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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL NÚCLEO DE INSTRUMENTAÇÃO E COMPUTAÇÃO APLICADA À ENGENHARIA O Método dos Elementos Finitos Aplicado ao Problema de Condução de Calor Autor: Prof. Remo Magalhães de Souza, M.Sc., Ph.D Belém 05/2003

O Método dos Elementos Finitos Aplicado ao Problema de

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  • UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR

    CENTRO TECNOLGICO

    DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

    NCLEO DE INSTRUMENTAO E COMPUTAO APLICADA ENGENHARIA

    O Mtodo dos Elementos Finitos

    Aplicado ao Problema de Conduo de Calor

    Autor: Prof. Remo Magalhes de Souza, M.Sc., Ph.D

    Belm 05/2003

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    1

    1. Introduo

    O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) consiste em um mtodo numrico aproximado para

    anlise de diversos fenmenos fsicos que ocorrem em meios contnuos, e que so descritos atravs de

    equaes diferenciais parciais, com determinadas condies de contorno (Problemas de Valor de

    Contorno), e possivelmente com condies iniciais (para problemas variveis no tempo). O MEF

    bastante genrico, e pode ser aplicado na soluo de inmeros problemas da engenharia.

    1.1. Idia bsica do Mtodo dos Elementos Finitos

    A idia principal do Mtodo dos Elementos Finitos consiste em se dividir o domnio (meio

    contnuo) do problema em sub-regies de geometria simples (formato triangular, quadrilaeral, cbico,

    etc.), conforme ilustra esquematicamente a Figura 1.1.

    Esta idia bastante utilizada na engenharia, onde usalmente tenta-se resolver um problema

    complexo, subdividindo-o em uma srie de problemas mais simples. Logo, trata-se de um

    procedimento intuitivo para os engenheiros.

    contorno original

    elementos finitospontos nodais

    Figura 1.1 Malha de Elementos Finitos (para problema plano)

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    Devido ao fato das sub-regies apresentarem dimenses finitas, estas sub-regies so chamadas

    elementos finitos, em contraste com os elementos infinitesimais utilizados no clculo diferencial e

    integral. Advm da, o nome Mtodo dos Elementos Finitos, estabelecido por Ray Clough, na dcada

    de 50.

    Os elementos finitos utilizados na discretizao (subdiviso) do domnio do problema so

    conectados entre si atravs de determinados pontos, denominados ns ou pontos nodais, conforme

    indica a Figura 1.1. Ao conjunto de elementos finitos e pontos nodais, d-se, usualmente o nome de

    malha de elementos finitos.

    Diversos tipos de elementos finitos j foram desenvolvidos. Estes apresentam formas

    geomtricas diversas (por exemplo, triangular, quadrilateral, cbico, etc) em funo do tipo e da

    dimenso do problema (se uni, bi, ou tridimensional). A Figura 1.2 apresenta a geometria de vrios

    tipos de elementos finitos.

    Elemento triangularcom trs ns

    Elemento hexadricocom oito ns

    Elemento quadrilateralcom nove ns

    Elemento quadrilateralcom quatro ns

    Elemento tetradricocom quatro ns

    Elemento triangularcom seis ns

    Elemento de barracom dois ns

    Elemento de barracom trs ns

    Figura 1.2 Diferentes tipos de elementos finitos

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    3

    A preciso do mtodo depende da quantidade de ns e elementos, e do tamanho e tipo dos

    elementos presentes na malha. Um dos aspectos mais importantes do MEF diz respeito a sua

    convergncia. Embora trata-se de um mtodo aproximado, pode-se demonstrar que em uma malha

    consistente, a medida que o tamanho dos elementos finitos tende a zero, e conseqentemente, a

    quantidade de ns tende a infinito, a soluo obtida converge para a soluo exata do problema.

    Ou seja, quanto menor for o tamanho e maior for o nmero de elementos em uma determinada

    malha, mais precisos sero os resultados da anlise.

    1.2. Campos de aplicao

    O nmero de reas de aplicao para o MEF tem crescido de forma considervel recentemente.

    Dentre os inmeros campos de aplicao possveis, podem se citar: Indstria da Construo Civil;

    Indstria automobilstica, naval, aeronutica e aeroespacial; Metalurgia; Minerao; Explorao de

    petrleo; Setor energtico; Telecomunicaes; Foras Armadas; Meio ambiente; Recursos Hdricos;

    Sade.

    As primeiras aplicaes do MEF foram em problemas de engenharia estrutural, mais

    especificametne, sobre anlise de tenses. Neste tipo de problema, busca-se determinar as tenses,

    deformaes e deslocamentos em um corpo slido sujeito a determinadas aes tais como cargas

    (foras aplicadas) e recalques (deslocamentos impostos). Exemplos de tais aplicaes compreendem o

    estudo do comportamento de estruturas civis, tais como edifcios, pontes, barragens, e tneis, onde os

    elementos finitos so utilizados na discretizao de vigas, lajes, trelias, paredes, fundaes, etc.

    O estudo de anlise de tenses tambm importante em outras reas da engenharia, tais como

    engenharia mecnica, naval, aeronutica, aeroespacial, onde so necessrios anlises das estruturas e

    peas mecnicas de mquinas, automveis, caminhes, navios, avies, espaonaves, etc. Dentro da

    rea de mecnica dos slidos, podem ser realizadas: anlise esttica, anlise modal (problemas de auto

    valor e auto-vetor, para estudo de vibraes e instabilidade estrutural), e anlise dinmica.

    Alm da aplicao clssica do MEF na soluo de problemas da mecnica dos slidos, vrias

    outras reas da engenharia empregam atualmente o MEF como uma poderosa ferramenta na anlise de

    diversos fenmenos fsicos, e no projeto e anlise de diversos equipamentos, dispositivos, processos

    industriais, etc.

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    A quantidade de problemas fsicos que podem ser analisados com o MEF bastante grande. A

    ttulo de ilustrao podem-se citar as seguintes reas:

    Transferncia de calor;

    Elastosttica;

    Elastodinmica;

    Eletroesttica;

    Eletromagnetismo;

    Acstica;

    Fadiga;

    Mecnica da fratura;

    Hidrulica;

    Hidrodinmica;

    Aerodinmica;

    Biomecnica;

    Lubrificao;

    Problemas de interao fludo-estrutura;

    Problemas de propagao de ondas;

    Disperso de contaminantes;

    Vrios dos fenmenos listados acima podem ser agrupados em uma categoria especial de

    problema fsico, denominado problema de campo (ou, mais particularmente, problema de potencial).

    Exemplos comums de problemas de campo so:

    Conduo de calor,

    Conduo eltrica;

    Campos gravitacionais;

    Campos eletroestticos;

    Campos magnetoestticos;

    Fluxo irrotacional de fluidos ideais;

    Percolao atravs de um meio poroso;

    Torso de barras prismticas;

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    Os fenmenos de campo descritos acima tm em comum o mesmo tipo de equao diferencial

    governante, qual seja a equao quasi-harmnica. Casos particulares da equao quasi-harmnica so

    as conhecidas equaes de Poisson, e de Laplace.

