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Universidade de Sao PauloInstituto de Fısica

O balde de NewtonRelatorio da Experiencia Eletiva

Eduardo Sangiorgio DobayErich Leistenschneider

FEP0114 – Fısica Experimental IIProf. Gabriel R. S. Zarnauskas

Sao Paulo8 de novembro de 2007

Resumo

O objetivo deste experimento foi verificar a adequacao do modelo do “balde de Newton” aum determinado arranjo experimental. Tal modelo afirma que a superfıcie de um liquidoem um recipiente cilındrico sob uma rotacao a velocidade angular constante descreve umparaboloide cuja ”abertura” dependeria da velocidade angular e da aceleracao da gravidadelocal. Para isso, registraram-se imagens de diversas configuracoes de rotacao para certosrecipientes contendo lıquido. As imagens foram analisadas por computador e pode-se calcularo valor da “abertura” para cada situacao.

Juntamente com os valores de rotacao, medidos tambem por diversos instrumentos digitais,foi possivel linearizar a relacao entre velocidade angular e o parametro de abertura e calcularo valor da aceleracao da gravidade no local do experimento, que foi avaliado em (9,74 ±0,12) m/s2. Tal valor e compatıvel (a menos de 0,4 incerteza) com o valor medido por umgravımetro de alta precisao do Instituto de Astronomia, Geofısica e Ciencias Atmosfericas daUniversidade de Sao Paulo (9,7864 m/s2). Uma analise de resıduos e de χ2 foi feita para cadaajuste, e, com base em todos estes fatos, foi possıvel afirmar que o modelo teorico se ajustabem a referida situacao laboratorial.

Sumario

1 Introducao 2

2 Descricao experimental 52.1 Arranjo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Coleta de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Analise de dados 8

4 Conclusao 13

Apendices

A Tabelas de dados e graficos 15

B Ajuste de curvas de segundo grau 26

Referencias Bibliograficas 27

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Introducao

Newton observou que, ao se colocar em rotacao um balde contendo agua, a superfıcie dolıquido assume uma forma parabolica apos algum tempo. Segundo o modelo que descreveesse comportamento, o formato da parabola nao depende nem do tipo de lıquido usado nemdas dimensoes do balde; ele depende apenas da velocidade angular com que o balde e giradoe da aceleracao da gravidade local. O objetivo da experiencia e verificar se esse modelo e, defato, valido.

Como o balde gira com uma certa velocidade angular ω, o referencial do balde e nao-inercial; dessa maneira, nesse referencial surge uma forca centrıfuga em cada pequena porcaodo lıquido. Essa forca centrıfuga, igual em modulo a forca centrıpeta, e aplicada sobre cadaelemento de massa ∆m e que esta a distancia r do eixo de rotacao, de modo que ela e igual a

∆~Fc = ∆m ·ω2r r, (1.1)

sendo r o versor radial, que aponta da origem para o elemento de massa.Se ∆V e o volume do elemento de massa, sua densidade (igual a do lıquido como um todo)

e ρ = ∆m/∆V , de modo que podemos escrever a forca por unidade de volume — a densidadede forca centrıfuga — como

~fc = ρ ·ω2r r (1.2)

Como essa forca e central (pois depende apenas de um “raio” e tem, em cada ponto, asua direcao), ela e conservativa e portanto pode ser escrita como o gradiente de um poten-cial. Neste caso, trata-se do potencial centrıfugo, uc (na verdade, a densidade de potencialcentrıfugo). Considerando as coordenadas polares (r, θ, φ), a forca so tem uma componentena direcao r; por isso, o gradiente tambem so depende de r (as derivadas parciais em relacaoa θ e a φ sao nulas). Matematicamente,

~fc = −~∇uc = −∂uc

∂rr (1.3)

Podemos, portanto, integrar a expressao da forca centrıfuga para obter a expressao dopotencial correspondente. Considerando uc(0) = 0, a integracao pode ser feita de 0 a r:

uc(r) = −∫

C

~fc · d~r = −∫ r

0

ρω2r′dr′ = −12ρω2r2 (1.4)

Tambem atua sobre cada elemento de massa a forca peso, de modo que existe tambem umaenergia potencial gravitacional. Se o eixo Oy aponta para cima, e se g e a aceleracao da gravi-dade local, podemos escolher um referencial em que a densidade de potencial gravitacionale

ug(y) = ρgy (1.5)

Pela linearidade do operador gradiente, podemos somar os dois potenciais para obter opotencial total que existe em cada elemento de massa:

u = −12ρω2r2 + ρgy (1.6)

2

Da estatica de fluidos, sabe-se que a densidade de forca e igual ao gradiente da pressao;como a densidade de forca tambem e o oposto do gradiente da densidade de energia potencial,os dois gradientes diferem apenas por um sinal. Por isso, a pressao e a densidade de potencialdiferem apenas por um sinal e uma constante:

p = −u+K,

ou seja,

p =12ρω2r2 − ρgy +K (1.7)

Num ponto que esta no eixo de rotacao e situa-se na superfıcie livre do fluido (a superfıcieque esta em contato com a atmosfera), a pressao e igual a pressao atmosferica pa. Se tomarmosa origem nesse ponto, ou seja, r = y = 0, na equacao (1.7), os dois termos dependentes de re y anular-se-ao, de modo que a constante K sera a propria pressao atmosferica. Portanto, a(1.7) pode ser escrita como

p = pa +12ρω2r2 − ρgy (1.8)

