O PROCESSO GAUSSIANO - ee.ufpe.br · O PROCESSO GAUSSIANO 1 - Introdução 2 - Vetores Randômicos Gaussianos 3 - O Processo Randômico Gaussiano 4 - Formas de Onda de Faixa Estreita

O PROCESSO GAUSSIANO

Métodos Matemáticos IC

(Programa de Pós-graduação)

UFPE

O PROCESSO GAUSSIANOO PROCESSO GAUSSIANO

1 - I n t r o d u ç ã o

2 - Ve tore s R a n d ô m icos G a u ssia n o s

3 - O P r o c e s s o R a n d ô m i c o G a u ssia n o

4 - F o r m a s d e O n d a d e F a ixa E s t re i ta

5 - O P r o c e s s o R a n d ô m i c o d e F a ixa E s trei ta

6 - O P roce s so R a n d ô m ico G a u ssia n o d e F a ixaEs trei ta

AA p r e sen t a ç ã o

PROCESSOS GAUSSIANOSPROCESSOS GAUSSIANOS

A spec to s a S e r e m A n a lisa d o s

Ä E feito s d a s T ra n sfo r m a ç õ e s Lin e a r e s e mV e tore s R a n d ô m icos G a u ssia n o s

Ä P r o c e sso R a n d ô m i c o G a u ssia n o : D e fin içã o eP r o p r ied a d e s B á s i c a s

Ä A p r e sen t a ç ã o d e u m C a so E spec ia l:D e fin içã o e P r o p r ied a d es d e u m P r o c e s s oR a n d ô m i c o G a u s s i a n o d e F a ixa E s trei ta .

1. INTRODUÇÃO1. INTRODUÇÃO

Função Densidade de Probabilidade Gaussiana

O comportamento de umavariável aleatória é caracterizadopor sua distribuição deprobabilidade.

Uma variável aleatória égaussiana se sua densidade deprobabilidade fX(x) tem a forma:

( )∞+<<∞

−−= - ,

2exp

.2

1)(

2

2

xmx

xf Xσσπ

Função Densidade de Distribuição de uma Variável Gaussiana com Média m e Variância σσ

x

fx(x)

1. INTRODUÇÃO1. INTRODUÇÃO

Função Distribuição de Probabilidade Gaussiana

Por definição:

∫∞−

=

≤=x

X

X

dxxf

xXPxF

)(

)()(

Função Distribuição de uma Variável Gaussiana com Média m e Variância σσ

x

Fx(x)

Embora uma distribuição de probabilidade constitua uma descriçãocompleta da variável aleatória X, em geral é interessante procurarum conjunto de números simples que ressaltem as característicasdominantes da variável aleatória. (Os momentos associados a X)

1. INTRODUÇÃO

( )[ ] [ ] dxivxxf xfivxexpE v- XXX )(exp)()()( 1 ∫+∞

∞

− =ℑ=∆φ

−=

2exp)(

22σφ

vivmvX

A função característica de uma variável aleatória X é definida comosendo a esperança de um número complexo, ou seja, como atransformada inversa de Fourier da função densidade deprobabilidade:

Função Característica

1. INTRODUÇÃO

EXEMPLO: Calcular o n-ésimo momento associado à função:g(x) = Xn.

- Solução através de fX(x):

Determinação dos Momentos

Através da função característica, φX(x), é possível determinar, deforma bem mais simples, os momentos de qualquer variávelaleatória.

∫+∞

∞−

= dxxfXXE Xnn )()(

- Solução através de φX(x): )0()( )( nX

nn iXE φ−=

2. VETORES RANDÔMICOS GAUSSIANOS

( )

−−=

2

2

2.2

1)(

k

k

k

X

mxexpxf

k σσπ

Densidade de Probabilidade Conjunta Gaussiana

Seja X um vetor randômico de dimensão n cujas componentesX1, X2, ..., Xn são variáveis randômicas gaussianas mutuamenteindependentes com médias m1, m2, ..., mn e variâncias σ1

2, σ22, ..., σn

2,respectivamente, a densidade de probabilidade para o k-ésimocomponente é dada por:



