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1)(

O MÉTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO EM EQUAÇÕES

UNIDIMENSIONAIS

Rosane Cordeiro Rafael João Flávio Vieira de Vasconcellos UERJ - ,Instituto Politécnico UERJ - ,Instituto Politécnico

Email: rosanecr@ig.com.br jfvasconcelos @iprj.uerj.br

Palavras-chave: análise de erros, volumes finitos, solução manufaturada.

Resumo: Esse artigo visa mostrar a análise de erro na equação de advecção-difusão utilizando

o Método de Volumes Finitos. Através da expansão da série de Taylor tem-se uma estimativa do

erro a priori, e por intermédio de técnicas a posteriori busca-se mensurar a magnitude do erro

de discretização. Obteve-se uma solução analítica para o problema através da técnica de

solução manufaturada.

1. INTRODUÇÃO

Para Yang et al (1998), a maior dificuldade para obter a análise numérica da equação da

advecção-difusão surge com o aparecimento da difusão numérica durante a discretização do

termo convectivo da equação e a instabilidade numérica apresentada. Desta forma, a solução

obtida carregará erros gerados durante o processo de resolução da mesma. Assim, o objetivo

deste trabalho é o de fazer a análise de erros na equação diferencial de advecção-difusão,

utilizando para isto, o método dos volumes finitos.

2. O MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS

O Método dos Volumes Finitos é definido como a integração no espaço e no tempo da

equação diferencial na forma conservativa em um dos volumes de controle, Patankar (1980).

O método utiliza a equação diferencial na sua forma integral e para isto, torna-se necessário

a discretização do domínio do problema estudado. Assim, divide-se o domínio em um número

finito e contínuo de volumes de controle. Em cada um destes deve ser aplicada a equação de

conservação. No processo de discretização será utilizada uma malha do tipo nós e faces

centradas como a apresentada abaixo. Tem-se também a representação de um volume finito

típico para o caso unidimensional, onde os índices em maiúsculo representam os

volumes internos e os índices em minúsculos , representam as faces.

2.1. A Equação de Advecção-Difusão:

A equação diferencial estudada neste artigo é conhecida como equação de advecção-difusão

e é representada por:

(1)

Onde x é a variável espacial, ϕ a variável dependente e B(x) é o termo fonte. Na pesquisa, o

valor de Peclet será considerado constante. Quando discretizada através da técnica de volumes

finitos, o volume genérico P representado na Fig.(2) tem a forma a seguir:

(2)

Observe na Eq. (2) a necessidade de atribuir valores para faces de volumes ϕe e ϕw.

No caso apresentado, serão aplicadas duas técnicas de interpolação: UDS (Upwind

Differencing Scheme) e CDS (Central Difference Scheme) Maliska (2004). Para tal,

xUPeondexB

xPex

)(.

12

2

Figura1 - Malha unidimensional uniforme Figura 2 – Volume Finito típico - unidimensional

266

ISSN 2317-3297

L

xnsenx

)(

xe

Pee

''

ppPEWPWE xSSAAAxwPe

AxePe

A

;;

2

11;

2

11

ppPPWE xSAxePe

AS

xwPexePeAA

xePeA

;

2

111;0;

2

11

xpPe

SxwPe

AxwPe

AA ee

PPWE

'

';

2

11;

2

11;0

utilizaremos as funções definidas em Germer (2009). Assim, quando α = 0, a função de

interpolação a ser aplicada é a CDS e quando α = ½, a função de interpolação utilizada será a

UDS, para u > 0.

2.2. Discretização

Ao aplicarmos as funções de interpolação citadas pro Germer (2009) na Eq. (2) e utilizando

o método de balanço para as fronteiras, obtém-se o sistema linear a seguir (Maliska, 2004):

(3)

Também aplicaremos condições de contorno de Dirichlet, em x = 0 e Neumann, em x = L

onde L= comprimento do domínio. Assim, aplicando as funções de interpolação sugeridas por

Germer (2009) na Eq.(2), os coeficientes encontrados para a Eq.(3) serão:

Coeficientes obtidos

Volume interno

Primeiro volume

(Dirichlet)

Último volume

(Neumann)

