. Quando descobriu o fogo, apreendeu a cozinhar os alimentos e a proteger-se melhor contra o frio. A escrita ainda no tinha sido criada. Para contar, o homem fazia riscos num pedao de madeira ou em ossos de animais. Um pescador, por exemplo, costumava levar consigo um osso de lobo. A cada peixe que conseguia tirar da gua, fazia um risco no osso.

Mais ou menos h 10.000 anos, o homem comeou a modificar bastante o seu sistema de vida. Em vez de apenas caar e coletar frutos e razes, passou a cultivar algumas plantas e criar animais. Era o incio da agricultura, graas

qual aumentava muito a variedade de alimentos de que podia dispor. E para dedicar-se s actividades de plantar e criar animais, o homem no podia continuar a deslocar-se de um lugar para outro como antes. Passou ento a fixar-se num determinado lugar, geralmente nas margens de rios e cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: a de construir sua prpria moradia.

Comearam a surgir as primeiras comunidades organizadas, com chefe, diviso do trabalho entre as pessoas etc.. Com a l das ovelhas eram tecidos panos para a roupa.

O trabalho de um pastor primitivo era muito simples. De manh bem cedo, ele levava as ovelhas para pastar. noite recolhia as ovelhas, guardando-as dentro de um cercado.

Mas como controlar o rebanho? Como Ter certeza de que nenhuma ovelha havia fugido ou sido devorada por algum animal selvagem? O jeito que o pastor arranjou para controlar o seu rebanho foi contar as ovelhas com pedras. Assim: Cada ovelha que saa para pastar correspondia a uma pedra. O pastor colocava todas as pedras num saquinho. No fim do dia, medida que as ovelhas entravam no cercado, ele ia retirando as pedras do saquinho. Que susto levaria se aps todas as ovelhas estarem no cercado, sobrasse alguma pedra! Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de anos mais tarde, haveria um ramo da Matemtica chamado Clculo, que em latim quer dizer contas com pedras.

Construindo o conceito denmeroFoi contando objetos com outros objetos que a humanidade comeou a construir oconceito de nmero. Para o homem primitivo o nmero cinco, por exemplo, sempre estaria ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco bastes, cinco animais, e assim por diante. A idia de contagem estava relacionada com os dedos da mo. Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco. Do mesmo modo os caadores contavam os animais abatidos, traando riscos na madeira ou fazendo ns numa corda, tambm de cinco em cinco.

Para ns, hoje, o nmero cinco representa a propriedade comum de infinitas colees de objetos: representa a quantidade de elementos de um conjunto, no importando se trata de cinco bolas, cinco skates, cinco discos ou cinco aparelhos de som. por isso que esse nmero, que surgiu quando o homem contava objetos usando outros objetos, um nmero concreto.

2 Os nmeros naturais Os egpcios criam os smbolosPor volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas nas margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas actividades iam surgindo, graas sobretudo ao desenvolvimento do comrcio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores s suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam dedicar-se a outras actividades, tornando-se artesos, comerciantes, sacerdotes, administradores...

(?)

Como consequncia desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pr-Histria e o comeo da Histria.

Os grandes progressos que marcaram o fim da Pr-Histria verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egipto. Para fazer os projetos de construo das pirmides e dos templos, o nmero concreto no era nada prtico. Ele tambm no ajudava muito na resoluo dos difceis problemas criados pelo desenvolvimento da indstria e do comrcio.

Como efectuar clculos rpidos e precisos com pedras, ns ou riscos num osso? Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egipto passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleco atravs de desenhos os smbolos. A criao dos smbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemtica. Na Pr-Histria, o homem juntava 3 bastes com 5 bastes para obter 8bastes. Hoje sabemos representar esta operao por meio de smbolos.

3+5=8Muitas vezes no sabemos nem que objetos estamos a somar. Mas isso no importa: a operao pode ser feita da mesma maneira. Mas como eram os smbolos que os egpcios criaram para representar os nmeros?