Todos os pontos da superfıcie livre atendem a condicao p = pa, pela propria definicao.Portanto, pela equacao (1.8), esse conjunto de pontos e caracterizado pela equacao

y =ω2

2gr2, (1.9)

que e a equacao de um paraboloide, com vertice situado na origem que definimos.Ao coletar uma serie de pontos do paraboloide, e possıvel realizar um ajuste de curva com

os pontos experimentais. Se usarmos uma seccao que passe pelo eixo que gerou o paraboloide(que adotaremos como o eixo Oy), e adotarmos como eixo Ox um eixo perpendicular a Oy eque passe pelo vertice do paraboloide, esperamos poder ajustar uma curva de equacao

y = Ax2,

na qual A corresponde a razao ω2/2g, como na (1.9). No entanto, se o sistema de coordenadasfor ajustado de modo que o vertice tenha coordenadas (x0, y0), teremos, para os pontosmedidos, as transformacoes x→ (x−x0) e y → (y−y0), de modo que aparecerao parametrosextras — por isso, devemos ajustar uma curva de equacao

y = Ax2 +Bx+ C =ω2

2g(x− x0)2 + y0, (1.10)

na qual a relacao (y − y0) = A(x− x0)2 ainda devera ser satisfeita — a forma da parabola edeterminada unicamente pelo coeficiente A.

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Figura 1.1: Grafico ilustrando o formato da parabola para diferentes valores de ω, fixandoR = 6 cm. Cada seccao paralela ao plano xy e a parabola para o valor de ω onde foi feito ocorte.

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2

Descricao experimental

2.1 Arranjo experimental

O experimento do balde de Newton exige que a amostra seja submetida a uma rotacao estavele controlada. Para isso, foi necessario construir um aparato associando um motor, um sensorde rotacao e uma fonte de alimentacao ajustavel. Tal aparato esta representado na figura 2.1.

O motor, do tipo DC da marca Minimotor, associado a um redutor que lhe confere torque,foi cuidadosamente montado em uma estrutura em madeira rıgida, capaz de absorver qualquerinstabilidade. Ao eixo do motor foi acoplado um prato de rotacao em que a amostra seriafixada.

A alimentacao do motor e dada por um circuito que permite ao usuario controlar-lhe atensao, e, portanto, sua rotacao. Tal controle e feito com o auxılio de um sensor, em que umemissor infravermelho e colocado defronte a um foto-transistor; entre eles, e colocada umaroda dentada, acoplada ao eixo secundario do motor.

Esta, ao girar, ora impede ora permite a sensibilizacao do receptor pelo foto-transistor,gerando uma sucessao regular de pulsos digitais que sao interpretados e convertidos paravalores de velocidade angular (rotacoes por minuto) por um software. Estes sao exibidosao usuario que pode coleta-los como dados experimentais. Suas incertezas serao dadas pelametade da menor divisao do mostrador.

Como a roda dentada possuıa algumas irregularidades, a leitura do sensor flutuava emalguns casos. Por isso, foram utilizados mais dois instrumentos para medir a rotacao: umtacometro digital da marca Mitutoyo e um contador de rotacoes da marca Minipa (modeloMF5180). Este ultimo foi usado em conjunto com um cronometro: foi registrado o numerode rotacoes constatado no perıodo de 1 minuto.

Percebeu-se, ao decorrer da experiencia, que cada metodo de medida de rotacao era con-fiavel em uma determinada faixa de rotacao. Por exemplo, o tacometro era mais confiavel arotacoes altas (acima de 280 rpm), enquanto o sensor acoplado a base era mais confiavel pararotacoes baixas (ate 250 rpm). A medicao com o contador de rotacoes era mais confiavel pararotacoes baixas e medias (ate 300 rpm). Como utilizamos instrumentos diferentes, adotamosuma incerteza baseada na flutuacao estatıstica dos dados.

Com uma base de rotacao estavel ja preparada, e necessario montar o arranjo que permita-nos tomar dados do balde. Para isso, decidiu-se fazer imagens digitalizadas do balde enquantoem movimento. Foram entao utilizados tres“baldes”de vidro ou acrılico transparente de formacilındrica bem uniforme e de diametros diferentes. No interior de cada um, foi colocada umaplaca com uma grade milimetrada impressa, disposta de forma a cortar um diametro do balde.

Assim, com uma imagem congelada do conjunto em movimento, pode-se observar quea interseccao de um plano que contenha o vetor rotacao com a superfıcie do paraboloide ejustamente a parabola descrita pela equacao (1.9).

E valido perguntar-se se esta mudanca brusca no recipiente nao acarretaria alguma al-teracao no comportamento do sistema, devida talvez a existencia desta “parede” no centrodo recipiente, que empurraria cada elemento do lıquido. A resposta e nao, pois, como foideduzido anteriormente, a equacao (1.9) e dependente apenas do raio, nao importando, por-

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Figura 2.1: Esquema da base de rotacao com indicacao de cada componente

tanto, a forma do recipiente.De fato, e um desafio conseguir uma boa fotografia do paraboloide formado da qual se possa

extrair dados confiaveis. Obter boas imagens de algo que esta em movimento e muito dificil eexige um equipamento de altıssima precisao. Para permitir medicoes confiaveis, e necessarioobter fotografias cujo plano de imagem seja paralelo ao plano da grade milimetrada.