Visto que as componentes do vetor X foram definidas como sendovariáveis randômicas gaussianas mutuamente independentes, afunção de probabilidade conjunta será dada por:

( )

mx

2

1 - exp

1

mx

2

1 - exp

1

xf ... xfxf )x,...,x,(xf

n

k k

kkn

kk

n

n

1k k

kk

k

nXXXn21XXX nn

−

=

−=

•••=

∑∏

∏

=

=

=

2

1

1

2

2

21,...,,

2

.2

)()()(2121

σσπ

σσπ



∆Γ

2

22

21

...00

............

0...0

0...0

n

σ

σσ

∆

nx

xx

X...

2

1

[ ]

=∆

n

x

m

m

m

XE m...

2

1

Utilizando a notação matricial para a equação apresentada, x, m eσ podem ser definidos como:

Matriz das CovariânciasMatriz das Médias



Sabendo-se quen21

1

... σσσσ •••=∏=

n

kk

e,

[ ]

22

22

2222

1

211

22

11

2

22

21

22111

1)(...

1)(

1)(

...

1000

......00

0...1

0

0...01

...)()(

nnn

nn

n

nnxTx

T

mxmxmx

mx

mx

mx

mxmxmxmXmX

σσσ

σ

σ

σ

−++−+−=

−

−−

•

•−−−=−Γ− −

Portanto, matricialmente, a função densidade de probabilidadeconjunta de um vetor randômico X de dimensão n, cujas componentessão variáveis randômicas gaussianas mutuamente independentes, édada por:

Pode-se dizer que,

e



21

1

Γ=∏=

n

kkσ ∑

=

−

−=−Γ−

n

k k

kkx

Tx

T mxmXmX

1

21 )()(

σ

−Γ−

Γ= − )()(

2

1 exp

)2(

1 (x) 1

212 xTx

TnX mXmX-f

π


Função Característica Conjunta

Desde que os componentes X1, X2, ... , Xn foram assumidos seremmutuamente independentes, a função característica conjunta é dadapelo produto das funções características individuais:

−=

−=

•••==

∑∑

∏

==

=

n

k

kkn

kkk

n

k

kkkk

nnXXXX

vmvi

vmiv

vvvvvvVn

1

22

1

1

22

X2X1X21,...,,

2exp

2exp

)( ... )()(),...,,()(n2121

σ

σ

φφφφφ



∆Γ

2

22

21

...00

............

0...0

0...0

n

σ

σσ

∆

nv

v

v

V...

2

1

[ ]

=∆

n

x

m

m

m

XE m...

2

1

Utilizando a notação matricial para a equação apresentada, v, m eσ podem ser definidos como:

Matriz das CovariânciasMatriz das Médias



[ ] 2222

22

21

21

2

1

2

22

21

21 ......

000......000...00...0

... nn

nn

nT vvv

v

vv

vvvVV σσσ

σ

σσ

+++=

•

•=Γ

Sabendo-se que

[ ] nn21

n

k1Tx vmvmvm

v

vv

mmm Vm +++=

•= ......

... 212

1

2

e



Γ−= VVVimV TT

xX 2

1exp)(φ

∑=

=n

kkk

Tx mvVm

1∑

==Γ

n

kkk

T vVV1

22σ

Pode-se dizer que,

e

Portanto, matricialmente, a função característica conjunta de um vetorrandômico X de dimensão n, cujas componentes são variáveisrandômicas gaussianas mutuamente independentes, é dada por:


Γ−= VVVimV TT

xX 2

1exp)(φ

U m v e t o r r a n d ô m i c o g a u s s ia n o X d e d im e n s ã o n , c u j a sc o m p o n e n t e s s ã o v a r iá v e i s r a n d ô m i c a s g a u s s ia n a sm u t u a m e n t e i n d e p e n d e n t e s , t em c o m o f u n ç ã o d e n s id a d ec o n j u n t a d e p r o b a b i l id a d e e f u n ç ã o c a r a c t e r í s t i c ac o n j u n t a , r e s p e c t i v a m e n t e :

−Γ−

Γ= − )()(

2

1 exp

)2(

1 (x) 1

212 xTx

TnX mXmX-f

π


Transformação Linear

Seja Y um vetor randômico de dimensão m (m ≤ n) definido comotransformação linear do vetor randômico gaussiano X:

∆

mnmm

n

n

ggg

gggggg

g

...............