Contando com os egpciosH mais ou menos 3.600 anos, o fara do Egipto tinha um sbdito chamado Aahmesu, cujo nome significa Filho da Lua. Aahmesu ocupava na sociedade egpcia uma posio muito mais humilde que a do fara: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu mais conhecido do que muitos faras e reis do Antigo Egipto. Entre os cientistas, ele chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.

O papiro Ahmes um antigo manual de Matemtica . Contm 80 problemas, todos resolvidos.

A maioria envolve assuntos do dia-a-dia, como o preo do po, a armazenagem de gros de trigo, a alimentao do gado. Observando e estudando como eram efetuados os clculos no Papiro Ahmes, no foi difcil aos cientistas compreenderem o sistema de numerao egpcio. Alm disso, a decifrao dos hierglifos inscries sagradas das tumbas e monumentos do Egipto no sculo XVIII tambm foi muito til. O sistema de numerao egpcio baseava-se em sete nmeros-chave:

1 10 100 1.000 10.000100.000 1.000.000Os egpcios usavam smbolos para representar esses nmeros.

Um trao vertical representava 1unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o nmero 10: Um lao valia 100 unidades: Uma flor de ltus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egpcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:

Todos os outros nmeros eram escritos combinando os nmeros-chave. Na escrita dos nmeros que usamos actualmente, a ordem dos algarismos muito importante. Se tomarmos um nmero, como por exemplo:

256e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros nmeros completamente diferentes:

265 526 562 625 652Ao escrever os nmeros, os egpcios no se preocupavam com a ordem dos smbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos smbolos no ser a mesma, os trs garotos do Antigo Egito esto escrevendo o mesmo nmero:

45 Os papiros da MatemticaegpciaQuase tudo o que sabemos sobre a Matemtica dos antigos egpcios baseia-se em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscovo. O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1858 por um antiqurio escocs chamado Henry Rhind. Por isso conhecido tambm como Papiro de Rhind. Actualmente encontra-se no British Museum, de Londres. O Papiro de Moscovo uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se actualmente em Moscovo. No se sabe nada sobre o seu autor.

A tcnica de calcular dosegpciosCom a ajuda deste sistema de numerao, os egpcios conseguiam efectuar todos os clculos que envolviam nmeros inteiros. Para isso, empregavam uma tcnica de clculo muito especial: todas as operaes matemticas eram efectuadas atravs de uma adio. Por exemplo, a multiplicao 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.

13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9+9+9A tabela abaixo ajuda a compreender como os egpcios concluam a muliplicao:

Nmero de parcelas 1 2 4 8 9

Resultado 18 36 72

Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das trs colunas destacadas:

1 + 4 + 8 = 13O resultado da multiplicao 13 * 9 era a soma dos resultados desta trs colunas:

9 + 36 + 72 = 117Os egpcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos clculos com nmeros inteiros. Mas, em muitos problemas prticos, eles sentiam necessidade de expressar um pedao de alguma coisa atravs de um nmero. E para isso os nmeros inteiros no serviam.

Descobrindo a fraoPor volta do ano 3.000 a.C., um antigo fara de nome Sesstris... ... repartiu o solo do Egito nas margens do rio Nilo entre os seus habitantes.Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o fara mandava funcionrios examinarem e determinarem por medida a extenso exacta da perda. Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Herdoto, h cerca de 2.300 anos. O rio Nilo atravessa uma vasta plancie.

Uma vez por ano, na poca das cheias, as guas do Nilo sobem muitos metros acima do seu leito normal, inundando uma vasta regio ao longo das suas margens. Quando as guas baixam, deixam descoberta uma estreita faixa de terras frteis, prontas para o cultivo.

Desde a Antiguidade, as guas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egipto. Foi nas terras frteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilizao egpcia. Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado. Sesstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados. Todos os anos, durante o ms de Junho, o nvel das guas do Nilo comeava a subir. Era o incio da inundao, que durava at Setembro. Ao avanar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor. Usavam cordas para fazer a medio. Havia uma unidade de medida assinalada na prpria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Da, serem conhecidas como estiradores de cordas. No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um nmero inteiro de

vezes no lados do terreno. Foi por essa razo que os egpcios criaram um novo tipo de nmero: o nmero fracionrio. Para representar os nmeros fraccionrios, usavam fraces.

