O ENSINO DE TÓPICOS DE FÍSICA MEDIANTE ... - fisica.org.br · grandezas físicas como: carga, massa, distância, força, campo, potencial, energia, além de espaço, tempo, velocidade

ÉRICA CORREIA DA SILVA

O ENSINO DE TÓPICOS DE FÍSICA MEDIANTE REPRESENTAÇÕES

TÁTEIS NO MULTIPLANO

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-Graduação da Universidade

Federal do Vale do São Francisco no Curso de

Mestrado Nacional Profissional de Ensino de

Física (MNPEF), como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Ensino de Física.

Orientadora:

Prof. Dr. Letícia Maria de Oliveira.

JUAZEIRO – BA

2017

Ficha catalográfica elaborada pelo Sistema Integrado de Biblioteca SIBI/UNIVASF

Bibliotecário: Renato Marques Alves

Silva, Érica Correia da.

S586e O ensino de tópicos de física mediante representações táteis no multiplano./ Érica Correia da Silva. -- Juazeiro, 2017.

VII, 113f.: il. 29 cm Dissertação (Mestrado Nacional Profissional em Ensino de Física) -

Universidade Federal do Vale do São Francisco, Campus Juazeiro-BA, 2017.

Orientador (a): Profª. Dra.Letícia Maria de Oliveira.

1. Física – Estudo e ensino. 2 Representações táteis. I. Título. II. Oliveira, Letícia Maria de. III. Universidade Federal do Vale do São Francisco.

CDD530.07

Agradecimentos:

Agradeço:

À CAPES pelo apoio financeiro por meio da bolsa concedida.

A SBF pela iniciativa de oferecer essa grande oportunidade de aprendizagem.

Aos meus pais, João Nunes da Silva e Eliane Correia da Silva, e irmã Eline Correia da Silva,

pela base educacional.

A meu esposo, João Graça Neto, pelo companheirismo e inspiração.

Aos professores do Departamento de Física da UNIVASF que me ensinaram a aprender, em

especial Aníbal Livramento da Silva Netto.

Aos meus colegas, em especial Carla Patrícia, pela garra e companheirismo.

E principalmente a minha orientadora, por sua singular forma de ver a Física e transmiti-la

com propriedade, além do apoio e dedicação ao longo do curso.

RESUMO

O ENSINO DE TÓPICOS DE FÍSICA MEDIANTE REPRESENTAÇÕES TÁTEIS NO

MULTIPLANO

Orientadora:

Prof. Dr. Letícia Maria de Oliveira

Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação da Universidade Federal

do Vale do São Francisco no Curso de Mestrado Nacional Profissionalizante de Ensino de

Física (MNPEF), como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em

Ensino de Física.

Visto que a Matemática tem seu papel como estruturadora do conhecimento físico, observa-se

que a forma como é apresentada aos alunos não condiz com essa função, configurando uma

barreira pedagógica. No que tange o ensino da Física, há uma estrutura bem particular nos

conceitos geométricos voltados para o ensino de Vetores, Movimento Circular e Óptica

Geométrica. Acredita-se que ao inserir materiais manipuláveis no processo de ensino, o

estudante torna as idéias abstratas concretas, dando significado matemático ao efeito físico. A

partir dessas considerações foi elaborada uma sequência didática escrita e em DVD com o

recurso didático Multiplano, a fim de construir as representações físicas dos conteúdos aqui

citados, sendo aplicada em escola particular de Senhor do Bonfim, com um grupo da 2ª série

do Ensino Médio. Para validá-la utilizamos a Engenharia Didática por ser uma teoria

referencial para o desenvolvimento de produtos educacionais gerados na soma dos

conhecimentos: prático e teórico. No que se refere às conclusões, verificou-se que o ensino de

Física com o uso do Multiplano é eficaz, pois melhora a qualidade de ensino, uma vez que

competências são adquiridas além do caráter interativo e inclusivo.

PALAVRAS-CHAVE: Ensino de Física, Multiplano, Representações Táteis e Engenharia

Didática.

Juazeiro – BA

2017

ABSTRACT

THE TEACHING OF TOPICS OF PHYSICS THROUGH TACTICAL

REPRESENTATIONS IN THE MULTIPLAN

Supervisor:

Prof. Dr. Letícia Maria de Oliveira

Master's Dissertation submitted to the Postgraduate Program of the Federal University of the

Valley of São Francisco in the National Master's Course of Physics Teaching (MNPEF), as

part of the requirements necessary to obtain the Master's Degree in Physics Teaching

Since Mathematics has its role as the structurer of physical knowledge, it is observed that the

way it is presented to the students does not fit this function, configuring a pedagogical barrier.

Regarding the teaching of Physics, there is a very particular structure in the geometric

concepts aimed at teaching Vectors, Circular Movement and Geometric Optics. It is believed

that by inserting manipulable materials into the teaching process, the student makes abstract

ideas concrete, giving mathematical meaning to the physical effect. Based on these

considerations, a didactic sequence was written and on DVD with the Multiplano didactic

resource, in order to construct the physical representations of the contents mentioned above,

being applied in a private school of Senhor do Bonfim, with a group of the second grade of

High School . To validate it, we used Didactic Engineering as a reference theory for the

development of educational products generated in the sum of knowledge: practical and

theoretical. Regarding the conclusions, it was verified that the teaching of Physics with the

use of Multiplano is effective, since it improves the quality of teaching, since competences are

acquired beyond the interactive and inclusive character.

KEY WORDS: Teaching Physics, Multiplane, Tactile Representations and Didactic

Engineering.

Juazeiro – BA

2017

Sumário

CAPÍTULO 1

1 Introdução teórica ................................................................................................................. 8

1.1 A Matemática como estruturante no Ensino de Física ...................................................... 8

1.2 Vetores .............................................................................................................................. 9

1.3 Movimento Circular ........................................................................................................ 14

1.4 Óptica Geométrica .......................................................................................................... 19

1.5 Justificativa do projeto .................................................................................................... 23

CAPÍTULO 2

2 Recursos didáticos ............................................................................................................... 24

2.1 Materiais Manipuláveis ................................................................................................... 24

2.2 O Multiplano ................................................................................................................... 25

2.3 Projeto inicial .................................................................................................................. 26

2.4 Projeto piloto ................................................................................................................... 27

CAPÍTULO 3

3 Aplicação em sala de aula ................................................................................................... 28

3.1 Cenário Prático ................................................................................................................ 28

3.2 Aulas ............................................................................................................................... 28

3.3 Metodologia da pesquisa: A Engenharia Didática .......................................................... 28

CAPÍTULO 4

4 Resultados obtidos e análises – Etapas da Engenharia Didática..................................... 30

4.1 Análise Prévia ................................................................................................................. 30

4.2 Concepções e Análise a Priori........................................................................................ 51

4.3 Experimentação ............................................................................................................... 53

4.4 Análise a Posteriori ........................................................................................................ 55

4.5 Validação ........................................................................................................................ 78

CAPÍTULO 5

5 Considerações finais ............................................................................................................ 82

REFERÊNCIAS...................................................................................................................... 84

APÊNDICE – PRODUTO EDUCACIONAL ...................................................................... 87

8

CAPÍTULO 1

1. Introdução teórica

1.1 A Matemática como estruturante no Ensino de Física

Visto que existem dificuldades no ensino das Ciências, em específico em Física, atribui-se

esse fato a diversas questões, como à deficiência de formação matemática dos alunos, uma

vez que a matemática é transmitida como mero instrumento para enunciar leis e princípios

físicos. Porém, há uma relação bem mais complexa entre ambas as áreas, tornando esta última

uma estruturadora do conhecimento físico.

É notória a existência de barreiras no ensino de física, que vão desde conceitos abstratos a

raciocínios além do senso comum, pois como afirma Pietrocola (2002), a ciência vale-se da

Matemática como forma de expressar seu pensamento. Na literatura científica essa ciência

exata a compõe com inúmeros elementos: equações, funções e gráficos, vetores, geometrias,

tensores, dentre outros. Surge então o seguinte questionamento: Como o ensino/aprendizagem

de matemática se dá no contexto da física? Para respondê-la é preciso uma profunda análise

sobre as relações que a física mantém com a matemática.

Tratando-se do Ensino Médio, esta inquietação deve ser bem estudada, devido ao fato de

seu ensino ter um caráter não profissionalizante. Assim, não pode ser visualizada como pré-

estágio para possível formação científica profissional, pois como já afirmado, a matemática é

maior que uma linguagem instrumental da física. Neste contexto, é preciso compreender o

conhecimento matemático que atua por detrás da física, pois da forma como é apresentada aos

alunos, configura-se como uma barreira pedagógica. Surge assim, a busca por apresentar de

maneira eficaz o real e o abstrato.

Assim sendo, ao passar do qualitativo para o quantitativo, é preciso valer-se de técnicas

especiais, presentes na observação, na experimentação e na descrição matemática precisa.

(PIETROCOLA, 2002).

No contexto apresentado até aqui, a Matemática pode ser interpretada como linguagem do

mundo da ciência, mas com um caráter bem maior que mera descrição, pois ela estrutura

ideias sobre o mundo físico mediante a produção de objetos que irão constituir-se das

interpretações deste.

9

Desse modo, por possuir um papel de veículo estruturante da ciência, apresenta-se como

precisa, universal e visionária. Essa linguagem se adéqua aos objetivos da ciência sendo um

conjunto articulado de ideias que por sua vez geram conceitos. É preciso entender que

grandezas físicas como: carga, massa, distância, força, campo, potencial, energia, além de

espaço, tempo, velocidade necessitam de conexão com a matemática para que ocorra um

ganho de significado, criando teorias que por sua vez se subdividem em estruturas que

explicam os conceitos.

Em suma, a Matemática consiste numa linguagem com regras e propriedades que tornam

as teorias científicas capazes de pensar no mundo. Neste sentido é preciso mudanças na

metodologia de educadores físicos quanto ao modo de apresentação da matemática, pois os

atributos essenciais ao educador com relação a esta questão é perceber que não se trata apenas

de saber Matemática para poder operar as teorias Físicas que representam a realidade, mas de

saber apreender teoricamente o real através de uma estruturação matemática. (PETROCOLA,

2002).

1.2. Vetores

O ensino de vetores na Educação Básica, no segmento do Ensino Médio se dá pela

abordagem geométrica, justificando ser uma grandeza vetorial que se caracteriza por seu

módulo, direção e sentido. Sendo assim, há uma estrutura bem particular nos conceitos

geométricos voltados para esse assunto além da “abordagem do conceito de vetor na Física

focar principalmente na representação gráfica de grandezas mecânicas”. (POYNTER e TALL,

2005). Portanto, estando a Matemática fixada nas Ciências, em específico na Física, é de

suma importância discutir como o conceito de vetor deve ser ensinado bem como dispor de

recursos didáticos para sua concretização. Neste sentido, será descrita e mostrada uma visão

intuitiva dos vetores e suas inter-relações bem como uma análise metodológica.

Visto que, dois pontos distintos X e Y no espaço determinam uma reta, esta constitui uma

direção no espaço, sendo desnecessária toda essa reta para determinar esta direção. Logo, o

segmento da reta entre os pontos X e Y, que consiste na parte da reta compreendida entre

estes dois pontos, poderá, sem danos, determinar esta direção. Este segmento por sua vez

poderá ser facilmente orientado, fornecendo um sentido para o segmento, se considerarmos

um dos pontos como ponto inicial e o outro como ponto final, como mostra a Figura 1:

10

Figura 1 - Segmento orientado.

Assim, segmentos orientados possuem uma direção, um sentido e um comprimento, sendo

também caracterizados pelo seu ponto inicial. Neste contexto, segundo Costa:

“um vetor é uma classe de segmentos geométricos orientados que possuem a mesma

direção, tamanho e sentido, cuja notação adotada para identificá-lo é composta

geralmente por uma letra (ou letras identificadoras dos pontos: inicial e final) com

seta sobreposta. Essa é uma maneira de definir o conceito na forma de linguagem

natural, entretanto, uma conversão para a representação gráfica seria o desenho de

uma flecha caracterizado por comprimento, direção e sentido.” (COSTA, 2015)

Segundo Costa, o ente matemático representado por meio da seta carrega significados não

perceptíveis instantaneamente e suas operações são muitas vezes não instintivas, logo, é

notório que a relação entre álgebra e geometria é implícita.

Duas operações entre vetores que podem ser definidas para quaisquer vetores, mesmo em

espaços de maiores dimensões são a soma de vetores e a multiplicação de vetores por

escalares.Deter-nos-emos na soma vetorialpor estar presente em maior escala na cinemática

vetorial. Sejam 𝑎 e 𝑏 dois vetores, onde𝑎 é representado pelo segmento XY e 𝑏 pelo

segmentoYZ , sendo sua soma o vetor abaixo representado XZ (Figura 2):

11

Figura 2 - Regra do triângulo

Nesta representação, o vetor 𝑎 +𝑏 é representado pelo segmento orientadoXZ , cujo ponto

inicial é o ponto inicial X de 𝑎 e cujo ponto final é o ponto final Z de 𝑏 . Esta definição refere-

se à interpretação de vetores como deslocamentouma vez que, para seu ensino na física é

pertinente expor um significado concreto e parte do cotidiano. Nela a soma de dois vetores

corresponde à composição de deslocamentos ou o deslocamento total, sendo denominada

regra do triângulo. Quando se tem um número de vetores maior do que dois, tem-se a

chamada Regra do Polígono e consiste em transladar os vetores um a um para a formação de

um polígono. Assim, considere, por exemplo, a soma dos vetores 𝑥 , 𝑦 e 𝑧 . Mantém-se um

vetor fixo escolhido ao acaso, por exemplo, 𝑥 de origem em O e extremidade A. Deslocamos o

vetor 𝑦 que será colocado sua origem na extremidade do vetor fixado𝑥 , mantendo-se o mesmo

módulo, direção e sentido. Na sequência o terceiro vetor 𝑧 será adicionado de tal forma que

sua origem será colocada na extremidade do vetor 𝑦 transladado, também preservando suas

características. O vetor soma tem a origem em O e extremidade coincidindo com a

extremidade do último vetor transladado, como podemos ver na Figura 3.

Figura 3 - Regra do Polígono

Segundo Menon (2009), a soma geométrica de vetores é geralmente bem

compreendida pelos alunos depois que a regra do polígono é apresentada. Além disso, é

intuitivo que o tamanho dos segmentos representados é proporcional à intensidade do vetor.

