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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL NÚCLEO DE INSTRUMENTAÇÃO E COMPUTAÇÃO APLICADA À ENGENHARIA O Método dos Elementos Finitos Aplicado ao Problema de Condução de Calor Autor: Prof. Remo Magalhães de Souza, M.Sc., Ph.D Belém 05/2003

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR

CENTRO TECNOLGICO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

NCLEO DE INSTRUMENTAO E COMPUTAO APLICADA ENGENHARIA

O Mtodo dos Elementos Finitos

Aplicado ao Problema de Conduo de Calor

Autor: Prof. Remo Magalhes de Souza, M.Sc., Ph.D

Belm 05/2003

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

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1. Introduo

O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) consiste em um mtodo numrico aproximado para

anlise de diversos fenmenos fsicos que ocorrem em meios contnuos, e que so descritos atravs de

equaes diferenciais parciais, com determinadas condies de contorno (Problemas de Valor de

Contorno), e possivelmente com condies iniciais (para problemas variveis no tempo). O MEF

bastante genrico, e pode ser aplicado na soluo de inmeros problemas da engenharia.

1.1. Idia bsica do Mtodo dos Elementos Finitos

A idia principal do Mtodo dos Elementos Finitos consiste em se dividir o domnio (meio

contnuo) do problema em sub-regies de geometria simples (formato triangular, quadrilaeral, cbico,

etc.), conforme ilustra esquematicamente a Figura 1.1.

Esta idia bastante utilizada na engenharia, onde usalmente tenta-se resolver um problema

complexo, subdividindo-o em uma srie de problemas mais simples. Logo, trata-se de um

procedimento intuitivo para os engenheiros.

contorno original

elementos finitospontos nodais

Figura 1.1 Malha de Elementos Finitos (para problema plano)

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

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Devido ao fato das sub-regies apresentarem dimenses finitas, estas sub-regies so chamadas

elementos finitos, em contraste com os elementos infinitesimais utilizados no clculo diferencial e

integral. Advm da, o nome Mtodo dos Elementos Finitos, estabelecido por Ray Clough, na dcada

de 50.

Os elementos finitos utilizados na discretizao (subdiviso) do domnio do problema so

conectados entre si atravs de determinados pontos, denominados ns ou pontos nodais, conforme

indica a Figura 1.1. Ao conjunto de elementos finitos e pontos nodais, d-se, usualmente o nome de

malha de elementos finitos.

Diversos tipos de elementos finitos j foram desenvolvidos. Estes apresentam formas

geomtricas diversas (por exemplo, triangular, quadrilateral, cbico, etc) em funo do tipo e da

dimenso do problema (se uni, bi, ou tridimensional). A Figura 1.2 apresenta a geometria de vrios

tipos de elementos finitos.

Elemento triangularcom trs ns

Elemento hexadricocom oito ns

Elemento quadrilateralcom nove ns

Elemento quadrilateralcom quatro ns

Elemento tetradricocom quatro ns

Elemento triangularcom seis ns

Elemento de barracom dois ns

Elemento de barracom trs ns

Figura 1.2 Diferentes tipos de elementos finitos

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A preciso do mtodo depende da quantidade de ns e elementos, e do tamanho e tipo dos

elementos presentes na malha. Um dos aspectos mais importantes do MEF diz respeito a sua

convergncia. Embora trata-se de um mtodo aproximado, pode-se demonstrar que em uma malha

consistente, a medida que o tamanho dos elementos finitos tende a zero, e conseqentemente, a

quantidade de ns tende a infinito, a soluo obtida converge para a soluo exata do problema.

Ou seja, quanto menor for o tamanho e maior for o nmero de elementos em uma determinada

malha, mais precisos sero os resultados da anlise.

1.2. Campos de aplicao

O nmero de reas de aplicao para o MEF tem crescido de forma considervel recentemente.

Dentre os inmeros campos de aplicao possveis, podem se citar: Indstria da Construo Civil;

Indstria automobilstica, naval, aeronutica e aeroespacial; Metalurgia; Minerao; Explorao de

petrleo; Setor energtico; Telecomunicaes; Foras Armadas; Meio ambiente; Recursos Hdricos;

Sade.

As primeiras aplicaes do MEF foram em problemas de engenharia estrutural, mais

especificametne, sobre anlise de tenses. Neste tipo de problema, busca-se determinar as tenses,

deformaes e deslocamentos em um corpo slido sujeito a determinadas aes tais como cargas

(foras aplicadas) e recalques (deslocamentos impostos). Exemplos de tais aplicaes compreendem o

estudo do comportamento de estruturas civis, tais como edifcios, pontes, barragens, e tneis, onde os

elementos finitos so utilizados na discretizao de vigas, lajes, trelias, paredes, fundaes, etc.

O estudo de anlise de tenses tambm importante em outras reas da engenharia, tais como

engenharia mecnica, naval, aeronutica, aeroespacial, onde so necessrios anlises das estruturas e

peas mecnicas de mquinas, automveis, caminhes, navios, avies, espaonaves, etc. Dentro da

rea de mecnica dos slidos, podem ser realizadas: anlise esttica, anlise modal (problemas de auto

valor e auto-vetor, para estudo de vibraes e instabilidade estrutural), e anlise dinmica.

Alm da aplicao clssica do MEF na soluo de problemas da mecnica dos slidos, vrias

outras reas da engenharia empregam atualmente o MEF como uma poderosa ferramenta na anlise de

diversos fenmenos fsicos, e no projeto e anlise de diversos equipamentos, dispositivos, processos

industriais, etc.

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A quantidade de problemas fsicos que podem ser analisados com o MEF bastante grande. A

ttulo de ilustrao podem-se citar as seguintes reas:

Transferncia de calor;

Elastosttica;

Elastodinmica;

Eletroesttica;

Eletromagnetismo;

Acstica;

Fadiga;

Mecnica da fratura;

Hidrulica;

Hidrodinmica;

Aerodinmica;

Biomecnica;

Lubrificao;

Problemas de interao fludo-estrutura;

Problemas de propagao de ondas;

Disperso de contaminantes;

Vrios dos fenmenos listados acima podem ser agrupados em uma categoria especial de

problema fsico, denominado problema de campo (ou, mais particularmente, problema de potencial).

Exemplos comums de problemas de campo so:

Conduo de calor,

Conduo eltrica;

Campos gravitacionais;

Campos eletroestticos;

Campos magnetoestticos;

Fluxo irrotacional de fluidos ideais;

Percolao atravs de um meio poroso;

Torso de barras prismticas;

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Os fenmenos de campo descritos acima tm em comum o mesmo tipo de equao diferencial

governante, qual seja a equao quasi-harmnica. Casos particulares da equao quasi-harmnica so

as conhecidas equaes de Poisson, e de Laplace.