As complicadas fraces egpciasOs egpcios interpretavam a fraco somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas as fraces unitrias, isto , comnumerador igual a 1. Para escrever as fraces unitrias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador. As outras fraces eram expressas atravs de uma soma de fraces de numerador 1. Os egpcios no colocavam o sinal de adio - + - entre as fraces, porque os smbolos das operaes ainda no tinham sido inventados. No sistema de numerao egpcio, os smbolos repetiam-se com muita frequncia. Por isso, tanto os clculos com nmeros inteiros quanto aqueles que envolviam nmeros fraccionrios eram muito complicados. Assim como os egpcios, outros povos tambm criaram o seu prprio sistema de numerao. Porm, na hora de efectuar os clculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas esbarravam sempre nalguma dificuldade. Apenas por volta do sculo III a.C. comeou a formar-se um sistema de numerao bem mais prctico e eficiente do que os outros criados at ento: o sistema de numerao romano.

Contando com os romanosDe todas as civilizaes da Antiguidade, a dos romanos foi sem dvida a mais importante. O seu centro era a cidade de Roma. Desde da sua fundao, em 753 a.C., at ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., os seus habitantes enfrentaram um nmero

incalculvel de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquista de novos territrios. Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a pennsula Itlica e o restante da Europa, alm de uma parte da sia e o norte de frica.

Apesar de a maioria da populao viver na misria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufrudas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana. Foi nesta Roma de misria e luxo que se desenvolveu e aperfeioou o nmero concreto, que vinha sendo usado desde a poca das cavernas. Como foi que os romanos conseguiram isso?

O sistema de numerao romanoOs romanos foram espertos. Eles no inventaram smbolos novos para representar os nmeros; usaram as prprias letras do alfabeto.

I V X LC D MComo ser que eles combinaram estes smbolos para formar o seu sistema de numerao?

O sistema de numerao romano baseava-se em sete nmeros-chave: I tinha o valor 1. V valia 5. X representava 10 unidades. L indicava 50 unidades. C valia 100. D valia 500. M valia 1.000. Quando apareciam vrios nmeros iguais juntos, os romanos somavam os seus valores. II = 1 + 1 = 2 XX = 10 + 10 = 20 XXX = 10 + 10 + 10 = 30 Quando dois nmeros diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraam os seus valores. IV = 4 porque 5 - 1 = 4 IX = 9 porque 10 1 = 9 XC = 90 porque 100 10 = 90 Mas se o nmero maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores. VI = 6 porque 5 + 1 = 6 XXV = 25 porque 20 + 5 = 25 XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36 LX = 60 porque 50 + 10 = 60

Ao lermos o cartaz, ficamos a saber que o exercto de Roma fez numa certa poca MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um nmero como MCDV, veja os clculos que os romanos faziam:

Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor. M = 1.000 Como antes de M no tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor. D = 500 Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes. D C = 500 100 = 400 Somavam 400 ao valor de M, porque CD est depois e M. M + CD = 1.000 + 400 = 1.400 Sobrava apenas o V. Ento: MCDV = 1.400 + 5= 1.405

Os milharesComo acabou de ver, o nmero 1.000 era representado pela letra M. Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000. E os nmeros maiores que 3.000? Para escrever 4.000 ou nmeros maiores que ele, os romanos usavam um trao horizontal sobre as letras que

representavam esses nmeros. Um trao multiplicava o nmero representado abaixo dele por 1.000. Dois traos sobre o M davam-lhe o valor de 1 milho. O sistema de numerao romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era difcil efectuar clculos com este sistema. Por isso, matemticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente smbolos mais simples e mais apropriados para representar os nmeros. E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na ndia uma das mais notveis invenes de toda a histria da Matemtica: O sistema de numerao decimal.

