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xp Sp xw xe Pe W P P E w e 1 ) ( O MÉTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO EM EQUAÇÕES UNIDIMENSIONAIS Rosane Cordeiro Rafael João Flávio Vieira de Vasconcellos UERJ - ,Instituto Politécnico UERJ - ,Instituto Politécnico Email: [email protected] jfvasconcelos @iprj.uerj.br Palavras-chave: análise de erros, volumes finitos, solução manufaturada. Resumo: Esse artigo visa mostrar a análise de erro na equação de advecção-difusão utilizando o Método de Volumes Finitos. Através da expansão da série de Taylor tem-se uma estimativa do erro a priori, e por intermédio de técnicas a posteriori busca-se mensurar a magnitude do erro de discretização. Obteve-se uma solução analítica para o problema através da técnica de solução manufaturada. 1. INTRODUÇÃO Para Yang et al (1998), a maior dificuldade para obter a análise numérica da equação da advecção-difusão surge com o aparecimento da difusão numérica durante a discretização do termo convectivo da equação e a instabilidade numérica apresentada. Desta forma, a solução obtida carregará erros gerados durante o processo de resolução da mesma. Assim, o objetivo deste trabalho é o de fazer a análise de erros na equação diferencial de advecção-difusão, utilizando para isto, o método dos volumes finitos. 2. O MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS O Método dos Volumes Finitos é definido como a integração no espaço e no tempo da equação diferencial na forma conservativa em um dos volumes de controle, Patankar (1980). O método utiliza a equação diferencial na sua forma integral e para isto, torna-se necessário a discretização do domínio do problema estudado. Assim, divide-se o domínio em um número finito e contínuo de volumes de controle. Em cada um destes deve ser aplicada a equação de conservação. No processo de discretização será utilizada uma malha do tipo nós e faces centradas como a apresentada abaixo. Tem-se também a representação de um volume finito típico para o caso unidimensional, onde os índices em maiúsculo representam os volumes internos e os índices em minúsculos , representam as faces. 2.1. A Equação de Advecção-Difusão: A equação diferencial estudada neste artigo é conhecida como equação de advecção-difusão e é representada por: (1) Onde x é a variável espacial, ϕ a variável dependente e B(x) é o termo fonte. Na pesquisa, o valor de Peclet será considerado constante. Quando discretizada através da técnica de volumes finitos, o volume genérico P representado na Fig.(2) tem a forma a seguir: (2) Observe na Eq. (2) a necessidade de atribuir valores para faces de volumes ϕ e e ϕ w . No caso apresentado, serão aplicadas duas técnicas de interpolação: UDS (Upwind Differencing Scheme) e CDS (Central Difference Scheme) Maliska (2004). Para tal, xU Pe onde x B x Pe x ) ( . 1 2 2 Figura1 - Malha unidimensional uniforme Figura 2 Volume Finito típico - unidimensional 266 ISSN 2317-3297

O MÉTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO EM … · equação diferencial na forma conservativa em um dos volumes de controle, Patankar (1980). O método utiliza a equação diferencial

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    O MTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO EM EQUAES

    UNIDIMENSIONAIS

    Rosane Cordeiro Rafael Joo Flvio Vieira de Vasconcellos UERJ - ,Instituto Politcnico UERJ - ,Instituto Politcnico

    Email: [email protected] jfvasconcelos @iprj.uerj.br

    Palavras-chave: anlise de erros, volumes finitos, soluo manufaturada.

    Resumo: Esse artigo visa mostrar a anlise de erro na equao de adveco-difuso utilizando

    o Mtodo de Volumes Finitos. Atravs da expanso da srie de Taylor tem-se uma estimativa do

    erro a priori, e por intermdio de tcnicas a posteriori busca-se mensurar a magnitude do erro

    de discretizao. Obteve-se uma soluo analtica para o problema atravs da tcnica de

    soluo manufaturada.