...

...

21

22221

11211

nmnm2m1m

n2n22212

n1n12111

XgXgXg Y

XgXgXg YXgXgXg Y

+++=

+++=+++=

......

......

21

21

21

gXY =

Onde gjk é um número real arbitrárioe g é a matriz transformação:


Transformação Linear - Função Característica de Y

A função característica conjunta para o vetor Y é dada por:

= ∑

=

m

jjjnYYY YuiEuuu

n1

21,...,, exp),...,,(21

φ

Sendo Y = gX: ( )[ ]gXiuEu TY exp)( =φ

Porém,

( )[ ]YiuEu TY exp)( =φUtilizando a notação matricial:

( )[ ]ixVEVX exp)( =φ Logo, )()( ugu TXY φφ =


Porém, φY(u) está expressa em função da média (mx) e das variâncias(οx

2) do vetor X.

É necessário, portanto, analisar os termos mx e gΓgT em função de Y.

Γ−= ugguugimu TTTT

xY 2

1exp)(φ

Ou seja,

[ ] [ ] [ ] xgm Xg.E g.XE YE ===∆Ym

Então, TTx

TY gm m =

Sabe-se que:



T

mnmm

n

n

nmnmm

n

n

T

ggg

ggg

ggg

ggg

ggg

ggg

gg

••

σσ

σσσσ

••

==ΓΓ

...

............

...

...

...............

............

...

...

22

22221

11211

2

22

21

22

22221

11211

000

000

000

TggΓ=ΛFazendo:



( )kjjk YY cov ,∆λ

∆Λ

mmmm

m

m

λλλ

λλλλλλ

...

............

...

...

21

22221

11211

Porém, por definição, a matriz Λ é dada por::

Onde,


Portanto, a função característica conjunta para o vetor Y é dada por:

Λ−= uuuimu TT

YY 2

1exp)(φ


A f u n ç ã o c a r a c t e r í s t i c a c o n j u n t a d e um v e t o r r a n d ô m i c oY t e m e x a t am e n t e a m e s m a f o r m a d a f u n ç ã oc a r a c t e r í s t i c a c o n j u n t a d o v e t o r r a n d ô m i c o X , q u a n d o Yé d e f i n i d o c om o a t r a n s f o r m a ç ã o l in e a r d e X e q u a n d o o sc o m p o n e n t e s d e X s ã o v a r i á v e i s r a n d ô m i c a s g a u s s ia n a sm u t u a m e n t e i n d e p e n d e n t e s .


Λ−= uuuimu TT

YY 2

1exp)(φ

Γ−= VVVimV TT

xX 2

1exp)(φ


Λ−= uuuimu TT

YY 2

1exp)(φ

O u ,

A f u n ç ã o c a r a c t e r í s t i c a c o n j u n t a p a r a q u a i s q u e r v e t o r e sr a n d ô m i c o s g a u s s ia n o s t ê m a m e s m a f o r m a , s e j a m s u a sc o m p o n e n t e s v a r iá v e i s r a n d ô m i c a s g a u s s ia n a si n d e p e n d e n t e s o u n ã o .

[ ] ( )

= ∑ ∑∑

= ==

m

j

m

kkjkjj

m

1jjn21YYY uu YY

2

1 -u YEi exp )u,...,u,(u

n1 1

,...,, ,cov21

φ



Transformação Linear - Função Densidade Prob. de Y

−Γ−

Γ= − )()(

)2() 1

212 xTx

T

nX mXmX2

1 - exp

1 x(f

π

Foi visto que:

De forma análoga (fazendo: Y = gX):

−Λ−

Λ= − )()(

)2(1

212 YTY

T

nY mYmY2

1 - exp

1 (y)f

π


Transformação Linear - Função Densidade Prob. de Y

−−Λ

ΛΛ= ∑ ∑

= =

n

j

n

kkkjjjknxxx mxmxf

n1 1

212n21,...,, ))( (2

1 - exp

)2(

1 )x,...,x,(x

21 π

Onde: |Λ|jk é o cofator do elemento λjk no determinante |Λ| damatriz de covariâncias.

