O EFEITO DA AUTOCORRELAC˘AO NO~ DESEMPENHO DO … · Ao meu Prof. Anton^ io Fernando Branco da Costa por aceitado ser meu co-orientaor por tao~ prontamente responder minha perguntas

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia de Producao

Joelton Fonseca Barbosa

O EFEITO DA AUTOCORRELACAO NODESEMPENHO DO GRAFICO T 2 DE

HOTELLING: CASO BIVARIADO

Natal, setembro de 2013




Trabalho apresentado ao Programa de Pos-Graduacao em Engenharia de Producao daUniversidade Federal do Rio Grande doNorte, em cumprimento com as exigenciaslegais para obtencao do tıtulo de Mestre.

Area de Concentracao: Qualidade e Estra-tegia.

Orientador:

Profo. Dro. Pledson Guedes de Medeiros

Co-orientador:

Profo. Dro. Antonio Fernando Branco Costa

Natal, setembro de 2013

Catalogacao da Publicacao na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial

Centro de Ciencias Exatas e da Terra – CCET.

Barbosa, Joelton Fonseca.

O efeito da autocorrelacao no desempenho do grafico T 2 de Hotelling: caso bivariado /

Joelton Fonseca Barbosa. - Natal, 2013.

76 f. il.

Orientador: Prof. Dr. Pledson Guedes de Medeiros.

Co-orientador: Prof. Dr. Antonio Fernando Branco Costa.

Dissertacao (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de

Tecnologia. Programa de Pos-Graduacao Engenharia de Producao.

1. Multivariado – Dissertacao. 2. Controle de processos – Dissertacao. 3. Autocorrelacao

– Dissertacao. 4. Limites de controle – Simulacao – Dissertacao. I. Medeiros, Pledson

Guedes de. II. Costa, Antonio Fernando Branco. III. Tıtulo.

RN/UF/BSE-CCET CDU: 519.237

i




Dissertacao de Mestrado submetida aoPrograma de Pos-Graduacao Engenhariade Producao da Universidade Federal doRio Grande do Norte como parte dosrequisitos para a obtencao do grau deMestre em Engenharia de Producao.

Aprovado em: / /

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Pledson Guedes de Medeiros

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Orientador

Prof. Dr. Antonio Fernando Branco Costa

Co-orientador

Prof. Dr. Dione Maria Valenca

Examinador Externo

Agradecimentos

Agradeco primeiramente a Deus, por ter me dado essa oportunidade e enfrenta-la

com muita forca e determinacao. Muito obrigado senhor.

A minha avo que nao mediu esforcos para que eu pudesse chegar ate aqui e me

ajudou sempre com suas palavras de incentivo.

A minha mae que sempre acreditou e mostrou que eu era capaz, mesmo que nos

momentos mais difıceis. A minha irma tambem que acompanhou e acreditou em mim.

A minha namorada Lıgia Lislie que me motivou nos momentos que mais precisei.

Ao Prof. Pledson Guedes de Medeiros pela amizade e paciencias que teve com as

minhas orientacoes. Por ter dado uma base na estatıstica que foi de fundamental im-

portancia para a compreensao e desenvolvimento desta dissertacao.

Ao meu Prof. Antonio Fernando Branco da Costa por aceitado ser meu co-orientaor

por tao prontamente responder minha perguntas e sugerir as direcoes desta pesquisa.

A Profa. Dione Maria Valenca por tirar algumas duvidas em das partes mais deci-

sivas da minha pesquisa e por participar da banca examinadora.

A Elvis Sampaio que me ajudou na minha formacao da base estatıstica estudando

e resolvendo lista de exercıcios da disciplinas de controle estatıstico da qualidade.

Ao Prof. Andre Pinho, que sempre se dispos a ajudar quando tinha duvida sobre

comandos e programacao no software.

“ O que prevemos raramente

ocorre; o que menos esperamos

geralmente acontece.”

Benjamin Disraeli

Resumo

O grafico de controle T 2 de Hotelling tem sido o principal dispositivo

estatıstico utilizado no monitoramento de processos multivariados. Atual-

mente com o desenvolvimento tecnologico dos sistemas de controle e au-

tomacao possibilitou uma elevada taxa de coletas das informacoes dos sis-

temas produtivos em intervalos de tempo muito curto, provocando uma

dependencia entre os resultados das observacoes. Este fenomeno conhecido

como autocorrelacao provoca no controle estatıstico de processos multivari-

ado uma grande quantidade de alarmes falsos, prejudicando no desempenho

do grafico. Isto acarreta na violacao do pressuposto de independencia e da

normalidade da distribuicao. Nesta dissertacao considerou-se nao so a cor-

relacao entre duas variaveis, mas tambem a dependencia entre observacoes

de uma mesma variavel, isto e, a autocorrelacao. Estudou-se, por meio de

simulacao, o caso bivariado e o efeito da autocorrelacao no desempenho do

grafico T 2 de Hotelling.

Palavras-chave: Controle multivariado de processos, autocorrelacao, limites de

controle e simulacao.

iii

Abstract

The chart of control of Hotelling T 2 has been the main statistical de-

vice used in monitoring multivariate processes. Currently the technologi-

cal development of control systems and automation enabled a high rate

of collection of information of the production systems in very short time

intervals, causing a dependency between the results of observations. This

phenomenon known as auto correlation causes in the statistical control of

the multivariate processes a high rate of false alarms, prejudicing in the

chart performance. This entails the violation of the assumption of inde-

pendence and normality of the distribution. In this thesis we considered

not only the correlation between two variables, but also the dependence

between observations of the same variable, that is, auto correlation. It was

studied by simulation, the bi variate case and the effect of auto correlation

on the performance of the T 2 chart of Hotelling.

Keywords: Multivariate processes control, autocorrelation, control limits and si-

mulation.

iv

Sumario

1 Introducao 1

1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Justificativa e importancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Metodo do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Abrangencia do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 GRAFICOS DE CONTROLE 5

2.1 Princıpios dos graficos de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Subgrupos racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Alarmes nos graficos de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Desempenho dos graficos de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Grafico de controle univariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6 Grafico de controle multivariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.7 Distribuicao Normal Multivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7.1 Estimando o vetor de medias e matriz de covariancia . . . . . . 14

2.8 A Estatıstica T 2 de Hotellinge o grafico de controle multivariado . . . . 16

3 PROCESSO AUTOCORRELACIONADO 19

3.1 Consideracoes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Modelo auto-regressivo AR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 MODELO DA SIMULACAO 22

4.1 Gerando Amostras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Determinacao dos limites de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Simulacao do LSC pelo algoritmo proposto . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4 Desempenho do grafico T 2 sob autocorrelacao com novos limites de controle 30

5 CONCLUSOES 39

5.1 Sugestoes para pesquisas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

v

A ALGORITMO NO SOFTWARE R 41

A.1 Fase I para n=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A.2 Fase I para n=4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

A.3 Fase I para n=5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A.4 Fase II para n=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.5 Fase II para n=4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

A.6 Fase II para n=5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Referencias 73

vi

Lista de Figuras

2.1 Ocorrencia de um alarme falso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Ocorrencia de um alarme verdadeiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Curva de NMA vs δ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Distribuicao normal multivariada com p = 2, µ1 = µ2 = 0, σ11 = σ22 = 1

e p12 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Distribuicao normal multivariada com p = 2, µ1 = µ2 = 0, σ11 = σ22 = 1

e p12 = 0, 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 Grafico de controle T 2 de Hotelling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1 Grafico utilizado para validar o algoritmo que determina limite de controle. 26

4.2 Grafico T 2 de Hotelling sob efeito de autocorrelacao φ = 0, 5 . . . . . . 27

4.3 Comparativo dos limites de controle tabelado e simulado para um grafico

T 2 de Hotelling na presenca de autocorrelacao φ = 0, 5 . . . . . . . . . 30

vii

Lista de Tabelas

4.1 Novos limites de controle na presenca de autocorrelacao para n = 3. . . 28



4.4 Valores de NMA para o grafico T 2 sob autocorrelacao (ρ = 0, 0). . . . 34




viii

Capıtulo 1

Introducao

A crescente concorrencia em nıvel internacional criou nas empresas a necessidade de

priorizarem o objetivo qualidade como um diferencial competitivo de sua participacao

no mercado. Estas buscaram melhorar de forma contınua a qualidade de seus produtos,

servicos e processos. Atualmente existe a necessidade de uma resposta rapida e com

qualidade ao mercado, isso implica na importancia de utilizar o controle estatıstico de

processos (CEP) como um instrumento gerencial para reducao das variacoes entre itens

manufaturados.

O controle estatıstico de processos foi criado por Shewhart (33), quando ele apre-

sentou o primeiro esboco de um grafico de controle univariado na Bell Telephone La-

boratories. Embora seu quadro inicial fosse pra controlar o percentual de defeitos em

um processo de producao, mais tarde ele estendeu sua ideia para o grafico de controle

de media e desvio padrao de um processo. Esta ferramenta foi amplamente utilizada

pela industria pela sua facilidade de implementacao, analise e nao demandava recursos

computacionais.

A medida que crescia a necessidade de monitorar a qualidade de produtos e das

varias etapas dos processos produtivos, aumentou consequentemente a quantidade de

variaveis da qualidade que deveriam ser monitoradas (controle multivariado). Isto fez

com que varios graficos univaridos de Shewhart fossem utilizados simultaneamente, e

de forma independente, para monitorar o processo de producao, ver Montgomery (23).

Este modelo se tornava inviavel de ser utilizado quando a quantidade de caracterısticas

da qualidade aumentava e possuıam correlacao entre elas, isso levava a uma interpre-

tacao erroneas sobre a estabilidade do processo. Um outro aspecto que poderia levar

a conclusoes erronea da estabilidade do processo foi o efeito da autocorrelacao nas

1

2

observacoes de uma mesma variavel, que caracterizava-se por uma observacao atual

esta correlacionada com a observacao anterior, ver Costa et al. (7). Isso provocava

uma grande quantidade de ”alarmes falsos”, ou seja, concluir que o processo esta fora

de controle quando na realidade o processo esta sob controle estatıstico. Este fato

foi muito observado quando se tentava implementar graficos convencionais utilizando

dados com autocorrelacao encontrado nas industrias de processos contınuos, quımica,

farmaceutica e automatizadas.

Observa-se entao, que as situacoes problematicas do controle multivariado e proces-

sos com dados autocorrelacionados, citadas anteriormente, foram encontradas pela nao

adequabilidade de utilizacao do grafico de Shewhart, pois o grafico por ele proposto

foi criado para monitorar processos da industria de partes discretas (Costa et al. (7))

que tenham observacoes independentes e normalmente distribuıdas. Para tentar cons-

truir um modelo que incorporasse a correlacao na analise de processos multivariados

Hotelling (12) propos a Estatıstica T 2 que se baseou nos princıpios do grafico X de

Shewart univariado. Esta estatıstica ficou conhecida como T 2 Hotelling, foi estimada

de forma a fornecer valores que medem a distancia entre cada observacao do vetor de

media amostral. Ja para melhorar o desempenho dos graficos de controle capazes de li-

dar com observacoes dependentes ao longo do tempo os pesquisadores estao realizando

estudos para verificar o efeito da autocorrelacao no controle estatıstico de processos

univariados, Alwan e Roberts (2), Montgomery e Mastrangelo (25), Lu e Reynolds

(18). Ja no controle estatıstico de processos multivariados existe uma maior complexi-

dade por tratar um numero maior de variaveis, e aumenta quando ha autocorrelacao

em observacoes de subgrupos racionais.

O desafio dos pesquisadores atuais e propor um modelo que seja capaz de monito-

rar processos multivariados sob influencia da autocorrelacao.Theodossiou (35) propos

um grafico CUSUM e Kramer e Schmid (15) um grafico EWMA multivariado. Para

monitorar um processo multivariado sob efeito da autocorrelacao existem abordagens

diferentes. Uma delas e ajustar um modelo de serie temporal que possibilite conhecer o

comportamento autorregressivo dos dados e assim monitorar os resıduos desta serie. A

grande problematica de monitorar resıduos em modelos multivariados e que seria criada

uma funcao de monitoramento do vetor de resıduos das caracterısticas de qualidade,

acarretando em uma consideravel diminuicao no poder de deteccao, levando a uma

deteccao mais tardia. Alguns exemplos desses processos de controle podem ser visto

em Zhang (42) e Lu e Reynolds (19). A outra maneira de lidar com autocorrelacao

1.1 Objetivos 3

e ajustando os limites de controle para reduzir o numero de alarmes falsos, permane-

cendo com os dados originais.