Afinal os nossos nmerosNo sculo VI foram fundados na Sria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa espcie de clube onde os scios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grcia. Ao participar numa conferncia num destes clubes, em 662, o bispo srio Severus Sebokt, profundamente irritado com o facto de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo:

Existem outros povos que tambm sabem alguma coisa! Os hindus, por exemplo, tm valiosos mtodos de clculos. So mtodos fantsticos! E imaginem que os clculos so feitos por apenas nove sinais!. A referncia a nove, e no dez smbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numerao a inveno do zero - ainda no tinha chegado ao Ocidente. A ideia dos hindus de introduzir uma notao para uma

posio vazia um ovo de ganso, redondo ocorreu na ndia, no fim do sculo VI . Mas foram necessrios muitos sculos para que esse smbolo chegasse Europa. Com a introduo do dcimo sinal o zero o sistema de numerao tal qual o conhecemos hoje estava completo. At chegar aos nmeros que ns aprendemos a ler e escrever, os smbolos criados pelos hindus mudaram bastante. Hoje, estes smbolos so chamados de algarismos indoarbicos. Se foram os matemticos hindus que inventaram o nosso sistema de numerao, o que que os rabes tm a ver com isso? E por que que os smbolos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9se chamam algarismos?

Os rabes divulgam ao mundo osnmeros hindusSimbad, o marujo, Aladim e sua lmpada maravilhosa, Harum al-Raschid so nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim so apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagd, do ano 786 at 809. Durante o seu reinado os povos rabes travaram uma srie de guerras de conquista. E como prmios de guerra, livros de diversos centros cientficos foram levados para Bagd e traduzidos para a lngua rabe.

Em 809, o califa de Bagd passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid. Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convico. No h ningum mais culto em todos os ramos do saber do que eu. Como era um apaixonado da cincia, o califa procurou tornar Bagd o maior centro cientfico do mundo, contratando os grandes sbios muulmanos da poca.

Entre eles estava o mais brilhante matemtico rabe de todos os tempos: alKhowarizmi. Estudando os livros de Matemtica vindos da ndia e traduzidos para a lngua rabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a princpio com aqueles estranhos smbolos que incluam um ovo de ganso! Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numerao, todos os clculos seriam feitos de um modo mais rpido e seguro. Era impossvel imaginar a enorme importncia que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemtica.

Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez smbolos hindus. Com o livro de al-Khowarizmi, matemticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numerao hindu. Os smbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ficaram conhecidos como a notao de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latinoalgorismus. Da o nome algarismo. So estes nmeros criados pelos matemticos da ndia e divulgados para outros povos pelo rabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema de numerao decimal conhecidos como algarismos indo-arbicos.

Os nmeros racionaisCom o sistema de numerao hindu ficou fcil escrever qualquer nmero, por maior que ele fosse.

0 13 35 98 1.024 3.645.872Como estes nmeros foram criados pela necessidade prtica de contar as coisas da natureza, eles so chamados de nmeros naturais. Os nmeros naturais simplificaram muito o trabalho com nmeros fraccionrios. No havia mais necessidade de escrever um nmero fraccionrio por meio de uma adio de dois fraccionrios, como faziam os matemticos egpcios. O nmero fraccionrio passou a ser escrito como uma razo de dois nmeros naturais. A palavra razo em matemtica significa diviso. Portanto, os nmeros inteiros e os nmeros fraccionrios podem ser expressos como uma razo de dois nmeros naturais. Por isso, so chamados de nmeros racionais. A descoberta dos nmeros racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemtica.