Expandindo,


Γ−= VVVimV TT

xX 2

1exp)(φ

1. Um vetor randômico gaussiano X de dimensão n, cujascomponentes são variáveis randômicas gaussianas mutuamenteindependentes, tem como função densidade conjunta de probabilidadee função característica conjunta, respectivamente (matricialmente):

−Γ−

Γ= − )()(

2

1 exp

)2(

1 (x) 1

212 xTx

TnX mXmX-f

π

CONCLUSÕES


CONCLUSÕES

2. A função característica conjunta de um vetor randômico Y temexatamente a mesma forma da função característica conjunta dovetor randômico X, quando Y é definido como a transformaçãolinear de X e quando os componentes de X são variáveis randômicasgaussianas mutuamente independentes.

Λ−= uuuimu TT

YY 2

1exp)(φ

Γ−= VVVimV TT

xX 2

1exp)(φ


CONCLUSÕES

3. A função densidade conjunta de probabilidade e a funçãocaracterística conjunta para quaisquer vetores randômicos gaussianostem, individualmente, a mesma forma, sejam suas componentesvariáveis randômicas gaussianas independentes ou não.

Λ−= uuuimu TT

YY 2

1exp)(φ

−Λ−

Λ= − )()(

)2(1

212 YTY

T

nY mYmY2

1 - exp

1 (y)f

π

Processo Aleatório Gaussiano

• Um processo randômico real é umprocesso gaussiano se para todo conjunto finito deinstantes de tempo

as correspondentes variáveis randômicas sãovariáveis aleatórias conjuntas.

{ }T , ∈tYt

tY

{ }T , ∈tYt

n 1,2,..., j T =∈jt

As funções características do vetor aleatório

tem a forma da matriz

Em que é a matriz da média de é amatriz da covariância de Y .

( )tnt2t1 Y ..., ,Y ,Y =Y

( )

Λ−

=VVVmi

y

TTY

ev*

2

1**

φΛ e Yym

Processo GaussianoConseqüências

• Um processo gaussiano é completamentedeterminado (estatisticamente) através da

especificação da média e da funçãocovariância do processo.

• Além disso qualquer processo gaussiano que éestacionário no sentido amplo é tambémestacionário no sentido restrito.

[ ]tY E( )', ttK y

Suponha que o processo aleatório é umprocesso gaussiano estacionário de sentido amplo.

Então:

para todo t, e

para todo t e t’

{ }∞+<<∞− , tYt

( ) ( )' - ' , ttKttK yy =

Processo Gaussiano

Então segue que

ou

( )[ ] ( )

−∑ ∑ ∑

=Φ = = =

n

1j 1 1it

21

,2

1YE

21 , ... , , , ... ,,

n

j

n

kkjkjyj

nttt

vvttKvi

nYYY evvv

( )( )

−−∑ ∑ ∑

=Φ = = =

n

1j 1 1

21

2

1 *

21... , , , ... ,,

n

j

n

kkjkjyj

tt

vvttKvmi

nYY evvv

Processo Gaussiano

• processo gaussiano randômico estacionário no sentido amplo.translação dos instantes de tempo pela mesma quantidade

• A função característica conjunta das novas variáveis

{ }tY

nttt ,...,, 21 τ

njYit

,...,2,1 , =+τ

( )( )

( )

( )nYYY

vvttKvmi

vvttKvmi

nYYY

vvv

e

evvv

nttt

n

j

n

kkjkjyj

n

j

n

kkjkjyj

nttt

, ... ,,

, ... ,,

21 , ... , ,

2

1 *

- 2

1 *

21 , ... , ,

21

n

1j 1 1

n

1j 1 1

21

Φ=

∑ ∑∑=

∑ ∑∑=Φ

−−

−+−

= = =

= = =

+++

ττ

τττ

Processo Gaussiano

• A função característica conjunta n dimensional (e portantoa densidade de probabilidade conjunta n dimensional) nãoé alterada pela translação da origem dos tempos.