    No captulo 2, apresenta-se o desenvolvimento da equao de Poisson, com aplicao do

    problema de conduo de calor. Entretanto, o mesmo desenvolvimento pode ser aplicado a outros

    problemas de campos com poucas alteraes.

    1.3. O conceito de grau de liberdade no MEF

    Alm dos conceitos de elementos finitos e ns no MEF, um outro conceito muito importante

    refere-se ao conceito de grau de liberdade (degree of freedom) ou, gdl (dof). A idia de grau de

    liberdade tem sua origem na idia do movimento de partculas em problemas da Mecnica, onde se

    considera que, conforme ilustra a Figura 1.3:

    Um ponto apresenta, no espao tridimensional, trs graus de liberdade, quais sejam trs

    possveis movimentos de translao.

    Mais genericamente, um corpo rgido apresenta, no espao tridimensional, seis graus de

    liberdade, quais sejam, trs possveis movimentos de translao e trs possveis movimentos de

    rotao.

    (a) (b)

    Figura 1.3 Graus de liberdade. a) graus de liberdade de um ponto; b) graus de liberdade de um

    corpo rgido.

    O comportamento de um elemento praticamente definido pelo nmero e posicionamento dos

    ns, e pelo nmero de graus de liberdade (gdl) por n. O mesmo elemento finito (com a mesma forma

    e mesmo nmero de ns), como por exemplo, o elemento triangular de trs ns pode ser utilizado com

    diferentes graus de liberdade, dependendo da dimenso e tipo do problema em questo.

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    Em problemas de mecnica dos slidos (anlise de tenses), os graus de liberdade dos ns

    correspondem aos possveis movimentos que estes podem sofrer. Por exemplo, o problema de anlise

    de tenses em um meio tridimensional apresenta trs graus de liberdade por n (trs translaes). No

    caso plano, existem dois graus de liberdade por n (duas translaes).

    Estes movimentos ou deslocamentos dos ns so as incgnitas principais da anlise pelo

    mtodo tradicional de Elementos Finitos do problema geral da Mecnica dos slidos.

    Por um outro lado, no problema de conduo de calor, por exemplo, embora no se estude o

    movimento de partculas, utiliza-se comumente o termo grau de liberdade para fazer referncia

    incgnita principal do problema, qual seja o valor do campo de temperatur nos ns da malha.

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    7

    2. Problema de conduo de calor

    O problema de conduo de calor estudado como motivao inicial para aplicao do MEF.

    Escolheu-se este problema pela fcil interpretao fsica das equaes, e da sua relevncia prtica para

    diversos setores da engenharia.

    A apresentao feita inicialmente, utilizando-se a forma tradicional das equaes diferencias

    que governam o problema (forma forte), por tratar-se de um procedimento mais simples.

    Posteriormente, para possibilitar a aplicao direta do MEF na soluo do problema de

    conduo de calor, apresenta-se tambm a forma fraca da equao governante.

    2.1. Forma forte das equaes governantes do problema Equation Section (Next)

    Considere um corpo bidimensional (de espessura constante) com domnio e contorno ,

    com referncia a um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) conforme ilustra a Figura 2.1.

    x

    y

    Figura 2.1 - corpo bidimensional com domnio e contorno , com referncia a um sistema

    de coordenadas cartesianas (x, y).

    Seja ( , )Q x y a taxa de gerao de calor interna ou fonte1 (calor por unidade de volume e

    tempo) e ( , )xq x y e ( , )yq x y as componentes do vetor fluxo de calor (calor por unidade de rea e

    tempo) em um ponto (x,y) do corpo

    1 Fontes de calor Q so proporcionadas, por exemplo, por resistncia corrente eltrica e reaes

    qumicas.

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    8

    ( , )( , )

    ( , )x

    y

    q x yx y

    q x y = =

    q q . (2.1)

    A equao que governa o problema de conduo de calor em um meio bidimensional em

    equilbrio (regime estacionrio, sem variao no tempo) pode ser facilmente deduzida considerando-se

    um elemento diferencial de lados dx e dy , e com fluxo de calor atravessando o contorno do elemento,

    conforme ilustra a Figura 2.2

    xq

    yq

    dx

    dydxx

    qq xx

    +

    Q

    dyyyq

    qy

    +

    Figura 2.2 elemento diferencial com fluxo de calor atravessandoo contorno do elemento

    Considerando, sem perda de generalidade, que a espessura do corpo unitria, a taxa de calor

    gerado no corpo igual a d dQ x y . Se as faces anterior e posterior indicadas na figura forem isoladas

    termicamente, ento a seguinte condio deve ser satisfeita

    d d d d ( + d )d ( + d )dyxx y x yqqQ x y q y q x q x y q y x

    x y

    + + = +

    . (2.2)

    Cancelando os termos repetidos, e dividindo a equao resultante por d dx y chega-se a equao

    que governa o problema estacionrio de conduo de calor

    0yxqq Q

    x y

    + =

    em , (2.3)

    ou, de forma mais compacta

    div 0Q + =q em , (2.4)

    ou, ainda

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    9

    T 0Q + =q em , (2.5)

    onde

    x

    y

    =

    (2.6)

    denota o operador diferencial nabla (ou del), tal que

    T divx yxy

    q qqqx y x y

    = = + = q q . (2.7)

    No caso de fluxo unidimensional, observa-se fisicamente que o fluxo de calor em uma direo

    proporcional taxa de variao da temperatura T naquela direo (Lei de Fourier). Assim,

    x xTqx

    =

    , (2.8)

    onde x o coeficiente de condutividade trmica (calor por unidade de comprimento, tempo e

    temperatura).

    Para o caso mais geral (bi ou tridimensional), observa-se que o vetor fluxo de calor funo do

    gradiente de temperatura T

    T= q , (2.9)

    onde, para o caso bidimensional,

    ( , ) ( , )( , )

    ( , ) ( , )xx xy

    xy yy

    x y x yx y

    x y x y

    = =

    (2.10)

    a matriz de condutividade trmica, e

    grad

    Tx xT T T

    Ty y

    = = =

    . (2.11)

    Assim, a eq. (2.9) pode-ser escrita como

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    10

    xx xyx

    y xy yy

    Tq x

    Tqy

    =

    , (2.12)

    ou seja,

    xx xyx

    xy yyy

    T Tq

    x yT T

    qx y

    += +=

    (2.13)

    Substitutindo as eqs. (2.13) em (2.3), chega-se a

    0xx xy xy yyT T T T

    Qx y x yx y

    + ++ + = . (2.14)

    Se as direes cartesianas (x,y) coincidirem com as direes principais do material, ento

    0xy = . Alm disso, no caso particular de um meio isotrpico (com mesma condutividae trmica em

    todas as direes), tem-se que xx yy = = . Neste caso, a matriz de condutividade trmica, pode ser

    escrita como

    ( , ) 0 1 0( , ) ( , ) ( , )

    0 ( , ) 0 1x y

    x y x y x yx y

    = = = =

    I , (2.15)

    com I sendo a matriz identidade de ordem 2.

    No caso de um meio homogneo, a condutividade trmica no depende das coordenadas (x ,y),

    ou seja, xx e xx so constantes.