3 Os nmeros reais Os pitagricos so confrontadoscom os nmeros irracionais.Depois de durante milnios ter utilizado os nmeros para contar, medir, calcular, o homem comeou a especular sobre a natureza e propriedades dos prprios nmeros. Desta curiosidade nasceu a Teoria dos Nmeros, um dos ramos mais profundos da matemtica. A Teoria dos Nmeros nasceu cerca de 600 anos antes de Cristo quando Pitgoras e os seus discpulos comearam a estudar as propriedades dos nmeros inteiros. Os pitagricos rendiam verdadeiro culto mstico ao conceito denmero, considerando-o como essncia das coisas. Acreditavam que tudo no universo estava relacionado com nmeros inteiros ou razes de nmeros inteiros (em linguagem actual, nmeros racionais). Alis, na antiguidade a designaonmero aplicava-se s aos inteiros maiores do que um. Esta crena foi profundamente abalada quando usaram o Teorema de Pitgoras para calcular a medida da diagonal de um quadrado unitrio. Como eles apenas conheciam os nmeros racionais (naturais e fraces de naturais) foi com grande surpresa e choque que descobriram que havia segmentos de recta cuja medida no pode ser expressa por um nmero racional. Essa descoberta atribuida a um aluno de Pitgoras que tentava descobrir a medida da diagonal de um quadrado de lado 1.

Ao descobrirem que a diagonal de um quadrado de lado 1 no era uma razo entre dois inteiros (em linguagem actual, que a raz quadrada de 2 um nmero irracional) os Pitagricos consideraram quebrada a harmonia do universo, j que no podiam aceitar a raz

quadrada de dois como um nmero, mas no podiam negar que esta raz era a medida da diagonal de um quadrado unitrio. Convencidos de que os deuses os castigariam caso divulgassem aquilo que lhes parecia uma imperfeio divina, tentaram ocultar a sua descoberta. Segundo reza a lenda, o primeiro membro da seita Pitagrica que divulgou esta descoberta morreu afogado num naufrgio sendo a sua alma aoitada pelas ondas para todo o sempre. Assim, o nmerohumanidade se deparou. ter sido o primeiro nmero irracional com que a

raiz quadrada de 2 no um nmero racional: -DemonstraoAristteles (384-322 a.C.), como exemplo de uma demonstrao por reduo ao absurdo, demonstrou que a raiz quadrada de 2 no um nmero racional, isto , no se pode escrever como uma fraco de dois nmeros inteiros. Por absurdo, suponha-se que existem dois nmeros naturais p e q, primos entre si, tais que (isto , suponhamos a fraco escrita na forma ) seria e

A

irredutvel) e . Ento, , um nmero par (porque e, consequentemente, p tambm par (porque se fosse mpar seria para algum nmero natural k e mpar). Se p um nmero par, existe um natural k tal que assim . Ento q seria par (porque absurdo visto que p e q so primos entre si.

par), o que

O

nmero irracional

O nmero pi (representado habitualmente pela letra grega T ) o irracional mais famoso da histria, com o qual se representa a razo constante entre o permetro de qualquer circunferncia e o seu dimetro .

Se pensarmos que ao dar a volta Lua seguindo um dos seus crculos mximos, percorremos aproximadamente 10920 Km e se dividirmos este valor pelo dimetro da Lua que 3476 Km iremos verificar que esta razo de 3,14154200, este nmero -nos familiar, aproximadamente 3,14. Na realidade, como nmero irracional, pi expresso por uma dizima infinita no peridica, que nos dias de hoje com a ajuda dos computadores j possivel determinar com centenas de milhes de casa decimais. Aqui aparece o valor de pi obtido com a calculadora do windowsXP3,141592653589793238462643383279...

A histria doEra uma vez...

T

assim que comea a histria de um nmero que s ser chamado Pi no sculo XVIII, inicia-se com o estudo da relao que existe entre o permetro, p, de uma circunferncia e o seu dimetro, d. A existncia de uma relao constante entre a circunferncia de um crculo e o seu dimetro era conhecida por muitas das civilizaes antigas. Tanto os Babilnios como os Egpcios sabiam que esta razo era maior que 3.

BabilniaO estudo desta relao preocupou os babilnios h 4000 mil anos, e uma tabela cuneiforme da poca props sem explicao e sem notao algbrica a frmula

donde se tira que , esta trata-se da primeira aproximao conhecida que apresenta uma casa decimal correcta.