1.1 Objetivos

O objetivo geral deste trabalho e analisar um grafico T 2 de Hotelling bivariado, sob

efeito da autocorrelacao em suas observacoes de acordo com o modelo AR(1) e propor

limites de controle utilizando simulacao computacional.

Para alcancar o objetivo geral, foi necessario seguir os seguintes objetivos especıficos:

• Verificar o efeito da autocorrelacao no desempenho do grafico T 2 utilizado no

monitoramento de processos bivariados com variaveis dependentes.

• Encontrar limites de controle para o grafico T 2 sujeito a dados com autocorrela-

cao o diminuira a quantidade de alarmes falso.

• Analisar o desempenho na fase II dos graficos T 2 Hotelling bivariados sujeitos a

diferentes deslocamentos de media.

• Analisar o desempenho do grafico de controle com diferentes tamanhos de amos-

tras.

• Comparar o modelo proposto por simulacao com os encontrados na literatura.

1.2 Justificativa e importancia

As tecnicas tradicionais de controle de processos multivariados baseiam-se nos pres-

supostos da independencia das observacoes proposta por Shewart nos graficos univa-

riados. A violacao desta suposicao acarreta em um grande numero de alarmes falsos,

1.3 Metodo do trabalho 4

ou seja, ira apontar causas especiais indevidamente. Muitos processos industriais mo-

dernos estao propensos a gerar dados com efeito de autocorrelacao. Esta situacao

pode ser explicada pelo desenvolvimento tecnologico dos equipamentos de controle em

automacao, que possibilitou uma elevada taxa de coleta de informacoes nos sistemas

produtivos. Tais processos com esse efeito da autocorrelacao passam a quebrar o pressu-

posto da independencia das observacoes. Seguindo essa nova tendencia da necessidade

de controlar varias caracterısticas de qualidade de forma simultanea (controle multiva-

riado) e sujeitas a autocorrelacao, propomos neste trabalho analisar o comportamento

dos graficos de T 2 de Hotelling sob efeito da autocorrelacao em diferentes deslocamen-

tos de media do processo e, em seguida, encontrar um limite de controle ajustado por

meio de simulacao que garanta a eficacia do grafico.

1.3 Metodo do trabalho

Como este trabalho tem como objetivo investigar o efeito da autocorrelacao no

controle multivariado de processos, esta pesquisa e classificada quanto modalidade como

uma pesquisa aplicada com objetivos exploratorios. Ja em com relacao a sua abordagem

e classificado como uma pesquisa quantitativa que utiliza o metodo da modelagem e

simulacao.

1.4 Abrangencia do Trabalho

Os resultados obtidos neste trabalho abrangem:

• Processos bivariados;

• O modelo auto regressivo AR(1);

• Correlacao entre z caracterısticas da qualidade;

• Autocorrelacao nas observacoes da mesma caracterıstica de qualidade;

• Amostras com tamanho n = 3, n = 4 e n = 5.

Capıtulo 2

GRAFICOS DE CONTROLE

2.1 Princıpios dos graficos de controle

Shewhart desenvolveu o grafico de controle como uma ferramenta de apoio ao con-

trole estatıstico de processos. Esta e capaz de monitorar o desempenho de um deter-

minado processo ao longo do tempo e detectar causas especiais que o desajustam. O

grafico de controle apresenta observacoes de uma determinada caracterıstica de quali-

dade em uma ordem temporal e e composto por um limite superior de controle (LSC) e

um limite inferior de controle (LIC), alem de uma linha media (LM). Quando as obser-

vacoes da caracterıstica de qualidade estao dentro destes limites, nao seguem nenhuma

tendencia e estao distribuıdos aleatoriamente considera-se que este processo esta sob

controle estatıstico. Ja quando alguns desses pontos estao fora dos limites de controle

ou seguem uma tendencia especial ou sistematica sinaliza que este processo podera

estar fora de controle estatıstico.

Estes graficos sao bastante utilizados pela sua simplicidade na aplicacao e interpre-

tacao. Em um grafico de Shewhart, por exemplo, para monitorar uma determinada

caracterıstica de qualidade Xc coleta-se, em um determinado intervalo de tempo h,

amostras de tamanho n e calcula-se uma estatıstica X. Assumindo que essas observa-

coes sao reacao de variaveis aleatorias independentes e normalmente distribuıdas com

valor esperado µ (media do processo) e desvio padrao (σ). Entao para um limite de 3σ,

µ± 3σ, isso iria garantir que para um processo controlado e isento de causas especiais

uma probabilidade de 99, 73% das observacoes caırem dentro dos limites de controle.

Os limites de controle e a linha media sao da por:

5

2.2 Subgrupos racionais 6

LSCX = µX + 3σX (2.1)

LMX = µX (2.2)

LICX = µX − 3σX (2.3)

Importante frisar que na construcao destes limites de controle e necessario checar

os pressupostos de normalidade e independencia propostos por Shewhart. Entretanto,

nada impede que seja construıdo um grafico de Shewhart, utilizando uma distribuicao

proxima da normal, mas o quesito da independencia das variaveis devera ser atendido.

2.2 Subgrupos racionais

Os subgrupos racionais sao amostras suja observacoes sao coletadas praticamente

num mesmo instante, em intervalos de tempos regulares. A fundamentacao desses sub-

grupos racionais foi introduzida por Shewhart com a finalidade de apresentar como

deveriam ser organizados os dados amostrais do processo. Na construcao de um sub-

grupo racional devera ser levado em consideracao o tamanho da amostra e o intervalo

de tempo de coleta entre subgrupos de forma que se possa obter uma maior eficiencia

na sensibilidade de deteccao do grafico e que se possa ter um menor custo de inspecao.

Os subgrupos racionais devem ser formados por unidades semelhantes em composi-

cao de material, metodos de coletas, metodo de manufatura e condicoes especıficas do

processo. A formacao desse subgrupo racional deve ser composta por itens produzi-

dos praticamente num mesmo instante, com o objetivo de que as causas especiais nao

aparecam no mesmo subgrupo racional e sim entre grupos diferentes. Isto diminui a

variabilidade em uma mesma amostra, e aumenta a variabilidade entre amostras, caso

estejam presentes causas especiais.

2.3 Alarmes nos graficos de controle

O objetivo do grafico de controle e testar se um determinado processo esta ou

nao sob controle estatıstico, ou seja, verificar quando este processo apresenta variacoes

aleatorias ou variacoes naturais do processo. Para testar se um processo esta sob estado

de controle havera necessidade de aplicar um teste de hipotese para verificar a validade

2.3 Alarmes nos graficos de controle 7

de uma suposicao a respeito de um parametro da populacao. No controle de processos

testam-se as seguintes hipoteses: H0 hipotese que considera o processo sob controle e

H1 considera o processo fora de controle. Para um grafico de X , tem-se H0 : µx = µ0

e H1 : µx 6= µ0. A hipotese H0 nao sera rejeitada quando o valor de X cair dentro dos

limites de controle, e sera rejeitada quando o valor de X cair fora dos limites de controle.

Como se trata de um teste estatıstico, ha um risco α de um valor cair fora do limite de

controle e ser julgado que o processo esta fora de controle quando na verdade ele nao

esta. Esse tipo de erro e conhecido como o erro do tipo I (”Alarme falso”). Ja o risco

β e a probabilidade de um ponto cair dentro dos limites de controle, nao sinalizando

uma causa especial. Este e o erro do tipo II (nao-deteccao) considerar erroneamente

que o processo esta em controle. Esses erros do tipo I e tipo II sao representados pelas

seguintes probabilidades:

α = Pr[X > LSCX ou X < LIC|µ = µ0

](2.4)

β = Pr[LICX ≤ X ≤ LSCX |µ 6= µ0

](2.5)

O poder do grafico de controle (Pd) em detectar uma causa especial no processo e

dado pela probabilidade de deteccao na expressao abaixo:

Pd = 1− β (2.6)

Na ocorrencia de uma alarme falso, representado na Figura 2.1 (adaptada de Costa

et al., p.65 (7)), um ponto ficou acima do limite de controle e nao houve um deslo-

camento na media do processo, ou seja, foi sinalizado indevidamente que o processo

esta sob influencia de uma causa especial. A consequencia disto e uma intervencao de

manutencao, inspecao do processo em uma hora errada, pois este sinalizou um alarme

falso. Para que o impacto de alarmes falsos sob o processo possa ser diminuıdo deve-se

dimensionar uma valor de abertura dos limites de controle que possam garantir um

menor valor para o risco α.

Quando o processo esta sujeito a uma causa especial sua media passa a ser deslo-

cada sinalizando que este processo precisa ser ajustado. Quando mais rapido o grafico

sinalizar que houve um alarme verdadeiro melhor sera para o processo, pois isto pos-

sibilitara uma rapida intervencao no processo garantindo uma menor quantidade de

produtos fora dos padroes de qualidade.

2.3 Alarmes nos graficos de controle 8

Figura 2.1: Ocorrencia de um alarme falso.

Figura 2.2: Ocorrencia de um alarme verdadeiro.

A Figura 2.2 (adaptada de Costa et al., p.70 (7)) ilustra a presenca de um alarme

verdadeiro, onde o deslocamento de media foi sinalizado no quinto ponto plotado no

grafico de controle.

2.4 Desempenho dos graficos de controle 9

2.4 Desempenho dos graficos de controle

O planejamento do grafico de controle deve ser realizado em funcao de tres parame-

tros que irao influenciar diretamente na eficiencia do grafico sinalizar quando o processo

esta fora de controle. Esses parametros sao: o tamanho da amostra n, o intervalo de

tempo da amostragem h e a largura do limite de controle k. As amostras de tama-

nho grande possibilitarao uma deteccao mais rapida de mudancas no processo, mas em

contrapartida irao aumentar os custos totais de inspecao. Ja intervalos de amostragem

mais curtos possibilitarao tambem uma deteccao mais rapida na mudanca do processo.

Estes dois parametros devem ser ajustados conjuntamente a fim de que possa tornar o

os procedimentos economicamente viaveis e que tenha eficacia de controle. Na pratica

industrial o modelo mais bem aceito e usual e de um menor intervalo de tempo entre

as amostras e amostras de tamanhos menores.

O desempenho dos graficos de controle e medido pelo seu valor de NMA, numero

medio de amostras ate o sinal.

O resultado desta equacao avalia o desempenho do grafico, pois quanto menor o

NMA mais rapido o processo ira detectar a mudanca.

Quando o processo esta sob efeito de causa especial, que o desajusta, e importante

encontrar o NMA menor possıvel, a fim de detectar rapidamente alteracao no processo.

Pretende-se no planejamento de um grafico de controle obter um valor de NMAF =1

pque seja o maior possıvel de forma a minimizar a quantidade de alarmes falsos, visto

que o processo se encontra sob controle estatıstico. Quando se realiza a comparacao

entre graficos de controle sujeitos a diferentes parametros, aquele que apresentar em

simultaneo um maior valor para o NMA em controle e um menor valor de NMAF fora

de controle devera ser considerado como o grafico mais eficaz. Importante observar que

para realizar comparacoes de desempenho dos graficos de controle e importante ajustar

os limites de controle para obter um mesmo valor de NMAF sob controle estatıstico de

modo a estabelecer-se uma comparacao de NMA’s para diferentes dimensoes de deslo-

camentos do processo (δ).

Outro parametro ja mencionado como importante na obtencao de um melhor de-

sempenho do grafico de controle e o tamanho da amostra. Este quanto maior for maior

sera o poder de deteccao, ou seja, ira proporcionar um menor valor de NMA. A Figura

2.3 (adaptada de Costa et al., p.70 (7)) a seguir apresenta a influencia do tamanho da

2.5 Grafico de controle univariado 10

amostra e do deslocamento da media no valor do NMA.

Figura 2.3: Curva de NMA vs δ.

O numero de amostras m ate a ocorrencia de um alarme segue uma distribuicao

geometrica de parametro p, independentemente de se tratar de um alarme falso ou ver-

dadeiro onde o valor esperado de M indica o numero medio de amostras ate o alarme

verdadeiro NMA ou alarme falso NMAF. Para uma situacao em que a hipotese H0 nao

e rejeitada com µx = µ0, entao p = α e NMAF = 1 − /α denominado por NMA0.

Quando a hipotese nao e rejeitada com µx 6= µ0, temos que p = Pd e NMA = 1/Pd

onde Pd = 1− β.