A fim de conseguir tais medicoes, foram tiradas repetidamente varias fotografias do baldeem rotacao, buscando obter algumas amostras com o alinhamento desejado. As fotografiasforam obtidas com uma camera Sony P72, regulada na sua resolucao maxima, de 3,14 megapix-els, a fim de obter a maior precisao e nitidez possıveis.

2.2 Coleta de dados

Como ja foi dito, foram acopladas aos recipientes placas com escalas milimetradas para pos-sibilitar a tomada de dados. O elemento a ser pesquisado e justamente a curva formada comos pontos em que a superfıcie do paraboloide corta a placa graduada.

Procurou-se alinhar exatamente um eixo vertical da escala graduada com o eixo centralde rotacao, assim a tomada de dados seria facilitada, ja que ha um “eixo y” bem definidona imagem. Um eventual desalinhamento deste eixo ou do proprio balde no sistema poderafavorecer o aparecimento de termos extras na equacao, “completando” o modelo algebrico daparabola: y = Ax2 +Bx+ C.

No caso, os parametros B e C surgiriam com tal desalinhamento, mas isto nao influenciariano coeficiente A, que caracteriza a “abertura” da parabola, objeto central de nosso estudo.

Um problema que pode ser apontado e o efeito da refracao causado pelo lıquido e pelo vidrodo balde e ainda intensificado pela forma cilındrica do recipiente que ocasionaria distorcoesna visualizacao da parabola.

Este efeito de fato acontece e e muito significante, porem a propria grade ajuda-nos aatenua-lo a um tal nıvel que pode ser considerado insignificante. A imagem da grade, estandoesta no interior do recipiente e imersa no lıquido, tambem sofre exatamente a mesma distorcaoque a imagem da parabola, de forma a manter a mesma medida da superfıcie parabolica nagrade.

Devido a um problema na montagem do experimento, a escala graduada atraves da qual ospontos foram medidos nao tinha valores “redondos” como dimensoes — por isso, foi necessario

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aplicar um fator de correcao a todas as medidas. Para os valores no eixo x, o fator deconversao (determinado com o auxılio de um paquımetro) era de 0,91345 (19), enquanto valia0,91204 (24) para os valores no eixo y. As incertezas desses valores sao muito pequenas pertodas incertezas de leitura dos pontos; por isso, nao as consideramos nos calculos.

Foi fotografado um total de 20 configuracoes, distribuıdas em 3 baldes de diametros dis-tintos, cada uma com uma velocidade angular diferente. Estas imagens foram analisadasem computador e por aı foram feitas as medidas dos pontos desejados. As incertezas foramestimadas com base na nitidez de cada dado e legibilidade da grade em cada caso (ver figura2.2).

Figura 2.2: Ilustracao de como pode ser feita a tomada de dados. Ao localizar um ponto, pode-se adicionar digitalmente uma grade mais precisa em seu entorno (em amarelo na primeraampliacao), tomando como base a grade ja existente na imagem, e estimar as incertezas pelasfaixas e “borroes” que delimitam a curva e a grade (segunda ampliacao).

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Analise de dados

Para cada parabola, foi coletada uma serie de pontos, conforme descrito na secao anterior,que foram ajustados a uma curva de equacao y = Ax2 + Bx + C atraves do Metodo dosMınimos Quadrados Nao-Linear (brevemente descrito no apendice B).

Foram obtidas, assim, 21 parabolas diferentes, das quais uma e analisada a seguir (asrestantes encontram-se no apendice A). As parabolas foram produzidas sob diferentes config-uracoes de velocidade angular (ω) e em tres baldes diferentes, que denominaremos “grande”,“medio” e “pequeno”, e cujos diametros seguem na tabela 3.1.

Tabela 3.1: Diametros dos baldes usados na experienciaGrande (96,880± 0,059) mmMedio (77,23± 0,13) mmPequeno (54,68± 0,15) mm

Sao apresentados, a seguir, os pontos extraıdos da parabola junto com suas incertezas demedicao (tabela 3.2), para a configuracao 5 do balde grande, na qual foi usada uma rotacaode (232± 2) rpm.

Tabela 3.2: Pontos retirados da parabola G-5x (cm) y (cm)

−2,284± 0,018 1,824± 0,036−1,845± 0,018 1,368± 0,036−1,462± 0,018 0,912± 0,027−0,722± 0,018 0,456± 0,0180,749± 0,018 0,456± 0,0181,443± 0,018 0,912± 0,0271,854± 0,018 1,368± 0,0362,256± 0,018 1,824± 0,036

Na tabela 3.3 que se segue, sao mostrados os parametros obtidos no ajuste da curva y =Ax2 +Bx+C. Para os parametros B e C, tambem e mostrado o intervalo de compatibilidadecom zero, Z0.

O resultado do teste de χ2 e apresentado junto com o seu valor esperado, o numero degraus de liberdade (ngl). Junto com esses dados, e mostrado o valor medido de ω, em rotacoespor minuto e em radianos por segundo.