No captulo 2, apresenta-se o desenvolvimento da equao de Poisson, com aplicao do

problema de conduo de calor. Entretanto, o mesmo desenvolvimento pode ser aplicado a outros

problemas de campos com poucas alteraes.

1.3. O conceito de grau de liberdade no MEF

Alm dos conceitos de elementos finitos e ns no MEF, um outro conceito muito importante

refere-se ao conceito de grau de liberdade (degree of freedom) ou, gdl (dof). A idia de grau de

liberdade tem sua origem na idia do movimento de partculas em problemas da Mecnica, onde se

considera que, conforme ilustra a Figura 1.3:

Um ponto apresenta, no espao tridimensional, trs graus de liberdade, quais sejam trs

possveis movimentos de translao.

Mais genericamente, um corpo rgido apresenta, no espao tridimensional, seis graus de

liberdade, quais sejam, trs possveis movimentos de translao e trs possveis movimentos de

rotao.

(a) (b)

Figura 1.3 Graus de liberdade. a) graus de liberdade de um ponto; b) graus de liberdade de um

corpo rgido.

O comportamento de um elemento praticamente definido pelo nmero e posicionamento dos

ns, e pelo nmero de graus de liberdade (gdl) por n. O mesmo elemento finito (com a mesma forma

e mesmo nmero de ns), como por exemplo, o elemento triangular de trs ns pode ser utilizado com

diferentes graus de liberdade, dependendo da dimenso e tipo do problema em questo.

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Em problemas de mecnica dos slidos (anlise de tenses), os graus de liberdade dos ns

correspondem aos possveis movimentos que estes podem sofrer. Por exemplo, o problema de anlise

de tenses em um meio tridimensional apresenta trs graus de liberdade por n (trs translaes). No

caso plano, existem dois graus de liberdade por n (duas translaes).

Estes movimentos ou deslocamentos dos ns so as incgnitas principais da anlise pelo

mtodo tradicional de Elementos Finitos do problema geral da Mecnica dos slidos.

Por um outro lado, no problema de conduo de calor, por exemplo, embora no se estude o

movimento de partculas, utiliza-se comumente o termo grau de liberdade para fazer referncia

incgnita principal do problema, qual seja o valor do campo de temperatur nos ns da malha.

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2. Problema de conduo de calor

O problema de conduo de calor estudado como motivao inicial para aplicao do MEF.

Escolheu-se este problema pela fcil interpretao fsica das equaes, e da sua relevncia prtica para

diversos setores da engenharia.

A apresentao feita inicialmente, utilizando-se a forma tradicional das equaes diferencias

que governam o problema (forma forte), por tratar-se de um procedimento mais simples.

Posteriormente, para possibilitar a aplicao direta do MEF na soluo do problema de

conduo de calor, apresenta-se tambm a forma fraca da equao governante.

2.1. Forma forte das equaes governantes do problema Equation Section (Next)

Considere um corpo bidimensional (de espessura constante) com domnio e contorno ,

com referncia a um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) conforme ilustra a Figura 2.1.

x

y

Figura 2.1 - corpo bidimensional com domnio e contorno , com referncia a um sistema

de coordenadas cartesianas (x, y).

Seja ( , )Q x y a taxa de gerao de calor interna ou fonte1 (calor por unidade de volume e

tempo) e ( , )xq x y e ( , )yq x y as componentes do vetor fluxo de calor (calor por unidade de rea e

tempo) em um ponto (x,y) do corpo

1 Fontes de calor Q so proporcionadas, por exemplo, por resistncia corrente eltrica e reaes

qumicas.

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( , )( , )

( , )x

y

q x yx y

q x y = =

q q . (2.1)

A equao que governa o problema de conduo de calor em um meio bidimensional em

equilbrio (regime estacionrio, sem variao no tempo) pode ser facilmente deduzida considerando-se

um elemento diferencial de lados dx e dy , e com fluxo de calor atravessando o contorno do elemento,

conforme ilustra a Figura 2.2

xq

yq

dx

dydxx

qq xx

+

Q

dyyyq

qy

+

Figura 2.2 elemento diferencial com fluxo de calor atravessandoo contorno do elemento

Considerando, sem perda de generalidade, que a espessura do corpo unitria, a taxa de calor

gerado no corpo igual a d dQ x y . Se as faces anterior e posterior indicadas na figura forem isoladas

termicamente, ento a seguinte condio deve ser satisfeita

d d d d ( + d )d ( + d )dyxx y x yqqQ x y q y q x q x y q y x

x y

+ + = +

. (2.2)

Cancelando os termos repetidos, e dividindo a equao resultante por d dx y chega-se a equao

que governa o problema estacionrio de conduo de calor

0yxqq Q

x y

+ =

em , (2.3)

ou, de forma mais compacta

div 0Q + =q em , (2.4)

ou, ainda

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T 0Q + =q em , (2.5)

onde

x

y

=

(2.6)

denota o operador diferencial nabla (ou del), tal que

T divx yxy

q qqqx y x y

= = + = q q . (2.7)

No caso de fluxo unidimensional, observa-se fisicamente que o fluxo de calor em uma direo

proporcional taxa de variao da temperatura T naquela direo (Lei de Fourier). Assim,

x xTqx

=

, (2.8)

onde x o coeficiente de condutividade trmica (calor por unidade de comprimento, tempo e

temperatura).

Para o caso mais geral (bi ou tridimensional), observa-se que o vetor fluxo de calor funo do

gradiente de temperatura T

T= q , (2.9)

onde, para o caso bidimensional,

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )xx xy

xy yy

x y x yx y

x y x y

= =

(2.10)

a matriz de condutividade trmica, e

grad

Tx xT T T

Ty y

= = =

. (2.11)

Assim, a eq. (2.9) pode-ser escrita como

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xx xyx

y xy yy

Tq x

Tqy

=

, (2.12)

ou seja,

xx xyx

xy yyy

T Tq

x yT T

qx y

+= +=

(2.13)

Substitutindo as eqs. (2.13) em (2.3), chega-se a

0xx xy xy yyT T T T

Qx y x yx y

+ ++ + = . (2.14)

Se as direes cartesianas (x,y) coincidirem com as direes principais do material, ento

0xy = . Alm disso, no caso particular de um meio isotrpico (com mesma condutividae trmica em

todas as direes), tem-se que xx yy = = . Neste caso, a matriz de condutividade trmica, pode ser

escrita como

( , ) 0 1 0( , ) ( , ) ( , )

0 ( , ) 0 1x y

x y x y x yx y

= = = =

I , (2.15)

com I sendo a matriz identidade de ordem 2.

