O Pêndulo de Torção

Suspensão por Barra de Torção

Ponteiro, disco suspenso por fio metálico e recipiente com líquido o viscoso.

2

2

dt

dI

dt

dLzz

Torque de um disco.

kfioz Torque do fio.

Torque.

Para pequenas oscilações vale a lei de Hooke F = -k xNeste caso o atrito viscoso é com o ar e será desprezado.

kI

)tcos()t( max 0

I

k0

Freqüência angular para oscilações livres.

Robert Hooke

)tcos(A)t(

)t(senAdt

)t(d

)tcos(Adt

)t(d

22

2

)t(kdt

)t(dIkI

2

2

)tcos(kA)tcos(IA 2

kI 2

Vamos testar uma solução com a função cosseno!

Solução da equação do movimento:

Derivamos a função cosseno.

Substituimos na equação:

Obtemos a relação: A solução final será:

)tI

kcos()t( max

Para t=0 a constante A =max

Medida da constante elástica do fio.

I

k

T

00

2

2

0

02

2

TIk

TIk

Freqüência angular com dissipação desprezível.

Propagação dos erros na determinação de k.

Oscilações livres com amortecimento viscoso proporcional a velocidade angular.

kbI

)tcos(e)t( tmax 1

2

11 2

2

I

b

I

k

T

dt

db.visc

z

Torque da força viscosa

Freqüência angular com dissipação viscosa.

I

b

2 é o atrito viscoso.

)t(kdt

)t(db

dt

)t(dIkbI

2

2

xtAxedt

)t(d

xteAxdt

)t(d 22

2

xtAe)t(

xtxtxt kAebAxeeIAx 2

02 kbxIxI

k

I

b

I

bx

2

22

Vamos testar uma solução com a função:

As suas respectivas derivadas são:

Que, substituídas na equação resulta:

Solução da Equação do Movimento com Atrito Viscoso

a solução para x será:

tI

b

I

ki

I

b

eAe)t(

2

22

tI

k

I

b

I

b

Ae)t(

2

22

I

k quemenor muito é

I

b2

2

2

21

I

b

I

k

2

112

titiI

bee

Ae)t(

A solução fica na forma:

Mas! então o termo da raiz é complexo!

Escrevendo a raiz na forma:

Uma solução parcial será:

Observe que temos duas soluções possíveis!

e fazendo:

I

b

2

)tcos(e)t( max 1

2

21

I

b

I

k

A solução final tem a forma:

O termo de atrito viscoso é:

2

11

1

titi eetcos

Usando-se a relação de Euler:

A freqüência angular desta oscilação será:

Obs.: Algumas aproximações e simplificações na busca da soluçãoda equação do movimento com atrito viscoso foram feitas e devemser discutidas com o seu professor de teoria.

21

20

112

TT

A determinação de gamaLembre-se! Aqui a função exponencialdescreve apenas a dissipação do sistema.

Atenção! O termo exponencial não corresponde a função envoltória da função cossenoidal!

2

11 2

2

I

b

I

k

T

I

k

T

00

2

Revendo o caso não amortecido e amortecido crítico.

)tcos(e)t( tmax 1

)tcos()t( max 0

I

b

2