2.5 Grafico de controle univariado

Os graficos de controle univariados sao amplamente utilizados na industria para

monitorar uma unica caracterıstica de qualidade em uma unica etapa do processo pro-

dutivo. Este modelo de grafico e muito utilizado pelo seu facil manuseio. Quando um

ponto e plotado na regiao de acao do grafico fica mais facil identificar as causas especiais

que afetaram aquela caracterıstica de qualidade monitorada pelo grafico. Entretanto

o grafico tradicional de Shewharte muito eficaz na deteccao de deslocamentos grandes,

mas relativamente menos eficaz na deteccao de pequenas mudancas. Diante desse con-

2.6 Grafico de controle multivariado 11

texto, surgiram inumeras sugestoes de melhorias no grafico de Shewhart original afim

de melhorar sua eficiencia em pequenas mudancas. As modificacoes propostas sao para

variar alguns parametros dos graficos de controle, alterar o esquema de amostragem, e

as regras de decisao.

O grafico de controle de Shewhart se fundamenta em tres parametros fundamentais:

intervalo de amostragem, tamanho da amostra e limites de controle. A ideia de variar

algum desses parametros dos graficos de controle univariados (graficos adaptativos)

tem sido bastante explorada. Reynolds et al. (30) foram os primeiros pesquisadores

a proporem um grafico adaptativo. Eles propuseram no grafico X com um intervalo

de amostragem variavel (VSI - Variable Sampling Interval). Mais tarde, Prabhu et al.

(29) e Costa (5), independentemente, propuseram amostras de tamanho variado para

grafico X. Prabhu et al. (28) abordou o caso em que tanto o tamanho da amostra

como o intervalo entre a retiradas das amostras sao variaveis (VSSI - Variable Sam-

pling Size Interval). Costa (6) propos um grafico adaptativo com os tres parametros

fundamentais variaveis.

Outras tecnicas de controle tem sido aplicada nos graficos univariados de Shewhart,

como na soma cumulativa (CUSUM) e nas medias moveis ponderadas exponencial

(EWMA). Alguns desses trabalhos podem ser visto em Zimmer et al. (43), Costa and

Rahim (8), Epprecht et al. (10), Wu et al. (39), Jiang et al. (13), Luo et al. (21), Li

and Wang (16), Shu et al. (34), Dai et al. (9).

2.6 Grafico de controle multivariado

Ate o momento, foi abordado o monitoramento e controle de processos sob a pers-

pectiva univariada, ou seja, apenas uma variavel da qualidade era interesse da obser-

vacao. Na pratica observa-se que as industrias estao cada vez mais competitivas e

preocupadas com os nıveis de qualidade de seus produtos e processos. Inumeros fato-

res de qualidade estao sendo constantemente monitorados nos ambientes industriais,

gracas ao desenvolvimento de tecnologias que permitem coletar informacoes de maneira

rapida e frequente dos sistemas produtivos e armazena-las para uma posterior analise.

Isto e resultado da automacao. Muitos aspectos de qualidade que nao poderiam ser

monitorados, hoje podem ser verificados em tempo real. Isto aumentou consideravel-

mente as caracterısticas de qualidade que podem ser monitoradas no processo, ou seja,

existem varias variaveis da qualidade a serem controladas e monitoradas.Os graficos de

2.6 Grafico de controle multivariado 12

controle univariadas nao sao recomendas para estes casos, pois as varias caracterısticas

da qualidade podem estar relacionadas, o que ira prejudicar o desempenho dos graficos

de controle.

Quando sao monitoradas z caracterısticas de qualidade independentes utilizando z

graficos de controle univariados de Shewhart simultaneamente para verificar a estabili-

dade do processo, observa-se que ha uma distorcao na interpretacao do erro do tipo I.

Suponha que serao monitoradas duas caracterısticas de qualidade X1 e X2. Ambas com

limites de controle tres sigma resultando em uma probabilidade de exceder os limites

de controle de 0, 0027 para cada uma delas. Isto acarretara em uma probabilidade con-

junta de ambas as variaveis excederem o limite de controle simultaneamente , estando

sob controle, de (0, 0027)(0, 0027) = 0, 00000729 menor que 0, 0027. Levando a um erro

do tipo I diferente dos nıveis apresentados para os graficos de controle individuais.

Essa distorcao de interpretacao no monitoramento do processo aumenta com o

numero de caracterısticas de qualidade. Entao para p caracterısticas de qualidade a

um nıvel de significancia de α para cada p grafico de controle, a probabilidade do erro

do tipo I do processo global e dado por:

α′ = 1− (1− α)p (2.7)

Dessa forma, para as caracterısticas de qualidade X1 e X2 o erro do tipo I global

do processo e 0, 00593 praticamente o dobro do α estabelecido para cada uma dessas

variaveis.

Isso mostra que no monitoramento de graficos multivariados havera uma maior pro-

babilidade de ocorrer alarmes falsos e uma reducao no poder de deteccao a medida que

aumenta o numero de caracterısticas de qualidade a serem monitoradas.

O aumento das p caracterısticas de qualidade prova uma distorcao no procedimento

de controle conjunto. Isso ira agravar ainda mais o grafico de controle multivariado

quando as p caracterısticas de qualidade nao sao independentes, o que usualmente

ocorre quando elas se relacionam a um mesmo produto.

2.7 Distribuicao Normal Multivariada 13

2.7 Distribuicao Normal Multivariada

A distribuicao normal multivariada e uma generalizacao da normal univariada para

o caso no qual se trabalha com duas ou mais variaveis aleatorias simultaneamente. A

distribuicao normal univariada com media µ e variancia σ2 tem densidade de probabi-

lidade dada por:

f(x) =1√

2πσ2exp

{−1

2

(x− µσ

)}Para p variaveis aleatorias, dadas pelo vetor aleatorio X = [X1, X2, . . . , Xp], este

tem uma distribuicao conjunta normal multivariada de dimensao p ( ou, simplesmente,

p-variada), se sua funcao densidade for dada por:

f(x1, x2, . . . , xp) =1

(2π)p/2|Σ|1/2exp

{−1

2(x− µ)′Σ−1(x− µ)

}onde µ = (µ1, µ2, . . . , µp)

′ um vetor de dimensao p× que representa a esperanca

matematica do vetor X, isto e, µi = E(Xi), i = 1, 2, . . . , p e Σ e uma matriz positiva

definida de dimensao p×p que representa a matriz de variancias e covariancias do vetor

aleatorio X e e dada por:

Σp×p =

σ11 σ12 . . . σ1p

σ21 σ22 . . . σ2p

......

. . ....

σp1 σp2 . . . σpp

Como a matriz de covariancia e uma matriz simetrica, isto e σij = σji,∀i 6= j,

onde σii = σ2i = V ar(Xi), i = 1, 2, . . . , p e σij = Cov(Xi, Xj), i, j = 1, 2, . . . , p, (i 6= j).

Nao se pode deixar de mencionar que quando se trata de mais de uma variavel pode

acontecer que elas tenham correlacao. A correlacao e uma medida mais adequada para

estimar o grau de relacionamento linear entre duas variaveis, esta e uma grandeza

adimensional que tera seus valores de referencia entre −1 e 1 (Mingoti (22)). Esta e

dada pela seguinte formula:

pij =σij√σii√σjj

, i, j = 1, 2, . . . , p com − 1 ≥ pij ≥ 1

Assim, quanto mais proximo de 1, mais indicacao da existencia de um relaciona-

mento linear positivo entre as variaveis, e quando mais proximo de −1, mais indicacao

da existencia de um relacionamento linear negativo. Ja quando duas variaveis sao nao

correlacionadas, isto e p = 0, tem-se que estas serao independentes, dado que fazem


parte de um vetor que possui distribuicao normal multivariada (Mingoti (22)).

Para um caso em que p = 2 a funcao de densidade de X = X1, X2 pode ser escrita

em funcao do coeficiente de correlacao entre estas variaveis. Esta funcao pode ser

expressa da seguinte forma:

f(x1, x2) =1

2π√σ11σ22 (1− p2

12)× exp

{1

2 (1− p112)

[(x1 − µ2

σ11

)2

+

(x2 − µ2

σ22

)2

−2p12

(x1 − µ1√

σ11

)(x2 − µ2√

σ22

)]}Segue abaixo uma ilustracao dos graficos da distribuicao normal bivariada sob o

efeito de diferentes graus de correlacao e suas respectivas curvas de nıvel.

Figura 2.4: Distribuicao normal multivariada com p = 2, µ1 = µ2 = 0, σ11 = σ22 = 1 ep12 = 0.

2.7.1 Estimando o vetor de medias e matriz de covariancia

As estimativas dos vetores de media µ e da matriz de covariancia Σ sao obtidas

a partir de uma amostra de tamanho n, tomadas admitindo-se que o processo esteja

em controle e disponıveis m amostras. As medias e variancia amostrais para duas

caracterısticas de qualidade X1 e X2 sao calculadas, para cada amostra da seguinte


Figura 2.5: Distribuicao normal multivariada com p = 2, µ1 = µ2 = 0, σ11 = σ22 = 1 ep12 = 0, 9.

forma:

xjk =1

n

n∑i=1

xijk

{j = 1, 2

j = 1, 2 . . . ,m

S2jk =

1

n− 1

n∑i=1

(xijk − xijk)2

{j = 1, 2

j = 1, 2 . . . ,m

onde xijk e a i.a observacao da j.a caracterıstica da qualidade na k.a amostra. A

covariancia entre as caracterısticas da qualidade j e h na k.a amostra e:

Sjhk =1

n− 1

n∑i=1

(xijk − xjk) (xihk − xhk)

{k = 1, 2 . . . ,m

j 6= h

Tomam-se, entao, as medias das estatısticas xjk, S2jk e Sjhk sobre todas m amostras,

obtendo-se:

2.8 A Estatıstica T 2 de Hotellinge o grafico de controle multivariado 16

¯xj =1

m

m∑k=1

xjk j = 1, 2

S2j =

1

m

m∑k=1

S2jk j = 1, 2

Sjh =1

m

m∑k=1

Sjhk j 6= h

Os { ¯xj} sao elementos do vetor ¯X, e a media S de dimensao 2× 2 das matrizes de

covariancia amostral e construıda como:

S =

[S2

1 S12

S21 S22

]

2.8 A Estatıstica T 2 de Hotellinge o grafico de con-

trole multivariado

Para monitorar duas ou mais caracterısticas de qualidade Hotelling (12) propos

a Estatıstica T 2 que se baseou nos princıpios do grafico x de Shewart univariado.

Esta nova tecnica passou a ser amplamente utilizada para monitorar o vetor de me-

dias do processo. A estatıstica T 2 para as p caracterısticas de qualidade, dadas por

X1, X2, . . . , Xp, cada uma delas com m observacoes individuais, no instante i, e dada

por:

T 2i = n

(Xi − µ0

)′ −1∑0

(Xi − µ0

)(2.8)

onde n representa o tamanho da amostra (subgrupo racional). O vetor de media

dado por X ′ = [x1, x2, . . . , xp] e as variancias e covariancias das variaveis aleatorias

contidas em uma matriz de covariancia Σp×p. Caso o vetor da p caracterısticas siga

uma distribuicao normal multivariada e sejam independentes, teremos que os valores

de T 2i irao seguir uma distribuicao qui-quadrado com p graus de liberdade.

Agora que os valores de µ e Σ foram estimados na sessao 2.7.1 sera possıvel criar

um grafico T 2 de Hotelling. Dado que S e o estimador Σ e ¯X vetor medio do processo,

substituindo os valores de S e ¯X na equacao 2.8 teremos o seguinte:


T 2 = n(X − ¯X

)′S−1

(X − ¯X

)onde X e um vetor p× 1 que representa um conjunto de media das p caracterısticas de

qualidade,

X =

[x1

x2

]Com isso ja e possıvel realizar o calculo dos valores de T 2, utilizando a expressao

de T 2 de Hotelling. Para sintetizar os resultados desta primeira etapa da simulacao,

segue uma tabela que mostra todos os valores gerados nesta fase:

k x11k x21k x31k x1k x12k x22k x32k x2k S21k S2

2k S12k T 2k

1 x111 x211 x311 x11 x121 x222 x322 x22 S211 S2

22 S121 T 21

... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

m x11m x21m x31m x1m x12m x22m x32m x2m S21m S2

2m S12m T 2m

Media ¯x1 ¯x2 S21 S2

2 S12

Exemplo abaixo de um grafico T 2 de Hotelling.