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Tabela 3.3: Analise da parabola G-5Parametros Z0

A (cm−1) 0,3018± 0,0073B 0,0036± 0,0073 0,49C (cm) 0,297± 0,024 12,38χ2 4,176 (ngl = 5)

Rotacao

ω (rpm) 232± 2ω (rad/s) 24,29± 0,21

As figuras 3.1 e 3.2 mostram, respectivamente, o grafico da curva ajustada (junto com ospontos experimentais) e os resıduos do ajuste. Ve-se que o grafico de resıduos nao apresentanenhum tipo de estrutura, e que o valor de χ2 e bastante proximo do valor esperado. Essasobservacoes repetem-se para os outros graficos, que se encontram no apendice.

Deve-se notar que, em varias das situacoes, os parametros B e C mostraram-se incom-patıveis com zero. Isso ocorre por problemas no alinhamento da grade: de certa maneira,o parametro B corresponde a um deslocamento na horizontal e C a um deslocamenteo navertical, como pode ser visto na equacao (1.10).

Mais precisamente, quando B e incompatıvel com zero, o eixo y da grade nao estavasuficientemente alinhado com o eixo de rotacao; e, quando C e incompatıvel com zero, temosque o vertice da parabola nao foi verticalmente alinhado com o eixo x adotado como referencia.

No entanto, a nao-compatibilidade desses coeficientes com zero nao e um grande problema,ja que a curvatura da parabola e determinada unicamente pelo coeficiente A.

Figura 3.1: Pontos experimentais e curva ajustada para a configuracao G-5.

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Figura 3.2: Resıduos absolutos do ajuste da configuracao G-5.

Tendo varios valores para A e ω, devemos lembrar a relacao entre eles, dada pela equacao(1.9):

A =12gω2

Essa relacao pode ser linearizada, tomando-se y = A e x = ω2. O coeficiente angular αdessa relacao deve ser 1/2g, enquanto que o coeficiente linear β deve ser compatıvel comzero. Assim, foi feito um ajuste de reta para todos os valores de A e ω obtidos, obtendo-seos parametros relacionados na tabela 3.5. O grafico construıdo para esse ajuste encontra-sena figura 3.3, e os resıduos correspondentes encontram-se na figura 3.4.

Tabela 3.4: Valores de A, ω e ω2 para cada configuracaoA (cm−1) ω (rad/s) ω2 (rad2/s2)

0,0926± 0,0027 13,30± 0,52 177± 140,1359± 0,0045 16,23± 0,21 263,5± 6,80,1542± 0,0095 17,49± 0,37 306± 130,1714± 0,0021 18,95± 0,52 359± 200,1819± 0,0055 18,95± 0,21 359,3± 7,90,2288± 0,0072 21,26± 0,21 451,9± 8,90,293± 0,014 23,14± 0,21 536± 10

0,3018± 0,0073 24,29± 0,21 590± 100,3290± 0,0066 24,88± 0,52 619± 260,3467± 0,0095 26,18± 0,52 685± 270,3670± 0,0097 26,18± 0,21 685± 110,3776± 0,0035 27,23± 0,31 741± 170,424± 0,020 28,38± 0,52 805± 300,561± 0,012 32,46± 0,21 1054± 140,572± 0,021 32,57± 0,21 1061± 140,598± 0,010 32,99± 0,52 1088± 34

0,6170± 0,0077 35,08± 0,21 1231± 150,626± 0,036 34,98± 0,21 1223± 15

0,7351± 0,0078 38,01± 0,21 1445± 160,885± 0,084 41,68± 0,31 1737± 260,99± 0,19 43,98± 0,10 1934,4± 9,2

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Figura 3.3: Grafico da relacao A× ω2

Figura 3.4: Resıduos do ajuste de A× ω2

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Tabela 3.5: Resultados do ajuste linear de A× ω2

α (s2/m) 0,05135± 0,00065β (m−1) 0,38± 0,62

χ2 17,96ngl 19

Sem fazer calculos, podemos ver imediatamente que β e compatıvel com zero, conformeesperado. A partir de α, podemos facilmente calcular o valor de g:

g = (9,74± 0,12) m/s2

Esse valor e compatıvel com o valor de referencia gIAG = 9,7864 m/s2, medido pelo gravımetrode alta precisao do Instituto de Astronomia, Geofısica e Ciencias Atmosfericas da Universidadede Sao Paulo, a menos de meia incerteza (Z = 0,40).

O grafico de resıduos nao apresenta nenhuma estrutura, e o valor de χ2 esta bastanteproximo do valor esperado. Isso indica que os dados de fato seguem a relacao prevista pelaequacao (1.9).

E perceptıvel pelo grafico de resıduos que, conforme a rotacao vai aumentando, as in-certezas tambem tendem a crescer. Observando-se os dados atentamente, percebe-se que esteaumento provem da incerteza dos ajustes dos parametros A. Isso e explicado pelo fato de que,em rotacoes maiores, ha um deslocamento angular maior (embora pequeno) para um mesmotempo de exposicao da camera, tornando a fotografia mais “borrada” e dificultando a tomadade dados.

Todos esses resultados sugerem que o modelo teorico do balde de Newton e adequado paraas condicoes da experiencia e do nosso arranjo experimental.