No caso de um meio homogneo, a condutividade trmica no depende das coordenadas (x ,y),

ou seja, xx e xx so constantes.

Para um meio isotrpico e homogneo, tem-se 0xy = e ctexx yy = = = . Neste caso, a

eq. (2.14) fica

2 2

2 2 0T T Q

x y + =+

(2.16)

a qual conhecida como Equao de Poisson. Esta equao governa vrios dos problemas de campo

importantes na engenharia.

Pode-se tambm obter a eq. (2.16) de forma mais direta e compacta, substituindo-se a eq. (2.9)

na eq. (2.5), o que resulta em

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T 0T Q + = (2.17)

Considerando-se novamente um meio isotrpico e homogneo (com = I constante), esta

equao fica

2 0T Q + = (2.18)

onde 2 o operador Laplaciano, tal que

2 22 T

2 2T TxT T T

x y x yy

= = = +

(2.19)

Para o caso particular em que 0Q = , ou seja, sem nenhuma fonte de calor interna, a eq. (2.18),

fica

2 0T = ou 2 2

2 2 0T T

x y

+ =

(2.20)

a qual conhecida como Equao de Laplace.

2.1.1. Condies de contorno

Em geral, trs diferentes tipos de condies de contorno podem ser considerados para o

problema de conduo de calor, quais sejam: a) Imposio de temperatura; b) Imposio de fluxo de

calor; c) Imposio da relao entre temperatura e o fluxo de calor (ocorrendo na parte do contorno

sujeita a conveco). Por simplicidade, sero consideradas na discusso a seguir, apenas os tipos de

condies de contorno (a) e (b).

Para isto, considera-se que o contorno subdivido em duas subregies, T e q , conforme

indica a Figura 2.3, tal que

T q

T q

=

=(2.21)

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x

y

T

q

Figura 2.3 subdiviso do contorno do corpo

As regies T e q so definidas de acordo com o tipo de condio de contorno considerada,

quais sejam:

a) Imposio de temperatura. Este caso corresponde ao tipo mais simples de condio de contorno, e

consiste basicamente em se especificar o valor da temperatura na regio T do contorno, ou seja

T T= em T (2.22)

onde T a temperatura conhecida no contorno T .

b) Imposio de fluxo de calor. Neste caso, considera-se o equilbrio de fluxo de calor em um

elemento infinitesimal na regio q do contorno, conforme indica a Figura 2.4.a

x

y

T

q

n

xq

yq

coss Q

nq

n

s

sens

(a) (b)

Figura 2.4 Equilbrio de fluxo no contorno. a) Corpo com detalhe do elemento infinitesimal no

contorno; b) fluxos de calor no elemento infinitesimal;

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

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A Figura 2.4.b mostra um detalhe do elemento diferencial com as componentes de fluxo de

calor que atuam no contorno do elemento. Nesta figura,

cos

senx

y

nn

= =

n (2.23)

o vetor normal unitrio a superfcie do contorno, com sendo o ngulo que este vetor normal forma

com o eixo das abscissas; s o comprimento da face do elemento triangular referente ao contorno do

corpo; e nq o valor conhecido do fluxo normal superfcie no contorno q .

De acordo com a Figura 2.4.b , para que haja equilbrio de fluxo de calor no contorno, a

seguinte equao deve ser satisfeita

21 cos sen cos sen 02 x y n

Q s q s q s q s + + + = . (2.24)

Dividindo a equao por s , tem-se

1 cos sen cos sen 02 x y n

Q s q q q + + + = . (2.25)

Levando esta expresso ao limite quando o lado s tende a zero, observa-se que o primeiro

termo desaparece. Assim, a equao fica

x x y y nq n q n q = , (2.26)

ou de forma mais compacta,

T nq =q n em T (2.27)

2.1.2. Resumo das equaes

Por convenincia, as equaes que governam o problema de conduo de calor, na forma forte,

so resumidamente apresentadas no quadro abaixo:

Forma forte da equao que governa o problema

T ( ) 0 emT Q + = q (2.28)

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Relao constitutiva do meio (Lei de Fourier)

( ) emT T= q (2.29)

Condies de contorno

T

em

emT

n q

T T

q

=

= q n(2.30)

O problema de conduo de calor consiste em se resolver a equao diferencial parcial (PDE,

Partial Differential Equation) (2.28), considerando a relao constitutiva (2.29) do material, e

satisfazendo as codies de contorno (2.30). Este tipo de problema comumente denominado

problema de valor de contorno (BVP, Boundary Value Problem)

As equaes apresentadas no quadro acima so expressas na chamada forma forte, o que

significa que estas equaes devem ser satisfeitas pontualmente, ou seja, a soluo do problema

consiste em satisfazes estas equaes, para qualquer ponto (x,y) do meio.

2.1.3. Forma fraca das equaes governantes do problema

A obteno da forma fraca das equaes que governam o problema consiste no estabelecimento

de equaes integrais sobre o domnio e o contorno do corpo, referentes satisfao destas

equaes em um sentido mdio (ao contrrio do sentido restrito pontual da forma forte).

Nos desenvolvimentos seguintes, utiliza-se a notao compacta de diferenciao em relao as

variveis x e y, tal que

2 2, , , ,2, , ,x y xx xyx y y xy

= = = =

(2.31)

A forma fraca das equaes governantes pode ser obtida seguindo-se os seguintes passos:

1o Passo) Multiplica-se a eq. (2.28) por uma funo arbitrria ( , )w x y , denominada, funo teste, tal

que

( )T( , ) 0( )w x y T Q = +q (2.32)

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

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ou seja,

( ), ,( , ) 0x x y yq q Qw x y + = (2.33)

2o Passo) Integra-se a equao acima sobre o domnio

( ), ,( , ) d 0x x y yq q Qw x y

+ = (2.34)

Observa-se que caso se determine o campo de temperatura ( , )T x y que resolva a eq. (2.28), ou

seja, caso a eq. (2.28) seja satisfeita, ento a eq. (2.34) tambm automaticamente satisfeita para

qualquer que seja a funo ( , )w x y . Por outro lado, pode-se demonstrar que caso se determine um

campo de temperatura ( , )T x y que satisfaa a eq. (2.34) para qualquer que seja a funo ( , )w x y , ento

este campo a soluo da equao (2.28).

3o Passo) Faz-se integrao por partes da equao acima, utilizando-se o teorema integral de Gauss.

