O infinito na matemática

  • View
    230

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of O infinito na matemática

  • O infinito na matemtica

    Bruno Andrade Borges

  • !

    O infinito na matemtica

    Bruno Andrade Borges!

    Orientador: Prof. Dr. Amrico Lpez Glvez!

    Dissertao apresentada ao Instituto de Cincias Matemticas e de Computao - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obteno do ttulo de Mestre Programa de Mestrado Profissional em Matemtica. VERSO REVISADA

    USP So Carlos Janeiro de 2015!

    !

    SERVIO DE PS-GRADUAO DO ICMC-USP Data de Depsito: Assinatura:______________________________

  • Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seo Tcnica de Informtica, ICMC/USP,

    com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

    B732iBorges, Bruno Andrade O infinito na matemtica / Bruno Andrade Borges;orientador Amrico Lpez. -- So Carlos, 2015. 89 p.

    Dissertao (Mestrado - Programa de Ps-Graduaoem Mestrado Profissional em Matemtica em RedeNacional) -- Instituto de Cincias Matemticas e deComputao, Universidade de So Paulo, 2015.

    1. Infinito. 2. Infinito potencial e infinitoactual. 3. Cardinalidade. I. Lpez, Amrico, orient.II. Ttulo.

  • Dedicatria

    Dedico este trabalho a minha esposa, com amor, admirao e gratido por sua com-preenso, carinho, presena e incansvel apoio ao longo do perodo de elaborao destetrabalho.

  • Agradecimentos

    Agradeo primeiramente a Deus por me dar a vida, sade e capacidade.

    Gostaria de agradecer tambm:

    Ao Prof. Dr. Amrico Lpez Glvez, pela ateno e apoio durante o processo dedefinio e orientao que muito me ensinou, contribuindo para meu amadurecimentocientfico e intelectual.

    Ao PROFMAT, pela oportunidade de ampliar meus conhecimentos e, de certa forma,contribuir para o crescimento cientfico do meu pas.

    Faculdade de Filosofia, Cincias e Letras de Ribeiro Preto e o Instituto de CinciasMatemticas e de Computao de So Carlos, pela oportunidade de realizao do cursode mestrado.

    CAPES, pela concesso da bolsa de mestrado e pelo apoio financeiro para a reali-zao desta pesquisa.

    Por fim, agradeo imensamente minha famlia por todo o apoio prestado, pela paci-ncia enorme e pelas palavras de incentivo nos momentos difceis.

  • Resumo

    BORGES, B. A. O infinito na matemtica. 2014. 79f. Dissertao (Mestrado) -Faculdade de Filosofia, Cincias e Letras de Ribeiro Preto, Universidade de So Paulo,Ribeiro Preto, 2014.

    Nesta dissertao, abordaremos os dois tipos de infinitos existentes: o infinito poten-cial e o infinito actual. Apresentaremos algumas situaes, exemplos que caracterizamcada um desses dois tipos. Focaremo-nos no infinito actual, com o qual discutiremosalguns dos desafios encontrados na teoria criada por Cantor sobre este assunto. Mos-traremos tambm sua importncia e a diferena entre este e o infinito potencial. Comisso, buscamos fazer com que o professor compreenda adequadamente os fundamentosmatemticos necessrios para que trabalhe, ensine e motive apropriadamente seus alunosno momento em que o infinito e conjuntos infinitos so discutidos em aula. Desta forma,buscamos esclarecer os termos usados e equvocos comuns cometidos por alunos e tambmprofessores, muitas vezes enganados ou confundidos pelo senso comum.

    Palavras-chave: Infinito; infinito potencial; infinito actual; conjuntos enumerveis; car-dinalidade.

  • Abstract

    BORGES, B. A. Infinity in mathematics. 2014. 79f. Dissertao (Mestrado) -Faculdade de Filosofia, Cincias e Letras de Ribeiro Preto, Universidade de So Paulo,Ribeiro Preto, 2014.

    In this dissertation, we will discuss the two types of infinities: the potential infinityand the actual infinity. We will present some situations, examples that characterize eachof these two types. We will focus on the actual infinity, with which we will discuss someof the challenges found in the theory created by Cantor on this subject. We will also showits importance and the difference between this and the potential infinity. Thus, we seekto make teachers properly understand the mathematical foundations necessary for themto work, teach and properly motivate their students at the time the infinity and infinitesets are discussed in class. In this way, we seek to clarify the terms used and commonmistakes made by students and also teachers, so often misguided or confused by commonsense.

    Keywords: Infinity; potential infinity; actual infinity; countable sets; cardinality.