Figura 2.6: Grafico de controle T 2 de Hotelling.


O limite de controle no grafico T 2 pode ser encontrado quando estimarmos os valores

de µ e Σ atraves de um grande numero de amostras, geralmente maiores que 100

(Montgomery (23)). Como os valores de T 2 tem um distribuicao qui-quadrado, T 2i ˜

X 2p,α entao teremos como limite de controle:

LC = X 2p,α (2.9)

O valor de α representa a probabilidade de um alarme falso e p indica o numero de

variaveis de qualidade que estao sendo monitoradas. E importante ressaltar que este

limite citado so e valido se as observacoes xi de cada variavel nao forem autocorrelaci-

onadas.

Capıtulo 3

PROCESSO

AUTOCORRELACIONADO

3.1 Consideracoes iniciais

Os graficos de controle multivariado tradicionais baseiam-se no pressuposto das

variaveis serem normalmente distribuıdas e que em relacao a cada variavel nao haja

autocorrelacao, sejam independentes. A violacao desta ultima suposicao acarreta em

um grande numero de alarmes falsos. Essa dependencia entre diferentes medicoes de

uma variavel no tempo pode ser explicada pelo desenvolvimento tecnologico dos equi-

pamentos de controle em automacao, que possibilitou uma elevada taxa de coleta de

informacoes nos sistemas produtivos, alem dos pequenos Leads Times dos processos

produtivos devido a automacao. Com isso muitos processos industriais modernos estao

propensos a gerar dados com efeito de autocorrelacao. Exemplo tambem citado por

Montgomery (23) que a suposicao de independencia tambem era muitas vezes violada

em processos quımicos e farmaceuticos. Tais processos com esse efeito da autocorrela-

cao prejudicam o desempenho dos graficos de controles tradicionais. Alwan e Radson

(1) mostraram que as propriedades estatısticas dos graficos de controle convencionais

sao sensıveis a nıveis ainda pequenos de autocorrelacao, que podem causar uma maior

probabilidade de alarme falso. Entao surge a necessidade de fazer adaptacoes nos gra-

ficos de controles convencionais ou criar novos modelos para o controle destes processos

que quebram o pressuposto da independencia. Uma das maneiras de se lidar com a

autocorrelacao foi ajustar os limites de controle de modo a controlar a taxa de alarme

falso e trabalhar com os dados originais. Esta abordagem foi estudada por: Claro (4),

Vanbrackle e Reynolds (36) e Schmid (37). Ja para uma segunda abordagem, utiliza-se

os resıduos da variavel de monitoramento ajustando a um modelo de serie temporal

19

3.1 Consideracoes iniciais 20

que descreva o comportamento autoregressivo dos dados. Existem muitos modelos e

adaptacoes dessa abordagem, que pode ser vista em Alwan e Roberts (2), Montgomery

(24), Montgomery e Mastrangelo (25), Harris e Ross (11), Montgomery et al. (26), Lu

e Reynolds (19) e Loredo et al. (17).

Alem da problematica da autocorrelacao, verificou-se a necessidade de controlar

inumeras partes do processo para garantir a qualidade total do produto. Isto fez com

que varias caracterısticas de qualidade passassem a ser monitoradas e estas sujeitas ao

efeito da autocorrelacao. O controle estatıstico de processos multivariado e bastante

complexo, e esta complexidade fica ainda maior quando o processo esta na presenca

da autocorrelacao. Alguns metodos multivariados no controle estatıstico de processos

foram desenvolvidos para tratar observacoes autocorrelacionadas, Runger e Willemain

(31) apresentou uma tecnica no controle estatıstico multivariado para tratamento de

dados com autocorrelacao. A tecnica apresentada se relaciona com metodo da analise

de componentes principais distinguindo entre tipos de causas especiais e apresenta um

controle estatıstico baseado na decomposicao dos componentes principais, os quais nao

sao autocorrelacionados. Noorossana e Vaghefi (27) descobriam o quanto a autocor-

relacao poderia prejudicar no desempenho do NMA no grafico de soma cumulativa

multivariada (MCUSUM). Muer e Jing (41) estudaram um processo bivariado auto-

correlacionado, em que uma caracterıstica era independente da outra e estas seguiam

um modelo autoregressivo de primeira ordem. Jing e Muer (14) , propos um modelo

baseado em resıduos de um grafico de controle T 2 em que investiga processos biva-

riados autocorrelacionados em que uma caracterıstica possui autocorrelacao seguindo

um modelo autoregressivo de primeira ordem, enquanto que as observacoes da outra

caracterıstica sao independentes. Xia e Jeffrey (40), expandiram o monitoramento de

graficos univariados residuais para o ambiente multivariado e com isso, utilizando o

vetor autoregressivo (VAR), foi possıvel examinar os efeitos das mudancas de parame-

tros de processo no grafico residual VAR. Xia e Jeffrey (40) avaliaram o desempenho

do grafico em termos de NMA obtidos por simulacao e mostraram a viabilidade de um

grafico de controle VAR.

Ryan (32) apresenta que os graficos residuais nao tem o mesmo desempenho dos

graficos tradicionais aplicados a processos independentes, por causa da resposta dos

resıduos. As mesmas conclusoes foram obtidas por Wardell et al. (38) apos estudar

a distribuicao do numero de amostras dos resıduos ate o sinal e, mais recentemente,

Jamal (3) e Lu e Reynolds (19).

3.2 Modelo auto-regressivo AR(1) 21

3.2 Modelo auto-regressivo AR(1)

Os procedimentos usais do controle multivariado de processo sao desenvolvidos sob a

suposicao de que os vetores das variaveis sao normalmente e identicamente distribuıdos

com vetor de media µ e uma matriz de covariancia Σ. De acordo com os intervalos de

amostragem do processo o vetor de observacoes Yt no tempo t pode ser representado

por:

Yt = µ+ εt, t = 1, 2 . . .

onde εt e um vetor de erro aleatorio com distribuicao normal e independente com

vetor de media zero e matriz de covariancia Σ. Para determinar se o processo esta

sob controle com relacao ao vetor de medias quando tem-se uma matriz de covariancia

Σ conhecida usa-se, segundo Montgomery (23), o modelo semelhante ao de Shewart,

LSC = X 2p,α, como grafico de controle com limite superior X 2 utilizando a seguinte

estatıstica:

X 2 = (Yt − µ0)′Σ−1(Yt − µ0)

onde µ0 e o valor alvo do vetor de media.

No entanto em muitos processos de producao a suposicao de independencia e vio-

lada, que por sua vez afetam diretamente na determinacao correta do limite de controle,

e a consequencia e uma grande quantidade de alarmes falsos. O do processo que apre-

senta autocorrelacao provoca uma reducao no desempenho do grafico. Isto pode levar

a um valor de NMAF menor que o esperado, quando o processo esta sob controle.

Para superar tal problematica e necessario primeiramente conhecer e modelar os pa-

droes de series temporais encontrados. Em muitos processos industriais os valores das

caracterısticas de qualidade medidas, ao longo do tempo, se ajustam a um modelo co-

nhecido AR(1).Com respeito aos graficos de controle multivariados Kramer e Schmid

(15) utilizaram modelo AR(1) para modificacoes da EWMA multivariada na presenca

de autocorrelacao. Para um processo autocorrelacionado o modelo AR(1) e dado por:

Yt = µ+ φ(Yt−1 − µ) + εt, t = 1, 2, . . . , Y0 = µ, ε ˜ N(0, σε)

onde µ e o valor medio da variavel no tempo, φ(−1 < φ < 1) e uma constante que

indica o parametro da autocorrelacao, εt e erro independente e normalmente distribuıdo

com media zero e desvio padrao σε.

Capıtulo 4

MODELO DA SIMULACAO

4.1 Gerando Amostras

Diante da problematica encontrada em monitorar processos multivariados que es-

tao sob efeito da autocorrelacao em seus dados, foi proposto neste trabalho simular um

modelo bivariado que pudesse representar situacoes do cotidiano utilizando parametros

inerentes a esse tipo de processo, e observar o desempenho do grafico T 2 de Hotelling

bivariado nesse cenario. A primeira suposicao foi considerar que uma das duas ca-

racterısticas de qualidade estavam sob efeito de autocorrelacao dentro de um mesmo

subgrupo racional. Outra suposicao considerada no modelo que estas caracterısticas

de qualidade possuıam uma correlacao entre si. Para melhor exemplificar este modelo

segue a estrutura para gerar as 10.000 amostras com 3 observacoes cada (x1, x2, x3):

x1i = µx + εx1i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 (4.1)

x2i = µX + φ(x1i − µX) + εx2i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 (4.2)

x3i = µX + φ(x3i − µX) + εx3i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 (4.3)

onde, µX e media da caracterıstica de qualidade x e εx1i , εx2i e εx3i sao os erros aleatorios

independentes e normalmente distribuıdos de cada elemento da amostra. A expressao

(4.1) representa o primeiro elemento retirado em uma amostra de tamanho tres (n = 3)

em um instante i, x1i e o primeiro elemento da amostra retirado no instante i. O se-

gundo elemento retirado da amostra e a observacao x2i que possui uma autocorrelacao

com a x1i determinada pelo coeficiente φ. E por ultimo o elemento x3i que possui auto-

correlacao φ com x2i . O primeiro passo para criar essas amostras foi gerar um vetor X1

supondo normal N(0, 1) de tamanho i = 10.000, a partir do vetor X1 gera-se os 10.000

22

4.1 Gerando Amostras 23

elementos de X2 segundo a equacao 4.3, em seguida, gera-se os 10.000 elementos de X3

segundo a equacao 4.3. Importante mencionar que neste trabalho os valores adotados

para simular autocorrelacao serao positivos 0 ≤ φ ≤ 1. Apos este processo temos um

vetor com 10.000 amostras tendo, cada um, 3 observacoes (x1, x2, x3).

O passo seguinte foi gerar os valores da segunda caracterıstica de qualidade denomi-

nada aqui por Y . E sabido que esta caracterıstica tera uma correlacao com X. Abaixo

expressao matematica que mostra como foram gerados os dados das 10.000 amostras

de Y com observacoes 3 observacoes cada (y1,y2,y3):

y1i = ρx1i + εy1i N(0, 1) i = 1, 2, . . . 10.000

y2i = ρx2i + εy2i N(0, 1) i = 1, 2, . . . 10.000

y3i = ρx2i + εy3i N(0, 1) i = 1, 2, . . . 10.000

onde ρ representa o coeficiente de correlacao entre a caracterıstica Y e X. εy1i , εy2i e

εy3i e o erro aleatorio independente e normalmente distribuıdo dos tres elementos da

amostra. O primeiro elemento de cada amostra de Y possui uma correlacao com o

primeiro elemento de uma amostra de X e assim por diante ate o terceiro e ultimo

elemento de cada amostra, fazendo com que as observacoes da variavel y sejam geradas

com correlacao com a caracterıstica de qualidade x. Como estao sendo tratadas carac-

terısticas de qualidade de um determinado produto e normal que aspectos de qualidade

deste possam ter relacao com outro aspecto do produto, ou seja, haja correlacao. O

vetor de amostra de Y tera tambem o mesmo tamanho de X com o valor de m = 10.000

amostras.

O processo de criacao anterior pode ser expandido para que seja simulado dados

com amostras de diferentes tamanhos. Neste trabalho optou-se tambem por criar dados

de um processo multivariado autocorrelacionado com amostras de tamanho 3, 4 e 5.

Segue abaixo o modelo analıtico de criacao dos dados autocorrelacionados para duas

variaveis de qualidade com tamanhos de amostra 4 e 5.

4.1 Gerando Amostras 24

Para n = 4 da variavel X temos:

x1i = µx + εx1i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 (4.4)

x2i = µX + φ(x1i − µX) + εx2i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

x3i = µX + φ(x2i − µX) + εx3i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

x4i = µX + φ(x3i − µX) + εx4i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

Para n = 4 da variavel Y temos:

y1i = ρx1i + εy1i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

y2i = ρx2i + εy2i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

y3i = ρx3i + εy3i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

y4i = ρx4i + εy4i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

Para n = 5 da variavel X temos:

x1i = µx + εx1i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

x2i = µX + φ(x1i − µX) + εx2i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

x3i = µX + φ(x2i − µX) + εx3i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

x4i = µX + φ(x3i − µX) + εx4i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

x5i = µX + φ(x4i − µX) + εx5i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

Para n = 5 da variavel Y temos:

y1i = ρx1i + εy1i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

y2i = ρx2i + εy2i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

y3i = ρx3i + εy3i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

y4i = ρx4i + εy4i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

y5i = ρx5i + εy4i N(0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

Estes modelos acima sao responsaveis por gerar dados autocorrelacionados para

duas varaveis que representam as duas caracterısticas de qualidade desta pesquisa.