• Se processo gaussiano é estacionário no sentido amplo,então ele também é estacionário no sentido restrito;

Estacionaridade no sentido estacionário amplo e nosentido estacionário restrito são equivalentes no caso doprocesso gaussiano!

Digressão:

• Teorema do Limite Central

Para amostras estatisticamente independentes, a

distribuição de probabilidade da amostra tende a uma

gaussiana quando o número de amostras cresce.

Digressão :

• Ruído branco : ruído cuja função de densidade espectral é constanteao longo do espectro.

potência infinita, pois:

ruído branco numa dada faixa de frequência.

Qualquer que seja a freqüência sempre teremos um sinal que visto em um osciloscópiotem um comportamento senoidal

( ) ∞== ∫+∞

∞−

dffSP n

f∆

( ) ( ) ( )[ ]ttwtvtx o Φ+= cos

Abrindo um parênteses :

• A dada função pode ser representada através de um somatório atravésda série de Fourier.

Em que, é dado por:

Onde é chamada de .

( ) ( ) ( )( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

+∆=+=11

cos'2cosn

nnfnn

nnn twfStwAtx θθ

'2S '22

'2

SAA

S nn =⇒

=

( )( ) ( )nnfn twfS θ+∆ cos'2 ( )txn

Abrindo um parênteses :

• em que

• fixando t tem-se uma variável aleatória, ou seja, fazendot= t* tem-se:

uma soma de variáveis aleatórias, donde conclui-se atravésdo Teorema do Limite Central que é uma variávelaleatória gaussiana.

( ) ( )∑= txtx nc

( ) ( )∑∞

=

=1

**n

nc txtx

( )txc

• Logo:

observa-se que a frequência foi deslocada de , afim de expressarmos

em termos de seno e cosseno, ou seja,

( ) ( )( ) ( )( )ncnfnn twwfStx θ+−∆≡ *cos2*

nwcw

( )txn

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )[ ]ncnn

fns

ncnn

fnc

twwfStx

twwfStx

θ

θ

+−∆=

+−∆=

∑

∑∞

=

∞

=

sen'2

cos'2

1

1

Formas de Onda de faixas estreitas

• Uma função do tempo X(t) é dita ser uma forma de onda de faixaestreita se a região sobre a qual o espectro de frequência.

diferente de zero está confinado em uma banda estreita defrequência com

∫+∞

∞−

−= dtetxfX tfi ** *2**)()( π

f∆ ffo ∆>>

A forma de onda de faixa estreita vista em um osciloscópio aparecemais ou menos como uma onda senoidal com uma função envoltóriavariando lentamente e uma função de fase variando vagarosamente.


Pode-se escrever:

Onde v(t) é uma função envoltória variando lentamente (sempre não

negativa), é uma função de fase variando lentamente, e

é a frequência aparente.

( ) ( ) ( )[ ]tttvtx o φω += cos*

( )tφπ

ω2

oof =


• Uma representação alternativa

é a componente do cosseno de

é chamada a componente do seno de .

( ) ( ) ( )[ ]tttvtx o φω += cos*

( ) ( ) ( ) ( )ttxttxtx osoc ωω sen*cos*)( −=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttvtxttvtx sc φφ sen* e cos* ≡≡

( )txc ( )tx( )txs ( )tx


• Envoltória e fase de uma forma de onda faixa estreita

resultando

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttvtxttvtx sc φφ sen* e cos* ≡≡

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

=+= −

tx

txtxtxtv

c

ssc

122 tant e φ

Formas de Onda de faixa estreita

Decomposição:

Formas de Onda de faixa estreita

• interpretação:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]ttxttxtx

ttxtttx

ttxt

osocs

osooc

os

ωωωωω

ωω

2cos2sen

sen2cossen2

sen2 2

++−=−=

=


• Desde que ambas variam lentamente no tempo,

o produto da saída tem uma componente centrada em

torno da frequência zero (isto é, ) e uma componente centrada emtorno de freqüências repetidas.