Vale ressaltar quecomo a maioria das representações é feita sem rigor de tamanho, os alunos

12

acabam operando com vetores como fazem com escalares sem se darem conta de que suas

respostas, na maioria dos casos, não correspondem aos desenhos feitos (Menon, 2009). Desse

modo, é perceptível que a relação entre a Álgebra e a Geometria é implícita, uma vez que os

alunos mostram essa dificuldade em compreender as operações vetoriais como manipulações

geométricas e não algébricas. Logo, a representação vetorial possui significados

imperceptíveis, além de suas operações serem na maioria dos casos não previsíveis.

Ainda sobre a soma vetorial temos a possibilidade de dois vetores 𝑎 e 𝑏 de análise de

dois vetores de mesma origem:

Figura 4 - Vetores na forma equivalente de um ponto.

Para obtenção do vetor soma são transladados vetores paralelos do seguinte modo: Traça-se

um vetor paralelo ao vetor 𝑎 , a partir da extremidade do vetor 𝑏 de mesmo módulo e sentido

juntamente com o traçado de outro vetor paralelo ao vetor𝑏 , começando na extremidade do

vetor𝑎 , de mesmo módulo e sentido. O vetor soma𝑠 terá origem na origem dos vetores iniciais

e final no encontro dos vetores transladados, onde seu módulo é calculado pela equação:

𝒔 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 + 𝟐. 𝒂 . 𝒃 . 𝐜𝐨𝐬𝜽 (1)

Figura 5 - Vetor soma e a Regra do Paralelogramo

Quanto à subtração vetorial, resulta em um terceiro vetor (denominado diferença), cujas

propriedades são inferidas, por exemplo, a partir da soma de dois vetores 𝑥 e (- 𝑦 ). Isso

13

ocorre, pois (– 𝑦 ) é um vetor com o mesmo módulo e direção de 𝑦 e o sentido oposto,

acarretando em:

𝒚 + (- 𝒚 ) = 0 (2)

Assim, somar (-𝑦 ) é o mesmo que subtrair 𝑦 . Ou seja, calcula-se o vetor diferença 𝑑 somando

o vetor (-𝑦 ) ao vetor 𝑥 . A figura 6 mostra como esse procedimento é feito geometricamente.

Figura 6 - Subtração Vetorial

Segundo Costa, ao observar algumas sequências voltadas à adição de vetores, algumas

dificuldades apresentadas por alunos foram elencadas:

Falta de habilidade para operar com setas análogas, o que inclui a incompreensão

sobre o vetor manter suas propriedades quando transladado no plano;

Não entendimento acerca do significado da operação da soma geométrica como a

representação por meio de uma seta única do efeito gerado por todas as setasa serem

somadas;

Confusão entre a soma dos vetores e de seus módulos. Há incompreensão, por

exemplo, sobre o módulo do vetor resultante da soma de dois vetoresantiparalelos

serem uma subtração de seus módulos;

Não mobilização do efeito físico para encontrar o vetor resultante, o que implica na

incompreensão da soma de vetores em direções diferentes e, portanto, daregra do

paralelogramo;

14

Indistinção entre o vetor e sua representação.

Portanto, é preciso ensinar as operações com vetores dando o significado matemático que

a entidade possui e definir que a soma vetorial representa-se por um vetor fruto da

combinação dos demais envolvidos, possuindo o mesmo efeito físico destes, podendo ser

favorecido pela representação gráfica, uma vez que a utilização do desenho geométrico

permite concretizar conhecimentos geométricos teóricos, facilitando a definição de conceitos

e a demonstração de propriedades, e mobilizar ascapacidades de planejamento e organização,

a partir da conexão entre o raciocínio espacial e a percepção visual, de modo a facilitar o

pensamento lógico-dedutivo. (COSTA apud OLIVEIRA, 2005; ZUIN, 2001).

1.3. Movimento Circular

O Movimento Circular, presente na Mecânica Clássica, consiste naquele cujo ponto

material desloca-se em trajetória circular, variando assim a direção de sua velocidade. Isso

implica na partícula possuir um componente da aceleração perpendicular à trajetória.Um dos

movimentos circulares é aquele em que o móvel gira em torno de um ponto central, a uma

velocidade de magnitude constante, o que o faz perfazer o mesmo número de voltas em

tempos iguais. (MORS e VEIT, 2004). É um movimento cíclico, periódico, chamado

movimento circular e uniforme. Deter-nos-emos a esta modalidade de movimento, como

mostra a Figura 7.

Figura 7 - Representação do Movimento Circular.

Visto que esse movimento é não inercial, poisse mantêm por uma força resultante, a força

centrípeta, implica a necessidade de uma abordagem vetorial, que por sua vez tem seu caráter

abstrato tornando o assunto tortuoso para o professor e complexo para o aluno, resultando na

15

memorização de fórmulas e definiçõessem seus devidos conceitos físicos. Ao trabalhar com

uma partícula que gira em torno de um eixo, analisa-se o seu movimento a partir do ângulo

central varrido por ela ou a partir do seu deslocamento sobre a circunferência, ou seja, nesse

tipo de movimento descreveremos ora grandezas angulares ora grandezas lineares. A esse

respeito, Savaredaet al (2016) infere:

Desta forma, por apresentarem uma resultante não nula, os

movimentos de rotação são intrinsecamente não inerciais e,

dado o processo segundo o qual o movimento é geralmente

ensinado nos cursos de física, envolvem uma “passagem do

movimento linear para o movimento ao longo de um

percurso curvo” (EINSTEIN; INFELD, 1988). Esta

característica está no cerne da dificuldade de aprendizagem

– e também de ensino – sobre este tipo de movimento, tão

importante na descrição da natureza. (SAVAREDA et AL,

2016)

Seja uma circunferência de raio R e um ângulo plano θ, cuja delimitação sobre a

circunferência é um arco de comprimento L, como mostra a Figura 8 abaixo:

Figura 8 - Deslocamento angular de uma partícula.

Mostra-se que a razão entre o arco L e o raio R equivale ao ângulo θ:

2π -------------------- 2πR

θ-------------------- L

Assim,

2πL = 2πRθ

L = Rθ

16

θ = 𝐋

𝐑 (3)

Esta razão expressa, através de um número, quantas vezes o arco é maior que o raio. Quando

o ângulo delimita sobre a circunferência um arco cujo comprimento é igual ao raio temos

então 1rad (um radiano).Visto que “o movimento arbitrário de uma partícula no espaço pode

sempre ser tratado, num dado instante, como um movimento circular no plano”

(GONÇALVES, 2010), temos que num intervalo de tempo infinitesimal, a trajetória de uma

partícula pode ser representada como um elemento de comprimento de arco infinitesimal de

um círculo. Assim, a mudança angular de uma partícula em movimento numa trajetória

circular denomina-se velocidade angular, expressa pela equação:

𝝎 = ∆𝜽

∆𝒕 (4)

Considerando uma partícula em movimento circular cujo raio descrito será R ao redor de um

eixo perpendicular ao plano do movimento (Figura 9) se pode desenvolver a seguinte

conclusão: Sendo 𝑟 o vetor posição da partícula com relação a uma origem O do eixo de

rotação, a taxa de variação temporal deste vetor 𝑟 (t) é a velocidade linear da partícula, ou seja,

𝑟 (t) = v(t). Para o movimento aqui descrito, o módulo do vetor velocidade será:

𝒗 = R.∆𝜽

∆𝒕 = R. ω (5)

Figura 9 - Movimento Circular de uma partícula.

Diante do exposto, é perceptível que a velocidade angular é uma grandeza vetorial

onde sua direção é dada pelo eixo de rotação e o seu sentido pela Regra de Fleming – recurso

auxiliar de memória útil para estabelecimento da orientação do vetor resultante de um ponto

vetorial no espaço - podendo ser horário ou anti-horário. Devido ao estudo superficial desse

17

tipo de movimento pelos alunos, muitas grandezas caracterizam-se de forma incompleta

sendo preciso analisá-las com seu respectivo rigor geométrico.

Em uma trajetória curvilínea, a uma velocidade constante, a direção do vetor

velocidade varia e a este vetor associa-se um perpendicular, dirigido ao centro da trajetória –

o vetor aceleração centrípeta – devido ao movimento não inercial, uma vez que se mantém

por uma força resultante. Para os alunos do Ensino Médio geralmente é passado que seu

módulo se dá pela equação:

𝒂𝒄 = 𝒗²

𝑹 (6)

Onde v = velocidade escalar e R = raio. Porém é preciso escolher um caminho demonstrativo

para explorar esse conceito, a fim de torná-lo significativo. Uma das maneiras é resgatando o

conceito de hodógrafo na análise vetorial da velocidade e da aceleração para movimentos

curvilíneos.

A Figura 10 mostra uma trajetória centrada na origem do sistema de eixos cartesianos

tendo também a representação da velocidade instantânea do objeto em movimento:

Figura 10 - Corpo em movimento circular.

Por ser a taxa de variação do vetor posição, tal velocidade é tangente à trajetória e

perpendicular ao vetor posição cujo módulo equivale ao raio da trajetória circular. A esta

trajetória descrita pela extremidade desses vetores denominamos hodógrafo1. Da mesma

forma que, por ser tangente à trajetória, o vetor velocidade é perpendicular ao raio da

circunferência que representa o movimento, o vetor aceleração, por representar a taxa de

variação da velocidade, é tangente ao hodógrafo em todos os seus pontos. Dessa forma, no

movimento circular uniforme, este vetor forma 90º com o raio do hodógrafo (o vetor

1 Representação da variação do vetor velocidade com o tempo.

18

velocidade). Sendo assim, o vetor aceleração aponta necessariamente para o centro da

trajetória circular, sendo, portanto uma aceleração centrípeta (Figura 11).

Figura 11 - Vetor aceleração centrípeta.

A partícula se move então do primeiro ponto para o segundo em um intervalo de tempo

Δt.Durante este intervalo temporal, a variação do vetor velocidade Δ𝑣 pode ser representada

na Figura 12.

Figura 12 - Variação do vetor velocidade.

Relacionando a Figura 10 com a Figura 12 pode-se observar que os triângulos são

semelhantes, podendo assim deduzir a equação da aceleração centrípeta:

Dedução: 𝜟𝒗

𝒗𝟏 =

𝜟𝒔

𝑹 → 𝜟𝒗 = 𝒗𝟏

𝜟𝒔

𝑹

𝒂𝒎 = 𝜟𝒗

∆𝒕 →𝒂𝒎 =

𝒗𝟏.𝜟𝒔𝑹

𝜟𝒕

Como 𝒗𝟏 = 𝒗𝟐 = v

𝒂𝒎 = 𝐯

𝐑 .𝜟𝒔

𝜟𝒕 → 𝒂𝒎 =

𝐯²

𝐑

(7)

19

1.4. Óptica Geométrica

É sabido que para o entendimento da formação de imagens e suas características recorre-

se à geometria e trigonometria para a descrição da luz por meio de raios e suas leis. Sendo

assim, a Óptica constitui um ramo da Física voltado para o estudo de fenômenos luminosos e

suas propriedades. Segundo GIRCOREANO e PACCA:

Quando se estuda Óptica no curso de ensino médio, o

enfoque tradicionalmente se restringe ao estudo de aspectos

geométricos, baseados no conceito de raio de luz e na

análise das características de alguns elementos específicos,

como por exemplo, espelhos, lâminas de faces paralelas,

prismas e lentes. Todos esses elementos sempre são

indicados por retas e pontos num plano, sem ficar evidente

que a luz se propaga num espaço tridimensional, que há

uma fonte de luz e que existem obstáculos para a

propagação. (GIRCOREANO; PACCA, 2001).

Mesmo sabendo que é de suma importância abordar os aspectos citados acima, além

dos referentes à natureza da luz e sua interação com a matéria e com a percepção visual, a

análise geométrica é um apoio importante na validação do estudo da luz, sendo necessários

meios dinâmicos para abordá-la.

Sendo assim, os fenômenos estudados em Óptica Geométrica descrevem-se a partir da

noção de raio de luz e alguns conhecimentos sobre geometria. Assim, a representação gráfica

da luz em propagação (Figura 13) será uma linha orientada representando direção e sentido de

propagação, que por sua vez possui os seguintes princípios: Propagação retilínea,

Reversibilidade e Independência.

Figura 13 - Representação gráfica da luz.

Uma das aplicações do Princípio da Propagação Retilínea consiste no comportamento

óptico da Câmara Escura (Figura 14) – caixa de paredes opacas, com um pequeno orifício em

20

uma delas, por onde a luz do objeto iluminado passa, formando uma imagem invertida na

parede oposta à do orifício.

Figura 14 - Câmara escura e formação de imagem.

A relação entre a altura do objeto (o), altura da imagem (i), distância do objeto à câmara (p) e

o comprimento da câmara (p‟) é:

𝒊

𝒐 =

𝒑′

𝒑 (8)

Dentre os vários fenômenos ópticos, nos deteremos à Reflexão Regular da Luz que

consiste no retorno da luz para o meio de incidência. Dado um feixe de raios paralelos que

incidem sobre uma superfície plana e lisa é perceptível seu retorno, mantendo o paralelismo

(Figura 15):

Figura 15 - Reflexão Regular da Luz.

A este fenômeno enunciam-se duas leis, após definido uma normal (N) ao plano do espelho,

ou seja, um referencial perpendicular à superfície, o ângulo de incidência𝑖 e o ângulo

refletido𝑟 , sendo elas:

1. O raio incidente, o raio refletido e a reta normal são coplanares;

2. O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência.

Quanto aos dispositivos que promovem esse fenômeno, temos os espelhos – superfícies

planas ou curvas, que refletem um raio luminoso em uma direção definida, em vez de

21

absorvê-lo ou espalhá-lo em múltiplas direções. Quanto à sua classificação, podemos inferir

que:

Os Espelhos Planos: Caracterizam-se por possuir uma superfície lisa e plana que

reflete a luz de maneira regular, cujo processo de formação da imagem se dá pela

intersecção dos prolongamentos dos raios refletidos, como mostra a figura a

seguir:

Figura 16 - Formação de imagem em espelho plano.

Onde podemos dizer que objeto e imagem são equidistantes do espelho e possuem naturezas

contrárias, ou seja, quando o objeto for real a imagem será virtual.

Os Espelhos Esféricos: Caracterizam-se por serem calotas curvas onde uma de

suas superfícies (interna ou externa) é refletora.