    Para um meio isotrpico e homogneo, tem-se 0xy = e ctexx yy = = = . Neste caso, a

    eq. (2.14) fica

    2 2

    2 2 0T T Q

    x y + =+

    (2.16)

    a qual conhecida como Equao de Poisson. Esta equao governa vrios dos problemas de campo

    importantes na engenharia.

    Pode-se tambm obter a eq. (2.16) de forma mais direta e compacta, substituindo-se a eq. (2.9)

    na eq. (2.5), o que resulta em

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    11

    T 0T Q + = (2.17)

    Considerando-se novamente um meio isotrpico e homogneo (com = I constante), esta

    equao fica

    2 0T Q + = (2.18)

    onde 2 o operador Laplaciano, tal que

    2 22 T

    2 2T TxT T T

    x y x yy

    = = = +

    (2.19)

    Para o caso particular em que 0Q = , ou seja, sem nenhuma fonte de calor interna, a eq. (2.18),

    fica

    2 0T = ou 2 2

    2 2 0T T

    x y

    + =

    (2.20)

    a qual conhecida como Equao de Laplace.

    2.1.1. Condies de contorno

    Em geral, trs diferentes tipos de condies de contorno podem ser considerados para o

    problema de conduo de calor, quais sejam: a) Imposio de temperatura; b) Imposio de fluxo de

    calor; c) Imposio da relao entre temperatura e o fluxo de calor (ocorrendo na parte do contorno

    sujeita a conveco). Por simplicidade, sero consideradas na discusso a seguir, apenas os tipos de

    condies de contorno (a) e (b).

    Para isto, considera-se que o contorno subdivido em duas subregies, T e q , conforme

    indica a Figura 2.3, tal que

    T q

    T q

    =

    =(2.21)

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    12

    x

    y

    T

    q

    Figura 2.3 subdiviso do contorno do corpo

    As regies T e q so definidas de acordo com o tipo de condio de contorno considerada,

    quais sejam:

    a) Imposio de temperatura. Este caso corresponde ao tipo mais simples de condio de contorno, e

    consiste basicamente em se especificar o valor da temperatura na regio T do contorno, ou seja

    T T= em T (2.22)

    onde T a temperatura conhecida no contorno T .

    b) Imposio de fluxo de calor. Neste caso, considera-se o equilbrio de fluxo de calor em um

    elemento infinitesimal na regio q do contorno, conforme indica a Figura 2.4.a

    x

    y

    T

    q

    n

    xq

    yq

    coss Q

    nq

    n

    s

    sens

    (a) (b)

    Figura 2.4 Equilbrio de fluxo no contorno. a) Corpo com detalhe do elemento infinitesimal no

    contorno; b) fluxos de calor no elemento infinitesimal;

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    13

    A Figura 2.4.b mostra um detalhe do elemento diferencial com as componentes de fluxo de

    calor que atuam no contorno do elemento. Nesta figura,

    cos

    senx

    y

    nn

    = =

    n (2.23)

    o vetor normal unitrio a superfcie do contorno, com sendo o ngulo que este vetor normal forma

    com o eixo das abscissas; s o comprimento da face do elemento triangular referente ao contorno do

    corpo; e nq o valor conhecido do fluxo normal superfcie no contorno q .

    De acordo com a Figura 2.4.b , para que haja equilbrio de fluxo de calor no contorno, a

    seguinte equao deve ser satisfeita

    21 cos sen cos sen 02 x y n

    Q s q s q s q s + + + = . (2.24)

    Dividindo a equao por s , tem-se

    1 cos sen cos sen 02 x y n

    Q s q q q + + + = . (2.25)

    Levando esta expresso ao limite quando o lado s tende a zero, observa-se que o primeiro

    termo desaparece. Assim, a equao fica

    x x y y nq n q n q = , (2.26)

    ou de forma mais compacta,

    T nq =q n em T (2.27)

    2.1.2. Resumo das equaes

    Por convenincia, as equaes que governam o problema de conduo de calor, na forma forte,

    so resumidamente apresentadas no quadro abaixo:

    Forma forte da equao que governa o problema

    T ( ) 0 emT Q + = q (2.28)

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    14

    Relao constitutiva do meio (Lei de Fourier)

    ( ) emT T= q (2.29)

    Condies de contorno

    T

    em

    emT

    n q

    T T

    q

    =

    = q n(2.30)

    O problema de conduo de calor consiste em se resolver a equao diferencial parcial (PDE,

    Partial Differential Equation) (2.28), considerando a relao constitutiva (2.29) do material, e

    satisfazendo as codies de contorno (2.30). Este tipo de problema comumente denominado

    problema de valor de contorno (BVP, Boundary Value Problem)

    As equaes apresentadas no quadro acima so expressas na chamada forma forte, o que

    significa que estas equaes devem ser satisfeitas pontualmente, ou seja, a soluo do problema

    consiste em satisfazes estas equaes, para qualquer ponto (x,y) do meio.

    2.1.3. Forma fraca das equaes governantes do problema

    A obteno da forma fraca das equaes que governam o problema consiste no estabelecimento

    de equaes integrais sobre o domnio e o contorno do corpo, referentes satisfao destas

    equaes em um sentido mdio (ao contrrio do sentido restrito pontual da forma forte).

    Nos desenvolvimentos seguintes, utiliza-se a notao compacta de diferenciao em relao as

    variveis x e y, tal que

    2 2, , , ,2, , ,x y xx xyx y y xy

    = = = =

    (2.31)

    A forma fraca das equaes governantes pode ser obtida seguindo-se os seguintes passos:

    1o Passo) Multiplica-se a eq. (2.28) por uma funo arbitrria ( , )w x y , denominada, funo teste, tal

    que

    ( )T( , ) 0( )w x y T Q = +q (2.32)

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    15

    ou seja,

    ( ), ,( , ) 0x x y yq q Qw x y + = (2.33)

    2o Passo) Integra-se a equao acima sobre o domnio

    ( ), ,( , ) d 0x x y yq q Qw x y

    + = (2.34)

    Observa-se que caso se determine o campo de temperatura ( , )T x y que resolva a eq. (2.28), ou

    seja, caso a eq. (2.28) seja satisfeita, ento a eq. (2.34) tambm automaticamente satisfeita para

    qualquer que seja a funo ( , )w x y . Por outro lado, pode-se demonstrar que caso se determine um

    campo de temperatura ( , )T x y que satisfaa a eq. (2.34) para qualquer que seja a funo ( , )w x y , ento

    este campo a soluo da equao (2.28).

    3o Passo) Faz-se integrao por partes da equao acima, utilizando-se o teorema integral de Gauss.