Para isso, inicialmente transfere-se as derivadas da funo xq e yq para a funo teste w , utilizando-

se a regra de derivada do produto

, , ,

, , ,

( )

( )x x x x x x

y y y y y y

wq wq w q

wq wq w q

=

= (2.35)

tal que

( )

( )

, ,

, , , ,

d

( ) ( ) d

x x y y

x x y y x x y y

q q Qw

wq wq w q w q wQ

+ =

+

(2.36)

Utiliza-se, ento, o teorema integral de Gauss, tal que

( ) ( )

( )

, ,

T

( ) ( ) ( ) ( )d d

d

d

x x y y x x y y

x x y y

wq wq wq n wq n

q n q nw

w

+ + =

+=

=

q n

(2.37)

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

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Assim, substitutindo-se a eq. (2.37) em (2.36), chega-se a

( )

( )

, ,

T, ,

0 d

d d

x x y y

x x y y

q q Qw

w q w q wQ w

+ =

= +

q n(2.38)

4o Passo) Considera-se as condies de contorno (2.30), tal que

T T T

T

d d d

d d

T q

T q

n

w w w

w wq

= +

=

q n q n q n

q n(2.39)

Observa-se que o termo T q n igual a nq em q , sendo portanto perfeitamente conhecido nesta

regio do contorno. Porm, o termo T q n desconhecido em T . Esta dificuldade pode ser resolvida

eliminando-se a incgnita q , atravs da seguinte restrio na funo teste

( , ) 0w x y = em T (2.40)

tal que o termo

T d 0T

w S

= q n (2.41)

As funes teste ( , )w x y que satisfazem a condio (2.40) so denominadas funes

admissveis.

Assim, substituindo-se a eq. (2.41) em (2.39), e o resultado em (2.38), esta pode ser reescrita

como

( ), , d d 0q

x x y y nw q w q wQ wq

= (2.42)

ou seja, de forma mais compacta

( )T d d dq

nwQ wqw

= + q (2.43)

Esta equao consiste na forma fraca do problema de conduo de calor. Observa-se que esta

equao independe das propriedades do material (relaes constitutivas) do meio.

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

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Considerando a relao constitutiva do meio dada pela eqs. (2.29) (Lei de Fourrier), e levando

em conta ainda que w uma funo escalar ( Tw w= ), a eq. (2.43) pode ser escrita como

( ) T TT ( )d d dq

nT w Q w qw

= + (2.44)

Esta equao consiste na forma fraca do problema de conduo de calor para um material

obedecendo as relaes constituivas do material referentes s leis de Fourrier.

A soluo do problema nesta forma fraca consiste em se determinar o campo de temperaturas

( , )T x y satisfazendo a eq. (2.44), para toda funo teste ( , )w x y admissvel. Uma soluo aproximada

para este problema pode ser obtida atravs do mtodo dos Elementos Finitos, descrito na prxima

seo.

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

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3. Aplicao do MEF ao problema de Conduo de Calor

Conforme discutido anteriormente, a idia bsica do MEF consiste em discretizar (subdivir) o

domnio do problema utilizando-se uma malha de elementos finitos. Na malha, os elementos so

interligados atravs dos ns, conforme indica a Figura 1.1.

O passo inicial para utilizao do MEF consiste na etapa de criao da malha de elementos

finitos pelo usurio. Para isso, o usurio especifica a localizao dos ns, utilizando-se um sistema de

coordenadas cartesianas, em um posicionamento arbitrrio, conforme ilustra a Figura 3.1.

29

12

10

11

8

7

4

3

65

1

x

y1 1( , )x y

2 2( , )x y

3 3( , )x y

4 4( , )x y

Figura 3.1 Especificao da posio dos ns da malha.

Em geral, o nmero de graus de liberdade por n da malha est relacionado com o tipo e a

dimenso do problema em questo. No caso de problema de potencial, o objetivo inicial a

determinao de um campo escalar correspondente soluo do problema. Por exemplo, no problema

de conduo do calor, objetiva-se determinar o campo de temperaturas, o qual consiste em um campo

escalar. Neste caso, os elementos empregados na anlise devem possui um grau de liberdade (gdl) por

n, independentemente da dimenso do problema (se uni, bi ou tridimensional).

No problema de conduo de calor, quando se utiliza o MEF, as incgnitas principais do

problema so as temperaturas nodais, ou seja, so os valores do campo de temperaturas avaliados nos

ns da malha. Essas temperaturas nodais podem ser armazenadas em um arranjo unidimensional

(vetor) da seguinte maneira

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

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1

2

3

gN

TTT

T

=

T , (2.45)

onde 1T a temperatura correspondente ao gdl 1, 2T a temperatura correspondente ao gdl 2, e assim

por diante, at o nmero de graus de liberdade gN da malha.

Atravs do MEF, a equao diferencial que governa o problema transformada em um sistema

de equaes algbricas do tipo

=KT F (2.46)

Onde K uma matriz de condutividade do problema, (em geral denominada matriz de rigidez),

de ordem g gN N , e F um vetor de coeficientes (em geral denominado vetor de foras), de ordem

1gN , e T o vetor de incgnitas.

No caso do problema de conduo de calor, F tem o sentido de fontes concentradas de calor

(calor por unidade de tempo) nos ns da malha

1

2

3

gN

FFF

F

=

F (2.47)

onde 1F a fonte de calor correspondente ao gdl 1, 2F a fonte correspondente ao gdl 2, e assim por

diante, at o nmero de graus de liberdade gN da malha.

A idia de fonte de calor concentrada pode ser inserida no contexto do problema contnuo

desenvolvido anteriormente considerando-se uma funo ( , )Q x y taxa de gerao de calor, pontual, ou

seja, uma funo nula em todo o domnio, exceto em um determinado ponto P (funo singular, ou

delta de Dirac). Utilizando-se esta idia, tem-se que (ver eq. (2.44))

( , ) ( , )d ( , )P P c P cP Pw x y Q x y w x y F w F

= = (2.48)

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

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onde PcF corresponde a fonte de calor concentrada no ponto P, e Pw corresponde funo teste

avaliada neste ponto.

Como podem haver vrias fontes de calor concentras na malha de elementos finitos,

conveniente reescrever a eq. (2.44) como,

( ) T TT

1

T T T

( )d d d

d d

P

q

q

N

n P cPP

n c

T w Q w q w Fw

w Q w q

=

= + +

= + +

w F(2.49)

onde w um vetor tal que

1 1 1

2 2 2

3 3 3

( , )( , )( , )

( , )g g g

w x y ww x y ww x y w

w x y w

= =

w (2.50)

e

1

2

3

g

c

c

cc

cN

FFF

F

=

F (2.51)

o vetor contendo as fontes de calor concentradas nos ns da malha. Caso no exista fonte de calor

concentrada em um determinado n, ento a respectiva componente no vetor cF nula.