Figura 17 - Tipos de espelhos esféricos.

Por sua vez, esses espelhos possuem os seguintes elementos geométricos (Figura 18):

Centro de curvatura (C), Foco (F), Vértice (V), Raio (R) e Distância focal (f).

22

Figura 18 - Elementos Geométricos de um espelho esférico.

O processo de formação de imagens (Figura 19 e Figura 20) para esse tipo de espelho

se dá pela intersecção dos raios notáveis 2tendo sua classificação de acordo com sua natureza,

posição e tamanho.

Figura 19-Formação de imagem num espelho côncavo.

Figura 20 - Formação de imagem em um espelho convexo.

2São raios em que seus comportamentos de reflexão são conhecidos.

23

Por fim, o estudo analítico desses espelhos pode ser expresso através da Equação de

Gauss, aquela que relaciona a posição do objeto (p), a posição da imagem (p‟) e a distância

focal do espelho:

𝟏

𝒇 =

𝟏

𝒑 +

𝟏

𝒑′ (9)

Em suma, “é notável a dificuldade que alguns encontram em compreender a Ótica, isso

decorre muitas vezes dos professores utilizarem meios abstratos, como o quadro negro, para

ministrar suas aulas de ótica, fazendo com que os alunos tenham certas dificuldades de

entendimento, típico do ensino tradicional”. (DINIZ, 2015)

1.5. Justificativa do projeto

O desenvolvimento desta sequência didática justifica-se pela notória dificuldade,

observada em minha carreira docente, enfrentada pelos alunos do Ensino Médio em aprender

Física e descrevê-la matematicamente. Dentre os inúmeros assuntos considerados torturantes

pelos estudantes temos com maior ênfase a Cinemática Vetorial, fruto da descrição da

entidade matemática vetor e suas operações geométricas, o Movimento Circular, devido sua

trajetória curvilínea e a consequente utilização de grandezas angulares e a Óptica Geométrica

por suas leis e representações físicas mediante Geometria e Trigonometria.

Desse modo, nota-se que os alunos vêem a descrição da Física através da Matemática sem

significado surgindo assim barreiras na aprendizagem. Assim, o não entendimento dessas

representações pode ser sanado mediante a criação de novas metodologias de ensino a fim de

tornar prazerosa e eficaz as aulas de Física. Neste contexto,a utilização de materiais

manipuláveis é imprescindível, pois além de promover a interatividade torna as

representações físicas concretas, a exemplo, a utilização do Multiplano, que através de sua

geometria proporciona várias manipulações táteis validando assuntos matemáticos e físicos.

Portanto, esta sequência visa contribuir para que as representações físicas tornem-se táteis,

através da utilização de um recurso didático manipulável, buscando dar mais significado ao

rigor matemático presente nos assuntos listados bem como objetiva tornar as aulas mais

inclusivas, uma vez que alunos com necessidades educacionais especiais também podem

utilizar esse tipo de recurso.

24

CAPÍTULO 2

2. Recursos didáticos

2.1. Materiais Manipuláveis

Entende-se por material manipulável uma das modalidades do material didático (MD),

que por sua vez pode ser definido como “qualquer instrumento útil ao processo ensino

aprendizagem”. (LORENZATO, 2006). Considera-se um material manipulável todo material

educacional, concreto ou usual, tendo como exemplos matemáticos: blocos algébricos,

geoplano, tangram, ábaco e outros, classificando-se como estáticos (quando não há alteração

da sua estrutura física a partir da sua manipulação) ou dinâmicos (quando ocorrem alterações

na estrutura física durante manipulação).

A origem desses materiais é datada desde o homem primitivo, quando este utilizou para o

método de contagem pedras ou marcas de varas, seguido do ábaco – tábua com fios paralelos

e contas deslizantes que de acordo com sua posição representa a quantidade a ser trabalhada.

A partir do século XV devido à criação dos algoritmos, esse material torna-se escasso, tendo

uma nova procura pelos defensores da Escola Ativa – movimento ocorrido no final do século

XIX e início do século XX voltado à renovação do ensino devido à necessidade da educação

caminhar junto com a crescente industrialização e expansão urbana. Também caracterizado

por movimento precursor da utilização de materiais manipuláveis visando apaziguar

dificuldades de ensino através do lema “Aprender fazendo” teve uma execução equivocada

por parte dos docentes, uma vez que ocorria uma simples manipulação empírica além da

resistência por parte do ensino tradicional, pois “uso de materiais ou objeto será considerado

pura perda de tempo, uma atividade que perturbava o silêncio ou a disciplinada classe”.

(FIORENTINI; MIORIN, 1990, p. 2).

Neste contexto, os materiais manipuláveis atuam como suporte na construção de conceitos

matemáticos pelos alunos e professores visto que “através da experimentação com diferentes

materiais, os alunos têm oportunidade de verificar intuitivamente como é que as coisas

funcionam, o que contribui para a fluência e flexibilidade no raciocínio.” (KELLY, 2006).

Sendo assim, esses materiais desempenham importantes ações, podendo destacar: a

promoção de um ensino dinâmico e desafiador; relaciona o mundo concreto e o abstrato da

25

geometria; desenvolve no manipulador sua intuição e percepção espacial, catalisando

experiências individuais de aprendizagem.

Diante do que foi exposto, é perceptível a evolução e importância de materiais didáticos

concretos, pois permite ao aluno progredir do concreto para o abstrato, atuando como um

auxiliar de ensino, para mediar a construção do conhecimento.

2.2. O Multiplano

O Multiplano consiste num material lúdico que através do tato possibilita a compreensão

de conceitos matemáticos. A origem desse recurso é datada desde 2000, pelo criador Rubens

Ferronato – criador e desenvolvedor de materiais pedagógicos voltados ao ensino da

matemática numa perspectiva inclusiva – que ao passar dificuldades com o ensino da

matemática para um aluno cego improvisou formas de aprendizagem de cálculo diferencial e

integrais, resultante após pesquisas na criação de um kit com uma placa perfurada, rebites e

elástico, como mostra a Figura 21.

Figura 21 - Multiplano.

O kit constitui-se de um tabuleiro regular no qual são encaixados pinos, fixados elásticos,

hastes de corpo circular, hastes para cálculo, base de operação, barras para gráficos, disco

circular que apresenta em sua periferia uma sequência de orifícios circulares, onde podem ser

combinadas duas ou mais peças pertinentes a uma determinada operação matemática que se

pretenda aprender e compreender por meio da visão e ou do tato.

Sendo assim, os assuntos que podem ser abordados são operações, equações, proporção,

funções, sistema linear, gráficos de funções, inequações, funções exponenciais e logarítmicas,

trigonometria, geometria plana e espacial e estatística. Esse tutorial visa abordar novos

26

conteúdos no Multiplano, presentes na Física, que necessitam de representações matemáticas

para sua melhor compreensão, sendo eles: Vetores, Movimento Circular e Óptica Geométrica.

2.3. Projeto inicial

A criação desta sequência didática surgiu fruto da experiência em lecionar Física no

Ensino Médio para alunos com Necessidades Educacionais Especiais (NEE), em específico,

alunos cegos. Assim, diante da dificuldade em descrever gráficos e demais representações

físicas para este público buscou-se materiais que as tornassem concretas. Eis que surge, fruto

de pesquisas, o conhecimento sobre o Geoplano (Figura) – material concreto desenvolvido

por Dr. Caleb Gattegno para ensino/aprendizagem de Matemática.Diante desse contexto, após

conhecer o potencial desse material, foi aplicado o conteúdo Vetores e suas operações

obtendo com isso um significativo sucesso. Os resultados indicaram contribuições de cunho

pedagógico, profissional e social.

Figura 22 - Geoplano.

No plano pedagógico destaca-se a manipulação vetorial, a identificação das operações, a

construção de conceitos referentes às operações vetoriais e o desenvolvimento da oralidade e

da capacidade de resolução de problemas. Profissionalmente potencializou a percepção do

papel importante que tem o professor nas políticas de inclusão, cabendo a eles cumprir a

missão de disseminar materiais concretos e suas potencialidades nas escolas e por fim, quanto

à contribuição social, sua utilização terá caráter inclusivo uma vez que será usado na sala de

aula comum com toda a classe, além de trazer aos alunos com deficiência visual o gosto pelo

aprendizado, através de um conhecimento matemático efetivo que os tornam autônomos.

27

2.4. Projeto piloto

A fim de expandir as aplicações físicas em recursos didáticos manipuláveis o próximo

passo foi pesquisar um Geoplano mais maleável e com mais recursos físicos, encontrando

então o Multiplano – material lúdico criado por Rubens Ferronato para diversas verificações

matemáticas. Sendo assim, por possuir tábuas: retangular e circular, pinos removíveis e

plásticos, tamanho compacto e hastes, novas representações físicas podem ser aplicadas, em

especial para novo estudo sobre Vetores, Movimento Circular e Óptica Geométrica.

28

CAPÍTULO 3

3. Aplicação em sala de aula

3.1. Cenário prático

A aplicação deste trabalho foi realizada em uma escolar particular da cidade de Senhor do

Bonfim, Bahia, com um grupo de seis alunos da 2ª série do Ensino Médio. Para execução da

sequência, em uma sala de Laboratório, o grupo foi dividido em duplas, intituladas D1, D2 e

D3, para que pudessem compartilhar os desafios propostos e chegar à melhor dedução

possível.

3.2. Aulas

As aulas ocorreram no período de um mês, às terças-feiras, em turno vespertino. Foram

divididas nos seguintes tópicos:

Aula 1: Estudo de Vetores;

Aula 2: Introdução à Óptica Geométrica;

Aula 3: Espelhos Esféricos da Óptica;

Aula 4: Tópicos de Movimento Circular.

3.3. Metodologia da pesquisa: A Engenharia Didática

Criada na área da Didática das Matemáticas, por Artigue (1994, 1996), na década de

80 na França, guia-se no exercício de um engenheiro, uma vez que sua produção necessita

de um conhecimento científico sólido e exige construção de soluções para problemas não

previstos teoricamente. Preocupada com a ideologia da inovação, no que tange a

educação, “esta teoria abre caminho para qualquer tipo de experiência na sala de aula,

descolada de fundamentação científica.” (Carneiro, 2005).

Neste contexto, esta metodologia prima pela realização didática na sala de aula como

prática de investigação, baseada em conhecimentos matemáticos e didáticos. Com seu

caráter dual, a Engenharia Didática refere-se às produções para o ensino, fruto de

pesquisas, e a uma metodologia específica baseada nas experiências de sala de aula, ou

seja, a prática de ensino articula-se com o da investigação. Diz-se que esta teoria é

referencial para o desenvolvimento de produtos educacionais gerados na soma dos

conhecimentos: prático e teórico.

29

O funcionamento metodológico dessa engenharia, segundo Artigue (1996) inclui

quatro etapas: análise prévia; concepção e análise a priori das experiências didático-

pedagógicas, implementação da experiência e análise a posteriori juntamente com a

validação da experiência.O mapa conceitual abaixo sintetiza essa metodologia:

Figura 23 - Mapa conceitual da engenharia didática.

30

CAPÍTULO 4

4. Resultados obtidos e análises – Etapas da Engenharia Didática

4.1. Análise Prévia

Nesta etapa será analisado o funcionamento do ensino habitual do conteúdo, onde

apontaremos os efeitos desse ensino tradicional através das concepções dos alunos para com

os temas abordados. Segundo Carneiro (2005), “a tradição é vista como um estado de

equilíbrio do funcionamento de um sistema dinâmico que tem falhas. A reflexão sobre essas

falhas torna-se o ponto de partida para determinar condições possíveis de um ponto de

funcionamento mais satisfatório”, ou seja, ao analisar o resultado de um ensino tradicional

será possível mapear as dificuldades existentes nos alunos e assim propor outra metodologia

que sane essas lacunas.

Na Engenharia Didática é sugerido por Artigue (1996) que essa análise seja feita

mediante seu caráter epistemológico (dimensão epistemológica), didático (dimensão didática)

e cognitivo (dimensão cognitiva). Vamos nos deter em descrever a dimensão cognitiva, visto

que esta está associada às características do público ao qual se dirige o ensino a fim de nos

situar a respeito de seus conhecimentos prévios. Nesse sentido foi proposto um questionário

subjetivo, intitulado ATIVIDADE, no início de cada encontro, sendo eles voltados aos

conteúdos: Vetores, Óptica Geométrica e Movimento Circular. A seguir serão apresentados os

questionários seguidos das respostas dos alunos e uma análise destas:

Questionário:

ATIVIDADE 1

1. Defina um vetor.

2. O que diferencia uma grandeza vetorial de uma grandeza escalar?

3. Exemplifique grandezas vetoriais.

4. O que você entende pelas seguintes operações vetoriais:

Regra do polígono;

Regra do paralelogramo.

Respostas:

31

D1

1. Uma seta, segmento de reta.

2. Sem resposta.

3. Magnética, elétrica.

4. Sem resposta.

Sem resposta.

D2

1. Segmento de reta que pode designar uma direção.

2. Vetor indica direção e escalar determina tempo.

3. Velocidade, aceleração, direção.

4. Regra do polígono: Organizar na forma de um polígono/ Regra do

paralelogramo: São retas que paralelas formam um plano. Quando vetores são

paralelos soma ou diminui de acordo com sua direção.

D3

1. É uma reta que possui sentido, direção e módulo.

2. O módulo.

3. Luz, eletricidade.

4. Regra do polígono: A “soma” dos vetores que têm o mesmo sentido, a “subtração”

dos vetores que têm sentidos opostos e quando fosse projetado teria que ser início

com início e fim com fim./Regra do paralelogramo: Primeiramente tentar projetar um

vetor de acordo com a questão e geralmente era usado quando se tinha um ângulo de

90º para achar o resultante e quando fosse projetar teria que ser inicio com inicio e

fim com fim, era usado também cosseno e seno.

Análise:

O primeiro encontro com as duplas participantes do projeto norteou-se inicialmente

por um questionário subjetivo, intitulado ATIVIDADE 1. Nele procurou-se formalizar dados

sobre suas concepções acerca do que são vetores, das características das grandezas vetoriais

bem como exemplos e de algumas operações vetoriais.