EgiptoUm pouco mais tarde, em 1800 a.C. o clebre Papiro Rhind mostrava que para uma circunferncia de dimetro d a rea dada por:

o que quer dizer que:

como

temos:

Um outro papiro famoso, o papiro de Moscou, contm uma frmula para se calcular a rea da esfera, em que atribudo a T o valor de 3,14. Isto evidncia que a medio Egpcia da circunferncia tinha erro menor do que um por cento.

Antigo TestamentoO velho testamento descreve uma bacia circular feita por Hiram de Tiro. A bacia descrita como sendo um "lago de dez cbitos, de margem a margem, circular, cinco cbitos de fundo, e trinta em redor" o que fazia T igual a 3. Contudo, neste ponto da histria j se sabia que o T era maior do que 3.Nota: A bacia tinha raio 5 cbitos e permetro igual a 30 cbitos ento,

GrciaEmbora muitas civilizaes antigas tenham observado atravs de medies que a razo do circulo a mesma para crculos de diferentes tamanhos, os Gregos foram os primeiros que explicaram porqu. uma simples propriedade das figuras semelhantes. Os antigos Gregos foram provavelmente os primeiros a compreender que T e , so nmeros muito diferente dos nmeros

inteiros ou dos nmeros racionais (razo de inteiros) que eles usavam nas suas matemticas. Arquimedes (287/212 a.C.) conseguiu melhorar um pouco a aproximao dada ao nmero T . Aproximando a circunferncia por polgonos regulares de 12, 24, 48 e 96 lados, descobre que o valor de T se encontra encontra limitado pelos seguintes valores:

ou seja, 3,14085 < T < 3,142857, obtendo uma aproximao com duas casas decimais correctas.

Depois de CristoNo ano 400 d.C. o livro indiano "Paulisha Siddhnta" usa o valor 3177/1250 paraT, anos mais tarde, Tsu Chung-Chi (430/501 d.C.) descobre que o valor de T se encontra entre 3,1415926 e 3,1415927: 3,1415926 < T < 3,1415927. Por volta de 499 d.C., aparece, num tratado indiano sobre matemtica e astronomia intitulado " ryabhata", dados para a obteno de T : "Adicione-se 4 a 100, multiplique-se o resultado por 8 e adicione-se 62.000. O resultado aproximadamente o comprimento da circunferncia de dimetro 20.000." Donde sai o valor aproximado 3,1416 para T, que uma boa aproximao com 3 casas decimais correctas.

Mais tarde os investigadores obtiveram melhores aproximaes para T usando polgonos com mais lados do que aqueles que foram usadospor Arquimedes. Um impressionante clculo Chins com um polgono com mais de 3.000 lados deu cinco dcimas ao T. Os Chineses tambm encontraram uma fraco simples 355/113 o que difere do T por menos de 0.0000003. A aproximao racional 355/113 foi redescoberta no sculo XVI pelo engenheiro alemo Adriaan Anthoniszoon. No mesmo sculo, outro alemo, Adriaen van Rooman, usou o mtodo de Arquimedes com 230 lados para obter 15 casas decimais para T . Alguns anos mais tarde Ludolph Van Ceulen (1539/1610), professor de matemtica e cincias militares na Universidade de Leyden, obteve o valor de T com 20 casas decimais, depois com 32 e mais tarde, em 1615, estendeu este resultado a 35 casas decimais. Os Alemes ficaram to estupefactos com este clculo que durante anos chamaram ao T o nmero Ludolfino. Consta que essa sua aproximao de T teria sido gravada na pedra tumular do autor, pedra essa que se perdeu. Mais interessante ainda o facto de, ainda hoje na Alemanha, T ser frequentemente designado como nmero ludolfino.