    Para isso, inicialmente transfere-se as derivadas da funo xq e yq para a funo teste w , utilizando-

    se a regra de derivada do produto

    , , ,

    , , ,

    ( )

    ( )x x x x x x

    y y y y y y

    wq wq w q

    wq wq w q

    =

    = (2.35)

    tal que

    ( )

    ( )

    , ,

    , , , ,

    d

    ( ) ( ) d

    x x y y

    x x y y x x y y

    q q Qw

    wq wq w q w q wQ

    + =

    +

    (2.36)

    Utiliza-se, ento, o teorema integral de Gauss, tal que

    ( ) ( )

    ( )

    , ,

    T

    ( ) ( ) ( ) ( )d d

    d

    d

    x x y y x x y y

    x x y y

    wq wq wq n wq n

    q n q nw

    w

    + + =

    +=

    =

    q n

    (2.37)

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    16

    Assim, substitutindo-se a eq. (2.37) em (2.36), chega-se a

    ( )

    ( )

    , ,

    T, ,

    0 d

    d d

    x x y y

    x x y y

    q q Qw

    w q w q wQ w

    + =

    = +

    q n(2.38)

    4o Passo) Considera-se as condies de contorno (2.30), tal que

    T T T

    T

    d d d

    d d

    T q

    T q

    n

    w w w

    w wq

    = +

    =

    q n q n q n

    q n(2.39)

    Observa-se que o termo T q n igual a nq em q , sendo portanto perfeitamente conhecido nesta

    regio do contorno. Porm, o termo T q n desconhecido em T . Esta dificuldade pode ser resolvida

    eliminando-se a incgnita q , atravs da seguinte restrio na funo teste

    ( , ) 0w x y = em T (2.40)

    tal que o termo

    T d 0T

    w S

    = q n (2.41)

    As funes teste ( , )w x y que satisfazem a condio (2.40) so denominadas funes

    admissveis.

    Assim, substituindo-se a eq. (2.41) em (2.39), e o resultado em (2.38), esta pode ser reescrita

    como

    ( ), , d d 0q

    x x y y nw q w q wQ wq

    = (2.42)

    ou seja, de forma mais compacta

    ( )T d d dq

    nwQ wqw

    = + q (2.43)

    Esta equao consiste na forma fraca do problema de conduo de calor. Observa-se que esta

    equao independe das propriedades do material (relaes constitutivas) do meio.

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    17

    Considerando a relao constitutiva do meio dada pela eqs. (2.29) (Lei de Fourrier), e levando

    em conta ainda que w uma funo escalar ( Tw w= ), a eq. (2.43) pode ser escrita como

    ( ) T TT ( )d d dq

    nT w Q w qw

    = + (2.44)

    Esta equao consiste na forma fraca do problema de conduo de calor para um material

    obedecendo as relaes constituivas do material referentes s leis de Fourrier.

    A soluo do problema nesta forma fraca consiste em se determinar o campo de temperaturas

    ( , )T x y satisfazendo a eq. (2.44), para toda funo teste ( , )w x y admissvel. Uma soluo aproximada

    para este problema pode ser obtida atravs do mtodo dos Elementos Finitos, descrito na prxima

    seo.

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    18

    3. Aplicao do MEF ao problema de Conduo de Calor

    Conforme discutido anteriormente, a idia bsica do MEF consiste em discretizar (subdivir) o

    domnio do problema utilizando-se uma malha de elementos finitos. Na malha, os elementos so

    interligados atravs dos ns, conforme indica a Figura 1.1.

    O passo inicial para utilizao do MEF consiste na etapa de criao da malha de elementos

    finitos pelo usurio. Para isso, o usurio especifica a localizao dos ns, utilizando-se um sistema de

    coordenadas cartesianas, em um posicionamento arbitrrio, conforme ilustra a Figura 3.1.

    29

    12

    10

    11

    8

    7

    4

    3

    65

    1

    x

    y1 1( , )x y

    2 2( , )x y

    3 3( , )x y

    4 4( , )x y

    Figura 3.1 Especificao da posio dos ns da malha.

    Em geral, o nmero de graus de liberdade por n da malha est relacionado com o tipo e a

    dimenso do problema em questo. No caso de problema de potencial, o objetivo inicial a

    determinao de um campo escalar correspondente soluo do problema. Por exemplo, no problema

    de conduo do calor, objetiva-se determinar o campo de temperaturas, o qual consiste em um campo

    escalar. Neste caso, os elementos empregados na anlise devem possui um grau de liberdade (gdl) por

    n, independentemente da dimenso do problema (se uni, bi ou tridimensional).

    No problema de conduo de calor, quando se utiliza o MEF, as incgnitas principais do

    problema so as temperaturas nodais, ou seja, so os valores do campo de temperaturas avaliados nos

    ns da malha. Essas temperaturas nodais podem ser armazenadas em um arranjo unidimensional

    (vetor) da seguinte maneira

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    19

    1

    2

    3

    gN

    TTT

    T

    =

    T , (2.45)

    onde 1T a temperatura correspondente ao gdl 1, 2T a temperatura correspondente ao gdl 2, e assim

    por diante, at o nmero de graus de liberdade gN da malha.

    Atravs do MEF, a equao diferencial que governa o problema transformada em um sistema

    de equaes algbricas do tipo

    =KT F (2.46)

    Onde K uma matriz de condutividade do problema, (em geral denominada matriz de rigidez),

    de ordem g gN N , e F um vetor de coeficientes (em geral denominado vetor de foras), de ordem

    1gN , e T o vetor de incgnitas.

    No caso do problema de conduo de calor, F tem o sentido de fontes concentradas de calor

    (calor por unidade de tempo) nos ns da malha

    1

    2

    3

    gN

    FFF

    F

    =

    F (2.47)

    onde 1F a fonte de calor correspondente ao gdl 1, 2F a fonte correspondente ao gdl 2, e assim por

    diante, at o nmero de graus de liberdade gN da malha.

    A idia de fonte de calor concentrada pode ser inserida no contexto do problema contnuo

    desenvolvido anteriormente considerando-se uma funo ( , )Q x y taxa de gerao de calor, pontual, ou

    seja, uma funo nula em todo o domnio, exceto em um determinado ponto P (funo singular, ou

    delta de Dirac). Utilizando-se esta idia, tem-se que (ver eq. (2.44))

    ( , ) ( , )d ( , )P P c P cP Pw x y Q x y w x y F w F

    = = (2.48)

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    20

    onde PcF corresponde a fonte de calor concentrada no ponto P, e Pw corresponde funo teste

    avaliada neste ponto.

    Como podem haver vrias fontes de calor concentras na malha de elementos finitos,

    conveniente reescrever a eq. (2.44) como,

    ( ) T TT

    1

    T T T

    ( )d d d

    d d

    P

    q

    q

    N

    n P cPP

    n c

    T w Q w q w Fw

    w Q w q

    =

    = + +

    = + +

    w F(2.49)

    onde w um vetor tal que

    1 1 1

    2 2 2

    3 3 3

    ( , )( , )( , )

    ( , )g g g

    w x y ww x y ww x y w

    w x y w

    = =

    w (2.50)

    e

    1

    2

    3

    g

    c

    c

    cc

    cN

    FFF

    F

    =

    F (2.51)

    o vetor contendo as fontes de calor concentradas nos ns da malha. Caso no exista fonte de calor

    concentrada em um determinado n, ento a respectiva componente no vetor cF nula.

    3.1. Formulao do elemento finito tringular linear para o problema deconduo de calor bidimensional

    A apresentao a seguir utiliza a idia intuitiva, comum na engenharia, de se resolver um

    problema complexo, sudvidindo-o em problemas menores mais simples. Assim, o desenvolvimento a

    seguir mostra inicialmente a formulao de um elemento finito simples, e posteriormente, apresenta

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    21

    como este elemento considerado na soluo do problema global, considerando toda a malha de

    elementos finitos.