    1. INTRODUO

    Para Yang et al (1998), a maior dificuldade para obter a anlise numrica da equao da

    adveco-difuso surge com o aparecimento da difuso numrica durante a discretizao do

    termo convectivo da equao e a instabilidade numrica apresentada. Desta forma, a soluo

    obtida carregar erros gerados durante o processo de resoluo da mesma. Assim, o objetivo

    deste trabalho o de fazer a anlise de erros na equao diferencial de adveco-difuso,

    utilizando para isto, o mtodo dos volumes finitos.

    2. O MTODO DOS VOLUMES FINITOS

    O Mtodo dos Volumes Finitos definido como a integrao no espao e no tempo da

    equao diferencial na forma conservativa em um dos volumes de controle, Patankar (1980).

    O mtodo utiliza a equao diferencial na sua forma integral e para isto, torna-se necessrio

    a discretizao do domnio do problema estudado. Assim, divide-se o domnio em um nmero

    finito e contnuo de volumes de controle. Em cada um destes deve ser aplicada a equao de

    conservao. No processo de discretizao ser utilizada uma malha do tipo ns e faces

    centradas como a apresentada abaixo. Tem-se tambm a representao de um volume finito

    tpico para o caso unidimensional, onde os ndices em maisculo representam os volumes internos e os ndices em minsculos , representam as faces.

    2.1. A Equao de Adveco-Difuso:

    A equao diferencial estudada neste artigo conhecida como equao de adveco-difuso

    e representada por:

    (1)

    Onde x a varivel espacial, a varivel dependente e B(x) o termo fonte. Na pesquisa, o

    valor de Peclet ser considerado constante. Quando discretizada atravs da tcnica de volumes

    finitos, o volume genrico P representado na Fig.(2) tem a forma a seguir:

    (2)

    Observe na Eq. (2) a necessidade de atribuir valores para faces de volumes e e w.

    No caso apresentado, sero aplicadas duas tcnicas de interpolao: UDS (Upwind

    Differencing Scheme) e CDS (Central Difference Scheme) Maliska (2004). Para tal,

    xUPeondexB

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    )(.

    12

    2

    Figura1 - Malha unidimensional uniforme Figura 2 Volume Finito tpico - unidimensional

    266

    ISSN 2317-3297

    mailto:[email protected]:[email protected]

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    11;

    2

    11;0

    utilizaremos as funes definidas em Germer (2009). Assim, quando = 0, a funo de

    interpolao a ser aplicada a CDS e quando = , a funo de interpolao utilizada ser a

    UDS, para u > 0.

    2.2. Discretizao

    Ao aplicarmos as funes de interpolao citadas pro Germer (2009) na Eq. (2) e utilizando

    o mtodo de balano para as fronteiras, obtm-se o sistema linear a seguir (Maliska, 2004):

    (3)

    Tambm aplicaremos condies de contorno de Dirichlet, em x = 0 e Neumann, em x = L

    onde L= comprimento do domnio. Assim, aplicando as funes de interpolao sugeridas por

    Germer (2009) na Eq.(2), os coeficientes encontrados para a Eq.(3) sero:

    Coeficientes obtidos

    Volume interno

    Primeiro volume

    (Dirichlet)

    ltimo volume

    (Neumann)

    Tabela 3 - Coeficiente obtidos aps a aplicao das funes de interpolao em (2)

    Em tempo: no caso de Neumann, utilizamos a definio dada por Maliska(2004):

    (4)

    2.3. Soluo Manufaturada

    De acordo com Roy (2005), o mtodo de solues manufaturadas MSM uma abordagem

    geral e muito poderosa para a verificao de cdigo. Ao invs de tentar encontrar uma soluo

    exata para uma equao diferencial, o objetivo fabricar uma soluo exata para uma equao

    diferencial ligeiramente modificada. Assim, a funo de manufatura proposta para o trabalho :

    (5)

    Aplicados os coeficientes da Tabela (3)(Neumann) na Eq. (1) tem-se o seguinte termo fonte:

    (6)

    Ao escolhermos a Eq.(6) como termo fonte da Eq.(1), ento, necessariamente a Eq. (5)

    soluo analtica da Eq (1).