Tabela 3 - Coeficiente obtidos após a aplicação das funções de interpolação em (2)

Em tempo: no caso de Neumann, utilizamos a definição dada por Maliska(2004):

(4)

2.3. Solução Manufaturada

De acordo com Roy (2005), o método de soluções manufaturadas MSM é uma abordagem

geral e muito poderosa para a verificação de código. Ao invés de tentar encontrar uma solução

exata para uma equação diferencial, o objetivo é fabricar uma solução exata para uma equação

diferencial ligeiramente modificada. Assim, a função de manufatura proposta para o trabalho é:

(5)

Aplicados os coeficientes da Tabela (3)(Neumann) na Eq. (1) tem-se o seguinte termo fonte:

(6)

Ao escolhermos a Eq.(6) como termo fonte da Eq.(1), então, necessariamente a Eq. (5) é

solução analítica da Eq (1).

3. RESULTADOS

Marchi (2001) diz que o erro numérico (E) é a diferença entre a solução analítica exata (Φ)

de uma variável de interesse e a sua solução numérica (ϕ), isto é: E(ϕ) = Φ – ϕ .

Onde Φ = solução analítica e ϕ = solução numérica. Para avaliar a metodologia numérica foram

escolhidas duas variáveis de interesse: ϕC e EM (erro médio):

ϕC = valor numérico obtido no centro da malha através de volumes ímpares;

EM = Tem valor nulo e será calculado a partir de Vasconcelos e Vista (2010)

P é a solução analítica no ponto gerador do volume P e P a solução numérica no mesmo

volume.

Na análise a priori, utilizaremos a metodologia apresentada por Leonard (1995):

Escolhe-se um volume interno qualquer. Faz-se uma expansão em série de Taylor de todos

os vizinhos do volume em relação a ϕP e, em seguida, substitui-se as expansões na Eq. (2).

PPEEWWPP xSAAA

²cos)(

22

PeL

n

L

xnsen

L

n

L

xnxS

267

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)()(²

²1)(

²

²1hErroxB

xPexxS

xPecletx

²)(1

.²

²

8

1

²

²

8

11.

²

²2

4

1hh

PecletxxPecletxPeclet

xErroh

²)(1

.³

³

24

1

²

²

4

1

2

1hh

PecletxxxErroh

²)(²1

³

³2010

120

14

4

hhPeclet

Pecletxx

Erroh

²)(1

³

³

24

1

²

²

4

1

2

1hh

PecletxxxErroh

A análise a posteriori utilizará a definição dada por Baker (2005) e utilizará 3 soluções

numéricas e suas respectivas malhas.

3.1. Análise Teórica

A análise do erro da equação diferencial é feita considerando os seguintes aspectos:

(7)

Onde )(²

²1xS

xPecletx

, é a solução numérica e )(

²

²1xB

xPex

, é a solução analítica.

Malha uniforme – interpolação UDS

Volume interno

1º volume (Dirichlet)

Último volume

(Neumann)

Tabela 2- Erro obtido na malha uniforme- interpolação UDS

Observa-se que no primeiro volume e no último volume, mesmo quando 0h não existe a

garantia que o erro analítico tenderá a zero, visto que restarão termos independentes de h na

equação.

Malha uniforme – interpolação CDS

Volume interno ²)(²

1

³

³2010

120

14

4

hhPeclet

Pecletxx

Erroh

1º volume (Dirichlet)

Último volume

(Neumann)

Tabela 3-Erro obtido na malha uniforme - interpolação CDS

No caso do primeiro volume, o erro apresentado será de ordem h², e fazendo 0h o

erro tenderá a zero. Nos demais casos (primeiro e último volumes), temos erro de ordem h e

fazendo 0h , não se pode garantir tal fato, visto que restarão termos independentes.

3.2. Análise Numérica

Na a análise numérica, foi criado um programa utilizando a Linguagem C++. Objetivando

verificar a influência do número de Peclet considerou-se a seguinte variação: Peclet = 5 e 10.

Em cada resultado será informado o número de Peclet utilizado. As soluções numéricas foram

obtidas para malhas com N volumes, onde N = 2i +1 com i = 3,..,14 . As funções de interpolação

utilizadas foram CDS e UDS.