Estes modelos analıticos para a criacao dos dados autocorrelacionados sao criados em

funcao dos valores de φ e ρ. Para a criacao de dados da caracterıstica de qualidade X e

4.2 Determinacao dos limites de controle 25

inserido dentro da amostra um valor de φ que faz com que elementos retirados de uma

mesma amostra tenham uma autocorrelacao. Este valores para esta pesquisa estao

variando entre φ = {0, 0; 0, 3; 0, 5; 0, 7}. Na outra caracterıstica de qualidade Y tera

uma correlacao ρ = {0, 0; 0, 3; 0, 5; 0, 7} com a variavel X, ou seja, apenas a variavel

X tera efeito de autocorrelcao direta e a varavel Y tera uma correlacao com a variavel

X, o que ira trazer indiretamente efeitos da autocorrelacao para esta variavel por elas

serem correlacionadas.

4.2 Determinacao dos limites de controle

Nas aplicacoes do controle de qualidade multivariado, observou-se que os limites

de controle para a estatıstica T 2 de Hotelling (eq.2.9) e importante para determinar a

eficacia do monitoramento, e isto ira depender de como o grafico esteja sendo usando.

Ha duas fases distintas no uso de um grafico de controle. Fase 1 e utilizado o grafico

de controle para determinar se o processo esta sob controle estatıstico e determinar

atraves dos m subgrupos extraıdos os valores estimados de ¯x e S. O objetivo da fase

1 e obter um processo em controle para que se possa determinar o limite de controle

para ser utilizado na fase 2 , que e o monitoramento da producao futura.

Segundo Montgomery (23), quando µ e Σ sao estimados a partir de um grande

numero de amostras preliminares, costuma-se usar o LSC = X 2α,p como limite superior

de controle em ambas as fases, 1 e 2. Como utilizamos uma amostra m = 10.000

elementos o limite superior de controle sera calculado utilizando X 2α,p onde α e o erro

do tipo I (”Alarme falso”) e p e os graus de liberdade determinado pelo numero de

caracterısticas a serem monitoradas. Utilizado um α = 0, 005 e um valor p = 2, pois

trata-se de um caso bivariado, e encontrado na literatura um valor tabelado para esse

limite de controle de LSC = X 20,005,2 = 10, 5977. Este limite garante que o processo

estando em controle, ou seja, na ausencia de um deslocamento de media para ambas

as variaveis, havera apenas 0, 5% (50 amostras) dos pontos que excederao este valor.

Isto servira para validar o algoritmo de busca (ver anexo) criado para determinar o

limite de controle em processos com autocorrelacao. Visto que neste caso nao podemos

usar o resultado de que o LSC = X 20,005,2, pois a suposicao de independencia nao e

satisfeita. O teste feito na ausencia de autocorrelacao e sem deslocamentos de media,

usando o processo de simulacao proposto,encontrou um limite de controle simulado

de LSC = 10, 58226, o que se aproxima bastante do valor real X 20,005,2 = 10, 59226,

mostrando que o algoritmo proposto e preciso. Segue abaixo o exemplo de grafico de

4.2 Determinacao dos limites de controle 26

controle realizado na simulacao para encontrar o limite de controle.

Figura 4.1: Grafico utilizado para validar o algoritmo que determinalimite de controle.

Este mecanismo de busca do limite de controle utilizado pelo algoritmo proposto

ordena todos os valores de T 2 em um vetor de ordem crescente. Apos essa organizacao

ira garantir que 50(α = 0, 5%) amostras das 10.000 fiquem acima do limite de controle.

Para isso o limite de controle ficara igual a:

LSCsimulado =T 2

50 + T 251

2

Assim com este modelo validado poderemos agora analisar quais os ajustes no li-

mite de controle deve ser feito na presenca de autocorrelacao.

Mas quando estamos trabalhando com processos multivariados na presenca da au-

tocorrelacao percebe-se que mesmo nao havendo deslocamento de media no processo

este passa a ter pontos que excedem o limite de controle provocando uma grande quan-

tidade de alarmes falsos prejudicando a confiabilidade do grafico de controle ver Figura

4.2 abaixo. E essa quantidade de pontos que excedem o limite de controle aumenta a

medida que a autocorrelacao fica mais forte, ou seja, quando φ se aproxima de 1. O

exemplo grafico abaixo e realizado atraves do algoritmo construıdo no capıtulo anterior

utilizando um φ = 0, 5.

Percebe-se claramente em funcao do limite utilizado na literatura de X 20,005,2 =

10, 5977 que a quantidade de pontos fora e alta (ver Figura 4.2), mostrando que houve

4.3 Simulacao do LSC pelo algoritmo proposto 27

Figura 4.2: Grafico T 2 de Hotelling sob efeito de autocorrelacao φ =0, 5

uma grande quantidade de alarmes falsos, dado que o processo nao teve deslocamento

de media. Como a unica influencia para isso foi a presenca da autocorrelacao, para

que o grafico de controle multivariado tenha uma menor quantidade de alarmes falsos

o limite de controle devera sofrer um alargamento que garanta um α = 0, 5%.

4.3 Simulacao do LSC pelo algoritmo proposto

Os resultados numericos obtidos nesse trabalho sao para valores nao negativos de φ,

correspondendo a valores nao negativos de ρ. A justificativa para tal opcao e que, Lu

e Reynolds (20) argumentam que em aplicacoes onde se deseja monitorar o processo,

existem muito mais situacoes de autocorrelacao positiva que negativa.Os parametros

que variados nas simulacoes foram os valores do coeficiente de autocorrelacao φ e o

valor da correlacao ρ. Estes dois sofreram variacoes de acordo com o seguinte intervalo

0, 0; 0, 3; 0, 5 e 0, 7.

Segue os resultados dos novos limites de controle ajustados, pelo algoritmo, na

presenca de autocorrelacao.


n = 3φ ρ S1 S12 S22 LC0,0 0,0 1,00 1,00 0,00 10,580,3 0,0 0,82 1,00 0,00 16,340,5 0,0 0,73 1,00 0,00 24,040,7 0,0 0,66 1,00 0,00 35,690,3 0,3 0,82 1,07 0,25 16,300,5 0,3 0,73 1,07 0,22 24,040,7 0,3 0,66 1,06 0,20 35,540,3 0,5 0,82 1,20 0,41 16,350,5 0,5 0,73 1,18 0,36 24,020,7 0,5 0,66 1,17 0,33 35,620,3 0,7 0,82 1,40 0,58 16,320,5 0,7 0,73 1,36 0,51 23,980,7 0,7 0,66 1,32 0,46 35,680,0 0,3 1,00 1,09 0,30 10,630,0 0,5 1,00 1,25 0,50 10,620,0 0,7 1,00 1,49 0,70 10,57

Tabela 4.1: Novos limites de controle na presenca de autocorrelacao para n = 3.

n = 4φ ρ S1 S12 S22 LC0,0 0,0 0,00 1,00 0,00 10,590,3 0,0 0,00 1,00 0,00 16,440,5 0,0 0,00 1,00 0,00 25,070,7 0,0 0,00 1,00 0,00 40,010,3 0,3 0,00 1,08 0,26 16,450,5 0,3 0,00 1,07 0,24 25,090,7 0,3 0,00 1,07 0,23 40,030,3 0,5 0,00 1,22 0,44 16,450,5 0,5 0,00 1,20 0,41 25,150,7 0,5 0,00 1,19 0,38 40,060,3 0,7 0,00 1,43 0,61 16,490,5 0,7 0,00 1,40 0,57 25,080,7 0,7 0,00 1,37 0,54 40,110,0 0,3 0,00 1,09 0,30 10,590,0 0,5 0,00 1,25 0,50 10,580,0 0,7 0,00 1,49 0,70 10,59


E observado um alargamento do limite de controle a medida que o valor da autocor-


n = 5φ ρ S1 S12 S22 LC0,0 0,0 0,00 1,00 0,00 10,590,3 0,0 0,00 1,00 0,00 16,490,5 0,0 0,00 1,00 0,00 25,700,7 0,0 0,00 1,00 0,00 43,210,3 0,3 0,00 1,08 0,27 16,480,5 0,3 0,00 1,08 0,26 25,680,7 0,3 0,00 1,08 0,26 43,120,3 0,5 0,00 1,23 0,46 16,520,5 0,5 0,00 1,22 0,44 25,690,7 0,5 0,00 1,21 0,43 43,260,3 0,7 0,00 1,45 0,64 16,510,5 0,7 0,00 1,43 0,61 25,690,7 0,7 0,00 1,42 0,60 43,190,0 0,3 0,00 1,09 0,30 10,610,0 0,5 0,00 1,25 0,50 10,600,0 0,7 0,00 1,49 0,70 10,61


relacao cresce, independendo do valor de ρ fixado. Exemplo desta ocorrencia e quando

e analisado um valor de φ = 0, 7 e ρ = 0, 0 para um n = 3, que chega a alargar o limite

de controle em tres vezes mais em relacao ao valor tabelado de 10, 5977, chegando a um

valor de 35, 69. Isto mostra que se comete um erro absurdo utilizando-se LSC = X 20,005,2

quando na presenca de autocorrelacao. Vejamos na Figura 4.3 um exemplo do alarga-

mento no grafico de controle para uma situacao em que o valor φ = 0, 5 e ρ = 0, 0 para

n = 3. A linha verde representa o novo limite de controle igual LC=24,04 e a linha

azul representa o limite de controle utilizando uma X 20,005,2.

Outra questao importante a ser analisada dos resultados da Tabela 4.3 acima e a

pouco influencia da correlacao entre as variaveis na determinacao dos limites de con-

trole. Percebe-se que mesmo variando os valores de ρ para um φ constante, os limites

de controle pouco se alteram.


Figura 4.3: Comparativo dos limites de controle tabelado e simuladopara um grafico T 2 de Hotelling na presenca de autocorrelacao φ =0, 5

4.4 Desempenho do grafico T 2 sob autocorrelacao

com novos limites de controle

O NMA, numero medio de amostras ate o sinal, tem sido adotado como medida de

desempenho do grafico de controle mais utilizada quando o intervalo de tempo entre

as amostras for constante. Quando as observacoes de X sao independentes, o NMA e

o inverso do poder de deteccao do grafico de controle, isto e, NMA = 1/p. Ja quando

o processo esta sob controle usa-se o NMAF, numero medio de amostra ate um alarme

falso, que e o inverso de α, isto e, NMAF = 1/α. No capıtulo anterior os limites de

controle foram ajustados para garantir que na construcao do grafico de controle (Fase

I) obtivesse o valor α = 0, 005 (Formula 2.7) isto e um NMAF=200. Atendido aos

quesitos de construcao do grafico na Fase I, o proximo passo e testar o desempenho

dos graficos de controle multivariado na presenca da autocorrelacao e na presenca de

causas especiais que perturbem a media do processo para poder analisar a velocidade

dessa deteccao na Fase II de monitoramento. Nesta fase deseja-se que o NMA seja o

menor possıvel, para que uma mudanca seja rapidamente detectada.

Para causar uma perturbacao na media do processo de controle, deve-se primei-

ramente em um caso de processo bivariado determinar quais nıveis de deslocamento

de media que as duas caracterısticas da qualidade estao sujeitas. Para esta simu-

lacao adotou-se deslocamentos de media expresso, em geral, em unidades δ do des-


vio padrao de X. Ficando da seguinte forma: a variavel x1 com deslocamento de

δx(0, 0; 0, 5; 1, 0; 1, 5) e a variavel x2 com deslocamentos δy(0, 0; 0, 5; 1, 0; 1, 5). O pro-

ximo passo e inserir estes deslocamentos no modelo analıtico que gera os dados do

processo autocorrelacionado.