( ) ( )txtx sc e

( )tcω

( )txc


• Freqüência de corte do filtro passa baixa ideal:escolhida para permitir a separação de duas componentes de saída,

apenas os termos em torno da frequência zero com distorção eeliminando os termos centrados em torno de 2fo .

Antes, obtemos o resultado de saída do filtro passa baixa ideal :

( ) ( )txty cc =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]twtxtwtxtx

twtxtwtwtx

twtxw

osocs

osooc

os

2cos2sen

sen2cossen*2

sen*22

++−=−=

=

( ) ( )txty ss −=


• forma de onda de faixa estreita original em fase equadratura.

• Através de um filtro passa baixa

que é a saída do sistema original de entrada da formade onda.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )tx

twtxtwtx

twtytwtytz

osoc

osoc

=−=+=

sencos

sencos

11°°. Processo Aleat. Processo Aleatóório derio deFaixa EstreitaFaixa Estreita

2°. Processo Gaussiano faixaestreita

Processo Faixa Estreita

Definição: Um sinal no tempo X(t) é dito ter umaforma de onda banda estreita se a região em cima doespectro de freqüência (Fig 1) é não nulo e estálimitado a uma faixa de freqüência estreita delargura ∆∆f centrada sobre uma freqüência, fo .

Sendo f0 >> ∆∆f

Figura 1

• Estender o estudo de banda estreita paraprocessos aleatórios.

Suponha, {Xt, -∞∞< t < +∞∞ } é um processo aleatóriobanda estreita; i.é.,

suponha que {Xt} é estacionário na sua faixa larga

com uma densidade espectral Sx a qual difere de

zero apenas numa estreita banda de freqüência sobre

alguma dada freqüência, chamada de f0.

Algumas vezes é conveniente representar um processo faixa estreita em termos de

1) um módulo de processo

{Vt, -∞∞ < t < +∞∞ } e

2) um processo de fase

{φφt, -∞∞ < t < +∞∞ },

usando a relação:

Xt = Vt Cos(wot + φφt) onde wo = 2ππfo.

Alternativa:

em termos de seus componentes seno e cosseno

{Xct, - ∞∞ < t < + ∞∞ },

{Xst, - ∞∞ < t < + ∞∞ }, respectivamente.

usando a relação:

Xt = Xct Cos wot - Xst Sen wot.

22

XXV stctt+=

ct

st

X

X1t tan −=ϕ

Módulo, fase, componente cosseno ecomponente seno são fenômenos debaixa freqüência; i.é., seus espectrossão todos essencialmente zero em valorpara freqüências maiores em magnitudeque alguma fração pequena fo .

Funções de correlação concernentes aos componentesseno e cosseno do processo.

em particular, componente cosseno.

h - resposta ao impulso de um filtro passa baixa

XFiltro passa

baixa

ideal

tXtCoswo2

ctX

( ) ( )[ ]XXR cttccEtt

ττ

+≡+ ,

( ) ( ) ( ) ( )

−−+= ∫∫

∞

∞−−

∞

∞−−+

dzztCoszhduutCosuhE wXwX oztout2 2 τ

τ

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]XXww ztutooEdzztCoszhduutCosuh

−−+

∞

∞−

∞

∞−∫∫ −−+=

ττ 4

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]zudzztCoszhduutCosuh Rww xoo+−−−+= ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

ττ 4

Equação 1

A última igualdade segue da estacionaridade doprocesso.

filtro passa baixa => domínio da freqüência.