    A partir dos valores das temperaturas nos ns de um elemento pode-se determinar o valor do

    campo de temperatura em um ponto qualquer no interior do elemento, realizando-se uma interpolao

    dos valores nodais. Esta interpolao pode ser linear, quadrtica, ou referente a qualquer outra funo

    polinomial, dependendo do nmero de ns do elemento. Na verdade, pode-se tambm utilizar outras

    funes de interpolao alm das funes polinomiais, tais como funes trigonomtricas,

    exponenciais, etc.

    Um dos elementos finitos mais simples j desenvolvidos o elemento finito triangular com

    interpolao linear. Este elemento apresenta uma forma tringular, com trs ns I, J, e K posicionados

    nos vrtices do tringulo, conforme indica a Figura 3.2.

    x

    y( , )I II x y

    ( , )K KK x y

    ( , )J JJ x y

    Figura 3.2 Elemento finito triangular linear, com referncia ao sistema de eixos cartesianos.

    Na Figura 3.2 esto indicadas as coordenadas ( , )I Ix y , ( , )J Jx y e ( , )K Kx y , dos ns I, J, e K,

    respectivamente, do elemento triangular. Estas coordenadas so fornecidas como dados de entrada do

    problema.

    O elemento triangular linear, quando utilizado em problemas de conduo de calor, possui um

    grau de liberdade por n, totalizando trs graus de liberdade, quais sejam os valores IT , JT , e KT .

    Estes graus de liberdade correspondem ao valor do campo de temperatura avaliado nos ns I, J, e K do

    elemento. Estes graus de liberdade so armazenados no vetor de temperaturas nodais eT do elemento

    Ie

    J

    K

    TTT

    =

    T (2.52)

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    22

    A seguir determinam-se as funes de intepolao do elemento, as quais permitem calcular o

    valor do campo de temperatura T em um ponto ( , )x y qualquer no interior deste elemento.

    3.1.1. Funes de forma do elemento

    A formulao do elemento triangular linear baseia-se na hiptese de que, no interior do

    elemento, o campo de temperatura seja uma funo linear das coordenadas ( , )x y . Assim, assume-se o

    seguinte campo de temperatura

    1 2 3( , )T x y a a x a y= + + (2.53)

    onde 1a , 2a e 3a so constantes a serem determinadas. A eq. (2.53) pode ser escrita de forma mais

    compacta como

    ( , ) ( , )T x y x y= x a (2.54)

    onde1 x y=x (2.55)

    e

    1

    2

    3

    aaa

    =

    a (2.56)

    O vetor a, contendo as constantes, pode ser determinado atravs da imposio do valor da

    temperatura em cada n, ou seja

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    ( , )( , )( , )

    I I I I I

    J J J J J

    K K K K K

    T x y a a x a y TT x y a a x a y TT x y a a x a y T

    = + + == + + == + + =

    (2.57)

    As eqs. (2.57) podem ser reescritas na forma matricial como

    1

    2

    3

    111

    II I

    JJ J

    KK K

    a Tx ya Tx ya Tx y

    =

    (2.58)

    ou, em forma, mais compacta

    e=Ga T (2.59)

    onde

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    23

    111

    I I

    J J

    K K

    x yx yx y

    =

    G (2.60)

    uma matriz contendo as coordenadas dos ns do elemento.

    Pode-se determinar o vetor de constantes a, invertendo-se a eq. (2.59)

    1 e=a G T (2.61)

    onde

    1( ) ( ) ( )

    1 ( ) ( ) ( )det( )

    ( ) ( ) ( )

    J K K J K I I K I J J I

    J K K I I J

    K J I K J I

    x y x y x y x y x y x yy y y y y yx x x x x x

    =

    GG

    (2.62)

    com

    det( ) ( ) ( )J K I J K I J I K J I Kx y x y x y x y x y x y= + + + +G (2.63)

    Conforme apresentado no Apndice A, o determinante da matriz G corresponde duas vezes a

    rea tA do elemento, ou seja

    2 det( )tA = G (2.64)

    Substituindo a eq. (2.61) na eq. (2.54), chega-se a

    1( , ) ( , ) eT x y x y = x G T (2.65)

    ou ainda,

    ( , ) ( , ) eT x y x y= N T (2.66)

    onde1( , ) ( , )x y x y =N x G (2.67)

    Considerando a eq. (2.64), e desenvolvendo o produto dado na equao acima, chega-se a

    1 2 3( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y N x y N x y N x y=N (2.68)

    onde

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    24

    ( )

    ( )

    ( )

    1

    2

    3

    1( , ) ( ) ( ) ( )2

    1( , ) ( ) ( ) ( )21( , ) ( ) ( ) ( )

    2

    J K K J J K K Jt

    K I I K K I I Kt

    I J J I I J J It

    N x y x y x y y y x x x yA

    N x y x y x y y y x x x yA

    N x y x y x y y y x x x yA

    = + +

    = + +

    = + +

    (2.69)

    A matriz ( , )x yN uma matriz contendo funes de interpolao dos graus de liberdade

    nodais, neste caso, das temperaturas nodais. Esta matriz usualmente denominada matriz de funes

    de forma. Observando a eq. (2.66), conclui-se que a matriz de funes de forma permite determinar a

    temperatura T em um ponto ( , )x y qualquer do elemento, a partir dos valores das temperaturas nodais

    eT .

    Uma interpretao geomtrica dos termos da matriz de funes de forma apresentada no

    Apndice A.

    3.1.2. Derivadas das funes de forma do elemento

    Na soluo do problema de conduo de calor, torna-se necessrio o clculo de derivadas do

    campo de temperatura ( , )T x y , conforme se observa na eq. (2.44) onde considera-se o gradiente deste

    campo. As derivadas do campo de temperatura, na formulao do elemento finito, pode ser facilmente

    calculada a partir da eq. (2.66)

    ( , ) ( , ) ( , )e eT x y x y x y = =N T B T (2.70)

    onde

    1 2 3

    31 2

    31 2

    ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

    ( , )( , ) ( , )

    ( , )( , ) ( , )

    xx y x y N x y N x y N x y

    yN x yN x y N x y

    x x xN x yN x y N x y

    y y y

    = =

    =

    B N

    (2.71)

    Calculando as derivadas das funes de forma em relao s coordenadas cartesianas (ver eqs.

    (2.68) e (2.69)), chega-se a

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    25

    ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )2

    J K K I I J

    K J I K J It

    y y y y y yx x x x x xA

    =

    B (2.72)

    3.1.3. Interpolao da funo teste

    Analogamente ao campo de temperatura ( , )T x y , a funo teste ( , )w x y no interior de cada

    elemento tambm pode ser obtida por interpolao de valores nodais

    Ie

    J

    K

    www

    =

    w (2.73)

    utilizando-se a mesma matriz de funes de forma ( , )x yN (ver eq. (2.66)). Ou seja,

    ( , ) ( , ) ew x y x y= N w (2.74)

    Da mesma forma, o gradiente de ( , )w x y , necessrio na eq. (2.44), tambm pode ser obtido de

    forma similar ao gradiente da temperatura ( , )T x y (ver eq. (2.70)), resultando em

    ( , ) ( , ) ew x y x y = B w (2.75)

    3.1.4. Matriz de condutividade do elemento

    A eq. (2.49) vlida para um domnio de formato qualquer, e tambm, para qualquer

    subdomno dentro do domnio original. Assim, pode-se particularizar esta equao para um

    subdomnio referente a um elemento finito, ou seja,

    ( )TT TT ( )d d d

    e e eq

    e en cT w Q w qw

    = + + w F (2.76)

    onde e , e e correspondem, respectivamente, ao domnio e contorno de um elemento, e

    ec I

    e ec c J

    ec K

    F

    F

    F

    =

    F (2.77)

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    26

    o vetor de fluxos nodais do elemento.