Segue abaixo o resultado da insercao do deslocamento de media δx e δy Para para

amostras de tamnho n=3. A primeira caracterıstica de qualidade denominada pela

variavel x segue o modelo com a insercao do deslocamento de media no subgrupo

racional:

x1i = µx + δx + εx1i i = 1, 2, . . . , 1.000

x2i = µX + δx + φ(x1i − µX − δx) + εx2i i = 1, 2, . . . , 1.000


Agora a segunda caracterıstica de qualidade denominada pela variavel y segue o

modelo com a insercao do deslocamento de media no subgrupo racional:

y1i = ρ(µx + δx + εx1i ) + εy1i + δy i = 1, 2, . . . , 1.000

y2i = ρ[µX + δx + φ(x1i − µX − δx) + εx2i ] + εy2i + δy i = 1, 2, . . . , 1.000

y3i = ρ[(µX + δx + φ(x2i − µX − δx) + εx3i ] + εy3i + δy i = 1, 2, . . . , 1.000

Para n = 4 insercao do deslocamento de media δx na variavel X:

x1i = µx + δx + εx1i i = 1, 2, . . . , 1.000




Para n = 4 insercao do deslocamento de media δy na variavel y:


y1i = ρ(µx + δx + εxy) + εy1i + δy i = 1, 2, . . . , 1.000




Para n = 5 insercao do deslocamento de media δx na variavel X:

x1i = µx + δx + εx1i i = 1, 2, . . . , 1.000





Para n = 5 insercao do deslocamento de media δy na variavel y:

y1i = ρ(µx + δx + εx1i ) + εy1i + δy i = 1, 2, . . . , 1.000





O modelo que sera capaz de gerar dados com deslocamento de media, variacoes

de autocorrelacao φ e correlacao ρ. Nesta fase de simulacao optou-se por diminuir o

tamanho da amostra para 1.000, pois o interesse na fase II de monitoramento e apenas

armazenar qual e a primeira amostra que excede o limite de controle, nao havendo

necessidade de criar amostras de tamanho 10.000 que poderia elevar consideravelmente

o tempo de simulacao. O proximo passo e fazer diferentes combinacoes entre estes as-

pectos do processo e realizar diferentes simulacoes para testar o desempenho do grafico


de controle multivariado.Para analisar o desempenho dos graficos na Fase II com seus

limites de controles ajustados, o programa devera determinar, para cada combinacao

de φ, ρ, δx e δy, a posicao em que a primeira amostra ultrapassa o limite de controle e

armazenar esta posicao em um vetor de posicao. Esta interacao sera realizadas 1.000

vezes, ou seja, para cada combinacao dos parametros do grafico sera gerado 1.000 va-

lores de NMA e apos este processo sera calculado a media geometrica representando

assim com uma pequena margem de erro o valor do aproximado do NMA.

Nas tabelas abaixo sera apresentando os resultados do desempenho dos graficos,

medidos pelo NMA, com os novos limites de controle proposto.

4.4 Desempenho do grafico T 2 sob autocorrelacao com novos limites de controle 34ρ

=0,

0LC

10,5

810,5

910,5

916,3

416,4

416,4

924,0

425,0

725,7

035,6

940,0

143,2

1NMA

n=

3n

=4

n=

5n

=3

n=

4n

=5

n=

3n

=4

n=

5n

=3

n=

4n

=5

δ xδ y

φ=

0,0

φ=

0,3

φ=

0,5

φ=

0,7

0,0

0,0

199,

3019

8,57

197,

7420

0,53

201,

5919

7,61

196,

0919

8,23

196,

5719

9,42

202,

1619

7,27

0,0

0,5

52,7

941

,28

31,5

511

7,23

99,7

879

,29

151,

6414

4,90

145,

9117

2,13

173,

8616

7,35

0,0

1,0

10,4

96,

794,

9828

,51

19,0

313

,12

73,8

355

,76

44,5

712

1,73

114,

6210

5,30

0,0

1,5

3,11

2,23

1,67

7,54

4,70

3,09

22,0

113

,87

9,58

58,7

052

,51

42,3

30,

00,

019

9,30

198,

5719

7,74

200,

5320

1,59

197,

6119

6,09

198,

2319

6,57

199,

4220

2,16

197,

270,

50,

055

,88

41,1

633

,42

61,0

749

,12

41,3

476

,19

63,5

459

,60

89,2

384

,18

84,3

70,

50,

526

,72

18,2

013

,22

41,5

133

,53

25,1

460

,05

53,6

046

,36

84,3

376

,19

72,3

90,

51,

07,

404,

933,

5916

,92

11,3

47,

6935

,07

28,6

020

,44

57,8

155

,21

49,4

10,

51,

52,

741,

881,

525,

913,

642,

5614

,96

9,65

6,19

33,8

930

,62

23,8

91,

00,

010

,35

6,72

4,91

13,8

29,

997,

9518

,55

15,6

913

,82

27,7

227

,17

26,2

21,

00,

57,

945,

003,

5511

,56

8,14

6,39

17,0

614

,23

11,3

625

,30

23,5

722

,32

1,0

1,0

3,76

2,58

1,89

6,52

4,54

3,35

12,1

39,

017,

3519

,35

19,0

017

,59

1,0

1,5

1,98

1,44

1,22

3,39

2,35

1,67

6,77

4,76

3,40

13,3

611

,58

8,99

1,5

0,0

3,00

2,21

1,74

4,57

3,34

2,66

6,43

5,49

4,94

9,81

9,67

9,13

1,5

0,5

2,81

1,92

1,53

4,15

2,91

2,40

6,18

5,15

4,05

9,13

9,10

8,46

1,5

1,0

1,99

1,45

1,23

2,89

2,24

1,75

4,82

3,84

3,07

7,73

7,51

6,78

1,5

1,5

1,41

1,15

1,05

1,96

1,50

1,28

3,32

2,56

2,01

5,64

5,09

4,63

Tab

ela

4.4:

Val

ores

deNMA

par

ao

grafi

coT

2so

bau

toco

rrel

acao

(ρ=

0,0)

.


=0,

3LC

10,6

310,5

910,6

116,3

016,4

516,4

824,0

425,0

925,6

835,5

440,0

343,1

2NMA

n=

3n

=4

n=

5n

=3

n=

4n

=5

n=

3n

=4

n=

5n

=3

n=

4n

=5

δ xδ y

φ=

0,0

φ=

0,3

φ=

0,5

φ=

0,7

00

198,

5619

6,86

197,

0820

1,08

202,

6319

9,32

198,

819

6,2

198,

0919

8,08

196,

0419

6,79

00,

553

,65

39,1

932

,59

115,

697

,34

84,3

914

8,96

145,

2614

0,3

163,

2216

6,12

165,

750

110

,21

6,82

5,09

29,9

920

,66

12,8

473

,52

59,3

644

,01

116,

0910

9,35

101,

040

1,5

3,09

2,21

1,68

7,46

4,44

2,99

22,2

914

,38

9,29

63,2

749

,54

43,3

20,

50

55,0

842

,03

35,7

758

,08

49,3

541

,77

71,0

367

,35

58,8

85,9

985

,76

88,2

0,5

0,5

26,0

719

,18

13,2

142

,37

32,6

826

,04

62,8

53,5

244

,32

79,1

577

,06

76,3

90,

51

7,79

4,92

3,54

16,2

812

,09

7,74

33,3

625

,84

20,2

55,4

756

,25

49,3

10,

51,

52,

81,

861,

496,

163,

752,

4815

,38

9,89

6,66

33,5

828

,73

23,1

51

010

,94

6,66

4,79

12,6

410

,18

7,45

19,4

916

,04

13,5

726

,36

26,4

525

,83

10,

57,

334,

743,

3910

,82

8,61

6,01

17,5

213

,11

11,5

924

,95

22,8

921

,73

11

3,68

2,48

1,92

6,4

4,42

3,35

11,4

88,

737,

1119

,65

18,3

15,6

21

1,5

1,92

1,43

1,25

3,36

2,25

1,67

6,36

4,5

3,49

12,8

911

,12

10,2

91,

50

3,32

2,24

1,69

4,61

3,4

2,51

6,54

5,5

4,78

9,72

9,78

9,3

1,5

0,5

2,8

1,93

1,49

3,88

2,94

2,28

6,07

53,

989,

679,

148,

31,

51

1,95

1,45

1,2

2,95

2,16

1,75

4,7

3,84

3,19

7,72

7,21

6,68

1,5

1,5

1,41

1,15

1,05

1,99

1,54

1,29

3,28

2,55

2,02

6,13

5,36

4,34

Tab

ela

4.5:

Val

ores

deNMA

par

ao

grafi

coT

2so

bau

toco

rrel

acao

(ρ=

0,3)

.


=0,

5LC

10,6

210,5

810,6

016,3

516,4

516,5

224,0

225,1

525,6

935,6

240,0

643,2

6NMA

n=

3n

=4

n=

5n

=3

n=

4n

=5

n=

3n

=4

n=

5n

=3

n=

4n

=5

δ xδ y

φ=

0,0

φ=

0,3

φ=

0,5

φ=

0,7

00

202,

2619

5,54

201,

1819

9,45

199,

219

7,93

196,

720

2,26

200,

9720

0,48

197,

8319

6,42

00,

557

,29

39,7

235

,22

111,

796

,281

,415

0,8

157,

113

8,7

177,

4116

2,89

161,

720

111

,29

6,74

5,07

28,7

418

,96

13,8

671

,37

56,2

148

,411

9,25

109,

2195

,19

01,

53,

232,

221,

627,

534,

532,

9822

,914

,24

9,5

58,9

150

,36

41,8

60,

50

51,2

641

,14

34,3

660

,37

49,2

843

,59

71,9

765

,61

58,2

89,0

190

,383

,48

0,5

0,5

25,5

918

,89

13,5

340

,232

,87

25,9

263

,24

52,6

448

,180

,96

76,3

174

,26

0,5

18

4,89

3,56

17,1

611

,22

7,81

37,3

827

,06

21,1

656

,46

56,6

249

,38

0,5

1,5

2,66

1,95

1,49

5,48

3,64

2,5

14,5

99,

316,

6832

,52

27,9

825

,47

10

10,2

86,

445,

0313

,35

10,2

28,

2720

,07

15,7

413

,77

26,6

526

,19

24,2

51

0,5

8,03

4,98

3,62

11,3

47,

996,

2717

,47

13,5

611

,49

24,7

923

,95

23,5

21

13,

792,

421,

936,

244,

523,

3111

,65

9,15

7,38

19,7

518

,77

17,9

31

1,5

1,9

1,43

1,2

3,42

2,27

1,73

6,39

4,35

3,56

12,6

12,1

111,

50

3,15

2,15

1,61

4,6

3,28

2,64

6,65

5,6

4,76

10,1

89,

679,

791,

50,

52,

641,

851,

523,

922,

992,

346,

144,

874,

19,

689,

018,

51,

51

2,03

1,42

1,23

3,11

2,14

1,74

4,83

3,76

3,01

8,16

7,75

6,87

1,5

1,5

1,45

1,16

1,06

1,94

1,53

1,27

3,24

2,52

2,08

5,89

5,11

4,58

Tab

ela

4.6:

Val

ores

deNMA

par

ao

grafi

coT

2so

bau

toco

rrel

acao

(ρ=

0,5)

.


=0,

7LC

10,5

710,5

910,6

116,3

216,4

916,5

123,9

825,0

825,6

935,6

840,1

143,1

9NMA

n=

3n

=4

n=

5n

=3

n=

4n

=5

n=

3n

=4

n=

5n

=3

n=

4n

=5

δ xδ y

φ=

0,0

φ=

0,3

φ=

0,5

φ=

0,7

00

196,

0219

8,77

199,

0119

7,71

195,

620

3,94

196,

1819

7,12

199,

5319

9,17

200,

1119

7,69

00,

555

,89

40,6

135

,36

111,

598

,382

,514

7,84

144,

6613

2,54

173,

0917

5,74

166,

290

111

,26,

655,

0530

,64

18,9

813

,98

72,8

359

,03

43,7

911

7,93

107,

3310

2,81

01,

53,

352,

151,

657,

334,

453

22,3

514

,43

9,11

58,2

151

,92

43,7

70,

50

61,0

542

,51

32,7

962

,26

48,8

243

,03

74,3

767

,74

58,2

193

,86

88,4

286

,11

0,5

0,5

26,2

718

,61

13,4

243

,59

32,2

126

,52

60,4

553

,53

45,8

578

,23

76,4

877

,20,

51

7,88

5,13

3,67

16,5

611

,65

7,9

34,5

127

,83

20,9

858

,23

55,1

751

,10,

51,

52,

771,

951,

526,

093,

592,

5613

,71

9,82

6,73

34,5

328

,04

24,6

21

010

,62

6,78

4,85

13,4

510

,19

7,76

19,4

316

13,6

628

,426

,39

24,9

41

0,5

7,63

5,05

3,67

10,9

58,

496,

5217

,34

13,5

611

,87

25,2

624

22,5

81

13,

862,

491,

947,

054,

653,

3311

,25

8,77

6,86

19,8

818

,72

16,9

61

1,5

1,89

1,47

1,21

3,33

2,28

1,69

6,53

4,62

3,45

12,6

11,5

69,

711,

50

3,2

2,25

1,62

4,55

3,29

2,55

6,44

5,46

4,56

9,81

9,65

9,04

1,5

0,5

2,73

1,94

1,47

3,86

3,11

2,36

6,1

4,97

4,29

9,61

9,59

8,45

1,5

11,

881,

431,

213,

042,

171,

784,

743,

532,

977,

857,

267,

041,

51,

51,

411,

161,

072,

041,

541,

253,

242,

521,

995,

85,

254,

46

Tab

ela

4.7:

Val

ores

deNMA

par

ao

grafi

coT

2so

bau

toco

rrel

acao

(ρ=

0,7)

.