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Conclusao

O comportamento de um lıquido contido em um recipiente cilındrico quando girado sob ve-locidade angular constante foi descrito por pelo fısico britanico Isaac Newton no seculo XVII.Ele sugeriu que a superfıcie de tal liquido assumiria uma superfıcie paraboloidal cujo eixo desimetria seria o eixo de rotacao e cuja“abertura”seria proporcional ao quadrado da velocidadeangular e ao inverso da aceleracao da gravidade.

O objetivo deste experimento foi verificar a validade desse modelo em condicoes de labo-ratorio. Para isso, diferentes recipientes cilındricos foram colocados em rotacao por um motor,com varias configuracoes de velocidade angular. Atraves de fotografias, foram feitas medidasda superfıcie formada, com o objetivo de fazer ajustes e encontrar a equacao das curvas.

As imagens foram analisadas por computador e pode-se calcular o valor de tal “abertura”.Juntamente com os valores de rotacao para cada configuracao, medidos tambem por diversosinstrumentos digitais, os resultados dos diversos ajustes foram reunidos de modo que foipossivel linearizar a relacao entre a velocidade angular e o parametro de abertura e calcularo valor da aceleracao da gravidade no local do experimento, que foi avaliado em:

g = (9,74± 0,12) m/s2

Tal valor e compatıvel (a menos de 0,4 incerteza) com o valor medido por um gravımetro dealta precisao do Instituto de Astronomia, Geofısica e Ciencias Atmosfericas da Universidadede Sao Paulo (9,7864 m/s2). Uma analise de resıduos foi feita para cada ajuste e estes puderamser considerados aleatorios, sem estrutura. O teste de χ2, feito tambem para cada distribuicao,mostrou resultados satisfatorios, todos suficientemente proximos do valor esperado. Com baseem todos estes fatos, e possıvel afirmar que o modelo teorico se ajusta bem a referida situacaolaboratorial.

Analisando as incertezas e suas fontes, pode-se notar que, na maioria dos casos, as in-certezas provenientes da rotacao e do ajuste do parametro de abertura estao bem equili-bradas, variando entre 1% a 4% de seus valores totais (ver tabela 3.4 e o grafico 3.3), emboraobservem-se incertezas altas presentes em algumas situacoes de rotacao, como de 5 ou 6 rpm,e em algumas de ajuste, como o da configuracao P-6 (ver apendice A).

Ainda a respeito das incertezas, podem-se notar fatos curiosos. Por exemplo, percebeu-seque as incertezas dos parametros de abertura da parabola tem uma certa tendencia a crescerconforme o aumento da velocidade angular (ver grafico 3.4). Isso pode ser explicado pelo fatode que, em rotacoes maiores, ha um deslocamento angular maior (embora pequeno) para ummesmo tempo de exposicao da camera, tornando a fotografia mais “borrada” e dificultando atomada de dados.

Ha algumas maneiras de melhorar a qualidade do experimento. Uma delas e melhorar aqualidade das imagens fotograficas, comprometida principalmente em altas velocidades angu-lares devido ao deslocamento do sistema durante o tempo de exposicao; esse e um problemaque poderia ser contornado utilizando-se uma camera de precisao, que funcione com um tempode exposicao bem pequeno. Os efeitos de refracao tambem prejudicam as imagens, de modoque seria importante buscar um metodo de elimina-los.

Tambem seria de grande importancia buscar um instrumento que medisse com maior

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precisao e confiabilidade a velocidade angular do sistema em rotacao. Devem ser tomadosmais alguns cuidados experimentais, nao menos importantes: verificar que o eixo de rotacaoesta fixo e coincide com o eixo central dos recipientes cilındricos; precisar o alinhamento dagrade milimetrada (evitando, principalmente, rotacoes, que complicam a equacao da curvade uma maneira que nao e coberta pelos parametros B e C) e garantir sua uniformidade esimetria.

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Apendice A

Tabelas de dados e graficos

Nas paginas seguintes, encontra-se a analise completa de cada uma das 20 parabolas restantesque, por motivos praticos, foram ocultadas da analise principal.

Cada configuracao foi batizada segundo o seu respectivo balde (“P” para o balde pequeno,“M” para o balde medio e “G” para o balde grande) e a sua respectiva numeracao, em ordemcrescente de rotacao, dentro do grupo de configuracoes pertencente aquele balde. Por exemplo,a parabola M-3 corresponde a configuracao cuja rotacao e a terceira menor do balde medio.

Primeiramente, dispos-se a tabela com os respectivos pontos retirados de cada parabola esuas respectivas incertezas; seguindo esta, foi disposta a tabela que reune o valor de rotacaoem rpm (tomado experimentalmente) e seu correspondente em rad/s, juntamente com suasincertezas, os parametros A, B e C do ajuste polinomial do segundo grau (y = Ax2 +Bx+C)correspondente aqueles pontos e o valor do χ2 (colocado juntamente com o valor do numero degraus de liberdade, ngl, para referencia) deste ajuste. Tambem e mostrada a compatibilidadedos parametros B e C com zero, Z0.

Abaixo destas estao, respectivamente, o grafico que faz a representacao dos pontos exper-imentais da primeira tabela juntamente com seu ajuste polinomial e o grafico dos resıduosdeste ajuste.

