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Níveis de energia do átomo de Hélio
PPGFIS – Estágio Supervisionado em Prática de Docência
Leticia da Silva Maioli
21 de Novembro de 2019
H = H0 +W
H0 =𝑷𝟏2
2𝑚𝑒+
𝑷𝟐2
2𝑚𝑒+ 𝑉𝑐 𝑅1 + 𝑉𝑐(𝑅2)
W = −2𝑒2
𝑅1−2𝑒2
𝑅2+
𝑒2
𝑹𝟏 − 𝑹𝟐− 𝑉𝑐 𝑅1 − 𝑉𝑐(𝑅2)
O Hamiltoniano
𝑉𝑐 𝑟 é escolhido de modo que 𝑊 seja uma pequena correção de 𝐻0.
Os níveis de energia de 𝐻0 definem as configurações eletrônicas.
onde
++
−
−
𝑹𝟏
𝑹𝟐
𝑹𝟏 − 𝑹𝟐
Ec = E𝑛,𝑙 + 𝐸𝑛′,𝑙′
Estado fundamental
1º estado excitado
2º estado excitado
E
Estados fundamental e excitados
Um estado pertencente a dada configuração é definido por (𝑛, 𝑙, 𝑚, 휀) e
(𝑛′, 𝑙′, 𝑚′, 휀′).
| 𝑛, 𝑙,𝑚, 휀; 𝑛′, 𝑙′, 𝑚′, 휀′ =1
21 − 𝑃21 | 1: 𝑛, 𝑙, 𝑚, 휀; 2: 𝑛′, 𝑙′, 𝑚′, 휀′
Princípio de Pauli exclui os estados do sistema onde ambos os elétrons
encontram-se em mesmo estado quântico individual (𝑛 = 𝑛′, 𝑙 = 𝑙′,𝑚 = 𝑚′, 휀 = 휀′ ).
A degenerescência das configurações
A degenerescência da configuração 𝑛 𝑙 , 𝑛′ 𝑙′
𝑛 ≠ 𝑛′ e 𝑙 ≠ 𝑙′ :
2 2𝑙 + 1 × 2 2𝑙′ + 1 = 4(2𝑙 + 1)(2𝑙′ + 1)
Configuração 1s, 2s Degenerescência = 4
Configuração 1s, 2p Degenerescência = 12
𝑛 = 𝑛′, 𝑙 = 𝑙′ :
𝐶2(2𝑙+1)2 = (2𝑙 + 1)(4𝑙 + 1)
Configuração 1𝑠2 não é degenerado.
| 1𝑠2 = | 1: 1, 0, 0 ; 2: 1, 0, 0 ⨂1
2(| 1: + ; 2: − − | 1:− ; 2: +
A degenerescência das configurações
𝑊,𝑳 =𝑒2
𝑅12, 𝑳 = 0 𝑊, 𝑺 = 0
Usando teoria de perturbação estacionária, buscamos diagonalizar a
matriz de 𝑊 no subespaço ℰ 𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ . Seus autovalores correspondem
às correções na Energia da configuração 𝐸𝑐.
Os operadores 𝑳𝟐, 𝑺𝟐, 𝐿𝑧, 𝑆𝑧 comutam entre si e com 𝑊.
Formam C.C.O.C. no subespaço ℰ 𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ ?
| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆 = 𝑐 1 − 𝑃21 { 1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛′, 𝑙′ ; 𝐿,𝑀𝐿 ⨂ 𝑆 ,𝑀𝑆 }
{ 1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛′, 𝑙′ ; 𝐿,𝑀𝐿 ⨂ 𝑆 ,𝑀𝑆 }
Considerando a base do subespaço ℰ𝑛,𝑙 1 ⨂ℰ𝑛′,𝑙′ 2
𝑳𝟐, 𝑺𝟐, 𝐿𝑧, 𝑆𝑧formam C.C.O.C. no subespaço ℰ 𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ ? Sim.
𝑃21𝑆| 1: 휀 ; 2: 휀′ = | 1: 휀′ ; 2: 휀
𝑃21𝑆| 𝑆 ;𝑀𝑆 = −1 𝑆+1| 𝑆 ;𝑀𝑆
𝑃21 = 𝑃21(0)
⨂𝑃21𝑆
| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆 =
= 𝑐 1 − −1 𝑆+1 𝑃210 1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛′, 𝑙′ ; 𝐿,𝑀𝐿 ⨂ 𝑆 ,𝑀𝑆
Operador permutação:
Capítulo X:
Nem sempre a dimensão do subespaço ℰ(𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ ) é igual a dimensão
de ℰ𝑛,𝑙 1 ⨂ ℰ𝑛,′ 𝑙′ 2 .
𝑛 ≠ 𝑛′ e 𝑙 ≠ 𝑙′
Todos os valores de L e S são possíveis.
Configuração 1𝑠2𝑠𝑆 = 0 e 𝐿 = 0𝑆 = 1 e 𝐿 = 1
Configuração 1𝑠2𝑝
Nem sempre a dimensão do subespaço ℰ(𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ ) é igual a dimensão
de ℰ𝑛,𝑙 1 ⨂ ℰ𝑛,′ 𝑙′ 2 .