Figura 1. Erro em malha cartesiana, Peclet =5 Figura 2. Erro em malha cartesiana, Peclet =10

²)(²2

²1hh

xErroh

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Nos casos, a função de interpolação CDS acarretou melhores resultados, obtendo erro

médio superior a 10-5

.Com o intuito de provar a ordem de cada uma das funções de

interpolação, buscou-se fazer alguns testes para validar os resultados obtidos. A tabela que

segue foi obtida para as interpolações CDS e UDS, utilizando Peclet = 5 e N= 3. Nela,

encontram-se alguns valores após os testes. Para determinar a acuracia da ordem do erro de

discretização, utilizou-se a Eq.(14). Os resultados encontram-se na tabela abaixo:

N1 N2 N3 P CDS P UDS

5 9 17 2.205742669871589 0.9556954087952803

9 17 33 2.071765804247858 0.8695997679052959

17 33 65 2.020301585193323 0.9090134114650305

33 65 129 2.005357704533072 0.9508082465791468

65 129 257 2.001373549635189 0.9753994151041138

129 257 513 2.000347552671374 0.9878923900907018

257 513 1025 2.000087326368272 0.9940263986937784

513 1025 2049 2.000021709123375 0.9970378832976793

1025 2049 4097 2.000008208002170 0.9985257325480633

2049 4097 8193 2.000009200100751 0.9992646379439467

Tabela 3. Ordem do erro de discretização

Observa-se que com o refino da malha na função de interpolação CDS, a ordem do erro

tende a 2, já na função de interpolação UDS, esta ordem tende a 1. Como havia sido visto.

4. CONCLUSÕES

A partir do exposto, ao utilizar o método dos volumes finitos para a análise do erro na

equação de advecção-difusão, concluiu-se que as funções de interpolação CDS e UDS são

capazes de obter bons resultados para a ordem do erro obtido. Além disso, a variação no

número de Peclet pouco influenciou o erro encontrado. Comparando a interpolação CDS com a

UDS, observa-se que a primeira alcança melhores resultados, visto que esta função configura

erro de segunda ordem. Tal constatação pôde ser visualizada mais claramente ao refinar a malha

e utilizar para isto a extrapolação de Richardson, que comprovou a ordem do erro em cada caso.

Assim, conclui-se que o método funciona atisfatóriamentepara a análise da equação sugerida.

5. REFERÊNCIAS

[1] B.P. Leonard. 1979. “A Stable and Accurate Convective Modeling Procedure Based on

Quadratic Upstream Interpolation”.Comput. Meth. Appl. Mech. Engr.; 19:59 – 98.

[2] Baker, T.J. 2005. “On the Relationship Between Mesh Renement and Solution Accuracy”.17

th ALAA Computational Fluid Dynamics Conference, Toronto, Ontario.

[3] Germer, E. M. 2009. “Verificação de Funções de Interpolação em Adveção-Difusão 1D com

Volumes Finitos”. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Paraná, Curitiba.

[4] Maliska, C. R. 2004. “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional”.2.ed.

LTC, Rio de Janeiro.

[5] Marchi, C. H. 1993. “Esquemas de Alta Ordem para a Solução de Escoamento de Fluido

sem Dispersão Numérica”. Revista Brasileira de Ciências Mecânicas. V.15, n.3, p.231-249.

[6] Noye, B.J. 1991. “ Some Tree-Level Finite Difference Methods For Simulating Advection

in Fluids Computers & Fluids”. V.19, n.1, p.119 – 140.

[7] S.V. Patankar. 1980. “Numerical Heart Transfer and Fluid Flow”. Hemisphere.

[8] Vasconcellos, J.F.V., Vista, R.C. 2010. “Análise de Erros de Solução pelo Método de

Volumes Finitos da Equação de Poisson em Malhas de Voronoi” . Anais do XIII Encontro

de Modelagem Computacional, Nova Friburgo.

[9] Yang, Y. , Wilson, L.T., Makela, M.E., Marchetti, M.A. 1998. “Accuracy of Numerical

Methods for Solving the Advection-Diffusion Equation as Applicad to Spore and Insect

Dispersal”. Ecological Modeling, V. 109, n.1, p. 1-24.

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