3.1. Formulao do elemento finito tringular linear para o problema deconduo de calor bidimensional

A apresentao a seguir utiliza a idia intuitiva, comum na engenharia, de se resolver um

problema complexo, sudvidindo-o em problemas menores mais simples. Assim, o desenvolvimento a

seguir mostra inicialmente a formulao de um elemento finito simples, e posteriormente, apresenta

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

21

como este elemento considerado na soluo do problema global, considerando toda a malha de

elementos finitos.

A partir dos valores das temperaturas nos ns de um elemento pode-se determinar o valor do

campo de temperatura em um ponto qualquer no interior do elemento, realizando-se uma interpolao

dos valores nodais. Esta interpolao pode ser linear, quadrtica, ou referente a qualquer outra funo

polinomial, dependendo do nmero de ns do elemento. Na verdade, pode-se tambm utilizar outras

funes de interpolao alm das funes polinomiais, tais como funes trigonomtricas,

exponenciais, etc.

Um dos elementos finitos mais simples j desenvolvidos o elemento finito triangular com

interpolao linear. Este elemento apresenta uma forma tringular, com trs ns I, J, e K posicionados

nos vrtices do tringulo, conforme indica a Figura 3.2.

x

y( , )I II x y

( , )K KK x y

( , )J JJ x y

Figura 3.2 Elemento finito triangular linear, com referncia ao sistema de eixos cartesianos.

Na Figura 3.2 esto indicadas as coordenadas ( , )I Ix y , ( , )J Jx y e ( , )K Kx y , dos ns I, J, e K,

respectivamente, do elemento triangular. Estas coordenadas so fornecidas como dados de entrada do

problema.

O elemento triangular linear, quando utilizado em problemas de conduo de calor, possui um

grau de liberdade por n, totalizando trs graus de liberdade, quais sejam os valores IT , JT , e KT .

Estes graus de liberdade correspondem ao valor do campo de temperatura avaliado nos ns I, J, e K do

elemento. Estes graus de liberdade so armazenados no vetor de temperaturas nodais eT do elemento

Ie

J

K

TTT

=

T (2.52)

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

22

A seguir determinam-se as funes de intepolao do elemento, as quais permitem calcular o

valor do campo de temperatura T em um ponto ( , )x y qualquer no interior deste elemento.

3.1.1. Funes de forma do elemento

A formulao do elemento triangular linear baseia-se na hiptese de que, no interior do

elemento, o campo de temperatura seja uma funo linear das coordenadas ( , )x y . Assim, assume-se o

seguinte campo de temperatura

1 2 3( , )T x y a a x a y= + + (2.53)

onde 1a , 2a e 3a so constantes a serem determinadas. A eq. (2.53) pode ser escrita de forma mais

compacta como

( , ) ( , )T x y x y= x a (2.54)

onde1 x y=x (2.55)

e

1

2

3

aaa

=

a (2.56)

O vetor a, contendo as constantes, pode ser determinado atravs da imposio do valor da

temperatura em cada n, ou seja

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( , )( , )( , )

I I I I I

J J J J J

K K K K K

T x y a a x a y TT x y a a x a y TT x y a a x a y T

= + + == + + == + + =

(2.57)

As eqs. (2.57) podem ser reescritas na forma matricial como

1

2

3

111

II I

JJ J

KK K

a Tx ya Tx ya Tx y

=

(2.58)

ou, em forma, mais compacta

e=Ga T (2.59)

onde

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

23

111

I I

J J

K K

x yx yx y

=

G (2.60)

uma matriz contendo as coordenadas dos ns do elemento.

Pode-se determinar o vetor de constantes a, invertendo-se a eq. (2.59)

1 e=a G T (2.61)

onde

1( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )det( )

( ) ( ) ( )

J K K J K I I K I J J I

J K K I I J

K J I K J I

x y x y x y x y x y x yy y y y y yx x x x x x

=

GG

(2.62)

com

det( ) ( ) ( )J K I J K I J I K J I Kx y x y x y x y x y x y= + + + +G (2.63)

Conforme apresentado no Apndice A, o determinante da matriz G corresponde duas vezes a

rea tA do elemento, ou seja

2 det( )tA = G (2.64)

Substituindo a eq. (2.61) na eq. (2.54), chega-se a

1( , ) ( , ) eT x y x y = x G T (2.65)

ou ainda,

( , ) ( , ) eT x y x y= N T (2.66)

onde1( , ) ( , )x y x y =N x G (2.67)

Considerando a eq. (2.64), e desenvolvendo o produto dado na equao acima, chega-se a

1 2 3( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y N x y N x y N x y=N (2.68)

onde

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

24

( )

( )

( )

1

2

3

1( , ) ( ) ( ) ( )2

1( , ) ( ) ( ) ( )21( , ) ( ) ( ) ( )

2

J K K J J K K Jt

K I I K K I I Kt

I J J I I J J It

N x y x y x y y y x x x yA

N x y x y x y y y x x x yA

N x y x y x y y y x x x yA

= + +

= + +

= + +

(2.69)

A matriz ( , )x yN uma matriz contendo funes de interpolao dos graus de liberdade

nodais, neste caso, das temperaturas nodais. Esta matriz usualmente denominada matriz de funes

de forma. Observando a eq. (2.66), conclui-se que a matriz de funes de forma permite determinar a

temperatura T em um ponto ( , )x y qualquer do elemento, a partir dos valores das temperaturas nodais

eT .

Uma interpretao geomtrica dos termos da matriz de funes de forma apresentada no

Apndice A.

3.1.2. Derivadas das funes de forma do elemento

Na soluo do problema de conduo de calor, torna-se necessrio o clculo de derivadas do

campo de temperatura ( , )T x y , conforme se observa na eq. (2.44) onde considera-se o gradiente deste

campo. As derivadas do campo de temperatura, na formulao do elemento finito, pode ser facilmente

calculada a partir da eq. (2.66)

( , ) ( , ) ( , )e eT x y x y x y = =N T B T (2.70)

onde

1 2 3

31 2

31 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )( , ) ( , )

( , )( , ) ( , )

xx y x y N x y N x y N x y

yN x yN x y N x y

x x xN x yN x y N x y

y y y

= =

=

B N

(2.71)

Calculando as derivadas das funes de forma em relao s coordenadas cartesianas (ver eqs.