    A substituio das eqs. (2.70), (2.75), e (2.74) em (2.76), leva a

    T T T TT T Td d de e e

    q

    e e e e e en cQ q

    = + + w B B T w N w N w F (2.78)

    Colocando-se o termo Tew em evidncia, chega-se a

    T T T Td d d 0e e e

    q

    e e en cQ q

    = w B B T N N F (2.79)

    O vetor ew deve ser completamente arbitrrio; portanto, conclui-se que

    T T Td d de e e

    q

    e en cQ q

    = + + B B T N N F (2.80)

    ou, de forma mais compacta,

    e e e=K T F (2.81)

    onde

    T de

    e

    = K B B (2.82)

    matriz de condutividade (ou de rigidez) do elemento, e

    T Td de e

    q

    e en cQ q

    = + + F N N F (2.83)

    o vetor de fontes nodais total (ou vetor de foras) do elemento.

    Os dois primeiros termos do lado direito da eq. (2.83), correspondem s parcelas de fluxo nodal

    equivalentes aos fluxos de calor distribudo no domnio (por unidade de volume) e no contorno do

    elemento (por unidade de superfcie). Estas parcelas podem ser agrupadas em um nico vetor,

    T Td de e

    q

    eq nQ q

    = + F N N (2.84)

    tal que

    e e eq c= +F F F (2.85)

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    27

    3.2. Montagem da matriz de condutividade e do vetor de fontes nodais domodelo

    A partir das matrizes de condutividade e vetores de fontes nodais dos elementos que formam a

    malha de elementos finitos, pode-se obter a matriz de condutividade e a matriz de fontes nodais do

    modelo.

    Para isso, ser utilizado como exemplo uma malha simples ilustrada na Figura 3.3.

    5

    2 3

    4

    1

    a

    b c

    d

    Figura 3.3 Malha simples de Elementos Finitos

    Na discusso seguinte, considera-se a conectividade dos elementos para a malha da Figura 3.3,

    conforme especificada na Tabela 3.1.

    Elemento N I N J N K

    a 2 3 1

    b 2 1 4

    c 3 5 1

    d 1 5 4

    Tabela 3.1 Tabela de incidncia nodais dos elementos

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    28

    3.2.1. Relao entre os vetores de temperaturas nodais do elemento e do modelo

    Seja T o vetor de temperaturas nodais da malha representada na Figura 3.3

    1

    2

    3

    4

    5

    TTTTT

    =

    T (2.86)

    O vetor de temperaturas nodais do elemento a

    2

    3

    1

    aI

    a aJaK

    T TT T

    TT

    = =

    T (2.87)

    Observa-se que a equao acima pode ser escrita como o seguinte produto matricial

    1

    2

    3

    4

    5

    0 1 0 0 00 0 1 0 01 0 0 0 0

    aI

    a aJaK

    TT TT T

    TTT

    = =

    T (2.88)

    ou ainda,a a=T H T (2.89)

    onde

    0 1 0 0 00 0 1 0 01 0 0 0 0

    a =

    H (2.90)

    denominada matriz de incidncia do elemento a.

    Procedendo-se de forma anloga, chega-se as seguintes relaes para os outros elementos

    b b

    c c

    d d

    =

    =

    =

    T H T

    T H T

    T H T

    (2.91)

    onde

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    29

    0 1 0 0 01 0 0 0 00 0 0 1 0

    0 0 1 0 00 0 0 0 11 0 0 0 0

    1 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 0

    b

    c

    d

    = = =

    H

    H

    H

    (2.92)

    so as matrizes de incidncia dos elementos b, c e d, respectivamente.

    Deve-se notar que o nmero de linhas da matriz de incidncia de um elemento igual ao

    nmero de graus de liberdade do elemento (neste caso, trs, para o elemento triangular linear), e o

    nmero de colunas igual ao nmero de graus de liberdade do modelo (neste caso, cinco, para a malha

    mostrada na Figura 3.3). A matriz de incidncia de cada elemento facilmente determinada pelas

    seguintes regras simples:

    1) Para a primeira linha, tem-se o valor um na coluna correspondente ao n I do elemento,

    com as demais colunas iguais a zero;

    2) Para a segunda linha, tem-se o valor um na coluna correspondente ao n J do elemento,

    com as demais colunas iguais a zero;

    3) Para a terceira linha, tem-se o valor um na coluna correspondente ao n K do elemento,

    com as demais colunas iguais a zero;

    ou seja, de forma mais geral, tem-se para cada linha n, o valor 1 na coluna correspondente ao grau de

    liberdade do n n, com as demais colunas iguais a zero.

    3.2.2. Relao entre os vetores de fontes nodais do elemento e do modelo

    Seja F o vetor de fontes nodais da malha mostrada na Figura 3.3

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    30

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    FFFFFF

    =

    F (2.93)

    O vetor de fontes nodais do elemento a

    aI

    a aJaK

    F

    F

    F

    =

    F (2.94)

    Analogamente, para os outros elementos, tm-se

    b c dI I I

    b b c c d dJ J Jb c dK K K

    F F F

    F F F

    F F F

    = = =

    F F F (2.95)

    Uma condio de equilbrio a ser satisfeita, que a soma das fontes nodais, referentes a um

    n comum, de cada elemento que esto conectados a este n comum, deve ser igual fonte nodal total

    aplicada deste n. Ou seja, para o n 1, tem-se

    1a b c dK J K IF F F F F= + + + (2.96)

    Analogamente, tm-se para os demais ns

    2

    3

    4

    5

    a bI Ia cJ Ib dK Kc dJ J

    F F F

    F F F

    F F F

    F F F

    = +

    = +

    = +

    = +

    (2.97)

    As eqs. (2.96) e (2.97) podem ser escritas na seguinte forma matricial

    1

    2

    3

    4

    5

    0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 01 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0

    a b cI I Ia b cJ J Ja b cK K K

    FF F FFF F FF

    F F F FF

    = + + +

    0 0 00 0 10 1 0

    dIdJdK

    F

    F

    F

    (2.98)

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    31

    Observa-se que as matrizes mostradas na equao acima correspondem s matrizes transpostas

    das matrizes de incidncia de cada elemento. Assim, a equao acima pode ser escrita, de forma

    compacta, como

    T T T Ta a b b c c d d= + + +F H F H F H F H F (2.99)

    Para escrever a equao acima na forma de somatrio, pode-se definir 1a , 2b , 3c e

    4d . Assim,

    T T T T1 1 2 2 3 3 4 4= + + +F H F H F H F H F (2.100)

    ou seja,

    T

    1

    en e e

    e== F H F (2.101)

    onde e representa um elemento genrico e en o nmero de elementos da malha (neste caso, 4en = ).