Embora as pessoas se tenham interessado durante sculos pela razo do crculo, o uso da letra grega T como um smbolo que designa esta razo relativamente recente. O ingls William Jones (1675/1749) geralmente reconhecido como o primeiro a usar o smbolo T para esta razo. O smbolo apareceu no seu livro Synopsis Palmariarum Malheseos, publicado em 1706, o qual inclua 100 casas decimais para T calculado por John Machin (1680/1752). A frmula da autoria de Machin dada por:

Machin recorreu a alguma trigonometria para elaborar a seguinte demonstrao, considerou:

donde,

A letra c (para circunferncia) e p (para permetro) foram muitas vezes usadas para a razo do crculo, mas aletra grega p tornou-se bastante aceite depois de Leonhard Euler us-la no seu famoso livro Introductio in Analysin Infinitorum, publicado em 1748. Acredita-se que a letra p foi escolhida por ser a primeira letra das palavras gregas para permetro e periferia.

As pessoas calculavam mais e mais casas decimais para p , procurando encontrar padres que se repetissem, mas nenhum foi encontrado. Em 1761 um matemtico Alemo, Johann Lambert usou uma fraco continua para a tangente trignomtrica de um ngulo que mostra conclusivamente que p irracional, isto , p no razo de dois inteiros. Tambm, A. M. Legendre, em 1794 vem provar o mesmo que Lambert. A estes dois, segue-se Vega que em 1796 d uma aproximao de pcom 140 casas decimais. E em 1844, um Vienense, d uma aproximao com 205 casas decimais. Um novo record para calcular p foi alcanado em 1874 por Willian Shanks, com 707 casas decimais. Infelizmente, houve um erro a partir da 528 casa, que s foi descoberto em 1945 quando D. F. Ferguson completou o clculo com mais de 530 casas decimais.

Sculo XXFoi a partir do sculo XX, mais concretamente a partir de 1949, com o auxilio dos computadores e de algoritmos computacionais que se foi descobrindo um nmero cada vez maior de casas decimais para T. Um algoritmo, da autoria de Brent e Salamin (1975), foi utilizado pelos japoneses Y. Kanada, Y. Tamura, S. Yoshino, Y. Ushiro que o implementaram, em 1983, obtendo-se assim 16 milhes de algarismos. Estas contas foram posteriormente verificadas por meio da relao de Gauss, o que mostrou que as primeiras 10.013.395 casas estavam correctas. Gosper, utilizando um algoritmo, calculou, em 1985, 17 milhes de algarismos e, Bailey, em Janeiro de 1986, atingiu o record de 29 milhes. Em Setembro de 1986, Kanada obteve 33.554.000 algarismos, depois em Janeiro de 1987, consegue calcular 227 algarismos e por ltimo em Janeiro de 1988 chega a 201.326.551 algarismos. Anos mais tarde, Bailey e Gregory Chudnovsky, da Columbia University, calcularam mais de um bilio de casas decimais para T, este valor foi ultrapassado em 1995, por investigadores japoneses que obtiram trs bilies de casas decimais para T. Em Setembro de 1995, Yasumana Kanada, depois de ter colocado o seu computador Hitachi a trabalhar durante mais de 250 horas, obteve 6.442.450.939 casas decimais exactas deste nmero. Este recorde acaba por ser ultrapassado quando em Junho de 1997 obtm 51.539.600.000 casas decimais exactas!

Em Outubro de 1996, o francs Fabrice Bellard de 25 anos, calcula o valor de T mas em numerao binria, atingindo sucessivamente as fasquias de 400 bilies, mas em Setembro de 1997 ele consegue atingir 1.000 bilio de casas decimais para T, ao fim de 25 dias de clculo intensivo em computadores ligados em rede atravs da Internet, tendo sido usada uma frmula desenvolvida em 1995 por matemticos da Universidade Simon Fraser, mas aperfeioada por Bellard

Curiosidades sobre o nmero Ty y

Albert Einstein, nasceu no dia do T, dia 14 de Maro de 1879 Pi o nome da organizao de espionagem da Alemanha de Leste, no filme de Alfred Hitchcock de 1966, A Cortina Rasgada. Hiroyuki Goto estabeleceu um novo recorde mundial em 1995, ao recitar de cor as primeiras 42000 casas decimais de T. Gastou pouco mais de 9 horas. No aparecem zeros nos primeiros 31 dgitos de T.