32

Assim, ao ser solicitada a definição de vetores todos mostraram ter noção sobre a

entidade matemática tratada, porém houve confusão em classificar como reta ou segmento de

reta, mostrando a primeira lacuna no estudo da Geometria, como podemos ver no seguinte

discurso: “Reta que possui sentido, direção e módulo” (D3). Na sequência em que os alunos

deveriam caracterizar uma grandeza vetorial em detrimento de uma grandeza escalar é notória

a incompleta formação conceitual de vetores uma vez que uma dupla não respondeu e as

restantes apontaram apenas uma das características de uma grandeza vetorial: “Direção” (D2)

e “Módulo” (D3). Ainda relacionado ás grandezas vetoriais, as duplas ao exemplificá-las

mostraram lembranças de aplicações, muitas vezes não concisas, mas sem fuga do tema:

“magnética e elétrica” (D1) remetendo possivelmente a campo e força, “velocidade e

aceleração” (D2) evidenciando a cinemática vetorial e “luz, eletricidade” (D3) mostrando

relacionar luz a vetor provavelmente devido sua propagação radial estudada em óptica e

eletricidade remetendo a campo e força também. Por fim, no que tange às operações vetoriais,

uma dupla (D1) mostrou total desconhecimento e as restantes a informar recortes sem um

fechamento de dados, como por exemplo, sobre a regra do polígono: “Organizar na forma de

um polígono” (D2) e “Quando fosse projetado teria que ser início com início e fim com fim”

(D3). Sobre a regra do paralelogramo: “Geralmente era usado quando se tinha um ângulo de

90º para achar o resultante” e “Quando são paralelos soma ou diminui de acordo com sua

direção.” (D3) mostrando a não compreensão de direção e sentido, além de não reconhecerem

a equação para essa regra, como podemos destacar: “era usado também cosseno e seno”. (D3).

Em suma, podemos inferir que as duplas precisam entender geometricamente essa

entidade matemática, uma vez que há incompreensão desde sua caracterização até a

incompreensão na soma de vetores em direções diferentes, além da falta em apontar que ao

transladar vetores suas propriedades seriam mantidas.

Resumo da Análise Prévia mediante os PCN+ Ensino Médio/ Ciências da Natureza,

Matemática e suas Tecnologias:

Perguntas Concepções prévias

Competências e/ou

habilidades não

atingidas

Defina um vetor.

D1: Uma seta,

segmento de reta.

Na utilização de um

conceito ou unidade

33

D2: Segmento de

reta que pode

designar uma

direção

D3: É uma reta que

possui sentido,

direção e módulo.

de grandeza,

reconhecer ao mesmo

tempo sua

generalidade e o seu

significado específico

em cada ciência.

O que diferencia uma

grandeza vetorial de

uma grandeza escalar?

D1: Sem resposta.

D2: Vetor indica

direção e escalar

determina tempo.

D3: O módulo.

Reconhecer a relação

entre diferentes

grandezas, ou relações

de causa-efeito, para

ser capaz de

estabelecer previsões.

Exemplifique grandezas

vetoriais.

D1: Magnética,

elétrica.

D2: Velocidade,

aceleração, direção.

D3: Luz,

eletricidade.

Reconhecer e saber

utilizar corretamente

símbolos, códigos e

nomenclaturas de

grandezas da Física.

O que você entende

pelas seguintes

operações vetoriais:

Regra do

polígono;

Regra do

paralelogramo.

D1: Sem resposta.

D2: Regra do

polígono: Organizar

na forma de um

polígono/ Regra do

paralelogramo: São

retas que paralelas

formam um plano.

Quando vetores são

paralelos soma ou

diminui de acordo

com sua direção.

D3: Regra do

Expressar-se com

clareza, utilizando a

linguagem

matemática,

elaborando textos,

desenhos, gráficos,

tabelas, equações,

expressões e escritas

numéricas;

Frente a uma situação

ou problema,

reconhecer a sua

34

polígono: A “soma”

dos vetores que têm

o mesmo sentido, a

“subtração” dos

vetores que têm

sentidos opostos e

quando fosse

projetado teria que

ser início com início

e fim com fim./Regra

do paralelogramo:

Primeiramente

tentar projetar um

vetor de acordo com

a questão e

geralmente era

usado quando se

tinha um ângulo de

90º para achar o

resultante e quando

fosse projetar teria

que ser inicio com

inicio e fim com fim,

era usado também

cosseno e seno.

natureza e situar o

objeto de estudo

dentro dos diferentes

campos da

Matemática, ou seja,

decidir-se pela

utilização das formas

algébrica, numérica,

geométrica,

combinatória ou

estatística.

Traduzir uma situação

dada em determinada

linguagem para outra.

Interpretar, fazer uso e

elaborar modelos e

representações

matemáticas para

analisar situações.

Questionário:

ATIVIDADE 2

1. Cite características da luz.

2. O que é a câmara escura?

3. Quais as características da imagem formada na câmara escura?

35

4. Qual a relação entre alturas e distâncias do objeto e da imagem em uma câmara

escura?

5. Defina reflexão.

6. Quais os elementos da reflexão?

7. O que diferencia um espelho plano de um esférico?

8. Defina campo visual.

Respostas:

D1:

1. A luz branca é composta de sete faixas.

2. Câmara escura.

3. A imagem é invertida e virtual.

4. 𝑜′

𝑜 =

𝑝′

𝑝

5. Um raio de luz incide em um objeto que reflete o mesmo em uma direção oposta.

6. Sem resposta.

7. Plano: Imagem é igual / Esférico: Distorcida.

8. Toda luz que é absorvida pelo espelho é refletida.

D2:

1. Feixes de luz, calor, forma visão.

2. Câmera que forma imagens.

3. Imagens: real, plana, horizontal e invertida.

4. 𝐻

ℎ =

𝑜

𝑑

5. Reflexão é quando o raio incide no objeto e forma uma imagem.

6. Reta, raio incidente, refletor e normal.

7. Plano: Imagem real e invertida/ Esférico: Imagem distorcida.

8. Campo visual é onde forma a imagem.

D3:

1. Reflexo da luz/ Temos a percepção de enxergar as coisas por meio da luz, pois ela

tem uma propagação.

2. Uma câmera que criaram para nos mostrar como podemos enxergar e ela mostra a

imagem de forma invertida.

36

3. Podemos ver de forma invertida em relação ao objeto / real.

4. 𝑝′

𝑝′′ =

𝑜

𝑖

5. Reflexão é quando o raio incide na superfície e reflete.

6. Î = ângulo de reflexão, 𝑟 = ângulo de incidência, superfície refletora, RI = raio

incidente, RR = raio refletor.

7. Plano: Podemos ver apenas o que está na frente e atrás. / Esférico: Podemos

enxergar de várias maneiras, lados, frente, trás.

8. Campo visual é até onde podemos enxergar o objeto.

Análise:

Na sequência, temos a segunda atividade voltada para a introdução da Óptica

Geométrica, sendo evidenciado o objeto de estudo da área, a luz, desde suas características e

princípios até os fenômenos luminosos e suas aplicações. A fim de verificar as concepções

prévias das duplas acerca dessa área a primeira indagação proposta referiu-se às

características da luz. Assim, apenas uma dupla apontou característica: “é composta de sete

faixas” (D1), mostrando conhecer a chamada luz visível e sua composição de sete

freqüências. As demais duplas apontaram efeitos: “forma visão, calor” (D2) e “percepção de

enxergar as coisas” (D3).

Outro aspecto importante consiste em lembrarem-se da sua relação com o fenômeno

óptico reflexão: “reflexo da luz” (D3) e “feixes de luz” (D2). Contudo, é evidente que as

respostas são soltas, desprovidas de uma ideia concisa e de conceitos mais relevantes. Uma

das aplicações envolvendo a propagação retilínea da luz é a câmara escura de orifício. Nesse

sentido foi lançado para as duplas apontarem sua definição, as características da imagem

formada e a dedução matemática que está nesse dispositivo no que tange as alturas e posições

do objeto e da imagem. Duas duplas mostraram conhecer o dispositivo e seu principal

objetivo, ou seja, formar imagem: “uma câmera que criaram para mostrar como podemos

enxergar e ela mostra a imagem de forma invertida” (D3).

Quanto à imagem formada, muitas características erradas ou desnecessárias foram

apontadas: “Virtual” (D1), evidenciando não saber que sendo a imagem projetada, não pode

ser virtual, “Plana e horizontal” (D2). Mesmo assim, a maioria afirmou ser invertida a

imagem. Quanto à dedução, foi unânime mostrar que envolve uma razão entre grandezas,

porém as letras não vieram acompanhadas de significado, sendo a relação da dupla D3 a mais

37

segura visto que as letras o e i podem representar as alturas do objeto e imagem e pep‟as

posições deles respectivamente. Em seguida, os alunos deveriam definir reflexão e os

elementos que a representam fisicamente. A definição não foi precisa, mas as duplas

evidenciaram que o fenômeno representa retorno, mesmo que de forma indireta e com termos

incorretos, e que forma imagem: “um raio de luz incide em um objeto que reflete o mesmo em

uma direção oposta” (D1), “o raio incide no objeto e forma imagem” (D2) e “o raio incide na

superfície e reflete” (D3). Quanto aos seus elementos uma dupla mostrou desconhecer e as

outras apontaram bastantes elementos. Ao serem analisadas suas concepções sobre espelhos

(planos e esféricos) foi perceptível que registraram apenas os “efeitos” por eles vivenciados,

sem pontuar estrutura e/ou características da superfície e da imagem respectivamente: “plano:

imagem igual e esférica: imagem distorcida” (D1) revelando saber que no plano as

características são preservadas da imagem e no esférico, que isso não ocorre, “plano: podemos

ver apenas o que está na frente e atrás, esférico: podemos enxergar de várias maneiras, lados,

frente, trás” (D3). Também se pode destacar o não entendimento quanto a natureza, posição e

tamanho de imagens para cada tipo de espelho, havendo por exemplo a confusão entre

imagem real ou virtual e invertida ou enantiomorfa: “plano: imagem real e invertida” (D2).

Ainda sobre os espelhos, tem-se o campo visual, que consiste na região pela qual o

observador pode ver por reflexão. As duplas mostraram insegurança mesmo descrevendo

aspectos próximos da real definição: “é onde forma a imagem” (D2) e “é até onde podemos

enxergar o objeto” (D3)



Perguntas Concepções prévias

Competências e/ou

habilidades não atingidas

Cite características da luz.

D1: A luz branca é

composta de sete faixas.

D2: Feixes de luz, calor,

forma visão.

D3: Reflexo da luz/ Temos

a percepção de enxergar

Identificar regularidades,

associando fenômenos que

ocorrem em situações

semelhantes para utilizar as

leis que expressam essas

regularidades na análise e

previsões de situações do

38

as coisas por meio da luz,

pois ela tem uma

propagação.

dia-a-dia.

O que é a câmara escura?

D1: Câmara escura.

D2: Câmera que forma

imagens.

D3: Uma câmera que

criaram para nos mostrar

como podemos enxergar e

ela mostra a imagem de

forma invertida.

Conhecer modelos físicos

microscópicos para

adquirir uma compreensão

mais profunda dos

fenômenos e utilizá-los na

análise de situações-

problema

Quais as características da

imagem formada na

câmara escura?

D1: A imagem é invertida e

virtual.

D2: Imagens: real, plana,

horizontal e invertida.

D3: Podemos ver de forma

invertida em relação ao

objeto / real.

Qual a relação entre

alturas e distâncias do

objeto e da imagem em

uma câmara escura?

D1: 𝑜′

𝑜 =

𝑝′

𝑝

D2: 𝐻

ℎ =

𝑜

𝑑

D3: 𝑝′

𝑝′′ =

𝑜

𝑖

Reconhecer a relação entre

diferentes grandezas;

Elaborar modelos

simplificados de

determinadas situações, a

partir dos quais seja

possível levantar hipóteses

e fazer previsões;

Identificar e compreender

os diversos níveis de

explicação física,

39

microscópicos ou

macroscópicos, utilizando-

os apropriadamente na

compreensão de

fenômenos;

Reconhecer e saber utilizar

corretamente símbolos,

códigos e nomenclaturas de


Defina reflexão.

D1: Um raio de luz incide

em um objeto que reflete o

mesmo em uma direção

oposta.

D2: Reflexão é quando o

raio incide no objeto e

forma uma imagem.

D3: Reflexão é quando o

raio incide na superfície e

reflete.








dia-a-dia.

Reconhecer a natureza dos

fenômenos envolvidos,

situando-os dentro do

conjunto de fenômenos da

Física e identificar as

grandezas relevantes, em

cada caso;


conceito ou unidade de

grandeza, reconhecer ao

mesmo tempo sua


significado específico em

cada ciência.

40

Quais os elementos da

reflexão?

D1: Sem resposta.

D2: Reta, raio incidente,

refletor e normal.

D3: Î = ângulo de reflexão,

𝑟 = ângulo de incidência,

superfície refletora, RI =

raio incidente, RR = raio

refletor.


microscópicos para


mais profunda dos



problema;

Interpretar e fazer uso de

modelos explicativos,

reconhecendo suas

condições de aplicação;








dia-a-dia.

O que diferencia um

espelho plano de um

esférico?

D1: Plano: Imagem é igual

/ Esférico: Distorcida.

D2: Plano: Imagem real e

invertida/ Esférico:

Imagem distorcida.

D3: Plano: Podemos ver

apenas o que está na frente

e atrás. / Esférico:

Podemos enxergar de

várias maneiras, lados,

frente, trás.

Identificar regularidades;


microscópicos para


mais profunda dos



problema;



reconhecendo suas

41

condições de aplicação.

Defina campo visual. D1: Toda luz que é

absorvida pelo espelho é

refletida.

D2: Campo visual é onde

forma a imagem.

D3: Campo visual é até

onde podemos enxergar o

objeto.


microscópicos para


mais profunda dos



problema;




microscópicos ou



compreensão de

fenômenos;



reconhecendo suas

condições de aplicação.

Questionário

ATIVIDADE 3

1. O que é um espelho esférico?

2. Quais os tipos?

3. O que diferencia um espelho côncavo de um convexo?

4. Quantos raios devem existir no mínimo para observarmos a formação de imagem?

5. Quais os chamados raios notáveis?

6. Represente graficamente os elementos de um espelho esférico.

7. Quais características classificam uma imagem?

42

8. No espelho côncavo, temos cinco tipos de imagem. Como classificamos a imagem

formada num espelho quando o objeto situa-se por exemplo antes do centro de

curvatura?