Expressar a função de auto correlação Rx como aderivada de Fourier da densidade espectral Sx,então 1 se torna:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−−+

−+=+ duutCosuhtt wXR outcττ

τ4,

( ) ( )∫∞

∞−−

− dzztCoszh wX ozt

( ) ( )∫∞

∞−

+ dfefS jx

zu-rf 2 π

Expandindo o cosseno em termos da exponencialcomplexa:

( ) ( ) ( ) ( )( )∫∞

∞−

−+=+ dzeezhttR jjc

z-tf 2z-tf 2 oo, ππτ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∞

∞−

+∞

∞−

+−+ + zu-f 2u-tf 2u-tf 2 ooo dfefSdueezh jx

jj τπτπτπ

( )∫ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

+∞

∞−

−

+= )()( )f(f 2f 2)f-(f 2f 2 oooo dzezhedzezhedffS zjtjzjtj

xππππ

+ ∫∫

∞

∞−

−∞

∞−

−−−+++ dueuhedueuhe ujfftjujfftj oo )f(f 2])([f 2)f(f 2])([f 2 oooo )()( πτππτπ

As integrais da função peso podem agora serescritas em termos da função passa-baixa H:

Antes de ir adiante, é usual considerar o gráfico dafreqüência de acordo com a magnitude de váriostermos como mostrado nas figuras a seguir:

∫∞

∞−

− ++−=+ )]()([)(),( *f 2*f 2 ooo

tjo

tjxc ffHeffHedffSttR ππτ

)]()([ ])([f 2])([f 2 ooo

fftjo

fftj ffHeffHe oo −++ −−−++ τπτπ

Figuras

ou

Quando as condições parênteses são escritas emevidência, as condições que contêm os fatores:

H*(f-fo)H(f+fo) e H*(f+fo)H(f-fo)

desaparecem por causa do característica de nãosuperposição de |H(f+fo)| e |H(f-fo)|. Assim:

),()( ttRR cc ττ +=∆

[ ]2)f-(f 2 )()(),( oo

jxc ffHedffSttR −=+ ∫

∞

∞−

τπτ

[ ]2)f(f 2 )(oo

j ffHe ++ + τπ

*

Observando as figuras anteriores

∫∫∞−

+∞

− +=0

)(2

0

)( 2x )()(S) ( dfefSdfefR fofj

xfofj

cπτπτ

∫∫∞−

−−∞

− +=0

)(2

0

)( 2x ')()(S dfefSdfef fofj

xfofj πτπ

Fazendo a mudança de variável f’ = -f, tem-se:

que é a função de autocorrelação “cosseno” de um

processo aleatório de banda estreita.

( )∫∞

−−− +=0

)( 2)( 2x )(S) ( dfeefR fofjfofj

cτπτπτ

( )∫∞

−=0

x 2S2 df)fof(Cos)f( τπ

CASO PARTICULAR: processo gaussiano banda estreita.

processo {Xt, -∞∞< t <+∞∞ }.

componentes seno e cosseno do processo

{Xct, -∞∞<t<+∞∞ } e {Xct, -∞∞<t<+∞∞}, respectivamente,são alcançáveis pela transformação linear de umdeterminado processo banda estreita.

Estes processos são também gaussianos.

22°°. Processo Gaussiano de banda. Processo Gaussiano de bandaestreitaestreita

Componentes aleatórias, a saber, Xct Xst.

para variáveis gaussianas não correlacionadas,

independência!.

Xct e Xst média zero e variância Rx(0), a densidade deprobabilidade é:

+−=

)0(2exp

)0( 2

1),(

22

,xx

xx R

yx

Ryxf

stct π

Densidade de probabilidade do módulo e fase :

22

XXV stctt+=

ct

st

X

X1t tan −=ϕ

CONCLUSÃO: o módulo e a fase das variáveis sãoestatisticamente independentes com densidade deprobabilidade dada por:

≤

−=

Contrário Caso 0

0 ,)0(2

exp)0()(

2

vparaR

v

R

vvf

xxv t

≤≤=

Contrário Caso 0

2 0 , 2

1)(

πφπφφ

paraft

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O PROCESSO GAUSSIANO - ee.ufpe.br · O PROCESSO GAUSSIANO 1 - Introdução 2 - Vetores Randômicos Gaussianos 3 - O Processo Randômico Gaussiano 4 - Formas de Onda de Faixa Estreita