Observa-se nos resultados desta simulacao que autocorrelacao prejudica o desem-

penho do grafico de controle, levando uma diminuicao no seu poder de deteccao. Nas

tabelas acima e possıvel perceber claramente que a medida que aumenta o valor da

autocorrelacao aumenta consideravelmente os valores obtidos do NMA. Quando ocorre

um aumento de φ = 0 para φ = 0, 3 percebe-se que ja prejudica o desempenho do

grafico. Para um ρ = 0, 0, n = 3 e deslocamentos de δx = 0, 5; δy = 0, 5 temos um au-

mento de NMAs de NMA = 26, 72 para um NMA = 41, 51, ou seja, a sinalizacao no

grafico fica mais tardia, pois este processo esta sob a presenca de uma autocorrelacao

de φ = 0, 3.

Uma forma encontrada para melhorar o desempenho nesse processo multivariado

para um valor pequeno de autocorrelacao seria aumentar o tamanho da amostra. Ve-

jamos quando nas tabelas consultamos o valor do NMA para uma amostra de n = 5,

δx = 0, 5, δy = 0, 5 e ρ = 0, 0 o NMA = 25, 14 e muito proximo do valor do

NMA = 26, 72 encontrado no processo sem autocorrelacao, ou seja, aumentar o tama-

nho da amostra de n = 3 para n = 5 na presenca de autocorrelacao pequena melhora

significativamente o desempenho do grafico de controle. Mas quando estamos anali-

sando na presenca de autocorrelacao mais elevadas, proximas de φ = 0, 7 notamos que

mesmo aumentando o tamanho da amostra para n = 5 o NMA aumenta aproximada-

mente cerca de 5 vezes em relacao ao NMA com φ = 0, 0. Aumentar o tamanho da

amostra para n = 5 nao surte efeitos significativos no desempenho do grafico multi-

variado na presenca da autocorrelacao. Ja quando se analisa os valore de correlacao

entre as variaveis e possıvel perceber que nao ha praticamente nenhuma influencia no

desempenho do grafico.

Capıtulo 5

CONCLUSOES

Neste trabalho estudou-se o desempenho do grafico de controle multivariado sob

a presenca de autocorrelacao com propostas de ajustes nos limites de controle destes

graficos e analisou este desempenho com diferentes tamanhos de amostras. Utilizando

a simulacao computacional foi possıvel criar cenarios que representavam estes graficos

sob diferentes situacoes de autocorrelacao, deslocamentos de medias do processo e me-

dir o seu desempenho, atraves do numero medio e amostra ate o sinal (NMA), nestas

perspectivas. O grafico de controle multivariado utilizado nesta pesquisa foi o T 2 de

Hotelling, em que utilizou duas variaveis, este por ser uma grafico de controle mais

conhecido e usual em pesquisas na presenca de autocorrelacao.

Para tanto, foi realizado um revisao acerca dos graficos de controle univariados e

multivariados na presenca de autocorrelacao, para compreender como quais desdobra-

mento os pesquisadores estavam encontrando para minimizar os efeitos da autocorre-

lacao e melhor o desempenho dos graficos de controle. Para esta dissertacao decidiu-se

modificar um parametros do grafico de controle que foi o limite de controle e o ta-

manho da amostra, pois foi visto anteriormente que para usar limites de controle se

baseando nos limites de uma X 2 em processos sob autocorrelacao nao e adequado de-

vido a uma grande quantidade de alarmes falsos. As observacoes sao descritas por um

modelo autoregressivo de primeira ordem AR(1), este foi escolhido por ser mais simples

e representar a maioria dos processos industriais. A correlacao (ρ) entre as varaveis

tambem foi inserida no modelo para verificar a influencia desta no desempenho global

do processo. As simulacoes desta dissertacao foi dividida em duas etapas, Fase I e Fase

II, onde a primeira e para determinar os limites de controle na presenca de autocorrela-

cao e sem perturbacoes nas suas medias, que minimize o numero de alarmes falsos. Ja

a segunda etapa, fase de monitoramento, utiliza os limites encontrados na fase I para

39

5.1 Sugestoes para pesquisas futuras 40

simular o desempenho do grafico construıdo com esse novo limite de controle proposto

sob diferentes cenarios de autocorrelacao.

Pelo que foi visto, o algoritmo proposto nessas simulacoes pode ser validade devido

ao limite de controle encontrado na ausencia de autocorrelacao ser muito proximo ao

encontrado na literatura. Isso mostra que foi possıvel expandir este modelo de deter-

minacao dos limites de controle para casos que tivesse a presenca de autocorrelacao e

assim garantir uma simulacao com confiabilidade nas respostas.

Diante do exposto, pode-se concluir que autocorrelacao provoca nos graficos de con-

trole multivariado uma sinalizacao mais tardia quando este sofre alguma perturbacao

em sua media. Quanto maiores os nıveis de autocorrelacao que o processo esteja ex-

posto mais tarde sera possıvel determinar que o processo ficou fora de controle. Ja

correlacao entre as variaveis pouco interferiu no desempenho dos graficos de controle,

mostrando novamente que o maior responsavel pelo desempenho do grafico e a auto-

correlacao. Os limites de controles propostos deixa o grafico de controle eficaz quando

o processo esta em controle, mas quando este fica fora de controle sua sinalizacao ainda

fica tardia quando comparado com graficos na ausencia de autocorrelacao.

5.1 Sugestoes para pesquisas futuras

Uma extensao deste trabalho seria modificar os cenarios em que esta simulacao foi

realizada e realizar uma aplicacao real em um processo de monitoramento. Outras pos-

sıveis sugestoes de trabalhos futuros seriam: trabalhar com um modelo autoregressivo

de segunda ordem AR(2), variar numero de amostras e expandir o numero de variaveis

no controle de processo multivariado.

Apendice A

ALGORITMO NO SOFTWARE R

A.1 Fase I para n=3

lsc=0

ni=100

n=10000

resp<-array(0,dim=c(ni,2))

vars<-array(0,dim=c(ni,5))

for(i1 in 1:ni){

# Fase 1 gerar dados para criacao da matriz de covariancia

fi=0.3

ro=0.3

x1.coluna<-rnorm(n,0,1)

v.x1=rbind(x1.coluna)

X1 = matrix(v.x1, ncol=1, byrow=n)

# Criando o vetor de resıduos para o valores de x2 e x3

x2.residuo<-rnorm(n,0,1)

x2.res=rbind(x2.residuo)

vetor.residuo.x2<-matrix(x2.res, ncol=1, byrow=n)



41

A.1 Fase I para n=3 42


# Criando coluna de dados x2

v.x2<-c(1:n)

X2<-matrix(v.x2, ncol=1, byrow=n)

for(i in 1:n){X2[i,]<-fi*(X1[i, ])+vetor.residuo.x2[i, ]

}


v.x3<-c(1:n)



}A1=cbind(X1,X2,X3)

vetor.med<-c(1:n)

vetor.media.x<-matrix(vetor.med, ncol=1, byrow=n)

for(i in 1:n){vetor.media.x[i, ]<-(X1[i, ]+X2[i, ]+X3[i, ])/3

}

# Gerando os valores da variavel y

# Resıduos dos valores de y

y1.residuo<-rnorm(n,0,1)

y1.res=rbind(y1.residuo)

vetor.residuo.y1<-matrix(y1.res, ncol=1, byrow=n)








# Criando coluna de dados y1

v.y1<-c(1:n)

Y1<-matrix(v.y1, ncol=1, byrow=n)

for(i in 1:n){Y1[i,]<-ro*(X1[i, ])+vetor.residuo.y1[i, ]

}v.y2<-c(1:n)



}v.y3<-c(1:n)



}

# Comando utilizado para unir colunas de dados

B1=cbind(Y1,Y2,Y3)

# CA¡lculo da Matriz de covariancia

# Algoritmo para gerar os valores de S2j(j=1)

# j e os valores referentes as p caracteristicas

cont.s2jk=0

S2.jkvetor=c(1:n)

S2.jk<-matrix(S2.jkvetor, ncol=1, byrow=n)

for(i in 1:n){cont.s2jk=0

for(j in 1:4){


S2jk<- ((A1[i, j]−mean(A1[i, ]))2)+ cont.s2jk

cont.s2jk<-S2jk

}S2.jk[i]<-(cont.s2jk)/(3-1)

}

# OBERVACAO EDITAR O TAMANHO DE AMOSTRA NO CALCULO DE T2

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

# Algoritmo para gerar os valores de S2jk(j=2)

# Segundo conjunto de variaveis y

cont.s22k=0

S2.2kvetor=c(1:n)

S2.2k<-matrix(S2.2kvetor, ncol=1, byrow=n)

for(i in 1:n){cont.s22k=0

for(j in 1:4){S22k<- ((B1[i,j]-mean(B1[i, ]))2)+ cont.s22k

cont.s22k<-S22k

}S2.2k[i]<-(cont.s22k)/(3-1)

}

# A covariancia entre as caracterısticas da qualidade j e h na amostra k A c©:

cont.sjhk=0

Sjhkvetor=c(1:n)

Sjhk<-matrix(Sjhkvetor, ncol=1, byrow=n)

for(i in 1:n){cont.sjhk=0

for(j in 1:4){Sijk<- ((A1[i,j]-mean(A1[i, ]))*(B1[i,j]-mean(B1[i, ])))+ cont.sjhk

cont.sjhk<-Sijk }


Sjhk[i]<-(cont.sjhk)/(3-1)

}mean(S2.jk)

mean(S2.2k)

mean(Sjhk)

S2.1barra<-mean(S2.jk)

S2.2barra<-mean(S2.2k)

Sjhkbarra<-mean(Sjhk)

# (resultado<-cbind(S2.jk,S2.2k,Sjhk))

# # # # Calculo do T2 de Hotelling # # # #

cont.t2=0

T2vetor=c(1:n)

T2<-matrix(T2vetor, ncol=1, byrow=n)

# print(T2)

for(i in 1:n){T2[i,1]<-(4/((S2.1barra∗S2.2barra)−(Sjhkbarra2)))∗((S2.2barra∗((mean(A1[i, ])−

mean(A1))2))+(S2.1barra∗((mean(B1[i, ])−mean(B1))2))−(2∗Sjhkbarra∗((mean(A1[i, ])−mean(A1)) ∗ (mean(B1[i, ])−mean(B1)))))

}g<-sort(T2, decreasing=TRUE)

(g[50]+g[51])*0.5

lsc<-(novolsc=(g[50]+g[51])*0.5)

lsc

cont=0

vetor<-array(2000,dim=c(n,1))

NMA<-array(10000,dim=c(n,1))

for(i in 1:n){if(T2[i,1]>lsc){vetor[i,1]<-T2[i,1]

NMA[i,1]<-i

}cont=min(NMA)


}

# plot(T2,ylim=c(0,30),pch=16,type=”b”,col=18,xlab=”nAomero de amostras”,ylab=”TA2”,main =

”GrficodeControleT2deHotelling”)

# abline(h=lsc,col=4)

# # matriz de covariancia

# write.table(resp,file=”C: \ \ temp \ \vetorresp.txt”,sep=)

Matriz.cov<-c(mean(S2.jk),mean(Sjhk),mean(Sjhk),mean(S2.2k))

Matrix.covariancia<-matrix(Matriz.cov, ncol=2, byrow=2)