𝑛 = 𝑛′ e 𝑙 = 𝑙′
𝑙, 𝑙 ;𝑚,𝑚′ | 𝐿 ,𝑀𝐿 = −1 𝐿 𝑙, 𝑙 ;𝑚′, 𝑚 | 𝐿 ,𝑀𝐿
𝑃21(0)
| 1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛, 𝑙 ; 𝐿,𝑀𝐿 = −1 𝐿| 1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛, 𝑙 ; 𝐿,𝑀𝐿
| 1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛′, 𝑙′ ; 𝐿,𝑀𝐿 =
𝑚
𝑚′
𝑙, 𝑙 ; 𝑚,𝑚′ | 𝐿 ,𝑀𝐿 | 1: 𝑛, 𝑙, 𝑚 ; 2: 𝑛,′ 𝑙′, 𝑚′
Do Capítulo X, sabemos que:
Nem sempre a dimensão do subespaço ℰ(𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ ) é igual a dimensão
de ℰ𝑛,𝑙 1 ⨂ ℰ𝑛,′ 𝑙′ 2 .
𝑛 = 𝑛′ e 𝑙 = 𝑙′
| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛 , 𝑙 ; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆 =
= 𝑐 1 − −1 𝑆+𝐿+1 1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛 , 𝑙 ; 𝐿,𝑀𝐿 ⨂ 𝑆 ,𝑀𝑆
| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛 , 𝑙 ; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆 = 0, se 𝐿 + 𝑆 for ímpar
1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛 , 𝑙 ; 𝐿,𝑀𝐿 ⨂ 𝑆 ,𝑀𝑆 , se 𝐿 + 𝑆 for par
Configuração 1𝑠2 tem 𝐿 = 0, mas 𝑆 = 1 não é permitido.
𝛿(𝐿, 𝑆) = 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆|𝑊| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆
W diagonal na base {| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆 } com autovalores:
Cada configuração 𝑛 𝑙, 𝑛′ 𝑙′ tem níveis de energia 𝐸𝑐 𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ +𝛿 𝐿, 𝑆 com degenerescência igual a 2𝐿 + 1 2𝑆 + 1 .
Termos Espectrais
2𝑆 + 1
L
Termos Espectrais
𝛿(𝐿, 𝑆) = 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆|𝑊| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆
W diagonal na base {| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆 } com autovalores:
Cada configuração 𝑛 𝑙, 𝑛′ 𝑙′ tem níveis de energia 𝐸𝑐 𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ +𝛿 𝐿, 𝑆 com degenerescência igual a 2𝐿 + 1 2𝑆 + 1 .
Termos Espectrais
2𝑆 + 1
L
Configuração 1𝑠2 S
Configuração 1𝑠2𝑠 S , S
Configuração 1𝑠2𝑝 P , P
1
1 3
31
Termos Espectrais
Configuração 𝟏𝒔𝟐𝒔
𝑙 = 𝑙′ = 𝐿 = 0
| 1: 𝑛 = 1, 𝑙 = 0 ; 2: 𝑛′ = 2 , 𝑙′ = 0 ; 𝐿 = 𝑀𝐿 = 0 = |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠
𝛿 𝑆 =1
2 1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠|(1 − 𝑃21
0) 𝑊(1 − 𝑃21
0) |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠
𝛿 𝑆 =1
2 1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠|(1 + 𝑃21
0) 𝑊(1 + 𝑃21
0) |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠
3
1
Como 𝑃210,𝑊 = 0, temos que:
1 ± 𝑃210
𝑊 1± 𝑃210
= 1 ± 𝑃210
2𝑊 = 2 1 ± 𝑃21
0𝑊
Configuração 𝟏𝒔𝟐𝒔
𝛿 𝑆 = 1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠| 1 − 𝑃210
𝑊 |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠 =
= 1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠|𝑊 |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠 − 1: 2𝑠 ; 2: 1𝑠|𝑊 |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠
3
𝑲 𝓙
𝛿 𝑆 = 𝐾 − 𝒥
𝛿 𝑆 = K + 𝒥
3
1
Configuração 𝟏𝒔𝟐𝒔
Configuração 𝟏𝒔𝟐𝒔
1: 2𝑠 ; 2: 1𝑠|𝑉𝑐 𝑅1 |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠 = 1: 2𝑠|𝑉𝑐 𝑅1 |1: 1𝑠 2: 1𝑠 |2: 2𝑠 = 0
A integral de troca 𝒥
Similarmente para 𝑉𝑐(𝑅2), −2𝑒2/𝑅1 e −2𝑒2/𝑅2.
𝒥 = 1: 2𝑠 ; 2: 1𝑠|𝑒2
𝑅12 |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠
𝜑𝑛,𝑙,𝑚 𝒓 = 𝒓 |𝑛, 𝑙, 𝑚
𝒥 = 𝑑3𝒓𝟏 𝑑3𝒓𝟐 𝜑200∗ 𝒓𝟏 𝜑100
∗ 𝒓𝟐𝑒2
𝑅12𝜑100(𝒓𝟏)𝜑200(𝒓𝟐)