(2.68) e (2.69)), chega-se a

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

25

( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )2

J K K I I J

K J I K J It

y y y y y yx x x x x xA

=

B (2.72)

3.1.3. Interpolao da funo teste

Analogamente ao campo de temperatura ( , )T x y , a funo teste ( , )w x y no interior de cada

elemento tambm pode ser obtida por interpolao de valores nodais

Ie

J

K

www

=

w (2.73)

utilizando-se a mesma matriz de funes de forma ( , )x yN (ver eq. (2.66)). Ou seja,

( , ) ( , ) ew x y x y= N w (2.74)

Da mesma forma, o gradiente de ( , )w x y , necessrio na eq. (2.44), tambm pode ser obtido de

forma similar ao gradiente da temperatura ( , )T x y (ver eq. (2.70)), resultando em

( , ) ( , ) ew x y x y = B w (2.75)

3.1.4. Matriz de condutividade do elemento

A eq. (2.49) vlida para um domnio de formato qualquer, e tambm, para qualquer

subdomno dentro do domnio original. Assim, pode-se particularizar esta equao para um

subdomnio referente a um elemento finito, ou seja,

( )TT TT ( )d d d

e e eq

e en cT w Q w qw

= + + w F (2.76)

onde e , e e correspondem, respectivamente, ao domnio e contorno de um elemento, e

ec I

e ec c J

ec K

F

F

F

=

F (2.77)

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

26

o vetor de fluxos nodais do elemento.

A substituio das eqs. (2.70), (2.75), e (2.74) em (2.76), leva a

T T T TT T Td d de e e

q

e e e e e en cQ q

= + + w B B T w N w N w F (2.78)

Colocando-se o termo Tew em evidncia, chega-se a

T T T Td d d 0e e e

q

e e en cQ q

= w B B T N N F (2.79)

O vetor ew deve ser completamente arbitrrio; portanto, conclui-se que

T T Td d de e e

q

e en cQ q

= + + B B T N N F (2.80)

ou, de forma mais compacta,

e e e=K T F (2.81)

onde

T de

e

= K B B (2.82)

matriz de condutividade (ou de rigidez) do elemento, e

T Td de e

q

e en cQ q

= + + F N N F (2.83)

o vetor de fontes nodais total (ou vetor de foras) do elemento.

Os dois primeiros termos do lado direito da eq. (2.83), correspondem s parcelas de fluxo nodal

equivalentes aos fluxos de calor distribudo no domnio (por unidade de volume) e no contorno do

elemento (por unidade de superfcie). Estas parcelas podem ser agrupadas em um nico vetor,

T Td de e

q

eq nQ q

= + F N N (2.84)

tal que

e e eq c= +F F F (2.85)

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

27

3.2. Montagem da matriz de condutividade e do vetor de fontes nodais domodelo

A partir das matrizes de condutividade e vetores de fontes nodais dos elementos que formam a

malha de elementos finitos, pode-se obter a matriz de condutividade e a matriz de fontes nodais do

modelo.

Para isso, ser utilizado como exemplo uma malha simples ilustrada na Figura 3.3.

5

2 3

4

1

a

b c

d

Figura 3.3 Malha simples de Elementos Finitos

Na discusso seguinte, considera-se a conectividade dos elementos para a malha da Figura 3.3,

conforme especificada na Tabela 3.1.

Elemento N I N J N K

a 2 3 1

b 2 1 4

c 3 5 1

d 1 5 4

Tabela 3.1 Tabela de incidncia nodais dos elementos

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

28

3.2.1. Relao entre os vetores de temperaturas nodais do elemento e do modelo

Seja T o vetor de temperaturas nodais da malha representada na Figura 3.3

1

2

3

4

5

TTTTT

=

T (2.86)

O vetor de temperaturas nodais do elemento a

2

3

1

aI

a aJaK

T TT T

TT

= =

T (2.87)

Observa-se que a equao acima pode ser escrita como o seguinte produto matricial

1

2

3

4

5

0 1 0 0 00 0 1 0 01 0 0 0 0

aI

a aJaK

TT TT T

TTT

= =

T (2.88)

ou ainda,a a=T H T (2.89)

onde

0 1 0 0 00 0 1 0 01 0 0 0 0

a =

H (2.90)

denominada matriz de incidncia do elemento a.

Procedendo-se de forma anloga, chega-se as seguintes relaes para os outros elementos

b b

c c

d d

=

=

=

T H T

T H T

T H T

(2.91)

onde

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

29

0 1 0 0 01 0 0 0 00 0 0 1 0

0 0 1 0 00 0 0 0 11 0 0 0 0

1 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 0

b

c

d

= = =

H

H

H

(2.92)

so as matrizes de incidncia dos elementos b, c e d, respectivamente.

Deve-se notar que o nmero de linhas da matriz de incidncia de um elemento igual ao

nmero de graus de liberdade do elemento (neste caso, trs, para o elemento triangular linear), e o

nmero de colunas igual ao nmero de graus de liberdade do modelo (neste caso, cinco, para a malha

mostrada na Figura 3.3). A matriz de incidncia de cada elemento facilmente determinada pelas

seguintes regras simples:

1) Para a primeira linha, tem-se o valor um na coluna correspondente ao n I do elemento,

com as demais colunas iguais a zero;

2) Para a segunda linha, tem-se o valor um na coluna correspondente ao n J do elemento,

com as demais colunas iguais a zero;

3) Para a terceira linha, tem-se o valor um na coluna correspondente ao n K do elemento,

com as demais colunas iguais a zero;

ou seja, de forma mais geral, tem-se para cada linha n, o valor 1 na coluna correspondente ao grau de

liberdade do n n, com as demais colunas iguais a zero.

3.2.2. Relao entre os vetores de fontes nodais do elemento e do modelo

Seja F o vetor de fontes nodais da malha mostrada na Figura 3.3

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

30

1

2

3

4

5

6

FFFFFF

=

F (2.93)

O vetor de fontes nodais do elemento a

aI

a aJaK

F

F

F

=

F (2.94)

Analogamente, para os outros elementos, tm-se

b c dI I I

b b c c d dJ J Jb c dK K K

F F F

F F F

F F F

= = =

F F F (2.95)

Uma condio de equilbrio a ser satisfeita, que a soma das fontes nodais, referentes a um

n comum, de cada elemento que esto conectados a este n comum, deve ser igual fonte nodal total

aplicada deste n. Ou seja, para o n 1, tem-se

1a b c dK J K IF F F F F= + + + (2.96)

Analogamente, tm-se para os demais ns

2

3

4

5

a bI Ia cJ Ib dK Kc dJ J

F F F

F F F

F F F

F F F

= +

= +

= +

= +

(2.97)

As eqs. (2.96) e (2.97) podem ser escritas na seguinte forma matricial

1

2

3

4

5

0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 01 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0

a b cI I Ia b cJ J Ja b cK K K

FF F FFF F FF

F F F FF

= + + +

0 0 00 0 10 1 0

dIdJdK

F

F

F

(2.98)

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

31

Observa-se que as matrizes mostradas na equao acima correspondem s matrizes transpostas

das matrizes de incidncia de cada elemento. Assim, a equao acima pode ser escrita, de forma

compacta, como

T T T Ta a b b c c d d= + + +F H F H F H F H F (2.99)

Para escrever a equao acima na forma de somatrio, pode-se definir 1a , 2b , 3c e

4d . Assim,

T T T T1 1 2 2 3 3 4 4= + + +F H F H F H F H F (2.100)

ou seja,

T

1

en e e

e== F H F (2.101)

onde e representa um elemento genrico e en o nmero de elementos da malha (neste caso, 4en = ).