    3. RESULTADOS

    Marchi (2001) diz que o erro numrico (E) a diferena entre a soluo analtica exata ()

    de uma varivel de interesse e a sua soluo numrica (), isto : E() = .

    Onde = soluo analtica e = soluo numrica. Para avaliar a metodologia numrica foram

    escolhidas duas variveis de interesse: C e EM (erro mdio):

    C = valor numrico obtido no centro da malha atravs de volumes mpares;

    EM = Tem valor nulo e ser calculado a partir de Vasconcelos e Vista (2010)

    P a soluo analtica no ponto gerador do volume P e P a soluo numrica no mesmo

    volume.

    Na anlise a priori, utilizaremos a metodologia apresentada por Leonard (1995):

    Escolhe-se um volume interno qualquer. Faz-se uma expanso em srie de Taylor de todos

    os vizinhos do volume em relao a P e, em seguida, substitui-se as expanses na Eq. (2).

    PPEEWWPP xSAAA

    cos)(

    22

    PeL

    n

    L

    xnsen

    L

    n

    L

    xnxS

    267

    ISSN 2317-3297

  • )()(

    1)(

    1hErroxB

    xPexxS

    xPecletx

    )(1

    .

    8

    1

    8

    11.

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    4

    1hh

    PecletxxPecletxPeclet

    xErroh

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    .

    24

    1

    4

    1

    2

    1hh

    PecletxxxErroh

    )(1

    2010

    120

    14

    4

    hhPeclet

    Pecletxx

    Erroh

    )(1

    24

    1

    4

    1

    2

    1hh

    PecletxxxErroh

    A anlise a posteriori utilizar a definio dada por Baker (2005) e utilizar 3 solues

    numricas e suas respectivas malhas.

    3.1. Anlise Terica

    A anlise do erro da equao diferencial feita considerando os seguintes aspectos:

    (7)

    Onde )(

    1xS

    xPecletx

    , a soluo numrica e )(

    1xB

    xPex

    , a soluo analtica.

    Malha uniforme interpolao UDS

    Volume interno

    1 volume (Dirichlet)

    ltimo volume

    (Neumann)

    Tabela 2- Erro obtido na malha uniforme- interpolao UDS

    Observa-se que no primeiro volume e no ltimo volume, mesmo quando 0h no existe a

    garantia que o erro analtico tender a zero, visto que restaro termos independentes de h na

    equao.

    Malha uniforme interpolao CDS

    Volume interno )(

    1

    2010

    120

    14

    4

    hhPeclet

    Pecletxx

    Erroh

    1 volume (Dirichlet)

    ltimo volume

    (Neumann)

    Tabela 3-Erro obtido na malha uniforme - interpolao CDS

    No caso do primeiro volume, o erro apresentado ser de ordem h, e fazendo 0h o

    erro tender a zero. Nos demais casos (primeiro e ltimo volumes), temos erro de ordem h e

    fazendo 0h , no se pode garantir tal fato, visto que restaro termos independentes.

    3.2. Anlise Numrica

    Na a anlise numrica, foi criado um programa utilizando a Linguagem C++. Objetivando

    verificar a influncia do nmero de Peclet considerou-se a seguinte variao: Peclet = 5 e 10.

    Em cada resultado ser informado o nmero de Peclet utilizado. As solues numricas foram

    obtidas para malhas com N volumes, onde N = 2i +1 com i = 3,..,14 . As funes de interpolao

    utilizadas foram CDS e UDS.