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Configuracao 1 – (155± 2) rpmBalde grande

Tabela A.1: Pontos retirados da parabola G-1x (cm) y (cm)

0,913± 0,018 0,036± 0,018−0,913± 0,018 0,036± 0,018−1,827± 0,018 0,401± 0,0271,736± 0,018 0,401± 0,027−2,740± 0,018 0,857± 0,0552,740± 0,027 0,949± 0,073−3,197± 0,055 1,313± 0,0913,106± 0,046 1,313± 0,091

Tabela A.2: Analise da parabola G-1Rotacao

ω (rpm) 155± 2ω (rad/s) 16,23± 0,21

Parametros Z0

A (cm−1) 0,1359± 0,0045B 0,0133± 0,0070 1,90C (cm) −0,065± 0,029 −2,24χ2 6,374 (ngl = 5)

Figura A.1: Pontos medidos e curva ajustada para aconfiguracao G-1.

Figura A.2: Resıduos absolutos do ajuste da configu-racao G-1.



−0,913± 0,014 0,173± 0,014−1,827± 0,014 0,638± 0,014−2,740± 0,014 1,386± 0,0140,913± 0,014 0,119± 0,0141,827± 0,014 0,474± 0,0142,740± 0,014 1,204± 0,014−1,187± 0,014 0,292± 0,0141,398± 0,014 0,292± 0,014−2,558± 0,014 1,204± 0,014


ω (rpm) 181± 5ω (rad/s) 18,95± 0,52

Parametros Z0

A (cm−1) 0,1714± 0,0021B −0,0354± 0,0029 −12,21C (cm) −0,0004± 0,0093 −0,04χ2 5,920 (ngl = 6)



16



0,000± 0,046 0,000± 0,027−0,913± 0,018 0,128± 0,0270,913± 0,018 0,137± 0,0271,279± 0,018 0,365± 0,0271,827± 0,018 0,593± 0,027−1,370± 0,018 0,365± 0,0272,622± 0,018 1,277± 0,0272,740± 0,018 1,368± 0,027−1,827± 0,018 0,593± 0,027


ω (rpm) 181± 2ω (rad/s) 18,95± 0,21

Parametros Z0

A (cm−1) 0,1819± 0,0055B 0,0055± 0,0085 0,65C (cm) 0,005± 0,017 0,29χ2 7,491 (ngl = 6)





−0,913± 0,018 0,146± 0,0180,913± 0,018 0,237± 0,018−1,827± 0,018 0,602± 0,018−2,010± 0,018 0,784± 0,0271,827± 0,027 0,876± 0,0461,644± 0,027 0,784± 0,027−2,740± 0,027 1,560± 0,036−2,923± 0,037 1,696± 0,0362,558± 0,037 1,696± 0,036


ω (rpm) 203± 2ω (rad/s) 21,26± 0,21

Parametros Z0

A (cm−1) 0,2288± 0,0072B 0,074± 0,010 7,40C (cm) 0,006± 0,027 0,22χ2 7,330 (ngl = 6)



17



0,000± 0,082 0,000± 0,041−2,466± 0,037 1,824± 0,073−2,740± 0,037 2,280± 0,073−0,913± 0,037 0,274± 0,0460,913± 0,037 0,228± 0,0461,644± 0,037 0,912± 0,055−1,736± 0,037 0,912± 0,055−3,380± 0,037 3,648± 0,0412,192± 0,037 1,824± 0,0733,288± 0,037 3,648± 0,041


ω (rpm) 238± 5ω (rad/s) 24,88± 0,52

Parametros Z0

A (cm−1) 0,3290± 0,0066B 0,047± 0,012 3,92C (cm) −0,009± 0,040 −0,23χ2 8,090 (ngl = 7)





−0,913± 0,009 0,255± 0,009−1,462± 0,009 0,711± 0,009−2,147± 0,009 1,623± 0,0090,913± 0,009 0,328± 0,0091,343± 0,009 0,711± 0,009−1,827± 0,009 1,122± 0,0091,827± 0,009 1,322± 0,0092,028± 0,009 1,623± 0,009


ω (rpm) 260± 3ω (rad/s) 27,23± 0,31

Parametros Z0

A (cm−1) 0,3776± 0,0035B 0,0476± 0,0029 16,20C (cm) −0,028± 0,010 −2,70χ2 4,516 (ngl = 5)



18



−0,913± 0,018 0,502± 0,018−1,096± 0,018 0,684± 0,0180,886± 0,018 0,684± 0,018−1,462± 0,027 1,231± 0,018−1,690± 0,027 1,596± 0,0361,416± 0,027 1,596± 0,0362,247± 0,037 3,420± 0,046−2,101± 0,037 2,508± 0,046


ω (rpm) 315± 5ω (rad/s) 32,99± 0,52

Parametros Z0

A (cm−1) 0,598± 0,010B 0,134± 0,010 13,40C (cm) 0,132± 0,030 4,40χ2 6,374 (ngl = 5)



Configuracao 1 – (127± 5) rpmBalde medio

Tabela A.15: Pontos retirados da parabola M-1x (cm) y (cm)

−0,786± 0,014 0,182± 0,0141,535± 0,014 0,365± 0,014−2,174± 0,014 0,547± 0,014−2,539± 0,014 0,730± 0,0140,804± 0,014 0,182± 0,0141,562± 0,014 0,365± 0,0142,156± 0,014 0,547± 0,0141,827± 0,014 0,447± 0,014

Tabela A.16: Analise da parabola M-1Rotacao

ω (rpm) 127± 5ω (rad/s) 13,30± 0,52

Parametros Z0

A (cm−1) 0,0926± 0,0027B 0,0026± 0,0030 0,87C (cm) 0,128± 0,010 12,65χ2 4,302 (ngl = 5)

Figura A.15: Pontos medidos e curva ajustada para aconfiguracao M-1.