    Atravs da eq. (2.101), pode-se, portanto, determinar o vetor de fontes nodais da malha.

    3.2.3. Obteno da matriz de condutividade do modelo

    A eq. (2.81) apresenta a relao entre os vetores de temperaturas e fontes nodais de um

    elemento genrico e. Assim, para a malha da Figura 3.3, pode-se escrever

    a a a b b b c c c d d d= = = =F K T F K T F K T F K T (2.102)

    Substituindo as equaes acima na eq. (2.99), tem-se

    T T T Ta a a b b b c c c d d d= + + +F H K T H K T H K T H K T (2.103)

    Substituindo, agora, as eqs. (2.89) e (2.91) na equao acima, tem-se

    T T T Ta a a b b b c c c d d d= + + +F H K H T H K H T H K H T H K H T (2.104)

    Colocando o vetor de temperaturas nodais do modelo T em evidncia, chega-se a

    T T T T( )a a a b b b c c c d d d= + + +F H K H H K H H K H H K H T (2.105)

    ou ainda,

    =F KT (2.106)

    onde

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    32

    T T T Ta a a b b b c c c d d d= + + +K H K H H K H H K H H K H (2.107)

    a matriz de condutividade (ou de rigidez) do modelo. Esta equao tambm pode ser escrita na forma

    de somatrio, seguindo a idia utilizada na eq. (2.101). Assim, em geral, pode-se obter a matriz de

    rigidez do modelo, atravs do seguinte somatrio

    T

    1

    en e e e

    e== K H K H (2.108)

    Atravs da eq.(2.108), pode-se, portanto, determinar a matriz de condutividade da malha.

    Embora as eqs. (2.101) e (2.108) tenham sido deduzidas para o malha mostrada na Figura 3.3,

    estas equaes so completamente genricas, podendo ser utilizadas para qualquer outra malha de

    elementos finitos. Para isso, deve-se apenas determinar a matriz de incidncia associada a cada

    elemento para a malha em questo.

    Deve-se ressaltar que embora as eqs. (2.101) e (2.108) representem teoricamente a forma de

    obteno do vetor de fontes nodais, e da matriz de condutividade do modelo, na prtica, este processo

    torna-se ineficiente para malhas refinadas (com muitos elementos), em funo da grande quantidade de

    zeros presente nas matrizes de incidncia. Assim, na prtica, utiliza-se um algoritmo computacional

    para montagem do vetor de fontes nodais e matriz de condutividade da malha, o qual evita a

    multiplicao desnecessria dos nmeros zero presentes nas matrizes de incidncia dos elementos.

    3.3. Imposio das condies de contorno e soluo do sistema de equaes

    Caso as temperaturas nodais de todos os ns da malha fossem conhecidas, as fontes nodais

    poderiam ser facilmente determinadas atravs da eq. (2.106). Entretanto, em situaes prticas, se

    conhece a temperatura nodal de alguns ns, e a fonte nodal dos demais ns.

    Para a determinao dos valores desconhecidos das fontes e temperaturas nodais, deve-se

    numerar os graus de liberdade da malha, de tal maneira que os ns com fonte nodal prescrita

    (conhecida) sejam numerados primeiro, e os ns com temperatura prescrita (conhecida) sejam

    numerados por ltimo.

    Por exemplo, considera-se a malha da Figura 3.3. Neste caso, a eq. (2.106) pode ser escrita na

    forma expandida como

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    33

    11 12 13 14 15 1 1

    21 22 23 24 25 2 2

    31 32 33 34 35 3 3

    41 42 43 44 45 4 4

    51 52 53 54 55 5 5

    K K K K K T FK K K K K T FK K K K K T FK K K K K T FK K K K K T F

    =

    (2.109)

    Considera-se agora, que as fontes nodais sejam prescritas para os ns 1, 2 e 3, e que as

    temperaturas sejam prescritas para os ns 4 e 5. Com isso, pode-se particionar o sistema acima, da

    seguinte maneira,

    11 12 13 14 15 1 1

    21 22 23 24 25 2 2

    31 32 33 34 35 3 3

    41 42 43 44 45 4 4

    51 52 53 54 55 5 5

    K K K K K T FK K K K K T FK K K K K T F

    K K K K K T FK K K K K T F

    =

    (2.110)

    ou de forma mais compacta

    00 01 0 0

    10 11 1 1

    =

    K K T FK K T F

    (2.111)

    onde

    11 12 13 14 15 1 1

    00 21 22 23 01 24 25 0 2 0 2

    31 32 33 34 35 3 3

    41 42 43 44 45 4 410 11 1 1

    51 52 53 54 55 5 5

    K K K K K T FK K K K K T FK K K K K T F

    K K K K K T FK K K K K T F

    = = = =

    = = = =

    K K T F

    K K T F

    (2.112)

    Desta forma, deve-se notar que os vetores 1T e 0F so conhecidos, ao passo que os vetores 0T

    e 1F so desconhecidos.

    Desenvolvendo a eq. (2.111), tem-se

    00 0 01 1 0

    10 0 11 1 1

    + =+ =

    K T K T FK T K T F

    (2.113)

    Com isso, o vetor de temperaturas nodais 0T pode ser calculado, a partir da primeira das

    equaes acima,

    ( )10 00 0 01 1= T K F K T (2.114)

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    34

    Aps a determinao de 0T , o vetor de fontes nodais 1F , pode ser calculado diretamente

    utilizando-se a segunda das eqs. (2.113)

    1 10 0 11 1= +F K T K T (2.115)

    3.4. Resumo das etapas de anlise pelo MEF

    As etapas de anlise pelo Mtodo dos elementos finitos so descritas resumidamente abaixo:

    1) Montagem da matriz de condutividade do material (eq. (2.10)) para cada elemento

    ( , ) ( , )( , )

    ( , ) ( , )xx xy

    xy yy

    x y x yx y

    x y x y

    = =

    (2.116)

    2) Montagem da matriz com as derivadas das funes de forma (eq. (2.72)) para cada elemento

    ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )2

    J K K I I J

    K J I K J It

    y y y y y yx x x x x xA

    =

    B (2.117)

    3) Determinao da matriz de condutividade para cada elemento, atravs da eq. (2.82)

    T de

    e

    = K B B (2.118)

    Para o caso particular do elemento triangular linear, com material homogneo, as matrizes e B

    so constantes (independentes de x e y). Assim, a matriz de condutividade do elemento pode ser

    obtida como

    TetA t=K B B (2.119)

    4) Determinao do vetor de fontes ou fluxos nodais para cada elemento, atravs da eq. (2.83)

    T Td de e

    q

    e en cQ q

    = + + F N N F (2.120)

    Para o caso particular do elemento triangular linear, com fonte Q constante, e fluxo normal

    prescrito no contorno do elemento nq nulo, o vetor eF pode ser obtido como

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    35

    111

    e et cQA t

    = +

    F F (2.121)

    5) Determinao da matriz de incidncia eH para cada elemento, conforme explicado na seo 3.2.1.

