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O MTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO EM EQUAES
UNIDIMENSIONAIS
Rosane Cordeiro Rafael Joo Flvio Vieira de Vasconcellos UERJ -
,Instituto Politcnico UERJ - ,Instituto Politcnico
Email: [email protected] jfvasconcelos @iprj.uerj.br
Palavras-chave: anlise de erros, volumes finitos, soluo
manufaturada.
Resumo: Esse artigo visa mostrar a anlise de erro na equao de
adveco-difuso utilizando
o Mtodo de Volumes Finitos. Atravs da expanso da srie de Taylor
tem-se uma estimativa do
erro a priori, e por intermdio de tcnicas a posteriori busca-se
mensurar a magnitude do erro
de discretizao. Obteve-se uma soluo analtica para o problema
atravs da tcnica de
soluo manufaturada.
1. INTRODUO
Para Yang et al (1998), a maior dificuldade para obter a anlise
numrica da equao da
adveco-difuso surge com o aparecimento da difuso numrica durante
a discretizao do
termo convectivo da equao e a instabilidade numrica apresentada.
Desta forma, a soluo
obtida carregar erros gerados durante o processo de resoluo da
mesma. Assim, o objetivo
deste trabalho o de fazer a anlise de erros na equao diferencial
de adveco-difuso,
utilizando para isto, o mtodo dos volumes finitos.
2. O MTODO DOS VOLUMES FINITOS
O Mtodo dos Volumes Finitos definido como a integrao no espao e
no tempo da
equao diferencial na forma conservativa em um dos volumes de
controle, Patankar (1980).
O mtodo utiliza a equao diferencial na sua forma integral e para
isto, torna-se necessrio
a discretizao do domnio do problema estudado. Assim, divide-se o
domnio em um nmero
finito e contnuo de volumes de controle. Em cada um destes deve
ser aplicada a equao de
conservao. No processo de discretizao ser utilizada uma malha do
tipo ns e faces
centradas como a apresentada abaixo. Tem-se tambm a representao
de um volume finito
tpico para o caso unidimensional, onde os ndices em maisculo
representam os volumes internos e os ndices em minsculos ,
representam as faces.
2.1. A Equao de Adveco-Difuso:
A equao diferencial estudada neste artigo conhecida como equao
de adveco-difuso
e representada por:
(1)
Onde x a varivel espacial, a varivel dependente e B(x) o termo
fonte. Na pesquisa, o
valor de Peclet ser considerado constante. Quando discretizada
atravs da tcnica de volumes
finitos, o volume genrico P representado na Fig.(2) tem a forma
a seguir:
(2)
Observe na Eq. (2) a necessidade de atribuir valores para faces
de volumes e e w.
No caso apresentado, sero aplicadas duas tcnicas de interpolao:
UDS (Upwind
Differencing Scheme) e CDS (Central Difference Scheme) Maliska
(2004). Para tal,
xUPeondexB
xPex
)(.
12
2
Figura1 - Malha unidimensional uniforme Figura 2 Volume Finito
tpico - unidimensional
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ISSN 2317-3297
mailto:[email protected]:[email protected]
-
L
xnsenx
)(
xe
Pee
''
ppPEWPWE xSSAAAxwPe
AxePe
A
;;
2
11;
2
11
ppPPWE xSAxePe
AS
xwPexePeAA
xePeA
;
2
111;0;
2
11
xpPe
SxwPe
AxwPe
AA ee
PPWE
'
';
2
11;
2
11;0
utilizaremos as funes definidas em Germer (2009). Assim, quando
= 0, a funo de
interpolao a ser aplicada a CDS e quando = , a funo de
interpolao utilizada ser a
UDS, para u > 0.
2.2. Discretizao
Ao aplicarmos as funes de interpolao citadas pro Germer (2009)
na Eq. (2) e utilizando
o mtodo de balano para as fronteiras, obtm-se o sistema linear a
seguir (Maliska, 2004):
(3)
Tambm aplicaremos condies de contorno de Dirichlet, em x = 0 e
Neumann, em x = L
onde L= comprimento do domnio. Assim, aplicando as funes de
interpolao sugeridas por
Germer (2009) na Eq.(2), os coeficientes encontrados para a
Eq.(3) sero:
Coeficientes obtidos
Volume interno
Primeiro volume
(Dirichlet)
ltimo volume
(Neumann)
Tabela 3 - Coeficiente obtidos aps a aplicao das funes de
interpolao em (2)
Em tempo: no caso de Neumann, utilizamos a definio dada por
Maliska(2004):
(4)
2.3. Soluo Manufaturada
De acordo com Roy (2005), o mtodo de solues manufaturadas MSM
uma abordagem
geral e muito poderosa para a verificao de cdigo. Ao invs de
tentar encontrar uma soluo
exata para uma equao diferencial, o objetivo fabricar uma soluo
exata para uma equao
diferencial ligeiramente modificada. Assim, a funo de manufatura
proposta para o trabalho :
(5)
Aplicados os coeficientes da Tabela (3)(Neumann) na Eq. (1)
tem-se o seguinte termo fonte:
(6)
Ao escolhermos a Eq.(6) como termo fonte da Eq.(1), ento,
necessariamente a Eq. (5)
soluo analtica da Eq (1).
3. RESULTADOS
Marchi (2001) diz que o erro numrico (E) a diferena entre a
soluo analtica exata ()
de uma varivel de interesse e a sua soluo numrica (), isto : E()
= .