Figura A.16: Resıduos absolutos do ajuste da configu-racao M-1.

19

Configuracao 2 – (167± 3,5) rpmBalde medio


1,644± 0,014 0,912± 0,0182,055± 0,014 1,094± 0,0182,274± 0,014 1,277± 0,018−1,334± 0,014 0,912± 0,018−2,000± 0,014 1,277± 0,018−1,662± 0,014 1,094± 0,018


ω (rpm) 167± 3,5ω (rad/s) 17,49± 0,37

Parametros Z0

A (cm−1) 0,154± 0,009B −0,050± 0,006 −8,58C (cm) 0,573± 0,033 17,35χ2 3,690 (ngl = 3)





−1,891± 0,018 0,912± 0,018−1,708± 0,018 0,730± 0,018−1,544± 0,018 0,547± 0,018−1,306± 0,018 0,365± 0,018−0,968± 0,018 0,182± 0,0180,603± 0,018 0,182± 0,0180,895± 0,018 0,365± 0,0181,142± 0,018 0,547± 0,0181,425± 0,018 0,912± 0,0181,589± 0,018 1,094± 0,018


ω (rpm) 250± 5ω (rad/s) 26,18± 0,52

Parametros Z0

A (cm−1) 0,347± 0,009B 0,149± 0,007 22,01C (cm) −0,033± 0,019 −1,74χ2 8,014 (ngl = 7)



20



−2,348± 0,046 1,824± 0,046−2,110± 0,046 1,277± 0,046−1,790± 0,046 0,912± 0,046−1,407± 0,037 0,547± 0,046−0,767± 0,037 0,000± 0,0460,521± 0,037 0,000± 0,0461,151± 0,046 0,547± 0,0461,379± 0,046 0,912± 0,0461,599± 0,046 1,277± 0,046


ω (rpm) 271± 5ω (rad/s) 28,38± 0,52

Parametros Z0

A (cm−1) 0,424± 0,020B 0,171± 0,021 7,99C (cm) −0,145± 0,049 −2,94χ2 7,332 (ngl = 6)





−1,571± 0,037 1,824± 0,036−1,142± 0,037 0,912± 0,036−0,731± 0,037 0,365± 0,0360,347± 0,037 0,000± 0,0360,913± 0,037 0,246± 0,0361,516± 0,037 0,912± 0,0361,827± 0,037 1,468± 0,0462,046± 0,037 1,824± 0,036


ω (rpm) 311± 2ω (rad/s) 32,57± 0,21

Parametros Z0

A (cm−1) 0,572± 0,021B −0,237± 0,021 −11,26C (cm) −0,040± 0,043 −0,94χ2 6,561 (ngl = 5)



21



−1,827± 0,014 2,298± 0,018−1,571± 0,014 1,824± 0,018−1,233± 0,014 1,277± 0,018−0,968± 0,014 0,912± 0,018−0,548± 0,014 0,547± 0,0180,393± 0,014 0,547± 0,0180,795± 0,014 0,912± 0,0181,242± 0,014 1,459± 0,0181,443± 0,014 1,824± 0,0181,608± 0,014 2,189± 0,018


ω (rpm) 335± 2ω (rad/s) 35,08± 0,21

Parametros Z0

A (cm−1) 0,617± 0,008B 0,0893± 0,0062 14,40C (cm) 0,425± 0,014 30,15χ2 4,693 (ngl = 6)





0,000± 0,091 0,000± 0,0911,114± 0,037 0,912± 0,036−0,913± 0,037 0,638± 0,0360,913± 0,037 0,638± 0,0361,416± 0,037 1,824± 0,0361,005± 0,037 0,730± 0,036−1,005± 0,037 0,730± 0,036


ω (rpm) 398± 3ω (rad/s) 41,68± 0,31

Parametros Z0

A (cm−1) 0,885± 0,084B 0,017± 0,050 0,34C (cm) −0,101± 0,086 −1,17χ2 6,153 (ngl = 4)



22

Configuracao 1 – (221± 2) rpmBalde pequeno

Tabela A.29: Pontos retirados da parabola P-1x (cm) y (cm)

1,279± 0,018 0,410± 0,0181,370± 0,018 0,502± 0,0180,575± 0,018 0,046± 0,018−1,325± 0,018 0,410± 0,0181,005± 0,018 0,228± 0,0180,457± 0,018 −0,018± 0,027−0,731± 0,018 0,046± 0,027−0,977± 0,018 0,228± 0,027

Tabela A.30: Analise da parabola P-1Rotacao

ω (rpm) 221± 2ω (rad/s) 23,14± 0,21

Parametros Z0

A (cm−1) 0,293± 0,014B 0,013± 0,008 1,54C (cm) −0,075± 0,016 −4,67χ2 3,861 (ngl = 5)

Figura A.29: Pontos medidos e curva ajustada para aconfiguracao P-1.