  • Sumrio

    Lista de Figuras

    1 Introduo p. 12

    2 Motivao p. 13

    2.1 Aquiles e a tartaruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13

    2.2 Hotel de Hilbert - "Estamos sempre lotados, mas sempre temos umquarto para voc". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

    2.3 Somas infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

    3 O infinito pelos estudantes: Um questionrio p. 22

    4 O Infinito potncial e o infinito Actual p. 26

    5 Conceitos nescessrios para estudar o infinito actual p. 31

    5.1 Um pouco de histria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

    5.2 Algumas noes bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

    5.3 Conjuntos Finitos, Infinitos Enumerveis e No Enumerveis . . . . . . p. 38

    5.4 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44

    5.5 O cubo e o intervalo de reta tem o mesmo nmero de elementos. . . . p. 51

    5.6 Observaes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62

    6 O smbolo 1 p. 64

    7 Uma proposta didtica p. 66

  • 7.1 Nmero de elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67

    7.2 O infinito como um nmero grande? . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69

    7.3 Contando o infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 71

    7.4 Diferena entre o infinito potencial e actual . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75

    8 Concluso p. 78

    Referncias p. 79

    Apndice A p. 80

    Apndice B p. 83

    Apndice C p. 87

  • Lista de Figuras

    1 Soma infinita das distncias percorridas. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

    2 Quadrado de rea 2 dividido ao meio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

    3 Metade do quadrado dividido ao meio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

    4 Metade da metade do quadrado dividido ao meio. . . . . . . . . . . . . p. 16

    5 Metade da metade ... do quadrado dividido ao meio. . . . . . . . . . . p. 16

    6 Soma infinita da srie harmnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17

    7 Aproximao da rea da circunferncia por polgonos. . . . . . . . . . . p. 27

    8 Grfico da funo f : R {0} ! R dada por f(x) = 1x

    . . . . . . . . . . p. 28

    9 Retas paralelas no plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

    10 Retas paralelas em perspectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

    11 Quadrado de lado 1cm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

    12 Produto cartesiano A B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33

    13 Grfico da funo f : R {1} ! R {2} dada por f(x) = 2x+1x1 . . . . . p. 36

    14 Grfico da funo f : R ! R dada por f(x) = x2. . . . . . . . . . . . . p. 36

    15 Grfico da funo f(x) = 2x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

    16 Enumerao dos nmeros inteiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

    17 Enumerao dos nmeros inteiros sem o zero. . . . . . . . . . . . . . . p. 43

    18 Segmentos AB e CD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46

    19 Funo f : AB ! CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46

    20 f : AB ! CD injetora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

    21 Grfico da funo f : (2 ,

    2 ) ! R dada por f(x) = tg(x). . . . . . . . p. 49

    22 Crculo trigonomtrico caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49

  • 23 Crculo trigonomtrico caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

    24 Tringulos retngulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

    25 Segmento, quadrado e cubo unitrios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51

    26 Smbolo romano para representar nmeros grandiosos. . . . . . . . . . . p. 64

    27 mega, ltima letra do alfabeto grego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 65

  • 12

    1 Introduo

    Neste trabalho discutimos vrias situaes dentro da matemtica envolvendo o infi-nito. So situaes que, a princpio, so estranhas e que vo contra nosso senso comum,mas so explicadas matematicamente mostrando que possuem uma soluo. Em seguida,falamos um pouco sobre o infinito de diversas maneiras, trazemos exemplos da diferenaentre o infinito potencial e o infinito actual e algumas reflexes (indagaes) sobre o tema.

    Dedicamos uma parte do nosso trabalho a um questionrio para alunos do 8o e 9o

    ano do Ensino Fundamental e alunos do 1o e 3o ano do Ensino Mdio com o objetivo debuscar entender como esses alunos lidam com questes que envolvem o infinito. Foramaplicadas quatro questes, previamente selecionadas e iguais para todas as turmas.

    Traremos brevemente um pouco do contexto histrico do surgimento da teoria dosconjuntos para entendermos melhor o surgimento da necessidade de "vrios" infinitos,e nos situarmos no tempo cronolgico dos acontecimentos. Veremos que uma teoriarelativamente recente para a histria da matemtica e que ainda h muito para se estudar.

    Com a inteno de entender o infinito actual desenvolveremos a parte terica e con-ceitos necessrios sobre conjuntos, funes, conjuntos finitos, conjuntos infinitos enume-rveis, conjuntos infinitos no enumerveis e cardinalidade. Faremos alguns exemplosde conjuntos infinitos de "tamanhos"