y

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A fraco fraco

usada frequentemente como aproximao para o T. A uma excelente aproximao para o valor de T.

y

Em Abril de 1995, a agncia Reuter noticiou que um rapaz chins de doze anos de idade, Zhang Zhuo, recitou de memria o valor de T at 4000 casas decimais. Aparentemente, ter demorado apenas cerca de vinte e cinco minutos. T um nmero ideal para a exibio de talentos, tais como a memorizao de nmeros, visto que os seus algarismos no obedecem a qualquer padro. Considerando as primeiras 6.000.000.000 casas decimais de T temos que: o 0 ocorre 599963005 vezes, o 1 ocorre 600033260 vezes, o 2 ocorre 599999169 vezes, o 3 ocorre 600000243 vezes, o 4 ocorre 599957439 vezes,

y

y

o 5 ocorre 600017176 vezes, o 6 ocorre 600016588 vezes, o 7 ocorre 600009044 vezes, o 8 ocorre 599987038 vezes e o 9 ocorre 600017038 vezes.y

Pi o nome de um perfume!

Mnemnicas para decorar algumas casas decimais de

T

Contando as letras de cada uma das palavras que formam a frase ficas a conhecer aproximaes de T Sim, til e fcil memorizar um nmero grato aos sbios 3, 1 4 1 5 9 2 6 5 3 6

At a nado a Maria encontrou na margem peixe bem lindo 3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5

Sou o medo e temor constante do menino vadio

3 1

4

1

5

9

2

6

5

Os conjuntos numricosConjunto dos nmeros Naturais - ININ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Conjunto dos nmeros Inteiros = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} , isto ,

Conjunto dos nmeros Inteiros relativos > = { ..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}Z = { nmeros naturais } {0}

>

{ nmeros inteiros negativos }

O conjunto dos nmeros naturais e o conjunto dos nmeros inteiros esto contidos no conjunto dos nmeros inteiros relativos, isto ,

Conjunto dos nmeros racionais - QO conjunto dos nmeros racionais composto pelos nmeros inteiros relativos,dzimas finitas e dzimas infinitas peridicas.

Fraces e dzimasAs dzimas finitas e as dzimas infinitas peridicas podem ser representadas por fraces. Por exemplo:

Como representar a dzima infinita peridica 0,7777777777... por uma fraco?

Assim,

Ser que

0,999999... = 1?!1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1 0,3333... + 0,3333... + 0,3333... = 1 somando temos 0,9999... = 1

Vamos a proceder demonstrao:

Qualquer fraco representa sempre uma dzima finita ou uma dzima infinita peridica logo, uma fraco um nmero racional. Um erro muito frequente dos alunos nos testes considerar, por exemplo, a fraco como sendo um nmero irracional. Este erro resulta do facto de os alunos fazerem a diviso obtendo um resultado que sugere estarem na presena de uma dzima infinita no peridica o que no o caso. Concluindo: Q = {nmeros inteiros relativos} peridicas} {dzimas finitas} {dzimas infinitas

Nota: uma fraco um nmero racional.

Conjunto dos nmeros reais - IRO conjunto dos nmeros reais composto pelos nmeros racionais mais as dzimas infinitas no peridicas, isto , composto pelos nmeros racionais e pelos nmeros irracionais.

Exemplos de nmeros irracionais Todas as razes quadradas de nmeros naturais que no sejam quadrados perfeitos, isto se a raiz quadrada de um nmero natural no for inteira, irracional. Logo so irracionais...

Nmeros representveis por dzimas infinitas no peridicas como TJ e,0,01001000100001... , 2,32332333233332... so nmerosirracionais.

IR = Q IR = Q

{dzimas infinitas no peridicas} {nmeros irracionais}

Resumindo:

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