Atravs da eq. (2.101), pode-se, portanto, determinar o vetor de fontes nodais da malha.

3.2.3. Obteno da matriz de condutividade do modelo

A eq. (2.81) apresenta a relao entre os vetores de temperaturas e fontes nodais de um

elemento genrico e. Assim, para a malha da Figura 3.3, pode-se escrever

a a a b b b c c c d d d= = = =F K T F K T F K T F K T (2.102)

Substituindo as equaes acima na eq. (2.99), tem-se

T T T Ta a a b b b c c c d d d= + + +F H K T H K T H K T H K T (2.103)

Substituindo, agora, as eqs. (2.89) e (2.91) na equao acima, tem-se

T T T Ta a a b b b c c c d d d= + + +F H K H T H K H T H K H T H K H T (2.104)

Colocando o vetor de temperaturas nodais do modelo T em evidncia, chega-se a

T T T T( )a a a b b b c c c d d d= + + +F H K H H K H H K H H K H T (2.105)

ou ainda,

=F KT (2.106)

onde

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

32

T T T Ta a a b b b c c c d d d= + + +K H K H H K H H K H H K H (2.107)

a matriz de condutividade (ou de rigidez) do modelo. Esta equao tambm pode ser escrita na forma

de somatrio, seguindo a idia utilizada na eq. (2.101). Assim, em geral, pode-se obter a matriz de

rigidez do modelo, atravs do seguinte somatrio

T

1

en e e e

e== K H K H (2.108)

Atravs da eq.(2.108), pode-se, portanto, determinar a matriz de condutividade da malha.

Embora as eqs. (2.101) e (2.108) tenham sido deduzidas para o malha mostrada na Figura 3.3,

estas equaes so completamente genricas, podendo ser utilizadas para qualquer outra malha de

elementos finitos. Para isso, deve-se apenas determinar a matriz de incidncia associada a cada

elemento para a malha em questo.

Deve-se ressaltar que embora as eqs. (2.101) e (2.108) representem teoricamente a forma de

obteno do vetor de fontes nodais, e da matriz de condutividade do modelo, na prtica, este processo

torna-se ineficiente para malhas refinadas (com muitos elementos), em funo da grande quantidade de

zeros presente nas matrizes de incidncia. Assim, na prtica, utiliza-se um algoritmo computacional

para montagem do vetor de fontes nodais e matriz de condutividade da malha, o qual evita a

multiplicao desnecessria dos nmeros zero presentes nas matrizes de incidncia dos elementos.

3.3. Imposio das condies de contorno e soluo do sistema de equaes

Caso as temperaturas nodais de todos os ns da malha fossem conhecidas, as fontes nodais

poderiam ser facilmente determinadas atravs da eq. (2.106). Entretanto, em situaes prticas, se

conhece a temperatura nodal de alguns ns, e a fonte nodal dos demais ns.

Para a determinao dos valores desconhecidos das fontes e temperaturas nodais, deve-se

numerar os graus de liberdade da malha, de tal maneira que os ns com fonte nodal prescrita

(conhecida) sejam numerados primeiro, e os ns com temperatura prescrita (conhecida) sejam

numerados por ltimo.

Por exemplo, considera-se a malha da Figura 3.3. Neste caso, a eq. (2.106) pode ser escrita na

forma expandida como

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

33

11 12 13 14 15 1 1

21 22 23 24 25 2 2

31 32 33 34 35 3 3

41 42 43 44 45 4 4

51 52 53 54 55 5 5

K K K K K T FK K K K K T FK K K K K T FK K K K K T FK K K K K T F

=

(2.109)

Considera-se agora, que as fontes nodais sejam prescritas para os ns 1, 2 e 3, e que as

temperaturas sejam prescritas para os ns 4 e 5. Com isso, pode-se particionar o sistema acima, da

seguinte maneira,

11 12 13 14 15 1 1

21 22 23 24 25 2 2

31 32 33 34 35 3 3

41 42 43 44 45 4 4

51 52 53 54 55 5 5

K K K K K T FK K K K K T FK K K K K T F

K K K K K T FK K K K K T F

=

(2.110)

ou de forma mais compacta

00 01 0 0

10 11 1 1

=

K K T FK K T F

(2.111)

onde

11 12 13 14 15 1 1

00 21 22 23 01 24 25 0 2 0 2

31 32 33 34 35 3 3

41 42 43 44 45 4 410 11 1 1

51 52 53 54 55 5 5

K K K K K T FK K K K K T FK K K K K T F

K K K K K T FK K K K K T F

= = = =

= = = =

K K T F

K K T F

(2.112)

Desta forma, deve-se notar que os vetores 1T e 0F so conhecidos, ao passo que os vetores 0T

e 1F so desconhecidos.

Desenvolvendo a eq. (2.111), tem-se

00 0 01 1 0

10 0 11 1 1

+ =+ =

K T K T FK T K T F

(2.113)

Com isso, o vetor de temperaturas nodais 0T pode ser calculado, a partir da primeira das

equaes acima,

( )10 00 0 01 1= T K F K T (2.114)

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

34

Aps a determinao de 0T , o vetor de fontes nodais 1F , pode ser calculado diretamente

utilizando-se a segunda das eqs. (2.113)

1 10 0 11 1= +F K T K T (2.115)

3.4. Resumo das etapas de anlise pelo MEF

As etapas de anlise pelo Mtodo dos elementos finitos so descritas resumidamente abaixo:

1) Montagem da matriz de condutividade do material (eq. (2.10)) para cada elemento

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )xx xy

xy yy

x y x yx y

x y x y

= =

(2.116)

2) Montagem da matriz com as derivadas das funes de forma (eq. (2.72)) para cada elemento

( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )2

J K K I I J

K J I K J It

y y y y y yx x x x x xA

=

B (2.117)

3) Determinao da matriz de condutividade para cada elemento, atravs da eq. (2.82)

T de

e

= K B B (2.118)

Para o caso particular do elemento triangular linear, com material homogneo, as matrizes e B

so constantes (independentes de x e y). Assim, a matriz de condutividade do elemento pode ser

obtida como

TetA t=K B B (2.119)

4) Determinao do vetor de fontes ou fluxos nodais para cada elemento, atravs da eq. (2.83)

T Td de e

q

e en cQ q

= + + F N N F (2.120)

Para o caso particular do elemento triangular linear, com fonte Q constante, e fluxo normal

prescrito no contorno do elemento nq nulo, o vetor eF pode ser obtido como

O MEF aplicado ao Problema de Conduo de Calor Remo M. de Souza

35

111

e et cQA t

= +

F F (2.121)

5) Determinao da matriz de incidncia eH para cada elemento, conforme explicado na seo 3.2.1.