    6) Montagem da matriz de condutividade do modelo de acordo com a eq. (2.108)

    T

    1

    en e e e

    e== K H K H (2.122)

    7) Montagem do vetor de fontes nodais do modelo de acordo com a eq. (2.101)

    T

    1

    en e e

    e== F H F (2.123)

    Na verdade, apenas se conhece uma parte deste vetor, denominada 0F , em funo das condies

    de contorno. Aps a montagem do vetor F total como mostrado acima, extrai-se a parte 0F deste vetor,

    e ignora-se a parte 1F , a qual ser recalculada posteriormente.

    8) Montagem da parte conhecida 1T do vetor de temperaturas nodais

    9) Partio do sistema de equaes =KT F , considerando as condies de contorno, de acordo coma seo 3.3.

    00 01 0 0

    10 11 1 1

    =

    K K T FK K T F

    (2.124)

    10) Soluo do sistema de equaes, de acordo com as eqs. (2.114) e (2.115)

    ( )10 00 0 01 1= T K F K T (2.125)

    1 10 0 11 1= +F K T K T (2.126)

    11) Montagem do vetor de temperaturas nodais do modelo

    0

    1

    =

    TT

    T(2.127)

    12) Determinao do vetor de temperaturas nodais de cada elemento, utilizando-se a matriz deincidncia.

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    36

    e e=T H T (2.128)

    13) Determinao do gradiente de temperatura no interior de cada elemento (eq. (2.70)

    eT = BT (2.129)

    14) Determinao do fluxo de calor no interior de cada elemento (eq. (2.9)).

    T= q (2.130)

    Com isto, tem-se a soluo do problema de conduo de calor por elementos finitos, utilizando-

    se o elemento triangular linear.

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    37

    A. Interpretao geomtrica das funes de forma do elemento

    Equation Section 1

    Para possibilitar uma intepretao geomtrica dos termos da matriz de funes de forma

    ( , )x yN , deve-se inicialmente, calcular a rea do elemento triangular. Isto pode ser feito facilmente

    calculando-se a norma do produto vetorial entre dois vetores r e s definidos arbitrariamente por duas

    arestas do elemento, conforme ilustra a Figura A.1.

    x

    y( , )I II x y

    ( , )K KK x y

    ( , )J JJ x yr

    s

    Figura A.1 Vetores definidos pelas arestas do elemento, para determinao da rea do tringulo.

    e0 0

    x J I x K I

    y J I y K I

    z z

    r x x s x xr y y s y y

    r s

    = = = =

    r s (A.1)

    A rea tA do elemento pode ser calculada como

    12t

    A = r s (A.2)

    Assim,

    ( )

    ( ) ( ) 0( ) ( ) 0

    0 0 ( )( ) ( )( )

    x y z J I J I

    K I K Ix y z

    J I K I K I J I

    r r r x x y yx x y ys s s

    x x y y x x y y

    = =

    = + +

    i j k i j kr s

    i j k

    (A.3)

    onde i , j e k so os vetores base unitrios (versores) do sistema de coordenadas cartesianas ( , , )x y z

    conforme indica a Figura A.1.

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    38

    Substituindo-se a eq. (A.3) na eq. (A.2), chega-se a

    ( )

    ( )

    1 1 ( )( ) ( )( )2 21 ( ) ( )2

    t J I K I K I J I

    J K I J K I J I K J I K

    A x x y y x x y y

    x y x y x y x y x y x y

    = =

    = + + + +

    r s(A.4)

    Comparando as equaes (2.63) e (A.4), conclui-se que

    det( ) 2 tA=G (A.5)

    ou seja, o determinante da matriz G corresponde a duas vezes a rea do elemento.

    Para interpretao geomtrica dos outros termos da matriz ( , )x yN considera-se um ponto P de

    coordenadas ( , )x y no interior do elemento, e divide-se o elemento em trs tringulos com vrtice em

    P, conforme mostra a Figura A.2.

    x

    y( , )I II x y

    ( , )K KK x y

    ( , )J JJ x y

    ( , )P x y2A

    3A

    1A

    Figura A.2 Sub-reas no interior do elemento, definidas por um ponto P de coordenadas ( , )x y .

    Desta forma, o clculo da rea 1A do tringulo definido pelos pontos P, J e K pode ser

    calculada utilizando-se a eq. (A.4), com as variveis x e y, no lugar de Ix e Iy , respectivamente

    ( )

    ( )

    11( , ) ( ) ( )21 ( ) ( ) ( )2

    J K J K J K J K

    J K K J J K K J

    A x y x y xy x y x y x y xy

    x y x y y y x x x y

    = + + + +

    = + + (A.6)

    De forma similar, tem-se, para as reas 2A e 3A

    ( )21( , ) ( ) ( ) ( )2 K I I K K I I K

    A x y x y x y y y x x x y= + + (A.7)

  • O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

    39

    ( )31( , ) ( ) ( ) ( )2 I J J I I J J I

    A x y x y x y y y x x x y= + + (A.8)

    Comparando as eqs. (A.6), (A.7) e (A.8) com os elementos da matriz ( , )x yN na eq. (2.67), e

    considerando ainda a eq. (A.5), conclui-se que a matriz de funes de forma pode ser expressa como

    31 2 ( , )( , ) ( , )( , )t t t

    A x yA x y A x yx yA A A

    =N (A.9)

    ou ainda como,

    1 2 3( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y N x y N x y N x y=N (A.10)

    com

    31 21 2 3

    ( , )( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )t t t

    A x yA x y A x yN x y N x y N x yA A A

    = = = (A.11)

    sendo denominadas coordenadas naturais do tringulo. interessante observar que a medida que o

    ponto P se aproxima do n I por exemplo, 1 1N , 2 0N e 3 0N . Quando o ponto P se situa

    exatamente sobre o n I, isto , quando Ix x= e Iy y= , tem-se que 1( , ) 1I IN x y = , 2 ( , ) 0I IN x y = , e

    3( , ) 0I IN x y = . Em geral, esta importante propriedade das funes de forma pode ser expressa como

    1se ( , )

    0 se L M ML M

    N x yL M=

    = (A.12)

    onde considera-se que a numerao dos ns do elemento tal que, 1I , 2J e 3K .

    Autor: Prof. Remo Magalhes de Souza, M.Sc., Ph.Belm 05/2003IntroduoIdia bsica do Mtodo dos Elementos FinitosCampos de aplicaoO conceito de grau de liberdade no MEF

    Problema de conduo de calorForma forte das equaes governantes do problemaCondies de contornoResumo das equaesForma fraca das equaes governantes do problema

    Aplicao do MEF ao problema de Conduo de CaFormulao do elemento finito tringular linearFunes de forma do elementoDerivadas das funes de forma do elementoInterpolao da funo testeMatriz de condutividade do elemento

    Montagem da matriz de condutividade e do vetor de fontes nodais do modeloRelao entre os vetores de temperaturas nodais Relao entre os vetores de fontes nodais do eleObteno da matriz de condutividade do modelo

    Imposio das condies de contorno e soluoResumo das etapas de anlise pelo MEF

    Interpretao geomtrica das funes de forma