    Figura 1. Erro em malha cartesiana, Peclet =5 Figura 2. Erro em malha cartesiana, Peclet =10

    )(2

    1hh

    xErroh

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    ISSN 2317-3297

  • Nos casos, a funo de interpolao CDS acarretou melhores resultados, obtendo erro

    mdio superior a 10-5

    .Com o intuito de provar a ordem de cada uma das funes de

    interpolao, buscou-se fazer alguns testes para validar os resultados obtidos. A tabela que

    segue foi obtida para as interpolaes CDS e UDS, utilizando Peclet = 5 e N= 3. Nela,

    encontram-se alguns valores aps os testes. Para determinar a acuracia da ordem do erro de

    discretizao, utilizou-se a Eq.(14). Os resultados encontram-se na tabela abaixo:

    N1 N2 N3 P CDS P UDS

    5 9 17 2.205742669871589 0.9556954087952803

    9 17 33 2.071765804247858 0.8695997679052959

    17 33 65 2.020301585193323 0.9090134114650305

    33 65 129 2.005357704533072 0.9508082465791468

    65 129 257 2.001373549635189 0.9753994151041138

    129 257 513 2.000347552671374 0.9878923900907018

    257 513 1025 2.000087326368272 0.9940263986937784

    513 1025 2049 2.000021709123375 0.9970378832976793

    1025 2049 4097 2.000008208002170 0.9985257325480633

    2049 4097 8193 2.000009200100751 0.9992646379439467

    Tabela 3. Ordem do erro de discretizao

    Observa-se que com o refino da malha na funo de interpolao CDS, a ordem do erro

    tende a 2, j na funo de interpolao UDS, esta ordem tende a 1. Como havia sido visto.

    4. CONCLUSES

    A partir do exposto, ao utilizar o mtodo dos volumes finitos para a anlise do erro na

    equao de adveco-difuso, concluiu-se que as funes de interpolao CDS e UDS so

    capazes de obter bons resultados para a ordem do erro obtido. Alm disso, a variao no

    nmero de Peclet pouco influenciou o erro encontrado. Comparando a interpolao CDS com a

    UDS, observa-se que a primeira alcana melhores resultados, visto que esta funo configura

    erro de segunda ordem. Tal constatao pde ser visualizada mais claramente ao refinar a malha

    e utilizar para isto a extrapolao de Richardson, que comprovou a ordem do erro em cada caso.

    Assim, conclui-se que o mtodo funciona atisfatriamentepara a anlise da equao sugerida.

    5. REFERNCIAS

    [1] B.P. Leonard. 1979. A Stable and Accurate Convective Modeling Procedure Based on

    Quadratic Upstream Interpolation.Comput. Meth. Appl. Mech. Engr.; 19:59 98.

    [2] Baker, T.J. 2005. On the Relationship Between Mesh Renement and Solution Accuracy.17

    th ALAA Computational Fluid Dynamics Conference, Toronto, Ontario.

    [3] Germer, E. M. 2009. Verificao de Funes de Interpolao em Adveo-Difuso 1D com

    Volumes Finitos. Dissertao de Mestrado, Universidade Federal do Paran, Curitiba.

    [4] Maliska, C. R. 2004. Transferncia de Calor e Mecnica dos Fluidos Computacional.2.ed.

    LTC, Rio de Janeiro.

    [5] Marchi, C. H. 1993. Esquemas de Alta Ordem para a Soluo de Escoamento de Fluido

    sem Disperso Numrica. Revista Brasileira de Cincias Mecnicas. V.15, n.3, p.231-249.

    [6] Noye, B.J. 1991. Some Tree-Level Finite Difference Methods For Simulating Advection

    in Fluids Computers & Fluids. V.19, n.1, p.119 140.

    [7] S.V. Patankar. 1980. Numerical Heart Transfer and Fluid Flow. Hemisphere.

    [8] Vasconcellos, J.F.V., Vista, R.C. 2010. Anlise de Erros de Soluo pelo Mtodo de

    Volumes Finitos da Equao de Poisson em Malhas de Voronoi . Anais do XIII Encontro

    de Modelagem Computacional, Nova Friburgo.

    [9] Yang, Y. , Wilson, L.T., Makela, M.E., Marchetti, M.A. 1998. Accuracy of Numerical

    Methods for Solving the Advection-Diffusion Equation as Applicad to Spore and Insect

    Dispersal. Ecological Modeling, V. 109, n.1, p. 1-24.

    269

    ISSN 2317-3297