Respostas

D1:

1. É um espelho em que possui um ponto de foco podendo aumentar ou diminuir a

imagem.

2. Côncavo e convexo.

3. Côncavo: Real e Invertida / Convexo: Virtual e Não invertida.

4. No mínimo dois.

5. Sem resposta. Imagem produzida

6. V, C, F, T,S

7. Virtual, real, invertida e não invertida.

8. Sem resposta. Imagem produzida.

D2:

1. Centro de curvatura.


3. Côncavo: Imagem real / Convexo: Imagem virtual

4. Dois.


6. I = imagem, f = foco, c = centro de curvatura, o = objeto, v = vértice.

7. Real ou virtual, posição e tamanho.


D3:

1. Possui o maior campo de visão em que podemos ver todos os lados, possui foco,

vértice e centro.


3. Formação de imagem: Em um deles é formada na parte de dentro e no outro na

parte de fora.

4. Dois: raio de incidência e raio de reflexão.

43

5. Todo raio que incide perpendicular passa pelo foco; Todo raio que incide no

centro, retorna pelo mesmo; Todo raio que incide no vértice retorna com a mesma

angulação.

6. V: vértice, C: centro, F: foco, R: raio e EP: eixo principal.

7. Real/Virtual; Maior/menor (que o objeto)/mesmo tamanho;Invertida/Mesmo

sentido que o objeto.

8. Real, invertida, mesmo tamanho que o objeto. Imagem produzida.

Análise

Ainda sobre o tema “Óptica Geométrica”, com delimitação nos espelhos esféricos, foi

investigado a primórdio sobre sua definição e classificação. Assim, as duplas não apontaram a

definição geral – calota esférica onde uma de suas superfícies é refletora – nem remeteram a

algo próximo, citando apenas alguns elementos geométricos que o compõem: “é um espelho

que possui um ponto de foco” (D1) e “possui foco, vértice e centro” (D3). Evidenciaram

também que esses espelhos podem possuir diferente campo visual e diferentes imagens:

“possui maior campo de visão” (D3) e “podendo aumentar ou diminuir a imagem” (D1).

Quanto aos tipos, todas as duplas mostraram conhecer a nomenclatura, porém, ao ser

solicitada a diferenciação entre esses tipos apenas uma dupla evidenciou a principal diferença

– côncavo: superfície refletora interna e convexo: superfície externa refletora –: “em um deles

a imagem é formada na parte de dentro e no outro na parte de fora” (D3). As outras duplas

apontaram apenas sobre as características da imagem formada, generalizando de forma

errônea ter no côncavo imagem real: “côncavo: imagem real/convexo: imagem virtual” (D2) e

“côncavo: real e invertida/convexo: virtual e não invertida” (D1). Quando à formação de

imagens todas as duplas apontam a necessidade de no mínimo dois raios notáveis para sua

construção, porém ao ser solicitada a descrição desses raios, a maioria só conseguiu

representar graficamente de forma errônea ou incompleta, no entanto uma dupla descreveu

com precisão: “Todo raio que incide perpendicular passa pelo foco; Todo raio que incide no

centro, retorna pelo mesmo; Todo raio que incide no vértice retorna com a mesma

angulação.”(D3)

Visto que os espelhos esféricos são analisados através de determinados elementos

geométricos, os alunos deveriam discorrer sobre eles. A primeira dupla apenas citou letras

sem seu significado enquanto as outras descreveram vários elementos. A imagem formada

44

pode ser classificada quanto à sua natureza, em real ou virtual, quanto à sua posição, em

direita ou invertida e quanto ao seu tamanho, em menor, igual ou maior ao objeto. Assim, as

duplas mostraram conhecer essas características: “Virtual, real, invertida e não invertida.”

(D1); “Real ou virtual, posição e tamanho.” (D2) e “Real/Virtual; Maior/menor (que o

objeto) /mesmo tamanho; Invertida/Mesmo sentido que o objeto.” (D3)

Por fim, cada espelho forma sua imagem com diferentes características. O côncavo,

por exemplo, a depender da posição do objeto em relação a determinado elemento geométrico

formará um tipo. Na investigação os alunos mostraram não dominar a representação

geométrica solicitada nem se lembraram das características.



Perguntas Concepções Prévias Competências e/ou


O que é um espelho

esférico?

D1: É um espelho em que

possui um ponto de foco

podendo aumentar ou

diminuir a imagem.

D2: Centro de curvatura.

D3: Possui o maior campo

de visão em que podemos

ver todos os lados, possui

foco, vértice e centro.




microscópicos ou



compreensão de

fenômenos.

Quais os tipos?

D1: Côncavo e convexo.



45

O que diferencia um

espelho côncavo de um

convexo?

D1: Côncavo: Real e

Invertida / Convexo:

Virtual e Não invertida.

D2: Côncavo: Imagem real

/ Convexo: Imagem virtual

D3: Formação de imagem:

Em um deles é formada na

parte de dentro e no outro

na parte de fora.




microscópicos ou



compreensão de

fenômenos.

Quantos raios devem

existir no mínimo para

observarmos a formação

de imagem?

D1: No mínimo dois.

D2: Dois.

D3: Dois: raio de

incidência e raio de

reflexão.

Quais os chamados raios

notáveis?

D1: Sem resposta. Imagem

produzida


produzida.

D3: Todo raio que incide

perpendicular passa pelo

foco; Todo raio que incide

no centro, retorna pelo

mesmo; Todo raio que

incide no vértice retorna

com a mesma angulação.


microscópicos para


mais profunda dos



problema;



reconhecendo suas

condições de aplicação;

Elaborar modelos

simplificados de



46


e fazer previsões.

Represente graficamente

os elementos de um

espelho esférico.

D1: V, C, F, T,S

D2: I = imagem, f = foco, c

= centro de curvatura, o =

objeto, v = vértice.

D3: V: vértice, C: centro,

F: foco, R: raio e EP: eixo

principal.

Elaborar modelos

simplificados de




e fazer previsões.

Quais características

classificam uma imagem?

D1: Virtual, real, invertida

e não invertida.

D2: Real ou virtual,

posição e tamanho.

D3: Real/Virtual;

Maior/menor (que o

objeto)/mesmo

tamanho;Invertida/Mesmo

sentido que o objeto.




microscópicos ou



compreensão de

fenômenos.

No espelho côncavo, temos

cinco tipos de imagem.

Como classificamos a

imagem formada num

espelho quando o objeto

situa-se por exemplo antes

do centro de curvatura?


produzida.


produzida.

D3: Real, invertida, mesmo

tamanho que o objeto.

Imagem produzida.

Elaborar modelos

simplificados de




e fazer previsões;

Construir uma visão

sistematizada dos diversos

tipos de interação e das

diferentes naturezas de

fenômenos da física para

47

poder fazer uso desse

conhecimento de forma

integrada e articulada;

Questionário

ATIVIDADE 4

1. O que é o movimento circular?

2. Existem grandezas escalares, vetoriais e angulares. O que caracteriza uma

grandeza angular?

3. Defina espaço angular.

4. Defina velocidade angular.

5. Defina aceleração centrípeta.

6. Em que situações cotidianas presenciamos um movimento circular?

Respostas

D1: Não compareceu à aula.

D2:

1. Movimento angular.

2. MUR e MCU se diferenciam pela trajetória.

3. É onde ocorre o movimento angular.

4. É a aceleração dentro do ângulo.

5. “Vezes 3” dentro do ângulo.

6. Ventilador, roda do carro, máquina de lavar.

D3:

1. O movimento circular é representado por uma roda que envolve correntes que

pode existir vários planos.

2. Grandezas angulares representadas por ângulos.

3. Espaço angular, distância entre ângulos. Quando percorre um espaço a distância é

dada em km.

4. Quando vamos ter uma aceleração entre ângulos.

48

5. Aceleração centrípeta é a aceleração que acontece do centro indo para as

extremidades em que vai circular por todas as partes dos ângulos.

6. Bicicleta: Nas correias. Polias.

Análise

Esta consiste na última etapa da investigação geral das concepções prévias dos alunos

e envolve o assunto Movimento Circular, no âmbito da cinemática vetorial, sendo ele um caso

específico do movimento curvilíneo. Ao ser perguntado sobre a definição desse movimento as

duplas de forma direta e indireta explicitaram ser um movimento de rotação, respectivamente:

“movimento angular” (D2) e “representado por uma roda que envolve correntes” (D3).

Didaticamente, esse movimento é analisado através de um corpo que gira em torno de um

eixo varrendo assim um ângulo central e descrevendo um deslocamento sobre a

circunferência. Desse modo, os alunos deveriam caracterizar uma grandeza angular e

posteriormente definir algumas delas – espaço, velocidade e aceleração angular -. Desse

modo, as duplas não conseguiram caracterizar tais grandezas, expressando apenas pontos

soltos: “se diferenciam pela trajetória” (D2) e “representadas por ângulos” (D3).

Quanto ao espaço angular, demonstram insegurança e poucas considerações: “onde

ocorre o movimento angular” (D2) e “distância entre ângulos” (D3). Sobre a velocidade

angular, as duplas demonstram entendê-la como uma taxa de variação relacionada à rapidez, à

qual elas chamam de aceleração, não descrevendo de forma precisa seu conceito: “é a

aceleração dentro do ângulo” (D2) e “quando vamos ter uma aceleração entre ângulos” (D3).

A respeito da aceleração centrípeta houve a tentativa de descrição de uma expressão

matemática por uma dupla, comprovando sua não compreensão conceitual e dedutiva: “vezes

3 dentro do ângulo” (D2). A outra dupla apresentou sucintamente o caráter vetorial dessa

aceleração: “é a aceleração que acontece do centro indo para as extremidades”. (D3).

Por fim, os alunos deveriam expor situações cotidianas relacionadas ao movimento

circular. Neste quesito não mostraram dificuldade em identificá-las, apontando vários

exemplos: “Ventilador, roda do carro, máquina de lavar.” (D2) e “Bicicleta: Nas correias.

Polias.” (D3), porém devido às respostas anteriores, é notório que demonstrariam dificuldade

em abstrair nessas ocorrências cotidianas a situação teórica desenvolvida.

49



Perguntas Concepções Prévias Competências e/ ou


O que é o movimento

circular?

D2: Movimento angular.

D3: O movimento circular

é representado por uma

roda que envolve correntes

que pode existir vários

planos.




mesmo tempo sua



cada ciência.

Existem grandezas

escalares, vetoriais e

angulares. O que

caracteriza uma grandeza

angular?

D2: MUR e MCU se

diferenciam pela trajetória.

D3: Grandezas angulares

representadas por ângulos.

Ser capaz de escolher e

fazer uso da linguagem

mais apropriada em cada

situação

Reconhecer a relação entre

diferentes grandezas;




mesmo tempo sua



cada ciência.

Defina espaço angular.

D2: É onde ocorre o

movimento angular.

D3: Espaço angular,

distância entre ângulos.

Quando percorre um

espaço a distância é dada




microscópicos ou



50

em km.

compreensão de

fenômenos;




mesmo tempo sua



cada ciência.

Defina velocidade angular.

D2: É a aceleração dentro

do ângulo.

D3: Quando vamos ter

uma aceleração entre

ângulos.




microscópicos ou



compreensão de

fenômenos;




mesmo tempo sua



cada ciência.

Defina aceleração

centrípeta.

D2: “Vezes 3” dentro do

ângulo.

D3: Aceleração centrípeta

é a aceleração que

acontece do centro indo

para as extremidades em

que vai circular por todas




mesmo tempo sua



cada ciência;

51

as partes dos ângulos.




microscópicos ou



compreensão de

fenômenos;

Compreender que tabelas,

gráficos e expressões

matemáticas podem ser

diferentes formas de

representação de uma

mesma relação, com

potencialidades e

limitações próprias, para

ser capaz de escolher e

fazer uso da linguagem

mais apropriada em cada

situação, além de poder

traduzir entre si os

significados dessas várias

linguagens.

Em que situações

cotidianas presenciamos

um movimento circular?

D2: Ventilador, roda do

carro, máquina de lavar.

D3: Bicicleta: Nas

correias. Polias.

52

4.2. Concepções e Análise a Priori

Nesta etapa da Engenharia Didática serão descritas variáveis que nortearão a

sequência proposta, as chamadas variáveis de comando, que por sua vez serão elencadas no

âmbito global (variáveis globais) – aquelas referentes à organização geral da engenharia – e

no âmbito local (variáveis locais) – aquelas articuladas com previsões a respeito do

comportamento dos alunos. Segundo Artigue (1996), essa fase comporta uma parte descritiva

e uma parte preditiva.

Desse modo, as variáveis globais são:

Representar graficamente abstrações matemáticas presentes nos conteúdos físicos

selecionados;

Utilizar recursos manipuláveis, fazendo opção pelo Multiplano, devido seu preciso

caráter geométrico e seu fácil e eficaz manuseio;

Expor vetores como uma entidade matemática cujas operações são geométricas;

Traçar técnicas para cálculos físicos;

Trabalhar em sala de aula sempre conectando diferentes recursos didáticos: papel,

material manipulável e discurso, para usufruir ao máximo do desempenho dos alunos.

Quanto às escolhas locais, serão expostas nas situações didáticas propostas.Contudo

serão traçadas hipóteses que contribuirão para a validação da engenharia, uma vez que

serão comparadas com os resultados finais. Carneiro salienta que:

Para efeitos da validação, as hipóteses não podem

ser muito amplas, a ponto de por em jogo

processos de aprendizagem em longo prazo. Ao

expressá-las, é preciso ter consciência de que

vamos voltar a elas, durante a experimentação,

checando-as, inquirindo-as.(CARNEIRO, 2005).

Dessa forma, foram formuladas as seguintes hipóteses:

1. Em nível cognitivo acredita-se que com esta sequência os alunos irão adquirir

conhecimentos físicos mediante análise geométrica. Em se tratando das habilidades

presentes nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Ciências da Natureza, Matemática

e suas Tecnologias pretende-se mostrar que algumas serão adquiridas por eles;

53

2. As representações físicas produzidas no Multiplano tornarão as idéias abstratas

manipuláveis, servindo para os alunos simularem e testarem técnicas antes feitas com

um único recurso didático;

3. Acredita-se no caráter inclusivo dessa sequência, uma vez que o recurso utilizado é

tátil, possibilitando a inserção dos alunos com necessidades educacionais especiais

(NEE) na sala de aula comum.