Figura A.30: Resıduos absolutos do ajuste da configu-racao P-1.



−0,740± 0,018 0,146± 0,018−1,151± 0,018 0,456± 0,018−1,379± 0,018 0,693± 0,018−1,580± 0,018 0,876± 0,018−1,726± 0,018 1,058± 0,0181,434± 0,018 0,693± 0,0181,617± 0,018 0,876± 0,0271,114± 0,018 0,328± 0,0270,155± 0,018 −0,036± 0,027


ω (rpm) 250± 2ω (rad/s) 26,18± 0,21

Parametros Z0

A (cm−1) 0,367± 0,010B −0,020± 0,007 −2,79C (cm) −0,058± 0,018 −3,18χ2 5,307 (ngl = 6)



23



−0,959± 0,018 0,365± 0,018−1,187± 0,018 0,593± 0,0180,786± 0,018 0,365± 0,0180,639± 0,018 0,219± 0,0181,050± 0,018 0,730± 0,0181,443± 0,018 1,277± 0,0181,553± 0,018 1,459± 0,018−1,370± 0,018 0,821± 0,018−1,644± 0,018 1,277± 0,018


ω (rpm) 310± 2ω (rad/s) 32,46± 0,21

Parametros Z0

A (cm−1) 0,561± 0,012B 0,115± 0,007 16,28C (cm) −0,058± 0,019 −3,05χ2 4,960 (ngl = 6)





−0,521± 0,037 0,182± 0,046−1,142± 0,037 0,730± 0,0460,913± 0,037 0,730± 0,0460,594± 0,037 0,319± 0,046−1,781± 0,037 1,642± 0,046−0,886± 0,037 0,365± 0,0461,197± 0,046 1,094± 0,0460,822± 0,046 0,547± 0,0461,388± 0,046 1,642± 0,046


ω (rpm) 334± 2ω (rad/s) 34,98± 0,21

Parametros Z0

A (cm−1) 0,626± 0,036B 0,184± 0,028 6,57C (cm) 0,045± 0,052 0,87χ2 8,095 (ngl = 6)



24



0,411± 0,007 0,073± 0,0090,612± 0,007 0,255± 0,0090,904± 0,007 0,620± 0,0091,233± 0,007 1,167± 0,0091,507± 0,007 1,733± 0,009−0,749± 0,007 0,255± 0,009


ω (rpm) 363± 2ω (rad/s) 38,01± 0,21

Parametros Z0

A (cm−1) 0,735± 0,008B 0,102± 0,008 13,07C (cm) −0,083± 0,007 −12,25χ2 1,821 (ngl = 3)





−0,776± 0,018 0,365± 0,027−0,502± 0,018 0,146± 0,027−0,320± 0,018 0,027± 0,027−1,325± 0,018 1,277± 0,027−1,078± 0,018 0,730± 0,027


ω (rpm) 420± 1ω (rad/s) 43,98± 0,10

Parametros Z0

A (cm−1) 0,99± 0,19B 0,42± 0,32 1,31C (cm) 0,08± 0,11 0,75χ2 2,989 (ngl = 2)



25

Apendice B

Ajuste de curvas de segundograu

Para conseguir extrair mais informacoes do ajuste, optamos por nao linearizar a relacao y×x(equacao 1.9), mas por realizar um ajuste de uma equacao quadratica. O procedimentoalgebrico e analogo ao do Metodo dos Mınimos Quadrados para ajustes de retas.

Primeiramente define-se o numero Q2 = Q2(a, b, c), a soma dos quadrados das distanciasverticais entre os pontos experimentais e a reta, normalizadas pelas incertezas, para umaamostra de N dados:

Q2 =N∑

i=1

[yi − (ax2

i + bxi + c)]2

s2i(B.1)

O objetivo do ajuste e minimizar o valor de Q2, portanto procuramos um ponto crıtico(a, b, c) da funcao Q2, no qual as tres derivadas parciais se anulam:

∂Q

∂a(a, b, c) = 0

∂Q

∂b(a, b, c) = 0

∂Q

∂c(a, b, c) = 0

Desenvolvendo as derivadas e definindo

Sxnym =N∑

i=1

xni y

mi

s2i, (B.2)

podemos representar o sistema de forma matricial:Sx4 Sx3 Sx2

Sx3 Sx2 Sx

Sx2 Sx S1

abc

=

Sx2y

Sxy

Sy

(B.3)

Se chamarmos a matriz do lado esquerdo de M , as solucoes desse sistema linear seraodadas por: ab

c

= M−1

Sx2y

Sxy

Sy

(B.4)

As incertezas desses parametros sao dadas por:s2as2bs2c

=

m11

m22

m33

(B.5)

sendo mjk = (M−1)jk.

26

Referencias Bibliograficas

[1] NUSSENZVEIG, H. M. Curso de fısica basica. Sao Paulo: Edgard Blucher, 2002. v.1.

[2] NUSSENZVEIG, H. M. Curso de fısica basica. Sao Paulo: Edgard Blucher, 2002. v.2.

[3] VUOLO, J. H. Fundamentos da teoria de erros. Sao Paulo: Edgard Blucher, 1992.

[4] VUOLO, J. H. et al. FEP-114 – Fısica Experimental II. Instituto de Fısica, Universidadede Sao Paulo, 2007.

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