Matrix.covariancia

print(lsc)

print(cont)

print(i1)

resp[i1,1]=lsc

resp[i1,2]=cont

vars[i1,1]=mean(A1)

vars[i1,2]=mean(B1)

vars[i1,3]=mean(S2.jk)

vars[i1,4]=mean(S2.2k)

vars[i1,5]=mean(Sjhk)

}


A.2 Fase I para n=4

lsc=0

ni=100

n=10000



for(i1 in 1:ni){

# Fase 1 gerar dados para criaco ada matriz de covariancia

fi=0.3

ro=0.3




# Criando o vetor de resAduos para o valores de x2 e x3











v.x2<-c(1:n)



}



v.x3<-c(1:n)



}


v.x4<-c(1:n)



}A1=cbind(X1,X2,X3,X4)

vetor.med<-c(1:n)


for(i in 1:n){vetor.media.x[i, ]<-(X1[i, ]+X2[i, ]+X3[i, ]+X4[i, ])/4

}

# Gerando os valores da variA¡vel y

# ResAduos dos valores de y















v.y1<-c(1:n)



}v.y2<-c(1:n)



}v.y3<-c(1:n)



}v.y4<-c(1:n)



}

# Comando utilizado para unir colunas de dados

B1=cbind(Y1,Y2,Y3,Y4)

# Calculo da Matriz de covariancia

#Algoritmo para gerar os valores de S2j(j=1)


cont.s2jk=0


S2.jkvetor=c(1:n)



for(j in 1:4){S2jk<- ((A1[i, j]−mean(A1[i, ]))2)+ cont.s2jk

cont.s2jk<-S2jk

}S2.jk[i]<-(cont.s2jk)/(4-1)

}# OBERVACO AEDITAR O TAMANHO DE AMOSTRA NO CALCULO DE T2

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #


# Segundo conjunto de variaveis y

cont.s22k=0

S2.2kvetor=c(1:n)



for(j in 1:4){S22k<- ((B1[i, j]−mean(B1[i, ]))2) + cont.s22k

cont.s22k<-S22k }S2.2k[i]<-(cont.s22k)/(4-1)

}

# A covariancia entre as caracterısticas da qualidade j e h na amostra k A c©:

cont.sjhk=0

Sjhkvetor=c(1:n)





cont.sjhk<-Sijk

}Sjhk[i]<-(cont.sjhk)/(4-1)

}mean(S2.jk)

mean(S2.2k)

mean(Sjhk)





# # # # Calculo do T2 de Hotelling # # # #

cont.t2=0

T2vetor=c(1:n)

T2 < −matrix(T2vetor, ncol=1, byrow=n)

# print(T2)




(g[50]+g[51])*0.5

lsc<-(novolsc=(g[50]+g[51])*0.5)

lsc

cont=0



for(i in 1:n){if(T2[i,1]>lsc){


vetor[i,1]<-T2[i,1]

NMA[i,1]<-i

}cont=min(NMA)

}




# # matriz de covariAncia

# write.table(resp,file=”C:\ \ temp \ \vetorresp.txt”,sep=)



Matrix.covariancia

print(lsc)

print(cont)

print(i1)

resp[i1,1]=lsc

resp[i1,2]=cont

vars[i1,1]=mean(A1)

vars[i1,2]=mean(B1)




}


A.3 Fase I para n=5

lsc=0

ni=1000

n=10000



for(i1 in 1:ni){

# Fase 1 gerar dados para criaA§A£o da matriz de covariAncia

fi=0.0

ro=0.0




# Criando o vetor de resAduos para o valores de x2 e x3














v.x2<-c(1:n)


for(i in 1:n){


X2[i,]<-fi*(X1[i, ])+vetor.residuo.x2[i, ]

}


v.x3<-c(1:n)



}


v.x4<-c(1:n)



}


v.x5<-c(1:n)



}A1=cbind(X1,X2,X3,X4,X5)

vetor.med<-c(1:n)


for(i in 1:n){vetor.media.x[i, ]<-(X1[i, ]+X2[i, ]+X3[i, ]+X4[i, ]+X5[i, ])/5

}

# Gerando os valores da variA¡vel y


# ResAduos dos valores de y

















v.y1<-c(1:n)



}v.y2<-c(1:n)



}v.y3<-c(1:n)



}v.y4<-c(1:n)




}v.y5<-c(1:n)



}# Comando utilizado para unir colunas de dados

B1=cbind(Y1,Y2,Y3,Y4,Y5)

# Calculo da Matriz de covariancia

# Algoritmo para gerar os valores de S2j(j=1)


cont.s2jk=0

S2.jkvetor=c(1:n)



for(j in 1:5){S2jk<- ((A1[i, j]−mean(A1[i, ]))2) + cont.s2jk

cont.s2jk<-S2jk

}S2.jk[i]<-(cont.s2jk)/(5-1)

}#OBERVAA‡Af O EDITAR O TAMANHO DE AMOSTRA NO CALCULO DE

T2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #



# Segundo conjunto de variA¡veis y

cont.s22k=0

S2.2kvetor=c(1:n)



for(j in 1:5){S22k<- ((B1[i,j]-mean(B1[i, ]))2) + cont.s22k

cont.s22k<-S22k

}S2.2k[i]<-(cont.s22k)/(5-1)

}

# A covariAncia entre as caracterAsticas da qualidade j e h na amostra k A c©:

cont.sjhk=0

Sjhkvetor=c(1:n)




cont.sjhk<-Sijk

}Sjhk[i]<-(cont.sjhk)/(5-1)

}mean(S2.jk)

mean(S2.2k)

mean(Sjhk)






# # # # CA¡lculo do T2 de Hotelling # # # #

cont.t2=0

T2vetor=c(1:n)

T2<-matrix(T2vetor, ncol=1, byrow=n)

# print(T2)




(g[50]+g[51])*0.5

lsc<-(novolsc=(g[50]+g[51])*0.5)

lsc

cont=0



for(i in 1:n){if(T2[i,1]>lsc){vetor[i,1]<-T2[i,1]

NMA[i,1]<-i

}cont=min(NMA)

}




# # matriz de covariancia


# write.table(resp,file=”C:\ \ temp \ \vetorresp.txt”, sep =)



Matrix.covariancia

print(lsc)

print(cont)

print(i1)

resp[i1,1]=lsc

resp[i1,2]=cont

vars[i1,1]=mean(A1)

vars[i1,2]=mean(B1)




}

A.4 Fase II para n=3 60

A.4 Fase II para n=3

ni=1000


resp.final<-array(0,dim=c(4,4))

colnames(resp.final) <- c(”0”,”0.5”,”1.0”,”1.5”)

rownames(resp.final) <- c(”0”,”0.5”,”1.0”,”1.5”)

sim1=c(0,0.5,1,1.5)

sim2=c(0,0.5,1,1.5)

for(ia in 1:4){delta1<-sim1[ia]

for(ib in 1:4){delta2<-sim2[ib]

for(i1 in 1:ni){n=1000

delta1=0.0

delta2=0.0

ro=0.3

fi=0.5

x1.coluna.d<-rnorm(n,0,1)

x1.d=rbind(x1.coluna.d)+delta1

X1.d = matrix(x1.d, ncol =1, byrow=n)

x2.residuo.d<-rnorm(n,0,1)

x2.res.d=rbind(x2.residuo.d)

vetor.residuo.x2.d<-matrix(x2.res.d, ncol=1, byrow=n)





v.x2.d<-c(1:n)

X2.d<-matrix(v.x2.d, ncol=1, byrow=n)

for(i in 1:n){X2.d[i,]<-delta1+fi*(X1.d[i, ]-delta1)+vetor.residuo.x2.d[i, ]

}



v.x3.d<-c(1:n)



}A1.d=cbind(X1.d,X2.d,X3.d)

A1=A1.d

y1.residuo.d<-rnorm(n,0,1)

y1.res.d=rbind(y1.residuo.d)

vetor.residuo.y1.d<-matrix(y1.res.d, ncol=1, byrow=n)








v.y1.d<-c(1:n)

Y1.d<-matrix(v.y1.d, ncol=1, byrow=n)

for(i in 1:n){Y1.d[i,]<-(ro*(X1.d[i, ])+vetor.residuo.y1.d[i, ])+delta2

}v.y2.d<-c(1:n)



}v.y3.d<-c(1:n)



}


B1.d=cbind(Y1.d,Y2.d,Y3.d)

B1=B1.d

# GERADO OS VALORES COM DESLOCAMENTO DE MEDIA

# UTILIZAMOS OS LIMITES DE CONTROLE E MATRIZ DE COVARIA,NCIA

ENCONTRADOS NO PROCESSO EM CONTROLE

# Inserindo algoritmo para deslocamento de mA c©dia

xbarra=0.0005673193

ybarra=-0.00036627

S11=0.7295501

S12=1.066112

S22=0.2183475

lsc.medio=24.04352

T2.deslocadovetor=c(1:n)

T2.deslocado<-matrix(T2.deslocadovetor, ncol=1, byrow=n)

for(i in 1:n){T2.deslocado[i,1]<-(3/((S11∗S12)−(S222)))∗((S12∗((mean(A1.d[i, ])−xbarra)2))+

(S11∗((mean(B1.d[i, ])−ybarra)2))−(2∗S22∗((mean(A1.d[i, ])−xbarra)∗(mean(B1.d[i, ])−ybarra))))

}NMA=0

cont=0



for(i in 1:n){if(T2.deslocado[i,1]>lsc.medio){vetor[i,1]<-T2.deslocado[i,1]

NMA[i,1]<-i

cont=min(NMA)

}}cont=min(NMA)

resp[i1,1]<-cont


r<-(mean(resp[resp!=10000]))

resp.final[ia,ib]=r

}}}



ni=1000





sim1=c(0,0.5,1,1.5)

sim2=c(0,0.5,1,1.5)




delta1=0.0

delta2=0.0

ro=0.0

fi=0.0














v.x2.d<-c(1:n)


for(i in 1:n){


X2.d[i,]<-delta1+fi*(X1.d[i, ]-delta1)+vetor.residuo.x2.d[i, ]

}


v.x3.d<-c(1:n)



}# Criando coluna de dados x4

v.x4.d<-c(1:n)



}A1.d=cbind(X1.d,X2.d,X3.d,X4.d)

A1=A1.d














v.y1.d<-c(1:n)




}v.y2.d<-c(1:n)



}v.y3.d<-c(1:n)



}v.y4.d<-c(1:n)



}B1.d=cbind(Y1.d,Y2.d,Y3.d,Y4.d)

B1=B1.d


# UTILIZAMOS OS LIMITES DE CONTROLE E MATRIZ DE COVARIANCIA


# Inserindo algoritmo para deslocamento de media

xbarra=0.0001594828

ybarra=0.0002556173

S11=0.9998518

S12=1.000118

S22=0.0002046083

lsc.medio=10.59405






}NMA=0

cont=0




NMA[i,1]<-i

cont=min(NMA)

}}cont=min(NMA)

resp[i1,1]<-cont


resp.final[ia,ib]=r

}print(resp.final[1,1])

}}



ni=1000





sim1=c(0,0.5,1,1.5)

sim2=c(0,0.5,1,1.5)




delta1=0.0

delta2=0.0

ro=0.0

fi=0.0


















v.x2.d<-c(1:n)



}


v.x3.d<-c(1:n)



}


v.x4.d<-c(1:n)



}# Criando coluna de dados x5

v.x5.d<-c(1:n)



}A1.d=cbind(X1.d,X2.d,X3.d,X4.d,X5.d)

A1=A1.d


















v.y1.d<-c(1:n)



}v.y2.d<-c(1:n)



}v.y3.d<-c(1:n)



}v.y4.d<-c(1:n)



}v.y5.d<-c(1:n)




}B1.d=cbind(Y1.d,Y2.d,Y3.d,Y4.d,Y5.d)

B1=B1.d


# UTILIZAMOS OS LIMITES DE CONTROLE E MATRIZ DE COVARIANCIA


#Inserindo algoritmo para deslocamento de media

xbarra=

ybarra=

S11=

S12=

S22=

lsc.medio=





}NMA=0

cont=0




NMA[i,1]<-i

cont=min(NMA)

}}cont=min(NMA)


resp[i1,1]<-cont


resp.final[ia,ib]=r

}print(resp.final[1,1])

}}

Referencias Bibliograficas

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O EFEITO DA AUTOCORRELAC˘AO NO~ DESEMPENHO DO … · Ao meu Prof. Anton^ io Fernando Branco da Costa por aceitado ser meu co-orientaor por tao~ prontamente responder minha perguntas