4.3. Experimentação

Durante o período de quatro encontros, desenvolvidos em um mês, foi aplicada a

sequência didática intitulada “Um toque na abstração” e coletados registros em forma de

imagem para análise do ensino e aprendizagem dos alunos envolvidos. A análise desse

material é essencial para a etapa da validação.

A primeira aula teve início com a apresentação do Multiplano – material manipulável

que através do tato possibilita representações geométricas – para a turma e suas regras de uso.

Após essa interação foi apresentado o primeiro assunto a ser trabalhado: Vetores. Na primeira

etapa da aula 1, os alunos em dupla deveriam representar um vetor no plano retangular a partir

de ligas de borracha que simbolizam linhas, pinos que simbolizam pontos e marcadores para

os pinos que representarão a orientação das linhas. Essa ação possibilita entenderem a

definição de vetor e suas características Em seguida, foram apresentados exemplos de

grandezas vetoriais: deslocamento, velocidade, força, dentre outras e explicitado serem

grandezas que são completamente caracterizadas até que uma magnitude, direção e sentido

sejam especificados. Após esse momento foi abordado que em muitas situações físicas é

preciso representar mais de um vetor atuando em um mesmo ponto, sendo necessário um

vetor que os represente, o vetor resultante, que por sua vez é determinado por regras, as

operações vetoriais. Assim, as duplas foram solicitadas a fazerem três regras no Multiplano: A

regra do polígono, do paralelogramo e a diferença de vetores. Em resumo, cada regra possui

técnicas específicas que puderam ser feitas e validadas. Essa atividade se desenvolveu a fim

dos alunos conhecerem as regras, traçarem suas técnicas e compreenderem que se tratam de

operações geométricas.

54

A segunda aula teve como tema a óptica geométrica. Tendo como objeto de estudo a

luz, os alunos conheceram e analisaram fenômenos e propriedades. Inicialmente, as duplas

representaram os raios de luz no Multiplano e conheceram seus princípios. Nesta etapa a

turma aprendeu sobre as regras úteis para o desenrolar do conteúdo. Após estudo dos

princípios, a sequência segue para uma aplicação deles, a câmara escura. No Multiplano as

duplas estabeleceram a relação entre altura e distância do objeto e imagem formada. Na

execução desta ação foi possível compreender semelhança de triângulos e sua aplicação, além

da observação das características da imagem formada.

Em seguida, as duplas se depararam com o estudo de fenômenos ópticos, em

específico, a reflexão. Para sua representação foi utilizada a tábua circular do Multiplano a

fim de validar as leis da reflexão. Por fim, ocorreu o estudo dos espelhos, uma vez que sua

superfície é refletora. No material manipulável os alunos representarão um espelho plano, o

processo de formação de imagem e suas características, bem como o campo visual. O objetivo

desta etapa está em explorar a reflexão da luz de forma geométrica.

A terceira aula dá continuidade ao assunto Óptica Geométrica, mas com ênfase nos

espelhos esféricos. Inicialmente os alunos deveriam simular o comportamento da luz ao

incidir numa calota esférica, representada pela tábua circular, em sua parte interna e depois

em sua parte externa. Nesta ação é possível caracterizar um espelho esférico e classificá-lo em

côncavo ou convexo. Este tipo de espelho possui alguns elementos geométricos que serão

referenciais para a propagação de “diferentes tipos de raios” – os raios notáveis -. Sendo

assim, as duplas marcaram na tábua circular, com pinos, os elementos: centro de curvatura

(C), foco (F), vértice (V) e raio (R), além de por uma liga entre eles para simbolizar o eixo

principal. Com estes elementos fixados já é possível estudar sobre o processo de formação de

imagens mediante intersecção de raios notáveis. Assim, as duplas representaram o

comportamento de três raios notáveis que tocam no vértice, foco e centro de curvatura

respectivamente. O objetivo desta ação é identificar a posição dos elementos geométricos que

compõem um espelho esférico e conhecer o comportamento dos raios notáveis. Por fim,

trabalharam o processo de formação das imagens nos dois tipos de espelhos esféricos. Com

esse processo os alunos podem inferir sobre a localização da imagem formada, suas

características referentes a natureza, posição e tamanho e as consequências dessa formação

para caracterização dos tipos de espelhos.

55

Na quarta e última aula, o assunto físico abordado foi o Movimento Circular e

Uniforme. Trabalhando com um corpo que gira em torno de um eixo analisa-se seu

movimento a partir do ângulo central varrido por ele ou a partir do seu deslocamento sobre a

circunferência. Desse modo, os alunos desenvolveram técnicas na tábua circular para simular

esse movimento e converter uma grandeza escalar em angular. Em seguida foi simulada a

velocidade angular do corpo através da variação média do ângulo descrito pelo corpo em

relação ao tempo. Com esta ação foi conhecida a equação que a descreve e o seu caráter

vetorial bem como a relação entre velocidade angular e linear. A última ação se dá com a

análise geométrica da aceleração centrípeta e a dedução de sua fórmula.

4.4. Análise a posteriori

Nessa etapa ocorreu a análise sobre os dados obtidos na experimentação para

posteriormente validar ou não a pesquisa sobre a aprendizagem física no Multiplano. Para

cada ação das duplas, foi descrito o procedimento, as habilidades desempenhadas e o

confronto com a análise a priori. No texto não serão apresentadas todas as imagens das ações

para não torná-lo extenso, porém garantem uma precisa sintetização para análise.

Aula 1: Estudo de Vetores

Atividade1: Representação de um vetor

Imagens:

Figura 24 - Vetor - D1

56

Figura 25 - Registro escrito - D1





57

Procedimentos:

Criação de reta através de dois pontos;

Delimitação do segmento de reta;

Determinação do módulo, direção e sentido do vetor.

Habilidades desempenhadas:

Definição de um vetor;

Caracterização de um vetor.

Confronto com a análise a priori:

Competência adquirida:

Geral: Na utilização de um conceito ou unidade de grandeza, reconhecer ao mesmo tempo sua

generalidade e o seu significado específico em cada ciência.

Específica: Definir e caracterizar um vetor.

*Vale ressaltar que D2 não obteve sucesso nesta atividade.

Atividade 2: Regra do Polígono

Imagens:

Figura 30 - Regra do Polígono - D1

58



Procedimentos:

Criação de vetores diferentes;

Soma dos vetores;

Criação do vetor resultante.

Habilidades desempenhadas:

Criação de vetores através de segmentos de reta com módulo, direção e sentido;

Soma vetorial a partir da Regra do Polígono;

Determinação do vetor resultante.


Competências adquiridas:

Geral:

1. Expressar-se com clareza, utilizando a linguagem matemática, elaborando textos,

desenhos, gráficos, tabelas, equações, expressões e escritas numéricas;

59

2. Frente a uma situação ou problema, reconhecer a sua natureza e situar o objeto de

estudo dentro dos diferentes campos da Matemática, ou seja, decidir-se pela utilização

das formas algébrica, numérica, geométrica, combinatória ou estatística;

3. Interpretar, fazer uso e elaborar modelos e representações matemáticas para analisar

situações.

Específicas:

Caracterizar um vetor;

Transmutar um vetor;

Somar geometricamente utilizando a Regra do Polígono.

Atividade 3: Regra do Paralelogramo

Imagens:

Figura 33 - Regra do Paralelogramo - D1

60



61




62

Procedimentos:

Criação de vetores em um mesmo ponto;

Prolongamento dos vetores;

Junção da origem dos vetores com as extremidades de seus prolongamentos;

Determinação do vetor resultante;

Aferimento do módulo do vetor resultante.

Habilidades:

Criar vetores diferentes e com angulação entre si;

Execução da soma vetorial através da Regra do Paralelogramo;

Determinação do vetor resultante.





2. Fazer uso de formas e instrumentos de medida apropriados para estabelecer

comparações quantitativas;




4. Interpretar, fazer uso e elaborar modelos e representações matemáticas para analisar

situações.

Aula 2: Introdução à Óptica Geométrica

Atividade 1: Câmara escura e sua equação.

Imagens:

63

Figura 39 - Representação - Formação de imagem na câmara escura – D1



64




Procedimentos:

Criação de um objeto (o) a uma distância (p) do ponto O;

Inserção de um triângulo que contemple os itens citados acima simulando a

propagação da luz;

Criação de triângulo semelhante com altura (p‟) e sua respectiva base (i).

65

Habilidades:

Aplicação da semelhança de triângulos;

Observação do comportamento dos raios de luz e formação de imagem numa câmara

escura;

Dedução da relação entre alturas e distâncias do objeto e da imagem.



1. Reconhecer a relação entre diferentes grandezas;

2. Elaborar modelos simplificados de determinadas situações, a partir dos quais seja

possível levantar hipóteses e fazer previsões;

3. Identificar e compreender os diversos níveis de explicação física, microscópicos ou

macroscópicos, utilizando-os apropriadamente na compreensão de fenômenos;

4. Conhecer modelos físicos microscópicos para adquirir uma compreensão mais

profunda dos fenômenos e utilizá-los na análise de situações-problema;

5. Reconhecer e saber utilizar corretamente símbolos, códigos e nomenclaturas de


Atividade 2: Leis da Reflexão

Imagens:

Figura 45 - Reflexão da luz - D1

66



Procedimentos:

Traçado da superfície (S) de incidência da luz;

Traçado da reta normal (N);

Representação da luz refletida através dos raios incidente e refletido com seus

respectivos ângulos (i e r).

Habilidades:

Utilizar as leis da reflexão.



67



2. Interpretar e fazer uso de modelos explicativos, reconhecendo suas condições de

aplicação;

3. Identificar regularidades, associando fenômenos que ocorrem em situações

semelhantes para utilizar as leis que expressam essas regularidades na análise e

previsões de situações do dia-a-dia.

Atividade 3: Campo Visual

Imagens:

Figura 48 - Campo Visual - D1


68


Procedimentos:

Simulação da face de um espelho plano;

Posicionamento de um observador;

Delimitação da região observável através de dois raios incidentes e sua devida

reflexão.

Habilidades:

Utilizar as leis da reflexão.








aplicação.

Aula 3: Espelhos Esféricos da Óptica Geométrica

Atividade 1: Raios Notáveis

Imagens:

69

Figura 51 - Raios Notáveis - D1



Procedimentos:

Representação do comportamento de alguns raios luminosos ao incidir numa

superfície côncava, onde:

R1 (Raio 1): Incide paralelo e toca no foco;

R2 (Raio 2): Incide no vértice e reflete simetricamente em relação ao eixo principal;

R3 (Raio 3): Incide sobre o centro de curvatura e reflete sobre si mesmo.

Habilidades:

70

Caracterização de um espelho esférico;

Determinação dos elementos geométricos de um espelho esférico;

Aplicação das leis da reflexão;

Distinção do comportamento de alguns raios luminosos.






aplicação;


possível levantar hipóteses e fazer previsões.

Atividade 2: Formação de imagem

Imagens:

Figura 54 - Formação de imagem - D1

71



Procedimentos:

Representação de um espelho esférico (E);

Traçado do eixo principal com os elementos: vértice (V), foco (F) e centro de

curvatura (C);

Representação de um objeto (o) posicionado além do centro de curvatura;

Aplicação de dois raios notáveis (R1 e R2);

Representação da imagem (i).

Habilidades:

Aplicação dos raios notáveis;

Formação de imagem em um espelho côncavo;

Caracterização da imagem quanto a sua natureza, posição e tamanho.

72





2. Construir uma visão sistematizada dos diversos tipos de interação e das diferentes

naturezas de fenômenos da física para poder fazer uso desse conhecimento de forma


Aula 4: Tópicos de Movimento Circular

Atividade 1:Relação entre espaço angular e linear

Imagens:

Figura 57 - Deslocamento angular e linear – D2

73

Figura 58 - Deslocamento angular e escalar - D3

Procedimentos:

Representação de determinado ângulo varrido;

Medição do raio e do espaço escalar;

Transporte do raio e do espaço escalar para a tábua retangular;

Determinação do módulo do espaço escalar.

Habilidades:

Caracterização do movimento circular;

Definição do espaço escalar e angular;

Verificação da relação entre uma grandeza escalar e uma angular.





2. Na utilização de um conceito ou unidade de grandeza, reconhecer ao mesmo tempo

sua generalidade e o seu significado específico em cada ciência.

74

Atividade 2: Velocidade angular

Imagens:

Figura 59 - Velocidade angular (W) - D2

Figura 60 - Determinação das velocidades: angular e escalar – D2

75

Figura 61 - Velocidade angular (W) - D3

Figura 62 - Determinação das velocidades: angular e escalar – D3

Procedimentos:

Representação de um deslocamento angular;

Medição do tempo em que o deslocamento ocorre;

Simulação vetorial da velocidade angular;

Determinação do módulo da velocidade angular.

Habilidades:

Definição da velocidade angular e seu caráter vetorial;

76

Verificação da relação entre velocidades: angular e escalar






sua generalidade e o seu significado específico em cada ciência.

Atividade 3: Definição da aceleração centrípeta

Imagens:

Figura 63 - Representação do vetor velocidade – D2 e D3

Figura 64 - Resultante das velocidades - D2 e D3

77

Figura 65 - Dedução matemática da aceleração centrípeta - D2 e D3

Procedimentos:

Deslocamento angular;

Representação do vetor velocidade tangencial à curva em duas posições;

Representação vetorial da variação da velocidade;

Representação do vetor aceleração apontando para o centro da curva;

Dedução matemática da aceleração centrípeta através da semelhança entre triângulos.

Habilidades:

Análise vetorial das grandezas velocidade e aceleração no movimento circular;

Dedução do módulo da aceleração centrípeta através da semelhança de triângulos.




sua generalidade e o seu significado específico em cada ciência;



3. Compreender que tabelas, gráficos e expressões matemáticas podem ser diferentes

formas de representação de uma mesma relação, com potencialidades e limitações

próprias, para ser capaz de escolher e fazer uso da linguagem mais apropriada em cada

situação, além de poder traduzir entre si os significados dessas várias linguagens.

78

4.5. Validação

Nesta fase final da Engenharia Didática procurou-se analisar os acertos e erros na

proposta de ensino desenvolvida, baseada no confronto da análise a priori e posteriori. Desse

modo, serão avaliadas as escolhas para realização da sequência a fim de analisar as variáveis

globais e as hipóteses para identificar a contribuição para a aprendizagem dos alunos

envolvidos.