6) Montagem da matriz de condutividade do modelo de acordo com a eq. (2.108)

T

1

en e e e

e== K H K H (2.122)

7) Montagem do vetor de fontes nodais do modelo de acordo com a eq. (2.101)

T

1

en e e

e== F H F (2.123)

Na verdade, apenas se conhece uma parte deste vetor, denominada 0F , em funo das condies

de contorno. Aps a montagem do vetor F total como mostrado acima, extrai-se a parte 0F deste vetor,

e ignora-se a parte 1F , a qual ser recalculada posteriormente.

8) Montagem da parte conhecida 1T do vetor de temperaturas nodais

9) Partio do sistema de equaes =KT F , considerando as condies de contorno, de acordo coma seo 3.3.

00 01 0 0

10 11 1 1

=

K K T FK K T F

(2.124)

10) Soluo do sistema de equaes, de acordo com as eqs. (2.114) e (2.115)

( )10 00 0 01 1= T K F K T (2.125)

1 10 0 11 1= +F K T K T (2.126)

11) Montagem do vetor de temperaturas nodais do modelo

0

1

=

TT

T(2.127)

12) Determinao do vetor de temperaturas nodais de cada elemento, utilizando-se a matriz deincidncia.

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36

e e=T H T (2.128)

13) Determinao do gradiente de temperatura no interior de cada elemento (eq. (2.70)

eT = BT (2.129)

14) Determinao do fluxo de calor no interior de cada elemento (eq. (2.9)).

T= q (2.130)

Com isto, tem-se a soluo do problema de conduo de calor por elementos finitos, utilizando-

se o elemento triangular linear.

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37

A. Interpretao geomtrica das funes de forma do elemento

Equation Section 1

Para possibilitar uma intepretao geomtrica dos termos da matriz de funes de forma

( , )x yN , deve-se inicialmente, calcular a rea do elemento triangular. Isto pode ser feito facilmente

calculando-se a norma do produto vetorial entre dois vetores r e s definidos arbitrariamente por duas

arestas do elemento, conforme ilustra a Figura A.1.

x

y( , )I II x y

( , )K KK x y

( , )J JJ x yr

s

Figura A.1 Vetores definidos pelas arestas do elemento, para determinao da rea do tringulo.

e0 0

x J I x K I

y J I y K I

z z

r x x s x xr y y s y y

r s

= = = =

r s (A.1)

A rea tA do elemento pode ser calculada como

12t

A = r s (A.2)

Assim,

( )

( ) ( ) 0( ) ( ) 0

0 0 ( )( ) ( )( )

x y z J I J I

K I K Ix y z

J I K I K I J I

r r r x x y yx x y ys s s

x x y y x x y y

= =

= + +

i j k i j kr s

i j k

(A.3)

onde i , j e k so os vetores base unitrios (versores) do sistema de coordenadas cartesianas ( , , )x y z

conforme indica a Figura A.1.

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38

Substituindo-se a eq. (A.3) na eq. (A.2), chega-se a

( )

( )

1 1 ( )( ) ( )( )2 21 ( ) ( )2

t J I K I K I J I

J K I J K I J I K J I K

A x x y y x x y y

x y x y x y x y x y x y

= =

= + + + +

r s(A.4)

Comparando as equaes (2.63) e (A.4), conclui-se que

det( ) 2 tA=G (A.5)

ou seja, o determinante da matriz G corresponde a duas vezes a rea do elemento.

Para interpretao geomtrica dos outros termos da matriz ( , )x yN considera-se um ponto P de

coordenadas ( , )x y no interior do elemento, e divide-se o elemento em trs tringulos com vrtice em

P, conforme mostra a Figura A.2.

x

y( , )I II x y

( , )K KK x y

( , )J JJ x y

( , )P x y2A

3A

1A

Figura A.2 Sub-reas no interior do elemento, definidas por um ponto P de coordenadas ( , )x y .

Desta forma, o clculo da rea 1A do tringulo definido pelos pontos P, J e K pode ser

calculada utilizando-se a eq. (A.4), com as variveis x e y, no lugar de Ix e Iy , respectivamente

( )

( )

11( , ) ( ) ( )21 ( ) ( ) ( )2

J K J K J K J K

J K K J J K K J

A x y x y xy x y x y x y xy

x y x y y y x x x y

= + + + +

= + + (A.6)

De forma similar, tem-se, para as reas 2A e 3A

( )21( , ) ( ) ( ) ( )2 K I I K K I I K

A x y x y x y y y x x x y= + + (A.7)

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( )31( , ) ( ) ( ) ( )2 I J J I I J J I

A x y x y x y y y x x x y= + + (A.8)

Comparando as eqs. (A.6), (A.7) e (A.8) com os elementos da matriz ( , )x yN na eq. (2.67), e

considerando ainda a eq. (A.5), conclui-se que a matriz de funes de forma pode ser expressa como

31 2 ( , )( , ) ( , )( , )t t t

A x yA x y A x yx yA A A

=N (A.9)

ou ainda como,

1 2 3( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y N x y N x y N x y=N (A.10)

com

31 21 2 3

( , )( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )t t t

A x yA x y A x yN x y N x y N x yA A A

= = = (A.11)

sendo denominadas coordenadas naturais do tringulo. interessante observar que a medida que o

ponto P se aproxima do n I por exemplo, 1 1N , 2 0N e 3 0N . Quando o ponto P se situa

exatamente sobre o n I, isto , quando Ix x= e Iy y= , tem-se que 1( , ) 1I IN x y = , 2 ( , ) 0I IN x y = , e

3( , ) 0I IN x y = . Em geral, esta importante propriedade das funes de forma pode ser expressa como

1se ( , )

0 se L M ML M

N x yL M=

= (A.12)

onde considera-se que a numerao dos ns do elemento tal que, 1I , 2J e 3K .

Autor: Prof. Remo Magalhes de Souza, M.Sc., Ph.Belm 05/2003IntroduoIdia bsica do Mtodo dos Elementos FinitosCampos de aplicaoO conceito de grau de liberdade no MEF

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