Onde = soluo analtica e = soluo numrica. Para avaliar a
metodologia numrica foram
escolhidas duas variveis de interesse: C e EM (erro mdio):
C = valor numrico obtido no centro da malha atravs de volumes
mpares;
EM = Tem valor nulo e ser calculado a partir de Vasconcelos e
Vista (2010)
P a soluo analtica no ponto gerador do volume P e P a soluo
numrica no mesmo
volume.
Na anlise a priori, utilizaremos a metodologia apresentada por
Leonard (1995):
Escolhe-se um volume interno qualquer. Faz-se uma expanso em
srie de Taylor de todos
os vizinhos do volume em relao a P e, em seguida, substitui-se
as expanses na Eq. (2).
PPEEWWPP xSAAA
cos)(
22
PeL
n
L
xnsen
L
n
L
xnxS
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)()(
1)(
1hErroxB
xPexxS
xPecletx
)(1
.
8
1
8
11.
2
4
1hh
PecletxxPecletxPeclet
xErroh
)(1
.
24
1
4
1
2
1hh
PecletxxxErroh
)(1
2010
120
14
4
hhPeclet
Pecletxx
Erroh
)(1
24
1
4
1
2
1hh
PecletxxxErroh
A anlise a posteriori utilizar a definio dada por Baker (2005) e
utilizar 3 solues
numricas e suas respectivas malhas.
3.1. Anlise Terica
A anlise do erro da equao diferencial feita considerando os
seguintes aspectos:
(7)
Onde )(
1xS
xPecletx
, a soluo numrica e )(
1xB
xPex
, a soluo analtica.
Malha uniforme interpolao UDS
Volume interno
1 volume (Dirichlet)
ltimo volume
(Neumann)
Tabela 2- Erro obtido na malha uniforme- interpolao UDS
Observa-se que no primeiro volume e no ltimo volume, mesmo
quando 0h no existe a
garantia que o erro analtico tender a zero, visto que restaro
termos independentes de h na
equao.
Malha uniforme interpolao CDS
Volume interno )(
1
2010
120
14
4
hhPeclet
Pecletxx
Erroh
1 volume (Dirichlet)
ltimo volume
(Neumann)
Tabela 3-Erro obtido na malha uniforme - interpolao CDS
No caso do primeiro volume, o erro apresentado ser de ordem h, e
fazendo 0h o
erro tender a zero. Nos demais casos (primeiro e ltimo volumes),
temos erro de ordem h e
fazendo 0h , no se pode garantir tal fato, visto que restaro
termos independentes.
3.2. Anlise Numrica
Na a anlise numrica, foi criado um programa utilizando a
Linguagem C++. Objetivando
verificar a influncia do nmero de Peclet considerou-se a
seguinte variao: Peclet = 5 e 10.
Em cada resultado ser informado o nmero de Peclet utilizado. As
solues numricas foram
obtidas para malhas com N volumes, onde N = 2i +1 com i =
3,..,14 . As funes de interpolao
utilizadas foram CDS e UDS.
Figura 1. Erro em malha cartesiana, Peclet =5 Figura 2. Erro em
malha cartesiana, Peclet =10
)(2
1hh
xErroh
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Nos casos, a funo de interpolao CDS acarretou melhores
resultados, obtendo erro
mdio superior a 10-5
.Com o intuito de provar a ordem de cada uma das funes de
interpolao, buscou-se fazer alguns testes para validar os
resultados obtidos. A tabela que
segue foi obtida para as interpolaes CDS e UDS, utilizando
Peclet = 5 e N= 3. Nela,
encontram-se alguns valores aps os testes. Para determinar a
acuracia da ordem do erro de
discretizao, utilizou-se a Eq.(14). Os resultados encontram-se
na tabela abaixo:
N1 N2 N3 P CDS P UDS
5 9 17 2.205742669871589 0.9556954087952803
9 17 33 2.071765804247858 0.8695997679052959
17 33 65 2.020301585193323 0.9090134114650305
33 65 129 2.005357704533072 0.9508082465791468
65 129 257 2.001373549635189 0.9753994151041138
129 257 513 2.000347552671374 0.9878923900907018
257 513 1025 2.000087326368272 0.9940263986937784
513 1025 2049 2.000021709123375 0.9970378832976793
1025 2049 4097 2.000008208002170 0.9985257325480633
2049 4097 8193 2.000009200100751 0.9992646379439467
Tabela 3. Ordem do erro de discretizao
Observa-se que com o refino da malha na funo de interpolao CDS,
a ordem do erro
tende a 2, j na funo de interpolao UDS, esta ordem tende a 1.
Como havia sido visto.
4. CONCLUSES
A partir do exposto, ao utilizar o mtodo dos volumes finitos
para a anlise do erro na
equao de adveco-difuso, concluiu-se que as funes de interpolao
CDS e UDS so
capazes de obter bons resultados para a ordem do erro obtido.
Alm disso, a variao no
nmero de Peclet pouco influenciou o erro encontrado. Comparando
a interpolao CDS com a
UDS, observa-se que a primeira alcana melhores resultados, visto
que esta funo configura
erro de segunda ordem. Tal constatao pde ser visualizada mais
claramente ao refinar a malha
e utilizar para isto a extrapolao de Richardson, que comprovou a
ordem do erro em cada caso.
Assim, conclui-se que o mtodo funciona atisfatriamentepara a
anlise da equao sugerida.
5. REFERNCIAS
[1] B.P. Leonard. 1979. A Stable and Accurate Convective
Modeling Procedure Based on
Quadratic Upstream Interpolation.Comput. Meth. Appl. Mech.
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Ontario.
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269
ISSN 2317-3297