De forma ampla, temos que a sequência foi bem executada devido ao maior interesse e

participação do grupo, uma vez que um novo recurso didático, de caráter manipulável, foi

inserido, tornando-a mais atrativa e empolgante. Antes da experimentação foi observada a

dificuldade dos alunos expressarem corretamente os pensamentos físicos em registro escrito.

Podemos inferir que essa carência foi superada nesta sequência, pois os alunos puderam se

expressar de outra forma, através de representações geométricas concretas. No que tange a

utilização do Multiplano observa-se êxito em seu uso, uma vez que os alunos não

apresentaram dificuldades em sua manipulação, além de poderem validar os assuntos

aplicados.

Quanto aos objetivos específicos alcançados em cada atividade proposta é válido

pontuar que:

1. Na aula 1, referente ao estudo de vetores, os alunos teriam que definir e caracterizar

um vetor, bem como verificar técnicas da soma vetorial. O objetivo proposto foi

alcançado, pois os alunos puderam representar segmentos de reta e caracterizá-los de

forma tátil além de executarem a operação geométrica de forma concreta e validarem

mediante medições;

2. Na aula 2, voltada para a introdução do estudo da óptica geométrica, os alunos, ao

conhecerem o comportamento da luz, deveriam desenvolver suas aplicações que vão

desde a formação de imagem em uma câmara escura até espelhos. O objetivo foi

atingido, pois as duplas, ao representarem a propagação retilínea da luz, puderam

averiguar como se dá o processo de formação da imagem na câmara escura bem como

deduzir a equação que relaciona tamanho e distância do objeto e da imagem. Em

seguida também verificaram as leis da reflexão e as aplicaram para a formação de

imagem em um espelho plano, bem como a caracterização do seu campo visual

mediante representações geométricas concretas;

79

3. Na aula 3, referente à continuação do estudo da óptica geométrica, em específico, no

estudo dos espelhos esféricos, os alunos deveriam caracterizar esse tipo de espelho,

classificá-lo e conhecer o processo de formação dos variados tipos de imagens

produzidas. O objetivo também foi alcançado, uma vez que puderam simular no

Multiplano a face curva refletora do espelho e representar seus elementos geométricos

e o comportamento dos diferentes raios que neles incidem para posteriormente através

da intersecção deles caracterizar a imagem formada e apontar sua natureza, posição e

tamanho, além de comprovar a equação de Gauss para espelhos esféricos através da

distância focal, da distância do objeto ao espelho e da respectiva imagem formada;

4. Na aula 4, designada ao estudo do movimento circular, os alunos deveriam

caracterizar um movimento curvilíneo mediante sua trajetória e velocidade angular

além da aceleração centrípeta a fim de entender as grandezas angulares e sua

importância no movimento. O objetivo foi alcançado, pois através do Multiplano os

alunos puderam simular deslocamentos angulares precisos, devido às medições da

tábua circular e convertê-los em deslocamentos escalares na tábua retangular, podendo

verificar a relação entre grandezas escalares e angulares. A partir disso, puderam

também analisar a taxa de variação desse deslocamento em função do tempo,

descobrindo assim a velocidade angular além do seu caráter vetorial. Por fim,

representaram a análise vetorial da velocidade a aceleração, porém não desenvolveram

a dedução do módulo da aceleração centrípeta e sim analisaram que este se dá por

semelhança de triângulos.

Diante do que foi exposto podemos confirmar as hipóteses:

Hipótese 1: Em nível cognitivo acredita-se que com esta sequência os alunos irão adquirir

conhecimentos físicos mediante análise geométrica. Em se tratando das habilidades presentes

nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Ciências da Natureza, Matemática e suas

Tecnologias pretende-se mostrar que algumas serão adquiridas por eles.Pois, os alunos

adquiriram conhecimentos sobre vetores, óptica geométrica e movimento circular bem as

seguintes habilidades dos PCN‟s:


sua generalidade e o seu significado específico em cada ciência;

2. Reconhecer a relação entre diferentes grandezas, ou relações de causa-efeito, para ser

capaz de estabelecer previsões;

80






5. Traduzir uma situação dada em determinada linguagem para outra; Interpretar, fazer

uso e elaborar modelos e representações matemáticas para analisar situações;

6. Identificar regularidades, associando fenômenos que ocorrem em situações

semelhantes para utilizar as leis que expressam essas regularidades na análise e

previsões de situações do dia-a-dia;







10. Reconhecer a natureza dos fenômenos envolvidos, situando-os dentro do conjunto de

fenômenos da Física e identificar as grandezas relevantes, em cada caso;

11. Construir uma visão sistematizada dos diversos tipos de interação e das diferentes

naturezas de fenômenos da física para poder fazer uso desse conhecimento de forma


12. Ser capaz de escolher e fazer uso da linguagem mais apropriada em cada situação e

compreender que tabelas, gráficos e expressões matemáticas podem ser diferentes

formas de representação de uma mesma relação, com potencialidades e limitações

próprias, para ser capaz de escolher e fazer uso da linguagem mais apropriada em

cada situação, além de poder traduzir entre si os significados dessas várias linguagens.

Hipótese 2: As representações físicas produzidas no Multiplano tornarão as ideias abstratas

manipuláveis, servindo para os alunos simularem e testarem técnicas antes feitas com um

único recurso didático.Pois os alunos testaram técnicas, como soma vetorial mediante a regra

81

do polígono e do paralelogramo e semelhança de triângulos, através da manipulação de

materiais concretos (ligas de plástico, pinos, barbante, transferidor e tábua).

Hipótese 3: Acredita-se no caráter inclusivo dessa sequência, uma vez que o recurso utilizado

é tátil, possibilitando a inserção dos alunos com necessidades educacionais especiais (NEE)

na sala de aula comum.Pois todas as representações foram concretas, podendo ser

desenvolvida por alunos cegos, surdos e mudos, pelo seu caráter tátil e com representações

próprias, hiperativos e autistas pelo seu caráter interativo e sistemático, porém remodelando

algumas características de acordo com a necessidade específica.

Desta forma, afirma-se que a proposta de ensino de representações matemáticas de

tópicos da Física foi válida, contribuindo para uma melhora qualitativa na aprendizagem dos

alunos através do recurso manipulável Multiplano.

82

CAPÍTULO 5

5. Considerações finais

Durante esta pesquisa buscou-se desenvolver uma sequência de atividades de Física, em

específico, através do estudo de Vetores, Movimento Circular e Óptica Geométrica,

priorizando a aprendizagem teórica em consonância com a Matemática a fim de que o

estudante conhecesse e verificasse, de forma concreta e tátil, as representações físicas,

adquirindo assim o maior número de competências propostas pelo PCN+ Ensino Médio/

Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias.

Utilizou-se como metodologia de pesquisa a Engenharia Didática, a qual permitiu

reflexões acerca da organização de conteúdos e possíveis sugestões para mudança do ensino

tradicional no que tange a utilização de recursos táteis, procurando atingir uma melhora

qualitativa no ensino e na consequente aprendizagem. Assim, após o confronto com as

análises: a priori e a posteriori notou-se o valor da sequência, uma vez que, como posto na

validação, os alunos puderam alcançar os objetivos específicos de cada aula em consonância

com a confirmação das hipóteses previstas para a sequência. Em síntese houve a confirmação

do conhecimento físico adquirido mediante análise geométrica e do desenvolvimento de

diversas competências, com maior ênfase em interpretar, fazer uso e elaborar modelos e

representações matemáticas para analisar situações e elaborar modelos simplificados de

determinadas situações a partir das quais seja possível levantar hipóteses e fazer previsões.

Ao considerar as análises efetivadas, conclui-se que o uso do Multiplano foi crucial, pois

influenciou diretamente no interesse dos alunos, fazendo com que os mesmos manipulassem

de forma concreta representações antes abstratas, tornando-as mais significativas, além de ser

um material de caráter inclusivo, pois será usado na sala de aula comum com toda a classe,

trazendo aos alunos com necessidades educacionais especiais o gosto pelo aprendizado,

através de um conhecimento físico e matemático efetivo e concreto, pois proporciona

experiências táteis, responsáveis pela formação de imagens que embasam suas convicções e

teorias, tornando-os autônomos.

Diante desse contexto, é válido ressaltar a importância em se buscar novos recursos

didáticos, de preferência materiais manipuláveis, e novos métodos de ensino, visando

melhorar a qualidade de ensino e assim tornar as aulas mais interessantes, interativas e

inclusivas. Portanto, espera-se com este trabalho divulgar a utilização de um recurso

83

manipulável para o ensino de Física a fim de tornar a abstração tátil e mostrar que a

Matemática se dá no contexto da Física como uma estruturante que representa a realidade

científica.

84

REFERÊNCIAS

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87

Apêndice - Produto Educacional

TUTORIAL: UM TOQUE NA ABSTRAÇÃO

1. Conhecendo o Multiplano

O Multiplano consiste num material lúdico que através do tato possibilita a compreensão

de conceitos matemáticos. A origem desse recurso é datada desde 2000, pelo criador Rubens

Ferronato – criador e desenvolvedor de materiais pedagógicos voltados ao ensino da

matemática numa perspectiva inclusiva – que ao passar dificuldades com o ensino da

matemática para um aluno cego improvisou formas de aprendizagem de cálculo diferencial e

integrais, resultante após pesquisas na criação de um kit com uma placa perfurada, rebites e

elástico, como mostra a Figura 1.

Figura 66 - Kit Multiplano

O kit constitui-se de um tabuleiro regular no qual são encaixados pinos, fixados

elásticos, hastes de corpo circular, hastes para cálculo, base de operação, barras para gráficos,

disco circular que apresenta em sua periferia uma seqüência de orifícios circulares, onde

podem ser combinadas duas ou mais peças pertinentes a uma determinada operação

matemática que se pretenda aprender e compreender por meio da visão e ou do tato.

Sendo assim, os assuntos que podem ser abordados são operações, equações,

proporção, funções, sistema linear, gráficos de funções, inequações, funções exponenciais e

logarítmicas, trigonometria, geometria plana e espacial e estatística. Esse tutorial visa abordar

novos conteúdos no Multiplano, presentes na Física, que necessitam de representações

matemáticas para sua melhor compreensão, sendo eles: Vetores e um tópico especial sobre

Eletrostática, Movimento Circular e Óptica Geométrica.

2. Normas para o uso do Multiplano

88

Utilizaremos os seguintes acessórios do Multiplano:

Tabuleiro regular:

Pinos:

Elástico:

Disco:

3. Conteúdo e sua abordagem no Multiplano

VETORES

“Grandezas que não são completamente caracterizadas até que uma magnitude, direção e um

sentido sejam especificados.”

Os respectivos exemplos – deslocamento, velocidade e força – são grandezas vetoriais e

modelam-se pela entidade matemática denominada vetor.

Análise geométrica

REPRESENTAÇÃO 1:

Figura 67 - Caracterização de vetor

Dois pontos distintos A e B no espaço determinam uma reta. Esta é uma direção no espaço. O

segmento AB determina essa direção, podendo ser orientado, tendo assim o sentido e dotado

de um comprimento, ou seja, módulo. Conclui-se que os vetores são representados por

segmentos de reta orientados caracterizados por direção, sentido e magnitude. No exemplo

exposto, o vetor possui direção horizontal, sentido da esquerda para direita e magnitude 10

unidades (uma vez que cada espaçamento entre pinos no multiplano representa uma unidade).

89

Operações vetoriais

Em muitas situações físicas, é preciso representar mais de um vetor atuando em um mesmo

ponto. Neste sentido, estudaremos as operações vetoriais, a fim de encontrar o vetor

resultante. Desse modo, temos:

1. Regra do Polígono

REPRESENTAÇÃO 2:

Figura 68 - Conjunto de vetores

Figura 69 - Regra do polígono

90



Esta regra consiste em uma adição vetorial de um conjunto de vetores, como exposto na

Figura 2. Para executá-la temos o seguinte procedimento:

Transporte dos vetores, de modo que a origem de um coincida com a extremidade do

outro, preservando suas características (módulo, direção e sentido), como mostra as

figuras 3 e 4;

Criação do vetor soma o resultante, ligando sua origem com a origem do primeiro

vetor e sua extremidade com a extremidade do último vetor, criando assim um

polígono, como mostra a Figura 5.

2. Regra do Paralelogramo

Consiste na obtenção do vetor soma para dois vetores que estão na forma equivalente de

um ponto. Para esta obtenção são transladados vetores paralelos do seguinte modo:

91

REPRESENTAÇÃO 3:

Figura 72 - Vetor

Figura 73 – Criação de vetor inclinado.

Figura 74 – Translação de vetores.

92

Figura 75 – Vetor soma (s).

Figura 76 – Módulo do vetor soma.

Desse modo, os procedimentos foram:

Criação dos vetores que estão na forma equivalente de um ponto, onde para

determinar a angulação entre eles utiliza-se um transferidor;

Projeção dos vetores e sua intersecção, a fim de formar um paralelogramo;

Criação do vetor soma, unindo a origem dos vetores com a extremidade da intersecção

das projeções;

Medição do vetor soma através da contagem dos espaçamentos entre pontos.

3. Casos Particulares:

Vetores Perpendiculares:

93

Figura 77 - Soma de vetores perpendiculares.

Subtração vetorial:

Figura 78 - Criação de vetor.

Figura 79 - Criação de vetor inclinado.

94

Figura 80 - Oposição do vetor inclinado.

Figura 81 - Criação do vetor diferença.

Figura 82 - Medição do vetor diferença.

95

Figura 83 - Módulo do vetor diferença.

Assim, os procedimentos são:

Criação de vetores que estão na forma equivalente de um ponto, onde para determinar

sua inclinação utiliza-se um transferidor;

Oposição do segundo vetor;

Projeção dos vetores e sua intersecção;

Criação do vetor soma;

Medição do vetor soma.

MOVIMENTO CIRCULAR

Estudo de trajetórias circulares.

Grandezas envolvidas:

Espaço angular: ᵩ

Velocidade angular: ω

Aceleração angular: α

Representação 1:

96

Figura 84 - Representação dE trajetória circular.

Onde,

1 – Espaço inicial (So); 2 – Espaço final (S); 3 – Espaço angular (ᵩ); 4 – Raio (R) e 5 –

Variação do espaço (ΔS).

Relação entre espaço angular e linear: ΔS = Δᵩ . R (Escalar = Angular. Raio)

Aplicação 1:

Figura 85 – Deslocamento angular e raio da circunferência.

Figura 86 - Medição do raio da circunferência.

97

Figura 87 - Espaço escalar.

Figura 88 - Medição do espaço escalar.

Nesta aplicação, representou-se um deslocamento angular de 30 ͦ(𝜋

6 rad) e será medido o

deslocamento escalar. Assim, a primeira e segunda etapa consistem em mensurar o raio de

curvatura com o barbante e transportá-lo para a tábua quadrada par medida em unidades do

Multiplano (R = 8u). Na sequência, o mesmo procedimento é feito para medição do

deslocamento escalar. Por fim, temos ΔS = 4u.

Verificação 1:

Seja: R = 8 u

Δᵩ = 𝜋

6

Π =3

Velocidade angular

Taxa de variação média do ângulo em relação ao tempo.

Consiste em uma grandeza vetorial, onde o vetor velocidade possui:

Módulo: Igual à velocidade angular;

ΔS = Δᵩ . R

ΔS = 𝜋

6 . 8 =

3

6 . 8 = 4 u

98

Direção: Perpendicular ao plano que contém a trajetória;

Sentido: Dado pela regra da mão direita.

Representação 2:

Figura 89 - Velocidade angular.

Figura 90 - Vetor velocidade angular

Onde 1= velocidade angular e 2 = raio

Para descrever o movimento, o “centro” pode ser qualquer partícula ou ponto imaginário do

corpo que esteja rigidamente conectado ao mesmo.

Representação 3:

Figura 91 - Orientação do vetor velocidade angular.

99

Figura 92 - Regra de Fleming.

Figura 93 - Orientação do vetor velocidade angular.

Figura 94 - Regra de Fleming.

Nesta representação verifica-se que quando um corpo se desloca num determinado sentido,

horário ou anti-horário, paralelo ao solo, a velocidade angular apontará para baixo ou para

cima. Estamos aplicando a Regra de Fleming, que consiste numa lei e recurso mnemônico

(auxiliar de memória) útil para estabelecimento da orientação do vetor resultante de um

produto vetorial no espaço.

Relação entre velocidade angular e escalar

100

Ao observar que, no deslocamento angular, há uma relação com o deslocamento linear e

ocorre no mesmo intervalo de tempo, é conclusivo que a velocidade linear seja determinada

em função da velocidade angular.

Representação 4:

Figura 95 – Espaços, angular e escalar, iniciais.

Figura 96 - Espaços, angular e escalar, finais.

Para descrever o movimento, “o centro” pode ser qualquer ponto imaginário do corpo que

esteja rigidamente conectado ao mesmo. Observando que a trajetória descrita pelo corpo foi

de 60° e que isto ocorreu em 10 s, tem-se que a velocidade angular foi de 0,1 radianos por

segundo, uma vez que ω = 𝛥𝜃

𝛥𝑡, e ω =

𝜋

3

10 =

3

3

10= 0,1

𝑟𝑎𝑑

𝑠.

Em relação à velocidade linear, que consiste na taxa de variação do espaço pelo tempo, temos

que: v = 𝛥𝑆

𝛥𝑡. Pelos dados, v =

8

10 ou 0,8 u/s.

101

Pode-se inferir que a velocidade linear é a angular vezes o raio, ou seja, v = ω. R.

Aceleração centrípeta

Em uma trajetória curvilínea, a uma velocidade constante, a direção do vetor velocidade varia

e a este vetor associa-se um perpendicular, dirigido ao centro da trajetória – o vetor aceleração

centrípeta – devido ao movimento não inercial, uma vez que se mantém por uma força

resultante.Uma das maneiras de determinar sua equação é resgatando o conceito de hodógrafo

na análise vetorial da velocidade e da aceleração para movimentos curvilíneos.

Representação 5:

As Figuras 32 e 33 mostram uma trajetória centrada na origem do sistema de eixos cartesianos

tendo também a representação da velocidade instantânea do objeto em movimento:

Figura 97 - Corpo em movimento circular e seu vetor velocidade instantânea inicial.

Figura 98 - Vetores velocidade instantânea inicial e final.

102

Por ser a taxa de variação do vetor posição, tal velocidade é tangente à trajetória e

perpendicular ao vetor posição cujo módulo equivale ao raio da trajetória circular. A esta

trajetória descrita pela extremidade desses vetores denominamos hodógrafo. Da mesma forma

que, por ser tangente à trajetória, o vetor velocidade é perpendicular ao raio da circunferência

que representa o movimento, o vetor aceleração, por representar a taxa de variação da

velocidade, é tangente ao hodógrafo em todos os seus pontos. Dessa forma, no movimento

circular uniforme, este vetor forma 90º com o raio do hodógrafo (o vetor velocidade). Sendo

assim, o vetor aceleração aponta necessariamente para o centro da trajetória circular, sendo,

portanto uma aceleração centrípeta (Figura 34).

Figura 99 - Vetor aceleração centrípeta.

103

Figura 100 - Semelhança de triângulos e dedução da equação da aceleração centrípeta.

Por semelhança de triângulos, deduz-se a equação da aceleração centrípeta:

Dedução: Seja𝛥𝑣

𝑣1 =

𝛥𝑠

𝑅e 𝑎𝑚 =

𝛥𝑣

𝛥𝑡, temos: 𝑎𝑚 =

𝑣1

𝛥𝑡. 𝛥𝑠

𝛥𝑡 .

Portanto, 𝑎𝑚 = 𝑣²

𝑅

ÓTICA GEOMÉTRICA

Ramo da física cujo objeto de estudo é o raio luminoso onde serão analisados fenômenos e

propriedades.

Objeto de estudo: Raios luminosos

Representação 1:

Figura 101 - Representação de raios luminosos

104

Desse modo, serão apresentados os raios de luz como linhas orientadas que representam a

direção e o sentido de propagação da luz. Será abordado o Princípio da Propagação Retilínea

da Luz que ocorre em meios homogêneos e transparentes.

Aplicação do Princípio da Propagação Retilínea: A Câmara Escura

Consiste numa caixa de paredes opacas, possuindo um pequeno orifício por onde a luz do

objeto iluminado passa formando uma imagem invertida na parede oposta ao orifício.

Podemos estabelecer a relação entre alturas, de objeto e imagem, como suas distâncias em

relação ao orifício.

Problema para análise: Se um objeto luminoso AB de 5 cm de altura, está a 15 cm de

distância da câmara escura de orifício de profundidade 10 cm, qual a altura da imagem

formada?

Representação 2 :

Figura 102 – Objeto e propagação da luz

Nesta aplicação temos representado por 1 o orifício de uma câmara escura onde os raios

provenientes do objeto ,representado pelo número 2 cuja altura é de 5 unidades, passam. Em 3

apresenta-se a distância do objeto ao orifício cuja medida vale 15 unidades.

105

Figura 103 - Aplicação da semelhança de triângulos

Na sequência será aplicada a semelhança de triângulos para aquisição da altura da imagem.

Desse modo, será posto sobre o pino que representa o orifício um triângulo de 10 unidades de

altura, número 5, representando assim a distância da imagem. As extremidades do triângulo

representam a altura da imagem, número 4, cuja medida aproximada consiste em 3 unidades.

*Observação: Ao verificar exatamente o tamanho da imagem 4, possui um pequeno espaço

entre as ligas,o que representa a altura original sem aproximações.

Figura 104 - Princípio da câmara escura

Na sequência, desloca-se o triângulo formado anteriormente para melhor representação da

formação da imagem no interior da câmara. As letras o, i, p ep‟ referem-se respectivamente a

altura do objeto, altura da imagem, distância do objeto e distância da imagem.

106

Figura 105 - Representação da câmara escura de orifício.

Verificação 1:

Seja o = 6 u

P = 15 u

P‟ = 10 u

i = ?

Reflexão

Fenômeno ótico cuja ocorrência se dá quando a luz incide sobre uma superfície e retorna a

seu meio de origem.

Representação 3:

𝑖

𝑜 =

𝑝′

𝑝 →

𝑖

6 =

10

15 → 15 i = 60

i = 4 u

107

Figura 106 - Reflexão regular

Descrição: Para representação desse fenômeno no multiplano retangular, adiciona-se o

multiplano circular para validar as leis da reflexão. Nesta figura, a superfície é representada

na horizontal intitulada S, o raio incidente por RI e o raio refletido RR. Nota-se que condiz

com a definição do fenômeno, uma vez que a liga que representa o raio de luz retornou para

seu meio de origem.

Representação 4:

Figura 107 - Leis da reflexão.

Na sequência serão exploradas as leis da reflexão. Como temos na figura, a traçado

perpendicular à superfície (N) representa a reta normal que consiste num referencial para

medida do desvio dos feixes de luz, ou seja, para medida dos ângulos de incidência (i) e

reflexão (r). Com o multiplano circular é possível observar que RI, RR e N são coplanares e

que î = r e medem 60º. A medida da angulação apresentada dá-se contando os espaçamentos

dos furos que equivalem 5º cada. Pode-se observar também o desvio em relação à superfície e

notar que são complementares a î e ^r.

*Observação: Apontar que existem dois tipos de reflexão: regular e difusa.

108

ESPELHOS

Superfícies polidas que refletem a luz de forma regular, ou seja, região que reflete o raio

luminoso em uma direção definida. Classificam-se em:

PLANOS: Superfície lisa e plana que reflete com direção definida a luz. Quanto à

formação de imagem podemos representá-la no multiplano circular.

Representação 5:

OU

Figura 108 - Formação de imagem no espelho plano.

Nesta etapa, a liga na vertical representa um espelho plano intitulado E. A sua frente temos

um objeto real (O) onde representamos os raios de luz (apenas das extremidades) provenientes

dele que incidem no espelho e retornam com a mesma angulação. Simetricamente temos os

prolongamentos dos raios refletidos formando assim a imagem virtual I. É válido mostrar que

para confeccionar os raios refletidos usou-se um transferidor para o ângulo refletido ser igual

ao ângulo incidente. Com essa análise, podemos explorar as leis da reflexão a formação de

imagens enantiomorfas, o conceito da natureza da imagem e do objeto (real e virtual) e que os

mesmos possuem natureza oposta, a igualdade na distância do objeto em relação ao espelho e

da imagem em relação ao espelho, ou seja, objeto e imagem são eqüidistantes.

Campo Visual

Região pela qual um observador, frente a um espelho, pode observar.

Representação 6:

109

Figura 109 - Campo Visual

Nesta representação, utilizou-se o multiplano circular para melhor análise da angulação

referente à reflexão. Assim, os pontos pretos representam as extremidades do espelho plano e

o pino (O) um observador. Para identificar a delimitação da região observável, ou seja, o

campo visual são postos dois raios, um em cada extremidade do espelho e sua consequente

reflexão (ligas amarelas do multiplano), observando assim a delimitação. Na sequência

traçam-se os prolongamentos dos raios refletidos e cria-se a imagem do observador (O‟)

preservando suas características (virtual e equidistância do objeto ao espelho).

ESFÉRICOS: Calota esférica na qual uma das superfícies é refletora. Classificam-se

quanto a sua superfície refletora em dois tipos.

1. Côncavos: Superfície refletora interna.

Representação 7:

Figura 110 - Ilustração de espelho côncavo

110

Temos a representação no multiplano circular de uma calota esférica côncava (o tracejo

vermelho indica que a parte interna é a refletora). Os pontos 2 e 3 delimitam a semi

circunferência onde iremos trabalhar a incidência de raios e a formação de imagens. O ponto

1 consiste na incidência e reflexão de um raio de luz na parte interna. Com essa ilustração

podemos trabalhar os raios notáveis e as leis da reflexão, uma vez que está sendo respeitada a

angulação (î e r).

2. Convexo: Superfície refletora externa.

Representação 8:

Figura 111 - Ilustração de espelho convexo

Temos a representação no multiplano circular de uma calota esférica convexa (o tracejo

vermelho indica que a parte externa é a refletora). Os pontos 2 e 3 delimitam a semi

circunferência onde iremos trabalhar a incidência de raios e a formação de imagens. O ponto

1 consiste na incidência e reflexão de um raio de luz na parte externa. Com essa ilustração

podemos trabalhar os raios notáveis e as leis da reflexão, uma vez que está sendo respeitada a

angulação (î e r).

Elementos de um espelho esférico

Na ilustração abaixo, temos a representação de um espelho esférico e de seus elementos

geométricos no multiplano circular. A liga verde representa o eixo principal por onde se

situam:

1. Centro de curvatura (C): o centro da superfície esférica à qual a calota pertence;

2. Foco (F): ponto onde incidem raios paralelos.

111

3. Vértice (V):o pólo (ponto mais externo) da calota esférica;

4. Raio (R): o raio da superfície esférica à qual a calota pertence;

Representação 9:

Figura 112 - Elementos de um espelho esférico

Construção geométrica das imagens

Para essa construção, onde determinaremos posição e características da imagem, utilizaremos

alguns raios denominados notáveis, uma vez que são conhecidos seus comportamentos de

reflexão.

Representação 10:

Figura 113 - Raio Notável.

112



Nas figuras acima temos os seguintes comportamentos:

Raio Notável 1 (Figura 48): Todo raio que incide paralelamente sobre o espelho

passará pelo seu foco (F);

Raio Notável 2 (Figura 49): Todo raio que incide sobre o vértice (V) será refletido

simetricamente em relação ao eixo principal;

Raio Notável 3 (Figura 50): Todo raio que incide sobre o centro de curvatura (C)

refletirá sobre si mesmo.

Formação de imagem e suas características:

Exemplo: No espelho côncavo:

113

Figura 116 - Representação de espelho côncavo e seus elementos geométricos.

Figura 117 - Posicionamento de objeto O sobre o eixo principal do espelho.

Figura 118 - Processo de formação da imagem através do raio notável 1.

114

Figura 119 - Processo de formação da imagem através do raio notável 2.

Figura 120 - Imagem (i) formada através da intercepção dos raios.

Por fim, temos a representação da formação da imagem de um objeto posicionado antes

do centro de curvatura de um espelho côncavo. Desse modo, inicialmente representou-se

um espelho côncavo e seus elementos, a fim de após inserido o objeto traçar os raios

notáveis e devido à sua intercepção determinar a imagem e perceber que a mesma será

invertida, devido sua posição abaixo do eixo principal, menor, pois ocupa menos

unidades que o objeto e real pois é formado pela intercepção dos raios.

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